สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ป.4 -ป.6

รูปสเ่ี หลี่ยม

ส่เี หล่ียมรปู วา่ ว

เสน้ ทแยงมมุ หนง่ึ เส้น ตัดกับเส้นทแยงมมุ อกี เส้นหนึ่งเปน็
มุมฉาก และแบง่ ครงึ่ เส้นน้ัน
เสน้ ทแยงมมุ หนึง่ เส้น แบ่งครง่ึ รปู สเ่ี หลย่ี มเปน็ รปู
สามเหลี่ยมคลา้ ยสองรปู
มแี กนสมมาตรทั้งหมด หนึ่งแกน

รปู สี่เหล่ียม

สีเ่ หลย่ี มคางหมู

มีดา้ นขนานกนั หนึ่งคู่

รูปสามเหล่ียม

สามเหลย่ี มดา้ นเท่า

60 มดี ้านทกุ ด้านเทา่ กนั
60 60 มมี มุ ทกุ มมุ เทา่ กัน มมุ ทกุ มมุ มขี นาด 60 องศา

รปู สามเหลย่ี ม

สามเหลย่ี มหนา้ จั่ว

มีดา้ นเทา่ กันสองดา้ น
มมี ุมเท่ากันสองมุม

รปู สามเหล่ยี ม

สามเหลี่ยมมุมฉาก

มมี ุมหน่งึ มมุ เปน็ มมุ ฉาก

รปู คลี่ ประกอบดว้ ยส่เี หลี่ยมจตั ุรสั ท้งั หมด 6 รูป

ทรงลูกบาศก์

รูปคล่ี

ปริซมึ สี่เหลย่ี ม

ประกอบด้วยส่เี หลย่ี มท้งั หมด 6 รูป ดา้ นตรงข้ามจะมีขนาดเท่ากนั

รปู คล่ี

ปรซิ มึ หา้ เหลี่ยม

ประกอบดว้ ยส่ีเหล่ียมท้งั หมด 5 รูป ฐานหัวทา้ ยเปน็ รูปหา้ เหล่ยี ม 2 รูป

รปู คล่ี

ปริซมึ หกเหลี่ยม

ประกอบดว้ ยสีเ่ หล่ียมท้งั หมด 6 รูป ฐานหัวทา้ ยเปน็ รูปหกเหล่ยี ม 2 รูป

รปู คลี่

ปรซิ ึมสามเหลย่ี ม

ประกอบด้วยสเ่ี หลย่ี มทั้งหมด 3 รปู ฐานหวั ท้ายเปน็ รปู สามเหล่ยี ม 2 รูป

รปู คล่ี

พรี ะมดิ ฐานสามเหล่ยี ม

ประกอบด้วยรปู สามเหลย่ี มด้านข้างที่เทา่ กนั ท้งั หมด 3 รปู ฐานเปน็ รปู สามเหลี่ยม 1 รปู

รูปคลี่

พีระมิดฐานส่ีเหลยี่ ม

ประกอบด้วยรปู สามเหลีย่ มดา้ นขา้ งที่เทา่ กนั ท้งั หมด 4 รปู ฐานเปน็ รปู ส่เี หลี่ยม 1 รปู

รปู คลี่

พีระมดิ ฐานหา้ เหลยี่ ม

ประกอบดว้ ยรูปสามเหลี่ยมดา้ นข้างที่เทา่ กนั ท้งั หมด 5 รปู ฐานเปน็ รปู หา้ เหลี่ยม 1 รปู

รูปคลี่

ทรงกระบอก

ประกอบดว้ ยรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขา้ ง 1 รปู ฐานเปน็ รปู วงกลม 2 รปู

รปู คลี่

ทรงกรวย

ประกอบด้วยรปู สว่ นของวงกลมด้านข้าง 1 รูป(แลว้ แตข่ นาดของเสน้ รอบฐาน)
ฐานเป็นรูปวงกลม 1 รูป

เสน้ ขนาน กข // คง โดยมี จฉ เปน็ เสน้ ตดั

กจ ข 1. มมุ แย้งมขี นาดเทา่ กนั
1ˆ = 4ˆ และ 2ˆ = 3ˆ
1ˆ 2ˆ
2. มมุ ภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเสน้
ค 3ˆ 4ˆ
ฉ ง ตดั รวมกนั ได้ 180

2ˆ + 4ˆ และ ˆ1 + 3ˆ = 180๐

ตวั อยา่ งแนวข้อสอบ พิจารณาดงั นี้
จาก มุม2 + มุม4 =180 จะได้ว่า กข//คง
กาหนดใหส้ ่วนของเส้นตรง 4 เส้น ตดั กนั ดังรปู ดงั นน้ั ข้อ 1 ถกู
จาก กข//คง จะได้วา่ มุม2และมมุ 5เป็นมุมแย้ง
ถา้ มุม1 + มุม2 =160 และ มมุ 2 + มุม4 =180 ดงั น้นั มมุ 2=มุม5 ข้อ2. ถูก
แลว้ ข้อใดไม่ถกู ต้อง (ข้อสอบO-netปี 60) จาก กข//คง จะไดว้ า่ มุม1+มมุ 3=180
ดังนน้ั ข้อ3. ถกู
1. กข//คง จาก มุม1+มุม2=160 จะไดว้ า่ มย ไมข่ นานกบั รล
2. มุม2=มุม5 ดังนนั้ มุม3ไมเ่ ท่ากับมุม5 ขอ้ 4. ไมถ่ กู
3. มมุ 1+มุม3=180
4. มุม3=มุม6 ตอบ ขอ้ 4.

ตัวอยา่ งแนวข้อสอบ ง
ก 100
กาหนดให้ กขค เปน็ ทงั้ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จวั่ และสามเหลย่ี มมุมฉาก
งขจ เปน็ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จวั่ และมมุ ขงจมขี นาด 100 องศา ฉ

ขนาดของมมุ ขฉค เทา่ กับเท่าใด(ขอ้ สอบO-net ป6ี 0) ข คก
1. 85 2. 90 3. 95
จากมมุ ภายในสามเหลี่ยมทกุ มมุ รวมกนั เทา่ กับ 180
จาก กขค เปน็ รปู สามแหล่ยี มหน้าจั่วและสามเหลยี่ มมุมฉาก
จะไดว้ า่ มีมุมข เป็นมุมฉาก(90องศา) มมุ ท่ีเหลืออีก2มุมมขี นาด
เท่ากนั ดงั นน้ั 180 – 90 =90 องศา แบ่งเปน็ 2มุมเทา่ กนั
4. 100 จะได้ 90 ÷ 2 =45 องศา มมุ ขคฉ = 45 องศา
จาก กขค เป็นรปู สามแหลีย่ มหน้าจ่ัวและมุมขงจมีขนาด 100
องศา มุมท่ีเหลอื อีก2มมุ มีขนาดเทา่ กนั ดงั นน้ั 180–100 =80
องศา แบ่งเปน็ 2มมุ เทา่ กัน จะได้ 80 ÷ 2 =40 องศา มุม
งขก = 40 องศา
ดังนัน้ มุม ขฉค มีขนาดเทา่ กับ 180-40-45=95 องศา

ตอบข้อ 3.

ตัวอยา่ งแนวข้อสอบ 4

กาหนดรูปเรขาคณติ สามมติ ิ ดังรปู

ข้อใดเป็นรูปคลข่ี องรูปด้านบน (ข้อสอบO-net ปี60)
123

ตอบ ข้อ 1.

การแกป้ ัญหาแบบรปู และความสัมพนั ธ์

แบบรปู จานวนเป็นการแสดงความสัมพนั ธข์ องจานวนที่มีกฏเกณฑแ์ น่นอนและเปน็ ระบบอยา่ งตอ่ เนอ่ื ง
ตวั อยา่ ง จงหาแบบรูปของจานวนที่กาหนดใหต้ อ่ ไปนี้
1,4,9,16,25,... จงหาจานวนท่ี 103
1,3,5,7,9,... จานวนที่ 86 คือจานวนใด
วิธคี ดิ พิจารณาความสมั พนั ธข์ องจานวนดงั น้ี
วธิ คี ดิ พจิ ารณาความสัมพันธ์ของจานวนดงั น้ี จานวนท่ี 1 คอื 1x1 =1
จานวนที่ 1 คือ (1x2)-1 = 1
จานวนที่ 2 คอื (2x2)-1 = 3 จานวนท่ี 2 คอื 2x2 =4
จานวนท่ี 3 คือ (3x2)-1 = 5 จานวนที่ 3 คือ 3x3 =9
จานวนที่ 4 คอื (4x2)-1 = 7 จานวนท่ี 4 คอื 4x4 =16

.

. .
.
.
. จานวนที่ 103 คือ 103x103 =10,609

จานวนที่ 86 คือ (86x2)-1 = 171

ดังนัน้ จานวนที่ 86 คอื 171 ดังนั้น จานวนที่ 103 คอื 10,609

ตวั อย่างขอ้ สอบ วิธคี ิด พจิ ารณาความสมั พันธ์ของจานวนดงั น้ี
รูปที่ 1 คือ 1x1 =1
พทิ ยาเรียงลกู หนิ ดงั รูป
รปู ที่ 2 คือ 2x2 =4
ถ้าพทิ ยาต้องการเรยี งลกู หนิ รปู ที่ 7 ตอ้ งใชล้ ูกหนิ ก่ลี กู รูปที่ 3 คือ 3x3 =9
ดังนัน้ รปู ท่ี 7 คือ 7x7 =49

ตอบ พิทยาตอ้ งใช้ลกู หิน 49 ลูก

ตวั อย่างขอ้ สอบ

นักเรยี นคนหน่งึ ไดส้ ังเกตการสรา้ งรังของแมลงและได้บันทึกผล ดงั รปู

วิธีคดิ +2 วันท่ี 6 จะมีรงั ทง้ั หมดก่รี ัง +6

+3 +4 +5

1 3 6 10 15 21

วนั ที่ 1 วนั ท่ี 2 วนั ที่ 3 วนั ท่ี 4 วันที่ 5 วนั ท่ี 6

ตอบ วันที่ 6 จะมีรังทง้ั หมด 21 รัง

ตัวอยา่ งข้อสอบ สังเกตว่าแบบรูปเริม่ ซา้ กนั ตรงไหน ทกุ ๆกี่ตวั
ABBCCDABBCCDABBCCD…
เด็กชายช้าง เขยี นตวั อักษรให้อยูใ่ นแบบรูป ดังน้ี จากรปู จะเห็นวา่ แบบรูปซ้าทกุ ๆ 6 ตัว
ABBCCDABBCCDABBCCD… โจทยถ์ ามลาดับท่ี 49
ถ้าเขาเขยี นไปเรื่อยๆ แลว้ ตัวอกั ษรในลาดบั ท่ี 49 คือ จากน้ันให้นาลาดับทโ่ี จทยถ์ ามหารด้วยจานวนท่ีซา้
ตัวอกั ษรในข้อใด (ขอ้ สอบ O-net ป6ี 0) ดังนัน้ 49÷6= 8 เศษ 1
1. A 2. B 3. C 4. D นาเศษมาคิด เศษ1 คือตัวท่ี 1 คือ A

ตอบ ขอ้ 1.

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ

พิจารณาแบบรปู ตอ่ ไปน้ี สังเกตว่าแบบรูปทเ่ี ปน็ เลขคู่จะมรี ปู ทรงเป็น 6เหลยี่ ม

ดงั นน้ั รูปท่ี8 เปน็ เลขคจู่ งึ มรี ปู ทรงเปน็ 6 เหลี่ยม

200 185 170 155 140 125 และจากรูปท่ี2 กับรปู ท่ี4 มีจานวนตา่ งกัน 185-155=30

รปู ท1่ี รปู ที่2 รปู ท3่ี รปู ท4ี่ รปู ท5ี่ รปู ท6ี่ ... จากรปู ท่ี4 กับรูปที่6 มจี านวนตา่ งกนั 155-125=30
รูปท8่ี ในแบบรูปนี้ คอื รูปใด (ขอ้ สอบ O-net ป6ี 1) จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ลดไปทีละ 30
ดังนนั้ รปู ที่8 จะมีค่าเทา่ กบั รูปที่6-30 =125-30
1. 95 2. 95
=95

4. 110 ตอบ ข้อ 1.

3. 110

การแก้สมการ

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ทม่ี เี คร่ืองหมาย “=” แสดงความเทา่ กันของจานวนสองจานวน จานวน
หนึง่ อย่ทู างซ้าย อกี จานวนหนงึ่ อยู่ทางขวา โดยมี '=' อย่ตู รงกลาง
ตัวอยา่ ง x + 1 = 3
จานวนท่อี ยูท่ างซ้ายคอื 'x + 1'
จานวนทีอ่ ยู่ทางขวาคือ '3'
'=' อยตู่ รงกลาง คัน่ ระหว่างจานวนทอี่ ยทู่ างซา้ ย กบั จานวนท่ีอยู่ทางขวา

การแก้สมการ

หลกั การแกส้ มการคือ กาจัดตวั เลขออก เพ่อื ใหเ้ หลือเฉพาะตวั แปร
1.กาจัดตวั เลขท่ีไมต่ ้องการออกโดยใชต้ ัวเลขที่มีเครอ่ื งหมายตรงข้ามกนั

ลบตรงขา้ มกับบวก หารตรงข้ามกับคูณ
2.เม่อื ทาสิง่ ใดกับขา้ งซ้ายของสมการ ตอ้ งทาสงิ่ เดียวกันกับขา้ งขวา
ของสมการด้วยเพอื่ ให้สมการอย่ใู นสภาพสมดลุ

การแกส้ มการ ตวั อยา่ ง X-6=36 ตวั อย่าง 5x=45 ตวั อย่าง y÷6=15
วธิ ีทา วธิ ีทา วธิ ีทา
ตวั อยา่ ง X+5=45
วิธที า X - 6 = 36 5X = 45 y÷6 = 15
X-6+6 = 36 +6 5X÷5 = 45 ÷5 y÷6 x6 = 15x6
X + 5 = 45 X = 42 X =9 y = 90
X+5-5 = 45 -5 ตอบ x = 42 ตอบ x = 9 ตอบ x = 90
X = 40
ตอบ x = 40

การเขยี นเปน็ สมการ

โรงเรียนวิทยาพฒั นามีนกั เรียนชัน้ ประถมศกึ ษาปีที่ 6 จานวน 4 ห้อง มนี ักเรยี นหญิงห้องละ
18 คน มีนักเรยี นชาย จ คน รวมมีนักเรียน ชั้นประถมศกึ ษาปที ่ี 6 จานวน 157 คน
ชั้นประถมศกึ ษาปที ่ี 6 มีนักเรียนชายท้งั หมดกีค่ น เขียนเปน็ สมการได้อย่างไร

สมการ คอื (4 X 18) + จ = 157

การเขยี นเป็นสมการ

พม่ี นี า้ หนัก m กโิ ลกรัม พ่มี ีน้าหนกั มากกวา่ นอ้ ง 15 กโิ ลกรมั นอ้ งหนกั 43 กิโลกรมั
เขียนเป็นสมการไดอ้ ย่างไร

สมการ คือ m – 15 = 43

ตวั อยา่ งข้อสอบ วิธคี ิด
พเ่ี กบ็ เงิน y บาท
พี่เกบ็ เงินได้ y บาท นอ้ งเก็บเงนิ ไดเ้ ปน็ คร่ึงหนึ่งของพ่ี น้องเกบ็ เงินเป็นครง่ึ หนง่ึ ของพ่ี
น้องเกบ็ เงินได้ 18 บาท พีเ่ ก็บเงินไดก้ ี่บาท สมการใน จะได้วา่ น้องเก็บเงนิ y÷2
ข้อใดไม่ถกู ตอ้ ง และนอ้ งเก็บเงินได้ 18 บาท
ดงั นนั้ y÷2 =18
สาy2มารถเ1ข8ียนแในละรปู เ21ศษxส่วนYได้เปน็18

ตอบ ขอ้ 1.

ตัวอย่างข้อสอบ ก  2   8  9   11
15 20 12

ถ้า ก  2   8  9   11 ก  2   8x4  9 x 3  11x 5
15 20 12 15x 4 12 x 5
20 x 3

แลว้ ก มีค่าเท่าใด ก  2   32  27   55
60 60 60

ก 2  5  55
60 60

ก  60
2 60

ก  1
2

ก x2  1x2
2

ก2

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ วธิ ีคิด
นักเรยี นหญงิ y คน ปลกู ตน้ ไม้คนละ 2 ต้น
นกั เรยี นกลุม่ หนงึ่ ชว่ ยกนั ปลูกต้นไม้ จะได้วา่ นักเรียนหญงิ ปลกู ต้นไม้ 2y หรือ yx2
โดย นกั เรียนหญิง y คน ปลูกตน้ ไม้คนละ 2 ตน้ และนกั เรยี นชาย 4 คน ปลกู ต้นไมค้ นละ 4 ต้น
และ นกั เรยี นชาย 4 คน ปลกู ตน้ ไม้คนละ 4 ต้น จะได้วา่ นักเรยี นชายปลกู ตน้ ไม้ 4x4=16 ต้น
ถา้ นกั เรียนกลมุ่ น้ีปลกู ตน้ ไมร้ วมกนั 26 ตน้ แลว้ ในกลุ่ม และนกั เรียนกลุ่มนป้ี ลูกตน้ ไมร้ วมกัน 26 ต้น
นี้มีนกั เรียนหญิงก่ีคน (ข้อสอบ O’netป6ี 1) จะได้ว่า 2y + 16 = 26

2y = 26-16
2y = 10
y = 10÷2
y=5

ตอบ มนี ักเรียนหญงิ 5 คน

ความน่าจะเปน็

ความนา่ จะเป็น หมายถงึ โอกาสทเ่ี หตุการณ์หน่ึงๆ จะเกดิ ข้นึ เรียกความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์นน้ั
ซงึ่ มโี อกาสท่ีจะเกดิ เหตกุ ารณ์ในกรณใี ดกรณีหนง่ึ จาก 3 กรณี ต่อไปนี้

1.เกดิ ข้นึ อยา่ งแน่นอน
2.อาจจะเกดิ ขนึ้ หรอื ไมก่ ไ็ ด้
3.ไม่เกิดข้ึนอย่างแนน่ อน

ความนา่ จะเป็น

สิ่งทจี่ าเปน็ ตอ้ งทราบและทาความเขา้ ใจ คือ
1. การทดลองสุ่ม (Random Experiment) เป็นการทดลองที่ไม่สามารถทานายผลการทดลองได้
อย่างถกู ตอ้ งแนน่ อน เนอ่ื งจากผลของการทดลองทไ่ี ด้อาจเกิดข้นึ ไดห้ ลายอย่าง
2. แซมเปิลสเปซ (Sample Space ) คือ กล่มุ ของผลทีเ่ กดิ ขึ้นทั้งหมดจากการทดลองสมุ่ นิยมใชส้ ญั ลักษณ์ S
3. แซมเปลิ พอ้ ยท์ (Sample Point) คอื สมาชิกของแซมเปิลสเปซ
4. เหตกุ ารณ์ ( Events ) คอื ส่งิ ที่สนใจจะพิจารณาจากการทดลองสมุ่
เปน็ กลุม่ ยอ่ ยของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้อกั ษรภาษาองั กฤษตัวใหญแ่ ทนเหตุการณ์

ตวั อย่างความน่าจะเป็น

กล่องทึบแสงใบหน่งึ มีลกู ปิงปองขนาดเท่ากนั แต่สีต่างกนั บรรจุอยู่ เป็นสแี ดง 5 ลกู สเี ขยี ว 6 ลูก
สนี ้าเงิน 8 ลูก และสีดา 6 ลกู ถา้ หยบิ ลูกปิงปองโดยไมม่ องลูกปงิ ปองในกล่องขึ้นมา 1 ลูก ขอ้ ใด
เปน็ จริง

1. ลูกปงิ ปองแต่ละสมี ีโอกาสถกู หยบิ ขน้ึ มาได้เทา่ ๆ กัน
2. ลกู ปงิ ปองสีแดงไมม่ โี อกาสถูกหยิบขน้ึ มาอย่างแน่นอน
3. ทกุ ครงั้ ทหี่ ยบิ ลกู ปงิ ปองจะต้องได้สนี า้ เงินเสมอ
4. โอกาสทจ่ี ะหยิบไดล้ กู ปงิ ปองสเี ขียวเทา่ กับสดี า

ตอบ 4. เพราะลูกปงิ ปองสเี ขียวมีจานวนเท่ากบั สดี า

ตวั อยา่ งความน่าจะเปน็

โยนลกู เตา๋ 2 ลกู พรอ้ มกัน 1 ครั้ง แล้วหาผลคณู ของแตว้ ของลูกเต๋า ผลคูณของแตม้ ในขอ้ ใด
เป็นไปไม่ได้
1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

วธิ ีคิด
เนื่องจากลูกเต๋า 1 ลกู มี 6 ดา้ น แตล่ ะด้านมแี ต้ม 1,2,3,4,5,6
วิเคราะห์ ผลคณู ของแตม้ ลูกเต๋า 2 ลูก
ข้อท่ี 1. 20 หาวา่ แตม้ ใดคณู กนั ได้ 20 บา้ ง ไดแ้ ก่ 4x5
ขอ้ ที่ 2. 25 หาว่าแต้มใดคณู กันได้ 25 บา้ ง ไดแ้ ก่ 5x5
ขอ้ ท่ี 3. 20 หาวา่ แต้มใดคณู กนั ได้ 30 บา้ ง ไดแ้ ก่ 6x5
ขอ้ ท่ี 4. 25 หาวา่ แตม้ ใดคูณกันได้ 35 บา้ ง ไม่มเี นอื่ งจากแตม้ สูงสดุ คือ 6

ตอบ ขอ้ 4

ตวั อย่างความนา่ จะเปน็

มลี ูกอมรสนม 5 เมด็ รสส้ม 7 เมด็ รสสตอเบอรร์ ่ี 4 เมด็ และรสมะนาว 3 เมด็ ถา้ สุม่ หยบิ
ลูกอมคร้ังละ 6 เมด็ จะมีโอกาสหยบิ ลกู อมรสใดไดเ้ หมือนกนั ท้ัง 6 เมด็ (ข้อสอบ O-net’53)
1. รสนม 2. รสสม้ 3. รสมะนาว 4. รสสตอเบอร์รี่

วธิ คี ดิ
เนื่องจากหยบิ ลูกอมครง้ั ละ 6 เม็ด
ถา้ จะมโี อกาสได้รสเดียวกันท้ัง 6 เม็ด ลกู อมรสนนั้ จะตอ้ งมีจานวน 6 เม็ดขนึ้ ไป
ดงั น้นั ลูกอมรสทม่ี ีจานวน 6 เม็ดขนึ้ ไปคือ รสส้ม (7เมด็ )

ตอบ ขอ้ 2

ตวั อยา่ งความน่าจะเป็น

เมือ่ หมนุ แป้นหมนุ โอกาสทีป่ ลายลกู ศรชตี้ วั เลขตา่ งๆเป็นอยา่ งไร (ขอ้ สอบ O-net’55)
1. โอกาสชตี้ วั เลข 1 มีน้อยท่ีสุด 2. โอกาสชีต้ ัวเลข 4 มมี ากท่ีสดุ
3. โอกาสชตี้ วั เลข 3 หรือ 4 มเี ทา่ กนั 4. โอกาสชีต้ วั เลข 1,2,3 หรือ 4 มีเท่ากัน

41 วิธีคดิ
41 เนื่องจากแป้นหมุนมีตัวเลข 3 และ 4 มากทสี่ ุด ดังน้นั โอกาสที่ปลายลกู ศรช้ี
ตวั เลข 3 และ 4 จึงมากทส่ี ุดและเทา่ กัน
42
ตอบ ข้อ 3
32
33

ตัวอยา่ งความนา่ จะเป็น

หากหมนุ วงล้อแต่ละคร้ังด้วยแรงทไ่ี ม่เทา่ กัน เมื่อวงล้อหยุดหมุนโอกาสทล่ี ูกศรจะช้พี นื้ ทท่ี ั้งสองสี
เป็นอยา่ งไร (ขอ้ สอบ O-net’57)
1. ลกู ศรมโี อกาสชพ้ี นื้ ที่สแี ดงมากกวา่ สีฟ้า
2. ลูกศรมโี อกาสชี้พนื้ ทสี่ แี ดงและสฟี า้ เทา่ กนั
3. ลูกศรไมม่ โี อกาสช้ีพนื้ ทสี่ ีฟ้า
4. ลกู ศรช้ีพน้ื ท่สี ีแดงเสมอ

วธิ ีคิด
เนอื่ งจากวงลอ้ มพี ้นื ทส่ี ีแดงมากกวา่ สฟี า้
ดังนนั้ โอกาสลูกศรชพ้ี ื้นทีส่ ีแดงจึงมากกว่าสฟี ้า

ตอบ ข้อ 1

ตัวอยา่ งความน่าจะเปน็

ชมรมคณติ ศาสตรไ์ ดจ้ ัดกิจกรรมหมุนวงลอ้ ซ่งึ มีหมายเลขกากับไว้โดยลกู ศรถกู ตรึงอยู่กบั ที่ ดงั รูป

ผลการหมนุ วงลอ้ แต่ละคร้งั ขอ้ ใดสรุปได้ถกู ต้อง (ขอ้ สอบ O-net’58)

1. ลกู ศรไมม่ ีโอกาสชห้ี มายเลข 3 1 2
2. ลูกศรมีโอกาสช้จี านวนคมู่ ากกวา่ จานวนค่ี 3 4
3. ลูกศรมโี อกาสชที้ กุ หมายเลขเทา่ ๆกัน 1
4. ลกู ศรมโี อกาสชี้หมายเลข 2 ทุกครั้ง 2
4 2

1

วธิ คี ดิ
ตอบข้อ 2 เน่ืองจากพืน้ ทจ่ี านวนคู่มมี ากกว่าจานวนค่ี

ตอบ ขอ้ 2

ตวั อยา่ งความนา่ จะเป็น

โยนลกู เตา๋ 2 ลกู พร้อมกัน 1 ครงั้ แลว้ หาผลคณู ของแตม้ ของลูกเตา๋ ผลคูณของแตม้ ในข้อใด

เป็นไปไม่ได(้ ข้อสอบ O-net’61)

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

วธิ คี ดิ
เนอ่ื งจากลกู เต๋า 1 ลกู มีแต้ม 1,2,3,4,5,6 ถา้ โยนลกู เตา๋ 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครง้ั
ผลคณู ของแต้มลูกเต๋า ท่มี โี อกาสเปน็ ไปได้ ไดแ้ ก่
20 ซ่งึ มาจาก 4x5
25 ซง่ึ มาจาก 5x5
30 ซึง่ มาจาก 6x5
แต่ 35 ซ่งึ มาจาก 7x5 เป็นไปไมไ่ ด้เน่ืงจาก ลกู เต๋มจี านวนแต็มถึงแค่ 6 ไมม่ ี 7

ตอบ 4.

สถิติ

แผนภูมิแท่ง คอื แผนภมู ทิ ป่ี ระกอบด้วยแกนสองแกน
คอื แกนนอนและแกนตั้งและรปู ส่เี หลี่ยมผนื ผ้า
ที่มีความกว้างของแต่ละรูปเท่ากนั ส่วนความยาวจะแปรตาม
ขนาดของข้อมลู เรยี กรปู สเี่ หลี่ยมแตล่ ะรปู นี้ว่า “แท่ง (bar)”
การนาเสนอขอ้ มูลอาจจัดใหแ้ ท่งแตล่ ะแท่งอยู่ในแนวตง้ั หรือ
แนวนอนก็ได้ โดยวางเรียงใหช้ ดิ กันหรือหา่ งกันเลก็ น้อย
เทา่ ๆ กนั กไ็ ด้พร้อมท้ังเขียนรายละเอยี ดของแตล่ ะแท่งกากับไว้
และเพ่ือความสวยงามอาจจะใชว้ ิธแี รเงาหรอื ระบายสี เพื่อใหด้ ู
สวยงามและสะดวกในการศึกษาเปรียบเทยี บ

สถิติ

กราฟเส้น
กราฟเส้น เปน็ การนาเสนอขอ้ มลู โดยใช้จุดและสว่ นของเส้นตรงท่ี
ลากเช่อื มต่อจุด ซง่ึ จุดแต่ละจดุ จะบอกจานวนหรอื ปริมาณของขอ้ มลู
แต่ละรายการ นิยมใช้กราฟเส้นกับขอ้ มลู ทแี่ สดงการเปลยี่ นแปลง
อย่างต่อเน่อื ง ตามลาดับกอ่ นหลงั ของเวลา

สถติ ิ

แผนภูมริ ปู วงกลม
แผนภูมิรูปวงกลม เปน็ การนาเสนอขอ้ มลู โดยใช้พ้ืนทภ่ี ายในรูปวงกลมแทนจานวนหรอื ปรมิ าณของ
ข้อมลู แต่ละรายการ โดยแบง่ วงกลมออกเปน็ สว่ นๆ จากจดุ ศูนย์กลางของวงกลม การกาหนดจานวนหรอื
ปรมิ าณขอ้ มูลแตล่ ะรายการ อาจกาหนดเปน็ เปอร์เซน็ ต์และผลรวมของเปอรเ์ ซน็ ตท์ งั้ หมดต้องเท่ากบั 100%
เสมอ
ส่วนประกอบของแผนภูมริ ปู วงกลม มดี งั นี้
1. ชอ่ื เรอ่ื ง เพอ่ื บอกว่าแผนภูมนิ แ้ี สดงรายละเอยี ดเก่ยี วกบั เรอ่ื งใด เมอ่ื ไร
2. รูปวงกลม โดยแบง่ พ้นื ท่เี ป็นสว่ นๆ แสดงรายละเอียดทส่ี อดคล้องกบั ชอ่ื เร่อื ง
3. ทมี่ า เพื่อให้ทราบว่าขอ้ มลู น้นั มาจากแหล่งใด เพื่อความนา่ เช่อื ถอื และสะดวกในการคน้ คว้า

สถติ ิ

การเขยี นแผนภมู ริ ปู วงกลม มขี ้นั ตอนดังน้ี
1. หาปรมิ าณของขอ้ มลู ทง้ั หมด และใหป้ รมิ าณของขอ้ มูล
ทง้ั หมดแทนมุมรอบจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม ที่มีขนาด 360
องศา
2. นาปริมาณของข้อมลู แต่ละรายการ มาเทยี บหาขนาดของมุม
ทีจ่ ุดศูนยก์ ลางของวงกลม
3. เขียนรปู วงกลม แล้วลากรัศมขี องวงกลมเพ่ือแบง่ พนื้ ทข่ี อง
รูปวงกลมเป็นสว่ นๆ ตามขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางของ
วงกลมที่หาได้
4. เขยี นตัวเลขแสดงปริมาณจริงของขอ้ มูลหรือรอ้ ยละของ
ขอ้ มูลแต่ละรายการกากบั ไว้ ไมน่ ิยมเขียนขนาดของมมุ ลงใน
แผนภูมิ

ตัวอย่างขอ้ สอบสถิติ

เหรยี ญทองทีป่ ระเทศต่างๆได้รบั จากการแขง่ ขนั โอลมิ ปกิ ฤดรู อ้ น ปี 2004 และ 2008

วิธีคิด
สังเกตจากกราฟ แทง่ ปี2004 กับป2ี 008
ที่มีความสงู เพิ่มขนึ้ มากทส่ี ดุ คือ ประเทศจีน

ตอบ 2.

จากแผนภูมขิ า้ งบนน้ี ในปี 2008 ประเทศใด
ได้เหรียญทองเพิ่มขน้ึ จากปี 2004 มากท่ีสุด(ขอ้ สอบ O-net’55)
1. เกาหลีใต้ 2. จนี 3. ญปี่ ุ่น 4. สหรฐั อเมรกิ า

ตัวอยา่ งข้อสอบสถิติ วธิ ีคิด
สังเกตจากกราฟ นักเรียนท่ีมสี ว่ นสงู ระหวา่ ง
นักเรียนหญงิ 7 คน อายุ 13 ปเี ทา่ กัน มสี ่วนสูงแตกต่างกัน แสดงเป็นกราฟเสน้ ดังน้ี 145-160 เซนตเิ มตร ได้แก่
เมื่อกาหนดใหส้ ว่ นสูงตามเกณฑเ์ ปน็ 145-160 เซนติเมตร กิ่ง ,จ๋า ,พร ,พศิ และนชุ
จากกราฟเสน้ จานวนนกั เรยี น ดังน้นั นักเรยี นที่มสี ว่ นสงู ตามเกณฑ์มีทั้งหมด
ทม่ี สี ่วนสงู ตามเกณฑแ์ ละ 5 คน
ไม่เปน็ ไปตามเกณฑ์มีกี่คน และสว่ นสูงไมเ่ ป็นไปตามเกณฑ=์ 7-5=2 คน
(ข้อสอบ O-net’56)
ตอบ 1.

1. สูงตามเกณฑ์มี 5 คน ไม่เป็นไปตามเกณฑม์ ี 2 คน
2. สูงตามเกณฑม์ ี 3 คน ไมเ่ ปน็ ไปตามเกณฑ์มี 4 คน
3. สงู ตามเกณฑ์มี 2 คน ไม่เปน็ ไปตามเกณฑ์มี 5 คน
4. สงู ตามเกณฑ์ทกุ คน

ตวั อยา่ งขอ้ สอบสถติ ิ วธิ ีคดิ

จานวนนกั เรียนซื้อสินคา้ 4 ชนดิ จากร้านสหกรณ์โรงเรยี นแสดงด้วยแผนภมู วิ งกลม หาจานวนสินคา้ ที่ขายไดม้ ากทส่ี ดุ และนอ้ ยที่สดุ กอ่ น
ถ้าจานวนสนิ คา้ ท้งั หมดมี 300 ชนิ้ สินคา้ ทข่ี ายไดม้ ากท่สี ดุ มีมากกว่าสินค้าที่ขายได้
นอ้ ยทส่ี ุดเปน็ จานวนเท่าใด (ขอ้ สอบ O-net’57) สินค้าทขี่ ายไดม้ ากท่ีสดุ คือ ปากกา 33%

31% 22% ยางลบ จานวนปากกา = 33%ของจานวนสินคา้ ท้ังหมด
33 x300
ดินสอ = 100

= 99 ชิน้

14% สินค้าทขี่ ายไดน้ ้อยทส่ี ุด คือ ไมบ้ รรทดั 14%

ปากกา 33% ไม้บรรทดั จานวนไมบ้ รรทดั = 14%ของจานวนสนิ ค้าทง้ั หมด
14 x300
1. 19 ช้นิ 2. 33 ช้นิ = 100
3. 57 ช้ิน
4. 99 ชิน้ = 42 ชิน้

ดังน้ัน สินคา้ ท่ขี ายได้มากที่สุดมากกว่าสินคา้ ทีข่ ายได้

นอ้ ยทสี่ ุด = 99-42 = 57 ชน้ิ

ตอบ 3.

ตัวอย่างขอ้ สอบสถติ ิ วิธีคิด
หาจานวนประเภทหนงั สอื ทม่ี จี านวนมากท่ีสดุ และน้อย
แผนภมู ิรูปวงกลมแสดงจานวนหนงั สือประเภทต่างๆ ท่ีมใี นห้องงสมดุ จานวนทงั้ สน้ิ ทส่ี ุดก่อน
120 เล่ม ในหอ้ งสมดุ มีประเภทหนังสอื ที่มีจานวนมากท่สี ดุ และนอ้ ยที่สดุ รวมกันกีเ่ ล่ม ประเภทหนงั สอื ทมี่ จี านวนมากทีส่ ดุ คือ A 40%
(ขอ้ สอบ O-net’58) จานวนหนงั สือA = 40%ของจานวนหนังสือทง้ั หมด

1. 30 2. 36 3. 50 4. 60 = 40 x120
= 41800 เลม่
ประเภทหนงั สอื ท่ีมีจานวนน้อยทส่ี ุด คอื D 10%
จานวนหนงั สอื D = 10%ของจานวนหนงั สอื ท้งั หมด
= 10 x120

100

= 12 เล่ม
ดังนัน้ ในห้องสมดุ มีประเภทหนงั สอื ที่มีจานวนมาก
ทีส่ ดุ และนอ้ ยท่ีสดุ รวมกัน = 48-12 = 60 เล่ม

ตอบ 4.

ตวั อยา่ งขอ้ สอบสถติ ิ วธิ ีคิด
สังเกตระดับคะแนนที่นกั เรียนชายมากกว่านักเรยี นหญิง
แผนภมู ิแท่งแสดงจานวนนกั เรียนช้นั ประถมศกึ ษาปีท่ี 6 ซง่ึ เป็นชาย 100 คน และ ไดแ้ ก่ ระดับคะแนน 1 และระดบั คะแนน 4
หญิง 100 คน ท่ีสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ได้ระดบั คะแนนต่างๆ จากโจทย์ถามว่าขอ้ ใดไมถ่ ูกต้อง ดังนัน้ ขอ้ ทีไ่ ม่ถูกต้องคือ
ข้อ 4. เพราะระดับคะแนน 3 และ 4 จานวน
นกั เรียนชายไม่มากกว่านักเรยี นหญงิ

ตอบ 4.

จากแผนภมู ิ ขอ้ ใดไม่ถกู ต้อง (ขอ้ สอบ O-net’60)
1. นกั เรียนทไ่ี ดร้ ะดับคะแนน 1 มีนกั เรียนชายมากกวา่ นักเรยี นหญิง
2. นกั เรยี นทไี่ ด้ระดบั คะแนน 4 มีนกั เรยี นชายมากกวา่ นกั เรยี นหญิง
3. นกั เรียนท่ไี ดร้ ะดับคะแนน 1 และ 2 มนี ักเรียนชายมากกวา่ นักเรยี นหญิง
4. นกั เรยี นที่ได้ระดับคะแนน 3 และ 4 มนี กั เรยี นชายมากกวา่ นักเรยี นหญงิ