สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ป.4 -ป.6

ตัวประกอบ
ตวั ประกอบของจานวนนบั ใดๆ คือจานวนนบั ทห่ี ารจานวนนนั้ ไดล้ งตวั
5ตวั อเปยา่็นงตัวประกอบของ 48 หรอื ไม่
ตวั อย่าง ตอบ ไม่เปน็ เพราะ 48÷5=9 เศษ 3

2 เปน็ ตวั ประกอบของ 8 หรือไม่ ดังนัน้ หารไมล่ งตวั

ตอบ เป็น เพราะ 8÷2=4 ดังนนั้ หารลงตวั

ตวั อย่าง จงหาตัวประกอบของ 12

วธิ ีคดิ 1. ใหเ้ ติมเลข 1 และจานวนนับทเ่ี ราสนใจไว้ทา้ ยสุด

1, ,12 ตวั เลขตัวตอ่ ไปจะมคี า่ ระหว่าง 1-12

2. ต่อไปใหเ้ รม่ิ ทอ่ งสูตรคณู ไปทีละแม่ แล้วเตมิ ตัวเลขที่หารลงตวั ลงไป โดยเตมิ ลงไปตรงกลางทีเ่ วน้ ไว้

2x6=12 ดงั น้ันให้เตมิ 2 กับ 6 ลงไป

1,2, ,6,12 ตวั เลขตัวตอ่ ไปจะมีค่าระหวา่ ง 2-6

3x4=12 ดังน้นั ใหเ้ ตมิ 3 กบั 4 ลงไป

1,2,3,4,6,12 เนอื่ งจาก 3และ4 เปน็ ตัวเลขทอี่ ย่ตู ดิ กนั แล้ว ดงั น้นั จงึ ไม่มจี านวนใดหาร 12 ลงตวั อีก

ดังน้ัน ตวั ประกอบของ 12 คือ 1,2,3,4,6,12

จานวนเฉพาะ

จานวนเฉพาะ คอื จานวนที่มคี า่ มากกวา่ 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1
และจานวนนับตัวนน้ั (ตัวมนั เอง) เท่านน้ั

จานวนเฉพาะที่มคี ่าระหว่าง 1-50 ได้แก่
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

ตวั ประกอบเฉพาะ

ตัวประกอบเฉพาะ คือตวั ประกอบของจานวนนบั ทเ่ี ป็นจานวนเฉพาะ

ตวั อยา่ งเชน่
ตัวประกอบของ 36 คอื 1,2,3,4,6,9,12,18,36
ดังน้นั ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คอื 2,3

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)

คอื จานวนที่หารลงตัวร่วมกันที่มคี า่ มากท่ีสุด

ตวั อย่าง ตวั อย่าง ตวั อย่าง
จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 15, 18 จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 15, 18 จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 15, 18
วธิ ีท่ี 1 หาจากตัวประกอบ วิธที ี่ 2 แยกตวั ประกอบ วธิ ที ่ี 3 หารสน้ั
ตวั ประกอบของ 12 คือ 1,2,3,4,6,12
ตวั ประกอบของ 15 คอื 1,3,5,15 12 = 2x2x3 3 12, 15, 18
ตัวประกอบของ 18 คือ 1,2,3,6,9,18 15 = 3x5 4, 5, 6
ตัวประกอบรว่ มไดแ้ ก่ 1,3 18 = 3x3x2
ดงั นั้น ห.ร.ม. คือ 3 ตวั ประกอบร่วมได้แก่ 3 หาตวั หารที่สามารถหารไดท้ กุ ตัว ถา้ เกดิ มี
ดงั น้นั ห.ร.ม. คือ 3 ตัวใดตัวหนึ่งท่ีไม่สามารถหารได้แล้วแสดงว่า
ตวั หารร่วมหมดแลว้

ดังนน้ั ห.ร.ม.คือ 3

ตัวคณู รว่ มนอ้ ย (ค.ร.น.)

คือจานวนท่ีคณู รว่ มกนั ทมี่ คี ่าน้อยท่สี ุด

ตัวอยา่ ง ตวั อย่าง ตัวอยา่ ง
จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 15, 18
จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 15, 18 จงหา ค.ร.น. ของ 12, 15, 18
วิธที ่ี 1 หาจากพหคุ ณู
พหคุ ูณของ 12 คือ 12,24,36,...,180,... วิธที ี่ 2 แยกตวั ประกอบ วธิ ีที่ 3 หารสนั้
พหคุ ูณของ 15 คอื 15,30,45,...,180,...
พหุคูณของ 18 คอื 18,36,54,...,180,... 12 = 2x2x3 3 12, 15, 18
พหุคณู ของ ร่วมไดแ้ ก่ 180,360,...
ดงั น้ัน ค.ร.น. คือ 180 15 = 3x5 2 4, 5, 6

18 = 3x3x2 2, 5, 3

ตัวประกอบรว่ มไดแ้ ก่ 3x2x5x3x2=180 หาตวั หารท่ีสามารถหารได้ทุกตวั หรืออยา่ ง
ดังน้นั ค.ร.น. คอื 180
น้อยสองตัว ถา้ เกิดไมม่ ตี วั ใดไม่สามารถหาร

ได้แล้วแสดงวา่ ตัวหารร่วมหมดแล้ว

ดงั น้ัน ค.ร.น.คอื (เอาเปน็ รปู ตัวL) 3x2x2x5x3=180

ตัวอยา่ งขอ้ สอบ

นา้ หวานมลี ูกปดั สฟี ้า 144 เม็ด ลูกปดั สเี หลือง 168 เม็ด และลกู ปัดสีขาว 96 เม็ด นามาร้อยเป็นสรอ้ ยข้อมือ โดยให้
สรอ้ ยขอ้ มอื แตล่ ะเสน้ มจี านวนลูกปดั เท่าๆกนั สเี ดียวกนั และไม่มลี กู ปัดเหลืออยู่ สรอ้ ยขอ้ มือแตล่ ะเสน้ มีลูกปัดมากทสี่ ดุ ก่เี มด็
(ข้อสอบ o-net ปี54)

วิธที า จากคยี เ์ วริ ์ดขอ้ นคี้ อื การแบง่ ให้เทา่ ๆกันและมากทส่ี ุด ดงั นนั้ เราจึงตอ้ งหา ห.ร.ม. ของ 144, 168 และ 96

2 144, 168, 96 ห.ร.ม. ของ 144,168,96 คือ(เอาเปน็ รปู ตวั ไอ) 2x2x2x3=24
2 72, 84, 48
2 36, 42, 24 ดังนั้น สร้อยขอ้ มือแต่ละเส้นมีลกู ปดั มากทส่ี ดุ 24 เม็ด
3 18, 21, 12

6, 7, 4

ตวั อย่างข้อสอบ

ครูแบ่งนกั เรียนชาย 16 คน และนักเรียนหญงิ 24 คน เป็นกลมุ่ กล่มุ ละเทา่ ๆกนั โดยไมป่ นกัน และไม่
เหลอื เศษ ไดน้ ักเรียนจานวนมากทส่ี ุดกล่มุ ละก่ีคน (ขอ้ สอบ o-net ปี 55)

วิธที า จากคีย์เวิรด์ ขอ้ นคี้ ือการแบง่ ให้เทา่ ๆกันและมากท่สี ดุ ดงั นั้นเราจึงตอ้ งหา ห.ร.ม. ของ 16,24

2 16, 24, ห.ร.ม. ของ 16,24 คอื (เอาเปน็ รปู ตัวไอ) 2x2x2=8
2 8, 12
2 4, 6 ดงั นน้ั สามารถแบง่ กลุม่ นักเรียนไดม้ ากทีส่ ุดกลุ่มละ 8 คน

2, 3

ตวั อย่างขอ้ สอบ

นกั เรียน 3 คน นาเงินไปฝากธนาคารออมสนิ ในเวลาตา่ งๆกนั ดงั นี้ ชนิดาฝากเงนิ ทุก 4 วัน พรนภา
ฝากเงนิ ทกุ 6 วัน วรารัตน์ฝากเงนิ ทุก 8 วัน ท้ังสามคนฝากเงินคร้ังแรกพรอ้ มกนั ในวนั ที่ 1 เมษายน
เป็นเวลากว่ี ันจะฝากเงนิ พรอ้ มกนั อีกคร้งั (ขอ้ สอบ o-net ปี 56)

วธิ ที า จากคีย์เวิร์ดข้อนคี้ อื คาวา่ พร้อมกัน ดงั นน้ั เราจึงตอ้ งหา ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8

2 4, 6, 8 ค.ร.น.ของ 4, 6 และ 8 คอื (เอาเปน็ รปู ตัวL) 2x2x1x3x2=24

2 2, 3, 4 ดงั น้ัน ผ่านไปอีก 24 วนั จึงจะฝากเงนิ พรอ้ มกนั อกี คร้งั

1, 3, 2

ตัวอยา่ งข้อสอบ

เคร่อื งรถนา้ อัตโนมัติจานวน 3 เครอ่ื ง เครอ่ื งที่ 1 จะทางานทกุ ๆ 3 ชวั่ โมง เครื่องที่ 2 จะทางาน
ทุกๆ 4 ช่วั โมง และเครอื่ งที่ 3 จะทางานทุกๆ 6 ชวั่ โมง ถา้ เร่ิมเปดิ เครื่องทางานพรอ้ มกนั เวลา 07.00น.
เปน็ เวลากชี่ ั่วโมงทเี่ ครือ่ งทัง้ 3 จะทางานพรอ้ มกนั อีกครง้ั (ขอ้ สอบ o-net ปี 57)

วธิ ที า จากคยี เ์ วิร์ดขอ้ นคี้ ือคาวา่ พร้อมกนั ดังนน้ั เราจึงต้องหา ค.ร.น. ของ 3, 4 และ 6

2 2, 4, 6 ค.ร.น.ของ 2, 4 และ 6 คอื (เอาเป็นรูปตวั L) 2x1x2x3=12

1, 2, 3 ดังน้นั เป็นเวลา 12 ชว่ั โมงจงึ จะทางานพรอ้ มกันอีกคร้ัง

ตัวอย่างขอ้ สอบ

พอ่ ค้าขายผลไม้ 2 ชนิด ขายมะมว่ ง 8 ผล สม้ 12 ผล ตอ้ งการบรรจุใสก่ ล่องกล่องละเทา่ ๆกนั โดย
แยกชนิดกนั ไมป่ ะปนกันและไมเ่ หลอื ผลไม้ จะบรรจุผลไมไ้ ดม้ ากท่สี ุดกล่องละกีผ่ ล (ขอ้ สอบ o-net ปี 58)

1. 2 2. 3 3. 4 4. 10

วธิ ที า จากคีย์เวิร์ดขอ้ นี้คอื การแบ่งใหเ้ ทา่ ๆกนั และมากทส่ี ดุ ดงั น้นั เราจึงต้องหา ห.ร.ม. ของ 8,12

ห.ร.ม. ของ 8,12 คอื (เอาเปน็ รูปตวั ไอ) 2x2=4

2 8, 12 ดังนั้น จะบรรจผุ ลไมไ้ ด้มากทีส่ ดุ กล่องละ 4 ผล
2 4, 6 ตอบ ขอ้ 3.

2, 3

ทิศทาง เหนือ ตะวนั ออก เทคนคิ การคดิ
เฉยี งเหนือ ใหห้ นั หน้าเขา้ ทิศเหนือเสมอ
ตะวนั ตก ขวามอื คือ ทศิ ตะวนั ออก
เฉยี งเหนอื ตะวันออก ซ้ายมือคือ ทิศตะวันตก

ตะวันตก

ตะวนั ตก ใต้ ตะวนั ออก
เฉยี งใต้ เฉียงใต้

มาตราสว่ น

คืออัตราสว่ นระหวา่ งระยะห่างบนแผนที่ หรอื ภาพ กบั ระยะห่างจริงบนพ้ืนผิวโลก หรือกับ
ระยะห่างบนแผนท่ี หรือภาพอนื่
เชน่ มาตราส่วนระยะทางบนแผนที่ 1 ซ.ม. : 100 ม.

หมายถงึ ถา้ เราวดั ความยาวในแผนทีไ่ ด้ 1 เซนติเมตร แสดงวา่ ระยะทางจรงิ มคี ่า 100 เมตร

ตัวอย่าง
ณเดชเดนิ ทางไปตั้งแคมปว์ ัดระยะทางจากแผนทีไ่ ด้ 5 เซนตเิ มตร ถ้ามาตราส่วน
ของแผนท่ีเป็น 1 ซ.ม. : 200 เมตร ณเดชจะเดนิ ทางในระยะจริงก่เี มตร

1 ซ.ม. = 200 ม.
5 ซ.ม. = 5x200 = 1,000 เมตร
ดังนั้นระยะทางที่ณเดชเดินจริงคอื 1,000 เมตร

ตัวอย่างข้อสอบ วิธีคดิ นำ้ ตก
3.

นักทอ่ งเทีย่ วเดนิ จากที่พกั ไปทางทิศเหนือ 200 เมตร เลย่ี วไปทางทิศตะวนั ออก 1. เดนิ จากที่พกั ไปทางทศิ เหนือ 200 เมตร จากมาตราส่วน
1 เซนติเมตร : 100 เมตร ดงั น้ันต้อง3วซา.มด.ขึ้นไปด้านบน 2
400 เมตร จากนนั้ เล้ียวไปทางทิศตะวันตกเฉยี งเหนอื 300 เมตร ถงึ นา้ ตก
เซนตเิ มตร
แผนผังแสดงการเดนิ ทางของนักทอ่ งเที่ยวเป็นอยา่ งไร เมอื่ ใช้มาตราสว่ น 4 ซ.ม.
นำ้ ตก

1 เซนตเิ มตร : 100 เมตร 2 ซ.ม. 3.

1. นำ้ ตก 2. นำ้ ตก 2. เล้ยี วไปทางทศิ ตะวนั ออก 400 เมตร ดังน3ัน้ ซ.ตม.้องวาดไป
1.5 ซ.ม. 3 ซ.ม. ทางขวาอกี 4 เซนตเิ มตร

4 ซ.ม.

1 ซ.ม. 2 ซ.ม. 2 ซ.ม.

4 ซ.ม.

2 ซ.ม. 3. เล้ียวไปทางทศิ ตะวนั ตกเฉยี งเหนอื 300 เมตร ดงั น้นั ต้อง

นำ้ ตก 4. นำ้ ตก วาดไปทางซ้ายและเฉียงไปดา้ นบน 3 เซนตเิ มตร
3.
นำ้ ตก
3 ซ.ม. 3.
4 ซ.ม.
4 ซ.ม. 3 ซ.ม.

3 ซ.ม. ตอบ ข้อ 3.

2 ซ.ม. 4 ซ.ม.

2 ซ.ม. 2 ซ.ม.

คณุ สมบัติของเรขาคณิต รูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ สั (square) คือ รูปส่ีเหลยี่ ม
ที่มีทกุ มุมเป็นมมุ ฉากและมีด้านทัง้ ส่ี ยาวเทา่ กนั
รูปสเ่ี หล่ยี มมุมฉาก (rectangle) คือ รูปสี่เหล่ยี ม
ท่มี มี ุมทุกมมุ เป็นมมุ ฉาก หรือเรียกอีกชื่อหน่ึงวา่
สเ่ี หลยี่ มผนื ผ้า

คุณสมบัติ คณุ สมบตั ิ
1. มีด้านตรงขา้ มยาวเทา่ กัน 1. มีดา้ นทกุ ดา้ นยาวเทา่ กัน
2. มมี ุมทกุ มมุ กาง 90 องศา 2. มมี มุ ทกุ มุมกาง 90 องศา
3. เสน้ ทแยงมมุ ยาวเทา่ กัน แตไ่ มต่ ้งั 3. เส้นทแยงมมุ ยาวเท่ากัน
ฉากซึง่ กนั และกัน 4. เสน้ ทแยงมุมแบง่ ครึ่งซ่งึ กันและกนั และตัด
4. เสน้ ทแยงมมุ แบง่ ครึ่งซง่ึ กนั และกัน กนั เป็นมุมฉาก

คณุ สมบตั ขิ องเรขาคณติ รปู สี่เหล่ยี มขนมเปียกปนู (rhombus) คือ
รปู สี่เหลี่ยมที่มีดา้ นทั้งสี่ยาวเท่ากนั มมุ แต่ละ
รูปส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน (parallelogram) คือ มมุ ไม่เป็นมุมฉาก
รูปส่ีเหลย่ี มท่ีมดี ้านตรงข้ามขนาน กนั และยาว
เทา่ กัน

คณุ สมบัติ คุณสมบัติ
1. มดี ้านตรงขา้ มยาวเทา่ กนั และขนานกัน 1. มีด้านยาวเท่ากนั และดา้ นตรงข้ามขนาน
2. เส้นทแยงมมุ ไมเ่ ทา่ กันแตแ่ บง่ ครึง่ ซึง่ กนั 2. เส้นทะแยงมุมยาวไมเ่ ทา่ กนั แต่แบง่ ครง่ึ ซ่งึ กนั
3. มมี มุ ตรงขา้ มกางเท่ากนั และกันและตดั กันเป็นมุมฉาก
3. มุมตรงข้ามกางเท่ากัน

คณุ สมบัตขิ องเรขาคณิต รปู ส่ีเหล่ียมรปู ว่าว คอื รูปส่ีเหลี่ยมท่ีมดี า้ นเท่ากนั
สองคู่
รูปสี่เหลย่ี มคางหมู (trapezoid) คอื รปู สเ่ี หลยี่ ม
ทม่ี ดี ้านค่หู นงึ่ ขนานกัน

คณุ สมบัติ คณุ สมบัติ
1. มดี า้ นขนานกัน 1 คู่ 1. มดี า้ นประชดิ ยาวเท่ากนั
2. เส้นทะแยงมมุ ตดั กันแตไ่ ม่แบ่งครง่ึ ซงึ่ กนั และกนั 2. สน้ ทแยงมมุ ยาวไม่เท่ากันแตต่ ัดกันเปน็ มมุ ฉาก
3. เสน้ ทแยงมุมเสน้ หน่งึ แบง่ ครึ่งเสน้ ทแยงมุม
อีกเสน้ หน่งึ

แกนสมมาตรของรปู สีเ่ หลย่ี ม

1.) รูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ สั มแี กนสมมาตร 4 แกน
2.)รปู สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีแกนสมมาตร 2 แกน
3.)รปู สี่เหลย่ี มขนมเปียกปูนมีแกนสมมาตร 2 แกน
4.)รูปสี่เหลี่ยมรูปวา่ มแี กนสมมาตร 1 แกน
5.)รูปสเ่ี หลยี่ มด้านขนานไมม่ แี กนสมมาตร
6.)รูปสี่เหลย่ี มคางหมูมแี กนสมมาตรบางรูป

คณุ สมบัตขิ องเรขาคณิต รปู วงรี มเี สน้ เสน้ โค้งเป็นวงรี โดยห่างจากจุด
ศูนย์กลางไม่เทา่ กนั
รูปวงกลม มเี สน้ โคง้ เป็นวงกลม และห่างจากจุด
ศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางเท่ากัน

คณุ สมบตั ิ
มีแกนสมมาตรเยอะทีส่ ดุ ไมส่ ามารถนับได้

สตู รหาพน้ื ทข่ี องเรขาคณิต สามเหลี่ยมดา้ นไมเ่ ทา่

วงกลม สามเหล่ยี ม

สตู รหาพ้นื ทข่ี องเรขาคณิต

สี่เหลีย่ มจัตรุ สั สี่เหล่ยี มผนื ผ้า ส่เี หล่ยี มขนมเปียกปนู

สตู รหาพ้ืนทขี่ องเรขาคณิต

ส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ส่เี หลี่ยมคางหมู ส่เี หล่ยี มรูปวา่ ว

สตู รหาพ้ืนที่ของเรขาคณิต

สีเ่ หลย่ี มด้านไมเ่ ท่า

ความยาวรอบรูปวงกลม เสน้ รอบวง  =
เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง

จุดศนู ยก์ ลาง r คอื รศั มี

รศั มี

ความยาวรอบวง =  x เส้นผ่านศูนยก์ ลาง พน้ื ท่รี ูปวงกลม = 
หรอื = 2r

ตวั อยา่ งข้อสอบ

ถ้าหน้าปดั นาฬกิ าเปน็ รปู วงกลม มเี สน้ ผา่ นศูนย์กลาง 28 เซนติเมตร หนา้ ปัดนาฬกิ า
มพี ื้นทีก่ ี่ตารางเซนติเมตร

พ้นื ทร่ี ูปวงกลม = 
= X 14 X 14



= 616 ตารางเซนติเมตร

ตวั อย่างขอ้ สอบ

ความยาวรอบวง =  x เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง

= x 284



1

= 88 เมตร

ตวั อย่างข้อสอบ

พรมรปู วงกลม มีรัศมี 35 เซนตเิ มตร พรมผนื น้มี คี วามยาวโดยรอบพรมเท่าใด

ความยาวรอบวง =  x เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง
ความยาวรอบวง = x 70



= 220 เซนตเิ มตร

ตัวอยา่ งขอ้ สอบ

สวนสาธารณะแห่งหน่งึ ตอ้ งการทาทางเดนิ โดยรอบ ใหม้ ขี นาดกว้าง 2 เมตร ดงั รูป จงหาพ้นื ท่ี
ส่วนที่ตอ้ งการทาทางเดิน

พนื้ ทร่ี ูปใหญ่ = 30 x 40
30 ม. 2 ม. = 1,200 ตารางเมตร

2 ม. พ้ืนทีร่ ปู เล็ก = 26 x 36
40 ม. = 936 ตารางเมตร

พน้ื ที่สว่ นทีเ่ ปน็ ทางเดนิ = 1200 – 936
ตอบ 264 ตร.ม.

ตัวอย่างขอ้ สอบ

สวนแห่งหนง่ึ ออกแบบแปลงดอกไม้ดังรูป แปลงดอกไม้มีพ้ืนท่ที งั้ หมดกีต่ ารางเมตร

พ้นื ที่รปู ส่เี หลีย่ มผืนผ้า = พ้นื ที่ + พืน้ ที่

= +
× × × ×
=6+5

= 11 ตารางเมตร

เรขาคณติ 3 มติ ิ

ปรซิ ึม เปน็ รปู เรขาคณติ สามมิตทิ มี่ ีฐานท้งั สองเป็นรปู เหลี่ยมทเี่ ท่ากัน
ทุกประการ ฐานท้งั สองอยู่บนระนาบท่ีขนานกนั และด้านขา้ งแต่ละ
ด้านเป็นรูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน เรยี กวา่ ปรซิ มึ

ปริซมึ มีหน้าตัดหรือบานทง้ั สองเปน็ รูปหลาย
เหลยี่ มท่เี ทา่ กันทุกประการ และอยู่บนระนาบท่ี
ขนานกัน มหี น้าข้างเปน็ รูปส่ีเหลย่ี ม การเรียกชื่อ
ปริซึม เรยี กตามลกั ษณะของรูปหลายเหล่ยี มท่เี ปน็
หนา้ ตัดฐาน เช่น ปรซิ มึ สามเหล่ียม ปรซิ มึ สีเ่ หลีย่ ม
เปน็ ต้น

ปรซิ ึมส่เี หล่ยี มหรอื ทรงส่เี หล่ยี มมุมฉาก ทม่ี หี น้าทุกหน้าเป็นรปู ส่เี หลี่ยมจัตุรสั เรียกว่า ลูกบาศก์

ปริมาตรปริซึมสเ่ี หล่ียม(ความจุ)= กวา้ ง x ยาว x สงู

ทรงกระบอก (cylinder) มหี น้าตัด หรอื
ฐานท้งั สองเป็นรปู วงกลมทเี่ ท่ากันทุก
ประการ และอยูบ่ นระนาบที่ขนานกนั

กรวย มีฐานเปน็ รปู วงกลมและมียอดแหลม
ซ่ึงไมอ่ ยูบ่ นระนาบเดยี วกันกับฐาน

ทรงกลม มผี วิ เรียบท่ที ุกๆ จดุ บนผวิ หา่ งจากจดุ ศูนยก์ ลางเทา่ กนั

พีระมิด (Pyramid) คือ รูปเรขาคณิตสามมติ ิท่ีมี
ฐานเปน็ รูปหลายเหลย่ี ม มยี อดแหลมซึง่ ไมอ่ ยบู่ น
ระนาบเดียวกันกับฐาน และมีหนา้ ขา้ งเป็นรูป
สามเหลย่ี ม เรียกวา่ พรี ะมิด การเรยี กชื่อพรี ะมดิ เรียก
ตามลกั ษณะของรปู หลายเหล่ยี มทีเ่ ปน็ ฐาน เช่น
พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี ม หมายถงึ พีระมิดทมี่ ีฐานเป็น
รูปสามเหล่ียม

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ

แผนผังตอ่ ไปน้แี สดงการเดินทางจากบา้ นไปโรงเรยี นของเด็กชายภัทร เด็กชายภัทรสามารถเลอื ก
เดนิ ทางจากบ้านไปโรงเรยี นเปน็ ระยะทางสั้นที่สุด กเี่ มตร

เส้นทางทใ่ี ชเ้ ดนิ ทางจากบ้านไปโรงเรียนคือ
บ้าน – วัด – สถานีขนสง่ – ปมั๊ นา้ มัน – โรงเรียน
ระยะทาง = 2 ซ.ม. + 3 ซ.ม. + 1 ซ.ม. + 1 ซ.ม.

= 7 ซ.ม.
จากมาตราส่วน 1 ซ.ม.: 200 เมตร
ดงั น้นั ระยะทาง = 7 x 200

= 1,400 เมตร

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ

มาลเี ดินทางออกจากบ้านมงุ่ หน้าไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงเหนอื เป็นระยะทาง 400 เมตรแลว้ เดนิ ทาง
ตอ่ ไปทางทิศตะวันออกอีก 100 เมตร จากนน้ั เดินทางต่อไปทางทศิ ใตอ้ ีก 200 เมตร ดังแผนผงั
แสดงในภาพ ถ้าวัดระยะ กข ในแผนผังได้ 3.9 เซนติเมตร มาลอี ยู่ห่างจากบ้านเปน็ ระยะทางก่ี
เมตร

ระยะ กข =3.9 เซนตเิ มตร
จากมาตราส่วน 1 ซ.ม. : 100 ม.
ดงั นั้น มาลอี ยูห่ า่ งจากบ้าน = 3.9 x100

= 390 เมตร

ตวั อยา่ งข้อสอบ

จากแผนผงั การเดนิ ทางจากบา้ นไปโรงเรียนของเรยี นของเกง่ บ้านเก่งอยทู่ างทศิ ใดของโรงเรียน

ตอบ ตะวันตกเฉยี งใต้

ตัวอยา่ งข้อสอบ

จากรูป เมอ่ื ตัดตามแนวเสน้ ประแลว้ หน้าตดั ทเ่ี กดิ ข้นึ จะเปน็ รปู เรขาคณิตชนดิ ใด

ตอบ สีเ่ หลีย่ มผนื ผ้า

ตวั อย่างข้อสอบ

ตปู้ ลาทรงสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากมีขนาดกว้าง 20 เซนติเมตร ยาว 40 เซนตเิ มตรและสูง 30 เซนติเมตร
จะมคี วามจกุ ่ีลิตร

ปริมาตรทรงส่เี หล่ยี มมุมฉาก = กว้าง x ยาว x สงู
= 20 x 40 x 30
= 24,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

จาก 1,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร เท่ากบั 1 ลิตร
ดงั น้ัน ความจุ 24,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 24,000÷100

= 240 ลิตร

ตัวอยา่ งข้อสอบ

รถบรรทกุ ทรายทรงสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก มีขนาดกว้าง 2 เมตร ยาว 3 เมตร สูง 1.5 เมตร
ถ้าต้องการบรรทกุ ทรายจานวน 54 ลูกบาศก์เมตร จะต้องใชร้ ถบรรทกุ ขนทรายกเี่ ทย่ี วจงึ จะ
หมดพอดี

ความจุของรถบรรทกุ = ความกว้าง x ความยาว x ความสูง
= 2 x 3 x 1.5
= 9 ลกู บาศกเ์ มตร

มีทรายท้งั หมด 54 ลกู บาศกเ์ มตร บรรทุกเที่ยวละ 9 ลกู บาศกเ์ มตร
จะตอ้ งใช้รถบรรทุกขนทราย 54  9 = 6 เท่ยี ว

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ

ลกู บาศก์ขนาดเทา่ กันเรยี งต่อกันใหม้ ลี ักษณะเปน็ ทรงสเี่ หลีย่ มมุมฉากที่มี ความกว้าง 20 เซนตเิ มตร

ความยาว 40 เซนตเิ มตร และความสงู 30 เซนติเมตร ดังแสดงในรปู ลูกบาศกส์ ว่ นท่ีระบายสีมี

ปรมิ าตร กล่ี กู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

40 ซม. ปรมิ าตรส่วนท่รี ะบายสี = ความกวา้ ง x ความยาว x ความสูง
= 10 x 10 x 30
30 ซม. = 3,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ตวั อย่างขอ้ สอบ

ปลากระปอ๋ งบรรจุเตม็ ในภาชนะทรงสี่เหลย่ี มมมุ ฉาก ฐานเปน็ รูปสเี่ หลีย่ มจัตรุ สั ยาวด้านละ 2 หนว่ ย
สูง 7 หนว่ ย ถ้าปลากระปอ๋ ง 1 กระปอ๋ ง ประกอบด้วยเน้ือปลาและซอสมะเขือเทศปรมิ าณเทา่ กัน
ปริมาตรของซอสมะเขอื เทศเทา่ กบั กี่ลูกบาศก์หนว่ ย

ปริมาตรท้ังหมด = ความกวา้ ง x ความยาว x ความสูง
=2x2x7
= 28 ลูกบาศกห์ นว่ ย

จากปรมิ าณเน้ือปลาและซอสมะเขอื เทศเทา่ กันซึ่งรวมกันเท่ากบั 28 หน่วย
ดงั น้ัน ปรมิ าตรซอสมะเขือเทศเท่ากับ 28÷2=14 หนว่ ย

ตอบ ปริมาตรของซอสมะเขอื เทศเท่ากบั 14 หน่วย

ตวั อย่างขอ้ สอบ

ตปู้ ลาทรงสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากมีขนาดกวา้ ง 30 เซนตเิ มตร ยาว 40 เซนตเิ มตร สงู 20 เซนตเิ มตร

ถ้าใสน่ ้า ของความสูง น้าในต้ปู ลาจะมปี รมิ าตรกี่ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร



ปรมิ าตร = ความกว้าง x ความยาว x ความสูง ใส่นา้ ¾ ของความสงู
จะไดว้ า่ ใส่นา้ ¾ x 20
= 30 x 40 x 15
= 18,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร =15 เซนติเมตร

น้าในตู้ปลามีปริมาตร 18,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

ชนดิ ของเส้น การเขยี นสญั ลกั ษณ์

ก ข ส่วนของเส้นตรง กข
สญั ลักษณ์ กข
เรียกวา่ ส่วนของเสน้ ตรง กข
กข
ก ข เสน้ รงั สี สัญลักษณ์ กข

เรียกว่า ส่วนของเสน้ รงั สี กข กข
สัญลักษณ์ กข
ก ข เส้นตรง

เรียกวา่ สว่ นของเส้นตรง กข

ชนิดของมุม มุมฉาก คือมุมท่มี ขี นาดเท่ากบั 90 องศา มุมกลับ คือมมุ ทีม่ ขี นาดมากกวา่ 180
องศา แต่น้อยกวา่ 360 องศา
มุมแหลม คือมมุ ทม่ี ีขนาดน้อยกวา่
90 องศา

มมุ ป้าน คือมุมท่ีมขี นาดมากกว่า มุมตรง คอื มุมทม่ี ขี นาดเทา่ กับ 180 องศา

90 องศา แต่นอ้ ยกวา่ 180 องศา

การเรียกชือ่ มุม

การเรยี กช่ือมุม เราจะเรียกจากปลายแขนด้านหนึง่ เขา้ ไปหาจุดยอดมมุ
แลว้ ออกไปแขนอีกด้านหนง่ึ

ตัวอยา่ ง ก แขนของมมุ คอื ปก , ปด
ป
จดุ ยอดมมุ คือ ป

ด ชสอื่ ัญขลอกังมษมุ ณค์ชอื ่อื มมุมุมกกปปดด̭ หรอื มดุมปดกป̭ ก
หรือ

รปู สี่เหล่ยี ม

ส่เี หลีย่ มผืนผ้า

มที ัง้ หมดสีด่ า้ น ด้านตรงขา้ มยาวเทา่ กนั ดา้ นที่อยู่ตดิ กนั ยาวไมเ่ ทา่ กนั
มมี มุ ส่ีมมุ แต่ละมมุ เปน็ มมุ ฉาก
มดี า้ นขนานกันสองคู่
เส้นทแยงมมุ แบง่ รูปสีเ่ หลีย่ มออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป
เส้นทแยงมุมแบง่ ครึง่ ซ่งึ กันและกัน
มีแกนสมมาตรสองแกน

รูปสีเ่ หล่ยี ม

สเี่ หล่ยี มจตั ุรสั มดี า้ นส่ีดา้ น แต่ละด้านยาวเทา่ กัน
มมี ุมส่ีมมุ แต่ละมมุ เป็นมุมฉาก
เส้นทแยงมมุ แบ่งรูปสี่เหล่ยี มออกเปน็ รปู สามเหล่ยี มทม่ี ีขนาดเทา่ กนั สองรปู
เส้นทแยงมุมตดั กันเป็นมมุ ฉาก
เสน้ ทแยงมมุ แบง่ ครึ่งซ่งึ กนั และกัน
มีแกนสมมาตรทั้งหมด สีแ่ กน

รปู สีเ่ หล่ียม มดี ้านสี่ดา้ น ด้านท่อี ยตู่ รงข้ามยาวเทา่ กนั
ด้านท่อี ยตู่ ดิ กันยาวไมเ่ ท่ากนั
ส่เี หลย่ี มด้านขนาน มีมุมส่มี ุม แต่ละมมุ ไมเ่ ป็นมมุ ฉาก
เส้นทแยงมุมแบ่งครงึ่ ซึ่งกนั และกนั
มีแกนสมมาตรทั้งหมด สองแกน

รปู สี่เหล่ยี ม

สีเ่ หล่ียมขนมเปียกปนู

มีดา้ นสด่ี า้ น แต่ละดา้ นยาวเท่ากัน
มมี ุมส่มี ุม แตล่ ะมุมไมเ่ ปน็ มมุ ฉาก
เสน้ ทแยงมมุ แบง่ ครงึ่ ซง่ึ กันและกัน และตัดกันเปน็ มมุ ฉาก
มแี กนสมมาตรทง้ั หมดสี่แกน