ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หนา้ |1
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรส่มุ

ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

1. ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุ่ม
2. การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนื่อง

2.1 การแจกแจงเอกรปู ไมต่ อ่ เน่ือง
2.2 การแจกแจงทวินาม
3. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ต่อเนื่อง
3.1 การแจกแจงปกติ
3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

จดุ มุ่งหมาย

1. จำแนกไดว้ า่ ตวั แปรสุ่มทก่ี ำหนดใหเ้ ปน็ ตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเนื่องหรอื ตัวแปรสมุ่ ต่อเน่อื ง
2. เขียนแสดงการแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุม่ ไมต่ ่อเนอื่ ง
3. หาคา่ คาดหมายและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ืองพร้อมท้งั ใชใ้ นการแก้ปัญหา
4. ตรวจสอบได้ว่าเปน็ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุม่ ไมต่ ่อเนือ่ ง เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเน่ือง

หรือไม่
5. ใช้ความรเู้ ก่ียวกบั การแจกแจงทวนิ ามในการแก้ปัญหา
6. หาความน่าจะเปน็ ท่ีตัวแปรสุ่มปกตจิ ะมคี า่ อยใู่ นช่วงที่กำหนด
7. ใชค้ วามรเู้ กยี่ วกับการแจกแจงปกตแิ ละการแจกแจงปกตมิ าตรฐานในการแก้ปญั หา

ในการวางแผนและตดั สินใจทางธรุ กจิ ผ้ปู ระกอบการอาจต้องใชข้ ้อมูลท่เี ก็บรวบรวมในการสรา้ งแบบจำลองเพ่ือ
คาดการณแ์ นวโนม้ หรือความนา่ จะเป็นในสถานการณ์ตา่ งๆ ตวั อยา่ งเชน่ ผู้ประกอบการร้านขายเครื่องดม่ื และของ
หวานอาจใชข้ ้อมูลเก่ียวกบั ระยะเวลาที่ลกู ค้าใช้บรกิ ารท่ีร้านขายเครื่องด่ืมและของหวานแตล่ ะร้านท่ีสุม่ มาในแต่
ละแวกนัน้ ในการพิจารณาแนวโนม้ หรือความน่าจะเปน็ ท่ีลูกค้าใช้บริการท่รี า้ นตนเอง เพื่อใช้ในการวางแผน
จดั เตรยี มสถานท่ี รวมท้ังจัดเตรียมวตั ถุดิบในแต่ละช่วงเวลา เพือ่ ลดรายจา่ ยทีไ่ ม่จำเปน็ ใหไ้ ดม้ ากท่สี ดุ

ความร้กู ่อนหน้า
• หลักการนบั เบื้องตน้
• ความน่าจะเปน็
• การวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ

สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |2
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรส่มุ

สำหรบั การศึกษาในบทท่ผี า่ นมาเป็นการวเิ คราะหข์ ้อมลู โดยใชส้ ถิติศาสตรเ์ ชงิ พรรณนากลา่ วคือเปน็ การหา
ข้อสรปุ ของข้อมลู เกบ็ มาเพ่ือใหเ้ ข้าใจข้อมลู น้ันไดง้ ่ายข้นึ สว่ นเนอ้ื หาในบทนจ้ี ะเปน็ ความรู้พ้นื ฐานสำหรบั การ
วเิ คราะหข์ ้อมูลโดยใชส้ ถติ ิศาสตร์เชิงอนมุ าน

เนื่องจากการวิเคราะห์ข้อมลู โดยใชส้ ถติ ศิ าสตร์เชงิ อนุมาน เปน็ การหาข้อสรปุ เกีย่ วกบั ลักษณะของประชากร
โดยใชเ้ พียงข้อมูลของตัวอยา่ งที่เกบ็ มา จึงทำใหส้ ถิติศาสตร์เชิงอนุมานมเี ร่ืองของความไม่แนน่ อนเข้ามาเกี่ยวขอ้ ง
เพราะเป็นไปไดท้ ี่ขอ้ มูลของตัวอย่างจะให้ข้อสรุปทางสถติ ิศาสตร์ ทีแ่ ตกต่างจากข้อมูลของประชากร ดว้ ยเหตนุ ้ี
ความร้เู รื่องความน่าจะเป็นจึงมบี ทบาทสำคญั ในการศึกษาสถิตศิ าสตร์ เชงิ อนุมาน แตส่ ถิตศาสตรเ์ ชงิ อนมุ านก็เปน็
เรอื่ งสำคัญและมปี ระโยชน์มากเนือ่ งจากโดยทั่วไปแลว้ การหาขอ้ มูลของประชากรเป็นไปได้ยากเพราะไม่มี
ทรัพยากรงบประมาณ หรอื เวลาเพยี งพอในการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลใหไ้ ด้ครบสมบูรณ์

นอกจากนกี้ ารนำความนา่ จะเปน็ มาใช้ในการศกึ ษาสถติ ศิ าสตรย์ งั ชว่ ยให้สามารถศกึ ษาข้อมูลท่มี ีจำนวนไม่
แน่นอนได้ เช่น หากตอ้ งการหาค่าเฉล่ยี ของระยะเวลาท่ีนักท่องเทีย่ วชาวตา่ งประเทศใช้ที่สนามบินสุวรรณภูมิ
เนือ่ งจากนักท่องเทย่ี วท่ีเดนิ ทางเขา้ มาทส่ี นามบนิ สุวรรณภูมิมีจำนวนไม่แน่นอนจึงไม่สามารถใช้สูตรการหาค่าเฉลย่ี
เลขคณติ ที่ศกึ ษาในบทที่ 3 ได้ แตจ่ ะต้องนำความน่าจะเป็นมาใช้ในการศกึ ษาผา่ นตวั แปรสมุ่ ซง่ึ จะอธบิ าย
ความหมายในหัวข้อต่อไป

สถิตแิ ละความน่าจะเปน็ หน้า |3
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

1. ความหมายและชนิดของตัวแปรส่มุ

พจิ ารณาการทดลองสุม่ ซ่ึงได้จากการโยนเหรียญท่เี ทยี่ งตรง 1 เหรยี ญ 3 คร้ัง

ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอย่างของการทดลองสุ่มน้ี

H แทนเหรยี ญขึ้นหัว

และ T แทนเหรียญขนึ้ ก้อย

จะได้ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

และ n(S) = 8

ให้ E0, E1 , E2 และ E3 แทนเหตุการณ์ทเี่ หรียญขนึ้ หวั 0, 1, 2 และ 3 ครัง้ ตามลำดับโดยใช้
ความรู้เรือ่ งความน่าจะเป็นจะได้ว่า

P(E0 ) = 1 P (E1 ) = 3
8 8

P (E2 ) = 3 P(E3 ) = 1
8 8

จากสถานการณข์ า้ งต้นจะเห็นวา่ ส่ิงท่สี นใจไม่ใช่หนา้ ของเหรียญทป่ี รากฏในการโยนเหรยี ญแต่ละคร้ัง แตส่ นใจ

จำนวนครั้งทเี่ หรียญข้นึ หวั ในการทดสอบสุ่มน้ี ซึง่ มีคา่ เปน็ ไปได้ 4 คา่ คอื 0, 1, 2 และ 3 โดย จะยังไม่ทราบวา่

ค่าทไี่ ด้จริงๆคือค่าใดจนกว่าจะเสร็จส้นิ การทดสอบสุ่ม

จงึ อาจกำหนดฟงั ก์ชัน X จากปริภูมิตวั อย่าง S ไปยัง { 0 , 1 , 2 , 3 } เพ่ือแปลงผลลัพธท์ ่อี าจเป็นไปได้

ทัง้ หมดของการทดลองสุ่มให้อยใู่ นรูปตวั เลขโดยกำหนดให้

X(HHH) = 3 X(HHT) = 2
X(HTH) = 2 X(HTT) = 1
X(THH) = 2 X(THT) = 1
X(TTH) = 1 X(TTT) = 0

จะเรียก X วา่ ตัวแปรสุ่มซ่ึงมีบทนยิ ามดงั ต่อไปนี้

ตัวแปรส่มุ (random variable)
คอื ฟงั กช์ นั จากปรภิ ูมิตัวอยา่ งของการทดลองสุม่ ไปยังเซตของจำนวนจรงิ

จะเรียกสมาชิกของเรนจข์ องตวั แปรสุม่ วา่ คา่ ของตัวแปรสุ่มซง่ึ แตล่ ะคา่ จะเกิดไดด้ ว้ ยความนา่ จะเปน็ คา่ หนง่ึ

สถิตแิ ละความน่าจะเปน็ หนา้ |4
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

โดยท่วั ไปนยิ มใช้ตวั อักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่มเช่น X, Y, Z และใช้ตวั อักษรภาษาองั กฤษ
ตวั พิมพ์เล็กแทนคา่ ของตวั แปรสุ่มเช่น x, y, z
จากสถานการณ์โยนเหรยี ญทเ่ี ที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 คร้งั

ให้ x แทนค่าทีเ่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรส่มุ X จะได้ว่า x 0, 1, 2, 3

จะใช้สญั ลกั ษณ์ X = x แทนเหตกุ ารณท์ เ่ี หรียญข้นึ หวั x ครง้ั
ดงั นั้นจะเขยี น P(X = 0) แทน P(E0)หรอื ความนา่ จะเปน็ ท่ีเหรยี ญข้ึนหวั 0 คร้ัง

P(X = 1) แทน P(E1) หรือความน่าจะเปน็ ท่เี หรียญข้ึนหวั 1 ครง้ั
P(X = 2) แทน P(E2) หรือความนา่ จะเปน็ ท่เี หรยี ญขนึ้ หัว 2 คร้งั
P(X = 3) แทน P(E3) หรือความนา่ จะเป็นที่เหรยี ญข้นึ หวั 3 ครง้ั

ชนดิ ของตัวแปรสุ่ม
โดยทวั่ ไป ตวั แปรสุ่มแบ่งเป็น 2 ชนิดตามลกั ษณะของคา่ ท่ีเปน็ ไปได้ของตัวแปรส่มุ ดังนี้

1. ตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเนอื่ ง (discrete random variable) คอื ตัวแปรสุ่มท่คี ่าท่ีเปน็ ไปได้ทงั้ หมดอยใู่ นเซตท่ี
สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ หรอื ค่าทีเ่ ป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุม่ สามารถเขยี นเรยี งลำดับจากนอ้ ย
ไปมากได้ เซตของค่าท่ีเป็นไปไดท้ ง้ั หมดของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเนื่องอาจเปน็ เซตจำกดั หรือเซตอนนั ต์กไ็ ด้
ตัวอย่างเชน่

• ในการทอดลูกเตา๋ 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครั้งถ้าให้ตวั แปรสุ่มคือผลบวกของแต้มบนหนา้ ลูกเต๋าทั้งสองจะได้
เซตของคา่ ที่เปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสุ่มคือ { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

• ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 คร้ังถา้ ใหต้ วั แปรส่มุ เปน็ 0 เมื่อเหรียญข้นึ หัวและ 1 เมอ่ื เหรียญขึน้ ก้อยจะ
ไดเ้ ซตของค่าที่เปน็ ไปได้ท้งั หมดของตวั แปรสุม่ คือ {0, 1}

• ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญไปเรื่อย ๆ จนกวา่ เหรยี ญจะข้ึนหวั จงึ จะหยดุ ถ้าใหต้ ัวแปรสุ่มคือจำนวนครั้งที่
ตอ้ งโยนเหรียญจนกวา่ เหรียญจะขน้ึ หัวจะไดเ้ ซตของค่าท่เี ป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสุ่มคอื

{1, 2, 3, ...}

2. ตวั แปรสุ่มต่อเน่อื ง (continuous random variable) คือตัวแปรสุ่มทเ่ี ซตของคา่ ทเี่ ปน็ ไปได้ทง้ั หมด
เปน็ ชว่ งทเ่ี ป็นสบั เซตของ ตัวอยา่ งเชน่

• ใหต้ วั แปรสุม่ คอื ความสูง (เซนตเิ มตร) ของนักเรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ห้องหนึ่งอาจได้ว่าเซตของคา่ ท่ี
เป็นไปได้ทง้ั หมดของตวั แปรสุม่ เป็นชว่ ง 150,190

• ใหต้ ัวแปรส่มุ คือนำ้ หนัก (กิโลกรมั ) ของแตงโมทเ่ี ก็บเกยี่ วจากสวนแหง่ หนงึ่ อาจไดว้ า่ เซตของค่าที่เป็นไปได้
ทงั้ หมดของตัวแปรสมุ่ เป็นช่วง 1, 6

• ใหต้ วั แปรสุม่ คอื ระยะเวลา (ชว่ั โมง) นับจากปจั จบุ ันจนเกิดแผ่นดินไหวครง้ั ต่อไปทจ่ี ังหวดั ลำปางอาจไดว้ ่า
เซตของค่าท่ีเปน็ ไปได้ทั้งหมดมดของตัวแปรส่มุ เปน็ ชว่ ง 0,

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |5
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

แบบฝึกหัด 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงพจิ ารณาว่าตัวแปรสุม่ ต่อไปน้เี ปน็ ตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ืองหรือตัวแปรสุ่มตอ่ เน่ือง
1) ตวั แปรส่มุ X1 คือจำนวนข้อสอบ (ข้อ) ทตี่ อบถกู จากจำนวนขอ้ สอบแบบปรนัยท้งั หมด 50 ข้อ
ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนคนหนึง่

.....................................................................................................................................

2) ตวั แปรสมุ่ X2 คอื จำนวนวัยรุ่น (คน) ท่ชี ืน่ ชอบการด่มื ชาเขยี วจากการสอบถามวยั รนุ่ จำนวน
100 คน

.....................................................................................................................................

3) ตัวแปรสุ่ม X3 คืออุณหภมู ิรา่ งกาย (องศาเซลเซยี ส) ของผู้ปว่ ยโรคไขห้ วดั ใหญ่ในโรงพยาบาล
แหง่ หนงึ่

.....................................................................................................................................

4) ตัวแปรสุ่ม X 4 คือ น้ำหนกั (กโิ ลกรัม) ของทารกแรกเกิดในโรงพยาบาลแห่งหน่งึ

.....................................................................................................................................

5) ตัวแปรสมุ X 5 คือจำนวนลูกค้า (คน) ทีม่ าใชบ้ ริการท่ีธนาคารแห่งหนึง่ ระหวา่ งเวลา
09:00 - 12:00 น.

.....................................................................................................................................

6) ตวั แปรสมุ X 6 คือเวลา (นาท)ี ทีใ่ ชใ้ นการเดินทางจากสนามหลวงถึงอนสุ าวรยี ์ชัยสมรภูมิโดยรถ
โดยสารสาธารณะ

.....................................................................................................................................

สถติ แิ ละความน่าจะเปน็ หน้า |6
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่

2. จงเขียนคา่ ที่เปน็ ไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสมุ่ แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
1) ตัวแปรสุ่ม X คอื จำนวนหัวทเี่ กิดจากการโยนเหรียญพร้อมกัน 5 เหรยี ญ

.....................................................................................................................................

2) ตัวแปรสุ่ม Y แทนจำนวนลกู บอลสีแดงทีห่ ยบิ ไดจ้ ากกลอ่ งใบหนงึ่ ท่มี ีลูกบอลสแี ดง 4 ลูก และ
สีขาว 2 ลกู จากการหยบิ ลูกบอลอยา่ งสุ่ม 3 ลกู พรอ้ มกัน

...................................................................................................................................

3) ตัวแปรสุ่ม Z แทนผลบวกของแต้มจากโยนลกู เต๋าสองลูก

...................................................................................................................................

4) ตวั แปรสมุ่ X แทนจำนวนข้อทน่ี ักเรยี นจะทำข้อสอบไดถ้ ูกต้องจากขอ้ สอบเลือกตอบ 4 ตวั เลอื ก
จำนวน 10 ขอ้

...................................................................................................................................

5) ตวั แปรสมุ่ Y แทนระยะเวลาท่นี ักเรยี นใช้ในการเดินทางมาโรงเรียนให้ทนั เข้าแถวในตอนเชา้ เวลา
8.00 น. ถ้านักเรียนแต่ละคนออกจากบ้านเร็วสุดในเวลา 05.00 น.

...................................................................................................................................

6) ตวั แปรสุ่ม Y แทนอณุ หภูมขิ องรา่ งกายของลกู คา้ ก่อนเข้าร้านคา้ (ประมาณค่าตามความเปน็ จริง)

...................................................................................................................................

7) ตวั แปรสุ่ม Z แทนเวลาที่เด็นคนหน่ึงเลน่ เกมใน 1 วนั

...................................................................................................................................

สถติ แิ ละความน่าจะเป็น หนา้ |7
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

2. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเน่ือง

ตวั อยา่ งที่ 1 จำนวนพี่น้องของนักเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 ห้องหนึง่ จำนวน 50 คน

แสดงดว้ ยตารางความถไี่ ด้ดังนี้

จำนวนพี่นอ้ ง (คน) ความถ่ี ความถ่ีสมั พทั ธ์

0 8 0.16

1 21 0.42

2 16 0.32

3 3 0.06

4 2 0.04

ถา้ สมุ่ นกั เรยี น 1 คน จากห้องนี้ และใหต้ วั แปรสุ่ม X คอื จำนวนพนี่ อ้ งของนักเรียนทีส่ ุม่ ได้
จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีนักเรียนท่ีสุ่มไดจ้ ะมีพน่ี อ้ ง x คนเมอ่ื x 0, 1, 2, 3, 4

วิธที ำ สำหรับ x 0, 1, 2, 3, 4
จะไดว้ า่ P(X = x) คอื ความน่าจะเป็นท่นี กั เรียนทีส่ ุ่มได้จะมพี ี่น้อง x คน
ดงั น้นั P(X = 0) = .................................................

P(X = 1) = .................................................

P(X = 2) = .................................................

P(X = 3) = .................................................

P(X = 4) = .................................................

จากตวั อย่างข้างตน้ จะเหน็ วา่
◼ ความน่าจะเปน็ ของการเกิดคา่ แตล่ ะคา่ ที่เปน็ ไปได้ของตัวแปรสุ่มคือความถีส่ มั พัทธ์
◼ โดยท่วั ไปสำหรบั ตัวแปรสมุ่ X ใด ๆ จะได้ 0 P(X = x) 1
◼ ผลรวมของความนา่ จะเป็นของการเกดิ คา่ แตล่ ะค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตวั แปรสุ่มเท่ากบั 1

เมือ่ นำความนา่ จะเป็นของการเกดิ ค่าแตล่ ะคา่ ทเ่ี ปน็ ไปได้ท้ังหมดของตวั แปรส่มุ มาเขยี นแสดงเพ่ืออธิบายลกั ษณะ
ของตัวแปรสมุ่ จะเรียกว่าการแจกแจงความนา่ จะเปน็ (probability distribution) โดยอาจเขยี นแสดงในรปู
ตารางหรือกราฟเชน่ จากตวั อย่างขา้ งต้นสามารถเขียนตารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่ X
ได้ดงั น้ี

x01234

P(X = x)

สถิตแิ ละความน่าจะเป็น หน้า |8
ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ตวั อยา่ งท่ี 2 ใหต้ วั แปรส่มุ X คือจำนวนครั้งท่ีเหรยี ญขึ้นหวั จากการโยนเหรียญท่ีเที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 คร้ัง
จงเขียนแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปร X ในรูปตารางและกราฟ

วิธที ำ ให้ S แทนปรภิ ูมิตัวอยา่ งของการโยนเหรียญที่เท่ียงตรง 1 เหรียญ 3 คร้งั
และ H แทนเหรียญขนึ้ หวั
T แทนเหรยี ญขึน้ ก้อย

จะได้ S = ....................................................................................................

คา่ ทเ่ี ปน็ ไปได้ของตัวแปรสมุ่ X คอื 0, 1, 2 และ 3
เหตุการณ์ท่ี X = 0 คอื .........................................................

เหตกุ ารณท์ ่ี X = 1 คือ ........................................................

เหตุการณ์ท่ี X = 2 คอื ........................................................

เหตกุ ารณท์ ี่ X = 3 คอื .........................................................

ดงั นน้ั P(X = 0) = ........................................................
P(X = 1) = ........................................................
P(X = 2) = ........................................................
P(X = 3) = ........................................................

จะไดต้ ารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุม่ X ดงั น้ี

x 0123
P(X = x)

และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความนา่ เปน็ ของตัวแปรสุ่ม X ดังนี้

สถิตแิ ละความน่าจะเป็น หน้า |9
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

ตวั อย่างท่ี 3 ใหต้ ัวแปรสมุ่ X คือผลบวกของแต้มบนหนา้ ลูกเต๋า จากการทอดลกู เต๋าทเ่ี ท่ยี งตรง 2 ลกู พรอ้ มกัน
1 ครง้ั จงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ X ในรูปตารางและกราฟ

วธิ ีทำ ให้ S แทนปริภมู ิตวั อย่างของการทอดลูกเต๋าท่เี ที่ยงตรง 2 ลูกพร้อมกนั 1 ครั้ง
จะได้ S = ..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

ค่าทเ่ี ป็นไปได้ของตวั แปรสมุ่ X คือ ...................................................................................
เหตุการณ์ท่ี X = ....... คอื ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ X = ....... คือ ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี X = ....... คอื ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ X = ....... คอื ...................................................................................
เหตุการณ์ที่ X = ....... คอื ...................................................................................
เหตกุ ารณ์ที่ X = ....... คือ ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ X = ....... คอื ...................................................................................
เหตุการณท์ ่ี X = ....... คือ ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี X = ....... คอื ...................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี X = ....... คือ ...................................................................................
เหตุการณท์ ี่ X = ....... คอื ...................................................................................

ดังน้ัน P(X = ....... ) = .............. P(X = ....... ) = ..............
P(X = ....... ) = .............. P(X = ....... ) = ..............
P(X = ....... ) = .............. P(X = ....... ) = ..............
P(X = ....... ) = .............. P(X = ....... ) = ..............
P(X = ....... ) = .............. P(X = ....... ) = ..............
P(X = ....... ) = ..............

สถิติและความนา่ จะเป็น หนา้ |10
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่
จะไดต้ ารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรส่มุ X ดงั นี้

x

P( X = x)

และจะได้กราฟแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม X ดงั น้ี

สถิติและความนา่ จะเปน็ หน้า |11
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่

คา่ คาดหมายและสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรส่มุ ไม่ตอ่ เนอื่ ง

ต่อไปจะนิยามค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเน่อื งดงั น้ี

บทนิยาม 1 x นยิ ามโดย
คา่ คาดหมาย (expected value)ของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนื่อง X เขียนแทนด้วย

n

x = xiP(X = xi)

i=1

เมื่อ n แทนจำนวนค่าทเ่ี ป็นไปไดท้ ั้งหมดของตวั แปรสุม่ X
และ x1, x2 , x3 ,..., xn แทนค่าทเี่ ปน็ ไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่ม X

หมายเหตุ ในกรณที เ่ี ซตของค่าท่ีเป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่ม X เปน็ เซตอนนั ต์จะนิยามให้

x = xiP(X = xi)

i=1

แต่ในที่นจ้ี ะพิจารณาเฉพาะกรณที ่เี ซตของค่าที่เปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของตัวแปรสุ่มเปน็ เซตจำกัด

ตัวอยา่ งท่ี 4 จำนวนพีน่ ้องของนกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 หอ้ งหน่งึ จำนวน 50 คนแสดงดว้ ยตารางความถ่ี

ไดด้ งั นี้

จำนวนพี่นอ้ ง (คน) ความถ่ี P(X=x)

0 8 0.16

1 21 0.42

2 16 0.32

3 3 0.06

4 2 0.04

ถ้าสุม่ นกั เรยี น 1 คน จากหอ้ งน้ี และใหต้ ัวแปรสมุ่ X คอื จำนวนพนี่ อ้ งของนักเรียนทีส่ ่มุ ได้
จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสมุ X

วธิ ีทำ

สถิติและความน่าจะเป็น หนา้ |12
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม

หมายเหตุ

นักเรียนทราบแลว้ ว่าค่าเฉล่ยี เลขคณิตเป็นค่ากลางของข้อมูลที่หาไดจ้ ากการหารผลรวมของข้อมูลท้ังหมด

ด้วยจำนวนข้อมูลท่ีมีจากตัวอยา่ งท่ี 1จะไดว้ า่ ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของจำนวนพนี่ ้องของนักเรียน 50 คนคือ

0(8) + 1(21) + 2(16) + 3(3) + 4(2) = 1.4 คน
50

สังเกตวา่

0(8) + 1(21) + 2(16) + 3(3) + 4(2) = 0 8 +1 21 +2 16 +3 3 +4 2
50 50 50 50 50 50

และจากตวั อย่างที่ 4 จะเห็นว่า x =0 8 +1 21 +2 16 +3 3 +4 2
50 50 50 50 50

ดังน้ันคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของจำนวนพนี่ ้องของนักเรียน 50 คนเทา่ กบั ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X
เมื่อตัวแปรสมุ่ X คอื จำนวนพนี่ ้องของนกั เรียนทีส่ ุ่มได้

จึงอาจเรียกคา่ คาดหมายของตัวแปรสมุ่ วา่ ค่าเฉลี่ย (mean) ของตัวแปรส่มุ
นอกจากจะสามารถพิจารณาค่าคาดหมายเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุม่ แลว้ ค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่มยังสามารถใช้
ชว่ ยในการตดั สินใจเกีย่ วกับสถานการณ์ต่าง ๆไดด้ งั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 5 ในงานประจำปีของจงั หวดั หนง่ึ มีเกมวงล้อเส่ียงโชคโดยมีกติกาวา่ ผู้เลน่ จะตอ้ งหมุนวงลอ้ ท่มี ี
หมายเลข 1-7 กำกับไว้ ดงั รูป ถ้าลกู ศรชี้ทช่ี อ่ งท่มี ีหมายเลขที่กำกบั เป็นจำนวนค่ี ผเู้ ล่นจะได้เงิน
รางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแตล่ ะครั้งโอกาสท่ีลกู ศรจะช้ีทชี่ ่องใดช่องหนงึ่ เท่ากันและ
ในการเลน่ เกมวงลอ้ เส่ียงโชคแตล่ ะครั้งผู้เล่นจะต้องจา่ ยเงนิ ซือ้ ตว๋ั ราคา 10 บาท
จงหาคา่ คาดหมายของจำนวนเงนิ ท่ผี ู้เล่นจะได้รับหรือเสยี ไปพรอ้ มทั้งอธบิ ายความหมาย

วิธที ำ

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หนา้ |13
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุม่

นอกจากนจ้ี ะสามารถนิยามส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม่ เพ่ือใช้ในการวดั การกระจายของค่าท่เี ปน็ ไปได้
ของตัวแปรสุม่ วา่ มคี วามแตกตา่ งจากค่าคาดหมายมากหรือน้อยเพยี งใดดังบทนยิ ามต่อไปน้ี

บทนิยาม 2

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนือ่ งX เขียนแทนดว้ ย x นิยามโดย

x= n x)2 P(X = xi)

(xi −
i =1

และเรยี ก 2 วา่ ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเนือ่ ง X
x

เม่อื n แทนจำนวนค่าทเ่ี ปน็ ไปได้ทงั้ หมดของตัวแปรส่มุ X

และ x1, x2 , x3 ,..., xn แทนค่าทเ่ี ป็นไปได้ท้ังหมดของตัวแปรสุ่ม X

หมายเหตุ ในกรณีท่ีเซตของค่าทเี่ ปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดของตวั แปรสุ่ม Xเป็นเซตอนันต์จะนยิ ามให้

x= n x)2 P(X = xi) แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณที ีเ่ ซตของคา่ ทเ่ี ปน็ ไปได้

(xi −
i =1

ทัง้ หมดของตัวแปรสุ่มเปน็ เซตจำกดั

ตัวอยา่ งที่ 6 ใหต้ วั แปรสมุ่ X คอื จำนวนคร้ังที่เหรียญขึ้นหัวจากการโยนเหรยี ญทีเ่ ที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง
จงหา ค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X

วธิ ีทำ

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หนา้ |14
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ตวั อยา่ งที่ 7 ให้ตัวแปรสมุ่ Y คอื ผลบวกของแต้มบนหน้าลกู เต๋า จากการทอดลูกเต๋าท่ีเทีย่ งตรง 2 ลกู
พรอ้ มกัน 1 ครั้ง จงหาค่าคาดหมายความแปรปรวนและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม Y

วิธีทำ

สถิติและความนา่ จะเปน็ หนา้ |15
ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

แบบฝกึ หัด 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. ขอ้ สอบย่อยวชิ าคณิตศาสตรช์ ุดหน่ึงมีท้งั หมด 10 ขอ้ จำนวนข้อท่ีตอบถูกในการสอบย่อยวชิ า
คณิตศาสตร์ครัง้ น้ขี องนักเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ห้องหนงึ่ จำนวน 40 คนแสดงดว้ ยตารางความถ่ีได้
ดงั น้ี
จำนวนขอ้ ทีต่ อบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จำนวนนักเรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

ถ้าสุ่มนักเรียน 1คนจากห้องนี้ และ ใหต้ วั แปรส่มุ X คือจำนวนข้อท่ีนกั เรียนคนนี้ตอบถูก
จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ในรปู ตาราง

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หนา้ |16
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่

2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค้าชนดิ หน่งึ ซง่ึ มที ั้งหมด 80 กลอ่ ง แตล่ ะกลอ่ งมสี นิ คา้ จำนวน 100 ชน้ิ

ผ้ตู รวจสอบจะสุม่ สนิ ค้าจากแต่ละกล่องมาตรวจสอบกลอ่ งละ 100 ชน้ิ โดยแสดงผลการตรวจสอบด้วย

ตารางความถี่ได้ดังนี้

จำนวนสินค้าทไ่ี มผ่ ่านมาตรฐาน

จากสินค้า 100 ชิ้นทสี่ ุม่ มา 0 12 3 4 56
ตรวจสอบจากแต่ละกลอ่ ง (ชิ้น)

จำนวนกลอ่ ง 41 17 14 4 3 0 1

ถา้ สมุ่ กล่องสินคา้ มา 1 กลอ่ งจากกลอ่ งสินคา้ ทั้งหมด 80 กล่อง และ ให้ตัวแปรส่มุ Y คือจำนวนสินคา้ ที่ไม่
ผา่ นมาตรฐานจากสินค้า 100 ช้นิ ที่สมุ่ มาตรวจสอบจากกลอ่ งน้ีจงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะ
เป็นของตัวแปรสุ่ม Y ในรูปตาราง

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |17
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

3. ให้ตวั แปรสุ่ม Z คือผลต่างของแตม้ บนหน้าลูกเต๋าจากการทอดลูกเต๋าท่เี ท่ยี งตรง 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครั้ง
จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ Z ในรปู ตารางและกราฟ

4. ขอ้ สอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมที ้ังหมด 10 ขอ้ จำนวนข้อที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชา
คณิตศาสตร์คร้งั นขี้ องนักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 หอ้ งหนึ่งจำนวน 40 คนแสดงด้วยตารางความถี่ได้
ดงั น้ี
จำนวนข้อท่ตี อบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จำนวนนักเรยี น (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

ถ้าสุ่ มนกั เรยี น 1คนจากห้องนี้ และ ใหต้ วั แปรสมุ่ X คือจำนวนขอ้ ทีน่ ักเรยี นคนนตี้ อบถูก
จงหาคา่ คาดหมายความแปรปรวนและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |18
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

5. ใหต้ วั แปรสมุ่ Y คือผลตา่ งของแต้มบนหนา้ ลูกเต๋าจากการทอดลูกเต๋าทีเ่ ท่ยี งตรง 2 ลกู พร้อมกนั 1 คร้ัง
จงหาคา่ คาดหมายความแปรปรวนและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุม่ Y

6. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค้าชนดิ หนึง่ ซง่ึ มที ั้งหมด 80 กล่อง แตล่ ะกล่องมสี นิ ค้าจำนวน 100 ช้ิน

ผูต้ รวจสอบจะสุม่ สินคา้ จากแต่ละกล่องมาตรวจสอบกล่องละ 100 ชิ้นโดยแสดงผลการตรวจสอบดว้ ย

ตารางความถ่ีไดด้ ังนี้

จำนวนสนิ ค้าทไ่ี มผ่ ่านมาตรฐาน

จากสินค้า 100 ชนิ้ ทีส่ ุ่มมา 0 12 3 4 56
ตรวจสอบจากแต่ละกล่อง (ช้นิ )

จำนวนกลอ่ ง 41 17 14 4 3 0 1

ถา้ สมุ่ กล่องสนิ ค้ามา 1 กลอ่ งจากกลอ่ งสินค้าท้ังหมด 80 กลอ่ ง และ ใหต้ ัวแปรสมุ่ Z คือจำนวนสนิ ค้าทีไ่ ม่
ผา่ นมาตรฐานจากสินค้า 100 ชน้ิ ท่ีสุ่มมาตรวจสอบจากกลอ่ งน้ี จงหาค่าคาดหมายความแปรปรวนและ
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ Z

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |19
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

7. กลอ่ งใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อันโดยมีหมายเลข 3, 5, 6, 7, 8 และ 11 กำกับไวถ้ ้าสุ่มหยบิ เบย้ี 2อนั โดย

หยบิ เบี้ยทลี่ ะอันและไม่ใส่คืนกอ่ นหยบิ เบย้ี อนั ทีส่ อง
ใหต้ ัวแปรส่มุ X คือผลบวกของหมายเลขบนเบยี้ ทง้ั สองอันท่ีสุ่มได้
1) จงหาคา่ คาดหมายของตัวแปรสุ่ม Xพรอ้ มทั้งอธบิ ายความหมาย
2) จงหาความแปรปรวนและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม X

8. ลูกคา้ รายหนง่ึ ยงการทำประกันชวี ติ กบั บริษทั ม่ันใจประกนั ชีวติ โดยกำหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท
(นน่ั คือในกรณีท่ลี ูกค้าเสยี ชีวิต บริษัทจะต้องจา่ ยเงนิ ให้ผู้รบั ประโยชนท์ ีล่ กู คา้ ระบุไว้เป็นจำนวนเงนิ
2,000,000 บาท) และลูกคา้ จะตอ้ งจ่ายค่าเบ้ียประกันปลี ะ 50, 000 บาท ถา้ ลกู คา้ รายนี้มีภาวะหยุด
หายใจขณะหลับ (obstructive sleep apnea)โดยโอกาสท่เี ขาจะเสียชวี ติ ในแตล่ ะปคี ิดเป็นร้อยละ 1
จงพจิ ารณาวา่ ถ้าบริษทั มัน่ ใจประกันชวี ติ รบั ทำประกันชวี ิตใหก้ บั ลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรหรือขาดทนุ
โดยเฉลี่ยปีละกบี่ าท

สถิตแิ ละความนา่ จะเปน็ หนา้ |20
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

9. จากการตรวจสอบคณุ ภาพของสินค้าชนิดหนง่ึ จำนวน 60 ชิน้ ไดข้ ้อมลู จำนวนรอยตำหนิบนสนิ คา้ แตล่ ะ

ขึ้นดงั ตารางต่อไปนี้

จำนวนรอยตำหนิบนสนิ คา้ (แห่ง) 0 1 2 3

จำนวนสนิ ค้า (ชนิ้ ) 47 4 6 3

ถ้าผู้ขายไดก้ ำไรจากการขายสินคา้ ทไ่ี มม่ ีรอยตำหนชิ ้ินละ 20 บาทแต่ถา้ สนิ ค้ามีรอยตำหนิจะเสยี คา่
ซ่อมแซมแห่งละ 11 บาท จงหาค่าคาดหมายของรายไดจ้ ากการขายสนิ คา้ 1 ช้ิน

สถติ ิและความน่าจะเปน็ หนา้ |21
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

2.1 การแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเนือ่ ง

บทนิยาม 3

ให้ X เปน็ ตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ืองถ้าค่าที่เป็นไปได้ท้งั หมดของ X คือ x1, x2 , x3 ,..., xn
แลว้ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม Xเป็นการแจกแจงเอกรปู ไม่ตอ่ เน่อื ง

(discrete uniform distribution) เมือ่

P(X = xi) = 1 สำหรับทกุ i {1, 2, 3, ... , n}
n

จากบทนิยามจะเหน็ วา่ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุม่ จะเปน็ การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเนอ่ื งเมอื่
การเกิดคา่ แต่ละคา่ ท่ีเปน็ ไปไดข้ องตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 8 ในการทอดลูกเต๋าทีเ่ ทยี่ งตรง 1 ลูก 1 ครั้งให้ตวั แปรสุม่ X คอื แต้มบนหนา้ ลูกเต๋า จงพิจารณาวา่ การ
แจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรส่มุ X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนือ่ งหรอื ไม่พร้อมทง้ั เขยี น
แสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ในรูปตารางและกราฟ

วธิ ีทำ

สถติ ิและความน่าจะเป็น หน้า |22
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

ตวั อยา่ งท่ี 9 ลูกคิดสุ่มหยบิ สลาก 1 ใบจากกลอ่ งท่ีบรรจุสลาก 4 ใบ แตล่ ะใบระบจุ ำนวนเงินรางวัลแตกตา่ งกนั คอื
20, 50, 100 และ 500 บาทให้ตวั แปรสมุ่ X คือจำนวนเงินรางวลั ทีล่ กู คิดจะได้รบั
1) จงพจิ ารณาวา่ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเน่ือง
หรือไม่
2) คา่ คาดหมายของตัวแปรสุ่ม X
3) ถา้ ลูกคิดต้องจา่ ยเงนิ ซือ้ ต๋ัวราคา 150 บาทเพื่อหยบิ สลาก 1 ใบ จงพจิ ารณาว่าถา้ ลูกคิดสมุ่ หยบิ
สลากหลาย ๆครั้งโดยเฉลี่ยแล้วลูกคดิ ได้เปรยี บหรือเสยี เปรียบ

วิธีทำ

สถติ ิและความน่าจะเปน็ หนา้ |23
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

แบบฝึกหัด 2.1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงพิจารณาวา่ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ต่อไปนี้เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเนื่องหรือไม่

พร้อมทั้งให้เหตผุ ลประกอบ

1) ตวั แปรสมุ่ X1 คือจำนวนคร้ังท่ีเหรยี ญข้นึ หวั จากการโยนเหรยี ญทเี่ ทย่ี งตรง 1 เหรยี ญ 1 คร้ัง
2) ตัวแปรสมุ่ X2 คือจำนวนครั้งท่เี หรียญขึ้นก้อยจากการโยนเหรยี ญทีเ่ ทยี่ งตรง 1 เหรยี ญ 10 ครัง้
3) ตัวแปรสมุ่ X3 คือผลรวมของเงินรางวลั ทีไ่ ดร้ บั จากการสุม่ หยิบสลาก 1 ใบพร้อมกนั จากกล่องท่ี

บรรจุสลาก 4 ใบโดยแตล่ ะใบระบจุ ำนวนเงินรางวลั แตกตา่ งกนั คอื 10, 30, 60 และ 80 บาท

4) ตัวแปรสุม่ X4 คือจำนวนสินค้าที่ไม่ผ่านมาตรฐานเม่ือสุ่มกล่องสนิ คา้ มา 1 กลอ่ งจากกล่องสินค้า
ทัง้ หมด 80 กลอ่ ง โดยข้อมลู จำนวนสินคา้ ท่ไี มผ่ ่านมาตรฐานในแตก่ ล่องแสดงด้วยตารางความถี่ได้ดงั น้ี

จำนวนสนิ ค้าทไี่ ม่ผ่านมาตรฐานใน

แต่ละกล่อง (ชิ้น) 01234

จำนวนกล่อง 16 16 16 16 16

สถติ ิและความน่าจะเปน็ หนา้ |24
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2. ถา้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนอื่ งและค่าทีเ่ ป็นไปได้
ของตัวแปรสมุ่ X คือ 5, 6, 7, 8, 9 และ 10 จงหาค่าคาดหมายความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของตวั แปรส่มุ X

3. ครูประจำชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 หอ้ งหน่ึงได้นำของขวัญมาร่วมจบั สลากในวันข้ึนปใี หมโ่ ดยมลู ค่าของ
ของขวญั ท่นี อ้ ยท่ีสุดคือ 100 บาทและเมอื่ นำมูลคา่ ของของขวัญทง้ั หมดมาเรยี งลำดับจากนอ้ ยไปมาก
พบวา่ มูลคา่ ของของขวญั ที่อยู่ติดกันจะต่างกนั 100 บาท ถ้าความน่าจะเป็นทน่ี กั เรียนจะไดข้ องขวญั แต่
ละช้นิ มคี า่ เทา่ กันคือ 0.125 จงหาวา่ ของขวัญท้ังหมดท่คี รูนำมาจบั สลากมีมลู คา่ เท่าใด

สถติ ิและความนา่ จะเปน็ หนา้ |25
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรส่มุ

4. ในงานประจำปีของโรงเรียนแหง่ หนง่ึ มีเกมลูกเตเส่ยี งโชคโดยมกี ติกาว่าผูเ้ ลน่ จะต้องทอดลกู เตา่ ท่ีเท่ยี งตรง
1 ลกู ถา้ ลูกเตา๋ ขึ้นแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 หรอื 6 ผู้เล่นจะไดเ้ งินรางวลั 30, 18, 12, 10 , 5 หรอื a บาท
ตามลำดับโดยที่ 0 a 5 ให้ตัวแปรสมุ่ Z คือเงนิ รางวลั ทผ่ี ้เู ล่นจะไดร้ ับจากการเลน่ เกมลกู เต๋า
เส่ียงโชค
1) ถา้ a = 5 จงพิจารณาวา่ ตัวแปรสมุ่ Zเปน็ การแจกแจงเอกรูปไม่ตอ่ เน่ืองหรอื ไม่
พร้อมทั้งใหเ้ หตุผลประกอบ
2) จงยกตัวอย่างคา่ ของ a ท่ีทำใหต้ ัวแปรสุ่ม Zเปน็ การแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเน่ือง
3) ถา้ a = 1 ผ้จู ัดเกมนค้ี วรต้งั ราคาตั๋วสำหรับเลน่ เกมอยา่ งนอ้ ยเทา่ ใด (ตอบเปน็ จำนวนเตม็ )
โดยเฉล่ียแล้วจึงจะไม่ขาดทนุ เมอื่ มีการเลน่ เกมลกู เต๋าเส่ยี งโชคหลาย ๆ คร้ัง

5. เกมวงล้อเสย่ี งโชคมีกตกิ าการเล่นคือผเู้ ลน่ จะต้องหมนุ วงล้อรปู วงกลมท่แี บง่ เปน็ 10 ของเท่า ๆ กันโดย
แตล่ ะชอ่ งระบุจำนวนเงินรางวลั แตกตา่ งกันคือ 50, 100, 150, 200, ..., 500 บาทถา้ ลูกศรช้ีท่ีชอ่ งใด
ผู้เล่นจะได้เงนิ รางวัลตามทร่ี ะบุในซองนน้ั สมมติวา่ ในการหมุนวงลอ้ แตล่ ะครงั้ โอกาสท่ีลูกศรจะช้ีทช่ี อ่ งใด
ชอ่ งหนึง่ เทา่ กันและในการเล่นเกมวงลอ้ เสี่ยงโชคแตล่ ะครั้งผู้เล่นจะต้องจา่ ยเงนิ ซื้อตั๋วราคา 300 บาท
นักเรยี นจะเลน่ เกมนีห้ รือไม่เพราะเหตุใด

สถติ ิและความน่าจะเปน็ หนา้ |26
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

2.2 การแจกแจงทวนิ าม

นกั เรยี นได้ศึกษาเกย่ี วกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเน่ืองซึง่ เปน็ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

อย่างง่ายเน่ืองจากการเกดิ คา่ แต่ละคา่ ทีเ่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรสมุ่ มคี วามนา่ จะเปน็ เทา่ กันซึ่งอาจพบได้ไม่มากนักใน

ชวี ติ จรงิ สำหรับหัวขอ้ นีจ้ ะศึกษาเกีย่ วกบั การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ทีม่ ลี ักษณะเฉพาะประเภทหน่ึง

ซง่ึ ความละค่าทเ่ี ปน็ ไปได้ของตวั แปรสุ่มไมจ่ ำเปน็ ต้องเท่ากัน เช่น

เมือ่ กำหนดใหต้ วั แปรสมุ X คือจำนวนครง้ั ท่ีเหรียญขนึ้ หัวจากการโยนเหรยี ญทเี่ ทย่ี งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง

จะได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องสงั เกตว่าในแต่ละครัง้ ทโี่ ยนเหรียญจะมีผลลัพธ์ทเี่ ป็นไปได้ 2 แบบคือเหรียญขึน้

หวั หรอื กอ้ ย แตจ่ ากการกำหนดตัวแปรสมุ่ X จะเห็นว่าสนใจจำนวนครั้งท่เี หรยี ญข้นึ หวั จึงอาจพิจารณาวา่ ในการ

โยนเหรียญแตล่ ะครงั้ ถ้าเหรียญขึน้ หวั สำเรจ็ แต่ถา้ เหรยี ญข้ึนกอ้ ยคือไมส่ ำเร็จดังน้นั สามารถพิจารณาวา่ ตัวเปรสมุ่ คอื

จำนวนครัง้ ของการเกิดผลสำเร็จจากการโยนเหรยี ญทีเ่ ท่ียงตรง 1 เหรียญเป็นจำนวน 3คร้งั เชน่ เหตกุ ารณ์ที่

X = 1ซ่งึ คอื HTT, THT, TTH หมายความว่าแตล่ ะสมาชกิ ในเหตกุ ารณ์น้ีติดผลสำเรจ็ 1คร้ัง (เหรียญ

ขนึ้ หัว 1 ครง้ั ) และไมเ่ กิดผลสำเรจ็ 2 คร้ัง (เหรียญข้นึ ก้อย 2 คร้งั )นอกจากนจ้ี ะเหน็ ว่าผลทีไ่ ดจ้ ากการโยนเหรยี ญ

ในครั้งก่อนหนา้ ไมส่ ่งผลต่อการโยนเหรียญคร้ังตอ่ ไปและความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะเกดิ ผลสำเรจ็ ในการโยนเหรยี ญแตล่ ะ

ครัง้ เทา่ กันคือ 1
2

การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มในตัวอยา่ งข้างต้นเรยี กวา่ การแจกแจงทวนิ าม ซ่ึงมบี ทนิยามดังน้ี

บทนิยาม 4
การแจกแจงทวินาม (binomial distribution)คือการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรส่มุ X
ซ่ึงคือจำนวนคร้งั ของการเกดิ ผลสำเรจ็ จากการทดลองสมุ่ n ครงั้ ทเี่ ปน็ อิสระกันโดยในแตล่ ะคร้ังมโี อกาส
เกดิ ผลสำเรจ็ ด้วยความนา่ จะเป็นเท่ากับ p และไมเ่ กดิ ผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเทา่ กับ 1-p

หมายเหตุ 1. เรียก nและ pวา่ พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวนิ ามและเขยี นสัญลกั ษณ์ X B(n, p)
เพอ่ื แสดงว่าการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่ X เป็นการแจกแจงทวินามที่มี n
และ p เป็นพารามเิ ตอร์

2. การทดลองสมุ่ 1 คร้งั ท่ีมีผลลพั ธท์ เี่ ป็นไปได้ 2แบบคือสำเรจ็ หรอื ไม่สำเรจ็ เรียกวา่ การลอง
แบรน์ ูลลี (Bernoulli trial)เช่นการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |27
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

จากบทนิยามขา้ งตน้ สรุปไดว้ ่าการแจกแจงทวินามคอื การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนอ่ื งทมี่ ี
ลกั ษณะดังต่อไปน้ี
1. เกิดจากการทดลองส่มุ จำนวน n ครั้งทีเ่ ปน็ อิสระกนั กล่าวคือผลท่ไี ดจ้ ากการทดลองสุ่ม ในครง้ั ก่อนหน้า

ไมส่ ่งผลตอ่ การทดลองส่มุ ในครัง้ ต่อๆไป
2. การทดลองส่มุ แตล่ ะครั้งมีผลลพั ธ์ท่เี ป็นไปได้เพียง 2 แบบคือ สำเร็จหรอื ไม่สำเร็จ
3. ความน่าจะเปน็ ทีจ่ ะเกิดผลสำเร็จในการทดลองสุ่มแตล่ ะคร้ังเท่ากนั ใหเ้ ป็น p เมอ่ื 0 p 1 และจะ

ไดว้ า่ ความนา่ จะเปน็ ที่จะไม่เกิดผลสำเรจ็ ในการทดลองสุ่มแตล่ ะคร้ังเปน็ 1 − p

ทฤษฎบี ทต่อไปนีใ้ ช้ในการหาความนา่ จะเปน็ ค่าคาดหมายและส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ ทม่ี ีการแจก
แจงความน่าจะเป็นเปน็ การแจกแจงทวินามโดยในทีน่ จ้ี ะขอละการพสิ ูจน์

ทฤษฎบี ท 1

ถ้าการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มX เปน็ การแจกแจงทวินาม จะไดว้ า่

1. P(X = x) = n px (1 − p)n−x สำหรบั ทุก x 0, 1, 2,..., n
x

2. x = np

3. x = np(1 − p)

เมอื่ n แทนจำนวนคร้งั ของการทดลองสุ่ม
และ p แทนความน่าจะเป็นที่จะเกดิ ผลสำเรจ็ ในการทดลองสุ่มแตล่ ะคร้ัง

ขอ้ สงั เกต จากทฤษฎบี ท 1 ข้อ 1 และทฤษฎบี ททวินามจะได้วา่

n nn px(1 − p)n−x = (p + (1 − p))n = 1
P(X = x) =
x
x=0 x=0

ตวั อย่างที่ 10 กำหนดให้ X B (5, 0.2) จงหา (2) P X 3)

1) P (X = 3) 4) P (3 X 5)
3) P (X 4)

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หน้า |28
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

ตวั อยา่ งที่ 11 ให้ตวั แปรสมุ X คอื จำนวนครง้ั ทีล่ ูกเตา๋ ขึ้นแต้ม 5 จากการทอดลกู เตา๋ ที่เท่ียงตรง 1 ลูก 7 ครัง้
1) จงพิจารณาวา่ การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวนิ ามหรอื ไม่
2) จงหาความน่าจะเปน็ ท่ลี ูกเต๋าขึ้นแต้ม 5 เปน็ จำนวน 5 คร้ัง
3) จงเขยี นแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรส่มุ X ในรปู ตารางและกราฟ
4) จงหาคา่ คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ X

วิธีทำ

สถติ ิและความน่าจะเป็น หนา้ |29
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่

ตวั อย่างที่ 12 ในการรักษาโรคมะเร็งดว้ ยสมนุ ไพรที่คดิ ค้นขน้ึ มาใหม่พบวา่ เม่ือผูป้ ว่ ยรับประทานสมนุ ไพรชนิดน้ี
ต่อเนอ่ื งกนั ไปตามแพทยส์ งั่ ในช่วงระยะเวลาหนงึ่ ความน่าจะเป็นทผี่ ปู้ ่วยแตล่ ะคนจะหายจาก
โรคมะเร็งเป็น 0.5 ถา้ นักวจิ ัยสุ่มผปู้ ่วยโรคมะเร็งที่มารับการรกั ษาดว้ ยสมนุ ไพรน้ีจำนวน 6 คน
1) จงึ หาความน่าจะเป็นทีจ่ ะมผี ู้ป่วยหายจากโรคมะเรง็ อยา่ งน้อย 3
2) คนจงหาคา่ คาดหมายและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของจำนวนผปู้ ว่ ยทหี่ ายจากโรคมะเร็งพร้อม
ทง้ั อธิบายความหมาย

วิธีทำ

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หน้า |30
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

ตวั อย่างที่ 13 จากขอ้ มูลเกี่ยวกบั คณุ ภาพของสนิ คา้ ซึ่งเก็บรวบรวมมาในอดตี ทำให้ทราบวา่ ความน่าจะเป็นท่ี
สนิ คา้ แต่ละชิน้ จะชำรุดเป็น 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคณุ ภาพสนิ ค้าของโรงงานมีหลักการ
คอื พนักงานจะส่งสนิ คา้ จำนวน 5 ชน้ิ จากแต่ละกล่องเพ่ือตรวจสอบคุณภาพถ้าตรวจพบสินคา้ ชำรุด
ไม่เกิน 1 ชิ้นสนิ ค้ากลอ่ งน้ันจะผ่านการตรวจสอบคณุ ภาพ
1) จงหาความน่าจะเป็นท่ีสินค้าแตล่ ะกล่องทีส่ ง่ มาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ
2) ในการผลติ สินคา้ คร้งั หน่ึงฝา่ ยผลิตของโรงงานสง่ สนิ คา้ มาใหพ้ นักงานตรวจสอบคุณภาพจำนวน
100 กลอ่ งจะมสี ินค้าทีผ่ ่านการตรวจสอบคุณภาพที่กล่อง

วิธีทำ

สถิติและความนา่ จะเปน็ หนา้ |31
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม

แบบฝึกหดั 2.2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. กำหนดให้ X B (6, 0.3) จงหา

1) P (X = 2)

(2) P X 2)

3) P (X 2)

4) P (2 X 5)

2. ในการโยนเหรยี ญทีไ่ มเ่ ทีย่ งตรงเหรยี ญหนง่ึ พบวา่ ความนา่ จะเปน็ ท่เี หรียญข้ึนก้อยในการโยนเหรียญแต่
ละคร้ังเทา่ กบั 0.6 ให้ตัวแปรสมุ่ X คือจำนวนคร้ังทเ่ี หรียญข้ึนหัวจากการโยนเหรยี ญนี้ 6 ครั้ง
1) จงหาคา่ ทเี่ ปน็ ไปได้ของตัวแปรส่มุ X
2) จงพจิ ารณาวา่ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม X เป็นการแจกแจงทวนิ ามหรือไม่พรอ้ มทัง้
ใหเ้ หตุผลประกอบ
3) จงหาความน่าจะเปน็ ที่เหรียญข้นึ หัวนอ้ ยกว่า 3 คร้ัง
4) โดยเฉลีย่ แลว้ เหรยี ญจะขนึ้ หวั กีค่ รง้ั
5) จงหาความแปรปรวนและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ X

สถิติและความนา่ จะเปน็ หน้า |32
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

3. ให้ตัวแปรสุ่ม Y คือจำนวนคร้ังที่ไดแ้ ต้มเป็นจำนวนคู่จากการทอดลูกเต๋าทเ่ี ที่ยงตรง 1 ลกู 8 ครัง้
1) พิจารณาวา่ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสมุ่ Y เป็นการแจกแจงทวนิ ามหรอื ไม่พร้อมทั้งให้
เหตุผลประกอบ
2) จงหาความน่าจะเป็นทไ่ี ด้แต้มเป็นจำนวนคู่5 ครัง้
3) จงหาความนา่ จะเปน็ ท่แี ต้มเป็นจำนวนนอ้ ยกว่า 8 ครั้ง
4) จงหาคา่ คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Y

9

4. ความน่าจะเป็นทีโ่ สภติ าจะชอ่ื ชานมไขม่ ุกในแต่ละวันเท่ากบั 10
จงหาความน่าจะเปน็ ทโ่ี สภิตาจะซ้อื ชานมไข่มกุ ไม่เกิน 2 วนั ในหนง่ึ สปั ดาห์

5. ในการแข่งขนั ตอบโจทยป์ ัญหาทางวชิ าการของโรงเรียนแห่งหนงึ่ มีผู้เข้าร่วมการแขง่ ขันจำนวน 6 คน5.
ทำการแข่งขนั ท้ังหมด 5 ครงั้ ถ้าภัคนินทร์เป็นหน่ึงในผูเ้ ข้าแข่งขนั และความน่าจะเป็นที่ภัคนนิ ทร์จะชนะ
การแขง่ ขันในแต่ละครัง้ เท่ากันโดยเท่ากบั 0.3 จงหาความนา่ จะเป็นทภี่ คั นินทร์จะชนะการแข่งขันอยา่ ง
นอ้ ย 1 ครัง้

สถติ ิและความน่าจะเปน็ หน้า |33
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรส่มุ

6. จากข้อมลู เกยี่ วกบั ปัญหาทีเ่ กิดขึน้ ในกระบวนการผลิตแผงวงจรไฟฟา้ ของโรงงานผลิตอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์
แห่งหนึ่งพบว่าแผงวงจรไฟฟา้ ท่ีชำรุดแตล่ ะแผน่ เกดิ จากสาเหตใุ ดสาเหตหุ นึง่ ดว้ ยความนา่ จะเปน็ ดังต่อไปนี้

สาเหตุ ความน่าจะเป็น
โลหะบัดกรเี ป็นรู
อปุ กรณ์เชื่อมไม่ตดิ 0.4
อุปกรณ์แตกรา้ ว 0.3
อืน่ ๆ 0.2
0.1

ถา้ พนักงานสมุ่ แผงวงจรไฟฟา้ ทช่ี ำรดุ จำนวน 3 แผน่ จงหา
1) ความน่าจะเปน็ ทีแ่ ผงวงจรไฟฟา้ ทง้ั สามแผน่ ชำรุดเน่ืองจากโลหะบัดกรเี ป็นรู
2) ความน่าจะเปน็ ท่มี แี ผงวงจรไฟฟ้า 2 แผน่ ชำรุดเนือ่ งจากอปุ กรณ์เชื่อมไม่ตดิ
3) ค่าคาดหมายและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของจำนวนแผงวงจรไฟฟ้าท่ีชำรดุ เน่ืองจากอุปกรณ์ แตกรา้ ว

7. จากข้อมลู ของศนู ย์ควบคุมและลงั การจราจรพบวา่ ความนา่ จะเปน็ ที่รถยนต์แตล่ ะคนั จะเปล่ยี นชอ่ ง ทางเดนิ
รถในพืน้ ที่ห้าม (เสน้ ทึบ) บริเวณสแ่ี ยกไฟแดงแหง่ หนึ่งเป็น 0.75 ถา้ ส่งรถยนต์ที่วิง่ ผา่ นป้อมควบคุม
สญั ญาณไฟจราจรบริเวณส่ีแยกน้มี า 9 คนั จงหา
1) ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะพบรถยนตเ์ ปล่ียนชอ่ งทางเดินรถในพน้ื ทห่ี ้าม (เส้นทึบ) 4 คัน
2) ความน่าจะเป็นท่จี ะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดนิ ในพื้นทหี่ า้ ม (เส้นทึบ) ไม่เกิน 3 คัน
3) ความน่าจะเปน็ ท่ีจะพบรถยนต์เปลย่ี นช่องทางเดินรถในพืน้ ที่หา้ ม (เสน้ ทึบ) มากกว่า 6 คนั
4) คา่ คาดหมายและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของจำนวนรถยนต์ท่เี ปลย่ี นชอ่ งทางเดนิ รถ ในพืน้ ทีห่ ้าม
(เสน้ ทับ)

สถิตแิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |34
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

8. สาเหตุหนึง่ ของภาวะคอเลสเตอรอลสงู เกดิ จากมิวเทชนั ของยีน LDLR (low-density lipoprotein

receptor) ท่เี กี่ยวข้องกับการสร้างตัวรบั LDL ท่ีบริเวณเยื่อหุ้มเซลล์ซึ่งส่งผลต่อระดับคอเลสเตอรอล

ในเลือดดงั รายละเอยี ดต่อไปน้ี

บคุ คลที่มจี ีโนไทป์ LH LH สามารถสร้างตวั รับ LDL ได้

บคุ คลทมี่ จี ีโนไทป์ LH Lh สามารถสร้างตวั รบั LDL ไดใ้ นปรมิ าณนอ้ ย สง่ ผลให้มโี อกาส มี

ระดับคอเลสเตอรอลในเลอื ดค่อนข้างสงู ในเลือดสูง

บคุ คลทม่ี จี ีโนไทป์ Lh Lh ไม่สามารถสรา้ งตวั รับ LDL ได้ ซึ่งส่งผลตอ่ ระดบั คอเลสเตอรอลใน

เลอื ดสูงมากและมโี อกาสเปน็ โรคหัวใจต้งั แตอ่ ายุยังน้อยได้

สำหรับพอ่ และแม่ทม่ี ีจีโนไทป์ LH Lh ความนา่ จะเป็นทลี่ ูกแต่ละคนจะมจี โี นไทป์ LH LH และ

LH Lh 1 1

คือ 4 และ 2 ตามลำดบั

ถ้าสามภี รรยาคู่หนึง่ ที่มีจโี นไทป์ LH Lh ทัง้ คู่ ต้องการมีบุตร 3 คน จงหา

1) ความน่าจะเป็นท่บี ุตรทั้ง 3 คนไม่มจี ีโนไทป์ Lh Lh

2) ความน่าจะเป็นทมี่ บี ุตรอย่างน้อย 1 คนมจี ีโนไทป์ Lh Lh

สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |35
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม

3. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มต่อเนอ่ื ง

ในกรณที ่ีตวั แปรส่มุ ทสี่ นใจเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเช่นระยะเวลาที่ลกู คา้ ใชบ้ รกิ ารในห้างสรรพสินคา้ แหง่ หนงึ่
นำ้ หนกั ของผู้ป่วยที่เขา้ รับการรักษาทโี่ รงพยาบาลแหง่ หน่งึ เนอ่ื งจากตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ืองมเี ซตของคา่ ท่เี ป็นไปได้
ทงั้ หมดเปน็ ชว่ งซึ่งเปน็ สับเซตของ ซงึ่ มสี มาชกิ เปน็ จำนวนอนันต์จงึ ไมเ่ หมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจง
ความนา่ จะเป็นในรูปตาราง แต่จะใช้เส้นโคง้ ความหนาแน่น (density curve) ในการเขียนแสดงการแจกแจง
ความนา่ จะเปน็ โดยความน่าจะเป็นทตี่ ัวแปรสมุ่ จะมีคา่ อยู่ในช่วงใดชว่ งหนง่ึ จะเทา่ กับพนื้ ทท่ี ่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง
ความหนาแนน่ กบั แกน X ในชว่ งนนั้ จะเรียกพนื้ ทบี่ ริเวณดงั กล่าววา่ พื้นที่ใต้เสน้ โค้งความหนาแนน่

เส้นโคง้ ความหนาแนน่ เปน็ กราฟของฟังกช์ นั y = f(x) โดยที่ x แทนค่าท่เี ปน็ ไปไดข้ องตัวแปรสุ่มเรียกฟังก์ชันน้ี
วา่ ฟังก์ชนั ความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function)

หมายเหตุ f(x) เปน็ ฟังก์ชนั ความหนาแนน่ ความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุม่ X ก็ต่อเม่ือ
1. f(x) 0 สำหรบั ทกุ x ท่เี ปน็ คา่ ท่ีเปน็ ไปได้ของตวั แปรสุ่ม X

2. พน้ื ที่ใตเ้ ส้นเคง้ ความหนาแน่นทั้งหมดจะเท่ากบั 1

พิจารณาเส้นโคง้ ความหนาแน่นของตัวแปรสุ่ม X ดงั รปู

f(x)
P(1 X 3)

y = f(x) x
01234567

รปู ที่ 1

สถิตแิ ละความน่าจะเปน็ หน้า |36
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่

จากรูปสามารถหาความน่าจะเปน็ ทต่ี ัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในชว่ งทีส่ นใจได้จากการหาพ้ืนท่ีใตเ้ ส้นโคง้ y = f (x)

ในช่วงดังกล่าวเชน่ ความน่าจะเป็นท่ตี วั แปรส่มุ X มีค่ามากกวา่ 1 แตน่ อ้ ยกว่า 3 จะเท่ากับพ้นื ทสี่ ว่ นท่แี รเงา

3

P (1 X 3) = f(x) dx

น่นั คอื 1
ดังน้นั ถา้ ทราบฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเปน็ แลว้ จะสามารถหาความน่าจะเป็นท่ีตวั แปรสมุ่ มีอยใู่ นช่วงใด
ชว่ งหนง่ึ ได้โดยการหาปรพิ ันธ์จำกดั เซตของฟงั ก์ชนั ในช่วงดังกล่าว
ถ้าให้ X เป็นตัวแปรส่งต่อเนื่องและ a เปน็ ค่าท่เี ป็นไปได้ของ X จะได้ว่า P(X = a) = 0 เนือ่ งจากพนื้ ที่ใต้
เส้นโคง้ ความหนาแน่นจาก a ถงึ a เท่ากบั ศนู ย์ดังน้นั สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเน่ืองจะไม่พิจารณาความนา่ จะเปน็ ของ
การเกิดคา่ ของตวั แปรส่มุ ค่าใดคา่ หนึง่ แตจ่ ะสนใจเฉพาะความนา่ จะเปน็ ท่ตี วั แปรสุ่มจะมีคา่ อยู่ในช่วงใดช่วงหน่ึง
โดยความนา่ จะเปน็ ท่ีตัวแปรสมุ่ จะมีคา่ อยู่ในช่วงปดิ [a, b] จะเท่ากับราวามนา่ จะเป็นทตี่ ัวแปรสง่ จะมคี า่ อย่ใู นชว่ ง
เปดิ (a, b) นั้นคอื

P(a X b) = P(a X b)

P (X a) = P (X a ) และ P(X a) = P(X a)

เมอ่ื a และ b เปน็ ค่าท่เี ป็นไปได้ของตวั แปรสุม่ X

3.1 การแจกแจงปกติ

เส้นโค้งความหนาแนน่ ท่ีพบบ่อยมักมีลกั ษณะสมมาตรคล้ายรปู ระฆังเชน่ ถา้ ให้ตวั แปรสุม่ คือระยะเวลาที่
นักเรยี นใช้ในห้องสมุดในแต่ละวันซ่ึงอาจมคี า่ เป็นค่าใดก็ได้ในช่วง 0 ถงึ 8 ชั่วโมงจะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่มนีเ้ ป็นตวั แปร
สมุ่ ต่อเนื่องนอกจากน้ีมกั พบว่าจำนวนนักเรียนทใี่ ช้เวลาในห้องสมุดน้อยกวา่ 1 ช่ัวโมงมีน้อยมาก และจำนวน
นกั เรียนที่ใช้เวลาในห้องสมุดมากกว่า 7 ช่วั โมงก็มีน้อยมากสว่ นใหญ่แล้วนกั เรียนจะใชเ้ วลาในห้องสมดุ ประมาณ
3 – 5 ชั่วโมงดังนน้ั เมื่อเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่มด้วยเส้นโค้งความหนาแนน่ จะได้เส้น
โคง้ ทโ่ี ด่งกลางแล้วลาดลงทั้งสองดา้ นดงั รูป

0 345 8

การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม ท่ีมีลักษณะเชน่ นเี้ รยี กวา่ เรยี กว่าการแจกแจงปกติซ่ึงมีบทนยิ ามดังนี้

บทนยิ าม 5

สถติ ิและความนา่ จะเปน็ หน้า |37
ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุม่

การแจกแจงปกติ (normal distribution) คือการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มต่อเนือ่ ง X

ท่มี ฟี ังกช์ ันความหนาแนน่ ความนา่ จะเป็นคือ

1 − 1 x− 2
2 2
f (x) = e เมอื่ − x

โดยท่ี แทนค่าเฉลี่ย

และ แทนสว่ ยเบย่ี งเบนมาตรฐาน

การแจกแจงปกตเิ ปน็ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ ต่อเนอื่ งท่มี ีความสำคญั และใช้มากในสถติ ิศาสตร์

เนอ่ื งจากเป็นการแจกแจงทีม่ ีความใกล้เคียงกับขอ้ มลู ทเ่ี กิดตามธรรมชาติหรอื ท่ีมนุษย์สร้างขน้ึ เช่น

ความสงู ของประชากรไทย

คะแนนสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ปีการศึกษา 2562

อายุการใช้งานของสนิ ค้าทผ่ี ลิตจากโรงงานแหง่ หนึง่

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงปกติแล้วเมื่อเขยี นกราฟของฟังก์ชันความ

หนาแน่นความนา่ จะเปน็ สำหรบั ตัวแปรสมุ่ X จะได้เส้นโค้งปกติ (normal curve) ซงึ่ เป็นเสน้ โคง้ รปู ระฆงั ที่มี

สมบัติดังตอ่ ไปน้ี

1. เส้นโค้งมเี สน้ ตั้งฉากกบั แกน X ทล่ี ากผา่ นค่าเฉล่ยี เปน็ แกนสมมาตรทำให้พ้นื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ทางด้านซ้ายของ

คา่ เฉล่ยี เท่ากับพ้ืนท่ใี ตเ้ ส้นโค้งทางด้านขวาของคา่ เฉลี่ย

2. ปลายเสน้ โคง้ ท้ังสองด้านเขา้ ใกล้แกน X แตจ่ ะไมต่ ัดแกน X หรือกลา่ วไดว้ า่ แกน X เป็นเส้นกำกบั แนวนอน

3. ค่าเฉล่ียและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (หรือความแปรปรวน) จะเปน็ ตวั กำหนดลักษณะเฉพาะของเสน้ โคง้ วา่ มี

แกนสมมาตรอย่ทู ่ีใดและมกี ารกระจายจากคา่ เฉลี่ยมากน้อยเพียงใด

ตัวอยา่ งเช่นเส้นโค้งปกติทมี่ คี ่าเฉล่ีย และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน สามารถเขยี นได้ดังรูป

x

รูปท่ี 2

ถา้ ค่าเฉล่ียหรือสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานคา่ ใดคา่ หนึง่ หรือท้งั สองค่าเปลย่ี นแปลงไปเส้นโคง้ ปกตจิ ะเปลี่ยนแปลงตาม
ไปด้วย แตย่ งั คงเป็นเสน้ โค้งรูประฆังดังตัวอย่างต่อไปน้ี

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |38
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม
3 =5
เมื่อค่าเฉลี่ยแตกตา่ งกัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กัน

=1 1 =0 2 =2

เม่อื สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานแตก0ตา่ งกนั แต่ค่าเฉล2่ียเท่ากนั 5 x

= 0 1 = 0.5

2 =1 x
3 =2

0

ถา้ ตวั แปรสมุ่ X มีการแจกแจงปกติโดยท่ี แทนค่าเฉล่ยี และ 2 แทนความแปรปรวน
จะเรยี กตวั แปรส่มุ X วา่ ตวั แปรสุ่มปกติ เรียก และ 2 วา่ พารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ

และเขยี นสัญลักษณ์ X N ( , 2 ) เพอ่ื แสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เปน็ การแจก

แจงปกติที่มี และ 2 เป็นพารามเิ ตอร์

จากทก่ี ล่าวมาแล้วว่าสามารถหาความน่าจะเปน็ ที่ตวั แปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในชว่ งท่สี นใจได้จากการหาพ้ืนท่ีใต้เส้นโคง้
ความหนาแนน่ ในช่วงนั้นซึง่ เท่ากับปริพันธ์จำกัดเซตของฟังกช์ ันความหนาแนน่ ความน่าจะเปน็ ในช่วงดงั กล่าวโดย
จะต้องใช้วิธีการของแคลคลู ัสซงึ่ คอ่ นข้างยงุ่ ยากในทางปฏบิ ัติจึงหาพื้นท่ีใต้เส้นโค้งปกติโดยใช้ตารางแสดงพืน้ ท่ีใต้
เส้นโคง้ ปกติ แตเ่ น่ืองจากเปน็ ไปไม่ได้ทจ่ี ะสรา้ งตารางหลาย ๆ ตารางมาแสดงพนื้ ทใี่ ตเ้ สน้ โค้งปกติซ่ึงมคี า่ เฉลีย่ และ

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |39
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานต่างกันดังนัน้ จะใช้วิธีการแปลงการแจกแจงปกติของตัวแปรส่มุ ใหเ้ ปน็ การแจกแจงปกติ
มาตรฐานซง่ึ จะกล่าวถงึ ในหัวขอ้ ต่อไป

3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

บทนิยาม 6
การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน (Standard normal distribution)
คอื การแจกแจงปกติท่ีมีค่าเฉลย่ี เทา่ กบั 0 ( = 0)และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ1 ( = 1)

จะได้วา่ ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Z ท่ีมีการแจกแจงปกตมิ าตรฐานคอื

f(z) = 1 − z2 − z
2 2
e
เมอื่

เรียกเสน้ โคง้ ปกติซึ่งไดจ้ ากตัวแปรสุ่มปกติท่ีมีค่าเฉลีย่ เปน็ 0 และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน็ 1 ว่าเสน้ โค้งปกติ

มาตรฐาน (Standard normal curve) ดังรปู

=1

z
=0

เรียกตัวแปรส่มุ ทม่ี ีการแจกแจงปกติมาตรฐานว่าตัวแปรสุ่มปกตมิ าตรฐาน (Standard normal random

variable)

สำหรบั การหาความน่าจะเปน็ ทตี่ วั แปรสมุ่ ปกติมาตรฐานจะมีค่าอยู่ในช่วงทสี่ นใจจะใชต้ ารางแสดงพืน้ ท่ใี ต้เส้นโค้ง
ปกตมิ าตรฐาน (ตารางท่ี 1) แทนการหาปริพันธ์จำกัดเซตของฟังก์ชนั ความหนาแน่นความน่าจะเป็นโดยค่าที่

สถิติและความนา่ จะเป็น หนา้ |40
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

ปรากฏในตารางที่ 1 คือค่าประมาณของพื้นที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติมาตรฐานจาก − ถงึ z หรอื ความน่าจะเปน็ ท่ตี ัว

แปรสุ่มปกติมาตรฐาน Z มีค่านอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากบั z เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ P (Z z)

P(Z z)

0z

การอา่ นตารางท่ี 1 ใหพ้ จิ ารณาจากแถวที่แสดงคา่ z จาก 0.0 ถึง –3.0 หรอื จาก 0.0 ถึง 3.0 คา่ ของ z มีคา่ ลดลง

หรอื เพ่ิมขึ้นแถวละ 0.1 จากน้นั จงึ พจิ ารณาหลักซึ่งแสดงทศนิยมตำแหงท่ี 2 ของค่า z เช่น ถา้ ต้องการหา

P(Z −1.54) จะเร่ิมพิจารณาจากแถวทีแ่ สดงคา่ z = − 1.5 จากน้ันพจิ ารณาหลักท่ีแสดงค่า 0.04 จะได้วา่

พ้ืนท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานจาก − ถึง −1.54 หรือ P (Z 1.54) มีค่าประมาณ 0.0618

ตวั อย่างท่ี 13 ให้ Z เปน็ ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา

1) P (Z 2) 2) P (Z 1.29)

3) P ( Z )−2.47 4) P(Z −1.25)

5) P (−2 Z −1) ( )6) P −1.27 Z 0.45

สถิตแิ ละความน่าจะเป็น หน้า |41
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

7) P (2 Z 2.5 ) 8) P (−1 Z 2.4 )

ในกรณที ี่ตวั แปรสมุ่ มีการแจกแจงปกติ แต่ไมใ่ ช่การแจกแจงปกติมาตรฐานจะไม่สามารถใช้ตารางท่ี 1 ใน
การหาความนา่ จะเป็นได้ดังน้ันจะต้องแปลงตัวแปรสมุ่ ปกติให้เป็นตัวแปรส่มุ ปกติมาตรฐานโดยใชท้ ฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎบี ท 2 และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ให้ตวั แปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงปกตโิ ดยมีค่าเฉลย่ี
ถา้ ตวั แปรสมุ่ Z นยิ ามโดย

Z= X−

แล้วตัวแปรสมุ่ Z มีการแจกแจงปกติมาตรฐานนน้ั คอื z = 0 และ z = 1

P (a X b) = P a − Z b −

และ
เมือ่ a, b เป็นค่าท่เี ป็นไปได้ของตวั แปรสุม่ X และa b

ตัวอย่างที่ 14 กำหนดให้ X N(3.5, 4) จงหา 2) P(X 2)
4) P(4 X 5)
1) P(X 5)

3) P(2.4 X 5.2)
5) P(1.5 X 3)

สถิตแิ ละความน่าจะเป็น หน้า |42
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม

วิธที ำ

สำหรับตวั แปรสุม่ ปกติ X ท่มี ีค่าเฉลี่ย และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ ตัวแปรสุ่ม Z
นยิ ามโดย Z = X − จะได้ว่า

1. P( − X + ) 0.6826 z
= P(−1 Z 1) −+
= P(Z 1) − P(Z −1)

= 0.8413 − 0.1587
= 0.6826

นั่นคือความนา่ จะเปน็ ทตี่ ัวแปรสุ่ม X จะมคี า่ อยใู่ นชว่ ง − , + มีคา่ ประมาณ 0.6826 หรอื
พ้นื ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ปกตจิ าก − ถึง + มคี า่ ประมาณ 68.26 %ของพ้นื ที่ใต้เส้นโค้งปกติทง้ั หมด

2. P( − 2 X +2 )

= P(−2 Z 2)

= P(Z 2) − P(Z −2)

= 0.9772 − 0.0228 0.9544 +2 z
= 0.9544 −2

สถติ แิ ละความน่าจะเป็น หน้า |43
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่

น่ันคอื ความนา่ จะเป็นท่ตี ัวแปรส่มุ X จะมีค่าอยู่ในชว่ ง − 2 , + 2 มีคา่ ประมาณ 0.9544
หรอื พนื้ ที่ใต้เสน้ โคง้ ปกตจิ าก − 2 ถงึ + 2 มีคา่ ประมาณ 95.44 % ของพื้นทีใ่ ตเ้ ส้นโค้งปกติ

ท้งั หมด

3. P( − 3 X +3 )

= P(−3 Z 3)

= P(Z 3) − P(Z −3)

= 0.9987 − 0.0013 0.9974 +3 z
= 0.9974 −3

นน่ั คอื ความน่าจะเป็นท่ตี วั แปรสมุ่ X จะมีคา่ อยู่ในชว่ ง − 3 , + 3 มคี ่าประมาณ 0.9974 หรอื
พื้นที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกตจิ าก − 3 ถงึ + 3 มคี า่ ประมาณ 99.74 % ของพนื้ ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกตทิ ั้งหมด
ตัวอย่างท่ี 15 ความสงู ของนักเรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแหง่ หนึ่งมกี ารแจกแจงปกติโดยมคี า่ เฉล่ีย

และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 160 และ 5 เซนติเมตรตามลำดบั ถ้าสุ่มนักเรียนช้ันมธั ยมศึกษา
ปีท่ี 6 จำนวน 1 คนจากโรงเรียนนีจ้ งหาความน่าจะเปน็ ทน่ี ักเรยี นทส่ี ่มุ ได้จะมีความสงู

1) ระหวา่ ง 150 และ 170 เซนติเมตร
2) มากกว่า 162 เซนติเมตร
วิธที ำ

สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |44
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

เปอรเ์ ซน็ ไทล์ของตวั แปรสุ่มต่อเนื่อง

จากหัวข้อที่แล้วนกั เรียนทราบแลว้ ว่าเปอร์เซ็นไทล์เปน็ ค่าวัดตำแหน่งท่ีของขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ โดยแบ่งข้อมลู ท่ีเรยี ง
จากนอ้ ยไปมากออกเปน็ 100 เทา่ ๆกนั สำหรับตวั แปรสุ่มตอ่ เนอ่ื ง X เน่อื งจากพืน้ ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ความหนาแน่น
ทั้งหมดเท่ากบั 1 หรือคิดเป็น 100% ดังนัน้ ถา้ x เปน็ ทางท่ีเป็นไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ X จะไดว้ า่ ข้อมลู ที่มีค่าน้อย

กว่า x มีจำนวน P(X x) 100% น่ันคือถ้า P (X x) 100 เป็นจำนวนเต็มท่อี ยรู่ ะหวา่ ง 0 และ
100 จะไดว้ า่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ P (X x) 100 เทา่ กบั x

ตัวอย่างเชน่ ถ้า Z เปน็ ตวั แปรส่มุ ปกตมิ าตรฐานเน่ืองจาก P (Z < 1) = 0.8413 ดังนั้น 1 คือเปอร์เซ็นไทล์ท่ี
P (Z< 1) 100 = (0.8413)(100) = 84.13 หรอื กล่าวไดว้ ่าข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่า 0 มจี ำนวน 84.13%
ของขอ้ มลู ทัง้ หมดโดยเมื่อพิจารณาจากรปู ต่อไปนี้จะเหน็ ว่าบริเวณท่ีแรเงามีพน้ื ท่เี ป็นครง่ึ หนงึ่ ของพื้นท่ีใตเ้ สน้ โค้ง
ปกติมาตรฐานทั้งหมด

0.8413 z
01

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หน้า |45
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่

ตัวอยา่ งท่ี 16 อายุการใชง้ านของถ่านไฟฉายชนิดหน่งึ มกี ารแจกแจงปกติโดยคา่ เฉล่ยี และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เท่ากับ 756 และ 35 นาทตี ามลำดบั จงหาว่า
1) ถา่ นไฟนายที่มีอายุการใช้งานนอ้ ยกว่า 791 นาทีมีกี่เปอรเ์ ซน็ ต์ของถ่านไฟฉายทง้ั หมด

2) ถ่านไฟฉายที่มอี ายุการใช้งานมากกว่าหรือเท่ากับเปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 95 สามารถใช้งานไดอ้ ย่างน้อย
กน่ี าที เมอ่ื กำหนดให้ P (Z < 1.645) = 0.95

วิธีทำ

การเปรียบเทยี บตำแหนง่ ของขอ้ มลู โดยใช้คา่ ของตัวแปรสุ่มปกตมิ าตรฐาน

การแปลงตัวแปรสุ่มปกตใิ ห้เป็นตวั แปรส่มุ ปกตมิ าตรฐานนอกจากจะมีประโยชน์ในการหาความน่าจะเปน็
โดยใชต้ ารางแล้วยังสามารถนำคา่ ของตัวแปรสุ่มปกตมิ าตรฐานทแี่ ปลงได้ไปใชใ้ นการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแตส่ อง
ชุดขึ้นไปว่ามคี วามแตกต่างกันหรอื ไม่เพียงใดเนอ่ื งจากค่าเฉลย่ี และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู แตล่ ะชุด
มักจะไมเ่ ท่ากันบางครั้งจึงไมส่ ามารถนำข้อมูลแต่ละชดุ มาเปรียบเทยี บโดยตรงไดเ้ ชน่ ในการเปรียบเทียบผลการ
เรยี นวชิ าคณิตศาสตร์และวชิ าภาษาองั กฤษของนักเรยี นคนหน่งึ วา่ เรียนวชิ าใดไดด้ กี วา่ กนั โดยสมมติวา่ คะแนน
สอบทั้งสองวิชาของนักเรียนในช้ันเรื่องนีม้ ีการแจกแจงปกติถา้ พจิ ารณาจากคะแนนสอบทั้งสองวชิ าโดยปรับให้มี
คะแนนเต็มเทา่ กนั ก็ไม่อาจสรุปได้ว่านกั เรยี นคนนี้เรยี นวชิ าใดได้ดกี ว่าเนื่องจากคะแนนสอบแต่ละวชิ าไม่ได้ข้นึ อยู่
กบั ความรู้ความสามารถในวชิ านน้ั ๆ ของนักเรยี นเพียงอย่างเดียว แตย่ ังขึน้ อยู่กับความยากง่ายของขอ้ สอบหรอื
วิธีการใหค้ ะแนนของผู้สอนแต่ละวิชาทำให้ค่าเฉล่ียหรอื สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบทัง้ สองวชิ าของ
นกั เรียนท้งั หมดในชน้ั อาจไม่เท่ากนั ดังน้ัน เมื่อต้องการเปรียบเทยี บผลการเรยี นทงั้ สองวิชาจงึ จำเปน็ ต้องแปลง
คะแนนสอบทง้ั สองวชิ าให้เป็นตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานซง่ึ จะทำให้คา่ เฉล่ียและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนน
สอบทัง้ สองวชิ าเท่ากันแล้วจึงเปรียบเทียบจากค่าของตวั แปรส่มุ ปกตมิ าตรฐานของทง้ั สองวชิ าดงั ตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หนา้ |46
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม

ตวั อยา่ งท่ี 17 พิมพ์สอบวชิ าคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษซึ่งมีคะแนนเตม็ 100 คะแนนเท่ากนั ได้ 75 และ
72 คะแนนตามลำดบั ถ้าคะแนนสอบท้ังสองวชิ าของนักเรยี นห้องนมี้ ีการแจกแจงปกตโิ ดยค่าเฉลี่ย
และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี นห้องนี้เท่ากับ 73 และ 16
คะแนนตามลำดับและคา่ เฉลยี่ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของ
นกั เรียนหอ้ งน้ีเท่ากับ 70 และ 10คะแนนตามลำดบั จงพิจารณาวา่ พิมพ์เรยี นวชิ าใดได้ดีกว่ากนั

วิธที ำ

ตวั อย่างที่ 18 นิธิและนิพทั ธ์เป็นนกั เรียนห้องเดียวกนั และเขา้ สอบวชิ าฟิสกิ ส์ดว้ ยกนั นธิ ิได้คะแนนสอบ 55
คะแนนซึ่งปรบั เปน็ ค่าของตัวแปรสุ่มปกตมิ าตรฐานได้เปน็ –0.8 สว่ นนิพทั ธ์ไดค้ ะแนนสอบ 72
คะแนนซ่ึงปรับเปน็ ค่าของตัวแปรสมุ่ ปกติมาตรฐานไดเ้ ป็น 1.4 ถา้ คะแนนสอบวิชาฟสิ ิกส์ของ
นกั เรยี นห้องนี้มกี ารแจกแจงปกตจิ งหาค่าเฉลีย่ และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชา
ฟิสิกส์ของนักเรยี นห้องนี้

วิธีทำ

สถิติและความนา่ จะเปน็ หน้า |47
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

จากตัวอย่างขา้ งต้นจะสังเกตได้วา่ ค่าของตัวแปรสุม่ ปกติมาตรฐานอาจเปน็ ได้ท้งั จำนวนจรงิ บวกและจำนวนจรงิ ลบ

ถ้าค่าของตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐานเปน็ จำนวนจริงบวกแสดงว่าขอ้ มูลนัน้ มีคา่ มากกวา่ ค่าเฉลีย่ แต่ถ้าค่าของตวั แปร

สมุ่ ปกติมาตรฐานเปน็ จำนวนจรงิ ลบแสดงว่าข้อมลู นั้นมีคา่ น้อยกวา่ ค่าเฉล่ยี นอกจากน้ีค่าของตัวแปรสุม่ ปกติ

มาตรฐานจะข้นึ อย่กู ับสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานดว้ ยกล่าวคือถ้าสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานมีค่าน้อยจะทำใหค้ ่าของตวั

แปรสุม่ ปกติมาตรฐานมคี า่ มากกวา่ กรณีทสี่ ่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานมคี ่ามาก

แบบฝกึ หดั 3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. ให้ Z เปน็ ตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐานจงหา

1) P (Z −1.34) 2) P (Z 2.18)

3) P (−2.45 Z 1.68) 4) P (0.91 Z 2.26)

สถิตแิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |48
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสมุ่

2. ข้อมูลชดุ หน่งึ มีการแจกแจงปกติโดยมีคา่ เลยและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 10 และ 2 ตามลำดบั
จงหาคา่ ของตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานของข้อมูลตอ่ ไปน้ี

1) 11

2) 12

3) 14.2

3. กำหนดให้ X N (20, 100) จงหา

1) P (X < 48.9)
2) P (X > 12.9)

3) P (18.5 X 37.4)

4. ข้อมลู ชุดหน่งึ มีการแจกแจงปกติ โดยมคี า่ เฉลย่ี และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 400 และ 100
ตามลำดบั จงหาวา่ ข้อมลู อย่กู เี่ ปอร์เซ็นตท์ ่ีมคี า่
1) มากกวา่ 538
2) มากกวา่ 179
3) นอ้ ยกว่า 356
4) นอ้ ยกวา่ 621