แคลคูลัสครูซัลมาน

ห น้ า | ก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม 7 (ค33207) ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 6
เรื่อง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟังก์ชัน ซ่ึงเป็นส่วนหนง่ึ ของหนว่ ยการเรยี นรู้เรื่อง แคลคลู ัสเบ้ืองตน้
ประกอบด้วยแบบฝึกทักษะท้ังหมด 10 เล่ม ดังน้ี

เลม่ 1 ลมิ ติ ของฟังกช์ นั
เลม่ 2 ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั
เลม่ 3 ความต่อเน่ืองของฟงั กช์ นั
เล่ม 4 อัตราการเปลยี่ นแปลง
เล่ม 5 อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั
เล่ม 6 การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั โดยใชส้ ตู ร
เลม่ 7 การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันประกอบ
เลม่ 8 ความชนั ของเสน้ โค้ง
เล่ม 9 อนุพนั ธอ์ นั ดับสงู
เลม่ 10 การประยุกตข์ องอนุพันธ์
โดยในแบบฝกึ ทักษะแต่ละเล่ม ประกอบดว้ ยผลการเรยี นรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ทีค่ รอบคลุม
ท้งั ดา้ นความรู้ ด้านทกั ษะกระบวนการและดา้ นคุณลกั ษณะ ซง่ึ กิจกรรมของแบบฝึกทกั ษะแตล่ ะเล่ม
เสรจ็ สมบรู ณ์ในตัวเอง ผเู้ รียนสามารถใช้ได้ด้วยตนเอง
สาหรับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จัดทาขึ้นเพื่อใช้

ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 6-8 เร่ือง ความต่อเนื่องของฟังกช์ นั มีจุดมุ่งหมายเพ่ือให้นักเรียน

สามารถบอกได้วา่ ฟงั กช์ นั ที่กาหนดใหเ้ ปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองหรือไม่ อีกท้ังยังเปน็ แนวทางในการปฏริ ูป

กระบวนการจัดการเรียนรู้ที่เน้นผเู้ รยี นเป็นสาคัญ ส่งเสริมผู้เรียนได้ฝึกทกั ษะทางคณิตศาสตร์และแสวงหา

ความร้ดู ว้ ยตนเอง อันจะทาใหผ้ ู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจในเนอ้ื หามากย่งิ ขึ้น เกดิ ความคงทน

ในการเรยี นรู้และสามารถนาความรทู้ ่ีไดร้ ับไปประยุกต์ใช้ในชวี ิตประจาวนั ได้อย่างมปี ระสิทธิภาพ

ผู้จดั ทาหวงั เป็นอย่างย่ิงวา่ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เลม่ นี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียน

การสอนคณิตศาสตร์ การค้นคว้าหาความรู้ของนักเรียนและเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจ เพ่ือนครูและ

วงการศกึ ษาต่อไป

พนารัตน์ รอดภยั

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลมิ ิตและอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั เล่ม 3 ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชนั

คานา ห น้ า | ข
สารบัญ
คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์สาหรับครผู ้สู อน หน้า
คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์สาหรบั ผเู้ รยี น ก
ผลการเรียนรู้ ข
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ค
สมรรถนะสาคัญของผ้เู รยี น ง
ลาดบั ขน้ั ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรส์ าหรับผู้เรียน จ
สาระสาคญั จ
แบบทดสอบก่อนเรยี น จ
กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรียน ฉ
ยังจาไดไ้ หม ช
ใบความรู้ 3.1 ความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 1
แบบฝึกทกั ษะ 3.1 4
ใบความรู้ 3.2 ความต่อเน่อื งของฟงั กช์ นั (ตอ่ ) 5
แบบฝกึ ทกั ษะ 3.2 6
ใบความรู้ที่ 3.3 ความต่อเนื่องบนชว่ งของฟงั กช์ ัน 12
แบบฝึกทักษะท่ี 3.3 22
แบบทดสอบหลังเรยี น 24
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน 29
แบบบนั ทกึ คะแนนแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลังเรยี น 33
แบบบันทกึ ความก้าวหนา้ ของแบบฝึกทกั ษะ 38
บรรณานกุ รม 41
ภาคผนวก 42
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 43
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 44
เฉลยแบบฝึกทักษะ 3.1 46
เฉลยแบบฝึกทักษะ 3.2 47
เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 3.3 48
49
57
61

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | ค

1. ศกึ ษาแผนการจดั การเรยี นรู้และการใชแ้ บบฝึกทักษะ
2. ศึกษาและทาความเขา้ ใจเนอื้ หา จุดประสงค์การเรยี นรู้และการดาเนินการสอน เพอ่ื ให้การจดั
กจิ กรรมการเรยี นร้เู ปน็ ไปตามลาดบั ขั้นตอน
3. ให้นักเรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรียน
4. ดาเนินกจิ กรรมการเรยี นรู้
5. ให้คาแนะนาและความชว่ ยเหลอื นกั เรยี นเมื่อมปี ัญหา ตามความเหมาะสมกบั ความสามารถและ
ศักยภาพของนักเรยี นท่ีแตกต่างกนั
6. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน
7. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ น้ใี ช้เวลาในการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอน 3 ชวั่ โมง

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั

ห น้ า | ง

1. ศึกษาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ เพ่ือให้ทราบว่านักเรยี นต้องรู้และปฏิบัติส่ิงใดบ้างหลังจาก
จบบทเรียนแลว้
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพ่ือตรวจสอบความรู้เดิมในเร่ืองที่เรียน จากน้ันตรวจคาตอบ
จากเฉลยในภาคผนวกท้ายเล่มและบันทึกคะแนน
4. ศึกษาเนื้อหาและตัวอย่างให้เข้าใจ แลว้ ทาแบบฝึกทักษะตามลาดับข้ันตอน
5. หากไม่เข้าใจหรือมีปัญหา นักเรียนสามารถปรึกษาและแลกเปล่ียนองค์ความรู้
6. ทาแบบทดสอบหลังเรียนแล้วตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวกท้ายเล่มและบันทึกคะแนน
แล้วเปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบก่อนเรียน
7. หากยังมีข้อสงสัยและไม่เข้าใจให้กลับไปทบทวนบทเรียนจากแบบฝึกทักษะอีกคร้ัง
8. นักเรียนควรซื่อสัตย์ต่อตนเอง โดยไม่เปิดดูเฉลยระหว่างศึกษาแบบฝึกทักษะ เพ่ือนักเรียน
จะได้พัฒนาการเรียนรู้ของตนเองอย่างเต็มความสามารถ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | จ

บอกได้วา่ ฟังก์ชนั ทกี่ าหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองหรือไม่

ดา้ นความรู้
1. บอกไดว้ ่าฟงั ก์ชันทก่ี าหนดให้เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองท่ี x = a หรอื ไม่
2. เมือ่ กาหนดฟังกช์ ันต่อเนื่องให้ สามารถหาคา่ ของฟงั กช์ นั ณ จดุ ที่กาหนดให้ได้
3. บอกได้วา่ ฟงั ก์ชนั ใด ๆ ต่อเนอ่ื งบนช่วงที่กาหนดใหห้ รือไม่

ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
1. การแก้ปัญหา
2. การใหเ้ หตผุ ล
3. การสื่อสาร การส่อื ความหมายทางคณิตศาสตรแ์ ละการนาเสนอ

ด้านคุณลักษณะ
1. มคี วามซ่ือสัตย์ สุจรติ
2. มีวนิ ยั
3. ใฝเ่ รียนรู้
4. มงุ่ ม่ันในการทางาน

1. ความสามารถในการสื่อสาร
2. ความสามารถในการคดิ
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเน่อื งของฟังก์ชนั

ห น้ า | ฉ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมติ และอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | ช

สาระสาคัญ

ถา้ lim f(x) = f(a) และกราฟของฟงั กช์ นั ไมข่ าดตอนที่ x = a
xa

ในลักษณะเชน่ นเี้ รียกฟังก์ชนั f ว่าเป็นฟังกช์ ันต่อเนอื่ งที่ x = a

ให้ f เปน็ ฟังก์ชันซ่ึงนยิ ามบนช่วงเปดิ (a, b) และ c  (a, b) จะ
กล่าวว่า f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งท่ี x = c ก็ตอ่ เมอื่

1. f(c) หาค่าได้
2. lim f(x) หาค่าได้

xa

และ 3. f(c) = lim f(x)
xa

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั เลม่ 3 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 1

รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 7 (ค33207) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6

เรื่อง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน เล่ม 3 ความตอ่ เน่อื งของฟงั กช์ นั

*********************************************************************************************

คาชแี้ จง 1. แบบทดสอบชุดนมี้ ที งั้ หมด 10 ข้อ ใชเ้ วลา 15 นาที

2. ให้นักเรยี นทาเครอื่ งหมาย X ลงในชอ่ งตัวเลือกในกระดาษคาตอบทีเ่ หน็ ว่าถูกทส่ี ดุ

*********************************************************************************************

1. ถ้าฟงั กช์ ัน f ตอ่ เน่ืองท่ี x = c แลว้ ขอ้ ใดถูกต้อง

1. f(c) หาค่าได้

2. lim f(x) หาคา่ ได้
xc

3. f(c) = lim f(x)
xc

ก. ข้อ 1 และ ขอ้ 2 ถกู ข. ขอ้ 1 และขอ้ 3 ถูก

ค. ข้อ 2 และขอ้ 3 ถูก ง. ขอ้ 1 ข้อ 2 และข้อ 3 ถูก

2. ถ้า f(x) = 3x – 4 ข้อใดถูกตอ้ ง
ก. f ต่อเนอื่ งที่ x = 2 แตไ่ ม่ตอ่ เน่อื งท่ี x = -2
ข. f ตอ่ เน่ืองที่ x = -2 แตไ่ ม่ต่อเน่ืองที่ x = 2
ค. f ต่อเนื่องที่ x = 2 และ x = -2
ง. f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = 2 และ x = -2

3. ถ้า f(x) = x2- 1 ;x1
x-1 ข้อความใดกล่าวถกู ต้อง

4 ; x=1

1. lim f(x) หาคา่ ได้ ข. ขอ้ 1 และข้อ 3 ถูก
x1 ง. ข้อ 1 ขอ้ 2 และข้อ 3 ถกู

2. f(1) หาคา่ ได้
3. f ตอ่ เน่ืองที่ x = 1

ก. ขอ้ 1 และ ขอ้ 2 ถกู
ค. ขอ้ 2 และข้อ 3 ถูก

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน เลม่ 3 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั

ห น้ า | 2

4. f(x) = x-1 ตอ่ เน่อื งทจ่ี ุดใด
x2+ x
ก. x = -1 ข. x = 0
ง. ถูกท้ังข้อ ก และข้อ ข
ค. x = 1

5. f(x) = -x2 ไม่ต่อเนื่องทีจ่ ุดใด ข. x = -1
2x + 4 ง. x = 2

ก. x = -2
ค. x = 0

6. ถ้า f(x) = x2- x ; x0
2x x=0
k;

ค่า k ที่ทาให้ f(x) เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง (-,) คอื ข้อใด

ก. - 1 ข. - 1
4 2
ค. 1 ง. 1
42
1
3x + 1 ; 0<x<1

7. ถ้า f(x) = 1 ; x=1 ข้อใดถูกต้อง

2- 5-x ; x>1
x-1

ก. f ต่อเนอ่ื งท่ี x = 1 แตไ่ ม่ตอ่ เน่อื งที่ x = 3
ข. f ตอ่ เน่อื งท่ี x = 1 และ x = 3
ค. f ไมต่ ่อเนอ่ื งท่ี x = 1 แต่ต่อเนอ่ื งท่ี x = 3
ง. f ไมต่ อ่ เนื่องท่ี x = 1 และ x = 3

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั

ห น้ า | 3

8. กาหนดให้ f(x) = x-8 เมอ่ื x  8 ถ้า f เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองท่ี x = 8
3 x -2
f(8) มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 8 ข. 10

ค. 12 ง. 20

9. กาหนดให้ f(x) = x - 3 แล้ว ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบนชว่ งใด

ก. (0 , 2] ข. (- , 3)
ค. (3 , ) ง. [3 , )

10. กาหนดให้ f(x) = 1 ; x 5 แล้ว ฟงั กช์ ัน f ต่อเน่ืองบนช่วงใด
3 ; x=5

ก. (0 , 5] ข. (- , 5)  (5 , )
ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเนือ่ งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 4

ขอ้ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 5

คาตอบขอ้ หนง่ึ -1 ยงั จาไดไ้ หม
8
เราทบทวนการหาลมิ ติ ของฟงั กช์ นั โดยใชท้ ฤษฎบี ทกันดกี วา่

ได้ซิ ตง้ั คาถามมาเลย

ข้อหน่งึ lim (x2 + 3x - 5) มคี ่าเทา่ ไร
x 1
ข้อสอง lim x2 - 1 มคี า่ เทา่ ไร
x1 x - 1

ข้อหนึ่ง………………………………………..
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

ข้อสอง……………………………………….. คาตอบ ้ขอสอง 2
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 6

บทนิยาม ให้ f เป็นฟงั กช์ นั ซึ่งนิยามบนช่วงเปิด (a, b) และ c  (a, b)

จะกล่าววา่ f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนือ่ งที่ x = c กต็ อ่ เม่อื

1. f(c) หาคา่ ได้
2. lim f(x) หาค่าได้

xc

และ 3. f(c) = lim f(x)
xc

หมายเหตุ จากบทนยิ ามข้างต้น ถ้าฟังกช์ นั f ขาดสมบัติขอ้ ใดข้อหนึ่งแลว้ ฟงั กช์ ัน f เป็น

ฟังกช์ ันไม่ต่อเนอ่ื งที่ x = c

ตัวอย่างท่ี 1 จงพจิ ารณาวา่ f(x) = x2 + 1 เปน็ ฟังก์ชันต่อเนือ่ งท่ี x = 2 หรอื ไม่

วธิ ีทา จาก f(x) = x2 + 1 (สมบตั ิข้อ 1 f(x) หาคา่ ได)้
จะได้ f(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
และ lim f(x) = lim (x2 + 1) (สมบัติขอ้ 2 lim f(x) หาค่าได้)
x2
x2 x2
(สมบัตขิ อ้ 3 f(x) = lim f(x) )
= 22 + 1 x2
=5

นน่ั คือ f(2) = lim f(x)
x2

ดงั น้นั ฟงั ก์ชัน f ต่อเน่อื งท่ี x = 2

การพิจารณาว่าฟงั ก์ชัน f ต่อเนือ่ งท่ี c หรอื ไม่ จะต้องตรวจสอบว่าฟงั ก์ชนั f
มสี มบัติครบตามเงือ่ นไขท้งั สามข้อหรอื ไมน่ นั่ เอง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 7

ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้ f(x) = 1 จงพิจารณาวา่ ฟงั ก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = -2 หรือไม่
x+2

วิธีทา จาก f(x) = 1
x+2

จะได้ f(-2) = 1
(-2) + 2

= 1
(-2) + 2

= 1
0

นัน่ คือ f(-2) หาค่าไมไ่ ด้

ดงั นน้ั ฟงั กช์ ัน f ไมต่ อ่ เนื่องที่ x = -2

ตวั อย่างท่ี 3 จงพจิ ารณาว่า f(x) = 1 เป็นฟงั ก์ชันต่อเนื่องที่ x = -1 หรอื ไม่
x2+ 1

วธิ ีทา จาก f(x) = 1
x2+ 1
1
จะได้ f(-1) = (-1)2 + 1

= 1 (สมบัตขิ ้อ 1 f(x) หาคา่ ได้)
2

และ lim f(x) = lim x 1 1
x-1 2+
x-1

= 1 lim f(x) (สมบัตขิ อ้ 2 lim f(x) หาคา่ ได้)
นน่ั คือ f(-1) 2 x2
= x-1
(สมบตั ิข้อ 3 f(x) = lim f(x) )
x2

ดังนั้น ฟังก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งท่ี x = -1 เลม่ 3 ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชนั

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั

ห น้ า | 8

ตัวอย่างที่ 4 x ; x < -2
2x ; x  -2
กาหนดให้ f(x) =

จงพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั f ตอ่ เน่อื งที่ x = -2 หรอื ไม่

วธิ ีทา x ; x < -2
จาก f(x) =
2x ; x  -2

เนอ่ื งจาก x = -2 จึงพิจารณา f(x) = 2x ; x  -2

จะได้ f(-2) = 2(-2) = -4 (สมบตั ิข้อ 1 f(x) หาคา่ ได้)

เน่ืองจาก lim f(x) = lim x = -2
x -2- x -2-

และ lim f(x) = lim 2x = -4
x -2+ x -2+

จะไดว้ ่า lim f(x)  lim 2x
x -2- x -2+

นั่นคอื lim f(x) หาค่าไม่ได้
x -2

ดงั นนั้ ฟังก์ชัน f ไมต่ ่อเนื่องที่ x = -2

ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ ff(x(x)) == x2- x - 6 ;x  3
x-3 ;x=3

5

จงพิจารณาว่า ฟังก์ชัน f ตอ่ เนอื่ งที่ x = 3 หรอื ไม่

วิธีทา จาก f(x) = x2- x - 6 ;x  3
x-3
5 ;x=3

เน่ืองจาก x = 3 จงึ พจิ ารณา f(x) = 5 ; x = 3

จะได้ f(3) =5 (สมบัติข้อ 1 f(x) หาค่าได้)

และ lim f(x) = lim x2 - x - 6
x 3 x3 x - 3

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 9

= lim (x - 3)(x + 2)
x3 x - 3
=
lim (x + 2)
=
x3
จะได้วา่ lim f(x) =
5 (สมบตั ขิ ้อ 2 lim f(x) หาคา่ ได)้
x 3 x2

f(3) (สมบตั ขิ อ้ 3 f(x) = lim f(x) )
x2

ดังนั้น ฟังกช์ นั f ต่อเนื่องท่ี x = 3

ตวั อยา่ งที่ 6 x-2 ;x  2
กาหนดให้ f(x)f(x=) = x-2

0 ;x=2

จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั f ต่อเน่อื งท่ี x = 2 หรือไม่

วิธีทา x-2 ;x  2
จาก f(x) = x-2 ;x=2
0

เนอื่ งจาก x = 2 จงึ พจิ ารณา f(x) = 0 ; x = 2

จะได้ f(2) = 0 (สมบัตขิ ้อ 1 f(x) หาคา่ ได้)
-1 ----------(1)
เนอ่ื งจาก lim f(x) = lim x - 2 =
x 2- x2- - (x - 2) 1 ----------(2)

และ lim f(x) = lim x - 2 =
x 2+ x2+ x - 2

จาก (1) และ (2) จะเหน็ ว่า lim f(x)  lim f(x)
x 2- x 2+

นั่นคอื lim f(x) หาค่าไม่ได้
x -2

ดงั นนั้ ฟงั ก์ชนั f ไมต่ ่อเนื่องท่ี x = 2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 3 ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั

ห น้ า | 10

ตัวอย่างที่ 7 2x + 1 ; x < 3

กาหนดให้ f(x) = 3 ; 3  x<5

x-2 ; x  5

จงพจิ ารณาว่าฟังกช์ นั f ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 3 และ x = 5 หรือไม่

วธิ ที า 2x + 1 ; x < 3

จาก f(x) = 3 ; 3  x<5

x-2 ; x  5

พจิ ารณาท่ี x = 3

เนื่องจาก x = 3 จึงพิจารณา f(x) = 3 ; x = 3

จะได้ f(3) = 3 (สมบัติข้อ 1 f(x) หาคา่ ได้)

เนอ่ื งจาก lim f(x) = lim (2x + 1) = 7 -----------(1)
x 3- x 3-

และ lim f(x) = 3 -----------(2)
x 3+

จาก (1) และ (2) จะเหน็ ว่า lim f(x)  lim f(x)
x 3- x 3+

นั่นคอื lim f(x) หาค่าไมไ่ ด้
x 3

ดงั นัน้ ฟงั ก์ชนั f ไม่ตอ่ เน่ืองท่ี x = 3

พิจารณาที่ x = 5

เนื่องจาก x = 5 จึงพิจารณา f(x) = x - 2 ; x = 5

จะได้ f(5) = 5 - 2

= 3 (สมบัติข้อ 1 f(x) หาคา่ ได้)

เนื่องจาก lim f(x) = 3
x 5-

และ lim f(x) = lim (x - 2) = 3
x 5+ x 5+

จะเหน็ ว่า lim f(x) = lim f(x) =3
x 5-
x 5+

น่ันคือ lim f(x) = 3 (สมบัติข้อ 2 lim f(x) หาคา่ ได)้
x 5 x2

เนอ่ื งจาก f(5) = lim f(x)

x 5

ดังนนั้ ฟงั ก์ชนั f ต่อเน่ืองที่ x = 5 (สมบตั ขิ ้อ 3 f(x) = lim f(x) )
x2

สรุปไดว้ า่ ฟังก์ชนั f ไม่ตอ่ เนอื่ งที่ x = 3 แต่ต่อเน่ืองท่ี x = 5

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนพุ ันธ์ของฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 11

ทฤษฎบี ท 1 ถ้า f และ g เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งที่ x = a แล้ว ไดว้ า่

1. f + g เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนื่องท่ี x = a

2. f - g เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี x = a

3. f g เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องท่ี x = a

4. f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ืองที่ x = a
g

เราทราบมาแล้วว่า ถ้า p(x) เปน็ ฟังกช์ ันพหุนามแลว้ สาหรบั จานวนจริง a ใด ๆ จะได้ว่า
lim f(x) = p(a) ดงั นนั้ จะได้ทฤษฎีบทดงั น้ี

x a

ทฤษฎบี ท 2 สาหรับจานวนจรงิ a ใด ๆ

ฟงั ก์ชนั พหุนาม p(x) เป็นฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งที่ x = a

ทฤษฎบี ท 3 ถ้า f เปน็ ฟงั ก์ชันตรรกยะ โดยที่ f(x) = p(x)
q(x)

เม่อื p(x) และ q(x) เป็นฟังก์ชันพหนุ าม แลว้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองท่ี x = a

เมอ่ื a เป็นจานวนจริงใด ๆ ซึ่ง q(a)  0

ตวั อยา่ งที่ 8 กาหนดให้ f(x) = x2- 9
x2 - 5x + 6
จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ ัน f ต่อเนือ่ งที่ x = 0 หรอื ไม่

วธิ ีทา จาก f(x) = x2- 9
x2 - 5x + 6
ให้ p(x) = x2 - 9 และ q(x) = x2 - 5x + 6

เนอ่ื งจาก p และ q เป็นฟงั กช์ นั พหุนาม และ q(0) = 6  0

จากทฤษฎบี ท 3 ดงั นนั้ f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x = 0

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 12

คาช้แี จง จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชันทกี่ าหนดให้ต่อไปน้เี ป็นฟงั กช์ ันตอ่ เน่ือง ณ จุดท่ีกาหนดให้หรือไม่
(ขอ้ ละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1. f(x) = x + 5 ; ท่ี x = 5

วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 13

2. f(x) = 1 ; ที่ x = 5
x+2

วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั เลม่ 3 ความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 14

x2- 4 ; x2 ที่ x = 2
3. f(x) = x - 2 ; x=2

4

วิธีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟังกช์ นั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 15

4. f(x) = x-1 ; ที่ x = 1
x-1

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 16

5. f(x) = x-3 ; ท่ี x = 3
x2- 9
วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมติ และอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 17

x2 - 36 x6
x-6
6. f(x) = ที่ x = 6

4 x=6
วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 3 ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 18

7. f(x) = x-1 ; x  1 ท่ี x = 1
x -1

2 ; x=1

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 19

x ; x2 ที่ x = 2
8. f(x) = x>2

2x

วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 20

3x - 2 ; x = 2

9. f(x) = ท่ี x = 2
x2- 4
x-2 ; x2

วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเนือ่ งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 21

10. f(x) = 0 ; x1 ท่ี x = 1 และ x = 2
1 ; 1<x  2
; x>2
x-1
3–x

วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 22

ตอ่ ไปเปน็ ตวั อย่าง กรณที โี่ จทยก์ าหนดเงื่อนไขของความต่อเนื่อง

ตวั อยา่ งท่ี 9 กาหนดให้ f(x) = x2- 1 ถา้ ฟังก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองที่ x = 1 แล้ว
x3- 1

f(1) เป็นมคี า่ เท่ากบั เทา่ ไร

วธิ ีทา เนอ่ื งจาก ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ี x = 1

แสดงว่า f(1) = lim f(x)
x1

พจิ ารณา lim f(x) = lim x2 - 1
x1 x3 - 1
x1

= lim (x (x - 1)(x + 1) 1)
- 1)(x2 + x +
x1

= lim (x (x + 1) 1)
2+ x +
x1

= 2
3

ดงั นั้น f(1) มคี ่าเท่ากับ 2 จงึ จะทาให้ฟังกช์ ัน f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งที่ x = 1
3

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมติ และอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน เลม่ 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ห น้ า | 23

ตวั อย่างที่ 10 f(x) = x-1 ; x  1
x -1
k ; x = 1 และ k  R

ฟงั ก์ชัน f จะเป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ งที่ x = 1 กต็ อ่ เม่อื k มีค่าเทา่ ไร

วธิ ีทา เน่ืองจาก ฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองที่ x = 1

และ f(1) = k x – 1 เขียนอกี รูปแบบหนง่ึ คือ
( x )2 - 12
แสดงว่า k= lim f(x)

วธิ ีท่ี 1 พจิ ารณา lim f(x) = x1
x1
lim x - 1
= x1 x - 1

 x 2 - 12

lim
x1 x - 1

= lim ( x - 1)( x + 1)
x1 x - 1

= lim ( x + 1) ใช้การแยกตัวประกอบ
x1
ใช้สงั ยคุ ของสว่ นทมี่ เี ครอื่ งหมาย
=2 กรณฑ์คูณทงั้ เศษและสว่ น
ดงั นน้ั k = 2 จงึ จะทาให้ฟังกช์ นั f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนื่องที่ x = 1

วิธีท่ี 2 พจิ ารณา lim f(x) = lim x - 1
x1 x - 1
x1

= lim (x - 1)  ( x + 1)
x1 ( x - 1) ( x + 1)

= lim (x - 1)( x + 1)
x1 x - 1

= lim ( x + 1) เลม่ 3 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชัน
x1

=2
ดังนั้น k = 2 จึงจะทาให้ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนื่องที่ x = 1

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน

ห น้ า | 24

คาชแ้ี จง จงแสดงวิธีทา (ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1. กาหนด f(x) = 3x2 - 10x + 3 ถา้ ฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ี x = 1 แลว้ f(1)

มคี ่าเท่าไร

วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมิตและอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั

ห น้ า | 25

2. กาหนด f(x) = x2 - 4x - 5 ถ้าฟังก์ชนั f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่ือง ที่ x = 5 แลว้ f(5)
x-5

มคี า่ เท่าไร

วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 26

3. กาหนดให้ f(x) = x+1-1 ; x  0
x

a ; x = 0 และ a  R

จงพจิ ารณาว่า ถ้าฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนือ่ งท่ี x = 0 แล้ว a มคี า่ เท่าไร

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเนือ่ งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 27

x2 + 2x - 15 ; x5
x-1
4. กาหนดให้ f(x) =

m2 + 1 ; x = 5 และ m  R

จงพจิ ารณาวา่ ถา้ ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่อื งที่ x = 5 แลว้ m มคี ่าเท่าไร

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน เล่ม 3 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 28

5. กาหนดให้ f(x) = ax ; x1
x–b ; x>1

จงพิจารณาวา่ ถ้าฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่อื งท่ี x = 1 แลว้ a + b มีค่าเทา่ ไร

วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเนือ่ งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 29

ความต่อเนือ่ งบนช่วง ตอ้ งพิจารณาตามเง่ือนไขต่อไปนี้

1. ฟังก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนื่องบนช่วง (a, b) กต็ อ่ เมื่อ f ตอ่ เนื่องทที่ ุก ๆ จดุ ในช่วง
(a, b)

2. ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนชว่ ง [a, b] กต็ ่อเม่ือ

2.1 ฟังก์ชัน f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องทีท่ ุก ๆ จดุ ในช่วง (a, b) และ

2.2 lim f(x) = f(a) และ lim f(x) = f(b)
xa+ xb-

3. ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องบนช่วง (a, b] กต็ ่อเมื่อ

3.1 ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งท่ีทุก ๆ จดุ ในช่วง (a, b) และ
3.2 lim f(x) = f(b)

xb-

4. ฟังก์ชนั f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง [a, b) ก็ตอ่ เม่ือ

4.1 ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนอื่ งทีท่ ุก ๆ จุดในช่วง (a, b) และ
4.2 lim f(x) = f(a)

xa+

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 30

ตัวอย่างที่ 11 กาหนด f(x) = 16 - x2
จงพิจารณาว่าฟงั กช์ ัน f ต่อเนือ่ งบนชว่ ง (-4 , 4) หรอื ไม่

วิธีทา ให้ c เป็นจุดใด ๆ บนชว่ ง (-4 , 4)

จาก f(x) = 16 - x2

จะได้ f(c) = 16 - c2

และ lim f(x) = lim 16 - x2
xc xc

= lim (16 - x2 )
xc

= 16 - c2

ดังนัน้ lim f(x) = f(c)
xc

สรปุ ไดว้ า่ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนอ่ื งบนชว่ ง (-4 , 4)

ตัวอย่างที่ 12 กาหนด f(x) = 9 - x2
จงแสดงว่าฟังกช์ นั f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง [-3, 3]

วธิ ีทา ให้ c เป็นจุดใด ๆ บนชว่ ง (-3 , 3) เง่อื นไขข้อ 2.1

จาก f(x) = 9 - x2

จะได้ f(c) = 9 - c2

และ lim f(x) = lim 9 - x2
xc xc

= lim (9 - x2 )
xc

= 9 - c2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 3 ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 31

ดงั นั้น lim f(x) = f(c)
xc

สรปุ ไดว้ ่า f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนือ่ งบนชว่ ง (-3 , 3)

ตอ่ ไปจะแสดงวา่ lim f(x) = f(-3) และ lim f(x) = f(3) เง่ือนไขขอ้ 2.2
x -3+ x3-
0 = f(-3)
lim f(x) = lim 9 - x2 0 = f(3)

x -3+ x -3+

= lim (9 - x2 ) =
x -3+

และ lim f(x) = lim 9 - x2
x3- x 3-

= lim (9 - x2 ) =
x 3-

ดังน้นั ฟงั กช์ ัน f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [-3, 3]

2x ; 0  x < 1
ตัวอย่างท่ี 13 กาหนดให้ f(x) =

2–x ; 1  x  2
จงพจิ ารณาว่าฟังกช์ ัน f ตอ่ เนือ่ งบนชว่ ง [0, 2] หรือไม่

วิธที า

พิจารณาบนช่วง (0, 1)
ให้ c เป็นจุดใด ๆ บนชว่ ง (0 , 1)

จาก f(x) = 2x

จะได้ f(c) = 2c

และ lim f(x) = lim 2x = 2c
xc xc
2
ดังนนั้ lim f(x) = f(c) 1
xc

สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนชว่ ง (0 , 1)

พจิ ารณาที่ x = 1

จาก f(x) = 2 - x

จะได้ f(1) = 2 - 1 = 1

เนอ่ื งจาก lim f(x) = lim 2x =
x1-
x1-

และ lim f(x) = lim (2 - x) =
x1+
x1+

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเนื่องของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 32

จะเหน็ วา่ lim f(x)  lim f(x)

x1- x1+

ดงั น้ัน lim f(x) หาคา่ ไม่ได้
x1

น่ันคือ ฟังกช์ ัน f ไมต่ ่อเนื่องที่ x = 1

และ 1  [0, 2]

ดังนน้ั ฟังกช์ ัน f ไม่ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [0, 2]

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 33

คาชแ้ี จง จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f ตอ่ เนือ่ งบนชว่ งที่กาหนดใหห้ รือไม่
(ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1. กาหนด f(x) = x2 + 2x จงพิจารณาว่าฟังกช์ ัน f ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง (3, 5) หรือไม่

วิธีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั

ห น้ า | 34

2. กาหนด f(x) = 2x + 3 จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ นั f ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง (-1 , 1) หรือไม่

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมติ และอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 35

3. กาหนด f(x) = x+2 จงพิจารณาว่าฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนอ่ื งบนช่วง (-1 , 3] หรอื ไม่
x2 - 2x - 8

วธิ ที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ิตและอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 36

4. กาหนด f(x) = x2 + 2x - 15 จงพิจารณาว่าฟงั กช์ ัน f ตอ่ เน่ืองบนช่วง (1 , 2) หรอื ไม่
x-1

วิธที า ……………………………………………………..…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมิตและอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 37

5. กาหนดให้ f(x) = x2 + 4 ; x < -1
x + 6 ; -1  x < 3
3x - 1 ; x  3

จงพิจารณาว่า f ต่อเนอื่ งบนชว่ ง [-2 , 5) หรอื ไม่

วธิ ีทา ……………………………………………………..…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………
………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั เลม่ 3 ความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 38

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 7 (ค33207) ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 6

เรอื่ ง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟังกช์ ัน

*********************************************************************************************

คาชีแ้ จง 1. แบบทดสอบชดุ น้ีมที ั้งหมด 10 ข้อ ใชเ้ วลา 15 นาที

2. ให้นกั เรยี นทาเครื่องหมาย X ลงในช่องตัวเลอื กในกระดาษคาตอบท่ีเห็นวา่ ถูกทส่ี ุด

*********************************************************************************************

1. ถ้า f(x) = 3x – 4 ขอ้ ใดถูกตอ้ ง

ก. f ตอ่ เนือ่ งที่ x = 2 แตไ่ ม่ตอ่ เน่อื งที่ x = -2
ข. f ตอ่ เน่ืองท่ี x = 2 และ x = -2
ค. f ไม่ตอ่ เนอื่ งที่ x = 2 และ x = -2
ง. f ต่อเนอ่ื งที่ x = -2 แตไ่ ม่ต่อเนอื่ งที่ x = 2

2. f(x) = x-1 ต่อเนอ่ื งทจี่ ุดใด
x2+ x
ก. x = -1 ข. x = 0
ง. ถูกทงั้ ข้อ ก และขอ้ ข
ค. x = 1

3. f(x) = -x2 ไม่ต่อเนื่องทจี่ ดุ ใด ข. x = 0
ง. x = -2
2x + 4
ก. x = 2
ค. x = -1

4. ถา้ ฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนื่องที่ x = c แล้ว ขอ้ ใดถูกต้อง
1. f(c) หาคา่ ได้

2. lim f(x) หาคา่ ได้
xc

3. f(c) = lim f(x)
xc

ก. ขอ้ 1 และ ข้อ 2 ถูก ข. ขอ้ 1 และข้อ 3 ถูก

ค. ขอ้ 2 และข้อ 3 ถูก ง. ข้อ 1 ข้อ 2 และข้อ 3 ถูก

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 39

x2- 1 ;x1
x-1
5. ถ้า f(x) = ขอ้ ความใดกลา่ วถูกตอ้ ง

4 ; x=1

1. lim f(x) หาค่าได้ ข. ข้อ 1 และขอ้ 3 ถูก
x1 ง. ขอ้ 1 ข้อ 2 และข้อ 3 ถกู

2. f(1) หาคา่ ได้
3. f ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 1

ก. ข้อ 1 และ ข้อ 2 ถูก
ค. ขอ้ 2 และข้อ 3 ถูก

6. กาหนดให้ f(x) = x - 3 แลว้ ฟังกช์ ัน f ตอ่ เนือ่ งบนช่วงใด

ก. [3 , ) ข. (- , 3)
ค. (3 , ) ง. (0 , 2]

7. กาหนดให้ f(x) = 1 ; x 5 แลว้ ฟังกช์ นั f ต่อเนื่องบนช่วงใด
3 ; x=5

ก. (0 , 5] ข. (- , 5)  (5 , )
ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )

8. ถา้ f(x) = x2- x ; x0
2x x=0
k;

จงหาคา่ k ท่ีทาให้ f(x) เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง (-,)

ก. - 1 ข. - 1
4 2
ค. 1 ง. 1
42

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชนั เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

ห น้ า | 40

1 ; 0<x<1
3x + 1
9. ถา้ f(x) = ; x=1 ขอ้ ใดถูกต้อง
1
; x>1
2- 5-x
x-1

ก. f ไมต่ ่อเน่อื งท่ี x = 1 และ x = 3
ข. f ตอ่ เน่อื งที่ x = 1 และ x = 3
ค. f ไม่ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 1 แต่ต่อเนือ่ งที่ x = 3
ง. f ต่อเนือ่ งที่ x = 1 แตไ่ ม่ตอ่ เน่อื งท่ี x = 3

10. กาหนดให้ f(x) = x-8 เม่ือ x  8 ถ้า f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่อื งที่ x = 8 แลว้
3 x -2
f(8) มคี ่าตรงกับข้อใด

ก. 8 ข. 10

ค. 12 ง. 20

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมติ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 41

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชัน

ห น้ า | 42

แบบบันทึกคะแนนแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน
เล่ม 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชัน

ชือ่ ………………………………………..…….ชัน้ ............................. เลขท…ี่ …
โรงเรยี นบา้ นไร่วิทยา สานักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 42

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ความกา้ วหน้า คิดเปน็ รอ้ ยละ

การทดสอบก่อนเรยี น 10
การทดสอบหลงั เรยี น 10

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 43

แบบบันทกึ ความกา้ วหน้าของแบบฝึกทกั ษะ
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั

เล่ม 3 ความต่อเนอื่ งของฟังก์ชนั

ช่ือ………………………………………..…….ชั้น............................. เลขท…ี่ …
โรงเรียนบา้ นไร่วิทยา สานักงานเขตพนื้ ทก่ี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 42

แบบฝึกทกั ษะที่ คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้ คิดเปน็ ร้อยละ ผา่ น ไมผ่ ่าน
เกณฑ์* เกณฑ์**
3.1 10
3.2 10
3.3 10
รวมท้ังหมด 30
เฉล่ยี
คดิ เปน็ ร้อยละ

* ผ่านเกณฑ์ หมายความว่า ผเู้ รียนได้คะแนนร้อยละ 80 ขึ้นไปของคะแนนเต็ม
** ไมผ่ ่านเกณฑ์ หมายความว่า ผเู้ รยี นได้คะแนนน้อยกวา่ ร้อยละ 80 ของคะแนนเต็ม

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั