รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุม่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

42

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 5.1

กิจกรรม ตามลา่ หาสมบตั ิ

คำชีแ้ จง ให้นกั เรียนชว่ ยกันค้นหาสมบตั ิที่คณุ ปเู่ กบ็ ไว้ ซึ่งขณะนีค้ ุณปู่มีอาการหลง ๆ ลืม ๆ
จงึ จำไมไ่ ด้ว่าเกบ็ สมบัติไว้ที่ใด โดยใหน้ กั เรียนแต่ละกลมุ่ ปฏิบตั ิตามขั้นตอน ดังน้ี
ตอนท่ี 1 ให้นกั เรียนเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนีใ้ ห้อยู่ในรปู เชิงขั้ว พร้อมท้ังแสดงวิธีคิดใหถ้ ูกต้อง

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 4 ให้อยู่ในรปู เชิงข้ัว

วิธีทำทำ ให้ z =− 4 จะได้ x = − 4 และ y = 0

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = (−4)2 + 02 = 16 + 0 = 16 = 4

หา  จาก tan = y

x

= 0 ซง่ึ (−4,0) เปน็ จดุ บนแกน x ทางลบ

−4

จะได้วา่  คา่ หนึ่ง ทีท่ ำให้ tan = 0 คือ 

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 4 = 4(cos + i sin  )

ดงั นั้น รูปเชิงขั้วรปู หนึง่ ของ − 4 คือ 4(cos + isin  )

และรปู เชิงข้ัวทวั่ ไปของ − 4 คือ 4(cos( + 2k ) + isin( + 2k )) เมือ่ k

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

43

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 1 + i ให้อย่ใู นรปู เชิงข้ัว

วิธีทำ ให้ z =1+i จะได้ x = 1 และ y = 1

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = 12 +12 = 2

หา  จาก tan = y

x

= 1 ซ่งึ (1,1) เป็นจดุ ในจตุภาคที่ 1

1

จะได้วา่  คา่ หนึ่ง ที่ทำให้ tan = 1 คือ 

4

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ 1+i = 2cos  + isin  
4 4

ดังนั้น รปู เชิงข้ัวรปู หนึง่ ของ 1 + i คือ 2cos + isin  
4 4

และรปู เชิงขั้วทว่ั ไปของ 1 + i คือ 2 cos  + 2k  + i sin   + 2k   เมือ่ k
 4   4

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

44

3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 2 − 2i ให้อยู่ในรปู เชิงข้ัว

วิธีทำ ให้ z =− 2 − 2i จะได้ x = − 2 และ y = − 2

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = (− 2)2 +(− 2)2 = 2+ 2 = 4 = 2

หา  จาก tan = y

x

= − 2 =1 ซ่งึ (− 2 ,− 2) เป็นจดุ ในจตภุ าคที่ 3

−2

จะได้วา่  ค่าหนึ่ง ทีท่ ำให้ tan = 1 คือ  +  = 5

44

เนือ่ งจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 2 − 2 i = 2cos 5 + i sin 5 
4 4

ดงั นั้น รปู เชิงข้ัวรปู หนึง่ ของ − 2 − 2i คือ 2cos 5 + isin 5 
4 4

และรูปเชิงขั้วทั่วไปของ − 2− 2i คือ 2 cos 5 + 2k  + i sin  5 + 2k   เมือ่ k 
 4   4 

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

45

4. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน − 3 + i ให้อยู่ในรปู เชิงขั้ว

วิธีทำ ให้ z =− 3 + i จะได้ x = − 3 และ y = 1

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = (− 3)2 +12 = 3+1 = 4 = 2

หา  จาก tan = y

x

= 1 =− 1 ซง่ึ (− 3,1) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 2

−3 3

จะได้วา่  ค่าหนึง่ ทีท่ ำให้ tan = − 1 คือ  −  = 5

3 66

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 3 + i = 2cos 5 + i sin 5 
6 6

ดังน้ัน รูปเชิงข้ัวรปู หนึง่ ของ − 3 + i คือ 2cos 5 + isin 5 
6 6

และรูปเชิงขวั้ ท่วั ไปของ − 3 +i คือ 2 cos 5 + 2k  + i sin 5 + 2k   เมื่อ k
 6  6 

เล่มที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

46

5. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 1 − 3i ให้อยใู่ นรปู เชิงข้ัว

วิธีทำ ให้ z =1− 3i จะได้ x = 1 และ y = − 3

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = 12 + (− 3)2 = 1+3 = 4 = 2

หา  จาก tan = y

x

= − 3 =− 3 ซ่งึ (1,− 3) เป็นจดุ ในจตุภาคที่ 4

1

จะได้วา่  คา่ หนึง่ ทีท่ ำให้ tan = − 3 คือ 2 −  = 5

33

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ 1− 3i = 2cos 5 + isin 5 
3 3

ดงั นั้น รปู เชิงข้ัวรปู หนึ่งของ 1 − 3i คือ 2cos 5 + isin 5 
3 3

และรูปเชิงข้ัวท่วั ไปของ 1 − 3i คือ 2 cos 5 + 2k  + i sin  5 + 2k   เมื่อ k
 3   3 

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

47

ตอนที่ 2 ให้นักเรียนนำคำตอบจากตอนที่ 1 จบั คูก่ บั รหสั ทีก่ ำหนดใหแ้ ละนำรหัสเติมในคำใบ้

แล้วเดินทางตามแผนทีเ่ พอื่ ไปคน้ หาสมบตั ิของคุณปู่

คำตอบ รหสั คำตอบ รหสั

4(cos 3 + i sin 3 ) 3 2(cos 5 + isin 5 ) (3) 2
22 4
44 3
4(cos + i sin  ) (1)
5 2(cos 5 + i sin 5 ) (5)
2(cos 5 + i sin 5 ) (4)
33
66
4 2(cos  + i sin  ) (2)

44

คำใบท้ ีซ่ อ่ นสมบตั ิ
จากจุดเริม่ ตน้ ให้เดินไปทางทิศใต้ (1) 5 หนว่ ย แล้วไปทางทิศตะวนั ออก

(2) 3 หนว่ ย จากนั้นไปทางทิศเหนือ (3) 2 หน่วย ก่อนจะเลีย้ วไปทาง
ทิศตะวนั ตกอีก (4) 4 หน่วย จากน้ันมุ่งหนา้ ไปทางทิศใต้ (5) 4 หนว่ ย
ก่อนจะพบทีซ่ ่อนสมบตั ิ

แผนทีค่ น้ หาสมบตั ิของคณุ ปู่

สมบัติซอ่ นอยูท่ ่ี

รา้ นตดั ผม .

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรูโ้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

48

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เล่มท่ี 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชิงซอ้ น เฉลยบตั รงานที่ 5.1

คำสงั่ ให้นักเรียนเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปนีใ้ ห้อยใู่ นรูปเชงิ ขวั้ พร้อมทั้งแสดงวิธีคิดใหถ้ กู ต้อง

1. จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น − 3i ให้อย่ใู นรูปเชงิ ข้ัว

วิธีทำ ให้ z =− 3i จะได้ x = 0 และ y = − 3

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = 02 + (−3)2 = 0 + 9 = 3

หา  จาก tan = y ซง่ึ (0,− 3) อยูบ่ นแกน Y ทางดา้ นลบ

x

จะได้  = 3

2

เนือ่ งจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 3i = 3cos 3 + i sin 3 
2 2

ดังน้ัน รปู เชิงขั้วรปู หนึง่ ของ − 3i คือ 3cos 3 + isin 3 
2 2

และรปู เชิงข้ัวทั่วไปของ − 3i คือ 3 cos 3 + 2k  + i sin 3 + 2k   เมือ่ k
 2  2 

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

49

2. จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น 1 − i ให้อย่ใู นรปู เชงิ ข้ัว

วิธีทำ ให้ z =1− i จะได้ x = 1 และ y = −1

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = 12 + (−1)2 = 1+1 = 2

หา  จาก tan = y

x

= −1 =−1 ซ่งึ (1,−1) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 4

1

จะได้วา่  ค่าหนึ่ง ที่ทำให้ tan = −1 คือ 2 −  = 7

44

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ 1− i = 2cos 7 + i sin 7 
4 4

ดงั นั้น รปู เชิงขั้วรปู หนึง่ ของ 1 − i คือ 2cos 7 + isin 7 
4 4

และรปู เชิงขั้วท่ัวไปของ 1 − i คือ 2 cos 7 + 2k  + i sin  7 + 2k   เมือ่ k
 4   4

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน 50

3. จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น − 2 3 +2i ให้อยู่ในรูปเชงิ ขั้ว

วิธีทำ ให้ z =− 2 3 + 2i จะได้ x = − 2 3 และ y = 2

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = (−2 3)2 + 22 = 12+ 4 = 16 = 4

หา  จาก tan = y

x

= 2 =− 1 ซ่งึ (−2 3,2) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 2
−2 3 3

จะได้วา่  คา่ หนึง่ ทีท่ ำให้ tan = − 1 คือ  −  = 5

3 66

เนื่องจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 2 3 + 2i = 4cos 5 + isin 5 
6 6

ดังน้ัน รปู เชิงข้ัวรปู หนึง่ ของ − 2 3 +2i คือ 4cos 5 + isin 5 
6 6

และรูปเชิงข้ัวทั่วไปของ −2 3 + 2i คือ 4 cos 5 + 2k  + i sin  5 + 2k   เมื่อ k
 6   6 

เล่มที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น 51

4. จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ น − 4 − 4i ให้อยใู่ นรปู เชงิ ขั้ว

วธิ ที ำ ให้ z =− 4 − 4i จะได้ x = − 4 และ y = − 4

จากสูตร r = x2 + y2

จะได้ r = (−4)2 + (−4)2 = 16 +16 = 32 = 4 2

หา  จาก tan = y

x
= −4

−4

= 1 ซ่งึ (−4,− 4) เป็นจุดในจตุภาคที่ 3

จะได้วา่  คา่ หนึง่ ทีท่ ำให้ tan = 1 คือ  +  = 5

44

เนือ่ งจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ − 4− 4i = 4 2cos 5 + i sin 5 
4 4

ดังนั้น รปู เชิงขั้วรปู หนึง่ ของ − 4 − 4i คือ 4 2cos 5 + isin 5 
4 4

และรูปเชิงข้ัวท่วั ไปของ − 4 − 4i คือ 4 2  cos 5 + 2k  + i sin 5 + 2k   เมื่อ k
 4  4 

เล่มที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

52

5. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน 12 − 12 3i ให้อย่ใู นรูปเชิงข้ัว

วิธีทำ ให้ z =12− 12 3i จะได้ x = 12 และ y = −12 3

จากสตู ร r = x2 + y2

จะได้ r = 122 + (−12 3)2 = 576 = 24

หา  จาก tan = y

x

= −12 3 = − 3 ซง่ึ (12,−12 3) เป็นจุดในจตุภาคที่ 4

12

จะได้วา่  คา่ หนึ่ง ทีท่ ำให้ tan = − 3 คือ 2 −  = 5

33

เนือ่ งจาก z = r(cos + i sin  )

จะได้ 12− 12 3i = 24cos 5 + i sin 5 
3 3

ดังนั้น รูปเชิงขั้วรปู หนึ่งของ 12 − 12 3i คือ 24cos 5 + isin 5 
3 3

และรปู เชิงข้ัวท่ัวไปของ 12 − 12 3i คือ 24 cos 5 + 2k  + i sin  5 + 2k   เมือ่ k
 3   3 

เล่มที่ 5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

53

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอ้ น เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 5.2

คำสงั่ จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปนีใ้ ห้อยใู่ นรปู x + yi

1. กำหนด z1 = 4  cos  + i sin   และ z2 = 5  cos 5 + i sin 5  จงหา z1z2
12 12  12 12 

วธิ ที ำ z1z2 = 4 cos  + i sin    5 cos 5 + i sin 5  
12 12   12 12  

= (4  5)cos 12 + 5  + i sin   + 5 
12   12 12

= 20cos  + i sin  
2 2 

= 20(0 + i) ตอบ
 z1z2 = 20i

2. กำหนด z1 = 3(cos72 +isin 72) และ z2 = 5(cos63 +isin 63) จงหา z1z2

วธิ ที ำ  ( ) ( )z1z2 =
3 cos72 +i sin 72 5 cos63 +i sin 63

 = (35) cos(72 +63) +isin(72 +63)

 = 15 cos135 +isin135

= 15(− 2 + 2 i)

22

 z1z2 = 15(− 2 + 2 i) ตอบ
22

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

54

3. กำหนด z1 = 9(cos415 +isin 415) และ z2 = 6(cos115 +i sin115) จงหา z1
z2

วธิ ที ำ z1 = 9(cos 415 + i sin 415 )
6(cos115 + i sin 115 )
z2

 = 9 cos(415 −115 ) + i sin(415 −115 )
6

= 3 (cos300 + i sin 300 )

2

= 3  1 − 3 i 
2 2 2

 z1 = 3 + 3 3 i ตอบ

z2 4 4

4. กำหนด z1 = 5(cos + i sin ) และ z2 = 2  cos 2 + i sin 2  จงหา z1
3 3  z2

วธิ ที ำ z1 = 5(cos +isin  )

z2 2cos  +i sin  

3 3

= 5  cos −   + i sin  −   
2  3   3 

= 5 cos 2 + i sin 2 
2 3 3

= 5  − 1 + 3 i 
2 2 2

 z1 = − 5 + 5 3 i ตอบ

z2 4 4

5. กำหนด z1 = 6 3(cos40 +isin 40) และ z2 = 3(cos190 +isin190) จงหา z1
z2

วธิ ที ำ z1 = 6 3(cos 40 + i sin 40 )
3(cos190 + i sin 190 )
z2

 = 6 3 cos(40 −190 ) + i sin(40 −190 )
3

= 2 3(cos(−150 ) +i sin(−150 ))

= 2 3 − 3 − 1 i 
2 2

 z1 = − 3 − 3i ตอบ

z2

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขัว้ ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

55

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 5.3
กิจกรรม She want to be ……………
โจทย์ปัญหาของแต่ละกลุ่ม ดงั นี้

1. จงเขียน ( 3 + i)4 ในรปู x+ yi เมือ่ x และ y เปน็ จำนวนจริง

วธิ ที ำ กำหนด z = 3 +i ซ่งึ ( 3,1) เป็นจุดในจตุภาคที่ 1

( )tan = 1 จะได้  =  และ r = 3 2 +12 = 2
36

ดงั น้ัน z = 2  cos  + i sin  
6 6 

 z4 = 24  cos  (4) + i sin  (4) 
 6 6 

= 16  cos 2 + i sin 2 
 3 3 

= 16  − 1 + 3 i 
 2 2 

= −8 + 8 3i ตอบ

คณะทีแ่ อนชิ อยากเรยี น คือ คณะรฐั ศาสตร์ .

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใช้การจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

56

2. จงเขียน (−2 +2 3i)3 ในรปู x+ yi เมื่อ x และ y เปน็ จำนวนจริง
วธิ ที ำ กำหนด z = − 2 +2 3i ซ่งึ (−2,2 3) เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 2

tan = 2 3 =− 3 จะได้  =  และ r = (−2)2 +(2 3)2 = 4

−2 3

ดังน้ัน z = 4 cos 2 + i sin 2 
3 3 

 z3 = 43  cos 2 (3) + i sin 2 (3) 
 3 3 

= 64(cos 2 + i sin 2 )

= 64(1+ 0i)

= 64 ตอบ

คณะที่แอนชิ อยากเรยี น คือ คณะนิตศิ าสตร์ .

3. จงเขียน ( 3 − i)6 ในรูป x+ yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง

วธิ ที ำ กำหนด z = 3 − i ซ่งึ ( 3,−1) เปน็ จุดในจตุภาคที่ 4

tan = −1 จะได้  = 11 และ r = ( 3)2 + (−1)2 = 2

36 2  cos 11 + i sin 11 
 6 6 
ดงั น้ัน z =
26  cos 11 (6) + i sin 11 (6) 
 z6 =  6 6 
=
64(cos11 + i sin11 )

= 64(−1+ 0i)

= −64 ตอบ

คณะทีแ่ อนชิ อยากเรยี น คือ คณะเศรษฐศาสตร์ .

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

57

4. จงเขียน (−1 + i)2 ในรูป x + yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง

วธิ ที ำ กำหนด z = −1+ i ซง่ึ (−1,1) เปน็ จุดในจตุภาคที่ 2

tan = 1 = −1 จะได้  = 3 และ r = (−1)2 +12 = 2

−1 4

ดงั น้ัน z = 2  cos 3 + i sin 3 
 4 4 

 z2 = ( 2)2  cos 3 (2) + i sin 3 (2) 
 4 4 

= 2  cos 3 + i sin 3 
2 2 

= 2(0 − i)

= −2i ตอบ

คณะทีแ่ อนชิ อยากเรยี น คือ คณะบริหารธุรกิจ .

เล่มที่ 5 รปู เชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สัมฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

58

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น

เล่มท่ี 5 รูปเชิงขัว้ ของจำนวนเชิงซ้อน เฉลยบัตรงานที่ 5.2

คำสั่ง จงเขียนจำนวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปนีใ้ ห้อยใู่ นรปู x + yi

1. กำหนด z1 = 12  cos 2 + i sin 2  และ z2 = 6  cos 8 + i sin 8  จงหา z1z2
 5 5   5 5 

วธิ ที ำ z1z2 = 12 cos 2 + i sin 2   6 cos 8 +i sin 8  
5 5   5 5  

= (12 6)cos 2 + 8  +i sin  2 + 8 
5 5   5 5

= 72cos 2 +i sin 2 

 z1z2 = 72(1 + 0i) ตอบ
=
72

2. กำหนด z1 = 3(cos15 +isin15) และ z2 = 2(cos75 +isin 75) จงหา z1z2

วธิ ที ำ  ( ) ( )z1z2 =
3 cos15 +i sin15 2 cos75 +i sin 75

 = (3 2) cos(15 +75) +isin(15 +75)

 = 6 cos90 +isin 90

= 6(0 + i) ตอบ
 z1z2 = 6i

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน

59

3. กำหนด z1 = 7(cos200 +isin 200) และ z2 = 5(cos205 +isin 205) จงหา z1z2

วธิ ที ำ  ( ) ( )z1z2 =
7 cos200 +i sin 200 5 cos205 +i sin 205

 = (75) cos(200 + 205) +i sin(200 + 205)

 = 35 cos405 +isin 405

= 35( 2 + 2 i)

22

 z1z2 = 35 2 + 35 2 i ตอบ
22

4. กำหนด z1 = 6 ( cos  + i sin ) และ z2 = 3 cos  + i sin   จงหา z1
6 6  z2

วธิ ที ำ z1 = 6(cos +isin  )

z2 3cos  +i sin  

6 6

= 6  cos −   +i sin  −   
3  6   6 

= 2cos 5 +i sin 5 
6 6

= 2 − 3 + 1 i 
2 2

 z1 = − 3 +i ตอบ

z2

5. กำหนด z1 = 2(cos30 +i sin 30) และ z2 = 8(cos240 +isin 240) จงหา z1
z2

วธิ ที ำ z1 = 2(cos30 + i sin 30 )
8(cos 240 + i sin 240 )
z2

 = 2 cos(30 − 240 ) +i sin(30 − 240 )
8

= 1 (cos(−210 ) +i sin(−210 ))

4

= 1  − 3 + 1 i 
4 2 2

 z1 = − 3 + 1 i ตอบ

z2 8 8

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

60

6. จงเขียน ( )3 ให้อยใู่ นรปู x+ yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง

3+i

วธิ ที ำ กำหนด z = 3 + i ซง่ึ ( 3,1) เปน็ จุดในจตุภาคที่ 1

( )tan = 1 จะได้  =  และ r = 3 2 +12 = 2
36

ดังน้ัน z = 2  cos  + i sin  
6 6 

 z3 = 23  cos  (3) + i sin  (3) 
 6 6 

= 8 cos  + i sin  
2 2 

= 8(0+i)

= 8i ตอบ

7. จงเขียน (1− )5 ให้อยู่ในรปู x + yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง

3i

วธิ ที ำ กำหนด z = 1− 3i ซ่งึ (1,− 3) เป็นจดุ ในจตุภาคที่ 4

tan =− 3 จะได้  = 5 และ r = 12 + (− 3)2 = 2

3

ดงั นั้น z = 2  cos 5 + i sin 5 
 3 3 

 z5 = 25  cos 5 (5) + i sin 5 (5) 
 3 3 

= 32  cos  8 +   + i sin  8 +   
  3   3  
 

= 32  1 + 3 i 
 2 2 

= 16 +16 3i ตอบ

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขั้วของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

61

8. จงเขียน ( 2+ )5 ให้อยู่ในรปู x+ yi เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง

2i

วธิ ที ำ กำหนด z = 2 + 2i ซ่งึ ( 2, 2) เป็นจดุ ในจตภุ าคที่ 1

tan = 2 =1 จะได้  =  และ r = ( 2)2 + ( 2)2 = 2

24

ดงั น้ัน z = 2  cos  + i sin  
4 4 

 z5 = 25  cos  (5) + i sin  (5) 
 4 4 

= 32 cos 5 + i sin 5 
4 4 

=  2− 2 i 
32 − 2 2 

= −16 2 −16 2i ตอบ

9. จงเขียน  3 + i 100 ให้อยู่ในรูป x + yi เมือ่ x และ y เป็นจำนวนจริง
 2 2 

วธิ ที ำ กำหนด z = 3+i ซง่ึ  3 , 1  เปน็ จดุ ในจตภุ าคที่ 1
22 2 2

1 2 2

tan = 2 = 1 จะได้  =  และ r=  3 +  1 =1
33 6 2  2

2

ดังนั้น z = 1 cos  + i sin  
6 6 

 =z100 1100  cos  (100) + i sin  (100) 
 6 6 

=  cos 50 + i sin 50 
 3 3 

= cos 16 + 2  + i sin 16 + 2 
3  3 

= −1+ 3i ตอบ

22

เล่มที่ 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สัมฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

62

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

ข้อ ตัวเลือก
1ข
2ค
3ง
4ค
5ก
6ค
7ค
8ก
9ก
10 ง

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ตารางบันทึก

ช่อื สมาชกิ บัตรงานที่ 5.1 บัตรงานที่ 5.2 คะแนนฐาน

1. 10 คะแนน 18 คะแนน (1)
2.
3.
4.
5.

รวม
เฉลีย่

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น เกณฑค์ ะแนนความก้าวหน้า คะแน
คะแน
ต่ำกว่าคะแนนฐานมากกวา่ 10 คะแนน ได้ 0 คะแน
คะแน
ตำ่ กว่าคะแนนฐานระหว่าง 1 – 10 คะแนน ได้ 10 คะแน

เท่ากบั หรือสงู กว่าคะแนนฐาน 1 – 10 คะแนน ได้ 20

สูงกวา่ คะแนนฐานมากกว่า 10 คะแนน ได้ 30

กคะแนน ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้การจดั การเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิคแบง่ กล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

คะแนนสอบย่อย คะแนนพฒั นาการ คะแนนความก้าวหนา้
(2) (2) – (1)

ระดับการยกยอ่ ง สุดยอด
นนเฉลี่ยอยรู่ ะหว่าง 24.51 – 30 คะแนน เกง่ มาก
นนเฉลีย่ อยรู่ ะหว่าง 18.51 – 24.5 คะแนน พอใช้
นนเฉลีย่ อยู่ระหว่าง 12.51 – 18.5 คะแนน ขยันหน่อย
นนเฉลีย่ อยรู่ ะหว่าง 6.51 – 12.5 คะแนน ปรบั ปรงุ
นนเฉลี่ยอยรู่ ะหว่าง 0 – 6.5 คะแนน

63

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

64

เกณฑก์ ารให้คะแนน

เลม่ ที่ 5 รูปเชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจดั การเรียนรแู้ บบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกล่มุ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

65

เกณฑก์ ารให้คะแนน

กิจกรรมที่ 5.1 กิจกรรมตามลา่ หาสมบตั ิ

ตอนท่ี 1

ข้อท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

1 – 5 แสดงวิธที ำชดั เจน สมบรู ณ์ คำตอบถกู ต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน ไมส่ มบูรณ์ แต่อยใู่ นแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถูกต้อง และคำตอบถูกต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ดั เจน หรอื ไม่แสดงวิธที ำ คำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถกู ต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบูรณ์

แตค่ ำตอบไมถ่ ูกต้อง

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน ไม่สมบรู ณ์ แต่อยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถูกต้อง คำตอบไม่ถกู ต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบ่งกลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน

66

เกณฑ์การให้คะแนน

กิจกรรมที่ 5. 1 กิจกรรมตามลา่ หาสมบัติ (ต่อ)

ตอนท่ี 2

ขอ้ ท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

1 – 5 จบั ครู่ หัส เติมคำตอบและเดินตามแผนทีถ่ กู ต้อง ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

จับครู่ หัสและเติมคำตอบถูกต้อง แตเ่ ดินตามแผนที่ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ไม่ถูกต้อง

จบั ค่รู หสั และเดินตามแผนทีถ่ ูกต้อง แต่เตมิ คำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ไม่ถูกต้อง

จบั คูร่ หัสไมถ่ ูกต้อง แต่เตมิ คำตอบและเดินตามแผน ขอ้ ละ 1 คะแนน

ที่ถูกต้อง

จบั คู่รหัส หรอื เติมคำตอบ หรือเดินตามแผนที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถูกต้องอย่างใดอยา่ งหน่งึ

ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

ตอบคำถามทีซ่ ่อนสมบตั ิถูกต้อง 0.5 คะแนน
ตอบคำถามที่ซอ่ นสมบตั ิไม่ถูกต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม 0 คะแนน

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงขว้ั ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรโู้ ดยใช้การจัดการเรียนร้แู บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

67

เกณฑก์ ารให้คะแนน

บัตรงานที่ 5.1

ข้อท่ี เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน

1 – 5 แสดงวิธที ำชัดเจน สมบรู ณ์ คำตอบถกู ต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไมส่ มบูรณ์ แต่อยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถูกต้อง และคำตอบถูกต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน หรอื ไม่แสดงวิธที ำ คำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถูกต้องครบถว้ น หรือแสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบรู ณ์

แตค่ ำตอบไมถ่ ูกต้อง

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไม่สมบรู ณ์ แตอ่ ยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถกู ต้อง คำตอบไมถ่ กู ต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เล่มที่ 5 รปู เชิงขวั้ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนร้โู ดยใชก้ ารจัดการเรียนรแู้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลมุ่ สมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น

68

เกณฑก์ ารให้คะแนน

บัตรกิจกรรมที่ 5.2

ข้อท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 – 5 แสดงวิธที ำชัดเจน สมบรู ณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ัดเจน ไม่สมบรู ณ์ แต่อยใู่ นแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถกู ต้อง และคำตอบถูกต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน หรอื ไมแ่ สดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถูกต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบรู ณ์

แต่คำตอบไมถ่ กู ต้อง

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไมส่ มบูรณ์ แต่อยู่ในแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถกู ต้อง คำตอบไมถ่ ูกต้อง

ไม่แสดงวิธที ำและคำตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

กิจกรรมที่ 5.3 กิจกรรม She want to be………..

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
แสดงวิธที ำชดั เจน สมบรู ณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น และตอบคำถาม 5 คะแนน
อาชีพของแอนชิได้ถกู ต้อง 4 คะแนน
แสดงวิธที ำยังไมช่ ดั เจน ไมส่ มบูรณ์ แต่อยูใ่ นแนวทางที่ถกู ต้อง คำตอบ 3 คะแนน
ถูกต้องครบถว้ น และตอบคำถามอาชีพของแอนชิไดถ้ ูกต้อง
แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน หรอื ไมแ่ สดงวิธที ำ คำตอบถูกต้องครบถว้ น และ 1 คะแนน
ตอบคำถามอาชพี ของแอนชิได้ถกู ต้อง หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบรู ณ์ 0 คะแนน
แตค่ ำตอบไม่ถูกต้อง และตอบคำถามอาชพี ของแอนชิไมถ่ ูกต้อง
แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ัดเจน ไม่สมบูรณ์ แตอ่ ยใู่ นแนวทางทีถ่ กู ต้อง คำตอบ
ไมถ่ กู ต้อง และตอบคำถามอาชีพของแอนชิไมถ่ กู ต้อง
ไมแ่ สดงวิธที ำและคำตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจดั การเรียนรูแ้ บบร่วมมือ เทคนิคแบง่ กลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น 69
99
เกณฑก์ ารให้คะแนน

บตั รงานที่ 5.2

ขอ้ ท่ี เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนน

1 – 9 แสดงวิธที ำชัดเจน สมบรู ณ์ คำตอบถูกต้องครบถว้ น ขอ้ ละ 2 คะแนน

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน ไม่สมบรู ณ์ แต่อย่ใู นแนวทางที่ ขอ้ ละ 1.5 คะแนน

ถูกต้อง และคำตอบถกู ต้องครบถว้ น

แสดงวิธที ำยังไมช่ ัดเจน หรอื ไม่แสดงวิธที ำคำตอบ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ถูกต้องครบถว้ น หรอื แสดงวธิ ีทำชดั เจน สมบูรณ์

แตค่ ำตอบไมถ่ กู ต้อง

แสดงวิธที ำยงั ไมช่ ัดเจน ไมส่ มบรู ณ์ แตอ่ ยูใ่ นแนวทางที่ ขอ้ ละ 0.5 คะแนน

ถูกต้อง คำตอบไม่ถูกต้อง

ไมแ่ สดงวิธที ำและคำตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่ตอบคำถาม ขอ้ ละ 0 คะแนน

เล่มที่ 5 รูปเชิงข้วั ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใชก้ ารจัดการเรียนรู้แบบรว่ มมือ เทคนิคแบ่งกลุ่มสมั ฤทธิ์ (STAD) เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น

70

บรรณานกุ รม

กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : จำนวนเชิงซอ้ น.
กรุงเทพฯ: ฟสิ ิกสเ์ ซ็นเตอร์.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธิก์ ลาง. คู่มือประกอบการเรียนรายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เติม
ม.4 – 6 เล่ม 4. กรงุ เทพฯ: พ.ศ.พัฒนา จำกัด.

ณัฐ อุดมพาณิชย.์ (2559). แนวข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เพื่อสอบ PAT1 (พมิ พค์ รง้ั ที่ 5).
กรงุ เทพฯ: สถาบันสอนคณิตศาสตรแ์ ละฟสิ ิกส์ SYNTAX+.

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. แบบฝึกเสริมทักษะรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1.
กรงุ เทพฯ: แมค็ เอด็ ดูเคช่ัน จำกดั .

สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2562). หนงั สอื เรียนรายวชิ า
เพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ 2 (พมิ พ์ครง้ั ที่ 3).กรงุ เทพฯ:
จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั .

เลม่ ที่ 5 รปู เชิงข้ัวของจำนวนเชงิ ซอ้ น