The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Авторлык (қолданбалы курс)_Каримов

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by , 2022-04-21 03:52:42

Авторлык (қолданбалы курс)_Каримов

Авторлык (қолданбалы курс)_Каримов

км, Қытай елімен 1538 км, Каспий теңізі бойымен -1730 км шектесіп

жатыр.

11.Қазақстан жерінен өтетін өзендердің өлшемі:

Өзендердің жалпы ұзындығы, Қазақстанда жатқан бөлігі

Ертіс 4248 км 1700 км

Ешім 2450 км 1400 км

Жайық 2428 км 1082 км

Сырдария 2219 км 1400 км

Іле 1001 км 815 км

Шу 1186 км 800 км

Тобыл 1591 км 800 км

12.Біздің еліміздегі ірі көлдердің аудандары:

1. Каспий теңізі – 374 мың шаршы км.

2. Арал теңізі – 47 мың шаршы км.

3. Балқаш көлі – 18 мың шаршы км

4. Алакөл - 2650 шаршы км.

5. Теңіз көлі – 1162 шаршы км.

6. Сасықкөл – 736 шаршы км.

7. Құсмұрын көлі – 460 шаршы км.

8. Марқакөл – 455 шаршы км.

9. Сарыкөл – 336 шаршы км. Т.б.

Сонымен экологиялық тақырыптарға берілген есептер пәнаралық

байланыстарды ашып, білім алушыларды ізденуге, ойлануға, адам өміріне,

денсаулығына табиғаттың зор маңызының бар екенін анықтауға көмектеседі

51

Ерканат Камысбаевич Каримов

ТАРИХИ ЕСЕПТЕР

№1. Эйлер есебі.
Бір санның 4-ші дәрежесін сол санның жартысына бөлгенде және 14 1  ге

4

арттырғанда 100-ге тең болу керек. Сол санды тап.

х4 : х  14 1  100
24

2х3  14 1  100
4

2х3  100 14 1
4

2х3  343
4

х3  343
8

х7
2

Жауабы: 7 ;

2

№2. Үш адам 24000 ливрға үй сатып алғысы келді. Олар былай келісті:
біріншісі жарты ақшасын береді; екіншісі үштен бірін береді, ал үшіншісі
қалған бөлігін береді. Әрқайсысы қанша бермек?

I-ші: 1  24000  12000
2

II-ші: 1  24000  8000

3

III-ші: 24000  (12000  8000)  4000 :

Жауабы: 4000;8000;12000; 52

№3. Бір топ қаз ұшып барады, оларға бір қаз қарсы ұшып келе жатып: «Жүз
қазға бір сәлем!» - депті. Топ қаз оған былай деп жауап беріпті: «Жоқ біз жүз
емеспіз! Егер бізге тағы осынша қосылса, тағы соның жартысындай, тағы

Ерканат Камысбаевич Каримов

соның ширегіндей, оның үстіне сен қазым, бізге қосылсаң, біз тура жүз қаз
боламыз» Олар қанша болған еді?

Шешуі: қаз саны – х

х  х  1 х  1 х  1  100
24

2х  1 х  1 х  1  100
24

16х  4х  2х  800  8
22х  792
х  36

Жауабы: 36 қаз.

№4. Бехаэддин есебі.
Өзінің үштен екісіне және бірлікке арттырылған сан 10-ға тең. Сол санды табу
керек.

Шешуі: Ізделінді сан – х

х  2 х  1  10
3

3х  2х  3  30
5х  27
х  5,4

Жауабы: 5,4

№5. «Үш адам ақша ұтып алған. I адамға осы соманың 1  і, II адамға осы

4

соманың 1  і, III адамға 17 флорин тиді. Ұтыстың шамасы қандай болған?»

7

Шешуі: Ұтыс шамасы – х

1 х  1 х  17  х 53
47
7х  4х  476  28х
11х  28х  476
17х  476
х  28

Жауабы: 28 флорин.

Ерканат Камысбаевич Каримов

№6. «Бір адам жыл аяғына дейін киім және 10 флорин алмақшы болып
жалданды. Бірақ 7 ай өткен соң жұмысты тоқтатты да, есеп айырысқанда киім
және 2 флорин ақша алды. Киім қаншаға бағаланған?»
Шешуі: киім – х

1 жылда – х 10
7 айда – х  2
8 : 5айға = 1,6

 х  10
х2

8

1,6 · 12 = 19,2 ( 1жылда)
х + 10 = 19,2
х = 9,2

Жауабы: 9,2.

№7. «Тоғыз кітаптағы математикадан» есеп. Бірнеше адам бірлесіп тауық
сатып алған. Егер әр адам 9-дан (ақша бірлігі) берсе, онда 11 қалады, ал егер
әрқайсысы 6-дан берсе, 16-сы жетпей қалады. Адам саны мен тауықтың құнын
табу керек».

Шешуі: 99 11  70

9х 11  6х  16
3х  27
х  9(адам)

№8. «Егер бір санды 20-ға қоссақ және сол санды 100-ден алсақ, сонда шыққан
қосынды сонда шыққан айыпмадан 4 есе артық болады. Белгісізді табу керек.»

100  х  20
4(80  х)  х  20
320  4х  х  20
5х  300
х  60

Жауабы: 60.

№9. Акмим папирусынан (VI ғ. ) есеп: «Бір адам қазынаның 1 - ін алды. Одан 54

13

қалғанының 1 - ін екінші біреу алды. Ол қазынада 150 қалдырды. Әуелде

17

қазынада қанша болғанын білгіміз келеді?»

Ерканат Камысбаевич Каримов

Барлығы – х

І- 1 х

13

ІІ - х  1 х  1

13 17

Қалды – 150

х   113 х   х  1 х   1   150
 13  17

х   1 х  1 х  1 х   150
13 17 221 

х  17х  13х  х  150
221

х  29х  150
221

221х  29х  33150

192х  33150

х  33150  5525  172 21 :
192 32 32

№10. Диофанттың қабіріндегі құлпытаста былай деп жазылған: «Диофанттың
балалық шағы - өмірінің алтыдан бірі, жастық шағы – он екіден бірі, ал баласыз
өткен ерлі-зайыпты өмірінің жетіден бірі және тағы 5 жыл өткенде
ұлды болды. Әкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан кейін
Диофант тек 4 жыл ғана өмір сүрді. Диофант неше жыл сүрген еді?»

Өмірі – х
Балалық шағы - 1 х

6

Баласыз - 1 х

7

Жастық шағы - 1 х

12

Ұлды -  1 х  1 х  1 х  5 ;

 6 12 7 

Ұлы дүние салды - х    1 х  1 х  1 х   5 ;
2  6 12 7 

Өзі дүние салды - х    1 х  1 х  1 х   5  4; 55
2 6 12 7 

Ерканат Камысбаевич Каримов

х    1 х  1 х  1 х   5  4
2  6 12 7 

х    14х  7х  12х   5  4
2  84 

х   33х  5  4
2  84 

х  33х  5  4
2 84

х  33 х  9
2 84

42х  33х  756

9х  756

х  84

Жауабы: Диофант 84 жыл өмір сүрді.

№11. «Көпестің жинақтаған азды-көпті ақшасы бар еді. Ол жыл сайын
семьясының қажетіне 100 фунт ақша ұстап, қалған ақшасына оның үштен
біріндей ақша қосып отыратын. Үш жыл өткеннен кейін ол қаражатының екі
есе көбейгендігін байқады. Әуелде оның қанша ақшасы болған еді?»

Бар еді – х
Бір жылдан соң қолында қалды – х – 100
Үш жылдан соң болды - 64х 14800 ;

27

Жинақталған ақшасы әуелгі ақшасынан екі есе артық болды.
Шешуі:

64х 14800  2х
27

64х 14800  54х
64х  54х  14800
10х  14800
х  1480

Жауабы: Әуелдегі ақшасы 1480 фунт.

№12. «Бақташы 70 өгіз айдап келеді. Оған мынадай сұрақ берілген: Үлкен 56
табынының бұл айдап келе жатқаның қанша?
Бақташы жауабы:
− Табындағы барлық малдың үштен бірінің үштен екісі.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Есептеп көр!»
(Бүкіл табында қанша өгіз болғандығын білу керек.)

Шешуі:


3  2х
39

2 х  70
9

х  70  9
2

х  315

Жауабы: Бүкіл табында 315 өгіз болған.

№13. Ежелгі римдік есеп. ІІ ғ. «Бір адам өлерінде былай деп өсиет қалдырған:

егер әйелім ұл тапса, онда оған имениемнің 2 - сі, ал әйеліме қалған бөлігі

3

берілсін. Егер қыз туса, онда оған 1 - і, ал әйеліме 2 - сі берілсін. Егіз бала –

33

қыз және ұл туды. Имение қалай бөлінуі керек?»
Жауабы: Ұлы әйелінен екі есе көп үлесін, әйелі – қызынан екі есе көп

үлесін алуы тиіс. Имениені ұлы, әйелі және қызына 4:2:1 сандарына тура
пропорционал етіп бөліп берген жөн.

№14. Бір адам өзінің досына: «Маған 100 рупий бер, сонда мен сенен екі есе
бай боламын» - депті. Досы былай деп жауап береді: «Сен маған тек 10 рупий
бер, сонда мен сенен 6 есе бай боламын». Әрқайсысында қанша болған?

Шешуі: 2( у 100)  х 100  2 у  200  х 100  2 у  х  300
I адам – х 6(х 10)  у  10 6х  60  у  10  у  6х  70

ІІ адам - у

11х  440 у  6х  70
х  40 у  6  40  70
у  170

Жауабы: 170және 40 ; 57

Ерканат Камысбаевич Каримов

№15. «Екі санның айырмасы екіге тең, ал олардың қатынасы екіге кері санға
тең. Осы сандарды табу керек».

ху у 2 х  2  у х  2  у х  4
 х 1  у у  1 2 у  2   у  2
   2  у  Жауабы: 2; 6.
2  2

№16. «Репетитор» деген әңгімесінде ұлы орыс жазушысы А.П.Чехов мынадай
есеп келтіреді: «Көпес 138 кез қара және көк шұғаны 540 сомға сатып алды.
Егер бір аршын көк шұға 5 сом, ал қара шұға 3 сом тұрса, әрқайсысынан неше
кез мата алған?»

х  у  138  х  138 у 5 у  540
3х  5у  540 3(138  у) 

414  3у  5у  540

414  2 у  540 х  138  63
х  75
2 у  126

у  63

№17. XVI ғасырдағы иран ғалымы Бехаэддиннің есебі: «10 санын айырмасы 5
болатын екі бөлікке бөлу керек».

х  у  5 у  7,5  5
х  у  10 у  2,5

2х  15
х  7,5

№18. «Екі санның қосындысы 10-ға, ал қатынасы 4-ке тең екенін біле отырып,
сол сандарды табу керек».

х у 10 х  10  у
 4 10  у  4
 х  у

 у

5у  10

у2

х8

58

Ерканат Камысбаевич Каримов

Ежелгі ереже есептер 59
Білім алушыларды өз ата-бабаларының есеппен қалай шұғылданғаны
жайлы хабардар ету мақсатында ежелгі ереже есептерге ерекше көңіл
бөлген дұрыс. Қазақ есепшілері жыл қайыру есептерін, жыл
маусымдарының уақыттарын, мал төлдеуінің басталуын, аяқталуын,
балалардың өмірге келген күндерін, мүшел жастарын анықтаумен
шұғылданған.
Мүшел – қазақша жыл қайыру есебінің бірлік өлшемі. Бұл есептеме
бойынша әрбір 12 жыл бір мүшел деп алынады. Мұнда бастапқы бірінші
мүшелді 13 жыл деп санайды. Ежелгі есепшілер адам ғұмырының басы
бала бойға біткен күннен басталады деп пайымдаған. Сондықтан адам
жасы туралы жылнамаларда алғашқы мүшелге «аты жоққа» (яғни «нөлдік»)
әр жылды қосып есептейді. Сол себепті бірінші мүшел 13 жастан тұрады
деп алынған.

Қазақтың мүшелдеп жыл қайыру ережесі
1-қадам. Берілген а жыл санына 9-ды қосыңыз: b = a + 9.
2-қадам. 1-қадамда табылған b қосындыны 12-ге бөлгенде шығатын
қалдықты табыңыз: b = 12·n + r.
3-қадам. 2-қадамда табылған r қалдық бойынша мүшелдегі жылдар
тізбегіндегі жылдың рет санына сәйкес жылдың атын жазыңыз.
Мысалы: Абай 1845 жылы туған, а = 1845. Осы дерекке сүйеніп, мүшел
есебі бойынша Абайдың туған жылы былай анықталады.
1-қадам. b = 1845 + 9 = 1854
2-қадам. 1854 = 12 · 154 + 6
3-қадам. r = 6, демек Абай мүшел есебінің 6-шы жылында, яғни Жылан
жылы дүниеге келген.

Қазақтың мүшелдеп жыл қайыру есебінің басты тірегі санды 12-ге
бөлуден шығатын r қалдық болып табылады. Бақсақ, тең қалдықтар
жылдас адамдардың туған жылына сәйкес келеді. Осыған қарап былайша
тұжырым жасауға болады: Жылдас жандар – тең қалдықты сандар.

Ескі кітаптарда, көне қолжазбаларда адамдардың туған, қайтыс
болған жылдарын, сондай-ақ тарихи оқиғалар хижра жыл есебімен
белгіленеді. Осы жылды сіз бен біз пайдаланып жүрген Григорян жыл
есебіне қалай айналдыруға болады? Ол өте оңай. Ол үшін хижра
жылын 33 санына бөлу керек (33 саны хижра жылымен Григорян
күнтізбесінің бір-біріне тең келетін мезгілін көрсетеді). Бөлуден шыққан
санды хижра жылынан алып, одан қалған санға 622-ні қосу керек. 622
саны, өздеріңіз білетіндей, Мұхаммед пайғамбардың Меккеден Мәдинә

Ерканат Камысбаевич Каримов

шаһарына көшкен жылын білдіреді. Формула бойынша көрсетсек,

төмендегідей болады: Г = х − + 622
33

Бір ескеретін жәйт: әуелгі санды 33-ке бөлгенде нәтиже қалдықпен

шығады. Егер осы қалдық 33-тің жартысынан, яғни 17-ден артық болса,

шыққан нәтиже бүтін санға айналдырылады. Егер қалдық 16-дан кем

болса, онда нәтиженің тек бүтін бөлігі ғана алынады.

Мысалы, қазақ топырағынан шыққан данышпан перзент Әбу-Насыр

әл-Фараби хижра жыл санауының 255 жылы туған. Бұл қазіргі жыл

санауымен қай жыл екенін табайық. 255 : 33 = 7, 255 – 7 = 248, 248 +

622 = 870. Яғни әл-Фараби 870 жылы дүниеге келген екен.

Ал енді григорян жылын хижра жылына қалай айналдырамыз?

Ол үшін осы жылдан 622-ні аламыз. Нәтижесін 33-ке бөлеміз де, бұдан

шыққан санды алдыңғы азайтындыға қоссақ, керек есебіміздің шыққаны.

Мысал үшін, сіз 1985 жылы туылғансыз. Бұл хижраның қай жылы

болмақ?

1985 – 622 = 1363, 1363 : 33 = 41, 1363 + 41 = 1404.

Демек, сіз хижраның 1385 жылы туылған екенсіз.

Осы ережелерді пайдаланып кез келген адамның туған жылын

немесе тарихи оқиғаның қазақ жыл қайруының, мұсылман және григорян

күнтізбелерінің қай жылы болғанын кез келген оқушы есептей алады.

Тарих пен қатар оқушылаға батырлар жырынан, лиро-эпостық

жырлардан есептер құрастырып, олардың бірнеше шешу тәсілдерін үйрету

де олардың пәнге қызығушылықтарын арттырады және ғылымға деген

көзқарастарын қалыптастырады. Сонымен қатар білім алушылардың

күнделікті тұрмысында кездесетін тәжірибелік есептердің де ықпалы зор.

Мұндай мазмұндағы есептер шығару және баяндамалар мен әңгімелер

тыңдау білім алушыларға пәннің, ғылымның сырын қарапайым жолдармен

ұғынуына мүмкіндік береді.

Сыныптан тыс жұмыстарда қазақтың ұлттық ойындары, сол сияқты

есептер құрастыру, шешу барысында қазақтың байырғы өлшем бірліктері

кеңінен наихатталуы керек.

Қазақша жыл жаттау ережесі

1- қадам. Әр жолы үш сөзден тұратын мына бір шумақ өлеңді бұлжытпай

жаттап ал.

Түйе (1) Сеніп (2) Бойына (3),

Ұмыт (4) Қалған (5) Жылдардан (6).

Жатпа (7) Қорқып (8) Мойыма (9),

Тайма (10) Именіп (11) Ділмардан (12). 60

Ерканат Камысбаевич Каримов

2-қадам. Өлең жолдарындағы әр сөздің бастапқы әрпін және сол сөздің
тұрған орнын еске берік сақта. Мәселен, «мойыма» сөзі «М» әрпімен
басталатынын және бұл сөздің өлеңде 9-шы орында тұрғанын жатқа білу
керек.
3-қадам. өлең сөзіндегі бастапқы әріп мүшел жылының бірінші әрпіне
сәйкес келеді, ал сөздің тұрған орны жылдың мүшелдегі рет санын
көрсетеді. Мәселен, «мойыма» сөзі «мешін» жылының 9-шы жыл екенін
еске салады.

Кеңесші кесте

Мүшел жылдары Мүшел есептеу ережесі
0- Іштегі жыл Бір мүшел = 13 + 0 · 12 = 13 (жас)
1- Тышқан жылы Екі мүшел = 13 + 1 · 12 = 25 (жас)
2- Сиыр жылы Үш мүшел = 13 + 2 · 12 = 37 (жас)
3- Барыс жылы
4- Қоян жылы -----------------------------------------
5- Ұлу жылы
6- Жылан жылы ------------------------------------------
7- Жылқы жылы
8- Қой жылы ------------------------------------------
9- Мешін жылы n мүшел = 13 + (n - 1) · 12 = 12n + 1 (жас)
10- Тауық жылы
11- Ит жылы
12- Доңыз жылы

Қазақтың байырғы ұзындық өлшем бірліктері

Елі – бір саусақтың жуандығына тең, яғни, 1,5 – 2 см. 61
Тұтам – жұдырықтың биіктігі немесе 4 елі.
Сүйем – бас бармақ пен бүгілген сұқ саусақтың арасы.
Қарыс – бас бармақ пен сұқ саусақтың арасы, 20 см шамасында.
Шынтақ – жұдырығы түюлі қолдың басынан шынтаққа дейінгі қашықтық.
Кез – қолдың ұшынан иыққа дейінгі қашықтық. 1 аршин немесе 1К = 28
дюйм = 71,12 см.
Адым – аяңдап жүргендегі қадамның ұзындығы, шамамен 70-80 см.
Құлаш – Қолды екі жаққа жайғандағы екі қол ұштарының ара-қашықтығы,
2 аршин + екі иықтың ара-қашықтығы.
Шақырым – көз көріп, адам дауысы анық жететін жер, шамамен 800-1000
м.

Ерканат Камысбаевич Каримов

ПРОБЛЕМАЛЫҚ ЕСЕПТЕР 62

Арифметика курсында үш категориядағы есептермен: есеп-мысалдармен,
есеп-санақтармен және дамытушы есептермен жұмыс істейміз.

Есептің бұл үш типі алгебрада да, оның мектеп курсының кез-келген
бөлімінде бар.

Л.М.Фридман, Е.Н.Турецкий [3] барлық математикалық есептерді түрге
немесе класқа бөлудің бірінші белгісі оның талабының сипаты деп көрсетеді.

Сондықтан осы белгі бойынша барлық есептер негізгі үш класқа бөлінеді.
1-класс. Ізделіндіні табуға берілген есептер. Бұл кластың есептерінің
талабы қаңдай да бір ізделіндіні іздеу, табу. Бұл ізделінді шама, қатынас,
қандай да бір объект, зат, оның қалпы немесе түрі және т.б.
2-класс. Дәлелдеуге немесе түсіндіруге берілген есептер. Мұнда кейбір
тұжырымдардың әділдігіне көз жеткізу талап етіледі, немесе қандай да бір
құбылыс немесе факт орын алатындығын түсіндіруді талап етеді.
Талабы "дәлелдеу керек", "тексеру керек" деген сөзден басталатын немесе
"неге?" деген сұраумен берілген есептер әдетте осы класқа жатады.
3-класс. Түрлендіруге немесе салуға берілген есептер. Мұнда қандай да бір
өрнекті түрлеңдіру, ықшамдау, басқа түрге келтіру, көрсетілген шартты
қанағаттандыратындай бір нәрсені салу, құру (мысалы, геометриялық
фитураны салу немесе өрнекті құру).
Есептердің көрсетілген үш класының әрқайсысы өзінше бірнеше топтарға
бөлінеді.
Есептерді типке бөлу жайында айтқанда, есептің әрқайсысы "адам-
ситуация" жүйесінде қарастырылатындығын ескеру керек, яғни есептің қандай
да бір типке жатуы оны шығаратын адамға байланысты (оның біліміне,
қабілетіне, тәжірибесіне және т.б.). Математикалық есептерге арнайы зерттеуді
қажет ететін кейбір өзіндік ерекшеліктер тән.
Білім алушылар күрделі есепті шығаруға шамасы жетпеген жағдайда
педагог оқушыға кездескен қиыншылықты анықтауы қажет және оған жай есеп
немесе көмекші функциялар атқаратын (көмекші есептер) есептер нұсқаларын
беруі тиіс.
Сол сияқты есептерді теориялық және практикалық, қалыпты және
қалыпты емес; дидактикалық функциялары бар есептер, танымдық және
дамытушылық функциялары бар есептер және т.с.с. деп бөледі.
Есептерді білім алушылардың ойлау әрекетінің объектісі ретінде
қарастыра отырып, элементтерінің арасыңдағы байланыстардың сипатын, есеп
шығарғандағы білім алушылардың қайталап айтып беру және шығармашылық

Ерканат Камысбаевич Каримов

іс-әрекетінің ара қатынасын ескерудің маңызы зор, бұл ара қатынас көбінесе 63
есеп элементтерінің арасындағы байланыстармен анықталады.

Есептердің келтірілген типологиясы білім алушыларға есеп шығаруды
үйретуді ұйымдастырғанда мұғалімнің жұмысына айқын бағыт береді, білім
алушылардың өз бетімен жұмыс істегенінде қайталап (жазып) беру мен
шығармашылық процестер арасындағы қатынастар мәселесінің тиімділігіне
көмектеседі. Психологиялық-педагогикалық және әдістемелік әдебиетте "оқу",
"танымдық" және "практикалық" есептер термині өте жиі кездеседі. "Оқу"
терминімен әдетте шығару процесіңде білім алушылар әртүрлі білім мен
білікке ие болатындай есептер айтылады. "Танымдық" терминімен шығарушы
меңгерген білімді жетілдіру есебі айтылады, ал "практикалық" терминімен
өмірдегі жағдайларды немесе өндірістік-қолданбалы мәселелерді бейнелейтін
және шығарғанда білім алушылар өздерінің білімдері мен іскерліктерін
қолданатын есептерді айтады.

Таным есептерінің талабы белгісіз нысандарға жатады, ал ол іделінді
нысандар болады. Белгісіз нысандардың барлығы немесе кейбіреуі ізделіңді
болады.

Таным есептерін шығаруды белгісіздерді (нысаңдарды) табу дейміз.
"Оқу есебі" және "танымдық есеп" ұғымдарының ара қатынасын былай
сипаттауға болады:
1. таным есептері оқу іс-әрекеті барысында ғана шығарылмайды,
сондықтан кейбір таным есептері ғана оқу есебі болады;
2. оқу есептерінің ішінде негізгі көпшілігі таным есептері болады.
Сонымен бірге таным есептері бола алмайтын да оқу есептері болады (мысалы,
коммуникативтік, қозғалыс есептері);
3. кез-келген арнайы оқу есебі белгілі бір кластың барлық есептерінің
шығарылуының жалпы тәсілін меңгеруге бағытталған.
Практикалық мазмұнды есеп (қолданбалы сипаттағы есеп) деп мазмұны
сыбайлас оқу пәңдеріңде математиканың қолданылуын көрсететін,
психологияда қолданылуын ашып беретін, оның ұйымдастыру меселесінде,
психологияда және қазіргі заманғы өндіріс экономикасында, қызмет көрсету
саласында, тұрмыста, еңбек операцияларын орындағанда пайдаланылумен
таныстыратын есептерді түсінеміз.
Әрбір оқу пәнінің бағдарламасы оқыту нәтижесінде білім алушылар
шығара білуге тиісті есептердің түрлерін көрсетеді. Бұл есептердің бәрі
адамның практикасында, оның ішінде ғылыми-теориялық практикада
қолданылады, сондықтан да олар практикалық есеп болып саналады.
Әртүрлі есептер болады және олардың арасында әртүрлі айырмашылық
болады. Бірақ мұғалім үшін аса маңыздысы қалыпты және қалыптан тыс

Ерканат Камысбаевич Каримов

есептер арасындағы айырмашылық. Егер есептің шешуі оқушыдан белгілі 64
таныс үлгіні қолдануды талап етсе, немесе оқу практикасындағы үлгі бойынша
шешілген және соған ұқсас нәтижені пайдаланса, оңда қалыпты есеп болады.
Белгілі үлгі бойынша шығарылмайтын есептер оқушы тарапынан белгілі бір
дәрежедегі шығармашылықты және есепті тың түрде шығаруды талап етеді, ал
қалыпты есеп ондайды талап етпейді.

Қалыптан тыс есепті оқушыға шығаруға берген кезде ол оның шығару
тәсілін алдын ала білмейді де, шығару үшін қандай оқу материалына
сүйенетідігін де білмейді. Мұндай есептерді шығару барысында білім
алушылар есеп шығарудың жоспарын іздестіру жүмысын жүргізуі тиіс, оның
шешу көзін ашатын теориялық материалды табуы тиіс. Сондықтан қалыптан
тыс есеп оқушының ой-өрісінің дамуына ықпал етеді.

Қалыптан тыс есептер — математика курсында оларды шешудің нақты
бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелер мен қағидалар жоқ есептер [3].

И.В.Стратилатов өз практикасына сүйене отырып, мектеп математика
курсындағы есептерді мынадай түрлерге бөлуге болады деп есептейді[4].

1. Дидактикалық - үйретушілік. Оларды екі түрге бөлген жөн: а) таза
дидактикалық есептер - жаттығулар. Олардың мақсаты қарапайым жаттығу —
мысалдар арқылы оқытылған теориялық материалды тікелей бекіту (мысалы,
білім алушылармен көп таңбалы сандарды бөлуді немесе квадрат түбір табу
алгоритмін, немесе үшбұрыштың ауданын есептеу формуласын қорытуды және
т.б.-ды қарастырғанда мұғалім бірнеше қарапайым мысалдар ұсынады); ә)
білімдік сыпаттағы дидактикалық есептер, яғни шығару үшін оның шарттарына
кейбір талдауларды пайдалану, жауабын алу үшін бірнеше амалдар орындау
керек болатын мәтіндік есептер.

2. Қолданбалы сыпаттағы есептер. Олар екі типке бөлінеді: а)
орындалуының тиімді тәсілдерін талап ететін есептеу сыпатындағы жаттығулар
жене фабуласы өндірістік-түрмыстық сыпаттағы фабуласы бар текстік есептер.
Геометрия курсында нүктесінің әрқайсысы бір ортақ қасиетке ие болатын
фитураларды анықтауға берілген есептер кездеседі, оның мұндай қасиеті бар
барлық нүкте осы фитураның элементі болады, фитураның сыртыңда мұндай
қасиеті бар нүкте болмайды. Мұндай есептерді әдетте нүктелердің
геометриялық орнына берілген есептер деп атайды. Олар білім алушылардың
шығармашылық ойлауын, кеңістікті елестетулерін дамытады.

Педагогикалық әдебиетте "есеп" термині екі мағынада кездеседі. Біріншісі
— орындалуы қандай да бір таным актісін іске асыруды талап ететін кез-келген
тапсырма, екіншісі — кез-келген тапсырма емес "таным есебі", оның шешуі
білім алушыларды олар үшін жаңа білімге және әрекет тәсілдеріне жетелейді.

Ерканат Камысбаевич Каримов

"Танымдық есеп" ұғымын мұғалімдердің қою тәсілі бойынша және 65
мазмұны бойынша "проблемалық", "проблемалық емес" деп саралайды.

Егер танымдық есепте білім алушылар үшін жаңа ұғымдар, фактілер,
амалдар тәсілдері бар болса, онда мазмұны бойынша проблемалық (бұл
мағынада есеп арқылы оқыту әрқашан проблемалық есеп болғаны). Бірақ
танымдық есептер білім алушылар үшін проблемалық есеп емес болып
қойылуы мүмкін: шешудің жаңа тәсілін олар өз бетімен іздестірмей-ақ
педагогтің түсіндіруі арқылы меңгереді.

Психологиялық тұрғыда математикалық есептер ойлау есептері ретінде
жүреді.

Ю.М.Колягин барлық есептерді мынадай типтерге бөлді: а) қалыпты
есептер; ә) оқулық есептер; б)қалыптан тыс есептер; г) проблемалық есептер.

Қалыпты есептер жаттығу есептері ролін атқарады; оқу есептеріне мектеп
курсы есептерінің көпшілігі жатады.

Қалыптан тыс есептер әдетте олимпиадалық есептер ролін атқарады. Есеп-
проблемаларға проблемалық ситуация туғызатын есептер жататындығын
айтады.

Біз жоғарыда психологиялық-педагогикалық және оқу-әдістемелік
әдебиеттерді талдау нәтижесінде математика есептерін жіктеу ұғымы, оған
түрлі көзқарастармен таныстық. Математика мұлімінің есептің түрі, онымен
жұмыс істеу әдістерін меңгеруі оқушының математикалық деңгейіне тікелей
ықпал етеді. Сондықтан мұғалімнің шығарылатын есептің түрі, оны шығару
әдістері жөнінде терең білімі мен білігі болуы тиіс.

Есеп шығаруды үйретудің тиімділігін арттыруда білім алушыларға белгілі
бір ретпен ұсынылатын есептерді іріктеп берудің маңызы үлкен, үйткені ол
білім алушылардың бұрынғы шығарған есептерін еске ала отырып, жаңа есепті
шығарарда соған ұқсастықты таба білуде олардың ойының кеңеюін,
ізденімпаздық қабілетінің дамуын қамтамасыз етеді.

Бұрынғы шығарылған есепке ұқсастықты іздеудің өзі сол ұқсастықты табу
үшін синтетикалық әдісті қолдануды талап етеді, яғни мұғалімнің оқушыға есеп
шығаруды үйретуде берілген есептің шартын талдау барысында оны синтезбен
үйлестіре отырып есепті шығаруды іздестірудің тиімділігін қамтамасыз етеді.
Сондықтан мұғалімнің қарастырылатын (оқушыға шығаруға ұсынылатын)
есептердің түрлері жөнінде білімі мен білігі болуы қажет.

Есептерді жіктеуді білу нәтижесінде мұғалім (оқушы) есеп және онымен
байланысты ұғымдардың көлемі мен мазмұны, белгілері сияқты білімдерді
меңгереді, сол арқылы білімнің тиянақты болуына қол жеткізеді.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Есептерді жіктеуді білу математиканы оқытудың тиімділігін арттыруға, 66
сүйтіп білім алушылардың математикалық дайындығын жақсартуға,
практикалық өмірге лайықты етіп дайындауға мүмкіндік туғызады.

Ерканат Камысбаевич Каримов

ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР 67

Адамның ерекше қасиеттерінің бірі - есепті дұрыс шеше білу. Менің
мақсатым - әр түрлі қиындықтағы есептердлі дұрыс шығара білуге үйрету.
Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді.
Сондықтан әрбір мектеп оқушысының алдында тұрған міндеті – қазіргі заманғы
математикалық логиканың негізін түсіне білу, логикалық есептерді шеше білу.
Математикалық логиканы білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын. Өйткені
бүгінгі күні ғылым мен техниканың қарыштап дамуы ол адамның ойлау
қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылуда.

Логикалық есептер шығаруды тек сабақтың қосымша түрлерінде ғана
емес, күнделікті математика сабағында қолдануға болады. Одан қалды
логикалық тапсырмаларды: «Ал енді ойымызды бөліп қызықты есеп
шығарайық» – деп сергіту ретінде де қоланып жатады. Олай істеуге мүлдем
болмайды.

Сабақ үстінде бір немесе екі логикалық есеп барлық шешу жолдары
арқылы, толық талданып, пайымдалып шығарылуы керек. Солардың ішінде ең
тиімдісін көрсете білу керек. Есеп шығару барысында маңыздысы – жауапты
талап етіп тұрған негізгі сұрағын анықтау, жұмыс барысында өз бетінше сол
сұрақты табуға дағдыландыру.

Математика сабағында логикалық тапсырмалар көбіне сөз есептермен
беріледі. Әр есепті шешу барысында логикалық ойлауды дамытуға үлкен
мүмкіндіктер бар. Математикалық есептердің өзі – логикалық ойлауды
дамытудың керемет құралы болуы әбден мүмкін. Немесе, математикалық есепті
логикалық тапсырмалар беру арқылы логикалық ойлаудың дамытуына
бағыттауға болады.

Осы бағытта есептермен жұмыс жасаудың түрлі әдіс-тәсілдерін
қолдануға болады:
1. Шығарылған есеппен жұмыс жасау керек. Көп оқушы қайталап талдағаннан

кейін ғана есептің шешу жолын саналы түрде қабылдай бастайды. Қосымша
уақытты талап еткенімен нәтижесі ауқымды.
2. Есепті әртүрлі тәсілмен шығару. Уақыт шектелмеу керек. Түрлі тәсілмен
шығара білу – математикалық дамуының жоғары көрсеткіші. Сонымен
қатар, басқа шешу жолдарын таба білу оқушының келешегінде де маңызды.
Барлығына болмаса да қабілеті бар оқушыға жүктеген дұрыс.
3. Есептер талдау әдісінің дұрыс ұйымдастырылуы – сұрақтан немесе
берілгеннен сұраққа.
4. Есепте айтылған жағдайларды суреттеп беру. Білім алушылардың назарын
есептің маңызды бөлшектеріне аудару. Ойша сол есепте айтылған жағдайға

Ерканат Камысбаевич Каримов

қатысу. Есепті мағынасына қарай бөлу, сызба, сурет арқылы мағынасын 68
жеткізу, пішіндеу.
5. Білім алушылардың өз бетінше берілген сөздерді, амалдарды қолданып
есептер құрастыру.
6. Есептің сұрағын өзгерту
7. Есептің шешу жолын түсіндіру
8. Есептерді және олардың шешу жолдарын салыстыру.
9. Есептің дұрыс-дұрыс емес шешулерін талдап салыстыру
10.Қате шығарылған шешу бойынша есептің шартын өзгерту
11.Есептің шешуін аяқтау
12.Есептің қай сұрағы немесе қай амал артық екенін анықтау. Немесе сұрақпен,
шешу амалымен толықтыру
13.Есептің шешуін тексеру амалдарын орындау
14.Ұқсас есептер құрастыру

Математика сабағында, сабақтан тыс жұмыстарда осы көрсетілген
нобайы бойынша ұйымдастырылып берілген логикалық тапсырмаларды,
есептерді жүйелі түрде қолдану бастауыш сынып білім алушыларының
математикалық өрісін кеңейтеді және күнделікті өмірде математикалық
білімдерін қолдана алатын болады.

Құрылымында математикалық негіздері бар логикалық есептер кіргізу
бала психологиясына кері әсер бермейтінін психологтардың жариялаған
материалдарынан байқауға болады. Бұл жерде туындап тұрған қиындық, ол оқу
бағдарламасын жүйелеу.

Қай кезде логикалық тапсырмалар бере аламыз?- деген сұрақ туындайды.
Біріншіден оқулықта соңғы тапсырма логикалық болып есептеледі. Ол
тапсырма көбіне өте жеңіл болады. Сол себептен әр сабақта аса күрделі емес
жас ерекшеліктеріне сай, 5-8 мин шығаратын логикалық есептер беріледі.
Күрделі болса көп уақыт алады. Ал есеп анализ жасау арқылы, жоғарыда
айтылғандай, толық шығарылу керек. Мұндай тапсырмалар қызықты, түрлі
болғандықтан жағымды әсер тудырады, білім алушылардың сабаққа
қызығушылығын арттырады, өз бетінше жұмыс істеуге дағдыландырады.
Сонымен қатар логикалық тапсырмаларды жүйелі түрде орындау нәтижесінде
білім алушылардың білім деңгейлері артып, оқудағы әрекеттерін
жандандырады.

Арнайы формуланы қолдануға келмейтін әрқайсысына өзінше талдау
жасауды қажет ететін есептерді логикалық есептер дейміз. Әрбір
шығармашылық есеп логикаға негізделген. Логикалық ойлау арқылы
оқушының пәнге деген қызығушылығы артады. Білсем, үйренсем дейді, тіпті

Ерканат Камысбаевич Каримов

математикаға қабілеті жақсы, зерек білім алушылардың өздері логикалық 69
есептерді құрастырады.

Логикалық есептредің оқу процесіндегі маңызы зор. Мұндай есептер
оқушының ойлау қабілетін, математикаға деген қызығушылыған арттыру үшін
өте тиімді. Логикалық есептер математикалық олимпиадаларда, әр түрлі
жарыстарда жиі қолданылады.

Граф әдісі
Бұл әдіс кейбіреулері қырлары деп аталатын сызықтар мен қосылатын
нүктелердің шектеулі жиыны.
Есеп1: Төрт спортшы: Әлия, Ғалия, Мадина, Динара гимнастикадан өткен
жарыста алдыңғы 4 орынды алды, бірақ олардың кез келген екеуі бұл орынды
бөліскен жоқ.
Кім нешінші орын алды?- деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді.
а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ
ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ
б) Мадина – ІІ, Динара – ІҮ.
Жанкүйерлердің әрқайсысы бір рет қателескенін ескеріп, әр спортшының
қандай орын алғанын табы керек.
Жауабы: Әлия –І
Мадина – ІІ
Динара – ІІІ
Ғалия – ІҮ
ӘІ
Ғ ІІ
М ІІІ
Д ІҮ
Аты І ІІ ІІІ ІҮ
Әлия + + - -
Мадина - + - -
Динара - - + +
Ғалия - - - -
Есеп 2.
Үш адам сөйесіп тұр: Ақбаев, Қарабаев, Сарыбаев. Олардың қара шаштысы
Ақбаевқа айтады. «Біреуіміздің шашымыз ақ, екіншінің шашы қара,
үшіншісінің шашы сары, бірақ ешкімнің шашының түсі фамилясына сәйкес
келмейді». Олардың әрқайсысының шаштарының түстері қандай?
Шешуі
Тегі Сары Қара Ақ
Ақбаев + - -

Ерканат Камысбаевич Каримов

Сарыбаев - + - 70
Қарабаев - - +
Жауабы: Ақбаев – сары шашты
Қарабаев – ақ шашты
Сарыбаев – қара шашты

Логикалық есептердің келесі түрі- өлшеумен байланысты.
1. Есеп: Бөтелкеде, стаканда, құмырада, банкада сүт, лимонад, квас, су
бар. Су мен сүт бөтелкеде емес. Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас
құйылған ыдыстың арасында. Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан
банка мен сүт құйылған ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа
құйылған.
Жауабы: Сүт құмыраға, лимонад бөтелкеге, квас банкага, су стаканга
құйылған.
2. Есеп:Екі тостағанның біріне толы кофе,біріне толы сүт бар.Бір
қасық кофені екінші тостағандағы сүтке құйып,араластырды.Содан кейін бір
қасық шыққан қоспаны қайтадан кофеге құйды.Қайсысы көп: сүті бар
тостағандағы кофе ме,әлде кофе құйылған тостағандағы сүт пе?Жауабы: тең
3. Есеп: Ыдыстағы 10 л сүттен 3 литрлік бос ыдыстың көмегімен 7
литрлік ыдысқа 5л құйып алу керек.Қалай орындаса болады?
Жауабы:3 литрлік ыдыспен 6 литрді 7л ыдысқа сүтті құямыз.Тағы 3л сүтті алып
1литрін 7л ыдысқа толтырамыз ,сонда 2л сут ыдыста қалады.7л сүтті 10л
ыдысқа құямыз,2 л сүтті 3литрліктен 7 л ыдысқа құйып,тағы 3л сүт,барлығы 5 л
сүт болады.
Логикалық есептерді теңдеу құрып шығару.
1. Ақдананың ойлаған санынан ең үлкен бір таңбалы санды азайтып, нәтижеге
ең кіші екі таңбалы санды қосқанда 100 шықты. Ақдана қандай сан ойлады?
Шешуі: (х-9) + 11 =100
х – 9 = 99
х = 108 Жауабы: 108
2. Қанаттан «сыныпта неше қыз бала бар?» - деп сұрағанда, ол «қыз балалардың
санынан ең кіші екі таңбалы санды азайтып, нәтижеге 80 – ді қосса, 88
шығады» деп жауап берді. Сыныпта неше қыз бар?
Шешуі: қыздар саны – х
Т/қ: (х - 11) + 80= 88
х – 11 = 8
х = 19
Жауабы: 19 қыз
3.Ағайынды екі адамның жастарының қосындысы 30 – ға тең. Олардың

Ерканат Камысбаевич Каримов

әрқайсысының жастарын табу керек, егер біреуінің жастарының екіншісінің 71
жасының - не тең болса.
Белгілеу енгіземіз:
І сан - х
ІІ сан - х
Т/қ: х + х = 30
2х + 3х = 180 І сан - * 36 = 18
5х = 180 ІІ сан - * 36 = 12
х = 36
Жауабы: 12 жас, 18 жас
4. Қазір ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан соң, олардың жастарының
қосындысы 19 жас болады. Қазір қарындасы неше жаста, ағасы неше жаста?
Шешуі:
Белгілеу енгіземіз:
қарындасы – х
ағасы – х + 5
4 жылдан соң
қарындасы – х + 4
ағасы – х + 5 + 4
Т/қ: (х + 4) + (х + 5 + 4) = 19
х + 4 + х + 9 = 19
2х = 19 – 13
2х = 6
х=3
Жауабы: Қарындасы – 3 жаста
Ағасы – 8 жаста
5. Қазір әкесінің жасы баласынан 10 есе үлкен, ал 10 жылдан кейін тек 4 есе
ғана үлкен болады. Баласы неше жаста?
Шешуі: 4(х+10)=10х+10
4х+40=10х+10
10х-4х=40-10
6х=30
х=5
Жауабы: баласы – 15 жаста, әкесі – 60 жаста

Логикалық есептерді теңдеулер жүйесі арқылы шешу.
1. Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар. Аулада
неше тауық және лақ бар?
Белгісізге белгілеу енгіземіз:

Ерканат Камысбаевич Каримов

Бастары: тауық – х 72
Аяқтары: тауық – 2х
Теңдеулер жүйесін құрамыз
38 – 2у + 4у =46
2у=46 – 38
2у=8
у=4
х = 19 – 4 =15
х = 15 Есептің жауабы: 15 – тауық, 4 – лақ
Теңдеулер жүйесін құру тақырыбына: «Қаз бен түлкі» ертегісін оқи отырып,
мына теңдеуді шешеміз:
«Түлкісін аярлыққа бермейтін дос
Көрейін сенде қанша ақыл мен ес.
Балапан, көжек санын өзің тапшы
Аяқтары 94, басы 35»

1. Есептің мәтінің түсіну.
Түлкінің айлакерлігі, қаздың ақылдылығы, балапанда – 2 аяқ көжекте – 4 аяқ
2. Теңдеу құру: Балапан саны – х
Көжек саны – у
Балапанда 2 аяқ – 2х
Көжекте 4 аяқ – 4х
Сонда Теңдеулер жүйесі шығады.
Теңдеулер жүйесін шешу
Есептің жауабы: 23 балапан, 12 көжек

Ұлттық есептер
Қазақ халқының ауыз екі тараған есебінің артықшылығы. Қазақ
халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда
санаудың әртүрлі жүйесін, мәселен үштік, ондық, тоғыздық пайдаланған.
Тоғыздық жүйе ешбір жалықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі – мүшел есебі,
зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі - өз алдына бір төбе. Қазақтың қара
есебі өмір қажеттілігінен туындаған. Қазақ халқының тәрбиесінің
математикалық астары да түрліше. Олар:
1. Жұмбақ есеп
2. Өлең есеп
3. Ертегі есеп
Ғасырлар бойы даналығымен, өміршеңдігімен дәлелденген халықтық
есептер үлгілері- тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де

Ерканат Камысбаевич Каримов

маңызын жоймаған халықтың ұлттық мұрасын тәлім-тәрбиенің түп қазығына 73
айналдыру – біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз
әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт-дәстүрінде білім
алушылардың ақыл-ой зердесін тәрбиелеуде ұлттық мазмұнды есептер
шығарудың маңызы зор.

Қыңырдың жасы.
Есепке құмар бір кісі қыңырдан:
- Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол:
- Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы
жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені шегеріңіз.
Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде?
Шешуі: Қыңырдың қазіргі жасын -х десек, есеп шарты бойынша:
3(х+3) – 3(х-3) = 3х+9 – 3х + 9 =18
Жауабы: Қыңырдың жасы. 18-де.
Ұрылар мен кемпір
Ертеде байлардың естігінде жүріп күн кешкен, панасы жоқ жалғыз кемпір
болыпты. Жаз шығып, ел жайлауға көшкенде, сүйенері жоқ кемпір жалғыз
қалады. Түн ішінде кемпірдің жалғыз сиырын ұрламақ болып ұрылар келеді.
Кемпір : «Ә, бұлар менің жалғыз сиырымды нысанаға алған екен, мен де
бұларды алайын»,- деп ойлайды. Сөйтіп, жалма-жан бір шелек суды сапырып
отырып, мынадай өлең айтыпты :
«Сапырып – сапырып Сарманға бер,
Құйып – құйып Құрманға бер,
Есіктегі екеуге бер,
Төрдегі төртеуге бер,
Өзің іш те маған бар» - деген екен. Мұны естіген ұрылар:
- «Қой мұнымыз бекер болар. Бұл үй толы кісі, әрі бізден екі есе артық екен,
кетейік», - деп, кетіп қалыпты.Кемпір тапқырлығымен ұрыларды осылай
қорқытыпты.
Сонда үйдегі адам нешеу , ұры нешеу?
Шешуі : 1+1+2+4+1+1=10 адам.
10 : 2= 5 ұры.
Жауабы: 10 адам, 5 ұры.
«100 қаз»
Бір топ қазға қарсы келе жатқан жалғыз қаз
«Сәлеметсіздерме жүз қаз» деп сәлем береді. Сонда топ қаздың басшысы:
«Біз жүз қаз емеспіз, егер біз қанша болсақ, сонша қаз оның жарытсы, ж/е сені
қоссақ, сонда ғана 100 боламыз»
Сонда топ қаздың саны нешеу болған?

Ерканат Камысбаевич Каримов

Шығарылуы: х + х + х + х + 1 = 100 74
2х + х = 99 17х = 396. х = 36. Ж/бы: 36 қаз

Логикалық есептерді шығару оқушы шығармашылығы болып табылады.
1. Нәтижесі 4 болу үшін 2санын қандай санға бөлуге болады?
Шешуі:
2. Мұғалім сыныпқа 11 дәптер алып келіп, әр оқушыдағы дәптер саны 1 – дей
болатындай етіп таратты. Сынып 20 – дан көп, 40 – тан аз. Сыныпта қанша
оқушы бар?
Шешуі:
37 – оқушы бар. 3 – дәптерден берген
3. 1,2,3,4,5 сандарының арасына арифметикалық таңбалар мен жақшаларды
қойып, нәтижесін 1 – ге теңестіру

Логикалық есептердің бір түріне әріптердің орнын цифрлармен алмастыру
арқылы да есептеулер орындауға болады.
1. Ежелгі есептер
1-дәуір - математиканың туу,математикалық білім-дағдыларының,
мағлұматтардың, жиналу дәуірі.
2-дәуір - элементарлық математика дәуірі.Біздің заманымызға дейінгі VI-V
ғасырларда басталып біздің заманымыздың XVIғасырымен аяқталады.
3-дәуір - айнымалы шамалар математикасының туу дәуірі.4-дәуір қазіргі
математика дәуірі.
Осы әр дәуірдегі тарихи мағлұматтарды пайдалана отырып, математиканың
тууына, дамып қалыптасуына үлкен үлес қосқан Греция, Үнді, Орта Азия және
Батыс елдері математиктері Диофант, Әл – Хорезми, Магницкий, Эйлердің
математика саласындағы әрбір жаңа табысқа жету үшін, көптеген жылдар бойы
ізденген, сол іздену жолында талай қымбат уақытын сап еткен, сөйтіп кейінгі
ұрпаққа мол мұра етіп қалдырып кеткен тарихи есептері баяндалады. Осы
айтылып отырған грек математиктерінің ең ертедегісі Фалес болып табылады
(біздің жыл санауымызға дейінгі VII және VI ғасырлар). Ол көп нәрсеге бастама
жасады, көп нәрсені өзі ашты. Фалес математикалық білімді жүйеге келтіріп,
дамытуды бастады. Ал б.э.д VI-V ғ. өмір сүрген Пифагор геометрия ғылымын
еркін ғылым түріне келтіріп өзгертті.Біздің жыл санауымызға дейінгі 300
жылдың шамасында атақты математик Евклид, мазмұны жағынан
геометрияның мектептік курсын түгелге жақын қамтитын, «Негіздерін»
құрастырды. Математик және механик Архимед (біздің жыл санауымыздан
бұрынғы 287-212 жылдар) барлық замандардың ұлы математигі болып
табылады. Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір
сүрген.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның 75
квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.Диофант теңдеулердің оң
бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады.
Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей
қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.Алдыңғы есепке
оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен түсіндіреді: Берілген сан
13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең. Бір квадраттың
қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші квадрат қабырғасының
ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші квадраттың ауданы (х+2)²
=x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) +
(4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек: 5х²
-8х+13=13 5х² -8х=0 х(5х-8)=0 5x-8=0 5x=8 x= 25
Анықталмаған теңдеулер әдісі арқылы шешілетін Диофант теңдеулері.ах+by=c
екі белгісізі бар теңдеу. Бұл теңдеулерді анықталмаған теңдеу деп атаймыз,
оның сансыз көп шешімі бар. Көбінесе белгісіздердің теңдеуді
қанағаттандыратын шектеулі шешімдерін ғана іздейміз.

Логикалық есептерді олимпиадалық есептерді шешуде де қолданады.
1. Көбейтіндіні есепте:
Шығарылуы:
(10-10)=0 Көбейтінді 0 – ге тең
Есеп «21»
«21» шешу үшін жұлдызшалардың орнына математикалық амал таңбасымен
(қосу, бөлу, азайту, көбейту, жақша) нәтижесінде 21 саны шығатындай етіп,
алмастыру қажет. Сонда тігінен де, көлденең де сандар қосындысы 21 – ге тең
болуы тиіс.

2 4 5 9 1 7 = 21
3 8 6 2 9 2 = 21
9 1 7 5 3 4 = 21
5 8 2 5 3 1 = 21
6 5 1 4 2 8 = 21

7 9 7 6 1 7 = 21
======
21 21 21 21 21 21
Шешуі:

( 2+4+5-9+1)*7=21
3-8+6-2-9+2=21
( 9+1 )*7÷5+( 3+4 ) =21

( 5+8 )+( 2*5-3)+1=21

Ерканат Камысбаевич Каримов

6*5+1-4+2-8=21 76

( 79-76 )*( 1*7 ) =21

Есеп. Егер сіз қай жылы туғаныңызды білгіңіз келсе:
Туған жылға 9 – ды қосып, 12 – ге бөлгендегі қалған қалдығы
өзіңіздің туған жылыңыз (қазақша) болып шығады.
Қазақша жыл аттары:
1-Тышқан.2- Сиыр. 3-Барыс. 4-Қоян.5-Ұлу.6-Жылан.7-Жылқы.8-Қой.
9-Мешін.10-Тауық.11-Ит .12-Доңыз
Мысалы: Менің туған жылым 1994 жыл. Қазақша қай жылға келетінін білу
үшін 9 – ды қосып, 12 – ге бөлейік.

1) 1994 + 9 = 2003
2) ит жылы туған екенмін
ІІ. Әкем 1962 жылы туған

1) 1962 + 9=1971
2) 1971 барыс жылы

Логикалық есептердің кейбір түрлері:
§1.Салыстыруға берілген есептер
1. Алмұрт алмадан ауыр, ал алма шапталдан ауыр. Қайсысы ауыр – алмұрт па
әлде шабдал ма?
2. Арман, Ерлан, Нұркен және Мырзатай төртеуі балық аулады. Мырзатай
балықты Нұркенге қарағанда көп ұстатады. Арман мен Ерланның ұстаған
балықтарының саны Нұркен Мырзатайдың ұстағандарымен бірдей. Арман мен
Мырзатай Ерлан мен Нұркеннің ұстағандарынан аз. Ұстаған балықтардың
санына қарай кім қандай орын алғанын жаз.
3. 7 қарындаш 8 дәптерден қымбат тұрады. Қайсысы қымбат-8 қарындаш па
әлде 9 дәптер ме?
4. Әділ мен Арман А-дан В-ға қарай бір мезгілде жолға шықты. Әділ
велосипедпен, ал Арман одан жылдамдығы бес есе артық жеңіл машинамен
шыққан еді. Орта жолда жеңіл машина сынып, қалған жолды Арман жаяу
жүрді, оның жыылдамдығы велосипедтің жылдамдығынан екі есе кем.
Олардың қайсысы В-ға бұрын жетті?
8. Үйден мектепке дейін Буратино жаяу барды, қайтқанда сол жолмен жүрді,
бірақ жолдың бірінші жартысын ол итке, екінші жартысын тасбақаға мініп
келді. Буратиноның мектепке жаяу барғандағы жылдамдығынан иттің
жылдамдығы одан төрт есе артық, ал тасбақаның жылдамдығы одан екі есе кем.
Буратино қай жолы уақыттың көп жұмсады-үйден мектепке дейін бе әлде
мектептен үйге дейін бе?

Ерканат Камысбаевич Каримов

6. 4 қара сиыр мен 3 сары сиырдан 5 күнде қанша сүт сауылса, 3 қара сиыр мен 77
5 сары сиырдан 4 күнде сонша сүт сауылады. Қандай түсті сиыр сүтті көп
береді-қара ма әлде сары ма?

§ 2. Таразымен өлшеу
1. Бірдей үш сақинаның біреу басқаларынан біршама жеңілдеу. Табақшалы
таразымен бір рет қана өлшеу арқылы ол жеңіл сақинаны қалай табуға болады?
2. 27 монетаның біреуі жалған және ол басқалардан ауырлау. Табақшы
таразымен гірсіз үш рет өлшеу арқылы жалған монетаны қалай табуға болады?
3. Бірдей 75 сақинаның біреуі салмағы жағынан қалғандарынан сәл өзгешелеу
көрінеді. Ол сақинаның басқаларынан жеңіл немесе ауыр екенін табақшалы
таразымен екі рет тарту арқылы қалай анықтауға болады?

§3. Сюжетті логикалық есептер
1. Көшеде төрт қыз Әйгерім, Динара, Гүлсім және Назерке әңгімелесіп тұр.
Жасыл көйлектегі қыз (Әйгерім мен Динара емес) көк көйлектегі қыз бен
Назеркенің арасында тұр. Ақ көйлекті қыз қызыл көйлекті қыз бен Динараның
арасында тұр. Қыздардың әрқайсысы қандай көйлек киген?
2. Киноға билет алу үшін Нұрлан, Мақсат, Қанат, Омар және Асан кезекте тұр.
Нұрланның билетті Мақсаттан бұрын, бірақ Асаннан кейін алатыны белгілі:
Қанат пен Асан қатар тұрған жоқ, ал Омар Асанмен, Нұрланмен, Қанатпен
қатар тұрған жоқ . кім кімнен кейін тұр?
3. Үш дос: Әуез, Елнар және Мырзатай бір сыныпта оқиды. Олардың біреуі
мектептен үйіне автобуспен, біреуі – трамваймен және біреуі троллейбуспен
қатынайды. Бір күні сабақтан соң Әуез досын автобуспен аялдамасына дейін
шығарып салды. Қастарынан бтроллейбус өтіп бара жатқанда, үшінші досы
терезеден: «Елнар, сен мектепке дәптеріңді ұмытып кетіпсің!» - деп айқалайды.
Кім үйіне немен барады?
4. Бір мектепте үш дос: дәрігер, мұғалім, ақын. Олардың фамилиялары:
Боранбаев, Имашев, Саматов. Дәрігердің інісі де қарындасы да жоқ, ол
достарының ішіндегі ең кішісі. Саматов мұғалімнен үлкен және Боранбаевтың
қарындасына үйленген. Дәрігердің, мұғалімнің, ақынның фамилияларын
атаңдар.
5. Саябақта әртүрлі жастағы бес бала бар, олар: Ахмет, Бақыт, Құсайын,
Ғалымжан, Дидар. Біреуі – 1 жаста, екіншісі – 2 жаста, қалғандары – 3,4 және 5
жаста. Ең кішісі – Құсайын. Ахмет пен Ғалымжанның жастарын қосқанда
қанша болса, Дидар сонша жаста. Бақыт қанша жаста? Балалардың тағы
қайсысының жасын анықтауға болады?
6. Жанұяда төрт бала бар, олардың жастары 5,8,13 және 15. Балалардың

Ерканат Камысбаевич Каримов

есімдері : Анар, Болат, Дана және Ғалия. Егер қыздардың біреуі балабақшаға 78
барса, Анар Болаттан үлкен болса және Анар мен Дананың жастарының
қосындысы үшке бөлінетін болса, онда балалардың әрқайсысы қанша жаста?
7. Пионер лагеріне үш дос келді: Марат, Бақыт және Қанат. Олардың
әрқайсысы мына фамилиялардың біреуі екендігі белгілі:
Имашев,Саматов,Ғаниев.Марат Ғаниев емес,Бақыттың әкесі инженер. Бақыт
6сыныпта оқиды. Ғаниев 5сыныпта оқиды. Имашевтың әкесі слесарь.
Әрқайсысының фамилиясы қандай?
8. Төрт жас филатеристер: Мұрат, Темір, Қуат, Самат пошта маркілерін сатып
алды. Олардың әрқайсысы тек бір елдің маркілерін сатып алды, соның ішінде
олардың екеуі совет маркілерін, біреуі – болгар, келесісі - чех маркілерін сатып
алды.Мұрат пен Темір әртүрлі екі елдің маркілерін сатып алғандығы белгілі. Әр
елдің маркілерін Мұрат пен Самат, Қуат пен Самат, Қуат пен Мұрат және Темір
мен Самат сатып алған болып шықты. Мұрат болгар маркісін сатып алғандығы
белгілі. Олардың әрқайсысы қандай елдің маркілерін сатып алғандығын
анықта.
9. Жарыста Қанат, Болат, Бақыт және Жанат алғашқы төрт орынды иеленді.
Ешқандай екі бала бір орынды бөліскен жоқ. Кім қандай орынды иемденгені
туралы сұраққа, Қанат: «бірінші,төртінші емес», Болат: «екінші» деп жауап
берді. Ал Бақыт соңғы орында емес екендігі байқалды. Балалардың әрқайсысы
қандай орынды иемденген?
10. Үш қыз ақ, жасыл және көк көйлек киіп шықты. Олардың туфлилері осы үш
түстің біріне келеді. Анардың ғана көйлегі мен туфлилерінің түстері бірдей
болған жоқ. Дананың көйлегі мен туфлилері ақ емес, Назымның туфлилері
жасыл. Олардың әрқайсысының көйлектері мен туфлилерін анықта.

§4. Дирихле принципі
1. Шкафта өлшемдері де, фасондары да бірдей 5 пар ашық түсті және 5 пар қара
түсті аралас бәтіңке жатыр. Кемінде бір пар (оң және сол аяққа) бір түстегі
бәтіңке табылатындай етіп шкафтан таңдамай ең кемінде қанша бітіңке алуға
болады?
2. 5 шабадан және олардың кілтін алып келді, бірақ қай кілт қай шабадандікі
екені белгісіз. Әр шабаданның өз нкілтін табу үшін, ең көп дегенде кілтті қанша
рет салып көру керек?
3. Погребте бірдей 20 банкі тосап тұр. Олардың 8-і – құлпынай, 7-і – бүлдірген,
5-і – шие тосаптары. Погребте тағы да 4 банкі бір сортты және 3 банкі басқа
сортты тосап қалатындай қараңғыд сенімді түрде көп дегенде қанша банкі алып
шығу керек?
4. Еркін күрестен өткен жарысқа 12 адам қатысты. Олардың әрқайсысы

Ерканат Камысбаевич Каримов

қалғандарымен бір реттен кездесу керек. Жарыстың кезкелген мезетінде саны 79
бірдей күреске түскен екі күрескер бар екенін дәлелде.

§5. Цифрмен берілген есептер
1. 1-ден 99-ға дейінгі барлық сандар қатарынан жазылған. 5 цифры қанша рет
кездеседі?
2. 1-ден 100-ге дейінгі барлық натурал сандар тақ және жұп деп екі жұпқа
бөлінген. Қайсы топтың сандарын жазуға пайдаланылған барлық цифрларының
қосындысы көп және қанша көп екенін анықта.
3. Әділ өзінің досына: « Мен санап шықтым, мына кішкентай кітаптың барлық
бетін, бірінші бетінен бастап нөмірлеп шығу үшін, дәл 100 цифр керек екен»-
деді.Кітапты көрмей тұрып, Әділ цифрлардың санын дұрыс санады ма, жоқ па,
тексере аласыз ба? Кітаптың барлық беті нөмірленгені белгілі.
4. Кітаптың бетін номерлеу үшін 1392 цифр керек болды. Кітаптың беті қанша?
5. Кітаптың қандай да бір бөлігі түсіп қалды. Түсіп қалған бөлігінің бірінші
бетінің нөмірі 387, ал соңғы бетінің номері осы цифрлардан тұрады, бірақ басқа
ретпен жазылған. Кітаптың неше беті түсіп қалған еді?
6. Натурал сандарды 1-ден бастап қатарынан жаза бастады. 1992 орында қандай
цифр тұр?
7. Цифрларының барлығы әр түрлі болатын он таңбалы ең кіші санды жаз.
8. Цифрларының барлығы әр түрлі болатын ең үлкен он таңбалы санды жаз.
9. Төрт бүтін санның (әр түрлі болуы шарт емес) қосындысы және көбейтіндісі
8-ге тең. Бұл қандай сандар?
10. Кезкелген арифметикалық амалдардың көмегімен бес бірліктен немесе бес
бестіктен 100 санын құрыңдар. Бес бестіктен 100 санын екі тәсілмен құрыңдар.

§6. Ең үлкен ортақ бөлгіш. Ең кіші ортақ еселік.
1. Екі санның ең кіші ортақ еселігі 360-қа тең, ал осы сандарды олардың ең
үлкен бөлгішіне бөлгендегі бөлінділері сәйкесінше 3 және 5-ке тең. Осы
сандарды тап.
2. Екі жетінші сынып білім алушылары 737 оқулық сатып алды. Әрқайсысының
сатып алған кітаптарының саны бірдей. Білім алушылар саны қанша және әр
оқушы неше оқулық сатып алды.
3. Темір жол стансасының жанынан белгілі бір уақыт аралығында үш пойыз
өтті. Бірінші пойызда – 418, екіншісінде – 494, үшіншісінде – 456 жолаушы
болды. Егер әр вагондағы жолаушылардың саны бірдей екені белгілі болса
және олардың саны мүмкін болатын сандардың ең үлкенін алу керек болса, әр
пойызда қанша жолаушы вагоны бар?
4. Қоймада 300-ден артық, 400-ден кем пышақ және шанышқы бар. Егер пышақ

Ерканат Камысбаевич Каримов

пен шанышқыны біріктіріп оннан және он екіден санағанда екі жағдайда да 80
ондықтар мен он екіліктер саны бүтін санмен өрнектеледі. Егер пышақ
шанышқыдан 160-қа кем болса, қоймада қанша пышақ және қанша шанышқы
болған?
5. Әкесі мен баласы екі ағаштың ара қашықтығын қадамдап өлшегілері
келіп,бір уақытта бір ағаштан бастап өлшеуге шықты. Әкесінің қадамының
ұзындығы – 70 см, баласынікі – 56 см. Егер олардың іздері 10 рет беттескені
белгілі болса, онда екі ағаштың ара қашықтығы қандай болады?
Жауаптары:

§1
1. Алмұрт.
2. Бірінші орынды Ерлан, сосын Мырзатай, Нұркен, Арман алды.
3. Егер 7 қарындаш 8 дәптерден қымбат болса, онда 1 қарындаш 1 дәптерден
қымбат, сондықтан 7+1=8 қарындаш 8+1=9 дәптерден қымбат.
5. 6 табан. 10 нан ауыр болғандықтан, 6 табан 9 тран балықтан ауыр, сондықтан
2 табан 3 тран балықтан ауыр (үш шарттың екеуі артық).
4. Автомобильші жолдың екінші жартысына жіберген уақыт ішінде,
велосипедші барлық жолды жүріп өтті, осылайша, велосипедші В-ға ерте
келеді.
5. Мектептен үйге дейінгі жолға көп уақыт кетті.
6. Сары түсті.

§2
1. Таразыға екі сақина саламыз. Егер таразы тепе-теңдікте болса, онда қалған
сақина жеңілірек, егер бір сақина ауыр болса онда жауабы түсінікті.
2. 9 монетадан 3 бөлікке бөліп, бірінші қай бөлікке жалған монета барын
анықтау керек, сосын есептегідей шешіледі.
3. Берілген сақинаның қалғандарынан ауыр немесе, жеңіл екендігін анықтау
керек емес. Екі сақинаны салмағы бойынша салыстырамыз.Егер олардың
салмағы тең болса, онда олар – стандарт, стандарт емесі қалған екі сақинаның
біреуі. Енді екеуінің біреуін стандарт сақинамен салыстырамыз. Егер бірінші
екі сақина тең болмаса, онда стандарт емесі -екеуінің біреуі, ал қалған екеуі –
стандарт (тұжырымды аяғына дейін жеткіз). Әрқайсысында 25 сақинадан
болатындай етіп 3 топқа бөл.

§3
1. Әйгерім – ақ, Динара – көк, Гүлсім – жасыл, Назерке – қызыл көйлекте.
2. Асан, Нұрлан, Қасен, Мақсат, Омар.
3. Әуез – трамваймен, Елнар автобуспен, Мырзатай троллейбуспен қайтты.

Ерканат Камысбаевич Каримов

4. Имашев – дәрігер, Боранбаев – мұғалім, Саматов – ақын. 81
5. Бақыт – 4 жаста, Құсайын – 1 жаста, Дидар – 5 жаста.
6. Дана – 5 жаста, Болат – 8 жаста, Анар – 13 жаста, Ғалия –15
7. Марат – Имашев, Бақыт – Саматов, Қанат –Ғаниев,
8. Мұрат чех, Темір мен Қуат – совет, Самат болгар маркілерін сатып алды.
9. Бақыт – 1-ші орын, Болат – 2-ші орын, Қанат - 3-ші, Жанат -4
10. Анардың көйлегі мен туфлиі ақ, Дананың туфлиі көк, көйлегі жасыл,
Назымның туфлиі жасыл, көйлегі көк.

§4.
1. Он бәтіңке аламыз. Олардың ішінде 5-уі ашық түсті бір аяқтікі және 5 қара
түсті, олда бір аяқтікі болуы мүмкін. Бұл жағдайда 11-ші бәтіңке алсақ онда ол
алдыңғы алынған бәтіңкемен ашық түсті немесе қара түсті бәтіңкемен пар
болады.
2. Бірінші кілт ең көптегенде – 4, Екінші – 3, Үшінші – 2, Төртінші – 1 рет
сыналған жағдайда өз шабаданын табады, Бесінші кілт қалған шабадандікі
болады. Ең көптегенде 10 рет тексері керек.
3. 7 банкі шығаруға болады.
4. Әр қатысушы 11 рет күреске шығуы керек,қатысушыларды топтарға
бөлейік.1-топқа сол мезеттегі бір ретте күреске шықпағандарды, 2-ші топқа бір
рет күрескендерді, т.с.с. етіп бөлейік. Соңғы 12 топқа барлық 11 рет күреске
шыққандар болсын. Бір уақытта бірінші және он екінші топ бар бола алмайды.
Егер бір қатысушы барлығымен күресіп шыққан болса, Онда бір де бір күреске
шықпағандары болмайды. Осыдан топтар саны 11, ал қатысқандар саны – 12
бола алады. Дирихле принципі бойынша бір топта кем дегенде екі адам болады.

§ 5.
1. 20 рет.
2. Әрбір ондықта тақ сандардың цифрларының қосындысы мен жұп сандардың
цифрларының қосындысының айырмасы 5, ал жүздікте 10 ондық бар,демек,
5х10-1, өйткені 100 саны- жұп. Тақ сандардың цифрларының қосындысы 49-ға
артық болып шығады.
3. Кітап 100 беттен кем. Алғашқы 9 бетке 9 цифр таңбасы кетеді, келесі
беттердің әрқайсысына 2 цифр ткерек, бұдан барлық бетке, 10-нан бастап жұп
санды цифр керек, тоғызбен қосқанда,бұл сан тақ қосындыны береді, яғни 100-
ге тең емес сан.
4. 1392=1х9+2х90+3(х-99), мұндағы х=500.
5. Түсіп қалған беттердің соңғысының нөмірі жұп сан, яғни 738. Сонымен түсіп
қалған бөлігі (738-386):2=176 беттен тұрады.

Ерканат Камысбаевич Каримов

6. 1992-ші цифры 601-ші үш таңбалы санда бар. Шынымен: (1991-(1х9+2х90)) 82
:3=601. Бұл сан – 700. Іздеген цифрымыз 0 екен.
7. 1023456789.
8. 9 876 543210.
9. 4+2+1+1=4х2х1х1.
10. 100=111-11 (егер дәрежелеуді арифметикалық амал деп алатын болсақ, 100=
5х5х5-5х5=(5+5+5+5)х5.

§6
1. 72,120.
2. 737=67х11, екеуі де жай сандар. Осыдан, 67 оқушы 11 кітаптан сатып алғаны
шығады.
3. 418, 456, 494 сандарының ЕҮОБ-і – 38, ендеше, әр вагонда 38 адамнан
болған.
4. Пышақ пен шанышқы санының қосындысы 10 және 12-ге еселік
болғандықтан, ол ЕКОЕ (10,12)=60 бөлінеді. 300 бен 400 сандарының
арасындағы 60-қа бөлінетіні – 360. Олай болса, 100 пышақ, ал шанышқы – 260.
5. 70= =2х5х7; 56=2х7х4. 1) ЕКОЕ (70,56) = 70х4=280. Әрбір 280 см-ден кейін
әкесі мен баласыныңіздері беттеседі. 2) 280х10=2800 (см), 2800см=28м –
ағаштардың ара қашықтығы.
Қызықты есептер.
1. 90 сиырды 9 қораға тақ саннан кім қамап берер екен?
2. Альбомның әр бетіне 6 маркадан жапсырса, 9 марка жетпей қалады.
Альбомда неше бет және маркалар қанша?
3.Бесінші қабатқа шығу үшін 80 басқышқа көтерілу керек.Үшінші қабатқа
көтерілуге неше басқышқа көтерілесіз?
Қызықты есептер.Жауабы
1. Тақ сандарды жұп рет қосса ғана жұп сан шығады. Сондықтан бұл
сиырларды тақ саннан қамау мүмкін емес.
2. 4 маркадан жапсырғанда 15 марка артылып қалатын болса, оған 9 марка
қосып, альбомның әр бетіне тағы 2 маркадан жапсырып шығуға болар еді.
Сонда альбомның әр бетіне 6 маркадан жапсырылған болар еді.
3. 40 басқышқа. Өйткені сіз бірінші этажда тұрсыз. Бір этажға көтерілсеңіз –
екінші этажда боласыз.Сондықтан 80-ді 4-ке бөліп, 2-ге көбейту керек.

Ерканат Камысбаевич Каримов

МАТЕМАТИКАДАН АУДАНДЫҚ, ОБЛЫСТЫҚ, РЕСПУБЛИКАЛЫҚ, 83
ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ОЛИМПИАДАЛАРЫНЫҢ ЕСЕПТЕРІ

1.Жолаушының бір ешкісі, бір капустасы, бір қасқыры бар. Ол өзеннің бір
жағынан екінші жағына екі орынды қайық арқылы өтуі керек. жолаушы ешкіні,
капуста және қасқырды өзеннен қалай өткізді? Қасқырды ешкімен қалдыра
алмайды, ал ешкіні капустамен қалдыра алмайтыны белглі болса?
Шешімі: Ол үшін үшеуін де қадағалаусыз қалмауы керек. Бірінші қатынағанда
жолаушы өзеннің ар жағына ешкіні апарады. Екінші қатынағанда жолаушы
қасқырды алады, капуста қалады. Өзеннің ар жағына жеткен соң қасқырды
қалдырып, ешкіні қайтадан өзеннің бер жағына әкеледі. Үш қатынағанда ешкіні
қалдырып, капустаны өзеннің ар жағына апарады. Капустаны қалдырады да, өзі
бер жаққа қайта оралады. Төрт қатынағанда ол ешкіні өзеннің ар жағына
шығарады.
2. Айдынның Асқардан бойы ұзын, бірақ Жанаттан кіші. Кім ұзын?
Шешімі: Жанат - ұзын
3. Менің атым Медет Менің тәтемнің бір ғана інісі бар. Менің тәтемнің інісінің
аты кім?
Жауабы: Медет
4. Термометр аяз болғасын – үш градус көрсетіп тұр. Осындай екі термометр
неше градус көрсетеді?
Жауабы: үш
5. Тік төрбұрышты бөлмеге әрбір қабырғасында үш болатындай сегіз
орындықты орналастыру керек.
6. Көшеде екі әкесі, екі баласы, және атасы немересімен қыдырып жүр. Көшеде
неше адам жүр?
Жауабы: үшеу
7. Екі бала шахматты екі сағат ойнады. Олардың әрқайсысы неше сағат
ойлады?
Жауабы: екі сағат

Ерканат Камысбаевич Каримов

8. а,в,с-үшбұрыштың қабырғалары болсын. Үшбұрышқа іштей сызылған
шеңбердің центрі О-нүктесі АА1 биссектрисасын АО:А1О=(в+с):а
қатынасында бөлетіндігін дәлелдеңдер.

В

а-х

А1

Ох

А В1 С

Шешуі: a  x  c , х= ab ,
xb bc

BA1= a- ab = ab  ac  ab = ac ,

bc bc bc

AO:A1O=c: ac = c(b  c)  b  c  (b  c) :a д.к.о
bc ac a

9. Үшбұрыштың екі медианасы перпендикуляр орналасқан, ma┴mb ,

үшбұрыштың қабырғалары: a, b, c

Дәлелдеу керек: 5с2= а2+в2

С АЕ2=ma2+mb2

c c 3c
АЕ=c+ 2 = 2
В1 2 А1
1 2в 2  2с 2  а 2
ma= 2

ma mb 1 2а 2  2с 2  в 2
mb= 2
О

А c c Сонымен,

В2 Е31

( 2 с)2= 4 (2в2+2с2-а2)+

10. Табаны АД болатын АВСД т1рапециясы берілген. М нүктесі А және В
төбелеріндегі сыртқы бұрыы+шқ4штаа(м2рады2а+сн2асық2-дbңә2)лбоеислыдснесуыектрисаларының қиылысу

нүктесі, ал N нүктесі С жәкнеереДгі штыөғабдеыл: еріндегі сыртқы бұрыштарының 84

5с2= а2+в2

Ерканат Камысбаевич Каримов

биссектрисаларының қиылысу нүктесі. МN кесіндісі трапеция
периметрінің жартысына тең екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу керек MN= AB  BC  CD  DA

2

P= AB  BC  CD  DA

ВС

М FN
E

Шешуі: А D

∆АВМ -тік бұрышты үшбұрыш, себебі ішкі тұстас бұрыштардың
биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады.

Тікбұрышты үшбұрыштың тікбұрышының медианасы гипотенузаның

жартысына тең.

ME= AB сол сияқты FN= CD EF= BC  AD

2 22

ME+EF+FN= AB + BC  AD + CD = P

2 2 22

11.Берілгені: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары және
а+в+с=2

Дәлелдеу керек: а2 +в2 +с2 <2(2-авс) екендігін.

Дәлелдеу жолы: а,в,с- үшбұрыштың қабырғалары болғандықтан, мына 85

а  b  c

теңсіздіктер тура болады: b  c  a бағандап көбейтуге болады, өйткені а>0

a  c  b

в>0 с>0
(а+в)(в+с)(а+с)>авс
(ав+ас+в2 +вс)(а+с)=а2в+а2с+ав2+авс+авс+ас2+в2с+вс2>авс
ав(а+в+с)+ас(а+в+с)+вс(в+с-а)>0
в+с=2-а болғандықтан 2ав+2ас+вс(2-а-а)>0

Ерканат Камысбаевич Каримов

2ав+2ас+вс(2-2а)>0 a  b  c2  a2 2 c2  2ab  2bc  2ac  4 бұдан 2ав+2вс+2ас=4-

b

 a2 b2  c2 4-(а2+в2+с2 )>2авс 4-2авс>а2+в2+с2 2(2-авс)> а2+в2+с2 д.к.о

12.Берілгені: кез-келген а,в,с-теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті
дәлелдеңдер:
ав+вс+ас≥ 3авс(а  в  с)

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын авс-ға бөлуге болады, себебі берілгені
бойынша а ,в, с - оң сандар.

1  1  1 ≥ 3(a  b  c) 1  1  1 ≥ 3( 1  1  1 ) теңсіздіктің екі жағын
cba abc abc bc ab ac

квадраттаймыз, сонда теңсіздік мынадай түрге келеді:

1  2 1 221≥333

a 2 ab b2 ac bc c2 ab bc ac

1  1  1 ≥ 1  1  1 теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтіп, айырманың

a 2 b2 c2 ab bc ac

квадратына келтіреміз.
1  1  1  1 1 1≥222

a 2 a 2 b2 b2 c 2 c 2 ab bc ac

( 1  1)2  (1  1)2  ( 1  1)2 ≥0 д.к.о.

ab bc ac

13.Диаметрі d-ға тең дөңгелекте өзара перпендикуляр АВ және CD
хордалары жүргізілген. AC2+BD2=болатынын дәлелдеу керек.

C B
E

А

Шешуі: AD2=AE2+ED2 D SABD= AB  BD  AD
SABD= AB  DE 4R
86
2

Ерканат Камысбаевич Каримов

AB  DE = AB  BD  AD  DE  BD  AD
2 4R 2R

SACD= CD  AE SACD= AC CD  AD
4R
2

CD  AE = AC  CD  AD  AE  AC  AD
2 4R 2R

AD 2  AE 2  ED 2   AC  AD 2   BD  AD 2  AC 2  AD2  BD2  AD2
 2R   2R  4R2 4R2

 4R2  AD2  AD2 AC2  BD 2

Бұдан AC2  BD2  d 2 шығады.

14.Есептеңдер: 2  22  3  24  4  24  5  25.........  10  210 

Шешуі: Қосылғыштарды бағандап жазамыз, сонда әрбір жол геометриялық

прогрессияның қосындысы болады.

22+23+24+25+26+27+28+29+210

22+23+24+25+26+27+28+29+210

23+ ..............................+210

24+.........................+210

..........................

......................

29+210

210

 S  22 29 1  211  22 S2  211  23 S3  211  24 т.с.с. S9  210 2 1  211  210 Бәрін
2 1

     қосамыз, сонда 211  22  211  22  211  23 ...  211  210  10  211  2 22  23  214...  210 
     10  211  22  22  23 ...  210  10  211  4  211  4  9 211

Жауабы: 9  211

15.Берілген x  2  2y y  2  2z z  2  2x теңдіктерін

x yz

қанағаттандыратын барлық x,y,z нақты сандарын тап.

  2  2y Жүйедегі теңдіктерді бағандап қосамыз, сонда
x x

 2
 y  y  2z x  y  z  2   1  1  1   1 x  y  z  1  1  1   0
x y z 2 x y z


z  2  2x
z

Жүйенің теңдіктерін 2-ге бөлеміз, сосын квадраттаймыз, айырманың 87

квадратына келтіреміз де түбірін табамыз.

Ерканат Камысбаевич Каримов

x  1  y x2 2 x  1  1  y2 1 2 x  1  x2  y2 2
 x 2x x2 2x 4
 2  4  x 2
 
y 1  y 2  1
  y  z  2 y  1  1 z2 2 1  y y2  z2
 2 4 2y y2   y2  4 2
 y 2

z  1  x  z 2 2 z 1 1  1 21  z  z2
 2 z  2z z2  z2 4
 4   x2  z 2  x2 2

1  x  y2 2
 2
 x

1  y  z2 2

y 2
1
 z  z  x2  2
2

Жүйенің теңдіктерін бағандап қосайық

 1  1  1   1 x  y  z  y2 2  z2 2  x2  2
x y z 2

Теңдіктің сол жағы нөлге тең, олай болса оң жағы да нөлге тең болады

y 2  2  z 2  2  x2  2  0 бұл теңдік орындалуы үшін x  y  z  2 шарты
орындалуы қажет.

16.АВС үшбұрышында ABC  2 ACB теңдігі орындалады.
AB  BC < 2 AC екендігін дәлелдеңдер.

B

αα

ca

А b-x D α
xC

Биссектрисаның қасиеті бойынша DC табамыз: x  DC  ab 88

ac

∆BDC-тең бүйірлі, өйткені

DBC  DCB  

Ерканат Камысбаевич Каримов

Үшбұрыштың қабырғаларының теңсіздігі бойынша: BD  DC >а

2  ab >а 2ав> a  c a

ac

2в> а+с 2  AC > AB  BC

17.Нақты х және у сандары келесі шарттарды қанағаттандырады:

Ондаx2  xy  y2  4 x6  x3y3  y6 натурал сан екенін дәлелдеңіз және оны
 4 x2 y2 y4
x    8

табыңыз.

Шешуі  x  y x2  xy  y2  4 x  y

 x3  y3  4x  y

     x2  y2  x4  x2 y2  y4  8 x2  y2

 x6  y6  8  x2  y2

     x3  y3  x3  y3  8 x2  y2  x3  y3  2x  y
4 
x3  y3  x y

 x  y x2  xy  y 2  2x  y  x2  xy  y 2  2

  x 2  xy  y2  4  2x2  2y2  6 x2  y2  3
  xy  y2  2
x 2

 xy  4  x2  y2  4  3  1 xy  1 x  1
y

   x 6  x3 y 3  y 6  x 6  y 6 1  x 2 3  y 2 3 1 
    x 2  y 2  x 4  x 2 y 2  y 4 1  3 7 11  19

Сонымен, x6  x3 y3  y6  19 д.к.о.

18.Қай сан үлкен?

20082006  2006 2008.....2007 22007

Шешуі: 2007=a деп алсақ, a  1 a1  a 1a1.....a2a

a 1a  a 1a  a 1.....a 2a

a 1

 a2 1 a a 1 .....a2a
a 1

a  1 ..... a 2  a a 1 <1 және a2 >1
a  1
a 2  1 a 1 a2 1

Сонымен, <20082006  2006 2008 22007 д.к.о. 89

Ерканат Камысбаевич Каримов

19.1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары
өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтардың саны
жұп болатынын дәлелде.
Шешуі: Тақ сандар мен жұп сандар тізбегін айырып аламыз, екеуі де

арифметикалық прогрессия болады.

1+3+5+......+125+127=Sт

2+4+6+......+124+126=Sж

127  1  2(n - 1)  n  64 қосындысын табамыз:
126   63
2  2n - 1  n

St  1  127  64  128  64  64  64;
2 2

Sж  2  126  63  128  63  64  63

22

Сонымен, екі сандар тобы пайда болды. Тақ сандардың қосындысы жұп

сандардың қосындысынан 64-ке артық, екі қосындыны теңестіру үшін 32 санын
жұп сандарға қосу қажет. Сонда екі топтың қосындысы теңеседі:

64  64  32  64  63  32

322  64 1  32  2  63 1

32 127  32 127

Өзара тең екі топтан өзара тең бірнеше топтар құрастыруға болады, олардың

саны жұп болады.

20.Дәлелдеңдер: 1  1  1  1  .....  1  1 2
2345 999 1000 < 5

1  1  1  1  1  1  1  ......  1  1 < 1
4 6 8 10 12 14 16 2  999 2000 5

1  1  1  1  .....  1  1 1  n  500
4 8 12 16 2000 4n

  1  1  1  ......  1    1 2
 6 10 14 2  999  4n 

1  1 2  4n  2  4n  4n  2  1  4n 1  1  1 n  1 болғанда 1  1
4n 4n  5
4n4n  2 22n  2n 12 5

90

Ерканат Камысбаевич Каримов

ayz  zx  xy  xyz xyz≠0 болсын,
21.Теңдеулер жүйесін шешіңдер. bzx  xy  yz  xyz

cxy  yz  zx  xyz

1  1  1  1
 y z a
 x

жүйенің теңдеулерін xyz-ке бөліп мынадай жүйе аламыз: 1  1  1  1
 x z b
 y

1  1  1  1
 x y c
 z

  1  1  1   1  1  1;
x y z a b c
бағандап қоссақ мынау шығады:

1  1  1   1  1  1 
x y z a b c

Шыққан теңдеуді (1) жүйенің әрбір теңдеуімен қоссақ мынадай жүйе аламыз:

22. Офисте жұмыс істейтін 94 қызметкердің әрбіреуі әлде қазақша, әлде
орысша біледі. Қазақша сөйлейтіндердің 70%-і
орысша біледі, ал орысша сөйлейтіндердің 80%-
і қазақша біледі.Офисте қанша қызметкер екі
тілде сөйлейді?

0,3х 0,7х 0,2у Шешуі:

0,8у

0,7x  0,8y 0,7 x  94  x  80
0,3x  0,2 y 

80 қызметкер қазақ тілін біледі, 80∙0,7=56 қызметкер екі тілде сөйлейді.
23. Иесі кодты дипломатты ашатын үш цифрды ұмытып қалды, (000-999). Бірақ
ол үш цифрдың қосындысы 15-ке тең екендігін біледі. Дипломатты ашу
мүмкіндігінің ең аз саны қанша?
Шешуі:

069 078 159 168 177 294 285 276 555 393 384 375 366 447 456 91
666636661366336

Дипломатты ашу мүмкіндігінің ең аз саны: 73
24.116 + 146 – 133 өрнегінің мәні 10-ға еселік екенін
Дәлелдеңде

Ерканат Камысбаевич Каримов

25.Төрт таңбалы санның бірінші цифры 7 . Егер осы цифрды соңғы орынға
қойса, алғашқы саннан 864-ке аз сан шығады. Сол санды табыңдар.

26.Мүмкіндігінше жеңіл жолмен қосындыны есептеп шығарыңдар:

66 6 6 6 6 6 6
5 ∗ 7 + 7 ∗ 9 + 9 ∗ 11 + 11 ∗ 13 + 13 ∗ 15 + 15 ∗ 17 + 17 ∗ 19 + 19 ∗ 21

27.Амалдарды орындаңдар:

(0,666 … + 31) : 0,25 + 12,5 ∗ 0,64
0,12333 … ∶ 0,0925

28.Балалардың анасы 40 жаста . Оның екі баласының жастарының

қосындысы 28-ге тең. Қанша жылдан кейін анасының жасы

балаларының жасының қосындысына тең болады.

29. У =х3 − 7,5х2 + 18х + cos − √3 + 2 + 2 функциясының
3

[0; 5] кесіндісіндегі ең кіші мәнін табыңыз.

2

30.12-ге бөлінетін , бірақ 18-ге бөлінбейтін барлық үш таңбалы сандардың

қосындысын табыңыз.

31.Теңсіздікті шешіңіз:

√х2 + х + 10 − √х2 + х + 3 ≥ 1

32.969 + 6969 өрнегі 44-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.
33.Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10см болатын үшбұрышты

дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз
34. Есептеңіз: tg 90 – tg 630 + tg810 – tg 270
35.Өрнекті ықшамдаңыз:

х−6 + х−4 + х−2

х2 + х4 + х6
36.Арифметикалық прогрессияның алғашқы 15 мүшелерінің қосындысы

225-ке тең , ал екінші мүшесі 3-ке тең. Осы прогрессияның 3-ші мен 5-
ші мүшелерінің қосындысын табыңыз.

х+1 + у+1 = −3
37. Егер х , у келесі { х у теңдеулер жүйесінің шешімі болса,

х+у+1 = 1
ху

онда 12ху+6(х+у) өрнегінің мәнін есепте. 92

Ерканат Камысбаевич Каримов

38.9045және 2865 сандарының қайсысы үлкен.
39.Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:

{(5х (2х + 1)(х + 4) − 3х(х + 2) <0 27
+ 2)(х − 1) − (2х + 1)(2х − 1) <

40. x+у+z=1 , 1 + 1 + 1 = 0 болса , онда х2 + у2 +



2 өрнегінің мәні неге тең.

41. Екі бидонда 70 л сүт бар. Егер бірінші бидоннан екінші бидонға 12,5 %

сүтті құйсақ , онда екі бидондағы сүт бірдей болады. Бірінші бидонда

неше литр сүт болған.

42.АВС үшбұрыш төбелері А (-2;3) , В (3;-4) ,С (1;2) болса А төбесінің

медианасының ұзындығын табыңыз.

43.1110 − 1 өрнегі 100-ге бөлінетінін дәлелдеңдер

93

Ерканат Камысбаевич Каримов

Қолданылған әдебиеттер 94

1. Аймағамбетова Б. Көңілге қонған көрнекілік / Б. Аймағанбетова //
Бастауыш мектеп. - 1989. - № 8.-14-17 бет.

2. Акпаева А. Б., Лебедева. Л.А .Қарапайым математикалық түсініктерді
қалыптастыру. Алматыкітап баспасы .2012жыл

3. Александрова .О. Математика для малышей Москва 2012
4. Артемова Л.В. Дидактикалық ойындар. – М 1992
5. Әлімтаева Б. Жаңа технология математика сабағында
6. Әлдібаева Т. «Математика» білім саласы бойынша күтілетін нәтижелер
7. Әбілқасымова, А .Е. Төлеубаева С.Қ. «Математика сабағында ұлттық

ойындар мен түрлі жанрларды қолдану» Астана 2005жыл
8. Бантова М.А. Бастауыш кластарда математиканы оқыту методикасы /

М.А. Бантова .- Алматы: Мектеп, 1978
9. Баржықпаева С. Көрнекілікті тиімді пайдалану / С.Баржықпаева //

Бастауыш мектеп.- 1991.-№ 8.- 46-48 бет.
10.Глейз Г.И. «Мектептегі математика тарихы»Алматы «Мектеп»1985жыл
11.Еркінбекова Б.Жаңа педагогикалық технологияны математика

сабағында қолдану.
12.Жұмаділдаева. .Ұ. Сандарға саяхат. Алматы 1997жыл
13.Жигалкина Г.К. «Математикадан ойындар мен қызықты тапсырмалар»

Мектеп 1987жылы
14.Қосанов Б. М.. Математикадан дидактикалық ойындар және қызықты

жаттығулар .Алматы 1998жыл
15.Құралұлы. А. Ұлттық дүниетаным 2002жыл
16.Мәжитқызы .Р .Қызықты математика – А1996
17.Никитин Б. П. Балабақшадағы математика – М; 2003
18.Оспанов. Т.Қ. Математика оқыту әдістемесі Алматы 1997жыл
19.Рсалина Ж.. Мектепке дайындық .2007жыл
20.Сансызбайқызы М. Балдырғандарға арналған қызықты математикалық

тапсырмалар . – А; «Рауан »1993
21.Тағаева К.Математика сабағында дамыта оқыту әдістерін пайдалану
22.Тұяқов,Е. Математиканы модульдік технологиямен оқыту : Оқыту

әдістемесі/
23.Шәмшиева Г. Сабақтан тыс жұмыстардың берері көп Қазақстан мектебі.

– 2001 №2 – 45 б.

Ерканат Камысбаевич Каримов

Мазмұны Беті
7
Тақырыптары 12
«Қолданбалы есептерді шешу» курсына кіріспе 21
Математикалық ұғымдар 31
Математиканың даму тарихы 38
Ұлы математиктер 45
Қазақтың математика саласы бойынша алғашқы ғалымдары 46
Пайызға берілген есептер 47
Қозғалысқа берілген есептер 52
Экологиялық есептер 62
Тарихи есептер 67
Проблемалық есептер 83
Логикалық есептер
Математикадан аудандық, облыстық, республикалық, 94
халықаралық олимпиадалардың есептері
Қолданылған әдебиеттер

95

Ерканат Камысбаевич Каримов


Click to View FlipBook Version