(Key) เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

1. ,n
- (antilogarithm)
-
-

2.
3.
4.
5.
6.

an
an a a a ... a

n
a
n
an

()

1

a,b, a m ,b n a,b 0 m.n

am an am n

am am n
an
(am )n amn

(ab)n anbn

a n an ;b 0
b bn

a1 1 ;a 0
a

a0 1

(32)7 4 17 12 1.
=

= 235 • g- 3 4

35 -34
2=

☒= 2

x, y, z

11 1x 3 y2x 4

y z=

= ญื๋

*

()

2

๋ืหุ่ห๋ิตุ๋ท

6g(x 3y 2z 0) 2 = × 4 zo

6g= × 4

*

4x 2 4x 1 1 2
2x 2 x 1
4- 4 × + ×

=

2- ✗

12 - เ อ= 2- ✗ ✗ =12

= ¥

2-×

n

xy x y2 = x
y

Note ! x0 2x 0
x0 2x

(x xx
) x0
2 x 2 x)
1 2
3 x 50
5 2 16
2 = 16
21
12 1
9 39

2 5 2

55

16 -

55 5

()

3

่ืม๋ํก๋ัห

x0 y0 x y xy
x0 y0
xx
yy

) 7 2 = โ14 ☒

10 30 / / โ~
้ = 5.2.5 . 3.2 = 5-2 3

= เอ . 30

โ #= 10 3

14 F=
=
2 *

81 โ= 9 =3
=
9 *

xy n
y
nx yn x

xy n y n x xy 0
y nx

nx nx nx nx

()

ณุ๋ณ๋ํ

Note! nn n n
2. n
(Index) n2

2 nx x y

y

4
) i. า ห ก = 2

-125 i. า ห ก = -5

-5 i. า ห ก F=

-16 i. า ห ก = ไ ตอบ

5 =2
) 38

51 |= -

4 16 = 2

3 1000 = -10

3 125 =5

()

5

ำคีม่มัล่คัล่คัล่คัล่ค

n n n x n y n xy
xy
xy n y0 nx x
n
Note!
ny y

x n 4 ( 2)4 | 2 | 2
n xn | x | n 5 ( 2)5 2
n xn x

6 %=
) 32 33 *

3 2 33 #

=

*

3 72 = |โ=3
36 #

7
) 2 2 5 2 4 2 โ= 3

43 2 (= 4 โ3) • โ3 +
3
☐

÷ ¥= = ¥=
*

()

6

ฺศ้ึกุ๊ฐู่ป

8 (3 5 7 2)( 5 3 2)

( 3 โ5+7 G) ( โ5- 3 โ2) = โ-27-21

#

x R,x 0,m I,n I ,(m,n) 1 nx R

m1

x n (x n )m (n x )m

2 12 2

( 27)3 ( 27)3 3 27 ( 3)2 9

1 a0

9 (27a 3)6

127 = 133.

=/ 3

(3 2)

= ( ฑึ๋

*

1 a0 b0

0 (8ab2)3
1
(16a 2b 2 )4

= (23 ab2

12" ibgty

b 4. ÷) l :# า

b -

=× =a b = §=
×
*

()

7

่ัว๋ํห๋ํง๋ํท๋ํล๋ํห๋ัง๋ํว๋ํงํฎ๋ํงํล

1 12 27 3

= 14T +19T - F

โ โ ☐= 2 3 +3 -

โ= 4 3

2 1 # 1 1 {} }

} 3(5)3 1 (1600)6 10 8 3 น =3 (5) 81 5) +215 -4 /5)
25
4140J = 41%5 4(40)3 = -715

t %= -7

Pเอ = เอ 5 #

/ )4= 2. ฑึ๋1ฑํ๋io-

' -

= 8 ( 5 5)

± = 12%ง ± 1 ;)เอ=

1 เออ

. •

±

= 2.5

่ = 4.

= 2/5 5)

3 53 2 7 3

| |= 51 /× 7 = 512 . 713

= 51 ) × 7/3 % (= 3 5. 4.2 7) t

( %= 3 5. เอ 8) -

= 35 เอง

#

41

53

#. =
3
*

5 52 23

31 52

ฒู= × =
*

()

8

ึญ๊ํญูป๋ัม๋ํว๋ํท๋ํว๋ัฆ๋ับ๋ัร๋ํภ๋ัง๋ํนุ๋ว๋ํว้ันำด๋ํง

6 %l 2x 3 x

2 ตรวจ ตอบ ✗ =3 / Note
✗ = 1×
2✗ +3 = ✗ ตรวจ ตอบ เสมอ

2-0 = ✗ 2✗ -3

0 = lx 3) 1 x-D น { }ง × =

- 3

ไจะ x = 3,1 #

7 x 7 8 2x 1

%( าง #× - 19 4) 1✗ + เ 2)✗ - =0

8- 2✗ /้ /# 2✗ 4= ✓

= ✗ + 7- 2 ✗ +7 +1

_ ,

- 3✗ /้

= -2 ✗ +7

ำ ้(3✗
(ป= × +7 { }นง ✗ = 2

= 41 ✗ + 7) *

= 4 ✗ +28

-4✗ -28 =0

8 2โ2 + โ3 +2

)1 • #

22 3 2R + ☐

40 9 โ5+5 โ7 (4 9โ5 +5 โ7)
•
=
9 5 5 7 9 โ5+5 โ7
23

*

()

9

้์ุศ๋ํห๋ํห๋ํห้ันัดุ๋ว๋ํท่ร้ด้ันัดำคฺตำค

76 35 4 โ6- F 153+5โ3

•=

46 5 4 โ6- โ5 91 *

10 6 2 7 3 โ6- 2โ7 208 -26T
•
3 6 2 7 3โ6 -2A =

26

โ= 8-
¥

Note ตรวจ ตอบ วย

9

) l x 7 M 3x 1 p

✗ -7 = 3✗ tl

8- = 2✗

✓x = -4

นง ✗ = -4

*

x1 x 2

( ก = 12+1

X +1 = 4+4 โ✗ + ✗

โ3-
= 4✗

ร× =

เ อง โจาก × 7 เสมอ

น อง เซต ตอบ ของ สมการ 0/

() ¥

10

ืคำค้ันัด่ืน๋ํท้ว้ันัด้ดำคฺร

3x 4 3x 5 9

( ) ( ำ2 งน { }✗ =
้ = 9- 1→3✗ 7

ป 3 ✗+4

3 ✗ +4 81-18/้3/1-5+3✗ -5 #

=

18/53✗้- = 72

้ำ( 2
/ 3✗ -5 = (4)

3✗ -5 = 16 # X= 7

x2 ✓

l 4x 1 (x 3

4✗ +1-2/4 /I้ + ✗ -2 = ✗ +3 งน { }✗ =
✗ +1 • 6

2/14✗-+ ้ = 4 ✗-4 ¥

ป ✗-2

(2

โ 4×2-7✗ -2 = (2×-2)

4✗2- 7✗ -2 = 2- 8 ✗ +4

4✗

✗ =6

✓

x, y, z 2×322
(2x 1y)(x 2y 3z 1) 2 = i

*

x 4y2z 0 1 ¥
=
2x 3y 1

*

()

11

์ว้ันัดุวุ๋ว้ันัด

x 3y 4 2 2
x 2y 5
= = 1 ฏํ๋
¥x 3y 5 4 *

3 46 5 12

x2 y3 yx

11 = *

x 2 y2

4 2 8 122)n 2 2n 1 n 1 - ท +2 "" . ""
= 2
• 12 3)

23n 2 23h+2

[ 2ท +4 2ท +1 3h +3

2 2=
a°

23h +2

26

=

= 64

#

6n 1 152 n
103 n 4n

= (2-3)" ". ( ""

g. 3)

( "" ( "

b.2) . 2. 2)

ntl ก +1 2-h 2- ท

=2 3 5 3

23"" " 2h
2
5

33ว 3. "
g= 3 = =

5o *

()

12

ว้ว๊ืห๋ํ

23n 3 22n 1 5 2n 1 6

22n 2 2n 1 6 A ""

3 ln - 1) 2 ln - 1) +1 แทน 2=

=2 +2 - 5. -6

1m) n- เ งน ""

+ 2 -6 หาร สงเคราะ A +1 = 2 +1

ใ ไA = " Aa #
2 1A 71แ- + A- 6)
จะ = +2 -5A -6 = Atl
=

+ A- 6 AIA - เ

[ |1 tn = 17

49n 142n n = 22h" " =7

7 +ๆ . #

7n 28n า" "

7 +7 .

[ |(" h

=7 เ +2

" ( " )

7 1+2

1

| |32n 3(24n ) 2n = " +312 "" )

2

8n 3(4n ) 23 " + 3 1 22ท )

=2 | |12 3)"" " +

" ( " + 3)

2

( )" 2

=2 =

*

53n 1 52n 1 361 n 22n 1
5n 1 15 2n 2 25n
n

52n 1

mm (= 5 ก.
=

| | )52m1 n+1
t5
)152""" "" (9-4) × 2

5
+5

1× " " " ง }5=

3. × g

=

| ) | 52 |52ท+1 + gntl
)ls" "" 2 "" 1 *

5
"" +5 "" 3 ,.

= .

× ท +2 -2ก +2 2n

5• •5

()

13

๊ืม่ีท้ัทุ๋กุ๋ฑ่ีทูด่ัห่ีทุท้ขุ๋ฑ้ก๋ัก๋ก๋ก้ด้ห์ห้ันัด้ม๋ิม

จะไ ☒A = 2
เ องจาก
ใ 2 2 2 2... A= A = ไป 2 ET ง A ไ ทาง = 0 เลย

2 ไจะ A 2=

(จะไ ระรวย ) = 1
.

2 /อ .. 2 น ไปง 2 Ei 2=

A= #

.

2A 2
A=

2

0 = A- 2A

0 = Al A-2)

ใ 2 2 2 2 ... = B จะไ B =3 *

.tn#TTty2(ไ ป ปจะ 2- 2- / 2 ± 2 เกาะเ องจาก 13 =/ 2 + ก|2-า|ยกา >/ 0 แ ๆ

µ=

2+ / /นา้นา 132 จะไ B= 2
2+ 2 %
. = งน | โนวาไ

2 + 13 2 | |" =2

= 13 2 + 2- 2 ± #
.
2-
0
= 13 B-2

0 = (13-2) 113 + 1)

ใ 3 3 3 3 ... = A ③""น ใน ① ; =3 + ay

จะไ แ=3 + แ_ - A-2=0

ใ /ก3-1ว-3T-า1T3ด-น = B ( A-2) 1A +1) = °
.. .
จะไ ☒A 2
= 3- 13 =, เ องา FA-- ง ะ 0

นง =3 + B-4) น / ไง /โโด้งน 2
3 + 3- 3-
=

321 = 3- A- (2) *

① ②- i AI = B-1A

( A- 13) 1A+13) = At B -13)

A- B |=
B
= A- |

()

่ด้ันัด้ก้ันัดำท้ด่ึซ่ืน้ห๋ก๋ัถ๋ัก้ด้หำด้ม้ันัด้ด่น่ืน้ด้ด้ห้ันัด้ด๋ํถ้ดีม่ม่ึซ่ืน้ห้ด

Note )1 1นก-
= น +ล

m 1 m2 1 m m m2 1 m 1
m2 1 m2 1

m2 1 m m2 1 m

1m | lm.im#Ym+imI |ฅ็-
= - 1m + ฅึ +

เ +า

-1 + D - lm " 1)

+

+= =
า ๚Fา
f +| ,*

Note ใ ฐานเ าห อ เลข ง เ า

100010 , 101000 , 100100 234 , 243 , 423 , 432

④ (" "" "° " "" "

= เอ เอง = 22 วม
,
,, ,,

" "" "° "

= เอ เอ เอ น 4ำ < ำ 23

, ,

io " "° "" #

Iooo < เออ < เอ

*

x14
x

) x2 1 x3 1
x3
x2

(เ องจาก ✗ + " fxเ องจาก + ง= 14

= (4)

¥ำ× + " #×3+3 × +3× +1 = 64

=

2 = 14 ×3+1 f-= 64-3✗ -
#ำ
×+ 3
•
* ×

"

(64-3 ×

=

#น 3 = 64-314)
×+
= 52

*

()

15

์ุฑ๋ํท๋ํห๋ํห่ืน๋ํท่ืน๋ม๋ํถ่ทัลำก้ีชืร่ท้หำท้ฑ้ท้ฑ้ทำท้ท็ณ้ล้นฺต

( 72 3 5) (3 20 50) = (62-37)+1 เ 5+5 G)

= แโ +3 โ5

*

3 5( 10 2 5) = ( 3 กอ ) + (3%25)

15 ด +30

=

*

(2 3)2 = 4+4 โ3+3

= 7+4 ☐

#

( 5 2)(2 5 1) = 12-5 โ5

*

(2 3 7)(2 3 7) = 5
¥

()

16

1(ก(3 3 1)(3 9 3 3 1) = }1ก + ะ

.[ก= p

= 3-1

=2

#

x 9 11 x Note ตรวจ ตอบ เสมอ

แำ+Tำ( | × (✗= -

✗ +9 = 2- 22✗ +121

×

2-0 = × 23 ✗ +112

( ( 7)) ✗0 × แ= - -

ไ ✗จะ ตรวจ ตอบ แ ว
x = 16,7

.

นง ✗ = 16

*

2x 4 x 5 1

( IIlix.it +

2 ✗ -4 5-/= ✗ +5+2 ✗ + +1

2 2

( )✗ - เอ า( /= 2 ✗ +5

2-20 41× ✗ +100 = ✗ + 5)

2-× 20 ✗ +100 = 4✗ +20

2-✗ 24 Xt 80 = 0

lx - 4) 1 ✗ -2c) = 0

✗ = 4 20

งน × = 20

#

()

17

้ันัด้ด๋ํก้ันัด้ลำค้ดำคำก

2x 2 7x 1 2x 2 9x 4 1

( 1)้ 2 ใกา

ๆ× .- - = -9 ✗ +4 +

2✗2- 7✗ +1 +4in2×2-9 ป ำ= ✗ +4 + 2× 9 ✗ |

2✗ -4 = 2/2×2-9× +4

Hx - 2) = ป 2×2-9×+4

2 2

1✗ - 2) = ( ป 2×2-9× + 4)

×2-4✗ +4 = 2×29✗ +4

0 2-= × 5✗

0 = xlx - 5)

ไจะ ✗ = 8,5

งน ×=5

#

ii i1 l 3 x 7 x 16 2x

13- X - 2 13 )×- 17+ × ) +7 + ✗ = 16+2✗

- 2 /2T-4x.it = 2✗ +6

/ 2) (ไ 21-4✗- × 2 2
3)×-
= -

2 = +6 ✗ +9

21-4 ✗ ×-

0= +10✗ -12

2+50 = × ✗ -6

10 = ✗ + 6) 1 × -1)

จะไ ☒✗ เ= -

,

งน × = -6

*

()

18

้ันัด้ด๋ํห้ข้ันัด้ด๋ํก้หู้ห

9 2x 2x 5

9 2x

119/ )โ9 5- =

เกาะ/9+2✗ - 18 / + =5

( ( /2 2
4+2✗ ) = แ×
)

16+16 ✗ + = 18 ✗ +4

16 = 2✗

✗ = 8✓

นง ✗ = 8

*

x 1 6x
x1

(f)2,2
= 6 /\

F- เ

(ร× D=1 ร× + เ✗

โ× +1 = 6✗

โ✗ |0 6 -
= ✗-

0 = 13 ร× + 1) 12 โ× - D

#ไ รจะ ✗ = £

¥✗ =
✓

Iนง ✗ = *

()

19

้ันัด้ด้ันัด๋ัก๋ัห๋ํห

2x 1 3x 2 4x 3 5x 4

lli // 5- | -13้ ✗
×- _
_ µ -3

2/้12 )# //|- ยาง/4 ✗ /-3-/214 ✗ - 3) 13 ✗ -2) +3A #
- ✗ - 1) 15✗ -4 +5#/4 =
2
( โาI213เอ ×
× + <1 โค_รµมµๆ

1210 -13✗ +4 = 2- 17✗ +6

12✗

0 = 2×2-4✗ +2

๐ = ×2-2✗ +1

1)lx 1 D0 =
✗- -

ไจะ ✗ = า ✓ นง ✗ = ง

#

3x 5 8x 1 2x 2 7x 4

( +8 ✗1ft / 2✗ =/ |/้ -

7✗+4 - 3

/8✗ +1-2 18 ✗ + 1) 12✗ -2) +2✗ -2 +4-2/17= 7✗ ✗ +4) 13✗- 5) t 3✗ -5

( 2)ป 2 ( ำป= 2 -23×-20

21416 ✗ ✗-

16 2- 14 ✗ -2 = 2 -23✗ -20

✗ 2-= 5 ✗ 9 ✗ -18
/ 5 ✗ + 6) 1 ✗ - 3)
0
=
0

ไจะ ×= - 3

,

นง ✗ =3

¥

()

20

้ันัด้ด๋ัห๋ํหุ๋วำน้ันัด้ดํหำดำน๋ํญ

A*

3x 2 2 3x 1 3x 10 6 3x 1 14 Notep ใ เทค ค ห า ดไป

B นะค บ อ เ น

2x 2 6x 11 2 x 2 3x 5 25 PAT 1
AB

าF TA :3✗ +2+2/3~← 1 /แ+ 3 ✗ +10 = 14

.TT การงาน3✗ +2+2/3~← 1
/+ 3 ✗ +10+2 1) = 14

2 =3 ✗ +1 b |= d =3 ✗ +1 b 9
=
,
,

จะไ |# + F + 1+3 ✗T + โ9 = 14

2/3้ = 14

✗ -11 + 4

2/เ3ร#า 10

=

( /3mi % 2

(5)

3✗ +1 = 25 →. นง { }A = 8
✗ = 8/

B ำ 2✗2- 6✗ +11+2 / ×23✗ +5 = 25 ×2-3×+5 = 9

5) / ง21 25+21 5) ×2-3×-4 = 0
2- 3 ✗ + 2
= lx - 4) 1 ✗ +1) = 0
✗ + แ +2 × _ ✗ +5
✗ =4
ใ โxำx+5ดา = A
✓
2
ง น 13 = { -1,4 }
ไจะ 2A + แ +2A = 35
{ }จะไ A v13 = -14,8
2 +2A -24 = 0
นง ผลบวกสมา ก = -1+4+8
+ A- 12 =0
=แ
l A + 4) 1 A-3) = 0
*
#A = - 3

โดาเ องจาก A = ×2- 3 ✗ +5 zo แ ๆ

จะไ A =3

( โดI×2- 3✗ +5 2

(3)

()

21

้ด่น่ืนิช้ันัด้ด้ก้ันัด้ก้ด้ห้า้ันัด้ด้ด้ด็ป้ีน้ขัรัถ้นิน้ช

Trick! x 2y

(a b) 2 ab ( a b) ,a b
(a b) 2 ab ab

2

a b a 2 ab b a b 2 ab

a b 2 ab a b
ab
2

a b a 2 ab b

2

a b a b 2 ab

a b 2 ab ab

20 5 2 6 (3 2) 2 (3)(2) 3 2

21 5 2 6 (3 2) 2 (3)(2) 3 2

22 8 2 15

± ( ก + 7)

23 13 2 30

± ( กอ . 5)

24 x 15 x 22 2 105 E)1 Fs= ± -

{

นง ✗ = 7

*

()

22

ด้ันั

25 3x 1 2 2x 2 3x 2
/\
ก12✗ + ✗ -2)
12✗ + 1) +1 ✗ - 2)

( 7)นง ± ☒+เ +1 ✗

#

26 าTา#แ18 8 5 = 8 + ะ

= 218T+ T.FI

1= ± + F)

#

27 5 21 x y x y

ฐานะอง ด ป →m / 5- § โ× - Fg

โT Fgร5-
×= -

ฑื๋

งน ( E- E) โ ญ✗= -

¥ }ไ yจะ × =
=

,

*

()

23

้ด้ันัด็นูรัจ้ต้ันัด

y 3x x { 2, 1, 0,1, 2}

x -2 -1 0 1 2

y 1 1 1 3 9
9 3

y 3x x

(r, 3r ) r

()

(x, 3x ) x (r, 3r )

r y 3x x

y 3x (exponential function)

() 25

28 y 2x

x y y 2x

x -2 -1 0 1 2 3

y1 1 1 2 8

42

y 2x

0 2x x x
y 2x
(0, ) 0

y 2x y
x

()

26

29 y 1 x

2
x y y 1x

2

x -2 -1 0 1 2 3
y 21111

248
y 1x

2

xy y 1x
2

()

27

30 y 2x ,y 3x ,y 10x y 1x
3

y 2x ,y 3x ,y 10x y 1x
3

Note! y ax,a 0 a1 (0,1)

a0 1

a1 y ax

()

28

0a 1 y ax

– xy
– ax ay

()

31 f (x) 2x 1

f f (x) 2x 1 y 2x

()

29

32 g(x) 2x 1

g(x) 2x 1 y 2x

g

(x, y ) | y ax a

a0 a1 1

Note! y ax

33 1–1

y x2 y 1x
2r
r
⑤y ×
y ( 1)x 2x
= r
X
y (cos 30 )x
y (tan 45 )x
= 4) ✗ ญ=

×

()

30

0a 1
a1

34 เม y 2 x ลด

y 2x ลด y 2x 1 2 เ ม
y 1x

2

y 22x เ ม y 1 2x
ลด
2

y (sin 30 )x ลด y (tan 60 )x เ ม

y 5x ( เ ม) y 1x 1 ลด)
4

y 42x 1 เ ม) y 3 x 1 ลด)

()

31

่ิพ่ิพ่ิพ่ิพ่ิพ่ิพ

4 x y 3 x 1 ลด)
3 4
y (เ ม)

) y = 5+

×

y =3

4=1 #) '' y=

()

32

พ๋ว่ิ

) y 2x 3 y 2x 3

y4 1x y 10x 3
2

()

33

25x 1 am an mn
5
( )
52x 5 1

2x 1

x 1
2

am am ab m0

3x 1 5x 1 ( )
x10
x1

()

35 x → i. ✗ = 2 *

2 4x → 2 ✗ =

2x 4 → หา าไ ไ

36 x 6 1 x 216

3

6 =เ

2

oว ( = (3)

1- ✗ 9

=

✗ = -8✓

นง ✗ = -8
*

()

้ันัดำก้ด่ม่ค้ม

37 x 22x 5x 0.0025

✗✗ อ.
4 5.
=

✗ =L

1 4. 5) 400

( 20) ✗ = 2 2

i. ✗ = -2 นง ✗ = -2
#
_

38 3 3 3x 16 x
8 81

§" 4 9✗ = -4

1 ¥) = ✗=

)" ¥

1=

)" - 54
_

39 x 23x 1 6x 55x 1 15x

23" . 1 2. 3) % 155✗ 1) × น 4✗ -1 = 0

= (5-3) .

23×-1.2✗ .f. "" = gtf #✗ = #

g =|

24" 54✗ + °
.
= (2-5)
""

1 2. 5)

40 x 4(9)x 1 3 22x 1

/41 9) " =3้ 32×-3 = }" §นง ✗ = *

22✗ +1 2

( 1132) " =3 (22×+1) 321× %) 2= "ม

(2 2) 132× -2) =3 (2×+2) ¥× - %

9 = 2

"" =
3
§วง × - =0
J

§✗ = ✓

()

35

๊ัญ่ํว้ม้ันัด๋ืถุ๋กำค้ันัดัอ๋ํว

41 4x y 128 32x y 81 y

เ องจาก 4 " = 128 เ อง 32✗ +4 ① - ② j -3g → 3
จาก = 81

32✗ +4 34 y |=-
=
( 2) Y× - 7

2 =2

น 2✗ -2 y = 7-(1) ☐ 2Xty = 4-12) นง y = -1

*

42 x y 64x 2 2x 4

3

2x y 256 |x y|

(G)" "" จาก " ง น / yl✗ - =/ 2- 6 1
2 = 256
จาก 64 = 1-41
"
คน ( ร3) 2 " 2 28 =
]["
= 4=
64 =
#
✗ -2 = 0 ง 2+4 = 8
✗ =2
y =6

43 5x 1 10x 2 x

32 32

⑤" µ ฅํ๋ | "" ""
- ( 2)ร โ+ = 3 +

17 + ว 5 1"" = ""

ร3 + 2)

ว1 ว= + ง -5 ✗ + | = 10✗ -2

3 15 ✗

=

}✗ = *

()

36

­า่ืณืณ้ันัด้ันัด้ว่ืน่ืน

x

44 11 2 30 2 6 5 x

[111-2 %) โเ ☐= + งน ✗ า= -

( | )้ ✗ = i.rs *
แ - บน

^ 1A รs
2=6 b = 5

(× = -

รเ → )

i. x = +
✓

45 3 5 2x 4 x2 2x

4 35

จาก 34 × 3 ¥ 13 โ= = + 5 นอ -2✗ +4 = ×2-2✗
ก
จากโจท ×22 ✗ จะไ o = ×2-4
จะไ
| .e ) "" 13 )☐= + งน 10 = ✗ 2) 1 ✗+2)
3-
-

| |" "" " × = นม

13 + ร5) = 13 +๒ 2 + 1-2) = o
*
" มา

=
โ 13l 3 + +

46 9x 81y 1 z 1 x x0 1192y
28 100z 2x
81L×
1จาก (= นง แ 921 11921 ¥)
จาก 9 =

qt 924 | ฏํ๋ = (f)" e- =

= 1002-2✗ เออ 13 ×) -2✗

i. ✗ = 2L

§y = ง Z =3 X =

✗

2=

¥

()

37

๊ิฏ้ันัด้ืฏ้ืฏ๋ืก็ก๋ึท้ันัด๋ืก้ด้ดุ๋ภ์ย๋วืค่ัน๋ว่ันัดุ๋ท

47 x 5x 5x 1 5x 2 155 5

541 + +52) โ= 155 5 5✗ = 5

5 Y 3 1) B= 155 {✗ = *

35✗

5
= 15 5

_

×

☐5 5=

✗ 5.5

5=

48 x 8x 8x 1 8x 2 228

841-8 " +82) = 228

8 × / 5 7) = 228

✗ = 122
8

57

✗ = 4

8

23✗ = 22

}วง *3✗ = 2 ntm ✗=

49 x 3x 1 3x 3x 1 45

3 × (3-1-31) = 45

3×(5-3) = 45

31 = 43

_

^ = 27

3

33๋ =

3

คน ✗ =3

#

()

38

ุ่ง่ัวุรำค่ร๋ัว

50 x 17x 4 16(17x 3) 175x

17×+3 (17-16) = 175×

× +3 175✗

|ๆ =

คง ✗ +3 = 5✗

3 = 4✗

× =3

-4 #

51 x 72x 4 7x 50

ใ 71- A 0 องื A×

= เ จาก 7=

=0 จะไ ✗ -5 หอ ✗ |
7=
จะไ +4 A- 5 7=
/ At 5) / A-1) ✗ °
✗
7= 171

i. ✗ = 0

A = -5,1 งน ×= 0

*

52 x 4x 1 64 2x 5

ำ 64 2×+5

=

22✗ 22 + 64 = 2%25
•

ใ A--2^ ; 4 + 64 = 32A

4 -32A +64 = 0
-8A +16 = 0

/ A- 4) 1A - 4) = 0

A =4

เ องจาก A = 2×

ไจะ ✗ 4 ดง น ✗= 2

2= #

=

()

39

้ม๋ว้ด้ัน่ืน้ก๋ัก๋ก้ห๋ํม้ันัด๋ก้ดืร้ด่น้ห

53 2x x

2 3 42 3 1 0

ใ (2- B) A เ องจาก 12 - โ3 A= ๋

ไจะ -4A +1=0 จะไ ำ1 2- โ= 2 + 3 ห อ 12 - โ3) = 2- ☐

งน i. ✗= 1 ✗ = -1
_
/bA = _

จาก - ± -4 แ

2a { }× = -1,1
#
ไ ไแจะ
A = 4± -4

2

โA = 2 ± 3

54 5 5x 5 x 26

ใ 5✗= A แก 1A - 5) = 0 งน { }%× = 1

)จะไ 51A + = 26 }A 5 #

=,

A .)(5 26 เ องจาก 5 A×
-
= จะไ -

}5 ✗ = หอ 5+ = 5
✗= |
5 +5 26A ✗"

= 5 5=

5 -26A +5 = 0 คง |✗ = -

55 3x 32 x 4 3

3^+32 โ×- เ อง จาก A✗
=
43 3=

ฑื๋✗ ไ ห อโจะ
โ= 4 3 ✗ ✗ B=
3+ 3 =3 3
3

ใ ;✗A โ= 4 3 ✗} ✗
3= 4 โ3 3 =3
3 = 3.3
เA- =
✗£ §ง X =
nnn
3 =3

§i. ✗ =

A2+9 4 โ3A ง น ✗ = { งาม }

= *

-4 โ3A +9 0

=

/ A-3 โ3) 1A - โ3) = o

A =3 โ3 โ3
,

()

๋ก้ันัด๋ํถ๋ก๋ก้ห่ัวืร้ดืน๋ถำค่ิร้ด้ก่ืนnฺหู่ก้ด้ันัด้ห้ด้ันัด้ท้ก้ดืร้ด๋ว่ืน้ห

56 6 25x 11 23x 3 2x 25x 1 "
2 2.
→

ใ A-- ห {A = 0 §ห อ A-- หอ
จากโจท จะไ ✗
เแ 5 A0 = =-3
+ -3A = มา y
✗
เ องจาก A--2✗
แ4 + -3A = 0

/ แA 4 + 3) = 0 §ไจะ A = งน ✗ |=-

- 2✗
=
Al 4 - 1) 1 + 3) = 0 #

Al 2A - 1) 12A + 1) ( 3)+ = 0 × |= -

.

57 3x2 2x 3x2 1 9x 1 27 0 3%3 = 0

จะไ 3 32✗-3%-3%32+2ๆ = o น อ 3×2-9=0 ห อ

% 3)3 32✗ / 32 3)✗ =0 2 =9 32✗ =3

-9 - 3×

_

l - 9) (3%3) = 0 2 2 ง 2✗ = |
✗ =3
นx =
3

2

× =2

ฅู× = ญ- }{ ฐน B.ง × =-

¥

58 3 4x 6x 2 9x 0

✗ ไจะ 3+ A-2 =0

4 หาร ตลอด
.

ไจะ 3. + × 2. 0= 2 - A- 3 =0

เ-

Tr Ti Ix Tr 12A- 3) 1A + 1) = 0

(g) ¥× 0= }A = -1
ง×
3 + -21

3 + ✗ -21 =° เ องจาก §A = > o เสมอ

(2)

§ใ A = " ③จะไ ÷

() นง × = |

*

้ันัด้ด้ห่ืน๊ืถุ้ว้กุ้ย์ุห้ด๋ก้ดำน้ันัดุ่ว๋ํวืรืค่ันุ๋น้ดํด้ก๋ม๋ก๋ก้ันัด้ด๋ก๋ก่ืน้ัถ๋ก๋ัถืรืร่ิร้ัก่ัก้ด์ย๋ว้ห

๋ = 314✗ 9.2

(3-4)

//

59 12x 2(3x ) 9(4x ) 18 0

จะไ 3×4✗ -213 × ) -914✗) +912) = 0 { }น }ง ✗ = 2

ว

3×(4×-2) -914 ✗ - 2) =0 *

(3^-9) 14✗ -2) =0

นอ 3 ✗ -9 = 0 ห อ 4✗-2=0

32×= =2

3

ง ✗= 2 §io X = ✓
✓

60 2 2 22x2 x2 2x 2 5 4x x 2 2x "

" ใ 2 ×ำ 2✗ = A เ องจาก A =

หาร ตลอด

ไ +2=2 ไ Iจะ ไจะ มา
+2✗ "" จะ + |-
+ _ 4=

้ 32 8 -2✗ 22
=
4✗ 25+4✗ 25+4✗

-4✗ -5 2✗ -3 32 ณ ตลอด นง ×2-2× 2=

+ =| จะไ +4A =32 *

-4✗ 2×2-2✗ +4A -32 = 0
25-+2-3 1=
1A + 8) / A- 4) = 0

#A = 4

61 x 0 8x 8 4x 2x 3 x

จะไ " +2%23 นง Z× =

2 +8 = 2#

22" ✗ +8 = 0

2_ -2

12 ำ) -812✗ - 1) = 0

122✗ 8) 121 1) =0
-

นอ -8=0 ห อ 2h1 = 0

23 ✗ |=

= 2 °

น 2✗ =3 2✗ =2

§✗ = น ✗ =0

X

()

ืมืรืมืค่ัน๋ํมำน้ันัด๋ํม้ด๋ก๋ืท้ก้ด๊ืม๋ืม้ันัดุคำน๋ืถ๊ืตฺก้ด๋ํม๋ืห้ด๊ืม้ด๋ํม่ืน้ห๋ํมำน๋ํมืรืค่ัน้ันัด้ด

62 x 256x (2x 6)4 8x

"
2=
เไ 12จะ
× eftb แ ว A = 13 หรอก→3

+ นคง (8 ✗ = 23) +

( 12 4 า⑤=

แ2 ✗ = 33
+=
✗
++
8 27
" ^ หอ = -12 ✗+6) =
*
2 = 2 +เ

เ 0- ไ เดแ ๆ
- =

/ 3) 1✗ 2)+ = 0
2-

*✗

2 =3
,

ง =3

x 1 x1

9(2 2) 22
63 A x / 3 27[22x 1 32 ] A

ใ A= ไ ห อจะ 8= 4=

น อ = (2 %) 1 ) = 23 ¥
=

" §✗ + =3 {✗ + 2
=
= §✗ = }✗ =

ไ -9A +32 3A

จะ 3 =3

ง -9A +32 = 3A ง น ×= { % } }

2 ¥ [ไ 4จะ + = =

A- 12A +32 = 0 #

/ A- 8) ( A- 4) = 0

oi A = 8,4

6นองจาก £

A--

()

๋ํมฺว้ด้ันัด๋ํถ้ด๋กำคำค๋ํม้ก้ว๋ิม่ัว๋ิม๋ิม้กืค่ันำด้ห๋ํมืร๋ิม้ด๋ม๋ว่นิก่ม๋ม๋ํม๋ํมืรำค่ัน้ล๋ว๋ก๋ถุ๋ห๋ว้ด

64 A 3(1 2x ) 9(2 x ) 244 A

"2✗ × 3A 2- 244A +81 = 0 นง ×=

ไ +34-2จะ 3 = 244

3%3 13A - 1) 1 A- 8 1) 0

+ =

244

=

}A = , 81

ใA มา เ องจาก มา
=3
A =3
2}
ไจะ ✗ "
*
= 3 = 81
3A + _ = 244 }ไจะ หอ
32✗ 4
A =3

33 4mn = 24 4 32✗ " 2✗ = 4
=3
✗=
คง 2✗ = -1

3 +81 = 244A ±✗ = ✓

* 65 A 5 1 x2 4x 1 5 4x x2 126
PATL
A /2- ก×2-า4 ✗ร- า 5 2 x2 4x 1

2 • ( /ำ )125+4✗ ×- 2- /
ค 56 ้
5+4 ✗ - ✗ |2- โ×2ด- 4 ✗ย+
. ป ×2- 4✗-1
.

จารณา = = µ เ-

_ /2

รวม242+ × 5+4✗ - ×
× _,

แทน ใน โจท จะไ /1 + ไ×2- 4 ✗ + /วง

2- ×2. µ_ ,

g +5 = 126

5. 5 / % ไ4 ม 2

+ g =/ 26

/ ×ำ 4✗ -เ ป× ะNµ

ใ A-- g g

ไจะ 5A + 25 = 126 น อ tgA = ห อ A = 25

_

A = 126A เ อง / ×2- 4h1
5 +25 จาก A = 5

}ไ ไ #1
5 -126A +25 = 0 จะ 5 =

l 5A - 1) l A-25) = 0 gtg / ×2- 4✗-1
=
()
ง | × 2- 4✗ -|
= -1

✗

้ข้ด๋ก๋ก่ืนืรืค่ัน้ด้หำท้ด้ด์ย๋ํกิพีมูด้กำค๋ถ๋กืรํว้ด๋ว้ด้ันัด่ืน้ห๋ํญ้ด

51ห อ ×ำ # 1 = 25

52/ ×2- 4✗-1

g
=

2 2

" ""
: ÷)24×
24✗ ✗ -1 = 4

✗ -5 0 ตรวจ ตอบ แ ว ใ✗= 5. + ไ ง

=

lx 5) 1 D× +- =0

✗={ }ง น5+

,

ไ Hจะ 4=
5+

*

้ด้ันัดู่ค้ัท้ด้ช้ลำคู๊งืร

66 1 1 7
2x 22x 2x 2x 22x 2x 2

ใ A--2× น ~ๆNา = โ 81 A) 7- =

จะ ไ 1 8Aำ 8A 7=
A- 1A 2- A

A + / -A /- A- A- โ= A2- 8A =0
=0
-1 - A) Al A- 8)

/ โA- + A- โ=

A2 A= 8

(2) - A) ¥ เ องจาก A = 2 ✗

A §= ไจะ 2✗ = 8 i. ✗=3 { }นง × = 3

#41 2× = 23 4x 2 3 *

* 67 A 4x 2x 6 3 2x 4 3

PAT 1

นย . 57 A
.

ใ ba--2✗- 4. = 4 ✗-2

จากโจท จะไ 3 Itb 3

แ +b) =

# 3 ลง +3 ab# = #bf

3 abla + b) = 0

นอ a-- o b, =๐ atb = 0

า ,
6นองจาก
1=2±4 b = 4h2 มา เ องจาก A✗
จะไ ,
2✗-4=0 , 4 ✗-2=0,2 A 2= 2=
ง
④4 + 2 =° ไจะ × =2

2

× ✗ =2 A- 4 + =2 น × =|

2 4= 4

"่ + A- 6 ° |นง ง1}

2 =2 =

gx 22 A- 2
,
=
io 2✗ = 1 1A +3) 1A-2) 0

=

× =2 × =+ ☒A = 2 {ไ *จะ 2+ +1 =

() 2

๋ัว้ดุ่ม่ันัด้ก้ก้ด⃝?้ด่ืน๋ก่วืค่ัน้ด์ย้ห้ันัด้ด่ืนุ๋วู่ป๋ก้ก๋ก้ก้ถ้ถ๋ก๋กุ่ฑ๋ัก้ก้ด้ห

a 1( * -
)
am an
0 a 1( ) mn

am an
mn

32x 5 35x 6 1 2x 5 1 5x 6
3 3

2x 5 5x 6 2x 5 5x 6
1
x 3x 1 3x
1 x1
3
3

53x 2 23x 2

53x 2 23x 2 53x 2 23x 2
23x 2 23x 2 53x 2 53x 2
5 3x 2 2 3x 2
2 1 1 5

5 3x 2 50 20 2 3x 2
2 2 5 5
0
3x 2 0 x 3x 2
x 2 2
3 3

()

68 (0.4)2x 8 2
5
ontn
1÷
i
2/| -8 7 1 9

§× > I

น xel % a)

#

69 (0.04)5x2 x 8 625

=¥4อ อ " (" 4 ไ §จะ ✗ = เ-
. =5
= yg ,

-10 +2✗ +16 ะ 4 • •

+1 ' +
,
1- +2 ✗ +12 7/0 เ

5✗2- ✗ -6 f 0 §

15× - 6) 1 ✗ +การ 0 ง น × £ [y } ]
#
70 5(2x 2) (0.8)(5x 2)

¥ §0.8 = = 512 "" ) × 1 }) 15 × +2) §× × Hj

✗+2 \\ '5 n i. × >/ 0

2 5•5

วน

2 ✗ f gt ง น ✗ £ [ a)

i1 #

71 3 3x2 2x 4 2x 15
4 3
น
- 3×2-2✗ 2✗-15 0-0

1 ±3) > 1 ¥ 1 t - |t

|

s±

-3✗2-2✗ 7 2✗ -15 งน 1- 3 })
,
2-- 3 ✗ 4✗ + 1 5 × £

2+43✗ ✗ - 15 70 *

10

13 3)5) 1✗ - <0
✗+

§✗ = -3

,

()

้ันัดุอ้ันัดืบ้ันัด๋ํห่ํกำค้ด๋ืต๋ัว่ัต้ันำคำค๊ืฅ

72 1 x2 2x 8 1 x 12 2- งน
2 4
×แ >อ ✗ £ 1- - 4) v14 a)
,
µ ำ× 2×+8 dj 2) "" 1 ✗ - 4) 1 ✗+4) > ° #

2- 1- 2✗ -24 ✗ = 4 -4
gnno ,
✗- 2✗ -8
น cnn.tt2

- × +1 6 +
10 -

'
I-4

73 2 x(1 x ) 9 ←. อ→
3 4 ,+
"" " + 2
2+2✗ ×- -
1 ;) 7 ( ง
<0
1-

1} > ×ำ ✗ -2 > 0 นง £ (- g- Du 12 ค)
,
( ✗ - 2) 1 ✗+ 1) 70 ×

i. 2 < -2 *
✗- ×
|✗ 2=
-

,

74 4(2x2 4x 5) 1
32

( 22) -4 ✗ -5 s- 4 8 ✗ -5 \\ 0 + → +

¢ 2 -

24×28 ✗ -10 ร g-s 12✗ - 5) 12✗ + 1) $ 0 ,

£

i. 4 -8 × - เอง -5 %✗ = งน ×£ [ ¥ , §] #

75 1 x2 3x 5 1 x 10 Onnt
2 8 |+
) "" " 5
( < เ× + า1 0/ภาระ

-3✗ -30 t| -
-5
i. 2-×- 3✗ -5 {

- ×2+25 1 0 น 5)(ง × £ v15 ค)

ค- -

✗ำ 25 ,,

70 *

(✗ - 5) ( ✗ + 5) 70

× = 5 -5
,

()

้ันัด­อ๋ม๋ํนัด่ึม๋ํก่ิมุ๋ฮ๋ํก๋ํม้ันัด๋ํว๋ืต๋ึถุค้ันัด