กลศาสตร์เครื่องมือกล

3.6 การสมดุลของแรง 2 มิตทิ ่ีไมพ่ บกนั

หลกั การของการสมดุลของแรงสองมติ ทิ ไี่ ม่พบกนั คือ

1. ผลรวมของแรงในระนาบเท่ากบั ศนู ย์ คอื Fx = 0 , Fy = 0

หรอื ผลรวมของแรงกรยิ า = แรงปฏิกิริยา ดงั แสดงตามรูปที่ 4.7

หมายเหตุ กาหนดทิศทางให้แรงทีม่ ีทิศทางจากล่างขึ้นบนมีเครอ่ื งหมายเปน็ +
แรงที่มีทิศทางจากบนลงลา่ งมีเครือ่ งหมายเป็น -
แรงท่ีมีทศิ ทางจากซ้ายไปขวามเี ครอื่ งหมายเป็น +
แรงทีม่ ีทศิ ทางจากขวาไปซ้ายมีเคร่อื งหมายเป็น -

2. ผลรวมของโมเมนต์รอบจดุ ใดๆ บนระนาบเทา่ กบั ศนู ย์ คอื M = 0

หรอื ผลรวมของโมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า = ผลรวมของโมเมนตท์ วนเข็มนาฬกิ า

Mตาม = Mทวน

ดังนั้น สมการของการหาสมดลุ ของแรงสองมิติท่ีไมพ่ บกนั คือ

Fx = 0 .......................................
Fy = 0 .......................................
M= 0 .......................................

F3 F2

F1

รูปที่ 3.7 การสมดุลของแรงสองมติ ทิ ี่ไมพ่ บกัน

จากรูปท่ี 3.7 ผลรวมของแรงกริยา = แรงปฏิกริ ยิ า หรือ F1 = F2 + F3
แบบฝกึ หดั

F3

1. จากรปู จงคานวณหาโมเมนตร์ อบจุด O F = 6 kN
N
O
5m Mo = 30,000 Nm

2. จากรปู จงคานวณหาโมเมนต์รอบจดุ O F1 = 40 N F2 = 50 N
45o 40o
O Mo = 30.21 Nm
0.5 m

3. จงคานวณหาโมเมนต์ของแรง 200 N รอบจดุ หมุน O

200 mm 60o F = 200 N

120 mm O
60 mm
Mo = 6.79 Nm

4 จากรปู จงคานวณหาโมเมนต์รอบจุด O

420 mm 30o
O 20 kN

400 mm Mo = 32.73 kNm
10 kN

5 จากรูป กล่องบรรจสุ งิ่ ของมีน้าหนกั 100 kg วางบนคาน จงคานวณหาแรงปฏกิ ิริยาท่ีจดุ รองรบั A และ B
4m 6m

100kg B FA = 588.6 N
FB = 392.4 N
A

6 จากรูป มีแรง 2 แรงกระทาบนคาน จงคานวณหาแรงปฏกิ ิริยาทจี่ ุดรองรบั A และ B

F1=30 N F2=70 N
3m 4m 6m

A B FA = 81 N
FB = 19 N

7 จากรูป จงคานวณหาโมเมนตร์ องหวั สกรูเมอื่ ออกแรงกด 20 N

M = 6 Nm

8 จากรปู จงคานวณหาโมเมนต์รอบจดุ ศนู ยก์ ลางของหัวสลกั เกลยี ว เม่อื ออกแรงกระทาบนดา้ มประแจดว้ ย
แรง 100 N

M = 20.06 Nm

9 จากรูป จงหาผลรวมของโมเมนตร์ อบจุด A

MA = -88 Nm

10 จากรูป จงคานวณหาโมเมนตร์ อบจุดหมนุ A และ B

MA = 11,000 Nm
MB = 600 Nm

11 แขนโยกรับแรงกระทาดงั รูป จงหาผลรวมของโมเมนตร์ อบจดุ O เม่อื กาหนดให้ P = 100 N

MO = -32.51 Nm

12 จากรูป จงหาโมเมนต์รอบจุด O เมือ่ แรงดงึ T = 5 kN

MO = 0.24 Nm
13 จากรปู ลิ่มถกู กระทาดว้ ยแรง 200 N ระยะห่างลมิ่ ทง้ั สองจากจุดท่ีแรงกระทา เท่ากบั 50 mm จง
คานวณหาโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ

MO = -10 Nm
14 แทนแรงคูค่ วบ 60 Nm ตามรูปด้วยแรงเพยี งแรงเดยี ว คอื F ท่ีจดุ D จงหาตาแหนง่ ของจุด D โดย
การหาระยะ b

15 คนั โยกถูกดึงดว้ ยแรง 200 N ดังรูป จงหาระยะ x ท่เี หมาะสม
เมอ่ื กาหนดให้โมเมนต์รอบจุด A คอื 80 Nm

X = 266 mm

ชื่อเรอ่ื ง แผนการเรียนรหู้ น่วยที่ 4 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนครัง้ ท่ี 8-12
ชอ่ื วิชา กลศาสตร์เครือ่ งมอื กล (20102-2006)
ช่ือหน่วย การเขยี นผงั วัตถอุ สิ ระ จานวน 10 ช.ม.
การเขียนผงั วตั ถอุ ิสระ

หัวขอ้ เร่ือง

1. ความหมายของการเขียนผังวตั ถอุ สิ ระ
2. เงื่อนไขการการเขยี นผังวัตถุอิสระ
3. การเขียนผังวตั ถุอสิ ระ
4. แรงปฏกิ ริ ยิ าท่ีจุดยึด
5. ลกั ษณะการเขียนผังวัตถุอิสระในระบบ 2 มติ ิ
6. การเขยี นผงั วัตถุอิสระของแรง 2 มติ ิ ท่ีอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
7. การเขียนผงั วัตถอุ ิสระของแรง 2 มติ ิ ที่มแี นวแรงพบกันที่จดุ เดียว
8. การเขียนผงั วตั ถุอสิ ระของแรง 2 มติ ิ ท่มี ีแนวแรงขนานกนั
9. การเขียนผงั วตั ถุอิสระของแรง 2 มติ ิ ที่มีระบบแรงทัว่ ไป

สมรรถณะย่อย

แสดงความรเู้ ก่ยี วกบั การการเขยี นผงั วตั ถุอสิ ระ

วตั ถุประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม

เมอ่ื ผเู้ รยี นได้ศกึ ษาเน้อื หาในบทนีแ้ ล้ว ผเู้ รียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของการเขยี นผังวตั ถุอิสระได้
2. บอกเงอ่ื นไขของการการเขยี นผังวัตถอุ ิสระได้
3. เขียนผงั วตั ถุอสิ ระได้อยา่ งถูกตอ้ ง
4. อธบิ ายลักษณะของแรงปฏกิ ริ ยิ าทจ่ี ดุ ยึดได้
5. คานวณหาแรงในระบบ 2 มติ ิ ในลักษณะต่าง ๆภายใตส้ ภาวะการเขียนผงั วตั ถุอิสระไดอ้ ยา่ ง
ถูกตอ้ ง

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนคร้งั ที่ 8)

1. ครูแจ้งจุดประสงคก์ ารเรยี นประจาสัปดาห์
2. ครูนาเข้าสบู่ ทเรยี น
3. ครูสอนเนื้อหาสาระ
4. ครูสรปุ เน้ือหาสาระประจาสัปดาห์

5. ครูมอบหมายให้นักเรยี นทาแบบฝกึ หัดทา้ ยบทเรียน บทที่ 4 ข้อท่ี 4.1-4.4 นอกเหนือเวลาเรียน

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครั้งท่ี 9)

1. ครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียนประจาสัปดาห์ และครูนาเขา้ สู่บทเรยี น
2. ครูทบทวนเนอ้ื หาในสปั ดาห์ที่ผ่านมา
3. ครูสอนเนื้อหาสาระใหม่
4. ครสู รุปเน้ือหาสาระประจาสปั ดาห์
5. ครูมอบหมายให้นกั เรียนทาแบบฝกึ หัดท้ายบทเรยี น บทท่ี 4 ขอ้ ท่ี 4.5-4.6 นอกเหนอื เวลาเรยี น

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนครั้งที่ 10)

1. ครแู จ้งจุดประสงคก์ ารเรยี นประจาสัปดาห์ และครนู าเข้าสู่บทเรียน
2. ครทู บทวนเนอื้ หาในสปั ดาห์ที่ผ่านมา
3. ครสู อนเนอื้ หาสาระใหม่
4. ครูสรุปเนอื้ หาสาระประจาสัปดาห์
5. ครูมอบหมายให้นักเรียนทาแบบฝกึ หัดทา้ ยบทเรยี น บทที่ 4 ขอ้ ท่ี 4.7-4.9 นอกเหนอื เวลาเรียน

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนครัง้ ท่ี 11)

1. ครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรียนประจาสัปดาห์ และครูนาเขา้ สู่บทเรียน
2. ครทู บทวนเนอ้ื หาในสัปดาห์ทีผ่ ่านมา
3. ครูสอนเนอ้ื หาสาระใหม่
4. ครูสรปุ เนอ้ื หาสาระประจาสัปดาห์
5. ครมู อบหมายใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหัดทา้ ยบทเรยี น บทที่ 4 ข้อที่ 4.10-4.12 นอกเหนือเวลาเรยี น

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครั้งท่ี 12)

1. ครแู จ้งจุดประสงค์การเรยี นประจาสัปดาห์ และครนู าเข้าสู่บทเรียน
2. ครทู บทวนเน้ือหาในสปั ดาห์ที่ผ่านมา
3. ครสู อนเนื้อหาสาระใหม่
4. ครสู รปุ เนอื้ หาสาระประจาสัปดาห์
5. นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนบทท่ี 4
6. ครูมอบหมายใหน้ ักเรยี นทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรยี น บทที่ 4 ขอ้ ที่ 4.13-4.16 นอกเหนือเวลาเรยี น

ส่ือการเรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี น วิชากลศาสตรเ์ ครอื่ งมือกล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทที่ 4

งานทีม่ อบหมาย/กจิ กรรม

ใหน้ กั ศกึ ษาทาแบบฝึกหัดบทท่ี 4 นอกเหนอื เวลาเรียนให้เรยี บร้อย ถูกต้อง สมบรู ณ์ ในวนั ทกี่ าหนด

การประเมนิ ผลการเรียนรู้ เกณฑผ์ ่าน 60%
เกณฑผ์ ่าน 60%
1. แบบฝกึ บทท่ี 4 เกณฑผ์ ่าน 60%
2. แบบทดสอบหลังเรยี น
3. แบบประเมนิ คุณธรรมจรยิ ธรรม ตามสภาพจริง

ชอื่ เรื่อง แผนการเรยี นรู้หน่วยที่ 4 เวลาเรียน 36 ช.ม.
สอนครง้ั ท่ี 8-12
ชอ่ื วชิ า กลศาสตรเ์ ครอื่ งมือกล (20102-2006)
ชอ่ื หนว่ ย การเขยี นผงั วัตถุอสิ ระ จานวน 10 ช.ม.
การเขียนผังวตั ถอุ ิสระ

ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรียนรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรยี นร้ขู องนักศึกษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผ้อู านวยการฝา่ ยวชิ าการ
หวั หนา้ สาขาวิชา

บทที่ 4
การเขียนผงั วตั ถุอสิ ระ

ในการวเิ คราะห์ระบบแรงที่กระทากับวัตถหุ รือชน้ิ ส่วนตา่ งๆ การจะมองเหน็ ภาพในสว่ นของแรงท่ี
กระทานนั้ คอ่ นขา้ งยุง่ ยากพอสมควร ดงั นัน้ ในการวิเคราะห์แรงทกี่ ระทากบั วตั ถหุ รอื ชิน้ สว่ นจะต้องแยกวตั ถุ
หรือชน้ิ สว่ นแตล่ ะชน้ิ ออกเปน็ อสิ ระจากกัน โดยเขียนเป็นผังวตั ถอุ ิสระเสมอ

ดังน้ัน การเขยี นผงั วัตถอุ สิ ระ จึงเป็นการแยกสว่ นของวัตถุในแตล่ ะสว่ นออกมาโดยแสดงทั้งแรงและ
โมเมนต์ทเี่ กิดบนวัตถุนนั้ และวตั ถุน้นั จะต้องอยใู่ นสภาวะสมดุลด้วย

จากทไี่ ด้กลา่ วมาแลว้ วา่ ในการแก้ไขปัญหาทางสมดุล จะต้องใชผ้ ังวัตถุอิสระเสมอ ดงั นัน้ การเข้าใจ
เก่ยี วกบั การเขียนผงั วัตถุอิสระได้อยา่ งถูกตอ้ ง จงึ เป็นสง่ิ สาคญั ในการแกป้ ญั หาการสมดลุ ซ่ึงการเขียนผงั วตั ถุ
อิสระใหถ้ ูกตอ้ งมขี นั้ ตอนดังนี้

1. แยกสว่ นของวัตถหุ รอื โครงสรา้ ง ทตี่ อ้ งการวเิ คราะห์มาเขียนเปน็ โครงตา่ งหาก โดยเขียนเป็น
ลายเสน้ (หากเป็นโครงสร้างทีต่ อ้ งการหาแรงปฏิกิริยาใหเ้ ขียนเฉพาะเส้นล้อมรอบขอบเขตนอกโครงสร้าง)

2. ใส่แรงและโมเมนต์ทั้งหมดทกี่ ระทาตอ่ สว่ นทแี่ ยกอิสระ ทัง้ ขนาดและทิศทางทถี่ ูกตอ้ งสาหรบั ค่ารู้
ส่วนคา่ และทิศทางทไ่ี ม่รใู้ ห้เขียนแทนด้วยตวั อักษรในทิศทางท่ีคาดว่าจะถูกต้อง

3. ส่วนใดของวัตถุทแี่ ยกออกจากจดุ ยึด (Support) จะต้องมีแรงกิรยิ าในทศิ ทางต่างๆ ตามลกั ษณะ
ของจดุ ยึดนั้น

เมื่อไดผ้ งั วัตถอุ สิ ระแล้ว จงึ แทนค่าตา่ งๆ ในสมการสมดลุ ซึ่งจะสามารถแก้สมการหาคา่ ของตัวท่ีไม่รู้
ค่าไดท้ ง้ั หมด และคา่ ท่ไี ด้ออกมาเปน็ ลบแสดงว่าคา่ ที่ได้มีทิศตรงกนั ขา้ มกบั ทศิ ทางทส่ี มมตไิ ว้

ข้อควรระลกึ ในการเขยี นผังวตั ถุอิสระ
1. การเขียน FBD จะต้องวาดใหม่ ห้ามวาดในรูปท่ีโจทยใ์ ห้มา
2. การละเลยไม่ใสแรงท่ีคดิ วา่ ไม่จาเป็นในการคานวณลงไปใน FBD จะทาให้เกดิ ความผดิ พลาดได้
3. การคานวณหาคาตอบ ได้แก่ แรงกริ ิยาทย่ี ังไมท่ ราบคา่ และไมท่ ราบทิศทาง จะกระทาไดถ้ ูกตอ้ ง

ก็ตอ่ เมือ่ เขียน FBD ได้อยา่ งถกู ตอ้ งเทา่ นนั้
4. การไม่กาหนดพกิ ัดฉาก x-y ถอื วา่ เปน็ FBD ทไี่ ม่สมบรู ณ์
5. การเขียน FBD ทไ่ี มถ่ ูกต้อง จะทาใหก้ ารคานวณผดิ ท้งั หมด

การเขยี นผังวตั ถุอสิ ระในระบบแรง 2 มิติ

จากขั้นตอนการเขยี นผังวัตถอุ ิสระ ให้มีความถกู ต้องตามลักษณะของแรงและวัตถุ หากสว่ นใดของ
วัตถุทมี่ ีความสมั พนั ธ์กบั วตั ถอุ ื่น หรอื เป็นจุดยึด ให้พิจารณาแรงที่จุดยดึ ตามตารางที่ 4.2

ตารางที่ 4.1 ลกั ษณะของแรงปฏกิ ริ ิยาที่เกิดขึน้ จากการเช่อื มตอ่ แบบตา่ งๆ ในระบบ 2 มติ ิ

ประเภทของการ แรงปฏิกิริยา แรงทีเ่ กดิ ข้นึ
เช่อื มต่อ

แรงที่กระทาบนสายเคเบิ้ลจะเปน็ แรงดงึ และมี

ทศิ ทางออกจากวัตถใุ นแนวเดยี วกนั กบั สาย

สายเคเบิ้ล เคเบิ้ล
แรงที่กระทาบนขอ้ ต่อน้าหนักเบาจะเป็นแรงดึง

หรอื แรงอดั และมีทศิ ทางออกจากวัตถหุ รอื เข้า

ข้อตอ่ น้าหนักเบา ในวัตถใุ นแนวเดยี วกนั กบั ข้อตอ่ นา้ หนกั เบา

แรงทก่ี ระทากับฐานรบั แบบลูกลอ้ เป็นแรงกด

ในแนวตง้ั ฉากกบั ผวิ

ลกู ลอ้

แรงท่กี ระทากบั ฐานรบั แบบลูกลอ้ เลื่อนเปน็ แรง
กดหรือแรงดงึ ในแนวต้ังฉากกบั ผวิ

ลกู ล้อเลือ่ น แรงที่กระทากบั คานโยกจะมีทิศตัง้ ฉากกบั ผวิ ท่ี
คานโยก จดุ หมนุ ของคาน
ผวิ สมั ผสั เรยี บ
แรงทส่ี ัมผัสเปน็ แรงกดและตงั้ ฉากกบั ผวิ สัมผัส
เรยี บ

ชน้ิ สว่ นยึดกับขอ้ ต่อ ชน้ิ ส่วนยึดกบั ขอ้ ตอ่ สามารถเล่ือนตัวไดอ้ ยา่ ง
หมุนหรอื บานพบั อิสระตามราง จะรับแรงตัง้ ฉากกบั ผวิ สัมผัส
ชน้ิ ส่วนยึดแนน่ กับขอ้ ต่อ เทา่ น้ัน
จดุ รองรับท่ียดึ แน่น
ข้อต่อทีห่ มุนไดอ้ ยา่ งอิสระจะรบั แรงใน
แนวตั้งฉากกบั หมุด

ชนิ้ ส่วนยึดแนน่ กบั ขอ้ ตอ่ ไมส่ ามารถเลือ่ นไปตาม
รางได้ จะรบั แรงในแนวตงั้ ฉากกับผวิ สมั ผัสและ
โมเมนต์

จดุ รองรับท่ยี ึดแน่นจะรบั แรงในแนวแกนและ
แนวตัง้ ฉากกับแนวแกนและโมเมนต์

ตวั อยา่ งที่ 4.1 จากรูปมแี รงจากเหลก็ โครงสรา้ งกระทาบนคาน AB จงเขียนผังวตั ถอุ ิสระเพื่อวเิ คราะห์
แรง

วธิ ีทา มีข้นั ตอนการวเิ คราะหด์ ังนี้

ขั้นตอนที่ 1 1. แยกสว่ นของวัตถหุ รือโครงสรา้ ง ทีต่ อ้ งการวเิ คราะห์
มาเขยี นเปน็ โครงต่างหาก โดยเขยี นเป็นลายเส้น
A
B

ขั้นตอนท่ี 2 2. ใส่แรงและโมเมนต์ทัง้ หมดท่ีกระทาตอ่ สว่ นทีแ่ ยก

F1 F2 F3 อสิ ระ ทั้งขนาดและทิศทางท่ีถกู ตอ้ งสาหรบั คา่ รู้ ส่วนค่า
A และทิศทางที่ไมร่ ู้ให้เขียนแทนด้วยตวั อกั ษรในทิศทางที่

RA B คาดวา่ จะถูกตอ้ ง การใส่แรงให้พจิ ารณาแรงทเ่ี กดิ จาก

RB การเชื่อมต่อแบบตา่ งๆ ดงั ตารางที่ 4.1 หลงั จากนั้น
กาหนดระยะทางของแรงดงั รูปในขัน้ ตอนที่ 3

ข้นั ตอนท่ี 3 3. สว่ นใดของวัตถุที่แยกออกจากจุดยดึ (Support)

จะต้องมแี รงกริ ยิ าในทศิ ทางต่างๆ ตามลกั ษณะของจดุ ยดึ

y

F1 F2 F3 นน้ั

A 3.1 พจิ ารณาสมการแรงกริ ยิ าเท่ากับแรงปฏิกิรยิ า จะ
a c d B ไดส้ มการ
b

RA RB RA+RB = F1+F2+F3 

3.2 พจิ ารณาโมเมนต์รอบจดุ A โมเมนตต์ ามเขม็

นาฬิกาเท่ากบั โมเมนตท์ วนเข็มนาฬิกา จะได้สมการ

aF1+(a+b)F2+(a+b+c)F3 = (a+b+c+d)RB



ตารางท่ี 4.3 ลกั ษณะของแรงปฏิกริ ยิ าท่ีเกดิ ขนึ้ จากการเช่ือมตอ่ แบบต่างๆ ในระบบ 3 มิติ

ประเภทของการ แรงปฏิกิริยา แรงท่ีเกิดขน้ึ
เชอื่ มต่อ

แรงที่กระทาบนสายเคเบ้ิลจะเป็นแรงดงึ และมที ิศ

ทางออกจากวตั ถุในแนวเดียวกันกับเคเบิล

แรงทกี่ ระทาบนผิวเรียบจะกระทาตงั้ ฉากกับ
ผวิ สัมผัสเสมอ

แรงทก่ี ระทาบนลูกลอ้ จะกระทาต้งั ฉากกับผวิ สมั ผัส
เสมอ

แรงทกี่ ระทากับจุดรองรับแบบ Ball และ Socket
จะรับแรงตามแนวแกนทั้งสาม

เพลากลมสวมตลบั ลกู ปืน สามารถรบั แรงและ
โมเมนต์ ตามแนวแกนที่กระทาต้ังฉากกนั แนว
แกนเพลา
เพลาสีเ่ หลยี่ มสวมตลับลกู ปนื สามารถรบั แรงและ
โมเมนต์ ตามแนวแกนทกี่ ระทาต้งั ฉากกับแนว
แกนเพลาและรบั แรงตามแนวแกนเพลาได้

เพลากลมมีบ่าสวมตลับลกู ปืน สามารถรบั แรงและ
โมเมนต์ ตามแนวแกนท่ีกระทาตง้ั ฉากกบั แนว
แกนเพลาและรบั แรงตามแนวแกนเพลาได้

ข้อตอ่ แบบหมุดหรอื สลักสามารถรบั แรงได้ทั้งสาม
แนวแกน

บานพับจะสามารถรับแรงไดท้ ้งั สามแนวแกน และ
รับโมเมนตไ์ ด้ 2 โมเมนต์ตามทิศทางท่ีต้งั ฉากกบั
หมุด

ขอ้ ตอ่ แบบยึดแนน่ จะรับแรงและโมเมนต์ทง้ั สาม
แนวแกน

แบบฝึกหัด
จงเขียน Free Body diagram จากรปู ทีก่ าหนดให้
1. จงวเิ คราะหแ์ รงและเขียน Free Body diagram ในระบบ 2 มติ จิ ากรปู ทกี่ าหนดให้
1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8
1.9 1.10

2. จงวิเคราะห์แรงและเขยี น Free Body diagram ในระบบ 3 มติ ิจากรูปท่ีกาหนดให้
2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8
2.9 2.10
2.11 2.12

ช่ือเร่อื ง แผนการเรยี นร้หู น่วยที่ 5 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนครงั้ ที่ 13
ชอ่ื วิชา กลศาสตร์เครื่องมอื กล (20102-2006)
ชอื่ หน่วย จดุ ศนู ย์ถ่วง จานวน 2 ช.ม.
จุดศูนย์ถว่ ง

หวั ขอ้ เร่อื ง

1. คาจากดั ความของจุดศูนยถ์ ่วง
2. จุดศูนย์ถว่ งของพน้ื ทีม่ าตรฐาน
3. จุดศูนย์ถ่วงของพื้นทร่ี ปู ทรงผสม

สมรรถณะย่อย

แสดงความร้เู ก่ยี วกับการคานวนหาจุดศนู ยถ์ ่วง

วัตถุประสงค์เชงิ พฤติกรรม

เมือ่ ผเู้ รยี นได้ศึกษาเนื้อหาในบทน้แี ล้ว ผเู้ รยี นสามารถ
1. อธิบายความหมายของจุดศูนยถ์ ว่ งได้
2. คานวณหาจดุ ศนู ย์ถว่ งของพน้ื ทรี่ ูปทรงมาตรฐานได้
2. คานวณหาจดุ ศนู ยถ์ ว่ งของพ้ืนท่รี ูปทรงผสมได้

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สอนครง้ั ท่ี 13)

1. ครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรยี นประจาสัปดาห์
2. ครนู าเขา้ สู่บทเรียน
3. ครูสอนเน้ือหาสาระ
4. ครสู รปุ เนอ้ื หาสาระประจาสัปดาห์
5. นกั เรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี นบทท่ี 5
6. ครูมอบหมายให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรยี น บทท่ี 5 ขอ้ ที่ 5.1-5.5 นอกเหนือเวลาเรียน

ส่อื การเรยี นรู้

1. หนังสือเรยี น วิชากลศาสตร์เคร่อื งมอื กล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 5

งานทีม่ อบหมาย/กจิ กรรม

ใหน้ กั ศกึ ษาทาแบบฝึกหัดบทท่ี 5 นอกเหนอื เวลาเรียนให้เรยี บร้อย ถูกต้อง สมบรู ณ์ ในวนั ทกี่ าหนด

การประเมนิ ผลการเรียนรู้ เกณฑผ์ ่าน 60%
เกณฑผ์ ่าน 60%
1. แบบฝกึ บทท่ี 5 เกณฑผ์ ่าน 60%
2. แบบทดสอบหลังเรยี น
3. แบบประเมนิ คุณธรรมจรยิ ธรรม ตามสภาพจริง

ชอ่ื เรื่อง แผนการเรยี นรู้หนว่ ยที่ 5 เวลาเรียน 36 ช.ม.
รวม ช.ม.
ชอื่ วชิ า กลศาสตรเ์ คร่อื งมอื กล (2102-2006)
สอนคร้ังท่ี 13
ชื่อหนว่ ย จุดศนู ยถ์ ว่ ง จานวน 2
จดุ ศนู ยถ์ ่วง

ผลการใช้แผนการจัดการเรียนรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรยี นรู้ของนักศึกษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผูอ้ านวยการฝา่ ยวิชาการ
หัวหน้าสาขาวชิ า

บทที่ 5
จุดศูนยถ์ ว่ ง

5.1 จดุ ศนู ยถ์ ว่ ง (Central of Gravity)
จดุ ศนู ย์ถ่วง คือ จุดทีม่ วลทัง้ หมดของวัตถุรปู ทรงใดๆ ถกู ดึงดดู ดว้ ยแรงโน้มถว่ งของโลกเสมอื นวา่

มวลทั้งหมดของวัตถุรวมอยู่ ณ จดุ เดยี ว ไม่ว่าวัตถนุ นั้ จะวางอยูใ่ นลักษณะใด ซง่ึ เรยี กชื่อยอ่ ๆ ว่าจุด C.G.
ในการคานวณหาจุดศูนยถ์ ว่ ง สามารถหาไดจ้ ากสมการ คอื

X = (W  x) ,Y = (W  y ) , Z = (W  z) 
W W W

เมอื่ X , Y , Z คอื ตาแหนง่ จดุ ศนู ย์ถว่ งของพ้นื ท่ี W
x,y,z คือ ระยะหา่ งจากแนวแกน x,y และ z ถงึ จุดศนู ยถ์ ว่ งของพื้นท่ี
W คอื น้าหนกั ของวตั ถุ (W = mg)

จากสมการท่ี 1 อาจกลา่ วได้ว่า จดุ ศนู ย์ถว่ งของวตั ถุ คือ จุดท่ีเปน็ เสมอื นว่านา้ หนกั รวมท้ังหมดของ
วัตถุท้งั ก้อนผา่ นไมว่ ่าวตั ถุนน้ั จะมีรปู ทรงใดก็ตาม ถงึ แม้ในความเปน็ จริงน้าหนกั ของวัตถุย่อมกระจายอยทู่ ั่ว
พ้ืนทีข่ องวัตถุนนั้ แต่ในการคานวณระบบของแรงท่กี ระทากบั วัตถุ สามารถใชจ้ ุดศนู ยถ์ ่วงแทนตาแหน่งที่
นา้ หนกั วตั ถทุ ้งั กอ้ นผ่านได้

5.2 จดุ ศนู ยก์ ลางมวล (Center of Mass)
จุดศูนย์กลางมวล คอื จุดท่เี ปน็ เสมอื นว่ามวลทั้งหมดของวตั ถรุ วมอยจู่ ดุ เดียวกนั เม่อื วัตถุน้นั

ปราศจากแรงดงึ ดูดของโลก
ในการคานวณจดุ ศูนย์กลางมวล ถ้าวตั ถุน้ันอยู่ภายใต้แรงดงึ ดูดของโลกจดุ ศูนย์กลางของมวลจะเป็น

จดุ เดียวกันกับจดุ ศูนยถ์ ่วง ดงั นน้ั วธิ ีการหาจุดศนู ยก์ ลางของมวลทป่ี ราศจากแรงดงึ ดดู ของโลกจึงคล้ายกบั การ
หาจุดศูนยถ์ ว่ งของวตั ถุซ่ึงหาได้จากสมการ

X = (W  x) ,Y = (W  y ) , Z = (W  z) 
W W W

เม่อื X , Y , Z คือ ตาแหน่งของจดุ ศนู ย์กลางมวล m
x,y,z คือ ระยะห่างจากแนวแกน x,y และ z ถงึ จดุ ศูนย์กลางมวล
m คือ มวลของวตั ถุ (m = v)

5.3 จุดเซนทรอยด์ (Centroid)

จากสมการของจุดศนู ยก์ ลางมวล ถ้าวตั ถมุ ีความหนาแนน่ () คงท่ี ตาแหนง่ ของจุดศูนยก์ ลางมวล
จะข้นึ อย่กู ับรปู ร่างของวตั ถนุ ั้น ซงึ่ จดุ ศูนย์กลางมวลทข่ี น้ึ อยู่กับรปู ร่างของวัตถนุ ้ี เราเรยี กว่าจุด เซนทรอยด์
หรอื จุดศูนยก์ ลางของวตั ถุ

จุดเซนทรอยด์ คือ จุดศูนยก์ ลางของรปู ทรงเลขาคณติ สามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ลกั ษณะ ได้แก่
จดุ เซนทรอยดข์ องเสน้ จดุ เซนทรอยดข์ องพืน้ ทีแ่ ละจดุ เซนทรอยดข์ องปริมาตร

ในกรณที ี่วัตถมุ ีความหนาแน่นของวัสดสุ ม่าเสมอ จดุ เซนทรอยดน์ จ้ี ะเป็นจดุ เดียวกันกับจดุ ศนู ยก์ ลาง
มวลและจุดศูนย์ถว่ ง

รปู ที่ 5.1 จุดศนู ย์กลางของรูปทรงเลขาคณิต

5.3.1 จดุ เซนทรอดข์ องเสน้ (Centriod)
ในกรณเี ส้นลวดยาว L และมีพ้ืนท่ีหน้าตัด A ดังรปู ที่ 7.2

รปู ท่ี 5.2 แสดงจดุ เซนทรอยดข์ องเสน้

จากรปู ที่ 5.2 พิจารณาความยาวเล็ก (dL) ของลวด m = AL ถ้า  และ A เปน็ คา่ คงท่ีตลอดความ
ยาว สมการสาหรบั การหาจุดเซนทรอยด์เส้นจะได้

X = (L  x) , Y = (L  y) , Z = (L  z) 
L L L

เมอื่ X , Y , Z คือ ตาแหนง่ จุดเซนทรอยดข์ องเสน้ ความยาว L
x,y,z คือ ระยะหา่ งจากแนวแกน x , y และ z ถงึ จุดเซนทรอยดข์ องเสน้ ความยาว
m คือ ความยาวเส้นของวัตถุ

5.3.2 จุดเซนทรอยดข์ องพ้ืนที่ (Centroid of areas)
ในกรณีท่ีพ้นื ผิว A ดงั รูปท่ี 7.3 มีความหนาแนน่ สม่าเสมอ () และมคี วามหนา t เพียง

เลก็ นอ้ ย และคงท่ีตลอดพน้ื ท่ี

รูปท่ี 5.3 แสดงจดุ เซนทรยอดข์ องพนื้ ท่ี

จากรูปที่ 5.3 พิจารณาพน้ื ทเ่ี ล็ก (dA) จะได้ V = At ถา้  และ t เปน็ คา่ คงท่ีตลอดพนื้ ทแ่ี ละมีความ
หนา t เพียงเลก็ นอ้ ยทว่ั พ้ืนท่ี สมการสาหรบั การหาจดุ เซนทรอยด์ของพื้นที่จะได้

X = (A  x) ,Y = (A  y) , Z = (A  z) 
A A A

เมอื่ X , Y , Z คอื ตาแหน่งจดุ เซนทรอยด์ของพน้ื ที่ A
x,y,z คือ ระยะหา่ งจากแนวแกน x , y และ z ถึงจดุ เซนทรอยด์ของพ้ืนท่ี
A คือ พ้ืนท่ีของวัตถุ

5.3.3 จดุ เซนทรอยดข์ องปรมิ าตร (Centroid of Volumes)
จดุ เซนทรอยด์ของปรมิ าตร ถ้าวัตถมุ คี วามหนาแน่นสม่าเสมอกนั ตาแน่งของจดุ เซนทรอยด์

ของวัตถตุ ามแนวนอน x , y และ z หาไดจ้ ากสมการ

X = (V  x) ,Y = (V  y) , Z = (V  z) 
V V V

เมื่อ X , Y , Z คือ ตาแหน่งจุดเซนทรอยด์ของปรมิ าตรของวัตถุ
x,y,z คอื ระยะห่างจากแนวแกน x , y และ z ถงึ จดุ เซนทรอยดข์ องปรมิ าตรของวัตถุ
V คือ ปรมิ าตรของวัตถุ

5.4 ความสัมพันธร์ ะหว่างจดุ ศูนยถ์ ว่ ง จุดศูนย์กลางมวล และจุดเซนทรยด์ของเส้น พืน้ ท่ี และ
ปรมิ าตร

เพอ่ื ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจท่ีตรงกันเก่ยี วกบั ความแตกตา่ งระหว่างจุดศนู ย์ถว่ ง จุดศูนย์กลางมวล และจุด
เซนทรอยด์ของพนื้ ทแ่ี ละของปรมิ าตร สามารถอธิบายไดด้ งั น้ี

1. ในกรณีพน้ื ทมี่ คี วามสม่าเสมอกนั จุดศนู ย์ถว่ ง จุดศูนย์กลางมวลและจดุ เซนทรอยด์ของพื้นทจี่ ะ
เป็นจุดเดยี วกันและสามารถหาตาแหนง่ ของจดุ ดงั กลา่ วได้จากสมการเดยี วกนั คอื สมการที่ 

2. ในกรณปี ริมาตรมีความหนาแนน่ สมา่ เสมอกัน จุดศนู ย์ถว่ ง จดุ ศนู ย์กลางมวลและจดุ เซนทรอยด์
ของปรมิ าตรจะเป็นจดุ เดยี วกนั และสามารถหาตาแหน่งของจดุ ดังกล่าวได้จากสมการเดียวกัน คือสมการที่
 และสมการที่ 

3. ในกรณีปรมิ าตรมคี วามหนาแนน่ ไมส่ มา่ เสมอกัน จดุ ศนู ย์ถ่วง จุดศนู ยก์ ลางมวลและจุดเซน
ทรอยดข์ องปริมาตร จะไมเ่ ป็นจดุ เดียวกนั กับวตั ถรุ ปู ทรงปริมาตรท่ีมคี วามหนาแนน่ สมา่ เสมอกัน ส่วนการหา
ตาแหน่งของจุดดงั กลา่ วของปริมาตรของวัตถทุ ม่ี ีความหนาแนน่ ไมส่ มา่ เสมอกนั สามารถหาได้จากสมการที่
 และ สมการท่ี 

5.5 จดุ ศูนย์กลางมวลและจดุ เซนทรอยด์ของวัตถผุ สมและรูปผสม

วตั ถแุ ละรูปผสมจะประกอบด้วยส่วนย่อยหลายๆ ส่วนรวมกนั เป็นวตั ถเุ ดยี วกนั หรอื เป็นรปู เดยี วกัน

โดยวัตถุหรือรูปท่มี ารวมกันจะมรี ูปรา่ งอยา่ งงา่ ย การคานวณหาจุดศูนย์กลางมวลและจุดเซนทรอยดข์ องวัตถุ

ผสมและรปู ผสมมีขน้ั ตอนในการหาทพ่ี อสรุปไดเ้ ป็นข้อๆ ดังนี้

1. แบ่งวตั ถุออกเปน็ สว่ นๆ ให้เป็นรปู ทรงมาตรฐาน

2. หาขนาดพืน้ ท่ี ปรมิ าตร หรอื มวลของแตล่ ะชนิ้ ส่วน

3. หาระยะหา่ งจากจุดศูนย์กลางมวลและจดุ เซนทรอยด์ของแต่ละชน้ิ ส่วนจนถึงแนวแกน X , Y และ

ถา้ เปน็ ระบบสามมติ ิกม็ ีแกน Z ดว้ ย

4. หาจุดศนู ย์กลางมวลและจุดเซนทรอยดร์ วมของวตั ถุ ที่อยหู่ ่างจากแนวแกน X , Y และ Z ตาม

สมการดงั น้ี

จดุ ศูนยถ์ ว่ งของน้าหนกั X = (Wi  xi) , Y = (Wi  yi) , Z= (Wi  zi)
 Wi  Wi  Wi

จุดศนู ย์กลางมวล X = (mi  xi) , Y = (mi  yi) , Z = (mi  zi)
 mi  mi  mi

จดุ เซนทรอยด์ของเสน้ X = (Li  xi) ,Y = (Li  yi) , Z= (Li  zi)
 Li  Li  Li

จุดเซนทรอยดข์ องพนื้ ท่ี X = (Ai xi) ,Y = (Ai yi) , Z= (Ai zi)
 Ai  Ai  Ai

ตารางท่ี 5.1 คณุ สมบัตขิ องรปู ทรงเรขาคณติ ในระนาบ

ตารางท่ี 5.2 คณุ สมบตั ิของวตั ถเุ น้อื เดยี ว







แบบฝึกหดั



ชอ่ื เร่อื ง แผนการเรียนรู้หนว่ ยที่ 6 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนคร้ังที่ 14
ช่อื วิชา กลศาสตรเ์ ครอ่ื งมือกล (20102-2006)
ช่อื หนว่ ย แรงเสียดทาน จานวน 2 ช.ม.
แรงเสยี ดทาน

หัวข้อเรอื่ ง

1. นยิ ามของแรงเสยี ดทาน
2. ประเภทของแรงเสียดทาน
3. คณุ สมบตั ิของแรงเสียดทาน
4. สมั ประสทิ ธแ์ิ รงเสยี ดทาน
5. สมั ประสิทธแ์ิ รงเสียดทานในแนวระดับ
6. สัมประสิทธิ์แรงเสยี ดทานในแนวระนาบเอียง

สมรรถณะย่อย

แสดงความรู้เก่ยี วกบั การคานวณหาสมั ประสิทธิ์ของแรงเสยี ดทาน

วัตถุประสงค์เชงิ พฤติกรรม

เมือ่ ผู้เรยี นได้ศกึ ษาเนื้อหาในบทนี้แล้ว ผู้เรยี นสามารถ
1. อธบิ ายความหมายของแรงเสียดทานได้
2. จาแนกประเภทของแรงเสียดทานได้
3. บอกคณุ สมบตั ิของแรงเสยี ดทานได้
4. คานวณหาสัมประสทิ ธิ์ของแรงเสยี ดทานได้
5. คานวณหาสัมประสิทธข์ิ องแรงเสียดทานในแนวระดับได้
6. คานวณหาสมั ประสิทธข์ิ องแรงเสยี ดทานในแนวระนาบเอียงได้

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนคร้ังที่ 14)

1. ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนประจาสัปดาห์
2. ครนู าเข้าสูบ่ ทเรียน
3. ครูสอนเน้อื หาสาระ
4. ครสู รุปเน้ือหาสาระประจาสปั ดาห์
5. นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี นบทที่ 6
6. ครมู อบหมายใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรยี น บทที่ 6 ขอ้ ที่ 6.1-6.5 นอกเหนือเวลาเรยี น

สื่อการเรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี น วิชากลศาสตร์เคร่อื งมอื กล (2102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 6

งานที่มอบหมาย/กจิ กรรม

ใหน้ ักศึกษาทาแบบฝึกหัดบทท่ี 6 นอกเหนอื เวลาเรยี นใหเ้ รยี บร้อย ถูกต้อง สมบรู ณ์ ในวันท่กี าหนด

การประเมินผลการเรยี นรู้ เกณฑ์ผา่ น 60%
เกณฑ์ผ่าน 60%
1. แบบฝึกบทที่ 6 เกณฑ์ผ่าน 60%
2. แบบทดสอบหลังเรยี น
3. แบบประเมินคณุ ธรรมจรยิ ธรรม ตามสภาพจรงิ

ชือ่ เรอื่ ง แผนการเรยี นรู้หน่วยท่ี 6 เวลาเรียน 36 ช.ม.
สอนคร้ังที่ 14
ชอื่ วิชา กลศาสตรเ์ คร่อื งมือกล (20102-2006)
ช่อื หน่วย แรงเสยี ดทาน จานวน 2 ช.ม.
แรงเสยี ดทาน

ผลการใชแ้ ผนการจัดการเรยี นรู้
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการเรยี นรูข้ องนกั ศกึ ษา
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................

................................................. .................................................
(...............................................) (...............................................)
รองผอู้ านวยการฝ่ายวิชาการ
หัวหน้าสาขาวิชา

บทที่ 6
แรงเสียดทาน

6.1 แรงเสยี ดทาน
แรงเสียดทาน คอื ความต้านทานที่เกิดขนึ้ จากการเสียดสีเมือ่ สสารกาลังจะเคล่อื นที่หรือกาลงั

เคล่ือนที่ ซ่ึงอาจจะเกิดจากผิงของแขง็ เสียดสกี ับผิวของแข็งสมั ผัสกบั ของเหลว แตส่ าหรับในที่นี้จะกล่าวถึง
เฉพาะแรงเสยี ดทานท่เี กิดจากผิวของแข็งเสียดสกี ับผวิ ของแขง็

6.1.1 แรงเสียดทานสถติ ย์ (Static Friction) หมายถงึ แรงเสียดทานท่ีเกดิ ข้นึ ในขณะทว่ี ัตถุ
พยายามจะเคลอ่ื นที่ แตย่ ังไมไ่ ดเ้ รม่ิ เคลอื่ นที่ แรงเสียดทานสถิตย์ จะมคี ่าสงู สุดเมื่อวัตถุกาลงั จะเร่มิ เคลอ่ื นที่

6.1.2 แรงเสียดทานจลน์ (Kinetic Friction) หมายถงึ แรงเสยี ดทานที่เกิดขึ้นขณะทว่ี ตั ถุเคลื่อนท่ี
และแรงเสียดทานจลนข์ องผิววัตถคุ ู่ใดจะมีคา่ นอ้ ยกว่า แรงเสยี ดทานสถติ ย์ของผวิ วัตถคุ เู่ ดยี วกนั นั้นประมาณ
20 ถงึ 40 %

6.2 คณุ สมบตั ิของแรงเสยี ดทาน
1. แรงเสยี ดทานแปรผนั ตรงกบั ความดันที่ตง้ั ฉากกบั พน้ื ทนี่ ัน้ แต่จะเปน็ อิสระตอ่ พ้ืนที่ผวิ สัมผสั
2. อุณหภมู ิทีเ่ ปลี่ยนแปลงมผี ลต่อคุณสมบัตขิ องการเสยี ดทานไม่มากนัก
3. สาหรับการเคล่อื นทคี่ วามเร็วต่า แรงเสียดทานจะเปน็ อสิ ระตอ่ ความเรว็
4. สาหรบั การเคลื่อนท่คี วามเร็วสูง แรงเสียดทานจะมีคา่ นอ้ ยลงเมอ่ื ความเร็วเพมิ่ ขึ้น
5. แรงเสียดทานมที ิศทางตรงกันข้ามกับทศิ ทางการเคลือ่ นที่

6.3 สมั ประสิทธ์ิความเสยี ดทานและมุมของแรงเสียดทาน W

W

P  FR  N
N  FR

รปู ที่ 6.1 การหาสมั ประสทิ ธิความเสียดทานระหว่างผิวของแขง็

พิจารณารปู ที่ 6.1 ซา้ ย วตั ถหุ นัก W ถูกดึงดว้ ยแรง P จนกระทั่งวัตถเุ กอื บจะเคลอ่ื นที่ ซ่งึ

หมายถึงว่าขณะนั้นแรงเสียดทานที่ พยายามตา้ นไมใ่ หว้ ัตถุเคลอ่ื นทีม่ ีคา่ สงู สดุ ซึ่งมีคา่ เทา่ กบั F

สัมประสทิ ธค์ิ วามเสียดทาน µ = F …………….. (6.1)
N

เม่ือ µ = สัมประสิทธคิ์ วามเสียดทาน

F = แรงเสียดทาน

N = แรงปฏกิ ิริยาทีพ่ ้ืนทก่ี ระทาตอ่ วัตถุ ในทิศทางตั้งฉากกับผิวสมั ผัส

มุมของแรงเสียดทาน  = tan-1 F …………….. (6.2)
N

พจิ ารณารูปที่ 6.1 ขวา คือ พนื้ และวตั ถุชุดเดยี วกันกับชุดแรก แต่ขณะนี้พื้นถูกยกข้ึนจนทามมุ กบั

แนวราบ  และไม่มีแรง P ทพี่ ยายามจะดึงวัตถุใหเ้ คลอ่ื นท่ี แต่วัตถุจะเคลือ่ นท่ีดว้ ยน้าหนังของตวั เอง

แรงท่ีจะทาใหเ้ กดิ วัตถุเคลือ่ นที่ลงจากพ้ืนเอยี ง = W sin 

แตว่ ตั ถุกาลังจะเคล่ือนที่ ดังนั้นแรงเสยี ดทาน F = แรงทที่ าใหว้ ัตถุเคล่ือนที่

F = sin 

แตแ่ รงปฏิกิริยาทพ่ี ้นื กระทาตอ่ วัตถใุ นทิศทางตั้งฉากกบั ผิวสัมผัส (N)

N = W sin  = W cos 

µ=F = W sin θ = tan 
N W cos θ

สรปุ µ = tan  ………………. (6.3)

สาหรับสัมประสทิ ธิ์ความเสียดทานและมมุ ของแรงเสยี ดทานของแรงเสียดทานจลน์มวี ิธกี ารหา

เช่นเดียวกนั กับแรงเสียดทานสถิตย์ ท่ไี ดก้ ลา่ วมาน้ี แต่แรงเสยี ดทานจลนจ์ ะพิจารณาเมอ่ื วัตถุมีการเคลือ่ นที่

ดว้ ยความเรว็ สมา่ เสมอ

คา่ สัมประสิทธคิ์ วามเสยี ดทานสถิตของวตั ถุต่างๆ ดังนี้

ไม้ สัมผัสกับ ไม้ = 0.30 - 0.70

โลหะ สัมผัสกับ โลหะ = 0.15 - 0.30

ไม้ สัมผัสกับ โลหะ = 0.20 - 0.50

หนงั สมั ผัสกับ ไม้ = 0.25 - 0.50

หนงั สัมผัสกับ โลหะ = 0.30 - 0.60

หนิ สัมผัสกับ หิน = 0.40 - 0.65

แบบฝกึ หดั
6.1 วตั ถมุ วล 100 กิโลกรัม วางอย่บู นพน้ื ราบ ถ้าแรง 500 นวิ ตนั ดึงวตั ถโุ ดยทามุมกับแนวดง่ิ 60 องศา
ปรากฏวา่ วตั ถกุ าลงั จะเริ่มเคล่ือนท่ี จงคานวณคา่ สมั ประสิทธค์ิ วามเสียดทานสถิต (ตอบ µ = 0.592)

6.2 แรงดึงในแนวราบ P มคี ่า 200 นิวตนั ใช้ดึงลังมวล 100 กโิ ลกรมั ทว่ี างอยู่บนพื้นเอียงทามุมกับ
แนวราบ 20 องศา ถา้ สัมประสทิ ธค์ิ วามเสียดทานระหว่างพนื้ และลังมคี ่า 0.70 จงหาแรงต้านทานการ
เคล่ือนทข่ี องลงั (ตอบ แรงตา้ นทาน = 73.8 นวิ ตัน)

6.3 คมี ใชค้ บี ทอ่ เหล็กกลมอันหน่ึง ปรากฏว่าปากคมี กางเป็นมมุ 20 องศา จงหาค่าสัมประสทิ ธิ์ความเสยี ด
ทานต่าสุดระหวา่ งคมี และท่อที่ทาให้คีมไมเ่ ล่อื นไถล(ตอบ µ = 0.176)

6.4 ลงั มวล 200 กโิ ลกรัม มีจดุ ศนู ย์กลางท่จี ดุ G จดุ รองรับนา้ หนกั ทีจ่ ดุ A เป็นขาสามเหล่ยี ม จดุ
รองรับน้าหนกั ทจ่ี ดุ B เป็นกระบอกกลมทก่ี ลิง้ ได้คล่อง ถ้าออกแรง 400 นวิ ตนั ผลักลงั ดังกลา่ วในตาแหน่ง
ดงั รปู ปรากฏวา่ ลงั จะเร่ิมเคลอ่ื นทพ่ี อดี จงหาสัมประสิทธ์คิ วามเสยี ดทานทจ่ี ุด A (ตอบ µ = 0.338)

6.5 จงหาขนาดและทิศทางของแรงเสยี ดทาน ท่ีกระทาต่อมวล 100 กโิ ลกรัม โดยสมั ประสทิ ธค์ิ วามเสียด
ทานสถิตเท่ากบั 0.20 และสมั ประสทิ ธิ์ความเสียดทานจลนเ์ ท่ากับ 0.17 ถา้ แรงในแนวราบที่ใชด้ ันวัตถุมคี ่า
100 นวิ ตัน (ตอบ F = 163 N)

6.6 จงหาแรงในแนวราบทใี่ ชด้ ึงล่มิ ท่ีวางหนนุ วตั ถุ ดังแสดงในรูปออกถา้ สัมประสทิ ธคิ์ วามเสยี ดทาน
มคี ่า 0.36 (ตอบ P = 133 N)

6.7 จงหาแรงในแนวราบท่ใี ช้ดันลม่ิ เข้าใตว้ ัตถหุ นัก 1000 นวิ ตัน ซง่ึ ลักษณะดงั รปู กาหนดให้มมุ ของความ
เสยี ดทานเท่ากบั 12 องศา (ตอบ P = 965.8 N)

6.8 จงหาแรงที่ชายสองคนใช้ดงึ เสายาว 6 เมตร มวล 100 กโิ ลกรัมเคลื่อนท่ี ถ้าสมั ประสิทธ์คิ วามเสียด
ทานระหว่างกระดานและทรี่ องรับเท่ากับ 0.5 (ตอบ P = 796 N)

6.9 จงคานวณแรงบดิ M ที่ใชห้ มนุ ลอ้ เส้นผา่ ศนู ย์กลาง 1 เมตร มวล 80 กโิ ลกรัม จากลักษณะดังรูป
กาหนดให้สัมประสิทธิค์ วามเสยี ดทานมีค่า 0.5 (ตอบ M = 235.44)













ชอื่ เรื่อง แผนการเรยี นร้หู น่วยที่ 7 เวลาเรยี น 36 ช.ม.
สอนครง้ั ท่ี 15
ชอ่ื วชิ า กลศาสตรเ์ คร่อื งมือกล (20102-2006)
ชือ่ หน่วย ความเร็วและความเร่ง จานวน 2 ช.ม.
ความเร็วและความเร่ง

หวั ข้อเร่อื ง

1. ความเรว็
2. ความเรง่

สมรรถณะย่อย

แสดงความรู้เกย่ี วกับความเร็วและความเร่ง

วัตถปุ ระสงค์เชิงพฤติกรรม

เม่อื ผู้เรียนไดศ้ กึ ษาเนอ้ื หาในบทน้แี ลว้ ผูเ้ รยี นสามารถ
1. อธบิ ายความหมายของความเร็วได้
2. คานวณหาความเรว็ เชงิ เส้นได้
3. คานวณหาความเร็วเชิงมุมได้
4. อธบิ ายความหมายของความเร่งได้
5. คานวณหาความเร่งเชิงเส้นได้
6. คานวณหาความเร่งเชงิ มุมได้

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สอนครงั้ ท่ี 17)

1. ครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียนประจาสัปดาห์
2. ครูนาเข้าสบู่ ทเรียน
3. ครสู อนเน้อื หาสาระ
4. ครสู รปุ เน้ือหาสาระประจาสปั ดาห์
5. นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรียนบทท่ี 7
6. ครมู อบหมายให้นักเรียนทาแบบฝกึ หัดทา้ ยบทเรยี น บทที่ 7 ขอ้ ท่ี 7.1-7.10 นอกเหนือเวลาเรยี น

สอื่ การเรียนรู้

1. หนงั สอื เรียน วิชากลศาสตร์เครอ่ื งมอื กล (20102-2006)
2. PowerPoint ประกอบการสอนบทท่ี 7