เฉลยเรขาคณิตวิเคราะห์

รายวชิ าคณิตศาสตร เพิม่ เติมเรอื่ ง ตรรกศาสตรช น้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 1

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตัดกรวย

1a
2b

AB Chapter 1
C
0 3 ความรเู บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั
เรขาคณิตวเิ คราะห์

ความรเู บอ้ื งตน้ เกีย่ วกับเรขาคณติ วิเคราะห์

ระบบพิกดั มมุ ฉาก

1. ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุด ( จุด – จดุ ) Distance between Two Points

Q(x2,y2) d = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

P(x1,y1)

1. กำหนดจดุ P1(3,9) และ P2 (6,5) ใหห้ าค่า P1P2
วิธีทำ P1P2 = (6 − 3)2 + (5 − 9)2

= (−3)2 + (4)2

= 9 +16
= 25
=5

2

2. จงหาระยะทางระหว่างจดุ P1(−1,5) และ P2 (4, −7)
วิธีทำ P1P2 = (−1− 4)2 + (5 + 7)2

= (−5)2 + (12)2

= 169
= 13

3. จงหาระยะทางระหว่างจดุ ท่ีกำหนดให้ 2) (−2, −17) กบั (5,7)
1) (−24, 0) กบั (0,7) วธิ ที ำ d = (−2 − 5)2 + (−17 − 7)2
วิธที ำ d = (−24 − 0)2 + (0 − 7)2
= 49 + 576
= (−24)2 + (−7)2
= 625
= 625 = 25
= 25
4) (11, 49) กับ (2,9)
3) (−2,8) กบั (6, −7) วธิ ีทำ d = (11− 2)2 + (49 − 9)2
วิธีทำ d = (−2 − 6)2 + (8 + 7)2
= 1681
= 289 = 41
= 17
6) (−4, 6) กับ (31, −6)
5) (9, 4) กบั (69,15) วธิ ที ำ d = (−4 − 31)2 + (6 + 6)2
วธิ ที ำ d = (9 − 69)2 + (4 −15)2
= 1369
= 3721 = 37
= 61
8) (−5, 4) กบั (3, −2)
7) (−5,6) กบั (2,6) วิธที ำ d = (−5 − 3)2 + (4 + 2)2
วิธีทำ d = (−5 − 2)2 + (−6 + 6)2
= 100
= 49 = 10
=7
10) (12,6) กับ (3, 4)
9) (−6,5) กบั (7,9) วิธที ำ d = (12 − 3)2 + (6 − 4)2
วิธีทำ d = (−6 − 7)2 + (5 − 9)2
= 81+ 4
= 169 +16 = 85
= 185

11) (a,0) กับ (0,b) 3
วธิ ีทำ d = (a − 0)2 + (0 − b)2
12) (a − b,b) กับ (a, a + b)
= a2 + b2 วธิ ีทำ d = (a − b − a)2 + (b − a − b)2

= b2 + a2

4. กำหนดสามเหลย่ี ม ABC ซึ่งมีจดุ มุมอยู่ที่ A(13,5), B(1,0) และ C(4,9) จงหาความยาวรอบรูป
สามเหลี่ยมรูปน้ี

วิธที ำ AB = (13 −1)2 + (5 − 0)2 = 144 + 25 = 169 = 13 หนว่ ย

BC = (1− 4)2 + (0 − 9)2 = 9 + 81 = 90 = 3 10 หนว่ ย

AC = (13 − 4)2 + (5 − 9)2 = 81+16 = 97 หน่วย

ดังนัน้ ความยาวรอบรูปสามเหลยี่ ม = AB + BC + AC = 13+3 10 + 97 หนว่ ย

5. จงแสดงว่ารูปสามเหล่ยี ม ABC ทม่ี จี ดุ A(1, −7), B(2,9) และ C(−15, −6) เปน็ จุดยอดของรูป
สามเหลย่ี มหน้าจ่วั

วิธที ำ AB = (1− 2)2 + (−7 − 9)2 = 1+ 256 = 257 หน่วย

BC = (2 +15)2 + (9 + 6)2 = 289 + 225 = 514 หนว่ ย

AC = (1+15)2 + (−7 + 6)2 = 256 +1 = 257 หน่วย
จะพบวา่ AB = AC
ดงั นั้น ABC เปน็ สามเหล่ียมหนา้ จ่ัว

6. กำหนดให้ A(2,9),B(6,5) และ C(3, 2) เป็นจดุ ยอดมุมของรปู สามเหล่ียม ABC จงแสดงว่ารูป
สามเหล่ียม ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
วิธที ำ AB2 = (2 − 6)2 + (9 − 5)2 = 32

BC2 = (6 − 3)2 + (5 − 2)2 = 18
AC2 = (2 − 3)2 + (9 − 2)2 = 50

AC2 = BC2 + AB2

ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก

4

7. กำหนดให้ A(3,2),B(7,0) และ C(11, 2) เปน็ จุดยอดมุมของรปู สามเหล่ยี ม ABC จงแสดงว่ารปู
สามเหลีย่ ม ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจัว่

วิธที ำ AB = (3 − 7)2 + (2 − 0)2 = 20 = 2 5 หน่วย

BC = (7 −11)2 + (0 − 2)2 = 20 = 2 5 หน่วย

AC = (3 −11)2 + (2 − 2)2 = 64 = 8 หนว่ ย
จะพบวา่ AB = BC
ดังนั้น ABC เป็นสามเหล่ียมหน้าจั่ว

8. รูปสามเหลี่ยมท่ีมีจุดมุม A(−3,−7), B(5, −4) และ C(−11, −10) เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจ่ัว หรอื รูป
สามเหลย่ี มด้านเท่า

วธิ ีทำ AB = (−3 − 5)2 + (−7 + 4)2 = 64 + 9 = 73 หนว่ ย

BC = (5 +11)2 + (−4 +10)2 = 256 + 36 = 292 = 2 73 หน่วย

AC = (−3 +11)2 + (−7 +10)2 = 64 + 9 = 73 หน่วย
จะพบว่า AB = AC
ดังนั้น ABC เปน็ สามเหล่ียมหน้าจั่ว

9. กำหนด A (−1,5), B(5,3), C(1, −3) และ D(−3, 2) เป็นจุดยอดของรปู สี่เหลี่ยมรปู หน่ึง จงหาความ
ยาวเส้นรอบรูป

วธิ ที ำ AB = (−1− 5)2 + (5 − 3)2 = 36 + 4 = 40 = 2 10 หน่วย

BC = (5 −1)2 + (3 + 3)2 = 16 + 36 = 52 = 2 13 หนว่ ย

CD = (1+ 3)2 + (−3 − 2)2 = 16 + 25 = 41 หน่วย

CA = (−1−1)2 + (5 + 3)2 = 4 + 64 = 68 = 2 17 หนว่ ย
ความยาวเสน้ รอบรูป 2 10 + 2 13 + 41 + 2 17 หนว่ ย

5

10.จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหลย่ี ม ABC ซึง่ จุด A มีพกิ ัด (7, −8) จดุ B มีพิกัด (−4, −6) และ
จดุ C มีพกิ ัด (0,3)
วิธีทำ AB = (7 + 4)2 + (−8 + 6)2 = 121+ 4 = 125 = 5 5 หน่วย

BC = (4 − 0)2 + (−6 − 3)2 = 16 + 81 = 97 หนว่ ย
AC = (7 − 0)2 + (−8 − 3)2 = 49 +121 = 170 หนว่ ย
ความยาวรอบรูปของรปู สามเหลีย่ ม ABC คอื 5 5 + 97 + 170

11. กำหนดให้ C(11,5) เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมหน่ึง A (4, 29) เป็นจดุ ๆหน่งึ บนวงกลมนั้น จงหาความ
ยาวของรัศมวี งกลมวงนี้
วธิ ที ำ วงกลมรัศมยี าว = (11− 4)2 + (5 − 29)2
= 49 + 576 = 25 หนว่ ย
วงกลมน้มี รี ัศมยี าว = 25 หน่วย

12. วงกลมวงหน่ึงมจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ จี่ ดุ (2,−6) และวงกลมนผ้ี ่านจดุ (−7,34) จงหาความยาวของเสน้
ผ่านศนู ย์กลางของวงกลมนี้
วิธีทำ วงกลมรศั มยี าว = (2 + 7)2 + (−6 − 34)2 = 81+1600 = 41 หน่วย
วงกลมนม้ี ีเสน้ ผ่านศนู ย์กลางยาว = 82 หนว่ ย

13. วงกลมหน่ึงมีจดุ ศนู ย์กลางที่ (−12,8) และผา่ นจดุ (−9,4) จงหารัศมีวงกลม
วธิ ที ำ r = (−12 + 9)2 + (8 − 4)2
= (−3)2 + (4)2

= 9 +16
=5

ดงั นัน้ วงกลมมีรัศมี 5 หนว่ ย

6

14. วงกลมหนง่ึ มจี ุดศนู ย์กลางท่ี (−11,−25) และผ่านจุด (−1,−23) จงหารัศมีวงกลม
วธิ ีทำ r = (−11+1)2 + (−25 + 23)2
= (−10)2 + (−2)2

= 100 + 4
= 104

ดังน้ันวงกลมมีรัศมี = 104 หน่วย

15. วงกลมหนง่ึ มจี ุดศนู ย์กลางท่ี (−4,13) และผ่านจดุ (2,5) จงหารศั มีวงกลม
วิธีทำ r = (−4 − 2)2 + (13 − 5)2

= (−6)2 + (8)2

= 36 + 64
= 100 =10

ดังนนั้ วงกลมมรี ัศมี =10 หนว่ ย

16. วงกลมทผี่ ่านจดุ A (−4,5) และ B(8,5) และมศี ูนย์กลางที่ O(a, −3) จงหารศั มีวงกลม

วธิ ีทำ (a + 4)2 + (−3 − 5)2 = (a − 8)2 + (−3 − 5)2

(a + 4)2 + 64 = (a − 8)2 + 64
ยกกำลงั สองท้งั สองข้าง

(a + 4)2 + 64 = (a − 8)2 + 64 r = (4 + 2)2 + (−3 − 5)2
(a + 4)2 − (a −8)2 = 0
(a + 4 + a −8)(a + 4 − a +8) = 0 = 36 + 64
= 100

24a − 48 = 0 a=2 = 10

ดังนน้ั จุด O น้นั คอื (2, −3)

7

17. วงกลมท่ผี า่ นจุด A(12,−6) และ B(−11,1) และมีศนู ย์กลางที่ O(a,9) จงหาจดุ ศูนยก์ ลางของ
วงกลม

วธิ ที ำ (a −12)2 + (9 + 6)2 = (a +11)2 + (9 −1)2

(a −12)2 + 225 = (a +11)2 + 64
ยกกำลังสองทั้งสองขา้ ง

(a −12)2 + 225 = (a +11)2 + 64 r = (4 −12)2 + (9 + 6)2

a2 − 24a +144 + 225 = a2 + 22a +121+ 64 = 64 + 225

a2 − 24a + 369 = a2 + 22a +185 = 17

46a =184

a=4

ดังน้นั จุด O นัน้ คอื (4,9)

18. วงกลมที่ผ่านจุด A(−1,−13) และ B(−8, 4) และมศี ูนย์กลางท่ี O(4,b) จงหารศั มีวงกลม

วธิ ที ำ (4 +1)2 + (b +13)2 = (4 + 8)2 + (b − 4)2

25 + (b +13)2 = 144 + (b − 4)2
ยกกำลงั สองท้ังสองขา้ ง

25 + (b +13)2 = 144 + (b − 4)2 r = (−1− 4)2 + (−13 +1)2

25 + b2 + 26b +169 =144 + b2 −8b +16 = 25 +144

b2 + 26b +194 = b2 −8b +160 = 13

34b = −34

b = −1

ดงั นัน้ จุด O น้ันคอื (4, −1)

19. วงกลมท่ผี า่ นจุด A(30,−2) และ B(−1, −33) และมีศนู ย์กลางที่ O(−10,b) จงหารศั มีวงกลม

วิธที ำ (−10 − 30)2 + (b + 2)2 = (−10 +1)2 + (b + 33)2

1600 + (b + 2)2 = 81+ (b + 33)2
ยกกำลังสองทั้งสองขา้ ง

1600 + (b + 2)2 = 81+ (b + 33)2 r = (−10 − 30)2 + (7 + 2)2

1600 + b2 + 4b + 4 = 81+ b2 + 66b +1089 = 1600 + 81
=4
b2 + 4b +1604 = b2 + 66b +1170

62b = 434

b=7

ดังนน้ั จุด O นั้นคอื (−10,7)

8

20. ถ้าระยะทางระยะหวา่ งจุด A(−10,9) และ B(k, −1) เทา่ กบั 26 จงหาคา่ k
วิธที ำ 26 = (k +10)2 + (−1− 9)2 = (k +10)2 +100
ยกกำลังสองทวั้ สองข้าง
676 = (k +10)2 +100
(k +10)2 = 576

k2 + 20k +100 = 576
k2 + 20k − 476 = 0

(k + 34)(k −14) = 0

k = −34,14

21. ถ้าระยะทางระยะหว่างจุด A (−6,9) และ B(k, −3) เท่ากับ 13 จงหาค่า k
วธิ ีทำ 13 = (k + 6)2 + (−3 − 9)2 = (k + 6)2 +144
ยกกำลงั สองทว้ั สองขา้ ง
169 = (k + 6)2 +144
(k + 6)2 = 25
(k + 6)2 − 25 = 0
(k + 6)2 − 52 = 0
(k +1)(k +11) = 0

k = −1, −11

22. ถ้าระยะทางระยะหว่างจุด A (−2,6) และ B(6, k ) เทา่ กบั 17 จงหาค่า k
วธิ ีทำ 17 = (6 + 2)2 + (k − 6)2 = (k − 6)2 + 64
ยกกำลงั สองท้วั สองขา้ ง
289 = (k − 6)2 + 64
(k − 6)2 − 225 = 0
(k − 6)2 −152 = 0
(k + 9)(k − 21) = 0

k = −9, 21

9

23. จงหาระยะทางระหวา่ งจุด (6, 2) กบั แกน Y (0, 2)
วิธที ำ สมมติให้ จุดบนแกน Y คอื

d = (6 − 0)2 + (2 − 2)2

= 36
=6

24. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ (−3, −7) กบั แกน Y
วิธที ำ สมมติให้ จดุ บนแกน Y คอื (0, −7)

d = (−3 − 0)2 + (−7 + 7)2

=9
=3

25. จงหาระยะทางระหวา่ งจุด (−2,8) กับแกน X (−2, 0)
วธิ ที ำ สมมตใิ ห้ จดุ บนแกน X คอื

d = (−2 + 2)2 + (8 − 0)2

= 64
=8

26. จงหาระยะทางระหวา่ งจุด (5,12) กบั แกน X ( 5, 0 )
วิธีทำ สมมตใิ ห้ จุดบนแกน X คือ

d = (5 − 5)2 + (12 − 0)2

= 144
= 12

27. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ (−6, −9)กบั แกน X
วิธีทำ สมมติให้ จุดบนแกน X คอื (−6,0)

d = (−6 + 6)2 + (−9 − 0)2

= 81
=9

10

28. วงกลมวงหนงึ่ มจี ุดศูนย์กลางอยู่ทจี่ ดุ (5,9) และวงกลมนีส้ ัมผสั แกน X จงหาจดุ สัมผัสและความยาวของ
รัศมีของวงกลมนี้
วธิ ีทำ วงกลมนสี้ ัมผัสแกน X ท่ีจดุ (5,0)
r = (5 − 5)2 + (9 − 0)2

= 81

และมรี ัศมียาว 9 หน่วย

29. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศนู ย์กลางอยู่ทจ่ี ุด (−2,−7) และวงกลมนส้ี ัมผสั แกน X จงหาจุดสมั ผัสและความยาว
ของรัศมีของวงกลมนี้
วิธีทำ วงกลมน้สี มั ผสั แกน X ท่จี ุด (−2,0)

r = (−2 + 2)2 + (−7 − 0)2

= 49

และมีรศั มียาว 7 หนว่ ย

30. จงหาจุดบนแกน Y ซง่ึ อยหู่ ่างจาก (2,6) และ (−2,2) เป็นระยะเท่ากัน
วธิ ีทำ สมมติให้ จุดบนแกน Y คือ (0, y)

d = (0 − 2)2 + ( y − 6)2 d = (0 + 2)2 + ( y − 2)2

= 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2

จบั ทงั้ สองสมการเท่ากนั 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2
ยกกำลงั สองท้งั สองข้าง 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2

( y − 6)2 − ( y − 2)2 = 0
( y −6+ y − 2)( y −6− y + 2) = 0
(2y − 8)(−4) = 0

y=4

ดงั นั้น จดุ นน้ั คือ (0,4)

11

2. จดุ กึง่ กลางระหว่างจดุ สองจุด

ทฤษฎบี ท 2 ถ้าจุด P ( x, y) เปน็ จุดกึ่งกลางระหวา่ ง P1 ( x1, y1 ) และ P2 ( x2, y2 ) แล้ว

x = x1 + x2 และ y = y1 + y2

22

1. หาจุดกงึ่ กลางระหวางจดุ ทก่ี าํ หนดใหในแตละขอ 2) (−5, −6) และ (−9,12)

1) (4,7) และ (8, −3) x = −5 − 9 = −7
2
x = 4+8 =6
2 y = −6 +12 = 3
2
y = 7−3 =2
2 จุดกง่ึ กลางคือ (−7,3)

จดุ กง่ึ กลางคือ (6, 2)

3) (−2, −11) และ (2,11) 4) (7,9) และ (7,9)

x = −2 + 2 = 0 x= 7+7 =7
2 2

y = −11+11 = 0 y = 9+9 =9
2 2

จดุ ก่งึ กลางคือ (0,0) จุดกง่ึ กลางคอื (7,9)

5) (−15, −6) และ (−19, −18) 6) (7,9) และ (−11, −17)

x = −15 −19 = −17 x = 7 −11 = −2
2 2

y = −6 −18 = −12 y = 9 −17 = −4
2 2

จุดก่งึ กลางคือ (−17, −12) จดุ กึ่งกลางคือ (−2, −4)

7) (5,3) และ (4,8) 8) (a + b,c + d ) และ (a − b,c − d )

x = 5+4 = 9 x = a+b+a−b =a
22 2

y = 3 + 8 = 11 y= c+d+c−d =c
22 2

จุดก่งึ กลางคอื  9 , 11  จดุ กึ่งกลางคอื (a,c)
 2 2 

12

2. จงหาพกิ ัดของจดุ กึ่งกลางด้าน AB ดา้ น BC และดา้ น ACของรปู สามเหล่ียม ABCทม่ี จี ุดยอดตามที่
กำหนดให้

1) A (2, 4),B(−6, −8) และ C(10, −12)

จุดกึ่งกลางด้าน AB คอื  2 − 6 , 4 − 8  = ( −2, −2)
 2 2 

จุดก่งึ กลางด้าน BC คือ  −6 +10 , −8 −12  = ( 2, −10)
 2 2 

จดุ ก่ึงกลางด้าน AC คือ  10 + 2 , −12 + 4  = (6, −4)
 2 2 

2) A (3,5),B(−9,11) และ C(2, 7)

จดุ ก่ึงกลางด้าน AB คอื  3 − 9 , 5 +11  = ( −3, 8)
 2 2 

จดุ กึ่งกลางด้าน BC คือ  −9 + 2 , 11 + 7  =  − 7 , 9 
 2 2   2 

จดุ กึ่งกลางด้าน AC คอื  3 + 2 , 5 + 7  =  5 , 6 
 2 2   2 

3. ถา้ จุด (7,11) และ (−9,−3) เปน็ จดุ ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม แล้วจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
นเ้ี ท่ากับเท่าไร

จุดศนู ย์กลาง คือ 7−9 , 11 − 3  = (−1, 4)
 2 2 

4. A(−6,−9) และ C(−4,11) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนยก์ ลางของวงกลมวงหน่ึง จงหาจดุ ศูนยก์ ลาง
ของวงกลมวงน้ี

จุดศนู ยก์ ลาง คือ  −6 − 4 , −9 +11 = ( −5,1)
 2 2 

5. A(5, −10) และ C(6,3) เป็นจดุ ปลายของเส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลมวงหนง่ึ จงหาจดุ ศนู ย์กลางของ
วงกลมวงนึ่ง

จุดศนู ยก์ ลาง คือ 5+ 6 , −10 + 3  =  11 , 13 
 2 2   2 2 

13

6. กำหนดจุด(−6,8) และจุด (5, −12) เป็นจดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลมวงหน่งึ จงหาจุด
ศูนย์กลางของวงกลมวงนงึ่

จดุ ศนู ยก์ ลาง คือ  −6 + 5 , 8 −12  =  −1 , −2 
 2 2   2 

7. วงกลมวงหนงึ่ มจี ุดศูนย์กลางอยทู่ ี่จุด (−7,−11) ถ้าจุดปลายเส้นผา่ นศูนยก์ ลางข้างหนึง่ ของวงกลมนอี้ ย่ทู ี่
จดุ (−3,5) แล้ว จงหาจดุ ปลายเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางอีกขา้ งหนึง่ ของวงกลมน้ี
กำหนดจุดปลายเสน้ ผา่ นศูนย์กลางอีกขา้ งหนึ่ง คอื ( x, y)

( −7, −11) =  x − 3 , y + 5 
 2 2 

−7 = x − 3 −11 = y + 5
2 2

−14 = x − 3 −22 = y + 5

x = −11 y = −27

จุดปลายเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางอีกขา้ งหน่งึ คือ (−11,−27)

8. วงกลมวงหนงึ่ มจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ทีจ่ ุด (−2,9)ถ้าจดุ ปลายเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางข้างหน่งึ ของวงกลมน้อี ยู่ท่ีจุด
(8,−5) แลว้ จงหาจุดปลายเส้นผ่านศูนยก์ ลางอกี ข้างหนง่ึ ของวงกลมน้ี
กำหนดจดุ ปลายเส้นผา่ นศูนย์กลางอีกขา้ งหน่ึง คอื ( x, y)

( −2, 9) =  x + 8 , y − 5 
 2 2 

−2 = x + 8 9= y−5
2 2

−4 = x + 8 18 = y − 5

x = −12 y = 23

จดุ ปลายเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางอีกขา้ งหนง่ึ คอื (−12,23)

14

9. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศนู ยก์ ลางอยูท่ จี่ ดุ (7, −6) ถ้าจุดปลายเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางข้างหน่งึ ของวงกลมนี้อย่ทู ี่จดุ
(2,4) แลว้ จงหาจุดปลายเส้นผา่ นศนู ย์กลางอีกข้างหนง่ึ ของวงกลมนี้
กำหนดจุดปลายเส้นผา่ นศูนย์กลางอีกขา้ งหน่ึง คือ ( x, y)

(7, −6) =  x + 2 , y + 4 
 2 2 

7= x+2 −6 = y + 4
2 2

14 = x + 2 −12 = y + 4

x =12 y = −16

จุดปลายเส้นผ่านศนู ย์กลางอีกข้างหน่ึง คือ (12, −16)

10. จุด M เปน็ จุดก่งึ กลางของส่วนของเสน้ ตรง PQจงหาพิกัดของจดุ P
1) M มพี กิ ดั เปน็ (−6,1) และ Q มีพิกัดเปน็ (8,3)

ให้ M มีพกิ ัดเป็น ( x, y)

( −6,1) =  x + 8 , y + 3 
 2 2 

−6 = x + 8 1= y+3
2 2

−12 = x + 8 2= y+3

x = −20 y = −1

พิกัดของจุด P (−20, −1)

2) M มพี ิกดั เป็น (5, 4) และ Q มพี ิกดั เป็น (6,5)
ให้ M มีพิกัดเปน็ ( x, y)

(5, 4) =  x + 6 , y + 5 
 2 2 

5= x+6 4= y+5
2 2

10 = x + 6 8= y+5

x=4 y=3

พกิ ดั ของจุด P (4,3)

15

3) M มีพิกดั เปน็ (−6, −3) และ Q มีพิกดั เป็น (−1, −4)
ให้ M มพี ิกัดเป็น ( x, y)

( −6, −3) =  x −1 , y − 4 
 2 2 

−6 = x −1 −3 = y − 4
2 2

−12 = x −1 −6 = y − 4

x = −11 y = −2

พิกดั ของจุด P (−11, −2)

4) M มีพิกดั เปน็ (0,0) และ Q มีพิกดั เป็น (−8, −7)
ให้ M มพี กิ ัดเป็น ( x, y)

(0, 0) =  x − 8 , y − 7 
 2 2 

0= x−8 0= y−7
2 2

0= x−8 0= y−7

x=8 y=7

พิกดั ของจดุ P (8,7)

5) M มพี ิกัดเปน็  5 , −7  และ Q มพี ิกดั เป็น (9,13)
 2 2 

ให้ M มพี กิ ัดเปน็ ( x, y)

 5 , −7  =  x + 9 , y +13 
 2 2   2 2 

5 = x+9 −7 = y +13
22 22

5= x+9 −7 = y +13

x = −4 y = −20

พิกัดของจุด P (−4, −20)

16

11. ให้ P เป็นจดุ ก่ึงกลางของส่วนของเสน้ ตรง P1P2 ถ้า P มพี ิกัด (7, −3) และ P2 มีพกิ ัด (4, −6) จงหา
พกิ ดั ของจดุ P1
ให้ P1 มพี ิกัดเปน็ ( x, y)

( 7, −3) =  x + 4 , y − 6 
 2 2 

7= x+4 −3 = y − 6
2 2

14 = x + 4 −6 = y − 6

x =10 y=0

พิกัดของจดุ P1 (10,0)

12. ถา้ จดุ กึ่งกลางของส่วนของเสน้ ตรงเสน้ หน่งึ เปน็ M(−5,2) และจุดปลายข้างหนึ่งเปน็ Q(3,8) จงหาจดุ
P ซ่งึ เป็นจดุ ปลายอีกขา้ งหน่ึง
กำหนดให้จุด P คือ ( x, y)

(−5, 2) =  x + 3 , y +8 
 2 2 

−5 = x + 3 2= y+8
2 2

−10 = x + 3 4= y+8

x = −13 y = −4

พกิ ัดของจุด P (−13, −4)

13. จดุ (9, 6) เป็นจุดก่งึ กลางของส่วนของเส้นตรง PQ ถา้ จดุ Q มีพิกัดเป็น (−2, −5) แล้วพกิ ัดของจดุ
P คอื จดุ ใด
กำหนดใหจ้ ดุ P คอื ( x, y)

(9, 6) =  x − 2 , y−5
 2 2 

9= x−2 6= y−5
2 2

18 = x − 2 12 = y − 5

x = 20 y =17

พกิ ดั ของจดุ P(20,17)

17

14. ให้จุดกง่ึ กลางของ AB คือจดุ R(9,−2)และจุด A มีพิกัด (1,−5) จงหาพิกัดของจดุ B
กำหนดใหจ้ ดุ B คือ ( x, y)

(9, − 2) =  x +1 , y − 5 
 2 2 

9 = x +1 −2 = y − 5
2 2

18 = x +1 −4 = y − 5

x =17 y =1

พกิ ดั ของจดุ B(17,1)

15. ให้จุดกึง่ กลางของ AB คือจดุ R(−8,−10) และจุด A มีพิกัด (−4,−3) จงหาพิกดั ของจุด B
กำหนดให้จดุ B คือ ( x, y)

(−8, −10) =  x − 4 , y −3 
 2 2 

−8 = x − 4 −10 = y − 3
2 2

−16 = x − 4 −20 = y − 3

x = −12 y = −17

พิกดั ของจดุ B(−12, −17)

16. จงหาความยาวของส่วนของเสน้ ตรงซง่ึ เช่ือมจุด P(3,−8) กบั จุดก่ึงกลางระหวา่ ง A(8,−2) และ

B(−10, −8)

กำหนดใหจ้ ุดกึ่งกลางระหวา่ ง A และ B คือ ( x, y)

( x, y ) =  8 −10 , −2 − 8  = ( −1, −5)
 2 2 

ความยาวของส่วนของเส้นตรงซ่ึงเชอ่ื มจดุ P กบั จดุ กึ่งกลางระหว่าง A และ B = (3 +1)2 + (−8 + 5)2

= 16 + 9 = 25 = 5

18

17. จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรงซ่ึงเชื่อมจดุ P(−3,−4) กับจดุ ก่ึงกลางระหวา่ ง A(8,−5) และ

B(−10, −3)

กำหนดใหจ้ ดุ ก่ึงกลางระหวา่ ง A และ B คอื ( x, y)

( x, y ) =  8 −10 , −5 − 3  = ( −1, −4)
 2 2 

ความยาวของส่วนของเสน้ ตรงซึ่งเชอ่ื มจดุ P กบั จดุ กง่ึ กลางระหว่าง A และ B

= (−3 +1)2 + (−4 + 4)2

= 4+0

=2

18. จงหาความยาวของส่วนของเสน้ ตรงซึง่ เชื่อมจดุ P(9,12) กับจดุ ก่ึงกลางระหว่าง A(5,8) และ B(−7,4)
กำหนดให้จุดกึ่งกลางระหวา่ ง A และ B คอื ( x, y)

( x, y ) =  5 − 7 , 8 + 4  = ( −1, 6)
 2 2 

ความยาวของส่วนของเส้นตรงซึ่งเชอื่ มจุด P กับจุดก่งึ กลางระหว่าง A และ B

= (9 +1)2 + (12 − 6)2

= 100 + 36
= 136

19. เสน้ มธั ยฐานของสามเหลี่ยม A(4,−5), B(8,3) และ C(−6,−7) ทีล่ ากจากจุด A มายังดา้ นตรงขา้ ม
ยาวเทา่ กับเทา่ ไร
กำหนดใหจ้ ุดก่ึงกลางระหวา่ ง B และ C คือ ( x, y)

( x, y ) =  8 − 6 , 3 + 7 
 2 2 

( x, y) = (1,5)

เสน้ มธั ยฐานของสามเหล่ยี ม ลากจากจดุ A มายังด้านตรงข้ามยาวเท่ากับ

= (4 −1)2 + (−5 − 5)2

= 9 +100
= 109

19

20. เสน้ มธั ยฐานของสามเหล่ียม A(9,−4), B(−7,2) และ C(−3,−10) ทล่ี ากจากจดุ A มายงั ด้านตรงขา้ ม
ยาวเท่ากับเท่าไร

กำหนดใหจ้ ดุ กึ่งกลางระหวา่ ง B และ C คอื ( x, y)

( x, y ) =  −7 − 3 , 2 −10 
 2 2 

( x, y) = (−5, −4)

เส้นมธั ยฐานของสามเหล่ยี ม ลากจากจุด A มายงั ดา้ นตรงขา้ มยาวเท่ากับ

= (9 + 5)2 + (−4 + 4)2

= 196 + 0

= 14

21. กำหนด A (3, −2), B(−7,8) และ C(5, 6) เป็นจดุ ยอดมุมของรปู สามเหลีย่ ม ABC ถ้า E และ
F เป็นจดุ กึ่งกลางของดา้ น AB และ BC จงหาระยะห่างระยะหา่ งระหวา่ ง E และ F

E คอื  3 − 7 , −2 + 8  = (−2,3)
 2 2 

F คอื  −7 + 5 , 8 + 6  = ( −1, 7 )
 22 

EF = (−2 +1)2 + (3 − 7)2

= 1+16
= 17

22. กำหนด A (6,7), B(−8, −5) และ C(10, 9) เปน็ จดุ ยอดมมุ ของรูปสามเหล่ยี ม ABC ถา้ E และ
F เปน็ จดุ กง่ึ กลางของด้าน AB และ AC จงหาระยะห่างระยะห่างระหว่าง E และ F

E คือ  6 − 8 , 7 − 5  = (−1,1)
 2 2 

F คอื  −8 +10 , −5 + 9  = (1, 2)
 2 2 

EF = (−1−1)2 + (1− 2)2

= 4+1
=5

20

23. ถ้าจดุ D(4, −1), E (−3,8) และ F(−2,1) เป็นจดุ ก่งึ กลางของด้าน AB,BC และ CA ของ

สามเหล่ยี ม ABC แลว้ จงหาพิกัดของจดุ A,B และ C

ใหจ้ ดุ A= ( x1, y1 ), จดุ B= ( x2, y2 ) และ จุด C= ( x3, y3 )

x1 + x2 = 4 x2 + x3 = −3
2 2

x1 + x2 = 8 ------- x2 + x3 = −6 ----------

x1 + x3 = −2
2

x1 + x3 = −4-------

 -  x1 − x3 =14 -------

 +  2x1 = 10

x1 = 5

แทน x1 = 5 ใน  จะได้ x2 = 3
แทน x2 = 3 ใน  จะได้ x3 = −9

y1 + y2 = −1
2

y1 + y2 = −2 ---------

y2 + y3 = 8
2

y2 + y3 =16---------

y1 + y3 = 1
2

y1 + y3 = 2 ---------

 -  y1 − y3 = −18 ----------
+ 2y1 = −16

y1 = −8

แทน y1 = −8 ใน  จะได้ y2 = 6
แทน y2 = 6 ใน  จะได้ y3 =10
A= (5, −8), จดุ B= (3, 6) และ จดุ C= (−9,10)

21

24. ถา้ จุด D(7, 2), E(1, −1) และ F(2,6) เปน็ จดุ กึง่ กลางของดา้ น AB,BC และ CA ของสามเหลย่ี ม

ABC แล้ว จงหาพิกดั ของจุด A,B และ C

ใหจ้ ดุ A= ( x1, y1 ), จดุ B= ( x2, y2 ) และ จุด C= ( x3, y3 )

x1 + x2 = 7 x2 + x3 = 1
2 2

x1 + x2 = 14 ------- x2 + x3 = 2 ----------

x1 + x3 = 2
2

x1 + x3 = 4 -------

 -  x1 − x3 =12 -------

 +  2x1 = 16

x1 = 8

แทน x1 = 8 ใน  จะได้ x2 = 6
แทน x2 = 6 ใน  จะได้ x3 = −4

y1 + y2 = 2
2

y1 + y2 = 4 ---------

y2 + y3 = −1
2

y2 + y3 = −2 ---------

y1 + y3 = 6
2

y1 + y3 =12 ---------
 -  y1 − y3 = 6 ----------

+ 2 y1 = 18

y1 = 9

แทน y1 = 9 ใน  จะได้ y2 = −5
แทน y2 = −5 ใน  จะได้ y3 = 3
A= (8,9), จดุ B= (6, −5) และ จุด C= (−4,3)

22

25. ถา้ สว่ นของเส้นตรง P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ) ตดั แกน x ทจ่ี ุด A (3, 0) และตดั แกน y ที่จดุ B(0, 4)
ถา้ จุด A และ B แบ่งสว่ นของเสน้ ตรง P1P2 ออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆกนั จงหา P1 ( x1, y1 ) และ P2 ( x2, y2 )
จากกราฟ A (3, 0) เปน็ จดุ กึง่ กลางของ P1 ( x1, y1 ) และ B(0, 4)

(5, 0) =  x1 + 0 , y1 + 2 
 2 2 

5 = x1 + 0 0 = y1 + 2
2 2

10 = x1 + 0 0 = y1 + 2

x1 = 10 y1 = −2

P1 ( x1, y1 ) = (10, −2)

และ B(0, 2) เปน็ จุดก่งึ กลางของ AP2

(0, 2) =  x2 + 5 , y2 + 0 
 2 2 

0 = x2 + 5 2 = y2 + 0
2 2

0 = x2 + 5 4 = y2 + 0

x2 = −5 y2 = 4

P2 ( x2 , y2 ) = (−5, 4)

26. กำหนด A (−3,1), B(5,7) และ C(1,11) เป็นจุดยอดมมุ ของรูปสามเหลยี่ ม ABC จงหาจดุ ปลาย
ของเส้นมธั ยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC รปู นี้
ให้ D เปน็ จุดก่งึ กลางของ AB

D คือ  −3 + 5 , 1+ 7  = (1, 4)
 2 2 

ให้ E เปน็ จุดกง่ึ กลางของ BC

E คอื  1 + 5 , 11 + 7  = (3, 9)
 2 2 

ให้ F เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ CA

F คือ  1− 3 , 11 + 1  = (−1,6)
 2 2 

จดุ ปลายของเสน้ มธั ยฐานของรปู สามเหล่ียมนคี้ ือ จดุ (1, 4),(3,9) และ (−1,6)

23

27. กำหนด A (1, 4), B(2, −2) และ C(8, 4) เปน็ จดุ ยอดมุมของรูปสามเหลย่ี ม ABC จงหาความยาวของ
เส้นมธั ยฐานของรูปสามเหล่ียมนที้ ี่ลากจากจดุ A

ให้ D เป็นจดุ ก่ึงกลางของ BC คอื  2+8, −2, +4  = (5,1)
 2 2 

เสน้ มัธยฐาน AD= (1− 5)2 + (4 −1)2 = 25 = 5

28. ถา้ D (0, 2) เปน็ จุดกึ่งกลางระหวา่ งจดุ A (−2,1) และ C( x, y) และถ้า C( x, y) เปน็ จดุ กึ่งกลาง

ระหวา่ งจุด A และ B( x1, y1 ) แลว้ จงหา x1 + y1

(0, 2) =  −2 + x , 1 + y 
 2 2 

( x, y) = (2,3)

และ ( 2, 3) =  −2 + x1 ,1+ y1 
 2 2 

( x1, y1 ) = (6, 5)

x1 + y1 = 6 + 5 = 11

29. ถา้ O ( x,3) เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมหนง่ึ ซ่งึ มจี ุด A (−2,0) และ B(5,7) อย่บู นเส้นรอบวงของ
วงกลมนี้ จงหา x

OA = OB

(OA)2 = (OB)2
( x+2)2 + (3 − 0)2 = ( x − 5)2 + (3 − 7)2

x2 + 4x + 4 + 9 = x2 −10x + 25 +16

14x = 28

x=2

24

30. กำหนด A(−3,5),B(4,6) และ C(5,5) เปน็ จดุ ยอดมมุ ของรปู สามเหลี่ยม ABC ซ่งึ บรรจอุ ย่ใู น
วงกลมทีม่ ีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่จี ุด ( x, y) จงหา ( x, y)
ใหจ้ ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ่จี ดุ O( x, y)

OA = OB

(OA)2 = (OB)2
( x+3)2 + ( y − 5)2 = ( x − 4)2 + ( y − 6)2

x2 + 6x + 9 + y2 −10y + 25 = x2 −8x +16 + y2 −12y + 36

14x + 2y =18--------
และ AO = CO

(AO)2 = ( CO)2
( x+3)2 + ( y − 5)2 = ( x − 5)2 + ( y − 5)2

x2 + 6x + 9 + y2 −10y + 25 = x2 −10x + 25 + y2 −10y + 25

16x = 16

x =1 แทนใน 
ได้ y = 2

( x, y) = (1, 2)

25

3. การหาจุดทแ่ี บง่ ส่วนของเส้นตรงเปน็ อัตราส่วน

C n B(x2,y2)

m พิกดั ของจดุ C คอื  nx1 + mx2 , ny1 + my2 
 n+m n+m 
A(x1,y1)

1. จงหาจุด P ( x, y) ซ่งึ เปน็ จดุ แบง่ ส่วนของเสน้ ตรงที่เชื่อมจุด (3, 20) และ (7, 4) ออกเปน็ อตั ราสว่ น

3:1

P ( x, y) =  (3) ( 7) + (1)(3) , (3) (4) + (1) (20) 
 
 1+ 3 1+3 

=  24 , 32 
 4 4 

= (6,8)

P ( x, y) = (6,8)

2. จงหาจุด P ( x, y) ซงึ่ เปน็ จุดแบง่ สว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชือ่ มจดุ (2, 2) และ (7, −8) ออกเปน็ อัตราสว่ น

2:3

P ( x, y ) =  (2) ( 7) + (3)(2) , (2) ( −8) + (3) (2) 
 
 2+3 2+3 

=  20 , −10 
 5 5 

= (4, −2)

P ( x, y) = (4, −2)

3. จงหาจุด P ( x, y) ซ่งึ เป็นจุดแบ่งสว่ นของเสน้ ตรงที่เช่ือมจุด (−3,1) และ (4, −6) ออกเปน็ อัตราส่วน

5:2

P ( x, y ) =  (5) ( 4) + (2)(−3) , (5) (−6) + ( 2) (1) 
 
 2+5 2+5 

=  14 , −28 
 7 7 

= (2, −4)

P ( x, y) = (2, −4)

26

4. จงหาจดุ แบ่งส่วนของเส้นตรงจาก P1 (4, −6) ไป P2 (12, 2) ในอตั ราสว่ น 3: 5

P ( x, y ) =  (3) (12) + (5) (4) , (3) ( 2) +(5) ( −6) 
 
 3+5 3+5 

=  56 , −24 
 8 8 

= (7, −3)

P ( x, y) = (7, −3)

5. จงหาจดุ แบ่งสว่ นของเส้นตรงจาก P1 (8, −6) ไป P2 (−4,6) ในอตั ราสว่ น 5:1

P ( x, y) =  (5) ( −4) + (1) (8) , (5) (6) + (1) ( −6 ) 
 
 5+1 5+1 

=  −12 , 24 
 6 6 

= ( −2, 4)

P ( x, y) = (−2, 4)

6. ถ้าจุด A (−1, 4) แบง่ ส่วนของเสน้ ตรงจากจุด B(3,5) ไป C( x, y) เป็นอัตราส่วน 1: 2

( −1, 4) =  (1) ( x) + (2) (3) , (1) ( y) + (2) (5) 
 + + 
 1 2 1 2 

−1 = x + 6 4 = y +10
3 3

−3 = x + 6 12 = y +10

x = −9 y=2

C ( x, y) = (−9, 2)

7. ถา้ จดุ A (4, −6) แบง่ ส่วนของเสน้ ตรงจากจุด B(1,3) ไป C( x, y) เป็นอตั ราสว่ น 3: 2

( 4, −6) =  (3) ( x) + (1) ( 2) , (3) ( y) + (2) (3) 
 + 
 3+ 2 3 2 

4 = 3x + 2 −6 = 3y + 6
5 5

20 = 3x + 2 −30 = 3y + 6

x=6 y = −12

C ( x, y ) = (6, −12)

27

8. ABเปน็ เส้นตรงทม่ี ีจดุ ปลายที่ A (−6,3), B(4, −2) โดยมอี ตั ราส่วนการแบง่ เปน็ 2 จงหาจดุ แบง่ ของ

3

AB

P ( x, y ) =  ( 2) ( 4) + (3) ( −6) , ( 2) ( −2) + (3) (3) 
 
 2+3 2+3 

=  −10 , 5 
 5 5 

= (−2,1)

P ( x, y) = (−2,1)

9. ABเปน็ เส้นตรงท่มี จี ดุ ปลายที่ A(6,1),B(6, −6) โดยมอี ัตราส่วนการแบ่งเปน็ 5 จงหาจุดแบง่ ของ AB

2

P ( x, y ) =  (5) (6) + (2) ( 6) , (5)( −6) + (2) (1) 
 + 
 2 5 2+5 

=  42 , −28 
 7 7 

= (6, −4)

P ( x, y) = (6, −4)

10. ABเปน็ เส้นตรงท่ีมจี ุดปลายที่ A(0,0), B(7, −7) โดยมอี ัตราส่วนการแบ่งเป็น 4 จงหาจดุ แบง่ ของ

3

AB

P ( x, y ) =  ( 4) (7) + (3) (0) , (4) ( −7) + (3) ( 0 ) 
 + 
 4 3 4+3 

=  28 , −28 
 7 7 

= (4, −4)

P ( x, y) = (4, −4)

28

11. จงหาจดุ P ( x, y) ซ่งึ แบ่งส่วนของเสน้ ตรง A (−7, −8) และ B(−2, 2) ออกเปน็ อตั ราส่วน

AP : PB = 3 : 2

P ( x, y) =  (3) ( −2) + (2) ( −7 ) , (3) (2) + (2) ( −8) 
 + 
 3 2 3+2 

=  −20 , −10 
 5 5 

= (−4, −2)

P ( x, y ) = (−4, −2)

12. จงหาจุด P ( x, y) ซงึ่ แบง่ ส่วนของเสน้ ตรง A (−4,6) และ B(3, −1)ออกเป็นอัตราส่วน

AP : PB = 2 : 5

P ( x, y ) =  ( 2) (3) + (5) ( −4) , ( 2) (−1) + (5) ( 6) 
 
 2+5 2+5 

=  −14 , 28 
 7 7 

= ( −2, 4)

P ( x, y) = (−2, 4)

13. ใหจ้ ดุ A (10, −2) ,B(2, −10) และจดุ C แบ่งส่วนของเสน้ ตรง AB ออกเปน็ อัตราส่วน

AC : BC = 3: 5

( x, y) =  (3) (2) + (5)(10) , (3) (−10) + (5) ( −2) 
 
 3+5 3+5 

=  56 , −40 
 8 8 

= (7, −5)

C ( x, y ) = (−2, −5)

29

14. ใหจ้ ดุ A (1, −1) ,B(5, −9) และจดุ C แบ่งสว่ นของเส้นตรง AB ออกเปน็ อัตราสว่ น AC: BC =1:3

( x, y ) =  (1) (5) + (3) (1) , ( −1) (3) + (1) ( −9 ) 
 
 1+ 3 1 +3 

=  8 , −12 
 4 4 

= (2, −3)

C ( x, y) = (2, −3)

15. ใหจ้ ดุ A(−15,1) และ B( x, y) และจุด P(−5,6) แบ่งสว่ นของเส้นตรง AB ออกเปน็ อัตราสว่ น

AP : PB = 5 : 2

( −5, 6) =  5x − 30 , 5y + 2 
 2 + 5 2+5 

( −5, 6) =  5x − 30 , 5 y+ 2 
 7 7 

−5 = 5x − 30 6 = 5y +2
7 7

−35 = 5x − 30 42 = 5y + 2
40 = 5y
−5 = 5x y =8

x = −1

B( x, y) = (−1,8)

16. ให้จดุ A (6,5) และ B( x, y) และจดุ P(3, −4) แบ่งส่วนของเส้นตรง AB ออกเป็นอัตราส่วน

AP : PB = 3 : 2

(3, −4) =  3x + 12 , 3y +10 
 2 + 3 2 +3 

(3, −4) =  3x + 12 , 3 y +10 
 5 5 

3 = 3x +12 −4 = 3y +10
5 5

15 = 3x +12 −20 = 3y +10
−30 = 3y
3 = 3x y = −10

x =1

B( x, y) = (1, −10)

30

17. ถ้า A (−1,1) และ B(k, −9) เป็นจุดสองจุด และ P (−5,1) เป็นจดุ แบง่ ส่วนของเส้นตรง ABออกเป็น
อตั ราสว่ น 4:1 จงหา k

( −5,1) =  4k −1 , −36 +1 
 4 +1 4 +1 

( −5,1) =  4k −1 , −36 +1 
 5 5 

−5 = 4k −1
5

−25 = 4k −1

−24 = 4k

k = −6

18. ถ้า A (3, −2) และ B(k,6) เป็นจุดสองจุด และ P(3, 4) เป็นจุดแบ่งสว่ นของเสน้ ตรง ABออกเป็น

อตั ราส่วน 6:2 จงหา k

(3, 4) =  6k + 2(3) , 6 ( 6)+ 2( −2) 
 
 6+2 6+2 

(3, 4) =  6k + 6 , 32 
 8 8 

3 = 6k + 6
8

24 = 6k + 6

18 = 6k

k =3

19. ถ้า A (8, −1) และ B(1, k ) เป็นจดุ สองจดุ และ P(6, −5) เปน็ จุดแบง่ ส่วนของเส้นตรง ABออกเป็น
อัตราส่วน 2:5 จงหา k

(6, −5) =  2 + 40 , 2k − 5 
 2+5 2+5 

(6, −5) =  2 + 40 , 2k − 5 
 7 7 

−5 = 2k − 5
7

−35 = 2k − 5

−30 = 2k

k = −15

31

20. จงหาจุด 2 จุดซ่ึงแบ่งส่วนของเส้นตรง A (9, −2) ไป B(3,7) ออกเปน็ สามส่วนเทา่ ๆกัน

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2 ) ( 3) + (1) ( 9 ) , ( 2) ( 7 ) + (1) ( −2 ) 
 + 
 2 1 2 +1 

=  15 , 12 
 3 3 

= (5, 4)

P2 ( x2 , y2 ) =  ( 2 ) ( 9) + (1) ( 3) , (1) ( 7 )+( 2 ) ( −2 ) 
 + 1 
 2 1 2+ 

=  21 , 3 
 3 3 

= (7,1)

21. จงหาจดุ 2 จดุ ซ่ึงแบ่งส่วนของเส้นตรง A (−2, −3) ไป B(−5, −6) ออกเปน็ สามสว่ นเทา่ ๆกัน

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2 ) ( −5) + (1) ( −2) , ( 2 ) ( −6) + (1) ( −3) 
 + + 
 2 1 2 1 

=  −12 , −15 
 3 3 

= (−4, −5)

P2 ( x2 , y2 ) =  (1) ( −5) + (2 ) ( −2 ) , (1) ( −6 ) + (2 ) ( −3) 
 
 2 +1 2 +1 

=  −9 , −12 
 3 3 

= (−3, −4)

22. จงหาจุด 2 จดุ ซงึ่ แบง่ ส่วนของเสน้ ตรง A (2,6) ไป B(−5, −6) ออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2 ) ( −5) + (1) ( −2) , ( 2 ) ( −6) + (1) ( −3) 
 + + 
 2 1 2 1 

=  −12 , −15 
 3 3 

= (−4, −5)

P2 ( x2 , y2 ) =  ( 2 ) ( 2 ) + (1) ( −7 ) , ( 2 ) ( 6 ) + (1) ( −6 ) 
 
 2 +1 2 +1 

=  −3 , 6 
 3 3 

= (−1, 2)

32

4. ความชันของเสน้ ตรง(Slope,m)

m = y2 − y1
x2 − x1

โดยความชนั ของเส้นตรงแบ่งเป็น 4 แบบ

แบบท่ี 1. แบบที่ 2.
เส้นตรงทำมุมแหลมกบั แกน x เสน้ ตรงทำมมุ แหลมกบั แกน x

m0 m0

แบบที่ 3. แบบที่ 4.
เสน้ ตรงขนานกับแกน X เส้นตรงขนานกับแกน Y

m=0 ไม่นยิ ามความชนั

1. จงหาความชันของเสน้ ตรงท่ผี ่านจุดสองจุดท่ีกำหนดให้ 2) (4, 6) และ (2,10)
1) (2,5) และ (7,10) วธิ ที ำ m = 10 − 6 = 4 = −2

วธิ ที ำ m = 10 − 5 = 5 = 1 2 − 4 −2

7−2 5

3) (−3, 4) และ (2, 4) 4) (−4, −9) และ (−2, −6)
วิธที ำ m = 4 − 4 = 0 = 0 วิธีทำ m = −6 + 9 = 3

2+3 5 −2 + 4 2

5) (2, −11) และ (−3, −8) 6) (−15, −7) และ (−7, −5)
วธิ ที ำ m = −8 +11 = 3 วธิ ที ำ m = −5 + 7 = 2 = 1

−3 − 2 −5 −7 +15 8 4

33

2. จงหาความชนั แต่ละด้านของรูปสามเหลย่ี ม ABC ทม่ี ีจดุ A(3, −6),B(−7, −8) และ C(0,0) เปน็ จุด
ยอด
วธิ ีทำ ความชันของด้าน AB คือ −8 + 6 = −2 = 1

−7 − 3 −10 5

ความชนั ของดา้ น AC คือ −6 − 0 = −2

3−0

ความชันของด้าน BC คือ −8 − 0 = −8 = 8

−7 − 0 −7 7

3. จงหาความชนั แต่ละดา้ นของรูปสามเหลย่ี ม ABC ท่มี จี ุด A (9,11),B(−20, −6) และ C(8, 4) เป็นจุด
ยอด
วิธที ำ ความชันของด้าน AB คอื 11+ 6 = 17

9 + 20 29

ความชันของด้าน AC คือ 11− 4 = 7

9−8

ความชันของดา้ น BC คือ −6 − 4 = −10 = 5

−20 − 8 −28 14

4. จงหาความชันแต่ละด้านของรูปสามเหลย่ี ม ABC เมอ่ื มีจดุ มุมอยู่ที่ A (9,5),B(1, 2) และ C(−6, −7)

วิธีทำ ความชนั ของด้าน AB คอื 5 − 2 = 3

9−1 8

ความชันของดา้ น AC คือ 5 + 7 = 12 = 4

9 + 6 15 5

ความชันของดา้ น BC คอื 2 + 7 = 9

1+6 7

5. จงหาคา่ x ท่ีทำใหเ้ ส้นตรงที่ผา่ นจดุ A และจุด B มีความชนั เท่ากับ m ตามท่ีกำหนดให้

1) A (−5,5) และ B( x,9); m = 2 2) A ( x, −8) และ B(4,3); m=1
3

วธิ ีทำ 2 = 9 − 5 วิธีทำ 1 = −8 − 3

x+5 3 x−4

x+5 = 2 x − 4 = −33

x = −3 x = −27

3) A (5, x) และ B(3, −4); m=−1 4) A (−9, x) และ B(3, −11); m=0
วธิ ที ำ − 1 = x + 4 2 วิธที ำ 0 = x +11

2 5−3 −9 − 3
x + 4 = −1 0 = x +11

x = −5 x = −11

34

6. ถ้าเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจุด ( x, −2) และ (−4, −6) มคี วามชนั เท่ากบั − 1 จงหา x

2

วธิ ที ำ −2 + 6 = − 1

x+4 2

−x −4 = 8

x = −12

7. ถ้าเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (−5, −6) และจุด (−15, y) มคี วามชนั เทา่ กบั 2 แล้ว จงหา y
วิธที ำ y + 6 = 2

−15 + 5
y + 6 = −20

y = −26

8. กำหนด A(−8, −10) และ B(−11,k ) จงหาจำนวนจริง k ทีท่ ำให้เส้นตรงที่ผา่ นจุด A และ B มคี วามชนั
เทา่ กบั − 5

3

วธิ ที ำ − 5 = k +10

3 −11+ 8
− 5 = k +10

3 −3

k +10 = 5

k = −5

9. ถา้ เสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด A(−11,4) และ B(4, k ) มีความชันเท่ากับ 1 จงหาค่า k

3

วิธที ำ 1 = k − 4

3 4 +11
1 = k−4
3 15

k −4 =5

k =9

10. จงแสดงวา่ จุด (2,3),(4,5) และ (6,7) อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั
วิธที ำ ให้ A(2,3), B(4,5) และ C(6,7)

 mAB = 5−3 =1
4−2

และ mAC = 7−3 =1
6−2

A,B,C mAB = mAC

อยู่บนเส้นตรงเดียวกนั

35

11. จงตรวจสอบวา่ จดุ A,B และ C ตอ่ ไปน้ี อยูบ่ นเสน้ ตรงเดียวกันหรือไม่

1) A (2,13), B(−3,3) และ C(−8, −7) 2) A (−1, 2), B(4,13) และ C(−6,13)

วิธีทำ  mAB = 13 − 3 = 10 = 2 วธิ ีทำ  mAB = 2 −13 = −11 = 11
2+3 5 −1− 4 −5 5

mAC = 13 + 7 = 20 = 2 mAC = 2 −13 = −11
2+8 10 −1+ 6 5

A,B,C อยบู่ นเส้นตรงเดียวกัน A,B,C ไม่อยู่บนเส้นตรงเดยี วกัน

12. ถ้าจุด A(4,6),B(0,2) และ C(8,t) อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกันแลว้ จงหา t
วธิ ที ำ ถ้า A,B และ C อย่บู นเส้นตรงเดยี วกัน

จะได้ mAB = mBC

6−2 = t−2
4−0 8−0

t =10

13. กำหนดให้ A(5,0),B(a, −2) และ C(6,5) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันแลว้ แล้ว a มีค่าเท่ากับเท่าไร
วิธที ำ −2 − 0 = −2 − 5

a−5 a−6

2a +12 = −7a + 35

9a = 23
a = 23

9

14. จงหาจำนวนจริง a ที่ทำให้จุด A(0,0),B(5,−3) และ C(a, 2) เปน็ จดุ บนเสน้ ตรงเดียวกนั

วธิ ที ำ −3 − 0 = 2 − 0

5−0 a−0
−3 = 2
5a
a = − 10

3

15. กำหนดจุด 3 จดุ อยู่บนเส้นตรงเดยี วกนั จงหาค่า k 2) (−4, −4),(1, −2) และ (−7, k )
1) (−1,3),(−10,8) และ (k,7)
วธิ ที ำ −4 + 2 = k + 2
วิธที ำ 3 − 8 = 7 − 8
−4 −1 −7 −1
−1+10 k +10 −2 = k + 2
−5 = −1 −5 −8
9 k +10 k = − 26
k = − 41
5
5

36

16. ถ้าเสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจุด (2,k ) และ (5,6) มคี วามชันเท่ากบั เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (−2,1) และ (1,5)
จงหา k

วิธีทำ 6 − k = 5 −1

5−2 1+ 2
k =2

17. จงหาความชันของเสน้ ตรงที่ลากมาต้งั ฉากกับเส้นตรงที่ลากผา่ นจุด (−2,3) และ (2,−6)
วิธีทำ ความชันของเสน้ ตรงลากผา่ นจดุ (−2,3) และ (2,−6) = 3+ 6 = 9

−2 − 2 −4

เส้นตรงท่ีลากมาตงั้ ฉากมีความชนั = 4

9

18. จงแสดงวา่ เสน้ ตรงทล่ี ากผ่านจุด (1,3) และ (6,4) ตั้งฉากกับเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (−1,2) และ

(−5, 4) กนั หรือไม่

วิธที ำ ความชันของเส้นตรงลากผ่านจุด (1,3) และ (6,5) = 5 − 3 = 1

6−1 5

ความชันของเสน้ ตรงลากผ่านจุด (−1, 2) และ (−5, 4) = 2 − 4 = −2 = − 1

−1+ 5 4 2

ผลคณู ของความชนั =  1    − 1   −1
 5   2 

เสน้ ตรง 2 เสน้ น้ีไมต่ ้งั ฉากกัน

19. ถา้ เสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจดุ (7,8) และ (3,4) ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรงท่ลี ากผ่านจดุ (m,6) และ(−8,8) แลว้ จง

หาคา่ ของ m

วิธที ำ ความชนั ของเส้นตรงลากผ่านจุด (7,8) และ (3, 4) = 4 −8 = −4 =1

3 − 7 −4

ความชันของเส้นตรงลากผา่ นจุด (m,6) และ (−8,8) = 6 −8 = −2

m+8 m+8

1 −2  = −1
m+8 

m +8 = −2

m = −10

5. เสน้ ขนานและเสน้ ต้ังฉาก 37

เส้นขนาน m1 m2 “ ถา L1//L2 แลว m1=m2 ” หรือ
“ ถา m1=m2 แลว L1//L2 ”
L1
L2

เสน้ ตั้งฉาก

“ ถา้ L1 ⊥ L2 แล้ว m1 m2 = −1” หรอื
“ ถา้ m1  m2 = −1 แล้ว L1 ⊥ L2 ”

1. เส้นตรงทเี่ ช่ือมจุด A(3,8),B(2,6) ขนานหรือต้ังฉากกบั เสน้ ตรงเช่อื มจดุ C(1, −5),D(2, −3)

หา mAB

mAB = 8− 6 = 2
3− 2

หา mDC

mDC = −5 + 3 = −2 = 2
1− 2 −1

mAB = mDC เส้นตรงท้ังสองขนานกัน

2. เส้นตรงท่เี ช่อื มจดุ A(−4, −9),B(1,6) ขนานหรือตั้งฉากกับเสน้ ตรงเช่ือมจุด C(7,8),D(1,10)

หา mAB

mAB = −9 − 6 = 3
−4 −1

หา mDC

mDC = 8 −10 = −2 = −1
7 −1 6 3

mAB mDC = −1เสน้ ตรงท้งั สองต้ังฉากกัน

3. กำหนดให้ L1 เป็นเส้นตรงทผี่ ่านจดุ A (−10, −2) และ B(−1, −6) จงหา

1) หาความชนั ของ L1

หา mL1

mL1 = −2 + 6 = 4
−10 +1 −9

38

2) ความชันของเสน้ ตรง L2 ซง่ึ ตง้ั ฉากกบั L1 3) ความชันของเส้นตรง L3 ซึ่งขนานกบั L1

− 4  mL2 = −1 mL2 = −4
9 9

mL2 = 9
4

4. จุด A,Bและ C ในขอ้ ต่อไปน้ี ข้อใดเป็นจดุ มมุ ของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

1) A (6, 4),B(8, 2) และ C(10, 4) 2) A (1, −3),B(−5, −7) และ C(10, 2)

mAB = 4−2 = 2 = −1 mAB = −3 + 7 = 4 = 2
6−8 −2 1+ 5 6 3

mBC = 2−4 = −2 = −1 mBC = −7 − 2 = −9 = 3
8 −10 −2 −5 −10 −15 5

mAC = 4−4 = 0 = 0 mAC = −3 − 2 = −5 = 5
6 −10 −4 1 − 10 −9 9

mAB  mBC = −1 ไม่เป็นสามเหล่ียมมมุ ฉาก

เปน็ สามเหลยี่ มมุมฉาก

3) A (−3, 4),B(−8, −3) และ C(−10,9) 4) A (−7, −9),B(11, −3) และ C (4,8)

mAB = 4+3 = 7 mAB = −9 + 3 = −6 = 1
−3 + 8 5 −7 −11 −18 3

mBC = −3 − 9 = −12 = −6 mBC = −3 − 8 = −11
−8 +10 2 11− 4 7

mAC = 4−9 = −5 mAC = −9 − 8 = −17 = 17
−3 +10 7 −7 − 4 −11 11

mAB  mAC = −1 ไม่เปน็ สามเหลีย่ มมุมฉาก

เปน็ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก

5. ในแตข่ อ้ ต่อไปนี้ เส้นตรงที่ผ่านจดุ A,Bตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจดุ C,Dหรือไม่
1) A (−3, −10),B(−6,9),C(−2, −1) และ D (−21, −4) 2) A (1,5),B(3,6),C(−4,0) และ

D (−6, 4)

mAB = −10 − 9 = −19 mAB = 5−6 = −1 = 1
−3 + 6 3 1−3 −2 2

mCD = −1+ 4 = 3 mCD = 0−4 = −4 = −2
−2 + 21 19 −4 + 6 2

mAB  mCD = −1 mAB  mCD = −1

AB ⊥ CD AB ⊥ CD

39

3) A (−4, 2),B(1,3),C(−1, 4) และ D(−2, −1) 4) A (4,8),B(−3, 2),C(−5, −7) และ D (2, −5)

mAB = 2−3 = −1 = 1 mAB = 8−2 = 6
−4 −1 −5 5 4+3 7

mCD = 4 +1 = 5 mCD = −7 + 5 = −2 = 2
−1+ 2 −5 − 2 −7 7

mAB  mCD  −1 mAB  mCD  −1

AB ⊥ CD AB ⊥ CD

6.กำหนด P,Q อยบู่ นเสน้ ตรง L1 และจดุ R,Sอยบู่ นเส้นตรง L2 จงพิจารณาวา่ L1 / /L2 หรือไม่
1) P (−1, −5),Q(3, −9), R (3, −2),S(−3, 4) 2) P (−5, 6),Q(−7,9), R (1, −2),S(4, −8)

mPQ = −5 + 9 = 4 = −1 mPQ = 6−9 = −3
−1− 3 −4 −5 + 7 2

mRS = −2 − 4 = −6 = −1 mRS = −2 + 8 = 6 = −2
3+3 6 1− 4 −3

mPQ = mRS mPQ  mRS

 L1 / / L2  L1 / / L2

3) P (3,9),Q (−2, 7), R (9, 4),S(4, 2) 4) P (2, 4),Q (1, −1), R (3,7),S(−6, −10)

mPQ = 9− 7 = 2 mPQ = 4 +1 = 5
3+ 2 5 2 −1

mRS = 4−2 = 2 mRS = 7 +10 = 17
9−4 5 3+6 9

mPQ = mRS mPQ  mRS

 L1 / / L2  L1 / / L2

7. เมื่อกำหนดความชนั ของเส้นตรง L1 ให้แต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาความชันของเส้นตรง L2 ท่ีตัง้ ฉากกบั เส้นตรง

L1 2) m1 = −7

1) m1 = 3

m2 = − 1 m2 = 1
3 7

3) m1 = 1 4) m1 = −1
5 6

m2 = −5 m2 = 6

40

5) m1 = 7 6) m1 = −3
2 7

m2 = − 2 m2 = 7
7 3

8. จงหาความชนั ของเส้นตรงท่ตี ั้งฉากกับเส้นตรงท่ผี า่ นจุด A และ B ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) A (12,13), B(15, 20) 2) A (−6, −7), B(−5, −1)

mAB = 13 − 20 = −7 = 7 mAB = −7 +1 = −6 = 6
12 −15 −3 3 −6 + 5 −1

m⊥ = − 3 m⊥ = − 1
7 6

3) A  5 , −3 , B  1 , −5  4) A  −6, 8  , B  −2, 2
 2 2   3  3 

mAB = −3 + 5 = 2 =1 8−2 2 1
5−1 2 33 −4 2
mAB = −6 + 2 = = −
22

m⊥ = −1 m⊥ = 2

5) A  2 , 7  , B  − 13 , − 5  6) A  − 7 , 9  , B  13 , − 21 
 5 4   5 4   5 6  5 6 

mAB = 7+5 = 3 =1 mAB = 9 + 21 = 5
44 3 66 −4
2 + 13 − 7 − 13
55 55

m⊥ = −1 m⊥ = 4
5

9.จงพจิ ารณาเสน้ ตรง L1 สมัพันธ์กบั เส้นตรง L2 ในลกั ษณะใด (ขนาน, ต้งั ฉาก, ตดั กันแต่ไม่ตั้งฉาก หรือเป็น
เสน้ ตรงเดยี วกัน)

1) L1;3x + 6y − 2 = 0 2) L1;6x + 8y − 5 = 0

L2;3x + 6y + 8 = 0 L2;8x − 6y + 9 = 0

ขนาน ต้ังฉาก

3) L1;4x − 7 y + 8 = 0 4) L1;13x − 4y −12 = 0

L2; 4x − 7 y +13 = 0 L2; 4x +13y +15 = 0

ขนาน ต้งั ฉาก

5) L1; x − 2y − 3 = 0 6) L1;9x −8y + 7 = 0

L2;6x + 7 y + 9 = 0 L2;5x −8y + 6 = 0

ตัดกนั ตดั กนั

7) L1;7x + 8y − 4 = 0 41

L2;9x − 2y +1 = 0 8) L1;4x − 5y +1 = 0

ตัดกัน L2;8x −10y + 2 = 0
9) L1;4x + 5y = −4
เสน้ ตรงเดย่ี วกัน
L2;4x + 5y + 4 = 0 10) L1;2x − 6y = 5

เสน้ ตรงเด่ียวกนั L2;6x + 2y = 3

ตั้งฉาก

10. ถา้ เส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (k, 2) และ (−9,−12) ขนานกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ (−1, 2) และ(−2,9) จงหาคา่ k

หา m1 = 2 +12 หา m2 = 2−9 = −7 = −7
k +9 −1+ 2 1

m1 = m2
14 = −7
k +9

14 = −7k − 63

7k = −77

k = −11

11. ถา้ เส้นตรงที่ผ่านจุด (2, −6) และ (k,12) ขนานกับเสน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ (−1,−19) และ(−3,17) จงหาค่า

k

หา m1 = −6 −12 หา m2 = −19 −17 = −36 = −18
2−k −1+ 3 2

m1 = m2
−18 = −18
2−k

−18 = −36 +18k

18k =18

k =1

12. ถ้าเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (2, −3) และ ( x,5) ตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (6,7) และ(0,10) จงหาคา่ x

หา m1 = −3 − 5 = −8 หา m2 = 7 −10 = −3 = − 1
2−x 2−x 6−0 6 2

m1  m2 = −1
−8 −1 = −1
2−x 2

4= x−2

x=6

42

13. ถ้าเส้นตรงท่ีผา่ นจุด (4, −8) และ (6,6) ตง้ั ฉากกบั เส้นตรงทผ่ี ่านจุด (2,3) และ(9, k ) จงหาค่า x

หา m1 = −8 − 6 = −14 = 7 หา m2 = 3−k
4−6 −2 2−9

m1  m2 = −1
7 3 − k = −1

−7

k − 3 = −1

k =2

14. จดุ A(1, 2), B(3, 4) และ C(5, 6) อยู่บนเส้นตรงเดยี วกันหรือไม่

mAB = 2−4 = 1
1−3

mBC = 4−6 =1
3−5

อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันเพราะความชนั เทา่ กนั

15. จุด A(2, 2), B(3, 3) และ C(−4, 4) อย่บู นเสน้ ตรงเดียวกันหรือไม่

mAB = 2−3 =1
2−3

mBC = 3− 4 = −1
3+ 4 7

ไมอ่ ยู่บนเส้นตรงเดยี วกนั เพราะความชันไมเ่ ท่ากัน

16. ถา้ A(6,9),B(9,6) และ C(k,18)เปน็ จุด 3 จุดบนเสน้ ตรงเดียวกนั แล้ว k2 +1 มคี า่ เทา่ ไร

หา mAB = 9 − 6 = −1 หา mBC = 6 −18 = −12
6 − 9 9−k 9−k

−1 = −12
9−k

k − 9 = −12

k = −3

k2 +1 = 9 +1 =10

43

17. ถา้ A(−1,1),B(−2, −7) และ C(a,1) เปน็ จุด 3 จุดบนเสน้ ตรงเดยี วกนั แลว้ a + 2 มคี า่ เท่าไร

หา mAB = 1+ 7 = 8 หา mBC = −7 −1 = −8
−1+ 2 −2 − a −2 − a

8 = −8
−2 − a

−2 − a = −1

a = −1

a + 2 = −1+ 2 =1

18. จงหาค่า k ของสมการ kx + 2y −7 = 0 ซง่ึ ตั้งฉากกับเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด (5, 2) และจุด (2,0)

หา m = 2 − 0 = 2 หา k จาก kx + 2y − 7 = 0

5−2 3 y=−k x+7 m=−k
22 2
ตั้งฉาก m1  m2 = −1

− k  2 = −1
23

k =3

19. กำหนดสมการ 6x − ky = 9 ซง่ึ ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (9, 4) และจุด (3, 2) จงหาค่า k −5

หา m = 4 − 2 = 2 = 1 หา k จาก 6x − ky = 9 m= 6
k
9−3 6 3 y= 6x+9
kk
ตง้ั ฉาก m1  m2 = −1

1  6 = −1
3k

k = −2

k − 5 = −2 − 5 = −7

20. ถ้าเส้นตรง 2x + ky +9 = 0 ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (4,5) และ (−6, 2) แล้ว k มคี า่ ในข้อใด

หา m1 = − 2 หา m2 = 5 − 2 = 3
k 4 + 6 10

m1 = m2

−2= 3
k 10

k = −20
3

44

21. ถา้ เส้นตรง 3x − ky +10 = 0ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (3, −6) และ (2, −1) แลว้ k มคี ่าในข้อใด

หา m1 = 3 หา m2 = −6 +1 = −5
k 3−2

m1 = m2
3 = −5
k
k =−3

5

22. ถา้ เส้นตรง kx −8y +10 = 0 ขนานกับเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (7, −5) และ (0, −7) แล้ว k มคี ่าในข้อใด

หา m1 = k หา m2 = −5 + 7 = 2
8 7−0 7

m1 = m2
k =2
87
k = 16

7

23. ถ้าเสน้ ตรง kx −9y =11ขนานกับเสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ (−2, −11) และ (10,3) แลว้ k มคี ่าในข้อใด

หา m1 = k หา m2 = −11− 3 = −14 = 7
9 −2 −10 −12 6

m1 = m2
k =7
96
k = 7  9 = 21

62

24. ถา้ เส้นตรง 4x + 5y + 7 = 0 ตัง้ ฉากกบั เส้นตรง 4x − ky + 9 = 0 ค่า k มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด

หา m1 = − 4 หา m2 = 4
5 k

ตั้งฉาก m1  m2 = −1

− 4  4 = −1
5k

k = 16
5

45

25. ถ้าเสน้ ตรง 3x + 7y = 2 ตั้งฉากกับเส้นตรง 7x − ky +10 = 0 คา่ k มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด

หา m1 = − 3 หา m2 = 7
7 k

ต้งั ฉาก m1  m2 = −1

− 3  7 = −1
7k

k =3

26. ถ้าเสน้ ตรง 4x +5y = 6 ขนานกบั เส้นตรง kx +10y + 5 = 0 ค่า k มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

หา m1 = − 4 หา m2 = −k
5 10

ตัง้ ฉาก m1 = m2

−4=− k
5 10

k =8

27. ถา้ เสน้ ตรง 7x −8y − 4 = 0 ขนานกับเส้นตรง 7x − ky + 3 =1 ค่า k มีค่าเท่ากบั เท่าใด

หา m1 = 7 หา m2 = 7
8 k

ต้งั ฉาก m1 = m2

7=7
8k

k =8

28. ถ้าเสน้ ตรง 6x −5y + 2 = 0 ขนานกบั เสน้ ตรง −6x + ky + 2 = 3 คา่ k มคี ่าเท่ากับเท่าใด

หา m1 = 6 หา m2 = 6
5 k

ตง้ั ฉาก m1 = m2

6=6
5k

k =5

46

6.หลกั การหาสมการเสน้ ตรง

ขั้นท่ี 1. รู้จุด  รู้จุดอย่างนอ้ ย 1 จุด ท่เี ส้นตรงทเี่ ราจะหาสมการผ่าน

ข้นั ที่ 2. รู้ความชนั  รู้ความชัน ( m ) ของเส้นตรงท่จี ะหาสมการ โดยความชนั หาได้จาก 2 วิธี คือ

ขนั้ ท่ี 3. เข้าสตู ร m = y2 − y1 เม่อื ( x1,y1 ) คอื จุดทีเ่ ส้นตรงผ่าน
x2 − x1

 y − y1 = m ( x − x1 )

หมายเหตุ ถ้าเปน็ สมการในรูป x = k หรือ y = k ไม่จําเป็นตอ้ งใช้หลกั การข้างต้น โดยนกั เรยี นสามารถสังเกต
จากกราฟที่วาดออกมาดูไดเ้ ลย

1.จงหาความชันของเส้นตรง จดุ ตดั แกน X และจดุ ตัดแกน Y ของกราฟแตล่ ะสมการ

สมการ ความชัน จดุ ตดั แกน X ดตัดแกน Y
(0, −3)
1) y = 5 x − 3 5  21 , 0 
7  5 
7 −8
5  15 , 0  ( 0, 3)
2) y = − 8 x + 3 2  8 
9
5 −2 (4, 0)  0, − 8 
3  9 
3) 9y = 2x −8
−2  7 , 0   0, 7 
4) 2x + 3y − 7 = 0  2   3 
−6
5) x + y = 0 5 ( 0, 0 ) ( 0, 0 )

24 1 (−35, 0) (0, −42)
−5
6) 7 + x = − y ( 0, 0 ) ( 0, 0 )
6
56 −9  − 8 , 0   0, 4 
 5   3 
7) x − y = 0 2
8) 5x + 6y + 8 = 0 7  5 , 0   0, 5 
5  9   2 
9) 9x + 2y −5 = 0 −7
5  −9 , 0   0, 9 
10) 7x − 5y + 9 = 0 10  7   5 
7
11) 5( y − 2) = −7 ( x + 3)  − 11 , 0   0, − 11 
9  7   5 
12) 5 x − 7 y = 8
 24 , 0   0, − 48 
36  5   7 

13) y = 9x +8  − 8 , 0  ( 0, 8 )
 9 

47

2. สมการของกราฟเสน้ ตรงท่ีมีความชนั เท่ากับ 3 และผา่ นจุด (−2,3)

4

y −3 = 3 (x + 2)

4
4y −12 = 3x + 6

ดังนน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 3x − 4y +18

3. สมการของกราฟเส้นตรงท่ีมีความชนั เท่ากบั 2 และผ่านจุด (−1,−2)

5

y + 2 = 2 ( x +1)

5
5y +10 = 2x + 2

ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 2x −5y −8 = 0

4. สมการของกราฟเสน้ ตรงที่มีความชันเท่ากบั − 3 และผา่ นจุด (−7,6)

2

y −6 = − 3 (x +7)

2
2y −12 = −3x − 21

ดงั นั้น สมการเสน้ ตรง คือ 3x + 2y + 9 = 0

5. จงหาความสมั พนั ธ์ซึ่งมกี ราฟเปน็ เส้นตรง ตดั แกน Y ท่ีจดุ (0,2) และมคี วามชันเทา่ กบั − 5 คอื

4

y − 2 = − 5 (x −0)

4
4y −8 = −5x

ดังน้ัน สมการเส้นตรง คือ 5x + 4y −8 = 0

6. สมการของกราฟเส้นตรงท่ีมีความชันเท่ากับ − 6 และตัดแกน Y ทจี่ ดุ (0,−2) คอื

7

y + 2 = − 6 (x − 0)

7
7y +14 = −6x

ดังนน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 6x + 7y +14 = 0

48

7. จงหาความชนั ของเสน้ ตรง 3x − 4y + 5 = 0 และจุดตดั แกน X และ แกน Y

y= 3x+5
44

จะได้ m = 3

4

จดุ ตดั แกน x แทน y = 0

0= 3x+5
44

จุดตดั แกน x  − 5 , 0 
 3 

จดุ ตัดแกน y แทน x = 0

y = 3 (0) + 5

44

จุดตัดแกน y  0, 5 
 4 

8. จงหาสมการเส้นตรงท่ลี ากผ่านจดุ (1, 2) และ (3,4)
หา m = 4 − 2 = 1

3−1

y − 2 = 1( x −1)

y − 2 = x −1

ดังน้นั สมการเส้นตรง คือ x − y +1= 0

9. จงหาสมการเสน้ ตรงทีล่ ากผา่ นจดุ (−9, 4) และ (6,10)
หา m = 4 −10 = −6 = 2

−9 − 6 −15 5

y − 4 = 2 (x +9)

5

5y − 20 = 2x +18

ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 2x −5y +38 = 0

10. จงหาสมการเสน้ ตรงที่ลากผา่ นจุด (−11, −12) และ (−13,−15)
หา m = −12 +15 = 3

−11+13 2

y +11 = 3 ( x +12)

2

2y + 22 = 3x + 36

ดงั นั้น สมการเส้นตรง คือ 3x − 2y +14 = 0

49

11. จงหาสมการของเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (1, 2) และขนานกบั เส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (3,4) และ (6,9)

m = 4 − 9 = − −5 = 5
3 − 6 −3 3

y − 2 = 5 ( x −1)

3
3y − 6 = 5x −5

ดงั น้ัน สมการเส้นตรง คือ 5x −3y +1= 0

12. จงหาสมการของเสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (−9, 4) และขนานกับเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (−1,8) และ (10, −7)

m = 8 + 7 = 15
−1−10 −11

y − 4 = − 15 ( x + 9)

11

11y − 44 = −15x −135

ดงั นั้น สมการเสน้ ตรง คือ 15x +11y + 91= 0

13. จงหาสมการของเสน้ ตรงทผี่ ่านจุด (−3, −2) และตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (−6,9) และ (−4,5)

m1 = 9−5 = 4 = −2
−6 + 4 −2

ตัง้ ฉาก m1  m2 = −1

−2 m2 = −1

m2 = 1
2

y + 2 = 1 ( x + 3)

2

2y+4 = x+3

ดังน้นั สมการเส้นตรง คือ x − 2y −1= 0