กลศาสตร์เครื่องมือกล

แผนการจัดการเรียนรู้มุ่งเนน้ สมรรถนะ

วชิ า กลศาสตรเ์ คร่อื งมอื กล รหัสวชิ า 20102-2006 ทฤษฎี 2 ปฏบิ ัติ 0 หน่วยกติ 2
 หลกั สูตรประกาศนียบตั รวิชาชีพ  หลกั สูตรประกาศนยี บัตรวิชาชีพชน้ั สงู
ประเภทวชิ าอตุ สาหกรรม สาขาวชิ าช่างกลโรงงาน สาขางานเคร่อื งมือกล

จดั ทาโดย
นายคัมภรี ์ สิรวิ รไพบูลย์

วทิ ยาลัยการอาชพี สว่างแดนดนิ
สานกั งานคณะกรรมการการอาชีวศกึ ษา

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

หลกั สูตรรายวชิ า

วิชา กลศาสตร์เครอ่ื งมอื กล รหัสวิชา 20102-2006 ทฤษฎี 2 ปฏบิ ัติ 0 หน่วยกิต 2

 หลักสูตรประกาศนียบตั รวชิ าชีพ  หลักสูตรประกาศนียบัตรวชิ าชพี ชนั้ สูง

ประเภทวชิ าอุตสาหกรรม สาขาวชิ าเทคนคิ การผลิต สาขางานเคร่อื งมือกล

จุดประสงคร์ ายวชิ า

1. เขา้ ใจหลักกลศาสตร์ การไดเ้ ปรยี บเชิงกลทางกายภาพ แรง โมเมนต์ ความเรว็ ความเร่ง จดุ ศูนยถ์ ว่ ง
ความเสยี ดทาน

2. คานวณและประยกุ ตใ์ ชห้ ลักกลศาสตรเ์ บื้องต้น
3. มีมีเจตคติและกจิ นิสยั ที่ดี รับผิดชอบ ตรงต่อเวลา

สมรรถนะรายวิชา

แสดงความรู้เก่ยี วกบั หลักการ การคานวณและการประยุกต์ใช้หลักกลศาสตร์เบอื้ งต้น

คาอธบิ ายรายวชิ า

ศึกษาเกี่ยวกับหลักกลศาสตร์ การได้เปรียบเชิงกลทางกายภาพ ของคานดีด คานงัด พ้ืนเอียง ลิ่ม ล้อ
เพลา รอก แรง การรวมและการแยกแรง โมเมนต์ ความเร็ว ความเร่ง จุดศูนย์ถ่วง ความเสียดทาน คานวณและ
ประยุกตใ์ ช้หลกั กลศาสตร์เบอ้ื งต้นเกี่ยวกับการออกแบบช้นิ สว่ นในงานเครอ่ื งมอื กล

ก

คำนำ

แผนการจัดการเรียนรู้วิชากลศาสตร์เครื่องมือกลน้ีได้จัดทาข้ึน โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อช่วยให้
ครูผู้สอนในวิชาน้ี ได้ทราบถึงจุดประสงค์ขอบเขตของเนื้อหาที่จะนาไปสอน รวมท้ังแนวทางในเรื่องของวิธี
สอน สอื่ การสอน ตลอดจนการวัดผล

แผนการจัดการเรียนรเู้ ล่มน้มี สี ่วนประกอบทส่ี าคัญคือ
- จดุ ประสงค์รายวิชา
- คาอธบิ ายรายวิชา
- หนว่ ยการสอน
- รายการสอนและจดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรม
- กจิ กรรมการเรยี นการสอน
- สือ่ การสอน
- การวดั และประเมินผล

สาหรับวิชากลศาสตร์เครื่องมือกล รหัสวิชา 2102-2006 จานวน 2 หน่วยกิต 2 ชั่วโมงต่อสัปดาห์
รวม 18 สปั ดาห์ ในการจัดทาแผนการจัดการเรียนรู้คร้ังนี้ ผู้จัดทาต้องขอขอบคุณ ผู้ที่ให้ความอนุเคราะห์ใน
การใหค้ าปรกึ ษา แนะนา ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแผนการจัดการเรียนรู้เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อครู –
อาจารย์ ผู้สอนทกุ ท่าน เพ่ือใช้พฒั นาการเรียนการสอนตอ่ ไป

สำรบญั ข

คานา หนำ้
สารบัญ ก
คาแนะนาการใชแ้ ผนการจัดการเรียนรู้ ข
หลักสตู รรายวิชา ค
ผลงาน และเกณฑ์การประเมินผลงานรายวชิ า ง
ตารางวิเคราะหห์ น่วยการเรยี นรู้ จ
ตารางวเิ คราะหห์ วั ขอ้ เรอื่ งสมั พนั ธ์ ช
ตารางวิเคราะห์ผลการเรยี นรู้รายวชิ า ซ
ตารางวเิ คราะห์จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม ฎ
โครงการจดั การเรยี นรู้ ฑ
แผนการจดั การเรียนรู้ หนว่ ยท่ี 1 ด
แผนการจัดการเรยี นรู้ หนว่ ยท่ี 2 1
แผนการจัดการเรยี นรู้ หน่วยที่ 3 5
แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 4 10
แผนการจดั การเรียนรู้ หน่วยที่ 5 14
แผนการจัดการเรยี นรู้ หน่วยท่ี 6 19
แผนการจัดการเรยี นรู้ หนว่ ยท่ี 7 23
แผนการจดั การเรียนรู้ หนว่ ยที่ 8 27
31

ชื่อเรื่อง แผนการเรยี นรหู้ นว่ ยท่ี 1 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนครงั้ ท่ี 1-2
ชอื่ วชิ า กลศาสตรเ์ คร่ืองมือกล (20102-2006)
ชือ่ หนว่ ย หลักการเบอ้ื งต้นทางกลศาสตร์ จานวน 4 ช.ม.
หลกั การเบอื้ งตน้ ทางกลศาสตร์

หวั ขอ้ เร่อื ง

1. คาจากัดความของกลศาสตร์
2. ปรมิ าณทางกลศาสตร์
3. ปรมิ าณพน้ื ฐานทางกลศาสตร์
4. หนว่ ยพน้ื ฐานทางกลศาสตร์
5. กฎพืน้ ฐานทางกลศาสตร์
6. ความแม่นยาในการปัดเศษ

สมรรถณะย่อย

แสดงความรูเ้ ก่ยี วกบั หลักการเบื้องต้นทางกลศาสตร์

วัตถปุ ระสงค์เชิงพฤติกรรม

เมือ่ ผูเ้ รียนไดศ้ ึกษาเนื้อหาในบทน้แี ล้ว ผ้เู รยี นสามารถ
1. บอกความหมายของกลศาสตร์ได้
2. บอกความแตกต่างระหวา่ งคาวา่ สถิตยศาสตร์และพลศาสตรไ์ ด้
3. บอกความหมายของปรมิ าณทางกลศาสตรไ์ ด้
4. จาแนกปรมิ าณทางกลศาสตรไ์ ด้
5. จาแนกปริมาณพื้นฐานทางกลศาสตรไ์ ด้
6. เขยี นหน่วยและสญั ลักษณพ์ ้ืนฐานทางกลศาสตร์ได้
7. เลอื กใช้คานาหนา้ หนว่ ยได้
8. บอกกฎในการใช้หน่วยได้
9. หาแรงกระทาต่อวัตถทุ ท่ี าให้วัตถเุ คลอ่ื นทไี่ ด้
10. หาน้าหนักของวัตถไุ ด้
11. ปดั เศษได้ถูกตอ้ ง

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนคร้งั ที่ 1)

ครูชแี้ จงรายละเอียดเกยี่ วกบั จดุ ประสงค์ สมรรถนะและคาอธบิ ายรายวิชา การวัดผลและ
ประเมินผลการเรียน คณุ ลกั ษณะนิสยั ทีต่ ้องการใหเ้ กิดข้ึน และข้อตกลงในการเรยี น

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครั้งที่ 2)

1. ครแู จง้ จุดประสงคก์ ารเรยี นประจาสัปดาห์
2. ครนู าเข้าสูบ่ ทเรยี น
3. ครสู อนเนอ้ื หาสาระ
4. ครูสรปุ เนื้อหาสาระประจาสปั ดาห์
5. นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนบทท่ี 1
6. ครมู อบหมายให้นกั เรียนทาแบบฝกึ หัดท้ายบทเรียน ขอ้ ที่ 1.1-1.15 นอกเหนือเวลาเรียน

สื่อการเรียนรู้

1. หนังสอื เรยี น วชิ ากลศาสตร์เครอื่ งมือกล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 1

งานทีม่ อบหมาย/กิจกรรม

ใหน้ กั ศึกษาทาแบบฝึกหัดบทท่ี 1 นอกเหนอื เวลาเรยี นใหเ้ รยี บรอ้ ย ถกู ตอ้ ง สมบูรณ์ ในวันท่กี าหนด

การประเมินผลการเรยี นรู้ เกณฑผ์ า่ น 60%
เกณฑ์ผ่าน 60%
1. แบบฝึกบทที่ 1 เกณฑ์ผา่ น 60%
2. แบบทดสอบหลงั เรยี น
3. แบบประเมินคณุ ธรรมจริยธรรม ตามสภาพจริง

ชอ่ื เร่ือง แผนการเรียนรูห้ น่วยท่ี 1 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนครัง้ ท่ี 1-2
ชือ่ วชิ า กลศาสตรเ์ ครอื่ งมือกล (20102-2006)
ช่อื หนว่ ย หลกั การเบ้ืองต้นทางกลศาสตร์ จานวน 4 ช.ม.
หลักการเบื้องต้นทางกลศาสตร์

ผลการใชแ้ ผนการจดั การเรียนรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรียนรู้ของนักศึกษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผูอ้ านวยการฝ่ายวชิ าการ
หวั หน้าสาขาวชิ า

บทท่ี 1
หลักการเบื้องต้นทางกลศาสตร์

1.1 กลศาสตร์ (Mechanics)

กลศาสตร์เปน็ สาขาหนึง่ ของวชิ าฟสิ ิกส์ ซึง่ กลา่ วถงึ การหยดุ นิง่ หรือการเคลอ่ื นท่ีของวตั ถเุ มอ่ื มแี รงมา
กระทา โดยทั่วไปจะแบง่ ยอ่ ยเป็น 3 ประเภท คือ

1. กลศาสตรข์ องวตั ถแุ กรง่ (Rigid-body mechanics)
2. กลศาสตร์ของวัตถยุ ืดหด (Deformable-body mechanics)
3. กลศาสตรข์ องไหล (Fluid mechanics)
โดยเน้อื หาท้ังหมดจะกลา่ วเฉพาะประเภทแรก และถอื ว่าวัตถุไมเ่ กดิ การยืดหดเมื่อมีแรงกระทาซึง่ จะ
เป็นพ้นื ฐานที่จาเปน็ ในการวิเคราะห์โครงสรา้ งและออกแบบเครอื่ งจักรกล การศกึ ษากลศาสตรป์ ระเภทอน่ื ๆ
กลศาสตร์วิศวกรรมยงั แบง่ ออกเปน็ 2 ภาค คอื
1. ภาคสถิตศาสตร์ (Statics) โดยสมมุตวิ ่าวัตถุอยู่ในสภาวะหยดุ นง่ิ หรือเคลื่อนท่ดี ว้ ยความเรว็ คงที่
2. ภาคพลศาสตร์ (Dynamics) ถือว่าวตั ถเุ คล่อื นทแ่ี ละเกดิ ความเร่ง

สาหรับพลศาสตร์ยังแบง่ ออกเป็น 2 สว่ น คือ
1. จลนศาสตร์ (Kinematics) กล่าวถงึ การเคลื่อนทขี่ องวตั ถุ โดยไม่คานึงว่าแรงกระทามีผลตอ่ การ
เคลอื่ นท่ีอยา่ งไร
2. จลศาสตร์ (Kinetics) กล่าวถึง การเคลอื่ นทข่ี องวัตถทุ เ่ี ป็นผลมาจากการกระทาของแรง

บุคคลสาคญั ท่เี ป็นผู้คิดค้นทฤษฎีต่างๆ มีดงั น้ี
1. อารค์ ีมีดีส (287-212 ปี ก่อนคริสตกาล) ศกึ ษาทฤษฎเี กี่ยวกับคานดี คานงดั และทฤษฎแี รงลอยตวั
2. สตวี ีนัส (Stevinus 1548-1620) ไดต้ ง้ั กฎการรวมเวกเตอร์ของแรงและกฎต่างๆ ในทางสถติ
ศาสตร์
3. กลเิ ลโอ (Galileo 1564-1642) ปญั หาในทางพลศาสตร์ ทดลองเก่ยี วกับการตกของก้อนหินทาให้
การวิเคราะห์ปญั หาด้านฟิสกิ ส์ง่ายข้นึ

2

4. นิวตัน (Isaac Newton 1642-1727) กฎการเคลือ่ นท่ีและกฎความโนม้ ถว่ ง คดิ ค้นวชิ าแคลคูลัส

ทาใหก้ ารวิเคราะห์ปญั หาดา้ นฟิสิกส์ง่ายขนึ้

5. ดาวนิ ซี (Davinci) , วารียอง (Varignon) , ดเี ลมเบิร์ท (D’Alembert) , เลอจอง (Lagrange) , ลา

ปลาซ (Laplace) ฯลฯ

1.2 ระบบหน่วย SI

หนว่ ยพืน้ ฐาน
หน่วยทใ่ี ช้นีเ้ ปน็ หน่วยเอสไอ (SI Units) ซึง่ เป็นหนว่ ยท่ีใช้กนั ทัว่ โลก หน่วยเมตริกและ หนว่ ยองั กฤษ
ไม่นิยมใช้เพราะไมค่ อ่ ยสะดวกแต่ก็มีใชบ้ า้ งในงานบางประเภท
SI Units ประกอบด้วยหน่วยรากฐาน 7 หนว่ ยดังนี้
1) ความยาว วัดเป็น เมตร (m)
2) มวล วัดเป็น กโิ ลกรัม (kg)
3) เวลา วัดเปน็ วินาที (s)
4) กระแสไฟฟ้า วดั เป็น แอมแปร์ (A)
5) อณุ หภมู ทิ างเทอรโ์ มไดนามิกส์ วัดเป็น เคลวิน (K)
6) ความเข้มแห่งการสอ่ งสว่าง วัดเปน็ แคนเดลา (cd)
7) ปรมิ าณสาร วดั เป็น โมล (mol)

หน่วย เอส.ไอ.อนุพนั ธ์ (derived SI units) ได้มาจากผลคูณหรอื ผลหารของหน่วยรากฐาน โดยตรง
เชน่ หนว่ ยพน้ื ท่ี (m2) ตวั อย่างทใ่ี ชม้ ากมีดงั นี้

1) พื้นท่ี วัดเปน็ เมตร2 (m2)
2) ปริมาตร วัดเป็น เมตร3 (m3)
3) ความเรว็ วัดเป็น เมตร/วนิ าที (m/s)
4) ความเร็วเชงิ มมุ วัดเปน็ เรเดยี น/วินาที (rad/s)
5) ความเรง่ เชงิ มุม วัดเปน็ เรเดยี น/วินาที2 (rad/s2)
6) ความเร่ง วัดเปน็ เมตร/วินาที2 (m/s2)
7) โมเมนต์ วัดเป็น นวิ ตันเมตร (Nm)
8) ความเค้น วดั เปน็ นวิ ตัน/ เมตร2 (N/m2)
9) โมเมนตต์ มั วัดเปน็ กก.ม/วนิ าที2 (kg m/ s2)
10) Second moment of area วัดเป็น เมตร4 (m4)
11) Moment of inertia วัดเป็น กก.ม.2 (kg m2)

3

1.3 คาอุปสรรคหรือตัวนาหนา้ หนว่ ย (prefixes)
เพ่ือหลีกเลี่ยงความไมส่ ะดวกตอ่ การใชง้ านเนื่องจากการทจ่ี านวนของตวั เลขมขี นาดโต หรอื เลก็

จนเกนิ ไป จงึ ไดน้ าเอาตัวนาหน้ามาใสไ่ ว้ท่ีหนา้ ของช่ือหนว่ ย ชือ่ ทไี่ ดย้ อมรบั กันในระบบ เอสไอท่ไี ดจ้ ากการใช้
ตัวนาหน้าหน่วยนน้ั ไดแ้ ก่ แฟคเตอรข์ อง 103n โดยค่า n ในที่นี้เปน็ ตัวเลข เตม็ จานวนท่มี ีคา่ เป็น บวก หรอื ลบ
ก็ได้

เวลาใชต้ ัวนาหนา้ ชอ่ื หนว่ ย จะตอ้ งใช้อย่างระมัดระวงั ตัวนาหนา้ หนว่ ยจะต้องเขียนให้ ตดิ กบั หนว่ ย
เหลา่ นั้น เชน่ kilometer (km) megawatt (MW) microsecond (μs) ส่วนสญั ลกั ษณ์ ของหนว่ ยพ้ืนฐานนน้ั
จะเขียนหา่ งออกมาเลก็ นอ้ ย เช่น W/m K หรอื kg/s m ในการใช้ตวั นาหน้า หนว่ ยนน้ั จะตอ้ งใช้นาหนา้ หนว่ ย
นน้ั กบั ปริมาณทีต่ อ้ งการแสดงขนาดเพยี งตวั เดยี วเทา่ น้นั ดงั น้ัน หนึ่งพนั กโิ ลกรัมจึงตอ้ งเขยี นวา่ หนง่ึ เมกะกรัม
(Mg) ไมใ่ ช่ กโิ ล–กโิ ลกรัม (k–kg) คานาหนา้ หน่วยนี้แนะนาใหใ้ ชเ้ ปน็ ข้ันละ 1,000 เทา่

ตารางท่ี 1.1 คาอุปสรรค ตัวย่อ ความหมาย ตวั เลข
P พนั ล้านล้าน 1,000,000,000,000,000
10n คาอุปสรรค T ล้านลา้ น 1,000,000,000,000
G พนั ลา้ น 1,000,000,000
1015 เพตะ peta- M ล้าน 1,000,000
k พัน 1,000
1012 เทระ tera- h รอ้ ย 100
da สิบ 10
109 จิกะ giga- d หนึ่งสว่ นสิบ 0.1
c หนงึ่ สว่ นร้อย 0.01
106 เมกะ mega- m หนง่ึ ส่วนพัน 0.001
µ หนึ่งส่วนลา้ น 0.000 001
103 กิโล kilo- n หนง่ึ สว่ นพันลา้ น 0.000 000 001
p หน่งึ ส่วนล้านลา้ น 0.000 000 000 001
102 เฮกโต hecto- f หนึง่ สว่ นพนั ล้านล้าน 0.000 000 000 000 001

101 เดคา deca-

10−1 เดซิ deci-

10−2 เซนติ centi-

10−3 มลิ ลิ milli-

10−6 ไมโคร micro-

10−9 นาโน nano-

10−12 พโิ ก pico-

10−15 เฟมโต femto-

4

ตวั m นีเ้ ป็นท้งั สญั ลักษณข์ องหน่วยพ้ืนฐานท่ีอา่ นวา่ เมตร และเป็นสญั ลกั ษณ์ของตวั นา หนา้ ทีอ่ ่าน
วา่ มิลลิ ดงั นั้นจงึ ตอ้ งระมดั ระวงั ในการใช้ตวั m นเ้ี ปน็ พเิ ศษ เช่น mN หมายถึง มิลลินิวตัน ส่วน m N
หมายถงึ เมตรนวิ ตัน ในกรณดี ังกล่าวนถี้ ึงแมว้ า่ จะได้จดั ระยะหา่ งระหวา่ ง m และ N ใหแ้ ตกตา่ งกนั แลว้ ก็ตาม
แต่ก็ยากท่ีจะปอ้ งกนั ความสับสนน้นั ได้ ดงั นนั้ ถา้ หากตอ้ งการให้ m มีความหมายวา่ เมตร ก็ควรสลับตาแหน่ง
ของสญั ลักษณ์ของหน่วยนน้ั เสียใหมเ่ ป็น N m ดว้ ย เหตุผลเดียวกนั กค็ วรเขียน เมตรตอ่ วนิ าที เปน็ m/s
เพราะถ้าหากเขียนว่า m s–1 แลว้ กอ็ าจจะเข้าใจ ผิดคดิ ว่าหมายถึง (millisecond)–1 ก็ได้

ในกรณที ีห่ น่วยพนื้ ฐานมีตัวนาหนา้ อยู่และมตี ัวเลขยกกาลงั อยู่ด้วยแลว้ ตวั เลขทยี่ กกาลงั น้นั จะต้อง
เป็นกาลงั ของผลคูณทงั้ ชุด ไมใ่ ช่ยกกาลังเฉพาะหนว่ ยพ้นื ฐาน

ดงั น้นั ที่เขยี นวา่ 1 mm2 กจ็ ะหมายถงึ 1 (mm)2 = (10–3m)2 = 10–6 m2 ไมใ่ ช่หมายถงึ 1m(m)2 =
10–3 m2

ถ้าหากหน่วยทเ่ี กดิ จากการรวมตวั ของหน่วยพ้ืนฐานหรอื หนว่ ยอนุพนั ธ์ เปน็ เศษสว่ น ตวั นาหน้าหนว่ ย
ท่ีอย่ดู ้วยนัน้ มกั จะใช้กบั ตัวเศษเทา่ นน้ั จะไมใ่ ช้กับตวั ส่วน เชน่ เวลาต้องการ แสดงค่า 106 N/m2 ก็จะใชว้ ่า
MN/m2

สญั ลกั ษณน์ ีใ้ ชก้ ับหน่วยท้งั ท่ีเปน็ เอกพจนแ์ ละพหพู จน์ เช่น สัญลักษณข์ อง kilometers กใ็ ช้ km ไม่
ใช้ kms และในระบบ S.I. นีจ้ ะไมน่ าเอา จุด (Dots) ซง่ึ หมายถึงการคูณ และการแสดง ตวั ยอ่ มาใช้เลย

เวลาใช้อักษรเพ่ือแสดงเปน็ สัญลักษณ์ จะเปน็ ตัวอกั ษรพิมพใ์ หญ่ หรอื พมิ พ์เล็ก ก็จะตอ้ ง ใช้ใหถ้ ูกตอ้ ง
ตามคานยิ ามเหลา่ น้นั มเิ ชน่ นน้ั แล้วจะทาให้เกดิ ความผิดพลาดขึน้ เชน่ มลิ ลวิ ัตต์ ก็ ต้องใช้ mW ถา้ หากใช้ผิด
เปน็ MW ก็จะกลายเป็น เมกกะวัตต์

การเปลย่ี นหนว่ ย

ตัวอย่างที่ 1.1 จงเปลยี่ นหนว่ ยจาก 3 kN ใหเ้ ปน็ หน่วยของ N
วธิ ีทา พจิ ารณาคาอปุ สรรค k = 103 และ N เปน็ หน่วยพืน้ ฐาน

จะได้ 3 kN = 3103 N ; เปล่ยี นคาอปุ สรรคใหอ้ ยู่ในรูปของ 10n กอ่ น

= 31,000 N

= 3,000 N

5

ตัวอยา่ งที่ 1.2 จงเปล่ยี นหน่วยจาก 2 km ให้เป็นหน่วยของ cm
วธิ ีทา พจิ ารณาคาอปุ สรรค k = 103 และ c = 10-2

จะได้ 2 km = 2103m  102  ; เปลย่ี นคาอุปสรรคให้อยู่ในรูปของ 10n กอ่ น
102
=
= 2103  c  m
=  102 

2103102 cm

2105 cm

= 2100,000 cm
= 200,000 cm

ตวั อยา่ งที่ 1.3 จงเปลี่ยนความเรว็ 2 km/h ใหเ้ ป็น m/s
วิธีทา พิจารณาคาอปุ สรรค k คอื 103 = 1,000 และ 1 h = 3,600 s

จะได้ 2 km/h = 2 km  103 m  3,600 s 
h 103 m 3,600 s 

= 2 km  103 m  h 
h km 3,600 
s

= 2 103 m

3,600 s

= 2,000 m

3,600 s

= 20 m

36 s

= 0.556 m/s

ตัวอยา่ งท่ี 1.4 จงเปลยี่ นหนว่ ยจาก 2.82 cm2 ให้เป็นหนว่ ยของ m2

6

วธิ ที า พจิ ารณาคาอปุ สรรค cm2 = (10-2m)2 = (10-2m)(10-2m)
จะได้ 2.82 cm2 = 2.82 (10-2m)(10-2m)

= 2.82 10-4 m2

=  2.82  m2
 104 

=  2.82  m2

10,000 

= 0.000282 m2

1.4 ปรมิ าณสเกลารแ์ ละปริมาณเวกเตอร์

ปรมิ าณท่ีเราต้องพบและเก่ยี วขอ้ งในวิชาสถติ ศาสตรม์ อี ยสู่ องชนิด คือ ปรมิ าณสเกลาร์ (Scalar) และ
ปริมาณเวกเตอร์ (Vectors)

สเกลาร์ (Scalar) คอื ปรมิ าณท่ีเกี่ยวขอ้ งเฉพาะขนาด ตัวอย่างของปรมิ าณชนิดน้ี ไดแ้ ก่ เวลา
ปรมิ าตร ความหนาแนน่ อตั ราเรว็ พลังงาน และมวล

เวกเตอร์ (Vectors) คอื ปรมิ าณที่เก่ียวข้องกนั ทั้งขนาดและทิศทาง ตวั อย่างของปรมิ าณชนิดนี้
ไดแ้ ก่ การขจดั ความเร็ว ความเร่ง โมเมนต์ และโมเมนตมั

ในทางฟิสิกส์ ปรมิ าณเวกเตอร์อาจแบ่งออกได้เป็น 3 แบบ

เวกเตอร์อิสระ (Free Vector) เปน็ เวกเตอรท์ ไ่ี ม่บง่ ถงึ แนวกระทา คงบอกแต่เพยี งขนาดและ

ทิศทางเท่าน้นั ลักษณะของเวกเตอรแ์ บบน้ไี ดแ้ ก่ ความเร็วและความเร่ง

เวกเตอรเ์ ลอ่ื น (Sliding Vector) เปน็ เวกเตอรท์ ี่มีแนวแน่นอนตามแนวเสน้ ตรงน่ิง เช่น เวกเตอร์

ของแรงภายนอกทีก่ ระทากับวัตถแุ กรง่

เวกเตอรค์ งที่ (Fixed Vector) เปน็ เวกเตอร์ท่ถี ูกกาหนดทั้งขนาดและทิศทาง รวมท้ังจุดกระทา

แนน่ อน เช่น เวกเตอรข์ องแรงทกี่ ระทากับวตั ถแุ ปรรูป ท้ังน้ีเวกเตอร์เปลยี่ นตาแหน่งจะมีผลต่อการแปรรปู

ของวตั ถุ ดงั นั้น จงึ ต้องกาหนดตาแหน่งของเวกเตอร์ให้คงท่ีแน่นอน

ในการเขียนสญั ลักษณ์แทนเวกเตอร์ จะใช้เครื่องหมายทีม่ หี วั ลูกศรข้างบน เชน่ 
V

การบวกและการลบเวกเตอร์ ใช้กฎสี่เหล่ยี มด้านขนาด เชน่ เวกเตอร์  และ  2 เปน็ เวกเตอร์
V1 V

อสิ ระใดๆ เราสามารถรวมเวกเตอรท์ ง้ั สองได้ ตามภาพท่ี 1.1 ผลบวกของเวกเตอร์ท้ังสองจะได้ผลลพั ธ์เป็น

7

เวกเตอร์  ซึ่งเป็นเส้นทแยงมมุ ของสเ่ี หล่ียมด้านขนานทม่ี เี วกเตอร์  และ  2 เปน็ ดา้ นทั่งสอง การบวก
V V1 V

เวกเตอร์แบบนีเ้ ราอาจเขียนสมการของการบวกได้เปน็

 =  + 
V V1 V2

  
V2 V2 V

 
V1 V1

รปู ที่ 1.1 การบวกเวกเตอร์

1.5 ทฤษฎีสามเหลย่ี มมุมฉาก

A = ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก B = ด้านตรงข้าม ุมม θ

θ

C = ดา้ นประชิดมุม θ

รูปที่ 1.2 สามเหล่ียมมมุ ฉาก

จากสามเหลีย่ มมมุ ฉากรูปที่ 1.2 จะได้ 
A2 = B2 + C2

เม่ือ A คอื ด้านตรงข้ามมุมฉาก
B และ C คอื ด้านประกอบมุมฉาก

ทฤษฎีบทของปที าโกรัส

Sin θ = ขา้ ม =B
ฉาก
A



Cos θ = ชิด =C 8
ฉาก
A A

 θ

Tan θ = ขา้ ม =B C = 3cm
ชิด
C



ตัวอยา่ งที่ 1.5 จากรูปจงคานวณหาความยาวดา้ น A

วธิ ีทา A2 = B2 + C2 B = 3 cm
จากสมการ A2 = 32 + 32
จะได้ A2 = 9+9

A = 18

A = 4.24

 A = 4.24 cm

เม่ือทราบมมุ 1 มุมและด้านเพยี ง 1 ดา้ นกส็ ามารถคานวณหาดา้ นทเ่ี หลือไดจ้ ากทฤษฎบี ทของปที าโกรสั

1.5 กฎของนวิ ตัน (Newton ’s Law)

1.อนุภาคยังคงหยุดนิ่งหรือเคลอื่ นต่อไปด้วยความเรว็ คงท่ี เป็นเส้นตรงนอกจากมีแรงไมส่ มดุลกระทาตอ่
อนุภาคน้นั

2. ความเร่งของอนภุ าคเป็นสัดส่วนโดยตรงกบั แรงลัพธ์ทีก่ ระทา และมที ิศทางเดยี วกันกบั แรงลพั ธ์นนั้
3. แรงกรยิ า (action force) และแรงปฏกิ ริ ิยา (reaction force) ระหว่างวัตถสุ องชิ้นมีขนาดเท่ากนั
มที ิศทางตรงกันข้าม และอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั

จากกฎขอ้ ที่ 2 ซึ่งเป็นพนื้ ฐานใชใ้ นการวิเคราะห์ทางกลศาสตร์ สามารถเขยี นไดว้ า่

F = ma 

เมอ่ื F คอื แรง มหี นว่ ยเป็น นวิ ตนั (N)

m คอื มวลของวัตถุ มีหน่วยเปน็ กิโลกรมั (kg)
a คือ ความเร่ง มหี น่วยเป็น เมตรตอ่ วนิ าที2 (m/s2)

9

1N = (1 kg)(1 m/s2)
น้ันคือ N = 1 kg m/s2
= kg m/s2

นา้ หนกั ของวัตถุเปน็ แรงชนดิ หนงึ่ เรียกวา่ แรงเนอ่ื งจากความโน้มถ่วง (Force of Gravity) เรา
สามารถเปล่ียนมวล 1 kg ให้เปน็ น้าหนกั ได้จาก

W = mg 

เม่อื W คือ น้าหนกั ของวตั ถุ มหี นว่ ยเปน็ นวิ ตัน (N)

m คือ มวลของวตั ถุ มหี น่วยเปน็ กโิ ลกรัม (kg)
g คอื ความเรง่ เน่ืองจากแรงโนม้ ถว่ งของโลกมคี า่ ประมาณ 9.81 m/s2

W = mg
= (1 kg)(9.81 m/s2)
= 9.81 kg m/s2

= 9.81 N

1.6 การคานวณแรงดว้ ยวธิ กี ราฟฟกิ

การเขียนเวกเตอรข์ องแรง หมายถงึ การเขียนเส้นตรงแทนแรง ซงึ่ จะต้องครอบคลมุ ความหมาย
ท้ังหมด กล่าวคือ ความยาวของเสน้ แทนขนาดของแรงทศิ ทางของเสน้ ตรงแทนทศิ ทางของแรงนนั้ ๆ

การเขยี นไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรง หมายถึง การเขียนกลมุ่ ของเสน้ ตรงแทนแรงท่กี ระทา
ตอ่ จดุ ๆ หนง่ึ ใหไ้ ดท้ ง้ั ขนาดและทิศทางตามทกี่ าหนด หลักการเขยี นไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรงคอื
เวกเตอรข์ องแรงต่างๆ เหล่าน้ี ตอ้ งเขยี นตามกนั คือ โคนของเวกเตอรอ์ ันตอ่ ไปจะตอ้ งเร่มิ จากปลายของ
เวกเตอรอ์ นั กอ่ น แตก่ ารเขียนเวกเตอร์ไมจ่ าเปน็ ต้องเรียงตามลาดับ

10

การหาขนาดของแรงบนช้ินสว่ นของวตั ถุ
การหาแรงทีก่ ระทาบนชิน้ ส่วนของวัตถุ มีวิธหี าได้สองวิธี คอื วธิ กี ราฟฟิกหรือเรยี กทวั่ ไปวา่ วธิ ีกราฟ

และวธิ พี ีชคณติ หรือเรยี กโดยทว่ั ไปวา่ วิธแี ตกแรง การหาแรงโดยวิธีพชี คณติ มีจุดเดน่ คือผลของการคานวณได้
คา่ ท่ีละเอยี ด แตข่ บวนการคานวณคอ่ นข้างจะยาว สว่ นการหาแรงโดยวธิ กี ราฟฟิก ขบวนการคอ่ นขา้ งส้นั
แต่ผลลัพธท์ ีไ่ ด้จะไมล่ ะเอยี ดเท่ากับการคานวณโดยวิธีพชี คณติ
การแก้โจทยท์ างกลศาสตร์

การแก้ปญั หาโจทยท์ างกลศาสตร์ เม่อื ทาโจทยค์ วรมกี ารวางแผนการแกป้ ญั หาเปน็ ขนั้ ตอน ดงั นี้
1. โจทยต์ ้องการอะไร (Results Desired)
2. มขี ้อมูลอะไรบ้าง (Given Data)
3. ควรเขยี นรปู หรอื ไดอะแกรมทจี่ าเปน็ (Necessary Diagrams)
4. การคานวณ สูตร และสมการท่ีเกีย่ วข้อง (Calculation)
5. สรุป และตอบคาถามให้ชัดเจนและตรงประเดน็ (Answers and Conclusions)
จากประสบการณ์ของผู้สอน จุดทน่ี ักศกึ ษามีปัญหามากที่สุด คือ มกั จะไม่เขา้ ใจปัญหาหรอื เงือ่ นไข
ของโจทยด์ พี อ ทง้ั ความเขา้ ใจทางภาษา และความเขา้ ใจในเนือ้ หาของรูปแบบ ดงั นั้นเพ่ือแก้ปัญหาดังกลา่ ว
นกั ศกึ ษาควรทีจ่ ะทาแบบฝึกหัดมากๆ พร้อมกบั สรปุ ผลคาตอบว่าเปน็ ไปตามทฤษฎี จะช่วยให้เรยี นวชิ าน้ไี ดด้ ี
ข้ึน และมีประสบการณ์ในการแกป้ ญั หาโจทย์มากข้นึ

หลักการพื้นฐานของการคานวณแรงโดยวิธกี ราฟฟิก
หลักการพื้นฐานของการคานวณแรงโดยวธิ ีกราฟฟิกหรอื วิธกี ราฟพอสรปุ ไดด้ ังนี้
1. เมอื่ แรงท่ีกระทาต่อวตั ถแุ ละทาให้วัตถุอยู่ในสภาวะสมดลุ ไดอาแกรมของเวกเตอร์ของแรงที่
กระทาตอ่ วัตถุจะเปน็ รปู ปดิ สนิท
2. ถ้าแรงทก่ี ระทาต่อวัตถุทาใหว้ ัตถไุ ม่สมดุล ไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรงทก่ี ระทาต่อวตั ถจุ ะ
เขยี นไม่ครบเปน็ รูปปดิ และแรงท่จี ะมาทาให้วัตถุมีความสมดุลจะมีคา่ เท่ากบั เวกเตอร์ทม่ี า
เชอ่ื มต่อและทาใหไ้ ดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรงเหลา่ น้นั เป็นรูปปิด

11

1.8 การหาแรงลพั ธ์หรือการรวมแรงด้วยวธิ ีกราฟฟิก
หมายถึง การอาศยั ไดอาแกรมของเวกเตอร์ของกลุ่มแรงเพื่อหาแรงลพั ธ์ กล่าวคอื เมือ่ ทาการเขยี น

ไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรงแล้วปรากฏวา่ ได้รปู ท่ีไม่ปิด(ดังรูป 1.3 ก.) ผลรวมหรอื แรงลพั ธ์ของกลมุ่ แรง
คือ เวกเตอร์ทต่ี อ่ ระหวา่ งโคนของเวกเตอร์อันแรกและปลายของเวกเตอรอ์ ันสดุ ทา้ ยทม่ี ีทศิ ทางยอ้ นกลับของ
กลมุ่ เวกเตอร์(ดังรปู 1.3 ข.)

F1 F3 F1 F3

F2 F4 F2 F4

FR
ก. ข.
รูปที่ 1.3 แรงลัพธ์ (FR) ของเวกเตอร์ของแรงมีทิศทางยอ้ นกลับของกลมุ่ เวกเตอร์

1.9 การหาแรงสมดุลด้วยวธิ ีกราฟฟิก
หมายถงึ การอาศยั ไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องกลุ่มแรงเพ่ือหาแรงสมดลุ กลา่ วคอื เมอ่ื ทาการ

เขียนไดอาแกรมของเวกเตอรข์ องแรงแลว้ ปรากฏวา่ ไดร้ ูปทไี่ ม่ปิด(ดังรปู 1.4 ก.) แรงทท่ี าให้เกิดความสมดุลคอื
เวกเตอร์ที่ตอ่ ระหว่างโคนของเวกเตอรอ์ ันแรกและปลายของเวกเตอรอ์ นั สุดทา้ ยท่มี ีทิศทางตามกลุ่มของกลุ่ม
เวกเตอร(์ ดังรูป 1.4 ข.)

F1 F3 F1 F3
F4
F2 F4 F2

F5
ก. ข.
รปู ท่ี 1.4 แรงสมดลุ (F5) ของเวกเตอร์ของแรงมีทศิ ทางตามกลุม่ ของกลมุ่ เวกเตอร์

แบบฝกึ หัด

12

1. กลศาสตรห์ มายถึง
2. กลศาสตรม์ กี ีป่ ระเภท อะไรบา้ ง
3. หน่วยพนื้ ฐานท่ีใชใ้ นวิชากลศาสตร์วศิ วกรรม 1 ประกอบด้วยหนว่ ยอะไรบ้าง จงบอกท้งั ปรมิ าณ หน่วย

และสัญลกั ษณ์
4. จงแสดงวิธีการเปลย่ี นหนว่ ยดงั ต่อไปน้ี

4.1) ความยาว 5 เมตร เปลยี่ นหน่วยเป็น กิโลเมตร
4.2) ความยาว 100 ไมโครเมตร เปลีย่ นหน่วยเป็น นาโนเมตร
4.3) ความยาว 1,000,000 มลิ ลิเมตร เปลยี่ นหนว่ ยเป็น กโิ ลเมตร
4.4) ความยาว 1,000 เมกกะเมตร เปล่ยี นเปน็ จกิ กะเมตร
4.5) ความยาว 0.001 กิโลเมตร เปลย่ี นเป็น เมตร
4.6) มวล 50 กิโลกรัม เปลย่ี นเป็นกรมั
4.7) มวล 1,500 กรัม เปลีย่ นเปน็ กิโลกรมั
4.8) มวล 5,000 กรัม เปลย่ี นเปน็ เมกกะกรมั
4.9) แรง 1 นิวตนั เปลยี่ นเป็น กโิ ลนิวตัน
4.10) แรง 3,000 นิวตนั เปลย่ี นเปน็ จิกกะนวิ ตัน

5. จงแสดงวิธีการเปลี่ยนหน่วยดังต่อไปนี้
5.1) 500 Nm เปลยี่ นเปน็ kNm
5.2) 200 Nm เปลี่ยนเป็น Nmm
5.3) 50 m/h เปลีย่ นเป็น m/s
5.4) 15 m/s เปลยี่ นเปน็ km/h
5.5) 120 km/h เปลย่ี นเปน็ m/s

6. จงแสดงวิธกี ารเปล่ยี นหน่วยดงั ตอ่ ไปน้ี
6.1) 60 N/mm2 เปลย่ี นเป็น N/m2

13

6.2 ) 3 kN/mm2 เปลี่ยนเปน็ N/mm2
6.3 ) 10 kN/mm2 เปล่ยี นเปน็ N/m2
6.4 ) 10 kN20 kNm เปล่ียนเป็น N2/m
6.5 ) 10 m20 kNm เปลยี่ นเปน็ N/m2

7. จากมวลท่กี าหนดให้ จงหาน้าหนักในหน่วยของนวิ ตนั
7.1) 12 kg
7.2) 0.05 g
7.3) 810 Mg
7.4) 15 kg
7.5) 100 mg

8. จงเปลยี่ นหน่วยต่อไปน้ีใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งง่าย
7.1) GNm
7.2) kg/m
7.3) N/ks2
7.4) kN/s

9. จงเติมอักษร S แทนปรมิ าณ Scalar และ V แทนปรมิ าณ Vector

....................น้าหนัก ....................พื้นที่

....................ความหนาแน่น ....................ความยาว

....................การขจัด ....................แรง

....................ความเร่ง ....................เวลา

....................โมเมนต์ ....................ความเร็ว

10. จงตอบคาถามจากรูปทีก่ าหนดให้

14

Sin  = ด้าน .........
ด้าน.........
A
B Cos  = ดา้ น.........
θ ด้าน.........

C Tan  = ด้าน .........
ดา้ น.........

Sin  = ดา้ น.........
ด้าน.........
A
B Cos  = ด้าน .........
θ ดา้ น.........

C Tan  = ดา้ น.........
ดา้ น.........

A B = 3cm จงแสดงวธิ ีการคานวณหาด้าน A วา่ มีค่าเทา่ ไหร่

θ B ถา้ กาหนดมุม 37 องศาดังรปู
1) จงแสดงวิธีการคานวณหาด้าน A ว่ามคี า่ เทา่ ไหร่
C = 4 cm 2) จงแสดงวิธกี ารคานวณหาดา้ น B วา่ มคี ่าเท่าไหร่

A

37o

C = 4 cm

11. กฎของนิวตันมี 3 ข้อ ประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง

15

12. กาหนดใหเ้ วกเตอร์ของแรง F1 , F2 , F3 และ F4 ดงั น้ี 30o
F1 F2

30o F4
45o
45o
F3

เม่อื 1 mm มคี ่าเท่ากับ 1 N จงคานวณหา
12.1 ขนาดของแรงลพั ธ์ F1 + F2
12.2 ขนาดของแรงลพั ธ์ F3 + F4
12.3 ขนาดของแรงลพั ธ์ F2 + F3 + F4
12.4 ขนาดของแรงลัพธ์ F1 + F2 + F3

13. กาหนดให้ F1 = 40 N , F2 = 50 N และ F3 = 60 N จงคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์

30o 45o
F2
F1
30o F3

14 . จากโจทยข์ ้อ 10 จงคานวณหาแรงท่ีจะทาให้แรงทง้ั 4 เกิดความสมดุล
15 . จากโจทย์ข้อ 11 จงคานวณหาแรงทีจ่ ะทาให้แรง F1 และแรง F2 เกดิ ความสมดุล

ชื่อวชิ า แผนการเรียนรูห้ นว่ ยท่ี 2 เวลาเรียน 36 ช.ม.
ชอื่ หนว่ ย สอนคร้ังที่ 3-5
ระบบแรง กลศาสตรเ์ ครอื่ งมือกล (20102-2006)
ระบบแรง จานวน 6 ช.ม.

ช่อื เร่อื ง

หัวข้อเร่อื ง

1. คณุ ลกั ษณะของแรง
2. ชนดิ ของแรง
3. ระบบของแรง
4. การหาแรงลัพธ์ของแรงระบบ 2 มติ ิ ดว้ ยวิธีกราฟิก
5. การหาแรงลพั ธข์ องแรงระบบ 2 มิติ กรณีทแี่ รงสองแรงกระทาเปน็ มุมตอ่ กนั
6. การหาแรงลัพธ์ของแรงระบบ 2 มิติ กรณีทีแ่ รงกระทาเปน็ มมุ กับแนวแกนอ้างองิ

สมรรถณะย่อย

แสดงความรู้เก่ยี วกับระบบแรงและการหาแรงลพั ธ์ของแรง 2 มิติ

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม

เมือ่ ผูเ้ รียนไดศ้ กึ ษาเน้อื หาในบทนแ้ี ลว้ ผู้เรยี นสามารถ

1. อธบิ ายถึงคุณลักษณะของแรงได้
2. บอกชนิดของแรงได้

3. จาแนกระบบของแรงได้
4. หาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธข์ องแรงในระบบ 2 มติ ิ ดว้ ยวธิ กี ราฟกิ ได้

5. หาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์ของแรงในระบบ 2 มิติ กรณีทีแ่ รงสองแรงกระทาเป็นมมุ
ตอ่ กนั น้อยกว่า 90๐ ได้

6. หาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์ของแรงในระบบ 2 มติ ิ กรณที แี่ รงสองแรงกระทาเป็นมุม
ต่อกันมากกว่า 90๐ ได้

7. หาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์ในระบบ 2 มิติ กรณที ่ีแรงกระทาเปน็ มมุ กบั แนวแกนอา้ งอิงได้

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนคร้ังท่ี 3)

1. ครูแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนประจาสัปดาห์
2. ครนู าเข้าสู่บทเรียน
3. ครูสอนเนอื้ หาสาระ
4. ครสู รุปเน้ือหาสาระประจาสปั ดาห์
5. ครูมอบหมายใหน้ ักเรยี นทาแบบฝกึ หัดท้ายบทเรียน บทที่ 2 ขอ้ ท่ี 2.1-2.4 นอกเหนือเวลาเรยี น

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครง้ั ท่ี 4)

1. ครูแจ้งจดุ ประสงค์การเรยี นประจาสัปดาห์ และครูนาเขา้ สบู่ ทเรยี น
2. ครูทบทวนเน้ือหาในสัปดาห์ท่ผี ่านมา
3. ครูสอนเนื้อหาสาระใหม่
4. ครสู รปุ เน้ือหาสาระประจาสปั ดาห์
5. ครูมอบหมายใหน้ กั เรยี นทาแบบฝกึ หัดทา้ ยบทเรียน บทที่ 2 ขอ้ ท่ี 2.5-2.11 นอกเหนือเวลาเรยี น

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนครั้งท่ี 5)

1. ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนประจาสัปดาห์ และครนู าเขา้ สูบ่ ทเรียน
2. ครทู บทวนเน้อื หาในสปั ดาห์ทีผ่ ่านมา
3. ครสู อนเนือ้ หาสาระใหม่
4. ครสู รปุ เนอ้ื หาสาระประจาสัปดาห์
5. นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี นบทที่ 2
6. ครมู อบหมายใหน้ ักเรยี นทาแบบฝกึ หัดท้ายบทเรียน บทที่ 2 ขอ้ ท่ี 2.12-2.22 นอกเหนอื เวลาเรยี น

ส่อื การเรยี นรู้

1. หนงั สอื เรยี น วิชากลศาสตร์เคร่อื งมือกล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 2

งานทม่ี อบหมาย/กิจกรรม

ให้นกั ศกึ ษาทาแบบฝกึ หัดบทท่ี 2 นอกเหนอื เวลาเรยี นให้เรียบร้อย ถกู ตอ้ ง สมบรู ณ์ ในวนั ทกี่ าหนด

การประเมนิ ผลการเรียนรู้ เกณฑผ์ า่ น 60%
เกณฑผ์ า่ น 60%
1. แบบฝกึ บทที่ 2 เกณฑ์ผา่ น 60%
2. แบบทดสอบหลงั เรยี น
3. แบบประเมินคุณธรรมจรยิ ธรรม ตามสภาพจริง

ชือ่ วชิ า แผนการเรยี นรหู้ น่วยท่ี 2 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
ชอื่ หนว่ ย สอนคร้ังที่ 3-5
ระบบแรง กลศาสตร์เคร่อื งมือกล (20102-2006)
ระบบแรง จานวน 6 ช.ม.

ชือ่ เร่ือง

ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรียนรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรียนรู้ของนกั ศกึ ษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผู้อานวยการฝ่ายวิชาการ
หัวหนา้ สาขาวิชา

20

บทที่ 2
ระบบแรง
2.1 คณุ ลกั ษณะของแรง

เมื่อแรงเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ดังนัน้ แรงจงึ มที ้งั ขนาดและทศิ ทาง ท่มี ีคณุ ลกั ษณะดังน้ี
 ขนาด (Magnitude) บอกถงึ ความมากน้อยของแรง มีหนว่ ยเปน็ นิวตนั (N)
 ทศิ ทาง (Direction) บอกถงึ แนวของแรงทก่ี ระทา โดยวดั แนวแรงตามแกนอา้ งองิ ว่าแนวแรงทามมุ

กับวตั ถเุ ทา่ ใด และบอกถึงทศิ ทางที่แรงกระทากับวัตถวุ ่าไปทางซา้ ยหรอื ขวา ข้ึนหรือลง ซงึ่ สามารถ
แสดงด้วยหัวลูกศร เชน่ ตวั อยา่ งต่อไปนี้
ตัวอยา่ งท่ี 2.1 แสดงคุณลักษณะของแรงที่กระทากบั วัตถุ

รูปที่ 2.1 แสดงลกั ษณะของแรง

2.2 เคร่อื งหมายของแรง

เครอ่ื งหมายของแรงจะมคี ่าเปน็ + หรือ – ข้นึ อยกู่ บั ทิศทางของแรงนั้นๆ
ถ้าแรงในแนวแกน x มีทิศทางชไี้ ปทางขวาจากจุดเร่มิ ตน้ จะมเี ครอ่ื งหมายเป็น + และแรงในแนวแกน
x ท่มี ีทิศทางชไี้ ปทางซา้ ยจะมเี คร่ืองหมายเป็น –
ถ้าแรงในแนวแกน y มที ิศชขี้ น้ึ ขางบนจากจุดเริ่มตน้ จะมีเครือ่ งหมายเปน็ + และแรงในแนวแกน y มี
ทศิ ทางช้ลี งจะมเี ครอ่ื งหมายเปน็ ลบ

21

x- y F x+
y+ F y+

x

x- F F x+
y- y-

รูปที่ 2.2 ทศิ ทางของแรงและลกั ษณะของเครอ่ื งหมายของแรงในแนวแกน x และแกน y

2.3 ชนิดของแรง

แรงท่กี ระทาบนวัตถอุ าจแบง่ ตามลกั ษณะของแรงท่กี ระทาได้ 2 ประเภท คอื
2.3.1 แรงกริ ิยา คือ แรงที่กระทาบนวตั ถุ ซง่ึ แบ่งลกั ษณะของแรงทม่ี ากระทาได้ 3
ลกั ษณะ คือ
- แรงดึง (Tension Force) คือ แรงภายนอกที่พยายามจะกระทาใหว้ ัตถุแยกออกจากกนั
โดยมีทศิ ทางจากจดุ กระทา ดงั รปู ที่ 2.3

FF

รปู ท่ี 2.3 แสดลกั ษณะของแรงดงึ

- แรงอัด (Compression Force) คือ แรงภายนอกทีพ่ ยายามจะกระทาให้วัตถอุ ัดตัวเข้าหา
กนั โดยมที ิศทาอดั เข้าหาจดุ ที่กระทา ดงั รูปที่ 2.4

F F
รปู ท่ี 2.4 แสดลกั ษณะของแรงอัด

- แรงเฉอื น (Shearing Force) คอื แรงภายนอกที่พยายามจะกระทาใหว้ ัตถุที่ยึดติดกันถูก
เฉอื นออกจากกนั โดยแรงทก่ี ระทาจะมีทิศทางตรงกันข้าม ดังรปู ที่ 2.5

F
F

รูปท่ี 2.5 แสดงลักษณะของแรงเฉือน

2.3.2 แรงปฏกิ ริ ยิ า คือ แรงตา้ นการกระทาของแรงทีม่ ากระทาบนวตั ถุ

22

2.4 ระบบของแรง

แรงที่กระทากบั วตั ถสุ ามารถจาแนกระบบแรงท่ีใช้ในการวิเคราะห์หาแรงทก่ี ระทากบั วัตถะ ซึง่
โดยทั่วไปสามารจาแนกออกเป็น 2 ระบบ ดงั นี้

2.4.1 ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรอื แรง 2 มติ ิ
ระบบแรงในระนาบเดียวกัน หรอื แรง 2 มติ ิ คือ แรงทก่ี ระทากับวัตถใุ นแนวระดบั หรือ แรงใน
แนวแกน x และแรงในแนวดิ่ง หรอื แรงในแนวแกน y ดังรูปที่ 2.6

y

x
รปู ท่ี 2.6 แสดงระบบแรงในระนาบเดยี วกัน หรือแรง 2 มติ ิ

2.4.2 ระบบแรงในหลายระบบ หรอื แรง 3 มิติ
ระบบแรงในหลายระบบ หรอื แรง 3 มิติ คือแรงทก่ี ระทากับวัตถะ โดยไมอ่ ยใู่ นแนวระนาบของ
แนวแกน xy , yz และ xz แตม่ ที ิศทางเบนไปจากระนาบทงั้ สาม ดงั รปู ที่ 2.7

y

x

z
รปู ที่ 2.7 แสดงระบบแรงในหลายระนาบ หรอื แรง 3 มิติ

ซ่งึ ในบทเรียนของหน่วยที่ 2 น้ี จะกล่าวเฉพาะระบบแรงในระนาบเดียวกันหรอื แรง 2 มิติ เท่าน้ัน

23

2.5 การแตกแรง 2 มิติ

การแตกแรง คือ การแยกแรงท่ีกระทาต่อวตั ถุ ณ จดุ ใดๆ ออกเป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y

ดังรปู ท่ี 2.8 y

Fy F

Fx x
รปู ที่ 2.8 แสดงลกั ษณะการแตกแรง

หลักในการแตกแรง

กรณีท่ี 1 กรณที ่ีทราบคา่ มมุ ระหว่างแรงท่กี ระทากับแนวแกน ดังรปู ที่ 2.9

y

Fy F

θ x
Fx

รปู ที่ 2.9 แสดงการแตกแรงกรณีทีท่ ราบค่ามมุ ระหวา่ งแรงทก่ี ระทากบั แนวแกน

จากรปู ที่ 2.9 นามาเขยี นเป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากไดด้ ังรปู ท่ี 2.10

F Fy

θ
Fx

รปู ที่ 2.10 สามเหล่ียมมุมฉาก

24

จากรปู ท่ี 2.9 เมอ่ื นามาเทียบกับทฤษฎีสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได้วา่ 
1 การแตกแรงเข้าสแู่ นวแกน x จะไดด้ งั นี้ 

Cos θ = Fx

F

ดังนน้ั Fx = F Cosθ
2. การแตกแรงเข้าสแู่ นวแกน y จะได้ดังน้ี

Sin θ = Fy

F

ดังนั้น Fy = F Sinθ

ขอ้ ควรจา
การแตกแรงเข้าสแู่ นวแกน x และแกน y ค่า Fx ไมจ่ าเป็นตอ้ งเท่ากับ F Cosθและค่า Fy ไม่

จาเปน็ ตอ้ งเท่ากับ F Sinθ เสมอไป ทั้งน้ขี น้ึ อย่กู ับมมุ θ ว่าเกดิ ข้ึนในแนวใด เชน่ ถ้ามุม θ เกดิ ขน้ึ
ในแนวใดแล้ว การแตกแรงเข้าสแู่ นวแกนน้ันจะมคี ่าเปน็ Cos เสมอ สว่ นมมุ ท่ีเหลือจะมีคา่ เป็น Sin เสมอ
เช่นกัน

กรณีที่ 2 กรณที ่ีทราบความยาวของแรงที่กระทา ดังรูปที่ 2.11 25
y 
F

Fy L y
x
x
Fx

รูปท่ี 2.11 แสดงการแตกแรงกรณที ี่ราบความยาวของแรงทก่ี ระทา

จากรปู ที่ 2.11 จะไดส้ ามเหลีย่ มคล้าย ดังรปู ท่ี 2.12
y

F

Ly Fy

x
x

Fx

รปู ที่ 2.12 รปู สามเหลย่ี มคล้าย x Lˆ y และ Fx Fˆ Fy

จากรปู ท่ี 2.20 เม่ือนามาเทียบสามเหลยี่ มคล้ายจะได้ว่า

F= Fx = Fy
y
L x

จับคู่สมการของการแตกแรงเข้าสู่แนวแกน x จะได้ดังน้ี

F= Fx
x
L
Fx
Fx =
L

26

จับคู่สมการของการแตกแรงเขา้ สูแ่ นวแกน y จะได้ดงั น้ี

F= Fy
y
L

Fy = Fy 

L

สามารถคานวณหาความยาว L ไดจ้ ากทฤษฎีสามเหลี่ยมมมุ ฉากซึง่ จะได้สมการ

L2 = x2 + y2

L= x2  y2

2.6 การรวมแรง 2 มิติ

การรวมแรง คอื การรวมแรงยอ่ ยท่ีได้จากการแตกแรงหลายๆ แรง ให้อยู่ในระนาบเดียวกนั ซ่งึ การ

รวมแรงมีข้นั ตอนดงั น้ี

1. แตกแรงทุกแรงให้เปน็ แรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y กอ่ น

2. รวมแรงในแนวแกน x และ y โดยที่

Fx คอื ผลรวมของแรงในแนวแกน x
Fy คือ ผลรวมของแรงในแนวแกน y
ในการหาคา่ Fx และ Fy จะตอ้ งคานึงถงึ เครอื่ งหมายบวก (+) และลบ(-) ของแนวแกน

ดงั รูปที่ 2.2

3. ผลรวมของแรงทไ่ี ดม้ าหาขนาดของแรงลัพธ์

4. หาทศิ ทางของแรงลัพธ์

เนอ่ื งจากแรงเป็นปริมารเวกเตอร์ซึ่งมที งั้ ขนาดและทิศทาง ดังนั้น จงึ จาเป็นต้องทราบ

ทศิ ทางของแรงลัพธด์ ว้ ย จากรปู ท่ี 2.13 (ข) ใชท้ ฤษฎขี องสามเหล่ียมมุมฉาก ตอ้ งการหามุม θ จะได้

tan θ =  Fy
 Fx

θ = tan-1  Fy 
 Fx

ค่ามมุ θ ทก่ี ระทากับแนวแกน ดงั รปู ท่ี 2.13 (ข) ยังสามารถใชห้ ลกั ตรีโกณมติ อิ ่ืน ได้ดังนี้

Sin θ =  Fy
R

27

θ = Sin-1  Fy
R

หรอื Cos θ =  Fx
θ R

= Cos-1  Fx
R

2.7 การสมดลุ ของแรง 2 มติ ิ

สมดุล หมายถึง “วตั ถทุ ่ีอยู่นง่ิ ภายใต้แรงท่ีมากระทากับวตั ถุนน้ั ” หรอื อาจกลา่ วไดอ้ กี นยั หนงึ่ วา่
“วตั ถุจะอยู่ในสภาวะสมดุลเมื่อแรงทกี่ ระทาถกู หักล้างซ่งึ กนั และกัน” ดังรปู ท่ี 2.14

แรงท่กี ระทา แรงท่หี กั ลา้ ง

รปู ที่ 2.14 แสดงถึงการสมดุลของวตั ถุ

สาหรบั ปญั หาโดยท่วั ไปของการสมดลุ ในระบบ 2 มิติ สามารถจาแนกออกเปน็ 4 ประเภท ได้แก่
แนวเส้นตรงเดียวกัน พบกันที่จดุ เดียว แรงขนานกนั และ ทวั่ ไป ซึ่งในบทนจ้ี ะขอกลา่ วถงึ เฉพาะแรงสมดลุ
แนวเส้นตรงเดียวกนั และพบกนั ทจี่ ดุ เดียวกอ่ น

หลกั การหาความสมดุลของแรงสองมิติทพี่ บกนั 
ผลรวมของแรงในแนวแกน x มคี ่าเปน็ ศนู ย์ หรอื 

Fx = 0

ผลรวมของแรงในแนวแกน y มคี า่ เป็นศนู ย์ หรือ

Fy = 0

ขนั้ ตอนการหาสมดลุ แรง 2 มติ ทิ พ่ี บกัน
1. เขียนผังวตั ถอุ ิสระพิจารณาจากแรงกิริยาและแรงปฏกิ ิริยา
2. แตกแรงต่างๆ ออกเปน็ แรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y

28

3. รวมแรงย่อยตามแนวแกน x และ y โดยทใี่ ห้

3.1. ผลรวมของแรงในแนวแกน x = 0 หรอื Fx = 0
3.2. ผลรวมของแรงในแนวแกน y = 0 หรือ Fy = 0

3.3 ทาสมการให้ขา้ งใดขา้ งหนึง่ เหลอื เพยี ง 1 ตัวแปร
4. นาตัวแปรทไี่ ด้ไปแทนที่ในอีกสมการ

ทฤษฎขี องลามี (Lami’s Theory)
ทฤษฎขี องลามีใชใ้ นกรณที ม่ี ีแรงสามแรงมากระทารว่ มกนั ณ จุดเดียวกนั และอยใู่ นระนาบเดียวกนั

และทาใหว้ ัตถุอย่ใู นสภาวะสมดลุ ดงั รูปที่ 2.15 ทฤษฎีของลามี ได้กล่าววา่ “อตั ราสว่ นของแรงตอ่ ค่า sin
ของมุมตรงข้าม จะมคี ่าเป็นปฏิภาคตอ่ กนั ”

ac




b

รูปที่ 2.15 แรงสามแรงทกี่ ระทาร่วมกัน ณ จดุ เดียวกัน

จากรูปท่ี 2.15 ตามทฤษฎขี องลามีเมอ่ื นาแรงท้งั 3 มาต่อกนั กจ็ ะไดร้ ปู สามเหลยี่ มปิด(ดงั รูปที่ 2.16)
ซ่ึงเป็นลกั ษณะของความสมดลุ ของแรงตามทก่ี ล่าวไวแ้ ลว้ ในหน่วยท่ี 1

รปู ท่ี 2.16 สามเหลีย่ มปิดแสดงถึงลกั ษณะการสมดลุ ของแรงทั้งสามแรง

29

แบบฝกึ หัด

ตอนที่ 1 จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

1. จงบอกคุณลักษณะของแรง

2. จากรูป จงบอกคุณลกั ษณะของเคร่อื งหมายของแรง

X มีค่าเป็น......... y X มีค่าเป็ น.........

Y มีคา่ เป็น......... Y มีค่าเป็ น.........

x

X มีคา่ เป็น......... X มีคา่ เป็ น.........
Y มีคา่ เป็น......... Y มีค่าเป็ น.........

3. แรงมีก่ชี นิด ประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง Fx = 259.81 N
Fy = 150 N
ตอนท่ี 2 จงคานวณหาผลลัพธ์ตามโจทยก์ าหนดให้

1. จากรูปจงแสดงวิธกี ารแตกแรง F ให้เป็นแรงย่อยตามแนวแกน
y F = 300 N
30o
x

2. จากรปู จงแสดงวธิ ีการแตกแรง F ใหเ้ ปน็ แรงยอ่ ยตามแนวแกน
y

x Fx = -68.40 N
Fy = -187.93 N

20o
F = 200 N

30
3. จากรปู แรง F มขี นาด 800 N กระทาที่จดุ A จงแสดงวิธีการคานวณหาแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y

4. จากรปู แรง F มีขนาด 2,000 N จงแสดงวิธีการคานวณหาแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y

5. จากรปู จงแสดงวิธกี ารแตกแรงใหเ้ ปน็ แรงยอ่ ยตามแนวแกน
y

F=300 N

3 x
4

6. จากรปู จงแสดงวธิ กี ารแตกแรงใหเ้ ปน็ แรงย่อนตามแนวแกน
y

F=100 N

6 x
8

7. จากรปู จงแสดงวิธกี ารแตกแรงใหเ้ ปน็ แรงยอ่ ยตามแนวแกน
y

F=150 kN

5 x
12

31
8. จากรปู มีแรงดึงจากลวดสลงิ สองเสน้ กระทาบนหว่ งสลักและทาให้เกิดแรง F1 และ F2 จงแสดงวธิ ีการ
คานวณหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธท์ ้งั สองแรงนี้

9. จากรปู มีแรง 2 แรง กระทาบนห่วงสลักจงแสดงวธิ กี ารคานวณหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์ทงั้ สองน้ี

10. จากรูป มแี รงกระทาตอ่ ชน้ิ ส่วนโครงสรา้ งขนาด 800 N ทามุม 60 องศา กบั แนวแกน และ แรง 600
N ทามุม 35 องศา กบั แนวแกน จงแสดงวิธกี ารคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์

32

11. จากรปู จงแสดงวธิ ีการคานวณหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์

R = 629 N
θ = 67.9o
12. จงแสดงวธิ กี ารคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่กระทาต่อขอเก่ยี ว ดังรปู

13. จงแสดงวิธีการคานวณหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธท์ ี่กระทาตอ่ ขอเกีย่ ว ดงั รูป

14. จากรปู จงแสดงวธิ ีการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์

150 N 80 N
120 N

33

15. จากรปู จงแสดงวธิ ีการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์

16. จากรปู จงแสดงวธิ ีการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธท์ ่ีเกดิ จากแรง F1 F2 และ F3

17. จากรปู จงแสดงวิธีการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ทีเ่ กิดจากแรง F1 F2 และ F3

18. จากรปู มแี รง 2 แรง กระทาบนห่วงสลกั จงแสดงวธิ กี ารคานวณหาขนาดของแรงตามแนวแกน y เพือ่ ทา
ใหว้ ตั ถุอย่ใู นสภาวะสมดุล

34
19. จากรปู มแี รงกระทาตอ่ ชน้ิ สว่ นโครงสรา้ งขนาด 800 N ทามุม 60 องศา กบั แนวแกน x และ แรง 600
N ทามุม 35 องศา กบั แนวแกน x จงแสดงวธิ กี ารคานวณหาขนาดของแรงตามแนวแกน x เพื่อทาใหว้ ตั ถุอยู่
ในสภาวะสมดุล

20. จากรปู จงคานวณหาขนาดของแรง F และแรงตามแนวแกน y ที่ทาใหว้ ัตถเุ กิดความสมดุล
y
900 N

21. จากรูป จงแสดงวิธีการคานวณหาขนาดของแรงดึงในสายเคเบ้ิล AB และ BC ท่ีแขวนวตั ถทุ รงกระบอก
ขนาด 60 kg

35
22. จากรูป มแี รง F1 และ F2 กระทาบนห่วงสลัก จงแสดงวิธีการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงท่ีทา
ใหเ้ กดิ ความสมดุล ซึ่งจะเกดิ ข้นึ ตามแนวแกน x และคานวณหาขนาดของมมุ 

F1= 800N

x

F2= 600N
23. วัตถหุ นัก 25 kg แขวนอยู่ทปี่ ลายของแท่งเหลก็ ดงั รปู ปลายของแทง่ เหลก็ ด้านท่ีแขวนวตั ถุผูกดว้ ย
ลวดสลงิ ทีท่ ามมุ กบั แทง่ เหล็ก 30 องศา จงแสดงวิธีการคานวณหาแรงบนแท่งเหล็กและลวดสลิง

C

A 30o B
W

24. จากรปู จงแสดงวธิ ีการคานวณหาแรงทกี่ ระทาต่อเส้นเชอื กในแต่ละเสน้ เมือ่ กล่องหนัง 20 kg

BC = 196.2 N
AB = 277.5 N

36
25. จากรปู มีเส้นเชอื กแขวนกล่องซึง่ มนี ้าหนัก 200 kg เม่ือออกแรงดงึ ที่เส้นเชอื ก AB เท่ากับ 10 kN จง
คานวณหาขนาดของมมุ 

26. จากรปู ถา้ ทรงกระบอก C มนี ้าหนัก 40 kg จงแสดงวธิ ีคานวณหาน้าหนักท่ีทรงกระบอก A เพ่อื ทาให้วัตถุ
อย่ใู นสภาวะสมดลุ ดงั รูป

27. ถา้ วตั ถุมีน้าหนกั 50 lb จงแสดงวธิ ีคานวณหาขนาดของแรงในเสน้ เชือกแต่ละเส้น

ช่ือเรือ่ ง แผนการเรียนรู้หนว่ ยท่ี 3 เวลาเรียน 36 ช.ม.
สอนครัง้ ท่ี 6-7
ช่อื วิชา กลศาสตร์เครอื่ งมอื กล (20102-2006)
ช่อื หนว่ ย โมเมนตแ์ ละแรงคู่ควบ จานวน 4 ช.ม.
โมเมนตแ์ ละแรงคู่ควบ

หัวข้อเร่ือง

1. คาจากัดความของโมเมนต์
2. ชนิดของโมเมนตข์ องแรง
3. ทฤษฎีโมเมนต์หรือทฤษฎีวารียอง
4. การรวมโมเมนต์ของแรง
5. คาจากัดความของโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ
6. โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบ

สมรรถณะยอ่ ย

แสดงความรูเ้ กี่ยวกับโมเมนตแ์ ละโมเมนตข์ องแรงค่คู วบ

วตั ถุประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม

เมอ่ื ผูเ้ รยี นไดศ้ กึ ษาเนอ้ื หาในบทน้แี ลว้ ผเู้ รยี นสามารถ
1. บอกความหมายของโมเมนต์ได้
2. บอกชนิดของโมเมนต์ได้
3. หาขนาดของโมเมนต์ 2 มิติ ตามทฤษฎีวารยี องได้
4. หาขนาดของโมเมนต์ 2 มติ ิ ตามทฤษฎีการรวมโมเมนต์ได้
5. บอกความหมายของโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ 2 มติ ิได้
6. หาขนาดของโมเมนต์ของแรงค่คู วบ 2 มติ ไิ ด้

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนคร้ังท่ี 6)

1. ครูแจ้งจดุ ประสงค์การเรยี นประจาสัปดาห์
2. ครูนาเข้าสู่บทเรยี น
3. ครสู อนเนือ้ หาสาระ
4. ครสู รุปเนื้อหาสาระประจาสปั ดาห์
5. ครมู อบหมายใหน้ ักเรยี นทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรยี น บทท่ี 3 ข้อที่ 3.1-3.9 นอกเหนือเวลาเรียน

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครงั้ ท่ี 7)

1. ครูแจ้งจุดประสงคก์ ารเรียนประจาสัปดาห์ และครนู าเข้าสูบ่ ทเรยี น
2. ครูทบทวนเนอื้ หาในสัปดาห์ท่ผี ่านมา
3. ครสู อนเน้อื หาสาระใหม่
4. ครสู รุปเนอ้ื หาสาระประจาสปั ดาห์
5. นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี นบทท่ี 3
6. ครมู อบหมายใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน บทที่ 3 ขอ้ ท่ี 3.10-3.15 นอกเหนอื เวลาเรยี น

สอื่ การเรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี น วชิ ากลศาสตร์เคร่ืองมือกล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 3

งานท่ีมอบหมาย/กิจกรรม

ให้นกั ศึกษาทาแบบฝึกหัดบทท่ี 3 นอกเหนือเวลาเรยี นให้เรียบร้อย ถูกต้อง สมบูรณ์ ในวันท่ีกาหนด

การประเมนิ ผลการเรียนรู้ เกณฑ์ผา่ น 60%
เกณฑผ์ า่ น 60%
1. แบบฝึกบทท่ี 3 เกณฑผ์ า่ น 60%
2. แบบทดสอบหลงั เรยี น
3. แบบประเมนิ คณุ ธรรมจรยิ ธรรม ตามสภาพจริง

ชือ่ เร่ือง แผนการเรยี นรู้หน่วยท่ี 3 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนคร้ังท่ี 6-7
ชื่อวิชา กลศาสตรเ์ คร่อื งมือกล (20102-2006)
ช่ือหนว่ ย โมเมนตแ์ ละแรงคคู่ วบ จานวน 4 ช.ม.
โมเมนต์และแรงคู่ควบ

ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรียนรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรยี นรู้ของนักศกึ ษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผู้อานวยการฝ่ายวชิ าการ
หวั หน้าสาขาวชิ า

บทที่ 3
โมเมนตแ์ ละแรงคคู่ วบ

3.1 การเขียนผงั วตั ถอุ สิ ระ

ในการวเิ คราะห์ระบบแรงทกี่ ระทากบั วตั ถหุ รอื ช้นิ สว่ นตา่ งๆ การจะมองเหน็ ภาพในสว่ นของแรงที่
กระทานนั้ ค่อนขา้ งยงุ่ ยากพอสมควร ดังน้ันในการวเิ คราะห์แรงที่กระทากับวตั ถหุ รือช้ินสว่ นจะต้องแยกวัตถุ
หรอื ชน้ิ ส่วนแต่ละชนิ้ ออกเป็นอสิ ระจากกัน โดยเขยี นเปน็ ผงั วัตถอุ ิสระเสมอ

ดังนัน้ การเขียนผงั วัตถุอิสระ จึงเป็นการแยกส่วนของวัตถุในแตล่ ะสว่ นออกมาโดยแสดงทั้งแรงและ
โมเมนตท์ เ่ี กิดบนวตั ถุน้ัน และวตั ถุนั้นจะต้องอยู่ในสภาวะสมดลุ ดว้ ย

จากท่ไี ด้กล่าวมาแล้ววา่ ในการแก้ไขปัญหาทางสมดุล จะต้องใช้ผงั วัตถุอิสระเสมอ ดังนน้ั การเข้าใจ
เก่ียวกับการเขียนผังวัตถุอสิ ระได้อยา่ งถกู ต้อง จงึ เป็นส่งิ สาคัญในการแก้ปัญหาการสมดลุ ซง่ึ การเขียนผังวตั ถุ
อสิ ระใหถ้ ูกตอ้ งมีขั้นตอนดงั นี้

1. แยกส่วนของวตั ถุหรือโครงสรา้ ง ท่ตี อ้ งการวเิ คราะห์มาเขยี นเปน็ โครงต่างหาก โดยเขียนเปน็
ลายเสน้ (หากเป็นโครงสรา้ งทต่ี อ้ งการหาแรงปฏิกริ ยิ าใหเ้ ขยี นเฉพาะเส้นล้อมรอบขอบเขตนอกโครงสร้าง)

2. ใสแ่ รงและโมเมนตท์ ัง้ หมดทีก่ ระทาต่อส่วนทแ่ี ยกอสิ ระ ท้งั ขนาดและทิศทางที่ถูกตอ้ งสาหรบั ค่ารู้
ส่วนค่าและทิศทางที่ไม่ร้ใู ห้เขียนแทนดว้ ยตวั อักษรในทิศทางท่ีคาดวา่ จะถูกต้อง

3. สว่ นใดของวตั ถุที่แยกออกจากจุดยดึ (Support) จะต้องมแี รงกิริยาในทศิ ทางต่างๆ ตามลกั ษณะ
ของจดุ ยึดนั้น

เม่ือได้ผงั วตั ถอุ สิ ระแลว้ จงึ แทนคา่ ต่างๆ ในสมการสมดุล ซึ่งจะสามารถแก้สมการหาคา่ ของตัวท่ีไม่รู้
ค่าไดท้ ัง้ หมด และคา่ ที่ไดอ้ อกมาเป็นลบแสดงวา่ ค่าที่ไดม้ ีทิศตรงกันขา้ มกับทิศทางท่ีสมมตไิ ว้

ขอ้ ควรระลึกในการเขยี นผงั วัตถอุ ิสระ
1. การเขยี น FBD จะต้องวาดใหม่ หา้ มวาดในรูปทโ่ี จทยใ์ หม้ า
2. การละเลยไมใ่ สแรงท่ีคดิ ว่าไมจ่ าเปน็ ในการคานวณลงไปใน FBD จะทาให้เกิดความผิดพลาดได้
3. การคานวณหาคาตอบ ได้แก่ แรงกริ ิยาที่ยังไม่ทราบค่าและไม่ทราบทิศทาง จะกระทาไดถ้ กู ตอ้ ง

กต็ ่อเม่ือเขียน FBD ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งเทา่ น้นั
4. การไมก่ าหนดพิกดั ฉาก x-y ถือวา่ เปน็ FBD ท่ีไม่สมบรู ณ์
5. การเขยี น FBD ท่ีไมถ่ กู ต้อง จะทาใหก้ ารคานวณผดิ ทัง้ หมด

การเขยี นผังวัตถุอิสระในระบบแรง 2 มติ ิ
จากข้นั ตอนการเขียนผงั วัตถอุ สิ ระ ให้มีความถูกต้องตามลกั ษณะของแรงและวตั ถุ หากส่วนใดของ

วัตถทุ ี่มคี วามสมั พนั ธก์ บั วัตถุอน่ื หรอื เปน็ จดุ ยึด ให้พจิ ารณาแรงทีจ่ ดุ ยดึ ตามตารางที.่ .....................

3.2 คาจากดั ความของโมเมนต์

โมเมนต์ คือ ปรมิ าณเวคเตอรท์ ี่ถกู กระทาดว้ ยแรงท่พี ยายามจะกระทาใหว้ ตั ถุหมุนรอบจดุ หรือรอบ
แกนๆ หนึ่ง ฉะนน้ั โมเมนตข์ องแรงจงึ มีความหมายดงั น้ี

โมเมนต์ของแรง คือ ความพยายามของแรงใดๆ ท่ีจะกระทาให้วัตถหุ มนุ รอบจดุ หรือรองแกนๆ หน่งึ
ซ่งึ การหมุนรอบจดุ หรือรอบแกนนนั้ มคี า่ เทา่ กับ ผลคูณระหว่างแรงกบั ระยะทางจากจดุ หมนุ ไปจนถึงจดุ ทแ่ี รง
กระทา และแรงทก่ี ระทาจะตอ้ งตั้งฉากกบั ระยะทางเสมอ ดงั รปู ท่ี 3.1

F

จดุ หมุน O M

r

รปู ที่ 3.1 แสดงลกั ษณะของโมเมนต์

จากรปู ท่ี 3.1 สามารถเขียนเป็นสมการได้ คอื

M=Fr .......................................

เม่อื M คือ โมเมนตข์ องแรงรอบจดุ หมุน O มหี นว่ ยเป็น นิวตนั เมตร (Nm)

F คอื แรงทีก่ ระทา มหี นว่ ยเป็น นวิ ตนั (N)

r คือ ระยะทางทีต่ ้งั ฉากกับแนวแรงกระทาไปยังจุดหมนุ มีหนว่ ยเป็น เมตร (m)

3.3 ชนิดของโมเมนต์ของแรง

เน่ืองจากโมเมนตเ์ ป็นปรมิ าณเวคเตอร์ ดงั นั้นแรงทก่ี ระทาใหเ้ กิดทิศทางจึงมีทิศทาง ซึง่ ทศิ ทางของ
โมเมนต์ของแรงสามารถแบ่งไดเ้ ป็น 2 ชนิด ตามทศิ ทางการหมนุ ดังนี้

3.3.1 โมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา คือ โมเมนต์ท่ีเกิดจากแรงทกี่ ระทากับระยะทางจากจุดหมนุ ถงึ แนว
แรงทีก่ ระทา ซึง่ เมอื่ เทยี บกับจดุ หมนุ หมุนแล้วการหมุนจะหมนุ ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกาโดยทิศทางตาม
เขม็ นาฬิกาให้เป็นเครอ่ื งหมายบวก (+) ดังรูปที่ 3.2 (แรงด้านขวา)

3.3.2 โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา คือ โมเมนต์ที่เกิดจากแรงที่กระทากบั ระยะทางจากจุดหมนุ ถงึ แนว
แรงท่กี ระทา ซ่ึงเมอ่ื เทียบกบั จุดหมุนหมนุ แลว้ การหมุนจะหมนุ ไปในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกาโดยทิศทางทวน
เข็มนาฬกิ าให้เป็นเครือ่ งหมายลบ (-) ดงั รูปท่ี 3.2 (แรงดา้ นซ้าย)

M- M+

รปู ท่ี 3.2 แสดงลักษณะทิศทางการหมนุ ของโมเมนต์

3.4 ทฤษฎีของโมเมนต์ หรอื ทฤษฎวี ารียอง

ทฤษฎขี องโมเมนต์ หรือ ทฤษฎีวารยี อง ได้กล่าวว่า “โมเมนต์ของแรงรอบจุดหมุนหรอื รอบแกน
หน่งึ ๆ มคี ่าเทา่ กบั ผลรวมของโมเมนตข์ องแรงยอ่ ยหลายๆ แรง ท่กี ระทาจดุ เดยี วกนั ” ดังรูปท่ี 3.3

F3 F2 F1

จดุ หมุน O r

รูปท่ี 3.3 แสดงทฤษฎขี องโมเมนต์

จากรปู ที่ 3.3 โมเมนตข์ องแรงรอบจุดหมนุ O สามารถเขียนเปน็ สมการไดด้ งั นี้

Mo = (F1r1)+ (F2r2)+ (F3r3)+… (Fnrn)
หรอื

Mo = M1+ M2+ M3+… Mn

3.3 แรงคู่ควบ

แรงคคู่ วบ คือ แรงท่ีมีขนาดเทา่ กนั กระทาอยู่ในระนาบเดยี วกันมีทศิ ทางขนานกนั แตต่ รงกันข้าม

และไม่อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ดงั รปู ที่ 3.5 F

r

F

รปู ที่ 3.5 แรงทีท่ าให้เกิดแรงคู่ควบ

โมเมนตข์ องแรงคูค่ วบ หมายถงึ โมเมนต์ของแรงซง่ึ เกิดจากแรงที่มีขนาดเท่ากนั สองแรงแตม่ ีขนาด

ตรงขา้ มกัน กระทาตอ่ วตั ถหุ น่งึ ๆ ในระยะห่างระหว่างแรงท้งั คู่ ดังรปู ท่ี 3.6 F

r

จดุ หมุน O

F

รปู ท่ี 3.6 แสดงถงึ โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบ

หลักการของโมเมนต์ของแรงคคู่ วบ จากรปู ที่ 5.6 โมเมนต์ของแรงคคู่ วบรอบจดุ O ถา้ กาหนดให้ F
เป็นแรง 2 แรง ท่ีมขี นาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงขา้ มกนั และแรงสองแรงอยูห่ ่างจากกันเป็นระยะ r ดงั นน้ั
ตามหลกั การของโมเมนต์ของแรงคู่ควบรอบจดุ หมุน O จงึ มีคา่ เทา่ กนั กับ แรง F คูณกบั ระยะหา่ งระหวา่ ง
แรงทงั้ สอง (r) หรอื

M=Fr
เม่อื M คือ โมเมนต์ของแรงค่คู วบรอบจดุ หมนุ O มีหนว่ ยเป็น นิวตันเมตร (Nm)

F คอื แรงทีก่ ระทา มีหนว่ ยเป็น นิวตนั (N)
R คอื ระยะทางท่ตี ัง้ ฉากระหว่างแนวแรงทงั้ สอง มีหน่วยเป็น เมตร (m)