Física 3ro. de Bachillerato

1.2. Ley de Coulomb

UPO IÉN S En 1785, Charles Augustin de Coulomb enunció la ley que

y también: BLES exprDeORAsa el valor de la fuerza que se ejercen mutuamente
dos cargas eléctricas:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Para simplificar fórmulas pos- La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas
eléctricas puntuales es directamente proporcional al
teriores, la constante K suele producto de las cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa.
escribirse en la forma:

K = 1 ε = c onstante dieléctrica
4 πε o permitividad

La constante dieléctrica del  u 2 u 1 
F21 F12
vacío se denota por ε0 y su Q1 r Q2
valor es:
ε0 = 8,854 ⋅ 10-12 C2 ⋅ N-1 ⋅ m-2 + +

Para otros medios materiales F 21 =K Q 1Q 2 u2 F 12 =K Q 1Q 2 u1
r2 r2
se acostumbra a expresar:
→
ε = ε 0 ε r ε = constante dieléctrica F12 = fuerza ejercida por Q1 sobre Q2. Q1 y Q2 = cargas eléctricas.
→F21 = fuerza ejercida por Q2 sobre Q1. r = distancia entre las cargas.
relativa →u1 = v ector unitario en la dirección de la

Lnaitucdonssitnantdeimεreenssiuonnaesmacag-- K = c onstante de proporcionalidad cuyo recta de unión de las cargas y sentido
valor depende del medio. En el vacío
racterística de cada medio. y en el aire es igual a 9⋅109 N⋅m2 ⋅ C-2. →u2 = de Q1 a Q2. en la dirección de la
v ector unitario

Cuanto mayor es mεrás(ydépboir- recta de unión de las cargas y sentido
tanto menor es K),
Esta constante también depende del siste- de Q2 a Q1.
ma de unidades usado.

les son las interacciones elec- Las fuerzas eléctricas tienen las características siguientes:

trostáticas. En el vacío εr = 1.

Sustancia εr — La fuerza está dirigida →a lo l→argo de la recta de unión de
las cargas. La fuerza es→repu→lsiva si las cargas son del mis-
Agua 80 miggauosassligoqnnuoed(elloosssigvvenecocttoocrroeensstFrFa2112rioyy,uue21)st.tioeEsnnevcenacemtol bmreioiss,mtseionladsserádnnotidssoec,naatri--l
dos contrarios. Así, dos cargas de distinto signo se atraen.
Aire 1

Azufre 4

Madera 2–8 — Son fuerzas a distancia, no es preciso que exista nin-
gún medio material entre las cargas para que dichas
Porcelana 6–8 fuerzas actúen.

Vidrio 4 – 10

Constantes dieléctricas relativas — Siempre se presentan a pares, como afirma el principio
de algunas sustancias a 20 °C. slaesntfiudeorszaospuF→e12sytoFs→.21
de acción y reacción. Esto es, tienen
igual módulo y dirección pero

 F→12 =F→ 21 =K Q1 Q 2
F12 = −F21 r2

— Experimentalmente comproba- Q1 +  
mos que las fuerzas eléctricas  F1 = F21 + F31
Prohibida su reproducción verifican el principio de superpo- F21 F31
http://goo.gl/nfC5LZ sición. En el caso de tener tres o

más cargas eléctricas puntuales, 
F1
la fuerza resultante sobre una Q2 – –Q3
de ellas es la suma vectorial de

Ch. A. de Coulomb. todas las fuerzas que las demás

cargas ejercen sobre ésta.

98

2. Estudio del campo eléctrico UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Una carga eléctrica, simplemente con su presencia, pertur-Y TAMB
ba el espacio que la rodea creando a su alrededor un cam-
po de fuerzas que recibe el nombre de campo eléctrico. TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que:

Interacción entre cargas
eléctricas en movimiento

Llamamos campo eléctrico a la perturbación que un Considera dos cargas, Q y q, se-
cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el he- paradas una gran distancia. Si
cho de tener carga eléctrica. ahora movemos Q rápidamen-
te, la carga q se verá afectada
Cuando otra carga eléctrica se sitúa en esta región del es- por dicho movimiento. Pero esta
pacio, interacciona con el campo y experimenta una fuer- interacción necesita cierto tiem-
za eléctrica. po para propagarse. Por tanto,
la carga q se verá afectada
2.1. Descripción del campo eléctrico con un cierto retraso.
Este retraso dificulta la interpre-
Los campos eléctricos se describen mediante dos magnitu- tación de que las cargas inte-
des fundamentales: una vectorial, la intensidad del campo raccionan instantáneamente
eléctrico, y otra escalar, el potencial eléctrico. a distancia, como nos sugiere
la ley de Coulomb. De hecho,
Intensidad del campo eléctrico esta ley no es válida para car-
gas en movimiento rápido. En
Para describir un campo eléctrico asignamos a cada pun- este caso el campo eléctrico
to del espacio un vector que denominamos intensidad del nos ofrece una interpretación
campo eléctrico. más adecuada de la interac-
ción entre cargas eléctricas.

La intensidad del campo eléctrico, E→, en un punto del espacio es la fuerza que actuaría
sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto.

La unidad de la intensidad del campo eléctrico en el SI es el newton por culombio (N/C).

La definición anterior nos permite calcular el campo eléctrico creado por una carga puntual
Q. Para ello colocamos una carga de prueba q en un punto P del espacio situado a una dis-
tancia r de la carga Q. El campo eléctrico en ese punto será la fuerza por unidad de carga.

Donde →u es un vector unitario en la dirección de la recta de unión de la carga Q con el punto
P y con sentido de la carga Q al punto P.

Como podemos observar, el campo eléctrico creado por una carga puntual Q tiene las
siguientes propiedades:

—Es radial y disminuye con el cuadrado de la distan- Prohibida su reproducción
cia, por lo tanto se trata de un campo central.

—Su sentido depende del signo de Q. Si la carga es ne- Q Q  u
gativa, el campo eléctrico se dirige hacia la carga; E
+ –
si es positiva, se aleja de ésta. rP
r u
P 
La fuerza eléctrica sobre una carga q situada en un E

punto en que la intensidad del campo eléctrico es→E

se expresa: E =K Q u
r2

99

Ejemplo 1 Calcula el campo eléctrico creado por una carga Q = +2 μC en un punto P situado a 30 cm de distancia en el vacío.
Calcula también la fuerza que actúa sobre una carga q = -4 μC situada en el punto P.

Q = + 2 ⋅ 10-6 C P u

+ E

r = 0,3 m

— Calculamos el campo eléctrico en el punto P:

E =K Q u ;E =9 ⋅ 109 N ⋅ m 2 ⋅ 2 ⋅ 10−6 C u =2 ⋅10 5 u N
r2 C2 (0,3 m )2 C

— Calculamos la fuerza eléctrica que actúa sobre q: F =qE =−4 ⋅10−6 C ⋅ 2 ⋅ 105 u N = −0, 8u N
C

La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario.
Su módulo es F = 0,8 N.

Ejemplo 2 Dos cargas puntuales, Q1= +1 μC y Q2= +3 μC, están Calculamos el campo eléctrico creado por Q2 en P:
situadas en el vacío a 50 cm una de otra. Calcula
Q2 =9 ⋅ 109 N⋅ m 2 3 ⋅ 10−6 C
el campo eléctrico en un punto P situado sobre el E2 =K r22 u2 C2 ⋅ (0,4 m )2 u2

segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1. E 2 = 1, 7 ⋅10 5 u 2 N/C

Q1 = +1 ⋅ 10u-62C u 1 Q2 = +3 ⋅ 10-6 C
+
+  msEul omcsaaemnvpecocuteeolnréiatcaltrqdicueoe→Er→eu1s2yu=lt→E−a2→un.1tP.eaeran el punto P es la
E2 P E1 hallarlo tendre-
r1 = 0,1 mr2 = 0,4 m

— Calculamos el campo eléctrico creado por Q1 en P: E =E 1 +E 2 = 9 ⋅105 u1 N/C +1,7 ⋅105 u 2 N /C
E = 9 ⋅ 105 u1 N/C −1,7 ⋅ 105 u1 N /C
E1 =K Q1 u 1 =9 ⋅ 109 N⋅ m 2 1⋅ 10−6 C u1 E = 7, 3 ⋅105 u 1 N/C
r12 C2 ⋅ (0,1 m )2

E 1 = 9 ⋅105 u 1 N/C Su módulo es E = 7,3 ⋅ 105 N/C.

7. Di cómo varía la intensidad del campo eléc- 10. Dos cargas eléctricas puntuales de +3 μC y -2 μC Actividades
trico creado por una carga puntual con la están separadas 40 cm en el vacío. Calcula el
distancia. Dibuja una gráfica que represente campo eléctrico en el punto medio del segmento
dicha variación.
que las une.
8. Calcula el campo eléctrico creado por una car-
Prohibida su reproducción ga de +4 μC a una distancia de 50 cm si: a. el 11. eDsotás ncasregpaasrapdunatsua3l0esc, mQ1 = +4 vμaCcyíoQ. C2 =alc+u1laμCe,l
medio exterior a la carga es el vacío; b. el medio en el
exterior es el agua.
campo eléctrico en un punto del segmento que
9. Determina a qué distancia de una carga puntual
de 120 nC situada en el vacío la intensidad del une las cargas situado a 12 cm de Q1.
campo eléctrico es de 6 750 N/C.
—Determina la fuerza que actúa sobre una

carga Q3 = −0,5 μC situada en dicho punto.

100

Potencial eléctrico UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Si queremos acercar dos cargas positivas, debemos realizar Ten en cuenta que:
un trabajo contra las fuerzas eléctricas de repulsión entre
las cargas. Este trabajo no depende del camino seguido Energía potencial de un
para acercar las cargas, sino que sólo depende de sus po- sistema de cargas
siciones iniciales y finales. Decimos que el campo eléctrico
es conservativo. Definimos la energía potencial
de un sistema de cargas fijas
Una vez acercadas las cargas, podríamos recuperar fácil- como el trabajo que debemos
mente el trabajo realizado. Bastaría dejarlas libres y aprove- realizar contra el campo para
char su movimiento. Decimos que el trabajo realizado sobre formar el sistema, trasladando
las cargas al acercarlas ha aumentado su energía poten- cada carga desde una distan-
cial eléctrica. cia infinita hasta la posición fi-
nal que ocupa.
De este modo, la energía po-
tencial eléctrica del sistema de
tres cargas de la figura es:

La diferencia de energía potencial eléctrica de una carga entre
un punto A y otro punto B es igual al trabajo realizado por el cam-
po eléctrico para trasladar dicha carga de A a B.

Ep A − EpB = ⌠B F ⋅d r Q2
⌡A
+
Usando esta expresión general podemos calcular la ener-
r23
gía potencial eléctrica de una carga puntual q en el cam-
+r12

Q3

po eléctrico creado por otra carga puntual Q situada a una

distancia r. r13

Ep A −EpB =⌠B F ⋅d r = ⌠B K Q q u ⋅d r Q1 +
⌡A ⌡A r
2

Como el trabajo no depende del camino seguido, escogemos una trayectoria radial para
simplificar los cálculos:

u ⋅ d = u ⋅ d r cos 0ϒ= d r =d r

⌠B dr = KQ q −- r1 B Q q u dr
⌡A r2 A B
Qq Qq + +
Ep A EpB K rA −K rB
r A

De donde: Ep =K Qq +C
r

La constante C es arbitraria y depende de la elección del origen de energía potencial. Ge-

neralmente, asignamos el valor cero de energía potencial a los puntos situados a distancia

infinita de la carga que crea el campo (r → ∞). Con esta elección obtenemos C = 0 y la
energía potencial eléctrica resulta:
Qq Prohibida su reproducción
Ep =K r

Observa que esta expresión coincide con la del trabajo si colocamos el punto B en el infinito.
Esto nos permite dar una interpretación física de la energía potencial eléctrica:

La energía potencial eléctrica de una carga q en un punto del espacio es el trabajo que realiza el cam-
po eléctrico para trasladar la carga q desde dicho punto hasta el infinito.

101

UPO IÉN S BLES OtraDORmA agnitud fundamental en la descripción del campo
eléctrico es el potencial eléctrico. Éste representa la energía
y también: potencial de la unidad de carga positiva situada en un pun-
EN GR to del campo eléctrico.
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Relación entre el campo y el
potencial eléctricos:

V A −V B =⌠B E ⋅ d r La diferencia de potencial eléctrico entre un punto A
⌡A y otro punto B es igual al trabajo realizado por el cam-

En el caso de que existan po eléctrico al trasladar la unidad de carga positiva de

varias cargas puntuales, se A a B:
cumple el principio de super-

posición: V A −V B =⌠BE ⋅ d r
El potencial eléctrico resul- ⌡A
tante es igual a la suma de
los potenciales debidos a

cada una de las cargas. Calculemos esta diferencia en el caso del campo eléctrico

Σn creado por una carga puntual Q. B

V = V i =V1 +V 2 +... A
u
i =1

Q+ r dr

UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que: =⌠B E = ⌠B K Q
V A −V B ⌡A ⋅dr ⌡A r2 u ⋅dr

El electrón-voltio

Una unidad que se utiliza Elegimos una trayectoria radial: u ⋅ d r = u ⋅ d r co s 0ϒ= d r =dr
con frecuencia en electróni-
ca y física atómica es el elec- V A −V B =KQ ⌠B dr = KQ − 1 B =K Q −K Q
trón-voltio. No es una unidad ⌡A r2 r A rA rB
de potencial eléctrico sino
de energía. Si asignamos un valor cero de potencial a los puntos situa-
Un electrón-voltio, eV, se de- dos a distancia infinita de la carga Q (r → ∞), obtenemos:
fine como la energía que
adquiere un electrón que es V =K Q
acelerado por una diferen- r
cia de potencial de 1 voltio.
Observa que esta expresión coincide con la del trabajo por uni-
1 eV = 1,602 ⋅ 10-19 J
dad de carga si colocamos el punto B en el infinito. De aquí
deducimos la interpretación física del potencial eléctrico:

El potencial eléctrico en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo eléctrico
para trasladar la unidad de carga positiva desde dicho punto hasta el infinito.

Prohibida su reproducción La unidad de potencial eléctrico y de diferencia de potencial eléctrico en el SI es el J/C y recibe
el nombre de voltio (V).
Si en lugar de la unidad de carga positiva se traslada una carga eléctrica q de A a B, el trabajo
realizado por el campo eléctrico será:

W = q (VA - VB)

La energía potencial eléctrica de una carga en un punto del espacio se relaciona con el poten-
cial eléctrico en dicho punto de esta manera: Ep = qV

102

UPO IÉN S BLES DORA

y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

2.2. Determinación del campo eléctrico Distribuciones discretas de
carga: formadas por cargas
Hemos visto cómo hallar el campo eléctrico creado por una eléctricas puntuales aisladas.
carga puntual y que para calcular el creado por una distri-
bución discreta de cargas aplicamos el principio de super- Distribuciones continuas de
posición. Ahora bien, ¿cómo calculamos el campo eléctrico carga: la carga eléctrica se
creado por una distribución continua de carga eléctrica? distribuye por todo el espacio

De la misma manera que utilizamos el teorema de Gauss sin dejar huecos.
para determinar el campo gravitatorio de cuerpos con cier-
to volumen, como una esfera maciza, este teorema nos per- A escala microscópica, la
mite determinar el campo eléctrico creado por distribucio- carga está cuantizada, pero
nes continuas de carga con algunas simetrías sencillas. a veces muchas cargas es-
tán tan próximas que pue-
Antes de enunciar el teorema de Gauss, es necesario intro- den considerarse distribuidas
ducir una magnitud llamada flujo eléctrico. de forma continua.

El flujo del campo eléctrico o flujo eléctrico, Φ, a través Las distribuciones homogé-
de una superficie es una medida del número de líneas neas se caracterizan por su
de campo que atraviesan dicha superficie. densidad de carga:

Densidad de carga volúmica,
Densidad de cρa=rgVQa superficial,
Densidad de cσa=rgQSa lineal,

λ =Q
L

Cálculo del flujo eléctrico

Campo uniforme y superficie plana Campo variable y superficie cualquiera

Definimos el vector →S como un vector perpendicular Dividimos la superficie S en pequeños elementos infi-
a la superficie S y de módulo igual al valor de esta
superficie. nitesimales dS, y pveacratocr asudpaeurfnicoiedde→Se, plloesrpdeenfidniicmuolasrsau
correspondiente
El flujo eléctrico es igual al producto escalar:
la superficie infinitesimal y de módulo dS.

Φ =E ⋅S =ES cos α El flujo total a

El flujo eléctrico represen- S′ través de la super- 
ta el número de líneas de dS
campo que atraviesan la α ficie S se obtiene dS 
superficie S′, que es la pro- S S E
yección de S en la direc-  sumando todas
ción perpendicular a las α E
líneas de campo. las contribucio-
S
nes: ⌠
⌡S
Φ = d Φ

Φ = ⌠ E ⋅d S
⌡S

Determina la expresión del flujo eléctrico de una car- Sustituimos el valor de E en la expresión del flujo eléc-
trico y tenemos en cuenta que sobre la esfera el valor
ga eléctrica puntual Q a través de una superficie esfé- de r es constante, r = R.
rica de radio R centrada en la carga.
Ejemplo 3
dS→ Φ = ⌠ E ⋅dS = ⌠ K Q u ⋅dS =K Q ⌠ u ⋅dS
Prohibida su reproducción⌡S⌡Sr2R2⌡S
+Q E→
El producto escalar es u ⋅ d S =u ⋅ dS cos Ѩ ;
R cos 0° ≈ dS y la integral se de la esfera,
reduce al área

S S = 4 π R 2. Q ⌠ d S =K Q S =K Q 4ц R 2 =
R2 ⌡S R2 R2
Φ =K

= 4ц KQ = Q
ε0

103

Teorema de Gauss UPO IÉN S BLES DORA

Como acabamos de ver en el ejemplo 3, el flujo eléctrico y también:
que atraviesa una superficie cerrada depende únicamente EN GR
de la carga eléctrica total que hay en su interior y del medio Y TAMB
en que se encuentra. Este resultado se recoge en el teore-
ma de Gauss: TIC
RECORTA
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada S CALCULA
es proporcional a la carga eléctrica neta Q que encie-
rra la superficie. Observa en la siguiente grá-
fica el continuo intercambio
de energías: la Ep almacena-
da en el resorte se transforma
continuamente en Ec y vice-
versa. La energía total E se
mantiene constante.

E

Φ = ⌠ E d S = Q
⌡S ε0

Aplicaciones del teorema de Gauss

El teorema de Gauss nos permite determinar el campo eléc- 0 t

trico creado por distribuciones continuas de carga con una 1 1
2 2
geometría sseunpceirllfaic.iPeaerasceollgoidaaplidceammoasneel rtaeoqreume aeldveeGctaour sE→s Ep = Kx 2 Ep = mv 2
sobre una

pueda extraerse de la integral.

Campo creado por un plano infinito cargado uniformemente Campo creado por una distribución esférica de carga en el exterior

— El plano cargado se caracteriza por su densidad — La esfera, de radio R, tiene una carga Q distribuida
uniformemente.
superficial de carga constante σ = QSso.n
— Por simetría, las líneas de campo paralelas — Por simetría, el campo es radial y sólo depende
de la distancia r al centro de la esfera.
entre sí y perpendiculares al plano.
— Elegimos como csuopnelarficdieistdribeuGcaióunssd, eSG,cuanrgaae,sdfee-
— Elegimos como superficie de Gauss, SG, un para- ra concéntrica
lelepípedo perpendicular al plano.
radio r > R.
— Calculamos el flujo eléctrico alastracvaéras sdpeaSrGa. lSeólalos
contribuyen al flujo eléctrico — →aCEbradeti→lSec.lnauelasmumpoóesdrfueiclloieflucdjooenesGtlaéancuttersicsyoedlaicretarcamcvéipósondepelaéSrcaGt.rleiScolao-

al pnlualnoop, oS1rqyuSe2.→EElyfldu→Sjosaontrapveérps ednedlaicsuolatrraess.caras
es

Φ = ⌠ E d S =⌡⌠S 1E dS + ⌠ E d S AplicaΦm=o⌠⌡sSeGlEte⋅odrSem=a⌠⌡dS GeEG⋅aduS ss=: ES G = E 4ц r 2
⌡S G ⌡S 2
Φ= ES 1 +ES 2 = 2 ES

— Aplicamos el teorema de Gauss: Q 4ц r 2 Q 1 Q
⃖ Φ = ε0 ;E = ε0 E = 4ц ⋅ r2
ȔΦ = 2 ES Q  0
Q 2 ES = ε0 E SG 
Φ = ε0  S2 E El campo eléctrico creado
S2 S S1  por una distribución esférica SG 
Q S1 de carga en un punto exte- r ++ + dS 
E = 2Sε0 rior es el mismo que crearía ++
E
una carga puntual Q situada + R+
El campo eléctrico creado por un plano infinito de en el centro de la esfera. Q+ +
carga es uniforme.
+++

Prohibida su reproducción 12. Determina el flujo eléctrico a través de una superfi- 13. Determina el campo eléctrico creado por una cor- Actividades
cie esférica situada en el interior de un campo eléc- teza esférica cargada uniformemente en el interior
trico uniforme. y en el exterior.

104

3. Magnetismo UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Entre los siglos XI y XII se extendió el uso de la brújula en Ten en cuenta que:
la navegación. A diferencia del uso de cuadrantes y de la
observación del Sol y otras estrellas, la brújula permitía una El fundamento de la brújula
orientación precisa incluso con muy mal tiempo. En conse-
cuencia, este instrumento magnético facilitó los viajes por La brújula es esencialmente
mar durante los meses nubosos de invierno y ayudó a incre- una aguja imantada.
mentar el comercio marítimo.
El hecho de que una brújula
En la actualidad, las aplicaciones del magnetismo conti- indicase siempre la misma di-
núan siendo muy importantes: almacenamos información rección fue, durante bastante
en los discos magnéticos de los ordenadores y grabamos tiempo, objeto de muchas su-
música en cintas magnéticas, generamos campos magné- persticiones. Hasta que su uso
ticos para acelerar partículas y, a partir de éstas, creamos se hizo sistemático, muchos
isótopos radiactivos con aplicaciones médicas… El magne- capitanes de navío solían usar
tismo es también fundamental en el funcionamiento de tele- las brújulas en secreto para
visores, altavoces y aparatos de medida eléctricos. no despertar en su tripulación
temores infundados.
3.1. Fuentes del magnetismo
La explicación científica del
Un imán es un cuerpo capaz de atraer fuertemente los obje- funcionamiento de la brújula
tos de hierro. Las propiedades magnéticas de los imanes son se consiguió en 1600, cuan-
conocidas desde la Antigüedad. También sabemos, desde el do William Gilbert (1544-1603)
siglo XIX, que las corrientes eléctricas presentan propiedades sugirió la hipótesis de que la
magnéticas como los imanes. Como veremos, las propiedades Tierra es un gran imán con sus
magnéticas de los imanes y de las corrientes eléctricas tienen polos magnéticos cerca de
un origen común: el movimiento de cargas eléctricas. sus polos geográficos.

http://goo.gl/lBD2QU

Propiedades generales de los imanes

El primer imán natural conocido fue la magnetita (tetraóxido doble de hierro(II) y dihierro(III):

Fceió3On,4)fu, uendmesicneubraiel brtoasptaonr tuencpoamstúonr en la región de Magnesia (Asia Menor). Según la tradi-
al acercar la punta de hierro de su bastón a una piedra

de magnetita y comprobar cómo éste era atraído.

También el hierro, el cobalto, el níquel o las aleaciones de dichos metales pueden convertir-
se en imanes artificiales. Éstos son los imanes que usamos habitualmente.

En un imán, la capacidad de atraer al hierro es mayor en sus extremos o polos. Los dos polos de
un imán reciben el nombre de polo norte y polo sur, debido a que un imán tiende a orientarse
según los polos geográficos de la Tierra, que es un gran imán natural.

— El polo norte del imán se orienta hacia el Norte geo-

N gráfico de la Tierra y el polo sur del imán, hacia el Sur Prohibida su reproducción
NS S geográfico. Si acercamos dos imanes distintos, obser-

vamos que polos de igual tipo se repelen y que polos

NS de diferente tipo se atraen.

— Todo imán presenta dos polos magnéticos. Así, si rom-

pemos un imán por la mitad, no obtenemos un polo

NS NS NS NS norte y un polo sur aislados, sino que obtenemos dos

imanes más pequeños, cada uno de ellos con su pa-

reja de polos norte y sur.

105

UPO IÉN S BLES ExpeDOrRAiencia de Oersted
En 1820 se comunicó el descubrimiento de H. C. Oersted
y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

El sentido de la desviación de (1777-1851): una corriente eléctrica desviaba la aguja imantada
una aguja imantada en las de una brújula.

proximidades de una corriente

eléctrica depende del senti-

do de la corriente. Se deter- corriente voltaje corriente voltaje
mina mediante la regla de la c.c. c.v. c.c. c.v.

mano derecha:

Se sitúa la mano derecha con

la palma dirigida hacia abajo

sobre el hilo conductor, de for-

ma que el dedo pulgar señale

el sentido de la corriente eléc- Si por el alambre no circula co- Al hacer pasar una corriente, la agu-
trica, los otros dedos señalan rriente, la aguja indica su habitual ja tiende a orientarse en la dirección

hacia donde se desvía el polo dirección norte. perpendicular a ésta. La desviación
norte de la aguja. es mayor cuando aumenta la intensi-
dad de la corriente.

N Hasta la experiencia de Oersted los fenómenos eléctricos y
S magnéticos se estudiaban por separado. Esta experiencia puso

de manifiesto que electricidad y magnetismo están estrecha-
mente relacionados.

Posteriormente, y gracias a los trabajos de A. M. Ampère
(1775-1836) y J. C. Maxwell (1831-1879), se unificaron la electrici-
dad y el magnetismo en una teoría electromagnética.

3.2. Explicación del magnetismo natural

Experiencias posteriores a la de Oersted confirmaron que
las corrientes eléctricas producen los mismos efectos que los
imanes.

a Disposición de los dipolos Ampère observó que las corrientes eléctricas se atraían o
magnéticos en un material repelían entre sí y que podían atraer limaduras de hierro. En
no imantado 1823, sugirió que el magnetismo natural era debido a pe-
queñas corrientes cerradas en el interior de la materia.

En la actualidad, identificamos esas pequeñas corrientes
con el movimiento de los electrones en el interior de los áto-
mos. Un electrón que gira alrededor del núcleo equivale a
una corriente que produce los mismos efectos magnéticos
que un pequeño imán. Por otro lado, los electrones giran so-
bre sí mismos produciendo efectos magnéticos adicionales.

Prohibida su reproducción b Disposición de los dipolos Podemos imaginar que en cualquier material existen mu-
magnéticos en un mate- chos imanes de tamaño atómico. En la mayoría de los ca-
rial imantado sos, estos pequeños imanes o dipolos magnéticos están
orientados al azar y sus efectos se cancelan. Sin embargo,
en ciertas sustancias, estos dipolos magnéticos están orien-
tados en el mismo sentido. En tal caso, los efectos de cada
dipolo magnético se suman formando un imán natural.

106

4. Estudio del campo magnético

Las fuerzas magnéticas pueden ser debidas a corrientes eléctricas y a imanes. Como hemos
visto, en ambos casos las fuerzas son originadas por cargas eléctricas en movimiento. Una carga
eléctrica en movimiento, además de crear un campo eléctrico, crea una nueva perturbación del
espacio que llamamos campo magnético.

El campo magnético es la perturbación que un imán o una corriente eléctrica produ-
cen en el espacio que los rodea.

Esta perturbación del espacio se manifiesta en la fuerza magnética que experimenta cual-
quier otra carga en movimiento dentro del campo magnético. También los imanes experi-
mentan fuerzas magnéticas en los campos magnéticos. En cambio, una carga en reposo
no experimenta fuerza magnética alguna.

4.1. Descripción del campo magnético

Para determinar la intensidad del campo magnético se define el vector campo magnético
o inducción magnética, B→.

Supongamos que en una región del espacio existe un campo magnético y que en ella si-
tuamos una carga de prueba q. Experimentalmente comprobamos que:

— Si la carga está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre ella.

— Si la carga se mueve con una velocidad →v, experimenta una fuerza magnética con las
siguientes características:

• Es proporcional al valor de la carga, |q|

• Es perpendicular a la velocidad →v.

• Su módulo depende de la dirección de la velocidad: si 
el vector →v tiene una cierta dirección, la fuerza magne- F
tica es nula; si el vector →v es perpendicular a la direc- B
ción anterior, la fuerza magnética es máxima. + v α
q
A partir de lo anterior se define el vector inducción
magnética, B, en un punto del espacio:

— Su dirección es la del movimiento de las cargas sobre las Regla de la mano derecha
que la fuerza magnética es nula.

— Su sentido se determina mediante la regla de la mano
derecha. Esta regla es aplicable a cargas positivas. Si la
carga es negativa, la fuerza actúa en la misma dirección
pero en sentido contrario.

— Su módulo es: Prohibida su reproducción

B = |q | v F α F = fuerza magnética
sen v = velocidad de la carga
α = ángulo que forman los vectores →v y B→.

La unidad de inducción magnética en el SI es el tesla (T). La inducción magnética es de

1 T cuando la fuerza que actúa sobre una carga de 1 C, que se desplaza con una veloci-
dad de 1 m/s perpendicularmente a B→, es de 1 N.

107

UPO IÉN S BLES 4.2.DORRAepresentación del campo magnético

y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

La relación del tesla con Las líneas de inducción magnética nos permiten visualizar
otras unidades del SI es: un campo magnético. Al igual que las líneas de campo eléc-
trico, estas líneas se trazan de modo que cumplen las condi-
1T = C N =1 N ciones siguientes:
⋅m ⋅ s −1 A ⋅m

El tesla es una unidad bastan- — En cada punto del espacio el vector inducción magnética,
te grande: el campo magné- B, es tangente a las líneas de inducción y tiene el mismo
tico terrestre es algo menor sentido→que éstas.
de 10-4 T y el de un potente
imán es de unos 0,1 T. Por — La densidad de las líneas de inducción magnética en una
eso en muchos casos se utili- región es proporcional al módulo de B en dicha región.
za como unidad el gauss (G). Esto es, el campo magnético es más intenso en las regio-
nes donde las líneas de inducción están más juntas.
1 G = 10−4 T

Sin embargo, las líneas de inducción magnética presen-
tan importantes diferencias respecto a las líneas de campo
eléctrico:

— Las líneas de inducción no tienen principio ni NS NS
fin, pues son líneas cerradas. Así, en un imán,
las líneas de inducción salen del polo norte del Imán recto Imán de herradura
imán, recorren el espacio exterior, entran por el
polo sur y continúan por el interior del imán has-
ta su polo norte.

— Las líneas de inducción no nos indican la direc-
ción de las fuerzas magnéticas. Recuerda q→ue
estas fuerzas son siempre perpendiculares a B.

UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que:

Material: hilo conductor de cobre, de unos 60 cm de longitud, una cartulina, limaduras de hierro, una fuente

de alimentación de 12 V.

Procedimiento:

— Haz un pequeño agujero en la cartulina y pasa por él el hilo

conductor. Procura que, a ambos lados de la cartulina y a lo

largo de una distancia de unos 25 cm, el hilo forme una línea

recta perpendicular a la cartulina. corriente voltaje
c.c. c.v.

— Con la cartulina en posición horizontal, esparce las limaduras Ι
de hierro de forma uniforme alrededor del hilo.

Prohibida su reproducción — Cierra el circuito conectando los extremos del hilo a la fuente.

Resultados:
Observa cómo las limaduras se ordenan alrededor del hilo for-
mando circunferencias centradas en éste. Puedes obtener unas
buenas figuras dando pequeños golpecitos a la cartulina.
— Interpreta los hechos observados.

— ¿Dónde son más claras las circunferencias, cerca o lejos del
hilo? ¿Por qué?

108

4.3. Fuentes del campo magnético

La mayor parte de los campos magnéticos utilizados en la industria y en los laboratorios son
creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En este apartado vere-
mos cómo determinar el campo magnético creado por diferentes corrientes eléctricas.

Campo magnético creado por un elemento de corriente: ley de Biot y Savart

Consideremos un pequeño elemento de conductor de longitud dl, recorrido por una intensi-

dad de corriente I, y calculemos su contribución al campo magnético en un punto cualquiera

del e→spacio.

Para poder describir circuitos de distinta forma, asignamos a → un carácter vectorial: es un

dl

vector con la dirección y el sentido de la intensidad de corriente en el elemento de conductor.
Llamamos elemento de corriente al producto Id→l.
UPO IÉN S BLES DORA
EN GR
El campo magnético dB→ creado por un elemento de co- Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA
y también:
rriente Idl en un punto P del espacio viene dado por la ley
de Biot y Savart: Para representar un campo
magnético perpendicular al

papel y con sentido hacia

fuera, utilizaremos un punto.

 r  Ι dl ×u Si el sentido es hacia den-
dl α B r2 tro del papel, utilizaremos
Ι u dB = 0 ⋅ un aspa.

P 4ц

μ0 =c onstante de proporciona- u→ = v ector unitario en la direc- →
lidad que recibe el nombre ción de la recta que une el a B hacia fuera
de permeabilidad y cuyo elemento de conductor dl y b →B hacia dentro
valor en el vacío es: el punto P, y con sentido de
dl a P
μ0 = 4 π ⋅ 10−7 T⋅m⋅A−1
Ι = intensidad de la corriente r =d istancia del elemento de
conductor dl al punto P
→

d l =elemento de conductor

El campo magnético dB→ creado por un elemento de corriente I dl en un punto P del espacio
verifica las siguientes propiedades:

— La deisrepcecripóennddeicduB→lavrieande→l dyetatemrmbiinéandaau→p, oyrseul producto vectorial I d→l × u→. Por tanto, el vector
dB→ sentido viene determinado por la regla de la

mano derecha.

— El módulo de → es directamente proporcional a la intensidad de la corriente I e inversa-

dB

mente proporcional al cuadrado de la distancia r del elemento de conductor dl al punto P.

dB = ѽ0 ⋅ Ι d l s e n α α = á ngulo entre los vectores d→l y u→ Prohibida su reproducción
r
4ц 2 B→ creado por un conductor C en

Para determinar el campo magnético un punto del espacio, lo

descomponemos en elementos de corriente y sumamos todos los campos elementales.

B = ⌠ d B =⌠⌡C 0 ⋅ Ι dl ×u
⌡C r
4ц 2

109

UPO IÉN S BLES TeorDeORAma de Ampère

y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Las líneas de campo eléctri- El teorema de Gauss relaciona el campo eléctrico con sus
co comienzan en las cargas fuentes, las cargas eléctricas, y nos permite determinar el
positivas y terminan en las ne- campo eléctrico para distribuciones de carga con simetría

gativas. Esta propiedad del sencilla. Ahora queremos obtener un teorema que relacio-

campo eléctrico se refleja ne el campo magnético con sus fuentes, las corrientes eléc-
en el teorema de Gauss, que tricas. El teorema de Ampère nos permitirá determinar el
dice que el número neto de campo magnético creado por algunas corrientes eléctricas
líneas de campo que atra- de simetría sencilla.
viesan una superficie cerra-

da es proporcional a la car- Antes de enunciar este teorema, es preciso introducir el con-
ga neta en su interior.
cepto de circulación del campo magnético.

+ Q Se llama circulación del campo magnético a la inte-

Φe = Q gral, a lo largo de una trayectoria cerrada, Bd→,epl porroedlueclteo-
ε0 mesecnatloarddeetrlavyeecctotorriiandd→ul.cción magnética

En cambio, las líneas de in-

ducción magnética no em-

piezan ni terminan en nin- ⌡⌠C B ⋅ d l

gún punto, sino que forman

curvas cerradas. Por tanto, el Como ejemplo, calcularemos la circulación del campo

número neto de líneas de in- magnético creado por una corriente rectilínea de intensi-

ducción o flujo magnético a

través de una superficie ce- dad I a lo largo de una circunferencia de radio R centrada

rrada es siempre cero. en el hilo conductor.
En este caso las líneas de in-
Ι

S   N ducción forman circunferen- 
dl
cias concéntricas centradas  
B B
Φm = 0 en el hilo. Por tanto, los vecto- C 
res B→ dm→l ósdounlopadrealB→eloess. dl  dl
UPO IÉN S BLES DORA más, y Ade- B
el cons-
TIC
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Comprueba el campo mag- tante sobre la circunferencia
nético generado por una co-
rriente en la página: C y su valor es: µ0Ι
2πr
Visita: B =

http://goo.gl/wdp4eh Calculamos la circulación del campo magnético:

⌠ B ⋅d l = ⌠ B d lm=aBg⌠⌡nCédtlic=oBso2цbrre=laѽ2ц0cΙrirc⋅ 2uцnrfe=reѽn0 Ιcia
⌡C ⌡C
Observa que, en este caso, la circulación del campo es
C
igual al producto de μ0 por la intensidad de corriente IC que atraviesa la superficie limitada
por C.
Prohibida su reproducción
El teorema de Ampère es la generalización de este resultado:

La circulación del campo magnético sobre cualquier curva cerrada C es igual al pro-
cμu0rpvaorclaerirnatdeansCid. ad
ducto de la permeabilidad de corriente eléctrica IC que atraviesa
la superficie limitada por la

⌠ B ⋅dl = ѽ0 Ι C
⌡C
110

Ejemplo 4 Utiliza el teorema de Ampère para determinar la inducción mag- l

nética en el interior de un solenoide de N espiras y longitud l por el
que circula una corriente de intensidad I.

— A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, cal-
cula la inducción magnética en el interior de un solenoide de
400 espiras y 25 cm de longitud por el que circula una corriente
de 2 A.

— Por simetría, las líneas de inducción magnética en el interior del
solenoide y lejos de sus extremos son rectas paralelas. En el in-
terior del solenoide, el campo magnético es constante; en el
exterior, es prácticamente nulo.

Para aplicar el teorema de Ampère escogemos como trayec- l
toria un rectángulo de lados a y b como se muestra en la figura. Cb

En los lados del rectángulo perpendiculares al eje del solenoi- Ia
de, los vectores dl y B son perpendiculares, y por ello B ∙ dl = 0. B
Por tanto, la única contribución no nula a la circulación es la

del segmento interior al solenoide y paralelo a su eje.

⌠ B ⋅d l =Bb
⌡C

La intensidad de corriente IC que pasa a través de la superficie limitada por el rectángulo es igual al número

de espiras que atraviesan el rectángulo multiplicado por la intensidad de corriente I que recorre cada espira.

El número de espiras que atraviesan el rectángulo es igual a la densidad de espiras, N ,, multiplicada por la
longitud b: l

Aplicamos el teorema de Ampère: ⌠ B ⋅d l = 0 ΙC ; B b = φ0 ΙC =φ0 N b Ι B =φ0 N Ι
⌡C l l

— Sustituyendo los valores numéricos, obtenemos: B = 4π ⋅10−7T m ⋅ 400 2 A = 4 ⋅ 10 −3T

A 0, 25 m

UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que:
+Q −Q Interruptor
Validez del teorema de Ampère

El teorema de Ampère sólo es válido para corrientes eléctricas continuas Ι
en el espacio. Resistencia

Un ejemplo de corriente no continua en el espacio es la descarga de un
condensador conectando sus placas con un conductor.

La corriente eléctrica no es continua porque las cargas eléctricas no atraviesan el dieléctrico entre las
placas del condensador.

Para poder incluir estos casos, J. C. Maxwell modificó el teorema de Ampère como veremos en la unidad 9.

14. Enuncia el teorema de Ampère y explica cuál 16. Define circulación del campo magnético y es- Actividades Prohibida su reproducción
es su utilidad principal. cribe su expresión matemática.

15. Un solenoide formado por 350 espiras tiene 17. Utiliza el teorema de Ampère para hallar el
una longitud de 24 cm. Calcula la inducción campo magnético creado por una corriente
magnética en su interior si la intensidad de la rectilínea indefinida. Comprueba que el resul-
corriente que circula por él es de 2 A. tado coincide con el obtenido a partir de la ley
de Biot y Savart en el ejemplo 4.

111

Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento

Si acercas un pequeño imán a la pantalla de un televisor en funcionamiento, podrás ver que
los contornos y los colores de la imagen se deforman ligeramente cerca del imán. Esto es de-
bido a que el campo magnético del imán ejerce fuerzas magnéticas sobre los electrones que
chocan con la pantalla fluorescente del televisor.

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento:
ley de Lorentz

Al estudiar el concepto de inducción magnética habíamos indicado que la fuerza ejercida
por un campo magnético sobre una carga eléctrica verifica las siguientes propiedades:

— Si la carga está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre ella.

— Si la carga se mueve con una velocidad →v, experimenta una fuerza magnética con las si-
guientes características:

Q2 = -2 µC • Es proporcional al valor de la carga, ⏐q⏐.
• Es perpendicular a la velocidad →v.
–

r2 = 8 cm • Su módulo depende de la dirección de la velocidad: si
el vector →v tiene una cierta dirección, la fuerza magnéti-
+ P + Q3 = +5 µC ca es nula; si el vector →v es perpendicular a la dirección
Q1 = +5 µC
r1 = 5 cm
r3 = 5 cm anterior, la fuerza magnética es máxima.

Estas propiedades pueden ser resumidas en una ecuación vectorial que recibe el nombre de

ley de Lorentz: F = q (v ×B)

— El módulo de la fuerza de 
F
UPO IÉN S BLES LoDOrRAentz es:

y también: F = ⏐q⏐ v B sen α
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Si en la región donde se donde α es el ángulo que 
mueve la crarga q existe un forman los vectores v→ y B→. B
campo eléctrico E→, además
del campo magnético B→, la — La dirección de la fuerza de α v
fuerza de Lorentz que expe- Lorentz es la determinada por q
rimenta la carga será: el producto vectorial →v × B→. +
Es decir, la fuerza magnética
F = q ( E +v ×B )

es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo

magnético. Su sentido viene dado por la regla de la mano

izquierda.

Prohibida su reproducción • La fuerza magnética que actúa sobre una carga es siempre perpendicular a la veloci-
dad de la carga, es decir, a su trayectoria. Por tanto, una fuerza magnética sobre una
carga eléctrica no realiza trabajo.

• La fuerza magnética, por ser siempre perpendicular al vector v, no puede modificar el
módulo de la velocidad de la carga. En c→ambio, sí puede modificar su trayectoria.

112

Así, si una carga positiva q entra en un cam- De la ecuación 1 , obtenemos el radio de
po magnético uniforme con una veloci- la circunferencia descrita por q:
dad perpendicular al campo, la fuerza de
Lorentz le obligará a seguir un movimien- R = mv
to circular uniforme. Podemos relacionar qB
el radio R de la circunferencia con la in-
ducción magnética B y la velocidad v de UPO IÉN S BLES DORA
la carga.
y también:
La fuerza centrípeta que actúa sobre la car- EN GR
ga es justamente la fuerza de Lorentz, F = qvB. Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

La relación del tesla con otras unidades del SI es:

F= m ac =m v2  v 1T =1 N =1 N
R B q C ⋅m ⋅ s −1 A ⋅m
X
X X+ X

X X FX X
1 v2 X XR X X
R XXXX
qv B = m

XXXX

Ejemplo 5 Ejemplo 6

Calcula la fuerza que un campo magnético de Un electrón penetra en un campo magnético uni-
2 ∙10-4 T ejerce sobre una carga eléctrica de +1
μC que se mueve perpendicularmente al campo forme de 10-3 T con una velocidad de 3 ∙ 107 m/s
con una velocidad de 104 m/s. perpendicular al campo. Calcula: a. la fuerza que

Z actúa sobre el electrón; b. el radio de la órbita cir-

cular que describe. (Carga y masa del electrón:

-e = -1,6 ∙ 10-19 C, me = 9,1 ∙ 10-31 kg)

Q = +1 ⋅ 10−6 C F a. La fuerza es perpendi- B = 10−3 T e− X
cular a v y B. Su senti- X X X X_ X

v = 104 m/s + B = 2 ⋅ 10−4 T Y do es el contrario al X X X FX X X
que determina la regla v = 3 ⋅ 107 m/s
de la mano izquierda, X
X X XX X

R
Actividades

α = 90°
X pues la carga es nega- X X X X X X

— Aplicamos la ley de Lorentz para hallar la fuer- tiva. Su módulo vale: X X X X X X
za magnética:
F =e v B =1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 3 ⋅ 10 7m ⋅ 10 −3 N
F =q (v ×B) = qv B sen α k s A ⋅m
F =10−6 C ⋅104 m ⋅ 2 ⋅ 10−4 N sen 90ϒk
F = 4, 8 ⋅10 −15N
s A ⋅m
F = 2 ⋅10−6 k N b. El electrón seguirá un movimiento circular uniforme
cuyo radio será:
Su módulo es F = 2 ∙ 10-6 N.
R = mv 9,1⋅ 10−31 kg ⋅ 3 ⋅ 107m ⋅s −1
eB = 1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 10 −3 T = 0,17 m

18. ¿En qué dirección debe entrar un electrón en b. ¿Cómo afecta el sentido de la corriente a la Prohibida su reproducción
un campo magnético uniforme para que no se fuerza?
ejerza ninguna fuerza magnética sobre él?
20. Un protón penetra en un campo magnético unifor-
19. Una carga eléctrica positiva se mueve me de 0,2 T con una velocidad de 3 ∙ 107 m/s per-
paralelamente a un hilo conductor rectilíneo. pendicularalcampo.Calcula:a.lafuerzamagnéti-
ca que actúa sobre el protón; b. el radio de la órbita
a. Describe la fuerza magnética que actúa sobre circular que describe. (Carga y masa del protón:
la carga. +e = +1,6 ∙ 10-19 C, mp = 1,67 × 10-27 kg)

113

UPO IÉN S BLES DORA

Aplicaciones de la fuerza de Lorentz TIC
EN GR
El funcionamiento de muchos instrumentos de laboratorio y Y TAMB
aparatos industriales se basa en las acciones que un cam-
po magnético produce sobre las cargas eléctricas en mo- TIC
vimiento. Ahora describiremos dos de las aplicaciones más RECORTA
destacables: el espectrómetro de masas y el ciclotrón. CALCULA

Verifica los efectos de un cam-
po magnético sobre cargas
en movimiento siguiendo el
enlace web:

Visita:

http://goo.gl/Lg9pMg

Espectrómetro de masas
Inventor
El espectrómetro de masas fue diseñado en 1919 por F.W. Aston y, más tarde, K. Bainbridge lo perfeccionó.

Aplicaciones

El espectrómetro de masas constituye un medio excelente para determinar la existencia de isótopos de un

determinado elemento químico y su abundancia en la naturaleza. De esta manera se comprobó que el

magnesio natural está compuesto por un 78,7 % de is24óMtogpo, usnd1e0M,1g%). de 25Mg y un 11,2 % de 26Mg (donde
24,25,26, son las masas atómicas respectivas de los

Descripción 
El espectrómetro de masas consta de: una cámara de ionización B
donde se producen iones de cierta sustancia, una región donde se
aceleran estos iones mediante un campo eléctrico y otra región en R
donde se desvían los iones mediante un campo magnético.

Funcionamiento

— En la cámara de ionización se ionizan diferentes isótopos de un mis- v Pantalla
mo elemento químico. Los iones obtenidos tienen diferentes masas, receptora
pero igual carga eléctrica.

— Estos iones, inicialmente en reposo, son acelerados mediante una +q

diferencia de potencial ΔV. El incremento de energía cinética de los Cámara

iones es igual a su pérdida de energía potencial eléctrica: − de ionización
1 ΔV +
2 mv 2 = qΔVV

Por tanto, adquieren una velocidad: v = 2q ΔV magnético uniforme →B. En esta región describen órbitas
— Los iones penetran perpendicularmente m

en un campo

circulares de radio: R = mv
qB

El valor del radio puede medirse directamente en el espectrómetro de masas haciendo incidir los iones sobre
una pantalla o una película fotográfica después de que hayan recorrido una semicircunferencia. Observa
que, como los diferentes isótopos tienen igual carga eléctrica q pero diferente masa m, sus radios de desvia-
ción son distintos y podemos separarlos y determinar su relación masa-carga.

m = BR m = R 2B 2
q v q 2 ΔV

Prohibida su reproducción 21. Explica cuáles son las principales aplicaciones 23. Dibuja el esquema de un espectrómetro de ma- Actividades
del espectrómetro de masas. sas e indica en él sus principales elementos.

22. Explica cómo determinarías la masa de los di- 24. La precisión de un espectrómetro de masas au-
ferentes isótopos de un elemento químico que menta al introducir un elemento llamado selec-
inciden sobre la pantalla de un espectrómetro tor de velocidades. Investiga y describe en qué
de masas. consiste dicho elemento.

114

Fuerza magnética sobre un elemento de corriente

Un conductor por el que circula una corriente eléctrica experimenta una fuerza cuando
está situado en un campo magnético. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de
Lorentz que el campo magnético ejerce sobre las cargas que forman la corriente.

Consideremos un elemento de corriente Ι d→l. La carga Ι
eléctrica que transporta este elemento en un tiempo dt es
dq = Ι dt. Si suponemos que todas las cargas tie- q v + +
nen la misma velocidad →v, la fuerza de Lo- + +
rentz sobre el elemento de corriente puede escri- +

birse como: ++

v dt = 
dl

UPO IÉN: DORA NTA QUE:
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
d F = d q (v ×B) = Ι dt (v ×B) = Ι (v dt ×B) Ten en cuenta que:

Pero →v ddteecs ojurrsiteanmteenI tde→l,eul nveccatomr pd→ol. Por tanto, sobre un ele- Acción del campo magnético
mento magnético B→ ejerce la sobre una espira

fuerza: Una espira rectangular por
la que circula una corriente
dF = Ι (d l ×B ) eléctrica experimenta un par
de fuerzas al situarse en un
Para determinar la fuerza magnética que actúa sobre un campo magnético.
La espira tiende a girar por
conductor C, lo descomponemos en elementos de corriente efecto de las fuerzas magnéti-
y sumamos todas las fuerzas elementales: cas, de modo que su plano se
coloque perpendicularmente
a las líneas de inducción.

 Ι
F B

F = ⌠ dF =Ι ⌠ (d l ×B)
⌡C ⌡C

En el caso de un hilo conductor rectilíneo de longitud l 
situado en un campo magnético uniforme B, el valor de F
la fuerza total sobre el hilo es:
En este efecto se basan los
X X X  motores eléctricos y los apa-
F XB ratos de medida, como el gal-
vanómetro.
XXX X
F = Ι (l × B ) X UPO IÉN S BLES DORA
X Y TAMB RECORTA
XΙ X → X EN GRy también: TIC CALCULA

l

XXX Para estudiar circuitos de di-
ferentes formas se asigna al
l = vector de módulo l con la dirección y el sentido de la intensidad de elemento de conductor d→l Prohibida su reproducción
corriente un carácter vectorial: tiene
la dirección y el sentido de
Su módulo es: la intensidad de corriente en
cada punto.
F = Ι l B sen α Llamamos elemento de co-
rriente al producto I d→l.

115

Problemas resueltos

A

Las cargas eléctricas Q1 = +140 μC y Q2 = +230 μC E 1=K Qr121u1 =9 ⋅109 N ⋅m2 1,4 ⋅10−4 C (−−j ) =7,9 ⋅106 jN
están situadas en los extremos de la diagonal ma- C2 ⋅ (0,4 m )2 C
yor de un rombo y las cargas Q3 = −80 μC y Q4 = −60
μC están situadas en los extremos de la diagonal E 2 =K Q2 u2 =9 ⋅109 N ⋅m2 2,3 ⋅10−4 C j =1,29 ⋅107 jN
menor. Si la diagonal mayor del rombo mide 80 cm r22 C2 ⋅ (0,4 m )2 C
y la diagonal menor 50 cm, calcula:
a. El campo eléctrico en el centro del rombo. E 3 =K Q3 u3 =9 ⋅109 N ⋅m2 −8 ⋅10−5 C i= −1,15 ⋅107 i N
r32 C2 ⋅ (0,25 m )2 C
b. La fuerza que actúa sobre una carga de +25 μC
al situarse en este punto. E 4 =K Q4 u 4 =9 ⋅109 N ⋅m2 −6 ⋅10−5 C (− i )=8,6 ⋅106 iN
r42 C2 ⋅ (0,25 m )2 C
c. El potencial eléctrico en dicho punto.

d. La energía potencial eléctrica que adquiere una
carga de +25 μC al situarse en dicho punto.

— Datos: El campo eléctrico resultante es la suma vectorial de
los campos debidos a cada una de las cargas:

Y

Q1 = +1,4 ⋅ 10-4 C E =E 1+ E2 +E 3 + E 4 = (−2,9 ⋅106 i +5, 0 ⋅106 j) N/C
+
Su módulo es:
Q3 = -8 ⋅ 10-5 C 
Q4 = -6 ⋅ 10-5 CE2 E = (−29 ⋅ 106 N/C) 2 + (5, 0 ⋅ 106 N/C) 2 =
D = 0,8 mu 2 = 5, 8 ⋅106 N/C
–   u 3  –
E3 u4 u 1 E4 X b. Hallamos la fuerza que actúa sobre la carga de
25 μC:
E1
F =q E =2, 5 ⋅ 10−5 C ⋅ 5, 8 ⋅ 106 N =145 N
d = 0,5 m C

c. Calculamos el potencial eléctrico creado por
cada una de las cargas en el centro del rombo:

Q1 =9 ⋅109 N ⋅m 2 ⋅ 1,4 ⋅10−4 C =3,15 ⋅106 V
r1 C2 0,4 m
+ V1=K
Q2 = +2,3 ⋅ 10-4 C
Q2 ⋅109 N ⋅m 2 ⋅ 2, 3 ⋅10−4 C =5,17 ⋅106 V
r2 C2 0,4 m
V2 =K =9

a. Calculamos el campo eléctrico creado por cada Q3 ⋅109 N ⋅m 2 −8 ⋅10−5 C = −2,88 ⋅106 V
una de las cargas en el centro del rombo: r3 C2 ⋅
V3 =K =9
0,25 m

Qr121u1 ⋅109 N⋅m2 1,4 ⋅10−4 C (−−j ) =7,9⋅106 jN Q4 N ⋅m 2 ⋅ −6 ⋅10−5 C
C2 ⋅ (0,4 m )2 C r4 C2 0,25 m
E 1=K =9 V4 =K =9 ⋅109 = −2,16 ⋅106 V

Prohibida su reproducción E 2 =K Qr222u2 =9⋅109 N⋅m2 2,3 ⋅10−4 C j =1,29 ⋅107 jN El potencial eléctrico resultante es la suma algebrai-
C2 ⋅ (0,4 m )2 C ca de los potenciales de cada una de las cargas:

E 3 =K Q3 u3 =9 ⋅109 N⋅m2 −8 ⋅10−5 C i= −1,15 ⋅107 i N V = V1 + V2 + V3 + V4 = 3,28 ⋅ 106 V
r32 C2 ⋅ (0,25 m )2 C d. Hallamos la energía potencial que adquiere la car-

E4 =K Q4 u4 =9 ⋅109 N⋅m2 −6 ⋅10−5 C (− i )=8,6 ⋅106 iN ga de 25 μC:
r42 C2 ⋅ )2 C
(0,25 m Ep = q V = 2,5 ⋅ 10-5 C ⋅ 3,28 ⋅ 106 V = 82 J

116

Problemas resueltos

B

Aplica el teorema de Gauss para determinar el Por tanto, el flujo eléctrico es:
campo y el potencial eléctricos creados por un hilo
de longitud infinita cargado uniformemente con Φ = ⌠ E ⋅d S = ⌡⌠S E dS =E S =E 2π r h
una densidad lineal de carga λ. ⌡S

— Utiliza el resultado para hallar el campo y el po- Aplicamos el teorema de Gauss teniendo en cuen-
tencial eléctricos creados por un hilo muy largo ta que la carga eléctrica en el interior del cilindro
con una carga de -150 μC por metro de longitud es Q = λh.
a una distancia de 25 cm. Escoge como origen
de potencial los puntos situados a 20 cm del hilo. Φ = Q ; E 2π r h = λh ; E = 2π λ 0 r
ε0 ε0 ε

— Datos: El campo eléctrico creado por un hilo de longitud
infinita cargado uniformemente es inversamente
λ = -1,5 ⋅ 10-4 C⋅m-1 r = 0,25 m r0 = 0,20 m proporcional a la distancia al hilo.
Calculamos la diferencia de potencial a partir
Escogemos como superficie gaussiana un cilin- del campo:

dro de radio r y altura h cuyo eje coincide con

el hilo.

 V A −V B =⌠B E ⋅d r = ⌠B λ u ⋅ dr =
dS  ⌡A ⌡A
rE 2πε0 r

= λ ⌠B dr = λ (In rB −In rA )
⌡A r
2πε 0 2πε 0

V A −V B =− λ In rA
rB
2π ε 0

h  El potencial disminuye de forma ilimitada al aumen-
E E
tar r. Por tanto, no podemos escoger el origen de
 u u  potencial para r = ∞. En este caso elegimos como
dS dS origen de potencial el correspondiente a una dis-

E tancia arbitraria r = r0, con lo que obtenemos:

 V = −2πλε 0 In r
E r0

 — Sustituimos los datos del enunciado para hallar el
E campo y el potencial eléctricos:
dS
λ −1, 5 ⋅10−4 C ⋅m −1
Por simetría, el campo eléctrico es perpendicular E= =
al hilo y depende sólo de la distancia a éste.
2π ε0 r 2π ⋅8,854 ⋅10−12 C 2 ⋅N −1 ⋅ m−2 ⋅0, 25 m
E = −1,08 ⋅107 N/C

En plaesrpdeonsdbicauselasrdael lvceiclintodrrosu, peel crfiacmiep, oE e⊥lédcStr,icyo, El signo negativo indica que el campo eléctrico está Prohibida su reproducción
es dirigido hacia el hilo:

por tanto, el flujo eléctrico es cero. λr
V =− In
2π ε0 r r0
Sobre la superficie lateral del cilindro, el campo
eléctrico es paralelo al vector superficie y tiene V=− −1, 5 ⋅10−4 C ⋅m −1 0,25 m
módulo constante. In =
2π ⋅8, 854 ⋅10−12 C 2 ⋅N −1 ⋅m −2 0,20 m

=6, 0 ⋅105 V

117

Ejercicios y problemas

1 Piensa y resuelve

1. Explica las propiedades principales de la car- 10. Dos cargas eléctricas puntuales de +4 ∙ 10-8 C
ga eléctrica. y −3 ∙ 10-8 C están separadas 10 cm en el aire.
Calcula: a. el potencial eléctrico en el punto
2. Una carga positiva penetra en un campo eléctrico medio del segmento que las une; b. el potencial
uniforme. Describe su movimiento si: eléctrico en un punto situado a 8 cm de la prime-
ra carga y a 6 cm de la segunda; c. la energía
a. La velocidad inicial tiene la dirección y el senti- potencial eléctrica que adquiere una carga de
do del campo. +5 ∙ 10-9 C al situarse en estos puntos.

b. La velocidad inicial tiene sentido opuesto 11. Calcula el trabajo necesario para trasladar una
al campo. carga de +1 C: a. de un punto de potencial
-25 V a un punto de potencial +25 V; b. entre dos
c. La velocidad inicial forma un cierto ángulo con puntos de una superficie equipotencial.
el campo.
12. Calcula el campo y el potencial eléctricos a
3. El potencial eléctrico es constante en cierta re- una distancia de 50 cm del centro de una es-
gión del espacio. ¿Cómo es el campo eléctrico en fera de 30 cm de radio que tiene una carga de
esa región? +4,3 ∙ 10-6 C distribuida uniformemente por todo
su volumen.
4. Dibuja las líneas de campo y las superficies equi-
potenciales para una carga puntual positiva. 13. Se ha comprobado que el campo eléctrico
terrestre es perpendicular a la superficie de la
5. Explica cómo se distribuye la carga eléctrica en un Tierra, se dirige hacia ésta y tiene módulo 110
conductor. ¿Cómo podemos proteger un aparato N/C. Calcula la densidad superficial de carga
sensible de un campo eléctrico? de la Tierra y su carga eléctrica total. (Radio de
la Tierra: RT = 6 370 km)
6. Explica qué es la capacidad de un condensador.
14. Entre las placas de un condensador plano exis-
— ¿Cómo afecta el dieléctrico interpuesto entre las ar- te una separación de 1 mm y una diferencia de
maduras a un condensador plano? potencial de 1 000 V. Si el dieléctrico es polietile-
no (εr = 2,3), calcula la carga inducida por me-
2 Practica lo aprendido tro cuadrado en la superficie del dieléctrico.

7. Dos cargas eléctricas puntuales de +4,0 ∙ 10-9 15. Cuatro cargas iguales de +3 ∙ 10-4 C están situa-
C y +2,0 ∙ 10-9 C están separadas 6 cm en el das en el vacío en los vértices de un cuadrado
vacío. Calcula la fuerza eléctrica que se ejer- de 1 m de lado. Calcula: a. el campo eléctrico
cen mutuamente. en el centro del cuadrado; b. el módulo de la
fuerza eléctrica que experimenta una de las car-
8. Dos cargas eléctricas, CQ1o=loc+a5mμoCs uynQa2 = -4 μC, es- gas debido a la presencia de las otras tres.
tán separadas 30 cm. tercera car-
16. Una esfera metálica hueca y sin carga eléctri-
gyaacatúQ1a30=socm+br2edμQeC3Q. s1o.bCrealeclusleaglmaefunetorzqaueeléucntericQa1 qyuQe2 ca, de radio R, tiene una carga puntual Q en su
centro. Utiliza la ley de Gauss para determinar el
Prohibida su reproducción 9. Dos cargas eléctricas puntuales de +1 × 10-5 C y campo eléctrico en el interior y en el exterior de
-1 ∙ 10-5 C están separadas 10 cm en el vacío. Cal- la esfera.
cula el campo y el potencial eléctricos:
— Determina la intensidad del campo eléctrico en
a. En el punto medio del segmento que une am- un punto situado a 10 cm de una carga puntual
bas cargas. Q = 3 ∙ 10-6 C si el radio de la esfera es R = 5 cm.

b. En un punto equidistante 10 cm de ambas
cargas.

118

Fuerzas entre corrientes paralelas

Ampère estudió las fuerzas magnéticas que ejercen mutuamente dos corrientes paralelas.
Observó que si las corrientes eléctricas tenían el mismo sentido, los hilos se atraían; mientras
que si las corrientes eran de sentidos contrarios, los hilos se repelían.

Supondremos que la longitud Ι1 Ι2 Ι1  Ι2 
l de los conductores es mucho  B2 B1
mayor que su separación d,  
de modo que podamos apli-  F21 F12 B1  
car los resultados obtenidos B2 F21 F12
para corrientes indefinidas.
Entonces, el campo magnéti- d d
co que el conductor 1 crea a
una distancia d es: Dos corrientes paralelas del Dos corrientes paralelas de sen-
mismo sentido se atraen. tidos contrarios se repelen.
Definición de amperio
A partir de la interacción en- fEul evrezcatoqrueB→1eejesrcpeeerpl ecnodnidcuuclator ra1l conductor 2. Por tanto, la
tre dos corrientes paralelas se sobre el conductor 2 es:
define la unidad de intensi-
dad de corriente eléctrica en La fuerza ejercida por el conductor 2 sobre el conductor 1,
el SI, a la que se da el nom- Fr→io21,,
bre de amperio (A), en honor tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contra-
de Ampère. pues estas fuerzas cumplen el principio de acción y re-
Un amperio es la intensidad acción: F→12 = -F→21
de corriente eléctrica que cir-
cula por dos conductores rec- La fuerza que experimentan los conductores por unidad de
tilíneos paralelos e indefinidos, longitud es:
separados una distancia de
un metro en el vacío, cuando Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos, de gran longitud, están se-
ambos se atraen o se repelen parados 10 cm. Si por ellos circulan corrientes de 2 A y 5 A en el mismo
con una fuerza de 2 ∙ 10-7 N sentido, calcula la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de
por metro de longitud. longitud y di si es atractiva o repulsiva.
Ejemplo 7
¿Por qué se define el amperio — Datos: d = 10 cm = 0,1 m I1=2A I2=5A
para un valor de la fuerza en- Prohibida su reproducción
tre corrientes igual a 2 ∙ 10-7 N? — Esta fuerza es atractiva, porque las corrientes tienen el mismo sen-
¿Cuál sería el valor de la fuerza
para corrientes de 2 A? tido. Su módulo es:

25. ¿Que orientación debe tener una corriente eléc- 27. Explica como podemos determinar si las corrien- Actividades
trica en un campo magnético uniforme para no tes eléctricas que circulan por dos hilos rectilineos
experimentar ninguna fuerza magnética? y paralelos tienen el mismo sentido o sentidos con-
trarios.
26. Calcula la fuerza magnética que actúa sobre
un hilo rectilineo de 4m de longitud por el que 28. Dos hilos conductores, muy largos, rectilineos y pa-
circula una corriente de 2,5 A cuando se le apli- ralelos, por los que circulan corrientes de 2 A y 3
ca un campo magnético uniforme de 2 · 10-2 A en sentidos contrarios, están separados 12 cm.
perpendicular al hilo. Calcula la fuerza que se ejercen mutuamente
por unidad de longitud y di si atractiva o repulsiva.

119

Práctica de laboratorio N•3 Campo magnético de una bobina

Consideramos una bobina cuyo eje se coloca perpendicularmente a la dirección de la
inducción magnética terrestre (Bt). Cuando por la bobina no circula corriente eléctrica,
una brújula situada en un punto cualquiera del eje de la bobina señala la dirección Nor-
te-Sur. Ahora bien, cuando se hace circular corriente eléctrica por la bobina, ésta crea
un campo magnético (o inducción magnética) en la dirección del eje, Bb, que se super-
pone con el terrestre y hace que la aguja de la brújula se desvíe un ángulo a respecto
de su posición inicial. En esta disposición, tenemos: tg α = Bb/Bt.

La expresión de Bb, que se obtiene de la integración de la ley de Biot y Savart aplicada
a cada elemento diferencial de la bobina, es:

N

Bb = Bt tg α

I Bt α Bb
α S

Figura 1 N

SX

N = número de espiras I = intensidad de corriente

Bb = N µ0 I R2 3/2 (1) µ0 = permeabilidad del vacío, R = radio de la bobina
2(x2 + R2) igual a 4p·10–7 T·m·A–1

x = distancia del punto conside-
rado al centro de la bobina

Objetivo de la experiencia

En esta experiencia comprobaremos que una bobina por la que circula una corriente
eléctrica crea un campo magnético que se superpone al terrestre. Con los valores del
ángulo de desviación de la brújula a diferentes distancias del centro de la bobina verifi-
caremos la expresión teórica de la inducción magnética.

Prohibida su reproducción Material:

• Bobina de hilo de cobre de 100 vueltas y de unos 15 cm de radio
• Fuente regulable de corriente continua
• Brújula
• Regla o cinta métrica
• Interruptor
• Cables de conexión

120

Procesos: Práctica de laboratorio N•3

1. Mide el radio R de la bobina y prepara el circuito eléctrico de la figura 1 dejando
abierto el interruptor.

2. Sitúa la brújula a una distancia x = 20 cm medida desde el centro de la bobina y asegú-
rate de que las direcciones de la aguja de la brújula y del eje de la bobina son perpen-
diculares. Cierra el interruptor del circuito y regula la fuente de alimentación de manera
que circule una intensidad de corriente constante de unos 0,25 A (la fuente regulable
puede sustituirse por una pila y una resistencia óhmica de valores adecuados).

3. Observa la desviación de la aguja de la brújula y anota el valor del ángulo a. A conti-
nuación, abre el interruptor para que la aguja recupere su posición. A partir del ángulo
a, calcula la inducción magnética de la bobina Bb (toma el valor Bt = 0,5 G). Calcula
también los valores de x2 + R2 y 1/(x2 + R2)3/2. Anota los resultados en la tabla 1.

4. Repite todo el proceso para diversos valores de x hasta completar la tabla 1. Cada
vez, antes de cerrar el circuito, es preciso que te asegures de que la bobina sea per-
pendicular a la dirección de la brújula.

Posición x (cm) 20 25 30 35 40 45 50
Ángulo α
Bb = Bt tg α (G)
x2 + R2 (cm2)

a= 1 (cm-3)
(x2 + R2)3/2

Tabla 1

• Representa gráficamente la inducción magnética de la bobina Bb respecto de 1/(x2
+ R2)3/2 y calcula la pendiente de la recta. Compárala con el valor teórico dado por
la ecuación (1).

Cuestiones: Prohibida su reproducción

• Justifica e interpreta la expresión de Bb en función de x.
• ¿Qué valores experimentales de x se acercan más a la recta ajustada? ¿A qué crees

que es debido?

• Razona qué resultados se obtendrían para valores negativos de x.

— ¿Qué sucede si se invierte el sentido de circulación de la intensidad? Compruébalo
experimentalmente.

• Diseña, haciendo uso de este montaje experimental, un procedimiento para medir la
inducción magnética terrestre Bt.

121

ZONA

SOCIEDAD

El magnetismo terrestre

En 1600 W. Gilbert explicó el funcionamiento de la brújula suponiendo que la Tierra era un
gigantesco imán con sus polos magnéticos cerca de sus polos geográficos. Sin embargo,
aún no se conocen de forma satisfactoria las causas de su campo magnético.

Sur magnético Polo Norte geográfico En cualquier lugar de la Tierra, la aguja imantada de una brúju-
la se orienta hacia el Norte geográfico. Esto demuestra que las
N S líneas de inducción del campo magnético terrestre van de Sur
S a Norte geográfico.
Ángulo
de declinación El polo Norte geográfico de la Tierra coincide aproximada-
mente con el sur magnético, y el polo Sur geográfico con el
N Norte magnético norte magnético.

Polo Sur geográfico Sin embargo, las direcciones Norte-Sur geográfica y magnética
no coinciden exactamente. El ángulo que forman ambas líneas
se denomina ángulo de declinación magnética y varía de
unos lugares a otros de la Tierra. Además, se ha demostrado
que el eje magnético de la Tierra se traslada lentamente hacia
el Oeste a razón de un grado de longitud cada cinco años.

Las rocas de la corteza terrestre son un registro de cómo ha evolucionado el campo magnético
terrestre durante, por lo menos, los últimos 2 500 millones de años. Estos estudios paleomagnéticos
concluyen que el campo magnético ha ido variando en intensidad y que ha invertido su sentido
Sur - Norte aproximadamente cada millón de años.

La intensidad del campo magnético terrestre es extremadamente pequeña. Cerca de los polos
se da el valor máximo, de unos 5 ∙ 10-5 T, cien veces más débil que el campo magnético creado
por el imán de un juguete.

Sabemos, a través del estudio de las ondas origi- Corteza
nadas en los terremotos, que una parte del nú-
cleo terrestre es líquido. Esta parte, la más externa Manto superior
del núcleo, constituye una sexta parte del volu-
men de la Tierra y un tercio de su masa. Manto inferior

Prohibida su reproducción Actualmente, se acepta que la causa del mag- R1
netismo terrestre es el lento movimiento del nú- R2
cleo, pues las cargas eléctricas que contiene su
capa externa dan lugar a corrientes eléctricas. Núcleo externo líquido
Con todo, no existe todavía un modelo satisfacto-
rio que explique totalmente el magnetismo terres- R1 = 1220 km R2 = 3485 km Núcleo interno sólido
tre. Los científicos continúan investigando.

122

3

Resumen

Analogías entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico

— El campo gravitatorio creado por una masa puntual y el campo eléctrico creado por una carga puntual son
campos centrales. Sus líneas de campo son abiertas y tienen simetría radial.

— Son campos conservativos, por lo que tienen una energía potencial y un potencial asociados. El trabajo reali-
zado contra el campo se almacena en forma de energía potencial, de modo que puede recuperarse íntegra-
mente.

— La intensidad del campo es directamente proporcional a la masa o a la carga que lo crea, e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre esta masa o carga y el punto donde calculamos el campo.

Diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorio

Campo eléctrico Campo gravitatorio

— Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas (entre — Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas. Las
cargas de signos opuestos) o repulsivas (entre car- líneas de campo siempre señalan a la masa que lo
gas del mismo signo). crea.

Las líneas de campo siempre se originan en las car- — La constante G es universal. Es decir, el campo gravi-
gas positivas y terminan en las cargas negativas. tatorio no depende del medio en el que actúa.

— La constante K varía de un medio a otro. Es de- G = 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2 ⋅ kg-2
cir, el campo eléctrico depende del medio en el
que actúa.

En el vacío: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C-2

Campo eléctrico Campo gravitatorio

Fuerza F =K Qq u F= −G Mm u
Intensidad de campo r2 r2
Relación entre fuerza e intensidad de campo
E =K Q u E= −G M u
Energía potencial r2 r2
Potencial
F =qE F =m g
Relación entre energía potencial y potencial
Relación entre fuerza y energía potencial Ep =K Qq E p= −G Mm
r r
Relación entre intensidad de campo y potencial
V =K Q V= −G M
r r

Ep = q V E p =mV Prohibida su reproducción

Ep A −EpB =⌠B F ⋅d r
⌡A

V A −V B =⌠B E ⋅d r V A −V B =⌠B g ⋅d r
⌡A ⌡A

123

Para finalizar

1 Explica el significado de la frase: la carga eléctri- 10 Entre dos placas planas existe una diferencia de
ca está cuantizada. potencial de 15 V. Si la intensidad del campo
eléctrico entre las placas es de 30 N/C, calcula:
2 Dos cargas eléctricas idénticas de -3,5 μC están
situadas en los puntos (1, 0) m y (1, -4) m. Deter- a. La separación entre las placas.

mina en qué punto (o puntos) del plano se anula b. La aceleración que experimenta una partícu-

el campo eléctrico. la de 5 g de masa y carga eléctrica igual a
+2,5 × 10-9 C situada entre las placas.
— ¿Es también nulo el potencial eléctrico en ese
punto (o puntos)? En caso contrario, determina c. La variación de la energía potencial de la partí-
su valor. cula al pasar de la placa negativa a la positiva.

3 Al trasladar una carga q de un punto A al infinito 11 Se hace vibrar una cuerda de 4,2 m con oscila-

se realiza un trabajo de 1,25 J. Si se traslada del ciones armónicas transversales perpendiculares
punto B al infinito, se realiza un trabajo de 4,5 J. a la cuerda. Si f = 300 Hz, A = 10 cm y las ondas
generadas tardan 0,02 s en llegar al otro extre-
a. Calcula el trabajo realizado al desplazar la car- mo de la cuerda, determina: a. la ecuación de
ga del punto A al B. ¿Qué propiedad del cam- onda; b. la longitud de onda, el período y la ve-
po eléctrico has utilizado?
locidad de transmisión de la onda; c. el despla-
b. Si q = -5 μC, calcula el potencial eléctrico en los
puntos A y B. zamiento, la velocidad y la aceleración máximos

transversales.

4 Define onda longitudinal y onda transversal. 12 Desde un punto situado en un medio homogé-

Pon un ejemplo de cada una de ellas e indica neo e isótropo se transmiten ondas esféricas. Si
en cada caso la magnitud que se propaga y la potencia del foco emisor es de 5 W, calcula la
sus características. intensidad de la onda a 3 m del foco.

5 Di cuál es el significado físico de la fase inicial, 13. En una competición deportiva, 1000 espectado-
ϕ0, de la función de onda. res gritan al mismo tiempo con un nivel de inten-

6 Elige la opción que creas correcta y justifícala. sidad sonora de 90 dB cada uno. Calcula el nivel
Un vibrador produce ondas en la superficie de
de intensidad sonora del conjunto.

un estanque a intervalos regulares de tiempo. 14 Calcula la pulsación, la frecuencia, la longitud

Si se ajusta el vibrador de modo que produzca de onda y la velocidad de propagación de una
onda descrita por y = sen (0,5 x − 200 t + 2,5), en
un número triple de ondas por segundo, en este unidades SI.

caso las ondas: a. se propagan con triple veloci-

dad; b. se propagan con un tercio de la veloci-

dad; c. tienen longitud de onda triple; d. tienen

un tercio de la longitud de onda. 15 La ecuación de una onda armónica viene dada
por y = 0,05 sen (1992 t − 6x), en unidades SI.
a. Calcula la amplitud, la frecuencia y la longi-
7 La ecuación de una onda transversal en una
cuerdaes y (x, t ) = 0,02 sen π (20 t + 2 x ), en uni- tud de onda. b. Calcula la distancia recorrida

dades SI. Determina la aceleración en función por la onda en 3 s. c. Escribe la ecuación de una
onda idéntica a la anterior que se propague en
del tiempo para un punto situado en x = -0,3 m.
sentido contrario.
8 ¿Pueden cortarse dos superficies equipotencia-
les de un campo eléctrico? Justifica tu respuesta.
PPrroohhiibbiiddaa ssuu rreepprroodduucccciióónn 16 Una onda transversal se propaga por una cuer-
da según la ecuación y = 0,4 cos (50 t − 2x), en
9 Dada la siguiente ecuación de la onda armóni- unidades SI. Calcula: a. la velocidad de propa-
ca y = 3 sen (8 t − 0,5x), deduce: a. la amplitud,
el período, la frecuencia y la longitud de onda; gación de la onda; b. la elongación y la velo-

b. la velocidad de la onda y la elongación de cidad de vibración de una partícula situada a

una partícula situada en la posición x = +15 m 20 cm del foco en t = 0,5 s; c. la elongación y la

cuando t = 4 s. velocidad máximas.

124

17 Utiliza el resultado del ejemplo anterior para de- 20 Aplica el teorema de Gauss para determinar el

terminar el campo y el potencial eléctricos crea- campo eléctrico en el interior y en el exterior de
dos por un hilo muy largo cargado con +30 μC
por metro de longitud a una distancia de 3 m. un cilindro hueco de longitud infinita y radio R
Escoge el origen de potencial a 1 m del hilo. cargado uniformemente con una densidad su-
perficial de carga σ.
— Representa esquemáticamente el vector
intensidad del campo eléctrico sobre una — Utiliza el resultado para hallar el campo
circunferencia de 3 m de radio centrada en eléctrico creado por una corteza cilíndrica
el hilo.
muy larga de 20 cm de radio cargada con
+5 ∙ 10-6 C por metro cuadrado a una distan-
cia de 30 cm del eje.

18 Dos ondas de 0,6 de amplitud en el SI, 40 cm de 21 Una oscilación de 0,18 m de amplitud y 240 Hz de
longitud de onda y 800 Hz de frecuencia se pro- frecuencia se propaga de manera que tarda 32

pagan por una cuerda en sentidos contrarios. s en llegar a un punto situado a 360 m del foco

a. Escribe la ecuación de cada onda y de la emisor.
onda resultante de su interferencia.
a. Escribe la función de onda.

b.¿Cuánto tarda un punto alcanzado por la b. Calcula el módulo de la velocidad con la que
onda en efectuar 150 oscilaciones? ¿Cuántas se mueve el punto de x = 35,5 m en t = 8,56 s.
oscilaciones hace en 2 min?
c. Calcula la diferencia de fase en un instante
c.Indica las coordenadas de los vientres de la dado de dos puntos situados a 68,45 m de
onda resultante de la interferencia. distancia.

d.Indica las coordenadas de los nodos de la d. Calcula el módulo de la aceleración del
onda resultante de la interferencia.
punto x = 89,419 m en t = 6,89 s.

19 La cuerda de un instrumento musical tiene una 22 Una onda plana con una amplitud inicial de 30

longitud de 80 cm y una frecuencia de vibración mb y 500 Hz que representa propagación de la
fundamental de 540 Hz. fluctuación de la presión en un gas a lo largo del
eje de abscisas pierde intensidad como conse-
a. Calcula la velocidad de propagación de la cuencia de la absorción del medio de manera
onda vibratoria en la cuerda. que tras recorrer 54 m en 0,15 s su amplitud ha
disminuido un 70 %.
b. Calcula la frecuencia de los armónicos 3, 7 y 20.
a. Escribe la ecuación de onda y calcula la
c. Si colocamos el origen de coordenadas en amplitud de onda y el valor de la fluctuación
uno de los extremos de la cuerda, indica las de presión en t = 6,0003 s en un punto situado
coordenadas de los nodos correspondientes a 15 m del foco emisor.
al 5.° armónico.
b. Calcula la distancia del foco en la cual
d. Si reducimos la longitud de la cuerda a 2/3
de su longitud, ¿cuáles serían las frecuencias la onda ha reducido su amplitud a 1 % del
de los tres primeros armónicos?
valor inicial.

EVALUACIÓN

Reflexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo en equipo Prohibida su reproducción

• Trabajo personal

¿Cómo ha sido mi actitud ¿He cumplido ¿Qué aprendí en esta ¿He compartido con mis ¿He respetado las opiniones
frente al trabajo? mis tareas? unidad?
compañeros y compañeras? de los demás?

• Escribe la opinión de tu familia. • Pide a tu profesor o profesora
sugerencias para mejorar y escríbelas.
125

Proyecto ESTUDIO DEL LANZAMIENTO HORIZONTAL

Prohibida su reproducción elegiMOS http://goo.gl/jAnrzd

Alguna vez te has preguntado cómo poder determinar experimentalmente la ecua-
ción que rige el movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente.
Uno de los movimientos analizados en el presente libro es el movimiento parabólico y
un caso particular de éste movimiento es el lanzamiento horizontal.
En este proyecto investigarás cómo determinar la ecuación que describe el movimien-
to de un cuerpo lanzado horizontalmente, así como las gráficas de éste movimiento.

PlanifiCAMOS

Materiales:
• Rampa de madera o tubo

de plástico cortado a la mi-
tad en forma de canal
• Cinta métrica
• Cronómetro
• Papel carbón
• Esfera metálica

http://goo.gl/lwo1MU

126

desarrollAMOS

1. Organiza las actividades que debes desarrollar para medir las magnitudes que apa-
recen en la tabla.

Altura, H (m) Distancias, X(m) Tiempo, t (s) Valor más probable (t )̅

H1 H1

H1 H1

H1 H1

2. Comprueba la posible relación entre las variables seleccionadas Prohibida su reproducción
3. Realiza los gráficos necesarios
4. Analiza si puedes realizar un análisis por regresión lineal
5. Realiza un análisis de todo el trabajo y preséntalo en un informe escrito

127

Un alto en el camino

1. En la superficie de un planeta de radio c.Laenergíapotencialgravitatoriadeunapartí-
cula debida a la presencia de las otras tres.
R= 1m,2/5s2.RCTalalcualace: leración de la gravedad es
14,7 a. 0 N/kg; b. 3,2 ⋅ 10-11 N; c. -8,9 ⋅ 10-11 J

a. La relación entre las masas del planeta y de 6 Umbriel, satélite de Urano, describe una órbi-
ta circular de 2,67 ∙ 108 m de radio alrededor
la Tierra. a. 2,34 del planeta con un período de revolución de
3,58 × 105 s. Calcula: a. la masa de Urano; b. el
período de revolución de otro de sus satélites,
b. La altura desde la que debe caer un objeto Oberón, cuyo radio orbital es de 5,86 ∙ 108 m.
en dicho planeta para que llegue a su super
ficie con la misma velocidad con que llega- 7. Con la ayuda de un programa para realizar grá-
ría a la superficie terrestre cuando cae desde ficas construye las que representan la variación
275 m. de la gravedad con la altura partiendo de g0
(gravedad en la superficie de un planeta) en los
b. 183,3 m casos siguientes:

2. Un satélite de telecomunicaciones de 1500 kg de a. La Tierra

masa describe una órbita circular alrededor de (g0 = 9,8; RT = 6 370 000 m)
b. Marte
la Tierra a una altura de 500 km sobre su superfi-
cie. Calcula: (g0 = 3,8; RM = 3 380 000 m)

a. La velocidad orbital. 8. Con un programa de simulación de movimientos
(del tipo Interactive Physics 2000) genera el movi-
b. El período de revolución. miento de un satélite en torno a la Tierra. (Toma los
datos de algún problema de esta unidad).
c. La energía mecánica de traslación.
9. Demuestra que la fuerza elástica de un mue-
d. La aceleración centrípeta. lle es conservativa y deduce la expresión de la
energía potencial elástica.
Soluciones: a. 7,6 ∙ 103 m/s; b. 5,7 ∙ 103 s;
c. −4,35 ∙ 1010 J; d. 8,4 m/s2 10. Busca en Internet representaciones gráficas de
líneas de fuerza y superficies equipotenciales en
3. Calcula: el caso de dos o tres masas diferentes. Con los
dibujos encontrados prepara una presentación
a. el potencial gravitatorio creado por una mediante un programa informático adecuado.
masa puntual M = 2 kg a una distancia de
1 m y a una distancia de 40 cm; 11. Mediante algún programa adecuado para rea-
lizar gráficas representa gráficamente la varia-
b. el trabajo que realiza el campo gravitatorio ción del potencial gravitatorio a lo largo del eje
para trasladar una segunda masa m = 500 g des- de abscisas en los siguientes casos:
de el primer punto hasta el segundo.
a. Una masa de 1011 kg situada en (0,0).
a. -1,3 ⋅ 10-10 J/kg, -3,3 ⋅ 10-10 J/kg; b. 1,0 ⋅ 10-10 J
b. Una masa de 1011 kg situada en (0,0) y otra de
Prohibida su reproducción 4. Calcula el campo y el potencial gravitatorios 2 · 1011 kg en (10,0).
que una esfera de 500 m de radio y 6 000 kg
de masa crea en un punto situado a 300 m de c. Una masa de 1011 kg situada en (0,0), una de
su superficie. 2 · 1011 kg en (10,0) y una tercera de 3 · 1011 kg
en (50,0).
6,3 ⋅ 10-13 N/kg; -5,0 ⋅ 10-10 J/kg
Las coordenadas se expresan en metros.
5. Cuatro partículas iguales de 1 kg de masa están
situadas en los vértices de un cuadrado de 2 m
de lado. Determina:

a. El campo gravitatorio en el centro del cuadrado.

b. El módulo de la fuerza gravitatoria que experi-
menta cada partícula debido a la presencia
de las otras tres.

128

12. La ecuación de una onda estacionaria en el SI 18. Un tren se desplaza con una velocidad de 60 km/h
y su silbato suena con una frecuencia de 1000 Hz.
es y = 2 cos ≠ x cos (5≠ t). Calcula la frecuencia percibida por un observador
6 en reposo junto a la vía si: a. el tren se aproxima a él;

Calcula: b. el tren se aleja de él. a. 1051,7 Hz; b. 953,2 Hz

a. la amplitud, la longitud de onda y la velocidad 19. Calcula la tensión en una cuerda de piano de 2 m
de propagación de las ondas que interfieren de longitud y masa por unidad de longitud igual a
para producir la onda estacionaria;
0,005 kg×m−1, sabiendo que la cuerda tiene una
b. la posición de los nodos y la distancia entre un
nodo y un vientre consecutivos; c. la velocidad frecuencia fundamental de 65 Hz. 338 N
instantánea de vibración de una partícula en
x = 6 m y la velocidad máxima. 20. Las longitudes de onda de la luz roja y la luz ver-

a. 1 m; 12 m; 30 m ⋅ s-1; b. 3 (2 n + 1) m; 3 m; de son, respectivamente, 6,2 ∙ 10-7 m y 5,4 ∙ 10-7m,
c. 10 π sen (5 π t ); 10 π m⋅ s-1 y la velocidad en el aire de ambas es 3 ∙ 108m∙s-1.
Calcula a qué velocidad debe circular un vehí-

culo para que al conductor le parezca verde la

13. Una cuerda de 1,2 m de longitud está sujeta por luz roja de un semáforo. 4,46 ⋅ 107 m ⋅ s-1
un extremo. Al pulsarla, se produce una onda es-
tacionaria en la que se advierten cuatro vientres, 21. Con un dispositivo capaz de registrar sonidos (telé-
siendo la frecuencia de la vibración de 120 Hz. fono móvil, MP3-grabador, etc.). capta algunos so-
Calcula: nidos de la vida cotidiana que permitan apreciar
el efecto Doppler (p. ej., la sirena de una ambulan-
a. la longitud de onda; cia). Haz que los escuchen tus compañeros/as y
amigos/as y pídeles que te digan si la fuente sono-
b. la frecuencia fundamental. ra se está alejando o acercando al observador.

14. La amplitud de una onda esférica disminuye en 22. Si consideramos que la velocidad del sonido en
un factor 3 al avanzar, desde un cierto punto A, el aire es de 340 m/s, calcula las longitudes de
5 m en la dirección radial. onda correspondientes a las frecuencias inferior
y superior del umbral de audición.
— ¿Cuál es la distancia entre dicho punto A y el
foco de la onda? 17 m; 0,017 m

2,5 m 23. La ecuación de una onda transversal viene

15. Calcula la velocidad del sonido en el aire a la dada por la expresión y = 0,1 sen 2 ≠ 2t −x ,
temperatura de 10 °C. en unidades SI. Determina: a. la frecuencia, la1,5

338,2 m × s -1 longitud de onda y la velocidad de fase; b. los

16. Vemos un relámpago y, transcurridos 5 s, oímos puntos que están en fase y en oposición de fase
el trueno.
en un instante determinado con el punto x = 2 m.

— Si suponemos infinita la velocidad de la luz a 24. Representa, con la ayuda de un programa para
dibujar gráficas, la función de una onda armóni-
través del aire y que la velocidad del sonido ca unidimensional de λ = 2π y T = π, en unida-
es 340 m ∙ s -1, calcula a qué distancia está des SI, es decir la función:
la tormenta. y (x, t ) = A sen (x - 2t )

Sol.: 1700 m Procede a representar cinco gráficas de la fun- Prohibida su reproducción
ción en los instantes: 0 s; 0,2 s; 0,4 s; 0,6 s y 0,8s.
17. Si sabemos que la velocidad de propagación

del sonido por el aire es 340 m ∙ s-1 y a través del
agua es 1435 m ∙ s-1, calcula la longitud de onda
de un sonido de 5 Hz según se propague por el

aire o el agua. λaire = 68 m; λagua = 287 m

129

4 Electromagnetismo

Prohibida su reproducción contenidOS: 3. Síntesis electromagnética
3.1. Ecuaciones de Maxwell
1. Inducción de la corriente eléctrica 4. Naturaleza de la luz
1.1. Experiencias de Faraday 4.1. Ondas electromagnéticas
1.2. Flujo magnético 4.2. Propagación rectilínea de la luz
1.3. Ley de Lenz 4.3. Velocidad de propagación
1.4. Ley de Faraday 5. Fenómenos luminosos
2. Aplicaciones de la ley de inducción 5.1. Reflexión y refracción
5.2. Interferencia y difracción
electromagnética 5.3. Polarización
2.1. Generadores eléctricos
2.2. Autoinducción

130

Noticia: https://goo.gl/trEZNH

En física, el término luz se usa en un sentido más Prohibida su reproducción
amplio e incluye todo el campo de la radia-
ción conocido como espectro electromagnéti-
co, mientras que la expresión luz visible señala
específicamente la radiación en el espectro
visible. La luz, como todas las radiaciones elec-
tromagnéticas, está formada por partículas ele-
mentales desprovistas de masa denominadas
fotones, cuyas propiedades de acuerdo con la
dualidad onda partícula explican las caracterís-
ticas de su comportamiento físico.

https://goo.gl/yOAMjt

En contexto:

Luego de leer todo lo relacionado con la luz,
responde:

1. Explica con tus palabras que es la luz.
2. ¿En qué consiste el fenómeno de la refrac-

ción de la luz?
3. Menciona los hombres de ciencia aportaron

al conocimiento de la luz.

131

UPO IÉN S BLES 1. InDORdA ucción de la corriente eléctrica

y también: Podemos afirmar, sin temor a exagerar, que la inducción
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Michael Faraday electromagnética es un fenómeno de capital importancia
en la sociedad actual. Las centrales eléctricas producen
Nació en Surrey (Inglaterra) el por inducción electromagnética la electricidad que llega
22 de septiembre de 1791. Mu- a nuestros hogares; los generadores y motores eléctricos,
rió en Hampton Court (Inglate- los transformadores… funcionan gracias a la inducción de
rra) el 25 de agosto de 1867. corriente eléctrica. ¿Puedes imaginar un día cualquiera sin
estos inventos?
Faraday trató, como otros in-
vestigadores de su época, de

producir una corriente eléctri- 1.1. Experiencias de Faraday
ca a partir de campos mag-

néticos. Durante diez años no La experiencia de Oersted demostró que una corriente
obtuvo ningún éxito, ya que en eléctrica crea a su alrededor un campo magnético. Desde
sus experimentos utilizaba ima- ese momento muchos científicos intentaron obtener el fe-
nes y bobinas en posiciones

estáticas. Sin embargo, su te- nómeno inverso, esto es, producir (o inducir) una corriente
nacidad le permitió demostrar eléctrica a partir de un campo magnético.
que la inducción de corriente

eléctrica requiere un campo El físico y químico inglés M. Faraday fue el primero en obte-
magnético variable. ner experimentalmente, en 1831, una corriente eléctrica a

Faraday, a causa de su poca partir del magnetismo. Sus experiencias pusieron de relieve
instrucción, prácticamente no la estrecha relación entre los campos eléctrico y magnético.
sabía matemáticas. De hecho,

es el único gran físico del que Primera experiencia: movimiento de un imán en el interior de una bobina
se puede decir que descono-

cía por completo el cálculo Material: una bobina de hilo conductor, un imán y un galvanómetro.
diferencial, carencia que com-
pensó con una enorme habili- Procedimiento:
dad para trazar gráficos.
Conectamos los extremos de la bobina a un galvanómetro para po-
Faraday llevó un diario, sin in- der medir la corriente inducida al introducir y extraer el imán.

terrupción desde 1820 a 1862,

en el que describió sus expe-

rimentos. Este diario, de 3 236 20 15 10 0 10 15 20 15 10 0 10 15 20 15 10 0 10 15
páginas y varios miles de dibu- mA mA mA
20
20
20

jos, es una de las obras clave

de la historia de la física.

Resultados:

a. Si acercamos el imán a la bobina, aparece una corriente inducida
durante el movimiento del imán.

b. El sentido de la corriente inducida en la bobina se invierte si aleja-
mos el imán.

c. Con la bobina y el imán fijos no observamos corriente indu-
cida alguna.

Prohibida su reproducción Se obtienen los mismos resultados si mantenemos fijo el imán y move-
mos la bobina.

En esta experiencia, la intensidad de la corriente inducida depende
de la velocidad con la que movamos el imán (o la bobina), de la
intensidad del campo magnético del imán y del número de espiras
de la bobina.

https://goo.gl/CJsF2I Faraday interpretó que para inducir una corriente eléctrica en un cir-
cuito es necesario variar el número de líneas de inducción magnética
que lo atraviesan.

132

Existen diferentes maneras de obtener una corriente indUPOuci- IÉN: DORA NTA QUE:
da a partir de un campo magnético variable. Faraday rea-EN GR
lizó otra experiencia en la que se induce una corriente sin Y TAMB
tener que alterar las posiciones relativas del circuito y de la
fuente de campo magnético. TIC
CALCULA
Primera experiencia: movimiento de un imán en el interior de una bobina TEN EN CUE
yTetnamenbiécnu:enta que:
Material: una barra de hierro, dos bobinas, una batería, un galvanó-
metro y un interruptor. Inductor: Agente que crea el
campo magnético variable
Procedimiento: (un imán en movimiento, un
Se enrollan las dos bobinas alrededor de la barra de hierro. La primera circuito eléctrico de intensidad
bobina se conecta a la batería con un interruptor K. La segunda bobi- variable…). Si se trata de un cir-
na se conecta a un galvanómetro para medir la corriente inducida al cuito, también recibe el nom-
cerrar y abrir el interruptor K. bre de circuito primario.

Circuito inducido: Circuito don-
de aparece la corriente indu-
cida. También se le denomina
circuito secundario.

UPO IÉN S BLES DORA

y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

20 15 10 0 10 15 20 15 10 0 10 15 20 15 10 0 10 15 En la primera experiencia de
mA mA mA Faraday, podemos, sin modi-
ficar ningún resultado, susti-
tuir el imán por una espira (o
solenoide) conectada a una
batería. Al mover la espira o
variar su intensidad de corrien-
te, creamos una campo mag-
nético variable e inducimos
una corriente eléctrica en el
circuito inducido.
Resultados: Actividades
Movimiento I
a. Al conectar el interruptor se induce una corriente eléctrica en la 20inducida
segunda bobina. Las corrientes en las dos bobinas circulan en sen- 20
tidos contrarios.20 II

b. Al desconectar el interruptor se induce de nuevo una corriente G
eléctrica en la segunda bobina. Ahora la corriente inducida tiene
sentido opuesto a la del caso anterior. -
+
c. Se induce corriente en la segunda bobina mientras aumenta o dis- I
minuye la intensidad de corriente en la primera bobina, pero no
mientras se mantiene constante. Esto demuestra que la inducción
de corriente eléctrica en un circuito es debida a campos magnéti-
cos variables.

Las dos experiencias descritas nos permiten comprender el
fenómeno de la inducción electromagnética.

La inducción electromagnética consiste en la aparición de una corriente eléctrica
en un circuito cuando varía el número de líneas de inducción magnética que lo
atraviesan.

1. Explica en qué consiste el fenómeno de la in- 4. Al introducir un imán en una bobina se indu- Prohibida su reproducción
ducción electromagnética. ce en ésta una corriente eléctrica. ¿Por qué la
intensidad de la corriente inducida es mayor
2. ¿Qué es necesario para inducir una corriente al aumentar la velocidad de desplazamiento
eléctrica en un circuito? del imán?

3. ¿Es necesario mover una espira para inducir en 5. Describe diferentes maneras de variar el campo
ella una corriente eléctrica? magnético en las cercanías de un circuito forma-
do por una espira conectada a un galvanómetro.

133

Líneas de Fuerza de campos.- Este concepto fue ideado por Michael Faraday (1791-1867),
como recurso para observar campos eléctricos o magnéticos. Estas líneas en general son
curvas imaginarias graficadas de tal manera que su dirección en cada punto (dirección de
su tangente) coincida con la dirección del campo en dicho punto. La definición matemáti-
ca-analítica la construyó Karl Friederich Gauss (1777-1855), por medio del teorema llamado
“Teorema de Gauss”, en donde expresa matemáticamente una propiedad importante de
los campos electrostáticos. Este teorema, forma parte de las Ecuaciones de Maxwell. Las
ecuaciones de Maxwell las reproducimos tan solo a modo ilustrativo, en el apartado 3.1,
pág. 147.

1.2. Flujo magnético

Faraday explicó de forma cualitativa el fenó-
meno de la inducción electromagnética. La ley
matemática que explica este proceso físico, a
la que se da el nombre de ley de Faraday, se
expresa en función de una magnitud llamada
flujo magnético.
Ejemplo 1 Lineas de fuerza de los campos de Faraday.
https://goo.gl/oZFxCx
El flujo magnético, Φ, a través de una superficie es una medida del número de líneas
de inducción que atraviesan dicha superficie.

Cálculo del flujo magnético

Campo uniforme y superficie plana Campo variable y superficie cualquiera

Definimos el vector →S como un vector perpendicular iDnifviniditiemsiomsalalessud→pS,edrfeicime aSneerna pequeños elementos
a la superficie S y de módulo igual al valor de esta que en cada uno se
superficie.
puedan considerar la superficie plana y el campo
El flujo magnético es igual al producto escalar:
Φ = B→ ⋅ →S = B S cos α α = ángulo entre →B y→S magnético uniforme. Se define el vector superficie

smdimSóadplueelrops:edd→nSΦ.dEmicl =fululajB→or a la superficie infinitesimal y de
⋅adt→rSa.vés de una superficie infinite-

S′ El flujo total a través
de la superficie S se
 obtiene sumando 
αB todas las contribu- dS dS
α  ciones.

S B

S

Φ = ⌠ dΦ S
⌡S
La unidad de flujo magnético en
Φ = ⌠  ⋅  el SI es el weber (Wb) y su relación
⌡S B dS con el tesla es: 1 T = 1 Wb/m2.

Calculemos el flujo magnético a tra-  El flujo magnético total a través de
la bobina es la suma de los flujos a
vés de una bobina con 200 espiras Sα = 60° través de cada una de las espiras:
de 40 cm2 de superficie cuyo eje for- Φ = N B ⋅ S = N B S cos α
ma un ángulo de 60° con un campo B Sustituimos los valores numéricos del
magnético uniforme de 2 ∙ 10-3 T. enunciado:

Φ = 200 ⋅ 2 ⋅ 10-3 T ⋅ 4 ⋅ 10-3 m2 ⋅ cos 60°

Φ = 8 ⋅ 10-4 Wb

134

UPO IÉN S BLES DORA

y también:
1.3. Ley de Lenz EN GR
Y TAMB
De las experiencias de Faraday se deduce que la inducción
de corriente eléctrica en un circuito es debida a la variación TIC
de flujo magnético a través del circuito. RECORTA
CALCULA
Hemos visto que el flujo de un campo magnético uniforme
a través de un circuito plano viene dado por: La ley de Lenz afirma que el
sentido de la corriente induci-
Φ = B S cos α da en una espira al acercarle
el polo norte de un imán es tal
Podemos inducir una corriente en el circuito variando cada que se opone al incremento
uno de los tres factores que intervienen en la expresión ma- de flujo magnético.
temática del flujo: el campo magnético, B; la orientación Observa que el mismo resul-
del circuito respecto al campo, ángulo α; y el área de la tado se obtiene argumen-
superficie que limita el circuito, S, que puede ser modificada tando en términos de fuer-
deformando el circuito. zas magnéticas:
El sentido de la corriente indu-
La regla para determinar el sentido de la corriente induci- cida es tal que la espira equi-
da fue establecida por Lenz en 1834 y se conoce como ley vale a un imán con su polo
de Lenz: norte enfrentado al polo nor-
te del imán inductor. De este
El sentido de la corriente inducida es tal que se opone modo la corriente inducida
a la causa que la produce. dificulta el avance del imán,
es decir, se opone a la causa
Al acercar el polo norte de un imán a una espira incremen- que la origina.
tamos el flujo magnético a través de la espira. Según la ley
de Lenz, el sentido de la corriente inducida en la espira se I inducida
opone a este incremento. Como vemos en la figura, el sen-
tido es tal que el campo magnético creado por la corriente SN NS
inducida tiende a compensar el incremento de flujo magné-
tico. Con un razonamiento similar, podemos deducir que el G
sentido de la corriente inducida se invierte al alejar el imán.
I
B→ inducido
La ley de Lenz es una conse-
G NS cuencia del principio de con-
I inducida →B permanente servación de la energía. Si el
sentido de la corriente inducida
fuese favorecer la causa que la
produce, se generaría energía
ilimitada de la nada. En el ejem-
plo anterior, si el sentido de la
corriente inducida fuese el con-
trario, la espira equivaldría a un
imán con el polo sur enfrentado
al polo norte del imán inductor.
Eso aceleraría de forma conti-
nua al imán inductor, aumen-
tando ilimitadamente su ener-
gía cinética. Esto, simplemente,
no es posible.

9. Determina el sentido de la corriente inducida en la bobina S2 al cerrar y al abrir el circuito S1 con el Actividades
interruptor K.
Prohibida su reproducción
S1 S2

G

K-
+

135

UPO IÉN: DORA NTA QUE: 1.4. Ley de Faraday
EN GR
Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que:

Sabemos que un campo magnético variable induce una

Fuerza electromotriz o fem de corriente eléctrica en un circuito. Este fenómeno, conocido
un generador, ε: es el trabajo como inducción electromagnética, puede ser formulado
que realiza el generador por mediante una ley matemática, la ley de Faraday.
unidad de carga eléctrica o,
lo que es lo mismo, la energía Para enunciar esta ley es preciso cuantificar la corriente in-
que proporciona a la unidad ducida mediante una magnitud física. Esta magnitud podría
de carga. ser la intensidad de corriente, pero depende de la resisten-
Su unidad en el SI es el voltio (V). cia del material que forma el circuito. Por ello, es preferible

1 T = 1 A N utilizar la fuerza electromotriz inducida o fem inducida.
⋅m

En un circuito de corriente con- Experimentalmente observamos que la fuerza electromotriz
tinua, la fuente de fem es ge-
neralmente una batería o pila, inducida es proporcional a la variación de flujo magnéti-
que convierte energía química co, ∆Φ, e inversamente proporcional al tiempo invertido
en trabajo sobre las cargas. en dicha variación, ∆t. La fuerza electromotriz inducida
media vale:

UPO IÉN S BLES DORA ε =− ΔΦm
Δt
y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA
El signo negativo nos indica que la fuerza electromotriz in-
Un campo magnético variable
induce una corriente eléctrica ducida se opone a la variación del flujo magnético (ley
en un circuito. Por tanto, a lo de Lenz).

largo del circuito inducido exis- Para un intervalo de tiempo infinitesimal la fuerza electromo-
te un campo eléctrico igual a triz instantánea viene dada por la ley de Faraday:
la fuerza eléctrica por unidad

de carga. La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual
La fuerza electromotriz inducida

es el trabajo que realiza el ge- a la velocidad con que varía el flujo magnético a través

nerador por unidad de carga de dicho circuito, cambiada de signo.
eléctrica, por lo que se relacio-

na con el campo eléctrico de ε = − dΦ
esta manera: dt

ε = ⌠ E ⋅ dl Podemos calcular la intensidad de la corriente inducida
⌡C en un circuito si conocemos su resistencia eléctrica, R, y la
fuerza electromotriz inducida, ε. Para ello aplicamos la ley
La integral se extiende a lo largo de Ohm:

de todo el circuito inducido.

 E  
dl dl E

  Ι = ε =− 1 ⋅ dΦ
E   dl R R dt
E dl E
dl

Ι

Prohibida su reproducción Como vemos, el valor de la intensidad R NS
inducida depende, no sólo de la varia- ε G
ción de flujo magnético, sino también
de la resistencia eléctrica del circuito. B

136

Ejemplo 1 Una bobina con 200 espiras de 25 cm2 está situa- a. Calculamos el flujo magnético a través de la
da en un campo magnético uniforme de 0,3 T bobina en el instante inicial:
con su eje paralelo a las líneas de inducción.
Calculemos: Φ0 = N B S cos 0° = 200 ⋅ 0,3 T ⋅ 2,5 ⋅ 10-3 m2

a. La fem inducida en la bobina cuando se gira Φ0 = 0,15 Wb
hasta colocar su eje perpendicular a las lí- En la posición final, →B y S→son perpendiculares; por
neas de inducción en un tiempo de 0,5 s. tanto, Φ = 0. La variación de flujo magnético es:

b. La intensidad de la corriente inducida si la bo- ∆ Φ = Φ - Φ0 = -0,15 Wb
La fem inducida viene dada por la ley de Faraday:
bina tiene una resistencia de 30 Ω.

— Datos:   ΔΦ =−0 ,15 Wb
S B ε =− Δt 0, 5 s =0, 3 V
90°

 b. Calculamos la intensidad de corriente inducida:
S
I Ι = ε = 0, 3 V = 0, 01 A
B R 30

A partir de la regla de la mano derecha pode-

B = 0,3 T N = 200 espiras mos ver que el sentido de la corriente inducida
S = 2,5 ⋅ 10-3 m2
Posición inicial to = 0 s Posición final t = 0,5 s es tal que el campo magnético que crea tiene la

dirección del eje y se opone a la disminución de

flujo magnético.

Ejemplo 2 Un campo magnético uniforme varía en el tiempo El flujo magnético a través de la espira varía en el
según la expresión B = 0,4 t - 0,3 (en unidades SI). tiempo según la expresión:
Calculemos la fem inducida en una espira de 50 cm2
si el plano de la espira es perpendicular a las líneas Φ (t ) = B S cos 0° = (0,4 t - 0,3) ⋅ 5 ⋅ 10-3
de inducción. Φ (t ) = (2t - 1,5) ⋅ 10-3 Wb
— Datos:
La fem inducida en la espira es:
I inducida
ε =− dΦ = −2 ⋅1 0−3 V = −2 mV
B = 0,4 t - 0,3 dt

S = 50 cm2 El signo negativo indica que el sentido de la corrien-
te inducida es tal que se opone al aumento de flujo
magnético a través de la espira.

10. ¿Qué es una fem? ¿Por qué un campo magné- 12. Un campo magnético uniforme de 0,4 T Actividades
tico variable induce una fem? atraviesa perpendicularmente una espi-
ra circular de 5 cm de radio y 15 Ω de re- Prohibida su reproducción
11. Una bobina situada en un campo magnético sistencia. Calcula la fem y la intensidad
uniforme, con su eje paralelo a las líneas de de corriente inducidas si la espira gira un
inducción, gira hasta colocar su eje perpendi- cuarto de vuelta alrededor de su diámetro
cular a dichas líneas. Explica cómo varía la in- en 0,1 s.
tensidad de la corriente inducida en la bobina
en los siguientes casos: 13. Calcula la fem inducida en una bobina con 200
espiras de 30 cm2 cuyo eje es paralelo a un cam-
a. Doblamos la velocidad de giro de la bobina. po magnético uniforme que varía en el tiempo
según la ley B = (2t + 0,8) ∙ 10-3 (en unidades
b. Reducimos la intensidad del campo magnéti- del SI).
co a la mitad.

c. Efectuamos los cambios anteriores simultá-
neamente.

137

Experiencia de Henry

El físico norteamericano Joseph Henry descubrió, de forma simultánea e independiente de
Faraday, que un campo magnético variable induce una fuerza electromotriz. En particular,
Henry observó que, si un conductor se mueve perpendicularmente a un campo magnético,
aparece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor.

El interés de la experiencia de Henry reside en que la aparición de la fuerza electromotriz
inducida puede ser explicada de forma clara por la ley de Lorentz, es decir, por las fuerzas
que el campo magnético ejerce sobre las cargas del conductor.

UPO IÉN S BLES ConDORsAideremos un conductor ++M
+
y también: rectilíneo de longitud l que se
EN GR desplaza, como indica la figu-
Y TAMB
ra, de izquierda a derecha con
TIC uunnacavemlopcoidmaadg→vnéctoicnostB→anutenifeonr-
RECORTA me y dirigido hacia el interior
CALCULA
del papel.
Según la ley de Lorentz, la fuer- v

za que actúa sobre una carga lr 
B
eléctrica q que se mueve con E--
una velocidad v→ en una región - N
donde existen un campo eléc-
trico E→ y un campo magnético Como consecuencia de la ley de Lorentz, los electrones del
B→ viene dada por:

 = q  + v  interior del conductor, que son arrastrados a través de éste
F (E × B)

En el caso que sólo exista con una velocidad →v, experimentan una fuerza magnética
campo magnético, la fuerza
F→ viene dada por F→ = q(v→ × B→ ) de valor Fm = evB que los desplaza hacia el extremo inferior.
y su sentido se determina por
la regla de la mano derecha La acumulación de carga negativa en el extremo inferior
(en el caso de una carga po-
N y de carga positiva en el extremo superior M genera un
campo eléctrico E→ a lo largo del conductor.
sitiva).

 La separación de carga cesará cuando la fuerza magnéti-
F
pcaorFlam que actúa sobre los electrones quede compensada
v fuerza eléctrica Fe que se opone a tal separación:

 Fm = Fe ⇒ e v B = e E
B E = vB

Este campo eléctrico E genera entre los dos extremos del
conductor una diferencia de potencial o fuerza electromo-

triz dada por:

ε = El ε = vBl

Ι La fuerza electromotriz se mantiene sólo mientras el conduc-
tor se mueve dentro del campo magnético. Ahora, si aco-
++ plamos los extremos del conductor a un circuito, la fuerza
+ electromotriz crea una corriente de cierta intensidad con
sentido contrario al movimiento de los electrones, y aparece
Prohibida su reproducción  v una fuerza F que se opone al avance del conductor.
F

l Por tanto, para generar la corriente eléctrica necesitamos
un agente externo que ejerza una fuerza sobre el conductor
--  venciendo la fuerza de resistencia F. En otras palabras, ne-
- B cesitamos realizar un trabajo mecánico sobre el conductor
para obtener la energía eléctrica de la corriente inducida.
 
F = Ι (l × B)

138

UPO IÉN S BLES DORA

y también:
Ejemplo 3
EN GR
Y TAMB
TIC
RECORTA
CALCULA
La barra metálica de la B = 0,5 T M
figura está dentro de un
campo magnético unifor- Joseph Henry
Nació en Nueva York el 17
me de 0,5 T dirigido ha- v = 0,4 m/s de diciembre de 1797. Murió
cia el interior del papel. l = 0,2 m en Washington D. C. el 13 de
La barra mide 20 cm y se mayo de 1878.
desplaza sobre dos hilos →E Las vidas de Michael Faraday
conductores con una ve- y Joseph Henry tienen muchos
elementos en común. Los dos
locidad de 40 cm/s. Deter- N provenían de familias muy hu-
minemos: mildes y se vieron obligados a
trabajar desde muy jóvenes,
a. La fuerza magnética que actúa sobre un electrón de la barra. por lo que no pudieron se-
guir sus estudios. Faraday fue
b. El campo eléctrico en el interior de la barra. aprendiz de encuadernador
y Henry, aprendiz de relojero,
c. La fem inducida. ambos a los trece años.
Como Faraday, Henry se in-
(Carga del electrón: -e = -1,6 ∙ 10-19 C) teresó por el experimento de
Oersted y, en 1830, descubrió
a. La fuerza magnética que actúa sobre los electrones de la barra el principio de la inducción
viene dada por la ley de Lorentz. Está dirigida hacia el extremo electromagnética, pero dudó
tanto tiempo en publicar su tra-
inferior N. m = 03,.22 V∙ 10 bajo que el descubrimiento se
s m concedió a Faraday.
⏐Fm⏐= e v B = (1,6 ∙E10=-1v9 CB) ∙=0, 4 ⋅ 0, 5 T -20 N En 1831, Henry inventó el telé-
grafo y, en 1835, perfeccionó
b. El campo eléctrico en el interior de la barra crece hasta que las fuer- su invento para que pudiera
zas eléctrica y magnética que actúan sobre los electrones se igualan: usarse a muy largas distancias.
⏐Fe⏐= ⏐Fm⏐. En este instante el valor del campo eléctrico es: Con todo, no patentó su inven-
to. Fue Morse quien, ayuda-
E =v B =0, 4 m ⋅ 0, 5 T = 0, 2 V do personalmente por Henry,
sm puso en práctica el primer te-
légrafo, en 1839, entre Baltimo-
c. Calculamos la fem inducida: re y Washington, después de
conseguir ayuda financiera
ε =v B l =El =0, 2 V ⋅ 0, 2 m = 4 ⋅ 10−2 V del Congreso de los Estados
m Unidos. Y Morse, aunque fue
sólo un aficionado a los expe-
También podemos obtener esta fem inducida aplicando directamente rimentos eléctricos, se llevó la
fama —y los beneficios— como
la ley de Faraday. En un cierto intervalo de tiempo ∆t, la barra MN barre inventor del telégrafo.
una superficie ∆S = l v∆t, con lo que el incremento de flujo magnético Henry destacó también como
a través del circuito es ∆Φ = B ∆S = B l v∆t. Por tanto, el valor absoluto un excelente administrador.
de ε es: Ejerció cargos de máxima
ΔΦ B l v Δt responsabilidad en varias insti-
ε = Δt = Δt =B l v tuciones científicas estadouni-
denses. Fomentó el desarrollo
14. En la experiencia de Henry, ¿por qué el conductor debe despla- Actividades de nuevas ciencias y alentó
zarse perpendicularmente al campo magnético? el intercambio y la comunica-
ción de ideas científicas a es- Prohibida su reproducción
15. ¿Qué fem se induce en un conductor cuando lo desplazamos pa- cala mundial.
ralelamente a las líneas de inducción de un campo magnético
uniforme y estacionario? Justifica tu respuesta.

16. Una barra metálica de 25 cm se mueve con una velocidad de
6 m/s perpendicularmente a un campo magnético uniforme de
0,3 T. Calcula: a. la fuerza magnética que actúa sobre un electrón
de la barra; b. el campo eléctrico en el interior de la barra; c. la
diferencia de potencial entre los extremos de la barra.

139

2. Aplicaciones de la inducción electromagnética

Antes del descubrimiento de la inducción electromagnética, la única fuente de energía
eléctrica era la batería, como la pila de Volta o la de Daniell, que producían electricidad
cara y en pequeñas cantidades. Gracias a la inducción electromagnética, una gran canti-
dad de trabajo mecánico puede transformarse de forma económica en energía eléctrica.

2.1. Generadores eléctricos

La energía eléctrica es fundamental en nuestras vidas por su capacidad de transformación
en otras formas de energía: mecánica, térmica, radiante… Para producir esta forma de ener-
gía usamos los generadores eléctricos.

Un generador eléctrico es cualquier dispositivo que transforma una determinada forma
de energía en energía eléctrica.

Si el generador produce una corriente eléctrica continua, suele recibir el nombre de dinamo
y, si la corriente es alterna, se le llama alternador.

El alternador

Consiste en una espira plana que se hace girar mecánicamente a una velocidad angular
ω constante en un campo magnético uniforme B→ creado por imanes permanentes.

http://g oo.gl/SA0H7e S

Alternador AA
B EE
S

N

Prohibida su reproducción Los extremos de la espira están conectados a dos anillos (A) que giran solidariamente con
la espira. Un circuito externo puede acoplarse a los anillos mediante dos escobillas (E). A
medida que la espira gira en el campo magnético, el flujo magnético que la atraviesa varía
y, por tanto, se induce una fem en la espira que hace circular una corriente eléctrica en el
circuito exterior.

Si la espira ctioesnθe,udnonádreeaθSe, es leflluájongmualogqnuéeticfoormquaeelal vaetcratovriesusapeernficciead→Sacoinnstealncteamdepotiemmapgo-
neés:tiΦco=B→B. S

140

S

La espira gira con una velo- B
cidad angular constante ω.
Por tanto, el ángulo θ pue- θ
de escribirse como θ = ωt.
Entonces, el flujo magnético
que atraviesa la espira en
cada instante de tiempo es:

Φ = BS cos ωt

Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es: UPO IÉN S BLES DORA

y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

ε = - dΦ =BS ω se n (ω t) =ε0 s en (ωt ) En los alternadores de uso co-
dt
mún, en vez de una espira se
ε0 = BS ω es la fuerza electromotriz inducida máxima. usa una bobina de N espiras
para aumentar en un factor
La fuerza electromotriz inducida (fem) varía en el tiempo de N el flujo magnético y la fuer-
za electromotriz inducida.

forma sinusoidal. Es decir, es periódica y cambia alternati-

vamente de polaridad. La frecuencia de la fuerza electro-

motriz coincide con la del movimiento de la espira y viene
ω
dada por f = 2π . El electroimán
Consiste en un solenoide en
Ejemplo 4 Un alternador está formado por una bobina plana que gira con una cuyo interior se ha introducido
frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0,3 T. Si una barra de hierro dulce.
la bobina consta de 30 espiras de 40 cm2, calculemos: El campo magnético genera-
do por el electroimán es más
a. La fem inducida en función del tiempo. intenso que el de la bobina,
debido a que el hierro dulce
b. La fem inducida máxima. se imanta y crea su propio
campo magnético, que se
— Datos: f = 50 Hz B = 0,3 T N = 30 S = 4 ⋅ 10-3 m2 suma al del solenoide.
Si desconectamos la corrien-
a. Calculamos en primer lugar la velocidad angular de la bobina: te, desaparece el campo
magnético, ya que el hierro es
ω = 2 π f = 2 π ⋅ 50 Hz = 100 π rad⋅s-1 un imán temporal.
El flujo magnético que atraviesa la bobina es: Esto hace que el electroimán
sea muy útil en diversas apli-
Φ = NB S cos ω t caciones, como timbres, fre-
Φ = 30 ⋅ 0,3 T ⋅ 4 ⋅ 10-3 m2 ⋅ cos (100 π t ) = 3,6 ⋅ 10-2 cos (100 π t ) Wb nos electromagnéticos, grúas
magnéticas, alternadores, di-
La fem inducida en función del tiempo es: namos, motores eléctricos…

ε =− dΦ =N B S ω sen (ωt ) Ι +- Prohibida su reproducción
dt
ε = 3,6 π sen (100 π t ) V

b. La fem inducida máxima viene dada por la amplitud de la fun-
ción senoidal:

ε0 = 3,6 π V = 11,3 V

141

2.2. Autoinducción

Si la intensidad de corriente que recorre un circuito eléctrico varía, el campo magnético
creado por la corriente y el flujo magnético a través del propio circuito experimentarán tam-
bién variaciones. Así, existirá una fuerza electromotriz inducida por la variación de la intensi-
dad del propio circuito. Este fenómeno se denomina autoinducción.

Consideremos el circuito de la figura, formado por una batería, una bobina y un interruptor.

Variaciones de intensidad en el cierre y apertura de un circuito Al cerrar el circuito, la intensidad de corriente tar-
da un cierto tiempo en alcanzar su valor estacio-

nario I y el flujo magnético a través de la bobina

varía en este tiempo desde cero hasta su valor

máximo. En consecuencia, se induce una fuerza

Régimen estacionario Apertura del t electromotriz (llamada fuerza contraelectromo-
circuito
Cierre del triz) que se opone al aumento instantáneo de la
circuito
intensidad en el circuito. Se dice que existe una

UPO IÉN S BLES contDOrRaA corriente durante el inicio del paso de corriente por
el circuito.
y también:
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CALCULA

Según la ley de Biot y Savart, De igual modo, al abrir el circuito, la intensidad tarda un
el campo magnético B crea- cierto tiempo en anularse. En este caso, la fuerza electromo-
do por una corriente eléctri- triz autoinducida se opone a que la intensidad caiga a cero
ca es proporcional a la inten- de forma instantánea. Se dice que existe una extracorriente.
sidad de corriente Ι: B ∝ I. Esta fuerza electromotriz puede ser de varios miles de voltios
y, en ocasiones, produce una chispa en el interruptor.
Así, el flujo magnético Φ de-
bido a una corriente eléctri- Inductancia
ca a través del propio circui-
to también será proporcional La fuerza electromotriz autoinducida en un circuito depen-
a la intensidad de corriente de de la variación del flujo magnético. Este flujo magnético
Ι: Φ ∝ I es proporcional a la intensidad I que recorre el circuito:

Φ = LI

La constante de proporcionalidad, L, recibe el nombre de coeficiente de autoinducción o
inductancia y depende de las características físicas del circuito eléctrico: del tipo de mate-

rial que lo constituye y de su forma geométrica.

Una variación de intensidad en el circuito, ∆I, causa una variación del flujo magnético,
∆Φ = L∆I. Si esta variación tiene lugar en un tiempo ∆t, la fem inducida es, según la ley
de Faraday:
dΦ dΙ
ε= − dt ; ε= −L dt

Prohibida su reproducción Esta expresión indica que el coeficiente de autoinducción representa la fem autoinducida

en un circuito cuando la intensidad de corriente varía un amperio en un segundo.

La unidad de inductancia en el SI es el henrio, H. Un henrio es la autoinducción de un circui-
to en el cual una variación de intensidad de un amperio por segundo induce una fuerza
electromotriz de un voltio.

V ⋅s
1H =1

A

142

A partir de la definición del coeficiente de autoinducción, L, podemos calcularlo en el caso
de una bobina de longitud l formada por N espiras de superficie S.

El campo magnético en el interior de la bobina es uniforme 
y paralelo a su eje. Su módulo es: B

B = µ0 N ∙I I
l

El flujo magnético a través de la bobina es:

Φ= NBS = µ0 N2 ∙ SI UPO IÉN S BLES DORA
l
y también:
EN GR
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TIC
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Comparando este resultado con la definición de L, Φ = LI La permeabilidad magnéti-
vemos que el coeficiente de autoinducción de la bobina es: ca del vacío en unidades del
SI es:

N2 µ0 =4π ⋅10 −7 T ⋅m
l A
=µ 0
L S

Ejemplo 5 Una bobina de 20 cm de longitud está formada por 100 espiras de 60 cm2 de superficie. Determinemos
la fem inducida en la bobina cuando la intensidad varía de 10 A a 4 A en 1 ms.

— Datos: l = 20 cm = 0,2 m N = 100 S = 6 ⋅ 10-3 m2

Ι0 = 10 A Ι = 4 A ∆t = 1 ⋅ 10-3 s

Calculamos el coeficiente de autoinducción de la bobina:

L =µ0 N2 S =4 π ⋅ 10−7 T ⋅m ⋅ (100 )2 6 ⋅ 10 −3 m2 = 3,8 ⋅ 10 −4 H
l A 0, 2 m

La variación de intensidad es ∆Ι = Ι - Ι0 = 4 A - 10 A = -6 A, y tiene lugar en un intervalo de 10-3s. Por tanto,
la fem inducida en la bobina es:

ε = −L Ι =−3 ,8 ⋅10 −4 H⋅ − 6A = +2, 3 V
t 10 −3 s

El signo positivo indica que la fem se opone a la disminución de la intensidad.

17. ¿Es la autoinducción un proceso físico distinto de la inducción electromagnética? Actividades Prohibida su reproducción

18. Explica qué se entiende por fuerza contraelectromotriz de un motor.

19. Razona por qué el coeficiente de autoinducción de una bobina de 50 espiras es mucho mayor que el
de una sola espira

20. Calcula la fem inducida en una bobina de 20 cm de longitud formada por 200 espiras de 40 cm2 de
superficie cuando la intensidad que circula por ella decrece de 4 A a 0 A en 2 ms.

143

Inducción mutua

La segunda experiencia de Faraday, Ι1 Φ2
que describimos al inicio de la unidad,
consta de dos bobinas muy próximas
con sus ejes alineados.

Si por la primera bobina circula una

intensidad de corriente eIs1,taelcocrarimenptoe 20 15 10 0 10 15
magnético creado por mA

origina un flujo magnético F2 a través 20
de la segunda bobina.

dElaflubjoombianagneéstipcrooFp2oarctriaovnéasl de la segun-
a la intensi-

dad de corriente de la primera bobina:

Φ2 = M12 Ι1

De igual manera, una intensidad de corriente MI22e1 Ιn2 la segunda bobina genera un flujo mag-
nético F1 a través de la primera bobina: Φ1 =

Puede demostrarse que las constantes de proporcionalidad en ambos casos son iguales:

cMia12 m=uMtu21a. ,Eystadecpoennstdaentdeerelacsibceaeral cntoemrísbticreads efíscicoaesfidceienlotes de inducción mutua o inductan-
circuitos y de su posición y orien-

tación relativas.

eEcvanilóprcniaroidmcneisóeeinnrcotdeu. enelsnfildcuiajaod,ΦuΙn22qaeunveaersliesaepcgiróounndddueocelcaeiricnntueeitlnosseyidglaaudnadpdoaecrciciorciróruineitdnoetoeurΙign1eiannfaeeamlpsruinimvdeeuzrcucidnircaaufeeitnomépisnrtoedv.uoLcacidavaaurneiaan-

La aplicación más importante del fenómeno de inducción mutua consiste en la variación
de la tensión y de la intensidad de una corriente alterna sin pérdidas apreciables de ener-
gía, mediante el uso de transformadores.

Transformadores Ι1
V1
Un transformador consta de dos bobinas de hilo con-
ductor enrolladas alrededor de un núcleo común de
hierro dulce y aisladas entre sí. La bobina por la que
se hace circular la corriente alterna de entrada reci-
be el nombre de circuito primario y la otra bobina, por
la que circula la corriente transformada de salida, se
llama circuito secundario.
Prohibida su reproducción Ι2
Primario

Secundario
La corriente alterna que circula por el circuito prima- V2
rio produce un flujo magnético variable que origina,
por inducción mutua, una fem inducida alterna en el
circuito secundario.

La fuerza electromotriz inducida en la bobina secundaria tiene la misma frecuencia que la
corriente alterna de entrada.

144

Sin embargo, en función de las características de las bobUPOinas IÉN: DORA NTA QUE:
empleadas, la tensión y la intensidad máximas de la corriente EN GR
en los dos circuitos pueden ser distintas. Y TAMB

TIC
CALCULA
TEN EN CUE
Ten en cuenta que:

Supongamos que el flujo a través de cada espira es Φ. Si la Corrientes de Foucault
bobina primaria ltdeieeyndeeenNtFr1aaedrasapdiyraaylsa, yptoelarn:bsioóbninVa2 secundaria tiene
Nda2,dlaast,esnesgióúnn Vla1 de salida vienen Cuando un trozo de metal es
atravesado por un flujo mag-
V 1= −N 1 dΦ V2= −N 2 dΦ nético variable se inducen en
dt dt él pequeñas corrientes eléctri-
cas que reciben el nombre de
De estas ecuaciones resulta la siguiente relación corrientes de Foucault. Estas
corrientes se ponen de ma-
entre tensiones: V2 N2 nifiesto por el calentamiento
V1 N1 del metal (efecto Joule).
=
En el núcleo de hierro de un
Por otro lado, las pérdidas de energía en el proceso de trans- transformador aparecen co-
rrientes de Foucault. En este
formación son tan pequeñas que pueden despreciarse. En caso estas corrientes son per-
judiciales: suponen una pér-
tal caso, la potencia de la corriente de entrada es igual a la dida de energía y, además,
obligan a disipar el calor que
epsottaenecciuaadceiónlaocboterrineenmteods elasraelliadcai:óPn1 = Ptr2a;nVs1foI1rm=aVc2ióI2n. :De generan. Para reducir estas
de corrientes se construye el nú-
cleo del transformador me-
V2 = I1 = N2 diante delgadas láminas de
V1 I2 N1 hierro unidas.

Observa que la tensión y la intensidad de la corriente de sa- En otras circunstancias, las co-
rrientes de Foucault son muy
lida son inversamente proporcionales. Un transformador con útiles. El funcionamiento de
los hornos de inducción se
mayor número de espiras en el circuito primario que en el basa en la existencia de estas
corrientes y también los frenos
secundario disminuye la tensión de la corriente alterna, pero de emergencia de algunos
camiones pesados utilizan es-
aumenta su intensidad. En cambio, un transformador con ma- tas corrientes inducidas.

yor número de espiras en el circuito secundario aumenta la

tensión, pero disminuye la intensidad.

El circuito primario de un transformador tiene 600 De la relación de transformación obtenemos la ten-
vueltas y el circuito secundario tiene 30 vueltas. Si sión y la intensidad máximas de salida:
por el circuito primario circula una corriente alterna

con una tensión máxima de 310 V y una intensidad
máxima de 0,14 A, calculemos los valores máximos
de la tensión y la intensidad de la corriente de sa-
lida.
— Datos: N1 = 600; V1 = 310 V; Ι1 = 0,14 A; N2 = 30
Ejemplo 6 V2 =V 1 N 2 =310 V 30 = 15, 5 V
N 1 600
Prohibida su reproducción
Ι2 = Ι 1 N 1 =0,14 A 600 = 2, 8 A
N 2 30

21. ¿Qué unidades tiene el coeficiente de inducción 24. Las bobinas de un transformador tienen 400 y 50 Actividades
mutua? Razona tu respuesta. vueltas. ¿Qué transformaciones de tensión e inten-
sidad se pueden producir?
22. ¿Podemos utilizar un transformador para variar la
tensión o la intensidad de una corriente continua? 25.Por el circuito primario de un transformador cir-
Justifica tu respuesta. cula una corriente alterna de tensión máxima
igual a 3000 V e intensidad máxima igual a
23. Un transformador tiene 100 vueltas en su circuito 2 mA. Calcula la tensión y la intensidad máxi-
primario y 500 vueltas en el secundario. Razona mas de salida si el circuito primario tiene 900
cómo modifica la tensión y la intensidad de la co- espiras y el secundario 30 espiras.
rriente de entrada.

145

3. Síntesis electromagnética

Las investigaciones de Oersted, Ampère y Faraday pusieron http://goo.gl/UlWDOw
de manifiesto la estrecha relación existente entre campos
eléctricos y magnéticos. Oersted y Ampère demostraron
que una corriente eléctrica crea un campo magnético, y
Faraday demostró que un campo magnético variable indu-
ce una corriente eléctrica en un circuito.

Hacia 1860, el desarrollo matemático de estas ideas con- J. C. Maxwell.
dujo al físico escocés J. C. Maxwell a una descripción unifi-
cada de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos: la
teoría electromagnética.

El trabajo de Maxwell supuso un paso muy importante en la comprensión de los fenómenos
electromagnéticos. Maxwell predijo que un campo eléctrico variable genera un campo
magnético y, a su vez, un campo magnético variable genera un campo eléctrico. Postuló
que las variaciones de los campos eléctricos y magnéticos se propagan por el espacio en
forma de radiaciones electromagnéticas, a una velocidad dada por:

1
C=

µε
00

UPO IÉN S BLES EstaDOvRAelocidad es justamente la velocidad de la luz. Maxwell
no creyó que esto fuera una coincidencia y, en 1865, sugirió
y también:
EN GR
Y TAMB

TIC
RECORTA
CALCULA

Las ondas electromagnéti- que la luz es una onda electromagnética. Además, afirmó
cas son transversales y con- que la luz visible era sólo una pequeña parte de todo un
sisten en la propagación, espectro de radiaciones electromagnéticas.
sin necesidad de soporte
material alguno, de un cam- Las predicciones teóricas de Maxwell fueron confirmadas
po eléctrico y de un campo en 1887 por el físico alemán H. Hertz, quien demostró experi-
magnético perpendicula- mentalmente que circuitos oscilantes emiten ondas electro-
res entre sí y a la dirección magnéticas.
de propagación.

Campo Como vimos en la unidad dedicada a la luz, las ondas elec-
tromagnéticas se caracterizan por la frecuencia de oscila-
eléctrico ción de sus campos eléctrico y magnético. Cuanto más alta
E es esta frecuencia, más energética es la radiación electro-
magnética.
Prohibida su reproducción B Dirección
de propagación El espectro electromagnético está formado por la secuen-
Campo cia de todas las ondas electromagnéticas conocidas, orde-
magnético nadas según su longitud de onda o su frecuencia.

146

3.1. Ecuaciones de Maxwell

Maxwell resumió todas las leyes de la electricidad y el magnetismo en sólo cuatro ecuaciones
que, en su honor, son conocidas como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones relacionan los
campos eléctrico y magnético con sus fuentes: las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas y las
variaciones de los propios campos.

La forma matemática de las ecuaciones de Maxwell es compleja y su deducción no forma parte
de los objetivos de este curso. Por ello las reproducimos tan sólo a modo ilustrativo.

Primera ecuación de Maxwell

Es el teorema de Gauss para el campo eléctrico: el flujo del cam- ⌠ E ⋅d S = Q
po eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcio- ⌡S ε0
nal a la carga eléctrica interior. +Q
Su evidencia experimental es la ley de Coulomb. S

Segunda ecuación de Maxwell

El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero ⌠ B ⋅ d S =0
(el número de líneas de inducción que entran es igual al número ⌡S
de líneas que salen). SN
La evidencia experimental de esta ley está en el hecho de que S
las líneas de inducción magnética no convergen en ningún punto
ni divergen de punto alguno. Esto es, no existen monopolos mag-
néticos, los polos magnéticos (norte y sur) siempre se presentan
en parejas.

Tercera ecuación de Maxwell

Es la ley de Faraday de la inducción electromagnética: un campo ⌠ E ⋅ d l =− ddt ⌠ B ⋅ dS   
magnético variable genera un campo eléctrico a su alrededor. ⌡C ⌡S E E E
La evidencia experimental de esta ecuación es el fenómeno de  B
la inducción electromagnética. E
 
S
E  E
E

Cuarta ecuación de Maxwell

Es el teorema de Ampère generalizado por Maxwell: un campo ⌠ B ⋅ d l =µ0 Ι +µ0 ε0 d ⌠ E ⋅d S I
magnético puede ser producido por una corriente eléctrica o por ⌡C dt ⌡S B
un campo eléctrico variable.  B
La evidencia experimental de esta ley está en las experiencias B 
realizadas por Oersted, Ampère y otros científicos. B B
B

26. Explica brevemente en qué consistió la unifica- 28. Di cuáles son las fuentes o causas de los campos Actividades Prohibida su reproducción
ción electromagnética de Maxwell. Di en qué eléctricos y magnéticos.
hechos experimentales se basan las ecuaciones
de Maxwell. 29. ¿Puede ser diferente de cero el flujo magnético
que atraviesa una superficie cerrada? ¿Puede
27. Describe qué perturbaciones produce en el es- serlo el flujo eléctrico? Justifica tus respuestas.
pacio una carga eléctrica en movimiento.

147