สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน ชุดนี้ จัดทำขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
เพื่อแก้ปัญหานักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร์ กระตุ้นให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด
เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
มีการเรียงลำดับเนือ้ หาจากงา่ ยไปหายาก มีทั้งหมด 7 เล่ม ดังน้ี

เล่มที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ท่ี 2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
เล่มที่ 3 รากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เล่มที่ 2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน มีเน้ือหาประกอบด้วย
คำชี้แจงเกี่ยวกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้สำหรับครูและนักเรียน
สาระสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนและหลังเรียน และเฉลย
บตั รกิจกรรม เฉลยบัตรงาน เฉลยแบบทดสอบกอ่ นและหลังเรียน
ผจู้ ัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค
การแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
ทำให้นักเรียนมผี ลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนสูงข้นึ เป็นสือ่ ที่มีประสิทธิภาพสำหรับครทู ี่สนใจนำไปใช้ในการ
พัฒนานักเรียน และสามารถอำนวยประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ให้บรรลุตามวัตถุประสงค์ของ
หลกั สตู รได้

อมุ าวดี เสน็ อุมา
ครูชำนาญการ

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

สารบญั

เรือ่ ง หนา้

คำนำ ก

สารบัญ ข

คำชแี้ จงเกย่ี วกับชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ ง

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั ครู จ

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับนกั เรียน ช

ผังมโนทัศนข์ น้ั ตอนการเรยี นรู้ ซ

ผลการเรยี นรู้ และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 1

แบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 2

สาระสำคญั สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 5

บัตรคำสั่งที่ 2.1 ตัวผกผนั การบวก และการลบจำนวนเชิงซอ้ น 6

บัตรเนอื้ หาที่ 2.1 ตัวผกผนั การบวก และการลบจำนวนเชิงซอ้ น 7

บัตรกิจกรรมที่ 2.1 ตัวผกผนั การบวก และการลบจำนวนเชิงซ้อน 9

บัตรคำสง่ั ที่ 2.2 ตัวผกผนั การคณู การหาร และสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น 12

บตั รเนอื้ หาที่ 2.2 ตัวผกผนั การคูณ การหาร และสงั ยุคของจำนวนเชิงซอ้ น 13

บัตรกิจกรรมที่ 2.2 ตัวผกผนั การคูณ การหาร และสงั ยุคของจำนวนเชิงซ้อน 18

บัตรงานที่ 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 21

แบบทดสอบหลงั เรยี น เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 23

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 26

เฉลยบัตรกจิ กรรมที่ 2.1 ตวั ผกผนั การบวก และการลบจำนวนเชิงซ้อน 27

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.2 ตัวผกผันการคณู การหาร และสังยุคของจำนวนเชิงซอ้ น 30

เฉลยบตั รงานที่ 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 32

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น 34

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น ค

สารบัญ (ต่อ)

เรือ่ ง หนา้
ตารางบนั ทึกคะแนน 35
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 36
บรรณานุกรม 43

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

ง

คำชีแ้ จงเกี่ยวกบั ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. เอกสารเลม่ นีเ้ ป็นชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมอื
เทคนิคการแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน มีท้ังหมด 7 เลม่ ดังน้ี
เลม่ ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 2 สมบัติเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 4 กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

2. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ เป็นเล่มที่ 2 เร่ือง สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย
2.1 คำชี้แจงเกี่ยวกับชดุ กิจกรรมการเรียนรู้
2.2 คำแนะนำสำหรับครู
2.3 คำแนะนำสำหรับนกั เรียน
2.4 ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้และสาระสำคัญ
2.5 แบบทดสอบกอ่ นเรียน
2.6 บตั รคำสัง่
2.7 บตั รกิจกรรม / เฉลยบัตรกิจกรรม
2.8 บัตรเนือ้ หา
2.9 บตั รงาน / เฉลยบตั รงาน
2.10 แบบทดสอบหลงั เรยี น
2.11 ตารางบนั ทึกคะแนน / เกณฑ์การใหค้ ะแนน
2.12 บรรณานุกรม

3. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ใชเ้ วลาเรียน 2 ช่ัวโมง
4. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ ประเมนิ ผลการเรียนรู้จากแบบทดสอบหลงั เรยี นเล่มที่ 2

จำนวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการสอบ 15 นาที

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

จ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน ครูมีบทบาทสำคัญ ในการจดั การเรียนการสอน ครูจงึ ควรเตรียมความพร้อม
และปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดงั น้ี

1. ศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ทั้งด้านเน้ือหา วิธีการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ ข้ันตอนการ
ดำเนินกิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนการสอนด้วยเทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) ให้เข้าใจชดั เจน ดงั น้ี
1.1 ขั้นท่ี 1 ขั้นนำเสนอเนื้อหา ครูจะทบทวนพื้นฐานความรู้เดิม จากนั้นครู
สอนเน้ือหาใหม่กับนักเรียนกลุ่มใหญ่ทั้งชั้น
1.2 ขั้นท่ี 2 ข้ันทำงานเป็นทีม นักเรียนจะต้องทำงานเป็นกลุ่ม ปฏิบัติกิจกรรม
ร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม
ให้นักเรียนศึกษาตวั อย่าง ถ้านักเรียนไมเ่ ข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจ
อธิบายให้ฟังจนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจ
บทเรียนเป็นอย่างดีมีผลให้สามารถทำแบบทดสอบย่อยได้คะแนนสูง ทำให้
คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้คะแนนของกลุ่มสูงไปด้วย ในการ
ทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบาย
เมือ่ นกั เรียนในกลุ่มมีปัญหาและไม่สามารถหาคำตอบได้

1.3 ขั้นที่ 3 ขั้นทดสอบย่อย เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจในเนื้อหาที่เรียน
ซึ่งนักเรียนแต่ละคนต้องทำบัตรงาน และแบบทดสอบด้วยตนเองไม่มีการ
ช่วยเหลอื กัน

1.4 ขัน้ ท่ี 4 ข้ันคิดคะแนนความก้าวหน้า คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบ
จะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนนรายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกลุ่ม
โดยครูติดวิธีการหาคะแนนความก้าวหน้า และการหาคะแนนกลุ่มไว้ที่บอร์ด
ของห้องเรียน เม่ือเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนนกลุ่มมากที่สุด
จะได้รบั รางวลั

1.5 ข้ันท่ี 5 ข้ันชมเชย ยกย่อง นักเรียนคนใดและกลุ่มใด ทำคะแนนได้มากที่สุด
หรอื ทำคะแนนได้ดีกว่าคร้ังกอ่ นจะได้รบั คำชมเชยหรอื รางวัล

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

ฉ

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรับครู (ตอ่ )

2. ศกึ ษาค้นคว้าเน้ือหาเพิม่ เติมลว่ งหน้า และเตรียมความพร้อมกอ่ นใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้
3. แบ่งกล่มุ นักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 – 5 คน คละความสามารถ คือ

คนเกง่ ปานกลาง และออ่ น ใช้อตั ราส่วน 1:2:1
4. ชีแ้ จงให้นักเรียนทราบวิธีการใชช้ ดุ กิจกรรมการเรียนรู้
5. แจ้งผลการเรียนรู้และจุดประสงค์การเรยี นรู้แกน่ ักเรียน
6. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นรายบุคคล เพื่อนำคะแนนที่ได้ไปใช้เป็น

คะแนนฐานของตนเอง และคะแนนฐานเฉลีย่ ของกล่มุ ตอ่ ไป
คะแนนฐานของตนเอง คือ ร้อยละของคะแนนทดสอบก่อนเรียน เลม่ ที่ 2

คะแนนทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 2  100
10

คะแนนฐานเฉลีย่ ของกลุ่ม คือ ค่าเฉลีย่ ของคะแนนฐานของสมาชิกในกล่มุ
คะแนนทดสอบยอ่ ย คือ ร้อยละของคะแนนหลงั เรียน

คะแนนพัฒนาการ คือ คะแนนทดสอบยอ่ ย – คะแนนฐาน

7. ให้คำแนะนำและอำนวยความสะดวกในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
8. หลังจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน

เป็นรายบุคคล

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน ช

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรบั นกั เรยี น

ในการศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการ
แบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อนักเรียนเอง
ก่อนที่จะศกึ ษานักเรียนควรปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดงั น้ี

1. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
ใช้เวลา 2 ชวั่ โมง

2. นักเรียนอ่านคำชี้แจงเกี่ยวกับชุดกิจกรรมและคำแนะนำสำหรับนักเรียนให้เข้าใจ
3. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 2 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที เป็นรายบุคคล

เพื่อประเมินความรู้พื้นฐานของนักเรียน แล้วตรวจคำตอบจากบัตรเฉลยและบันทึก
คะแนนที่ได้
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม และบัตรกิจกรรมร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมให้
นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเนื้อหา ตัวอยา่ ง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อน
ในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิก
ทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี มีผลให้สามารถทำแบบทดสอบได้คะแนนสูง ทำให้
คะแนนความก้าวหน้าสูง และส่งผลให้คะแนนของกลุ่มสูงไปด้วย ในการทำงานกลุ่ม
ครูจะดูแลอยู่อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบาย เม่ือนักเรียนมีปัญหาและ
ไม่สามารถหาคำตอบได้
5. ทำบัตรงาน และแบบทดสอบหลังเรียนเล่มที่ 2 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที
ด้วยตนเองไม่มีการช่วยเหลือกัน เพื่อทราบความก้าวหน้าในการเรียนของนกั เรียน
6. คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนน
รายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกลมุ่ เมือ่ เรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุม่ ใดมีคะแนนกลุ่ม
มากทีส่ ดุ จะได้รบั รางวลั
7. ในการทำบัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนเรียน และแบบทดสอบหลังเรียน
ข อ ใ ห้ นั ก เรี ย น ท ำ ด้ ว ย ค ว า ม ตั้ ง ใ จ แ ล ะ มี ค ว า ม ซื่ อ สั ต ย์ ต่ อ ต น เอ ง ใ ห้ ม า ก ที่ สุ ด
โดย “นักเรยี นต้องไมเ่ ปิดดเู ฉลยลว่ งหน้า”

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

ซ

ผงั มโนทศั น์ขน้ั ตอนการเรียนรู้

อา่ นคำชีแ้ จงสำหรบั นกั เรียน

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศึกษาบัตรเนือ้ หา
ศกึ ษาเนือ้ หาและตวั อย่าง
ทำบัตรกิจกรรม/ตรวจบตั รกิจกรรม
ทำบตั รงาน/ตรวจบตั รงาน

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ประเมินผล ไมผ่ ่านเกณฑ์

ผา่ นเกณฑ์

บนั ทึกคะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน
คำนวณคะแนนพัฒนาการของกลุ่ม
ประกาศชมเชย

ศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ เลม่ ต่อไป

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

1

ผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์การเรยี นรู้

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
เล่มที่ 2 สมบตั ิเชิงพีชคณติ ของจำนวนเชิงซ้อน

ผลการเรียนรู้
เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนและใช้สมบตั ิของจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปญั หา

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. ด้านความรู้ นกั เรียนสามารถ
1.1 หาตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณของจำนวนเชงิ ซ้อนได้
1.2 หาผลลบและผลหารของจำนวนเชงิ ซ้อนทีก่ ำหนดให้ได้

1.3 หาสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้

1.4 นำความรเู้ รือ่ งสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซ้อนไปใช้แก้ปญั หาได้

2. ด้านทกั ษะ นักเรียนมีความสามารถ
2.1 ในการแก้ปญั หา
2.2 ในการใช้ภาษาและสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ในการส่อื สาร และการนำเสนอ
3. ดา้ นคุณลักษณะ ปลูกฝังให้นกั เรียนมีพฤติกรรม ดังนี้
3.1 มีความซือ่ สตั ย์
3.2 มีระเบียบวินยั
3.3 ใฝ่เรียนรู้
3.4 มุ่งม่นั ในการทำงาน
4. ดา้ นสมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น นักเรียนมีความสามารถ

4.1 ในการส่อื สาร
4.2 ในการแก้ปัญหา

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

2

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเคร่อื งหมายกากบาท () ทบั บนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง ทีถ่ กู ต้อง
ทีส่ ดุ เพียงคำตอบเดียวเทา่ น้ัน

1. ให้ z1 = 5+ 6i และ z2 = 11− 2i แล้ว 2z1 − z2 มีค่าเท่าใด
ก. − 6 + 14i
ข. −1 + 14i
ค. −1 − 14i
ง. 6 + 14i

2. ข้อใดคือตัวผกผันการคูณของ 2 − 3i
ก. 2 − 3i

5

ข. 2 + 3i

5

ค. 2 − 3i

13

ง. 2 + 3i

13

3. a คือตัวผกผนั การคณู ของ 2 − i และ b คือตวั ผกผนั การบวกของ −10 + 3i
แล้ว 5a + b มีคา่ เทา่ ใด
ก. 2i
ข. 4i
ค. − 2 + i
ง. 0

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 3

4. ข้อใดคือตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อน 2 − 5i

ก. 2 − 5i

29

ข. 2 + 5i

29

ค. 5 − 2i
ง. − 2 + 5i
5. ถ้า z = a + bi เปน็ จำนวนเชิงซ้อน ขอ้ ใดถูกต้อง

ก. z = a + bi
ข. z = a − bi
ค. z • z = a2 − b2
ง. z + z = 0

6. ถ้า z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

1) z1 + z2 = z1 + z2

2) z1 − z2  z1 − z2

ข้อใดกล่าวถกู ต้อง
ก. 1) จรงิ 2) จรงิ
ข. 1) จรงิ 2) เท็จ
ค. 1) เทจ็ 2) จรงิ
ง. 1) เทจ็ 2) เท็จ

7. ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

ก. 1 + 2i = − i

2−i

ข. 2 − 3i = i

3 + 2i

ค. 3 + i = i

1 − 3i

ง. 1 + i = − i

1−i

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 4

8. ข้อใดคือค่าของ 2 − i

3+i

ก. 5 + 5i

2

ข. 5 − 5i

2

ค. 1 + i

2

ง. 1 − i

2

9. ข้อใดกล่าวไม่ถูกต้อง

ก. (− 4, 5) เป็นตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน (4, − 5)
ข. (− 7, − 8) เปน็ ตวั ผกผนั การบวกของจำนวนเชิงซ้อน (7, 8)

ค. (− 2 , 2) เป็นตัวผกผนั การบวกของจำนวนเชิงซ้อน (2, 2)
ง. (3, − 2) เปน็ ตวั ผกผนั การบวกของจำนวนเชิงซ้อน (− 3, 2)

10. ข้อใดคือตวั ผกผันการบวกของ 1 + 3i

ก. 1 − 3 i
ข. −1 − 3i
ค. −1 + 3 i
ง. −1 − 3 i

คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้

10

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

5

สาระสำคัญ สมบตั ิเชิงพีชคณติ ของจำนวนเชิงซ้อน

กำหนด z เปน็ จำนวนเชงิ ซ้อน จะได้วา่

สมบัติ การบวก การคูณ
สมบตั ิ
การมเี อกลกั ษณ์ z+0 = z = 0 + z z •1= z =1• z

เรียก 0 วา่ เอกลักษณก์ ารบวก เรียก 1 วา่ เอกลักษณก์ ารคูณ
ถ้า z  0 แล้ว z • z−1 = 1 = z−1 • z
สมบัติ z + (−z) = 0 = (−z) + z เรียก z−1 ว่าเปน็ ตัวผกผันการคูณ
การมตี ัวผกผัน
เรียก − z ว่าตัวผกผนั การบวก หรอื อินเวอร์สการคูณของ z

หรอื อินเวอร์สการบวกของ z

การลบจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w จะได้ว่า z − w = z + (−w)

การหารจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ใด ๆ ซึ่ง w  (0,0)

จะได้วา่ z  w = zw−1 และเขียนแทน z  w ด้วย z

w

สังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น

บทนิยาม ให้ z = a +bi เปน็ จำนวนเชิงซ้อน สังยุค (Conjugate) ของ z คือ a −bi

ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับสงั ยุคของจำนวนเชิงซอ้ น มดี ังนี้

ให้ z, z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

1) Re(z) = 1 (z + z) และ Im(z) = 1 (z − z)

2 2i

2) z = z

3) ถ้า z0 แล้ว 1 =  1 
z  z 

4) z1 + z2 = z1 + z2

5) z1 − z2 = z1 − z2

6) z1z2 = z1 z2

7)  z1  = z1 เมื่อ z2  0
 z2  z2
 

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

6

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รคำสงั่ ที่ 2.1

เอกลักษณ์ ตัวผกผันการบวก
และการลบจำนวนเชิงซ้อน

จุดประสงคก์ ารเรียนรูด้ ้านความรู้

1. หาตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อนได้
2. หาผลลบของจำนวนเชิงซ้อนทีก่ ำหนดให้ได้

คำส่ัง : ให้สมาชิกทกุ คนของแต่ละกลุ่มปฏิบัติกิจกรรมตามขั้นตอนดังต่อไปนี้

1. ศึกษาบัตรเนื้อหาที่ 2.1 แลกเปลี่ยนเรียนรู้ ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ

2. ตวั แทนกลมุ่ 1 กลมุ่ (โดยการส่มุ ของครู) สรปุ เนือ้ หาที่ 2.1
3. ทำบตั รกิจกรรมที่ 2.1 โดยแลกเปลี่ยนเรียนรู้ภายในกลมุ่
4. ตัวแทนกลุ่ม 2 กลมุ่ (โดยการสมุ่ ของคร)ู นำเสนอผลงานหนา้ ช้ันเรยี น
5. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจากเฉลย

บัตรกิจกรรม และสรปุ คะแนนทีไ่ ด้จากการทำบัตรกิจกรรม
6. ทำบัตรงานที่ 2 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่มโดยตรวจสอบ

ความถูกต้องจากเฉลยบัตรงาน และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์
การประเมินให้ทบทวนบัตรเนือ้ หาที่ 2.1 ใหม่ และทำบัตรงานที่ 2 อีกครั้ง

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรเนือ้ หาที่ 2.1

ในระบบจำนวนจริง ตัวผกผันการบวกของจำนวนจริง คือ จำนวนที่นำมาบวกกับ
จำนวนนั้นแล้วได้เอกลักษณ์การบวกในระบบจำนวนเชิงซ้อน ตัวผกผันการบวกของ
จำนวนเชงิ ซ้อนก็มีความหมายเดียวกนั

เอกลกั ษณแ์ ละตัวผกผนั การบวก

สำหรบั จำนวนเชิงซ้อน (a,b) ใด ๆ เราพบวา่
1) (a,b) + (0, 0) = (a,b) = (0, 0) + (a,b)

 เอกลักษณ์การบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน คอื (0,0) หรอื 0 + 0i ด้วย 0
2) (a,b) + (−a, −b) = (0, 0) = (−a, −b) + (a,b)

 ตัวผกผนั การบวกของ (a,b) คือ (−a, −b)
ตัวผกผนั การบวก ของจำนวนเชงิ ซ้อน z เขียนแทนด้วย − z
ดังน้ัน − (a + bi) = − a − bi

ตวั อยา่ ง ตัวผกผันการบวกของ (−2, 1) คือ (2, −1)
ตวั ผกผันการบวกของ 3 + 2i คือ − 3 − 2i
ตวั ผกผันการบวกของ − 7 + 8i คือ ....................

ตัวผกผันการบวกของ − 1 , − 1  คือ ....................

 2 2

ตัวผกผนั การบวกของ ( 3, − 2) คือ ....................

ตวั ผกผนั การบวกของ 4i − i2 คือ ....................

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

8

การลบจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม สำหรบั จำนวนเชงิ ซ้อน และ จะได้ว่า

จากบทนิยามสามารถสรปุ ได้วา่
การลบจำนวนเชิงซ้อน คือ “การบวกด้วยตัวผกผันการบวกของจำนวนทนี่ ำมาลบ”

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ (2 − 3i) − (4 − i)

วิธีทำ (2 − 3i) − (4 − i) = (2 − 3i) + (−(4 − i))

= (2 − 4) + (−3 +1)i ตอบ
= − 2 − 2i

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ (−7, 3) − (6, 4)

วิธีทำ (−7, 3) − (6, 4) = (−7, 3) + (−(6, 4))

= (−7, 3) + (−6, − 4) ตอบ
= (−7 + (−6) , 3 + (−4))
= (−13, −1)

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

9

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรกิจกรรมที่ 2.1

กิจกรรม สีสนั หรรษา

จดุ ประสงค์ 1. นักเรียนสามารถหาตวั ผกผนั การบวกของจำนวนเชงิ ซ้อนได้
2. นักเรียนสามารถหาผลลบของจำนวนเชงิ ซ้อนที่กำหนดให้ได้

สมาชิก 1) ..................................................................ระดับชั้น...............เลขที่ ...............
2) ..................................................................ระดบั ช้ัน...............เลขที่ ...............
3) ..................................................................ระดับชั้น...............เลขที่ ...............
4) ..................................................................ระดบั ช้ัน...............เลขที่ ...............
5) ..................................................................ระดับชั้น...............เลขที่ ...............

ตอนที่ 1 ใหน้ กั เรยี นเลอื กคำตอบที่ถกู ต้องทีส่ ดุ เพยี งคำตอบเดียว

1. ตวั ผกผนั การบวกของ − 4 − 5i3 คือ

ก. 4 + 5i หากเลือก ก ให้ระบายสีเขียวในช่องหมายเลข 1

ข. 4 − 5i หากเลือก ข ใหร้ ะบายสีเหลืองในช่องหมายเลข 1

2. จงหาคา่ ของ (5 + 6i) − (11 − 2i)

ก. − 6 + 8i หากเลือก ก ให้ระบายสีดำในชอ่ งหมายเลข 2

ข. −16 − 8i หากเลือก ข ใหร้ ะบายสีม่วงในช่องหมายเลข 2

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

10

3. 5(3 + i) − i(1 + i) มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

ก. 16 + 4i หากเลือก ก ให้ระบายสีแดงในชอ่ งหมายเลข 3

ข. 16 − 4i หากเลือก ข ให้ระบายสีฟ้าในชอ่ งหมายเลข 3

4. กำหนดให้ z1 = − 5 + 3i และ z2 = − 6 − 2i จงหาตัวผกผนั การบวกของ z1 − z2

ก. −1 + 5i หากเลือก ก ให้ระบายสีเหลืองในชอ่ งหมายเลข 4

ข. −1 − 5i หากเลือก ข ใหร้ ะบายสีเขียวในชอ่ งหมายเลข 4

5. ข้อใด ไมถ่ ูกต้อง เกีย่ วกบั ตวั ผกผันการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน
ก. ถ้า z = (−1, 3) แล้ว − z = (1, − 3) หากเลือก ก ให้ระบายสีสม้ ในช่องหมายเลข 5
ข. ถ้า z = 7 − 11i แล้ว − z = 7 + 11i หากเลือก ข ให้ระบายสีชมพใู นช่องหมายเลข 5

6. ถ้า z = − 2(1 + 3i)2 แล้ว − z มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้

ก. − z = −16 + 12i หากเลือก ก ให้ระบายสีฟ้าในช่องหมายเลข 6

ข. − z = 16 − 12i หากเลือก ข ใหร้ ะบายสีแดงในชอ่ งหมายเลข 6

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

11

ตอนที่ 2 ให้นักเรียนนำขอ้ มูลทีไ่ ด้จากการตอบคำถามในตอนที่ 1 มาระบายสีในรูปตอ่ ไปน้ี

666666666666666666666666666666
666666666666666666666666666666
666666666666666666666666666666
666666666666666666666226666666
666666666666666666662552666666
666666666222222222222552666666
666666662433443344334226666666
666666624334433443344322666666
666666623344334433443342266666
666666623443344334433443326666
666666662222223344334433442666
666666621111112222344334433266
666666211111111111222244334266
666662111111111111111122344266
666621111111111111111111222666
666621111112211112211111126666
666621111112211112211111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666662111112111111211111266666
666666211111211112111112666666
666666621111122221111126666666
666666662111111111111266666666
666666666211111111112666666666
666666666622222222226666666666
666666666666666666666666666666

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

6

เกณฑก์ ารตดั สิน ไดค้ ะแนนตง้ั แต่ 4.5 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

12

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรคำสัง่ ที่ 2.2

ตวั ผกผนั การคูณ การหาร
และสังยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน

จุดประสงค์การเรียนรู้ดา้ นความรู้

1. หาตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซ้อนได้
2. หาผลหารของจำนวนเชงิ ซ้อนที่กำหนดให้ได้
3. หาสังยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนที่กำหนดให้ได้
4. นำสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซ้อนไปใช้แก้ปญั หาได้

คำสัง่ : ให้สมาชิกทกุ คนของแตล่ ะกลุ่มปฏิบัติกิจกรรมตามขั้นตอนดังต่อไปนี้

1. ศึกษาบัตรเนื้อหาที่ 2.2 แลกเปลี่ยนเรียนรู้ ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟงั จนเข้าใจ

2. ตัวแทนกลุ่ม 1 กลุม่ (โดยการสมุ่ ของคร)ู สรปุ เนือ้ หาที่ 2.2
3. ทำบัตรกิจกรรมที่ 2.2 โดยแลกเปลีย่ นเรียนรู้ภายในกลุ่ม
4. ตัวแทนกลมุ่ 2 กลุ่ม (โดยการส่มุ ของครู) นำเสนอผลงานหนา้ ช้ันเรยี น
5. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจาก

เฉลยบัตรกิจกรรมและสรปุ คะแนนทีไ่ ด้จากการทำบัตรกิจกรรม
6. ทำบัตรงานที่ 2 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่มโดยตรวจสอบ

ความถูกต้องจากเฉลยบัตรงาน และบันทึกคะแนนที่ได้ หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์
การประเมนิ ให้ทบทวนบตั รเนือ้ หาที่ 2.2 ใหม่ และทำบัตรงานที่ 2 อีกครั้ง

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

13

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรเนื้อหาที่ 2.2

เอกลกั ษณ์และตัวผกผนั การคูณ

สำหรบั จำนวนเชิงซ้อน (a,b) ใด ๆ เราพบวา่
1) (a,b)  (1, 0) = (a,b) = (1, 0) (a,b)

 เอกลักษณก์ ารคณู ของจำนวนเชงิ ซ้อน คอื (1,0)
2) ถ้า (x, y) เป็นตวั ผกผนั การคูณของ (a,b) เราจะได้ว่า

(a,b)  (x, y) = (1, 0) = (x, y) (a, b)

พิจารณา (a,b)  (x, y) = (1, 0)

(ax − by,bx + ay) = (1, 0)

ดงั นน้ั

ax − by =1 …………. (1)
bx + ay = 0 …………. (2)

โดยการแก้ระบบสมการ เราได้

x = a2 a b2 และ y = − a2 b b2
+ +

ดังน้ัน ตวั ผกผนั การคณู ของ (a, b) คือ  a ,− a2 b 
 a2 + b2 + b2 

Note : เขียนแทนตัวผกผันการคณู ของ z ด้วย z−1

เมื่อ z = a + bi และ z  0 จะได้ว่า z −1 = a2 a − a2 b b2 i
+ b2 +

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

14

ตวั อยา่ ง จงหาตัวผกผันการคูณของ

1) (4, − 3)

ตัวผกผนั การคูณของ (4, − 3) คือ  42 + 4 , − 42 −3 2  =  4 , 3 
(−3)2 + (−3)  25 25 

2) − 3 + 2i

ตวั ผกผนั การคณู ของ − 3 + 2i คือ −3 − 2 22 i = − 3 − 2i
(−3)2 + 22 (−3)2 + 13 13

3) 2 − i

ตวั ผกผันการคูณของ 2 − i คือ……………………………………………………………

การหารจำนวนเชิงซอ้ น

บทนิยาม สำหรับจำนวนเชงิ ซ้อน และ ใด ๆ ซึ่ง

จะได้ว่า และเขียนแทน ด้วย

จากบทนิยาม ถ้า z = a + bi และ w = c + di ซึ่ง w  0

แล้ว z = zw−1 = (a + bi) c2 c d 2 − c 2 d d 2 i  = ac + bd +  bc − ad i
w + + c2 + d2 c2 + d2

ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ 3+ 2i

4 + 3i

วธิ ที ำ 3 + 2i = (3 + 2i)  4 − 3 i 
4 + 3i  25 25 

= 12 + 6 +  8 − 9  i
25 25  25 25

= 18 − 1 i ตอบ
25 25

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

15

สงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม ให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สงั ยคุ (Conjugate) ของ คือ
เราเรียก ว่าสังยคุ ของ

Note : สังยคุ ของ z เขียนแทนด้วย z ซึ่ง z = a + bi = a −bi

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาสังยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนี้

1) z = 3 + 4i  z = 3 − 4i
2) z = 1 − 2i  z = .......................................................
3) z = (7, 8)  z = .......................................................
4) z = (4, − 3)  z = .......................................................

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลหารของการหาร 2 − i ด้วย 3 + 2i โดยใช้สังยคุ ของตวั หาร
วธิ ที ำ สงั ยคุ ของ 3 + 2i คือ 3 − 2i

ดงั น้นั 2 − i =  2−i  3 − 2i 
3 + 2i 3 − 2i
3 + 2i

= (6 − 2) + (−3 − 4)i ตอบ
32 + 22

= 4 − 7i
13 13

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

16

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ (2 + 3i)z = −1 − 2i

วธิ ที ำ จาก (2 + 3i)z = −1 − 2i

จะได้ z = −1 − 2i

2 + 3i

=  −1 − 2i  2 − 3i 
2 + 3i 2 − 3i

= (−2 − 6) + (3 − 4)i
22 + 32

= −8 − 1i ตอบ
13 13

ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับสังยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น มดี ังนี้

ให้ z, z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

1) Re(z) = 1 (z + z) และ Im(z) = 1 (z − z)

2 2i

2) z = z

3) ถ้า z0 แล้ว 1 =  1 
z  z 

4) z1 + z2 = z1 + z2

5) z1 − z2 = z1 − z2

6) z1z2 = z1 z2

7)  z1  = z1 เมื่อ z2  0
 z2  z2
 

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

17

ตัวอย่าง กำหนดให้ z1 = 5 + 3i และ z2 = 4i จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนี้
ให้อยใู่ นรปู a + bi เมือ่ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ

1) z1 + z2
วิธีทำ z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z2 = 5 + 3i − 4i = 5 − i

2)  z2 
z1

วิธีทำ  z2  = z2 = − 4i =  − 4i  5 + 3i  = 12 − 20i = 6 − 10 i
z1 z1 5 − 3i 5 − 3i 5 + 3i 34 17 17

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

18

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซ้อน บัตรกิจกรรมที่ 2.2

กิจกรรม มาลองเป็นนกั สบื

จดุ ประสงค์ 1. นักเรียนสามารถหาตัวผกผนั การคูณของจำนวนเชิงซ้อนได้
2. นักเรียนสามารถหาผลหารของจำนวนเชงิ ซ้อนทีก่ ำหนดให้ได้
3. นกั เรียนสามารถหาสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ได้
4. นกั เรียนสามารถนำสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนไปใช้แก้ปญั หาได้

สมาชิก1) ..................................................................ระดับช้ัน...............เลขที่ ...............
2) ..................................................................ระดบั ชั้น...............เลขที่ ...............
3) ..................................................................ระดบั ช้ัน...............เลขที่ ...............
4) ..................................................................ระดบั ชั้น...............เลขที่ ...............

5) ..................................................................ระดับชั้น...............เลขที่ ...............

ในคาบแนะแนวคุณครูให้สำรวจอาชีพที่ใฝ่ฝันของเพื่อนๆในห้องแต่ละคน จุงกิเป็นหัวหน้าห้อง
อยากให้เพื่อนเป็นนักสืบโดยสืบอาชีพที่ใฝ่ฝันของตนเอง จึงให้เพื่อนๆหาคำตอบของคำถาม
แต่ละข้อเป็นเส้นทางไปส่คู ำตอบของเขาเอง ซึง่ มีขนั้ ตอนดังตอ่ ไปนี้

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 19

1. ให้ทุกคนชว่ ยกันแก้ไขปริศนาหาจากแผ่นป้ายและคำถามตอ่ ไปนี้ พรอ้ มแสดงวธิ ีคิด

แผน่ ป้าย A แผ่นป้าย B แผน่ ป้าย C

z1 = 3 + 2i z2 = 2 − 3i (2 − i)z = 4 + 2i

ปริศนาท่ี 1 สังยคุ ของแผน่ ป้าย B คือ ปรศิ นาท่ี 2 ตัวผกผนั การคูณของแผน่ ป้าย A คือ
วิธีคดิ วิธีคดิ

ตอบ ตอบ

ปริศนาท่ี 3 ค่าของ z จากแผ่นป้าย C คือ ปริศนาท่ี 4 สงั ยคุ ของ z จากแผน่ ป้าย C คือ
วิธีคดิ วิธีคดิ

ตอบ ตอบ

ปริศนาท่ี 5 ผลหารของแผ่นป้าย A ด้วย แผน่ ป้าย B คือ
วิธีคดิ

ตอบ

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

20

2. ใหน้ ักเรียนนำคำตอบจากปรศิ นาขา้ งต้นลากเส้นทางเดินเก็บตัวอกั ษร แล้วนำมาเรยี งตอ่ กัน

EN GINE

ปริศนาที่ 1 2 + 3i ปริศนาที่ 2 3−2i ปริศนาที่ 3
55
DES GI DRIV
IG N
ปริศนาที่ 2 ปริศนาที่ 4
2−3i ปริศนาที่ 3 6+8i
13 13 55

R E

ปริศนาที่ 5 6−8i
55

ER

อาชีพท่ใี ฝ่ฝนั ของจุงกิ คือ
..........................................
แปลวา่ ...............................

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

10

เกณฑ์การตัดสิน ไดค้ ะแนนตง้ั แต่ 7 คะแนนขึน้ ไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

21

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซ้อน บตั รงานที่ 2

จุดประสงค์ 1. นกั เรียนสามารถหาตัวผกผนั การบวกและการคณู ของจำนวนเชงิ ซ้อนได้
2. นักเรียนสามารถหาผลลบและผลหารของจำนวนเชิงซ้อนทีก่ ำหนดให้ได้
3. นักเรียนสามารถหาสงั ยุคของจำนวนเชิงซ้อนและนำสังยุคไปใช้แก้ปญั หาได้

1. จงหาตัวผกผันการบวก ตวั ผกผันการคณู และสังยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้

จำนวนเชิงซอ้ น ตัวผกผันการบวก ตวั ผกผันการคูณ สังยคุ ของจำนวนเชิงซ้อน
1) 1 + 2i

2) 1 + 5i

3) (4,− 3)

4) (− 3 , 2)

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนีใ้ ห้อยู่ในรปู a + bi เมือ่ a และ b เป็นจำนวนจรงิ

1) (−8 + 3i) − 2(3−2i) =…………………………………………………………………………………………

2) − i(1 + i) − 3i(−3−2i) =…………………………………………………………………………………………

3) 4 + 3i =…………………………………………………………………………………………

1+ i

4) (1− i)3i =…………………………………………………………………………………………

2+i

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

22

3. จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้

1) (3−i)z = 6−7i =…………………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………….

2) (1+ 3i)z = 1+ i =……………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………….

4. กำหนดให้ z1 =2−i และ z2 = − 3+ 2i จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนใี้ ห้อย่ใู นรูป a + bi
เมื่อ a และ b เปน็ จำนวนจริง

1) z1 − z2 =……………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………….

=……………………………………………………………………………………….

2)  1  =……………………………………………………………………………………….
z2
=……………………………………………………………………………………….
=……………………………………………………………………………………….

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

14

เกณฑ์การตดั สิน ได้คะแนนต้ังแต่ 10 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

23

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ท่ี 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณติ ของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเคร่อื งหมายกากบาท () ทับบนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง
ที่ถูกต้องทีส่ ุดเพียงคำตอบเดียวเท่าน้ัน

1. ข้อใดคือตัวผกผันการบวกของ 1 + 3i
ก. 1 − 3 i
ข. −1 − 3i
ค. −1 + 3 i
ง. −1 − 3 i

2. ให้ z1 = 5+ 6i และ z2 = 11− 2i แล้ว 2z1 − z2 มีคา่ เทา่ ใด
ก. − 6 + 14i
ข. −1 + 14i
ค. −1 − 14i
ง. 6 + 14i

3. ถ้า z = a + bi เปน็ จำนวนเชิงซ้อน ขอ้ ใดถูกต้อง

ก. z = a + bi
ข. z = a − bi
ค. z • z = a2 − b2
ง. z + z = 0

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน 24

4. a คือตวั ผกผนั การคูณของ 2 − i และ b คือตัวผกผนั การบวกของ −10 + 3i
แล้ว 5a + b มีค่าเท่าใด
ก. − 2 + i
ข. 4i
ค. 2i
ง. 0

5. ข้อใดคือตวั ผกผันการคูณของ 2 − 3i
ก. 2 − 3i

5

ข. 2 + 3i

5

ค. 2 + 3i

13

ง. 2 − 3i

13

6. ข้อใดคือตวั ผกผันการคูณของจำนวนเชงิ ซ้อน 2 − 5i
ก. 2 + 5i

29

ข. 2 − 5i

29

ค. − 2 + 5i
ง. 5 − 2i

7. ข้อใดกลา่ วไม่ถกู ต้อง

ก. (− 4, 5) เปน็ ตวั ผกผันการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน (4, − 5)

ข. (− 2 , 2) เป็นตวั ผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน (2, 2)
ค (3, − 2) เปน็ ตัวผกผันการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน (− 3, 2)

ง. (− 7, − 8) เป็นตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อน (7, 8)

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

25

8. ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง

ก. 3 + i = i

1 − 3i

ข. 2 − 3i = i

3 + 2i

ค. 1 + 2i = − i

2−i

ง. 1 + i = − i

1−i

9. ข้อใดคือค่าของ 2 − i

3+i

ก. 5 + 5i

2

ข. 5 − 5i

2

ค. 1 + i

2

ง. 1 − i

2

10. ถ้า z1 และ z2 เปน็ จำนวนเชิงซ้อน พิจารณาข้อความต่อไปนี้

1) z1 + z2 = z1 + z2

2) z1 − z2  z1 − z2

ข้อใดกลา่ วถูกต้อง

ก. 1) จรงิ 2) จรงิ
ข. 1) เท็จ 2) จรงิ
ค. 1) จรงิ 2) เทจ็
ง. 1) เท็จ 2) เท็จ

คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้

10

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

26

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

ข้อ ตวั เลือก
1ข
2ง
3ก
4ข
5ข
6ข
7ค
8ง
9ค
10 ง

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

27

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 2 สมบัติเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.1

เฉลย กิจกรรมสสี ันหรรษา
ตอนที่ 1 ใหน้ ักเรยี นเลอื กคำตอบที่ถูกต้องทีส่ ดุ เพยี งคำตอบเดียว

1. ตวั ผกผนั การบวกของ − 4 − 5i3 คือ 4 − 5i
วิธีคดิ เนื่องจาก − 4 − 5i3 = − 4 − 5i
ดังนนั้ ตวั ผกผนั การบวกของ − 4 − 5i3 คือ 4 − 5i
ตอบ ข. 4 − 5i ระบายสีเหลืองในช่องหมายเลข 1

2. จงหาค่าของ (5 + 6i) − (11 − 2i)

วิธีคดิ (5 + 6i) − (11 − 2i) = (5 + 6i) + (−11 + 2i)

= (5 − 11) + (6 + 2)i

= − 6 + 8i

ตอบ ก. − 6 + 8i ระบายสีดำในชอ่ งหมายเลข 2

3. 5(3 + i) − i(1 + i) มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

วิธีคดิ 5(3 + i) − i(1 + i) = 15 + 5i − i + 1

= 16 + 4i

ตอบ ก. 16 + 4i ระบายสีแดงในช่องหมายเลข 3

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

28

4. กำหนดให้ z1 = − 5 + 3i และ z2 = − 6 − 2i จงหาตัวผกผนั การบวกของ z1 − z2
วิธีคดิ z1 − z2 = (−5 + 3i) − (−6 − 2i)

= − 5 + 3i + 6 + 2i
= 1 + 5i

ดงั นน้ั ตวั ผกผนั การบวกของ z1 − z2 คือ −1 − 5i
ตอบ ข. −1 − 5i ระบายสีเขียวในชอ่ งหมายเลข 4

5. ข้อใด ไมถ่ กู ตอ้ ง เกีย่ วกับตัวผกผนั การบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน
ตอบ ข. ถ้า z = 7 − 11i แล้ว − z = 7 + 11i ระบายสีชมพูในช่องหมายเลข 5

6. ถ้า z = − 2(1 + 3i)2 แล้ว − z มีค่าตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้
วิธีคดิ z = − 2(1 + 3i)2

= − 2(−2 + 6i)

= 16 − 12i ระบายสีฟ้าในช่องหมายเลข 6

ดังนน้ั − z = −16 + 12i
ตอบ ก. − z = −16 + 12i

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

29

ตอนที่ 2 ให้นกั เรียนนำขอ้ มลู ทีไ่ ด้จากการตอบคำถามในตอนที่ 1 มาระบายสีในรปู ได้ดังนี้

666666666666666666666666666666
666666666666666666666666666666
666666666666666666666666666666
666666666666666666666226666666
666666666666666666662552666666
666666666222222222222552666666
666666662433443344334226666666
666666624334433443344322666666
666666623344334433443342266666
666666623443344334433443326666
666666662222223344334433442666
666666621111112222344334433266
666666211111111111222244334266
666662111111111111111122344266
666621111111111111111111222666
666621111112211112211111126666
666621111112211112211111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666621111111111111111111126666
666662111112111111211111266666
666666211111211112111112666666
666666621111122221111126666666
666666662111111111111266666666
666666666211111111112666666666
666666666622222222226666666666
666666666666666666666666666666

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

30

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 2 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.2

เฉลย กิจกรรมมาลองเป็นนักสบื

ในคาบแนะแนวคณุ ครใู ห้สำรวจอาชีพทีใ่ ฝฝ่ ันของเพือ่ นๆในหอ้ งแตล่ ะคน จุงกิเปน็ หัวหน้าห้อง
อยากใหเ้ พือ่ นเป็นนกั สืบโดยสืบอาชีพที่ใฝฝ่ ันของตนเอง จงึ ให้เพือ่ นๆหาคำตอบของคำถามแตล่ ะ
ข้อเปน็ เส้นทางไปสคู่ ำตอบของเขาเอง ซึ่งมีขน้ั ตอนดงั ต่อไปนี้
1. ให้ทกุ คนช่วยกนั แก้ไขปริศนาหาจากแผน่ ป้ายและคำถามตอ่ ไปนี้ พรอ้ มแสดงวธิ ีคิด

แผน่ ป้าย A แผ่นปา้ ย B แผน่ ปา้ ย C

z1 = 3 + 2i z2 = 2 − 3i (2 − i)z = 4 + 2i

ปริศนาท่ี 1 สังยคุ ของแผ่นป้าย B คือ ปริศนาท่ี 2 ตัวผกผนั การคูณของแผ่นป้าย A คือ
วิธีคดิ จาก z = a + bi และ z = a − bi
วิธีคดิ ตวั ผกผนั การคณู ของ z1 = 3 + 2i คือ
ดังนั้น z2 = 2 + 3i
ตอบ z2 = 2 + 3i 32 3 − 32 2 i = 3 −2 i
+ 22 + 22 13 13

ตอบ 3 − 2 i

13 13

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

31

ปริศนาท่ี 3 ค่าของ 6−8iจากแผน่ ป้าย C คือ ปริศนาท่ี 4 สังยคุ ของ 6−8iจากแผน่ ป้าย C คือ
55 55

วิธีคดิ (2−i)z = 4 + 2i วิธีคดิ จากปริศนาที่ 3 z = 6 + 8 i

= 4+ 2i 55
2−i
ดงั น้นั z = 6 − 8 i
=  4+ 2i  2+i  = 6 + 8 i
2−i 2+i 5 5 55

ตอบ z = 6 + 8 i ตอบ z = 6 − 8 i

55 55

ปริศนาท่ี 5 ผลหารของแผ่นป้าย A ด้วย แผน่ ป้าย B คือ

วิธีคดิ 3 + 2i =  3 + 2i  2 + 3i 
2 − 3i 2 − 3i 2 + 3i

= 3(2+3i) + 2i(2+3i)
22 + 32

= 6 + 9i + 4i − 6 = i
13

ตอบ i

2. ใหน้ ักเรยี นนำคำตอบจากปรศิ นาขา้ งต้นลากเส้นทางเดินเกบ็ ตัวอักษร แล้วนำมาเรยี งตอ่ กนั

EN GINE

ปริศนาที่ 1 2 + 3i ปริศนาที่ 2 ปริศนาที่ 3

DES GI DRIV

ปริศนาที่ 2 IG N ปริศนาที่ 4

ปริศนาที่ 3 66− 8ii E
55 5

R

ปริศนาที่ 5

อาชีพทใ่ี ฝ่ฝนั ของจุงกิ คือ ER
EN-GI-N-E-ER = ENGINEER

แปลว่า วิศวกร

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

32

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 2 สมบัติเชิงพชี คณิตของจำนวนเชิงซอ้ น เฉลยบัตรงานที่ 2

1. จงหาตัวผกผนั การบวก ตวั ผกผันการคณู และสงั ยุคของจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้

จำนวนเชิงซอ้ น ตัวผกผันการบวก ตัวผกผันการคูณ สงั ยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น
1) 1 + 2i
−1 − 2i 1 − 2i 1 − 2i
2) 1 + 5i 55 1 − 5i
(4, 3)
3) (4,− 3) −1 − 5i 1 − 5i (− 3 , − 2)
(−4, 3) 66
4) (− 3 , 2) ( 3 , − 2)
 4 , 3 
 25 25 

 − 3 , − 2 
7 7

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนีใ้ ห้อยู่ในรปู a + bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจรงิ

1) (−8 + 3i) − 2(3− 2i) = −14 + 7i

2) − i(1 + i) − 3i(−3− 2i) = − 5 + 8i

3) 4 + 3i = 7 − 1i
22
1+ i

4) (1− i)3i = 9 + 3i
55
2+i

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

33

3. จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้
1) จาก (3−i)z = 6−7i

จะได้ z = 6 − 7i

3−i

=  6− 7i  3 + i 
3− i 3 + i

z = 5 − 3i ตอบ
22 ตอบ

2) จาก (1+ 3i)z = 1+ i

จะได้ z = 1 + i

1 + 3i

=  1+ i  1− 3i 
1 + 3i 1− 3i

= 2 − 1i
55

4. กำหนดให้ z1 =2−i และ z2 = − 3+ 2i จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนีใ้ ห้อย่ใู นรูป a + bi
เมือ่ a และ b เปน็ จำนวนจริง

1) z1 − z2 = z1 − z2
= z1 − z2
= (2 − i) − (−3 − 2i) ตอบ

= 5+i

2)  1  =1
z2 z2

=1
− 3 − 2i

=  − 1 2i  − 3 + 2i 
 3− − 3 + 2i

= − 3 + 2i
13

= −3 + 2 i ตอบ
13 13

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

34

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

ข้อ ตัวเลือก
1ง
2ข
3ข
4ค
5ค
6ก
7ข
8ก
9ง
10 ค

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

36

เกณฑ์การให้คะแนน

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

37

เกณฑก์ ารให้คะแนน

กิจกรรมที่ 2.1 กิจกรรมสสี ันหรรษา

ตอนท่ี 1 และตอนท่ี 2

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 ตอบคำถามถูกต้อง และระบายสตี รงตามชอ่ งที่กำหนดให้ 1

ตอบคำถามถูกต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามช่องทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง และระบายสีไมต่ รงตามช่องที่กำหนดให้ 0

2 ตอบคำถามถกู ต้อง และระบายสตี รงตามช่องทีก่ ำหนดให้ 1

ตอบคำถามถูกต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามช่องที่กำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามช่องทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง และระบายสีไมต่ รงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้ 0

3 ตอบคำถามถกู ต้อง และระบายสตี รงตามชอ่ งที่กำหนดให้ 1

ตอบคำถามถกู ต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามช่องที่กำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถูกต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามช่องที่กำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง และระบายสีไมต่ รงตามชอ่ งที่กำหนดให้ 0

4 ตอบคำถามถูกต้อง และระบายสตี รงตามช่องที่กำหนดให้ 1

ตอบคำถามถกู ต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามชอ่ งที่กำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถูกต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง และระบายสีไมต่ รงตามชอ่ งที่กำหนดให้ 0

5 ตอบคำถามถูกต้อง และระบายสตี รงตามช่องที่กำหนดให้ 1

ตอบคำถามถกู ต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถกู ต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามช่องทีก่ ำหนดให้ 0.5

ตอบคำถามไม่ถูกต้อง และระบายสีไมต่ รงตามช่องที่กำหนดให้ 0

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

38

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

กิจกรรมที่ 2.1 กิจกรรมสสี นั หรรษา (ตอ่ ) คะแนน
1
ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 0.5
6 ตอบคำถามถูกต้อง และระบายสตี รงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้ 0.5
0
ตอบคำถามถกู ต้อง แต่ระบายสไี มต่ รงตามชอ่ งทีก่ ำหนดให้
ตอบคำถามไม่ถูกต้อง แตร่ ะบายสีตรงตามช่องทีก่ ำหนดให้
ตอบคำถามไม่ถูกต้อง และระบายสีไมต่ รงตามช่องที่
กำหนดให้

เลม่ ที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

39

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

กิจกรรมที่ 2.2 กิจกรรมมาลองเปน็ นักสบื

ขอ้ 1

ปริศนาที่ เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
1 แสดงวิธคี ิด และหาคำตอบจากปริศนาถกู ต้อง 1
2 แสดงวิธคี ิด แต่หาคำตอบจากปริศนาไมถ่ กู ต้อง 0
3 แสดงวิธคี ิด และหาคำตอบจากปริศนาถกู ต้อง 1
4 แสดงวิธคี ิด แต่หาคำตอบจากปริศนาไม่ถูกต้อง 0
5 แสดงวิธคี ิด และหาคำตอบจากปริศนาถูกต้อง 1
แสดงวิธคี ิด แต่หาคำตอบจากปริศนาไมถ่ กู ต้อง 0
แสดงวิธคี ิด และหาคำตอบจากปริศนาถูกต้อง 1
แสดงวิธคี ิด แต่หาคำตอบจากปริศนาไม่ถกู ต้อง 0
แสดงวิธคี ิด และหาคำตอบจากปริศนาถกู ต้อง 1
แสดงวิธคี ิด แต่หาคำตอบจากปริศนาไมถ่ กู ต้อง 0

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

40

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

กิจกรรมที่ 2.2 กิจกรรมมาลองเป็นนักสบื (ต่อ) คะแนน
1
ข้อ 2 0
1
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 0
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 1 ไป ปริศนา 2 ได้ถูกต้อง 1
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 1 ไป ปริศนา 2 ไม่ถูกต้อง 0
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 2 ไป ปริศนา 3 ได้ถูกต้อง 1
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 2 ไป ปริศนา 3 ไมถ่ กู ต้อง 0
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 3 ไป ปริศนา 4 ได้ถกู ต้อง 1
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 3 ไป ปริศนา 4 ไมถ่ ูกต้อง 0.5
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 4 ไป ปริศนา 5 ได้ถูกต้อง 0.5
ลากเสน้ ทางจากปริศนา 4 ไป ปริศนา 5 ไม่ถกู ต้อง 0
เรียงคำถูกต้อง และบอกความหมายถูกต้อง
เรียงคำถกู ต้อง แตบ่ อกความหมายไม่ถูกต้อง
เรียงคำไม่ถูกต้อง แตบ่ อกความหมายถกู ต้อง
เรียงคำไม่ถกู ต้อง และบอกความหมายไม่ถูกต้อง

เลม่ ที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธ์ิ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

41

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

บัตรงานที่ 2 1.5
1
ข้อ 1 คะแนนเตม็ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน ดงั นี้ 1
1
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 0.5
0.5
- หาตัวผกผันการบวก ตวั ผกผนั การคณู และสังยุคของจำนวน 0.5
เชงิ ซ้อนได้ถูกต้อง 0

- หาตัวผกผนั การบวก ตวั ผกผันการคณู ได้ถกู ต้อง แต่สังยุคของ
จำนวนเชิงซ้อนไม่ถูกต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม

- หาตวั ผกผันการคณู สังยคุ ของจำนวนเชงิ ซ้อนได้ถูกต้อง
แตต่ ัวผกผันการบวกไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

- หาตวั ผกผันการบวก และสังยุคของจำนวนเชิงซ้อนได้ถกู ต้อง
แต่ตัวผกผนั การคูณไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

- หาตัวผกผนั การบวกได้ถกู ต้อง ตัวผกผนั การคณู และสังยคุ ของ
จำนวนเชิงซ้อนไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

- หาตวั ผกผันการคณู ได้ถูกต้อง ตัวผกผันการบวก และสังยุคของ
จำนวนเชิงซ้อนไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

- หาสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซ้อนได้ถูกต้อง แต่ตัวผกผนั การบวกและ
ตัวผกผนั การบวกไม่ถกู ต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม

- หาตวั ผกผนั การบวก ตัวผกผันการคณู และสงั ยุคของจำนวน
เชงิ ซ้อนไม่ถกู ต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม

ข้อ 2 ข้อละ 1 คะแนน ดังนี้ คะแนน

เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
0
ตอบคำถามได้ถูกต้องครบถ้วน
ตอบคำถามไมถ่ กู ต้อง หรือไมต่ อบคำคาม

เล่มที่ 2 สมบัตเิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธ์ิ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

42

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

บัตรงานที่ 2 (ตอ่ ) คะแนน

ข้อ 3 -4 ขอ้ ละ 1 คะแนน ดงั นี้ 1
0.5
เกณฑก์ ารให้คะแนน
0
ตอบถกู ต้อง ครบถ้วน ชัดเจน วธิ ีคิดสอดคล้องกบั ที่เรยี น
ตอบถกู ต้อง แต่ยังไม่ครบถ้วน หรอื ไม่ชดั เจน หรอื วิธีคิดไม่สอดคล้องกับ
ทีเ่ รยี น
ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

เล่มที่ 2 สมบตั เิ ชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น