Andrew pytel Dinamica tercera edicion

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Ingeniería mecánica: dinámica, © D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. www.elsolucionario.net
Tercera edición de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.
Andrew Pytel y Jaan Kiusalaas Corporativo Santa Fe
Av. Santa Fe núm. 505, piso 12
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Latinoamérica: C.P. 05349, México, D.F.
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de información a excepción de lo permitido
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en español: del Derecho de Autor, sin el consentimiento
Pilar Hernández Santamarina por escrito de la Editorial.

Coordinador de manufactura: Traducido del libro
Rafael Pérez González Engineering Mechanics Dynamics, Third Edition.
Andrew Pytel, Jaan Kiusalaas
Editores: Publicado en inglés por Cengage Learning
Ivonne Arciniega Torres © 2010
Timoteo Eliosa García ISBN: 978-0-495-29561-7

Diseño de portada: Datos para catalogación bibliográfica:
Studio 2.0 Pytel, Andrew y Jaan Kiusalaas
Ingeniería mecánica: dinámica, Tercera edición
Imagen de portada: ISBN-13: 978-607-481-871-0
© fotomak/Shutterstock ISBN-10: 607-481-871-1

Composición tipográfica: Visite nuestro sitio en:
Rogelio Raymundo Reyna Reynoso http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México
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Para Jean, Leslie, Lori, John, Nicholas
y

Para Judy, Nicholas, Jennifer, Timothy

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11.1 Introducción 1 4 www.elsolucionario.net
11.2 Derivadas de funciones vectoriales 3
11.3 Posición, velocidad y aceleración de una partícula
11.4 Mecánica newtoniana 5

12.1 Introducción 15 56
12.2 Cinemática 16
12.3 Cinética: método fuerza-masa-aceleración 27
12.4 Dinámica del movimiento rectilíneo 29
12.5 Movimiento curvilíneo 44
*12.6 Análisis del movimiento por el método de áreas

13.1 Introducción 69 70
13.2 Cinemática: coordenadas de trayectoria (normal-tangencial)
13.3 Cinemática: coordenadas polares y cilíndricas 82
13.4 Cinética: método de fuerza-masa-aceleración 95

14.1 Introducción 117
14.2 Trabajo de una fuerza 118
14.3 Principio de trabajo y energía cinética 122
14.4 Fuerzas conservativas y la conservación de la energía mecánica 133
14.5 Potencia y eÀciencia 144
14.6 Principio de impulso y cantidad de movimiento 150
14.7 Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares 158
*14.8 Movimiento espacial bajo una fuerza gravitacional 168

*Indica apartados opcionales

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15.1 Introducción 185 218
15.2 Cinemática de movimiento relativo 186
15.3 Cinemática de movimiento restringido 192
15.4 Cinética: método de fuerza-masa-aceleración 198
15.5 Principios de trabajo-energía 214
15.6 Principio de impulso y cantidad de movimiento 217
15.7 Principio de impulso y cantidad de movimiento angular
15.8 Impacto plástico 234
15.9 Movimiento impulsivo 236
15.10 Impacto elástico 248
*15.11 Flujo de masa 257

16.1 Introducción 273 287 www.elsolucionario.net
16.2 Movimiento angular en un plano 275
16.3 Rotación respecto a un eje Àjo 278
16.4 Movimiento relativo de dos puntos en un cuerpo rígido
16.5 Método de velocidad relativa 288
16.6 Centro instantáneo para las velocidades 301
16.7 Método de la aceleración relativa 312
16.8 Derivadas absolutas y relativas de vectores 326
16.9 Movimiento relativo a un marco de referencia en

rotación 329
*16.10 Método de las restricciones 344

17.1 Introducción 357
17.2 Momento de inercia de masa; cuerpos compuestos 358
17.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido 368
17.4 Ecuaciones de movimiento 371
17.5 Método de fuerza-masa-aceleración: movimiento

en un plano 373
*17.6 Ecuaciones diferenciales de movimiento 398

18.1 Introducción 415
Parte A. Método de trabajo-energía 416
18.2 Trabajo y potencia de un par 416
18.3 Energía cinética de un cuerpo rígido 418
18.4 Principio de trabajo-energía y conservación de la

energía mecánica 429
Parte B. Método de impulso-cantidad de movimiento 442
18.5 Diagramas de la cantidad de movimiento 442
18.6 Principios de impulso-cantidad de movimiento 444
18.7 Impacto del cuerpo rígido 459

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*19.1 Introducción 475 491
*19.2 Cinemática 476 527
*19.3 Método de impulso-cantidad de movimiento
*19.4 Método de trabajo-energía 497
*19.5 Método de fuerza-masa-aceleración 511
*19.6 Movimiento de un cuerpo con simetría axial

20.1 Introducción 547 587
20.2 Vibraciones libres de partículas 548
20.3 Vibraciones forzadas de partículas 565
20.4 Vibraciones de un cuerpo rígido 578
*20.5 Métodos basados en la conservación de la energía

E.1 Introducción 601 www.elsolucionario.net
E.2 Métodos numéricos 601
E.3 Aplicación del MATLAB 602
E.4 Interpolación lineal 605

F.1 Introducción 607
F.2 Resumen del momento de inercia de masa 607
F.3 Momentos de inercia de las placas delgadas 608
F.4 Momentos de inercia de masa por integración 609
F.5 Productos de inercia de masa: teoremas de los ejes paralelos 616
F.6 Productos de inercia por integración; placas delgadas 617
F.7 Tensor de inercia; momento de inercia respecto a un eje arbitrario 618
F.8 Momentos y ejes principales de inercia 619

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La estática y la dinámica son disciplinas básicas para muchas ramas de la ingenie-
ría y se conocen como mecánica para ingeniería. La mecánica es, a su vez, básica
en muchos campos de ingeniería, tales como la aeroespacial, la civil y mecánica.
Además la mecánica desempeña un papel fundamental en diversas áreas como la
medicina y la biología. Utilizar los principios de la estática y dinámica en un am-
plio rango de aplicaciones exige razonamiento y práctica más que memorización.
Aunque los principios de estática y dinámica son relativamente pocos, sólo pueden
dominarse verdaderamente con el estudio y análisis de los problemas. Por tanto,
todos los libros de texto modernos, incluyendo los nuestros, tienen un gran número
de problemas para que sean resueltos por el estudiante. El aprendizaje de un método de
ingeniería para la solución de un problema es una de las lecciones más valiosas del
estudio de la estática y dinámica.

En ésta nuestra tercera edición de Estática y Dinámica hemos realizado un gran
esfuerzo para mejorar nuestra presentación sin comprometer los siguientes princi-
pios que conforman la base de nuestras ediciones anteriores.

• Cada problema de ejemplo se ha elegido de manera cuidadosa para ayudar a los
estudiantes a dominar las complejidades del análisis del problema de ingeniería.

• La selección de problemas de tarea está balanceada entre los problemas del
“libro de texto” que muestran los principios de mecánica de una forma sencilla
y los problemas prácticos, que son aplicables a un diseño de ingeniería.

• El número de problemas que usan las unidades del sistema inglés y el número
de los que usan unidades SI son aproximadamente iguales.

• En todo el libro se pone énfasis en la importancia de dibujar correctamente los
diagramas de cuerpo libre.

• Cuando sea aplicable, se compara el número de ecuaciones independientes con
el número de incógnitas antes de que se escriban las ecuaciones que gobiernan el
problema.

• Se han integrado discretamente dentro del texto métodos numéricos para la so-
lución de problemas, haciendo hincapié en las aplicaciones de la computadora,
no en la programación.

• Se presentan problemas de repaso al Ànal de cada capítulo para motivar a los
estudiantes a sintetizar los temas que se tratan en el capítulo.

Tanto Estática como Dinámica contienen varios temas, que son opcionales y se
han indicado con un asterisco (*). Éstos pueden omitirse sin arriesgar la presenta-
ción de otros. También se utiliza un asterisco para indicar los problemas que requie-
ren un razonamiento avanzado. Los apartados, problemas de ejemplo y problemas
asociados con los métodos numéricos son precedidos por un icono que representa
un disco compacto.

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En esta tercera edición de Dinámica hemos hecho lo que consideramos una serie
de importantes mejoras con base en la retroalimentación recibida de los estudiantes
y profesores que han utilizado las ediciones anteriores. Además hemos incorporado
muchas de las sugerencias proporcionadas por los revisores de la segunda edición.

Se han reorganizado o reescrito varios apartados para hacerlos de más fácil
comprensión para el alumno; por ejemplo, se ha simpliÀcado el análisis del método
de trabajo-energía del capítulo 18. También se ha reorganizado el capítulo 20 (Vi-
braciones) para proporcionar una presentación más concisa del material. Además, se
han agregado las secciones tituladas “Repaso de ecuaciones” al Ànal de cada capítu-
lo como una ayuda para la solución de problemas.

El número total de problemas de ejemplo y problemas es el mismo que en la
edición anterior; sin embargo, el uso de dos colores mejora la lectura general del
texto y las ilustraciones. En comparación con la edición anterior, aproximadamente
un tercio de los problemas son nuevos o se han modiÀcado.

Lo novedoso en esta edición son los problemas de ejemplo que requieren solu-
ciones numéricas que se han resuelto con MATLAB©, un software matemático que
es conocido para muchos estudiantes de ingeniería.

Complemento (En inglés) Study Guide to Accompany Pytel and Kiusalaas Engi-
neering Mechanics, Dynamics, Third Edition, J.L. Pytel y A. Pytel, 2009. Los objeti-
vos de esta guía de estudio son de dos tipos. En primer lugar, se incluyen autoevalua-
ciones para ayudar al estudiante a centrarse en las características más sobresalientes
de la lectura asignada. En segundo lugar, la guía de estudio emplea los problemas
“guiados” que le dan al estudiante la oportunidad de trabajar con problemas repre-
sentativos, antes de intentar resolver el problema del libro.

Reconocimientos Agradecemos a los siguientes revisores por sus valiosas sugeren-
cias:

Hamid R. Hamidzadeh, Tennessee State University
Aiman S. Kuzmar, The Pennsylvania State University—Fayette,

The Eberly Campus
Gary K. Matthew, University of Florida
Noel Perkins, University of Michigan
Corrado Poli, University of Massachusetts, Amherst

ANDREW PYTEL
JAAN KIUSALAAS

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La dinámica clásica estudia el movimiento de los cuerpos empleando los principios Sir Isaac Newton (1643-1727), en
establecidos por Newton y Euler.* La organización de este libro se apoya en las su tratado Philosophiae Naturalis
subdivisiones de la dinámica clásica que se muestran en la Àgura 11.1. Principia Mathematica, estableció
la base de la dinámica con sus tres
leyes del movimiento y la teoría
de la gravitación universal, que se
analizan en este capítulo. (Time &
Life Pictures/Getty Images)

*A Sir Isaac Newton se le acredita la aportación del fundamento de la mecánica clásica realizada en 1687
con la publicación de los Principia. Sin embargo, las leyes del movimiento, como actualmente se utilizan,
fueron desarrolladas casi 60 años después por Leonhard Euler y sus contemporáneos. En particular, las
leyes para el movimiento de cuerpos Ànitos son atribuibles a Euler.

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Dinámica clásica Partículas Cinemática Movimiento absoluto
Cinética Movimiento relativo
Cuerpos Método de fuerza-masa-aceleración
rígidos Método de trabajo-energía
Método de impulso-cantidad de movimiento

La primera parte de este libro trata de la dinámica de partículas. Una partícula www.elsolucionario.net
es una masa puntual; tiene una masa, pero carece de tamaño. La partícula es un mo-
delo aproximado de un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables en comparación
con todas las otras medidas que aparecen en la formulación del problema. Por ejem-
plo, al estudiar el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, se permite considerarla
como una partícula porque su diámetro es mucho más pequeño que las dimensiones
de su órbita.

La segunda parte de este libro está dedicada principalmente a la dinámica de
cuerpos rígidos. Se dice que un cuerpo es rígido si la distancia entre dos puntos
materiales cualesquiera del mismo se mantiene constante, es decir, si éste no se
deforma. Debido a que todos los cuerpos experimentan una deformación cuando
soportan cargas, entonces no existe uno verdaderamente rígido. Sin embargo, en
muchas aplicaciones la deformación es tan pequeña (respecto a las dimensiones del
cuerpo) que la idealización de cuerpo rígido es una buena aproximación.

Como se observa en la Àgura 11.1, las principales ramas de la dinámica son la
cinemática y la cinética. La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento,
no se ocupa de sus causas. Por otro lado, la cinética trata con las relaciones entre
las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el movimiento resultante. La cinemática
no sólo es un tema importante por sí mismo, también es un prerrequisito para la
cinética. Por tanto, el estudio de la dinámica siempre empieza con los fundamentos
de la cinemática.

La cinemática puede dividirse en dos partes, como se muestra en la Àgura 11.1:
movimiento absoluto y movimiento relativo. El término movimiento absoluto se uti-
liza cuando el movimiento se describe respecto a un marco de referencia Àjo (siste-
ma de coordenadas). Por otro lado, el relativo describe el movimiento respecto a un
sistema de coordenadas móvil.

La Àgura 11.1 también lista los tres principales métodos de análisis cinético. El
método de fuerza-masa-aceleración (FMA) es una aplicación directa de las leyes del
movimiento de Newton-Euler, que relacionan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
con su masa y aceleración. Esas relaciones, llamadas ecuaciones del movimiento,
deben integrarse dos veces para obtener la velocidad y la posición como funciones
del tiempo.

Los métodos de trabajo-energía e impulso-cantidad de movimiento son formas
integrales de las leyes del movimiento de Newton-Euler (las ecuaciones de movi-
miento se integran respecto a la posición o al tiempo). En ambos métodos, la integra-

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ción elimina la aceleración. Estos métodos pueden ser muy eÀcaces en la solución
de problemas concernientes a las relaciones velocidad-posición o velocidad-tiempo.

El propósito de este capítulo es revisar los conceptos básicos de la mecánica
newtoniana: desplazamiento, velocidad, aceleración, leyes de Newton y unidades
de medición.

Para estudiar dinámica es un prerrequisito conocer el cálculo vectorial. Aquí se ana-
lizan las derivadas de vectores; la integración se presenta en el libro conforme sea
necesario.

El vector A es una función vectorial de un parámetro escalar u si la magnitud
y dirección de A dependen de u. (En dinámica, con frecuencia el tiempo es dicho
parámetro escalar.) Esta relación funcional se denota con A(u). Si la variable escalar
cambia del valor u a (u ϩ ¨u), entonces el vector A cambiará de A(u) a A(u ϩ ¨u).
Por tanto, el cambio en el vector A se puede escribir como

A = A(u + u) − A(u) (11.1) ΔA www.elsolucionario.net
A(u + Δu)
Como se ve en la Àgura 11.2, ¨A se debe a cambios en la magnitud y la dirección
del vector A. A(u)

La derivada de A respecto al escalar u se deÀne como O

dA A A(u + u) − A(u) (11.2)
= lim = lim
du u→0 u u→0 u

suponiendo que el límite existe. Esta deÀnición es semejante a la derivada de la
función escalar y(u), que está dada por

dy = lim y = lim y(u + u) − y(u) (11.3)
du u→0 u u→0 u

Al trabajar con una función vectorial, la magnitud de la derivada |dA/
du| no debe confundirse con la derivada de la magnitud d|A|/du. En general, esas dos
derivadas no serán iguales. Por ejemplo, si la magnitud de un vector A es constante,
entonces d|A|/du ϭ 0. Sin embargo, |dA/du| no será igual que cero a menos que la
dirección de A también sea constante.

Las siguientes identidades útiles pueden obtenerse de las deÀniciones de deri-
vadas (se supone que A y B son funciones vectoriales del escalar u y m también es
un escalar):

d (m A) = dA + dm A (11.4)
m (11.5)
du du du (11.6)
(11.7)
d(A + B) = dA + dB
du du du

d(A · B) = A · dB + dA · B
du du du

d(A × B) = A × dB + dA × B
du du du

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Considere el movimiento de una partícula sobre una curva suave como la que se
muestra en la Àgura 11.3. La posición de la partícula al tiempo t se especiÀca por
el vector de posición r(t), que es el vector que va desde un origen Àjo O hasta la
partícula. Sean A la ubicación de ésta al tiempo t y B al tiempo t ϩ ¨t, donde ¨t es
un intervalo de tiempo Ànito. El correspondiente cambio en el vector de posición de
la partícula,

r = r(t + t) − r(t) (11.8)

es el vector de desplazamiento de la partícula.

E A Δr B Trayectoria www.elsolucionario.net
s(t) s(t + Δt) Δs r(t) r(t + Δt)

O

Como se indica en la Àgura 11.3, la posición de la partícula al tiempo t se puede
especiÀcar por la coordenada de trayectoria s(t), que es la longitud de la curva entre
un punto Àjo E y la partícula. El cambio en la longitud de la trayectoria durante el
intervalo de tiempo ¨t es

s = s(t + t) − s(t) (11.9)

El cambio en la longitud de la curva no debe confundirse con la dis-
tancia que ha viajado la partícula. Las dos son iguales sólo si la dirección del mo-
vimiento no cambia durante el intervalo de tiempo. Si la dirección del movimiento
cambia durante ¨t, entonces la distancia que ha recorrido será mayor que ¨s.

La velocidad de la partícula al tiempo t se deÀne por

r (11.10)
v(t) = lim = r˙(t)

t→0 t

donde el punto sobre la variable denota su derivación respecto al tiempo. La veloci-
dad es un vector porque es la derivada de la función vectorial r(t).

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En la Àgura 11.3 se observa que ¨r será tangente a la curva en A cuando ¨t q 0.
En consecuencia, el vector de velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula.

De la Àgura 11.3 también se deduce que ƒ ¨r ƒ q ¨s conforme ¨t q 0. Por tan-
to, la magnitud de la velocidad, que también se conoce como la rapidez de la par-
tícula, es

v(t) = lim | r| s (11.11)
= lim = s˙(t)
t→0 t t→0 t

La dimensión de la velocidad es [longitud/tiempo], así la unidad de velocidad es m/s
o pies/s.

En la Àgura 11.4(a) se muestran los vectores velocidad de la partícula en A (tiem-
po t ) y en B (tiempo t ϩ ¨t ). Observe que ambos vectores son tangentes a la trayec-
toria. El cambio en la velocidad durante el intervalo de tiempo ¨t, que se muestra en
la Àgura 11.4(b), es

v = v(t + t) − v(t) (11.12) www.elsolucionario.net

La aceleración de la partícula al tiempo t se deÀne como

v (11.13)
a(t) = lim = v˙(t) = r¨(t)

t→0 t

La aceleración es un vector de dimensión [longitud/tiempo2]; así su unidad es m/s2
o pies/s2.

En general, el vector aceleración no es tangente a la trayectoria de la
partícula. La dirección de la aceleración coincide con ¨v cuando ¨t q 0, que, como
se observa en la Àgura 11.4(b), no necesariamente está en la misma dirección que v.

Trayectoria v(t +Δt) Δv
v(t)
v(t + Δ t)
B (b)
A
v(t)

(a)

En 1687, Sir Isaac Newton (1642-1727) publicó sus celebradas leyes del movimien-
to en los Principia (Principios matemáticos de la Àlosofía natural). Sin duda, este

*Este apartado, que coincide con lo expuesto en el apartado 1.2 de Estática, se repite aquí por su relevan-
cia en el estudio de la dinámica.

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trabajo se encuentra entre los libros cientíÀcos más prestigiosos que se han publica-
do en todo el mundo. Sin embargo, no debe pensarse que su divulgación estableció
de inmediato la mecánica clásica. La labor de Newton en esta área consistió princi-
palmente en la mecánica celeste y así se limitó al movimiento de partículas. Tuvie-
ron que pasar alrededor de doscientos años para que se desarrollaran la dinámica del
cuerpo rígido, la mecánica de Áuidos y la mecánica de cuerpos deformables. Cada
una de estas áreas requirió nuevos axiomas para tener una forma aplicable.

Sin duda, la obra de Newton es el fundamento de la mecánica clásica o newto-
niana. Sus esfuerzos han inÁuido sobre otras dos ramas de la mecánica que nacieron
al inicio del siglo XX: las mecánicas relativista y cuántica. La mecánica relativista
considera fenómenos que ocurren a escala cósmica (velocidades que se aproximan
a la rapidez de la luz, campos gravitacionales intensos, etc.). Esto elimina dos de
los postulados más objetables de la mecánica newtoniana: la existencia de un mar-
co de referencia Àjo o inercial y la suposición de que el tiempo es una variable
absoluta, “que Áuye” de manera uniforme en todas las partes del universo. (Existe
evidencia de que el propio Newton se preocupaba por esos dos postulados.) La me-
cánica cuántica considera las partículas a escala atómica o subatómica. Elimina
dos conceptos muy apreciados en mecánica clásica: determinismo y continuidad. La
mecánica cuántica es en esencia una teoría probabilística; en lugar de predecir un
evento, muestra la probabilidad de que ocurra un evento. Aún más, de acuerdo con
esta teoría, los eventos suceden en pasos discretos (llamados cuantos) en lugar de
hacerlo de manera continua.

Sin embargo, las mecánicas relativista y cuántica no han invalidado los princi-
pios de la newtoniana. En el análisis del movimiento de cuerpos en la vida diaria,
ambas teorías convergen a las ecuaciones de la mecánica newtoniana. Así las teorías
más esotéricas en realidad refuerzan la validez de las leyes del movimiento introdu-
cidas por Newton.

Si se emplea terminología moderna, las leyes de Newton para el movimiento de las
partículas pueden establecerse como sigue.

Si una partícula está en reposo (o se mueve con velocidad constante), permane-
cerá así (o continuará moviéndose con velocidad constante) a menos que una
fuerza actúe sobre ella.
Una partícula sometida a una fuerza se acelerará en la dirección de ésta. La
magnitud de la aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza e inver-
samente proporcional a la masa de la partícula.
Para toda acción existe una reacción igual y opuesta; es decir, las fuerzas de in-
teracción entre dos partículas son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

No obstante que la primera ley es simplemente un caso especial de la segunda, es
costumbre establecer la primera ley por separado debido a su importancia en el cam-
po de la estática.

Cuando se aplica la segunda ley de Newton, debe prestarse atención al sistema de
coordenadas respecto al que se miden las aceleraciones. Un marco de referencia
inercial (que también se conoce como marco de referencia newtoniano o de Gali-
leo) se deÀne como el sistema de coordenadas rígido en el que las leyes de Newton
son válidas, con un grado aceptable de exactitud, para el movimiento de partículas

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respecto a dicho marco. En la mayoría de las aplicaciones sobre la superÀcie de
la Tierra, un marco inercial puede aproximarse con suÀciente exactitud al Àjar a la
Tierra el sistema de coordenadas. En el estudio de los satélites alrededor de nuestro
planeta, en general es suÀciente con un sistema de coordenadas que se ha Àjado al
Sol. Para un viaje interplanetario, sería necesario utilizar sistemas de coordenadas
asignados a las estrellas Àjas.

Es posible mostrar que también es inercial cualquier marco que se traslade a
velocidad constante respecto a un marco inercial. Es una práctica común omitir la
palabra inercial cuando se hace referencia a marcos para los que es obvio que las
leyes de Newton son aplicables.

A los estándares de medición se les llama unidades. El término dimensión se re- www.elsolucionario.net
Àere al tipo de medición, sin considerar las unidades que se emplean. Por ejemplo,
kilogramo y pie/segundo son unidades, mientras que masa y longitud/tiempo son
dimensiones. A lo largo del libro se utilizan dos estándares de medición: el siste-
ma estándar o inglés (U.S. Customary) y el Sistema SI (de Systéme international
d’unités; Sistema Internacional de Unidades). En el sistema inglés las dimensiones
básicas (fundamentales) son fuerza [F], longitud [L] y tiempo [T]. Las unidades bási-
cas correspondientes son libra (lb), pie (ft) y segundo (s). Las dimensiones básicas en
el SI son masa [M], longitud [L] y tiempo [T], y las unidades básicas son kilogramo
(kg), metro (m) y segundo (s). Todas las demás dimensiones o unidades son combi-
naciones de las cantidades básicas. Por ejemplo, la dimensión de velocidad es [L/T],
la unidad sería pie/s o m/s, y así sucesivamente.

Se llama sistema gravitacional a aquel que cuenta con dimensiones básicas
[FLT] (como el inglés). Si las dimensiones básicas son [MLT] (como en el SI), se
dice que es un sistema absoluto. En cada sistema de medición, las unidades básicas
se deÀnen por medio de fenómenos u objetos físicamente reproducibles. Por ejem-
plo, el segundo se deÀne como la duración de un número de ciclos de radiación
especíÀca en cierto isótopo y el kilogramo se deÀne como la masa de cierto bloque
de metal que se conserva cerca de París, Francia.

Todas las ecuaciones que representan fenómenos físicos deben ser dimensio-
nalmente homogéneas; es decir, cada término de la ecuación debe tener la misma
dimensión. De lo contrario, la ecuación no tendrá sentido físico (digamos, no tiene
signiÀcado sumar una fuerza a una longitud). Es un buen hábito aprender a compro-
bar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones, con lo que es posible revelar
errores que se han cometido durante las manipulaciones algebraicas.

Si una fuerza F actúa sobre una partícula de masa m, la segunda ley de Newton
establece que

F = ma (11.14)

donde a es el vector aceleración de la partícula. Para un sistema gravitacional [FLT],
la homogeneidad dimensional de la ecuación (11.14) requiere que la dimensión de la
masa sea

FT2 (11.15a)
[M] =

L

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En el sistema inglés, la unidad derivada de la masa es el slug. Un slug se deÀne
como la masa que es acelerada a 1 pie/s2 por una fuerza de 1.0 lb. Si en la ecuación
(11.15a) se sustituyen las unidades para las dimensiones, se obtiene para la unidad
de un slug

1.0 slug ϭ 1.0 lb š s2/pie

Para un sistema de unidades absoluto [MLT], la homogeneidad dimensional de
la ecuación (11.14) conduce a la dimensión de la fuerza

ML (11.15b)
[F] = T2

La unidad derivada de fuerza en el SI es un newton (N), que se deÀne como la fuerza
que acelera una masa de 1.0 kg a 1.0 m/s2. De la ecuación (11.15b), se obtiene

1.0 N ϭ 1.0 kg š m/s2

Peso es la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo. Si la aceleración www.elsolucionario.net
gravitacional (aceleración de un cuerpo en caída libre) se denota con g, el peso W de
un cuerpo de masa m está dado por la segunda ley de Newton:

W = mg (11.16)

Observe que la masa es una propiedad constante de un cuerpo, mientras que el peso
es una variable que depende del valor local de g. La gravedad estándar es la ace-
leración gravitacional nominal al nivel del mar y se deÀne como g ϭ 9.80665 m/s2
(32.174 pies/s2). El valor de g varía de 9.78 a 9.84, dependiendo de la latitud y la
proximidad de grandes masas de terreno. En este libro, en todos los cálculos se uti-
liza el valor promedio

g ϭ 9.81 m/s2 (32.2 pies/s2)

Así la masa de un cuerpo que pesa 1.0 lb sobre la Tierra es (1.0 lb)/(32.2 pies/s2) ϭ
1/32.2 slugs. De manera similar, si la masa de un cuerpo es 1.0 kg, entonces su peso
sobre la Tierra es (9.81 m/s2)(1.0 kg) ϭ 9.81 N.

En una época, la libra también se usó como unidad de masa. La libra masa
(lbm) se deÀnió como la masa de un cuerpo que pesa 1.0 lb sobre la superÀcie de la
Tierra. No obstante que la libra masa es una unidad obsoleta, en ocasiones se utiliza,
lo que genera confusión entre masa y peso. En este texto, la libra se emplea exclusi-
vamente como una unidad de fuerza.

Un método conveniente para convertir una medición de un conjunto de unidades
a otro consiste en multiplicar por factores de conversión apropiados. Por ejemplo,
para convertir 240 mi/h a pies/s, se procede como sigue:

240 mi/h ϭ 240 mi ϫ 1.0 h ϫ 5280 pies ϭ 352 pies/s
h 3600 s 1.0 mi

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donde los multiplicadores 1.0 h/3600 s y 5280 pies/1.0 mi son factores de con-
versión. Como 1.0 h ϭ 3600 s y 5280 pies ϭ 1.0 mi, vemos que cada factor de
conversión no tiene dimensiones y tiene magnitud 1. Por tanto, una medición no
cambia cuando se multiplica por factores de conversión, sólo varían sus unidades.
Observe que está permitido eliminar unidades durante la conversión como si fueran
cantidades algebraicas.

Al Ànal de esta obra se listan factores de conversión aplicables en mecánica.

Además de sus múltiples logros, Newton también propuso la ley de la gravitación
universal. Considere dos partículas con masas mA y mB separadas por una distancia R,
como se muestra en la Àgura 11.5. La ley de la gravitación establece que las dos
partículas se atraen entre sí debido a las fuerzas de magnitud F que actúan sobre la
recta que une a las partículas, donde

F = G mA mB (11.17) www.elsolucionario.net
R2

La constante gravitacional universal G es aproximadamente 3.44 × 10Ϫ8 pies3/(slugs
š s2) o 6.67 × 10Ϫ11 m3/(kg š s2). No obstante que esta ley es válida para las partículas,
Newton mostró que también es aplicable a los cuerpos esféricos si sus masas están

distribuidas de manera uniforme. (Newton desarrolló el cálculo cuando obtuvo di-

cho resultado.)

Sean mA ϭ MT (la masa de la Tierra), mB ϭ m (la masa de un cuerpo) y R ϭ RT
(el radio medio de la Tierra), entonces F en la ecuación (11.17) será el peso W del
cuerpo. Al comparar W ϭ G MTm/R2T con W ϭ mg, se encuentra que g ϭ G MT/R2T.
Por supuesto, es posible que se requieran ajustes en el valor de g en algunas aplica-

ciones con el Àn de considerar la variación local de la atracción gravitacional.

R mB
F

mA F

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Convierta 1.5 mi/h a mm/s.

Al utilizar los factores de conversión que se listan al Ànal del libro, se obtiene
1.5 mi/h ϭ 1.5 mi ϫ 1.0 h ϫ 5280 pies ϫ 304.8 mm ϭ 671 mm/s

h 3600 s 1.0 mi 1.0 pies

La aceleración a de una partícula está relacionada con su velocidad v, con su coor-
denada de posición x y con el tiempo t por la ecuación

a = Ax3t + Bvt2 (a)

donde A y B son constantes. La dimensión de la aceleración es longitud por unidad www.elsolucionario.net
de tiempo al cuadrado, es decir, [a] ϭ [L/T 2]. Las dimensiones de las otras variables
son [v] ϭ [L/T], [x] ϭ [L] y [t] ϭ [T]. Deduzca las dimensiones de A y B para que la
ecuación (a) sea homogénea dimensionalmente. Exprese las unidades de A y B tanto
en el SI como en el sistema inglés.

Para que la ecuación (a) sea dimensionalmente correcta, la dimensión de cada tér-
mino en el lado derecho de la ecuación debe ser [L/T 2], igual que la dimensión de a.

Por tanto, la dimensión del primer término en el lado derecho de la ecuación (a) es

[ Ax3t] = [ A][x3][t] = [ A][L3][T ] = L (b)
T2

Al resolver la ecuación (b) para la dimensión de A, se encuentra que

1L 1
[ A] = [L3][T ] T 2 = [L2T 3]

En el SI las unidades de A son mϪ2sϪ3, mientras que en el sistema inglés sus
unidades son piesϪ2sϪ3.

Al efectuar un análisis dimensional similar sobre el segundo término del lado
derecho de la ecuación (a) se obtiene

[Bvt2] = [B][v][t2] = [B] L [T 2] = L (c)
T T2

Cuando se resuelve la ecuación (c) para la dimensión de B, se encuentra

LT 1 1
[B] = T2 L T2 = T3

Las unidades de B son sϪ3 en cualesquiera de los sistemas SI o inglés.

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Encuentre la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre un hombre de 70 kg

cuya altura sobre la superÀcie de la Tierra es igual al radio de ésta. La masa y el radio
de la Tierra son MT ϭ 5.9742 × 1024 kg y RT ϭ 6378 km, respectivamente.

Considere un cuerpo de masa m que se localiza a una distancia 2RT del centro de la
Tierra de masa MT. La ley de la gravitación universal, de la ecuación (11.17), esta-
blece que el cuerpo es atraído hacia la Tierra con la fuerza F dada por

F = G m MT
(2 RT )2

donde G ϭ 6.67 × 10Ϫ11 m3/(kg š s2) es la constante gravitacional universal. Al sus-

tituir los valores para G y los parámetros dados, la fuerza gravitacional de la Tierra

que actúa sobre el hombre de 70 kg es

F = (6.67 × 10−11 ) (70)(5.9742 × 1024 ) = 171.4 N
[2(6378 × 103)]2

d(mA) = m dA + dm A www.elsolucionario.net
du du du

d(A + B) = dA + dB
du du du

d(A · B) = A · dB + dA · B
du du du

d(A × B) = A × dB + dA × B
du du du

Desplazamiento: r = r(t + t) − r(t)
Cambio en la longitud de la trayectoria: s = s(t + t) − s(t)
r = r˙(t) v(t) = s˙(t)
Velocidad: v(t) = lim t
v = v˙(t) = r¨(t)
Aceleración: t →0 t

a(t) = lim

t →0

F = ma

p

W = mg g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2

F = G mA mB
R2

G = 6.67 × 10−11 m3/(kg · s2) = 3.44 × 10−8 pies3/(slugs · s2)

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Una persona pesa 30 lb sobre la Luna, en donde g ϭ 5.32 pies/s2. Determine:
(a) la masa de la persona y (b) su peso sobre la Tierra.

El radio y la longitud de un cilindro de acero son 60 mm y 120 mm, respec-
tivamente. Si la densidad de masa del acero es 7850 kg/m3, determine el peso del
cilindro en libras.

Realice las siguientes conversiones: (a) 100 kN/m2 a lb/pulg2; (b) 30 m/s a
mi/h; (c) 800 slugs a Mg; (d) 20 lb/pie2 a N/m2.

El momento de inercia de cierto cuerpo es I ϭ 20 kg š m2. Exprese I en térmi-
nos de las unidades básicas del sistema inglés.

Cuando un cuerpo rígido de masa m se mueve en un plano, su energía cinética
(Ec) es

Ec = 1 mv2 + 1 mk2ω2
22

donde v es la velocidad de su centro de masa, k es una constante y v es la velocidad
angular del cuerpo en rad/s. Exprese las unidades de Ec y k en términos de las uni-
dades básicas del (a) sistema SI, y (b) sistema inglés.

En cierta aplicación, la aceleración a y la coordenada de posición x de una
partícula están relacionadas por

a = gkx
W

donde g es la aceleración gravitacional, k es una constante y W es el peso de la par-
tícula. Demuestre que esta ecuación es dimensionalmente consistente si la dimen-
sión de k es [F/L].

Cuando una fuerza F actúa sobre un resorte lineal, la elongación x del mismo
está dada por F ϭ kx, donde k es la constante de rigidez del resorte. Determine la
dimensión de k en términos de las dimensiones básicas de un sistema absoluto de
unidades [MLT].

Determine las dimensiones de lo siguiente en términos de las dimensiones
básicas de un sistema gravitacional de unidades [FLT]: (a) mv2; (b) mv, y (c) ma. Las
dimensiones de las variables son [m] ϭ [M], [v] ϭ [L/T] y [a] ϭ [L/T 2].

Un libro de geometría presenta la ecuación de una parábola como y ϭ x2,
donde x y y se miden en pulgadas. ¿Cómo puede esta ecuación ser dimensionalmente
correcta?

El momento de inercia I, de una esfera homogénea, respecto a un diámetro
es I ϭ (2/5)mR2, en donde m y R son la masa y el radio de la esfera, respectivamente.

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Encuentre la dimensión de I en términos de las dimensiones básicas de (a) un siste-
ma gravitacional [FLT ] y (b) uno absoluto [MLT ].

Determine las dimensiones de las constantes A y B en las ecuaciones si-
guientes, suponiendo que cada una de ellas es dimensionalmente correcta: (a) v3 ϭ
Ax2 ϩ Bvt2 y (b) x2 ϭ At2eBt2. Las dimensiones de las variables son [x] ϭ [L],
[v] ϭ [L/T] y [a] ϭ [L/T 2].

En cierto problema de vibración, la ecuación diferencial que describe el
movimiento de una partícula de masa m es

d2x dx P0 sen ωt
m dt2 +c + kx =
dt

donde x es el desplazamiento de la partícula. ¿Cuáles son las dimensiones de las www.elsolucionario.net
constantes c, k, P0 y v en términos de las dimensiones básicas de un sistema gravi-
tacional [FLT ]?

Con la ecuación (11.17) obtenga las dimensiones de la constante gravitacio-
nal universal G, en términos de las dimensiones básicas de (a) un sistema gravita-
cional [FLT ] y (b) uno absoluto [MLT ].

Una famosa ecuación de Einstein es E ϭ mc2, donde E es energía, m es
masa y c es la rapidez de la luz. Determine la dimensión de la energía en términos
de las dimensiones básicas de (a) un sistema gravitacional [FLT ] y (b) uno absoluto
[MLT ].

Dos partículas de 10 kg se colocan a 500 mm entre sí. Exprese la atracción
gravitacional, que actúa sobre una de ellas, como un porcentaje de su peso sobre la
Tierra.

Dos esferas idénticas de 3 lb de peso y radio de 9 pulg se ponen en contacto.
Encuentre la atracción gravitacional entre ellas.

En los problemas del 11.17 al 11.21 utilice los siguientes datos:

Masa de la Tierra ϭ 5.9742 × 1024 kg
Radio de la Tierra ϭ 6378 km
Masa de la Luna ϭ 0.073483 × 1024 kg
Radio de la Luna ϭ 1737 km
Masa del Sol ϭ 1.9891 × 1030 kg
Distancia entre la Tierra y el Sol ϭ 149.6 × 106 km

Encuentre la masa de un objeto (en kg) que pesa 2 kN a una altura de 1800 km
sobre la superÀcie terrestre.

Pruebe que el peso de un objeto sobre la Luna es aproximadamente una
sexta parte de su peso sobre la Tierra.

Un hombre pesa 150 lb sobre la superÀcie terrestre. Determine su peso en
una elevación igual al radio de la Tierra.

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Determine la fuerza gravitacional ejercida por el Sol sobre un objeto de
1.0 kg en la superÀcie terrestre.

Una nave espacial viaja sobre una línea recta que conecta a la Tierra con
el Sol. ¿A qué distancia de la Tierra serán iguales las fuerzas gravitacionales de la
Tierra y el Sol?

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En este capítulo se estudia la dinámica (tanto cinemática como cinética) de una La caída de un paracaidista está
partícula en un sistema de coordenadas rectangulares. El análisis se limita a una sola regida por las fuerzas de gravedad
partícula y se supone que los ejes de coordenadas son Àjos; es decir, no se mueven. y arrastre aerodinámico. Cuando
En el capítulo 15 se trata la dinámica de dos o más partículas que interactúan y la esas dos fuerzas están en balance,
cinemática del movimiento relativo (sistemas de coordenadas en traslación). entonces el paracaidista desciende
con una rapidez constante conocida
como velocidad terminal. La deter-
minación de la velocidad terminal es
el tema del problema 12.47.
(Roberto Mettifogo/Photonica/Getty
Images)

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La deÀnición de las variables cinemáticas básicas (posición, velocidad y acele- www.elsolucionario.net
ración), que se presentaron en el capítulo anterior, no hace referencia a un sistema
de coordenadas. Por tanto, esas deÀniciones son aplicables en cualquier marco de
referencia Àjo. Sin embargo, cuando se requiere describir el movimiento es esencial
un sistema de coordenadas especíÀco. Aquí se emplea el más sencillo de todos los
marcos de referencia: el sistema de coordenadas cartesiano rectangular. No obstan-
te que las coordenadas rectangulares podrían utilizarse en la solución de cualquier
problema, no siempre es conveniente emplearlas. Con frecuencia, los sistemas de
coordenadas curvilíneas descritos en el capítulo siguiente permiten efectuar análisis
más sencillos.

Las coordenadas rectangulares son naturalmente más adecuadas para analizar
el movimiento rectilíneo (movimiento sobre una línea recta) o el curvilíneo que se
puede describir como una superposición de movimientos rectilíneos, como el vuelo
de un proyectil. Estas dos aplicaciones conforman el volumen de este capítulo.

Un problema importante de la cinemática se presenta en el análisis del movi-
miento rectilíneo: dada la aceleración de una partícula, determine su velocidad y
su posición. Esta tarea, que es equivalente a integrar (o resolver) la ecuación dife-
rencial de segundo orden xšš = f (xš, x, t), aparece con frecuencia en la dinámica. La
mayoría de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en este libro son suÀcien-
temente simples para resolverse desde el punto de vista analítico. Sin embargo, se
incluyen algunos problemas que deben integrarse de manera numérica. No obstante
que esos problemas son opcionales, representan un recordatorio signiÀcativo de que
la mayoría de los problemas prácticos carecen de soluciones analíticas.

La Àgura 12.1(a) muestra la trayectoria de la partícula A, que se mueve en un marco
de referencia rectangular Àjo. Sean i, j y k los vectores base (vectores unitarios), el
vector de posición de la partícula se puede escribir como

r(t) = xi + yj + zk (12.1)

donde x, y y z son las coordenadas rectangulares dependientes del tiempo de la par-
tícula.

z az

z
vz Trayectoria

A a
v A ay

vx vy
O
O ax

z z

xy x yx y xy

(a) (b)

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Aplicando la deÀnición de velocidad, ecuación (11.10), y la regla de la cadena
de la derivación, ecuación (11.4), se obtiene

v = dr = d (xi + yj + zk)
dt dt

= x di + x˙ i + y dj + y˙ j + dk + z˙k
z
dt dt dt

Como los ejes de coordenadas son Àjos,* los vectores base permanecen constantes,
así di/dt ϭ dj/dt ϭ dk/dt ϭ 0. Por tanto, la velocidad será

v = vx i + vyj + vzk (12.2)

donde las componentes rectangulares, que se muestran en la Àgura 12.1(a), son

vx = x˙ vy = y˙ vz = z˙ (12.3) r(t)

De modo similar, la deÀnición de aceleración, ecuación (11.13), conduce a y www.elsolucionario.net
Trayectoria

A

dv d y x
a = dt = dt (vx i + vyj + vzk) = v˙x i + v˙ yj + v˙zk
Así la aceleración es Ox
(a)
a = ax i + ayj + azk (12.4)
con las componentes rectangulares [véase la Àgura 12.1(b)]
y
ax = v˙x = x¨ ay = v˙ y = y¨ az = v˙z = z¨ (12.5) v

vy θ
A vx

El movimiento en un plano se presenta con frecuencia en aplicaciones de ingeniería, O x
así que merece atención especial. La Àgura 12.2(a) muestra la trayectoria de una y (b)
partícula A que se mueve en el plano xy. Para obtener las componentes rectangulares
bidimensionales de r, v y a, se coloca z ϭ 0 en las ecuaciones de la (12.1) a la (12.5). O ay a
Los resultados son β

r = xi + yj v = vxi + vyj a = axi + ayj (12.6) A ax
(12.7)
donde x
(c)
vx = x˙ vy = y˙
ax = v˙x = x¨ ay = v˙ y = y¨

*En realidad esta suposición es muy restrictiva. Como se muestra en el capítulo 16, los resultados conti-
núan siendo válidos si el sistema de coordenadas se traslada sin rotar.

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La Àgura 12.2(b) muestra las componentes rectangulares de la velocidad. El
ángulo u, que deÀne la dirección de v, se puede obtener de

tan θ = vy = d y/dt = d y
vx d x/dt d x

Como la pendiente de la trayectoria es igual a dy/dx, se observa que v es tangente a
la curva, un resultado que ya se ha indicado en el capítulo anterior.

En la Àgura 12.2(c) se muestran las componentes rectangulares de a. El ángu-
lo b que deÀne la dirección de a puede calcularse con la relación

tan β = ay = d2 y/dt2
ax d 2 x /d t 2

Ya que en general b no es igual a u, la aceleración no necesariamente es tangente a
la trayectoria.

Si la trayectoria de una partícula es una línea recta, el movimiento se llama rectilí- www.elsolucionario.net
neo. En la Àgura 12.3 se muestra un ejemplo de movimiento rectilíneo, en el que la
partícula A se mueve sobre el eje x. En este caso, se emplea y ϭ 0 en las ecuaciones
(12.6) y (12.7), para obtener r ϭ xi, v ϭ vxi y a ϭ axi. Cada uno de esos vectores se
dirige sobre la curva (es decir, el movimiento es unidimensional). Como los subín-
dices ya no se necesitan, las ecuaciones para el movimiento rectilíneo sobre el eje x
se escriben en la forma usual

donde r = xi v = vi a = ai (12.8)
v = x˙ a = v˙ = x¨ (12.9)

En algunos problemas, es más conveniente expresar la aceleración en términos
de la velocidad y la posición, en lugar de la velocidad y el tiempo. Este cambio de
variable puede lograrse mediante la regla de la cadena de la derivada: a ϭ dv/dt ϭ
(dv/dx)(dx/dt). Al observar que dx/dt ϭ v, se obtiene

dv (12.10)
a=v

dx

Trayectoria
O r v, a

x
A
x

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La posición de una partícula que se mueve sobre el eje x está deÀnida por x ϭ Ϫ3t2
ϩ 12t Ϫ 6 pies, donde t está en segundos. Para el intervalo de tiempo de t ϭ 0 a t ϭ
3 s: 1. trace la gráÀca de la posición, la velocidad y la aceleración como funciones
del tiempo; 2. calcule la distancia recorrida, y 3. determine el desplazamiento de la
partícula.

Ya que el movimiento es rectilíneo, es posible calcular la velocidad y la aceleración x (pies)
como sigue 6
3
x = − 3t2 + 12t Ϫ 6 pies (a)
123
v = d x = − 6t + 12 pies/s (b)
dt (c)

a= dv = d2x = Ϫ 6 pies/s2 t (s)
dt dt2 t (s)
t (s) www.elsolucionario.net
Estas funciones están graÀcadas en las Àguras de la (a) a la (c) para el intervalo –6
de tiempo indicado, t ϭ 0 a t ϭ 3 s. Observe que la gráÀca de x es parabólica, así
que las sucesivas derivadas conducen a una función lineal para la velocidad y a un (a)
valor constante para la aceleración. El tiempo correspondiente al valor máximo (o v (pies/s)
mínimo) de x puede encontrarse al efectuar dx/dt ϭ 0 o al utilizar la ecuación (b),
v ϭ Ϫ6t ϩ 12 ϭ 0, que da t ϭ 2 s. Cuando se sustituye t ϭ 2 s en la ecuación (a), 12
se obtiene 23

xmax ϭ Ϫ3(2)2 ϩ 12(2) Ϫ 6 ϭ 6 pies –6 1

La Àgura (d) muestra cómo se mueve la partícula durante el intervalo de tiempo de (b)
t ϭ 0 a t ϭ 3 s. Cuando t ϭ 0, la partícula abandona A (x ϭ Ϫ6 pies), moviéndose
hacia la derecha. Cuando t ϭ 2 s, la partícula se detiene en B (x ϭ 6 pies). Después a (pies/s2)
se mueve hacia la izquierda, llegando a C (x ϭ 3 pies) cuando t ϭ 3 s. Por tanto, la
distancia recorrida es igual a la que el punto recorrió hacia la derecha ( A B ) más 123
la distancia recorrida hacia la izquierda ( B C ), lo que da

d = AB + BC = 12 + 3 = 15 pies –6

El desplazamiento durante el intervalo de tiempo, de t ϭ 0 a t ϭ 3 s, es el vector –6 (c)
que va desde la posición inicial del punto hasta su posición Ànal. Este vector, que se t=0 A
indica como ¨r en la Àgura (d), es 0 +3 +6 Bx (pies)
t=3s C t=2s
r = 9i pies
Δr

(d)

Observe que la distancia total recorrida (15 pies) es más grande que la magnitud del
vector desplazamiento (9 pies) ya que la dirección del movimiento cambia durante
el intervalo de tiempo.

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y El perno P en el extremo de la varilla telescópica de la Àgura (a) se desliza sobre
P la trayectoria parabólica Àja y2 ϭ 40x, donde x y y se miden en milímetros. La
coordenada y de P varía con el tiempo t (que se mide en segundos) de acuerdo con
y2 = 40x y ϭ 4t2 ϩ 6t mm. Cuando y ϭ 30 mm, calcule: 1. el vector de velocidad de P y 2. el
O vector de aceleración de P.

60 mm x (a)
(a) (b)
Al sustituir
y = 4t2 + 6t mm www.elsolucionario.net

en la ecuación de la trayectoria y al despejar a x, se obtiene

x = y2 = (4t2 + 6t)2 = 0.40t4 + 1.20t3 + 0.90t2 mm
40 40

Las componentes rectangulares del vector de velocidad son

vx = x˙ = 1.60t3 + 3.60t2 + 1.80t mm/s (c)
vy = y˙ = 8t + 6 mm/s (d)

Al efectuar y ϭ 30 mm en la ecuación (a) y despejar el tiempo t se obtiene
t ϭ 2.090 s. Cuando se sustituye este valor de t en las ecuaciones (c) y (d), se deduce
que

vx = 34.1 mm/s y vy = 22.7 mm/s

En consecuencia, el vector de velocidad en y ϭ 30 mm es

v = 34.1i + 22.7j mm/s

A continuación, en la Àgura (b) se muestra la representación pictórica de este resul-
tado.

22.7 v = 41.0 mm/s
θ θ = tan−1 22.7 = 33.7◦

34.1

34.1

Al evaluar la pendiente de la trayectoria, dy/dx, en y ϭ 30 mm, es fácil compro-
bar que el vector de velocidad que se ha determinado antes es tangente a la curva.

y v = 41.0 mm/s Trayectoria
30 mm 33.7° a = 38.6 mm/s2

P
11.95°

O x
(b)

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De las ecuaciones (c) y (d), es posible determinar por medio de derivación las com-
ponentes del vector aceleración:

ax = v˙x = 4.80t2 + 7.20t + 1.80 mm/s2
ay = v˙ y = 8 mm/s2

Al sustituir t ϭ 2.090 s, se obtiene y ay = 8 mm/s2
ax = 37.8 mm/s2

Por tanto, el vector aceleración en y ϭ 30 mm es
a = 37.8i + 8j mm/s2

La representación pictórica de a es

8 a = 38.6 mm/s2 www.elsolucionario.net

β β = tan−1 8 = 11.95◦
37.8
37.8

A partir del dibujo del vector aceleración en la Àgura (b) se observa que la dirección
de a no es tangente a la trayectoria.

El brazo rígido OA de longitud R rota respecto a la unión esférica en O. Las coorde- A
nadas x y y que describen el movimiento espacial del extremo A son

R z
x = R cos ωt y = sen 2ωt R

2

donde v es una constante. Encuentre la expresión para la coordenada z del extre-
mo A.

O
xy

Como el brazo OA es rígido, las coordenadas de posición del extremo A deben
satisfacer la ecuación

x2 + y2 + z2 = R2

Al sustituir las expresiones para x y y se obtiene
R2 cos2 ωt + R2 sen2 2ωt + z2 = R2
4

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Cuando se utilizan las identidades trigonométricas sen 2vt ϭ 2sen vt cos vt y
(1 Ϫ cos2vt ) ϭ sen2vt, se obtiene

z2 = R2(1 − cos2 ωt − sen2 ωt cos2 ωt)
= R2(sen2 ωt − sen2 ωt cos2 ωt)
= R2 sen2 ωt (1 − cos2 ωt)
= R2 sen4 ωt

Por tanto, la expresión para la coordenada z es
z = R sen2 ωt

Una rueda cuyo radio es R ϭ 16 mm está pivoteada en O, con lo que produce una www.elsolucionario.net
excentricidad de R/2. Empleando la geometría, es posible demostrar que la relación
entre x, la coordenada de posición de A y el ángulo u es

x(θ ) = R cos θ + cos2 θ + 3
2

A Si la rueda gcioran,straenspteecutšoϭa O, en el sentido de las manecillas del reloj, con la
rapidez angular 2000 rev/min, determine la rapidez de A cuando
u ϭ 45o.

x
θ

OR R v = dx = dx dθ
2 dt dθ dt

= R − sen θ + 1 −√2 cos θ sen θ θ˙
2 2 cos2 θ + 3

= − R sen θ 1 + √ cos θ θ˙
2 cos2 θ + 3

Cuando se sustituye R ϭ 0.016 m, u ϭ 45o y uš ϭ 2000(2p/60) rad/s, se obtiene

v = − 0.016 (sen 45◦) 1 + √ cos 45◦ 2000(2π ) = −1.633 m/s
2 cos2 45◦ + 3 60

El signo menos indica que A se mueve hacia abajo.

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Al tiempo t ϭ 0 se lanza un cohete en sentido vertical; su elevación está dada
por

y = −0.13t4 + 4.1t3 + 0.12t2 pies

donde t está en segundos. Determine la velocidad máxima del cohete y la elevación
a la que ésta ocurre.

Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba sobre la superÀcie de
un planeta, el movimiento que sigue en ausencia de resistencia atmosférica puede
describirse con

x = −1 gt2 + v0t
2

donde g y v0 son constantes. (a) Obtenga las expresiones para la velocidad y la ace- x www.elsolucionario.net
leración del objeto. Utilice los resultados para demostrar que v0 es la rapidez inicial
del cuerpo y que g representa la aceleración gravitacional. (b) Determine la altura A
x
máxima que alcanza el objeto y el tiempo total de vuelo. (c) Evalúe los resultados del
inciso (b) para v0 ϭ 60 mi/h y g ϭ 32.2 pies/s2 (superÀcie de la Tierra).

La posición de una partícula que se mueve sobre el eje x se describe con

x ϭ t 3 Ϫ 108t pulg

donde t es el tiempo en segundos. Para el intervalo de tiempo, t ϭ 0 a t ϭ 10 s,
(a) trace la gráÀca de la posición, la velocidad y la aceleración como funciones del
tiempo; (b) encuentre el desplazamiento de la partícula, y (c) determine la distancia
recorrida por la partícula.

La posición de una partícula que se mueve sobre el eje x está dada por

x ϭ t 3 Ϫ 3t 2 Ϫ 45t pulg

donde t es el tiempo en segundos. Determine la posición, la velocidad, la aceleración
y la distancia recorrida en t ϭ 8 s.

La posición de un automóvil que se mueve en una autopista recta está dada
por

x = t2 − t3 pies
90

donde t es el tiempo en segundos. Determine: (a) la distancia recorrida por el auto-
móvil antes de detenerse y (b) la velocidad máxima que alcanza.

Un cuerpo se libera a partir del reposo en A y tiene una caída libre. Si se in-
cluyen los efectos de la resistencia del aire, la posición del cuerpo como una función
del tiempo transcurrido es

x = v0(t − t0 + t0e−t/t0 )

donde v0 y t0 son constantes. (a) Deduzca la expresión para la rapidez v del cuerpo.
Utilice el resultado para explicar por qué v0 se llama velocidad terminal. (b) Deduz-

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A t ca las expresiones para la aceleración a del cuerpo como una función de t y como www.elsolucionario.net
x R una función de v.

x R Una cuenta se mueve sobre un alambre recto de 60 pulg que está sobre el
A 2 eje x. La posición de la cuenta está dada por

r0 b x ϭ 2t 2 Ϫ 10t pulg
B
donde x se mide desde el centro del alambre y t es el tiempo en segundos. Determi-
v0 ne: (a) el tiempo en el que la cuenta abandona el alambre y (b) la distancia que ésta
C recorre desde t ϭ 0 hasta que deja el alambre.

v0 Una partícula se mueve sobre la curva x 2 ϭ 12y, donde x y y se miden en
r milímetros. La coordenada x varía con el tiempo de acuerdo con

x ϭ 4t 2 Ϫ 2 mm

donde el tiempo t está en segundos. Obtenga las magnitudes de los vectores de velo-
cidad y aceleración cuando t ϭ 2 s.

La leva circular de radio R y excentricidad R/2 rota, en el sentido de las ma-
necillas del reloj, con una rapidez angular constante v. Es posible demostrar que el
movimiento vertical resultante de A es

x = R 1 + 1 cos ωt
2

(a) Obtenga la velocidad y la aceleración de A como una función de t. (b) Si v se
duplica, ¿cómo cambiarían la velocidad máxima y la aceleración máxima de A?

El elevador A se baja con un cable que se desliza por la polea B. Si el cable
se desenrolla del carrete C con velocidad constante v0, el movimiento del elevador es

x = (v0t − b)2 − b2

Determine la velocidad y aceleración del elevador en términos del tiempo t.

Un misil se lanza desde la superÀcie de un planeta con una rapidez v0 en
t ϭ 0. De acuerdo con la teoría de la gravitación universal, la rapidez v del misil
después del lanzamiento está dada por

v2 = 2gr0 r0 − 1 + v20
r

donde g es la aceleración gravitacional sobre la superÀcie del planeta y r0 es el radio
medio del planeta. (a) Determine la aceleración del misil en términos de r. (b) En-

cuentre la velocidad de escape, es decir, el valor mínimo de v0 para el cual el misil
ya no regresará al planeta. (c) Con el resultado del inciso (b), calcule la velocidad de
escape para la Tierra, donde g ϭ 32.2 pies/s2 y r0 ϭ 3960 millas.

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Las coordenadas de una partícula que efectúa movimiento en un plano son y

x ϭ 15 Ϫ 2t 2 m, y ϭ 15 Ϫ 10t ϩ t 2 m h
x
donde t es el tiempo en segundos. Encuentre los vectores de velocidad y aceleración
en (a) t ϭ 0 s y (b) t ϭ 5 s. O 120 m
L
Un proyectil que se dispara en O sigue una trayectoria parabólica, dada en
forma paramétrica por y

x ϭ 66t y ϭ 86t Ϫ 4.91t 2 ( )x x2
y=h 1 – b2
donde x y y se miden en metros y t en segundos. Determine: (a) el vector de acele-
ración durante el vuelo; (b) el vector de velocidad en O; (c) la altura máxima h, y h
(d) el alcance L.
x
Un automóvil desciende una montaña que tiene la sección transversal para-
bólica que se muestra. Si se supone que la componente horizontal del vector veloci- b www.elsolucionario.net
dad tiene una magnitud constante v0, determine: (a) la expresión para la rapidez del
automóvil en términos de x y (b) la magnitud y dirección de la aceleración. y
B Involuta
La posición de una partícula que se mueve en un plano está dada por
Cuerda t
x = a cos ωt y = b sen ωt A
x
donde a > b y v es una constante. (a) Demuestre que la trayectoria de la partícula R
es una elipse. (b) Pruebe que el vector de aceleración siempre está dirigido hacia el
centro de la elipse.

Cuando una cuerda tensa se desenrolla de un cilindro estacionario, el ex-
tremo B de la misma genera una curva conocida como la involuta de un círculo.
Si la cuerda se desenrolla con una rapidez angular constante v, la ecuación de la
involuta es

x = R cos ωt + Rωt sen ωt y = R sen ωt − Rωt cos ωt

donde R es el radio del cilindro. Obtenga la rapidez de B como una función del y Cicloide x
tiempo; demuestre que el vector de velocidad siempre es perpendicular a la cuerda.
G
Cuando una rueda cuyo radio R gira con velocidad angular constante v, el BR
punto B sobre la circunferencia de la rueda traza una curva llamada cicloide, cuya
ecuación es C

x = R(ωt − sen ωt) y = R(1 − cos ωt) t 2πR

(a) Demuestre que el vector de velocidad de B siempre es perpendicular a B C.
(b) Pruebe que el vector de aceleración de B está dirigido a lo largo de B G.

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z Cuando una partícula se mueve sobre la hélice que se muestra, las compo-
nentes de su vector de posición son
R
t x = R cos ωt y = R sen ωt z = − h ωt
2π
x y
h donde v es constante. Demuestre que la velocidad y la aceleración tienen magnitu-

des constantes y calcule sus valores si R ϭ 1.2 m, h ϭ 0.75 m y v ϭ 4p rad/s.

La trayectoria OB de una partícula está sobre el paraboloide hiperbólico que
se muestra. La descripción del movimiento es

4 3 z = − 1 v20t 2
x = 5 v0t y = 5 v0t 25

donde las coordenadas se miden en pulgadas y v0 es una constante. Determine:
(a) la velocidad y aceleración cuando la partícula está en B y (b) el ángulo entre la

trayectoria y el plano xy en B.

z 4 pulg
O
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y El movimiento espacial de una partícula se describe por
1 pulg x = 3t2 + 4t y = −4t2 + 3t z = −6t + 9

z = – xy
12
donde las coordenadas se miden en pies y el tiempo t está en segundos. (a) Determine
1 in. los vectores de velocidad y aceleración de la partícula como funciones del tiempo.
1 in.1 i1n.in. (b) Compruebe que la partícula realiza movimiento en un plano (el movimiento no
está en un plano de coordenadas) al demostrar que el vector unitario perpendicular
1 in. al plano formado por v y a es constante.

1 pulg Trayectoria El movimiento tridimensional de un punto está descrito por
x 3 pulg B

x = R cos ωt y = R sen ωt R
z = sen 2ωt

2

donde R y v son constantes. Calcule la rapidez máxima y la aceleración máxima del
punto.

lizador Para el mecanismo uqš,uye se muestra, determine: (a) la velocidad xš dušeyl des-
C en términos de u y (b) la aceleración x¨ de C en términos de u, u¨.

B B b
A C
b
R y θ

θ O
O x

b El perno unido al collar deslizante A uenyguašr, zya la ranura en la barra OB.
Dtéermteirnmoisnde:e(ua,)ulšayrua¨.pidez yš de A en términos de (b) la aceleración y¨ de A en

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Es posible demostrar que la coordenada de posición del pistón A está rela- Rθ 3R
cionada con el ángulo u de la rueda por

A

x = R cos θ + 9 − sen2 θ x
La rueda gira con una rapidez angular constante uš. Deduzca la expresión para la
velocidad xš del pistón como una función de u.

El perÀl de la leva es

r ϭ 55 ϩ 10 cos u ϩ 5 cos 2u mm

Si la leva gira con una velocidad angular constante de uš ϭ 1200 rev/min determine
la aceleración máxima de A.

El avión C es rastreado por las estaciones de radar A y B. En el instante

que se muestra, 2el2tor,iáušnAgϭulo0.A02B6Creasdt/ás eynušeBl plano vertical y las lecturas del radar son A www.elsolucionario.net
uA ϭ 30o, uB ϭ ϭ 0.032 rad/s. Determine: (a) la altura y;
θ
(b) la rapidez v, y (c) el ángulo de elevación a del avión en este instante. r

Cv O

α

y

θA
θB

AB
1000 m

Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula de masa m, la segunda ley de
Newton tiene la forma ⌺F ϭ ma, donde ⌺F es la suma vectorial de las fuerzas (la
fuerza resultante) y a es la aceleración de la partícula. La representación escalar de
esta ecuación vectorial en coordenadas rectangulares es

Fx = max Fy = may Fz = maz (12.11)

Las ecuaciones (12.11) se conocen como las ecuaciones de movimiento de la par-
tícula.

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Si se conoce la aceleración de la partícula, es posible utilizar las ecuaciones
del movimiento para determinar las fuerzas. Si se dan las fuerzas las ecuaciones del
movimiento pueden resolverse para obtener las aceleraciones. Sin embargo, la ma-
yoría de los problemas son de tipo mixto, donde sólo se conocen algunas fuerzas y
componentes de las aceleraciones.

Se conoce como método de fuerza-masa-aceleración (FMA) al proceso de rela-
cionar las fuerzas con la aceleración de la partícula mediante las ecuaciones (12.11).
Posteriormente se aprenderán otros procedimientos, como los métodos trabajo-ener-
gía e impulso-cantidad de movimiento, que también se pueden utilizar para obtener
relaciones entre las fuerzas y el movimiento.

Es común iniciar el método FMA dibujando dos diagramas, cada uno de los cuales www.elsolucionario.net
representa un lado de la segunda ley de Newton ⌺F ϭ ma. El primero de ellos es
el diagrama de cuerpo libre (DCL) que muestra todas las fuerzas que actúan sobre
la partícula. El segundo, que se conoce como diagrama masa-aceleración (DMA),
muestra el vector de inercia ma de la partícula. Ahora, la segunda ley de Newton
puede satisfacerse al requerir que los dos diagramas sean estáticamente equivalen-
tes, es decir, que tengan la misma resultante.

En la Àgura 12.4(a) se muestran el DCL y el DMA de una partícula. El signo
de igual entre los diagramas indica equivalencia estática. Si se emplean coordena-
das rectangulares, entonces el vector de inercia en general se representa por sus
componentes rectangulares, como se muestra en la Àgura 12.4(b). Una vez que los
diagramas se han trazado es hasta cierto punto fácil escribir las condiciones para la
equivalencia estática, es decir, las ecuaciones de movimiento.

El diagrama de cuerpo libre es tan importante en dinámica como en estática.
Éste identiÀca, de manera clara y concisa, todas las fuerzas que actúan sobre la par-
tícula, deÀne la notación que se utiliza para las cantidades incógnitas y presenta las
cantidades conocidas. El diagrama masa-aceleración sirve para propósitos similares:
también deÀne la notación para las incógnitas e indica las magnitudes y direcciones
conocidas. Pero quizás el más grande beneÀcio del DMA es que enfoca nuestra aten-
ción en la cinemática requerida para describir el vector de inercia. Después de todo,
la cinemática es la que permite decidir cuáles componentes del vector de aceleración
se conocen de antemano y cuáles son incógnitas.

F1 ma z z
F2 F1 maz
m = m =
F3 F2 F3 may
y max
DCL DMA
y

x x DMA
DCL (b)

(a)

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En resumen, el método FMA consta de los siguientes pasos.

Paso 1: Dibujar el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la partícula mostrando todas
las fuerzas que actúan sobre ella.

Paso 2: Utilizar la cinemática para analizar la aceleración de la partícula.
Paso 3: Elaborar el diagrama masa-aceleración (DMA) para la partícula mostrando

el vector de inercia ma, con los resultados del paso 2.
Paso 4: Consultando el DCL y el DMA, relacionar las fuerzas con la aceleración

aplicando la equivalencia estática de los dos diagramas.

La Àgura 12.5 muestra el DCL y el DMA de una partícula que está en movimiento z z www.elsolucionario.net
rectilíneo sobre el eje x. Las correspondientes ecuaciones del movimiento son
F1
F2 m y= y

Fx = ma (12.12) F3
x
Fy = Fz = 0 (12.13) ma
DCL x

DMA

En algunos problemas todas las fuerzas que actúan sobre las partículas están en la
dirección del movimiento (la dirección x), en cuyo caso las ecuaciones (12.13) se
cumplen de manera automática. Es decir, las ecuaciones (12.13) pueden utilizarse en
el cálculo de fuerzas desconocidas, como las reacciones.

Suponga que se escriben las ecuaciones del movimiento para una posición arbitra-
ria de la partícula y que se resuelven para la aceleración a. Como la posición de la
partícula es arbitraria, en general la aceleración será una función de la posición y
la velocidad de la partícula y del tiempo:

a = f (v, x, t) (12.14)

Una forma equivalente de la ecuación (12.14) es

x¨ = f (x˙, x, t)

que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. La solución de esta
ecuación diferencial sería x ( t ), la posición como una función del tiempo.

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Si las tres variables (x, v y t) aparecen de manera explícita en la ecuación (12.14)
para a, entonces las posibilidades de lograr una solución analítica son escasas. La
razón es que en general f es una función no lineal; es decir, contiene términos no
lineales de las variables, como sen x o v2. En la mayoría de los casos, las ecuaciones
diferenciales no lineales sólo se pueden resolver numéricamente. Sin embargo, si f
sólo contiene una de las variables, la ecuación diferencial puede integrarse en forma
rutinaria, como se ilustra a continuación.

a ϭ f (t ). De a ϭ dv/dt, se tiene

dv = a(t) dt (12.15)

Ahora es posible integrar ambos lados de la ecuación, con lo que se da la velocidad
como una función del tiempo:

v(t) = a(t) dt + C1 (12.16) www.elsolucionario.net

Después de la determinación de la velocidad, la coordenada de posición x puede
obtenerse de v ϭ dx/dt o dx ϭ v(t) dt. Al integrar ambos lados se obtiene

x(t) = v(t) dt + C2 (12.17)

Las constantes de integración, C1 y C2, pueden evaluarse de las condiciones iniciales
(en general son los valores de x y v en t ϭ 0).

a ϭ f (x). Aquí se utiliza la ecuación (12.10): a ϭ v dv/dx. Las variables
pueden separarse de modo que x y v aparezcan en lados opuestos de la ecuación:

v dv = a(x) dx (12.18)
Ahora puede integrarse la ecuación, con el resultado (12.19)

1 v2 = a(x) dx + C3
2

donde C3 es la constante de integración. Por tanto,

v(x) = 2 a(x) d x + C3