ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

สถิติและความน่าจะเป็น หน้า |49
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสมุ่

5. ระยะเวลาในการประกอบชิ้นสว่ นอิเลก็ ทรอนิกสช์ นิดหนึง่ มีการแจกแจงปกติโดยมีคา่ เฉล่ียและสว่ น
เบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 12 และ 1.5นาที ตามลำดับ ถ้าสุ่มช้ินสว่ นอเิ ลก็ ทรอนิกส์มา 1 ช้ิน
จงหาความน่าจะเปน็ ทช่ี ้นิ สว่ นอิเล็กทรอนิกส์นี้จะใช้เวลาในการประกอบ
1) นอ้ ยกวา่ 11 นาที
2) ระหว่าง 10 และ 13 นาที
3) มากกวา่ 14 นาที

6. คะแนนสอบวดั ความรคู้ วามสามารถวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นระดับมัธยมศึกษาตอนปลายทจ่ี ัดโดย
สถาบันแหง่ หน่งึ มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลีย่ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 505 และ 111
คะแนนตามลำดับถ้าสุ่มนักเรียน 1 คนทเี่ ข้ารว่ มการสอบน้ีจงหาถามนจะเป็นทนี่ ักเรยี นคนนีจ้ ะได้คะแนน
สอบ
1) ระหวา่ ง 400 คะแนน และ 600 คะแนน
2) มากกว่า 700 คะแนน
3) นอ้ ยกวา่ 450 คะแนน

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |50
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่ม

7. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 ห้องหน่ึงมีการแจกแจงปกตโิ ดยมีคา่ เฉล่ยี
และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 72 และ 12 คะแนนตามลำดบั ถา้ กำหนด

ให้ P (Z )−0.6745 = 0.25 และ P(Z <1.2816) = 0.90

จงหาเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 25 และเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 90

8. ในการผลิตแผน่ พลาสตกของบริษัทแห่งหน่ึง พบว่า ความหนาของแผน่ พลาสตกิ การแจกแจงปกติโดยมี

ความหนาเฉลยี่ 0.0625 เซนตเิ มตร และ ความแปรปรวน 0.00000625 เซนตเิ มตร2
ถา้ สมุ่ แผน่ พลาสติกมา 1 แผ่นจงหาความนา่ จะเป็นท่แี ผ่นพลาสติกท่สี ่มุ ได้มคี วามหนามากกวา่ 0.0595
เซนติเมตร แต่ไมเ่ กิน 0.0659 เซนตเิ มตร

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |51
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

9. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่6 หอ้ งหนึ่งมีการแจกแจงปกตโิ ดยมคี า่ เฉลี่ย
และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากับ22 และ4 คะแนนตามลำดับ
1) จงหาคา่ ของตัวแปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นท่ีได้ 30 คะแนน
2) ถา้ สุ่มนักเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี6มา1 คนจงหาความนา่ จะเป็นท่ีนักเรยี นคนน้จี ะได้คะแนนสอบ
ระหว่าง 15 และ32 คะแนน
3) ถ้าสุ่มนักเรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี6มา1 คนจงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีนักเรยี นคนน้ีจะได้คะแนนสอบ
มากกวา่ 34 คะแนน
4) ถ้าสุ่มนกั เรยี นชั้นมัธยมศึกษาปที ี่6มา1 คนจงหาความนา่ จะเป็นทนี่ ักเรียนคนนจี้ ะได้คะแนนสอบนอ้ ย
กวา่ 25 คะแนน

10. น้ำหนกั สุทธขิ องกระปอ๋ งบรรจุถัว่ ท่ผี ลิตในโรงงานแห่งหนงึ่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีนำ้ หนักสุทธเิ ฉล่ีย
12 กรัม ถ้าสุ่มกระป๋องบรรจุถั่วมา 1 ใบ แล้วความน่าจะเปน็ ท่ีกระป๋องใบนี้ จะมีนำ้ หนักสุทธินอ้ ยกวา่
11.8 กรมั คือ 0.1151 จงหาความแปรปรวนของนำ้ หนกั สทุ ธิของกระป๋องบรรจุถ่ัวทีผ่ ลติ โดยโรงงาน
แหง่ นี้

สถิตแิ ละความน่าจะเป็น หน้า |52
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม

11. รา้ นอาหารแหง่ หนึ่งนอกจากขายอาหารแลว้ ยงั มผี ลไมข้ ายบรเิ วณหนา้ รา้ นดว้ ยโดยยอดขายอาหารรายวนั
มกี ารแจกแจงปกตทิ ่ีมีค่าเฉล่ยี และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 8,400 และ 360 บาทตามลำดบั และ
ยอดขายผลไมร้ ายวนั มกี ารแจกแจงปกตทิ ่ีมีค่าเฉลยี่ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 5,200 บาท และ
240 บาท ตามลำดบั ถ้าวนั นย้ี อดขายอาหาร 9,500 บาท และ ยอดขายผลไม้ 6,000 บาท
จงพิจารณาวา่ วันนี้ร้านอาหารแหง่ นีข้ ายอาหารหรอื ผลไม้ได้ดีกวา่ กนั

12. ภคั รพรรณต้องการเรียนตอ่ คณะอักษรศาสตร์ ณ มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งจึงได้สมัครสอบวัดระดบั ความ
ถนัดทางภาษาจีนและภาษาเกาหลีและไดค้ ะแนนสอบดงั นี้

ภาษา คะแนนของภัครพรรณ คะแนนเฉล่ีย สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

จนี 75 55 13

เกาหลี 68 50 10

ถา้ คะแนนสอบวัดระดบั ความถนัดทางภาษาจนี และภาษาเกาหลีมีการแจกแจงปกตแิ ลว้ ภคั รพรรณมี
โอกาสสอบตดิ คณะอักษรศาสตรส์ าขาวิชาภาษาจีนหรือสาขาวิชาภาษาเกาหลมี ากกวา่ กนั เพราะเหตุใด

สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |53
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม

13. เกณฑ์ในการแบง่ ระดับคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ของโรงเรียนแหง่
หนงึ่ แสดงไดด้ งั น้ี

เกรด คะแนน
4 ตง้ั แต่ + 1.5 ขึ้นไป

)3 + 0.5 , + 1.5
)2 − 0.5 , + 0.5
)1 − 1.5 , − 0.5

0 นอ้ ยกว่า − 1.5

โดย และ แทนค่าเฉล่ยี และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่6ตามลำดับสมมติว่าคะแนนสอบมกี ารแจกแจงปกติถ้าสุม่ นักเรียนมา 1 คน
จงหาความน่าจะเป็นทน่ี ักเรยี นคนนี้จะได้เกรดในแตล่ ะระดับ

14. อกั ษรศลิ ปแ์ ละสรวทิ ย์เปน็ นักเรยี นห้องเดยี วกนั อักษรศลิ ป์สูง 152 เซนติเมตร ซง่ึ ปรบั เปน็ ตวั คา่ ของตวั
แปรสมุ ปกติมาตรฐานไดเ้ ปน็ –1.2 ส่วนสรวทิ ย์สงู 170 เซนตเิ มตร ซง่ึ ปรบั เป็นตวั ค่าของตัวแปรสมุ ปกติ
มาตรฐานได้เปน็ 0.8 ถ้าส่วนสูงของนักเรยี นห้องน้ีมกี ารแจกแจงปกติ
1) จงหาคา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของความสงู ของนักเรยี นหอ้ งนี้
2) ถา้ วิภารัตน์สงู 160 เซนติเมตรวภิ ารตั นจ์ ะสงู กว่าคา่ เฉลี่ยของความสงู ของนักเรียนหอ้ งนี้หรอื ไม่
3) ถา้ เกริกสงู 180 เซนติเมตรจงหาความนา่ จะเปน็ ที่นกั เรียนคนหนง่ึ ที่สุ่มมาจากห้องนี้จะสงู กวา่ เกริก

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หน้า |54
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่

แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. จงพิจารณาว่าตวั แปรสมุ่ ต่อไปน้เี ปน็ ตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ืองหรอื ตัวแปรสุ่มต่อเนอื่ ง
1) ตวั แปรสมุ่ X1 คือจำนวนตน้ ไม้ทชี่ าวสวนคนหนึง่ ปลกู ได้ในเวลา 1 เดอื น

2) ตัวแปรสุ่ม X2 คือความสงู ของผปู้ ่วยในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง

3) ตวั แปรสมุ่ X3 คอื จำนวนนักเรียนท่ชี ่นื ชอบภาพยนตรส์ ยองขวญั จากการสอบถามนักเรยี นชัน้
มัธยมศกึ ษาตอนปลายจำนวน 100 คน

สถติ แิ ละความน่าจะเปน็ หนา้ |55
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสมุ่

4) ตัวแปรสุ่ม X4 คือ น้ำหนักของเงาะกระป๋องท่ผี ลิตในโรงงานแห่งหน่ึง
5) ตวั แปรส่มุ X5 คือ เวลาท่ีใชใ้ นการเดินทางจากจังหวัดเชยี งใหม่ถงึ จงั หวดั อดุ รธานีโดยเคร่ืองบิน
6) ตัวแปรสมุ่ X6 คือปริมาณการใชน้ ้ำประปาของโรงเรยี นแห่งหนงึ่ ใน 1 วัน
7) ตัวแปรสุ่ม X7 คือผลคูณของแต้มบนหน้าลูกเต๋าจากการทอดลกู เตา๋ 2 ลกู พร้อมกัน 1 คร้ัง

2. จำนวนวนั ที่นักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หอ้ งหน่งึ ออกกำลังกายใน 1 สปั ดาห์
แสดงด้วยตารางความถไ่ี ด้ ดงั น้ี

จำนวนวนั ทีน่ ักเรยี นออกกำลงั กายใน 1 สปั ดาห์ จำนวนนกั เรียน (คน)

0 1
1 7
2 10
3 12
4 6
5 3
6 4
7 1

สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น หนา้ |56
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ถ้าสุ่มนักเรยี น 1 คนจากหอ้ งนี้และให้ตวั แปรสุ่ม X คือจำนวนวนั ที่นักเรียนที่สุ่มได้ออกกำลงั กายใน 1
สัปดาห์
1) เขยี นแสดงการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุม่ X ในรูปตาราง
2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X

3. ให้ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนคร้งั ท่ีลกู ค้าขน้ึ แตม้ 3 หรือ 4 จากการทอดลกู เต๋าทีเ่ ทย่ี งตรง 1 ลกู 2 ครง้ั
1) จงเขยี นแสดลกาแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรส่มุ X ในรปู ตาราง
2) จงหาค่าคาดหมายความแปรปรวนและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X

4. สลากกนิ แบ่งรัฐบาล 1 ฉบับ ราคา80บาท แต่ละฉบบั ประกอบดว้ ยเลขโดด 6 ตวั โดยมีเงื่อนไขการตรวจผล
รางวลั ดังน้ี

รางวลั จำนวน มูลค่า (บาท)

รางวัลท1ี่ 1รางวลั 6,000,000
รางวัลท่ี 2 5รางวลั 200,000
รางวลั ท3ี่ 10รางวัล 80,000
รางวลั ท4่ี 50รางวลั 40,000
รางวัลท่ี 5 100รางวัล 20,000
รางวัลข้างเคียงรางวลั ท่ี1 2รางวลั 100,000
รางวัลเลขหนา้ 3 ตัว เสี่ยง 2 คร้งั 2,000รางวลั 4,000

สถติ ิและความน่าจะเป็น 2,000รางวลั หนา้ |57
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ 10,000รางวลั
4,000
รางวัลเลขทา้ ย 3 ตัว เส่ยี ง 2 ครั้ง 2,000
รางวลั เลขทา้ ย 2 ตวั เสีย่ ง 1 คร้ัง

ถ้าซื้อสลากกนิ แบ่งรฐั บาล 1 ฉบับจะมีโอกาสได้กำไรหรอื ขาดทุนมากกวา่ กนั โดยสมมตวิ ่าจะสามารถรับ
รางวัลไดเ้ พียงรางวลั เดียว

5. กลอ่ งใบหน่ึงบรรจสุ ลาก 10 ใบ โดยมหี มายเลข 1, 2, 3, ..., 10 กำกบั ไว้ ถา้ นกั เรยี นสุ่มหยบิ สลากจาก
กล่องใบน้ี 1 ใบ และใหต้ วั แปรสุ่ม X คือหมายเลขบนสลากท่สี มุ่ ได้
1) จงพจิ ารณาวา่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ X เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเนอ่ื ง
หรอื ไหม
2) จงหาค่าคาดหมายและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X

6. ให้ตัวแปรสมุ่ Y มีคา่ ทเ่ี ป็นไปไดเ้ ปน็ จานวนนบั ท่ีเรยี งตดิ กันทงั้ หมด 7 คา่ โดยมีมัธยฐานความนา่ จะเปน็
10 ถา้ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Y เปน็ การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง
จงหาค่าคาดหมายความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ Y

7. กำหนดให้ X B(8, 0.7) และค่าท่เี ป็นไปได้ของตัวแปรส่มุ X คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
จงหา

สถติ แิ ละความน่าจะเปน็ หนา้ |58
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

1) P (X = 4) 7)
2) P (X 6)
3) P (X > 5)
4) P (3 X

8. สามีภรรยาคูห่ น่งึ ตอ้ งการมีลูก 4 คนถ้าสมมติว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเปน็ ชายหรอื หญิงเทา่ กันและให้
ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนลกู ชายของสามภี รรยาคนู่ ีจ้ งหา
1) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุม่ X พร้อมทั้งอธิบายความหมาย
2) จงหาความแปรปรวน และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X

9. นกั ฟตุ บอลคนหนึง่ มีโอกาสยิงเข้าประตู 70% ในการยงิ ประตแู ตล่ ะครงั้ ถ้านกั ฟตุ บอลคนน้ียิงประตู 5
คร้ังจงหาความนา่ จะเป็นท่ี
1) เขาจะยิงได้ 3 ประตู
2) เขาจะย่ิงได้อยา่ งน้อย 2 ประตู
3) เขาจะยงิ ไมเ่ ข้าประตเู ลย

สถติ ิและความน่าจะเป็น หน้า |59
ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่

10. จากข้อมลู ในอดตี ของชุมชนแหง่ หนึ่งพบว่าความนา่ จะเป็นทแี่ ตล่ ะคนในชมุ ชนจะเป็นโรคเบาหวาน
เทา่ กับ 0.1 ถ้าสมุ่ คนในชุมชนแห่งนมี้ า 25 คน
1) ความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะมีอยา่ งนอ้ ย2 คนในกสุ่มคนทส่ี มุ่ มาเปน็ โรคเบาหวานเปน็ เท่าใด
2) คาดว่าจะมีกค่ี นในกสุ่มคนท่สี ุ่มมาเปน็ โรคเบาหวาน

11. ลักษณะหมู่เลือดระบบ ABO เป็นลักษณะทางพันธกุ รรมที่มีแอลลลี ท่เี ก่ยี วข้อง 3 รปู แบบ

( ) ( )คือ IA, IB และ i ในกรณีทีพ่ ่อมีเลือดหมู่ A IA i และแม่มเี ลอื ดหมู่ B IB i โอกาสที่ลกู จะมี

เลือดหมตู่ า่ งๆ มีดังนี้

( )โอกาสทล่ี ูกจะมเี ลือดหมู่ AIA i 1

เปน็ 4

( )โอกาสที่ลูกจะมเี ลือดหมู่ BIB i 1

เป็น 4

( )โอกาสทล่ี กู จะมเี ลือดหมู่ ABIA IB 1

เป็น 4

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |60
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

โอกาสท่ลี ูกจะมเี ลือดหมู่ O (i i) เปน็ 1
4

( ) ( )ถา้ สามีภรรยาคู่หน่ึงต้องการมีลูก 4 คนโดยสามีมเี ลอื ดหมู่ A IA i และภรรยามเี ลือดหมู่ B IB i

จงหา

( )1) ความน่าจะเป็นที่จะมลี ูกมากกวา่ 2 คนมเี ลือดหมู่ A IA i

2) ความนา่ จะเปน็ ที่ลูกทงั้ 4 คนไม่มเี ลือดหมู่ O (i i)

12. จากข้อมูลเก่ียวกับคุณภาพของผลิตภณั ฑ์ซง่ึ เก็บรวบรวมจากโรงงานแหง่ หนง่ึ ทำใหท้ ราบว่าความน่าจะ
เป็นทีส่ นิ คา้ แต่ละกล่องทผ่ี ลิตจากโรงงานแหง่ หน่งึ จะมีผลิตภัณฑท์ ฝ่ี าเกลียวเปิดยากเท่ากับ 0.04 และใน
กระบวนการตรวจสอบคุณภาพผลติ ภัณฑข์ องโรงงานมีหลกั การคือพนักงานจะสุ่มผลิตภัณฑ์จำนวน 5 ช้นิ
จากแตล่ ะกลอ่ งเพ่ือตรวจสอบคณุ ภาพ
1) จงหาความน่าจะเป็นท่ีผลิตภัณฑ์ทีส่ ุ่มมาจากแตล่ ะกล่องเปน็ ผลิตภัณฑ์ทีฝ่ าเกลยี วเปิดยากทงั้ 5 ช้ิน
2) ถา้ ตรวจพบผลติ ภณั ฑ์ทีฝ่ าเกลียวเปดิ ยากไม่เกนิ 2 ช้ินจากผลติ ภัณฑท์ ีส่ มุ่ มาผลติ ภณั ฑ์กล่องนน้ั จะ

สถติ ิและความนา่ จะเปน็ หนา้ |61
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรส่มุ

ผา่ นการตรวจสอบคณุ ภาพจงหาความน่าจะเป็นที่ผลติ ภณั ฑ์แต่ละกล่องทสี่ ่งมาตรวจสอบจะผา่ นการ
ตรวจสอบคณุ ภาพ (ตอบเป็นทศนยิ ม 4 ตำแหน่ง)
3) ถา้ ฝ่ายผลติ ของโรงงานส่งผลติ ภัณฑม์ าให้พนกั งานตรวจสอบคุณภาพจำนวน 10,000 กลอ่ งจะมี
ผลติ ภณั ฑท์ ่ีไมผ่ ่านการตรวจสอบคณุ ภาพประมาณก่ีกล่อง

13. ความนา่ จะเปน็ ทเี่ คร่ืองขยายเสียงแตล่ ะเคร่ืองทผี่ ลิตจาก บริษทั แหง่ หน่งึ จะมีระดับเสยี งมากกวา่ 90
เดซเิ บลเทา่ กับ 0.05 ถา้ สุ่มเคร่อื งขยายเสียงจาก บรษิ ทั แห่งนีเ้ พือ่ วดั ระดบั เสยี ง12 เครื่อง
จงหาความน่าจะเป็นที่มเี ครือ่ งขยายเสียงอย่างมาก 2 เครอื่ งที่มีระดับเสยี งมากกว่า 90 เดซเิ บล

14. เกมสว์ งลอ้ เสย่ี งโชคมีกติกาการเลน่ คือ ผูเ้ ลน่ จะต้องหมุนวงล้อรปู วงกลมทแี่ บง่ เป็น 6 ชอ่ งเทา่ ๆ กันโดย
แตล่ ะชอ่ งระบจุ ำนวนเงนิ รางวัลแตกตา่ งกนั คือ 50, 100, 200, 300, 400และ 500บาท ถ้าลกู ศรชี้ท่ี
ช่องใดผ้เู ล่นจะได้รางวลั ตามท่ีระบใุ นชอ่ งนน้ั ให้ตัวแปรสุม่ X คอื เงนิ รางวัลที่ได้จากการเล่นเกมส์วงลอ้
เส่ียงโชคแต่ละครั้ง สมมติในการหมนุ วงลอ้ แตล่ ะคร้งั โอกาสทลี่ ูกศรจะชีท้ ชี่ ่องใดช่องหนง่ึ เทา่ กนั
1) จงพจิ ารณาว่าตวั แปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงแบบใดพร้อมท้งั ใหเ้ หตุผลประกอบ

สถิติและความน่าจะเป็น หนา้ |62
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

2) โดยเฉลี่ยแล้วในการเล่นเกมส์วงลอ้ เสี่ยงโชคแต่ละคร้งั ผ้เู ล่นจะได้เงนิ รางวลั ก่ีบาทและ
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของเงนิ รางวลั ทไ่ี ดจ้ ากการเลม่ เกมสว์ งลอ้ เสยี่ งโชคแต่ละคร้ังเปน็ เท่าใด

3) ถา้ ในการเลน่ เกมสว์ งล้อเสยี่ งโชคแต่ละครงั้ ผเู้ ลน่ จะต้องจ่ายเงินซอื้ ตั๋วราคา 250 บาท นักเรยี นจะ
ตดั สนิ ใจเล่นเกมนหี้ รอื ไม่เพราะเหตุใด

15. ใหต้ ัวแปรสุม่ X คือจำนวนรั้งทลี่ กู เต๋าขนึ้ แตม้ มากกวา่ 4 จากการทอดลกู เต๋าท่เี ที่ยงตรง 1 ลูก 10 ครัง้
1) จงพจิ ารณาวา่ ตัวแปรสุม่ X มีการแจกแจงแบบใดพร้อมทั้งใหเ้ หตุผลประกอบ
2) จงหาความนา่ จะเปน็ ทีล่ ูกเต๋าขึน้ แต้มมากกวา่ 4 เปน็ จำนวน 4 ถงึ 6 คร้ัง
3) จงหาคา่ คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มX

16. ข้อสอบปรนัยชดุ หน่งึ มี 10 ข้อข้อละ 1 คะแนนโดยแตล่ ะข้อมี 6 ตัวเลอื กและมคี ำตอบท่ีถกู ต้องเพียง 1
คำตอบเท่าน้นั ถา้ นักเรียนคนหนึ่งทำข้อสอบชดุ นี้ด้วยการเดาทกุ ข้อและใหต้ วั แปรสมุ่ X คือคะแนนที่
นกั เรยี นคนนี้ได้รบั จากการทำขอ้ สอบชุดนี้
1) จงพจิ ารณาวา่ ตัวแปรส่มุ X มีการแจกแจงแบบใดพร้อมทัง้ ให้เหตผุ ลประกอบ
2) จงหาความนา่ จะเปน็ ท่นี ักเรยี นคนน้ีจะตอบผิดทกุ ข้อ

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |63
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม

3) ถา้ เกณฑ์ในการสอบผา่ นคอื ต้องได้ต้งั แต่ 5 คะแนนขน้ึ ไป จงหาความน่าจะเป็นท่ีนักเรยี นคนนจ้ี ะได้
คะแนนผ่านเกณฑ์พอดีและความนา่ จะเป็นท่นี ักเรียนคนน้ีจะสอบผา่ น (ตอบเป็นทศนยิ ม 3 ตำแหน่ง)

4) โดยเฉลยี่ แล้วนักเรยี นคนนี้จะทำข้อสอบชดุ น้ีไดก้ ่ีคะแนนและความแปรปรวนของคะแนนทน่ี กั เรยี น
คนนี้ได้รับจากการทำขอ้ สอบชดุ นีเ้ ปน็ เท่าใด

17. กำหนดให้ X N(100, 64)จงหา

1) P (X < 92)
2) P (94 < X < 106)
3) P (102 < X < 110)

18. กำหนดให้ X N( 25, 36 ) จงหา P (20 < X < 35)

สถิตแิ ละความน่าจะเปน็ หน้า |64
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่

19. กำหนดให้ X N(120, 225 ) จงหา P (X 130) และ P (93 X 140)

20. น้ำหนกั สทุ ธิของกาแฟผงสำเร็จรปู บรรจุขวดที่ผลิตในโรงงานแห่งหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ โดยมนี ้ำหนักสทุ ธิ
เฉลี่ยและส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 115.5 และ 0.3 กรมั ตามลำดับ ถ้าสุม่ กาแฟผงสำเรจ็ รูป 1 ขวด
จงหาความน่าจะเปน็ ท่กี าแฟผงสำเร็จรปู บรรจขุ วดทส่ี มุ่ ได้จะมีน้ำหนกั สุทธิ
1) ระหวา่ ง 115 และ 115.5 กรมั
2) ระหว่าง 114.9 และ 115.5 กรัม
3) ระหวา่ ง 115.2 และ 115.9 กรมั
4) ระหว่าง 114.7 และ 115 กรมั
5) มากกว่า115.5 กรัม
6) นอ้ ยกวา่ 115 กรมั

21. สำนกั วจิ ยั แหง่ หน่งึ รายงานวา่ คา่ ใช้จา่ ยในการใชโ้ ทรศพั ท์มือถือรายเดอื นของคนในจังหวดั หนงึ่ มกี ารแจก
แจงปกติโดยมีค่าเฉลย่ี และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 520 และ 270 บาท ตามลำดับ
ถ้าสุ่มคนจากจงั หวดั น้ีมา 1 คนจงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีผู้ที่สุ่มไดจ้ ะมคี า่ ใช้จา่ ยในการใช้โทรศพั ท์มือถือ
1) นอ้ ยกวา่ 520 บาทต่อเดอื น

สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ หนา้ |65
ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม

2) มากกว่า 700 บาทต่อเดือน
3) ระหวา่ ง500 และ800 บาทตอ่ เดือน

22. ในการสอบครัง้ หนงึ่ มีนักเรยี นเขา้ สอบ 1,000 คน โดยคะแนนสอบมกี ารแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลีย่ และส่วน
เบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 200 และ 30 คะแนน ตามลำดับ
จงหาว่ามีนักเรยี นประมาณกี่คนทไ่ี ดคะแนนสอบ
1) ระหวา่ ง170 และ230 คะแนน
2) มากกว่า 260 คะแนน

23. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ในภาคเรียนหนงึ่ มีการแจกแจงปกตโิ ดยมี
คา่ เฉลย่ี และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 60 และ 5 คะแนนตามลำดับถ้า

กำหนดให้ P (Z 1.645) = 0.95 และ P(Z < –1.282) = 0.1 จงหา

สถิตแิ ละความนา่ จะเปน็ หน้า |66
ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

1) คะแนนตำ่ สุดของกสมุ่ นักเรียนทไี่ ด้คะแนนสูงสุดซ่ึงมจี ำนวนประมาณ 5% ของนักเรียนทั้งหมด
2) คะแนนสูงสุดของกสมุ่ นักเรียนที่ได้คะแนนตำ่ สุดซึง่ มีจำนวนประมาณ 10% ของนักเรยี นท้ังหมด

24. คะแนนสอบวัดผลวิชาคณิตศาสตรร์ ะดบั ประเทศทีจ่ ดั โดยสถาบนั แหง่ หนึง่ มีการแจกแจงปกตโิ ดยมีคา่ เฉล่ีย
และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 25 และ 5 คะแนนตามลำดับถ้าส่มุ ผูเ้ ข้าสอบมา 1 คนและ
กำหนดให้ P (Z < 2.054) = 0.98 จงหา
1) ความน่าจะเปน็ ท่ีผู้เขา้ สอบท่ีส่มุ ได้จะไดค้ ะแนนสอบมากกวา่ 30 คะแนน
2) คะแนนตำ่ สดุ ของกสุม่ ผเู้ ขา้ สอบท่ีไดค้ ะแนนสูงสุดซ่ึงมีจำนวนประมาณ 2% ของผเู้ ข้าสอบทั้งหมด

25. จากการบันทึกข้อมูลน้ำหนักรถรวมนำ้ หนักบรรทุกของรถบรรทุกทว่ี ง่ิ ระหว่างกรงุ เทพมหานครและ
นครราชสีมาในชว่ งระยะเวลาหนง่ึ พบวา่ ข้อมลู ดังกลา่ วมกี ารแจกแจงปกติโดยมคี า่ เฉลีย่ และส่วนเบ่ยี งเบน
มาตรฐานเท่ากบั 15 และ 4 ตนั ตามลำดับ ถ้าสุม่ รถบรรทุกท่วี ง่ิ เส้นทางน้ีมา 1คัน จงหาความน่าจะเป็น

สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น หน้า |67
ตวั แปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรส่มุ

ทร่ี ถบรรทุกที่ส่มุ ไดจ้ ะมนี ้ำหนักรถรวมน้ำหนกั บรรทกุ
1) มากกว่า 12 ตัน
2) นอ้ ยกว่า 20 ตนั
3) ระหวา่ ง 10 และ 18 ตัน

26. กำหนดให้ X N ( , 2) จงหา a, b, c และ d จากขอ้ มลู ที่กำหนดให้ต่อไปนี้

x P(X x)

3 12 d

10 2 c 0.1841

a 3 6 0.0985

10 b 12 0.6026

27. เก่งและกลา้ เปน็ นักเรียนช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 โรงเรียนเดียวกันแต่อยู่คนละห้องโดยเกง่ อยู่หอ้ ง 1 และ
กล้าอยู่ห้อง 2 ซึง่ หอ้ งเรียนแตล่ ะห้องประกอบด้วยนักเรียนทมี่ ีความสามารถแตกต่างกันถา้ เกง่ และกล้า
เรียนวชิ าคณติ ศาสตรท์ ส่ี อนโดยครูคนละคนกันและใชข้ ้อสอบแตกต่างกันโดยในการสอบกลางภาคเก่ง

สถติ แิ ละความน่าจะเปน็ หน้า |68
ตวั แปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่

และกลา้ ได้ 80 และ 90 คะแนน ตามลำดับ สมมตวิ ่าคะแนนสอบกลางภาควชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรียน
ท้งั สองห้องมีการแจกแจงปกติโดยคะแนนสอบของนักเรียนห้อง 1 มีค่าเฉล่ยี และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เทา่ กับ 65 และ 5 คะแนน ตามลำดับและคะแนนสอบของเรยี นหอ้ ง 2 มีคา่ เฉลยี่ และส่วนเบ่ยี งเบน
มาตรฐาน เท่ากบั 70 และ 10 คะแนนตามลำดบั
1) มนี ักเรียนห้อง 1 กเ่ี ปอร์เซน็ ตท์ ไี่ ด้คะแนนสอบระหว่าง 55 และ 75 คะแนน
2) มนี ักเรยี นห้อง 1 กี่เปอร์เซ็นต์ทไ่ี ด้คะแนนไมเ่ กินคะแนนของเก่ง
3) มีนักเรยี นห้อง 2 กีเ่ ปอร์เซ็นตท์ ่ีได้คะแนนมากกวา่ กล้า
4) สามารถสรุปได้หรือไมว่ ่านักเรยี นหอ้ ง 1 มโี อกาสสอบได้คะแนนระหว่าง 55 และ75 คะแนน

มากกวา่ นกั เรียนห้อง 2 มีโอกาสสอบได้คะแนนระหวา่ ง 55 และ75 คะแนน
5) จงหาค่าของตวั แปรสุ่มปกตมิ าตรฐานของคะแนนสอบของเกง่ และกลา้ และจากคา่ ของตัวแปรสมุ่

มาตรฐาน สามารถบอกได้หรือไม่วา่ ใครทำคะแนนสอบได้ดีกว่ากนั

ตารางที่ 1 แสดงพน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐาน

z0

สถิติและความนา่ จะเปน็ หน้า |69
ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

ตารางท่ี 1 แสดงพน้ื ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐาน (ต่อ)

0z

สถติ ิและความนา่ จะเป็น หน้า |70
ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990