เอกสารประกอบการเตรียมสอบONETคณิตศาสตร์ม.6

78. ถ้า ≤ 5 แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูก (ONET’50; 4)

1. 2 ≤ 25 2. | | ≤ 5 3. | | ≤ 25 4. ( − | |)2 ≤ 25

79. ถา้ − 1 เปน็ ผลเฉลยหนึง่ ของสมการ ax2 + 3x – 1 = 0 เมอื่ b เป็นจานวนจรงิ แล้วอีกผลเฉลยหน่งึ ของสมการนม้ี ีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
2

(ONET’50; 6)

1. – 5 2. − 1 3. 1 4. 5
5 5

80. เซตของจานวนจริง m ซ่งึ ทาใหส้ มการ x2 –mx + 4 = 0 มรี ากจานวนจรงิ เปน็ สับเซตของเซตใดต่อไปนี้ (ONET’50;26)

1. ( - 5, 5) 2. (-∞, - 4)∪[3,∞)

3. (-∞, - 0)∪[5,∞) 4. (-∞, - 3)∪[4,∞)

81. กาหนดให้ a, b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูก (ONET’49; 17)
1. ถ้า a < b แลว้ จะได้ a2 < b2
2. ถ้า a < b < 0 แล้วจะได้ ab < a2
3. ถา้ | | < | | แลว้ จะได้ a < b
4. ถา้ a2 < b2 แล้วจะได้ a < b

82. = { ∈ | | −1|−1 ≤ 2} จานวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (ONET’49; 20)
| −1|
3

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

48

เลขยกกำลงั

(Exponent)

บทนยิ าม ให้ a เปน็ จานวนจริงทไ่ี มเ่ ทา่ กบั 0 และ m, n เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

an = a ×a ×a × …×a

สมบตั ขิ องเลขยกกาลงั

ถ้า a เป็นจานวนจรงิ ใดๆทีไ่ ม่เป็นศูนย์ n เป็นจานวนเต็มบวกแลว้

1. a0  1

2. และan1 1  an
an an
ถา้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ m และ n เปน็ จานวนตรรกยะ

1. am  an  amn 5.  a n  an ,b  0
 b  bn ,a  0

2. am  amn ,a  0 6. a0 1 ,a  0
an 7.
8.
 3. am n  amn an  1
an

4. abn  an bn 1  an
an

ทบทวนอกี ครงั้

1. × = ___________________ 6. a0 = ___________________
7. a-1 = ___________________
2. ÷ = ___________________ 8. a-n = ___________________

3. ( ) = ___________________ 2. ((63aa−42bb−22)2)−1 ÷ (2aa−24bb−22)2

4. ( ) = ___________________

5. ( ) = ___________________

ตวั อย่าง 1 จงทาใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่าย

1. (ab3)2
a4b

49

3. 2n+2−2∙2n 4. 92∙272−n
2(2n+3) 81−n∙273(3n−1)

5. 15×3n − 9∙3n+1 6. ( x −2y4y−21)−2 (x − −52yy−23)2
9×3n + 3n+1

รากที่ n

รากท่ีสอง ของ a คือ จานวนทย่ี กกาลงั สองแล้วได้เท่ากับ a รากที่สองของ a เท่ากบั และ −

รากทีส่ องของ 16 เท่ากบั _______________ 1. ≥ 0
รากท่สี องของ 100 เทา่ กบั ______________
รากท่ีสองของ 20 เท่ากบั _______________ 2. 2 = | |
รากที่ n ของ a คอื จานวนจรงิ ใด ๆ ทย่ี กกาลงั n แลว้ ได้ a 3. ( )2 =

ค่าหลักรากท่ี n แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ กรณฑ์ท่ี n

NOTE : รากค่ขู องจานวนบวก มสี องจานวน เชน่ ...............................................................................
รากคขู่ องจานวนลบ หาค่าไมไ่ ด้ เชน่ ...............................................................................
รากคี่ของจานวนบวก มีจานวนเดียว และเปน็ บวก เชน่ ...............................................................................
รากคี่ของจานวนลบ มีจานวนเดยี ว และเปน็ ลบ เช่น...............................................................................

50 สมบตั ริ ากท่ี n เม่ือ n เป็นจานวนเต็มบวกท่มี ากกว่า 1
1. ( ) =

2. = เม่ือ เปน็ จานวนค่ี

3. = | | เมื่อ เปน็ จานวนคู่

4. =

5. √ = เม่ือ b ≠0


เลขยกกาลงั ทมี่ เี ลขชีก้ าลงั เปน็ จานวนตรรกยะ

บทนยิ าม เมื่อ a เปน็ จานวนจริง n เปน็ จานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 1 และ a มรี ากท่ี n

1 =



บทนิยาม เมอ่ื a เป็นจานวนจริง m และ n เป็นจานวนเตม็ ทม่ี ากกว่า 1 และ เป็นเศษสว่ นอยา่ งตา่

1
= = ( 1 ;a>0
( )
)

1 1
= ( ) = ( ) ; a < 0 และ n เปน็ จานวนค่ี

แบบฝกึ หดั 2) 4 81 =___________
1. จงทาให้อยู่ในรปู อยา่ งง่าย

1) 81 =___________

3) 169 − 25 =___________ 4) 6 729 =___________

5) 32 =___________ 6) 3 −81 =___________
2 33

7) 5 2 × 65 × 910 × 47 =___________ 8) 2 a 2b =___________

2. จงหาคา่ ของเลขยกกาลังต่อไปนี้

1) 12 2) (1)31 (25)−21 3. (625)34
84 81
((125)3)

35 (− 243)−52
( 4 2)4
4) 11 5) 6) 32
25
5 (2 3 2)6

( 3 2)6

การหาผลบวกผลตา่ งของจานวนในรปู กรณฑ์

± = ( ± )

ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ตอ่ ไปน้ี

51 1) 3 3 + 27 + 4 3 2) 32 − 50 + 72

3) 3 3 + 243 − 2 27 4) 2 36 + 64

5) 3 16 − 3 −54 − 3 250 6) 2 18 + 200 − 24 64

การหาผลคณู ของจานวนในรปู กรณฑ์ √ = √

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ตอ่ ไปนี้ = √ เมื่อ √ ≠ 0
1) 3 7 ∙ 2 28

2) 3 2∙3 12
33

3) 3 108 4) 5 −25 ∙ 5 125

3

สงั ยคุ (Conjugate)
การคูณหรอื หารรากมักจะใช้ conjugate เพือ่ ทาให้รากหายไป

สงั ยคุ หรอื conjugate ของ 5 + 2 2 คือ 5 - 2 2
สังยุค หรอื conjugate ของ 3- 2 คือ 3+ 2

การทาสว่ นใหไ้ มต่ ดิ กรณฑ์

กรณที ่ี 1 ส่วนท่มี กี รณฑ์เพียงพจนเ์ ดยี ว เชน่ a คูณ b ท้งั เศษและสว่ น
b

ตัวอย่าง จงทาให้ส่วนไมต่ ดิ กรณฑ์ 9

3

52

กรณที ่ี 2 สว่ นมีกรณฑ์ 2 พจนบ์ วกกนั ใหค้ ูณด้วย conjugate จาทาใหเ้ ข้าสูตร (A – B)(A + B) = A2 – B2

ตัวอย่าง จงทาให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์

1) 1 2) 2
5− 3 6+2

1 ∙ 5+ 3 = 5+ 3
5−3
5− 3 5+ 3 5+ 3

= 2

จานวนทอี่ ยใู่ นรปู ( + ) ±
1. รากท่ีสองของ ( + ) ± 2 คอื ± ( ± )

2. √( + ) ± 2 = ± เม่ือ a > b

ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ √10 + 2 21 ตวั อย่าง 2 จงหารากท่ีสองของ 8+2 7

ตัวอยา่ ง 3 จงหาค่าของ √4 − 2 3 ตวั อยา่ ง 4 จงหาคา่ ของ √13 − 4 10
ตวั อย่าง 5 จงหาคา่ ของ √8 − 4 3 ตวั อยา่ ง 6 จงหาค่าของ √84 − 18 3

53

การแกส้ มการทอี่ ยใู่ นรปู เลขยกกาลงั
ถ้า ax = ay โดยที่ a > 0 และ a≠0 แล้ว x = y
ตอ้ งจักรูปสมการให้ “ฐานเทา่ กนั ” แล้ว “เลขชก้ี าลงั เทา่ กนั ”

ตัวอย่าง จงหาคา่ x ที่ทาให้สมการเป็นจริง 2) 2x = 1
1) 3x = 27
16

3) 81x = 729 4) 3x+1 = 9x-2

5) 5 +3 = 16 6) 4 =√ 2
2 +2 9
125 3

54

ขอ้ สอบ เรอื่ ง เลขยกกาลงั

1. จานวนในขอ้ ใดเทา่ กับ 4 (Onet’63; 1)

(−5)5

1. −5 54 2. −4 55 3. 4 55

4. (1)45 5. (1)−54
5 5

2. 3−1 − 3 เทา่ กับเท่าใด (Onet’63; 2)
3 − 3−1

1. −43 1. 4 3 2. 4 3 3.  3
3

4. 43 5. 4 3
3

 3. 6 2 3
 48 3   3 3 16  2 3 54 เท่ากบั เท่าใด (Onet’63; 33)

4. ถ้า 4a (1)2b 8 แล้ว a – b เท่ากบั เท่าใด (onet’62; 2)
2
3 3
1. 3 2. 2 3. 0 4.  2 5. – 3

55

5. จานวนในข้อใดเปน็ จานวนอตรรกยะ (onet’62; 3)

1. 3 0.001 2. 3 125 3. 121

4. 2 5. 27
83

6. ถา้ y เป็นจานวนจริงบวกแลว้ y  3 y2 เทา่ กบั เท่าใด (onet’62; 4)
y
1
7 3. y 3 4. y  2 5. y  1
1. y 6 3 3
2. y 6

7. 8  16  1 )  1 เทา่ กบั เทา่ ใด (onet’62; 33)
3
(23 42

11 3. 9 4. 9 3 5. 12

8. (276  94 )2 เท่ากบั เท่าใด (ONET’61; 2)
1. 6 2. 6 3

9. ถ้า x  11  3 64 แลว้ ค่าของ x อยู่ในชว่ งใด (ONET’61; 3)
8 20 125
3. [4, 121) 4. [121 , 7]
1. [0, 2) 2. [2, 4) 5. [7, 8)

56

10. กาหนดให้ a  612 , b  29  314 , c  215  310 ขอ้ ใดถูกตอ้ ง

1. a < b < c 2. a < c < b 3. b < c < a

4. c < a < b 5. c < b <a

11. จานวนจริงบวก a ท่ีทาให้ −1⁄2∙ 3⁄2+16−1⁄2⋅271⁄3 = 1
5(13)−3+2(21)0 2

1. 9 2. 81 3. 165
2 4 4

4. 20 5. 40

12. นิพจน์ √25√625 6 4 เท่ากับเท่าใด (ONET’60)

1. 25| |√| | 2. 25 √| | 3. 25
4. 125 | | 5. 125| | √| |

13. นพิ จน์ 3 16 4 + 3 54 4 − 3 −128 4 เทา่ กับเทา่ ใด (ONET’60)

1. (2 )1⁄3 2. 3 (2 )1⁄3 3. 9 (2 )1⁄3

4. 10 4⁄3 5. 18 4⁄3

57

2

14. ผลบวกของคาตอบของสมการ 3 x4  273 เท่ากับเทา่ ใด (Onet’61 ข้อ 37)

15 .ถา้ = 1 + 5 แลว้ 5⁄3− −1⁄3 มีค่าเท่าใด
2⁄3+ −1⁄3

1. 1 − 5 2. 5 3. 1 + 5 4. 2 + 5 5. 3 + 5

16. สาหรับจานวนจริง x, y และ z ใด ๆ ข้อใดตอ่ ไปน้ีเปน็ จรงิ 2. √ + = + √
1. (xn)1⁄n = x ทกุ จานวนเต็มบวก n
4. ถา้ < และ < 0 แลว้ >
3. ถ้า < แลว้ 2 < 2

5. 2 + 2 ≤ 2

17. จานวนจริง √84 − 18 3 มคี า่ เท่าใด (ONET’59; 3)

1. 4 + 3 3 2. 5 + 2 2 3. 6 + 2 3

4. 9 + 3 5. 10 + 3

18. ถ้า a = - 5 และ b = 8 แลว้ 6 2 6 4 มีคา่ เท่าใด (ONET’59; 5)

1. 10 2. – 10 3. 20 4. – 15 5. – 40

58

19. ถา้ x = 1 + 3 แล้ว 1 3 −21 เทา่ กับเทา่ ใด (ONET’59; 6)

2−

1 3. (1 + 3 )−21

1. 1 + 3 2. (1 + 3 )2

4. (1 + 3 )−1 5. (1 + 3 )−23

20. ถ้า x เปน็ จานวนจริงบวกท่สี อดคลอ้ งกบั สมการ (4 )2 −1 = (16)4 แลว้ x มคี า่ เท่าใด (ONET’59; 35)
22

21. ถ้า a เปน็ จานวนจริงบวกแลว้ 3√ 3 เท่ากบั เทา่ ใด (ONET’58; 5)

1 2 4 5 7

1. 9 2. 9 3. 9 4. 9 5. 9

22. ให้ A = 3 , B = 2 และ C = 1 ขอ้ ใดถูก (ONET’58; 6)

22 33 2166

1. A < B < C 2. A < C < B 3. B < A < C

4. B < C < A 5. C < B < A

23. คา่ ของ √5 + 24 − 18 + 12 อยู่ในชว่ งใด (ONET’58; 7)

1. (2.2, 2.3) 2. (2.3, 2.4) 3. (2.4, 2.5)

4. (2.5, 2.6) 5. (2.6, 2.7)

59

24. ถ้า a = 3+ 2 แลว้ 2 + 1 มีคา่ เท่าใด (ONET’58; 8)
3− 2 2

1. 10 2. 20 6 3. 40 6 4. 49 5. 98

25. ถา้ x และ y เป็นจานวนจรงิ ซ่งึ 2 2 = 16 และ -3≤ ≤ แลว้ ค่าทีม่ ากที่สุดทีเ่ ปน็ ไปไดข้ อง xy เทา่ กับเทา่ ใด
(ONET’58; 35)

26. ให้ A = 25⁄6 , B = 31⁄2 และ C = 51⁄3 ขอ้ ใดถูก (ONET’57; 2)

1. A < B < C 2. B < A < C 3. B < C < A

4. C < A < B 5. C < B < A

27. ถ้า a = 5+2 แล้ว √ + 1 − 2 มีค่าเทา่ กับข้อใด (ONET’57; 4)
5−2

1. 3 2. 4 3. √9 + 4 5

4. 3 2 5. 4 5

28. ถา้ A = {x |9 2 = (1 + 3 8) } แลว้ ผลบวกของสมาชกิ ทกุ ตวั ใน A มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’57; 7)

1. − 1 2. 0 3. 1 4. 1 5. 3
2 2 2

60

29. ถ้า 64k = 16 แล้ว 8k + 8-k มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด (ONET’57; 8) 4. 17 5. 65
1. 0 2. 5 3. 5
4 8
42

30. ถา้ 2 −1 = 2 แลว้ x มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’56; 7)8

1. − 5 2. − 3 3. − 1 4. 1 5. 3
2 22
2 2

41

31. ถา้ (√ 8 ) = (16) และ y = 3x แล้ว x มคี า่ เท่ากับข้อใด (ONET’54; 24)
27 81

32. ถ้า (p-2)2 = 25 และ (q+1)2 = 81 แลว้ ค่าทม่ี ากทส่ี ดุ ทเ่ี ปน็ ไปไดข้ อง p – 2q เทา่ กบั เท่าใด (ONET’54; 26)

41 4. 4
3
33. ถา้ (√ 8 ) = ( 16 ) แลว้ x มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใด (ONET’51; 2)
125 625

1. 3 2. 2 3. 3
4 32

61

34. ถา้ (3 + 3)3 = 16 แลว้ x มคี า่ เท่ากับข้อใด (ONET’50; 5)
8 81

1. − 4 2. − 2 3. − 1 4. 1
9 99 9

35. ถ้า 8x – 8x+1 + 8x+2 = 228 แลว้ x มีคา่ เทา่ กบั ข้อใด (ONET’50; 21) 4. 5
1. 1 2. 2 3. 4 3

3 33

36. ค่าของ x ทีส่ อดคล้องกบั สมการ 2 2 = 24 เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (ONET’49; 13)
44
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

37. ถา้ 4 = 2 และ 16− = 1 แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กับเท่าใด (ONET’49; เตมิ คา)
4

38. ค่าของ √(−2)2 + (81⁄2+2 2) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’52; 2)
32

1. -1 2. 1 3. 3 4. 5

62

39. ( 5− 2 2 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด (ONET’51; 1)

6 15 )

1. 3 2. 7 3. 5 − 2 4. 6 − 2
10 10

40. ( 18 + 23 −125 − 34 4) มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (ONET’51; 3)

1. -1000 2. 1000 3. 2 5 − 5 2 4. 5 2 − 2 5

21

41. 4 83 ∙ 182 มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (ONET’50; 2)
144 6

1. √2 2. √3 3. 2 4. 3
3 2 4. 200

42. ( 2 + 8 + 18 + 32)2 มคี า่ เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’49; 1 )

1. 60 2. 60 2 3. 100 2

43. 5 −32 ∙ 26 มคี ่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (ONET’49; 2)
3 27
3

(64)2

1. − 13 2. − 5 3. 2 4. 19
24 6 3 24

63

44. (1 − 2)2(2 + 8)2(1 + 2)3(2 − 8)3 มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’50; 3)

1. -32 2. -24 3. −32 − 16 2 4. −24 − 16 2

45. ค่าของ 1 อยูใ่ นช่วงใดต่อไปนี้ (ONET’56; 4)
(1− 3)2

1. [1.5, 1.6) 2. [1.6, 1.7) 3. [1.7, 1.8) 4. [1.8, 1.9) 5. [1.9, 2.0)

46. 3+2 ÷ 2+2 มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใด (ONET’56; 5)
2−1 2− 3

1. − 1 2. 1 3. − 2 4. 2 5. 1
2 2 2

47. คา่ ของ ( 3 − 1)−2 เป็นจรงิ ตามข้อใดต่อไปนี้ (ONET’54; 4)

1. เปน็ จานวนอตรรกยะทน่ี ้อยกว่า 1.8 2. เปน็ จานวนอตรรกยะทีม่ ากกว่า 1.8

3. เปน็ จานวนตรรกยะทีน่ ้อยกวา่ 1.8 4. เปน็ จานวนตรรกยะทม่ี ากกวา่ 1.8

48. ถ้า x= 2+ 3 และ x= 2− 3 แล้ว x2 – 4xy +y2 เทา่ กบั ขอ้ ใด (ONET’54; 23)
2− 3 2+ 3

64

49. ข้อใดมีคา่ ตา่ งจากข้ออ่นื (Onet’53 ขอ้ 7)

1. (-1)0 2. (-1)0.2 3. (-1)0.4 4. (-1)0.8

50. (|4 3−5 2| − |3 5−5 2| + |4 3−3 2 เท่ากบั ข้อใด (ONET’53; 8)

5|)

1. 0 2. 180 3. 192 4. 200

51. กาหนดให้ a เปน็ จานวนจริงบวก และ n เป็นจานวนคูบ่ วก พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. ( ) = | |

ข. = | |

ขอ้ ใดถูกต้อง (ONET’53; 9)

1. ขอ้ ก. และ ข้อ ข. 2. ขอ้ ก เทา่ นั้น 3. ขอ้ ข เทา่ นนั้ 4. ขอ้ ก. และ ขอ้ ข. ผดิ

52. |1 − 1 | − |2 − 2| มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ONET’50; 1)
22

1. 3 − 2 2. 2 − 3 3. 5 − 3 2 4. 3 2 − 5
22 22 22 22

53. ขอ้ ใดต่อไปนผี้ ดิ (ONET’51; 22) 2. (24)30 < 230 ∙ 320 ∙ 440
1. (24)30 < 220 ∙ 330 ∙ 440 4. 230 ∙ 340 ∙ 420 < (24)30
3. 220 ∙ 340 ∙ 430 < (24)30

65

54. ข้อใดตอ่ ไปนผี้ ดิ (ONET’50; 23) 2. ( 0.9)(4 0.9) < 0.9
1. 0.9 + 10 < 0.9 + 10 4. 300 125 < 200 100
3. ( 0.9)(3 1.1) < ( 1.1)(3 0.9)

55. กาหนดให้ a และ x เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก (ONET’50; 27)

1. ถา้ a < 0 แลว้ ax < 0 2. ถ้า a < 0 แลว้ a-x < a

3. ถา้ a > 0 แล้ว a-x > 0 4. ถ้า a > 0 แลว้ ax > a

56. เซตคาตอบของอสมการ 42 2−4 −5 ≤ 1 คอื เซตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (ONET’50; 28)
32

1. [− 5 , 5] 2. [− 5 , 1] 3. [− 1 , 1] 4. [− 1 , 5]
22 2 2 22

57. อสมการในขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ จรงิ (ONET’49; 18) 2. 3600 < 21000 < 10300
1. 21000 < 3600 < 10300 4. 10300 < 21000 < 3600
3. 3600 < 10300 < 21000

66

ลำดบั และ อนกุ รม
(Sequence and Series)

ลำดบั (Sequence) คอื ฟงั กช์ นั ทมี่ โี ดเมนเปน็ จานวนเตม็ บวก
a1, a2, a3, …, an, …

พจน์ท่ี 1 พจนท์ ี่ 2 พจน์ที่ 3 พจนท์ ่ี n

ลาดบั จากดั (Finite Seq.) ลาดบั ทม่ี จี านวนพจนแ์ นน่ อน มี n พจน์
ลาดบั อนนั ต์ (Infinite Seq.) ลาดบั ทม่ี จี านวนพจนไ์ มจ่ ากดั

ลำดบั vs ฟงั กช์ นั

an : พจนท์ วั่ ไป (general term) **ฟังก์ชัน x เปน็ ชว่ งต่อเนอ่ื ง
(กรำฟเป็นเสน้ )

**ลำดับ x เปน็ จำนวนนับ

1, 3, 5, 7,..., 21 ลาดบั จากัด (กรำฟเปน็ จุด)

2, 4, 6, 8,... ลาดับอนันต์

ตัวอย่าง กาหนดพจน์ท่วั ไป an = n +(-1)n จงหาพจน์ 4 พจน์แรก

a1 = 1 + (-1)1 = 0
a2 = 2 + (-1)2 = 3
a3 = 3 + (-1)3 = 2

a4 = 4 + (-1)4 = 5

∴ 4พจนแ์ รก คือ 0, 3, 2, 5

ลาดบั เลขคณติ (Arithemetics Sequence) ลาดบั เรขาคณติ (Geometry Sequence)

2, 4, 6, 8,… d = ………… 2, 4, 8, 16,… r = ……….

20, 15, 10, 5, 0 d = ………… 20, 10, 5, , r = ………..


ผลตา่ งรว่ ม (d) = หลงั – หนา้ อตั ราสว่ นรว่ ม (r) = หลงั ÷ หนา้

67 an = a1 + (n-1)d an = a1∙rn-1

a12 = a1 + 11d a12 = a1r11
a12 = a5 + 7d a12 = a5r7
a12 = a9 + 3d a12 = a9r3

อนุกรม (Series) ผลบวกของลาดบั

ถ้า a1, a2, a3,… , an เป็นลาดบั จากดั ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขยี นแสดงผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องลาดบั ในรูป
a1+a2+a3+…+an ว่า อนกุ รมจากดั

ทานองเดยี วกัน ถา้ a1, a2, a3,… , an เป็นลาดบั อนันต์ จะ เรียกการเขยี นแสดงผลบวกในรูป
a1+a2+a3+…+an+… ว่า อนุกรมอนนั ต์

sn = a1 + a2 + a3 + …+an

Sn แทน ผลบวก n พจน์ ∞ แทน ผลบวกอนนั ต์
แรก

อนกุ รมเลขคณติ (Arithemetics Series) อนกุ รมเรขาคณติ (Geometry Series)
2+4+8+16+…
2+4+6+8+…

ใช้เมอื่ รู้ a1 และ an

= ( + ) = ( − ) ; >
−

ใช้เม่อื รู้ a1 และ d ใชเ้ มอื่ รู้ a1 และ n

= [ + ( − ) ] = ( − ) ; <
−

= − ใชเ้ มอ่ื รู้ a1 และ an
−
สญั ลกั ษณ์แทนการบวก
Sigma สตู รผลบวก



∑ = ( + )
∑ = + + + ⋯ + =
=
=

∑ = ∑ = + + + ⋯ + = ( + )( + )

= = ∑

=
∑( ± ) = ∑ ± ∑
= + + + ⋯ + = ( + )
= = = [ ]
∑

=

68

ขอ้ สอบ เรอื่ ง ลาดบั และอนกุ รม

1. ถา้ พจน์ทั่วไปของลาดบั an คอื 1  n2  3n เม่อื n{1,2,3,...,19,20} แล้วจานวนในขอ้ ใดอยู่ในลาดบั น้ี (ONET’63; 18)
2
1. 10 2. 15 3. 21 4. 25 5. 27

2. กาหนดให้ a1, a2, a3, …, a44, a45 เปน็ ลาดับเลขคณติ 4. 36 5. 45
ถา้ a1 = 60 และ a45 = 720 แลว้ a36 – a34 มคี า่ เท่ากบั เท่าใด (ONET’63; 19)
1. 30 2. 32 3. 34

3. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ บวก ถา้ a, 2, b, 6, … เปน็ ลาดบั เรขาคณติ แลว้ พจนท์ ี่ 10 ของลาดับนเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด
(ONET’63; 20)

1. 18 2. 36 3. 54 4. 81 5. 162

4. ถา้ k เปน็ จานวนจริงที่มากกวา่ 1 แลว้ k  k2  k3  k4  k5  k6  k7  k8 เท่ากบั เทา่ ใด (ONET’63; 21)

1. k k7  1 2. k k8  1 3. k8
k 1 k 1 k 1

4. 4k  k7 5. 4k  k8 

5. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจริง ถา้ ผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องลาดับเลขคณิต 2, a, 10, …, b เทา่ กบั 288 5. 56
แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด (ONET’63; 22)
1. 48 2. 50 3. 52 4. 54

69

6. หนุ่ ยนต์ตวั หน่ึงเคลื่อนท่ตี ามแนวเสน้ ตรง (ONET’63; 23)

โดย เวลาตง้ั แต่ 0 วนิ าที ถึง 1 วินาที ห่นุ ยนตน์ ีเ้ คลอ่ื นที่ ได้ระยะทาง 50 น้วิ

เวลาตัง้ แต่ 1 วินาที ถึง 2 วนิ าที หุ่นยนตน์ ีเ้ คลอ่ื นท่ี ได้ระยะทาง 48 นิว้

เวลาต้ังแต่ 2 วินาที ถึง 3 วนิ าที หุน่ ยนต์น้ีเคลอ่ื นท่ี ไดร้ ะยะทาง 46 นวิ้

และหนุ่ ยนต์นี้เคล่ือนท่ีไปเรอื่ ย ๆ จนหยุดน่ิง ระยะทางทัง้ หมดทีห่ ุ่นยนต์น้ีเคล่ือนทไี่ ดเ้ ทา่ กบั กี่นว้ิ

1. 575 นว้ิ 2. 598 นิ้ว 3. 625 นว้ิ 4. 650 นิ้ว 5. 676 นว้ิ

7. กาหนดลาดบั จากัด ดงั น้ี 100  3, 99  5, 98  7, 97  9, ..., 68  67 พจน์ที่ 20 ของลาดบั นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด

(ONET’62; 13) 2. 8041 3. 8043 4. 8141 5. 8143

1. 7941

8. กาหนดลาดบั จากดั ดงั นี้  3 , 6 ,  9 , 12 ,  15 , ..., 30 จานวนในข้อใดอยูใ่ นลาดับนี้ (ONET’62; 14)
3 4 5 6 7 12

1.  24 2.  24 3. 24 4. 24 5. 27
11 10 10 11 11

9. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจริง ถา้ 3, a, b เปน็ ลาดบั เรขาคณติ และ 3ab = 216 แลว้ ลาดบั ในขอ้ ใดเปน็ ลาดับ

ในข้อใดเปน็ ลาดับเลขคณติ (ONET’62; 15)

1. 3, a, b – 1 2. 3, a, b – 2 3. 3, a, b – 3

4. 3, a, b – 4 5. 3, a, b – 5

70

10. ผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องลาดบั เรขาคณติ 6, 12, 24, 48, ..., 1,536 เท่ากับข้อใด (ONET’62; 16)

1. 3(28  1) 2. 3(29  1) 3. 6(28  1)

2 1 2 1 2 1
4. 6(29  1) 5. 6(210  1)

2 1 2 1

11. เดก็ หญงิ ปูเก็บเงินทกุ เดอื นเป็นเวลา 40 เดอื น โดยเกบ็ เงินเดอื นแรก 500 บาท เดอื นทีส่ อง 550 บาท เดอื นทีส่ าม 600 บาท และ

เดอื นตอ่ ๆ ไปเก็บเงินเพ่มิ ขน้ึ จากเดอื นก่อนหน้าอกี 50 บาท เด็กหญงิ ปูเก็บเงินไดท้ งั้ หมดก่ีบาท (ONET’62; 17)

1. 50,000 บาท 2. 58,500 บาท 3. 59,000 บาท

4. 60,000 บาท 5. 61,000 บาท

12. ผูจ้ ัดการงานแสดงดนตรแี จกเสือ้ ผูใ้ ห้ผูเ้ ขา้ ร่วมงานคนที่ 99, 144, 189, 234, 279, ... ถา้ มีผูเ้ ขา้ ร่วมงานทง้ั หมด 1,500 คน แล้วมี
ผูเ้ ข้ารว่ มงานทไ่ี ด้รบั เสอ้ื อย่กู ่ีคน (ONET’62; 38)

13. ลาดับในข้อใด เปน็ ลาดับเลขคณติ (Onet’61; 12)

1. 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111

2. 1, –1, 1, –1, 1

3. –5, 7, –9, 11, –13

4. –5,  19 ,  18 ,  17 , –4
4 4 4
5. –5 + 10, –5 +102, –5 +103, –5 +104, –5 +105

71

14. กาหนดให้ a1, a2, a3, … เป็นลาดบั เรขาคณติ ซ่ึงมีพจนแ์ ตล่ ะพจนเ์ ปน็ จานวนจรงิ บวก ถ้า a5 = 4a1 แล้วอตั ราส่วนรว่ ม
ของลาดบั นีเ้ ท่ากบั เท่าใด (Onet’61; 13)

1. 1 2. 1 3. 1 4. 2 5. 2
4 22

15. พี่มีนยมื เงินจากนอ้ งมิว 630 บาท และตกลงกนั วา่ จะจ่ายเงนิ คืนให้นอ้ งทุกวนั โดยวนั แรกจะคนื เงินให้ 10 บาท

วันทส่ี องจะคนื เงนิ ให้ 12 บาท และในวนั ตอ่ ๆ ไปจะคนื เงินเพม่ิ จากวันกอ่ นหนา้ วนั ละ 2 บาททุกวัน

จานวนวนั ท่ีพม่ี นี จะจา่ ยเงนิ คืนใหน้ อ้ งมิวได้ครบพอดเี ท่ากบั ขอ้ ใด (Onet’61; 19 )

1. 21 วัน 2. 22 วัน 3. 23 วนั 4. 24 วนั 5. 25 วนั

16. ถ้า a1, a2, a3, …, a12 เป็นลาดบั เรขาคณติ ซ่ึงมีอัตราสว่ นรว่ มเทา่ กบั 2 และ a1 + a2 + a3+ …+ a12 = 63

แลว้ a1 + a2 + a3+ …+ a10 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด (Onet’61; 20 )

1. 29 2. 30 3. 31 4. 32 5. 33

17. ถา้ 2, 9, 16, ... เปน็ ลาดบั เลขคณิต แลว้ พจน์ท่ีเทา่ ใดของลาดับน้อี ยูใ่ นชว่ ง [180, 185] (Onet’61; 33 )

18. กาหนดลาดับจากัด 100 พจน์ เปน็ ดังนี้ 1, 2, 4, 7, 11, 16, ..., a50, …, a100 แลว้ พจน์ท่ี 50 (a50) มีคา่ เทา่ ใด (ONET’60; 15)

1. 1,176 2. 1,226 3. 1,276 4. 1,300 5. 1,301

72

19. นายยอดตัง้ ใจปน่ั จักรยานทุกวัน เปน็ เวลา 49 วนั โดยให้ระยะทางรวมตอ่ สัปดาห์ เพ่ิมขึ้นเป็นสองเท่าของสัปดาหก์ อ่ นหน้าเสมอ ถ้า

สปั ดาห์แรกเขาปนั่ ได้ระยะทาง 20 กิโลเมตร แล้วเขาจะปน่ั ได้ระยะทางก่ีกิโลเมตรในสัปดาห์สุดทา้ ย (ONET’60; 16)

1. 280 กิโลเมตร 2. 640 กิโลเมตร 3. 980 กโิ ลเมตร

4. 1,280 กิโลเมตร 5. 2,560 กโิ ลเมตร

20. ถา้ Sn = n2 – 4n เปน็ ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ ทม่ี ี an เปน็ พจน์ที่ n และ d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม 5. – 58
แล้ว d + a1 a2 เทา่ กับเทา่ ใด (ONET’60; 23)
1. 5 2. 9 3. – 7 4. – 9

21. ถา้ การจดั เรยี งจานวนเต็มในแถวที่ 1, 2, 3, ...(จากบนลงล่าง) เป็นดังภาพ

แลว้ ผลบวกของจานวนเตม็ ในแถวท่ี 50 เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’60; 24)

1. 60,025 2. 62,525 3. 65,025 4. 66,225 5. 66,275

73

22. ในการรักษาผูป้ ว่ ยรายหนึ่ง ต้องใชย้ าคร้งั ละ 5 มิลลิกรมั ทงั้ หมด 8 คร้งั ถ้า Rn เปน็ ปริมาณยาท่ีคงอยูใ่ นร่างกาย

กอ่ นการใช้ยาคร้ังท่ี n + 1 โดยที่ Rn  5ek  5e2k  ...  5enk เมอื่ k และ e เปน็ คา่ คงที่บวกแลว้ ปรมิ าณยาที่คงอยู่
ในรา่ งกายก่อนการใหย้ าครั้งที่ 8 เป็นเทา่ ใด (มิลลกิ รมั ) (ONET’60; 25)

 1. 5ek 1  e7k  2. 5ek 1  e8k 3. 5ek  1  e6k 
 
 1  ek 

4. 5e  k  1 e 7 k  5. 5e k  1 e 8 k 
 1 ek   1 ek 
   

23. กาหนดลาดบั ของจานวนจริง ดังนี้ 2 − 5 , 4 − 9 , 8 − 13 , 16 − 17 , ... พจนท์ ี่ 12 เทา่ กบั เทา่ ใด
(ONET’60; 34)

24. เสา A สูง 100 เซนตเิ มตร เสา B สูง 300 เซนตเิ มตร และตง้ั หา่ งกนั 200 เซนตเิ มตร ถา้ ตอ้ งการปกั เสาเพม่ิ ระหวา่ งเสา A
และ เสา B ในแนวเส้นตรง โดยที่ แกนกลางของเสาแต่ละตน้ ทีอ่ ยู่ติดกัน อยูห่ า่ งกัน 25 เซนติเมตร และลาดบั ความสูงของเสาทกุ ตน้
(รวมเสา A และเสา B) เป็นลาดบั เลขคณิต แลว้ เสาต้นทอี่ ยู่ติดเสา B สูงกี่เซนตเิ มตร (ONET’60; 35)

5 5 มีค่าใกล้เคยี งกบั จานวนเต็มในขอ้ ใดทสี่ ดุ (ONET’59; 5)

25. ถ้า  xi2  135 แลว้  xi  xi  1
i1 i1

1. 11 2. 12 3. 13 4. 14 5. 15

74

26. พจนท์ ่ี 8 ของลาดบั 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ,... เทา่ กับเท่าใด (ONET’59; 20)

5 9 13 17 21

1. 128 2. 134 3. 234 4. 416 5. 512

29 31 31 33 33

27. ให้ a1, a2, a3,… เป็นลาดับเลขคณิต ถ้า a4 = 5a1 และ a10 = 39 แล้ว a1 เทา่ กบั เท่าใด (ONET’59; 21) 5. 5
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

28. กาหนดให้ a, ar, ar2, …, arn – 1 เป็นลาดบั เรขาคณิตทีม่ ี n พจน์ ซึง่ ผลรวมของ 3 พจนส์ ดุ ท้ายเปน็ 4 เทา่ ของผลรวมของ 3
พจนแ์ รก ถา้ พจน์ที่ 3 คือ 22 แล้วพจน์สดุ ทา้ ยมคี ่าเทา่ ใด (ONET’59; 22)

1. 56 2. 72 3. 88 4. 96 5. 102

29. บริษัทแหง่ หนงึ่ ซื้อเครือ่ งจักรมาในราคา A บาท คดิ ค่าเสือ่ มราคาคงที่ 15% ตอ่ ปี กล่าวคอื ราคาเครอ่ื งจกั รจะลดลง 15% ของมูลค่า
คงเหลอื ในแต่ละปที กุ ปี ถ้าเครอื่ งจกั รผ่านไป t ปี แล้วมูลคา่ คงเหลือของเครื่องจักรน้ีเทา่ กบั เทา่ ใด (ONET’59; 23)

1. (0.15)t – 1A บาท 2. (0.15)t A บาท 3. (0.85)t – 1A บาท

4. (0.85)t A บาท 5. (0.15)t + 1A บาท

75

30. กาหนดให้

รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4 5. 88
แลว้ ในรูปที่ 10 มีจานวนจดุ กี่จุด (ONET’59; 24) 3. 66 4. 78

1. 55 2. 60

31. สาหรบั n= 2, 3, 4,… กาหนดให้ an   2 n2  1 n ถา้ An  a2  a3  ...  an แลว้ 729 A6 เท่ากับข้อใด
 3 

(ONET’59; 25)

1. 190 2. 195 3. 200 4. 211 5. 243

32. กมลศกั ด์ขิ ยายพนั ธต์ุ ้นกุกลาบโดยการตอนก่งิ เพอื่ จาหนา่ ย ในวนั แรกเขาตอนก่ิงได้ 20 กิ่ง ในวนั ถัด ๆ ไปเขาทาไดเ้ รว็ ขึ้นโดยเขา
สามารถตอนกง่ิ ได้มากกวา่ วันก่อนหนา้ นนั้ 5 กิง่ เม่ือครบ 7 วัน แลว้ เขาตอนกง่ิ กหุ ลาบไดท้ งั้ หมดกี่กิ่ง (ONET’59; 26)

1. 235 2. 240 3. 245 4. 250 5. 255

33. กาหนดให้ an เปน็ พจนท์ ่ี n ของลาดับ ซงึ่ มี an1  an  n เม่ือ n = 1, 2, 3,… ถ้า a4  26 แล้ว a1  a2  a3
เทา่ กบั เทา่ ใด (ONET’59; 37)

76

34. ถา้ a1,a2,a3,... เป็นลาดับเรขาคณติ แลว้ ข้อใด ผิด (ONET’58; 21)
1. 5a1,5a2,5a3,... เปน็ ลาดบั เรขาคณิต
2. a12,a22,a32,... เป็นลาดับเรขาคณติ
3. a1,a22,a32,... เป็นลาดับเรขาคณติ

4. a1a2,a2a3,a3a4,... เปน็ ลาดับเรขาคณติ

5. a1 , a2 , a3 ,... เปน็ ลาดบั เรขาคณิต

a2 a3 a4

35. ถา้ an  2n 1 แล้วข้อใดผิด (ONET’58; 22)
3n  2

1. a1  1 2. a2  3 3. a3 1 4. a4 7 5. a5  31
4 10 13

36. ถ้า an เป็นพจน์ท่ัวไปของลาดบั ซ่งึ มี a5  9 และ an1  an  2 แล้ว a11 เท่ากบั เทา่ ใด (ONET’58; 23) 5. 3
1. – 5 2. – 3 3. – 1 4. 1

37. ถ้าอนกุ รมเลบขคณิตมีผลบวก 9 พจน์แรกเปน็ 261 และพจน์ท่ี 9 ของอนกุ รมนี้คอื 61 แลว้ ผลบวก 4 พจน์แรกของอนกุ รมน้ีมคี า่
เทา่ ใด (ONET’58; 24)

1. 21 2. 27 3. 32 4. 36 5. 39

77

38. พจิ ารณาลาดบั ของรูปสเี่ หลย่ี จตั รุ สั ที่มีด้านยาวด้านละ 1 หนว่ ยต่อไปน้ี

รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4
4. 1
พนื้ ทข่ี องบรเิ วณแรเงาในรูปที่ 10 มคี า่ เท่ากับกีต่ ารางหน่วย (ONET’58; 25)
1000
1. 1 2. 1 3. 1 5. 1

100 256 512 1024

39. เดก็ ชายคนหน่ึงตอ้ งการออมเงินเพ่ือซอ้ื รถจกั รยานราคา 1,700 บาท โดยเก็บเงนิ เดอื นละ 100 บาท และพอ่ สัญญาวา่ จะสมทบเงินให้
ทกุ เดือน เร่มิ เดอื นแรกให้ 10 บาท เดือนทีส่ องให้ 20 บาท เดอื นทส่ี ามให้ 30 บาท และสมทบเงนิ ให้มากขนึ้ ทุกเดอื น ๆ ละ 10 บาท
เขาต้องออมเงนิ อยา่ งน้อยกเ่ี ดอื นจงึ จะมเี งินมากพอซอ้ื จกั รยาน (ONET’58; 26)

1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14

40. ถ้า an เปน็ พจนท์ วั่ ไปของลาดบั ซงึ่ มี a3  4 และ an1  an  n แล้ว a1  a7 เท่ากับเทา่ ใด (ONET’58; 36)

41. ถ้า a1,a2,a3,...เปน็ ลาดับเรขาคณติ ซง่ึ มี a1  2 และ a4  1 แล้ว 1  1  1  ...  1 เท่ากับเทา่ ใด
4 a1 a2 a3 a10

(ONET’58; 37)

78

42. ถา้ an  2  1n n แลว้ ข้อใดถูก (ONET’57; 19)

2n  3

1. a1  1 2. a2  4 3. a3  1 4. a4  2 5. a5  7
5 7 9 11 13

43. ถา้ a1,a2,a3,...เปน็ ลาดบั เลขคณติ และผลต่างรว่ มไม่เป็นศูนย์ แลว้ ขอ้ ใดผิด (ONET’57; 20)
1. a10  a11  a21  a20

2. a9  a14  a11  a12

3. a15  a12  1

a7  a4

4. ถ้า bn = an – 5 ทุก ๆ n แล้ว b1,b2,b3,...เปน็ ลาดับเลขคณติ
5. ถา้ cn = 5nan ทุก ๆ n แลว้ c1,c2,c3,...เป็นลาดับเรขาคณติ
44. กาหนดให้ x เปน็ จานวนจรงิ ถา้ 5 – 7x, 3x + 28, 5x + 27, …, 2x3 – 3x +1 เปน็ ลาดับเลขคณติ แลว้ ลาดบั นีม้ กี ีพ่ จน์
(ONET’57; 21)
1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14

45. กองซงุ หน่ึงวางเรียงซ้อนกันเป็นชนั้ ๆ โดยช้นั บนจะมจี านวนนอ้ ยกว่าชัน้ ล่างทอ่ี ย่ตู ิดกนั 3 ต้น เสมอ ถา้ ชนั้ บนสดุ มี 49 ต้น
และชนั้ ล่างสดุ มี 211 ต้น แล้วพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. กองซุงนม้ี ี 56 ชั้น ข. ช้นั ที่ 8 (นบั จากบนลงล่าง) มซี ุง 70 ต้น 3. ค. ถูก แต่ ก.และ ข. ผิด
ค. ซุงกองนม้ี ที ้ังหมด 7,150 ตน้
ข้อใดถูก (ONET’57; 22) 2. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด
1. ก., ข. และ ค. ถูกทง้ั สามข้อ 5. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด
4. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผดิ

46. ถา้ พจนท์ ่ี 5 และพจน์ท่ี 8 ของลาดบั เรขาคณิตเปน็ 1 และ  1 ตามลาดบั แลว้ พจน์ท่ี 4 เทากับข้อใดตอ่ ไปนี้

2 16

(ONET’57; 23)

79 1. – 1 2.  1 3.  1 4. 1 5. 2
24

47. พจนท์ ี่ 10 ของลาดบั เรขาคณติ 3, 6,... ตรงกับขอ้ ใด (ONET’57; 24)

1. 8 6 2. 16 3 3. 16 6 4. 32 3 5. 32 6

48. ถา้ อนกุ รมเรขาคณติ มี a1  1 และ a10 = 256 แลว้ ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมนี้เทา่ กับข้อใด (ONET’57; 25)
2

1. 511.0 2. 511.5 3. 512.0 4. 512.5 5. 513.0

49. ถ้าอนกุ รมเลขคณติ มีพจนแ์ รกเปน็ – 8 และมีผลบวกของ 50 พจนแ์ รกเปน็ 3275 แล้วผลต่างร่วมมคี ่าเทา่ กบั เท่าใด (ONET’57; 36)

50. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจนท์ ี่ 10 ของลาดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลาดับ แลว้ พจนท์ ่ี 99 เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’56; 20)

1. 276 2. 287 3. 296 4. 297 5. 299

51. ลาดบั –24, –15, –6, 3, 12, 21, ..., 1776 มกี ีพ่ จน์ (ONET’56; 21)

1. 199 2. 200 3. 201 4. 202 5. 203

80

52. ถ้า a1 = 2, a2 = 1 และ an+2 = an+1 + an เม่ือ n = 1, 2, 3, … แลว้ a11 เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’56; 22)
1. 76 2. 113 3. 123 4. 199 5. 384

53. ถา้ พจนท์ ่ี n ของอนุกรมคอื 3n – 10 แล้วผลบวก 23 พจน์แรกของอนุกรมน้ีเท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’56; 23)

1. 589 2. 598 3. 624 4. 698 5. 759

54. ถา้ อนกุ รมเลขคณติ มีผลบวก 10 พจนแ์ รกเปน็ 3069 และมีอตั ราส่วนร่วมเปน็ 2 แลว้ พจนท์ ่ี 3 ของอนุกรมน้เี ท่ากบั ข้อใด
(ONET’56; 24)

1. 2 2. 6 3. 8 4. 12 5. 24

55. ผลบวก 3 พจนแ์ รกของลาดบั an  1 n1 n เท่ากบั ข้อใด (ONET’56; 25)


n 1

1.  7 2.  5 3. 7 4. 11 5. 13

12 12 12 12 12

56. เกษตรกรคนหน่งึ ซอ้ื รถกระบะโดยผอ่ นชาระเปน็ เวลา 4 ปี ทางผู้ขายกาหนดให้ผอ่ นชาระเดือนแรก 5,500 บาท และเดือนถกั ๆไปให้

ผ่อนชาระเพิม่ ข้นึ ทุกเดอื น ๆ ละ 400 บาท จนครบกาหนด ถ้า x คอื จานวนเงนิ ทีเ่ ขาต้องชาระในเดอื นสดุ ทา้ ย และ y คอื จานวนเงนิ ทีเ่ ขา

ชาระไปใน 2 ปีแรก (หนว่ ย : บาท) แลว้ ข้อใดถูก (ONET’56; 28)

1. x = 24,300 บาท และ y = 242,300 บาท 2. x = 24,300 บาท และ y = 242,400 บาท

3. x = 24,400 บาท และ y = 242,400 บาท 4. x = 24,400 บาท และ y = 243,900 บาท

5. x = 24,900 บาท และ y = 243,900 บาท

81

57. ถา้ พจน์ท่ี 4 และพจนท์ ่ี 7 ของลาดบั เรขาคณติ เปน็ 54 และ 1458 ตามลาดับ แลง้ พจน์แรกเท่ากบั เทา่ ใด (ONET’56; 38)

58. ลาดับเรขาคณิตลาดบั หนง่ึ มผี ลบวกและผลคูณของ 3 พจน์แรกเปน็ 13 และ 27 ตามลาดับ ถา้ r เป็นอตั ราสว่ นรว่ มของลาดับนี้

แล้ว r  1 มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’54; 16)

r

1. 10 2. 7 3. 4 4. 1
33 33

59. กาหนดให้ Sn เป็นผลบวกn พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณติ a1, a2, a3,... ถ้า S5 = 90 และ S10 =5 แล้ว a11 มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใด
ตอ่ ไปนี้ (ONET’54; 17)

1. – 39 2. – 38 3. – 37 4. – 36

60. ลาดับเลขคณิต –43, –34, –25,... มพี จน์ทมี่ คี า่ นอ้ ยกวา่ 300 อย่กู พ่ี จน์ (ONET’54; 31)

61. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + (–2) + 4 + (–8) + ... + 256 เทา่ กบั เทา่ ใด (ONET’54; 32)

82

62. กาหนดให้ 3 ,1, 1 ,... เปน็ ลาดบั เลขคณติ ผลบวกของพจน์ท่ี 40 และพจน์ที่ 42 เท่ากบั เท่าใด (ONET’53; 20)

22

1. – 18 2. – 19 3. – 37 4. – 38

63. ใน 40 พจน์แรกของลาดับ an  3  1n มีก่พี จน์ ท่มี คี ่าเท่ากับพจนท์ ่ี 40 (ONET’53; 21)
1. 10 2. 20 3. 30 4. 40

64. กาหนดให้ a1, a2, a3, … เป็นลาดบั เรขาคณิต ถ้า a2 = 8 และ a5 = - 64 แล้วผลบวกของ 10 พจน์แรกของลาดบั น้ี

เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’53; 22)

1. 2,048 2. 1,512 3. 1,364 4. 1,024

65. ในสวนปา่ แหง่ หนง่ึ เจ้าของปลูกต้นยูคาลิปตสั เป็นแถวดังน้ี แถวแรก 12 ต้น แถวทส่ี อง 14 ตน้ แถวที่สาม 16 ตน้ โดยปลูกเพิ่ม
เชน่ นี้ ตามลาดับเลขคณติ ถ้าขา้ วของปลูกตน้ ยูคาลปิ ตสั ไวท้ ั้งหมด 15 แถว จะมตี ้นยูคาลิปตสั ในสวนป่านีท้ ้ังหมดก่ตี น้ (ONET’53; 38)

66. ลาดับเลขคณิตในขอ้ ใดต่อไปนมี้ ีบางพจน์เทา่ กบั 40 (ONET’52; 17)

1. an = 1 – 2n 2. an = 1 + 2n 3. an = 2 – 2n 4. an = 2 + 2n

83

67. กาหนดให้ a1, a2, a3 เปน็ ลาดบั เรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 แล้ว a2 คือค่าในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ONET’52;18)

1. – 20 2. – 50 3. 60 4. 100

68. ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี 100 พจน์ (ONET’52; 23)
1. 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) + … + 199

2. 1  1  1  ...   1  ...  1
3 5 199
2n 1

 3. 1  2  4  ...  2n1  ...  2199

4. 1 1  1  ...  1  ...  1
125 3125 52n1 5199
5

69. คา่ ของ 1 + 6 + 11 + 16 + … + 101 เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (ONET’52; 24)

1. 970 2. 1020 3. 1050 4. 1071

70. พจนท์ ่ี 31 ของลาดบั เลขคณติ  1 , 1 , 1 ,... เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (ONET’51; 13)

20 30 60

1. 5 2. 13 3. 9 4. 7

12 30 20 15

71. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (ONET’51; 14)

1. – 171 2. – 85 3. 85 4. 171

84

72. ถา้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ซง่ึ มีอัตราสว่ นรว่ มเท่ากบั 2 ถา้ S10 – S8 = 32
แล้วพจนท์ ี่ 9 ของอนกุ รมนี้ เทา่ กับเทา่ ใดต่อไปนี้ (ONET’51; 15)

1. 16 2. 20 3. 26 4. 32
333
3

73. ถา้ a1,a2,a3,..เปน็ ลาดับเลขคณติ ซ่งึ a2  a3  ...  a9  100แล้ว S10  a1  a2  ...  a10 มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(ONET’51; 27)

1. 120 2. 125 3. 130 4. 135

74. กาหนดให้ a1,a2,a3,.. เปน็ ลาดบั เรขาคณติ พจิ ารณาลาดับสามลาดับตอ่ ไปนี้

(ก) a1  a3, a2  a4 , a3  a5,...

(ข) a1a2 , a2a3, a3a4 ,...

(ค) 1 , 1 , 1 ,...

a1 a2 a3

ข้อใดต่อไปนีถ้ ูก (ONET’51; 28)
1. ท้งั สามลาดบั เปน็ ลาดบั เรขาคณิต
2. มหี น่ึงลาดบั ไม่เป็นลาดับเรขาคณติ
3. มสี องลาดบั ไม่เป็นลาดับเรขาคณิต
4. ทั้งสามลาดับไม่เป็นลาดับเรขาคณิต

75. ถา้ a1,a2,a3,.. เปน็ ลาดบั เลขคณติ ซง่ึ a30  a10  30 แลว้ ผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิตนม้ี คี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
(ONET’50; 12)

1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0

76. ลาดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี เป็นลาดับเรขาคณิต (ONET’50; 13)

1. an  2n  32n 2. an  2n  4n 3. an  3n2 4. an  2nn

85

77. พจนท์ ่ี 16 ของลาดับเรขาคณิต 1 , 1 , 1 ,...เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ONET’50; 31)

625 125 5 125

1. 25 5 2. 125 3. 125 5 4. 625.

78. กาหนดให้ S = {101, 102, 103, …, 999} ถ้า a เท่ากบั ผลบวกของจานวนคท่ี ัง้ หมดใน S และ b เท่ากบั ผลบวกของจานวนคู่
ท้ังหมดใน S แลว้ b – a มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (ONET’50; 32)

1. – 550 2. – 500 3. – 450 4. 450

79. ลาดบั เรขาคณิตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี มีอตั ราส่วนร่วมอย่ใู นช่วง(ONET’49; 8)

1. 3, 5 , 25 ,... 2. 2, 4 , 8 ,... 3. 4,3, 9 ,... 4. 5, 4,16 ,...

4 48 39 4 5

80. ถา้ ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมหนง่ึ คอื Sn  3n2  2 แล้วพจน์ที่ 10 ของอนุกรมนี้มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

(ONET’49; 9)
1. 57 2. 82 3. 117 4. 302

50

 1 1k k
 81. มคี ่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’49; 10)

k 1

1. 1300 2. 1350 3. 1400 4. 1450

86

82. ป้าจเุ๊ ริ่มขายขนมครกในวันที่ 3 มกราคม ในวนั แรกขายได้กาไร 10 บาทและในวนั ตอ่ ๆ ไปจะขายได้กาไรเพม่ิ ข้นึ จากวนั ก่อนหนา้

วนั ละ 10 บาททกุ วนั ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นวนั ท่ขี องเดือนมกราคมท่ปี ้าจ๊ขุ ายได้กาไรเฉพาะในวันนนั้ 340 บาท (ONET’49; 11)

1. วันท่ี 24 2. วันที่ 25 3. วนั ที่ 26 4. วนั ท่ี 27

83. ถ้าผลบวกและผลคูณของสามพจนแ์ รกของลาดับเลขคณิตทม่ี ี d เป็นผลตา่ งรว่ ม เท่ากบั 15 และ 80 ตามลาดับแล้ว d2 มคี ่าเท่ากบั ข้อ
ใดตอ่ ไปนี้ (ONET’49; 12)

1. 1 2. 4 3. 9 4. 16

84. ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ลบ และ a20 + 2a – 3 = 0 แลว้ 1 + a + a2 + … + a19 มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน(ี้ ONET’49; 24)

1. – 2 2. – 3 3. – 4 4. – 5

87

ควำมสมั พนั ธ์และฟงั กช์ นั

(Relations and Function)

คอู่ นั ดบั (Pair Ordered)

การจับค่สู ิ่งสองสง่ิ โดยถอื ลาดบั เปน็ สาคัญ เรยี ก b วา่ เปน็ สมาชิกตวั หลงั
คู่อนั ดบั (a, b) เรยี ก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหนา้
การเทา่ กันของคู่อันดบั

ถา้ a, b, c, d เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

(a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมอ่ื a = c และ b = d

(a, b)  (c, d) กต็ อ่ เมอื่ a  c หรอื b  d

ตวั อยา่ ง 1 จงหาค่าของตัวแปรตอ่ ไปนี้ 2. (2x + 1, 3) = (7, y-2)

1. (x, 2) = ( - 3, y)

3. (2x+y, 24) = (6, 3x-y)

88 ตวั อยา่ ง 2 ข้อใดไม่ถูกต้อง
1) ถ้า (3x–y, 5) = (5, x + 3y) แล้ว (x, y) ≠ (2, 1)
2) ถา้ (x+1, y) = (3,4) แลว้ (x, y) = (2,4)
3) ถา้ (x + y, 5) = (5, x + 3y) แลว้ (x, y)≠(2,1)
4) ถา้ (x, 2y)=(4,4) แล้ว (x, y)=(4,2)

ผลคณู คารท์ เี ชยี น (Cartesian Product) ผลคูณของเซต

ผลคูณคาร์ทเี ชียนของ เซต A และ B คือ เซตของคูอ่ ันดับ (a, b) ทง้ั หมด โดย aA และ bB เขยี นแทนด้วย A  B

 A B  a,b aA และbB

ตัวอย่าง กาหนด A = {1, 2, 3} และ B = { 0, 2} จงหา
1. A  B =………………………………………………………………………………………….. n A  B =…………

2. B A =………………………………………………………………………………………….. n B A =…………

3. A  A =………………………………………………………………………………………….. n A  A =…………

4. BB =………………………………………………………………………………………….. n B B =…………

สมบตั ขิ องผลคณู คารท์ เี ชยี น
1. A B  B A
2. n A  B =n A  n B
3. A      A
4. A(B C ) = (A B)(A C )
5. A(B C ) = (A B) (A C )
6. A(B C ) = (A B) (A C )
7. A B =B A ก็ต่อเม่ือ A = B หรอื A =  หรือ B = 

ตวั อยา่ ง กาหนด A,B และ C เป็นเซตใด ๆ ถา้ n(A) = 5 n(B) = 8 n(C) = 5 และ n(AC) = 2 จงหา

1. n A  B 2. n A  C 3. n C  B

4. n A  A 5. n A  (B  C) 6. n A  (B  C)

ความสมั พนั ธ์ (Relations) ♥สบั เซตของผลคูณคาร์ทีเชยี น♥

r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B กต็ ่อเมอ่ื r  A  B สมาชกิ ตวั หนา้ อยใู่ น A
r เป็นความสมั พันธ์ใน A กต็ ่อเม่ือ r  A  A สมาชกิ ตวั หลงั อยใู่ น B

ตัวอย่าง กาหนด A = {2, 4, 6} B = {1,3,5} จงเขยี นความสัมพันธ์ต่อไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชกิ

1. r1  x, y A B x  y ; r1 =……………………………………………………………………………
2. r2  x, yB A y  x  1; r2 =……………………………………………………………………………
3. r3  x, y A  A y  2x; r3 =………………………………………………………………...............

89

โดเมนและเรนจ์ (Domain & Range)

โดเมน Dr  x x, yr เซตของสมาชิกตัวหน้า

เรนจ์ Rr  y x,yr เซตของสมาชกิ ตัวหลัง

หาโดเมน จดั x เทอม y หาเรนจ์ จดั y เทอม x

หลักพจิ ารณา Dr และ Rr 0 Δ พิจารณา  0
พจิ ารณา 0 พิจารณา X  0
log X
Δ พิจารณา

Δ2  พจิ ารณา 0

ตวั อยา่ ง 1 กาหนด r = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)} Dr = {1, 3, 5, 7} Rr = {2, 4, 6, 8}

ตวั อยา่ ง 2 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธต์ ่อไป 2. r=  x, y y  2x  11
2x 
1. r = x, y y  x  5

 3. r = x,y y  x2  4  4. r = x,y y  3  x2  9

อินเวอรส์ ของความสมั พนั ธ์ เปลย่ี น x เปน็ y --------> เปลย่ี น y เปน็ x

r1  (y, x) x, yr

D 1 = Rr Rr1 = Dr
r

ตวั อยา่ ง 1 กาหนด r = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)}

r-1 = _______________________________________

ตวั อยา่ ง 2 กาหนด f(x) = 3x + 5 จงหา f-1(x)

90

 กราฟของความสมั พนั ธ(์ Graph) เพ่มิ เติม จุดตัดแกน x (x,0) ให้ y =0
จดุ ตัดแกน Y (0,y) ให้ x = 0
กราฟทีเ่ จอบ่อย ๆ

♥ กราฟเสน้ ตรง Ax + By + C = 0

Y Y Y Y
m>0 m<0 b m=0
ไม่มีm
y=b
XX a X X
x=a

♥ กราฟพาราโบลา Y Y Y
y  x2 x  y2 x  y2
Y
X XX
y  x2 X
YY Y
♥ กราฟกาลงั สอง

Y

X X X X
x y y x y x x y

♥ กราฟคา่ สมบรู ณ์ Y yx Y Y X
X x y X xy
Y

y x X

ฟงั กช์ นั (Function)

ความสมั พนั ธ์ ซง่ึ จะไมม่ คี อู่ นั ดบั สองคใู่ ด ๆในความสมั พนั ธม์ สี มาชกิ ตวั หนา้ เหมอื นกนั แตส่ มาชกิ ตวั หลงั ตา่ งกนั

f จะเปน็ ฟงั กช์ นั กต็ อ่ เมอื่ (x, y1)f และ (x, y2)f แลว้ y1 = y2

ตวั อยา่ ง 1 จงพจิ ารณาความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ี เปน็ ฟังกช์ นั หรือไม่ x ไมซ่ า้ x 1 คา่ ให้ y 1 คา่
1. r1 = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)} เป็นฟงั ก์ชัน
2. r2 = {(1,2), (1,4), (5,5), (7,8)} เปน็ ฟงั กช์ นั  ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั เพราะ.....................
3. r3 = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2)} เปน็ ฟังกช์ ัน  ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั เพราะ.....................
 ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั เพราะ.....................

91

ตวั อยา่ ง 2 ความสมั พนั ธ์ในขอ้ ใดเป็นฟงั กช์ นั (ONET’54; 8)

1. { (0,1), (0,2), (2,1), (1,3) } 2. { (0,2), (1,1), (2,2), (3,0) }

3. { (1,1), (2,0), (2,3), (3,1) } 4. { (1,2), (0,3), (1,3), (2,2) }

เปน็ ฟงั ก์ชนั ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน

ตวั อยา่ ง 3 กราฟในขอ้ ใดแสดงวา่ y เปน็ ฟงั ก์ชนั ของ x (ONET’57; 13)

คา่ ของฟงั กช์ นั

ความสมั พันธ์ f เปน็ ฟงั ก์ชัน จะเขียน y = f(x) แทน (x, y) f
f(x) คา่ ของฟังก์ชนั f ที่ x อ่านวา่ เอฟของเอก็ ซ์ หรือ เอฟเอก็ ซ์

 f = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)} จะไดว้ า่ f(1) =_____ f(3) =_____ f(5) =____ f(7) =_____

 กาหนด f(x) = 2x + 1 จงหา

f(1) =___________ f(-2) =___________

f(a) = ___________ f(x2)=___________

 กาหนด f(x+2) = 2x + 1 จงหา f(4) และ f(7)

หา f(4) แทน x = 2 หา f(7) แทน x = ____

f(4) = f(2+2)

= 2(2) +1

92 =5

 กาหนดให้ f(x+2) = 2x + 1 จงหา f(x) และ f(x2)
สมมติ A = x + 2

x =_____

 กาหนดให้ f(x) = 3x – 1 จงหา f-1(x)
เปล่ยี น y = 3x – 1
เปลย่ี น x เป็น y เปลยี่ น y เปน็ x

ตวั อยา่ ง 1 ถา้ f(x – 2) = 2x – 1 แลว้ f(x2) มีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (ONET’54; 11)

1. 2x2 – 1 2. 2x2 + 1 3. 2x2 + 3 4. 2x2 + 9

ตวั อยา่ ง 2 กาหนดใหก้ ราฟของฟังก์ชัน f เป็นดงั นี้

ค่าของ 11f(–11) – 3f(–3) f(3) คือขอ้ ใด (ONET’53; 13) 4. 86
1. 57 2. 68 3. 75

ตวั อยา่ ง 3 ถ้ำีf =ี{ (1,0), (2,1), (3,5), (4,3), (5,2) } แล้วีf(2) + f(3) มคำ่ เท่ำใดี(ONET’49;ี1ีเตมิ คำ)

93

ตวั อยา่ ง 4 กาหนดให้ f (x)  x  12 ,x  10
4  f(-11) + f(20) เทา่ กบั เท่าใด (ONET’62; 35)ีีี
x 8
 4 ,x  10


ฟงั กช์ นั กาลงั สอง (Quadratic Equation)

Y y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b,Yc เปน็ จานวนจรงิ ใด และ a  0

a>0 a<0

พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว่า
X จุดวกกลับ จุดต่าสดุ X จุดวกกลบั จุดสูงสดุ
a>0 ใหค้ ่าต่าสุด (Min) a < 0 ให้ค่าสูงสดุ (Max)

 จดุ สูงสุด/จุดตา่ สุด (  b , 4ac  b2 )
2a 4a

 แกนสมมาตร x   b
2a
 คา่ สูงสดุ ค่าต่าสุด ให้ตอบคา่ y

ตวั อยา่ ง 1 กาหนด y = 2x2 - 6x + 3 จงหา
1. จดุ วกกลบั  จดุ สูงสดุ  จุดต่าสดุ
2. จดุ วกลับ (h, k) คอื __________
3. แกนสมมาตร__________
4. ลกั ษณะกราฟ_________
5. ค่าสูงสุด หรือ คา่ ต่าสดุ คอื _________

94 ตวั อยา่ ง 2 กาหนด y = -2x2 - 4x + 5 จงหา
1. จุดวกกลบั  จดุ สูงสดุ  จุดต่าสุด
2. จุดวกลบั (h, k) คือ __________
3. แกนสมมาตร__________
4. ลักษณะกราฟ_________
5. คา่ สูงสุด หรือ คา่ ต่าสดุ คอื _________

ตวั อยา่ ง 3 พาราโบลารปู หนง่ึ เปน็ กราฟของฟงั ก์ชัน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. พาราโบลารูปนี้มีแกนสมมาตรคือเส้นตรง x = - 1

ข. พาราโบลารูปนีม้ ีจดุ วกกลับอยู่ในจตภุ าคที่สี่

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง (ONET’54; 12)

1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ

3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด

ฟงั กช์ ันคา่ สมั บรู ณ์ (Absolute Function)

y  a x  h  k เมอื่ a0

YY a<0
a<0 กราฟคว่า

X กราฟหงาย X

a>0 จดุ วกกลบั (h,k) a>0

ตวั อยา่ ง ฟงั ก์ชนั y = f(x) ในข้อใดมีกราฟดังรูปตอ่ ไปน้ี (ONET’49; 7)

1.ีี f (x) 1  x 2. f (X) 1  x
3. f (x)  1  x 4. f (x)  1  x

95

ขอ้ สอบ เรอ่ื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั กช์ นั

1. กราฟแสดงความสัมพนั ธ์ r เป็นบริเวณท่แี รเงา ดังนี้

ความสมั พันธ์ r คือเซตในข้อใด (ONET’63; 13)
1. r = { (x,y) x  y  5, x  1 และy  2 }
2. r = { (x,y) x  y  5, x  2 และy  1 }
3. r = { (x,y) x  y  5, x  4 และy  3 }
4. r = { (x,y) x  y  5, x  2 และy  1}
5. r = { (x,y) x  y  5, x  4 และy  3 }

2. กาหนดให้ a เปน็ จานวนจริง และ f เปน็ ฟงั ก์ชัน โดยที่ f(x) = (x + a)2 - a เมือ่ a เป็นจานวนจริง

ถา้ f(-2) = f(4) แลว้ a มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด (ONET’63; 14)

1. – 3 2. – 2 3. – 1 4. 0.5 5. 2

3. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟของ y = 2x+a + b ตัดแกน X ท่จี ุด (2,0) และตดั แกน Y ที่จุด (0,-1.5)
แลว้ a + b มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด (ONET’63; 16)

96

4. ถ้า f เปน็ ฟังก์ชัน โดยท่ี f(x) = - x2 + 4x – 6 แลว้ ข้อใดถูกต้อง (ONET’62; 18)

1. คา่ สูงสดุ ของฟังกช์ ัน f คือ – 6 2. ค่าสูงสดุ ของฟังกช์ ัน f คือ – 2

3. คา่ สูงสดุ ของฟงั กช์ ัน f คอื 2 4. ค่าตา่ สดุ ของฟงั ก์ชัน f คือ – 2

5. ค่าต่าสดุ ของฟังกช์ ัน f คอื 2

5. กราฟของ y1 = f(x) และกราฟของ y2 = g(x) ตัดกันท่ีจดุ (2, - 2) และจุด (4, - 2) ดังรูป

เซตคาตอบของสมการ f(x) = g(x) คอื เซตข้อใด (ONET’62; 19)

1. { - 2, 8 } 2. { - 2, 2 } 3. { 0, 6 }

4. { 2, 4 } 5. { 2, 8 }

6. ถังใบหนึ่งมีนา้ อยู่ 100 ลติ ร ต้องการตักน้าออกจากถงั

โดย คร้งั ท่ีหน่งึ ตักออก 10% ของปริมาตรนา้ ทม่ี ีอยู่

คร้ังทีส่ อง ตกั ออก 10% ของปริมาตรนา้ ทีเ่ หลืออย่ใู นถงั หลังจากการตักนา้ ออกครง้ั ที่หนง่ึ

ครง้ั ทสี่ าม ตักออก 10% ของปริมาตรน้าท่เี หลอื อยใู่ นถงั หลังจากการตักนา้ ออกคร้งั ที่สอง

และตกั น้าออกในทานองนี้ไปเรอ่ื ย ๆ

ถา้ ให้ f(t) แทน ปรมิ าตรของน้าทเี่ หลืออย่ใู นถงั เม่อื ตกั น้าออกไป t ครง้ั แล้วขอ้ ใดถูกต้อง (ONET’62; 23)

1. f(t) = 100(0.10)t 2. f(t) = 100(0.30)t 3. f(t) = 100(0.70)t

4. f(t) = 100(0.90)t 5. f(t) = 100(1.10)t

97