แคลคูลัสครูซัลมาน

ห น้ า | 44

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจรญิ ทรพั ย์. (2548). แบบฝกึ หดั และประเมินผลการเรียนรู้
คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม ม. 6 เลม่ 2 ชว่ งชน้ั ที่ 4. กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์เดอะบุคส์ จากัด.

______. (2554). แบบฝึกหดั และประเมินผลการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
เลม่ 6. กรุงเทพฯ: สานักพมิ พเ์ ดอะบุคส์ จากัด.

กมลเอก ไทยเจรญิ . (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เลม่ 5 ค 015. กรงุ เทพฯ: ไฮเอด็ พบั ลิชชง่ิ จากัด.
กานดา ลือสุทธิวิบูลย์ และยุพนิ จิรสุขานนท์. (2548). สรปุ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ม. 4 – 5 – 6

รายวชิ าพนื้ ฐานและรายวิชาเพ่ิมเติม. กรุงเทพฯ: สานกั พมิ พเ์ ดอะบุคส์ จากัด.
จกั รนิ ทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ Pure Pure ม.6 (2 ภาคเรยี น) กลุ่มสาระ

การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: บรษิ ทั สานักพมิ พ์ พ.ศ. พัฒนา จากัด.
______. (ม.ป.ป.). เฉลยข้อสอบ Entrance คณติ ศาสตร์ 15 พ.ศ.. กรุงเทพฯ:

บริษทั สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พัฒนา จากดั .
เชษฐ์ ชน้ั สกุลด.ี (ม.ป.ป.). คูม่ อื เตรียมสอบ PAT 1 ความถนดั ทางคณิตศาสตร์.

กรงุ เทพฯ: ห้างหุ้นส่วนจากดั รงุ่ เรืองสาสน์ การพมิ พ์.
ณรงค์ ปน้ั นิ่ม และคณะ. (2537). คูมอื เตรยี มสอบคณติ ศาสตรร์ วม ม.4-5-6 .

กรุงเทพฯ: ภมู ิบัณฑติ การพิมพ์ จากัด.
ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. (2555). คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติมชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนท่ี 2.

กรงุ เทพฯ: แม็คเอ็ดดเู คชนั่ จากดั .
ประชา ศิวเวทกุล. (2555). กุญแจคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 รายวิชาเพ่มิ เติม

เลม่ 6. กรุงเทพฯ: บรษิ ทั สานักพิมพเ์ ดอะบคุ ส์ จากัด.
เลิศ สทิ ธโิ กศล. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตรแ์ ผนใหม่ แคลคลู สั ม.ปลาย 4–5–6.

กรงุ เทพฯ: สานกั พมิ พ์ แมสพบั ลชิ ชิ่ง.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพ่มิ เตมิ

คณติ ศาสตรเ์ ลม่ 6 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4–6 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตร
แกนกลางการศกึ ษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
______. (2554). คมู่ ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตรเ์ ลม่ 6 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4–6
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพ้นื ฐานพุทธศกั ราช 2551.
กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
สมยั เหลา่ วานิชย.์ (ม.ป.ป.). คมู่ ือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม.4-5-6 สาระการเรยี นรเู้ พิ่มเติม.
กรงุ เทพฯ: ไฮเอด็ พับลชิ ชิ่ง จากัด.
______. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทยค์ ณติ ศาสตร์ ม. 4–5–6.
กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชช่ิง จากดั .
สมัย เหล่าวานิชย์ และพวั พรรณ เหลา่ วานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน + เพิ่มเตมิ เล่มที่ 6
ช่วงช้นั ที่ 4 (มัธยมศึกษาปที ่ี 4–6). กรุงเทพฯ: ไฮเอด็ พับลิชชงิ่ จากัด.

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 45

สกุ ญั ญา สนทิ วงศ์ ณ อยุธยา และอนัญญา อภชิ าตบุตร. (2556). แคลคลู สั Calculus 1
ฉบับเสรมิ ประสบการณ์. กรงุ เทพฯ: บริษัทพิมพด์ กี ารพมิ พ์ จากัด.

สเุ ทพ จนั ทร์สมศักด.์ิ (ม.ป.ป.). คมู่ อื เตรยี มสอบคณติ ศาสตร์ ม.6 เลม่ 5 ค 015.
กรงุ เทพฯ: สานกั พิมพ์ภมู ิบัณฑิต.

อเนก หิรญั . (2544). คณติ ศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ: หจก. สานกั พิมพ์ฟสิ ิกส์ เซน็ เตอร์.
______. (ม.ป.ป.). แบบฝึกหัดพ้นื ฐาน วชิ าคณิตศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ:

หจก. สานกั พิมพ์ฟิสิกส์เซ็นเตอร์.
Finney ,Ross L. and other. (2007). Calculus Graphical, Numerical, Algebraic

Third Edition. Upper Saddle River. New Jersey: Prentice Hall.

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน เลม่ 3 ความต่อเนือ่ งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 46

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 3 ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 47

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน

ข้อ คาตอบ
1ง
2ค
3ก
4ค
5ก
6ข
7ค
8ค
9ง
10 ข

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชนั

ห น้ า | 48

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ข้อ คาตอบ
1ข
2ค
3ง
4ง
5ก
6ก
7ข
8ข
9ค
10 ค

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน เลม่ 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชนั

ห น้ า | 49

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 3.1

1. f(x) = x + 5 ที่ x = 5

วิธีทา จาก f(x) = x+5

จะได้ f(5) = 5+5

= 10

และ lim f(x) = lim (x + 5)
x5 x5

= 10

นัน่ คอื f(5) = lim f(x)
x5

ดงั นั้น ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องที่ x = 5

2. f(x) = 1 ที่ x = 5
x+2

วธิ ที า จาก f(x) = 1
x+2

จะได้ f(5) = 1
5+2

= 1
7

และ lim f(x) = lim 1
x5 x5 x + 2

= 1
7

นั่นคอื f(5) = lim f(x)
x5

ดังนน้ั ฟังกช์ นั f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เน่อื งที่ x = 5

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 3 ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 50

3. f(x) = x2- 4 ; x  2
x - 2 ท่ี x = 2
4 ; x=2

วิธที า f(x) = x2- 4 ; x2
จาก x-2 ; x=2

4

จะได้ f(2) = 4

และ lim f(x) = lim x2 - 4
x 2 x2 x - 2

= lim (x - 2)(x + 2)
x2 x - 2

= lim (x + 2)
x2

=4

จะได้ว่า lim f(x) = f(2)
x 2

ดงั น้ัน ฟงั กช์ ัน f ต่อเนือ่ งที่ x = 2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเนือ่ งของฟังก์ชนั

ห น้ า | 51

4. f(x) = x-1 ; ท่ี x = 1
x-1 f(x) =
f(1) = x-1
วธิ ที า จาก x-1

0
0

เนอ่ื งจาก f(1) หาคา่ ไม่ได้
ดังนน้ั ฟังกช์ นั f ไม่ตอ่ เน่ืองท่ี x = 1

5. f(x) = x-3 ที่ x = 3
x2- 9

วธิ ีทา จาก f(x) = x-3
f(3) = x2- 9
0
0

เนือ่ งจาก f(3) หาค่าไม่ได้
ดังนั้น ฟังกช์ นั f ไม่ตอ่ เน่ืองท่ี x = 3

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 3 ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชัน

ห น้ า | 52

6. f(x) = x2 - 36 x6 ท่ี x = 6
x-6 x=6

4

วธิ ีทา x2 - 36 x6
จาก f(x) = x-6

4 x=6

จะได้ f(6) =4
และ lim f(x)
= lim x2 - 36
x 6 x6 x - 6

= lim (x - 6)(x + 6)
x6 x - 6

= lim (x + 6)

x6

= 12

จะไดว้ ่า lim f(x)  f(6)

x 6

ดังนนั้ ฟงั กช์ ัน f ไมต่ อ่ เน่ืองที่ x = 6

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ิตและอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั เลม่ 3 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั

ห น้ า | 53

x-1 ; x  1 ท่ี x = 1
7. f(x) = x - 1

2 ; x=1

วธิ ที า x - 1 ; x  1
จาก f(x) = x - 1
2 ; x=1

จะได้ f(1) = 2
วธิ ีที่ 1 พจิ ารณา lim f(x) lim x - 1
= x1 x - 1
x1

=  x 2 - 12

lim
x1 x - 1

= lim ( x - 1)( x + 1)
x1 x - 1

= lim ( x + 1)

= x1

จะไดว้ ่า lim f(x) = 2
x1 f(1)

ดงั นน้ั ฟังก์ชัน f ตอ่ เนอ่ื งที่ x = 1

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 3 ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั

ห น้ า | 54

วิธีที่ 2 พจิ ารณา lim f(x) = lim x - 1
x1 x1 x - 1
= lim (x - 1)  ( x + 1)
x1 ( x - 1) ( x + 1)
= lim (x - 1)( x + 1)
= x1 (x - 1)
=2 lim ( x + 1)

x1

จะได้ว่า lim f(x) = f(1)
x1

ดงั น้ัน ฟงั กช์ นั f ตอ่ เน่ืองท่ี x = 1

x ; x2 ท่ี x = 2
x>2
8. f(x) =
2x

วธิ ที า x ; x2
จาก f(x) = 2x x>2

จะได้ f(2) = 2

เนื่องจาก lim f(x) = lim x = 2
x 2- x 2- = 4

และ lim f(x) = lim 2x
x 2+ x 2+

จะไดว้ า่ lim f(x)  lim f(x)
x 2+
x 2-

ดังน้นั ฟงั กช์ ัน f ไมต่ อ่ เนื่องท่ี x = 2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟังก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ห น้ า | 55

3x - 2 ; x = 2

9. f(x) = x2 - 4 ที่ x = 2
x-2
; x2
วิธีทา

3x - 2 ; x = 2

จาก f(x) = x2- 4

x-2 ; x2
จะได้ f(2) =
4
และ lim f(x) = lim x2 - 4
x 2 x2 x - 2
lim (x - 2)(x + 2)
= x2 x - 2
lim (x + 2)
=
x2
=
f(2) 4

จะได้ว่า lim f(x) =
x 2

ดงั นัน้ ฟังก์ชนั f ต่อเน่ืองที่ x = 2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

ห น้ า | 56

10. f(x) = 0 ; x1 ที่ x = 1 และ x = 2
; 1<x  2
1 ; x>2
x-1
3–x

วธิ ที า
0 ; x1

จาก f(x) = 1 ; 1<x  2
x-1

3–x ; x > 2

พิจารณาท่ี x = 1

จะได้ f(1) = 0

เนอ่ื งจาก lim f(x) =0

x 1-

และ lim f(x) = lim 1
x 1+ x1 x - 1

จะไดว้ า่ lim f(x) หาคา่ ไม่ได้

x 1+

ดังน้ัน ฟังก์ชัน f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = 1

พจิ ารณาที่ x = 2

จะได้ f(2) = 1

เนือ่ งจาก lim f(x) = lim 1 = 1
x2- x - 1 1
x 2-

และ lim f(x) = lim (3 - x) =
x 2+ x 2+

จะเหน็ วา่ lim f(x) =1 = lim f(x)
x 2-
x 2+

นัน่ คอื lim f(x) = 1
x 2

เนอื่ งจาก lim f(x) = f(2)
x 2

ดงั นน้ั ฟงั กช์ นั f ตอ่ เน่ืองที่ x = 2

สรปุ ได้ว่า ฟังกช์ ัน f ไมต่ ่อเนอื่ งที่ x = 1 แตต่ อ่ เนื่องท่ี x = 2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 57

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ 3.2

1. กาหนด f(x) = 3x2 – 10x + 3 ถ้าฟงั กช์ ัน f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี x = 1 แล้ว f(1) มคี ่าเท่าไร

วิธีทา เน่ืองจาก ฟังก์ชนั f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x = 1

แสดงว่า f(1) = lim f(x)
พจิ ารณา lim f(x) =
x1
x1
lim (3x2 - 10x + 3)

x1

= -4

ดังน้ัน f(1) จะตอ้ งมคี า่ เท่ากับ -4 จงึ ทาใหฟ้ ังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนือ่ งท่ี x = 1
2. กาหนด f(x) = x2 - 4x - 5 ถ้าฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่อื งท่ี x = 5 แล้ว f(5) มีค่าเท่าไร

x-5

วิธีทา เนอื่ งจาก ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องท่ี x = 5

แสดงว่า f(5) = lim f(x)
x5

พิจารณา lim f(x) = lim x2 - 4x - 5
x5 x5 x - 5

= lim (x - 5)(x + 1)
x5 x - 5

= lim (x + 1)
x5

=6

ดงั นน้ั f(5) จะต้องมคี า่ เทา่ กับ 6 จึงทาใหฟ้ ังก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งที่ x = 5

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน เลม่ 3 ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชนั

ห น้ า | 58

3. กาหนดให้ f(x) = x+1-1 ; x  0
x

a ; x = 0 และ a  R

วธิ ีทา เนือ่ งจาก ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องที่ x = 0

และ f(0) = a

แสดงวา่ a = lim f(x)
x0

พิจารณา lim f(x) = lim x + 1 - 1
x0 x0 x

= lim x + 1 - 1  x + 1 + 1
x0 x x+1 +1

= lim ( x + 1)2 - 12
x0 x( x + 1 + 1)

= lim x + 1 - 1
x0 x( x + 1 + 1)

= lim 1
x0 ( x + 1 + 1)

=1
( 1 + 1)

= 1
2

ดงั น้นั a จะต้องมีค่าเท่ากบั 1 จงึ ทาให้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่ x = 0
2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ิตและอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ห น้ า | 59

x2 + 2x - 15 ; x5
x-1
4. กาหนดให้ f(x) =

m2 + 1 ; x = 5 และ m  R

จงพิจารณาว่า ถา้ ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องที่ x = 5 แล้ว m มคี ่าเทา่ ไร

วธิ ีทา เน่ืองจาก ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ืองท่ี x = 5

และ f(5) = m2 + 1
แสดงว่า m2 + 1 =
lim f(x)
พจิ ารณา lim f(x) =
x5 = x5

น่ันคือ m2 + 1 = lim x2 + 2x - 15
m2 x5 x - 1
m = 52 + 2(5) - 15
=
= 5-1
= 20
4
5

5

4
2 หรือ -2

ดงั นั้น m จะตอ้ งมคี า่ เท่ากบั 2 หรอื -2 จึงทาให้ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่ x = 5

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน เล่ม 3 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั

ห น้ า | 60

5. กาหนดให้ f(x) = ax ; x1
x–b ; x>1

จงพจิ ารณาวา่ ถ้าฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองท่ี x = 1 แลว้ a + b มคี ่าเทา่ ไร

วธิ ที า เนือ่ งจาก ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องท่ี x = 1

และ f(1) = a

พิจารณา lim f(x) = lim ax
x1-
x1-

=a

และ lim f(x) = lim (x - b)
x1+ x1+

= 1-b

เนอื่ งจาก ฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เน่ือง

จะได้ lim f(x) = lim f(x)
x1- x1+

a = 1-b

และ a + b = 1

ดังนัน้ ถา้ ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เน่อื งที่ x = 1 แลว้ a + b มีค่าเทา่ กับ 1

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน เลม่ 3 ความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 61

เฉลยแบบฝึกทักษะ 3.3

1. กาหนด f(x) = x2 + 2x จงพิจารณาว่าฟงั กช์ นั f ตอ่ เน่ืองบนช่วง (3 , 5) หรือไม่
วธิ ีทา ให้ c เป็นจุดใด ๆ บนช่วง (3 , 5)

จาก f(x) = x2 + 2x

จะได้ f(c) = c2 + 2c

และ lim f(x) = lim (x2 + 2x)
xc xc

= c2 + 2c

ดังนั้น lim f(x) = f(c)
xc

สรุปได้วา่ f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่อื งบนช่วง (3 , 5)

2. กาหนด f(x) = 2x + 3 จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั f ต่อเนื่องบนช่วง (-1 , 1) หรือไม่
วธิ ที า ให้ c เปน็ จุดใด ๆ บนชว่ ง (-1 , 1)

จาก f(x) = 2x + 3

จะได้ f(c) = 2c + 3

และ lim f(x) = lim (2x + 3)
xc xc

= 2c + 3

ดังนั้น lim f(x) = f(c)
xc

สรปุ ได้วา่ f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งบนช่วง (-1 , 1)

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เลม่ 3 ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 62

3. กาหนด f(x) = x+2 จงพิจารณาว่าฟงั กช์ นั f ต่อเนอื่ งบนชว่ ง (-1 , 3] หรือไม่
x2 - 2x - 8

วธิ ีทา ให้ c เปน็ จดุ ใด ๆ บนชว่ ง (-1 , 3)

จาก f(x) = x+2
x2 - 2x - 8

จะได้ f(c) = c+2
c2 - 2c - 8

และ lim f(x) = lim x 2 x +2 8
xc - 2x -
xc

= c+2
c2 - 2c - 8

ดังนน้ั lim f(x) = f(c)
xc

สรปุ ไดว้ ่า f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งบนช่วง (-1 , 3)

พิจารณาท่ี x = 3

จะได้ f(3) = 3+2
32 - 2(3) - 8

= - 5 = -1
5
x +2 -1
และ lim f(x) = lim x2 - 2x - 8 -1
x3-
x3-

= 3+2
32 - 2(3) - 8

= - 5 =
5
ดังนนั้ lim f(x) = f(3) =
x3-

สรุปไดว้ า่ f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งบนช่วง (-1 , 3]

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมติ และอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน

ห น้ า | 63

4. กาหนด f(x) = x2 + 2x - 15 จงพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั f ตอ่ เน่ืองบนช่วง (1 , 2) หรอื ไม่
x-1

วธิ ที า ให้ c เปน็ จดุ ใด ๆ บนชว่ ง (-1 , 2)

จาก f(x) = x2 + 2x - 15
x-1

จะได้ f(c) = c2 + 2c -15 เมอ่ื c  1
c-1

และ lim f(x) = lim x2 + 2x - 15
xc xc x - 1

= c2 + 2c -15
c-1

ดงั นน้ั lim f(x) = f(c)
xc

สรุปได้วา่ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งบนช่วง (1 , 2)

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน

x2 + 4 ; x < -1 ห น้ า | 64
x + 6 ; -1  x < 3
5. กาหนดให้ f(x) =

3x - 1 ; x  3

จงพิจารณาว่า f ต่อเนื่องบนช่วง [-2 , 5) หรอื ไม่

วิธที า x2 + 4 ; x < -1

จาก f(x) = x + 6 ; -1  x < 3
3x - 1 ; x  3

พิจารณาท่ี x = -1

จะได้ f(-1) = (-1) + 6 = 5

เน่ืองจาก lim f(x) = lim (x2 + 4) =1+4 =5
x-1- x-1- = (-1) + 6 = 5
= lim f(x)
และ lim f(x) = lim (x + 6)
x-1+ x-1+ x-1+

จะเหน็ ว่า lim f(x) =5

x-1-

น่นั คอื lim f(x) = 5
x-1

ดงั นั้น ฟังก์ชัน f ตอ่ เน่ืองที่ x = -1

พิจารณาที่ x = 3

จะได้ f(3) = 3(3) - 1 = 8

เน่ืองจาก lim f(x) = lim (x + 6) = 3 + 6 = 9
x3- x3-

และ lim f(x) = lim (3x - 1) = 9 - 1 = 8
x3+ x3+

จะเหน็ ว่า lim f(x)  lim f(x)

x3- x3+

นัน่ คอื lim f(x) หาค่าไม่ได้
x3

ดังน้นั ฟงั ก์ชนั f ไมต่ ่อเนื่องที่ x = 3

และ 3  [-2 , 5)

ดังนน้ั ฟงั กช์ ัน f ไมต่ อ่ เนื่องบนชว่ ง [-2 , 5)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 3 ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชัน