แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

41

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจัดตวั แปร

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร
โดยการกาจดั ตวั แปรได้

42

ใบความรู้ท่ี 2
การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร

การแกส้ มการโดยการกาจดั ตวั แปรทาไดโ้ ดยใชส้ มบตั ิการคณู เพอ่ื ทาให้สัมประสิทธ์ิตวั แปรตวั
หน่ึงเป็นจานวนตรงขา้ มกนั แลว้ ใช้สมบตั ิการบวกเพื่อทาใหไ้ ดส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

➢ สมบตั ิการบวก
ถา้ a , b , c และ d เป็นจานวนจริงใดๆโดย a=b และ c= d แลว้ a+c =b+d

➢ สมบตั ิการคณู
ถา้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ และ a = b แลว้ ac = bc
กาหนดระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร
ax + by = c -------------(1)
dx + ey = f -------------(2)

วิธีแกส้ มการโดยการกาจดั ตวั แปร มีวธิ ีทาดงั น้ี

1. ทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรท่ีตอ้ งการกาจดั ใหเ้ ป็นจานวนตรงขา้ มกนั โดยใชส้ มบตั ิการคณู
2. ใชส้ มบตั กิ ารบวกกาจดั ตวั แปรท่มี ีสมั ประสิทธ์ิตรงขา้ มกนั ในขอ้ 1. เมอ่ื กาจดั ตวั แปรตวั

หน่ึงออกแลว้ สมการทไี่ ดจ้ ะเป็นสมการเชิงเสน้ ท่มี ีตวั แปรเดียว
3. หาคาตอบของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวในขอ้ 2. จะเป็นคา่ ของตวั แปรตวั หน่ึง
4. หาค่าของตวั แปรอีกตวั หน่ึง โดยนาคา่ ของตวั แปรในขอ้ 2. แทนคา่ ในสมการ (1) หรือ

สมการ (2)

43

ตัวอย่างที่ 1 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 2x − 3y = 7

3x + 2y = 4

วิธีทา โดยการกาจดั ตวั แปร พิจารณาสมการ (3)และ
สมการ (4) จะเหน็ วา่ เรา
2x − 3y = 7 -------------(1) ใชส้ มบตั ิการคูณทา
สัมประสิทธ์ิของตวั แปร y
3x + 2y = 4 -------------(2) ใหเ้ ป็นจานวนตรงขา้ ม
สงั เกตดว้ ยนะคะว่า 6 เป็น
เลอื กกาจดั ตวั แปร y ตอ้ งทาสัมประสิทธ์ิของตวั แปร y ให้เป็น ค.ร.น. ของ 2 แล 3 ซ่ึงเป็น
คา่ สมั บรู ณ์ของ
จานวนตรงขา้ ม โดยใชส้ มบตั กิ ารคูณ ดงั น้ี สัมประสิทธ์ิของ y ใน
สมการ(3) และ สมการ
(1) x 2 ; 4x − 6y = 14 -------------(3)
(4)
(2) x 3 ; 9x + 6y =12 -------------(4)

ใชส้ มบตั กิ ารบวก

(3) + (4) ; (4x − 6 y) + (9x + 6 y) = 14 + 12

13x = 26

แทนค่า x ดว้ ย 2 ในสมการ (1) x = 26
13

x=2

2x −3y = 7

จะได้ 2(2) − 3y = 7

4−3y = 7

−3y = 7 −4

− 3y = 3

y= 3
−3

y = −1

ตรวจสอบคาตอบ

โดยการแทนค่า x = 2 และ y = −1 ในสมการ (1) และ (2)

พจิ ารณา 2x − 3y = 7 พิจารณา 3x + 2y = 4

แทนคา่ x = 2 และ y = −1 แทนค่า x = 2 และ y = −1

จะไดส้ มการ 2(2) − 3(−1) = 7 จะไดส้ มการ 3(2) + 2(−1) = 4

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคอื (2,-1)

44

ตวั อย่างท่ี 2 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 3 x − 3 y = 15
วิธที า โดยการกาจดั ตวั แปร 24 4
4 x− 5 y =3
33

3 x − 3 y = 15 -------------(1)

24 4

4 x − 5 y = 3 -------------(2)

33

เพ่อื ทาใหส้ มั ประสิทธ์ิของ x และ y เป็นจานวนเตม็

จึงนา ค.ร.น. ของ 2 , 4 คือ 4 คณู ท้งั สองขา้ งสมการ (1) และ นา 3 คูณท้งั สองขา้ งของสมการ (2)

(1) x 4 ; 6x − 3y = 15 -------------(3)

(2) x 3 ; 4x − 5y = 9 -------------(4)

เลอื กกาจดั ตวั แปร y ตอ้ งทาสัมประสิทธ์ิของตวั แปร y ให้เป็นจานวนตรงขา้ ม

โดยใชส้ มบตั กิ ารคณู ดงั น้ี

(3) x 5 ; 30 x −15 y = 75 -------------(5)

(4) x (-3) ; −12x +15 y = −27 -------------(6)

(5) + (6) ; 18x = 48

x = 48 ตรวจสอบคาตอบ และ ใน
18 โดยการแทนคา่ -------------(1)
สมการ (1) และ (2)
x=8 พจิ ารณา
3
แทนค่า และ
แทนค่า x ดว้ ย 8 ในสมการ (3)
จะไดส้ มการ เป็ นจริ ง
3

6x − 3y = 15

6 8  − 3y = 15
3

16 − 3y = 15

− 3y = 15 −16

− 3y = −1 พจิ ารณา ------------(2)
แทนคา่ และ เป็ นจริ ง
y = −1 จะไดส้ มการ
−3

y=1
3

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคอื  8 , 1 

3 3

45

ตวั อย่างท่ี 3 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 0.2x + 0.3y = 0.5

0.7x + 0.4 y = −0.2

วิธีทา โดยการกาจดั ตวั แปร

0.2x + 0.3y = 0.5 -------------(1)

0.7x + 0.4y = −0.2 -------------(2)

เพอื่ ทาให้สมั ประสิทธ์ิของ x และ y ซ่ึงเป็นทศนิยมหน่ึงตาแหน่งเป็นจานวนเต็มจึงนา 10 คณู กบั

สมการ(1) และ สมการ (2)

(1) x 10 ; 2x + 3y = 5 -------------(3)

(2) x 10 ; 7x + 4y = −2 -------------(4)

ในระบบสมการน้ีจะกาจดั ตวั แปร x ตอ้ งทาสัมประสิทธ์ิของตวั แปรx ใหเ้ ป็นจานวนตรง

ขา้ ม

(3) x 7; 14 x + 21y = 35 -------------(5)

(4) x (-2); −14 x − 8 y = 4 -------------(6)

(5) + (6) ; 13 y = 39

y = 39 หรือ y = 3
13

แทนคา่ y ดว้ ย 3 ในสมการ (3)

2x + 3y = 5

จะได้ 2x + 3(3) = 5

2x +9 = 5

2x = 5−9

2x = −4

x= −4 หรือ x = −2
2

ตรวจสอบคาตอบ โดยการแทนคา่ x = −2 และ y = 3 ในสมการ (1) และ (2)

พจิ ารณา 0.2x + 0.3y = 0.5 พิจารณา 0.7x + 0.4 y = −0.2

แทนคา่ x = −2 และ y = 3 แทนค่า x = −2 และ y = 3

จะได้ 0.2(−2) + 0.3(3) = 0.5 จะได้ 0.7(−2) + 0.4(3) = −0.2

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ (-2,-3)

46

ตวั อยา่ งที่ 4 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 2x + 3y = 6
6x + 9 y = 18

วธิ ที า โดยการกาจดั ตวั แปร
2x + 3y = 6 -------------(1)
6x + 9y = 18 -------------(2)

พจิ ารณาสมการ (1) จะพบว่า เมือ่ นา 3 ไปคณู ท้งั สองขา้ งของสมการ (1)
จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นสมการ (2) แสดงวา่ เส้นตรงสองเส้นน้ีเป็นเสน้ ตรงเดียวกนั
ดงั น้นั ระบบสมการน้ีมคี าตอบมากมายไมจ่ ากดั ไดแ้ ก่ จดุ ทกุ จดุ บนเสน้ ตรง 2x + 3y = 6

2x + 3y = 6 จะได้ 3y = 6 − 2x หรือ y = 6 − 2x กล่าวไดว้ า่

3

ระบบสมการน้ีมีคาตอบมากมายไม่จากดั ในรูป  x, 6 − 2x 

 3

47

แบบฝึ กทักษะที่ 3
เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกาจัดตวั แปร

จงแกร้ ะบบสมการในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีโดยการกาจดั ตวั แปร พร้อมตรวจคาตอบ
1) 4x + 6 y = 5

x −3y = 2

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

48

2) 9x + 8y = 9

3x + 4y = 2

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

49

3) 6x + 3 y = 19

73
3x + 3 y = 4

73

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

50

4) 7x − 3y = −9

14 x − 6 y = 10

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

51

5) 0.2x + 0.3y = 0.1

0.8x +1.2 y = 0.4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

52

แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ทิ างการเรียน เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
คาชี้แจง

1. แบบทดสอบฉบบั น้ีเป็นแบบทดสอบชนิดเลอื กตอบ 4 ตวั เลอื ก จานวน 20 ขอ้
2. จงเลือกขอ้ ทถ่ี กู ทีส่ ุดเพยี งขอ้ เดียวแลว้ ทาเครื่องหมายกากบาทลงในกระดาษคาตอบ

***************************************
1. กราฟท่ปี รากฏแทนดว้ ยสมการในขอ้ ใด

ก. x + y = 3 ข. 3x + 2y = 1 ค. 3x + y = 1 ง. 2x + y = 3

2. กราฟของสมการ 3x – 2y = 7 และ 2x + y = 7 คอื รูปขอ้ ใด

ก. ข.

ค. ง.

53

3. กราฟของสมการ 3x – 5y = 2 และ x + 2y = 4 คือรูปใด
ก. ข.

ค. ง.

4. จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 35 และ x = y – 7

ก. (-21,14) ข. (21,14) ค. (-14,21) ง. (14,21)
ง. (-7,-1)
5. จงแกร้ ะบบสมการ 2x − y = 5 และ 3x − 2y = 11 ง. (-64,8)
ง. (-28,-70)
ก. (1,7) ข. (7,1) ค. (-1,-7) ง. (23,-69)
ง. 15 ,− 1 
6. จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 56 และ y = x + 72
19 19 
ก. (8,64) ข. (-8,64) ค. (64,8)
ง. (-26,-6)
7. จงแกร้ ะบบสมการ y = 5x+70 และ 8x - 3y = -14

ก. (28,70) ข. (-28,70) ค. (28,-70)

8. จงแกร้ ะบบสมการ x = -3y และ 7x – 2y = -69

ก. (9,-3) ข. (-69,-23) ค. (-9,3)

9. จงแกร้ ะบบสมการ 3x - 7y = 2 และ x + 4y = 1

ก. − 1 , 15  ข. 15 , 1  ค.  − 15 ,− 1 

 19 19  19 19   19 19 

10. จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 16 และ x - y = 28

ก. (22,-6) ข. (22,6) ค. (-22,6)

11. จงแกร้ ะบบสมการ x + 20y = 160 และ -x + 60y = 160

54

ก. (80,4) ข. (-80,-4) ค. (40,8) ง. (8,40)

12. ขอ้ ใดคือคาตอบของระบบสมการ x + y = 6 และ x − y = −10

ก. (-8 , -2) ข. (2 , -8) ค. (-2 , 8) ง. (8 , -2)

13. ขอ้ ใดคือคาตอบของระบบสมการ 4x − y = 10 และ 2x + 3y = −16

ก. (6 , -1) ข. (1 , -6) ค. (-6 , -1) ง. (-1 , 6)

14. คาตอบของระบบสมการ 4x − 5y = −2 และ 12x −15 y = −6 มกี ่ีคาตอบ

ก. หน่ึงคาตอบ ข. สองคาตอบ ค. หลายคาตอบ ง. ไม่มีคาตอบ

15. คาตอบของระบบสมการ 2x −14 y = −6 และ 3x − 21y = −12 มีกี่คาตอบ

ก. หน่ึงคาตอบ ข. สองคาตอบ ค. หลายคาตอบ ง. ไม่มคี าตอบ

16. คาตอบของระบบสมการ 2x − y = −15 และ x + 4y = −3 มีกี่คาตอบ

ก. หน่ึงคาตอบ ข. สองคาตอบ ค. หลายคาตอบ ง. ไม่มีคาตอบ

17. ถา้ (a , b) เป็นคาตอบของระบบสมการ 2x − 6y = 16 และ 5x + y = −8

แลว้ a + b มีค่าเท่าไร

ก. -2 ข. 2 ค. -4 ง. 4

18. ถา้ (a , b) เป็นคาตอบของระบบสมการ 0.6x − 0.2y = 0 และ 0.5x + 0.4y = −3.4
แลว้ a - b มีค่าเท่าไร
ก. 4 ข. 2 ค. 0 ง. -4

19. ถา้ (a , b) เป็นคาตอบของระบบสมการ 1 x − 2 y = −13 และ 1 x + 1 y = 8
25 52

แลว้ a มคี า่ เท่าไร

b

ก. 1 ข. − 1 ค. 2 ง. -2

22

20. (-6 , 3) เป็นคาตอบของระบบสมการใด

ก. 6x − y = 39 และ 3x + 4 y = 6 ข. 4x − y = 22 และ 2x + 3y = 0

ค. 5x − 4 y = 39 และ 2x + 3y = −12 ง. 2x − 4 y = −24 และ 3x + 5y = −3

*************************************************************************

55

เฉลยแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ทิ างการเรยี น เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
1. ก
2. ข
3. ค
4. ง
5. ค
6. ข
7. ง
8. ค
9. ข
10. ก
11. ก
12. ค
13. ข
14. ค
15. ง
16. ก
17. ค
18. ง
19. ข
20. ง

56

แบบสอบถามความพึงพอใจของนกั เรียนทมี่ ีต่อการใช้แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์
เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ของนักเรยี นช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 3
คาแนะนา ในการตอบแบบสอบถามใหน้ กั เรียนใสเครื่องหมาย  ในช่องแสดงคาตอบท่ตี รงกบั
ความพึงพอใจของนกั เรียนมากทีส่ ุด ระดบั ความพึงพอใจมคี วามหมายดงั น้ี

5 หมายถึง ความพึงพอใจอยใู่ นระดบั มากท่ีสุด
4 หมายถงึ ความพึงพอใจอยใู่ นระดบั มาก
3 หมายถึง ความพงึ พอใจอยใู่ นระดบั ปานกลาง
2 หมายถึง ความพึงพอใจอยใู่ นระดบั นอ้ ย
1 หมายถงึ ความพงึ พอใจอยใู่ นระดบั นอ้ ยท่ีสุด

ขอ้ รายการ ระดบั ความพงึ พอใจ
543 21
ดา้ น รูปแบบของแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
1 มีการกาหนดวตั ถุประสงคข์ องการเรียนไวอ้ ยา่ งชดั เจน
2 การออกแบบเน้ือหามคี วามชดั เจนเขา้ ใจงา่ ย
3 มคี าช้ีแจง แนะนาทชี่ ดั เจน อา่ นแลว้ เขา้ ใจงา่ ย
4 มีขนาดตวั อกั ษรทีเ่ หมาะสม มกี ารวางรูปแบบทีด่ ี

ดา้ นการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
5 เวลาท่ใี นการทาแบบฝึกทกั ษะเพียงพอเหมาะสม

6 ความยากง่ายของแบบฝึกทกั ษะพอเหมาะกบั นกั เรียน
7 แบบฝึกทกั ษะเร้าความสนใจของนกั เรียน
8 ช่วยใหไ้ ดฝ้ ึกทกั ษะและคน้ ควา้ หาความรู้ดว้ ยตนเอง
9 นกั เรียนสามารถเรียนรู้ดว้ ยตนเองอยา่ งมคี วามสุข
10 ทาใหไ้ ดร้ ับความรู้ในเชิงเน้ือหาเพ่ิมข้ึน
11 ทาใหน้ กั เรียนตอ้ งการฝึกทกั ษะในเร่ืองอ่นื ๆต่อไป

ขอบใจนกั เรียนทกุ คนท่ใี หค้ วามร่วมมือในการตอบแบบสอบถาม