หน่วยการเรียนรู้ที่ 2

แผนการจัดการเรียนรู้หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2

เร่อื ง ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

รหสั วชิ า 20000 – 1401 รายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานอาชีพ
ระดับชนั้ ประกาศนียบตั รวิชาชพี ช้ัน (ปวช.)
พุทธศกั ราช 2562

ปวช.

นางประภกั สร นวลยงั

ตาแหน่ง ครู

วทิ ยาลยั เทคนิคสชิ ล

อาชวี ศกึ ษานครศรธี รรมราช สถาบนั การอาชวี ศกึ ษาภาคใต้ 1
สานกั งานคณะกรรมการการอาชวี ศกึ ษา
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

54

แผนการจัดการเรยี นรมู้ ุ่งเน้นสมรรถนะ หนว่ ยที่ 2

ช่ือวิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐานอาชพี สอนครั้งที่ 4-6

ชือ่ หน่วย ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ชว่ั โมงรวม 6

สาระสาคญั

ส ม ก า ร เ ชิ ง เ ส้ น ส อ ง ตั ว แ ป ร คื อ ส ม ก า ร ที่ มี ตั ว แ ป ร ส อ ง ตั ว แ ป ร เ ล ข ช้ี ก า ลั ง

ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นหน่ึงและไม่มีการคูณกันระหว่างตัวแปร รูปท่ัวไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือ

ax  by  c  0 โดยที่ a, b และ c เป็นคา่ คงตัว a และ b ไมเ่ ป็นศูนย์พร้อมกนั

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เป็นสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร สองสมการ อยู่ในรูป a1x  b1y  c1

และ a2x  b2y  c2 โดยท่ี a1,a2 ไมเ่ ป็นศนู ย์พรอ้ มกัน b1, b2 ไม่เปน็ ศูนย์พร้อมกนั การหาคาตอบของระบบ

สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร อาจใชก้ ารอา่ นค่าจุดที่กราฟตัดกัน และอาจหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สอง

ตัวแปร โดยวิธีการแทนค่าหรือวิธีการขจัดตัวแปร ท้ังน้ีระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร อาจมีคาตอบเดียว มี

หลายคาตอบหรือไมม่ ีคาตอบ

สมรรถนะประจาหน่วย

ประยกุ ต์ใช้ความรูเ้ กย่ี วกบั สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียวในสถานการณห์ รือปัญหาท่ีกาหนดไว้

จุดประสงค์การเรียนรู้ นกั เรียนสามารถ

ด้านความรู้

1. บอกความหมายของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรและระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ดา้ นทกั ษะ

1. หาคาตอบสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวโดยใช้กราฟ

2. หาคาตอบสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวโดยวธิ ีการแทนค่า

3. หาคาตอบสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวโดยวธิ ีการขจดั ตัวแปร

4. แก้โจทยใ์ นสถานการณ์ตา่ งๆ อยา่ งเปน็ ระบบโดยใช้ความรเู้ รือ่ งสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ด้านคุณลกั ษณะทีพ่ ึ่งประสงค์

1. มีวินัย

2. สนใจใฝ่รู้

3. ซ่อื สัตยส์ ุจริต

4. มีจติ สาธารณะ

5. มุง่ มนั่ ในการทางาน

เนือ้ หาสาระการเรยี นรู้

สมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

1. ความหมายของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

2. ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ใบกิจกรรมที่ 2.1

55

3. การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ
ใบกิจกรรมท่ี 2.2
แบบฝึกทักษะท่ี 2.1

4. การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยวิธีการแทนค่า
ใบกจิ กรรมท่ี 2.3
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.2

5. การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยวธิ ขี จัดตวั แปร
ใบกิจกรรมที่ 2.4
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.3

6. โจทยร์ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
ใบกิจกรรมที่ 2.5
แบบฝึกทักษะท่ี 2.4

กจิ กรรมการจดั การเรยี นรู้
สอนครง้ั ท่ี 1 (ชัว่ โมงที่ 1 - 2)
1. ครแู จง้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้หนว่ ยที่ 2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร
2. ให้นกั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรยี นหน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
จานวน 10 ขอ้ ใชเ้ วลา 10 นาที
การนาเข้าสบู่ ทเรียน
3. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับความหมายของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและระบบสมการเชิงเส้น
สองตัวแปร เพ่ือประเมินความรู้เบ้ืองต้นของนักเรียนแล้วให้นักเรียนช่วยกันยกตัวสมการเชิงเส้น
สองตัวแปร และระบบสมการเชิงสองตัวแปร
การเรียนรู้
4. ครูแจกใบความรู้ที่ 2 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ครูพร้อมทั้งให้ความรู้สมการเชิงเส้นเชิง
สองตัวแปร ตามหนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ และยกตัวอย่างสมการเชิงเส้น
สองตัวแปรเพิ่มเติมแสดงบน power point แล้วร่วมกันซักถามกับนักเรียนเกี่ยวกับเรื่องสมการ
เชิงเสน้ สองตวั แปร
5. นักเรียนทาใบกิจกรรมท่ี 2.1 ท่ีครูแจกใหจ้ ากนั้ครูอธิบายวิธีการทากิจกรรมและซักถามเพอ่ื ความ
เข้าใจในการทากิจกรรม ขณะท่ีนักเรียนทากิจกรรม ครูคอยสังเกตการณ์แก้ปัญหาฯ และการ
ปฏิบัติงานท่ีไดร้ บั มอบหมายเสรจ็ ตามกาหนดฯ พรอ้ มท้งั ใหค้ าแนะนาในขณะการสอน
6. ครูให้ความรู้ เรื่องระบบสมการเชิงเส้นเชิงสองตัวแปร ตามหนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์
พนื้ ฐานอาชีพ และยกตัวอย่างสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเพ่ิมเติมเพ่ิมเติมแสดงบน power point
รว่ มกันซกั ถามกบั นักเรียนเกี่ยวกับเร่อื งระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร
7. ให้นกั เรยี นรวบรวมงานส่ง ตามทไี่ ด้รับมอบหมาย
การสรุป
8. ครเู ฉลยกิจกรรมท่ี 2.1
9. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันสรปุ เร่ืองท่ีเรียนไปในครั้งที่ 1

56

สอนคร้ังท่ี 2 (ชวั่ โมงท่ี 3 - 4)
1. ครูจัดกลุ่มนกั เรยี นโดยคละความสามารถ 3 – 4 คน ในการทากจิ กรรมนอกชั้นเรียน
การนาเขา้ สู่บทเรียน
2. ครทู บทวนเนื้อหาเร่ืองสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร เพือ่ นักเรียน

เข้าใจมากยิ่งข้นึ และจะไดน้ าไปใช้ในการเรียนเนื้อหาต่อไปที่มีความเช่ือมโยงกับงานสวน
พฤกษศาสตรโ์ รงเรียนวิทยาลัยเทคนคิ สชิ ล
การเรียนรู้
4. ครูให้ความรู้ เรือ่ งการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยใช้กราฟ ตามหนังสือเรียนรายวชิ า
คณิตศาสตร์พ้ืนฐานอาชีพ ร่วมกันซกั ถามและยกตวั อย่างการแก้สมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดย
วธิ ีการใชก้ ราฟบน power point
5. ครูใหค้ วามรู้ การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรและวิธีการตรวจคาตอบบน power point
6. ใหน้ กั เรียนทาใบกจิ กรรมท่ี 2.2 โดยการปฏิบัติกจิ กรรมนอกช้ันเรียนลงพนื้ ท่ีสวนพฤกษสาสตร์
โรงเรียน วิทยาลยั เทคนิคสิชล ครคู อยสังเกตการณ์แกป้ ญั หาฯ และพร้อมทงั้ ใหค้ าแนะนาในการ
ปฏิบตั ิงาน 30 นาที
7. ครูสุ่มผลงานของนักเรยี นทาสมบูรณ์มากทสี่ ุด 2 – 3 กลมุ่ มานาเสนอหน้าชน้ั เรยี น
8. ครใู ห้ความรู้ การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยวิธีการแทนค่าและการแก้ระบบสมการ
เชิงเส้นสองตวั แปรโดยวธิ ีการขจดั ตัวแปร รว่ มกันซกั ถามและยกตวั อยา่ งการแกส้ มการเชงิ เส้น
สองตัวแปรโดยวธิ ีการแทนค่าและการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยวธิ ีการแทนค่า
9. ให้นักเรยี นทาใบกิจกรรมที่ 2.3 – 2.4 ขณะที่นักเรียนทาแบบฝึกหดั ครูคอยสงั เกตการณ์
แก้ปญั หาฯ และ พร้อมท้ังให้คาแนะนาในการปฏิบัติงาน
10. ใหน้ ักเรียนรวบรวมงานส่ง ตามท่ไี ด้รบั มอบหมาย และมอบหมายแบบฝกึ ทักษะที่ 2.1 – 2.3
กลบั ไปเปน็ การบ้านนามาส่งในคาบถดั ไป
การสรปุ
11. ครเู ฉลยใบกจิ กรรมท่ี 2.2 – 2.4
12. ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั สรุปบทเรียน

สอนครั้งท่ี 3 (ช่วั โมงท่ี 5 - 6)
การนาเข้าสู่บทเรียน
1. ครเู ฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2.1 – 2.3 ให้นกั เรยี นแลกกนั ตรวจกบั เพื่อนข้างๆ
2. ครทู บทวนเน้ือหาการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยวธิ กี ารขจัดตวั แปรใน power point

เพอ่ื นาเข้าสู่หวั ข้อการแกโ้ จทยป์ ญั หาระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
3. ครใู หน้ ักเรียนจับคู่กันแล้วครูแจกใบความรเู้ ร่อื งการแก้โจทย์ปญั หาระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั

แปรให้กับนกั เรียนเพ่ือประกอบการบรรยาย
การเรยี นรู้ตามแนวคิดของโพลยา
4. ครใู ห้ความรู้เร่ืองหลกั การแกโ้ จทย์ปญั หาระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรตามแนวคดิ ของโพลยา

แสดงให้นักเรยี นดบู น power point ดังน้ี
ขน้ั ท่ี 1 ทาความเข้าใจโจทยป์ ัญหา โดยพจิ ารณา
- สิง่ ทโี่ จทย์ถาม

57

- สิ่งท่ีโจทย์กาหนด

ข้นั ท่ี 2 วางแผนการแกป้ ัญหา

ข้ันที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน

ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

5. ครยู กตวั อยา่ งการแกโ้ จทยป์ ัญหาระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรตามแนวคิดของโพลยา โดย

แสดงบน power point ใหน้ กั เรยี นอา่ นโจทย์ออกเสยี งพร้อมกนั 2 คร้ัง แล้วรวมกนั สนทนาให้

ตอบคาถามนักเรียน

ตัวอย่างท่ี 1 จานวนสองจานวนรวมกันได้ 38 และสามเท่าของเลขจานวนมากจะมากกว่าสองเท่า

ของเลขจานวนน้อยอยู่ 24 จงหาเลขสองจานวนนนั้

ข้ันท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา

นกั เรียนแต่ละคู่ร่วมกันวิเคราะหท์ าความเข้าใจโจทย์ โดยให้นักเรยี นแตะละคู่บอกส่ิงท่ีโจทย์

กาหนด และส่งิ ทโ่ี จทยถ์ าม โดยครูคอยแนะนาและต้ังคาถาม ดังน้ี

1) โจทยก์ าหนดอะไรให้บา้ ง

- จานวนสองจานวนรวมกันได้ 38

- สามเท่าของเลขจานวนมากจะมากกวา่ สองเท่าของเลขจานวนน้อยอยู่ 24

2) โจทย์ตอ้ งการทราบอะไร

- เลขสองจานวนนั้น

แล้วสงั เกตดูส่าโจทยท์ ี่กาหนดให้มขี ้อความที่ไมเ่ กยี่ วข้องหรือไม่ (ไม่) และคาตอบท่ีไดม้ หี นว่ ย

เปน็ อะไร

ขัน้ ที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา

นกั เรียนแตล่ ะครู่ ่วมกันวางแผนแก้โจทย์ปัญหา โดยครูคอยแนะนาและตง้ั คาถาม ดังนี้

1) กาหนดตวั แปรแทนสิ่งทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบและส่ิงทเี่ ก่ียวขอ้ ง

สมมติให้ จานวนท่ี 1 คอื x และจานวนที่ 2 คอื y

2) สร้างอสมการจากเงื่อนไขท่โี จทยก์ าหนด

จะได้สมการ x + y = 38__________①

3x – 2y= 24__________②

ข้นั ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน

นกั เรยี นแตะละคูน่ าข้อมูลที่ไดจ้ ากขน้ั ท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หาร่วมกันคิดวิธกี ารคาตอบ ดังนี้

นา ① x 2 ; 2x + 2y = 76__________③

② + ③ ; 5x = 100

x = 20

แทน x = 20 ใน ① ดงั น้ี

x + y = 38

20 + y = 38

y = 18

58

ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

หลงั จากนนั้ ครูแนะนาใหน้ ักเรียนตรวจคาตอบ ดังนี้

แทน x = 20 และ y = 18 ใน ① และ ②

จะได้ x + y = 38 และ 3x – 2y= 24

20 + 18= 38 และ 3(20) – 2(18) = 24

38 = 38 และ 24 = 24 เปน็ จริง

ดงั น้ัน จานวนที่ 1 คอื x = 20 และจานวนท่ี 2 คือ y = 18

6. ครใู ห้อาสาสมัครออกมาทาความเข้าใจโจทย์ วางแผนแก้ปัญหา ดาเนนิ การตามแผน และ

ตรวจสอบคาตอบจากโจทยร์ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรบนกระดานหนา้ ชนั้ เรยี นทีส่ มาชิก

รว่ มกันทาร่วมกนั

7. ครแู ละนกั เรยี นช่วยกันตรวจผลงานว่าวธิ คี ดิ อยา่ งไรบ้าง โดยครคู อยกระต้นุ ดว้ ยคาถาม ดังนี้

- นักเรยี นคใู่ ดมวี ธิ คี ดิ แตกต่างจากน้ีบา้ ง

- นกั เรียนคิดวา่ มีวธิ ีอ่ืนอกี หรือไม่

- นกั เรยี นคิดอยา่ งไรกับวธิ ีทีเ่ พ่ือนนาเสนอ

8. ครใู ห้นกั เรยี นคเู่ ดมิ ทาใบกจิ กรรมท่ี 2.5 จานวน 1 ข้อ ครูคอยสังเกตการณ์แกป้ ัญหาฯ พรอ้ มทง้ั

ให้คาแนะนาในการปฏบิ ัติงาน

9. ครูมอบหมายงานให้นักเรยี นทาใบกิจกรรมที่ 2.5 ขอ้ ทเ่ี หลือเป็นการบา้ นแลว้ ให้นักเรียนมาสง่ ใน

วนั ถดั ไป

การสรุป

10. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั สรุปว่า การแกป้ ัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร นกั เรียนต้องทา

ความเข้าใจโจทย์ วิเคราะหโ์ จทย์ โจทย์กาหนดอะไรมาให้บ้าง และโจทยต์ ้องการอะไร โดย

กาหนดสิ่งที่โจทยถ์ ามหาแทนดว้ ยตัวแปร เขยี นสมการ ดาเนินการตามแผนเพ่ือท่ีจะแสดงวิธีการ

หาคาตอบ และตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของคาตอบ

11. ครูมอบหมายแบบฝกึ ทักษะท่ี 2.4 กลับไปเปน็ การบ้านนามาส่งในคาบถัดไป

12. ครนู ดั สอบหลงั เรยี นหนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ในคาบถัดไป

สอื่ การเรยี นร้/ู แหลง่ การเรียนรู้

ส่ือส่งิ พิมพ์

1. หนงั สอื คณติ ศาสตร์พื้นฐานอาชพี (20000-1401) สานกั พิมพเ์ อมพันธ์ จากัด

สือ่ โสตทัศน์

1. Power Point เรอ่ื งระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

หุ่นจาลอง/ของจริง

ไม่มี

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้ (ใบความรู้ ใบงาน ใบมอบหมายงาน ฯลฯ)

1. ใบความรู้ท่ี 2 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

2. ใบกิจกรรมท่ี 2.1 – 2.5

3. แบบฝึกทักษะท่ี 2.1 – 2.4

59

การบูรณาการ/ความสัมพันธก์ บั วชิ าอืน่
1. บรู ณาการกบั งานสวนพฤกษศาสตรโ์ รงเรยี น วทิ ยาลัยเทคนิคสชิ ล

การวดั และประเมนิ ผล
กอ่ นเรียน
1. แบบทดสอบก่อนเรยี นหนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 2 ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร จานวน 10 ข้อ
ขณะเรียน
1. ใบกจิ กกรมที่ 2.1 – 2.5
2. แบบประเมนิ ความรแู้ ละทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
3. แบบประเมินคุณธรรม จรยิ ธรรม ค่านิยม และคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

หลังเรียน
1. แบบฝึกทกั ษะที่ 2.1 – 2.4
2. แบบทดสอบหลงั เรยี นหนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร จานวน 10 ขอ้
วธิ ีวัดผล
1. ตรวจงานจากใบกจิ กรรมที่ 2.1 – 2.5
2. ตรวจงานจากแบบฝึกทกั ษะที่ 2.1 – 2.4
3. ตรวจงานจากแบบทดสอบก่อนเรยี น/หลงั เรยี นหนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัว

แปร
4. ตรวจงานตามแบบประเมินความรู้และทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
5. สงั เกตและประเมินผลพฤติกรรมตามแบบประเมนิ คณุ ธรรม จริยธรรม ค่านยิ ม และคุณลักษณะ

อันพึงประสงค์
เครื่องมอื วดั ผล
1. ใบกิจกรรมท่ี 2.1 – 2.5
2. แบบฝึกทักษะท่ี 2.1 – 2.4
3. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น/หลงั เรยี นหนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร
4. แบบประเมนิ ความรแู้ ละทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
5. แบบประเมนิ คณุ ธรรม จริยธรรม ค่านยิ ม และคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
เกณฑ์การประเมนิ
1. แบบทดสอบหลงั เรยี นหน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 60
2. แบบประเมินความรูแ้ ละทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 60
3. แบบประเมนิ คณุ ธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ผ่านเกณฑร์ ะดับดี

60

ใบความรู้เรื่องระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ความหมายของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (Linear equation with two variables) หมายถึง สมการที่มี

ตวั แปรทีแ่ ตกต่างกนั 2 ตวั ทีอ่ ยู่ในรูปของการบวกหรือลบ โดยทีเ่ ลขชีก้ าลงั ของตัวแปรท้ังสองเท่ากบั 1

รปู ทั่วไปของสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คอื

ax + by + c = 0

เมือ่ a, b และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ และ a, b ต้องไม่เปน็ ศูนย์พรอ้ มกัน

เชน่ 2x + 4y = 6 y =x+5

x – 2y + 5 = 0 x–y =8

+ = 10 a + 2c = 16 เปน็ ต้น
37
จงพิจารณาแตล่ ะสมการต่อไปนี้

x2 + y – 5 = 0 สมการน้ีไม่ใช่สมการเชิงเส้นสองตวั แปร เพราะมีพจน์ x2 ซึ่งพจน์นมี้ ีเลขชกี้ าลัง

ไม่เท่ากับหน่งึ

x + 2xy + y = 9 สมการน้ีไม่ใชส่ มการเชิงเส้นสองตวั แปร เพราะมีพจน์ 2xy ซึ่งพจน์นมี้ ีตัวแปร

x และ y คณู กนั อยู่

√x + 5y -3 = 0 สมการน้ีไม่ใช่สมการเชิงเส้นสองตวั แปร เพราะมีพจน์ √x ซึง่ พจน์น้มี เี ลขช้ี

กาลงั ไม่เท่ากับหน่งึ

ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร (System of linear equation with two variables)

หมายถึง สมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่เขียนอยู่ในรปู

a1x + b1y = c1 (1)

a2x + b2y = c2 (2)

เมือ่ a1, b1 ไม่เปน็ ศนู ย์พรอ้ มๆ กัน และ a2, b2 ไม่เปน็ ศูนย์พรอ้ มๆ กนั เช่น

x + 8y = 15 (1)

x + 12y = 23 (2)

61
คาตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึง จานวนทีแ่ ทนค่าตัวแปรในสมการแลว้ ทาให้
สมการเป็นจริง ซึ่งมอี ยู่ 2 ค่า จึงนยิ มเขียนคาตอบในรปู ของคู่อนั ดบั (x, y)
เชน่ (x, y) = (-1, 0)
หมายถึง ตวั แปร x มีคา่ เท่ากบั -1
และ ตวั แปร y มีคา่ เท่ากบั 0
พิจารณาค่า x และ y ทีส่ อดคล้องกบั สมการ 2x + y = 5
เชน่ ถ้า y = 1 ค่า x ที่สอดคล้องกับ 2x + 1 = 5 คือ x = 2

ถ้า y = 2 ค่า x ทีส่ อดคล้องกับ 2x + 2 = 5 คือ x = 1.5
ถ้า y = 3 ค่า x ที่สอดคล้องกับ 2x + 3 = 5 คือ x = 1
ค่า x และ y ทีส่ อดคล้องกับสมการ 2x + y = 5 มีมากมายเขียนเปน็ คู่อันดับ (x, y) ได้แก่
(2, 1), (1.5, 2), (1, 3), … นามาเขียนกราฟได้ดงั น้ี

คาตอบของสมการอาจเป็นไปไดก้ รณีหนึ่งใน 3 กรณี ดงั นี้
1. มีคาตอบเพียงคู่เดียว (กราฟของสมการท้ังสองตัดกนั เพียงจุดเดียว)
2. มีคาตอบหลายคู่ (กราฟของสมการทั้งสองทับกัน)
3. ไม่มคี าตอบเลย (กราฟของสมการท้ังสองขนานกนั )

62

ตวั อย่างที่ 2.1 จงหาคาตอบทีเ่ ป็นจานวนเตม็ ของสมการ 3x + y = 15 มา 5 คาตอบ

วิธีทา จากสมการ 3x + y = 15 เราสามารถหาคาตอบได้ดังน้ี 
ถ้า x = 0 จะได้ y = 15
ถ้า x = 1 จะได้ y = 12
ถ้า x = 2 จะได้ y = 9
ถ้า x = 3 จะได้ y = 6
ถ้า x = 4 จะได้ y = 3

ดงั นั้น (0, 15), (1, 12), (2, 9), (3, 6) และ (4, 3)
ต่างก็เปน็ คาตอบของสมการ 3x + y = 15

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยใช้กราฟ

กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสามารถเขียนได้หลายวิธี แตว่ ิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาจดตัด

บนแกน x และแกน y

จากรูปสมการ ax + by = c

(1) หาจดุ ตัดบนแกน x ให้ y = 0
ax + b(0) = c
ax = c
x =



ดงั นนั้ จดุ ตดั บนแกน x คือ ( , 0)



(2) หาจุดตดั บนแกน y ให้ x = 0
a(0) + by = c

by = c
y =



ดังนนั้ จุดตดั บนแกน y คือ (0, )



เมื่อหาจุดตัดบนแกน x และจุดตัดบนแกน y แล้วให้พจิ ารณาจุดตัดของสมการทั้งสองเส้นว่า

ตดั กนั ที่จุดใด ณ ตาแหนง่ เดียวกันทีค่ ่า x และค่า y เท่ากันจะเปน็ คาตอบของระบบสมการ (x, y)

ตัวอย่างที่ 2.2 จงเขียนกราฟของสมการ x + y = 5 และ 2x + y = 6 63

วิธีทา จากสมการ x + y = 5
(1) หาจุดตัดบนแกน x ให้ y = 0
x+0 =5
x =5
ดงั นนั้ จุดตัดบนแกน x คือ (5, 0)
(2) หาจดุ ตัดบนแกน y ให้ x = 0
0+y =5
y =5
ดงั นน้ั จุดตดั บนแกน y คือ (0, 5)
จากสมการ 2x + y = 6
(1) หาจุดตดั บนแกน x ให้ y = 0
2x + 0 = 6
2x = 6
x =6

2

x =3
ดังนน้ั จุดตัดบนแกน x คือ (3, 0)
(2) หาจดุ ตดั บนแกน y ให้ x = 0

2(0) + y = 6
y =6
ดังนนั้ จุดตดั บนแกน y คือ (0, 6)
เขียนกราฟของสมการทั้งสองบนแกนคู่เดียวกนั

64

ตัวอย่างที่ 2.3 จงเขียนกราฟของสมการ x + 2y = 1 และ 2x + 4y = 9
วิธีทา จากสมการ x + 2y = 1
(1) หาจดุ ตดั บนแกน x ให้ y = 0
x + 2(0) = 1
x =1
ดงั นน้ั จุดตดั บนแกน x คือ (1, 0)
(2) หาจุดตดั บนแกน y ให้ x = 0
0 + 2y = 1
2y = 1
y =1

2

ดังนน้ั จดุ ตัดบนแกน y คือ (0, 1) หรอื (0, 0.5)

2

จากสมการ 2x + 4y = 9
(1) หาจดุ ตดั บนแกน x ให้ y = 0

2x + 4(0) = 9
2x = 9
x =9

2

ดังนน้ั จดุ ตัดบนแกน x คือ (9, 0) หรอื (4.5, 0)

2

(2) หาจุดตดั บนแกน y ให้ x = 0 65

2(0) + 4y = 9

4y = 9

y =9

4

ดังนน้ั จดุ ตดั บนแกน y คือ (0, 9) หรอื (0, 2.25)

4

เขียนกราฟของสมการท้ังสองบนแกนคู่เดียวกัน

ตัวอยา่ งที่ 2.4 จงเขียนกราฟของสมการ x + 2y = 3 และ 2x + 4y = 6

วิธีทา จากสมการ x + 2y = 3

(1) หาจุดตดั บนแกน x ให้ y = 0
x + 2(0) = 3
x =3

ดงั นน้ั จดุ ตัดบนแกน x คือ (3, 0)

(2) หาจุดตัดบนแกน y ให้ x = 0
0 + 2y = 3
2y = 3
y =3

2

ดังนนั้ จุดตัดบนแกน y คือ (0, 3) หรอื (0, 1.5)

2

จากสมการ 2x + 4y = 6 66

(1) หาจุดตัดบนแกน x ให้ y = 0
2x + 4(0) = 6

2x = 6

x =6

2

x =3

ดงั นน้ั จดุ ตดั บนแกน x คือ (3, 0)

(2) หาจุดตัดบนแกน y ให้ x = 0
2(0) + 4y = 6

4y = 6

y =6

4

ดังนน้ั จุดตัดบนแกน y คือ (0, 6) หรอื (0, 1.5)

4

เขียนกราฟของสมการทั้งสองบนแกนคู่เดียวกนั

จะเหน็ ได้ว่ากราฟของระบบสมการเป็นเส้นตรงเดียวกัน หรอื เส้นตรงที่ทับกัน นั้นแสดงว่า
ระบบสมการมีหลายคาตอบ

การหาคาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยพิจารณาจากกราฟ ค่าทีไ่ ด้บางครงั้ เปน็
การหาค่าโดยประมาณ ดงั นั้นเพื่อหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรใหช้ ดั เจนขึ้นสามารถ
ใช้การคานวณชว่ ยในการหาคาตอบซึ่งจะศกึ ษาในหวั ข้อต่อไป

67

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยวิธีการแทนคา่

หลกั การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยวิธีการแทนค่า

1. จัดรปู ตวั แปรในสมการใดสมการหนึ่งโดยจดั ให้ตวั แปร x อยู่ในรูปของตวั แปร y หรือจดั ตวั
แปร y ให้อยู่ในรูปของตัวแปร x

2. นาตวั แปร x หรอื y ที่จัดรปู แล้วไปแทนค่าในสมการที่เหลือซึ่งจะทาให้สมการนน้ั เปน็
สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

3. แก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในข้อ 2.
4. นาค่าตวั แปรทีไ่ ด้จากการแก้สมการในข้อ 3. ไปแทนค่าในสมการเพือ่ หาค่าตัวแปรทีเ่ หลอื
5. ตรวจคาตอบ

ตวั อยา่ งที่ 2.5 จงหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้

วิธีทา x + 2y = 5 (1)

x + 5y = 11 (2)

จากสมการ (1) จะได้ ตรวจคาตอบ

x = 5 – 2y (3) แทนค่า x = 1 และ y = 2 ในสมการ (1)

แทน x = 5 – 2y ในสมการ (2) จะได้ x + 2y = 5
(5 – 2y) + 5y = 11
1 + 2(2) = 5
-2y + 5y = 11 – 5
1+4 =5
3y = 6
5 =5
y =6
แทนค่า x = 1 และ y = 2 ในสมการ (2)
3

y =2 x + 5y = 11

แทน y = 2 ในสมการ (3) จะได้ 1 + 5(2) = 11

x = 5 – 2(3) 1 + 10 = 11

x = 5–6 11 = 11

x =1

ดงั นนั้ คาตอบของสมการ คือ x = 1 และ y = 2 หรอื (1, 2) 

68

ตัวอยา่ งที่ 2.6 จงหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้

วิธีทา 5x + 2y = -5 (1)

-3x + 4y = 3 (2)

จากสมการ (1) จะได้

y = −5− 5 (3)

2 ตรวจคาตอบ
แทนค่า x = -1 และ y = 0 ในสมการ (1)
แทน y = −5 + 5 ในสมการ (2) จะได้ 5x + 2y = -5
5(-1) + 2(0) = -5
2 -5 = -5
แทนค่า x = -1 และ y = 0 ในสมการ (2)
-3x + 4(−5−5 ) = 3 -3x + 4y = 3
-3(-1) + 4(0) = 3
2 3 =3

-3x + 2(-5 - 5x) = 3

-3x – 10 - 10x = 3

-13x – 10 =3

-13x = 3 + 10

-13x = 13

x = -1

แทน x = -1 ในสมการ (3) จะได้

y = −5− 5(−1)

2

y = −5− (−5)

2

y = −5+5

2

y =0

ดงั นนั้ คาตอบของสมการ คือ x = -1 และ y = 0 หรือ (-1, 0) 

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยวิธีการขจัดตวั แปร

หลักการแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยวิธีการขจัดตวั แปร

1. สัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตวั แปรหนึง่ ให้เท่ากัน โดยนาจานวนจรงิ ทีไ่ ม่เท่ากบั ศูนย์คณู
ตลอดทั้งสองข้างของสมการ

2. นาสมการท้ังสองทีม่ สี ัมประสิทธิ์ของตวั แปรใดตวั หน่ึงทีเ่ ท่ากันแล้วนามาบวกหรอื ลบกนั
เพื่อนขจดั ให้เหลอื ตวั แปรเดียวซึ่งจะได้เป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

3. แก้สมการในข้อ 2

69

4. นาค่าตวั แปรที่ได้จากการแก้สมการในข้อที่ 2. ไปแทนค่าในสมการเพือ่ หาค่าตวั แปรทีเ่ หลือ
5. ตรวจคาตอบ

ตวั อยา่ งที่ 2.7 จงหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้

วิธีทา x + y =3 (1)

2x - y = 12 (2)

นา (1) + (2) ; x + y + (2x - y) = 3 + 12

x + y + 2x – y = 15

3x = 15

x =5

แทน x = 5 ในสมการที่ (1)

x+y =3

5+y =3

y =3–5

y = -2

ดงั นน้ั คาตอบของสมการ คือ x = 5 และ y = -2 หรือ (5, -2) 

ตรวจคาตอบ

แทน x = 5 และ y = -2 ในสมการที่ (1)

จะได้ x + y =3

5 + (-2) = 3

5–2 =3

3 =3

แทน x = 5 และ y = -2 ในสมการที่ (2)

จะได้ 2x - y = 12

2(5) – (-2) = 12

10 + 12 = 12

12 = 12

70

ตวั อยา่ งที่ 2.8 จงหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้

วิธีทา 3x + 4y = 18 (1)

2x + 11 = 5y (2)

จัดรปู สมการใหม่

3x + 4y = 18 (1)

2x – 5y = -11 (2)

นา 5 คูณสมการ (1) ; 15x + 20y = 90 (3)

นา 4 คณู สมการ (2) ; 8x - 20y = -44 (4)

นา (3) + (4) ; 15x + 20y + (8x - 20y) = 90 + (-44)

15x + 20y + 8x - 20y = 90 - 44

23x = 46

x =2

แทน x = 2 ในสมการที่ (1)

3x + 4y = 18

3(2) + 4y = 18

6 + 4y = 18

4y = 18 – 6

4y = 12

y =3

ดงั นน้ั คาตอบของสมการ คือ x = 2 และ y = 3 หรอื (2, 3) 

ตรวจคาตอบ

แทน x = 2 และ y = 3 ในสมการที่ (1)
จะได้ 3x + 4y = 18

3(2) + 4(3) = 18
6 + 12 = 18
18 = 18
แทน x = 2 และ y = 3 ในสมการที่ (2)
จะได้ 2x – 5y = -11
2(2) – 5(3) = -11
4 - 15 = -11
-11 = -11

71

ตวั อยา่ งที่ 2.9 จงหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้

วิธีทา + =3 (1)

25

3 - 2 =4 (2)

25

นา 10 ซึ่งเปน็ ค.ร.น. ของ 2 และ 5 คูณตลอดท้ังสองข้างของสมการ (1)

จะได้ 10( ) + 10( ) = 10(3) (3)
= 30
25

5x + 2y

นา 10 ซึง่ เปน็ ค.ร.น. ของ 2 และ 5 คณู ตลอดทั้งสองข้างของสมการ (2)

จะได้ 10(3 ) – 10(2 ) = 10(4)
= 40
25

5(3x) – 2(2y)

15x – 4y = 40 (4)

นา 2 คณู สมการ (3) ; 10x + 4y = 60 (5)

นา (4) + (5) ; 15x – 4y + (10x + 4y) = 40 + 60

15x – 4y + 10x + 4y = 100

25x = 100

x =4

แทน x = 4 ในสมการที่ (3)

5x + 2y = 30

5(4) + 2y = 30

20 + 2y = 30

2y = 10

y =5

ดงั นนั้ คาตอบของสมการ คือ x = 4 และ y = 5 หรอื (4, 5) 

ตรวจคาตอบ

แทน x = 4 และ y = 5 ในสมการที่ (3) แทน x = 4 และ y = 5 ในสมการที่ (4)
จะได้ 5x + 2y = 30
จะได้ 15x – 4y = 40
5(4) + 2(5) = 30
20 + 10 = 30 15(4) – 4(5) = 40
30 = 30
60 – 20 = 40

40 = 40

72

โจทย์ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

การแก้โจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตามแนวคิดของโพลยา สรปุ ไดด้ งั นี้

ข้ันที่ 1 ทาความเข้าใจโจทย์ปัญหา โดยพิจารณา
- สิ่งทีโ่ จทย์ถาม
- สิ่งที่โจทย์กาหนด

ข้ันที่ 2 วางแผนการแก้ปญั หา
ข้ันที่ 3 ดาเนินการตามแผน
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

ตวั อย่างที่ 2.10 จานวนสองจานวนรวมกนั ได้ 38 และสามเทา่ ของเลขจานวนมากจะมากกวา่

สองเท่าของเลขจานวนนอ้ ยอยู่ 24 จงหาเลขสองจานวนนน้ั

วธิ ีทา ขนั้ ที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา

1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง (จานวนสองจานวนรวมกันได้ 38 และสามเท่าของ

เลขจานวนมากจะมากกว่าสองเท่าของเลขจานวนน้อยอยู่ 24)

2) โจทย์ตอ้ งการทราบอะไร (เลขสองจานวนน้ัน)

ขัน้ ที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา

1) กาหนดตวั แปรแทนส่งิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบและสิ่งที่เกี่ยวข้อง

สมมติให้ จานวนที่ 1 คือ x และจานวนที่ 2 คอื y

2) สร้างอสมการจากเง่ือนไขทโี่ จทยก์ าหนด

จะไดส้ มการ x + y = 38__________①

3x – 2y= 24__________②

ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน

นา ① x 2 ; 2x + 2y = 76__________③

② + ③ ; 5x = 100

x = 20

แทน x = 20 ใน ① ดังน้ี

x + y = 38

20 + y = 38

y = 18

ดังน้นั จานวนที่ 1 คอื x = 20 และจานวนที่ 2 คอื y = 18

ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทน x = 20 และ y = 18 ใน ① และ ②

จะได้ x + y = 38 และ 3x – 2y = 24

20 + 18= 38 และ 3(20) – 2(18) = 24

38 = 38 และ 24 = 24 เปน็ จริง 

73

ตัวอยา่ งที่ 2.11 ทุเรยี น 2 ผล กบั แตงโมหนึ่งผลราคารวมกันได้ 130 บาท และทเุ รยี น 3 ผล

กบั แตงโม 4 ผล ราคารวมกัน 245 บาท ดังนน้ั ทุเรียนและแตงโมราคาผลละเทา่ ไร
วิธที า ขน้ั ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา

1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง (ทเุ รียน 2 ผล กบั แตงโมหนึง่ ผลราคารวมกนั ได้ 130 บาท
และทุเรียน 3 ผล กับแตงโม 4 ผล ราคารวมกัน 245 บาท)

2) โจทย์ต้องการทราบอะไร (ทเุ รยี นและแตงโมราคาผลละเท่าไร)
ขน้ั ที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา
1) กาหนดตวั แปรแทนสง่ิ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบและสงิ่ ทีเ่ ก่ียวข้อง

สมมตใิ ห้ ทเุ รียนราคาผลละ x บาท
แตงโมราคาผลละ y บาท

ทุเรยี น 2 ผลราคา 2x บาท

แตงโม 1 ผลราคา y บาท เป็นเงนิ 130 บาท

ทุเรียน 3 ผลราคา 3x บาท

แตงโม 4 ผลราคา 4y บาท เป็นเงิน 245 บาท

2) สรา้ งอสมการจากเงื่อนไขท่โี จทยก์ าหนด
จะได้สมการ 2x + y = 130__________①

3x + 4y= 245__________②

ขั้นท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน
นา ① x 4 ; 8x + 4y = 520__________③

③-② ; 5x = 275

x = 55

แทน x = 55 ใน ① ดงั น้ี

2x + y = 130

2(55) + y = 130

110 + y = 130

y = 20

ดังนน้ั ทุเรียนราคาผลละ 55 บาท และแตงโมราคาผลละ 20 บาท

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ
แทน x = 55 และ y = 20 ใน ① และ ②

จะได้ 2x + y = 130 และ 3x + 4y = 245

2(55) + 20 = 130 3(55) + 4(20) = 245

130 = 130 165 + 80 = 245

245 = 245 เปน็ จริง 

74

ตวั อยา่ งที่ 2.12 เลขสองจานวนรวมกันเทา่ กับ 73 ผลตา่ งระหว่างสองเทา่ ของจานวนมากกบั

สามเท่าของจานวนนอ้ ยเปน็ 21 จงหาเลขสองจานวนนั้น
วธิ ีทา ข้ันที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา

1) โจทยก์ าหนดอะไรให้บา้ ง (เลขสองจานวนรวมกนั เทา่ กบั 73 และผลต่างระหว่างสอง
เทา่ ของจานวนมากกบั สามเท่าของจานวนน้อยเป็น 21)

2) โจทย์ตอ้ งการทราบอะไร (หาเลขสองจานวนนนั้ )
ขนั้ ที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา
1) กาหนดตวั แปรแทนสง่ิ ทีโ่ จทย์ต้องการทราบและสิ่งท่เี กี่ยวขอ้ ง

สมมติ ใหเ้ ลขจานวนมากเปน็ x

และ ให้เลขจานวนนอ้ ยเปน็ y (1)
ให้สองเทา่ ของจานวนมากเป็น 2x (2)
ใหส้ ามเทา่ ของเลขจานวนนอ้ ยเป็น 3y
2) สร้างอสมการจากเงื่อนไขทโี่ จทย์กาหนด (3)
จะได้สมการ x + y = 73

2x - 3y = 21
ขั้นท่ี 3 ดาเนินการตามแผน

นา 3 คูณสมการ (1)
3x + 3y = 219

สมการ (2) + สมการ (3)
5x = 240
x = 48

แทน x = 48 ในสมการ (1)
48 + y = 73
y = 25

ดงั น้นั เลขสองจานวนน้ัน คือ 48 และ 25
ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ
ถา้ เลขจานวนนน้ั คอื 48 และ 25

48 + 25 = 73
ผลตา่ งสองเท่าจานวนมากกบั สามเท่าของจานวนเป็น 21

2(48) – 3(25) = 21
96 – 75 = 21
21 = 21 จรงิ

75

แบบทดสอบกอ่ นเรียนหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 ระบบสมการเชิงเสน้ ตัวแปรสองตัวแปร

คาชี้แจง : จงเลือกคาตอบทีถ่ ูกต้องที่สดุ เพียงข้อเดียว (ข้อละ 1 คะแนน)

1. ข้อใดต่อไปนกี้ ล่าวถูกต้อง 4. คู่อันดับ (1, 4) สอดคล้องกับสมการในข้อใด

ก. สมการที่มตี ัวแปร 1 ตวั แปร และเลขชีก้ าลังของ ก. y = x + 4

ตวั แปรเปน็ 1 ตวั แปรอยู่ในรปู ของการบวกหรือ ข. y = x - 4

การลบ ค. y = 4x

ข. สมการที่มตี ัวแปร 1 ตัวแปร และเลขชีก้ าลังของ ง. 4y = x

ตัวแปรเปน็ 2 ตัวแปรอยู่ในรูปของการบวกและ 5. กราฟของ x – 2y = 6 ตัดบนแกน y ทีจ่ ุดใด

การลบ ก. (0, 3)

ค. สมการทีม่ ตี ัวแปร 2 ตวั แปร และเลขชีก้ าลัง ข. (0, -3)

ของตวั แปรแต่ละตัวทั้งสองเป็น 1 ตวั แปรท้ัง ค. (-6, 0)

สองอยู่ในรปู ของการบวกหรือการลบ ง. (6, 0)

ง. สมการทีม่ ตี ัวแปร 2 ตวั แปร และเลขชีก้ าลัง 6. กราฟของ 2x + 3y = 9 ตดั บนแกน x ทีจ่ ดุ ใด

ของตัวแปรแต่ละตัวทั้งสองเป็น 2 ตัวแปรท้ัง ก. (0, 3)

สองอยู่ในรูปของการบวกและการลบ ข. (0, 4.5)

2. ข้อใดเปน็ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ค. (3, 0)

ก. 3x + 1 = y ง. (4.5, 0)

ข. xy + y = 20 7. คาตอบของระบบสมการ

ค. x(x + y) = 5 x+y=4 (1)

ง. x2 + y2 = 25 x – y = -2 (2)

3. จงพิจารณาข้อความที่กาหนดให้ตอ่ ไปนี้ ก. (-1, 5)

1) ถ้ากราฟท้ังสองตดั กนั ที่จุดจุดเดียว คาตอบของ ข. (2, -6)

สมการจะมีสองคาตอบ ค. (4, 0)

2) ถ้ากราฟท้ังสองขนานกนั จะไม่มคี าตอบของ ง. (1, 3)

สมการ 8. คาตอบของระบบสมการ

3) ถ้ากราฟท้ังสองเปน็ เส้นตรงเดียวกัน คาตอบ x + y = -1 (1)

ของสมการจะมีมากมาย 2x – y = 7 (2)

ก. ข้อ 1) และ 2) ถกู ก. (2, -3)

ข. ข้อ 2) และ 3) ถกู ข. (2, 3)

ค. ข้อ 1) และ 3) ผดิ ค. (-2, 3)

ง. ถูกทุกข้อ ง. (-3, 2)

76

9. จานวนเต็มสองจานวนต่างกนั อยู่ 35 แตเ่ มือ่ นามา 10. ถ้าซือ้ ลาไย 2 กิโลกรัม กบั ล้ินจี่ 3 กิโลกรมั เป็นเงิน
รวมกันจะได้ 107 จงหาสองจานวนน้ัน 130 บาท ถ้าซือ้ ลาไย 3 กิโลกรัม กับลิน้ จ่ี 2
ก. 75 และ 32 กิโลกรมั เปน็ เงิน 120 บาท จงหาราคาลาไยและ
ข. 74 และ 33 ลิน้ จว่ี ่ากิโลกรัมละเท่าไร
ค. 71 และ 36 ก. 30 และ 20 บาท
ง. 72 และ 37 ข. 20 และ 30 บาท
ค. 35 และ 20 บาท
ง. 30 และ 25 บาท

77

ใบกิจกรรมที่ 2.1 ความหมายของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
และระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

คาชีแ้ จง ให้นกั เรียนตอบคาถามตอ่ ไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปรมีลกั ษณะเป็นอย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมีลกั ษณะเปน็ อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. คาตอบของสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมลี ักษณะเปน็ อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถกู ต้อง

4.1 จากสมการ x + 2y = 5

x0

y0

4.2 จากสมการ x + y = 2

x0 4

y0

5. จามสมการทีก่ าหนดให้ x – 2y = 0 จงหาค่า x และ y
ถ้า x = 0 จะได้ y =…………………
ถ้า x =…………………จะได้ y = 1

2

ถ้า x =…………………จะได้ y = 1
ถ้า x = 4 จะได้ y =…………………
ดังนน้ั (0, ……….), (………., 1), (………., 1), (4, ……….)

2

ต่างก็เป็นคาตอบของสมการ x – 2y = 0

78

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 2.1 ความหมายของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร
และระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนตอบคาถามตอ่ ไปนีใ้ ห้ถูกต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. สมการเชิงเส้นสองตวั แปรมีลักษณะเป็นอย่างไร

สมการที่มตี ัวแปรทีแ่ ตกต่างกนั 2 ตวั ที่อยู่ในรูปของการบวกหรือลบ โดยทีเ่ ลขชกี้ าลงั ของ

ตัวแปรท้ังสองเท่ากบั 1ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมีลักษณะเป็นอย่างไร

2. ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมีลกั ษณะอย่างไร

สมการเชิงเส้นสองตวั แปรสองสมการที่เขียนอยู่ในรูป

a1x + b1y = c1 (1)

a2x + b2y = c2 (2)

3. คาตอบของสมการเชิงเส้นสองตวั แปรมลี ักษณะเปน็ อย่างไร

จานวนที่แทนค่าตัวแปรในสมการแล้วทาใหส้ มการเปน็ จรงิ ซึ่งมีอยู่ 2 ค่า จึงนิยมเขียน

คาตอบในรปู ของคู่อนั ดับ (x, y)

4. จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง

4.1 จากสมการ x + 2y = 5

x05

y 5/2 0

4.2 จากสมการ x + y = 2

x024

y 2 0 -2

5. จามสมการทีก่ าหนดให้ x – 2y = 0 จงหาค่า x และ y
ถ้า x = 0 จะได้ y = 0
ถ้า x = 1 จะได้ y = 1

2

ถ้า x = 2 จะได้ y = 1
ถ้า x = 4 จะได้ y = 2
ดังนน้ั (0, 0), (1, 1), (2, 1), (4,2)

2

ต่างกเ็ ปน็ คาตอบของสมการ x – 2y = 0

79

ใบกิจกรรมที่ 2.2 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใชก้ ราฟ

องคป์ ระกอบท่ี 1 ใบกจิ กรรมท่ี 2.2
ลาดบั การเรยี นรู้ท่ี 5 ทาผงั แสดงตาแหน่งพรรณไม้

วตั ถปุ ระสงค์
1. เพอ่ื ให้ผ้เู รยี นหาตาแหน่งพรรณไม้
2. เพอ่ื ให้ผ้เู รียนจดั ทาผังพิกดั แสดงตาแหนง่ พรรณไม้

วธิ กี ารศกึ ษา
1. หาตาแหนง่ พรรณไมใ้ นพื้นทศ่ี ึกษาแล้วบันทึกข้อมลู ลงในใบงาน
2. พร้อมทั้งจดั ทาผังพิกัดแสดงตาแหนง่ พรรณไม้และผังแสดงตาแหน่งพรรณไม้โดยปฏบิ ัติตามข้ันตอน
ดังต่อไปนี้
2.1 วิธกี ารหาตาแหน่งพรรณไม้
2.1.1 กาหนดขอบเขตพ้ืนที่ศกึ ษา
2.1.2 ใช้ตลับเมตรวดั ขนาดพ้นื ที่ศึกษาเพื่อกาหนดมาตราสว่ น
2.1.3 ใชเ้ ข็มทิศโดยกาหนดให้ทิศเหนอื เปน็ แกน Y และทศิ ตะวันออกเป็นแกน X
2.1.4 กาหนดจุดอา้ งองิ (0, 0) ของพืน้ ทศี่ ึกษา โดยเลอื กวัตถุท่เี ป็นส่ิงกอ่ สรา้ งถาวร

2.1.5 ใชต้ ลบั เมตรลากจากจุดอ้างอิง (0, 0) เพ่ือหาพิกัดของต้นไมแ้ ต่ละตน้ ออกมาเป็นคู่
อันดับ (x, y) เชน่ (3.5, -4.5)

2.1.6 วัดขนาดทรงพมุ่ ของต้นไม้ทั้ง 4 ทศิ โดยวดั ออกจากกลางลาต้น
2.1.7 อุปกรณ์ที่ใชใ้ นการศึกษา ได้แก่ เชอื กฟาง ตลับเมตร เข็มทิศ ดินสอ กระดาษปอนด์
ผลทค่ี าดวา่ จะไดร้ บั
1. ไดผ้ ังแสดงตาแหน่งพรรณไม้ในแตล่ ะพน้ื ที่ศึกษา
2. ผูเ้ รยี นเกดิ ทกั ษะการวัดพื้นท่ีการใช้เขม็ ทิศ
3. กอ่ ให้เกดิ ความสามัคคีพฒั นาความเป็นผนู้ า

80

ใบกิจกรรมที่ 2.2 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ราฟ

องค์ประกอบท่ี 1 ใบกิจกรรมท่ี 2.2

ลาดับการเรียนรู้ท่ี 5 ทาผงั แสดงตาแหน่งพรรณไม้

ผลการปฏิบัติงาน

ตาแหนง่ พรรณไม้พ้ืนท่ีศกึ ษา บริเวณ

กวา้ ง เมตร ยาว เมตร

รหัสประจาต้น ชอ่ื พ้ืนเมือง หา่ งจากจดุ อา้ องิ ความกวา้ งของทรงพมุ่ (เมตร)
ทิศ

เหนอื ใต้ ตะวนั ออก ตะวันตก

81

ใบกิจกรรมที่ 2.2 (ตอ่ ) การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใชก้ ราฟ

องค์ประกอบท่ี 1 ใบกจิ กรรมที่ 2.2

ลาดบั การเรยี นรูท้ ่ี 5 ทาผังแสดงตาแหน่งพรรณไม้

ผงั พิกัดแสดงตาแหน่งพรรณไมพ้ ้นื ท่ีศกึ ษา บริเวณ มาตรส่วน

ผลจากการปฏบิ ตั งิ านพัฒนาคณุ ธรรมจรยิ ธรรมดา้ นใดบ้าง เลขท่ี
1. เลขที่
2. เลขท่ี
เลขท่ี
ชือ่ ผศู้ ึกษา
1. ครผู ู้สอน

2.

3.
4.

บูรณาการกบั รายวชิ า

82

ใบกิจกรรมที่ 2.2 (ตอ่ ) การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ราฟ

องค์ประกอบที่ 1 ใบกิจกรรมที่ 2.2

ลาดบั การเรียนรทู้ ี่ 5 ทาผังแสดงตาแหน่งพรรณไม้

ผังขนาดทรงพมุ่ ตาแหน่งพรรณไม้พ้นื ท่ีศึกษา บริเวณ มาตรส่วน

ผลจากการปฏบิ ตั ิงานพฒั นาคณุ ธรรมจรยิ ธรรมด้านใดบา้ ง เลขท่ี
3. เลขที่
4. เลขท่ี
เลขท่ี
ชอื่ ผ้ศู ึกษา
5. ครผู ูส้ อน

6.

7.
8.

บรู ณาการกับรายวชิ า

83

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.1 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ

คาชี้แจง ให้นกั เรียนหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้โดยวิธีการเขียนกราฟ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. 2x - y =1 (1)

x+y =5 (2)

2. x + y =0 (1)
2x + y =2 (2)

84

คาชี้แจง ให้นักเรียนหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้โดยวิธีการเขียนกราฟ (ข้อละ 1 คะแนน)

3. 2x - y =0 (1)

x - 2y = 6 (2)

4. 3x - y =3 (1)
+ y =4 (2)

2

85

เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 2.1 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยใชก้ ราฟ

คาชี้แจง ให้นักเรียนหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้โดยวิธีการเขียนกราฟ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. 2x - y =1 (1)

x+y =5 (2)

2. x + y =0 (1)
2x + y =2 (2)

86

คาชี้แจง ให้นักเรียนหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้โดยวิธีการเขียนกราฟ (ข้อละ 1 คะแนน)

3. 2x - y =0 (1)

x - 2y = 6 (2)

4. 3x - y =3 (1)
+ y =4 (2)

2

ใบกิจกรรมที่ 2.3 87

การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยวิธีการแทนค่า

คาชี้แจง ให้นักเรียนหาคาตอบและเติมคาในช่องว่างให้ถกู ต้อง

จากสมการที่กาหนดให้จงหาค่า x และ y

5x + y = 9 (1)

2x- 4y = 30 (2)

1. จัดรูปตัวแปรในสมการใดสมการหนึ่งให้ x อยู่ในรปู ของตวั แปร y หรอื y อยู่ในรปู ตัว

แปร x โดยเลือกสมการที่จัดรูปแบบงา่ ยที่สุด

จากสมการที่ (1) 5x + y = 9

จากสมการที่ (1) 5x + y = (3)

2. นาตัวแปร x หรอื y ที่จดั รูปแบบแล้วไปแทนค่าในสมการทีเ่ หลือซึ่งจะทาให้สมการน้ัน

เปน็ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

แทนค่า y = ในสมการที่ (2)

จะได้ 2x- 4( ) = 30

3. แก้สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวหาค่าของตวั แปร

4. นาค่าตัวแปรทีได้ไปแทนค่าในสมการหาค่าตวั แปรที่เหลือ

แทนค่า x = 3 ในสมการที่ (3)

จากสมการที่ (1) 5x + y =

จากสมการที่ (1) 5x + y =

จากสมการที่ (1) 5x + y =

ดังนน้ั คาตอบของระบบสมการ คือ x = ,y= หรอื ( , ) 

88

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 2.3 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยวิธีการแทนค่า

คาชี้แจง ให้นกั เรียนหาคาตอบและเติมคาในช่องว่างให้ถกู ต้อง

จากสมการทีก่ าหนดให้จงหาค่า x และ y

5x + y = 9 (1)

2x- 4y = 30 (2)

1. จัดรปู ตัวแปรในสมการใดสมการหนึ่งให้ x อยู่ในรปู ของตัวแปร y หรอื y อยู่ในรูปตวั

แปร x โดยเลือกสมการที่จัดรปู แบบงา่ ยทีส่ ดุ

จากสมการที่ (1) 5x + y = 9

จากสมการที่ (1) 5x + y = 9 – 5x (3)

2. นาตวั แปร x หรอื y ที่จดั รปู แบบแล้วไปแทนค่าในสมการทีเ่ หลือซึ่งจะทาให้สมการนั้น

เปน็ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

แทนค่า y = 9 – 5x ในสมการที่ (2)

จะได้ 2x - 4(9 – 5x) = 30

3. แก้สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวหาค่าของตวั แปร

2x - 4(9 – 5x) = 30

2x – 36 + 20x = 30

22x - 36 = 30

22x = 30 + 36

22x = 66

x = 66

22

x =3

4. นาค่าตัวแปรทีได้ไปแทนค่าในสมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ

แทนค่า x = 3 ในสมการที่ (3)

จากสมการที่ (1) 5x + y = 9 – 5(3)

จากสมการที่ (1) 5x + y = 9 – 15

จากสมการที่ (1) 5x + y = -6

ดงั นน้ั คาตอบของระบบสมการ คือ x = 3 y = -6 หรอื (3, -6) 

89

แบบฝึกทักษะที่ 2.2 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
โดยวิธีการแทนคา่

คาชี้แจง ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยวิธีการแทนค่า

1.1 2x + 3y = 3 (1)

x + 5y = -9 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 7x - 2y = 4 (1)

2x + y = 9 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

90

คาชีแ้ จง ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

1.3 x - 2y = 8 (1)

2x + y = 6 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 2x + 5y + 9 = 0 (1)

3x = 4y - 2 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2.2 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 91
โดยวิธีการแทนคา่ 

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

1. ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยวิธีการแทนค่า

1.1 2x + 3y = 3 (1)

x + 5y = -9 (2)

วิธีทา จากสมการ  เขียน x ในรปู ของ y

จะได้ x = - 9 - 5y … 

แทนค่า x ในสมการ 

2(- 9 - 5y) + 3y = 3

-18 - 10y + 3y = 3

- 7y = 21

y = -3

แทนค่า y = - 3 ในสมการ 

x = - 9 - 5(- 3)

x =6

ดังนน้ั คาตอบของระบบสมการ คือ x = 6 และ y = - 3 หรอื (6, - 3)

1.2 7x - 2y = 4 (1)

2x + y = 9 (2)

วิธีทา จากสมการ  เขียน y ในรปู ของ x

จะได้ y = 9 - 2x … 

แทนค่า y ในสมการ 

7x - 2(9 - 2x) = 4

7x - 18 + 4x = 4

11x = 4 + 18

11x = 22

x =2

แทนค่า x = 2 ในสมการ 

y = 9 - 2(2)

y =5

ดงั นนั้ คาตอบของระบบสมการ คือ x = 2 และ y = 5 หรอื (2, 5)

92

คาชี้แจง ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

1.3 x - 2y = 8 (1)

2x + y = 6 (2)

วิธีทา จากสมการ  เขียน x ในรปู ของ y

จะได้ x = 8 + 2y … 

แทนค่า x ในสมการ 

2(8 + 2y) + y = 6

16 + 4y + y = 6

5y = 6 - 16

5y = - 10

y = -2

แทนค่า y = -2 ในสมการ 

x = 8 + 2(- 2)

x =4

ดงั นนั้ คาตอบของระบบสมการ คือ x = 4 และ y = - 2 หรอื (4, - 2) 

1.4 2x + 5y + 9 = 0 (1)

3x = 4y - 2 (2)

วิธีทา จากสมการ  เขียน x ในรปู ของ y

จะได้ x = 4 −2 …

3

แทนค่า x ในสมการ 

2(4 −2)+ 5y + 9 = 0
3
8 −4+ 5y + 9
3 =0

8y - 4 + 15y + 27 = 0

23y = - 23

y = -1

แทนค่า y = - 1 ในสมการ 

x = 4(−1)−2

3

= -2

ดังนน้ั คาตอบของระบบสมการ คือ x = - 2 และ y = - 1 หรอื (- 2, - 1)

93

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.3 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
โดยวิธีการขจดั ตัวแปร

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

2. ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยวิธีขจดั ตวั แปร

2.1 4x + y = 17 (1)

2x + y = 11 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 5x + y = 9 (1)

x - 2y = 4 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

94

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

2.3 2x + 7y - 3 = 0 (1)

5x + 4y + 6 = 0 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4 + = 4 (1)
63
+ 2 = 4
12 3 (2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2.3 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 95
โดยวิธีการขจดั ตัวแปร 

คาชี้แจง ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน)

2. ให้นักเรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ โดยวิธีขจดั ตัวแปร

2.1 4x + y = 17 (1)

2x + y = 11 (2)

วิธีทา สมการ  - สมการ 

(4x + y) - (2x + y) = 17 - 11

2x = 6

x= 3

แทน x = 3 ในสมการ 

2(3) + y= 11

6 + y = 11

y = 11 - 6

y= 5

ดงั นน้ั คาตอบของระบบสมการ คือ x = 3 และ y = 5 หรอื (3, 5)

2.2 5x + y = 9 (1)

x - 2y = 4 (2)

วิธีทา สมการ  คูณ 2

10x + 2y = 18 … 

สมการ  + สมการ 

(x - 2y) + (10x + 2y) = 4 + 18

11x = 22

x =2

แทนค่า x = 2 ในสมการ 

5(2) + y = 9

10 + y = 9

y = -1

ดังนนั้ คาตอบของระบบสมการ คือ x = 2 และ y = - 1 หรอื (2, - 1)

คาชแี้ จง ให้นกั เรียนหาค่า x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน) 96

2.3 2x + 7y - 3 = 0 (1) 

5x + 4y + 6 = 0 (2)

วิธีทา จากโจทย์ จดั รูปสมการใหม่ ดงั นี้

2x + 7y =3 …

5x + 4y = -6 … 

นา 5 คณู สมการ 

10x + 35y = 15 … 

นา 2 คูณสมการ 

10x + 8y = - 12 … 

สมการ  - สมการ 

(10x + 35y) - (10x + 8y)= 15 - (- 12)

27y = 27

y =1

แทนค่า y = 1 ใน สมการ 

2x + 7(1) = 3

2x = 3 - 7

2x = - 4

x = -2

ดังนน้ั คาตอบของระบบสมการ คอื x = - 2 และ y = 1 หรอื (- 2, 1)

2.4 + = 4 (1)
(2)
63

+ 2 = 4

12 3

วิธีทา จากโจทย์ จดั รปู สมการได้ ดงั นี้

x + 2y = 24 …

x + 8y = 48 …

สมการ  - สมการ 

(x + 8y) - (x + 2y) = 48 - 24

6y = 24

y =4

แทนค่า y = 4 ใน สมการ 

x + 2(4) = 24

x + 8 = 24

x = 16

ดังนนั้ คาตอบของระบบสมการ คอื x = 16 และ y = 4 หรอื (16, 4)

97

ใบกิจกรรมที่ 2.5 โจทยร์ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

คาชี้แจง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปญั หาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

1. สองเท่าของจานวนแรกกับจานวนทีส่ องรวมกันได้ 55 แตต่ ่างกนั 5 จานวนสองจานวนน้ัน
วิธีทา ขน้ั ทาความเข้าใจปัญหา

1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) โจทย์ต้องการทราบอะไร
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขั้นวางแผนแกป้ ัญหา
1) กาหนดตวั แปรแทนสิง่ ที่โจทย์ต้องการทราบและสง่ิ ทีเ่ กี่ยวข้อง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) สร้างอสมการจากเง่อื นไขทีโ่ จทย์กาหนด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้นั ดาเนินการตามแผน
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้ันตรวจสอบคาตอบ
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

98

คาชีแ้ จง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปัญหาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

2. ปริณเปิดบริการรบั ฝารถในอัตราค่าฝากรถยนต์คนละ 30 บาท รถจักรยานยนต์คันละ 10 บาท
เขานบั รถทีม่ าฝากรวมกันได้ 120 คัน นบั เงินที่เกบ็ มาท้ังหมดได้ 1,900 บาท เขาอยากทราบว่า
เปน็ เงินทีม่ าฝากรถยนต์และรถจกั รยานยนต์อย่างละกี่คัน

วิธีทา ขนั้ ทาความเข้าใจปญั หา
1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) โจทย์ต้องการทราบอะไร
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขั้นวางแผนแกป้ ญั หา
1) กาหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบและสง่ิ ที่เกี่ยวข้อง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) สร้างอสมการจากเงอ่ื นไขทีโ่ จทย์กาหนด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้นั ดาเนินการตามแผน
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้นั ตรวจสอบคาตอบ
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

99

เฉลยใบกิจกรรมที่ 2.5 โจทยร์ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

คาชี้แจง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปัญหาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

1. สองเท่าของจานวนแรกกบั จานวนทีส่ องรวมกนั ได้ 55 แตต่ ่างกัน 5 จานวนสองจานวนน้ัน

วธิ ีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา

1) โจทยก์ าหนดอะไรใหบ้ า้ ง (สองเทา่ ของจานวนแรกกับจานวนทส่ี องรวมกันได้ 55 แต่

ตา่ งกนั 5)

2) โจทย์ต้องการทราบอะไร (หาเลขสองจานวนนัน้ )

ขัน้ ท่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา

1) กาหนดตวั แปรแทนสิ่งทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบและส่ิงที่เก่ียวข้อง

สมมติ ให้เลขจานวนมากเปน็ x

และ ใหเ้ ลขจานวนนอ้ ยเป็น y

สองเท่าของจานวนแรกกบั จานวนทสี่ องรวมกันได้ 55

จานวนสองจานวนต่างกนั อยู่ 5

2) สรา้ งอสมการจากเงื่อนไขทีโ่ จทย์กาหนด

จะไดส้ มการ 2x + y = 55 (1)

x-y =5 (2)

ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน

สมการ (1) + สมการ (2)

3x = 60

x = 20

แทน x = 20 ในสมการ (1)

2(20) + y = 55

40 + y = 55

y = 55 – 40

y = 15

ดังนน้ั เลขสองจานวนนั้น คือ 20 และ 15

ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทน x = 20 , y = 15 ในสมการ (1) และ (2)

จะได้ 2x + y = 55 และ x - y =5

2(20) + 15 = 55 20 - 15 = 5

55 = 55 5 =5 

100

คาชีแ้ จง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปญั หาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

2. ปริณเปิดบริการรับฝารถในอัตราค่าฝากรถยนต์คนละ 30 บาท รถจกั รยานยนต์คันละ 10 บาท

เขานับรถทีม่ าฝากรวมกันได้ 120 คัน นบั เงินที่เกบ็ มาทั้งหมดได้ 1,900 บาท เขาอยากทราบว่า

เป็นเงินทีม่ าฝากรถยนต์และรถจกั รยานยนต์อย่างละกี่คัน

วิธีทา ขนั้ ท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา

1) โจทยก์ าหนดอะไรให้บา้ ง (ปริณเปิดบริการรับฝารถในอตั ราค่าฝากรถยนตค์ นละ 30

บาท รถจักรยานยนต์คนั ละ 10 บาท เขานบั รถทีม่ าฝากรวมกนั ได้ 120 คนั นับเงินท่ี

เกบ็ มาท้ังหมดได้ 1,900 บาท)

2) โจทย์ตอ้ งการทราบอะไร (บาท เขาอยากทราบวา่ เป็นเงนิ ทม่ี าฝากรถยนตแ์ ละ

รถจักรยานยนต์อยา่ งละก่คี นั )

ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา

1) กาหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบและสง่ิ ทเ่ี ก่ียวข้อง

สมมติ ให้รถยนต์มีจานวน x คัน คิดเปน็ เงินค่าฝาก 30x บาท

และ ให้รถจกั รยานยนต์มจี านวน y คนั คิดเปน็ เงนิ ค่าฝาก 10y บาท

2) สรา้ งอสมการจากเง่ือนไขที่โจทยก์ าหนด

จะไดส้ มการ x + y = 120 (1)

30x + 10y = 1,900 (2)

ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน

นา 10 คณู สมการ (1)

10x + 10y = 1,200 (3)

สมการ (2) - สมการ (3)

30x – 10x = 1,900 – 1,200

20x = 700

x = 35

แทน x = 35 ในสมการ (1)

35 + y = 120

y = 85

ดงั นัน้ รถที่มาฝากเปน็ รถยนต์ 35 คัน และรถจักรยานยนต์ 85 คัน

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบคาตอบ

แทน x = 35 , y = 85 ในสมการ (1) และ (2)

จะได้ x + y = 120 และ 30x + 10y = 1,900

35 + 85 = 120 30(35) + 10(85) = 1,900

120 = 120 1,050 + 850 = 1,900 

101

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.4 โจทยร์ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

คาชีแ้ จง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปญั หาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

1. ธนิตาและสุพรรณีมีเงินรวมกัน 1,560 บาท สองเท่าของเงนิ ธนิตามากกว่าเงนิ ของสพุ รรณี
อยู่ 570 บาท จงหาว่าท้ังสองคนมเี งินคนละเท่าใด

วิธีทา ขั้นทาความเข้าใจปัญหา
1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) โจทย์ต้องการทราบอะไร
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้ันวางแผนแกป้ ญั หา
1) กาหนดตวั แปรแทนสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบและส่งิ ที่เกี่ยวข้อง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) สร้างอสมการจากเงอ่ื นไขทีโ่ จทย์กาหนด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขน้ั ดาเนินการตามแผน
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขัน้ ตรวจสอบคาตอบ
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

102

คาชี้แจง ให้พิจารณาข้อความในโจทย์และแสดงวธิ ีทาการแก้โจทย์ปญั หาสมการ (ข้อละ 4 คะแนน)

2. บตั รเข้าชมพิพิธภัณฑ์แหง่ หนึง่ ราคาบตั รสาหรบั ผใู้ หญ่ 3 คน และเด็ก 2 คน เปน็ เงิน 618

บาท และราคาบัตรสาหรับผใู้ หญ่ 2 คน เด็ก 1 คน เปน็ เงิน 384 บาท จงหาราคาบัตรเข้าชม
พิพิธภณั ฑน์ ี้
วิธีทา ขนั้ ทาความเข้าใจปัญหา
1) โจทย์กาหนดอะไรใหบ้ ้าง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) โจทย์ต้องการทราบอะไร
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ข้นั วางแผนแก้ปญั หา
1) กาหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบและส่งิ ทีเ่ กีย่ วข้อง
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2) สร้างอสมการจากเง่อื นไขทีโ่ จทย์กาหนด
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขน้ั ดาเนินการตามแผน
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
ขนั้ ตรวจสอบคาตอบ
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................