คณิตศาสตร์ ม.4 เรื่อง เซต(สับเซต)

แบบฝึกทกั ษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต

แบบฝึกทักษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต
จัดทาขึ้นเพื่อประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ในรายวิชาคณิตศาสตร์ 1 รหัสวิชา ค31101
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551 แบบฝึกทักษะเล่มนี้ ประกอบด้วย คาช้ีแจงในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวช้ีวัด จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน บันทึกผล
คะแนนแบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ บันทึกผลคะแนนแบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลัง
เรยี น บันทึกผลคะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน บรรณานุกรม เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบ
หลังเรียน เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน แบบสรุปผลการประเมินแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์และ
เกณฑ์การประเมิน ทั้งนี้ในการเรียนรู้ที่เกิดประสิทธิภาพผู้เรียนต้องปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู้ตาม
ข้ันตอนที่อยใู่ นคาช้ีแจงแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์อย่างเปน็ ระบบ เพ่ือให้เกดิ การเรียนรู้ เกิดผลสาเร็จ
ตามจุดประสงค์ เกิดการฝึกปฏิบัติอย่างเป็นระบบ ฝึกการค้นหาความรู้ด้วยตนเองและนาความรู้ที่ได้
ไปใช้ให้เกิดประโยชน์ในชีวิตประจาวัน อีกท้ังเป็นการปลูกฝังคุณธรรมเก่ียวกับความซื่อสัตย์ของ
ตนเองอีกดว้ ย

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มน้ี จะเป็นแนวทางการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้ โดยครูผู้สอนส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการพัฒนาผลสัมฤทธิ์ได้สูงข้ึน มีทักษะกระบวนการที่มี
ประสิทธิภาพ รวมทั้งประโยชน์ต่อการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ของกลุ่มสาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ เพือ่ สง่ เสริมตอ่ การพฒั นาคุณภาพการศกึ ษาของโรงเรียนต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้เช่ียวชาญทุกท่านท่ีได้สละเวลาอันมีค่าให้ความรู้ ชี้แนะข้อบกพร่องเพื่อ
นาไปปรับปรุง แก้ไข ในการจัดทาแบบฝึกทักษะให้มีความถูกต้อง เหมาะสมกับการจัดกิจกรรมการ
เรยี นรู้ตามความคาดหวังของหลกั สตู ร

สลิ ลิ ลัคน์ เย็นใจ

แบบฝึกทกั ษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต ข

สำรบญั

คานา……………………………………………………………………………………………………………………. หนำ้
สารบัญ…………………………………………………………………………………………………………………. ก
คาช้แี จงในการทาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์…………………………………………………………….. ข
มาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ช้ีวัด……………………………………………………………………………………. 1
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้…………………………………………………………………………………………….. 2
สาระการเรียนรู้……………………………………………………………………………………………………... 2
แบบทดสอบก่อนเรยี น……………………………………………………………………………………………. 2
ใบความรู้ท่ี 3.1 สบั เซต…………………………………………………………………………………………… 3
6
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.1………………………………………………………………………………………… 13
แบบฝึกทกั ษะที่ 3.2………………………………………………………………………………………… 15
ใบความรู้ที่ 3.2 เพาเวอร์เซต…………………………………………………………………………………… 21
แบบฝึกทกั ษะที่ 3.3………………………………………………………………………………………… 23
แบบฝึกทักษะท่ี 3.4………………………………………………………………………………………… 26
แบบทดสอบหลงั เรยี น……………………………………………………………………………………………. 28
บรรณานุกรม………………………………………………………………………………………………………… 31
ภาคผนวก……………………………………………………………………………………………………………... 32
เกณฑ์การให้คะแนนแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์………………………………………………….. 33
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน……………………………………………………………………………… 36
เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน…………………………………………………………………… 37
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3.1…………………………………………………………………………………. 40
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3.2…………………………………………………………………………………. 42
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3.3…………………………………………………………………………………. 47
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3.4…………………………………………………………………………………. 49
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน……………………………………………………………………………… 51
เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลงั เรยี น…………………………………………………………………… 52
แบบสรปุ ผลการประเมนิ แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์…………………………………………….. 55
เกณฑ์การประเมนิ …………………………………………………………………………………………… 56

แบบฝกึ ทักษะเลม่ ท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 1

คำช้ีแจงในกำรทำแบบฝึกทกั ษะคณติ ศำสตร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 เล่มท่ี 3 สับเซตและ
เพาเวอร์เซต ใช้ประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์ 1 รหัสวิชา ค31101 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4
แบบฝึกทักษะเล่มนี้ ประกอบด้วย คาช้ีแจงในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ มาตรฐานการเรียนรู้
ตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน บันทึกผลคะแนนแบบทดสอบ
ก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะ บันทึกผลคะแนนแบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน บันทึกผล
คะแนนแบบทดสอบหลังเรียน บรรณานุกรม เกณฑ์การให้คะแนนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เฉลย
แบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบ
หลังเรียน เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน แบบสรุปผลการประเมินแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
และเกณฑ์การประเมนิ

ในการทาแบบฝึกทกั ษะใหน้ ักเรียนปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอนต่อไปนี้
1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน
2. ตรวจคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
3. บันทึกคะแนนแบบทดสอบก่อนเรยี น
4. ศกึ ษาใบความรู้
5. ทาแบบฝกึ ทักษะ
6. ตรวจคาตอบแบบฝึกทักษะ
7. บนั ทกึ คะแนนแบบฝึกทักษะ
8. ทาแบบทดสอบหลังเรียน
9. ตรวจคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน
10. บนั ทึกคะแนนแบบทดสอบหลังเรยี น
11. สรปุ การประเมนิ ผลการเรียนรู้

ก่อนการทาแบบฝึกทักษะแต่ละแบบฝึก นักเรียนควรศึกษาใบความรู้ที่มีเนื้อหาและ
ตัวอยา่ งให้เข้าใจก่อนทา และควรทาแบบฝึกทักษะดว้ ยตนเอง โดยการปฏบิ ัติตามขั้นตอนจากคาชี้แจง
ในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ด้วยความซ่ือสัตย์ ไม่ดูเฉลยก่อน ถ้าหากแบบฝึกทักษะใดที่
นักเรยี นไดค้ ะแนนไม่ถงึ ร้อยละ 60 นกั เรียนควรศกึ ษาเน้ือหานั้นซ้าอีกหรือขอคาแนะนาจากครู

แบบฝึกทักษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 2

แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์
เร่อื ง เซต ช้นั มัธยมศกึ ษำปที ่ี 4
เล่มที่ 3 สับเซตและเพำเวอร์เซต (2 ชัว่ โมง)

มำตรฐำนกำรเรยี นรู้ ตัวช้ีวัด

ค 4.1 ม.4-6/1 มีความคิดรวบยอดในเรื่องเซตและการดาเนินการของเซต
ค 6.1 ม.4-6/2 ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีในการ
แกป้ ัญหาในสถานการณต์ ่าง ๆ ได้อยา่ งเหมาะสม

จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้

ด้ำนควำมรู้ นกั เรยี นสามารถ
1. นกั เรียนสามารถหาสบั เซตของเซตที่กาหนดให้ได้
2. นกั เรียนสามารถหาเพาเวอร์เซตและบอกจานวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ ซตของเซต

ที่กาหนดให้ได้
ดำ้ นทักษะกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์

1. นกั เรียนสามารถให้เหตผุ ลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อยา่ งเหมาะสม
2. ใช้ภาษาและสัญลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ในการส่ือสาร การสือ่ ความหมายและ
การนาเสนอ ได้อยา่ งถูกต้อง และชดั เจน
ด้ำนคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์
- นักเรยี นมีความรอบคอบ
- นักเรียนมีวินัย

สำระกำรเรยี นรู้

1. สับเซต
2. เพาเวอรเ์ ซต
3. จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 3

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

เรอ่ื ง เซต รำยวชิ ำคณติ ศำสตร์ 1 รหสั วิชำ ค31101 ชัน้ มธั ยมศึกษำปที ี่ 4

เล่มท่ี 3 สับเซตและเพำเวอร์เซต คะแนนเตม็ 10 คะแนน เวลำ 15 นำที

คำช้แี จง ใหน้ ักเรียนเลอื กคาตอบที่ถูกท่ีสุด แล้วทาเครอื่ งหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ทก่ี าหนดให้

1. กาหนดให้ A = {{1}} สบั เซตท่เี ปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของเซต A คือขอ้ ใด
ก. {1}
ข. {{1}}
ค. , {1}
ง. , {{1}}

2. เซตในข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสบั เซตของเซต {, 1, {1, 2}}
ก. {{1, 2}}
ข. {{1}, {1, 2}}
ค. {, {1, 2}}
ง. {, 1, {1, 2}}

3. กาหนดให้ A = {A, C, {A, C}, D, Y} จานวนสบั เซตแท้ของเซต A ตรงกับข้อใด
ก. 31 ตวั
ข. 32 ตวั
ค. 33 ตวั
ง. 34 ตวั

4. ถา้ A และ B เป็นเซตใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) ถา้ A  B และ B  A แล้ว A = B
2) ถา้ A = B แลว้ A  B หรือ B  A

ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เป็นจรงิ
ข. ข้อความ 1) เท่านัน้ ท่เี ป็นจรงิ
ค. ขอ้ ความ 2) เทา่ นัน้ ทีเ่ ป็นจรงิ
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจรงิ

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 4

5. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
1) เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง
2) เซตวา่ งเป็นสับเซตของเซตทุกเซต

ข้อความใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง
ก. ข้อความ 1) และ 2) เป็นจริง
ข. ขอ้ ความ 1) เทา่ น้ันท่เี ปน็ จรงิ
ค. ข้อความ 2) เท่าน้ันที่เป็นจรงิ
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจริง

6. เซตในข้อใดตอ่ ไปน้ีไม่มสี ับเซตแท้
ก. A = {}
ข. B = {xI | x2 – 5x + 6 = 0}
ค. C = {xQ| x2 – 16 = 0}
ง. D = {xQ | x2 – 4 = 0}

7. กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนนับคู่ และ 1  x  5} จงหา P(A)
ก. P(A) = {{2}, {4}}
ข. P(A) = {{}, {2}, {4}}
ค. P(A) = {{, 2, 4}}
ง. P(A) = {, {2}, {4}, {2, 4}}

8. เซตในข้อใดต่อไปนี้ มจี านวนสมาชกิ ของ P(A) จานวน 16 ตวั
ก. A = {abcd}
ข. A = {1, 2, {3, 4}}
ค. A = {m, a, t, h}
ง. A = {3, 4}

9. กาหนดให้ A = {x | x เปน็ จานวนเฉพาะบวก และ x  10} จานวนสับเซตแทข้ องเซต A ท่ีไม่
เท่ากับเซตวา่ ง ตรงกบั ข้อใด

ก. 6 เซต
ข. 14 เซต
ค. 16 เซต
ง. 30 เซต

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 5

10. กาหนดให้ A = {2, {4, 6}, {2, 4, 6}, } แล้ว n(P(A)) – A เทา่ กับข้อใด
ก. 4 ตวั
ข. 8 ตวั
ค. 15 ตวั
ง. 32 ตวั

บนั ทกึ ผลคะแนนแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

คะแนนเตม็ คะแนนทไ่ี ด้
10

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 6

ใบควำมรทู้ ี่ 3.1
สบั เซต (Subset)

ให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ จะกล่าววา่
o เซต A เป็นสบั เซตของเซต B กต็ อ่ เมื่อ สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B
o เซต A ไม่เปน็ สับเซตของเซต B ก็ตอ่ เม่อื มีสมาชกิ อยา่ งน้อยหน่ึงตัวของเซต A ทไ่ี มเ่ ปน็

สมาชกิ ของเซต B เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ A  B

ตัวอยำ่ งท่ี 1 กาหนดให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3} เซต A เป็นสับเซตของเซต B หรอื ไม่

วิธที ำ พิจารณาจะเหน็ ว่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
จึงได้วา่ A  B

ตวั อย่ำงท่ี 2 กาหนดให้ A = {0, 2, 4}, B = {0, 2, 4}, C = {6, 8, 10, 12}, และ
D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

จะได้วา่ เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
AB เพราะสมาชิกทุกตัวของเซต B เปน็ สมาชกิ ของเซต A
BA เพราะสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต D
AD เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของเซต B เปน็ สมาชิกของเซต D
BD เพราะมสี มาชกิ อยา่ งน้อยหนึ่งตวั ของเซต A
AC ท่ีไม่เปน็ สมาชกิ ของเซต C เช่น 0  A แต่ 0  C
เพราะมสี มาชกิ อยา่ งน้อยหนง่ึ ตวั ของเซต B
BC ท่ไี มเ่ ป็นสมาชกิ ของเซต C เชน่ 2  B แต่ 2  C
เพราะมีสมาชกิ อย่างน้อยหนึง่ ตวั ของเซต C
CD ทไ่ี มเ่ ปน็ สมาชิกของเซต D เช่น 12  C แต่ 12  D

แบบฝึกทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 7

 ข้อสังเกต

ถ้า A  B แลว้ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และถ้า B  A แลว้
สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A เม่อื เงื่อนไขทัง้ สองเป็นจรงิ พร้อมกัน จะได้ว่า
A = B นนั่ คือ

ถา้ A  B และ B  A แล้ว A = B
ในทางตรงกันข้าม เมื่อพจิ ารณาเซต A และเซต B เม่อื A = B จะได้วา่ สมาชกิ ทกุ ตัวของ
เซต A เปน็ สมาชิกของเซต B นัน่ คือ A  B และสมาชกิ ทุกตวั ของเซต B เปน็ สมาชกิ ของเซต A
น่ันคอื B  A จะได้วา่

ถา้ A = B แล้ว A  B และ B  A
ดงั นัน้ จึงสรุปได้ว่า

A  B และ B  A ก็ต่อเมื่อ A = B

ตวั อย่ำงท่ี 3 กาหนดให้ A = {a, b, c} และ B = {c, a, b}
จะเหน็ ว่าสมาชิกทง้ั หมดของเซต A เปน็ สมาชกิ ของเซต B หรือ A  B
และ สมาชิกท้ังหมดของเซต B เปน็ สมาชกิ ของเซต A หรอื B  A
จึงไดว้ ่า A = B

ตัวอย่ำงท่ี 4 กาหนดให้ A = {2, 4, 6}, B = {x | x เป็นจานวนคู่ และ 1  x  7} และ
C = {2, 4, 6, 8}

จาก A, B และ C ทีก่ าหนดให้ จะพบว่ามีเซต B เขยี นในรูปแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก
ดังนัน้ เราตอ้ งเปลี่ยนให้อยูใ่ นรูปการเขยี นแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ B = {2, 4, 6}

เมอื่ นาเซต A เซต B และเซต C มาเปรียบเทียบกันจะพบว่า
A  B, A  C, B  A แต่ C  A และ C  B

ตัวอย่ำงท่ี 5 กาหนดให้ A = {x | x เปน็ จานวนเตม็ บวก}
B = {x | x เปน็ จานวนเตม็ }
C = {x | x เป็นจานวนตรรกยะ}
R = {x | x เปน็ จานวนจริง}

วธิ ีทำ จะได้ว่า A  B  C  R

แบบฝกึ ทักษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 8

 กำรหำสบั เซตและจำนวนสับเซตของเซตท่ีกำหนดให้

กำรหำสับเซต
เมื่อกาหนดเซต A ให้ สบั เซตท้งั หมดของเซต A คือ เซตท้ังหมดทีม่ ีสมาชกิ เปน็

สมาชกิ ของเซต A

กำรหำจำนวนสับเซตของเซตทก่ี ำหนดให้
ถ้าเซต A มจี านวนสมาชิกเทา่ กบั n ตัว แลว้ จานวนสับเซตทงั้ หมดของเซต A

เท่ากับ 2n สบั เซต

กำรหำสบั เซตแท้
o ถ้า A  B และ A ≠ B จะเรียกวา่ เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B
o ถา้ A  B และ A = B จะเรียกวา่ เซต A เป็นสับเซตไม่แท้ของเซต B
o ถา้ เซต A มีจานวนสมาชิกเทา่ กับ n ตวั แลว้ จานวนสับเซตแท้ของเซต A
เทา่ กบั 2n – 1 สบั เซต

หนู ๆ ลองพจิ ารณาตัวอย่างท่ี 6
หน้าตอ่ ไป เก่ยี วกบั การหาสบั เซต
ทง้ั หมดของเซตที่กาหนดใหน้ ะจะ๊

จะไดเ้ ขา้ ใจมากยิง่ ขึ้นจ้า

แบบฝกึ ทักษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 9

ตัวอยำ่ งที่ 6 กาหนดให้ A = {1, 2} จงหาสับเซตท่เี ปน็ ไปได้ท้ังหมดของเซต A

วิธีคดิ ในการพจิ ารณาหาสับเซตของเซตท่ีกาหนดให้ จะใช้การพจิ ารณาว่า สมาชิกแตล่ ะตัวใน
เซตที่กาหนดใหเ้ ป็นสมาชกิ ของสบั เซตของเซตน้ันหรอื ไม่

วิธที ำ จากเซต A ท่โี จทยก์ าหนดให้ มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2
ให้สมาชกิ ตัวท่ี 1 คอื 1 และสมาชิกตวั ท่ี 2 คอื 2
แสดงการหาสบั เซตทีเ่ ปน็ ไปได้ทงั้ หมดของเซต A โดยใช้แผนภาพตน้ ไม้ ดังน้ี

สมาชกิ ตัวท่ี 1 สมาชกิ ตัวที่ 2 สบั เซต

เป็นสมาชิก เป็นสมาชกิ {1, 2}
ไมเ่ ปน็ สมาชิก ไมเ่ ป็นสมาชกิ {1}
เป็นสมาชกิ {2}
ไมเ่ ป็นสมาชกิ {}

ดังนนั้ สับเซตทีเ่ ปน็ ไปได้ท้ังหมดของเซต A คอื {1, 2}, {1}, {2} และ { }

จากตวั อยา่ งจะเหน็ ว่า เมื่อจาแนกสบั เซตของเซต A ตามจานวนสมาชกิ ของสับเซต
จะจาแนกได้เปน็ 3 แบบ คอื

สบั เซตของเซต A ทีไ่ มม่ สี มาชกิ เลย มี 1 สบั เซต คอื { }
สบั เซตของเซต A ท่มี สี มาชกิ 1 ตัว มี 2 สบั เซต คือ {1}, {2}
สบั เซตของเซต A ที่มสี มาชิก 2 ตวั มี 1 สับเซต คือ {1, 2}

แบบฝกึ ทักษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 10

ตัวอย่ำงท่ี 7 กาหนดให้ B = {a, b, c} จงหาสับเซตท่เี ป็นไปไดท้ ง้ั หมดของเซต B

วธิ ีคิด ในการพจิ ารณาหาสับเซตของเซตที่กาหนดให้ จะใช้การพิจารณาว่า สมาชิกแต่ละตวั ใน
เซตที่กาหนดให้เป็นสมาชิกของสับเซตของเซตน้นั หรือไม่

วิธีทำ จากเซต A ท่ีโจทยก์ าหนดให้ มสี มาชิก 3 ตัว คอื a, b และ c
ให้สมาชกิ ตัวที่ 1 คือ a และสมาชกิ ตวั ที่ 2 คอื b และสมาชิกตวั ที่ 3 คอื c
แสดงการหาสบั เซตทีเ่ ปน็ ไปได้ทั้งหมดของเซต B โดยใช้แผนภาพต้นไม้ ดังน้ี

สมาชกิ ตัวท่ี 1 สมาชิกตัวที่ 2 สมาชิกตวั ที่ 3 สบั เซต

เปน็ สมาชิก เป็นสมาชิก เปน็ สมาชกิ {a, b, c}
ไมเ่ ปน็ สมาชิก ไม่เป็นสมาชิก {a, b}
เป็นสมาชิก {a, c}
ไม่เปน็ สมาชิก {a}

ไม่เปน็ สมาชกิ เป็นสมาชิก เป็นสมาชิก {b, c}
ไม่เป็นสมาชิก ไม่เปน็ สมาชกิ {b}
เปน็ สมาชิก {c}
ไม่เป็นสมาชกิ {}

ดังนัน้ สับเซตทเ่ี ปน็ ไปได้ท้ังหมดของเซต B คอื {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a},
{b}, {c} และ { }

แบบฝึกทักษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 11

จากตวั อยา่ งจะเห็นวา่ เมอ่ื จาแนกสับเซตของเซต B ตามจานวนสมาชิกของ
สบั เซตจะจาแนกได้เปน็ 4 แบบ คือ

สบั เซตของเซต B ที่ไม่มีสมาชกิ เลย มี 1 สบั เซต คอื { }
สับเซตของเซต B ท่ีมสี มาชิก 1 ตัว มี 3 สับเซต คอื {a}, {b}, {c}
สบั เซตของเซต B ที่มสี มาชิก 2 ตวั มี 3 สับเซต คอื {a, b}, {a, c}, {b, c}
สบั เซตของเซต B ท่มี สี มาชิก 3 ตวั มี 1 สับเซต คอื {a, b, c}

ถา้ อยา่ งน้นั เราลองไปดตู ัวอย่างตอ่ ไปดีกวา่
ดีไหม เพอ่ื ที่เราจะได้เข้าใจมากยง่ิ ข้นึ

กไ็ ด.้ ....ลุยเลย
Go Go Go

แบบฝกึ ทักษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 12

ตวั อยำ่ งท่ี 8 ถา้ กาหนดให้ A = {1, 2, 3} จงหาสับเซตทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดของเซต A

วธิ ีทำ สบั เซตท่เี ปน็ ไปไดท้ ้ังหมดของเซต A คือ

1) {1} 2) {2}

3) {3} 4) {1, 2}

5) {1, 3} 6) {2, 3}

*7) {1, 2, 3} **8) 

จานวนสับเซตท้งั หมดของเซต A เทา่ กบั 23 = 8 สบั เซต

 ข้อสังเกต
*1. เซตทุกเซตเปน็ สับเซตของตัวเอง น่ันคือถ้าเซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A
**2. เซตว่างเปน็ สับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือถ้าเซต A เปน็ เซตใด ๆ แลว้   A

ตัวอยำ่ งท่ี 9 จงหาสับเซตท้ังหมดและสับเซตแทข้ องเซต A เมื่อกาหนดให้ A = {1, 2, 3, 4}

วธิ ีทำ สบั เซตของเซต A ที่ไมม่ ีสมาชิกเลย ได้แก่ 
สับเซตของเซต A ที่มีสมาชิก 1 ตวั ได้แก่ {1}, {2}, {3}, {4}
สับเซตของเซต A ทม่ี ีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
สบั เซตของเซต A ทมี่ สี มาชิก 3 ตวั ไดแ้ ก่ {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
สับเซตของเซต A ท่มี สี มาชกิ 4 ตวั ไดแ้ ก่ {1, 2, 3, 4}

ดงั นนั้ สับเซตทงั้ หมดของเซต A ไดแ้ ก่ , {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}
จานวนสับเซตทัง้ หมดของเซต A เท่ากบั 24 = 16 สบั เซต
จานวนสบั เซตแทข้ องเซต A เทา่ กบั 24 – 1 = 15 สบั เซต

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 13

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1

1. จงทำเครอ่ื งหมำย  ลงในชอ่ งทแี่ สดงควำมสัมพนั ธข์ องเซตตอ่ ไปนี้

ขอ้ เซตท่ีกำหนด ควำมสัมพันธข์ องเซตที่
กำหนดให้
ตวั อยำ่ ง A = {2, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2}
1.1 A = {1, 2} , เซต A เป็น เซต A ไมเ่ ป็น
สับเซตของ สบั เซตของ
B = {1, 2, 3, 4, 5}
1.2 A = {3, 4, 5}, เซต B เซต B

B = {3, 5, 7, 9, 11}
1.3 A = {a, b} ,

B = {a, b, c, d}
1.4 A = {1, 2, 3, 4} ,

B = {4, 2, 3, 1}
1.5 A = {1, 2, 3, 4, 5} ,

B = {1, {2, 3, 4, 5}}
1.6 A = {x, y} ,

B = {{x}, {y}}
1.7 A = {a, b, i, o, u} ,

B = {a, e, i, o, u}
1.8 A = { } ,

B = {2, {3}}
1.9 A = {x | x เป็นจานวนนบั } ,

B = {x | x เป็นจานวนเตม็ }
1.10 A = {x | x เป็นจานวนเฉพาะ},

B = {x | x เป็นจานวนเต็มบวก}

แบบฝึกทักษะเล่มท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 14

2. จงพจิ ำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ีโดยทำเคร่อื งหมำย  หน้ำขอ้ ท่ีถกู ต้องและทำเคร่ืองหมำย 
หน้ำข้อทีไ่ ม่ถูกต้อง เม่ือกำหนดให้

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4}, D = {2, 3, 4, 5}

...............2.1 A  B ...............2.2 B  A
...............2.3 A  C ...............2.4 C  D
...............2.5 D  C ...............2.6 A  A
...............2.7 B  C ...............2.8 B  D
...............2.9 B  B ...............2.10 C  D

บันทึกผลคะแนนแบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1

คะแนนเต็ม คะแนนท่ไี ด้
ขอ้ 1
ขอ้ 2 10
รวม 10
20

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 15

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.2

1. จงเขียนสับเซตทง้ั หมดและบอกจำนวนสับเซตของเซตทก่ี ำหนดให้ตอ่ ไปนี้

ตวั อย่ำง S = {a, t, m}
ตอบ สับเซตท้ังหมดของเซต S คือ , {a}, {t}, {m}, {a, t}, {a, m}, {t, m},

{a, t, m}
จำนวนสบั เซตของ S เท่ำกบั 8 สบั เซต

1.1 A = {3}
สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ...............................................................................................
จานวนสับเซตของเซต A เท่ากบั ............................................................................................

1.2 B = {2, 4}
สับเซตท้ังหมดของเซต B คอื ..................................................................................................
จานวนสบั เซตของเซต B เทา่ กับ............................................................................................

1.3 C = {2, {3}}
สบั เซตทง้ั หมดของเซต C คอื ..................................................................................................
จานวนสับเซตของเซต C เท่ากับ............................................................................................

1.4 D = {}
สับเซตทั้งหมดของเซต D คอื .................................................................................................
จานวนสับเซตของเซต D เท่ากบั ............................................................................................

แบบฝึกทักษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 16

1.5 E = {a, b, c}
สบั เซตทง้ั หมดของเซต E คอื ..................................................................................................
จานวนสับเซตของเซต E เท่ากบั ............................................................................................

1.6 F = { }
สับเซตทงั้ หมดของเซต F คือ.................................................................................................
จานวนสบั เซตของเซต F เท่ากบั ............................................................................................

1.7 G = {1, {1, 2}}
สบั เซตทง้ั หมดของเซต G คอื ................................................................................................
จานวนสับเซตของเซต G เทา่ กับ............................................................................................

1.8 H = {, {}}
สับเซตท้ังหมดของเซต H คือ.................................................................................................
จานวนสับเซตของเซต H เทา่ กับ............................................................................................

1.9 I = {-1, 0, 1}
สับเซตท้งั หมดของเซต I คือ...................................................................................................
จานวนสบั เซตของเซต I เท่ากับ.............................................................................................

1.10 J = {-1, {-2, -3}}
สบั เซตท้งั หมดของเซต J คือ..................................................................................................
จานวนสบั เซตของเซต J เทา่ กับ.............................................................................................

แบบฝึกทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 17

2. จงหำจำนวนสับเซตทั้งหมดและจำนวนสบั เซตแทข้ องเซตทีก่ ำหนดใหต้ ่อไปนี้

A = {2, 4, 6, 8} จำนวนสมำชิกของเซต A เท่ำกบั 4 ตัว
จำนวนสับเซตท้งั หมด เท่ำกับ 24 = 16 สบั เซต
จำนวนสับเซตแท้ เทำ่ กับ 24 – 1 = 15 สบั เซต

2.1 A =  จานวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากับ ...............................................
จานวนสบั เซตทง้ั หมด เทา่ กับ ....................................................
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ ...........................................................

2.2 B = {1, {1}} จานวนสมาชกิ ของเซต B เท่ากบั ...............................................
จานวนสับเซตท้งั หมด เทา่ กบั ....................................................
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ ...........................................................

2.3 C = {a, b, c} จานวนสมาชิกของเซต C เทา่ กับ ...............................................
จานวนสบั เซตทัง้ หมด เท่ากับ ....................................................
จานวนสับเซตแท้ เทา่ กับ ...........................................................

2.4 D = {{a, b}, {d}} จานวนสมาชิกของเซต D เท่ากับ ...............................................

จานวนสบั เซตทัง้ หมด เท่ากับ ....................................................

จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ ...........................................................

จานวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กับ ...............................................

จานวนสบั เซตทัง้ หมด เท่ากับ ....................................................

2.5 E = {1234} จานวนสัมบาเซชตกิ แขทอ้งเเทซา่ตกEับ เ.ท...า่ ..ก..ับ...................................................

จานวนสบั เซตท้ังหมด เทา่ กบั ....................................................

จานวนสบั เซตแท้ เทา่ กับ ...........................................................

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 18

2.6 F = {{{1}}} จานวนสมาชิกของเซต F เท่ากับ ...............................................
จานวนสบั เซตทง้ั หมด เทา่ กับ ....................................................
จานวนสบั เซตแท้ เทา่ กับ ...........................................................

2.7 G = {ab, cd, e, f, gh}
จานวนสมาชิกของเซต G เท่ากับ...............................................
จานวนสับเซตทั้งหมด เทา่ กับ...................................................
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ...........................................................

2.8 H = {x | x เป็นจานวนคู่บวกและ x  5}
จานวนสมาชิกของเซต H เทา่ กับ...............................................
จานวนสับเซตทงั้ หมด เทา่ กับ....................................................
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ...........................................................

2.9 I = {x  I | x2 = 1} จานวนสมาชิกของเซต I เท่ากับ ...............................................
จานวนสับเซตท้งั หมด เทา่ กับ ....................................................
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ ...........................................................

2.10 J = {x  N | – 5  x  4}
จานวนสมาชกิ ของเซต J เท่ากบั ...............................................
จานวนสับเซตทัง้ หมด เทา่ กับ....................................................
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ...........................................................

แบบฝึกทกั ษะเลม่ ท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 19

3. จงตอบคำถำมต่อไปน้ี เม่อื กำหนดให้
S = {A, M}

3.1 จานวนสับเซตทงั้ หมดของเซต S
ตอบ ...................................................................................................................................

3.2 จานวนสบั เซตแทข้ องเซต S
ตอบ ....................................................................................................................................

3.3 จานวนสบั เซตแท้ของเซต S ที่ไมใ่ ชเ่ ซตว่าง
ตอบ ...................................................................................................................................

3.4 จานวนสบั เซตท้ังหมดของเซต S ทีม่ ีสมาชิก 0 ตวั
ตอบ ...................................................................................................................................

3.5 จานวนสับเซตท้งั หมดของเซต S ทม่ี ีสมาชิก 1 ตวั
ตอบ ...................................................................................................................................

3.6 จานวนสับเซตทัง้ หมดของเซต S ที่มีสมาชกิ 2 ตวั
ตอบ ...................................................................................................................................

3.7 สับเซตทเ่ี ปน็ สับเซตไมแ่ ท้ของเซต S คือ
ตอบ ...................................................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 20

บนั ทกึ ผลคะแนนแบบฝกึ ทักษะท่ี 3.2

คะแนนเต็ม คะแนนท่ไี ด้
ข้อ 1
ข้อ 2 10
ขอ้ 3 15
รวม 7
32

โอ้โห!!!!! หนทู าแบบฝึกทกั ษะ
ได้คะแนนเตม็ เลยคะ่

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 21

ใบควำมรทู้ ี่ 3.2
เพำเวอร์เซต (Power sets)

เพำเวอร์เซตของเซต A
หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชกิ ทีเ่ ป็นสบั เซตของ A ทง้ั หมด เพาเวอรเ์ ซตของเซต

A แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ P(A) จานวนสมาชกิ ของ P(A) หาได้จาก n(P(A)) = 2n เมอื่ n คอื
จานวนสมาชิกของเซต A

ตวั อย่ำงท่ี 8 จงหาเพาเวอรเ์ ซตและจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซตทีก่ าหนดให้
1) A = {5, 7, 9}
2) B = {a, b, {c}}
3) C = {, {1, 2}}
4) D = 

วิธที ำ จะได้

1) สับเซตท้ังหมดของเซต A คือ , {5}, {7}, {9}, {5, 7}, {5, 9}, {7, 9}, {5, 7, 9}
ดังน้ัน P(A) = {, {5}, {7}, {9}, {5, 7}, {5, 9}, {7, 9}, {5, 7, 9}}
จานวนสมาชกิ ของเซต P(A) = 23 = 8 ตวั

2) สบั เซตท้งั หมดของเซต B คอื , {a}, {b}, {{c}}, {a, b}, {a, {c}}, {b, {c}},
{a, b, {c}}

ดงั นั้น P(B) = {, {a}, {b}, {{c}}, {a, b}, {a, {c}}, {b, {c}}, {a, b, {c}}}
จานวนสมาชิกของเซต P(B) = 23 = 8 ตวั

3) สับเซตท้งั หมดของเซต C คอื , {}, {{1, 2}}, {, {1, 2}}
ดงั น้นั P(C) = {, {}, {{1, 2}}, {, {1, 2}}}
จานวนสมาชกิ ของเซต P(C) = 22 = 4 ตวั

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 22

4) สับเซตทงั้ หมดของเซต D คอื 

ดังน้ัน P(D) = {}
จานวนสมาชิกของเซต P(D) = 20 = 1 ตวั

สมบตั ิของเพำเวอรเ์ ซต

ให้ A และ B เปน็ เซตใด ๆ
1. A  B กต็ อ่ เม่ือ P(A)  P(B)
2. P(A  B) = P(A)  P(B)
3. P(A  B) = P(A)  P(B)

ข้อควรทราบ
1.   A นั่นคอื เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
2. A  A น่นั คือ เซตทุกเซตเป็นสบั เซตของตัวเอง
3. ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C
4. ถ้า A  B และ B เป็นเซตจากดั แล้ว A ตอ้ งเป็นเซตจากดั
5. ถา้ A  B และ A เปน็ เซตอนันตแ์ ล้ว B ตอ้ งเปน็ เซตอนนั ต์
6. A = B กต็ อ่ เม่ือ A  B และ B  A
7. A  P(A)
8. ถ้า A เปน็ เซตอนนั ตแ์ ลว้ P(A) เป็นเซตอนันต์
9. ถา้ A  B แล้ว P(A)  P(B)
10. P(A)  P(B)  P(A  B)
11. P(A)  P(B)  P(A  B)

แบบฝกึ ทักษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 23

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.3

คำชแ้ี จง จงหำเพำเวอร์เซตและจำนวนสมำชิกของเพำเวอรเ์ ซตจำกเซตที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี

ตวั อยำ่ ง M = {7, 11}
ตอบ P(M) = {, {7}, {11}, {7, 11}} จำนวนสมำชิกของ P(M) = 22 = 4 ตัว

1. A = {1}
ตอบ P(A) =....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(A) =...................................................................................................

2. B = {a, b}
ตอบ P(B) =.....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(B) =....................................................................................................

3. C = 
ตอบ P(C) =.....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(C) =....................................................................................................

4. D = {2, 4, 6}
ตอบ P(D) =.....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(D) =....................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 24

5. E = {}
ตอบ P(E) =....................................................................................................................
จานวนสมาชิกของ P(E) =...................................................................................................

6. F = {1, {3, 5}}
ตอบ P(F) =....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(F) =...................................................................................................

7. G = {x | x  I และ 1  x  3}
ตอบ P(G) =....................................................................................................................
จานวนสมาชกิ ของ P(G) =...................................................................................................

8. H = {x | x สอดคล้องกับสมการ x2 = 4}
ตอบ P(H) =....................................................................................................................
จานวนสมาชิกของ P(H) =...................................................................................................

9. I = {x | x  N และ x2 = 9}
ตอบ P(I) =....................................................................................................................
จานวนสมาชิกของ P(I) =...................................................................................................

10. J = {x | x  I และ |x| = 1}
ตอบ P(J) =....................................................................................................................
จานวนสมาชิกของ P(J) =...................................................................................................

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 25

บันทึกผลคะแนนแบบฝึกทกั ษะที่ 3.3

คะแนนเต็ม คะแนนทีไ่ ด้
10

เห็นไหม ว่าทุกคนทาได้
เยี่ยมจริง ๆ

แบบฝึกทกั ษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 26

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.4

1. จงพจิ ำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปนโ้ี ดยทำเครื่องหมำย  หนำ้ ข้อท่ถี กู ตอ้ งและทำเครอื่ งหมำย 
หน้ำข้อที่ไมถ่ ูกต้อง เมือ่ กำหนดให้

A = {0 1}

...............1.1   P(A) ...............1.2 {}  P(A)
...............1.3 {}  P(A) ...............1.4 {0, 1}  P(A)
...............1.5 {1}  P(A) ...............1.6 A  P(A)
...............1.7 {{0}, {1}}  P(A) ...............1.8 P(A)  P(A)

2. จงตอบคำถำมต่อไปน้ี

2.1 ถ้า A เป็นเซตท่มี สี มาชิก 3 ตวั แลว้ P(A) จะมจี านวนสมาชิก............................ตวั
2.2 ถา้ B เป็นเซตทม่ี ีสมาชิก 5 ตวั แล้วสับเซตแท้ของ B จะมจี านวนสมาชิก...........ตวั
2.3 ถ้า C = {3} จงหา P(P(C))
........................................................................................... .........................................
2.4 ถ้า D =  จงหา P(P(P(D)))
............................................................................................................... ......................
2.5 ถ้า E = {5} แลว้ P(P(P(E))) จะมีจานวนสมาชกิ ................................................ตวั

แบบฝกึ ทักษะเลม่ ท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 27

3. จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปน้ีโดยทำเคร่ืองหมำย  หน้ำข้อท่ีถูกต้องและทำเคร่ืองหมำย 
หน้ำขอ้ ทีไ่ มถ่ กู ตอ้ ง เมื่อกำหนดให้

……………3.1   P(A)
……………3.2 A  P(A)

……………3.3 A  P(A)
……………3.4 มเี ซต A ซึ่งทาให้ n(P(A)) = 18
……………3.5 มเี ซต A ซึ่งทาให้ n(P(P(A))) = 256

……………3.6 มีเซต A และเซต B ท่ี A  B และ A  B

……………3.7 ถา้ A  B แลว้ P(A)  P(B)

……………3.8 ถา้ P(A)  P(B) แลว้ A  B
……………3.9 มีเซต A ซง่ึ P(A) = 
……………3.10 ถา้ P(A) = P(B) แล้ว A = B
……………3.11 ถ้า n(A) = n(B) แลว้ P(A) = P(B)
……………3.12 ถ้า A เป็นเซตอนนั ต์แลว้ P(A)เปน็ เซตอนันต์

บนั ทึกผลคะแนนแบบฝึกทกั ษะท่ี 3.4

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้
ขอ้ 1
ข้อ 2 8
ขอ้ 3 5
รวม 12
25

แบบฝกึ ทักษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 28

แบบทดสอบหลังเรียน

เรือ่ ง เซต รำยวชิ ำคณติ ศำสตร์ 1 รหสั วิชำ ค31101 ชั้นมัธยมศกึ ษำปีท่ี 4

เล่มที่ 3 สบั เซตและเพำเวอร์เซต คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลำ 15 นำที

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นเลอื กคาตอบท่ีถูกที่สุด แล้วทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบท่ี
กาหนดให้

1. กาหนดให้ A = {{}} สับเซตท่เี ป็นไปไดท้ ้ังหมดของเซต A คอื ข้อใด
ก. {}
ข. {{}}
ค. , {{}}
ง. , {{{}}}

2. เซตในข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นสบั เซตของเซต {, 1, {1, 2}}
ก. {1, 2}
ข. {{1}, {1, 2}}
ค. {, {1}, {1, 2}}
ง. {, 1, {1, 2}}

3. กาหนดให้ A = {1, 2, {3, 4}, 5} จานวนสับเซตแท้ของเซต A ตรงกับข้อใด
ก. 14
ข. 15
ค. 16
ง. 17

4. ถา้ A และ B เปน็ เซตใดๆ จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
1) ถา้ A  B และ B  A แล้ว A = B
2) ถา้ A = B แล้ว A  B และ B  A

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง
ก. ขอ้ ความ 1) และ 2) เปน็ จรงิ
ข. ขอ้ ความ 1) เทา่ นน้ั ท่ีเปน็ จรงิ
ค. ข้อความ 2) เท่าน้ันท่ีเป็นจรงิ
ง. ข้อความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจริง

แบบฝึกทักษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 29

5. จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้
1) เซตทุกเซตเปน็ สับเซตของตวั เอง
2) เซตว่างเปน็ สับเซตของเซตทุกเซต

ขอ้ ความใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อความ 1) เท่าน้นั ทเี่ ป็นจริง
ข. ข้อความ 2) เท่านน้ั ที่เปน็ จรงิ
ค. ขอ้ ความ 1) และ 2) เป็นจริง
ง. ขอ้ ความ 1) และ 2) ไมเ่ ป็นจรงิ

6. เซตในข้อใดตอ่ ไปนีม้ ีสบั เซตแท้
ก. A = { }
ข. B = {xQ| x2 – 5x + 6 = 0}
ค. C = {xI | –5  x  –4}
ง. D = {xQ | x2– 4 = 0}

7. กาหนดให้ A = {x | x เปน็ จานวนนบั ค่ี และ 1  x  5} จงหา P(A)
ก. P(A) = {{1}, {3}}
ข. P(A) = {, {1}, {3}, {1, 3}}
ค. P(A) = {{}, {1}, {3}}
ง. P(A) = {{, 1, 3}}

8. เซตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี มีจานวนสบั เซตทั้งหมดจานวน 16 สบั เซต
ก. A = {1, 2, {3, 4}, 4}
ข. B = {7, 11}
ค. C = {ma, t, h}
ง. D = {3, 4, 5, 7, 9}

9. กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนเตม็ คู่ และ 1  x  10} แล้วจานวนสับเซตแท้ของเซต
A ที่ไมเ่ ทา่ กบั เซตวา่ ง ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 6 ตวั
ข. 14 ตวั
ค. 16 ตวั
ง. 30 ตวั

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 30

10. กาหนดให้ A ={1, {3, 5}, } แล้ว n(P(A)) – A เทา่ กับข้อใด
ก. 7 ตวั
ข. 8 ตวั
ค. 15 ตวั
ง. 32 ตวั

บนั ทึกผลคะแนนแบบทดสอบหลังเรียน

คะแนนเตม็ คะแนนท่ีได้
10

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 31

บรรณำนุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และ รณชยั มาเจริญทรพั ย์. (มปพ.). รวมข้อสอบ คณิตศำสตร์ O-NET.
กรุงเทพฯ : ภมู บิ ัณฑิต.

กมล เอกไทยเจริญ. (2554). Advance Series คณิตศำสตร์ ม.4-5-6 เลม่ 1
(เซตและระบบจำนวนจริง). กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชิง่ .

จักรินทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. (มปพ.). คู่มือเตรยี มสอบ O-NET กลุ่มสำระกำรเรียนรคู้ ณติ ศำสตร์.
กรงุ เทพฯ : พ.ศ. พฒั นา.

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2546). แบบฝึกมำตรฐำนคณติ ศำสตรพ์ ื้นฐำน ช่วงช้นั ที่ 4(ม.4-ม.6)
ชนั้ มัธยมศึกษำปีที่ 4 เล่มที่ 1 ภำคเรยี นท่ี 1. กรุงเทพฯ : แมค็ เอด็ ดูเคชั่น.

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. (2558). หนังสือเรียน รำยวิชำพ้ืนฐำน คณิตศำสตรพ์ นื้ ฐำน เล่ม 1 ชนั้
มัธยมศึกษำปที ่ี 4 – 6 . กรุงเทพฯ : แมค็ เอ็ดดูเคชนั่ .

พนั ธศ์ กั ด์ิ ภทู อง. (2549). แผนกำรจดั กำรเรยี นรู้ คณิตศำสตร์ ม.4 เล่ม 1.
กรงุ เทพฯ : พฒั นาศึกษา.

มนตรี เหรียญไพโรจน.์ (2557). Compact คณิตศำสตร์ ม.4. กรงุ เทพฯ : แม็คเอ็ดดเู คช่นั .
วัลลภา บุญวเิ ศษ และ สงบ ศริ ิบรู ณ.์ (มปพ.). แบบฝึกกำรเรยี นและเสรมิ ประสบกำรณค์ ณิตศำสตร์

ม.4. กรงุ เทพฯ : มลั ตมิ เี ดยี พับลเิ ชอรส์ .
ศุภกจิ เฉลิมวิสุตม์กุล. (2549). หนงั สอื เรยี นคณิตศำสตร์พน้ื ฐำน ม.4 ภำคเรียนที่ 1.

กรงุ เทพฯ : แมค็ เอ็ดดเู คช่ัน.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2555). หนงั สอื เรยี นรำยวิชำพ้ืนฐำน

คณติ ศำสตร์ เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศึกษำปีท่ี 4-6. กรุงเทพมหานคร: องคก์ ารคา้ ของ สกสค.
สานักงานเลขาธิการสภาการศึกษา. (2550). แผนกำรจดั กำรเรียนรู้ เร่ือง เซต หลกั สูตรลด

ระยะเวลำเรยี นสำหรบั ผู้มคี วำมสำมำรถพิเศษดำ้ นคณติ ศำสตร์ ระดบั มัธยมศึกษำตอน
ปลำย. นนทบุรี : ออฟเซท็ เพลส จากัด.

แบบฝกึ ทักษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

ภำคผนวก

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 33

เกณฑก์ ำรให้คะแนนแบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์
เรื่อง เซต ช้ันมธั ยมศกึ ษำปีท่ี 4

เลม่ ท่ี 3 เรือ่ งสับเซตและเพำเวอร์เซต (2 ชั่วโมง)

1. แบบทดสอบ
1.1 แบบทดสอบก่อนเรียน
เปน็ แบบทดสอบแบบปรนยั ชนดิ เลอื กตอบ 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน
ข้อละ 1 คะแนน ให้คะแนนดังน้ี
ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมต่ อบ
1.2 แบบทดสอบหลังเรียน
เปน็ แบบทดสอบแบบปรนัย ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน
ขอ้ ละ 1 คะแนน ให้คะแนนดังน้ี
ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ

2. แบบฝึกทกั ษะ
2.1 แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1 จำนวน 2 ข้อ 20 คะแนน
ข้อ 1 เป็นแบบเติมคาตอบ (10 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน) ให้คะแนนดงั น้ี
ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกตอ้ ง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมต่ อบ
ข้อ 2 เป็นแบบถกู – ผิด (10 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน) ให้คะแนนดังน้ี
ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกตอ้ ง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไม่ถูกต้อง หรือไม่ตอบ

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 34

2.2 แบบฝึกทกั ษะที่ 3.2 จำนวน 3 ข้อ 37 คะแนน

ขอ้ 1 เปน็ แบบเขยี นตอบ (10 ขอ้ ข้อละ 1.5 คะแนน รวม 15 คะแนน) ใหค้ ะแนนดงั น้ี

การเขยี นสบั เซตทงั้ หมด

ได้ 1 คะแนน : เขียนสบั เซตทั้งหมดของเซตท่ีกาหนดให้ไดถ้ ูกต้องครบทุก
ตวั

ได้ 0.5 คะแนน : เขียนสับเซตทั้งหมดของเซตท่กี าหนดให้ได้ถูกต้องไมน่ อ้ ย

ได้ 0 คะแนน กวา่ รอ้ ยละ 50 ของจานวนสบั เซตท้ังหมด
: เขียนสับเซตท้ังหมดของเซตท่กี าหนดให้ไดไ้ ม่ถูกตอ้ ง
หรือไม่ตอบ

การหาจานวนสับเซต

ได้ 0.5 คะแนน : เขียนจานวนสับเซตของเซตทก่ี าหนดให้ไดถ้ ูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : เขยี นจานวนสบั เซตของเซตทก่ี าหนดให้ไดไ้ มถ่ ูกตอ้ ง

หรอื ไม่ตอบ

ขอ้ 2 เติมคาตอบ (10 ข้อละ 1.5 คะแนน รวม 15 คะแนน) ใหค้ ะแนนดังน้ี

จานวนสมาชิกของเซต

ได้ 0.5 คะแนน : เขยี นจานวนสมาชกิ ของเซตทก่ี าหนดให้ได้ถูกต้อง

ได้ 0 คะแนน : เขยี นจานวนสมาชกิ ของเซตทีก่ าหนดให้ไดไ้ มถ่ ูกตอ้ ง
หรอื ไม่ตอบ

จานวนสบั เซตท้ังหมด

ได้ 0.5 คะแนน : เขยี นจานวนสบั เซตทงั้ หมดของเซตที่กาหนดให้ได้ถกู ตอ้ ง

ได้ 0 คะแนน : เขยี นจานวนสบั เซตทง้ั หมดของเซตทกี่ าหนดใหไ้ ด้ไม่ถูกต้อง
หรอื ไมต่ อบ

จานวนสับเซตแท้

ได้ 0.5 คะแนน : เขียนจานวนสับเซตแทท้ ั้งหมดของเซตที่กาหนดให้ได้

ได้ 0 คะแนน ถกู ตอ้ ง
: เขียนจานวนสบั เซตแทท้ ้ังหมดของเซตที่กาหนดให้ได้ไม่
ถูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ

ขอ้ 3 แบบเติมคาตอบ (7 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน รวม 7 คะแนน) ใหค้ ะแนนดังนี้

ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 35

2.3 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.3 จำนวน 10 ข้อ 20 คะแนน

(10 ข้อ ข้อละ 1.5 คะแนน รวม 15 คะแนน) ให้คะแนนดงั น้ี

การเขยี นเพาเวอรเ์ ซต

ได้ 1 คะแนน : เขียนเพาเวอรเ์ ซตของเซตท่ีกาหนดให้ได้ถกู ตอ้ งครบทุกตัว
ได้ 0.5 คะแนน : เขียนเพาเวอร์เซตของเซตที่กาหนดให้ไดถ้ ูกตอ้ งไม่น้อยกว่า

ร้อยละ 50 ของจานวนเพาเวอรเ์ ซตท้ังหมด
ได้ 0 คะแนน : เขียนเพาเวอรเ์ ซตของเซตท่ีกาหนดใหไ้ ด้ไม่ถกู ต้อง หรือไม่

ครบทกุ ตวั หรือไม่ตอบ
การหาจานวนสมาชกิ ของเพาเวอรเ์ ซต

ได้ 0.5 คะแนน : เขยี นจานวนเพาเวอรเ์ ซตของเซตท่กี าหนดให้ได้ถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : เขียนจานวนเพาเวอรเ์ ซตของเซตที่กาหนดใหไ้ ด้ไม่ถูกต้อง

หรือไม่ตอบ
2.4 แบบฝึกทักษะท่ี 3.4 จำนวน 3 ขอ้ 25 คะแนน

ขอ้ 1 เปน็ แบบถกู – ผดิ (8 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน รวม 8 คะแนน) ใหค้ ะแนนดงั นี้

ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไม่ถูกต้อง หรือไม่ตอบ
ขอ้ 2 เปน็ แบบเขยี นตอบ (5 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 5 คะแนน) ให้คะแนนดงั น้ี

ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ
ข้อ 3 เปน็ แบบถกู – ผดิ (12 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 12 คะแนน) ให้คะแนนดังนี้

ได้ 1 คะแนน : คาตอบถูกต้อง
ได้ 0 คะแนน : คาตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไมต่ อบ

แบบฝึกทักษะเลม่ ท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 36

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ชั้นมัธยมศึกษำปีท่ี 4
เวลำ 15 นำที
เรอื่ ง เซต รำยวิชำ คณิตศำสตร์ 1 รหัสวชิ ำ ค31101
เล่มท่ี 3 สบั เซตและเพำเวอร์เซต คะแนนเต็ม 10 คะแนน

ข้อ คำตอบ
1ง
2ข
3ก
4ข
5ก
6ค
7ง
8ค
9ข
10 ค

แบบฝึกทักษะเลม่ ท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 37

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

1. เฉลย ง. , {{1}}
แนวคิด สบั เซตทีเ่ ปน็ ไปได้ท้ังหมดของเซต A คอื , {{1}}

2. เฉลย ข. {{1}, {1, 2}}
แนวคิด จาก {, 1, {1, 2}}

หาสับเซตที่เป็นไปได้ท้ังหมด คือ , {}, {1}, {{1, 2}},
{, 1}, {, {1, 2}}, {1, {1, 2}}, {, 1, {1, 2}}
ข้อ ก ถูก {{1,2}} เป็นสับเซตของเซต {, 1, {1, 2}}
ข้อ ข ผิด {{1}, {1, 2}} ไม่เป็นสับเซตของเซต {, 1, {1, 2}}
ข้อ ค ถูก {, {1, 2}} เปน็ สบั เซตของเซต {, 1, {1, 2}}
ข้อ ง ถูก {, 1, {1, 2}} เปน็ สบั เซตของเซต {, 1, {1, 2}}

3. เฉลย ก. 31 ตัว
แนวคิด จาก A = {A, C, {A, C}, D, Y}

จานวนสมาชกิ ของเซต A มี 5 ตัว P(A) = 25 = 32 ตวั
ดังนั้น จานวนสบั เซตแท้ของเซต A คอื 25 – 1 = 31 ตวั

4. เฉลย ข. ขอ้ ควำม 1) เทำ่ นัน้ ท่เี ปน็ จรงิ
แนวคิด

1) ถ้า A  B และ B  A แลว้ A = B เป็นจรงิ
เน่ืองจาก ถ้า A  B แลว้ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และถ้า B  A
แล้วสมาชกิ ทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เมอ่ื เงื่อนไขทัง้ สองเปน็ จรงิ พร้อมกัน
จะไดว้ ่า A = B น่ันคอื ถา้ A  B และ B  A แลว้ A = B
2) ถ้า A = B แล้ว A  B หรอื B  A เป็นเท็จ
และเมื่อพิจารณาเซต A และเซต B เมอ่ื A = B จะไดว้ ่าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็น
สมาชกิ ของเซต B นน่ั คือ A  B และสมาชกิ ทกุ ตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
นนั่ คือ B  A จะได้วา่ ถ้า A = B แลว้ A  B และ B  A

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 38

5. เฉลย ก. ข้อควำม 1) และ 2) เปน็ จรงิ

แนวคิด 1) เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง เปน็ จรงิ
เปน็ จริง
2) เซตวา่ งเป็นสบั เซตของเซตทุกเซต

6. เฉลย ค. C = {xQ| x2 – 16 = 0}
แนวคดิ ขอ้ ก ถูก เนื่องจาก A = {} สับเซตทเ่ี ป็นไปได้ทง้ั หมดของเซต A คอื

{},  ดงั น้ัน สบั เซตแท้ของเซต A คือ 
ข้อ ข ถูก เนือ่ งจาก B = {x  I- | x2 – 5x + 6 = 0}

เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิกไดด้ งั น้ี B = {2, 3}
สบั เซตทเี่ ป็นไปได้ท้ังหมดของเซต B คอื
{2}, {3}, {2, 3},  ดังน้นั สบั เซตแท้ของเซต B คือ {2}, {3}, 
ขอ้ ค ผดิ เนอ่ื งจาก C = { } สบั เซตทเี่ ปน็ ไปได้ทัง้ หมดของเซต C คือ
 ดังน้นั เซต C จงึ ไม่มีสับเซตแท้
ข้อ ง ถูก เนอ่ื งจาก D = {-2, 2} สับเซตท่ีเป็นไปไดท้ ัง้ หมดของเซต D คอื
{-2}, {2}, {-2, 2},  ดังนั้น สับเซตแท้ของเซต D คือ {-2}, {2}, 

7. เฉลย ง. P(A) = {, {2}, {4}, {2, 4}}

แนวคิด เนอ่ื งจาก A = {x | x เป็นจานวนนับคู่ และ 1  x  5}
เขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังน้ี A = {2, 4}
สบั เซตทเี่ ปน็ ไปไดท้ ั้งหมดของเซต A คอื , {2}, {4}, {2, 4}

ดังน้นั P(A) = {, {2}, {4}, {2, 4}}

8. เฉลย ค. A = {m, a, t, h}
แนวคดิ จาก n(P(A)) = 2n

16 = 2n
2×2×2×2 = 2n

24 = 2n

ดังนัน้ n(A) = 4 ตวั

ขอ้ ก ผดิ A = {abcd} มจี านวนสมาชิก 1 ตวั

ขอ้ ข ผิด A = {1, 2, {3, 4}} มีจานวนสมาชิก 3 ตวั

ข้อ ค ถูก A = {m, a, t, h} มจี านวนสมาชกิ 4 ตวั

ข้อ ง ผดิ A = {3, 4} มีจานวนสมาชกิ 2 ตวั

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 39

9. เฉลย ข. 14 เซต

แนวคดิ เนื่องจาก A = {x | x เป็นจานวนเฉพาะบวก และ x  10}
เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดังนี้ A = {2, 3, 5, 7}
และ n(A) = 4
{2}, {3}, {5}, {7}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7},
{2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 5, 7}, {3, 5, 7}, {2, 3, 5, 7}, 

ดงั นั้น จานวนสับเซตท้ังหมดของเซต A มี 24 = 16 ตัว
จานวนสบั เซตแทข้ องเซต A มี 24 – 1 = 16 – 1 = 15 ตวั
จานวนสบั เซตแท้ท่ีไมเ่ ท่ากับเซตวา่ ง มีจานวน 15 – 1 = 14 ตวั

10. เฉลย ค. 15 ตวั
แนวคิด จาก A = {{2}, {4, 6}, {2, 4, 6}, }

จานวนสมาชกิ ของเซต A มี 4 ตวั
ดงั นัน้ P(A) = 24 = 16 ตวั
และ n(P(A)) – A = 24 – 1 = 15 ตวั

แบบฝึกทักษะเลม่ ท่ี 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 40

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.1

1. จงทำเครื่องหมำย  ลงในชอ่ งทแ่ี สดงควำมสัมพนั ธ์ของเซตต่อไปน้ี

ขอ้ เซตท่กี ำหนด ควำมสมั พนั ธข์ องเซตที่
กำหนดให้
ตวั อย่ำง A = {2, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2}
1.1 A = {1, 2} , เซต A เป็น เซต A ไม่เปน็
สับเซตของ สบั เซตของ
B = {1, 2, 3, 4, 5}
1.2 A = {3, 4, 5}, เซต B เซต B

B = {3, 5, 7, 9, 11}
1.3 A = {a, b} , 

B = {a, b, c, d} 
1.4 A = {1, 2, 3, 4} ,

B = {4, 2, 3, 1}
1.5 A = {1, 2, 3, 4, 5} , 

B = {1, {2, 3, 4, 5}} 
1.6 A = {x, y} ,

B = {{x}, {y}}
1.7 A = {a, b, i, o, u} , 

B = {a, e, i, o, u} 
1.8 A = { } ,

B = {2, {3}}
1.9 A = {x | x เป็นจานวนนับ} , 

B = {x | x เป็นจานวนเต็ม}
1.10 A = {x | x เป็นจานวนเฉพาะ},

B = {x | x เป็นจานวนเต็มบวก}

แบบฝึกทักษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 41

2. จงพจิ ำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปนโ้ี ดยทำเครื่องหมำย  หน้ำขอ้ ท่ถี กู ต้องและทำเครื่องหมำย 
หนำ้ ข้อท่ไี ม่ถูกตอ้ ง เม่ือกำหนดให้

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4}, D = {2, 3, 4, 5}

...... .....2.1 A  B ...... ......2.2 B  A
...... ......2.3 A  C ...... .....2.4 C  D
...... ......2.5 D  C ...... ......2.6 A  A
...... ......2.7 B  C ...... ......2.8 B  D
...... .....2.9 B  B ...... ......2.10 C  D

แบบฝึกทักษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 42

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3.2

1. จงเขยี นสบั เซตทงั้ หมดและบอกจำนวนสบั เซตของเซตท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้

ตัวอยำ่ ง S = {a, t, m}
ตอบ สับเซตท้ังหมดของเซต S คือ , {a}, {t}, {m}, {a, t}, {a, m}, {t, m},

{a, t, m}
จำนวนสบั เซตของ S เทำ่ กบั 8 สับเซต

1.1 A = {3}
สับเซตทงั้ หมดของเซต A คือ , {3}
จานวนสับเซตของเซต A เทา่ กับ 2 สบั เซต

1.2 B = {2, 4}
สบั เซตทั้งหมดของเซต B คือ , {2}, {4}, {2, 4}
จานวนสบั เซตของเซต B เท่ากบั 4 สบั เซต

1.3 C = {2, {3}}
สับเซตท้งั หมดของเซต C คือ , {2}, {{3}}, {2, {3}}
จานวนสับเซตของเซต C เท่ากบั 4 สบั เซต

1.4 D = {}
สับเซตทงั้ หมดของเซต D คอื , {}
จานวนสับเซตของเซต D เทา่ กับ 2 สับเซต

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 43

1.5 E = {a, b, c}
สบั เซตทงั้ หมดของเซต E คือ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
จานวนสับเซตของเซต E เท่ากับ 8 สบั เซต

1.6 F = { }
สบั เซตท้งั หมดของเซต F คอื 
จานวนสบั เซตของเซต F เท่ากบั 1 สับเซต

1.7 G = {1, {1, 2}}
สบั เซตทงั้ หมดของเซต G คือ , {1}, {{1, 2}}, {1, {1, 2}}
จานวนสับเซตของเซต G เท่ากบั 4 สับเซต

1.8 H = {, {}}
สับเซตทัง้ หมดของเซต H คือ , {}, {{}}, {, {}}
จานวนสับเซตของเซต H เท่ากบั 4 สับเซต

1.9 I = {-1, 0, 1}
สบั เซตทัง้ หมดของเซต I คอื , {-1}, {0}, {1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {-1, 0, 1}
จานวนสบั เซตของเซต I เทา่ กับ 8 สับเซต

1.10 J = {-1, {-2, -3}}
สับเซตทัง้ หมดของเซต J คอื , {-1}, {-2, -3}, {-1, {-2, -3}}
จานวนสบั เซตของเซต J เทา่ กับ 4 สับเซต

แบบฝึกทกั ษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 44

2. จงหำจำนวนสับเซตทั้งหมดและจำนวนสับเซตแทข้ องเซตที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้

A = {2, 4, 6, 8} จำนวนสมำชิกของเซต A เทำ่ กบั 4 ตัว
จำนวนสับเซตทั้งหมด เทำ่ กับ 24 = 16 สบั เซต
จำนวนสบั เซตแท้ เทำ่ กบั 24 – 1 = 15 สับเซต

2.1 A =  จานวนสมาชิกของเซต A เท่ากบั 0 ตวั
จานวนสบั เซตทั้งหมด เท่ากบั 20 = 1 สบั เซต
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ 20 – 1 = 0 สบั เซต

2.2 B = {1, {1}} จานวนสมาชกิ ของเซต B เท่ากบั 2 ตวั
จานวนสบั เซตทัง้ หมด เท่ากับ 22 = 4 สับเซต
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ 22 – 1 = 3 สับเซต

2.3 C = {a, b, c} จานวนสมาชิกของเซต C เทา่ กับ 3 ตวั
จานวนสบั เซตทั้งหมด เท่ากบั 23 = 8 สับเซต
จานวนสบั เซตแท้ เทา่ กับ 23 – 1 = 7 สับเซต

2.4 D = {{a, b}, {d}} จานวนสมาชกิ ของเซต D เท่ากบั 2 ตวั
จานวนสบั เซตท้ังหมด เทา่ กับ 22 = 4 สบั เซต
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ 22 – 1 = 3 สบั เซต

2.5 E = {1234} จานวนสมาชกิ ของเซต E เทา่ กับ 1 ตวั
จานวนสบั เซตทงั้ หมด เทา่ กบั 21 = 2 สบั เซต
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ 21 – 1 = 1 สับเซต

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มที่ 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 45

2.6 F = {{{1}}} จานวนสมาชิกของเซต F เท่ากบั 1 ตวั
จานวนสับเซตทง้ั หมด เท่ากบั 21 = 2 สบั เซต
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ 21 – 1 = 1 สบั เซต

2.7 G = {ab, cd, e, f, gh}
จานวนสมาชิกของเซต G เทา่ กบั 5 ตวั
จานวนสบั เซตท้งั หมด เทา่ กบั 25 = 32 สับเซต
จานวนสบั เซตแท้ เท่ากับ 25 – 1 = 31 สับเซต

2.8 H= {x | x เปน็ จานวนค่บู วกและ x  5}
จานวนสมาชิกของเซต H เทา่ กับ 2 ตวั
จานวนสบั เซตทัง้ หมด เทา่ กบั 22 = 4 สบั เซต
จานวนสับเซตแท้ เท่ากับ 22 – 1 = 3 สบั เซต

2.9 I = {x  I | x2 = 1} จานวนสมาชกิ ของเซต I เทา่ กับ 2 ตวั
จานวนสบั เซตท้งั หมด เทา่ กบั 22 = 4 สับเซต
จานวนสบั เซตแท้ เทา่ กับ 22 – 1 = 3 สับเซต

2.10 J = {x  N | – 5  x  4}
จานวนสมาชกิ ของเซต J เทา่ กบั 3 ตวั
จานวนสับเซตท้ังหมด เท่ากับ 23 = 8 สบั เซต
จานวนสับเซตแท้ เทา่ กับ 23 – 1 = 7 สับเซต

แบบฝกึ ทักษะเล่มที่ 3 สับเซตและเพาเวอร์เซต 46

3. จงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี เมอ่ื กำหนดให้
S = {A, M}

3.1 จานวนสบั เซตทั้งหมดของเซต S
ตอบ 4 สับเซต

3.2 จานวนสบั เซตแท้ของเซต S
ตอบ 3 สบั เซต

3.3 จานวนสบั เซตแทข้ องเซต S ท่ไี มใ่ ชเ่ ซตว่าง
ตอบ 2 สบั เซต

3.4 จานวนสับเซตทั้งหมดของเซต S ทม่ี ีสมาชกิ 0 ตวั
ตอบ 1 สบั เซต

3.5 จานวนสบั เซตทั้งหมดของเซต S ทม่ี สี มาชิก 1 ตัว
ตอบ 2 สับเซต

3.6 จานวนสับเซตทง้ั หมดของเซต S ทม่ี ีสมาชกิ 2 ตวั
ตอบ 1 สับเซต

3.7 สับเซตท่ีเป็นสับเซตไม่แท้ของเซต S คอื
ตอบ {A, M }

แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ท่ี 3 สบั เซตและเพาเวอร์เซต 47

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3.3

คำชแ้ี จง จงหำเพำเวอรเ์ ซตและจำนวนสมำชิกของเพำเวอรเ์ ซตจำกเซตทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ี

ตวั อยำ่ ง M = {7, 11}
ตอบ P(M) = {, {7}, {11}, {7, 11}} จำนวนสมำชิกของ P(M) = 22 = 4 ตวั

1. A = {1}
ตอบ P(A) = {, {1}}
จานวนสมาชิกของ P(A) = 21 = 2 ตวั

2. B = {a, b}
ตอบ P(B) = {, {a}, {b}, {a, b}}
จานวนสมาชกิ ของ P(B) = 22 = 4 ตวั

3. C = 
ตอบ P(C) = {}
จานวนสมาชิกของ P(C) = 20 = 1 ตวั

4. D = {2, 4, 6}
ตอบ P(D) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}
จานวนสมาชกิ ของ P(D) = 23 = 8 ตวั