รากที่สอง

รากทสี่ อง( Square root)

x3 x2  32  42
4  9  16

x1 x2  25
1 x 5

x2  12  12
 1 1

x2  2
x 2

รากทสี่ อง( Square root)

นิยาม

ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใดๆ หรือศูนย์
รากที่สองของ a คือจำนวนจริงที่ยกกำลงั สองแลว้ ดด้ a

ตัวอย่าง

22  2 2 4

จึงดดว้ ำ่ 2 เป็นรำกที่สองของ 4

(2)2  (2) (2)  4

จึงดดว้ ำ่  2 เป็นรำกที่สองของ 4

รากทส่ี อง( Square root)

ตวั อย่าง 72  77  49

จึงดดว้ ำ่ 7 เป็นรำกที่สองของ 49

(7)2  (7) (7)  49

จึงดดว้ ำ่ 7 เป็นรำกท่ีสองของ 49

122  1212  144

จึงดดว้ ำ่ 12 เป็นรำกที่สองของ 144

(12)2  (12)  (12)  144

จึงดดว้ ำ่ 12 เป็นรำกท่ีสองของ 144

รากทสี่ อง( Square root)

รำกที่สองของ 4 มี 2 จำนวน ดดแ้ ก่ 2 และ  2
รำกท่ีสองของ 49 มี 2 จำนวน ดดแ้ ก่ 7 และ 7
รำกที่สองของ 144 มี 2 จำนวน ดดแ้ ก่ 12 และ 12
นิยาม
ถำ้ a เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ รำกท่ีสองของ a มีสองรำก คือ

รำกท่ีสองที่เป็นบวก เขียนแทนดว้ ย a
รำกที่สองที่เป็นลบ เขียนแทนดว้ ย  a

รากทสี่ อง( Square root)

แนวคดิ ในการหารากทส่ี อง

รำกท่ีสอง อะดรล่ะท่ียกกำลงั
ของ a ? สอง แลว้ ดด้ a

มี 2 ค่ำเลยนะ

รากทส่ี อง( Square root)

แนวคดิ ในการหารากทส่ี อง
ถำ้ a เป็นจำนวน
จริงบวกใด ๆ

a รำกท่ีสองท่ีเป็นบวกของ a
 a รำกที่สองที่เป็นลบของ a

รากทส่ี อง( Square root)

4 รำกท่ีสองที่เป็นบวกของ 4
120 รำกท่ีสองท่ีเป็นบวกของ 120
81 รำกที่สองท่ีเป็นบวกของ 81

 16 รำกท่ีสองท่ีเป็นลบของ 16
 25 รำกท่ีสองท่ีเป็นลบของ 25
 64 รำกที่สองท่ีเป็นลบของ 64

รากทส่ี อง( Square root)

42 รำกที่สองท่ีเป็นบวกของ 42
52 รำกที่สองที่เป็นบวกของ 52
(9)2 รำกที่สองท่ีเป็ นบวกของ (9)2

 32 รำกท่ีสองที่เป็นลบของ 32
 (7)2 รำกที่สองที่เป็ นลบของ (7)2
 (10)2 รำกท่ีสองท่ีเป็ นลบของ (10)2

รากทสี่ อง( Square root)

ตัวอย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 81
วธิ ีทา รำกท่ีสองของ 81 มีสองคำ่ คือ 81 และ  81

81  9 อะดรยกกำลงั สอง
 81  9 แลว้ เท่ำกบั 81
ดงั น้ัน รำกที่สองของ 81 คือ 9 และ 9

รากทสี่ อง( Square root)

ตวั อย่าง จงหำรำกที่สองของ 16
วธิ ีทา รำกที่สองของ 16 มีสองคำ่ คือ 16 และ  16

16  4 อะดรยกกำลงั สอง
 16  4 แลว้ เท่ำกบั 16

ดงั น้นั รำกที่สองของ 16 คือ 4 และ  4

รากทสี่ อง( Square root)

ตวั อย่าง จงหำรำกที่สองของ 49
วธิ ีทา รำกที่สองของ 49 มีสองคำ่ คือ 49 และ  49

49  7 อะดรยกกำลงั สอง
 49  7 แลว้ เท่ำกบั 49

ดงั น้นั รำกที่สองของ 49 คือ 7 และ  7

รากทสี่ อง( Square root)

ตัวอย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 625
วธิ ีทา รำกที่สองของ 625 มีสองคำ่ คือ 625 และ  625

625  25 อะดรยกกำลงั สอง
 625  25 แลว้ เท่ำกบั 625

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 625 คือ 25 และ  25

รากทส่ี อง( Square root)

ตวั อย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 3
วธิ ีทา รำกท่ีสองของ 3 มีสองค่ำคือ 3 และ  3

ไม่มนี ะจ๊ะ 3  3 อะดรยกกำลงั สอง
 3   3 แลว้ เท่ำกบั 3

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 3 คือ 3 และ  3

รากทส่ี อง( Square root)

ตวั อย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 20 20 และ  20
วธิ ีทา รำกที่สองของ 20 มีสองคำ่ คือ
อะดรยกกำลงั สอง
ไม่มนี ะจ๊ะ 20  20 แลว้ เท่ำกบั 20
 20   20

ดงั น้ัน รำกท่ีสองของ 20 คือ 20 และ  20

จงหำรำกที่สองของจำนวนต่อดปน้ี
1. 5 5. 25

2. 144 6. 225

3. 123 7. 10000

4. 100 8. 900

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

แนวคดิ ในการหารากทส่ี องของเศษส่วน

รู้หรือเปล่ำ แลว้ รู้หรือเปล่ำ
ตวั ดหนคือเศษ ตวั ดหนคือส่วน

a
b

รากทส่ี อง( Square root) a
b
รากทส่ี องของเศษส่วน

แนวคดิ ในการหารากทสี่ องของเศษส่วน

1. แยกตวั เศษและตวั ส่วนออกจำกกนั a b

2. หำรำกที่สองท่ีเป็นบวกของแต่ละตวั a b

3. เอำมำทำเป็นเศษส่วนเช่นเดิม a

แค่น้ีแหละ b
เสร็จแลว้

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

ตัวอย่าง จงหำรำกที่สองของ 4 4 และ  4
วธิ ีทา รำกที่สองของ 4 ม9ีสองคำ่ คือ
99
9
4 4
99

2
3

 4  2
93

ดงั น้ัน รำกท่ีสองของ 4 คือ 2 และ  2
93 3

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

ตวั อย่าง จงหำรำกที่สองของ 16 16 และ  16
วธิ ีทา รำกที่สองของ 16 2ม5ีสองคำ่ คือ
25 25
25
16  16
25 25

4
5

 16   4
25 5

ดงั น้ัน รำกท่ีสองของ 16 คือ 4 และ  4
25 5 5

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

ตัวอย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 36
วธิ ีทา รำกที่สองของ 36 1ม69ีสองคำ่ คือ 36 และ  36

169 169 169

36  36
169 169

6
13

 36   6
169 13

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 36 คือ 6 และ  6
169 13 13

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

ตวั อย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 7 7 และ  7
วธิ ีทา รำกที่สองของ 7 1ม0ีสองคำ่ คือ
10 10
10
7 7
10 10

7
10

ดงั น้ัน รำกท่ีสองของ 7 คือ 7 และ  7
10 10 10

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี องของเศษส่วน

ตัวอย่าง จงหำรำกที่สองของ 9
วธิ ีทา รำกที่สองของ 9 1ม3ีสองค่ำคือ 9 และ  9

13 13 13
9 9
13 13

3
13

 9  3
13 13

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 9 คือ 3 และ  3

13 13 13

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

จงหำรำกท่ีสองของจำนวนต่อดปน้ี

1. 4 5. 225

81 625

2. 25 6. 9

144 24

3. 7 7. 400

8 10000

4. 3 8. 5

16 10

รากทสี่ อง( Square root)

รากทสี่ องของทศนิยม

แนวคดิ ในการหารากทสี่ องของทศนิยม

รู้จกั ทศนิยม แลว้ รู้หรือเปล่ำ
หรือเปล่ำ ทศนิยมน้นั มีกี่ตำแหน่ง

A.XXXX...

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี องของทศนิยม

แนวคดิ ในการหารากทส่ี องของทศนิยม

1. นบั จำนวนตำแหน่งของทศนิยม
2. แบ่งคร่ึงจำนวนที่ดดใ้ นขอ้ 1
3. จำนวนในขอ้ 2 จะเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมของผลลพั ธ์
4. ใหถ้ ือวำ่ ทศนิยมท่ีจะหำรำกที่สอง ดม่ใช่ทศนิยม
5. หำรำกที่สองของจำนวนในขอ้ 4
6. จดั จำนวนในขอ้ 5 ใหม้ ีตำแหน่งทศนิยมตำมขอ้ 3

รากทส่ี อง( Square root)

รากทสี่ องของทศนิยม

ตวั อย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 0.25

วธิ ีทา รำกท่ีสองของ 0.25 มีสองค่ำคือ 0.25 และ  0.25

ทศนิยม 2 ตำแหน่ง 25
0.25 25  5
0.5
แบ่งคร่ึงเป็น 1 ตำแหน่ง
คำตอบตอ้ งเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง

0.25  0.5

 0.25   0.5

ดงั น้ัน รำกท่ีสองของ 0.25 คือ 0.5 และ  0.5

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี องของทศนิยม

ตัวอย่าง จงหำรำกที่สองของ 2.25

วธิ ีทา รำกท่ีสองของ 2.25 มีสองคำ่ คือ 2.25 และ  2.25

ทศนิยม 2 ตำแหน่ง 225
2.25 225  15
1.5
แบ่งคร่ึงเป็น 1 ตำแหน่ง
คำตอบตอ้ งเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง

2.25  1.5

 2.25  1.5

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 2.25 คือ 1.5 และ 1.5

รากทส่ี อง( Square root)

รากทสี่ องของทศนิยม

ตัวอย่าง จงหำรำกท่ีสองของ 0.0009

วธิ ีทา รำกท่ีสองของ 0.0009มีสองค่ำคือ 0.0009
และ  0.0009

0.0009 9

9 3 0.03

0.0009  0.03
 0.0009   0.03

ดงั น้ัน รำกที่สองของ 0.0009คือ 0.03 และ  0.03

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

จงหำรำกท่ีสองของจำนวนต่อดปน้ี

1. 0.09 5. 0.0169

2. 0.36 6. 0.000144

3. 0.0625 7. 0.00000081

4. 0.000001 8. 1.44

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทส่ี อง

ตวั อย่าง จงหำรำกท่ีสองท่ีเป็นบวกของ 81
วธิ ีทา รำกท่ีสองท่ีเป็นบวกของ 81 คือ 81

81  9

ดงั น้ัน รำกท่ีสองท่ีเป็นบวกของ 81 คือ 9

รากทส่ี อง( Square root)
การหารากทส่ี อง

ตัวอย่าง จงหำรำกที่สองที่เป็นบวกของ 144
วธิ ีทา รำกที่สองท่ีเป็นบวกของ 144 คือ 144

144  12

ดงั น้ัน รำกท่ีสองที่เป็นบวกของ 144 คือ 12

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตวั อย่าง จงหำคำ่ ของ 100
วธิ ีทา 100  10

ดงั น้ัน 100 เท่ำกบั 10

ตัวอย่าง จงหำค่ำของ 169
วธิ ีทา 169  13

ดงั น้ัน 169 เท่ำกบั 13

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตัวอย่าง จงหำคำ่ ของ 0.09
วธิ ีทา 0.09  0.3

ดงั น้ัน 0.09 เท่ำกบั 0.3

ตวั อย่าง จงหำค่ำของ 1.44
วธิ ีทา 1.44  1.2

ดงั น้ัน 1.44 เท่ำกบั 1.2

รากทสี่ อง( Square root)

การหารากทสี่ อง

ตัวอย่าง จงหำค่ำของ 4  4
วธิ ีทา 9 9

4
9

2
3

ดงั น้ัน 4 เท่ำกบั 2

93

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

หำรำกท่ีสองท่ีเป็ น กห็ ำรำกที่สองท่ีเป็นบวก
ลบดดอ้ ยำ่ งดร แลว้ เติมลบเขำ้ ดป

รากทส่ี อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตัวอย่าง จงหำรำกที่สองท่ีเป็นลบของ 81
วธิ ีทา รำกที่สองที่เป็นลบของ 81 คือ  81

หำรำกท่ีสองที่เป็ นบวกก่อน

81  9
 81   9

ดงั น้ัน รำกท่ีสองท่ีเป็นลบของ 81 คือ 9

รากทส่ี อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตวั อย่าง จงหำค่ำของ 22
วธิ ีทา 22  4  2

ดงั น้ัน 22 เท่ำกบั 2

ตัวอย่าง จงหำค่ำของ (2)2 2
วธิ ีทา (2)2  4

ดงั น้ัน (2)2 เท่ำกบั 2

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตวั อย่าง จงหำคำ่ ของ 42
วธิ ีทา 42  16  4

ดงั น้ัน 42 เท่ำกบั 4

ตัวอย่าง จงหำค่ำของ (4)2 4
วธิ ีทา (4)2  16

ดงั น้ัน (4)2 เท่ำกบั 4

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

ตวั อย่าง จงหำคำ่ ของ 82
วธิ ีทา 82  64  8

ดงั น้ัน 82 เท่ำกบั 8

ตัวอย่าง จงหำค่ำของ (8)2 8
วธิ ีทา (8)2  64

ดงั น้ัน (8)2 เท่ำกบั 8

รากทสี่ อง( Square root)
การหารากทสี่ อง

a2  a สแควร์ ูทเอ ยกกำลงั สอง
เท่ำกบั คำ่ สมั บูรณ์ของ เอ

72  7 7
92  9 9
(14)2  14
(0.5)2   0.5  14

 0.5

แบบฝึกทกั ษะที่ 4

จงหำค่ำของจำนวนต่อดปน้ี

1. 625 5. (12)2

2.  2.25 6. 1
3. 52
4.  400 9

7. (9)2

8.    9 2

 13 

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

ตวั อย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x2  36

วธิ ีทา สิ่งที่ตอ้ งกำรหำคือคำ่ ของ x

จำก x2  36

ตอ้ งหำวำ่ อะดรยกกำลงั สองแลว้ เท่ำกบั 36

จะพบวำ่ 62  36

(6)2  36

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 6 และ  6

รากทสี่ อง( Square root)
รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

ตวั อย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x2 144
วธิ ีทา ส่ิงท่ีตอ้ งกำรหำคือคำ่ ของ x

จำก x2  144
ตอ้ งหำวำ่ อะดรยกกำลงั สองแลว้ เท่ำกบั 144
จะพบวำ่ 122 144

(12)2  144

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 12 และ 12

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

ตัวอย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x  4

วธิ ีทา สิ่งท่ีตอ้ งกำรหำคือคำ่ ของ x

จำก x  4

ตอ้ งหำวำ่ สแควร์ ูทอะดรเท่ำกบั 4

จะพบวำ่ 16  4

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 16

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

หลกั การ กรณีตวั แปรติดยกกำลงั สอง

ใหใ้ ส่ เขำ้ ดป x2 
ท้งั สองขำ้ งของสมกำร x2 
x

x 

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

หลกั การ กรณีตวั แปรติดสแควร์ ูท

ใหย้ กกำลงั สองเขำ้ ดป x 2
ท้งั สองขำ้ งของสมกำร 2
2

x

x

รากทสี่ อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

ตัวอย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x2  49

วธิ ีทา จำก x2  49

จะดด้ x2  49

x 7
x  7

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 7 และ  7

รากทส่ี อง( Square root)

รากทสี่ อง (การแก้สมการ)

ตัวอย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x2  64

วธิ ีทา จำก x2  64

จะดด้ x2  64

x 8
x  8

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 8 และ 8

รากทส่ี อง( Square root)

รากทส่ี อง (การแก้สมการ)

ตัวอย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x  3

วธิ ีทา จำก x 3

จะดด้ 2 2

x 3

x 9

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 9

รากทสี่ อง( Square root)

รากทสี่ อง (การแก้สมการ)

ตัวอย่าง จงหำคำตอบของสมกำร x  0.4

วธิ ีทา จำก x  0.4

จะดด้ 2 2

x  0.4

x  0.16

ดงั น้ัน x เท่ำกบั 0.16