เฉลยเรขาคณิตวิเคราะห์

100

7) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เสน้ ตรง y = 4 8) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง y = − 5

3 7

และโฟกสั อยู่ท่ีจดุ  0, − 4  และโฟกสั อยู่ทจี่ ดุ  0, 5 
 3   7 

x2 = − 16 y x2 = 20 y
3 7

9) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง x = −10 10) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง x =11
และโฟกัสอยู่ท่ีจดุ (2,5) และโฟกสั อยู่ท่จี ดุ (1,−7)

( y − 5)2 = 24( x + 4) ( y + 7)2 = −20( x −1)

11) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เสน้ ตรง y = −8 12) ไดเรคตริกซ์ คอื เส้นตรง y =14
และโฟกสั อยทู่ ่จี ดุ (−4,−6) และโฟกัสอยู่ทจ่ี ุด (6,2)

( x + 4)2 = 4( y + 7) ( x − 6)2 = −24( y − 2)

101

13) จุดยอดอยู่ที่ (0,0) และโฟกสั อย่ทู ี่จุด (−17,0) 14) จุดยอดอยทู่ ี่ (0,0) และโฟกัสอยู่ทจี่ ุด

(7, 0) y2 = 28x
y2 = −68x

15) จุดยอดอยทู่ ี่ (−8, 4) และโฟกัสอยู่ทีจ่ ดุ (−13,4) 16) จุดยอดอยทู่ ่ี (4,6) และโฟกัสอยู่ท่ีจดุ (13,6)

( y − 4)2 = −20( x + 8) ( y − 6)2 = 36( x − 4)

17) จดุ ยอดอยู่ที่ (0,0) และโฟกัสอยู่ทจี่ ดุ (0,6) 18) จดุ ยอดอยู่ที่ (0,0) และโฟกัสอย่ทู จ่ี ดุ (0,−8)

x2 = 24 y y2 = −32x

19) จดุ ยอดอยู่ที่ (2,3) และโฟกัสอย่ทู จ่ี ดุ (2,−7) 20) จุดยอดอยู่ท่ี (3, −16) และโฟกสั อย่ทู ่ีจดุ (3,−5)

( x − 2)2 = −40( y − 3) ( x − 3)2 = 44( y +16)

102

4 ไฮเปอรโ์ บลา ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกบั แกน Y

ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกบั แกน X

สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 − ( y − k )2 =1 สมการรปู แบบมาตรฐาน (y − k )2 − ( x − h)2 =1

a2 b2 a2 b2

จดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ่จี ดุ (h,k ) จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ุด (h,k )

จุดยอดอยทู่ ่ี V1 (h − a, k ) และ V2 (h + a, k ) จุดยอดอยูท่ ่ี V1 (h, k − a) และ V2 (h, k + a)
จุดโฟกัสอยู่ท่ี F1 (h − c, k ) และ F2 (h + c, k ) จุดโฟกัสอยู่ท่ี F1 (h, k − c) และ F2 (h, k + c)
แกนตามขวางยาว 2a หนว่ ย แกนตามขวางยาว 2a หน่วย

แกนสงั ยคุ ยาว 2b หนว่ ย แกนสงั ยคุ ยาว 2b หน่วย

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 หน่วย เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 หน่วย

a a

สมการเส้นกำกับ y − k =  b ( x − h) สมการเสน้ กำกบั y − k =  a ( x − h)

a b

1. จากสมการของไฮเพอรโ์ บลาทกี่ ำหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี จงหาจุดยอด และโฟกัส สมการเส้นกำกบั

1) x2 − y2 = 1

16 9

a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = b2 + a2 =16 + 9 = 25 c=5

จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ท่ีจดุ (−4,0) และ (4,0)

จดุ โฟกัสอยู่ท่ีจดุ (−5,0) และ (5,0)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(9) = 9

4 a 42

แกนตามขวางยาว 8 หน่วย แกนสังยุคยาว 6 หน่วย

103

2) y2 − x2 = 1

16 9

a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = b2 + a2 =16 + 9 = 25 c=5

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ที่จดุ (0, −4) และ (0, 4)

จดุ โฟกสั อยูท่ ี่จุด (0, −5) และ (0,5)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(9) = 9

4 a 42

แกนตามขวางยาว 8 หน่วย แกนสงั ยคุ ยาว 6 หน่วย

3) x2 − y2 = 1

25 144

a2 = 25 a = 5 b2 =144 b =12

c2 = b2 + a2 = 25 +144 =169 c=13

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (−5,0) และ (5,0)

จุดโฟกัสอย่ทู จ่ี ุด (−13,0) และ (13,0)

สมการเสน้ กำกับ y = 12 x เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(144) = 288

5 a55

แกนตามขวางยาว 10 หนว่ ย แกนสงั ยุคยาว 24 หน่วย

4) y2 − x2 = 1

25 144

a2 = 25 a = 5 b2 =144 b =12

c2 = b2 + a2 = 25 +144 =169 c=13

จุดศนู ย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทีจ่ ดุ (0, −5) และ (0,5)

จดุ โฟกสั อยู่ท่จี ดุ (0, −13) และ (0,13)

สมการเส้นกำกับ y =  5 x

12

แกนตามขวางยาว 10 หนว่ ย

แกนสงั ยคุ ยาว 24 หนว่ ย

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(144) = 288

a55

104

5) y2 − x2 = 1

64 4

a2 = 64 a = 8 b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 64 + 4 =68 c= 2 17

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ที่จุด (0, −8) และ (0,8)

จดุ โฟกสั อยู่ที่จุด (0,−2 17 ) และ (0,2 17 )

สมการเสน้ กำกับ y = 4x เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(4) = 1
แกนตามขวางยาว 16 หนว่ ย
a8

แกนสงั ยุคยาว 8 หนว่ ย

6) y2 − 9x2 = 1

49 49

y2 − x2 =1
49 49

9

a2 = 49 a = 7 b2 = 49 b = 7
9 3

c2 = b2 + a2 = 49 + 49 =490 c= 7 10
9

จุดศูนย์กลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ุด (0, −7) และ (0,7)

จุดโฟกัสอยทู่ ่จี ุด (0,−7 10 ) และ (0,7 10 )

สมการเสน้ กำกับ y = 3x เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 2  49  = 14
แกนตามขวางยาว 14 หนว่ ย  9 
7) x2 − y2 = 1 =
a 79
11 3
แกนสงั ยคุ ยาว 14 หน่วย

3

a2 = 11 a = 11 b2 = 3 b = 3

c2 = b2 + a2 = 3+11 =14 c= 14

จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุด ( )11,0 และ (− )11,0

จุดโฟกสั อยู่ทจ่ี ดุ (− )14,0 และ ( )14,0

สมการเส้นกำกับ y =  3 x  เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(3) = 6 = 6 11

11 a 11 11 11

แกนตามขวางยาว 2 11 หน่วย  แกนสงั ยุคยาว 2 3 หน่วย

105

8) y2 − x2 = −1

57
x2 − y2 =1
75

a2 = 7 a = 7 b2 = 5 b = 5

c2 = b2 + a2 = 7 + 5 =12 c= 12

จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ที่จุด (− 7,0) และ ( 7,0)

จดุ โฟกัสอยทู่ ่จี ดุ (− )12,0 และ ( )12,0

สมการเสน้ กำกับ y =  5 x เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(5) = 10 = 10 11

7 a 7 11 11

แกนตามขวางยาว 2 7 หน่วย แกนสังยคุ ยาว 2 5 หนว่ ย

9) ( x −1)2 ( y − 2)2 =1

−
94

a2 = 9 a = 3

b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 9 + 4 c= 13

จุดศูนยก์ ลาง (1, 2)

จุดยอดอยู่ที่จุด (4, 2) และ (−2, 2)

จุดโฟกัสอยู่ทจี่ ดุ (1+ )13,2 และ (1− )13,2

สมการเสน้ กำกับ y =  2 x  เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(4) = 8

3 a 33

แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย  แกนสงั ยุคยาว 4 หนว่ ย

10) ( x + 3)2 − ( y − 4)2 = 1

13 10

a2 =13 a = 13

b2 = 10 b = 10

c2 = b2 + a2 =13+10 c=23

จุดศูนย์กลาง (−3, 4)

จดุ ยอดอยู่ท่จี ดุ (−3 + )13, 4 และ (−3 − )13, 4

จุดโฟกสั อยทู่ ี่จดุ (−3 + )23, 4 และ (−3 − )23, 4

สมการเส้นกำกับ y =  2 x เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(4) = 8

3 a 33

แกนตามขวางยาว 6 หน่วย แกนสงั ยุคยาว 4 หน่วย

106

11) 4x2 − 36y2 −144 = 0

4x2 − 36y2 =144
x2 − y2 = 144
36 4

a2 = 36 a = 6

b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 36 + 4 = 40 c=2 10

จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุด (6,0) และ (−6,0)

จดุ โฟกัสอยทู่ ี่จดุ (2 )10,0 และ (−2 )10,0

สมการเสน้ กำกับ y =  1 x

3

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(4) = 4

a 63

แกนตามขวางยาว 12 หนว่ ย

แกนสงั ยคุ ยาว 4 หน่วย

12) 16y2 − 9x2 −144 = 0

16y2 − 9x2 =144
y2 − x2 =1
9 16

a2 = 9 a = 3

b2 =16 b = 4

c2 = b2 + a2 = 9 +16 = 25 c=5

จดุ ศูนย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทจี่ ุด (0,3) และ (0, −3)

จุดโฟกสั อยทู่ จ่ี ดุ (0,5) และ (0, −5)

สมการเสน้ กำกับ y =  3 x

4

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(16) = 32

a 63

แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย

แกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย

107

13) 25x2 −144y2 − 3600 = 0

25x2 −144y2 = 3600
x2 − y2 =1
144 25

a2 =144 a =12

b2 = 25 b = 5

c2 = b2 + a2 =144 + 25 =169 c=13

จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ที่จดุ (12,0) และ (−12,0)

จุดโฟกสั อยูท่ จ่ี ุด (13,0) และ (−13,0)

สมการเส้นกำกับ y =  5 x

12

เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(25) = 25

a 12 4

แกนตามขวางยาว 24 หน่วย

แกนสังยุคยาว 10 หน่วย

14) 225y2 − 64x2 −14400 = 0

225y2 − 64x2 =14400
y2 − x2 =1
64 225

a2 = 64 a = 8

b2 = 225 b =15

c2 = b2 + a2 = 64 + 225 = 289 c=17

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ท่ีจุด (0,8) และ (0, −8)

จดุ โฟกสั อยู่ท่ีจดุ (0,17) และ (0, −17)

สมการเสน้ กำกับ y =  8 x

15

เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(225) = 225

a84

แกนตามขวางยาว 16 หนว่ ย

แกนสังยุคยาว 30 หนว่ ย

108

15) 36x2 − 64y2 + 72x + 256y − 2524 = 0

(36x2 + 72x) − (64 y2 − 256 y) = 2524

36( x2 + 2x) − 64( y2 − 4 y) = 2524

36( x +1)2 − 64( y − 2)2 = 2304

( x +1)2 ( y − 2)2

− =1
64 36

a2 = 64 a = 8 b2 = 36 b = 6

c2 = b2 + a2 = 64 + 36 =100 c =10

จุดศนู ยก์ ลาง (−1, 2)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (7, 2) และ (−9, 2)

จดุ โฟกสั อยูท่ จ่ี ดุ (9, 2) และ (−11, 2)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x

4

เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(36) = 9

a8

แกนตามขวางยาว 16 หน่วย

แกนสงั ยุคยาว 12 หนว่ ย

16) 16y2 − 9x2 + 54x − 64y −161 = 0

(16y2 − 64y) − (9x2 − 54x) = 161

16( y2 − 4y) − 9( x2 − 6x) = 161

16( y − 2)2 − 9( x − 3)2 = 144

( y − 2)2 ( x − 3)2

− =1
9 16

a2 = 9 a = 3 b2 =16 b = 4

c2 = b2 + a2 = 9 +16 = 25 c=5

จุดศนู ยก์ ลาง (2,3)

จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (2,6) และ (2,0)

จุดโฟกสั อยทู่ ีจ่ ดุ (2,8) และ (2, −2)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x แกนสังยุคยาว 8 หนว่ ย

4

เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(16) = 32

a 33

แกนตามขวางยาว 6 หน่วย

109

2. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาท่มี ีจุดยอดอยทู่ ่จี ดุ (−5,0) และ (5,0) และโฟกสั อยูทจี่ ดุ (−7,0) และ

(7, 0)

จุดยอดอยู่ท่จี ดุ (−5,0) และ (5,0) จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( x − 0)2 ( y − 0)2 =1

−
a2 b2

2a =10 a = 5

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 − 25 = 24
x2 − y2 =1
25 24

3. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีจดุ ยอดอยทู่ ่จี ุด (−9,0) และ (9,0) และโฟกสั อยูท่ีจุด (−11,0) และ

(11, 0)

จดุ ยอดอยู่ทจี่ ดุ (−9,0) และ (9,0) จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( x − 0)2 ( y − 0)2 =1

a2 −
b2

2a =18 a = 9

2c = 22 c = 11

b2 = c2 − a2 =121−81 = 40

( x − 0)2 ( y − 0)2

− =1
81 40

4. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทมี่ จี ดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0,−6) และ (0,6) และโฟกสั อยทู จี่ ุด (0,9) และ

(0, −9)

จดุ ยอดอยู่ท่ีจดุ (0,−6) และ (0,6) จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y − 0)2 ( x − 0)2 =1

a2 −
b2

2a =12 a = 6

2c =18 c = 9

b2 = c2 − a2 = 81− 36 = 45

( y − 0)2 ( x − 0)2

− =1
36 45

110

5. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาที่มีจุดยอดอยู่ทจี่ ดุ (0,−13) และ (0,13) และโฟกสั อยูทจ่ี ุด (0,15) และ

(0, −15)

จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0,−13) และ (0,13) จุดศนู ย์กลาง (0,0)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( y − 0)2 ( x − 0)2 =1

−
a2 b2

2a = 26 a = 13

2c = 30 c = 15

b2 = c2 − a2 = 225 −169 = 56

( y − 0)2 − ( x − 0)2 =1

169 56

6. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่มี จี ุดยอดอย่ทู ่จี ดุ (−3,5) และ (3,5) และโฟกสั อยูทจี่ ดุ (−6,5) และ

(6, 5)

จดุ ยอดอยู่ท่ีจดุ (−3,5) และ (−3,5) จดุ ศูนย์กลาง (0,5)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( x − 0)2 − ( y − 5)2 =1

a2 b2

2a = 6 a = 3

2c =12 c = 6

b2 = c2 − a2 = 36 − 9 = 27

( x − 0)2 − ( y − 5)2 =1

9 27

7. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาทีม่ ีจดุ ยอดอยูท่ ่ีจดุ (4,9) และ (−4,9) และโฟกสั อยทู ี่จดุ (−7,9) และ

(7, 9)

จดุ ยอดอยู่ท่จี ุด (4,9) และ (−4,9) จดุ ศูนยก์ ลาง (0,9)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( x − 0)2 ( y − 9)2 =1

a2 −
b2

2a = 8 a = 4

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 − 36 =13

( x − 0)2 ( y − 9)2

− =1
16 13

111

8. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ดุ ยอดอยทู่ จ่ี ุด (5,−6) และ (5,−8) และโฟกัสอยทู จ่ี ดุ (5,−3) และ

(5, −11)

จุดยอดอยู่ท่ีจุด (5,−6) และ (5,−8) จดุ ศนู ยก์ ลาง (5, −7)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( y + 7)2 ( x − 5)2 =1

−
a2 b2

2a = 2 a =1

2c = 8 c = 4

b2 = c2 − a2 =16 −1 =15

( y + 7)2 − ( x − 5)2 =1

1 11

9. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทม่ี ีจุดยอดอยู่ทจ่ี ุด (−8,15) และ (−8,7) และโฟกัสอยทู จี่ ุด (−8,18)

และ (−8,4)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (−8,15) และ (−8,7) จุดศูนย์กลาง (−8,11)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y −11)2 ( x + 8)2 =1

a2 −
b2

2a = 8 a = 4

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 −16 = 33

( y −11)2 ( x + 8)2

− =1
16 33

10. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมจี ุดยอดอยทู่ จ่ี ุด (−10,−25) และ (−10,−45) และจุดโฟกัสหน่งึ อยู่ท่ี

จดุ (−10,−55)

จดุ ยอดอยู่ท่ีจดุ (−10,−25) และ (−10,−45) จุดศนู ย์กลาง (−10, −35)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( y + 35)2 ( x +10)2 =1

a2 −
b2

2a = 20 a = 10

2c = 40 c = 20

b2 = c2 − a2 = 400 −100 = 300

( y + 35)2 ( x +10)2

− =1
100 300