แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1

แผนการจดั การเรยี นรู้
วชิ า คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค 23102
เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

ระดับช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3

(ประกอบการจดั ทำวิจัยในช้นั เรียน เรอื่ งการศกึ ษาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนและความพงึ พอใจ
ตอ่ การใช้แบบฝึกทักษะ เรอื่ ง การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร)

โดย
นางอมุ าพร พมิ พ์ภกั ดี
ครชู ำนาญการพิเศษ

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนบ้านไผ่ อำเภอบ้านไผ่ จังหวดั ขอนแก่น
สำนกั งานเขตพืน้ ที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 25

คำนำ

โรงเรียนบ้านไผ่ สำนกั งานเขตพนื้ ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 25 ใช้หลักสูตรสถานศึกษา
โรงเรียนบ้านไผ่ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ในการจัดการเรียนการ
สอน และครูผู้สอนได้จัดทำแผนการจัดการเรียนรู้ เพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนใน
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค 23102 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เรื่อง การแก้ระบบสมการ
เพื่อประกอบการจัดทำวจิ ยั ในชัน้ เรยี น เร่อื งการศึกษาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนและความพึงพอใจต่อการใช้
แบบฝึกทักษะ เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เนื้อหาภายในเล่มประกอบด้วยแผนการ
เรียนรจู้ ำนวนทง้ั สิน้ 1 แผน โดยได้วเิ คราะห์ตวั ชีว้ ัด/ผลการเรียนรู้ คำอธิบายรายวชิ า โครงสรา้ งรายวิชา
เพื่อจัดทำหน่วยการเรียนรู้ แผนการจัดการเรียนรู้ ซึ่งสอดคล้องกับหลักสูตรสถานศึกษาโรงเรียนบา้ นไผ่
และหลักสูตรกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยมีกิจกรรมการเรียนการสอนที่เน้นผู้เรียนเป็นสำคัญ
เพอื่ พฒั นาคุณภาพผ้เู รียนให้บรรลเุ ป้าหมายของหลกั สตู ร

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แผนการจัดการเรียนรู้เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการ
เรียนการสอน พัฒนาทักษะกระบวนการเรียนรู้ด้านต่างๆ ขอขอบคุณหนังสือทุกเล่มที่ให้ข้อมูลอ้างอิง
และคณะครทู ุกคนท่ีใหค้ ำปรึกษา มสี ว่ นเกี่ยวข้องในการจดั ทำไว้ ณ โอกาสนี้

นางอุมาพร พิมพภ์ กั ดี
ผูจ้ ัดทำ

สารบัญ หนา้

คำนำ 1
สารบญั 10
วิเคราะหม์ าตรฐานการเรยี นรู้และตวั ช้วี ดั 11
คำอธิบายรายวิชา 12
โครงสร้างรายวชิ า 13
ตารางวิเคราะห์การประเมินผลและเวลาเรียน
แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 1

1

วิเคราะห์มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วดั
รายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 จำนวน 1.5 หน่วยกิต

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

----------------------------------------------------

คณิตศาสตร์มบี ทบาทสำคัญยง่ิ ต่อการพฒั นาความคิดมนุษย์ ทำให้มนุษยม์ ีความคดิ สรา้ งสรรค์ คิด
อย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ
ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องเหมาะสม
นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อื่น ๆ
คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชวี ิต ชว่ ยพัฒนาคุณภาพชวี ิตให้ดีข้ึน และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่น
ได้อย่างมีความสุข

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรเ์ ปิดโอกาสให้เยาวชนทุกคนได้เรยี นรูค้ ณิตศาสตร์อย่างต่อเนือ่ ง
ตามศักยภาพ โดยกำหนดสาระหลกั ท่จี ำเป็นสำหรบั ผู้เรยี นทกุ คนดังนี้

• จำนวนและการดำเนินการ: ความคิดรวบยอดและความรู้สึกเชิงจำนวน ระบบจำนวนจริง
สมบัติเกี่ยวกับจำนวนจริง การดำเนินการของจำนวน อัตราส่วน ร้อยละ การแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวน
และการใช้จำนวนในชีวิตจริง

• การวัด: ความยาว ระยะทาง นำ้ หนัก พ้นื ท่ี ปรมิ าตรและความจุ เงนิ และเวลา หนว่ ยวดั ระบบ
ต่าง ๆ การคาดคะเนเกยี่ วกบั การวัด อตั ราส่วนตรโี กณมิติ การแก้ปัญหาเก่ยี วกับการวดั และการนำความรู้
เกยี่ วกับการวัดไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ

• เรขาคณิต: รูปเรขาคณิตและสมบัติของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติ การนึกภาพ
แบบจำลองทางเรขาคณิต ทฤษฎีบททางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต (geometric
transformation)ในเรื่องการเลื่อนขนาน (translation) การสะท้อน (reflection) และการหมุน
(rotation)

• พีชคณิต: แบบรูป (pattern) ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน เซตและการดำเนินการของเซต การให้
เหตุผล นิพจน์ สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต
และอนุกรมเรขาคณิต

• การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น: การกำหนดประเด็น การเขียนข้อคำถาม การ
กำหนดวิธีการศึกษา การเก็บรวบรวมข้อมูล การจัดระบบข้อมูล การนำเสนอข้อมูล ค่ากลางและการ
กระจายของขอ้ มูล การวิเคราะห์และการแปลความขอ้ มูล การสำรวจความคิดเหน็ ความน่าจะเปน็ การใช้
ความรู้เกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็นในการอธิบายเหตุการณ์ต่างๆ และช่วยในการตัดสินใจในการ
ดำเนนิ ชีวิตประจำวัน

• ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่หลากหลาย การให้
เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทาง
คณติ ศาสตร์ และการเชื่อมโยงคณติ ศาสตร์กบั ศาสตร์อื่นๆ และความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์

2

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้
สาระที่ 1 จำนวนและการดำเนนิ การ
มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจถงึ ความหลากหลายของการแสดงจำนวนและการใช้จำนวนในชีวิตจรงิ
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจถึงผลที่เกิดข้ึนจากการดำเนนิ การของจำนวนและความสัมพันธ์ระหว่างการดำเนนิ การ

ตา่ ง ๆ และสามารถใช้การดำเนนิ การในการแกป้ ัญหา
มาตรฐาน ค 1.3 ใช้การประมาณค่าในการคำนวณและแก้ปญั หา
มาตรฐาน ค 1.4 เข้าใจระบบจำนวนและนำสมบัตเิ กยี่ วกบั จำนวนไปใช้
สาระท่ี 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา้ ใจพ้นื ฐานเกี่ยวกบั การวัด วดั และคาดคะเนขนาดของสง่ิ ทตี่ อ้ งการวดั
มาตรฐาน ค 2.2 แก้ปญั หาเกยี่ วกับการวดั
สาระท่ี 3 เรขาคณิต
มาตรฐาน ค 3.1 อธิบายและวิเคราะห์รูปเรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมิติ
มาตรฐาน ค 3.2 ใชก้ ารนกึ ภาพ (visualization) ใชเ้ หตุผลเกี่ยวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช้

แบบจำลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแกป้ ัญหา
สาระที่ 4 พีชคณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เข้าใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป (pattern) ความสมั พันธ์ และฟงั กช์ นั
มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ (mathematical model)

อ่นื ๆ แทนสถานการณ์ต่าง ๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนำไปใชแ้ ก้ปญั หา
สาระท่ี 5 การวเิ คราะหข์ อ้ มลู และความนา่ จะเป็น
มาตรฐาน ค 5.1 เขา้ ใจและใช้วธิ กี ารทางสถติ ิในการวเิ คราะห์ขอ้ มลู
มาตรฐาน ค 5.2 ใชว้ ิธกี ารทางสถติ ิและความรู้เก่ียวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ไดอ้ ยา่ ง

สมเหตุสมผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใชค้ วามรเู้ กี่ยวกบั สถติ ิและความนา่ จะเปน็ ช่วยในการตดั สนิ ใจและแก้ปญั หา
สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ญั หา การให้เหตุผล การสอ่ื สาร การส่ือความหมายทาง

คณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชอื่ มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์และ
เช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่นื ๆ และมีความคิดรเิ ร่ิมสร้างสรรค

ตารางวิเคราะห์มาตรฐ
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐ

ของ นางอุม

สาระท่ี 2 การวัด

มาตรฐาน ตัวชีว้ ัด ความรู้ (K)

มาตรฐาน ค 2.1 1. หาพื้นท่ีผวิ ของปริซึม - พื้นทผี่ ิวของปรซิ ึม และ -
และทรงกระบอก ทรงกระบอก -
เขา้ ใจพ้นื ฐาน -
เก่ียวกบั การวัด 2. หาปรมิ าตรของปริซมึ - ปรมิ าตรของปริซมึ
ทรงกระบอก พรี ะมดิ ทรงกระบอก พีระมดิ -
วดั และคาดคะเน กรวย และทรงกลม กรวย และทรงกลม
ขนาดของสงิ่ ที่
ตอ้ งการวดั 3. เปรยี บเทยี บหน่วย - การเปรียบเทยี บหนว่ ย
ความจุ หรอื หนว่ ย ความจุหรือหน่วย
ปรมิ าตรในระบบ ปริมาตรในระบบ
เดยี วกนั หรือตา่ งระบบ เดียวกนั หรือตา่ งระบบ
และเลอื กใช้หน่วยการ
วัดได้อย่างเหมาะสม - การเลือกใชห้ นว่ ยการ
วัดเกย่ี วกับความจหุ รือ
ปริมาตร

3

ฐานการเรยี นรแู้ ละตวั ช้ีวดั
ฐาน ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3

มาพร พิมพ์ภักดี

ทักษะกระบวนการ (P) คณุ ลกั ษณะ (A) สาระการเรยี นรู้
แกนกลาง
หาพนื้ ท่ีผวิ ของปริซมึ - มีวินัย ใฝ่เรยี นรู้ มงุ่ มน่ั
และทรงกระบอก ในการทำงาน - พื้นทผี่ วิ ของปรซิ ึม และ
ทรงกระบอก
หาปรมิ าตรของปริซมึ - มีวินยั ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ มั่น
ทรงกระบอก พีระมดิ ในการทำงาน - ปริมาตรของปริซึม
กรวย และทรงกลม ทรงกระบอก พรี ะมดิ
เปรียบเทยี บหนว่ ย - มีวินยั ใฝเ่ รยี นรู้ มุง่ ม่ัน กรวย และทรงกลม
ความจหุ รอื หน่วย ในการทำงาน
ปริมาตรในระบบ - การเปรยี บเทียบหน่วย
เดยี วกนั หรอื ตา่ งระบบ ความจหุ รือหนว่ ย
เลอื กใชห้ นว่ ยการวัด ปริมาตรในระบบ
เก่ยี วกับความจุหรอื เดยี วกนั หรือตา่ งระบบ
ปริมาตร
- การเลือกใช้หน่วยการ
วัดเก่ียวกบั ความจหุ รือ
ปรมิ าตร

สาระท่ี 2 การวดั ตวั ช้วี ัด ความรู้ (K)
มาตรฐาน

ค 2.2 แกป้ ัญหา 4. ใช้การคาดคะเน - การคาดคะเนเกีย่ วกบั -
เกยี่ วกับการวดั เกย่ี วกับการวดั ใน การวัด
สถานการณ์ต่าง ๆ ได้ -
อยา่ งเหมาะสม - การใช้ความรเู้ ก่ียวกบั
พื้นที่ พื้นที่ผิว และ
1. ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั พ้ืนที่ ปรมิ าตรในการ
พน้ื ท่ีผวิ และปริมาตร แก้ปญั หา
ในการแก้ปญั หาใน
สถานการณ์ ตา่ ง ๆ

4

ทักษะกระบวนการ (P) คุณลักษณะ (A) สาระการเรียนรู้
แกนกลาง
- คาดคะเนเกี่ยวกบั การ - มวี นิ ัย ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมน่ั
วัด ในการทำงาน - การคาดคะเนเก่ียวกบั
การวัด

ใชค้ วามรเู้ กีย่ วกับพ้นื ที่ - มีวินัย ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งม่นั - การใช้ความร้เู กยี่ วกบั
ในการทำงาน พน้ื ท่ี พื้นท่ีผวิ และ
พนื้ ที่ผิว และปรมิ าตร ปรมิ าตรในการ
ในการแกป้ ัญหา แก้ปญั หา

สาระท่ี 3 เรขาคณิต

มาตรฐาน ตัวช้วี ัด ความรู้ (K)
- ลกั ษณะและสมบัติ
ค 3.1 อธบิ าย 1. อธิบายลักษณะและ -
ของปริซึม พีระมดิ
และวิเคราะห์รปู สมบัติของปริซึม ทรงกระบอก กรวย -
และทรงกลม
เรขาคณิตสองมติ ิ พีระมิด ทรงกระบอก
- สมบัตขิ องรูป
และสามมิติ กรวย และทรงกลม สามเหล่ียมคลา้ ยและ
การนำไปใช้
ค 3.2 ใช้การ 1. ใช้สมบัติของรปู
สามเหล่ยี มคล้ายในการ
นกึ ภาพ
ใหเ้ หตุผลและการ
(visualization) แก้ปัญหา
ใช้เหตุผลเกี่ยวกับ

ปรภิ ูมิ (spatial

reasoning)

และใช้

แบบจำลองทาง

เรขาคณิต

(geometric

model) ในการ

แก้ปญั หา

5

ทกั ษะกระบวนการ (P) คุณลกั ษณะ (A) สาระการเรยี นร้แู กนกลาง
- ลกั ษณะและสมบัติ
- อธิบายลกั ษณะและ - มีวนิ ยั ใฝเ่ รยี นรู้
ของปริซมึ พรี ะมิด
สมบตั ิของปริซมึ มุง่ ม่ันในการทำงาน ทรงกระบอก กรวย
และทรงกลม
พีระมิด ทรงกระบอก
- สมบัติของรปู
กรวย และทรงกลม สามเหลีย่ มคล้ายและ
การนำไปใช้
- ใช้สมบัตขิ องรูป - การให้เหตุผลและ

สามเหล่ยี มคลา้ ยใน การแก้ปญั หา

การใหเ้ หตุผลและการ

แกป้ ญั หา

สาระที่ 4 พชี คณติ ตวั ช้วี ัด ความรู้ (K)
- อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปร
มาตรฐาน 1. ใช้ความรูเ้ ก่ียวกบั
อสมการเชิงเสน้ ตวั แปร เดียวและการนำไปใช้
ค 4.2 ใช้นิพจน์ เดยี วในการแก้ปัญหา
สมการ อสมการ พร้อมท้ังตระหนักถงึ - กราฟแสดงความ
กราฟ และตัว ความสมเหตสุ มผล เกี่ยวขอ้ งระหวา่ ง
แบบเชงิ ของคำตอบ ปริมาณสองชุดท่ีมี
คณิตศาสตร์ ความสมั พันธ์เชิงเส้น
(mathematical 2. เขยี นกราฟแสดงความ
model) อ่ืน ๆ เกย่ี วขอ้ งระหวา่ ง - กราฟของสมการเชิง
แทนสถานการณ์ ปริมาณสองชุดทมี่ ี เสน้ สองตัวแปร
ตา่ ง ๆ ตลอดจน ความสัมพันธ์เชิงเส้น
แปลความหมาย
และนำไปใช้ 3. เขียนกราฟของสมการ
แกป้ ัญหา เชงิ เสน้ สองตัวแปร

4. อ่านและแปล - กราฟของระบบสมการ
ความหมาย กราฟ
เชงิ เสน้ สอง
ของระบบสมการเชงิ - ตัวแปร
เสน้ สองตัวแปร และ - กราฟอ่ืน ๆ
กราฟอ่ืน ๆ

6

ทักษะกระบวนการ (P) คณุ ลักษณะ (A) สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง

- ใช้ความรู้เกยี่ วกับ - ตระหนักถึงความ - อสมการเชงิ เส้นตวั แปร
เดียวและการนำไปใช้
อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปร สมเหตุสมผลของ

เดยี วในการแก้ปัญหา คำตอบ

- เขยี นกราฟแสดงความ - มวี นิ ัย ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมน่ั - กราฟแสดงความ
ในการทำงาน เกี่ยวข้องระหวา่ ง
เก่ยี วข้องระหวา่ ง ปรมิ าณสองชุดที่มี
ปริมาณสองชดุ ท่ีมี - มวี ินัย ใฝ่เรยี นรู้ ความสัมพันธ์เชงิ เส้น
ความสัมพนั ธเ์ ชิงเส้น มุง่ มน่ั ในการทำงาน
- กราฟของสมการเชงิ
- เขียนกราฟของ - มีวินัย ใฝ่เรยี นรู้ เสน้ สองตวั แปร
สมการเชงิ เส้นสองตัว มุ่งมั่นในการทำงาน
- กราฟของระบบ
แปร สมการเชงิ เสน้ สอง

- อา่ นและแปลความ - ตวั แปร
หมายกราฟของระบบ - กราฟอื่น ๆ
สมการเชงิ เส้นสอง

- ตัวแปร
- กราฟอนื่ ๆ

มาตรฐาน ตวั ชวี้ ัด ความรู้ (K)
- ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั
5. แก้ระบบสมการเชิง
เสน้ สองตัวแปร และ แปร และการนำไปใช้
นำไปใช้แกป้ ญั หา
พร้อมท้งั ตระหนักถงึ
ความสมเหตุสมผล
ของคำตอบ

สาระที่ 5 การวิเคราะหข์ อ้ มูลและความนา่ จะเป็น

มาตรฐาน ตวั ช้ีวัด ความรู้ (K)

ค 5.1 เข้าใจ 1. กำหนดประเดน็ และ - การเกบ็ รวบรวมข้อมูล

และใช้วธิ ีการทาง เขยี นข้อคำถาม

สถิติในการ เกย่ี วกับปัญหาหรอื

วเิ คราะห์ข้อมลู สถานการณ์ต่าง ๆ

รวมท้ังกำหนดวธิ ี

การศึกษาและการเก็บ

รวบรวมขอ้ มลู ท่ี

เหมาะสม

2. หาคา่ เฉล่ียเลขคณติ - ค่ากลางของข้อมลู และ -
มธั ยฐาน และฐานนยิ ม การนำไปใช้
ของข้อมลู ทไ่ี ม่ไดแ้ จก

แจงความถี่ และเลือก

ใชไ้ ดอ้ ยา่ งเหมาะสม

7

ทกั ษะกระบวนการ (P) คุณลกั ษณะ (A) สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง
- แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ - มวี นิ ยั ใฝเ่ รียนรู้ - ระบบสมการเชิงเส้นสอง

สองตวั แปร และการ มุ่งม่นั ในการทำงาน ตัวแปร และการนำไปใช้
นำไปใช้

ทกั ษะกระบวนการ (P) คณุ ลกั ษณะ (A) สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง

- เก็บรวบรวมข้อมูล - มีวนิ ัย ใฝ่เรยี นรู้ - การเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล
ม่งุ มน่ั ในการทำงาน

หาค่ากลางของข้อมลู - มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ - คา่ กลางของข้อมูล และ

และการนำไปใช้ ม่งุ มนั่ ในการทำงาน การนำไปใช้

มาตรฐาน ตวั ชวี้ ัด ความรู้ (K)

ค 5.2 ใช้ 3. นำเสนอข้อมูลใน - การนำเสนอขอ้ มูล -
วธิ กี ารทางสถติ ิ รูปแบบทีเ่ หมาะสม
และความรู้
เกยี่ วกับความ 4. อ่าน แปลความหมาย - การวเิ คราะหข์ ้อมลู จาก -
น่าจะเปน็ ในการ และวิเคราะหข์ ้อมลู ที่ การนำเสนอ
คาดการณ์ได้ ไดจ้ ากการนำเสนอ
อยา่ ง
สมเหตุสมผล 1. หาความนา่ จะเปน็ ของ - การทดลองสุ่มและ -

ค 5.3 : ใช้ เหตกุ ารณจ์ ากการ เหตุการณ์
ความร้เู กี่ยวกับ
สถติ แิ ละความ ทดลองส่มุ ทผ่ี ลแต่ละ - ความน่าจะเป็นของ
น่าจะเปน็ ชว่ ยใน
การตัดสินใจและ ตัวมโี อกาสเกดิ ข้ึน เหตุการณ์
แก้ปัญหา
เทา่ ๆ กัน และใช้ - การใช้ความรู้เกีย่ วกบั -

ความรู้เกี่ยวกบั ความ ความน่าจะเป็นในการ

นา่ จะเปน็ ในการ คาดการณ์ -

คาดการณไ์ ดอ้ ย่าง

สมเหตุสมผล

1. ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกับสถิติ - การใช้ความรเู้ กีย่ วกบั
และความนา่ จะเป็น สถิติ และ ความน่าจะ
ประกอบการตัดสนิ ใจ เป็นประกอบการตัดสนิ ใจ
ในสถานการณต์ ่าง ๆ

2. อภิปรายถึงความคลาด -
เคลอ่ื นที่อาจเกิดข้ึนได้

จากการนำเสนอข้อมลู

ทางสถิติ

8

ทกั ษะกระบวนการ (P) คุณลกั ษณะ (A) สาระการเรียนรู้แกนกลาง
- การนำเสนอขอ้ มลู
นำเสนอขอ้ มลู - มวี นิ ยั ใฝ่เรยี นรู้
- การวเิ คราะหข์ ้อมลู จาก
มงุ่ มั่นในการทำงาน การนำเสนอ

วิเคราะหข์ อ้ มูลจากการ - มีวนิ ยั ใฝเ่ รยี นรู้

นำเสนอ มงุ่ มั่นในการทำงาน

หาความน่าจะเปน็ ของ - มีวนิ ัย ใฝเ่ รยี นรู้ - การทดลองสุ่มและ
มงุ่ มั่นในการทำงาน เหตกุ ารณ์
เหตุการณจ์ ากการ
ทดลองสุ่มและ - มวี นิ ยั ใฝเ่ รียนรู้ - ความน่าจะเปน็ ของ
เหตุการณ์ มุ่งมนั่ ในการทำงาน เหตกุ ารณ์

หาความนา่ จะเปน็ ของ - การใช้ความรู้เก่ยี วกบั ความ
เหตุการณ์ นา่ จะเปน็ ในการ
คาดการณ์
ใชค้ วามรเู้ กี่ยวกบั ความ
น่าจะเปน็ ในการ - การใชค้ วามรเู้ กี่ยวกับสถติ ิ
คาดการณ์ และ ความนา่ จะเป็น
- ใช้ความรู้เก่ียวกับสถติ ิ ประกอบการตัดสนิ ใจ

และ ความนา่ จะเปน็
ประกอบการตัดสนิ ใจ

- อภปิ รายถงึ ความคลาด - มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ -
เคล่อื นทอี่ าจเกดิ ข้ึนได้ มงุ่ มน่ั ในการทำงาน
จากการนำเสนอข้อมูล
ทางสถิติ

สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

มาตรฐาน ตวั ชี้วัด ความรู้

(K)

ค 6.1 1. ใช้วิธกี ารทหี่ ลากหลายแก้ปญั หา -

มีความสามารถใน

การแก้ปัญหา การ 2. ใช้ความรู้ ทกั ษะและกระบวนการทาง
ใหเ้ หตุผล การ คณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยีในการแกป้ ญั หา

สอ่ื สาร การสือ่ ในสถานการณ์ ต่าง ๆ ไดอ้ ย่างเหมาะสม

ความหมาย

ทางคณิตศาสตร์ 3. ให้เหตุผลประกอบการตดั สนิ ใจ และ
และการนำเสนอ สรุปผลได้อย่างเหมาะสม
การเชือ่ มโยง
4. ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์
ความร้ตู า่ ง ๆ ทาง ในการสอื่ สาร การสือ่ ความหมาย และการ
คณติ ศาสตรแ์ ละ นำเสนอ ได้อยา่ งถูกต้อง และชัดเจน

เช่ือมโยง

คณติ ศาสตร์กับ 5. เช่ือมโยงความรูต้ า่ ง ๆ ในคณติ ศาสตร์
ศาสตร์อ่นื ๆ และ และนำความรู้ หลักการ กระบวนการ
มีความคดิ รเิ ริม่ ทางคณิตศาสตร์ไปเชือ่ มโยงกบั ศาสตร์อนื่ ๆ
สรา้ งสรรค์

6. มีความคดิ รเิ ร่ิมสรา้ งสรรค์

9

ทักษะกระบวนการ (P) คณุ ลกั ษณะ (A) สาระการเรยี นรู้
แกนกลาง
1. ใชว้ ิธกี ารที่หลากหลายแกป้ ญั หา มวี นิ ยั ใฝเ่ รียนรู้
มุ่งม่นั ในการทำงาน -
2. ใชค้ วามรู้ ทักษะและกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีในการ
แก้ปัญหาในสถานการณ์ ตา่ ง ๆได้
อยา่ งเหมาะสม
3. ใหเ้ หตุผลประกอบการตัดสนิ ใจ
และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม
4. ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ าง
คณติ ศาสตร์ในการสื่อสาร การส่ือ
ความหมาย และการนำเสนอ ไดอ้ ย่าง
ถกู ตอ้ ง และชัดเจน
5. เชือ่ มโยงความรตู้ ่าง ๆ ใน
คณิตศาสตร์ และนำความรู้ หลักการ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไป
เช่ือมโยงกับศาสตร์อืน่ ๆ
6. มคี วามคิดริเริ่มสรา้ งสรรค์

10

คำอธบิ ายรายวชิ า

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สาระการเรยี นรู้พ้ืนฐาน

รายวชิ า คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 6 รหสั วชิ า ค 23101 จำนวน 1.5 หน่วยกติ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 1 จำนวน 60 ช่วั โมง

..................................................................................................................................................................

ศกึ ษาความรพู้ ้ืนฐานเบ้อื งตน้ ฝกึ ทักษะการคิดคำนวณ การใหเ้ หตุผล และการแกป้ ัญหาในสาระตอ่ ไปนี้

ปริมาตรและพื้นที่ผิว ลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม

พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของปรซิ ึม และทรงกระบอก ปริมาตรของพรี ะมิด กรวย และทรงกลม หน่วยความจหุ รือ

หน่วยปริมาตร ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของทรงกระบอก กรวย และทรงกระบอก การนำไปใช้

กิจกรรมเสรมิ ทกั ษะกระบวนการโดยใช้ความรู้เกย่ี วกับพ้ืนทผี่ วิ และปริมาตร

ความคลา้ ย รปู สามเหลย่ี มที่คลา้ ยกัน สมบัติของรูปสามเหลี่ยมทค่ี ล้ายกัน การนำไปใช้

กิจกรรมเสริมทักษะกระบวนการโดยใช้ความรเู้ ก่ยี วกบั รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกนั

กราฟ การเขียนกราฟแสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น การ

เขียนกราฟของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ กจิ กรรม

เสริมทกั ษะ / กระบวนการโดยใช้ความรเู้ ก่ียวกบั กราฟและระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้น กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (การอ่านและแปลความหมาย

กราฟ) กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (การอ่านและแปลความหมายกราฟ) การแก้ระบบสมการ

เชิงเส้นสองตวั แปร ความสัมพันธข์ องคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรทไี่ ด้จากการ แก้ระบบ

สมการ กับกราฟของระบบสมการเชิงเส้น โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร กิจกรรมเสริมทกั ษะ

กระบวนการโดยใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรและกราฟ

โดยใช้วิธีการที่หลากหลาย นำทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เทคโนโลยี ใหเ้ หตผุ ลประกอบการ

ตัดสินใจ สื่อสาร สื่อความหมาย การนำเสนอข้อมูล เชื่อมโยงความรู้คณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น เชื่อมโยงกับ

เนื้อหาสาระภมู ปิ ญั ญาท้องถิ่นและคดิ อย่างสร้างสรรค์

เพื่อให้มีความรู้ ความคิด ความเข้าใจในเนื้อหา มีทักษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผลและนำ

ประสบการณ์ด้านความรู้ ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ใน

ชวี ิตประจำวนั ไดต้ ามหลักปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง รวมท้งั ให้มคี วามรกั ชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซือ่ สตั ย์สุจริต

มวี นิ ยั ใฝเ่ รียนรู้ อย่อู ยา่ งพอเพียง ม่งุ ม่นั ในการทำงาน รกั ความเป็นไทยและมจี ิตสาธารณะ

รหสั ตัวชี้วัด
ค 2.1 ม3/1 ม3/2 ม3/3 ม3/4

ค 2.2 ม3/1
ค 3.1 ม3/1
ค 3.2 ม3/1

ค 4.2 ม3/1 ม3/2 ม3/3 ม3/4 ม3/5
ค 5.3 ม3/1 ม3/2

ค 6.1 ม3/1 ม3/2 ม3/3 ม3/4 ม3/5 ม3/6

11

โครงสรา้ งรายวิชา

รายวชิ าคณติ ศาสตร์พื้นฐาน 6 รหสั วชิ า ค 23101 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3 จำนวน 60 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หน่วยกิต ภาคเรียนที่ 1

ลำดบั ชอื่ หนว่ ย มาตรฐานการ สาระสำคัญ เวลา น้ำหนัก
ท่ี การเรียน เรียนรู้/ตัวชี้วัด (ชว่ั โมง) คะแนน

1 พ้ืนท่ีผวิ ค 3.1 ม.3/1 - ลกั ษณะและสมบัติของปริซึม พีระมดิ 15 25
และ ค 2.1 ม.3/1 ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม
ปริมาตร ค 2.1 ม.3/2 - พ้นื ทผ่ี วิ ของปรซิ ึม และทรงกระบอก 15 25
ค 2.1 ม.3/4 - ปรมิ าตรของปริซมึ ทรงกระบอก พีระมดิ
ค 2.1 ม.3/3 กรวย และทรงกลม
ค 2.2 ม.3/1 - การเปรยี บเทยี บหนว่ ยความจุ หรือหนว่ ย

ปริมาตรในระบบเดยี วกนั หรือตา่ งระบบ

- การเลือกใชห้ น่วยการวัดเกี่ยวกับความจุ

หรือปริมาตร
- การคาดคะเนเกี่ยวกบั การวัด

- การใช้ความรเู้ กี่ยวกบั พน้ื ท่ี พนื้ ที่ผิว และ

ปริมาตรในการแกป้ ญั หา

2 ความคลา้ ย ค 3.2 ม.3/1 สมบัตขิ องรูปสามเหล่ยี มคล้ายและการนำไปใช้

3 กราฟ ค 4.2 ม.3/2 - กราฟแสดงความเก่ียวข้องระหวา่ งปรมิ าณ 12 20
ค 4.2 ม.3/3 สองชุดที่มคี วามสัมพนั ธเ์ ชงิ เส้น
- กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 18 30
ค 4.2 ม.3/4 - กราฟของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 60 100
- กราฟอื่น ๆ
4 ระบบ ค 4.2 ม.3/5 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และการนำไปใช้
สมการเชงิ
เสน้ รวม

12

ตารางวิเคราะหก์ ารประเมินผลและเวลาเรยี น
สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 3 วิชาคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน ค 23101 ภาคเรียนท่ี 1

ประจำหน่วยการเรยี นรู้ที่ 4 เรอ่ื ง ระบบสมการเชงิ เส้น

ที่ เนือ้ หา คาบเรยี น เก็บ คะแนน รวม
คะแนน
สอบ สอบ
กลางภาค ปลายภาค

1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 4 5- -5
2 ความหมายของกราฟของระบบสมการเชิงเส้น 4
4- -4
ของตวั แปร 5
3 การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 4 8- 3 11
4 โจทย์สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 1 6- 4 10
- ทดสอบประจำหน่วย (หลังเรียน) 18 -- --
23 0 7 30
รวม

ตัวชี้วดั (รหสั ตัวช้ีวดั ) เก็บ กลาง ปลาย รวม
0 7 30
11 แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร และนำไปใช้แกป้ ัญหาพรอ้ มทงั้ ตระหนัก ถึง 23
ความสมเหตสุ มผลของคำตอบ (ค 4.2 ม 3/5) 0 7 30
รวม 23

13

แผนการจดั การเรียนรู้

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวชิ า ค23101 คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3

แผนการจดั การเรียนรู้เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร เวลา 5 ชว่ั โมง

สอนโดย นางอมุ าพร พมิ พภ์ กั ดี ครูชานาญการพเิ ศษ โรงเรียนบา้ นไผ่

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทางคณิตศาสตร์อนื่ ๆ แทน

สถานการณ์ตา่ ง ๆ ตลอดจนแปลความและนาไปใชแ้ กป้ ัญหา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้
2.1 ด้านความรู้
ผเู้ รียนมีความรู้ความเขา้ ใจและสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรได้
2.2 ด้านทกั ษะกระบวนการ
1. แกป้ ัญหาดว้ ยวิธีการทีห่ ลากหลาย
2. ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร ส่ือความหมายและนาเสนอได้

อยา่ งถกู ตอ้ ง ชดั เจน รดั กมุ
2.3 ด้านคุณลกั ษณะทพี่ งึ ประสงค์
มคี วามร่วมมอื และมีระเบียบวินยั ในการปฏิบตั ิงาน

3. สาระการเรียนรู้
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยการใช้กราฟ
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยการแทนค่า
- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร โดยการกาจดั ตัวแปร

4. กิจกรรมการเรียนรู้

ช่ัวโมงที่ 1 (การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กราฟ)
1. ทบทวนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้แผนภาพแสดงความสัมพันธ์การแทน
ค่า x,y และครูต้งั คาถามกระต้นุ นักเรียน ดังน้ี

- กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมลี กั ษณะอย่างไร [เป็ นกราฟเส้นตรง]

14

- ค่อู นั ดบั ที่กราฟสองเส้นตดั กัน ถ้านามาแทนค่า x และ y ในสมการท้งั สองสมการจะมี
ค่าเป็ นอย่างไร [ค่อู นั ดบั ทีจ่ ุดตัดเม่ือแทนในสมการท้งั สองแล้วทาให้สมการท้งั สองเป็ นจริง]

- ค่อู นั ดับหรือจดุ ตัดบนกราฟทีท่ าให้สมการท้งั สองเป็ นจริงเรียกว่าอะไร
[คาตอบของระบบสมการ]

2. ครูชี้แนะวิธกี ารใช้แบบฝึ กทกั ษะแล้วให้ นักเรียนศึกษาแบบฝึ กทกั ษะที่ 1 เรื่อง การแกร้ ะบบ
สมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟและหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยใช้กราฟ

3.นกั เรียนอภปิ รายร่วมกนั โดยมคี รูเป็ นผู้ชี้แนะ เช่ือมโยงจากกิจกรรมและกราฟท่ไี ด้จาก
กิจกรรมในแบบฝึ กทักษะที่ 1 ดังน้ี

1) กราฟคาตอบของสมการไม่มจี ุดตัด ระบบสมการไม่มคี าตอบ
2) กราฟคาตอบของสมการตดั กัน 1 จดุ ระบบสมการมีคาตอบเดียว
3) กราฟคาตอบของสมการทับกนั ระบบสมการมีคาตอบไม่จากัด

ชั่วโมงท่ี 2 (การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนค่า)
1.ทบทวนระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรและการคาตอบของระบบสมการโดยใช้กราฟ
โดยการถาม-ตอบ จากน้ันครูต้งั คาถามให้นักเรียนแสดงความคดิ เหน็ เกยี่ วกับการหาคาตอบของระบบ
สมการ ดงั นี้
"นกั เรียนคดิ ว่า นอกจากการหาคาตอบของระบบสมการโดยใชก้ ราฟเสน้ แลว้ ยงั มีวธิ ีการอน่ื อกี
หรือไม่ อยา่ งไร”
2. นักเรียนศึกษาแบบฝึกทกั ษะที่ 2 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนคา่
และหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
3. นักเรียนเรียนอภิปรายร่วมกนั โดยมีครูเป็ นผูช้ ้ีแนะ เช่ือมโยงจากกิจกรรม และวิธีการหาคาตอบ
โดยการแทนค่า
4. นกั เรียนร่วมกนั สรุปเกี่ยวกบั การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยวิธกี ารแทน
ค่า ดังนี้

1) แก้สมการโดยให้ตัวแปรตวั หนึ่งอย่ใู นรูปตัวแปรอกี ตัวหนงึ่
2) แทนค่าตัวแปรทไ่ี ด้จากข้อ1ในสมการอีกสมการหนง่ึ ทาให้เหลือตวั แปรเพยี งตัวเดียว
3) แก้สมการในข้อที่ 2
4) แทนค่าคาตอบที่ได้จากข้อ 3 ลงในข้อ 1 กจ็ ะได้คาตอบท้งั หมดของระบบสมการ

ชั่วโมงท่ี 3 (การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยกาจัดตัวแปร)
1. สนทนากบั นกั เรยี นเกย่ี วกบั การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร นอกจาก
จะใช้กราฟ ใช้การแทนค่า แล้วยังมีวิธอี นื่ ๆ อกี หรือไม่

15

2. นักเรียนศึกษาแบบฝึกทกั ษะที่ 3 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั
แปรและหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

3. ผูเ้ รียนอภิปรายร่วมกนั โดยมีครูเป็นผูช้ ้ีแนะ เช่ือมโยงจากกิจกรรม และวิธีการหาคาตอบโดย
กาจดั ตวั แปร

4. ผ้เู รียนร่วมกนั สรุปเก่ยี วกบั การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยวธิ ีการกาจดั
ตัวแปร

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรด้วยวธิ กี ารทาให้สัมประสิทธ์ขิ องตวั แปรเท่ากัน โดยใช้
สมบตั ขิ องการเท่ากนั ดังน้ี

สมบตั กิ ารบวก
ถ้า a , b , c และ d เป็ นจานวนจริงใดๆ โดยท่ี a = b และ c = d แล้ว a + c = b+ d
สมบัตกิ ารคณู
ถ้า a , b และ c แทน จานวนจริงใดๆ และ a = b แล้ว ac = bc
ชั่วโมงที่ 4
1. ทบทวนระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรและการหาคาตอบโดยการใช้กราฟ การแทนค่า และ
การกาจัดตัวแปร ครูต้งั คาถามกระต้นุ ความคดิ ของนกั เรียน
“นักเรียนคดิ ว่าวธิ ีใดทส่ี ามารถใช้หาคาตอบของระบบสมการได้ดีและรวดเร็วทสี่ ุด”
2. แบ่งกล่มุ นกั เรียน กล่มุ ละ 3-5 คน จากน้ันให้แต่ละกล่มุ สร้างโจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั
แปร พร้อมท้งั หาคาตอบของระบบสมการ กล่มุ ละ 3-4 ข้อ ในแต่ละข้อให้ใช้วิธีการหาคาตอบของระบบ
สมการท้งั 3 วธิ ี และพจิ ารณาว่าทกุ วิธไี ด้คาตอบเหมือนกนั หรือไม่ แล้วให้นกั เรยี นเลอื กวธิ ีทน่ี กั เรียนคิดว่า
ง่ายที่สุดในการหาคาตอบของระบบสมการ นาเสนอหน้าช้ันเรียน พร้อมท้งั อภิปรายประกอบให้เพ่ือนๆใน
ห้องพจิ ารณากล่มุ ละ 1 ข้อ
3. นักเรียนร่วมกันสรุปบทเรียน โดยมีครูเป็ นผู้คอยชี้แนะ
4. นักเรียนทาแบบสอบถามความพึงพอใจของนกั เรียนทม่ี ีตอ่ การใชแ้ บบฝึกทกั ษะ เรื่องการแก้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ชั่วโมงที่ 5
นกั เรียนทาแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียน เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

16

5. สื่อการเรียนรู้
แบบฝึ กทกั ษะเร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

6. การวัดผลและประเมินผล

ด้าน วธิ ีการ เคร่ืองมือ เกณฑ์

ความรู้ (K) ตรวจแบบฝึ กทกั ษะ แบบฝึ กทกั ษะ ได้คะแนนอย่ใู นระดบั

ดี

ทักษะ/ สังเกตการแก้ปัญหา แบบประเมินการแก้ปัญหา แก้ไขปัญหาได้ใน

กระบวนการ (P) ระดับดี

คณุ ลักษณะ (A) สังเกตพฤติกรรมการทางาน แบบสังเกตพฤตกิ รรมกล่มุ ทางานอย่างเป็ น

รายกล่มุ และรายบคุ คล และรายบุคคล ระบบและมรี ะเบยี บ

วนิ ัยได้ในระดบั ดี

เกณฑ์การวดั และประเมินผล

เกณฑ์การประเมนิ คุณภาพผลงาน (Rubrics Scoring) ของผ้เู รียน

ระดับ 3 หมายถงึ ผลงานของนกั เรียนมคี ะแนนต้งั แต่ร้อยละ 70 ขนึ้ ไปอย่ใู นระดบั ดี

ระดับ 2 หมายถงึ ผลงานของนักเรยี นมคี ะแนนมากกว่าร้อยละ50 แต่น้อยกว่าร้อยละ

70 อย่ใู นระดับ พอใช้

ระดับ 1 หมายถงึ ผลงานของผ้เู รยี นมคี ะแนนต่ากว่าร้อยละ 50 อย่ใู นระดับ

ควรปรับปรุง

7. กิจกรรมเสนอแนะ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

(ลงช่ือ) ครูผ้สู อน
(นางอมุ าพร พมิ พ์ภกั ดี)

17

แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์
เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 3

ชื่อ..........................................ช้นั ...............เลขที่..........

สอนโดย
นางอุมาพร พมิ พ์ภักดี
ครูชานาญการพเิ ศษ
โรงเรียนบ้านไผ่ อาเภอบ้านไผ่ จังหวดั ขอนแก่น
สานักงานเขตพื้นท่กี ารศึกษามัธยมศึกษาเขต 25

18

คานา

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สาหรับนักเรียนช้ัน
มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐานพุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียนรู้โดยใชค้ วบคู่ กบั แผนการจดั การเรียนรู้ใหผ้ ูเ้ รียนไดศ้ ึกษา
ทาความเขา้ ใจ และฝึกฝนจนเกิดทกั ษะการเรียนรู้เก่ียวกบั การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรมากย่ิงข้นึ
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร มที ้งั หมด 3 แบบฝึกทกั ษะไดแ้ ก่

แบบฝึกทกั ษะที่ 1 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
แบบทกั ษะน้ีไดน้ าเสนอเน้ือหาสาระตามมาจรฐานที่กาหนดไวใ้ นหลกั สูตรโดยมุ่งหวงั จะเป็ นแรง
กระตนุ้ ใหผ้ ูเ้ รียนประสบผลสาเร็จในการเรียนรู้ และมผี ลสัมฤทธ์ิทางการเรียนสูงข้นึ
ผูจ้ ดั ทาหวงั เป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
จะเป็นเครื่องมอื ทีใ่ ชพ้ ฒั นาผูเ้ รียนให้มผี ลการเรียนทก่ี า้ วหนา้ ย่งิ ๆข้นึ ไป

นางอุมาพร พิมพภ์ กั ดี
ครูชานาญการพิเศษ

19

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 1
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 2
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่ ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ท่ี 3
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปรไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

20

คาชีแ้ จงการใช้แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 3

ประกอบดว้ ย

1. คาช้ีแจงสาหรับนกั เรียน
2. ใบความรู้

2.1 ใบความรู้ท่ี 1 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
2.2 ใบความรู้ท่ี 2 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนคา่
2.3 ใบความรู้ที่ 3 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
3. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
3.1 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 1 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
3.2 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 2 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า
3.3 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ท่ี 3 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
4. เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

21

คาแนะนาการใชส้ าหรบั นกั เรียน

1. ก่อนทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ นกั เรียนควรอ่านใบความรู้ให้เขา้ ใจอยา่ งดีกอ่ นลงมอื ทาแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์ในแตล่ ะชุด

2. การทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์แต่ละชุด จะมีการเฉลยคาตอบในภาคผนวก นกั เรียนอยา่ ดูคาตอบ
กอ่ นตอบคาถาม เพราะจะไม่ช่วยให้นกั เรียนเกิดการฝึกฝนและเรียนรู้ในเน้ือหา

3. ถา้ มขี อ้ สงสัยใดๆ ให้สอบถามจากเพอื่ นทรี่ ู้ หรือปรึกษาหารือในกลุม่ ถา้ ยงั ไมไ่ ดร้ ับคาตอบเป็นที่
พอใจให้ปรึกษาครูผสู้ อน

4. เมื่อศกึ ษาใบความรู้และทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ครบแลว้ ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบโดยการไม่
เปิ ดดเู น้ือหาท่ีผ่านมาขณะทาแบบทดสอบ

5. การทาแบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิ ตดั สินการผา่ นโดยนกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 70 ของ
คะแนนเตม็

22

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใช้กราฟ

จุดประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โดยการเขยี นกราฟได้

23

ใบความรู้ที่ 1

การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

การหาคาตอบของระบบสมการโดยใชก้ ราฟ ให้เขยี นกราฟของสมการท้งั สองในระบบพิกดั ฉาก
เดียวกนั คาตอบขอ้ ระบบสมการคอื พิกดั ของจุดตดั ที่เกิดจากกราฟของสมการท้งั สอง

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคาตอบของระบบสมการท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ีโดยใชก้ ราฟ

x + y = 8 ---------------- ( 1 )

x − y = 2 ---------------- ( 2 )

กาหนดคา่ x = 0, y = 0 และค่า x อกี 1 ค่า ในแตล่ ะสมการดงั น้ี

วธิ ีทา ข้นั ท่1ี สมการ x + y = 8 สมการ x − y = 2

หรือ y = 8 − x หรือ y = x − 2

x0 1 x0 3

y0 y0

หาค่า x หรือ y เตมิ ในช่องวา่ งให้สอดคลอ้ งกบั สมการ

y =8− x y= x−2

x081 x023
y807 y -2 0 1

ข้นั ท่ี 2 นาค่อู นั ดบั (x, y) ไปลงจดุ ในระบบพกิ ดั ฉาก

24

Y

8 (0,8)
(1,7)

6

4

A(5,3)

2

-4 -2 (3,1) 6 (8,0) X
(2,02) 4 8

-2 (0,-2)

ลากเส้นตรงผ่านจดุ เหล่าน้นั กราฟเส้นตรงท้งั สองสน้ ตดั กนั ท่ีจุด A(5,3)

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคอื (5,3) ตอบ

25

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคาตอบของระบบสมการทีก่ าหนดให้ต่อไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
2x + y = 3 ---------------- ( 1 )
4x + 2y = 6 ---------------- ( 2 )

วิธีทา คอู่ นั ดบั (x, y) ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ 2x + y = 3 หรือ y = 3 − 2x ไดแ้ ก่

x 0 1 1.5

และค่อู นั ดบั ท่ี y310
สอดคลอ้ งกบั สมการ

4x + 2y = 6 หรือ y = 6 − 4x ไดแ้ ก่

2

x 0 1 1.5

y310

เขียนคูอ่ นั ดบั ในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกนั และลากเสน้ ตรงผา่ นจดุ เหลา่ น้นั ไดด้ งั น้ี

Y

8

6

4
(0,3)

2 (1,1)

-4 -2 (1.5,0) 4 6 8X
2

-2 (1),(2)

จากสมการ ) 2 นา (2 หารตลอด จะได้ 2x + y = 3 เป็นสมการเดียวกนั กบั สมการ )1 (
ทาใหไ้ ดก้ ราฟ 2 เส้นทบั กนั สนิท

ดงั น้นั คาตอของระบบสมการน้ีมีมากมายหลายคาตอบ ตอบ
อย่ใู นรูปค่อู นั ดบั (x, y) คอื (x,3 − 2x)

26

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคาตอบของระบบสมการทีก่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
x − 3y = 6 ---------------- ( 1 )
x − 3y = 9 ---------------- ( 2 )

วิธที า คู่อนั ดบั (x, y) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการ x − 3y = 6 หรือ y = x − 6 ไดแ้ ก่

3

และค่อู นั ดบั ที่ x036
หรือ y = x − 9 ไดแ้ ก่ y -2 -1 0

3 สอดคลอ้ งกบั สมการ x − 3y = 9

x039
y -3 -2 0

เขยี นคอู่ นั ดบั ในระบบพิกดั ฉากเดียวกนั และลากเส้นตรงผา่ นจดุ เหลา่ น้นั ไดด้ งั น้ี

Y

8

6

4

2

-2 2 4 (6,0) (9,0) X
6 8

-2 (0,-2) (3,-1)
(3,-2)

(0,-3)

ไดก้ ราฟเส้นตรง 2 เสน้ ขนานกนั ตอบ
ดงั น้นั ระบบสมการน้ีไมม่ คี าตอบ

27

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

จงหาคาตอบของระบบสมการทกี่ าหนดให้ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
1. x + y = 6

x − y = −4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Y

x

28
2. x + y = 5

x−y=5

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Y

x

29
3. x − y = −5

x−y=5

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Y

x

30

4. y = −x

x−y=6

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Y

x

31
5. x + y = 1

x−y=5

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Y

x

32

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนค่า

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โดยการแทนค่าได้

33

ใบความรู้ท่ี 2
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า

วิธีการ
1. เขยี นตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอีกตวั หน่ึง เช่น เขยี น x ในรูปของ y หรือเขียน y ในรูปของ x
สมการใดสมการหน่ึงตามสะดวก
2. ถา้ เขยี นตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอีกตวั แปรหน่ึงจากสมการ 1 ให้นาผลทไ่ี ดไ้ ปแทนที่ตวั แปร
น้นั ในสมการที่ 2 แต่ถา้ เขยี นตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอีกตวั แปรหน่ึงจากสมการ 2 ให้นาผลท่ี
ไดไ้ ปแทนค่าในสมการ 1
3. แกส้ มการในขอ้ 2 จะไดค้ า่ ตวั แปรของตวั ท่ีหน่ึง
4. นาคา่ ตวั แปรของตวั ทหี่ น่ึงทห่ี าไดไ้ ปแทนคา่ สมการในขอ้ 1 จะไดค้ า่ ของตวั แปรตวั ท่ีสอง นน่ั คือ
คา่ ของตวั แปรท้งั สองเป็นคาตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างท่ี 1 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี x + y = 5

x−y =3

วิธที า โดยการแทนคา่ x + y = 5 -------------(1)

x − y = 3 -------------(2)

จาก (1) จะได้ y = 5 − x -------------(3)

แทนคา่ y = 5 − x ใน (2)

จะได้ x − (5 − x) = 3

x−5+ x = 3

2x −5 = 3

2x = 8

x=4

แทนคา่ x = 4 ใน (3) จะได้ y = 5 − 4

y =1

ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 4 และ y = 1 ใน (1) จะได้ 4 +1 = 5 ซ่ึงเป็ นจริง
แทนคา่ x = 4 และ y = 1 ใน (2) จะได้ 4 -1 = 3 ซ่ึงเป็ นจริง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ คอื (4,1)

34

ตัวอย่างที่ 2 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 3x − y = 17

x+2y = 8

วธิ ีทา โดยการแทนค่า 3x − y = 17 -------------(1)

x + 2y = 8 -------------(2)

จากสมการ (1) 3x − y = 17

เขียน y ในรูปของ x จะได้ − y = 17 − 3x

หรือ y = 3x −17 -------------(3)

นาค่า y ทไี่ ดจ้ ากสมการแทนค่าในสมการ (2) x + 2y = 8

จะได้ x + 2(3x −17) = 8

สมการน้ีเป็นสมการตวั แปรเดียว แกส้ มการน้ีจะหาค่า x ได้

x + 6x − 34 = 8

x + 6x = 8 + 34

7x = 42

แทนค่า x ดว้ ย 6 ในสมการ (3) x=6 ระบบสมการเชิงเส้นสอง
จะได้ ตวั แปรประกอบดว้ ยสอง
y = 3x −17 สมการ การตรวจคาตอบ
y = 3(6) −17 ตอ้ งตรวจท้งั สองสมการ
นะครบั
y = 18 −17

y =1

ตรวจสอบคาตอบ

โดยการแทนค่า x = 6 และ y =1 ในสมการ (1) และ (2)

พิจารณา 3x − y = 17 พิจารณา x + 2y = 8

แทนคา่ x = 6 และ y =1 แทนค่า x = 6 และ y =1

จะไดส้ มการ 3(6) −1 = 17 จะไดส้ มการ 6 + 2(1) = 8

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ คอื (6,1)

35

ตัวอย่างที่ 3 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 2x − y = −4

วิธีทา โดยการแทนค่า 4x = 7 + 2y

2x − y = −4 -------------(1)

4x = 7 + 2y -------------(2)

จากสมการ (1) เขยี น y ในรูปของ x จะได้

y = 2x + 4 -------------(3)

นาคา่ y ทไี่ ดจ้ ากสมการ (3) แทนคา่ ในสมการ (2)

4x = 7 + 2y

จะได้ 4x = 7 + 2(2x + 4)

4x = 7 + 4x +8

4x − 4x = 7 +8

0 = 15 เป็นสมการท่ีเป็นเท็จ แสดงวา่ ไมส่ ามารถหาคา่ x และค่า y ที่
ทาให้สมการท้งั สองสมการในระบบสมการเป็นจริงได้

ดงั น้นั ระบบสมการไมม่ คี าตอบ

คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร อาจมคี าตอบดงั น้ีค่ะ
1. มีคาตอบเดียว
2. มหี ลายคาตอบ
3. ไมม่ ีคาตอบเลยกไ็ ด้

36

แบบฝึกทกั ษะที่ 2
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่

จงแกร้ ะบบสมการในแต่ละขอ้ โดยการตอ่ ป้ี โดยการแทนคา่ พร้อมตรวจคาตอบ
1) x + y = 5

x− y =5

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

37

2) 2x + y = 5

x − y = 10

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

38

3) x + y = 5

x − 2y =8

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………..

39

4) x + y = 4

2x + 2y = 8

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

40

5) 2x − y = 3

4x − 2y = 8

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………