Авторлык (қолданбалы курс)_Каримов

Қостанай облысы әкімдігі білім басқармасының «Амангелді ауданы білім
бөлімінің «Ы.Алтынсарин атындағы жалпы білім беретін мектебі»
коммуналдық мемлекеттік мекемесі

«Қолданбалы есептерді шешу»
математика пәнінен
қолданбалы курсы

Амангелді
2020-2021 оқу жылы

ӘОЖ 373. 5.016
КБЖ 22.1
Қ 62

Пікір жазған: Қ.Б.Мақсұтбаева – Қостанай облысы әкімдігі білім
басқармасының «Амангелді ауданы білім бөлімінің «Ы.Алтынсарин атындағы
жалпы білім беретін мектебі» коммуналдық мемлекеттік мекемесі басшысының
ғылыми ісі жөніндегі орынбасары.

Қ 62 Каримов Е.

«Қолданбалы есептерді шешу» математика пәнінен қолданбалы
курсы: Жалпы білім беретін мектептің 10-11 сыныптарына арналған
/құраст.: Е.К.Каримов – Амангелді: 2020. – 95 бет

ISBN 978-601-316-728-2

«Қолданбалы есептерді шешу» математика пәнінен қолданбалы курсы
есеп шығару тәсілдерін тереңдете оқытуды, алгебралық есептерді шешуде
геометриялық әдістерді қолдануды, сонымен қатар орта мектеп математика
бағдарламасынан тыс күрделірек, мазмұны комбинацияланған есептерді
шығару білімдік дағдысын жетілдіре түсетін есептерді шығаруды, түсіндіруді
көздеген.

ӘОЖ 373.5.016
КБЖ 22.1

© Е.Каримов,2020 ж

ISBN 978-601–316–728-2 2

Ерканат Камысбаевич Каримов

Түсінік хат 3

Қазақстан Республикасы Білім туралы Заңында: «Білім беру жүйесінің
басты міндеті – ұлттық және жалпы адамзаттық құндылықтар, ғылым мен
практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби
шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа
технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, халықаралық ғаламдық
коммуникациялық желілерге шығу», - делінген.

Математиканы оқыту бүкіл мектепке тән үш жалпы мақсатты көздейді:
1. Білім беру.
2. Тәрбиелеу.
3. Өмірлік-практикалық білім-дағды дарыту.
Сондықтан мектептегі математиканы оқыту мақсаттары мен міндеттері
білім беру процесіндегі оқытудың негізгі міндеті білім алушылардың білім
жүйесін және ойлау қабілетін кең түрде дамыту мен оның қолданылуын
меңгеруді қамтамасыз ету. Мектеп математика мұғалімдеріне қолданбалы және
практикалық бағытталған білім беруді ұйымдастыруда үлкен мүмкіндіктер бар.
Қазіргі мемлекеттік оқу стандарттарын, оқу жоспарларын, оқу
бағдарламалары мен оқулықтарын бірізділік бойынша үздіксіздікке,
сабақтастық пен пәнішілік, пәнаралық байланыстарға негіздеу қажет. Себебі
математиканы келешекте ойдағыдай игеру үшін оның мектеп курсындағы
негіздерін жете түсіну керек екені белгілі. Тіпті, орта мектептің өзінде-ақ,
төменгі сыныптарда алғашқы ұғымдарды білім алушылар дұрыс және толық
түсініп алмаса, келесі сыныптардағы оқу материалдарын толық игеріп кетуі
қиын болатыны анық. Төменгі сыныптарда математиканы оқытудың
қиыншылықтарының бірі – ол білім алушылардың абстрактілі ой қорытуының
жетімсіздігі, жүйеленген тұжырым жасаудың нашарлығы. Сондықтан
математикалық ұғымдарды, үйретілген амалдарды түсіндіру барысында білім
алушылардың өздеріне таныс, өмірдегі белгілі практикалық бейнелерді,
түсініктерді келтіруі керек.

Жаңашылдығы:
математика пәнінен қолданбалы есептерді шығару тәсілдерін тереңдете
оқытуды, сонымен қатар орта мектеп математика бағдарламасынан тыс
күрделірек, мазмұны комбинацияланған есептерді шығару білімдік дағдысын
жетілдіре түсетін есептерді шығаруды, түсіндіруді көздеген.

Өзектілігі:
жалпы орта білім беру деңгейінде математика пәнін оқыту маңызды
болып табылады, себебі оны оқып-үйрену барысында математиканың
практикалық маңыздылығы, тұлғаның логикалық және сыни тұрғыдан
ойлау қабілетін қалыптастыру мен дамыту арқылы білім алушылардың
функционалдық сауаттылығын қалыптастыруға мүмкіндік жасайды.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Курстың мақсаты: 4
қазіргі замандағы қоғамда өзін еркін сезінуге адамға қажетті ойлау
қасиеттерін қалыптастыру арқылы білім алушылардың зияткерлік деңгейін
дамыту; практикалық іс-әрекеттерде қолдануда, басқа пәндерді үйренуде,
білім алуды жалғастыруда қажетті математикалық білімді меңгеру, яғни
физика, химия, биология, география, графика және жобалау сабақтарымен
байланыс орнату; математиканы оқыту процесінде ақпараттық-коммуника-
циялық технологияларды қолдану дағдыларын дамыту.

Курстың міндеттері:
 білім алушылардың математикалық сауатын қалыптастыру;
 бағдарламаның «Математикалық ұғымдар», «Математика ғылымы»,

«Әр түрлі тақырыптағы есептер», «Олимпиада есептері» бөлімдері
бойынша математикалық білім, білік және дағдыларын
қалыптастыру мен дамытуға жағдай жасау;
 әртүрлі мәнмәтіндегі есептерді шешуде математикалық тілді
және негізгі математикалық заңдарды қолдануға, сандық қатынастар
мен кеңістіктік формаларды оқып білуге ықпал ету;
 есептерді шешу мақсатында білім алушылардың білімдерін
математикалық модельдерді құруға және керісінше, шынайы
процестерді сипаттайтын математикалық модельдерді суреттеп
беруге бағыттау;
 коммуникативтік дағдыларын, оның ішінде, ақпаратты дұрыс
және сауатты түрде беру, сонымен қатар түрлі ақпарат көздерінен,
басылымдар мен электрондық құралдардан алынған ақпаратты
қолдану қабілетін дамыту;
 өз бетінше білім алу және оны практикада қолдану қажеттілігі мен
дағдыларын қалыптастыру;
 пәнге деген қызығушылықтарын арттыру.

Күтілетін нәтиже:
курсты оқытуда білім алушыларды негізгі біліммен, тиімді
пайдалануға арналған заманауи ақпараттық технологиялармен жүретін
жұмыс дағдылары және қабілеттерімен қамтамасыз етіледі;
теориядан гөрі тәжірибеге қарай бағытталады;
білім алушыларға математикалық білім беріп қана қоймай, алған
білімдерін болашақта өмірінде қолдана алатындай жағдай жасау. Оны
жүзеге асыру үшін жаттанды білім бермей, өз беттерімен есептей
алуға жұмылдырылады;
білім алушылар математика сабақтарында практикалық
тапсырмаларды шешу үшін білім мен дағдыларды қалыптастыруға
бағытталған қолданбалы есептерді дербес шешеді.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Оқу-тақырыптық жоспар

№№ Тақырыптары Сағат саны
теориялық тәжірибелік
Кіріспе (1 сағат )
1 1 «Қолданбалы есептерді шешу» курсына кіріспе 1

Математикалық ұғымдар (1 сағат) 1
2 1 Математикалық ұғымдар
11
Математика ғылымы (4 сағат) 1
3 1 Математиканың даму тарихы 1
4 2 Ұлы математиктер
5 3 Қазақтың математика саласы бойынша алғашқы 0,5 1,5
0,5 1,5
ғалымдары 0,5 1,5
Әр түрлі тақырыптағы есептер (14 сағат) 0,5 1,5
0,5 1,5
6 1 Пайызға берілген есептер 0,5 1,5
7 2 Қозғалысқа берілген есептер 0,5 1,5
8 3 Экологиялық есептер
9 4 Тарихи есептер 45
10 5 Проблемалық есептер
11 6 Логикалық есептер 1
12 7 Әртүрлі мамандық иелерінің есептері 1
2
Олимпиада есептері (9 сағат)
13 1 Математикадан аудандық, облыстық, республикалық, 1
12,5 21,5
халықаралық олимпиадалардың есептері
Білім алушылардың жұмысы (4 сағат)

14 1 Математикалық брэйн ринг
15 2 Қоршаған ортаға байланысты есептер
16 3 Білім алушылардың жобалар қорғауы. Конференция

Қорытынды (1 сағат)
17 1 Қорытынды сабақ

Барлығы:

5

Ерканат Камысбаевич Каримов

«Қолданбалы есептер шешу» курсының мазмұны 6
Кіріспе (1 сағат)
«Қолданбалы есептерді шешу» курсына кіріспе
Математикалық ұғымдар (1 сағат)
Математикалық ұғымдар
Математика ғылымы (5 сағат)
Математиканың даму тарихы.
Ұлы математиктер.
Қазақтың математика саласы бойынша алғашқы ғалымдары.
Әр түрлі тақырыптағы есептер (14 сағат)
Пайызға берілген есептер. Қозғалысқа берілген есептер. Экологиялық есептер.
Тарихи есептер. Проблемалық есептер. Логикалық есептер.
Әртүрлі мамандық иелерінің есептері.
Олимпиада есептері (9 сағат)
Математикадан аудандық, облыстық, республикалық, халықаралық
олимпиадалардың есептері
Білім алушылардың жұмысы (4 сағат)
Математикалық брэйн ринг. Қоршаған ортаға байланысты есептер.
Білім алушылардың жобалар қорғауы. Конференция.
Қорытынды (1 сағат)
Қорытынды сабақ

Ерканат Камысбаевич Каримов

«ҚОЛДАНБАЛЫ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ» КУРСЫНА КІРІСПЕ 7

Есептердің қолданбалы бағытына қарай бірнеше түрге бөлуге болады.
Олардың біріншісіне, яғни ең төменгі деңгейіне қажетті математикалық
модельді құруға керекті мәселелер есептің шартында тікелей беріледі. Мұндай
есептердің таза математикалық есептерден айырмашылығы ондағы шамаларға
қандай да бір мазмұндық мағына беріледі. Мектеп курсында мұндай есептер
қарапайым теңдеулер құруға берілген практикалық есептер болып табылады.

Екінші деңгейіне, білім алушылар оларды шешу барысында есептің
шартында айтылмаған, бірақта өте қарапайым, адамдардың күнделікті өмірінде
кездесетін математикалық тәуелділіктерді (мысалы заттың құны, бағасы және
саны арасындағы, дененің бірқалыпты қозғалысындағы жылдамдық, уақыт
және жүрілген жол арасындағы тәуелділіктер т.б.) қолдану арқылы
шығарылатын есептер.

Үшінші деңгейдегі түріне, білім алушылар оларды шығару үшін басқа
пәндерді (физика, химия, биология және т.б.) оқып, білу барысында меңгерген
қандай да бір заңдылықты немесе оқулықтан, я болмаса анықтамадан белгілі
бір материалды тауып қолдану арқылы шығарылатын есептерді жатқызамыз.

Төртінші деңгейдегі түріне, білім алушылар есепті шығаруды жеңілдету
үшін қандай да бір ұйғарымдар жасауға немесе есепті шығаруға онша маңызды
емес мәселені ескермейді, я болмаса, артық берілген мәліметтерді
қарастырмайды, ал жетіспейтін материалдар болса, оларды тауып есеп
шартымен қосып қарастырады. Мұндай есептерді шығару барысында білім
алушылар күнделікті өмірде кездесетін қиыншылықтарды шешуге жақын
жағдайда болады. Есеп шығару мұғалімнің басшылығымен жүзеге асуы қажет.

Ең жоғары дәрежедегі бесінші деңгейіне нақты бір физикалық объектіге
немесе құбылысқа байланысты мәселелер жатады.

Математикалық білім беруде пайдаланылатын қолданбалы және
практикалық есептер жүйелерін жетілдірудің басты ерекшеліктері:

 математикалық білім берудің мақсаттары мен міндеттерін іске асыруға
бағытталған практикалық әрекет пен үздіксіз білім беруде
пайдаланылатын қолданбалы сипаттағы есептер мазмұнының арасындағы
бірлікті, осы есептердің мазмұнын жаңартуды экологиялық,
республикалық, ұлттық-аймақтық материалдар пайдалану арқылы іске
асыруда жүйелілік, үздіксіздік, пәнаралық принциптерді басшылыққа
алу;

 математика сабағында экологиялық білім мен тәрбие беру көбінесе,
табиғатты тиімді пайдалану идеясын және экологиялық мәселелердің
әлемдік мәнін сипаттайтынын ескеру;

 қоғам талабына сай білім беруде математикалық білімнің адамдардың
қоршаған ортада, мәдени құндылықтар айдынында еркін бағдарлай
алуына әр түрлі ақпараттар ағынында өзіндік баға бере алуына мүмкіндік
беретін маңызды құрал екенін ескерілуі.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Алдымен математиканы қолданбалық бағытта оқытуда нені түсіну 8
керектігі мен оның практикалық бағытын анықтаған жөн.

Біздің түсінуіміз бойынша, математиканы қолданбалы бағытта оқыту
дегеніміз ол – бағыт-бағдар беру, түрлі кәсіптік бағытта, техникада және
ғылымның түрлі салаларында математиканы пайдалануды оқытудың тәсілдері,
яғни күнделікті өмірде қолдану деген сөз.

Математиканы қолданбалық бағытта оқыту оның политехникалық
бағытын физика, химия, биология, география, сызу, графика және жобалау
және информатика пәндерінде кең ауқымда қолдануды және компьютерлік
білімді, жаңа технологияларды меңгеруді қамтамасыз етуді, математикалық
ойлауды қалыптастырады.

Математиканы оқытудағы практикалық бағыт дегеніміз – әр тақырыптың
мазмұнының және тапсырмалар мен есептер шешу тәсілдерінің жүйесі және
білім алушылардың өз бетінше математикалық білімденуімен ізденістерін
қалыптастыру.

Математиканы оқытудағы практикалық бағытта оқыту мына
педагогикалық сұрақтарға жауап береді:

1. Есептеулерге, алгебралық түрлендірулерге, өлшеулерге, графиктермен
жұмыс жасауға және т.б. математикалық ұғымдардан туындайтын іс-
әрекеттерді түсіндіруге;

2. Есепті шығару барысында қажетті теориялық материалдарды оқып
игеруге;

3. Болашақта математиканы жоғары деңгейде меңгеруге;
4. Пәнге деген қызығушылығы мен белсенділігін арттыруға;
5. Өз бетінше жұмыс істеу дағдысын қалыптастыруға.
Қолданбалы және практикалық бағыттағы оқу үрдістері әдетте бірге
қызмет атқарады. Қолданбалы және практикалық бағыттың негіздері оқу
бағдарламасында айқындалып, оқулықтарда және әдістемелік көмекші
құралдарда берілуі тиіс. Ол білім беру мақсатында, алған математикалық
білімнің деңгейін талап ету жүйесінде, тапсырмалар мен есептердің
мазмұнында анық түрде және нақты көрсетілуі тиіс. Бұл арнайы уақыт пен
арнайы әдістемені талап етеді. Сондықтан мақсатымыз белсенді жұмыс атқару
болуы керек.
Математика сабақтарында теория мен есептердің арасындағы
байланыстарды қамтып, білім алушыларды тақырып бойынша қажетті және
қолданбалы есептерді шеше білуге үйрету керек.
Математиканы оқыту процесінде білім алушылар тақырыптың
мазмұнының практикалық мәніне, оның алдағы уақытта қолданылуының
маңызды екенін барынша терең түсінулері керек. Кез-келген теориялық
материалды игеруде оның қолданылу аймағын атап өту керек. Негізінде
теориялық білім тек есеп шығару барысында ғана пысықталатынын естен
шығармаған жөн.
Есеп шығару барысында ғана білім алушылардың жан-жақтылығы:
Математикалық тұрғыда есептерді шешу жолдарын алдын-ала болжауы,
жүйелі түрде еңбекке дағдылануы, білімге деген жауапкершілігі, алған білімді

Ерканат Камысбаевич Каримов

одан әрі шыңдауға ұмтылуы, өз бетінше жұмыс істеуі, ізденуі және 9
шығармашылық қабілеттері қалыптасады.

Пәнге деген қызығушылықтарын арттыру үшін әрбір айтылған,
түсіндірілген жаңа ұғым мүмкіндігінше практикалық сипаттағы есептерде
көрсетілуінің маңызы зор. Мұндай есептер, біріншіден жаңа теориялық
материалдың қажеттілігіне және практикалық маңызы бар екеніне білім
алушылардың көздерін жеткізеді, білім алушыларға математикалық
абстракциялау практикадан, күнделікті өмірдің өзінен туындайтынын
көрсетеді.

Осы сұрақтардың тәрбиелік маңызы да жоғары. Мысалы негізгі мектептің
төменгі сыныптарындағы математика сабақтарында қарапайым білім
алушыларға таныс әлеуметтік сұрақтарға байланысты мынадай есептерді:

 Мемлекет тарапынан білім алушылардың білім алуына, мектептерге
жұмсалатын қаржы;

 Кітап басылымына жұмсалатын қағаз шығынына;
 Мектепті, сынып бөлмесін жарықтандыруға кететін шығын;
 Күніне, айына, жылына мектептердегі қалатын нан қалдықтары және

т.с.с. беруге болады.
Осындай есептер білім алушыларды белсенділікке, еліне деген
жаңашырлыққа, ысырапшылдықтан аулақ болуға, нанға, кітапқа құрметпен
қарауға баулиды.
Практикалық есептер білім алушыларға берілген теориялық біліммен
олардың шама-шарқына лайықты болуы және қиындығы жоғары техникалық
және өндірістік мәліметтерден аулақ болғаны дұрыс.
Қарапайым амалдардан бастап математикалық анализ элементтерін оқып
үйрену барысындағы әрбір қадам осы талапқа жауап беруі керек.
Мұндай жетілдіру математикалық білімнің сапасы мен оның күнделікті
өмірдегі қолданымын, сабақ тиімділігін арттыруға, табиғатты негізгі байлық
деп түсінуге көмектесетін экологиялық, экономикалық білім мен тәрбие беруге,
яғни математикалық білім беруді ізгілендіруге мүмкіндік береді.
Математикада қолданбалы есептерді шешуде жоспар құру
ерекшеліктері.
Жақсы құрылған жоспар белгілі қисыны болуы керек, күтпеген
қиындықтарда да амал тауып кетеді. Әлбетте, қатал және бірізді ереже болуы
мүмкін емес.
Кейде тынымсыз мықты жоспар құруда қиыншылықтар пайда болады. Бұл
жағдайда, жоспардың жүзеге асуын бастауға болады, бұл қандай да - бір жаңа
идея бітеді және оның көмегімен алшақтық құртылады дей отыра, қорыта келе,
жоспарды оған толық дерлік дайын болмастан бастауға болады.
Егер оған деген сенімділік ойластырылып қарастырылса, сол жоспарды
әрекеттің бағдарламасы деуге болады.
Жоспар құру - белгісіздің және айтылмыштың арасында алшақтықтың
таратуының, жанасушылық ең қарапайым оқиғаларда болып жату арада бір-екі
адымын бір-екі әрекетте біледі. Ортақ жағдайда жанасушылық үшін бірнеше
машақат сұрайды.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Тіпті қате жоспар пайдасыз емес, өйткені оның және әлеуетті тәжірибесі 10
ұйымдастырады, шиеленісті жұмыс істейді және жаңсақ жоспармен табуға
болады, әйтпесе жасырын қалған лайық ойды жұмылдырады.

Мұғалім жоспар құруда оқушыға мынадай ақыл-кеңестермен көмектесе
алады:

- белгісіздерін қара және таныс есепті есіңе түсіруге тырысып көр;
- есепті жаңаша тұжырымда;
- есеп шығаруын таба алмасаң, көмекші есептерді қолдан;
немесе дәлелді сұрақтармен:
- осыған ұқсас есеп алдында келмеді ме кен?
- бұл жайтқа байланысты пайдасы тиіп қалатын теорема біліп-
білмейтіндігін?
- есепті жаңаша тұжырымдауға болмай ма?
- ең болмаса есептің бір бөлігін шығаруға болмай ма?
- білетін барлық теорема, формулалар қолданылды ма?
Қолданбалы есептердің үшінші кезеңінде шешімінің жоспары жүзеге
асады. Төртінші кезеңде - шешімнің талдайы жүргізіледі.
Қарастырылған кезеңдер ойдың жүрісінің ара керек бағытта жіберуіне
көмектеседі, бірақ қисынды бірізділікке ие болмайды, олар, әр есепті
тұжырымға және құрулы мақсаттың табысының қызмет үйлесімді
ынталандырады деген ұтымды мінез тасиды.
Ақпараттық айырма жағынан аз қамтылған есептер және мақсаттың
арасында әрекетше оның таратылуы аз керек. Күрделі есептерде қажеттілік
және қызметтің көлемі артады, сол себептен мынадай есеп шешімі әрекеттің
және қызметтің элементінің жүйелі тартуының әрекетін сұрайды; мынадай
шешім деректердің және есептердің мақсатының ықтимал байланыстарында
негізделіп алғашқы жоспардың олқылығының дәйекті таратуына деген
байланысы. Әйтпесе, алғашқы жоспар, ереже сияқты, жорамалмен болып
табылады, нешіншіде тиянақты буындар мен ықтимал, қисынды, соған
байланысты алмалайды. Одан әрі жұмыста жоспармен аудару сұрақты осы
буындарды тиянақтау. Мынадай қызмет бас негізде жаңа ақпараттың
игерушілігінің ара жүріс мынадай жүйелі жабдықтауда және жоспардың
дәйекті корреляции негізінде зерттеледі. Жүйелі тіл табудың әдістемесі қойын-
қолтық жүйелі байланысты, е т. ғылыми және техникалық түрдегі күрделі
мәселелеріне тынымның қисыны үшін пайдаланатын методикалық ақы-пұлдың
құрамымен. Мынадай әдістеме А. Т. Шумиля пікіріне негізделеді [1], келесі
ұстанымда және идеяларда.
- Ізденіс-ақпараттық мінездің барлық қызметі және психологиялық
белсенділігі есеп шешімінің жоспарының бағытталған, нешінші ара үдеріс
қисынды оның зерттеу арқылы дәлелдейміз және деректердің есепке дәлелі, е
т. мақсатының қисынды тиянақты байланысының шығарып, тиянақты жоспарға
қол жеткіземіз.
- Алғашқы жоспардың бастамасы есеп құрамының өзгешелігінің басын
ашып, әрбір компонентті ұқыпты зерттеп және басын ашып ортақ және ерекше

Ерканат Камысбаевич Каримов

нақты есеп негізінде және жолға қоймастан бұрынын, шешімі алгоритмдік жол 11
бойынша ұйғарылады.

- Қисынды қызмет шешімде жүзеге асады,уже тұжырымда- тиянақты
жоспар болып қойған білетін ең қарапайым қызметтен бастап, әйтпесе
айтылмыш қызмет шиеленсіп және қиындайды, түрлі амалдар араласып,
стратегиялар және т.б. жұмылдырылады. Ізденістің ықтимал ақпараттық
қамсыздандыруы қисынды пайымдармен байланысады.

- Әдістеме олқылықтар шын мәнісінде материалдың білімдерінде
толықтыруға қарамайды. Ол ізденіс, белсенді ойлау және үйлесімді ақпараттық
жжағдайды ұйымдастыруға көмектеседі, ынталандыру сұрақтарымен ізденіс
және керек ақпараттың нысанаға дәлділігімен сұрыпы есепті алаптан шешуші.

- Бір әдістеменің ең маңызды элементтерінен, тынымның сырттың
жолының тап деген нысанаға дәлдеуі өткенді шолатын зерттеу кезеңі болып
табылады, еш кейінгі есеп табысты шешімінің мүмкіндігі қамсыздандырмйды.

Ерканат Камысбаевич Каримов

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҰҒЫМДАР 12

"Ұғым дегеніміз не?".Кез келген құбылыс біздің санамызда сол туралы
соған сәйкес ұғымның арқасында ғана қабылданады. Меңгерген ұғымдар
жүйесі арқылы ғана біздің ойымыздағы нәрселердің барлығы біркелкі тұтас
болып реттеледі. Біз ұғымды интеллектуалдық іс-әрекетіміздің логикалық
атомдары ретінде түсінеміз. Ақыл-ой дамуы дегеніміз — жаңа ұғымдарды
өмірдің өзгерген жағдайларына сәйкес құрастырушы қабілет ретінде
қарастыруы.

Мәнді белгілер үғымның қалыптасуы үшін шешуші мағынаға ие болады.
«Ұғым» деген сөздің өзі «ұғу» деген етістікпен бір түбірлес болып табылады.
Біздің қандай да бір нәрсе не құбылыс туралы біліміміз болса, оның қасиеті
туралы басқа объектілермен қатынасын білген жағдайда ғана оны басқалардан
ажыратамыз және сол нәрсе туралы ұғымымыз болады.

Ұғым ойдың формасы ретінде төмендегідей үш міндетті шешеді:
1. Біз мүдделі жиын объектісін басқа объектілерден ерекшелейді;
2. Біз мүдделі жиын объектілерін жалпылайды;
3. Осы жиын объектісінің мәнін көрсетеді.
Кез келген ұғым мазмұн мен көлемге ие. Ұғымдагы жалпыланатын және
ерекше көрінетін объектілер жиыны сол ұғымның көлемі деп аталады. «Білім
алушы» ұғымына — жалпы білім беретін мектептерді оқитындардың барлығы
кіреді. Ұғымның көлемімен класс, жиын, элемент деген терминдер
байланысты.
Объектіңің санына қарай оған енетін жиындар мен кластар шектеулі
және шектеусіз деп бөлінеді. Демек, мемлекеттер астаналарының жиыны
шектеулі, ал натурал сандар жиыны шектеусіз. Жиынға кіретін әрбір жеке
нәрсе элемент деп аталады. Мысалы, «Астана қаласы» — «мемлекеттер
астанасы» класының элементі.
А жиыны В жиынының (класының) жиынтығы деп аталады, егер
әрбір А класының элементі В жиынынікі болып табылса. Мұндай қатынас
кластың класқа қосылуы деп аталады және былай жазылады: А∈В,
А класы В класына кіреді деп оқылады.
Бұл тектің және түрдің қатынасы (мысалы: «оқулық» класы «кітап»
класына кіреді).
а элементінің А класына жату қатынасы былай белгіленеді: а∈А және
а элементі А класына жатады (мысалы, «Арал теңізі» — а, «теңіз» — А).
А және В класы тепе-тең дәл деп есептеледі, егер А ≡В және В≡А болса,
онда А≡В деп жазылады.
Мүдделі жиын нәрселерін баса көрсететін және жалпылайтын белгі
ұғымның мазмұны деп аталады. Біз ұғымды құруға, біз мүдделі жиын
нәрселерін баса көрсететін мейлінше күрделі емес белгіге сүйенеміз,
оны ұғымның негізгі мазмұны деп атайды. Әр ұғымның мазмұны біреу, біздің
құру амалдарымыз бен мақсаттарымызға байланысты негізгі мазмұнның көп
болуы мүмкін.
Ұғым мазмұны мен көлемі бір-біріне қатынасына қарай кері
пропорционал: ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны тар, ал көлемі

Ерканат Камысбаевич Каримов

аз болған сайын оның мазмұны кең болады. Ұғымда ойланатын нәрсе туралы 13
ақпарат аз болған сайын, нәрсенің класы кеңдеу және оның құрамы белгісіздеу;
мысалы, «мемлекет» жэне «қазіргі азиялық мемлекет». Керісінше, үғымда
ақпарат көп болған сайын, соғүрлым оның нәрселерінің шеңбері анығырақ
немесе тіпті бір ғана нәрсе туралы ойлайды. Логикада бүл заң ұғымның көлемі
мен мазмұны арасындағы кері қатынас заңы деп аталады. Онда тектүрлік
қатынаста болатын ұғымдар туралы сөз болады.

Қазіргі ғылым мен мәдениеттің өркендеген кезінде, әсіресе математика
ғылымының дамуы барысында оқушыларды математика ұғымдарын оқумен
бірге өзінің ойын жеткізе білуге, оқыған математикалық ұғымдарды дұрыс тани
біліп, қолдана алуға баулудың маңызы айрықша екендігі белгілі. Сол себепті
оқушыларды математикалық ұғымдарды біліп қана қоймай, оның қолдану
ерекшеліктерін тани алуға, оларды практикалық жұмыстарында қолдана алуға
үйрету қажеттігі келіп туады.

Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бар
заттардың елеулі белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ
математикалық ұғымдар заттар мен кұбылыстардың нақтылы мазмұнын
елемей, олардың барлығына ортақ мөлшерлік қатынастар мен формаларды ғана
бейнелейді. Академик Ә.Нысанбаевтың сөзімен айтқанда «математика
заттардың өзін емес, сол заттардың бейнесі болатын белгілерін және абстрактілі
құрылымы мен функцияларын зерттейді. Математика абстрактілі
объектілермен тікелей қатынаста болады. Бірақ материалдық объекті мен
математикалық объектіні шатастырмау қажет. Математикалық объекті
материалдық объектінің дәл өзі емес, оның күрделі абстракция нәтижесінде
пайда болатын көшірмесі, бейнесі, яғни абстрактілі объект (нүкте, түзу, сан,
жиын, топ, функция, оператор, кұрылым т. б.). Айталық, бөлмедегі
орындықтардың санын есептейтін болсақ, біз олардың түсіне, сапасына көңіл
аудармаймыз, санына ғана көңіл аударамыз. Қанша адамға орындық керек,
қаншасы бар, қаншасы жоқ, жетпейтіні қанша? - соны білуге ұмтыламыз. Басқа
заттарды санағанда да олардың физикалық қасиетіне назар салмастан тек
олардың санын білуге тырысамыз. Сондай-ақ қандай да бір ыдыстың
сыйымдылығын анықтау қажет болса, ол ыдыстың қандай материалдан
жасалғанына мән бермей, оның пішінін ғана ескереміз. Екі қаланың ара
қашықтығын есептегенде қалаларды нүкте, керулі тұрған жіпті түзу сызық
ретінде қарастырамыз. Жіптің жуандығы немесе оның қандай материалдан
ширатылғандығы ескерілмей қалады. Осылайша абстракциялау нәтижесінде
математикалық ұғымдар пайда болады».

Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді
біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы, кітап, қой,
жылқы), онда ол абстрактілі ұғым болғаны. Сонда бұл ұғым абстракциялаудың
қарапайым түрі – бірдейге сайып абстракциялау(немесе бірдейге саю)
нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің жәрдемімен
алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Олардың ішіндегі ең бастысы
– сан ұғымы. Мысалы, бала үш элементтен тұратын , әр түрлі заттарға (үш
ойыншық, үш алма, үш саусақ) бақылау жасай отырып, өзі бұрын естіп жүрген

Ерканат Камысбаевич Каримов

«үш» сөзі мен заттардың саны арасындағы сәйкестік бар екендігін ұғынады. 14
Сонда үш элементтен тұратын әр түрлі барлық жиындарға тән, олардың
мөлшерін білдіретін «үш» саны туралы ұғым пайда болады.

Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның тағы бір түрі –
идеализация абстракциясы. Өлшемі жоқ нүкте, т.б. алғашқы геометриялық
ұғымдар жаққа тартылған жіп немесе сым темір, дәптер бетіндегі сызық тағы
басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда идеалды
«сызық» ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, «сызық» сөзі заттарды
белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектеліп қоймай, идеалды бейнені
жасаумен де байланысты болады. Бізді қоршаған дүниеде үш қой, үш ағаш т.б.
ұғымдар бар, бірақ онда математикалық сызық ұғымы жоқ. «Сызық» ұғымы
заттардың ортақ қасиеттерін жалпылаумен бірге, ол ортақ қасиеттерді идеалдап
тұр.

Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар
куб, тікбұрышты параллелепипед, шар т.б. пайда болады.

Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен математика үшін
нақтылы да болып табылады. Енді математикалық ұғымдарды олардың жалпы
сипаттағы белгілері бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет
абстракциялаймыз (абстракциядан абстракция). Мысалы, барлық төртбұрышты
фигураларды қарастыра отырып, олардың қандай да бір белгілері бойынша
параллелограмм, тіктөртбұрыш, квадрат ұғымдарына көшеді. Бұл тағы да
бірдейге саю абстракциясы болып табылады. Бірақ бұл жерде материалдық
дүниенің заттары емес, қалыптасқан абстрактілі математикалық ұғымдар
біріктіріледі. Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі олардың шындық
дүние заттарын тікелей емес, жанама түрде бейнелеуінде.

Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды.
Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесінде пайда
болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең
шамалылық ұғымы болады. Қазіргі математиканың маңызды ұғымдары
болатын топ және өріс, векторлық кеңістік т.б. көп сатылы абстракциялау
нәтижесі. Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық
ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек.
Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің
күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді
векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.

Сондықтан, математикалық ұғым – мәнді белгілері көрсетілген пән,
құбылыс туралы логикалық өрнектелген ой. Оқытылатын ғылымның
ұғымдарын игеру оқытудың негізін құрайды. Математикалық ұғым – біздің
ойлауымызда шындықтың белгілі бір түрлері мен қатынастарының көрінісі
болады. Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді.
Егер олар болмысты шын бейнелейтін болса, онда ол үнемі дұрыс болады.

Ұғымның негізгі мінездемелері ретінде:
а) ұғымның мазмұны;
ә) ұғымның көлемі;
б)ұғымның басқа ұғымдармен қатысы және байланысы қарастырылады.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Ұғымның мазмұны деп ұғымдар класына жататын барлық объектілерге 15
тиісті елеулі белгілердің жиынтығын айтады. Ұғымның көлемі — берілген
ұғымдар класына жататын барлық объектілер жиынтығы. Мысалы, үшбұрыш
ұғымының мазмұны «бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қос-қостан
үш кесінді», яғни үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы бар болса, оның
көлемі мүмкін болатын тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр қабырғалы үшбұрыштар
бола алады.

Сол сияқты «функция» ұғымының мазмұны — аргументтің әрбір мәніне
белгілі бір ереже немесе заң бойынша функцияның мәніне келуі болса, оның
көлеміне сызыктық функция,квадраттық функция, көрсеткіштік, логарифмдік
функция т.б. жатады.

Ұғымның көлемін дұрыс елестету үшін оны «логикалық дөңгелек» арқылы
кескіндеу тиімді. Мұндағы үлкен дөңгелек берілген ұғымды көрсетсе, оның
ішіндегі кіші дөңгелектер берілген ұғымға жататындарын білдіреді. Мысалы, 1-
суретте үлкен дөңгелек жай бөлшек ұғымы (М) болса, оның ішіндегі кіші
дөңгелектер жай бөлшек ұғымына жататын дұрыс (N), бұрыс (K) бөлшектер
болады. Егер ұғымның көлемі көптеген ұғымдарды қамтитын болса, онда
берілген ұғымның көлемі кең, ал ұғымдар аз болса, ұғымның көлемі тар
делінеді. Егер ұғымның сәйкес класына енетін объектілердің ортақ, елеулі
қасиеттері көп болатын болса, ұғымның мазмұны бай, ал ондай ортақ белгілер
аз болса, ұғымның мазмұны кедей деп аталынады.

М

NK

1 – сурет
Ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны кедейлене береді және
керісінше ұғымның көлемі неғұрлым тар болған сайын мазмұны баий түседі.
Мысалы, «төртбұрыш» ұғымының белгілеріне тағы да бір «екі қабырғасы
параллель» болсын дегенді қосатын болсақ, онда ол «трапеция» ұғымын береді.
Егер оған тағы «басқа екі қабырғасы да параллель» болсын деген белгі қосатын
болсақ, онда ол «параллелограмм» ұғымы болып шығады. Параллелограмның
қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең, диагональдары бір нүктеде
қиылысып қақ бөлінеді т.б. белгілеріне «барлық қабырғалары тең» деген белгіні
қосатын болсақ, онда ол ромб болады. Сонымен, ұғымның көлемі мен мазмұны
бір-біріне кері қатынаста болады екен, ұғымның көлемі кең болған сайын, оның
мазмұны соғұрлым кедейлене береді, көлемі тарылған сайын, оның мазмұны
баий түседі және керісінше. Егер қандай да бір ұғымның көлемінен белгілі бір
ерекшеліктері бойынша басқа бір ұғымның көлемі бөлініп алынатын болса,
онда алғашқы ұғымның өзі тегі, ал бөлініп алынған ұғым алғашқыға қатысты
оның түрі деп аталынады. Тектік ұғым мен түрлік ұғымның арақатысы 2-

Ерканат Камысбаевич Каримов

суретте кескінделген. Мысалы, «үшбұрыш» ұғымдар класынан үшбұрыштың 16
екі қабырғасы тең болатынын бөліп алатын болса, онда «тең бүйірлі үшбұрыш»
ұғымы жалпы «үшбұрыш» ұғымының түрі, ал «тең бүйірлі үшбұрыш» үшін
«үшбұрыш» тектік ұғым болады. Егер тең бүйірлі үшбұрыштардың ішінен бір
бұрышы тік болатынын тағы да бөліп алатын болсақ, ондай жағдайда «тең
бүйірлі үшбұрыш» тектік, ал «тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш» - түрлік ұғым
болып табылады.

Тектік ұғымды түрлік ұғымдардан бөліп алуға мүмкіндік туғызатын белгі
ұғымның түрлік айырмашылығы делінеді. Жоғарыда келтірілген мысалдардағы
үшбұрыштар класынан теңбүйірлі үшбұрыш ұғымын бөліп алатын «екі
қабырғасы тең» белгісі түрлік айырмашылық немесе түрлік ерекшелік болады.
Ал теңбүйірлі үшбұрыштан, теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыш ұғымын бөліп
тұратын «бір бұрышы тік» белгісі түрлік ерекшелік болады. Тектік ұғымнан
түрлік ұғымға өту ұғымды шектеу (ұғымның көлемін кеңейту) деп аталады.
Егер ұғымдар бір-бірімен тектік және түрлік қатынаста болса, олар өзара
бағынышты делінеді. Түрлік ұғымдар тектік ұғымға бағынышты болады.
Мысалы, «үшбұрыштар» ұғымына «теңбүйірлі», «тең қабырғалы», «әр түрлі
қабырғалы үшбұрыштар» немесе «сүйір бұрышты үшбұрыш», «доғал бұрышты
үшбұрыш», «тікбұрышты үшбұрыш» ұғымдары бағынышты.

Мектепте мүмкіндігінше математикалық ұғымдардың тарихына көңіл бөлу
керек. Мысалы, функция ұғымына тоқталайық. Функция – математикалық және
жалпы ғылыми ұғымдардың негізгі бөлігі болып табылады. Шын әлемді танып
білуде функция маңызды рөлге ие болды және қазіргі уақытта да ие.
Функционалдық тәуелділік идеясы ежелден-ақ басталған. Оның құрылымы ең
алғаш математикалық анықталған шама аралас қатынастарда, сандармен іс-
әрекеттің алғаш ережелерінде және белгілі бір фигуралардың ауданын, көлемін
табуға арналған формулаларында көрінеді. Осылай, вавилон (4-5 мың жыл
бұрын) ғалымдары, дұрыс білмей отырып, шеңбер ауданы оның радиусынан
басталған функция деп анықтаған. Оны анықтаудың дөрекі формуласы болса да
( S  r2 ), ол кезде жаңалық үлкен мәнге ие болды. Функцияны кесте құрудың
мысалдарына вавилондықтардың, ежелгі гректердің, үндістердің
астрономиялық кестелері, ал функцияның сөзбен берілуіне диаметріндегі
шеңбер және шаршы аудандарының қатынасының тұрақтылығы туралы
теоремасын немесе кононикалық қималардың антикалық анықтамаларын (осы
қисықтар геометриялық кейпінде қарастырылды) мысал етіп қарастыра аламыз.
Тек 17 ғасырдан бастап, математика ғылымына айнымалылардың енгізілуімен
функция ұғымы түгелімен өзгеріп, көп қолданыла бастайды. 17 ғасырда
функция ұғымының пайда болуына жолды француз ғалымдары Франсуа Виет
және Рене Декарт ашты, олар кейін жалпы әлем мойындаған біріңғай
математикалық белгілеуді құрастырды. Біріңғай белгілеу ұсынылды:
белгісіздерді – латын алфавитінің соңғы әріптерімен - x, y, z; белгілілерді
алғашқы әріптермен - a, b, c және т.с.с. Әрбір әріп арқылы тек нақты
мәліметтерді ғана емес, басқа да мәліметтерді түсінуге болатын еді. Осылай,
математика ғылымына өзгерту идеясы келді. Нәтижесінде, жалпы формулалар
құрастыруға мүмкіндік туды. Сонымен қатар, Декарт пен Ферма (1601-1665)

Ерканат Камысбаевич Каримов

геометриялық еңбектерінде айнымалы шама және тік бұрышты координаталар 17
жүйесі туралы анық түсінік береді. 1637 жылғы «Геометрия» еңбегінде Декарт
функция ұғымына түсінік береді, нүкте ординатасының өзгерісін абцисса
өзгеруіне тәуелділігін зерттеді. Бірақ, ол тек теңдеулер арқылы көрсетуге
болатын ғана және көбінесе алгебралық қисықтарды қарастырды. Кейін
функция ұғымы анықтала бастады. 1671 жылы Исаак Ньютон функцияны
айнымалы шама деп есептеді, ол уақыт өткен сайын өзгереді деп ойлаған.

Ұғым абстракциялаумен (дерексіздендірумен) тікелей байланыста
болатын жалпылау операциясы аркылы жасалады., Жалпылаудың бірнеше тұрі
белгілі. Олардың бірі объектілердің өздеріне тән айырмашылықтарды ескерусіз
калдырып тек қана ортақ белгілерді бөліп көрсету негізінде жасалады. Мысалы:
"Үшбұрыш АВС", "үшбұрыш", "көпбұрыш". "Көпбұрыш" ұғымының
ерекшелендірілген ортақ белгісі барлык көпбұрыштарға тән. Ғылыми танымда
абстракциялық дсрекси делінетін осындаи ұғымдар ерекше маңызды. Олардың
көмегімен объектілерді І классификациялау және өзара салыстыру, оларды бір-
бірінен ажырату немесе олардың тепе-теңдігін тағайындау сияқты мәселелерді
шешу мүмкін болады.

Жалпылаудың басқа тәсілі нақты деп аталатын ұғымдарды жасауға
мүмкіндік береді. Мүның негізгі ерекшелігі бұл жағдайда жалпылау кезінде
ортақ қасиеттерін ерекшелендіру ғана емес, сонымен бірге үтымның дербес
және жеке белгілері де сақталады. Қандай да болсын ұғымды қалыптастыру
процесі біртіндеп жүзеге асырылдаы, мұнда сезісдік қабылдау (түйсік) - түсінік
ұғым тізбегіне сәйкес кезеңдер бойынша жұмыс ұйымдастырылады. Мысалы "3
саны" ұғымын қалыптастыру. Қабылдау мен түсініктен өзгеше ұғым біздің
санамызда қарастырылып отырған нақты жағдайдағы мәнді белгілер мен
қасиеттерді (осы ұғымның белгілері болатын) ғана сіңіреді және
тұрақтандырады. Сондықтан да ұғым - оқылатын объектілердің мәнді (ерекше)
қасиеттері бейнеленетін ойлаудың формасы.

Ұғымдардың қалыптастыру процесінде олардың сөздік және
символикалық өрнектелуінің маңызы аса зор. Сөз - ұғымды таратушының
міндетін атқарады. Ғылым мен техниканың қандай да бір саласындағы нақты
анықталған ұғымды білдіретін сөзді ғылыми термин деп атайды.

Сонымен кез-келген ұғым терминмен, оның көлемімен және мазмұнымен
сипатталады.

Ұғымның мазмұныны ашу процесі оның белгілерін айқындаудан тұрады.
Демек математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы осы ұғымның
мазмұнын (мән-мағынасын ашатын) сөйлем.
Кейбір алғашқы (бастапқы, іргелі, алғашқы) математикалық ұғымдар
анықталмайды олар аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады
немесе постулаттар аркылы ұғымға қойылатын ұғымдардың арасындағы

Ерканат Камысбаевич Каримов

қатынастарға да талаптар көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: 18
жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар:
тиісті, жатады, өлшемнің (өлшеуіштің) бар болуы және т.с.с.

Негізгі (бастапқы, іргелі, алғашқы) ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда
ашылады. Мысалы: "екі нүкте арқылы өтетін бір ғана түзу жүргізуге болады".

Аксиома (ахіома - грек сөзі, беделді сөйлем, "қабылдауға болатын"
аудармасында "жеткілікті дәрежеде мойындалуы тиіс" дегенді білдіреді)
дегеніміз - қандай да бір (дербес жағдайда, математикалық) теорияны
дедуктивтік жолмен құру кезінде дәлелдеусіз қабылданатын, яғни осы
теорияның (теореманың) басқа қағидаларын дәлелдеу үшін тірек немесе
сілтеме ретінде қабылданатын тұжырым болып табылады. Ал -
постулат (postulat - талапты білдіреді деген латын сөзі) дегеніміз кейбір
ұғымдар немесе олардың арасындағы қатынастар қанағаттандырылуы тиіс.
Қандай да бір талаптарды, шарттарды білдіретін сөйлем. Көп жағдайда
постулаттар қандай да ұғымның анықтамасын немесе кейбір ұғымдар жүйесінің
бөлігі болып келеді. Мысалы: эквиваленттік қатынастың анықтамасында үш
постулат шарт бар.

Мәдениеттің дамуының алғашқы сатыларында адам өлшеу бірліктерін
айналасындағы табиғаттан алған, мысалы, ұзындық бірліктері ретінде әдетте
адам денесінің жеке мүшелері алынған: қолдың қарысы, ересек адамның
табанының ұзындығы (фут), саусақ буынының ұзындығы (дюим) миля,
саусақтың жалпақтығы (елі) т.с.с.

Мұндай табиғи өлшеуіштердің өте қолайсыз екендігі ап-айқын: ұзындығы
жағынан алғанда адамның қолының қары, табаны, қадамы әртүрлі болуы
мүмкін. Расында да әртүрлі адамдарда қолдың қарының ұзындығы қырық
сантиметрден алпыс бес сантиметрге дейін болып, әртүрлі келеді. Мұндай
жағдайда елшеу дәлдігінің қанағаттанарлықтай болуы мүмкін емес. Массаның
ең көп тараған өлшеуіші қадақ (фунт) болған. Ал қадақтың іс-жүзінде әр түрлі
қосымша атаулары да болған.

Қазіргі уақытта бүкіл дүние жүзі үшін бірыңғай өлшеуіш жүйесі
тағайындалған. Мұндай өлшеуіштердің дүниежүзілік жүйесінің бірі метрлік
өлшеуіштер жүйесі. Өлшеуіштердің метрлік жүйесі францияда ұлы француз
революциясының дәуірінде енгізілген болатын. Бұл өлшеуіштер жүйесі әр текті
шамалардың өлшеу бірліктері өзара байланысты болып келген және олардың
бөлулері де номерацияның ондық жүйесімен байланысты. Өлшеуіштердің
жаңажүйесі жөніндегі мәселені шешуге ол кездегі аса көрнекті ғалымдар:
Бертолле, Борда, Лагранж, Лаплас, Даламбер, Мешен, Прони т.б.
қарастырылған. Жаңа жүйенің негізгі бірлігінің ұзындық бірлігінің тұрақты

Ерканат Камысбаевич Каримов

болып келуін қамтамасыз ету үшін ғалымдар оны жер шарының өлшемдерімен 19
байланыстыруды ұйғарған.

Грамм – франсузша дгатте, латынша және грекше дгатта, салмақтың уақ
өлшеуіші дегенді білдіреді. Ол қысқаша орысша «г» не болмаса халықаралық
«g» таңбасымен белгіленеді. Грамм килограмм эталонымен анықталады. Метр
французша «metre», грекше «metrion» өлшеуіш дегенді білдіреді.
Өлшеуіштердің метрлік жүйесі мен халықаралық бірліктер жүйесіндегі
ұзындық бірлігі. Ұзындық бірлігі – метрді жаңғыртатын ұзындық өлшеуіш. Ол
метр орысша не болмаса халықаралық таңбасымен белгіленеді.

Күрделі сөздің өлшеуіш приборды (мыс, бараметр, термометр) немесе
метрлік жүйедегіұзындықөлшемін (мыс, километр, сантиметрбілдіретін бөлігі).
Литр французша «litrе»,кейін латынша «litrа»–сыйымдылық өлшеуіші
өлшеуіштерді метрік жүйесіндегі көлеммен сыйымдылықтың бірлігі. Ол
орысша л, не болмаса «l» халықаралық таңбамен белгіленеді.

Масса – материяның инерциялық және гравитациялық қасиетін
анықтайтын физикалық шама. Ол инерттік масса және гравитациялық масса
болып ажыратылады. Масса ұғымын механикаға И. Ньютон ендірген. Шама –
мәні математиканың дамуына байланысты жалпыланып отырылған негізгі
математикалық ұғымдардың бірі. Ұзындық аудан, салмақ сияқты т.б. нақты
ұғымдардың жапылануы нәтижесінде алғашқы шама ұғымы пайда болды.
Шаманың әрбір нақты тегі физикалық денелерді немесе басқа объектілерді
салыстырудың белгілі бір әдісіне байланысты.

Бағдарлама аса маңызды шамалар және оларды өлшеуді оқытып-
үйретудің ондық есептеу жүйесі мен өлшеудің метрлік жүйесі арасындағы
байланысқа негізделген ортақ әдістемесін ұсынады. Мұнда: нақты шама туралы
оқушының түсінік деңгейі анықталады және сәйкес ұғым мен термин енгізіледі;
біртекті шамалар салыстырылады (сезіну, көз мөлшерімен, беттестіру, еркін
алынған шарты өлшеуіштер көмегімен және т.б. арқылы); шаманың негізгі
өлшеу бірлігі таңдалып алынады да, онымен таныстырылады және өлшеу
құрал-жабдықтары көрсетіледі; негізгі өлшеу бірлігінің көмегімен шаманы
өлшеу процесі көрсетіледі; шаманы өлшеудің жаңа бірлігі енгізіледі және оның
өмірдегі мұқтаждықтары туындап отырғандығына көз жеткізіледі. Өлшеу
бірліктерін түрлендіреді, яғни олардың бірінен екіншісіне көшеді және әртүрлі
өлшеу бірліктерінің ара қатынасы тағайындалады; өлшеудің бір атау бірлігімен
өрнектелген шамадан осы текті шаманың басқадай атау бірлігіне кешуге
жаттықтырылады; бірдей немесе әртүрлі атау бірліктері мен өрнектелген
шамаларды қосу мен азайту және шаманы санға көбейту мен бөлу
қарастырылады.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Шаманың атау бірліктері сандар аймағының кеңейтіліуіне сәйкес 20
енгізіледі. Сандармен орындалатын және шамалармен жүргізілетін
арифметикалық амалдар қатар қарастырылады. Заттарды санау (қанша, неше,
нешеу). Заттарды әртүрлі белгілеріне (түсу өлшемі және пішіні) қарай
салыстыру (бірдей, әртүрлі, дөңгелек, үшбұрыш, шаршы). Заттарды
ұзындығына қарай салыстыру (ұзын-қысқа, биік-аласа, қалың-жұқа).
Ұзындықты өлшеу. Заттардың екі тобын салыстыру (артық-кем, сонша)
кеңістік туралы түсінік (жоғарыда, төменде, сол жақта, оң жақта, астында,
үстінде, арасында, қатар, алдында, артында және т.б.). қозғалыс бағыты (солдан
оңға қарай). Уақыт аралығы туралы түсінік (бұрын, кейін, алдымен, содан
кейін, сонан соң, соған дейін). Заттарды санау (нешінші, апта күндерінің, жыл
мезгілдерінің, айдың атауларының және реті).

Біріктіру және бөліп алу. Сызықтар (түзу, қисық сызық тұйықталған
қисық сызық тұйықталмаған қисық сызық). Нүкте, сәуле, бұрыш. Кесінді және
оны сызу. Кесіндінің ұзындығын өлшеу (сантиметр). Бөліктөрге бөлу және
құрастыру. Уақыт аралығы жайында қарапайым түсінік. Минут сағат, тәулік,
апта, ай, жыл, мүшел, ғасыр және олардың арақатынасы. Сыйымдылық
жайында түсінік. Литр, масса жайында түсінік. Килограмм, ұзындықты елшеу,
метр оның дециметр және сантиметрмен арақатынасы. Шамалар, оларды өлшеу
және салыстыру (өлшеу бірліктері: уақыттың – секунд, ұзындықтың –
километр, масса – грамм, центнер – тонна, бір ғана шаманың өлшеу
бірліктерінің арақатынасы).

Теңдеу. Қарапайым төңдеулер және тура теңдіктердің, өзара кері
амалдардың қасиеттеріне сүйеніп шешу. Шамалар, оларды өлшеу және
салыстыру. Шамалар арасындағы тәуелділік жайында түсінік (бағасы, саны
және құны, бір заттың массасы, заттың саны және жалпы массасы).

Кубтың көлемі жайында түсінік. Көлемнің өлшем бірлігі – куб сантиметр
– см3. Шамалар арасындағы тәуелділіктер, көп бұрыштың (әсіресе оның дербес
түрлерінің) периметрі мен ауданы жайындағы білімге негіздей отырып,
құрылысы күрделі санды және әріпті өрнектер құру, жазу, салыстыру және
мәнін табу.

Құрылысы күрделі (х+713=1520,4 және т.б.) теңдеулер құру және шешу.
Есепті шешудің алгебралық тәсілінің мән-мағынасы. Осындай теңдеулер
көмегімен есептер шығару. 3-4 амалдан тұратын (жақшалы және жақшасыз
өрнектердегі амалдарды орындаудың реті, тәртібі). Шамалар, оларды өлшеу
және салыстыру, өлшеу бірліктері көлемнің – см3, дм3, м3; ұзындықтың – мм,
ауданы – дм2, м3, мм3, а, га; өлшеу бірліктерінің арасындағы қатынастар.
Шамаларарасындағы тәуелділіктің мысалдары (бірқалыпты қозғалыстағы
уақыт, жылдамдық жол; бағасы, саны, құны; тіктөртбұрыштың ауданы және

Ерканат Камысбаевич Каримов

сыбайлас қабырғалары және т.б.). Жақындау және алыстау жылдамдығы. Бір- 21
біріне кездесу және қарама-қарсы бағыттардағы қозғалыстарда болатын уақыт,
қашықтың және жылдамдықтың арасындағы тәуелділік.

Шамалар және оларды өлшеу. Шамалардың өлшеу бірліктері мен
олардың арасындағы қатынастардың кестесі (шама ұғымын нақтылай түсу;
шаманы өлшеудің мән-мағынасын аша түсу; санаудың ондық жүйесі мен
өлшеудің метрлік жүйесінің байланысы; шаманы өлшеу бірліктерін түрлендіру;
уақыттың өлшеу бірліктері жүйесінің өлшеудің метрлік жүйесінен
айырмашылығы)

Ерканат Камысбаевич Каримов

МАТЕМАТИКАНЫҢ ДАМУ ТАРИХЫ 22

Математика (грек.mathematike- білім, ғылым)- ақиқат дүниенің сандық
қатынастары мен кеңістік формалары жайлы ғылым. Көрнекті совет
математиктері А. Н. Колмогоров пен А. Д. Александров ұсынған жіктеу
бойынша математиканың даму тарихы шартты түрде төрт кезеңге
бөлінеді.

Бірінші кезең- математиканың білім- дағдыларының қорлану,
жинақталу дәуірі. Ол ерте кезден басталып б.з.б. 7-6 ғасырларына дейін
созылды. Бұл дәуірде математика адамзат практикасы мен тәжірибесіне
тікелей тәуелді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан тұрды.

Екінші кезең- математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым
болып туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра,
тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең
тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі
деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17
ғасырда аяқталады.

Үшінші кезең- айнымалы шамалар математикасы немесе жоғары
математиканың туу, қалыптасу кезеңі. Бұл 17 ғасырда басталып, 19
ғасырдың 2-жартысына дейін созылды. Жиындар теориясына байланысты
анализдің, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары
шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру
кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады. Ол- 19-20 ғасырларды
қамтитын қазіргі математика кезеңі.

Математиканың тууы. Математиканың бастапқы мағлұматтары
барлық халықтарда болған. Ғылымның дамуына әсіресе Египетте(Мысыр),
Вавилонда жинақталған мәдени дәстүрлердің ықпалы үлкен болды. Бұл
елдерде б.з.б. 4-5 мың жылдай өзіндік мәдениет өркендеп, ғылыми білім
қорланған. Календарь жасау, құрылыс, жер суару, жер және әр түрлі ыдыс
көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан- жақты байланыс жасау ісі
математикалық білім- дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы
қарапайым ережелері дәлелдеусіз қалыптаса бастады. Египетте санды
иероглиф арқылы кескіндеу пайда болды, бүтін, бөлшек сандарға
арифметикалық төрт амал қолдану ережелері мәлім болды. Бір белгісізі
бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық және геометриялық
прогрессияларға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі кездеседі.
Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың ауданын,
параллепипед пен табаны квадрат пирамиданың көлемін дәл есептей
білген, дөңгелек ауданын жуықтап тапқан.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Вавилондықтар санаудың позициялық алпыстық жүйесін қолданған. 23
Олар сандарды көбейту, квадраттау, квадрат және куб түбір табу, бөлу
таблицаларын жасады; бірінші, екінші, аракідік үшінші дәрежелі теңдеуге
келтірілетін есептерді шеше білген. Вавилондықтардың геометриялық
білім-дағдылары египеттіктермен деңгейлес. Алайда олар астрономиялық
өлшеулер(бұрыш өлшеу тәрізді) жүргізгендіктен тригонометриялық
білімдерден де хабардар болған. Пифагор теоремасы да вавилондықтарға
белгілі болған. Египет пен Вавилонда б.з.б. 3-5 мың ж. арифметикалық
амалдар қолдану, аудан мен көлем табу, таблицалар жасау, біртектес
есептер шығару әдістерін жасау тәріздес көптеген математикалық білім-
дағдылардың жинақталғанын көреміз. Бұл мағлұматтар мен дәстүрлер
математиканың өзінше зерттеу пәні, әдістері бар дербес ғылым болып
бөлініп шығуына жағдай жасады.

Элементтар математика кезеңі. Ежелгі Греция. Әр түрлі
арифметикалық әдістер мен аудан, көлем табудың тәсілдері жөнінде
нақты материалдар жинақталғаннан кейін ғана(б.з.б.7 ғасырдан) математика
Ежелгі Грецияда дербес ғылым дәрежесіне көтерілді. Грек ғалымдарының
( Фалес, Пифагор, Детель, Гиппократ, Евдокс, Аристотель, Евклид, Архимед,
Аполлоний т.б.) еңбектері арқылы математика бірте-бірте практикалық
мәселелерді ғана шешуге бағытталған жалаң эмпирикалық ғылымнан
өзінің нәтижелерін түпкі қағидаларын (аксиомалардан) логикалық
қорытынды түрінде шығаратын дедукциялық ғылымға айналды.

Бізге жеткен деректерге қарағанда геометриялық шындықтарды
дәлелдеу практикасын Фалес енгізген болу керек(б.з.б.7 ғасыр). Фалес
дәлелдепті деп саналатын теоремалар: диаметр дөңгелекті қақ бөледі; тең
бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады; екі түзу
қиылысқанда тең бұрыштар пайда болады; сәйкес екі бұрышы және
қабырғасы тең екі үшбұрыш тең болады. Бұл теоремаларды оның қалай
дәлелдегені нақты дерек жоқ.

Грецияда теориялық математиканың туып өркендеуіне шешуші
еңбек сіңірген екінші бір ғылыми- философиялық мектеп атақты Пифагор
мектебі болды. Пифагор ғылымның төрт саласын( арифметика, музыка,
геометрия, астрономия) ажыратып, бұл бағытта терең зерттеулер жүргізген.
Бұл ғылым тарауларын гректер « математа» деп атаған, осыдан «
математика» деген термин қалыптасқан.

Рим дәуірі. Б.з.б.3 ғасырдан бастап жеті ғасыр бойы грек
ғылымының, әсіресе математикалық зертетулердің орталығы түрліше
мәдениеттің тоғысқан жері Александрия қаласы болды. Александрия
дәуірінің бірінші ғасыры (б.з.б.3 ғасыр) грек математикасының «алтын

Ерканат Камысбаевич Каримов

ғасыры» болып табылады. Евклид, Архимед, Эратосфен және Аполлоний

Пергскийдің математикадағы жетістіктері негізінен осы ғасырға жатады.

Александриялық ұлы математиктердің алғашқы қарлығашы Евклид

болды. Ол жай сандар қатарының шексіз болатынын дәлелдеп, бөлінгіштік

теориясын түбегейлі түрде жасап, сандар теориясының жүйелі негізін

қалады. Аполлоний Пергский Евклид геометриясын толықтырып, кейіннен

математиканың дамуында елеулі роль атқарған конустық қималар (

парабола, эллипс, гипербола) теориясын жасады.

Ежелгі грек математикасының негізгі кемшіліктерінің бірі

қалыптасқан иррационал сан ұғымының болмауы еді. Бұл жағдай

арифметика мен геометрияны алшақтатып алгебралық есептеулердің

шығуына кедергі жасады. Алайда кейінгі ғасырларда бұл қарама-

қарсылыққа бұрынғыдай мән берілмей алгебраның бастамалары бой

көрсете бастады. Грек ғалымы Геронның арифметикаға сүйенген есептеу

геометриясының әдістерін баяндауға арналған шығармасы-«Метрика»(1

ғасыр)- осының айқын мысалы.

Қытай мен Үндістан. Қытайдың ертедегі математикалық жетістіктері

б.з.б. 2-1 ғасырларда жазылған «Тоғыз кітаптағы математика» атты еңбекте

баяндалған. Оларда есептеу техникасы мен алгебралық жалпы әдістер

жақсы дамыған; мысалы, бүтін саннан квадрат және куб түбір табу,

жоғары дәрежелі теңдеулерді жуықтап шешу әдістері, п санының мәнін

есептеу т.б. Үнді математикасының өрлеген кезі (5-12 ғасырлар) Ариабхата,

Брахмагупта, Бхаскара есімдерімен тығыз байланысты. Үнділердің

математика тарихында екі негізгі жетістігі бар: санаудың ондық

позициялық жүйесін ашуы, нөлді енгізуі, тек бөлшектерді ғана емес

иррационал, теріс сандарды қамтитын алгебраны жасауы. Олар

тригонометрияға синус, косинус, синус- верзус сызықтарын енгізді.

Орта Азия және Таяу Шығыс. Гректердің де, Ежелгі Шығыс

елдерінің математикадағы мұрагерлері 7-8 ғасырларда араб халифатына

біріктірілген Орта Азия және Таяу Шығыс елдерінен шыққан ғалымдар

болды, олар еңбектерін сол кездегі ғылыми ортақ тіл- араб тілінде жазған.

9 ғасырдың 1- жартысында Орта Азия ғалымы Мұхаммед ибн Мұса әл-

Хорезми тұңғыш рет алгебраны математиканың негізгі саласы ретінде

баяндады. «Алгебра» термині әл-Хорезмидің шығармасының атынан

қалыптасқан (әл-жебр). Әбу Наср әл- Фараби математиканы ірі-ірі 7

тарауға бөліп, бұл пәннің мазмұнын анықтауға тырысты; сан ұғымын

нақты сандарға дейін кеңейту идеясын ұсынып, осы негізде грек ғылымы

аяқтай алмай кеткен (үлгермеген) проблеманы шешуге- бөлек- бөлек 24

жүрген сандық алгебраның бастамаларын, астрономиядағы

Ерканат Камысбаевич Каримов

тригонометрияны және ғылыми тұрғыдан негізделмеген Геронның есептеу 25
геометриясының басын біріктіруге талпынды.

16 ғасырға дейінгі Батыс Еуропа. 12-15 ғасырлар Бат. Европа үшін
негізінен ежелгі гректер мен Шығыс мұраларын игеру дәуірі болды. Осы
негізде Леонардо Пизанский (Фибоначчи) кезінде үлкен беделге ие болған
«Абақ туралы кітап» (1202) пен «Геометрия практикасын» (1220) жарыққа
шығарды. Кітап басу ісі жолға қойылғаннан кейін оқулықтар кең тарала
бастады, ғылыми ойдың орталықтары университеттерге шоғырланды.
Иррационал сандардың табиғатын тереңірек зерттеу( өлшемсіз шамалар
қатынасы), бөлшек, теріс және нөлдік көрсеткіштерді енгізу арқылы
алгебра, тригонометрия дамытылды, жеті таңбалы тригонометриялық
таблицалар жасалды (Региомонтан). 15 ғасырда математикалық символика(
таңбалау) кемелдене түсті ( франц. Математигі Н. Шюке т.б.)

16 ғасырдағы Батыс Европа. Бұл ғасыр Батыс Европа математикасы
ежелгі дүние мен Шығыс математикасын басып озған бірінші ғасыр
болды. Итальян математиктері С.Ферро мен Н.Тарталья мүмкін емес
саналып келген үшінші дәрежелі теңдеудің, ал Л. Феррари төртінші
дәрежелі теңдеуді шешудің алгебралық әдістерін тапты. Дж. Кардано
үшінші дәрежелі теңдеудің келтірілмейтін жағдайын зерттей келіп,
комплекс сандарын ашты. Алгебраны әрі сандық дамытуда француз
математигі Ф. Виет көп еңбек етті. Ол п- дәрежелі теңдеуді олардың
берілген түбірлері арқылы құру әдісін көрсетті (Виет теоремасы). Виет п-
дің шексіз көбейтінді түріндегі аналитикалық өрнегін алғаш рет тапты.

18 ғасырға дейінгі Россия. 9-13 ғасырларда Россияда математика
деңгейі басқа алдыңғы қатарлы Европа елдерімен шамалас болды. Монғол
шабуылы мәдениет пен ғылымның дамуына ұзақ уақыт кесірін тигізді.15-
16 ғасырларда математикалық қолжазбалар көптеп таралды. Бізге белгілі
ең көне математикалық шығарма-1136 жылы Новгород монахы Кириктің
қолынан шыққан арифметика- хронологиялық есептеуге арналған қолжазба
кітап. 16-17 ғасырлардағы математикалық қолжазбалардың мазмұны
күрделірек болып келеді ( көбінесе практикалық есептер). 1703 жылы орыс
математигі Л.Ф.Магницкий өзінің әйгілі « Арифметикасын» бастырды.

Айнымалы шамалар математикасы кезеңі. 17 ғасыр. 17 ғасырдан
бастап математиканың дамуында негізінен өзгеше кезең басталды. Енді
математика зерттейтін сандық қатынастар мен кеңістік формаларының
ауқымы сандар, шамалар және геометриялық фигуралармен
шектелмейді,алғы шепке функция ұғымы шығады, өйткені математикаға
қозғалыс, өзгеріс идеясы ашық енгізіледі.Математеканың дамуындағы бұл
кезең 17 ғасырдағы математикалық жаратылыс танудың (ең әуелі

Ерканат Камысбаевич Каримов

механика, оптика) дамуына тікелей байланысты туды, жекелеген табиғат 26
құбылыстарының ағымын жалпы, математикалық жолмен тұжырымдалған
табиғат заңдары түрінде өрнектеу қажет болды.17 ғасырдағы
математикалық жетістіктері логарифмдердің ашылуынан басталды. 1637
жылы Р. Декарт «Геометрия» атты еңбегін жариялады. Ол мұнда сол
дәуірдегі бүкіл математикаға дерлік алгебраны арқау етіп аналитикалық
геометрияны жасады. Осының арқасында математикалық анализдің түрлі
салаларының- дифференциалдық интегралдық, вариациялық есептеулердің
тууын дайындаған жалпы әдіс жасады. Декарттың бұл әдісі екі идеяға-
координаталар мен айнымалы шамалар идеясына негізделді.
Математикалық анализдің бастамаларын жасауда П.Ферма, И. Кеплер, Б.
Паскаль, ағылшын математигі Дж. Валлис т.б. көп еңбек сіңірді. р (х)=0
теңдеуінің түбірлерін y=p(х) қисық сызығы мен абцисса осінің қиылысу
нүктелері арқылы кескіндеу мүмкіндігіне тығыз байланысты алгебрада кез
келген дәрежелі теңдеудің нақты түбірлерін зерттеу қолға алынды (Р.
Декарт, И. Ньютон, француз математигі М. Ролль). И. Ферманың максимум
және минимумдар, қисық сызықтарға жанама жүргізу жөніндегі
зерттеулерінде дифференциалдық және интегралдық есептеулердің әдістері
кездеседі (бірақ дараланып бөлінбеген). Шексіз аз шамалар анализінің тағы
бір көзі И. Кеплер (1615) мен Б. Кавальери (1635) еңбектеріндегі айналу
денелерінің көлемін және басқа есептерді шешуге қолданылған «
бөлінбейтіндер методы» болып табылады. 17 ғасырдың аяғына таман И.
Ньютон мен Г. Лейбниц еңбектерінде дәл мағынасындағы
дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізі қаланды. Олар
алғаш рет жаңа есептеудің негізгі амалдары дифференциалдау мен
интегралдауды жалпы түрде қарастырып, олардың өзара байланысын
тағайындады ( Ньютон- Лейбниц формуласы). Алайда Ньютон мен Лейбниц
бұл мәселеге қатысы әр түрлі көзқараста болды. Ньютон үшін бастапқы
ұғымдар- механикалық есептерден келген « флюента» (айнымалы шама)
және оның « флюксиясы» (айнымалы шаманың өзгеру жылдамдығы).
Флюксияларды және флюенталар бойынша флюнсиялар арасындағы
қатыстарды ( дифференциалдау және дифференциалдық теңдеулер құру)
табуды көздеген тура есепке Ньютон флюнсиялар арасындағы қатыстар
бойынша флюенталарды табу жайлы кері еспті, былайша айтқанда
дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың жалпы есебін қарсы
қойды. Лейбниц болса әсіресе шекті шамалар алгебрасынан шексіз аз
шамалар алгебрасына көшуге көп көңіл болды, ол интегралды ең әуелі
саны шексіз көп шексіз аз шамалардың қосындысы ретінде, ал
дифференциалдық есептеулердің негізгі ұғымын айнымалы шамалардың

Ерканат Камысбаевич Каримов

шексіз өсімшесі түрінде қарастырды. Бұл саладағы идеяларды Я. 27
Бернулли, И. Бернулли, француз математигі Г. Лопиталь т.б. одан әрі
дамытты. Аналитикалық геометриядан басқа алгебра мен анализге тығыз
байланысты дифференциалдық геометрия да дамыды. 17 ғасырда
проективтік геометрияның да негізгі ұғымдары қалыптаса бастады. Бұл
ғасырдағы математиканың басқа жетістіктерінің қатарына сандар теориясы
жөніндегі Б. Паскаль мен П. Ферма зерттеулерін, комбинаториканың
негізгі ұғымдарының жасалуын, ықтималдықтар теориясы жайлы алғашқы
жұмыстарды атауға болады.

18 ғасыр. Математиканың айтылмыш тараулары, әсіресе
математикалық анализ 18 ғасырда одан әрі дамыды. Бұл салада ұлы
математиктер Л. Эйлер мен Ж. Лагранж ерекше еңбек сіңірді. Осы
ғалымдар мен француз математигі А. Лежандр еңбектерінде сандар
теориясы алғаш рет жүйелі ғылым санатына қосылды. Алгебрада швейцар
математигі Г. Крамер (1750) сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін
анықтауыштарды енгізді. Ағылшын математигі А. Муавр мен Л. Эйлердің
көрсеткіштік және тригонометриялық функциялардың байланысын
көрсететін формулалары комплекс сандардың математикадағы қолдану
өрісін кеңейте түсті. И. Ньютон, шотланд математигі Дж. Стирлинг, Л.
Эйлер және П. Лаплас шектеулі айырымдарды есептеудің негізін қалады.
К. Гаусс 1799 жылы алгебраның негізгі теоремасының бірінші дәлелін
жариялады. Математикалық анализ әсіресе дифференциалдық теңдеулер
әдістері механика мен физиканың, сондай-ақ техникалық процестердің
заңдарын, математикалық өрнектеудің негізін қалады; жаратылыс тану мен
техниканың ілгерілеуі осы әдістерге тікелей байланысты болды. Ағылшын
математигі Б. Тейлор (1715) кез келген функцияларды дәрежелік қатарға
жіктеу жөніндегі өзінің формуласын ашты. 18 ғасыр математиктері үшін
қатарлар анализдің ең бір қуатты, икемді құралына айналды. Л. Эйлер, Ж.
Лагранж бірінші ретті, ал Л. Эйлер, Г. Монж, П. Лаплас екінші ретті дербес
туындылы дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясының негізін
қалады. Математикалық анализдің ықпалымен аналитикалық механика,
математикалық физика т.б. жаңа салалар қалыптаса бастады;
математикалық анализдің айрықша бір бұтағы- вариациялық есептеу
қалыптасып, маңызды қолданыс тапты. Ағылшын математигі А. Муавр, Я.
Бернулли, П. Лаплас 17-18 ғасырлардағы жекелеген нәтижелерге сүйеніп
ықтималдықтар теориясының негізін қалады.

Геометрия саласында Л. Эйлер элементар аналитикалық геометрия
жүйесін жасауды аяқтайды. Л. Эйлер, француз математигі А. Клеро, Г.
Монж еңбектерінде кеңістіктегі қисық сызықтар мен беттердің

Ерканат Камысбаевич Каримов

дифференциалдық геометриясының негізі салынды. Неміс ғалымы Ламберт 28
перспектива теориясын дамытты, ал Г. Монж сызба геометрияны аяқталған
түрге келтірді.

Қазіргі математика дәуірі. 18 ғасырдың аяғы мен 19 ғасырдың бас
кезінен бастап математиканың дамуында бірсыпыра жаңа белгілер мен
сипаттар орын алды. Математиканы негіздеудің көптеген мәселелеріне сын
көзбен қайта қарау әрекетіне тоқтайық. Ол ең әуелі математиканың жаңа
тарауларын қамтиды. Шексіз аз шамалар жайлы бұрынғы анық емес
бұлдыр түсініктің орнына шек ұғымын дәл анықтайтын тұжырымдар
пайда болды (О. Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс). Бұл нақты
иррационал сандар теориясын жасауды, функциялар ұғымын қайта
тексеруді т.б. зерттеулерді қажет етеді. Математикалық анализді негіздеу
жөніндегі зерттеулер математиканың жаңа салалары- жиындар теориясы (
неміс математигі Г. Кантор) мен нақты шамалар функциялары
теориясының шығуына себепші болды ( француз математиктері К. Жордан,
Э. Борель т.б.). Функциялар теориясының тың және жемісті бір саласы
функциялардың конструктивтік теориясы П. Л. Чебышев пен оның
шәкірттерінің жұмыстарынан басталды

Осымен қарбалас геометрияның да негізгі ұғымдары жан- жақты
терең сарапқа салынды. Бұл жөніндегі аса үлкен оқиғалар қатарына бүкіл
математиканы түсінуде үлкен бет бұрыс жасаған евклидтік емес
геометрия туралы Н. И. Лобачевский мен Я. Больяйдің жұмыстары
жатады. Геометрия негіздері туралы осыдан кейінгі зерттеулер геометрия
аксиомаларының толық тізімін жасауға әкеп тіреді ( Д. Гильберт), Б. Риман
кез келген элементтерден тұратын жаратылыстағы объектілерді қамтитын
кеңістіктің жалпы ұғымын берді, мұндай кеңістіктердің қасиеттерін
зерттеуге 19 ғасырда дамыған дифференциалдық геометрия әдістерін
қолданудың жолдарын көрсетті. 20 ғасыр дифференциалдық- геометриялық
көп бейнеліктерді тұтас қарастыру саласында үлкен жетістіктерге қол
жетті. Фигуралар мен кеңістіктердің жалпы қасиеттерін зерттеу барысында
математиканың жаңа саласы- топология пайда болды ( Б. Риман, А.
Пуанкаре).

19 ғасырда алгебрадан алгебралық теңдеулерді радикал арқылы
шешу мәселесі айқындалды ( Н. Абель, Э. Галуа). Сонымен қатар
алгебралық амалдардың жалпы қасиеттері мұқиет зерттеле бастады. Бұл
жағдайда 20 ғасырда алгебраның жаңа бұтағы- абстрактілі немесе жалпы
алгебраның жасалуына әкеп соқтырды. Осыған байланысты енгізілген топ,
сақина, өріс ұғымдары математика мен жаратылыс танудың әр түрлі
салаларында кеңінен қолданыс тапты. Алгебра мен геометрияның

Ерканат Камысбаевич Каримов

шекарасында норвег математигі С. Ли (1873 жылдан бастап) қазіргі 29
физикада мәні зор үздіксіз топтар теориясын жасады.

19 ғасырда математикалық анализдің қолданылу өрісі едәуір кеңейді.
Механика мен физиканың жаңа салаларының ( үздіксіз орта механикасы,
баллистика, электродинамика, магнетизм теориясы, термодинамика) негізгі
аппараты ретінде дифференциалдық теңдеулер теориясы жедел дамыды.
18 ғасырда мұндай түрдегі кейбір теңдеулер ғана шешілген болса, жалпы
әдістер тек 19 ғасырда ғана дамытылды, физика мен механиканың
есептеріне байланысты қазір де дамытылуда. Аспан механикасының
есептерінде дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясы қолданыс
тапты ( А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов). Дифференциалдық теңдеулермен қатар
интегралдық теңдеулер теориясы да дамытыла бастады.

Математикалық анализ бен математикалық физика дамуының
геометрия мен алгебрадағы жаңа идеялармен түйіндесуі нәтижесінде
математика мен оның қолдануында ерекше маңызды қызмет атқарып
отырған математиканың үлкен бір жаңа саласы- функционалдық анализ
жасалды. Статистикалық физика мен әр түрлі мәселелерді зерттеуге
статистикалық әдістерді кең қолдану әрекеті ықтималдықтар теориясының
алдына көптеген жаңа міндеттер қойды. Осы негізде бұл теория 19-20
ғасырларда күшті қарқынмен дамытылды.

19-20 ғасырлар бойы математиканың көне салалары да жаңа
идеялармен, нәтижелермен толығып, дамып отырды. Мысалы, сандар
теориясына математикалық анализ әдістерін қолдану бұрын элементар
әдістер арқылы шешілмей келе жатқан көптеген мәселелерді шешуге
мүмкіндік берді ( мысалы, Гольдбах прблемасы).

Теориялық математиканың зерттеулер нәтижесін практика жүзінде
қолдану шешілуге тиісті есепке ( мәселеге) сан түрінде жауап алуды
талап етеді. Осыған байланысты 19-20 ғасырларда математикадағы сандық
әдістер оның дербес бір тармағына айналды. Көп еңбек тілейтін
есептеуді қажет ететін мәселелерді шешуді жеңілдету, жеделдету ісі әуелі
механика-математикалық машиналар мен аспаптарды, ал 20 ғасырдың 40
жылдарынан бастап тез әрекетті электрондық есептеуіш машиналарды
талап етті. 19-20 ғасырларда дамытылған математиканың бір тармағы
математикалық логика басқару туралы ғылым- кибернетикада және
есептеу техникасында қолданыла бастады. Есептеу техникасының кең
қолданылуына байланысты программалау теориясы пайда болды.

19 ғасырдың 2- жартысынан бастап математика тарихын қарастыру
жедел қолға алынды. 20 ғасырдың 50 жылдарынан бастап математика
ғылымының басқару теориясы, кибернетика, алгебралық геометрия,

Ерканат Камысбаевич Каримов

информация теориясы т.б. көптеген жаңа салалары пайда болды. 30
Математиканың осылай қауырт дамуына жаратылыс тану ғылымдары мен
техниканың математика алдына қойып отырған талаптары түрткі болды.
Мысалы, өндірістік процесті автоматтандыру басқарудың математикалық
теориясының тууына себепкер болды.

Ерканат Камысбаевич Каримов

ҰЛЫ МАТЕМАТИКТЕР 31

Математика (грек - білім, ғылым) - ақиқат дүниенің сандық қатынастары
мен кеңістіктегі пішіндер жайлы ғылым. Математиканың даму тарихы шартты
түрде төрт кезеңге бөлінеді. Бірінші кезең математика, білім дағдылардың
қолдану, жинақтау дәуірі. Ол ерте кезден басталып, б.з.б. 7 - 6 ғасырларына
дейін созылады. Бұл дәуірде математика адамзаттың өмір тәжірібисіне тікелей
тәуеді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан құралды. Екінші
кезең математиканың өз алдына дербес теория, ғылым болып тууы, қалыптасу
кезеңі. Мұнда, көбінесе, сандар, скамярлық шамалар және қарапайым
геометриялық фигуралар қарастырылды. Математика зерттейтін шамалар
(ұзындық, аудан, көлем т.б.) тұрақты болып келді. Осы уақыттарда арефметика,
геометрия, алгебра, тригонометрия және математикалық анализдің кейбір
элементтері пайда болып, айрықша теория пән ретінде қалыптасты. Математика
сауда саласында жер өлшеуде, астрономияда, архитектурада қолданыла
бастады. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасы, элементтер матиматикасы
кезеңі деп те аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17
ғасырда аяқталды. Үшінші кезең айнымалы шамалар математикасы немесе
жоғарғы математиканың (математика, анализ, геометрия, т.б.) туу, қалыптасу
кезеңі 17-18 ғасырдағы жаратылыстану мен техниканың жылдам дами бастауы
математикаға қозғалыс пен тұрақсыздық идеяларын айнымалы шамалар және
олрдың арасындағы функционалдық тәуелдік түрде енгізу қажеттілігін
туғызды. Нәтижесінде математиканың аналитикалық геометрия,
диференциалдық және интегрициалдық есептеулер, т.б. салалары пайда болып
диференциалдық теңдеулер теориясы мен диференциялдық геометрия дами
бастады. Бұл 17 ғасырда басталып, 19ғасырдың 2 жартысына дейін созылды.
19-20ғасырда кәдімгі шамалар мен қазіргі алгебрада зерттелетін нысандардың
тек дербес ысалдары болып қалды. Геометрия Эвклид кеңістігі дербес түрі
болатын «кеңістіктерді» зерттеуге көшті. Н.И.Лобачевский ашқан Евклид емес
геометрия жүйесі бұл бағыттағы алғашқы қадам болды. Нақты және жорымал
санды функциалар, жиындар, ықтималдықтар және топтар теориялары,
проективтік және Евклидтік емес геометрия, математика, логика, векторлық
анализ, функционалдық анализ, т.б. Математиканың жаңа салалары дами
бастады. Бұл математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру кезеңі,
төртінші кезең қазіргі математика кезеңі. Есептердің жауаптарын сандық түріде
беру үшін 19-20 ғасырда сандық әдістер негізінде математиканың жеке тарауы -
есептеу математикасы пайда болды. Көптеген есептердің күрделі сандық
шешімдерін ықшамдау және тездетіп шығару үшін электрондық есептеу
машиналары, компьютерлер жасалына бастады. Есептеу техникасының кең

Ерканат Камысбаевич Каримов

қолданылуына байланысты бағдарламалау теориясы пайда болды. 20 ғасырдың 32
50-жылдарынан бастап математика ғылымының автоматтар және тиімді
басқару теориясы, ойындар теориясы, алгебра, геомертия, ақпараттар теорияс,
математикалық экономика, т.б. көптеген жаңа салалары пайда болды.

Математиканың тууы. Математиканың туу, даму барысы ұзақ мерзімге
созылды. Арифметиканың өзі дербес ғылым ретінде бірітіндеп
қалыптасқанымен, оның негізгі сан ұғымы өте ертеде, тарихқа дейінгі
заманда,санау қажеттілігі туған кезде пайда болған. Геометрияның бастапқы
қарапайым ұғымдары табиғатты бақылау, тікелей практикалық өлшеу
тәжірибелерінен алынған. Математиканың бастапқы мағұлматтары барлық
халықтарда болған. Ғылымның дамуына, әіресе Египетте (Мысыр), Вавилонда
жинақталған мәдени дәстүрлердің ықпалы үлкен болды. Бұл елдерде 5-4
мыңжылдықтарда өзіндік мәдениет өркендеп, ғылым білім жинақталған.
Күнтізбе жасау құрылыс салу, жер суару, жер және әр түрлі ыдыс көлемін
өлшеу, теңізде жүзу, жан-жақты байланыс жасау ісі математикалық білім
дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы оның қарапайым ережелері
дәлелдеусіз қалыптаса басталды. Египетте санды эроглиф арқылы кескіндеу
пайда болды, бүтін бөлшек сандарға арифметикалық 4 амал қолдану ережелері
мәлім болды. Бір белгісізі бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық
және геометриялық прогрессиялпрға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі
кездеседі. Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, ұшбұрыштың ауданын,
параллелипедт пен табаны квадрат пирамиданаң дәл есептей білді, дөңгелек
ауданын жуықтап тапты (П≈3,14). Вавилондықтар сандарды көбейту,
квадраттау, квадрат және куб, түбір табу, бөлу таблицаларын жасады; бірінші,
екінші, үшінші дәрежелі теңдеуге келтірілетін есептер шеше білген. Олар
астрономиялық өлшеулер жүргізігендіктен тригонометриялық білімдерден де
хабардар болған. Пифагор теорнмасы да вавилондықтарға белгілі болған. Бұл
мағлұматтар мен дәстүнрлер математиканың өзінше зерттелу пәні, әдістері бар
ғылым болып бөлінінуіне жағдай жасайды. Математика ғылымын дамытуға
орта ғасырда Орта Азия мен Қазақстан өңірінен шыққан ғалымдар үлкен үлес
қосты. Хорезмед туып - өскен Әбу Абдаллаһ әл- Хорезмше тұнғыш рет
математиканың негізгі саласы алгебра ретінде баяндады. Отырарда туып-өскен
оның серіктесі Ғаббас әл-Жауһари (ІХ-ғ) шығыста алғашқылардың бірі болып
параллель түзулер теориясын зерттей бастады. Отырарда туған Әбу-Насыр әл-
Фараби геометрия, тригонометрия, математиканың методологиясы т.б. салалар
бойынша үлкен табыстарға жеткен. Бұлардың математика зерттеулері Әбу
Райхан әл- Бируни, Омарм хаям, Әбу Жафар ат-Туси, Ұлықбке Жамал
Түркіңстани, т.б. еңбектерінде дамытылды ХҮ ғ. ІІ-жартысынан бастап Орта
Азия мен Қазақстанда бірспыра себептердің салдарынан мәдениет пен

Ерканат Камысбаевич Каримов

ғылымның дамуы мейлінше төмендеп, ғылыми зерттеулер тоқтап қалды. 33
Рухани мектептері мен медресселерде практикалық арифметика геометрия
бойынша ғана қарапайым мағлұматтар берілді. Математика қазақ жерінде тек
Қазан төңкерісінен кейін жаңа қарқынмен дами бастады. ХХ ғ. 20-30 ж.ж. жаңа
типтегі жалпы білім беретін мектептерде математика арнайы оқытылды.
Бірнеше жоғарғы оқу ( КазПИ, ҚазМУ, ҚазПТИ), ХХ ғ. 30-40жж алғашқы қазақ
математиктері кандидаттық диссертациялар қорғады. Ғылыми кадрлар
дайындауда 1945 жылдан КСРО-ға Қазақ бөлімшесінің математика және
механика секторы маңызды рөл атқарды. Математика саласында басты бағыт
дифференц мен орнықтылық теориясы болды. Көрнекті Ресей математигі және
механигі А.М.Ляпунов (1857-1918жж) жасаған орнықтылық теориясы
Қазақстан математиктерінің зерттеу пәнінніне айналды.

Есімі дүние жүзіне мәлім болып, ғылыми және мәдени мұралары
ғасырлар бойы ардақталып, ұрпақтан-ұрпаққа өтіп келе жатқан ардагер
азаматтар тарихта аса көп емес. Тарих жазбасында, халықтың рухани
қазынасында айтулылардың айтулысы, жүйріктердің жүйрігі ғана мәңгі ұялап
қоныс тебеді. Мың жылдан артық уақыт өтсе де, аты ауыздан-ауызға жатталып,
еңбектері уақыттың, мезгілдің қатыгез сынынан мүдірмей өткен, сол адамзат
ұлдарының, тарих перзенттері Аристотель, Әбунасыр Фараби, Ахмес, Пифагор,
Евклид, Архимед, Эратосфен, Әл-Хорезми, Фибаначчи, Галилей.

Аристотель
Бұл кісінің есімі халық арасында бұрыннан-ақ белгілі. Абайдың
«Ескендір» поэмасындағы қанқұйлы, дүлей күш Ескендірді тоқтатқан
Аристотель асқар таудай ақыл иесі ретінде танылады. Шынында Аристотельдің
барлық халықтар, барлық ұрпақтар тарапынан ерекше баға алып, қошеметке
бөленуі тегін емес. Ол өз заманында адам баласына керек білімнің барлық
салалары бойынша қалам тартып, керемет ғылыми тұжырымдар жасаған.
Авторлардың біреуі Аристотель 400 кітап жазған десе, енді біреулері 1000 кітап
жазған деседі. Аристотель шәкірттеріне бақ ішінде серуен құрып жүріп,
сабақты әңгіме түрінде жүргізеді екен. Аристотельдің сабақтары таңертеңгілік
және кешкілік болып екіге бөлінетін болған. Таңертеңгі ігңмелерге Аристотель
тек дараны мен дайындығы мол шәкірттерді ғана қатыстырып, оларға
логиканы, филасофияның қиын мәселелерінен хабар беріп отырған. Ал кешкі
әңгімелер көпшілік шәкірттерге арналып, мұнда шешендік өнері, саясат сияқты
ұғымға жеңіл сауалдарға жауаптар берілген. Аристотельдің логикасы
математиканың дамуына күшті ықпал жасады, ол геометрияда дедуктивтік
логикалық әдістің қалыптасуына әкеледі. Қазіргі математикалық құрылыстың

Ерканат Камысбаевич Каримов

негізгі ірге тасы саналатын аксиома, анықталса, теорема, дәлелдеу делетіндер. 34
Аристотельдің логикасы негізінде жасалған.

Әбунасыр Фараби
Ол Отырарда туған. Фараби түркі, араб, парсы, грек және басқа тілдерді
жетік білген. Кейбір деректер бойынша тіпті ол 70 тіл білген деп те айтады.
Фарабидің энциклопедиясында математика ғылымдарына көп орын берілген.
Ол математиканы үлкен-үлкен жеті тарауға бөлегн. Енді әрқайсысына жеке-
жеке тоқталайық. Арифметика, яғни сан туралы ғылым. Математиканың бұл
тарауы жөнінде Фараби былай дейді: «Арифметика екі ғылымды біріктіреді:
біріншісі – практикалық арифметика; екіншісі – теориялық арифметика».
Фараби, сөйтіп, арифметиканы практикалық және теориялық арифметика деп
екіге бөлінеді. Ол, әсіресе, теориялық арифметикаға ерекше мән береді.
Арифметиканың негізгі ұғымы сан. Фарабидің түсіндірілуі бойынша, сан
объективті ақиқат нәрселердің сезіп-түйсінуге болатын, яғни «көзбен көріп,
қолмен ұстауға» болатын жақтарын елеусіз қалдырып, тек саналуға, есептелуге
тиісті қырларын бейнелейді. Бұл өте дұрыс материалистік түсінік. Фарабидің
айтуынша теориялық арифметика үш тарауды қамтиды: 1) сандардың бір-біріне
қатыссыз жеке-дара қасиеттерін қарастыратын тарау (жұп және тақ сандар,
кемел, жазық, т.б. сандар теориясы); 2) сандардың бір-біріне қатысты
қасиеттерін қарастыратын тарау (теңдігі, теңсіздігі, қатынасы, пропорция, өзара
жай сандар, еселі сандар, т.б.); 3) сандарға амалдар қолдану. Геометрия
ғылымның мазмұны мен пәнін ғылым төмендегіше тұжырымдайды:
«Геометрия екі ғылымды біріктіреді: біріншісі – практикалық геометрия,
екіншісі – теориялық геометрия». Практикалық геометрия сызықтар мен
беттерді ағаш ұстасы, темірші, тас қалаушы, жер бетінде қарастырады.
Теориялық геометрия сызықтары мен жазықтықтарды абсалют мағынада
барлық денелерге ортақ мағынада қарастырылады.

Ахмес
Шамамен б.д.д 1700ж
Әлемге әйгілі бірінші математиктің есімі – Ахмес. Б.э.д 1700ж оның
математикалық есептегре құрылған еңбегі ұзындығы 6 метр (20 фунт) папирус
орамасына жазылған. Солардың біреуі санды ұдайы екі еселеу арқылы көбейту
тәсілін көрсетеді. Осы есеп бинарлық жүйеге із салады, соның арқасында
бүгінгі сандық техналогияларға қол жетті. Ахмес тек осы қағаз ораманы
көшіріп жазып алды, оның нағыз авторларының есімдері белгісіз.

Пифагор

Ерканат Камысбаевич Каримов

Б.э.д. 569 – 475ж 35
Грек ғалымы Пифагор матиматикаға негізделетін құпия ілімнің негізін
қалады. Ол сандардың барлық нәрсе екенін және математиканың көмегімен кез
келген құбылысты түсіндіруге болатынын дәлелдеген. Мысалы, ол музыкалық
аспаптың табиғи көлемінің жартысына тең музыкалық ішек кесіндісінің бір
октаваға жоғары дыбыс шығаруға мүмкіндік туғызатынын ашқан. Пифагор
жердің шар тәріздес екенін бірінші ұққан және дұрыс ұшбұрыштардың әйгілі
теоремасын дәлелдеген. Ол сондай-ақ нысанын өзгеруге сенген және тамаққа
бұршақтарды салуға тыйым салған. Пифагор сандары – натурал сандар үштігі,
бұл сандар ұшбұрыш қабырғаларының ұзындығына пропорционал (немесе тең)
болса, онда ұшбұрыш тіктөртбұрышты болып табылады. Бұл үшін Пифагордың
кері теоремасы бойынша ол сандардың x² + y² = z² түріндегі диофант теңдеуін
қанағаттандыруы жеткілікті (мыс., x = 3, y = 4, z = 5) өзара жай Пифагор
сандарының кез келген үштігі мына формулалар арқылы анықталады: x² = m² -
n², y = 2mn, z = m² + n², мұндағы m және n – бүтін сандар (m > n > 0)

Евклид
Б.д.д. 325 – 265ж
Евклид ежелгі дәуірдегі грек математикгі. Ол математикадан жазылған
теориялық алғашқы трактаттың авторы, Александрия қарамағындағы мектептің
тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың қасы. Евклидтің басты
еңбегі – «Негіздер». Онда планиметрияның, стреометрияның кейбір мәселелері
талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек математикасының одан әрі
дамуының ірге тасын қалаған. Евклидтің «Негіздерден» басқа «Фигураны бөлу
туралы», «Канустың қималары» деп аталатын еңбектері бар. Ол астраномиядан,
музыкадан, т.б. салалардан да еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен
шығармалары мына басылымда жинақталған: «Eudidis Opera Menge». Онда
грекше түр нұсқасы, латыннан аудармасы және кейінгі авторлардың
түсініктемелері берілген. Евклид «Негіздерінің» математиканы дамытуда әсері
орасан зор болады. Бұл еңбектен тәлім алмаған ірім-ұсақты математик жоқ
деуге болады. «Негіздер» орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылы аударылып
басталып шықты, ал ең кейінгі жаңартылған аудармасы 1948-1950 жылдары
жарық көрді. Математиканы сүйетін әрбір талапкердің ғылымының
классикалық бұл еңбегімен танысып аса пайдалы болар еді.

Архимед
Б.д.д. 287 – 212 жж
Гидростатика принципін ашқан Архимед шомылып жатқан жерінен тыр
жалаңаш атып шығып, сол күйінде: «Эврика»-деп айқайлап, көне аралап

Ерканат Камысбаевич Каримов

жүгірмемен белгілі. Аса көрнекті грек математигі болған ол П санының 3 36
ондық бегісін, сфера бетінің көлемі мен ауданын есептеп шығарып, қару ойлап
тапқан, тұтқалар мен блоктардың принципін түсіндірген. Ол: «Маған ұзын
тұтқа мен тіреу нүктесін беріңдерші, сонда мен Жерді орнынан жылжытамын»,-
деген.

Эратосфен
Б.д.д. 276 – 194 жж
Грек ғалымы Эратосфен математикалық қатар астрономия, география,
тарихты да жақсы білген. Ол жай сандарды табудың тәсілін ойлап тауып, сол
кездегі белгілі әлем картасы мен аспан денелерінің картасын жасаған, сондай-
ақ (високосный) жылды еңгізудің қажеттілігін негіздеген. Оның негізгі
жетістігі – Жердің көлемін адамдар оның шар тәріздес екенін білгенге дейін
есептеп шығаруы. Өз есептеулерінің негізінде ол картада белгіленбеген
мұхиттың әлі де орасан үлкен кеңістіктері бар екенін болысады және оның
айтқаны дұрыс келеді.

Әл – Хорезми
780 – 850

Араб математигі әл – Хорезми Бағдатта тұрды. Математика бойынша ол
жазған екі кітап бүкіл әлемге араб цифрлары мен нөлдің тарауына септігін
тигізді. «Арифметика» және «Алгоритм» терминдері сол жасаған сөздіктерден
бізге келді, ал алгебра сөзі оның «Хибас әл – жабр уа-л мукабаля» кітабы
тақырыбының бір бөлігі болып табылады. Ал геогрф ретінде сол кездегі белгілі
әлемнің толық картасын жасауға көмектесті.

Фибоначчи
1170 – 1250 жж
Леонардо Пизанский өзінің Фибоначчи есімімен көбірек танымал.
Иналияндық саяхатшы – саудагердің ұлы болған ол өзінің өмірінің көп
жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын пайдалануға үйретті.
Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған Фибоначчи көп ұзамай осы
амалдар туралы кітап жазады, соның нәтижесінде бұларды Италияда да
пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты,
тізбек табиғатпен және алтынның арасалмағымен байланысты.

Г.Галилей
1564 – 1642 жж
Галилей Галелео (15.2.1564, Италия, Пиза - 8.1.1642, Флоренция
маңындағы Арчетри қ) – италиялық физик, механик, астраном, табиған тану

Ерканат Камысбаевич Каримов

ғылымдарының негізін салушы. Кедейленген ақсүйек отбасында туған. Әкесі 37
Винисицо белгілі музыкант болған. Галилейдің үлкен оқымысты болуына
әкесінің ықпалы тиген. 11 жасына дейін Пиза қаласында тұрып, кейін отбасы
Флоренцияға көшеді. 1581 жылы Пиза университетіне түсіп, медицинаны оқып
үйренеді. Мұнда ол Аристотель, Евклид, Архимед еңбектерімен танысады.
Сөйтіп, геометрия мен механикаға әуестенген Галилео медицинаны тастайды.
Кейін Флоренцияға қайта оралып, төрт жыл бойы математиканы зерттейді.
1589 жылы Пизада математика кфедрасын қабылдап алып, ғылыми жұмысы
одан әрі жалғастырылады. Аристотельге қарсы «Қозғалыс туралы сұхбат»
деген еңбек жазады. 1592 жылы Падуяда математика кафедрасын басқарады.
Бұл кезең (1592 – 1610 жж). Галилейдің шығармаларының кемеліне келген
шағы болатын.

Птолемей
Клавдий Птолемейдің өмір жолы туралы мағұлмат жоқтың қасы, тек қана
біздің заманымыздың 120 жылынан бастап Александрияда өмір сүргені белгілі.
Ол өзінің жетістіктері негізінде арабтар «Алмагест» деп атап кеткен. Үлкен
еңбектің авторы «Алмагест» арабша «алмаджести», яғни «аса ұлы» шығарма
дегенді білдіреді. Птолемейдің бірінші кітабында гректердің триогеометриясы
жүйелі түрде баяндалған. Мұнда 0º бастап 180º дейінгі хордалардың
таблицалары келтірілген. Тарихи жазбалар бойынша хордалар таблицасын
алғаш жасаушы ретінде б.з.д. 2 ғасырда өмір сүрген астраном математик
Гипарх екен. Бірақ ол таблицалар бізге жеткен жоқ. Грек математиктерінде бұл
кезде синус, косинус және тангенс сызықтары болмаған. Бұлардың радиусы
тұрақты дөңгелектің центрлік бұрыштарына сәйкес келетін хордалардың
ұзындығын есептейді. Птолемей дөңгелек шеңбердің 360º, ал оның диаметрін
120 бөлікке бөледі, сөйтіп, хорданың ұзындығын дөңгелектің радиусы
(орнықты) арқылы өрнектейді. Басқа бұрыштарға қандай хордалар сәйкес
келетінін анықтауға Птолемей шеңберді іштей сызылған төртбұрыш дөңгелекке
іштей сызылса, онда оның диогональдарының көбейтіндісі қарама – қарсы
қабырғалардың көбейтінділерінің қосындысына тең болады. Бұл теорема қазір
Птолемейдің есімімен аталып жүр.

Ерканат Камысбаевич Каримов

ҚАЗАҚТЫҢ МАТЕМАТИКА САЛАСЫ БОЙЫНША АЛҒАШҚЫ 38
ҒАЛЫМДАРЫ

Қазақтың математика саласы бойынша алғашқы ғалымдары Әлімхан
Әбеуұлы Ермеков (1891- 1970) – аса көрнекті мемлекет және қоғам қайраткері,
Алаш қозғалысының жетекшілерінің бірі, қазақ тіліндегі тұңғыш жоғары
математика оқулығының авторы, математика саласы бойынша қазақтан шыққан
тұңғыш профессор. Әлімхан Ермеков 1891 жылы осы күнгі Қарағанды облысы,
Ақтоғай ауданы, Бөріктас деген жерде дүниеге келеді. Әкесі Әбеу халыққа
қадірлі, озық ойлы, орысша сауаты бар, өз дәуіріндегі зиялылардың бірі болған.
1899 жылы Қарқаралыдағы қалалық училищеге оқуға түседі. Мектеп
қабырғасында зейінді, алғыр болған Әлімхан мектепті үздік бітіріп, 1905 жылы
Семейдегі ерлер гимназиясына түседі. Осы оқу орнын 1912 жылы алтын
медальмен бітіріп, Томск технология институтының тау-кен факультетіне
қабылданады. Қазақ автономиясын құруда Ә.Ермековтің өлшеусіз еңбегін
зерделей отырып, онан кейінгі жасампаздық жолдары Қазақ елінің
шаруашылық жайын қалыптастырып, нығайтуға халықты ағарту сияқты нақты
істерге бағытталғандығына көз жеткіземіз. Қарқаралыда мектеп ашады,
Ташкент пен Алматыдағы жоғары оқу орындарында математикадан дәріс
оқиды. «Ұлы математика курсы» 1-бөлім (1935), «Қазақ тілінің математика
терминдері» (1936) атты оқулық, кітаптарды жарыққа шығарады. Қазақ
арасынан тұңғыш математика ғылымының профессоры атағын алады. Сонымен
бірге нағыз білім мен біліктілікті қажет ететін сала Халық шаруашылығын
жоспарлау комитетінде және басқа да жауапты қызметтерде болады. 1929-1930
жылдары бір топ қазақ зиялылары абақтыға алынып, тергеуге түскенде,
Ә.Ермековті де түрмеге қоса қамайды. Алаш ісінің мүлдем құртылып, ұрпақтық
сабақтастық үзіліп қалмау және ұлт зиялылары болашақты ойлап, Алаштың жас
түлек дарындары М.Әуезов пен Ә.Ермековті сақтап қалу мақсатында олар,
«кінәларын мойындап» сол жолы бостандыққа шығады. Алайда 1937 жылғы
қара бұлт Ә.Ермековтің басына тағы да үйіріліп, 1939 жылы сотталып, 1947
жылға дейін түрмеде отырып шығады. Түрмеден шыққаннан кейін жаламен
қайта ұсталып, 1958 жылы босайды. 1957 жылы 26 қарашада толық ақталып,
Қарағанды Мемлекеттік техникалық университетінде математикадан дәріс
оқиды. 1970 жылы қайтыс болады.

Сәдуақас Боқаев (1907-1942) – математика саласы бойынша қазақтан
шыққан тұңғыш доцент, алғашқы ғылым кандидаттарының бірі, Қазақстандағы
жоғары математикалық білім беру ордаларының қара шаңырақтары – Абай
атындағы қазақ ұлттық педагогикалық университеті мен әл- Фараби атындағы
қазақ ұлттық университетінің физика-математика факультетінің негізін

Ерканат Камысбаевич Каримов

қалаушылардың бірі. С.Боқаев 1907 жылы 17 наурызда Семей облысы, Абай 39
ауданы, Көкбай ауылында дүниеге келген. Сауатын Зайсанда ашады. Әкесі
Сәдуақасты кішкене күнініен бастап інісі Тайыр Жомарбаевтың (қазақтың
көрнекті ағартушы- педагогы, ақын және драматург) пен Адгия
Фархисламовнаның тәрбиесіне берді. Соның арқасында мектеп бағдарламасы
көлеміндегі математиканы жақсы игеріп, олар оны Орынбор халық ағарту
институтының физика-математика бөліміне оқуға жіберген. Осы институтта
сабақ берген К.И.Торопов қабілетін байқап, институт директоры
Қ.Тоқыбаевтың алдында С.Боқаевты Мәскеуге оқуға жіберу туралы мәселе
қояды. Ол Орынбор халық ағарту институтының физика- математика бөлімін,
1928 ж І – Мәскеу мемлекеттік университетінің астрономия- математика
бөліміне оқуға қабылданады. 1932 ж.Мәскеу университеттін бітіріп, сол жылы
осы университеттің аспирантурасына түскен. Бірақ Қазақ АКСР Халық ағарту
комиссариаты оны 1932 ж. Алматыға шақыртып алады. 1932 36 ж. Қазақ
педагогикалық инcтитутында ассистент, кафедра меңгерушісі, декан,
профессор болды, мұнымен қатар ол 1935 36 ж. ҚазМУ -де кафедра
меңгерушісі қызметін атқарып, студенттерге математиканың арнаулы
салаларынан лекция оқыды. Боқаев Сәдуақас Хасенұлы дифференциалдық
теңдеулер, арнаулы функциялар, конформдық түрлендіру теориясының және
олардың механикада қолданылу мәселелерін зерттеумен айналысты. Орта және
жоғары оқу орындарына арналған оқулықтар мен оқу құралдарын құрастырды.
Ол Қазақ АКСР Халық ағарту комиссариаты жанындағы терминология
комиссияның мүшесі болды. С.Боқаев 1937 жылы жалған жаламен қамауға
алынып, Архангельск облысына айдауға жіберіледі. 1942 жылы айдауда жүріп
қайтыс болады.

Ибадулла Ақбергенов (1907– 1938) – қазақтан шыққан тұңғыш физика-
математика ғылым кандидаттарының бірі, доцент. Ибадулла Акбергенов 1907
жылы 15 қарашада Оңтүстік Қазақстан обласының Созақ ауданында дүниеге
келген. 1923 жылы Ташкент қаласындағы Казақ Институтының дайындық
бөліміне оқуға түсті. 1929-30 жылдар аралығында 6 балалар үйінде жұмыс
істеді. 1931 ж. Ташкент Орта Азия университетінің физика- математика
факультетін бітірген. 1932 ж. сол университеттің аспирантурасына түсіп, 1934
ж.Ленинград мемлекеттік университетінің аспирантурасына ауыстырылады.
1934 ж. профессор Л.В. Канторовичтің (1964 жылдан КСРО ғылым
академиясының академигі) жетекшілігімен «Интегралдық теңдеулерді жуықтап
шешу тәсілдері» деген тақырыпта кандидаттық диссертация қорғаған. 1935 – 36
ж. Ташкент Орта Азия университетінде қызмет істейді. 1936 ж. ҚазМУ-дың
математика анализ кафедрасының меңгерушілігіне шақырылды. ҚазМУ-де
қызмет атқарған. 1936 – 38 ж. Ибадулла Ақбергенов студенттерге математика

Ерканат Камысбаевич Каримов

пәнінің сол уақыттағы деңгейге сәйкес берілуіне өте көп еңбек сіңірді. ҚазМУ- 40
ге Мәскеуден И.П. Натансон, В.Л. Гончаров, Н.Н. Назаров сияқты белгілі
профессорларды шақыртты, оқытушылар мен студенттерге дәріс тыңдатуды
ұйымдастырды. Оның теориялық жағынан өте жоғары «Фредгольмның екінші
текті интегралдық теңдеуінің жуық шешуі және оның меншікті мәнін анықтау»
деп аталатын ғылыми еңбегі сол жылдары жарияланды. Мұнда қолданылған
тәсіл кейін көптеген математиктердің еңбектерінде одан әрі дамытылды. 1938
жылы 17 наурызда 41 бұйрықпен 15 наурыз күні жұмысқа шықпағанына
байланысты жұмыстан босатылды. Ал ол ДКНБ РК-ның құжаттары бойынша
14 наурыз күні қамауға алынған. 1938 жылы 11 қарашада ату жазасына кесілді.
1957 жылы 29 тамызда ақталды.

Қазақтың математика саласы бойынша атақты ғалымдары Жәутіков
Орынбек Ахметбекұлы (1911-1989) – ғалым, физика- математика
ғылымдарының докторы, профессор, Қазақстан Ғылым академиясының
академигі, Қазақстанның еңбек сіңірген ғылыми және техника қайраткері,
Қазақстанның Мемлекеттік сыйлығының лауреаты. 1920-1930 жылдары
ауылдық мектепте, кейіннен Қарқаралы қаласындағы мектепте оқыған. 1934
жылы Қазақ педагогикалық институтының (Абай атындағы Қазақ Ұлттық
педагогикалық университеті) физика-математика факультетін үздік бітіріп,
Ленинград мемлекеттік университетінің (Санкт-Петербор мемлекеттік
университеті) аспирантурасын тамамдаған. 1934-1951 жылдар аралығында
Қазақ педагогикалық институтында ассистент, аға оқытушы, доцент, декан,
директордың ғылыми жұмыстар жөніндегі орынбасары, кафедра меңгерушісі
болған. 1945 жылы Қазақ КСР Ғылым академиясында Математика және
механика секторы ашылып, кейіннен Математика және механика институты
құрылған. О.Жәутіков 1945-1965 жылдар аралығында Қазақстан Ғылым
академиясының Математика және механика секторында аға ғылыми қызметкер,
сектор меңгерушісі, 1965-1969 жылдар аралығында Қазақстан Ғылым
академиясының Математика және механика институтының директорының
орынбасары, зертхана меңгерушісі, 1969- 1989 жылдар аралығында Қазақстан
Ғылым академиясы Президиумының мүшесі, Физика-математика ғылымдары
бөлімшесінің академик-хатшысы қызметтерін атқарған. 1985-1989 жылдары
Қазақстан Ғылым академиясының Математика және механика институтында
зертхана меңгерушісі болған. Негізгі ғылыми еңбектері қозғалыстың
орнықтылық теориясына, математика, физика теңдеулеріне, дифференциалдық
теңдеулердің шексіз жүйелеріне, теориялық және қолданбалы механикаға,
математика тарихы мен оның методологиясына арналған. О.Жәутіков –
республикалық физика-математика мектебін ұйымдастырушылардың бірі. Ол
республикамызда математик ғалымдарды дайындауда және математиканы

Ерканат Камысбаевич Каримов

насихаттауда көп еңбек сіңіріп, отандық математиктер мектебін 41
қалыптастырды. 1958 жылы академик О.Жәутіков алғаш рет қазақ тілінде
математикалық талдау туралы оқулығын шығарған. Ол 200-ден астам ғылыми
еңбектердің, ғылыми-танымдық кітаптардың, методикалық жұмыстардың,
көптеген оқулықтардың авторы.

Асан Дабысұлы Тайманов (1917-1989) – белгілі қазақ математигі,
физика- математика ғылымдарының докторы (1961), Қазақ ССР ҒА-ның
академигі (1962), Ұлы Отан соғысының ардагері. Ол Орал облысы, Орда
ауданы, Бейсен ауылында туған. Он жастағы Асан мұғалім Ахметфаиз
Тажетдинов көмегімен орда кеңшарындағы балалар үйіне орналастырылып,
тәрбиеленеді. Кейін педагогикалық училищеге айналдырылған Сломихиндегі
шаруа жастар мектебінде оқыды. Оны үздік бітіріп, 1933 жылы А.С.Пушкин
атындағы Орал педагогикалық институтына түсіп, оны бітіргеннен кейін
математика кафедрасының кіші мұғалімдігіне қалдырылды. Осы мезгілде
М.В.Ломоносов атындағы Москва мемлекеттік университеті механика-
математика факультетінің сырттай оқыту бөліміне емтихан тапсырып, студент
атанады. Оның үшінші курсын бітіргеннен кейін, 1938 жылы А.Д.Тайманов
Ленин атындағы Москваның мемлекеттік педагогикалық институтының
аспирантурасында 1941 жылға дейін оқыды. Қазақстанның шақыруымен Асан
Дабысұлы 1947 жылы Н.В.Гоголь атындағы Қызылорда педагогика
институтына қызметке келді. Мұнда ол физика-математика факультетінде
математика кафедрасының меңгерушісі қызметін атқарды. Онда ол 1954 жылға
дейін болды. 1955-1960 жылдар арасында 20 ғылыми еңбек жарық көрді. Өзінің
айналысып жүрген дескриптивтік жиындар теориясының көзқарастарын
модельдер теориясының талай проблемаларына пайдаланып, Таймановтық
индуктивтік процесті ашты, Тайманов критерийін ашты. 1960 жыл да Асан
Дабысұлына жайлы жыл болды. «Жоғары алгебра» мамандығы бойынша аға
ғылыми қызметкер атағы берілді. Ондай атақ ілуде біреуге беріледі. Бұдан әргі
Тайманов жолы СССР Ғылым Академиясының Сібір бөлімшесімен
байланысты. Мұнда ол Математика институтында және Новосибирск
университетінде қызмет істеді. А.Д.Тайманов 1961 жылы ғылым докторы
болса, 1962 жылдан академик. 1968 жылы ол Алматыға шақырылды, бірақ ол
1970 жылы қайта Сібірге оралды. Асан Дабысұлы 107 ғылыми еңбек жазып,
бірнеше ғылым докторы мен кандидаттарын даярлады. Асан Дабысұлы
математикалық логикадан ұйымдастырылған он төрт халықаралық конгрестің
жетекшісі болды. Мұндай құрметке дүниежүзінде бірде-бір математиктің қолы
жетпеген. Ол математиктер бекзадасы. Өзінің ақтық тілегімен Москвада
жерленген.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Аманов Төлеубай Ыдырысұлы (25.8.1923, Шығыс Қазақстан облысы 42
Семей қалалық әкімдігі, Құрманқожа ауылы – 21.6.1978, Алматы қаласы) –
физика-математика ғылымдарың докторы (1967), профессор (1969), Қазақстан
Ғылым Академиясының корреспондент-мүшесі (1972). Функция теориясы
бойынша Қазақстаннан шыққан бірінші ғылым докторы. 1940–42 ж. Семей
педагогикалық институтының студенті. 1943 ж. каңтарда соғысқа аттанып, 2-
Украин майданында ауыр жарақат алған. 1944 ж. ақпанда Семейге оралып, сол
жылы педагогикалық институтты бітірген соң ұстаздық қызмет атқарды. 1950–
53 ж. Мәскеуде КСРО Ғылым Академиясының Математика институтында
аспирант, 1953–63 ж. Семей педагогика институтының проректоры және
жоғары математика кафедрасының меңгерушісі. 1969–70 ж. Қазақстан Ғылым
Академиясының Математика және механика институты директорының
орынбасары, ҚазМУ- да кафедра меңгерушісі, 1970 жылдан Математика және
механика институтының директоры болды. Амановтың ғылыми-зерттеу
еңбектерінде функционалдық кластарды іштестіру теориясы және оның
қолданылатын мәселелері қарастырылған. Докторлық диссертациясында
функциялардың 5В класының тұйық теориясын құрып, кейін сол класқа
байланысты мәселелер туралы монография жазды. 50-ден астам ғылыми
еңбектің авторы.

Қазақтың математика саласы бойынша атақты ғалымдары Назарбай
Қыдырұлы Білиев – белгілі ғалым – математик, математикалық физиканың
дифференциалдық теңдеулері мен функционалдық анализ салаларында маман,
оның жалпыланған аналитикалық функциялар, математикалық физика
теңдеулерінің шеттік есептері, функционалдық кеңістіктердегі ерекше
интегралдық теңдеулер теориясына қосқан үлестері өте зор. Н.Қ.Білиев 1935
жылыдың 15 қыркүйегінде Ақтөбе облысының Байғанин ауданы Жарқамыс
поселкесінде қызметкер жанұясында дүниеге келген. Н.Қ.Білиев 1952 жылы
ҚазМУ-дің физика – математика факультетінің математика бөліміне оқуға
түсті. 1960 жылы Н.Қ.Білиев Москваға барып ССРО ҒА МИ аспирантурасына
түсті. Оның бірінші ғылыми жетекшісі физика – математика ғылымдарының
кандидаты (көп ұзамай докторы) В.С.Виноградов болды. 1965 жылы
«Эллиптикалық жүйелердің түрін өзгертетін ерекше нүктелерінің маңайында
аналитикалық шешімдерінің болуы туралы» тақырыбында кандидаттық
диссертация қорғады. 1963 жылдан бастап Н.Қ.Білиевтің ғылыми қызметі
Ұлттық ғылым академиясының Математика және механика институтымен
(1965 жылға дейін Сектор) байланысты: 1963 жылдың қазанынан – кіші
ғылыми қызметкер, 1966 жылдан – аға ғылыми қызметкер, 1978 жылдан –
функционалдық анализ және функциялар теориясы лабораториясын басқарды,
1988 жылы сайлаудан өтіп Институт директоры болды, 2000 жылдан – құрметті

Ерканат Камысбаевич Каримов

директор және (қосымша жұмысы) негізгі ғылыми қызметкер. Н.Қ.Білиев 120 43
аса ғылыми еңбектер жариялады, оның білім алушыларының ішінде 18 ғылым
кандидаты, өз білім алушылары мен мектептері бар 3 ғылым докторы бар.
Н.Қ.Білиевтің ғылыми қызметі танылуда, 1985 жылы профессорлық атақ алды,
1989 жылы Қазақстан Ұлттық ғылым академиясының корреспондент – мүшесі
болып сайланды, 1996 жылдан Ресей жаратылыс ғылымдарының
академиясының академигі, 2004 жылдан Қазақстан Ұлттық ғылым
академиясының академигі. 1998 жылы «Қазақстанның еңбек сіңірген ғылым
және техника қайраткері» құрметті атағы берілді, 1999 жылы Халықаралық
бірінші дәрежелі Хорезми сыйлығын алды.

Нұрлан Темірғалиұлы Темірғалиев – математик, физика-математика
ғылымдарының докторы (1991), профессор (1991), кафедра меңгерушісі (1992
жылдан). Ол Батыс Қазақстан облысы, Тайпақ ауданы орталығы Калмыковода
қаңтардың 13-де өмірге келген. 1953 жылы Қостанай облысы, Қарабалық
ауданына қарасты Бөрілі орта мектебінің бірінші класына барып, мұнда екі жыл
оқығаннан кейін, Тайпаққа көшіп келіп, Калмыково орта мектебін алтын
медальмен бітірді. Бұл 1964 жыл болатын. Осы жылы Алматыдағы Қазақ
мемлекеттік университетінің механика-математика факультетіне оқуға түсіп,
оны үздік бітіргеннен кейін В.А.Стеклов атындағы математикалық институт
аспирантурасында 1972 жылға дейін оқыды. Сол жылы Ресей Ғылым
Академиясының корреспондент мүшесі Петр Лавреньтевич Ульяновтың
жетекшілігімен «Қатарлардың кейбір қасиеттері және енгізу теоремалары»
деген тақырыпта кандидаттық диссертация қорғады. Сөйтіп, Москвадан
Алматыға жолдама алып, аз ғана уақыт Қазақстан Ұлттық Ғылым
Академиясында қызмет істеді де ұстаздық қызметке ауысты. Нұрлан 1974
жылдан үзбей әл-Фараби атындағы мемлекеттік университетте қызмет етіп
келеді. Ол аға оқытушылыққа қабылданып, доцент, профессор атақтарына кір
келтірмей, аялап келеді. Осы жылдар ішінде елу шақты ғылыми еңбек жазып,
бес ғылым кандидатын даярлады. «Математикалық анализін» жазды. Оның
бірінші томы 1987 жылы «Рауан» баспасынан, екінші томы «Ана тілі»
баспасынан 1991жылы, үшінші томы «Білім» баспасынан 1996 жылы шықты.
Бұлар математикалық анализден жазылған кейінгі жылдардығы қомақты еңбек.
Онда дәстүрлік материалдар мен жаңа теориялар байланыстырыла, әдістемелік
жағынан ұстамды жазылған оқулық. Математикалық терминологияны
жасаудың халықаралық тәжірибесін қатаң ұстанған автор өз кемшілігін
түзетуден қорықпайды.

Жұмаділдаев Асқар Серқұлұлы (25.2.1956 жылы туған, Қызылорда
облысы, Шиелі ауданы, Шиелі кенті) – ғалым, физика-математика ғылым
докторы (1988), профессор (1990), Қазақстан ҰҒА-ның корреспондент мүшесі

Ерканат Камысбаевич Каримов

(1995). 1980 – 90 жылдары Математика және механика институтында (қазіргі 44
Математика институты) кіші, аға, жетекші ғылым қызметкер болды. 1990
жылдан сол институтта алгебра лабораториясының меңгерушісі.
Жұмаділдаевтің негізгі ғылым-зерттеу еңбектері Ли алгебрасының когомология
теориясына арналған. Ол оң сипаттамалы Ли алгебрасының когомологиялары
мен деформацияларын және олардың қолдануын зерттеген. Векторлық өріс
алгебрасының бөлшектенбейтін кеңеюін есептеген. Ассоциативті емес
алгебраның тепе-теңдіктерін тапты. Жұмаділдаев Германиядағы Гамбург
(1986), Мюнхен (1995 – 96), Билефельд (1996 – 99) университеттерінің
профессоры болып, Кэмбридж университетінің жанындағы Ньютон
институтында (1997), А.Салам атындағы Халықаралық теориялық физика
орталығында (Италия, 1998, 2001), Швеция корольдік Ғылым Академиясының
Миттаг-Леффлер атындағы Математика институтында (1998 – 99), Фильдс
атындағы Математика институтында (Канада, 2001) қызмет атқарып, лекциялар
оқыған. Германияның, АҚШ-тың мемлекеттік стипендияларын, Швеция
корольдік Ғылым Академиясының грантын алған. Ол – 12-сайланған Қаз КСР
Жоғарғы Кеңесінің, Қазақстан Республикасы Жоғарғы Кеңесінің депутаты
болды. Ғылыми дәрежелері: 1981 ж. – физика-математика ғылымдарының
кандидаты (КСРО ғылым академиясының математика институты, Мәскеу).
1988ж. – физика – математика ғылымдарының докторы (КСРО ғылым
академиясының математика институты, Ленинград бөлімі). 1990 ж. - Қазақ
Ұлттық Университетінің профессоры. 1995 ж. - ҚР ҰҒА-ның корреспондент
мүшесі. 2004 ж. - ҚР ҰҒА-ның академигі.

Ерканат Камысбаевич Каримов

ПАЙЫЗҒА БЕРІЛГЕН ЕСЕПТЕР 45

1. Екі санның айырмасы 6-ға тең, біріншісінің 30% -і екіншісінің 42 % -іне тең.
Осы сандарды табыңыз.

2. Санның 13% -і 1,69-ға тең болса, онда берілген сан нешеге тең?
3. Сүттің 21 % -і қаймақ болады,ал қаймақтың 24% -і май болады. 630 кг май

алу үшін қанша сүт керек?
4. Товар 1386 теңгеге сатылғанда 10% пайда алынды. Товардың өзіндік құнын

анықтаңыз?
5. Екі қапта 140 кг ұн бар. Егер бірінші қаптан 12,5 % ұнды екіншісіне

ауыстырып салса,онда екі қаптағы ұн бірдей болады.Әр қапта қанша ұн бар?
6. Товардың 1 кг-ның сатылатын бағасы 2200 теңге, магазин бұдан 10% пайда

табады. Егер осы товардың кг-ын 1800 теңгеден сатса, онда магазин 43000
теңге зиян шегеді. Магазиндегі товар қанша?
7. Тауар бағасын алдымен 20%, ал одан кейін жаңа бағасын тағы да 25%
кемітті. Тауардың бастапқы бағасын неше процент кеміткен?
8. Сатушы тауарын 9180 теңгеге сатып, 10% зиян шекті. Тауардың бастапқы
бағасы қанша?
9. 40 саны өзінің квадратының қанша процентін құрайды?
10. Жер шарында дайындалатын барлық ағаштың 33% құрылыс қажетіне
жұмсалады. Құрылысқа жұмсалатыннан 123 есе артық ағаш отын ретінде
пайдаланылады. Қалған 144 миллион тонна ағаш басқа қажеттерге
жұмсалады. Жер шарында барлығы қанша ағаш дайындалады?
11. 90%-тік суы бар 100кг массадан 80%-тік судан тұратын масса алу үшін
қанша суды құрғату керек?
12. Екі заттан тұратын салмағы 18 кг қоспа бар. Қоспадан 40% бірінші, 25%
екінші затты айырып алғаннан кейін екінші зат қанша қалса, бірінші зат та
сонша қалды. Қоспада әрқайсысынан қанша қалды?
13. Массасы 0,5 т целлюлозаның 85% -і су. Құрамында 25% целлюлоза болу
үшін қанша суды құрғату керек?
14. Теңіз суының құрамында массасы бойынша 5 % тұз болады. 15 л теңіз
суында,ондағы тұздың концентрациясы 1,5% құрайтын болу үшін, қанша
тұщы су құю керек?
15. Құрамында никельдің мөлшері 5% және 40% болатын болаттың екі түрлі
сорты бар. Құрамында никельдің мөлшері 30% болатын 140 т болат алу үшін
екі сорттың әрқайсысынан қанша тоннадан алу керек?

Ерканат Камысбаевич Каримов

ҚОЗҒАЛЫСҚА БЕРІЛГЕН ЕСЕПТЕР 46

1. Моторлы қайық ағыспен 18 км, ал ағысқа қарсы 14 км жол жүрді. Барлық
жолға 3 сағ. 15 мин жұмсады. Қайықтың меншікті жылдамдығы 10км/сағ.
Ағыс жылдамдығын табыңыз.

2. Өзен ағысының жылдамдығы 2,2 км/сағ ,катердің өз жылдамдығы 15,3
км/сағ. Егер өзен ағысымен 3 сағ, ал өзен ағысына қарсы 4 сағ жүрсе, онда
катер қандай жол жүрген?

3. Өзен ағысымен катер 3 сағат, ағысқа қарсы 4,5 сағат жол жүрді. Катер
жылдамдығы 25км/сағ болса, онда өзен ағысының жылдамдығы қандай?

4. Бір мезгілде А және В пунктерінен бір-біріне қарама-қарсы бағытта жолға
шыққан екі велосипедші 2 сағ-тан кейін жолықты. А-дан В-ге дейінгі
қашықтық 42 км-ге тең. Егер бірінші велосипедші сағатына екіншісіне
қарағанда 3 км жолды артық жүріп отырса,онда олардың әрқайсысының
жылдамдығы қандай?

5. Жеңіл машина жүк машинасына қарағанда 2 минут кеш шықты, оны 10 км
жүргенде қуып жетті. Егер жеңіл машина жүк машинасына қарағанда
сағатына 15 км артық жүргетін болса, онда машиналардың жылдамдықтары
қанша?

6. Темір жолдың екі станциясынынң арасы 120 км. Бірінші поезд екіншісіне
қарағанда осы аралықты 50 мин жылдам жүріп өтеді. Бірінші поездын
жылдамдығы екіншісінен 12 км/сағ артық. Поездардың жылдамдығын
табыңыз.

7. Қайық 12км/сағ жылдамдықпен бір айлақтан екінші айлаққа қарай шықты.
Жарты сағаттан кейін сол бағытта 20 км/сағ жылдақпен пароход шықты.
Егер пароход қайықтан 1,5 сағат бұрын келсе, онда айлақтар арасы қанша?

Ерканат Камысбаевич Каримов

ЭКОЛОГИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕР 47

Айналадағы бізді қоршаған табиғатты сүйіп, аялап, адамдардың тіршілігі,
өмірі табиғатпен тікелей байланысты екенін жас ұрпақ балабақшадан,
отбасынан, қабырғасынан жақсы түсініп өсуі тиіс. Экологиялық білім білім
алушылардың табиғат болмысын терең түсінуге, оларды ақыл-ойының дамуына
және мектепт әр пәннен өтіліп жатқан тақырыптардың бір-бірімен тығыз
байланыста екенін түсініп, оны қоршаған ортамен сәйкестендіре, біртұтас
қалыпта, жүйелі қабылдауларына мүмкіндік береді.

Экология тақырыбына байланысты есеп мазмұнын өзбетінше қарастырып
шығару математика пәнінің теориялық материалдарын да сапалы түрде
меңгеруге көмектеседі.

1. «Сыныпқа 20 бала кіріп, 10 партаға тең бөлініп отырды. Егер сыныпқа
кірген балалар санын 10-ға арттырса, тағы неше парта керек болар еді?» Бұл
есепті шығаратын әрбір оқушы әр партаға (20:10=2)2 баладан отырғанын
тапқан соң, енді 10 бала кірсе неше парта қажет болар еді? Деген практикалық
сұраққа жауап беруі керек. Ол үшін әр партаға 2 баладан отырғанын ескеріп,
(10:2=5) тағы да 5 парта қажет болатындығын табады. Осындай мектеп
жағдайынан алынған материалды пайдаланудың математиканы өмірмен,
практикамен байланыстыра оқытуда нығайтуда алытын орны ерекше.
2. «ағаш шебері 30 күнде 120 орындық жасап беруге мектеппен келісім-шарт
жасасты. Егер күніне 5 орындықтан жасаса, ол келісім-шартты неше күн бұрын
орындайды?» Мұнда оқушы берілген сандық мәліметтер арқылы есепті шешуге
керекті амалдарды таңдап алса, «Ол келісім-шартты неше күн бұрын
орындайды?» деген сұрақ арқылы өмірден туындайтын практикалық
қажеттіліктерді ұғынады. 30-(120:5)=30-24=6 сандық теңдігі арқылы шеберінің
келісім-шартты мезгілінен 6 күн бұрын орындайтындығын анықтайды.
Сонымен бірге бұл есепті шығару барысында оқушы ағаш шебері мамандығы
мен және «келісім-шарт» ұғымымен танысады. Келісім-шартты уақытында
орындамау әдепсіздікке, ал мезгілінен бұрын немесе уақытында орындау
ұқыптылыққа жататындығын және шебердің 6 күндей уақыт үнемдейтіндігін
айта келе, әрбір шәкірттің жеке жауапкершілік сезімін тәрбиелеу керек.
Әдептілік, ұқыптылық сияқты ізгі қасиеттерге баулу керек.
3. «Білім алушылар жаз бойы 36кг дәрілік өсімдіктер жинады. Олардың ішінде
12кг жөке гүлі, одан 3 есе кем қалақай жапырағы бар, ал қалғаны – түймедағы.
Білім алушылар неше килограмм түймедағын жинаған?» Бұл есеп математика
пәнін өмірмен байланыстыра оқытудың, басқа ғылымдарды дамытудағы
маңызын еске алуды қажет етеді.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Есептің сұрағына жауап беру үшін, алдымен мұғалім балаларға дәрілік 48
өсімдіктер жайлы, яғни олардың адам өмірінде кеңінен пайдаланатындығын,
құндылығын айтып өтуі керек. Ал жөке гүлі, қалақай жапырағы және
түймедағы өсімдіктеріне көрнекі құралдар қолданғаны жөн. Бұл есептің
мазмұны білім алушылардың бізді қоршаған ортаны, табиғатты тану
мүмкіндіктерін кеңейтеді, оларды еңбек сүйгіштікке, ұйымшылдыққа
тәрбиелейді.

4. «Қыста салқын қорада тұрған сиырға күніне 42 кг, ал жылы қорада
тұрған сиырға 32 кг жемшөп қажет болады. Егер салқын қорадағы сиырды
жылы қораға ауыстырса, онда аптасына неше килограмм жемшөп үнемдеуге
болар еді?». Егер салқын қорадағы сиырды жылы қораға ауыстырса аптасына
100 килограмм жемшөп үнемдейді екен, ал мұндай үнемдеудің
ауылшаруашылығында өте қажетті шаруалардың бірі екендігін оқушыға
ұғындыра білуіміз керек. Кейбір ұқыпсыздық, немқұрайлылық салдарынан
болатын шығынға жол бермей, еңбек өнімділігін арттыруға атсалысуға,
ұқыптылыққа тәрбиейтін осындай есептер мол оқулығымызда берілуі
кездейсоқ емес. Нақты өмірден алынған материалды осылай есептерде
пайдалану математиканы күнделікті тұрмыспен байланыстырады.

5. «Қоймада 16, 17 және 40 килограмдық жәшіктерге салынған шегелер
бар. Қоймашы бірде-бір жәшікті ашпай-ақ 140 кг шегені бере ала ма?» Бұл есеп
оқушыны тапқырлыққа, тұрмыста кездесетін есептерді шешуде қолайлы
әдістерді таңдап алу шеберлігіне тәрбиелейді, логикалық ойлауын дамытады.
16х2+17х40=140 сандық теңдігі арқылы бірде-бір жәшікті ашпай-ақ 140 кг
шегені бере алатындығын біледі.

Мысалы: Есеп: Тәулігіне бір ағаш бір адамға жететін оттегі бөледі. Қалада
қажетсіз газдардың бөлінуіне байланысты бұл оттегінің бөлінуі 10 есе кемісе,
бір жарым миллион халқы бар Алматы қаласының тұрғындары үшін қанша
қажет?

- Бір автомобиль тәулігіне 20 кг газ бөліп шығарса, 6 автомобиль 1 айда
қанша кг газ бөліп шығарады?

- 1 тонна мата қалдығынан өңдеп 600 метр мата алуға болады. Осындай 35
тонна мата қалдығынан қанша метр мата алуға болады?

- Үкі бір жылда 1000 дала тышқанын жейді. Жылына бір дала тыщқаны 1
кг бидай жейтін болса, үкі бір жылда неше килограмм бидайды сақтайды?

- Құмырсқа 1 минутта ұясына 2 ондық жәндік тасып әкелсе, ол 2 сағатта
қанша жәндік тасып әкеледі?

- Бір кішкене балыққа 3 литр су керек болса, 50 литр су сиятын аквариумға
қанша балық салуға болады?

Ерканат Камысбаевич Каримов

- Бамбук ағашы тәулігіне жуық шамамен 30 см-ге өседі. 12 сағаттан кейін 49
оның биіктігі қандай болады?

- Жердің айдан қашықтығы 384000 км. Ал жердің экваторы 40 000 км
болса, Жер мен Айдың арақашықтығы экватордан неше км. Ұзын?

- Жер мен айдың арасы 384000 км, ал Жер мен Күннің арасы 149500000 км
болса, Ай күнге қарағанда Жерге жуық шамамен неше есе жақын?

- 60 кг. Макулатура бір ағаштың өмірін қорғаса, білім алушылар жинаған
420 кг макулатура неше ағаштың өмірін қорғайды?

- Пәтердегі су краннан дұрыс жабылмаса 6 минутта 1 стакан су ағады.
Осындай краннан бір сағатта (1 тәулікте) неше литр су ағады?

- Жұлдыз құрт бір тәулікте 30 жапырақты жесе, осындай 10; 50 жұлдыз
құрты бір тәулікте қанша жапырақ жейді?

- 1 га орман ағаштары 1 жылда 28 тонна оттегі бөліп шығарарады. Ал бір
жылда 12 миллион га орман ағаштары кесілсе, біз қанша оттегі жоғалтамыз?

- 1 үйеңкі ағашы бір жылда 2кг 100 г оттегі бөліп шығарады. Ал шегіршін
ағашы одан 7 есе көп оттегі бөліп шығарса, онда жылына бір үйеңкі және
шегіршін ағаштары қанша кг оттегі бөліп шығарады?

- Жеке ағашы 500 жыл, ал емен ағашы 2000 жыл өмір сүретін болса, жөке
ағашы еменнен неше есе кем өмір сүреді?

- Әр адам бір жылда 3 ағаштан жасалған қағазды пайдаланып жұмыс
істейді. Сенің жанұяңа қанша ағаштан жасалған қағаз керек? ( бір жылда)

- Жер бетіндегі 250 мың түрлі өсімдіктердің 1/10 бөлігі құрып кету
қаупінде болса, қанша түрлі өсімдіктер құрып кету қаупінде?

- Бір шегіршін ағашы мамыр айынан қазан айына дейін 120 грамм улы
газды тазартады. Егер шегіршін ағашы 400 жыл өмір сүрсе, ол өз өмірінде
қанша үлы газ тазартады?

- Емен орманы бір жылда 830 кг, ал қайың орманы 540 кг оттегі бөліп
шығарса, емен орманы қанша кг артық оттегі бөліп шығарады?

- Көк шегіртке 1 айда 42 өсімдік битін. Одан 3 есе аз кішкене шіркей, ал
шіркейлерге қарағанда шыбындарды 6 есе көп жесе, ол бірайда (3 айда) қанша
жәндіктерді жейді?

- Атмосферадағы ауаның ластану нәтижесінде 1 жылда 16 миллиард сомға
залал келеді, ал 10, 20, 50, 100 жжылда қанша зиян шегеміз.

- Үйрек 70 күнде 4 кг-ға дейін салмақ қосса, 35 күнде ол қанша салмақ
қосады?

- 1 га орман ағашы сағатына 200 адамнан бөлініп шығатын көмір қышқыл
газын бойына сіңіретін болса, тәулігіне орман ағашы қанша адамнан бөлініп
шыққан көмір қышқыл газын бойына сіңіреді.

Ерканат Камысбаевич Каримов

- Мектеп білім алушылары 56 кг 400 г қағаз қалдығын жинады, осы 50
қағаздың қалдығынан өңдегенде, оның массасының 3/5 бөлігіне тең грамм
десек, осы қағаздан қанша дәптер шығады? Егер бір оқушыға бір жылға 12
дәптер керек болса, осы дәптерлер қанша оқушыға жетеді

Білім алушылардың өздеріне есеп құрастырып, шығарту мақсатында
мынандай деректерді де ұсынуға болады:

1. өмір сүреді:
шыршы-500 жыл
қарағай-350 жыл
қайың – 150 жыл
емен – 2000 жыл
балқарағай -850 жыл
шегіршін – 400 жыл
көк терек – 100 жыл
шетен ағаш – 80 жыл
жөке – 5000 жыл

2. Ағаштардың (жүық шамамен) биіктіктері:
Қайың – 20 м
Емен 40 м
Шырша – 30 м немесе 35 м
Шегіршін -40 м
Жөке – 35 м
Қарағай – 36 м
Балқарағай - 45 м

3. Бір жылда 2 млн. га жердің орманы кесіледі.
4. 64 млн. га жер жылына эрозияға ұшырайды.
5. Бір жылда көмір мен мазутты пайдаланудың әсерінен атмосфераға 150

млн. тонна күкіртті газ бөлінеді.
6. Екі сары шымшық бір жылда 40 жеміс ағашын жәндіктердің

жарақаттауынан сақтайды.
7. Қараторғай бір жазда екі рет балапан өзгереді. Олар осы уақытта 8 мың

көбелек құрттармен қоректенеді.
8. Қызылқұйрық торғай өз жанұясымен бірге бір күнде 7-8 мың көбелек

құрттармен қоректенеді.
9. Тоқылдақ – орман дәрігері, ол ағаш қабықтарын жарақаттайтын

жәндіктерді жейді. Бір тоқылдақ күніне 750-900 жәндік жейді.
10.Қазақстанның жалпы территориясы 2717,3 мың шаршы км, оның

шекарасының ұзындығы 12842 км болса, Рессеймен 6023 км, Өзбекстан
Республикасымен 2153 км, Түркістанмен -345 км, Қырғызстанмен – 1053

Ерканат Камысбаевич Каримов