รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น ก

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD)
เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน ชุดนี้ จัดทำขึน้ ตามมาตรฐานการเรียนรแู้ ละผลการเรียนรู้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560)
เพื่อแก้ปัญหานักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร์ กระตุ้นให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด
เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง มีการ
เรียงลำดบั เนือ้ หาจากงา่ ยไปหายาก มที ้ังหมด 7 เลม่ ดังน้ี

เลม่ ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบัติเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากทีส่ องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 4 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มท่ี 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน
เล่มที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 7 สมการพหุนามตวั แปรเดียว
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เล่มที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน มีเนื้อหาประกอบด้วย
คำชี้แจงเกี่ยวกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้สำหรับครูและ
นักเรียน สาระสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อน - หลังเรียน
และเฉลยบัตรกิจกรรม เฉลยบัตรงาน เฉลยแบบทดสอบกอ่ น - หลงั เรยี น

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ
เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรมการ
เรียนรู้ ทำให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูงขึ้น เป็นสื่อที่มีประสิทธิภาพสำหรับครูที่สนใจ
นำไปใช้ในการพัฒนานักเรียน และสามารถอำนวยประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ให้บรรลุตาม
วตั ถุประสงค์ของหลักสูตรได้

อุมาวดี เสน็ อุมา
ครชู ำนาญการ

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

ข

สารบัญ

เรือ่ ง หนา้
คำนำ ก
สารบัญ ข
คำชแี้ จงเก่ยี วกับชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ ง
คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู จ
คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับนักเรียน ช
ผังมโนทศั น์ขน้ั ตอนการเรยี นรู้ ซ
ผลการเรยี นรู้ และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1
แบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น 2
สาระสำคัญรปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอ้ น 5
บตั รคำส่ังที่ 5.1 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอ้ น 7
บัตรเนอื้ หาที่ 5.1 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น 8
บัตรกิจกรรมที่ 5.1 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซ้อน 14
บตั รงานที่ 5.1 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซอ้ น 18
บตั รคำส่งั ที่ 5.2 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซอ้ น 21
บตั รเนอื้ หาที่ 5.2 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น 23
บตั รกิจกรรมที่ 5.2 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซ้อน 28
บัตรกิจกรรมที่ 5.3 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซ้อน 31
บตั รงานที่ 5.2 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอ้ น 33
แบบทดสอบหลงั เรยี น เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น 38
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน 41
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 5.1 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซอ้ น 42
เฉลยบตั รงานที่ 5.1 รปู เชงิ ขั้วของจำนวนเชิงซ้อน 48

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ค
ค
สารบญั (ต่อ)

เรือ่ ง หนา้
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 5.2 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอ้ น 53
เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 5.3 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอ้ น 55
เฉลยบัตรงานที่ 5.2 รปู เชงิ ข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน 58
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น เล่มที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน 62
ตารางบันทึกคะแนน 63
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 64
บรรณานกุ รม 70

เล่มที่ 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น ง

คำชีแ้ จงเกีย่ วกับชุดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. เอกสารเล่มนีเ้ ปน็ ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมอื เทคนิคการแบ่งกลุ่ม
สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน มีทั้งหมด 7 เลม่ ดังน้ี
เลม่ ที่ 1 จำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 2 สมบตั ิเชงิ พีชคณิตของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 3 รากที่สองของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 4 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อน
เลม่ ที่ 6 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 7 สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว

2. ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้เลม่ นี้ เป็นเลม่ ที่ 5 เรือ่ ง รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย
2.1 คำชี้แจงเกีย่ วกับชดุ กิจกรรมการเรียนรู้
2.2 คำแนะนำสำหรบั ครู
2.3 คำแนะนำสำหรับนักเรียน
2.4 ผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้และสาระสำคัญ
2.5 แบบทดสอบกอ่ นเรียน
2.6 บัตรคำสงั่
2.7 บัตรกิจกรรม / เฉลยบัตรกิจกรรม
2.8 บัตรเนือ้ หา
2.9 บัตรงาน / เฉลยบตั รงาน
2.10 แบบทดสอบหลังเรยี น
2.11 ตารางบันทึกคะแนน / เกณฑ์การใหค้ ะแนน
2.12 บรรณานุกรม

3. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ใชเ้ วลาเรียน 4 ชวั่ โมง
4. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เล่มนี้ ประเมินผลการเรียนรู้จากแบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 5

จำนวน 10 ข้อ คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลาในการสอบ 15 นาที

เล่มที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

จ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน ครูมีบทบาทสำคัญ ในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรเตรียมความ
พร้อมและปฏิบตั ิตามคำแนะนำ ดังน้ี

1. ศึกษารายละเอียดต่าง ๆ ท้ังด้านเนื้อหา วิธีการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ ข้ันตอนการ
ดำเนินกิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนการสอนด้วยเทคนิคการแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์
(STAD) ให้เข้าใจชดั เจน ดังน้ี
1.1 ขั้นท่ี 1 ขั้นนำเสนอเนื้อหา ครูจะทบทวนพื้นฐานความรู้เดิม จากนั้นครูสอน
เนื้อหาใหม่กับนักเรียนกลุ่มใหญ่ท้ังชั้น
1.2 ข้ันท่ี 2 ขั้นทำงานเป็นทีม นักเรียนจะต้องทำงานเป็นกลุ่ม ปฏิบัติกิจกรรม
ร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียน
ศกึ ษาตัวอย่าง ถ้านกั เรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้ฟัง
จนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคนเข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี
มีผลให้สามารถทำแบบทดสอบย่อยได้คะแนนสูง ทำให้คะแนนความก้าวหน้าสูง
และส่งผลให้คะแนนของกลุ่มสูงไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่อย่าง
ใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบายเม่ือนักเรียนมีปัญหาและไม่สามารถหา
คำตอบได้ในกลุ่ม

1.3 ข้ันท่ี 3 ข้ันทดสอบย่อย เพื่อวัดความรู้ความเข้าใจในเนื้อหาที่เรียน ซึ่งนักเรียน
แต่ละคนต้องทำบตั รงาน และแบบทดสอบด้วยตนเองไม่มีการชว่ ยเหลอื กนั

1.4 ข้ันท่ี 4 ขั้นคิดคะแนนความก้าวหน้า คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบ
จะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนนรายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกลุ่ม
โดยครูติดวิธีการหาคะแนนความก้าวหน้า และการหาคะแนนกลุ่มไว้ที่บอรด์ ของ
ห้องเรียน เม่ือเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนนกลุ่มมากที่สุดจะได้รับ
รางวัล

1.5 ข้ันท่ี 5 ขั้นชมเชย ยกย่อง นักเรียนคนใดและกลุ่มใด ทำคะแนนได้มากทีส่ ุดหรือ
ทำคะแนนได้ดีกว่าคร้ังก่อนจะได้รับ คำชมเชยหรอื รางวัล

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

ฉ

คำแนะนำการใชช้ ดุ กิจกรรมสำหรบั ครู (ต่อ)

2. ศกึ ษาค้นคว้าเนื้อหาเพิม่ เติมลว่ งหน้า และเตรียมความพร้อมกอ่ นใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้

3. แบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 – 5 คน คละความสามารถ คือ คนเก่ง
ปานกลาง และออ่ น ใช้อัตราส่วน 1:2:1

4. ชีแ้ จงให้นักเรียนทราบวิธีการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้

5. แจ้งผลการเรียนรู้และจดุ ประสงค์การเรียนรู้แกน่ ักเรียน

6. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นรายบุคคล เพื่อนำคะแนนที่ได้ไปใช้เป็นคะแนน

ฐานของตนเอง และคะแนนฐานเฉลีย่ ของกลุม่ ตอ่ ไป

คะแนนฐานของตนเอง คือ ร้อยละของคะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เลม่ ที่ 5

คะแนนทดสอบกอ่ นเรียน เล่มที่ 5  100
10

คะแนนฐานเฉลี่ยของกล่มุ คือ คา่ เฉลีย่ ของคะแนนฐานของสมาชิกในกลุ่ม

คะแนนทดสอบยอ่ ย คือ ร้อยละของคะแนนหลังเรียน

7. ให้คำแนะนำและอำนวยความสะดวกในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

8. หลังจัดกิจกรรมการเรียนรู้เรียบร้อยแล้วให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน

เป็นรายบุคคล

เล่มที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น ช

คำแนะนำการใชช้ ุดกิจกรรมสำหรบั นกั เรยี น

ในการศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคการ
แบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุดต่อนักเรียนเอง
ก่อนที่จะศึกษานักเรียนควรปฏิบัติตามคำแนะนำ ดังนี้

1. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เล่มที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน
ใช้เวลา 4 ช่ัวโมง

2. นักเรียนอ่านคำชี้แจงเกี่ยวกับชุดกิจกรรมและคำแนะนำสำหรับนักเรียนให้เข้าใจ
3. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 5 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที เป็นรายบุคคล

เพื่อประเมินความรู้พื้นฐานของนักเรียน แล้วตรวจคำตอบจากเฉลยแบบทดสอบก่อน
เรียนและบนั ทึกคะแนนที่ได้
4. นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม และบัตรกิจกรรมร่วมกัน ซึ่งครูจะแจกชุดกิจกรรมให้
นักเรียนคนละ 1 เล่ม ให้นักเรียนศึกษาเน้ือหา ตัวอย่าง ถ้านักเรียนไม่เข้าใจก็ให้เพื่อนใน
กลุ่มที่มีความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ การอธิบายมีจุดประสงค์เพื่อให้สมาชิกทุกคน
เข้าใจบทเรียนเป็นอย่างดี มีผลให้สามารถทำแบบทดสอบได้คะแนนสูง ทำให้คะแนน
ความก้าวหนา้ สูง และส่งผลใหค้ ะแนนของกลุม่ สูงไปด้วย ในการทำงานกลุ่มครูจะดูแลอยู่
อย่างใกล้ชิด คอยให้คำแนะนำหรืออธิบาย เม่ือนักเรียนมีปัญหาและไม่สามารถหา
คำตอบได้ในกล่มุ
5. ทำแบบทดสอบหลังเรียนเล่มที่ 5 จำนวน 10 ข้อ เวลา 15 นาที ด้วยตนเอง ไม่มีการ
ชว่ ยเหลอื กนั เพื่อทราบความก้าวหน้าในการเรียนของนกั เรียน
6. คะแนนที่นักเรียนทำได้จากการทดสอบจะถือเป็นคะแนนรายบุคคล แล้วนำคะแนน
รายบุคคลไปแปลงเป็นคะแนนกลุ่ม เม่ือเรียนจบหน่วยการเรียนรู้กลุ่มใดมีคะแนนกลุ่ม
มากทีส่ ดุ จะได้รับรางวลั
7. ในการทำ บัตรกิจกรรม บัตรงาน แบบทดสอบก่อนเรียน และแบบทดสอบหลังเรียน
ขอให้นักเรียนท ำด้วยความตั้งใจและ มีความซื่อสัตย์ต่อตนเองให้มากที่สุด
โดย “นกั เรยี นตอ้ งไม่เปิดดูเฉลยลว่ งหนา้ ”

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

ซ

ผังมโนทศั น์ขนั้ ตอนการเรียนรู้

อ่านคำชีแ้ จงสำหรบั นกั เรียน

ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ศึกษาบัตรเนือ้ หา
ศกึ ษาเนือ้ หาและตวั อย่าง
ทำบตั รกิจกรรม/ตรวจบัตรกิจกรรม
ทำบัตรงาน/ตรวจบัตรงาน

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ประเมินผล ไมผ่ ่านเกณฑ์

ผา่ นเกณฑ์

บนั ทึกคะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน
คำนวณคะแนนพัฒนาการของกลมุ่
ประกาศชมเชย

ศึกษาชดุ กิจกรรมการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ เล่มต่อไป

เล่มที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

1

ผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน
เล่มที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น

ผลการเรียนรู้
เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนและใช้สมบตั ิของจำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปญั หา

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

1. ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1.1 อธิบายความหมายของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขว้ั ได้

1.2 หาคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขว้ั ได้

1.3 หาผลคูณ และผลหารของจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ข้ัวได้

1.4 นำความรเู้ รือ่ งการเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงข้ัวไปใช้แก้ปญั หาได้

2. ด้านทกั ษะ นักเรียนมีความสามารถ
2.1 ในการแก้ปัญหา
2.2 ในการใช้ภาษาและสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตรใ์ นการสอ่ื สาร และการนำเสนอ

3. ด้านคุณลักษณะ ปลกู ฝังให้นกั เรียนมีพฤติกรรม ดงั นี้
3.1 มีความซื่อสตั ย์
3.2 มีระเบียบวินยั
3.3 ใฝ่เรียนรู้
3.4 มุ่งมัน่ ในการทำงาน

4. ด้านสมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี น นักเรียนมีความสามารถ

4.1 ในการส่อื สาร
4.2 ในการแก้ปัญหา

เลเ่มลทม่ ี่ท5ี่ 5รปู รเปู ชเิงชขิงั้วขขวั้ อขงอจงำจนำวนนวเนชเงิชซงิ ้อซนอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

2

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซ้อน
เล่มท่ี 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเครอ่ื งหมายกากบาท () ทับบนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง ที่ถกู ต้องทีส่ ดุ
เพียงคำตอบเดียวเทา่ น้ัน

1. ถ้า 2(cosθ + isin θ) = 3 −i จงหา θ

ก. 

6

ข. 5

6

ค. 7

6

ง. 11

6

2. รูปเชิงขั้วของ z = 2+ 2i ตรงกบั ข้อใด

ก. 2 2 cos  + i sin  
3 3

ข. 2 2 cos  +i sin  
4 4

ค. 4 cos  +i sin  
3 3

ง. 4cos  +i sin  
4 4

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

3

3. รปู เชิงข้ัวของ z = − 3i ตรงกับข้อใด

ก. 3 cos  +i sin  
2 2

ข. 3 cos 3 + i sin 3 
2 2

ค. 3cos 3 +i sin 3 
2 2

ง. 3cos  + i sin  
2 2

4. z = cos  +i sin  เปน็ รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อนใด

44

ก. 2 − 2 i

22

ข. − 2 + 2 i

22

ค. − 2 − 2 i

22

ง. 2 + 2 i

22

5. z =4(cos +isin  ) เปน็ รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อนใด

ก. 4i
ข. − 4i
ค. 4
ง. − 4

6. กำหนด z1 = 3 cos  + i sin   และ z2 = 4 cos  + i sin   แล้ว z1 z2 ตรงกับข้อใด
 3 3   6 6 

ก. 12 3i

ข. −12 3i

ค. 12i

ง. −12i

เล่มที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

4

7. กำหนด z1 = 8 cos  + i sin   และ z2 = 2 cos  + i sin   แล้ว z1 ตรงกับข้อใด
 2 2   6 6  z2

ก. 2+ 2 3i

ข. 2− 2 3i

ค. − 2+ 2 3i

ง. − 2−2 3i

8. ผลคณู ของ    ( ) ( ) ( )4 cos75 +isin 75 3 cos10 +isin10 2 cos65 +isin 65

มีคา่ ตรงกบั ข้อใด

ก. 12 3 −12i
ข. −12 3 +12i
ค. −12−12 3i
ง. 12−12 3i

9. ถ้า z =a+bi แล้ว a และ b เปน็ ค่าลบ การหามุมของจำนวนเชิงซ้อน ตอ้ งพิจารณาอย่างไร

ก.  − θ
ข.  + θ
ค. 2 − θ

ง. 
θ

10. ถ้าเขียน ( )3 ในรปู a + bi เมือ่ a และ b เป็นจำนวนจริง มีคา่ ตรงกับข้อใด

3+i

ก. 8i

ข. − 8

ค. − 8i

ง. 8cos  + i sin  
6 6
คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้

10

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

5

สาระสำคัญ
รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

กำหนด z = x + yi โดยที่ z  0 เราสามารถเขียน z ด้วยเวกเตอร์บนระนาบ ได้ดังน้ี

Y

OX

ถ้า r แทน ขนาดของเวกเตอร์ OZ ดงั นั้น

1) cos = x  x = r cos
r sin
r r cos + ri sin

2) sin = y y =

r

3) z = x + yi  z =

 z = r(cos + i sin )

เมือ่ r = x2 + y2 และ tan = y โดยที่ x  0 เราเรียก

x

z = r(cos + i sin ) ว่าเป็นรปู เชิงขว้ั (Polar form) ของ z

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

6

สาระสำคัญ (ต่อ)
รปู เชิงขั้วของจำนวนเชิงซอ้ น

ทฤษฎีบท ให้ z1 = r1(cos1 + i sin1) และ z2 = r2 (cos2 + i sin2 )

โดยที่ z1  0 และ z2  0 จะได้วา่

1) z1z2 = r1r2[cos(1 +2 ) + i sin(1 +2 )]

2) 1 = 1 (cos2 − i sin  2 )
r2
z2

3) z1 = r1 [cos(1 − 2 ) + i sin(1 − 2 )]
= r2
z2
r1[cos(−1) + i sin(−1)]
4) z1

ทฤษฎีบทของเดอร์มวั ฟวร์ (De Moivre’s Theorem)
ให้ z = r(cos + i sin ) เปน็ จำนวนเชิงซ้อนทีไ่ ม่เป็นศนู ย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ว่า

zn = rn cos(n ) + i sin(n )

ทฤษฎีบท
ถ้า z = r(cos + i sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เปน็ ศนู ย์ และ n เปน็ จำนวนเต็ม แล้ว

zn = rn cos(n ) + i sin(n )

เล่มที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน บัตรคำสัง่ ที่ 5.1

รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซอ้ น

จุดประสงค์การเรียนรูด้ ้านความรู้

1. นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของจำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั ได้
2. นกั เรียนสามารถหาคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขว้ั ได้

คำส่ัง : ให้สมาชิกทุกคนของแตล่ ะกลุ่มปฏิบตั ิกิจกรรมตามข้ันตอนดังต่อไปนี้

1. ศกึ ษาบัตรเนอื้ หาที่ 5.1 แลกเปลี่ยนเรียนรู้ ถ้านกั เรียนไมเ่ ข้าใจก็ให้เพื่อนในกลุ่มทีม่ ี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟงั จนเข้าใจ

2. ตวั แทนกลุ่ม 1 กล่มุ (โดยการสมุ่ ของครู) สรปุ เนื้อหาที่ 5.1
3. ทำบตั รกิจกรรมที่ 5.1 โดยแลกเปลี่ยนเรียนรู้ภายในกลุ่ม
4. ตวั แทนกลมุ่ 2 กลุม่ (โดยการสุ่มของคร)ู นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน
5. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจากบัตรเฉลย

และสรุปคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกิจกรรม หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์การประเมินให้
ทบทวนบัตรเนือ้ หาที่ 5.1 ใหม่
6. ทำบัตรงานที่ 5.1 แล้วแลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลมุ่ โดยตรวจสอบ
ความถูกต้องจากเฉลยบัตรงานที่ 5.1 และบนั ทึกคะแนนทีไ่ ด้ หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์
การประเมนิ ให้ทบทวนบัตรเนื้อหาที่ 5.1 ใหม่ และทำบตั รงานที่ 5.1 อีกครั้ง

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

8

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซ้อน บตั รเนือ้ หาท่ี 5.1

ถ้า z = x + yi เปน็ จำนวนเชิงซอ้ นทไี่ มเ่ ปน็ ศนู ย์ สามารถเขียน z ด้วยเวกเตอร์บน
ระนาบเชิงซอ้ น ได้ดังนี้

Y

z = x + yi

ry

θ X
Ox

เมือ่ กำหนดให้ r แทนระยะทางระหวา่ งจุดกำเนิด O กับ z และ θ เป็นขนาดของมมุ
ซ่งึ ถ้าวดั มมุ ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยงั OZ จะได้ θ  0 และถ้าวดั มมุ
ตามเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยงั OZ จะได้ θ  0 และได้ความสัมพันธ์ดังนี้

1) cos =x  x= r cos
2) sin  y= r sin
3) z r  z= r cos + ri sin

=y

r

= x + yi

 z = r(cos + i sin )

เมือ่ r = x2 + y2 และ tan = y โดยที่ x  0 เราเรียก

x

1) z = r(cos + isin) ว่าเปน็ รูปเชิงขั้ว (Polar form) ของ z

2)  ว่า อาร์กิวเมนต์ (Argument) ของ z

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 9

3) สำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ เราได้
cos( + 2k ) = cos และ sin( + 2k ) = sin
ดังนั้น z = r cos(2k + ) + i sin(2k + ) = r(cos + i sin )

ให้ z1 = r1 (cos1 +isin 1) และ z2 = r2 (cos2 + i sin 2) เป็นจำนวนเชิงซอ้ น
ถ้า z1 = z2 จะได้วา่ z1 = z2 น่นั คือ r1 = r2 และเนือ่ งจาก cos1 = cos2 และ
sin 1 = sin 2 กต็ อ่ เมือ่ 1 −2 = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น 3 + i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงข้ัว

วธิ ที ำ ให้ z = 3 + i จะได้ x = 3 และ y = 1

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = ( 3)2 +12 = 3+1 = 4 = 2

หา  จาก tan = y

x

= 1 ซ่งึ ( 3,1) เปน็ จดุ ในจตุภาคที่ 1

3

จะได้วา่  คา่ หนึ่ง ที่ทำให้ tan = 1 คือ 

36

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ 3 + i = 2cos  + i sin  
6 6

ดงั น้ัน รูปเชิงขั้วรปู หนึง่ ของ 3 + i คือ 2cos + isin  
6 6

และรูปเชิงข้ัวทว่ั ไปของ 3+i คือ 2 cos  + 2k  + i sin  + 2k   เมื่อ k
 6  6 

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 10

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น − 4 − 4 3i ใหอ้ ยใู่ นรปู เชิงข้ัว

วธิ ที ำ ให้ z =− 4 − 4 3i จะได้ x = − 4 และ y = − 4 3

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = (−4)2 + (−4 3)2 = 16+ 48 = 64 = 8

หา  จาก tan = y

x

= −4 3
−4

= 3 ซ่งึ (−4,− 4 3) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 3

จะได้วา่  คา่ หนึ่ง ทีท่ ำให้ tan = 3 คือ 4

3

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 4− 4 3 i = 8cos 4 + isin 4 
3 3

ดังน้ัน รปู เชิงขั้วรปู หนึง่ ของ − 4 − 4 3i คือ 8cos 4 + i sin 4 
3 3

และรปู เชิงขวั้ ทว่ั ไปของ −4−4 3i คือ 8 cos 4 + 2k  + i sin 4 + 2k   เมือ่ k
 3  3 

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

11

ตัวอย่างท่ี 3 จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น −1 + i ใหอ้ ยูใ่ นรปู เชิงข้ัว

วธิ ที ำ ให้ z =−1 + i จะได้ x = −1 และ y = 1

จากสตู ร r = x2 + y2
จะได้ r = (−1)2 +12 = 1+1 = 2

หา  จาก tan = y

x
=1

−1

= −1 ซ่งึ (−1,1) เป็นจดุ ในจตุภาคที่ 2

จะได้วา่  คา่ หนึง่ ทีท่ ำให้ tan = −1 คือ 3

4

เนือ่ งจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ −1 + i = 2cos 3 + i sin 3 
4 4

ดังน้ัน รปู เชิงขั้วรปู หนึ่งของ −1 + i คือ 2cos 3 + isin 3 
4 4

และรปู เชิงขั้วท่วั ไปของ −1 + i คือ 2  cos 3 + 2k  + i sin 3 + 2k   เมือ่ k
 4  4 

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

12

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น − 5i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงขั้ว

วธิ ที ำ ให้ z =− 5i จะได้ x = 0 และ y = − 5

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = 02 + (−5)2 = 0 + 25 = 5

หา  จาก tan = y

x

จะได้ (0,− 5) อยู่บนแกน Y ทางดา้ นลบ

จะได้  = 3
เนื่องจาก 2

z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 5i = 5cos 3 + i sin 3 
2 2

ดังน้ัน รูปเชิงขั้วรปู หนึ่งของ − 5i คือ 5cos 3 + isin 3 
2 2

และรปู เชิงขั้วทั่วไปของ − 5i คือ 5 cos 3 + 2k  + i sin 3 + 2k   เมื่อ k
 2  2 

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

13

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาค่าของ r และ  เมื่อกำหนด r(cos2 +isin 2) = 3 + i

และ 0    2

วธิ ที ำ เนื่องจาก r = 3 +i = ( 3)2 +12 = 3 + 1 = 4 = 2

และ 3+i = 2 3 + i 
2 2

= cos  + i sin  
6 6

=  cos  + 2k  + i sin   + 2k   เมื่อ k
 6   6 

ดงั น้ัน 2 =  + 2k เมื่อ k

6

นนั่ คือ  =  + k เมื่อ k

12

แตเ่ นอื่ งจาก 0    2 ดงั น้ัน คา่ k ที่เปน็ ไปได้ คือ 0 และ 1

ซง่ึ ทำให้ได้วา่ r = 2 และ  =  หรือ  =  +  = 13

12 12 12

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

14

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เลม่ ท่ี 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อน บัตรกิจกรรมที่ 5.1

กิจกรรม ตามลา่ หาสมบัติ

จดุ ประสงค์ 1. นักเรียนสามารถอธิบายความหมายของจำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขวั้ ได้
2. นักเรียนสามารถหาคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขวั้ ได้

สมาชิก1) ................................................................. ระดบั ชั้น............... เลขที่ ...............
2) ................................................................ ระดับช้ัน............... เลขที่ ...............
3) ................................................................ ระดับชั้น............... เลขที่ ...............
4) ................................................................ ระดบั ช้ัน................ เลขที่ ...............
5) ................................................................ ระดบั ช้ัน................ เลขที่ ...............

คำชีแ้ จง ให้นักเรียนช่วยกันค้นหาสมบตั ิทีค่ ณุ ปู่เก็บไว้ ซึง่ ขณะนคี้ ุณป่มู ีอาการหลง ๆ ลืม ๆ
จงึ จำไมไ่ ด้ว่าเก็บสมบตั ิไว้ทีใ่ ด โดยใหน้ ักเรียนแต่ละกลุม่ ปฏิบตั ิตามข้ันตอน ดงั น้ี
ตอนท่ี 1 ให้นักเรียนเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนีใ้ ห้อยใู่ นรปู เชิงข้ัว พร้อมทั้งแสดงวิธีคิดใหถ้ ูกต้อง
1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 4 ให้อยู่ในรปู เชงิ ขว้ั

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

15

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 1 + i ให้อยู่ในรูปเชงิ ขว้ั

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 2 − 2i ให้อยู่ในรปู เชงิ ขวั้

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

16

4. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 3 + i ให้อยู่ในรูปเชงิ ขวั้

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

5. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 1 − 3i ให้อยู่ในรปู เชงิ ขวั้

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

17

ตอนที่ 2 ให้นกั เรียนนำคำตอบจากตอนที่ 1 จบั คู่กบั รหัสทีก่ ำหนดใหแ้ ละนำรหัสเติมในคำใบ้

แล้วเดินทางตามแผนทีเ่ พอื่ ไปคน้ หาสมบัติของคุณปู่

คำตอบ รหสั คำตอบ รหสั

4(cos 3 + i sin 3 ) 3 2(cos 5 + i sin 5 ) 2
22 4
44 3
4(cos + i sin  )
2(cos 5 + i sin 5 ) 5 2(cos 5 + i sin 5 )

66 33

4 2(cos  + i sin  )

44

คำใบท้ ี่ซอ่ นสมบตั ิ
จากจดุ เริ่มตน้ ให้เดินไปทางทิศใต้ (1)………………หนว่ ย แล้วไปทางทิศตะวนั ออก

(2) ……………หนว่ ย จากนน้ั ไปทางทศิ เหนือ (3) …….………หนว่ ย กอ่ นจะเลี้ยวไปทาง
ทิศตะวนั ตกอีก (4) ………..……หน่วย จากนั้นมงุ่ หน้าไปทางทิศใต้ (5) …..………หน่วย
กอ่ นจะพบทีซ่ ่อนสมบัติ

แผนทีค่ น้ หาสมบตั ิของคณุ ปู่

สมบตั ิซ่อนอยทู่ ่ี

......................
......................

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

18
เกณฑ์การตดั สิน ได้คะแนนต้งั แต่ 13 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

18

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รงานที่ 5.1

คำสั่ง ให้นกั เรียนเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปนใี้ ห้อย่ใู นรูปเชงิ ขว้ั พร้อมทั้งแสดงวิธีคิดใหถ้ ูกต้อง

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 3i ให้อยใู่ นรูปเชิงข้ัว

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 1 − i ให้อยูใ่ นรูปเชิงข้ัว

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

19

3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 2 3 +2i ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

4. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 4 − 4i ให้อยใู่ นรูปเชิงข้ัว

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

20

5. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 12 − 12 3i ให้อยู่ในรูปเชิงข้ัว

วิธีทำ...........................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
ตอบ ........................................................................................................................

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

10

เกณฑ์การตัดสิน ไดค้ ะแนนต้ังแต่ 7 คะแนนขึน้ ไป จงึ ผา่ นเกณฑ์

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

21

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชิงซอ้ น บัตรคำสง่ั ที่ 5.2

รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

จุดประสงคก์ ารเรียนรูด้ ้านความรู้

1. นักเรียนสามารถหาผลคณู และผลหารของจำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขวั้ ได้
2. นกั เรียนสามารถหาคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ข้ัวได้
3. นกั เรียนสามารถนำความรู้การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงขั้วไปใช้แก้ปัญหาได้

คำส่งั : ให้สมาชิกทุกคนของแตล่ ะกลุ่มปฏิบัติกิจกรรมตามข้ันตอนดงั ต่อไปนี้

1. ศกึ ษาบตั รเนือ้ หาที่ 5.2 แลกเปลีย่ นเรียนรู้ ถ้านกั เรียนไม่เข้าใจกใ็ ห้เพือ่ นในกลุ่มที่มี
ความเข้าใจอธิบายให้ฟังจนเข้าใจ

2. ตวั แทนกลมุ่ 1 กลมุ่ (โดยการสมุ่ ของคร)ู สรปุ เนื้อหาที่ 5.2
3. ทำบัตรกิจกรรมที่ 5.2 โดยแลกเปลีย่ นเรียนรู้ภายในกลุ่ม
4. ตัวแทนกลมุ่ 2 กลุ่ม (โดยการสมุ่ ของคร)ู นำเสนอผลงานหน้าช้ันเรียน
5. แลกเปลี่ยนกันตรวจกับสมาชิกภายในกลุ่ม โดยตรวจสอบความถูกต้องจากบัตรเฉลย

และสรุปคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกิจกรรม หากคะแนนไม่ผ่านเกณฑ์การประเมินให้
ทบทวนบัตรเนอื้ หาที่ 5.2 ใหม่

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

22

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รคำส่งั ที่ 5.2

6. ส่งตวั แทนกลุ่มจับฉลากโจทย์ทีต่ อ้ งรับผดิ ชอบ กล่มุ ละ 1 ข้อ และรับอปุ กรณ์จากครู
7. ทำบัตรกิจกรรมที่ 5.3 โดยแลกเปลีย่ นเรียนรู้ภายในกลุ่ม
8. ตัวแทนกลมุ่ นำเสนอผลงานหนา้ ชั้นเรยี น
9. ทำบตั รงานที่ 5.2 แล้วแลกเปลีย่ นกนั ตรวจกบั สมาชิกภายในกลมุ่ โดยตรวจสอบ

ความถูกต้องจากเฉลยบตั รงานที่ 5.2 และบนั ทึกคะแนนทีไ่ ด้ หากคะแนนไม่ผา่ นเกณฑ์
การประเมนิ ให้ทบทวนบัตรเนื้อหาที่ 5.2 ใหม่ และทำบัตรงานที่ 5.2 อีกคร้ัง

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

23

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รเนื้อหาท่ี 5.2

ทฤษฎีบท ให้ z1 = r1(cos1 + i sin1) และ z2 = r2 (cos2 + i sin2 )

โดยที่ z1  0 และ z2  0 จะได้ว่า

1) z1z2 = r1r2[cos(1 +2 ) + i sin(1 +2 )]

2) 1 = 1 (cos2 − i sin  2 )
r2
z2

3) z1 = r1 [cos(1 − 2 ) + i sin(1 − 2 )]
= r2
z2
r1[cos(−1) + i sin(−1)]
4) z1

ตัวอยา่ งท่ี 1 กำหนด z1 = 2 cos  + i sin   และ z2 = 3 cos  + i sin  
 3 3   6 6 

จงหา z1z2

วธิ ที ำ z1z2 = 2 cos  + i sin    3 cos  + i sin   
= 3 3   6 6  
=
(2  3)cos  +   + i sin   +  
3 6   3 6

6cos  + i sin  
2 2 

= 6(0 + i) ตอบ
 z1z2 =
6i

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

24

ตวั อย่างท่ี 2 ( ) ( )กำหนด z1 =10 cos27 +isin 27 และ z2 =8 cos63 +isin 63

จงหา z1z2

วธิ ที ำ  ( ) ( )z1z2 =
10 cos27 +isin 27 8 cos63 +isin 63

 = (108) cos(27 +63) +isin(27 +63)

 = 80 cos90 +i sin 90

= 80(0 + i) ตอบ
 z1z2 = 80i

ตวั อย่างท่ี 3 กำหนด z1 = 2 cos  + i sin   และ z2 = 3 cos  + i sin   จงหา z1
 3 3   6 6  z2

z1 2cos  +i sin  
วธิ ที ำ z2 3 3
=
3cos  +i sin  
6 6

= 2  cos  −   + i sin   −   
3  3 6   3 6

= 2 cos  +i sin  
3 6 6

= 2  3 + 1 i 
3 2 2

 z1 = 3 +1i ตอบ
33
z2

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

25

ตวั อยา่ งท่ี 4 ( ) ( )กำหนด z1 =5 cos230 +isin 230 และ z2 =4 cos170 +isin170

วธิ ที ำ จงหา z1 5(cos230 + i sin 230 )
4(cos170 + i sin 170 )
z2
 5 cos(230 −170 ) +i sin(230 −170 )
z1 =
4
z2 5 (cos60 +i sin 60 )
4
=
5  1 + 3 i 
= 4 2 2

=

 z1 = 5 + 5 3 i ตอบ

z2 8 8

ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนด z1 = 2 3  cos 11 + i sin 11  และ z2 = 4  cos 4 + i sin 4 
 6 6   3 3 
วธิ ที ำ
จงหา z1z2

z1z2 =  3  cos 11 + i sin 11    cos 4 + i sin 4 
2  6 6  4  3 3 

= (2 3)(4)   11 + 4  + i sin  11 + 4 
cos  6 3   6 3 

= 8 3  cos 19 + i sin 19 
 6 6 

= 8 3  − cos  − i sin  
 6 6 

= 8  3 − 1 i 
3  − 2 2 

z1z2 = −12 − 4 3i ตอบ

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

26

ทฤษฎีบทของเดอร์มวั ฟวร์ (De Moivre’s Theorem)

ให้ z = r(cos + i sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไมเ่ ป็นศูนย์ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก
จะได้วา่

zn = rn cos(n ) + i sin(n )

จากทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์ สามารถสรปุ ได้วา่ zn = rn cos(n) + isin(n)
สำหรบั ทกุ จำนวนเตม็ n ดงั ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

ถ้า z = r(cos + i sin ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ n เปน็ จำนวนเตม็ แล้ว
zn = rn cos(n ) + i sin(n )

เล่มที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

27

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขียน  3+ 3 i 12 ให้อยู่ในรปู x + yi
 2 2 

เมือ่ x และ y เปน็ จำนวนจริง

วธิ ที ำ กำหนด z = 3 + 3 i ซง่ึ  3 , 3  เป็นจุดในจตภุ าคที่ 1
22  2 2

3

tan = 2 =1 จะได้  =  และ r=  3 2 +  3 2 = 3
3 4  2  2

2

ดังนั้น z = 3 cos  + i sin  
4 4 

= z12 312  cos  (12) + i sin  (12) 
 4 4 

= 312 (cos3 + i sin 3 )

= −312 ตอบ

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขียน (−2+ 2i)4 ให้อยูใ่ นรปู x + yi
เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง

วธิ ที ำ กำหนด z = −2+ 2i ซ่งึ (−2, 2) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 2

tan = 2 = −1 จะได้  = 3 และ r = (−2)2 + 22 = 2 2

−2 4

ดังน้ัน z = 2 2  cos 3 + i sin 3 
 4 4 

( ) z4 = 4  3 (4) + i sin 3 
 4 4 
2 2 cos (4)

= 64(cos3 + i sin 3 )

= 64(−1+ 0)

= −64 ตอบ

เล่มที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

28

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชิงซ้อน บตั รกิจกรรมท่ี 5.2

จุดประสงค์ 1. นกั เรียนสามารถหาผลคูณ และผลหารของจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงขวั้ ได้

สมาชิก1) .................................................... ............. ระดบั ชั้น............... เลขที่ ...............
2) ................................................................ ระดับช้ัน............... เลขที่ ...............
3) ................................................................ ระดับชั้น............... เลขที่ ...............
4) ................................................................ ระดบั ชั้น................ เลขที่ ...............
5) ................................................................ ระดับชั้น................ เลขที่ ...............

คำสัง่ จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ นต่อไปนีใ้ ห้อยู่ในรปู x + yi

1. กำหนด z1 = 4  cos  + i sin   และ z2 = 5 cos 5 + i sin 5  จงหา z1z2
 12 12  12 12 

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

29

2. กำหนด z1 = 3(cos72 +isin 72) และ z2 = 5(cos63 +isin 63) จงหา z1z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

3. กำหนด z1 = 9(cos415 +isin 415) และ z2 = 6(cos115 +i sin115) จงหา z1
z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

30

4. กำหนด z1 = 5(cos + i sin ) และ z2 = 2  cos 2 + i sin 2  จงหา z1
3 3  z2

วิธีทำ…………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

5. กำหนด z1 = 6 3(cos40 +isin 40) และ z2 = 3(cos190 +isin190) จงหา z1
z2

วิธีทำ…………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

10

เกณฑก์ ารตดั สิน ไดค้ ะแนนตงั้ แต่ 7 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

31

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชิงซอ้ น บตั รกิจกรรมที่ 5.3

กิจกรรม She want to be ……………

จุดประสงค์ 1. นักเรียนสามารถหาคำตอบของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ขวั้ ได้
2. นกั เรียนสามารถนำความรู้การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงขั้วไปใช้ แก้ปัญหาได้

สมาชิก 1) ............................................................... ระดบั ช้ัน............... เลขที่ ...............
2) .............................................................. ระดับช้ัน............... เลขที่ ...............
3) .............................................................. ระดบั ช้ัน............... เลขที่ ...............
4) ............................................................. ระดับช้ัน............... เลขที่ ...............
5) .............................................................. ระดับชั้น................ เลขที่ ...............

คำสง่ั ให้เพ่อื นๆ ชว่ ย กนั หาคณะที่แอนชิ อยากเรียน เมือ่ จบช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6 โดยมี
ขน้ั ตอน ดังนี้

1. ให้นักเรียนชว่ ยกนั หาคำตอบของโจทยท์ ี่กลุ่มตนเองได้รับ โดยแสดงวธิ คี ิดและเขยี นลงใน
กระดาษที่ครแู จกให้

2. นำคำตอบทีไ่ ด้ไปเลอื กใหต้ รงกับรหัสที่กำหนดให้
3. เติมคำตอบ คณะที่แอนชิ อยากเรยี น คือ........................................................
4. นำเสนอหนา้ ชั้นเรียน

เล่มที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

32

โจทยป์ ัญหาของแตล่ ะกลุ่ม ดงั นี้

1. จงเขียน ( 3 + i)4 ในรูป x + yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง
2. จงเขียน (−2 +2 3i)3 ในรปู x + yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง
3. จงเขียน ( 3 − i)6 ในรูป x + yi เมื่อ x และ y เปน็ จำนวนจริง
4. จงเขียน (−1 + i)2 ในรปู x + yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง

คำตอบ รหสั
-64 1. คณะเศรษฐศาสตร์
-3i 2. คณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี
-2i 3. คณะบริหารธรุ กจิ
64 4. คณะนิติศาสตร์
5. คณะรัฐศาสตร์
− 8+8 3i 6. คณะวทิ ยาการจดั การ
7. คณะสังคมศาสตร์
− 4+ 4 3i 8. คณะศิลปศาสตร์

100
-100

คณะทีแ่ อนชิ อยากเรยี น คือ........................................................

คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้

5

เกณฑก์ ารตัดสิน ไดค้ ะแนนตง้ั แต่ 3.5 คะแนนขึน้ ไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

33

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เลม่ ท่ี 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชิงซ้อน บัตรงานที่ 5.2

คำส่ัง 1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนีใ้ หอ้ ยู่ในรปู x + yi

1. กำหนด z1 = 12  cos 2 + i sin 2  และ z2 = 6  cos 8 + i sin 8  จงหา z1z2
5 5   5 5 

วิธีทำ…………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

ตอบ ...............................................................................................................

2. กำหนด z1 = 3(cos15 +isin15) และ z2 = 2(cos75 +isin 75) จงหา z1z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 34

3. กำหนด z1 = 7(cos200 +isin 200) และ z2 = 5(cos205 +isin 205)
จงหา z1z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

4. กำหนด z1 = 6 ( cos  + i sin ) และ z2 = 3 cos  + i sin   จงหา z1
6 6  z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

35

5. กำหนด z1 = 2(cos30 +isin 30) และ z2 = 8(cos240 +isin 240) จงหา z1
z2

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

6. จงเขียน ( )3 ให้อยู่ในรูป x+ yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง

3+i

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เล่มที่ 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

36

7. จงเขียน (1− )5 ให้อยใู่ นรปู x+ yi เมือ่ x และ y เปน็ จำนวนจริง

3i

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

8. จงเขียน ( 2+ )5 ให้อย่ใู นรูป x+ yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง

2i

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

37

9. จงเขียน  3 + i 100 ให้อยูใ่ นรูป x + yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง
 2 2 

วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
ตอบ ...............................................................................................................

คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้

18

เกณฑก์ ารตัดสิน ไดค้ ะแนนตงั้ แต่ 13 คะแนนขึ้นไป จงึ ผ่านเกณฑ์

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 38

แบบทดสอบหลงั เรียน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น
เลม่ ท่ี 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอ้ น
จำนวน 10 ขอ้ เวลา 15 นาที

คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเครอ่ื งหมายกากบาท () ทบั บนตวั เลือก ก, ข, ค หรอื ง ที่ถกู ต้องที่สดุ

เพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

1. รปู เชิงขั้วของ z = − 3i ตรงกบั ข้อใด

ก. 3 cos 3 + i sin 3 
2 2

ข. 3cos 3 +i sin 3 
2 2

ค. 3cos  + i sin  
2 2

ง. 3 cos  +isin  
2 2

2. z =4(cos +isin  ) เปน็ รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซ้อนใด

ก. − 4i
ข. 4i
ค. − 4
ง. 4

3. รูปเชิงข้ัวของ z = 2+ 2i ตรงกบั ข้อใด

ก. 4 cos  +i sin  
3 3

ข. 4cos  +i sin  
4 4

ค. 2 2 cos  + i sin  
3 3

ง. 2 2 cos  +i sin  
4 4

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

39

4. ถ้า z =a+bi แล้ว a และ b เป็นคา่ ลบ การหามมุ ของจำนวนเชิงซ้อน

ต้องพิจารณาอยา่ งไร

ก. π − θ

ข. π
θ

ค. π + θ

ง. 2π − θ

5. ถ้า 2(cosθ + isin θ) = 3 −i จงหา θ

ก. 11

6

ข. 7

6

ค. 5

6

ง. 

6

6. ถ้าเขยี น ( )3 +i 3 ในรปู a +bi เมื่อ a และ b เปน็ จำนวนจริง มีค่าตรงกับข้อใด

ก. − 8

ข. − 8i

ค. 8i

ง. 8cos  + i sin  
6 6

7. กำหนด z1 = 3 cos  + i sin   และ z2 = 4 cos  + i sin   แล้ว z1 z2 ตรงกับ
 3 3   6 6 

ข้อใด

ก. 12 3i
ข. −12 3i
ค. 12i
ง. −12i

เล่มที่ 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

40

8. z = cos  +i sin  เป็นรปู เชิงข้ัวของจำนวนเชิงซ้อนใด

44

ก. 2 + 2 i

22

ข. 2 − 2 i

22

ค. − 2 + 2 i

22

ง. − 2 − 2 i

22

9. กำหนด z1 = 8 cos  + i sin   และ z2 = 2 cos  + i sin   แล้ว z1 ตรงกับข้อใด
 2 2   6 6  z2

ก. 2+ 2 3i

ข. 2− 2 3i

ค. − 2+ 2 3i

ง. − 2−2 3i

10.    ( ) ( ) ( )4 cos75 +isin 75 3 cos10 +isin10 2 cos65 +isin 65 มีค่าตรงกับข้อใด

ก. 12−12 3i
ข. 12 3 −12i
ค. −12−12 3i
ง. −12 3 +12i

คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้

10

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

41

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ขอ้ ตัวเลือก
1ง
2ข
3ค
4ง
5ง
6ค
7ก
8ข
9ข
10 ก

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น