แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-6

แบบฝกึ ทกั ษะ

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

เล่มท่ี 6

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ท่เี ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

จัดทาโดย ครชู ูเกยี รติ สยุ ะลงั กา

ตาแหนง่ ครวู ิทยฐานะชานาญการ
โรงเรยี นวัชรวิทยา
สานกั งานเขตพ้ืนทีก่ ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 41

แบบฝึกทกั ษะ

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2

เล่มที่ 6
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง

ท่เี ป็นกาลงั สองสมบูรณ์

จดั ทาโดย... ครูชเู กยี รติ สุยะลงั กา

ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะครชู านาญการ
โรงเรียนวัชรวทิ ยา

สานักงานเขตพนื้ ที่การศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 41

ก

คานา

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มนี ้จดั ทาขนึ ้ เพอ่ื ใช้เป็นส่ือประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนท่ีใช้ควบคกู่ บั
แผนการจดั การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม รายวิชา ค22202 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
ซงึ่ ได้จดั ทาทงั้ หมด จานวน 8 เลม่ ได้แก่

เลม่ ที่ 1 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
เล่มที่ 2 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลบั ที่และสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่
เลม่ ท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0
เลม่ ท่ี 4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0
เลม่ ที่ 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c≠0
เลม่ ที่ 6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มท่ี 7 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นผลตา่ งของกาลงั สอง
เล่มที่ 8 การประยกุ ต์เก่ียวกบั พหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกาลงั สอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยงิ่ ว่า แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชดุ นี ้จะเป็นประโยชน์ตอ่ การจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูได้เป็นอย่างดี
และช่วยยกระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนของนกั เรียนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้สงู ขนึ ้

ชูเกยี รติ สุยะลังกา

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาแนะนาสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
มาตรฐานการเรียนรู้ 3
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน 5
เนือ้ หาบทเรียน 7
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 11
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 12
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 13
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 14
แบบทดสอบหลงั เรียน 15
เกณฑ์การให้คะแนน 17
การผ่านเกณฑ์การประเมิน 18
แบบบนั ทกึ คะแนน 19
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1 22
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2 23
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 3 24
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4 25
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 26
คารับรองของผ้บู งั คบั บญั ชา 27

1

คาแนะนาสาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มท่ี 6 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่เี ป็ นกาลังสองสมบูรณ์
ให้ครูอา่ นคาแนะนาและปฏิบตั ติ ามขนั้ ตอน ดงั นี ้

1. ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ประกอบแผน
การจดั การเรียนรู้ที่ 10 – 11 จานวน 2 ชว่ั โมง

2. ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
และศกึ ษาเนือ้ หาในแบบฝึกทกั ษะเล่มนีใ้ ห้เข้าใจก่อน

3. แจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรียนทราบ ให้นกั เรียนอ่านคาแนะนาการใช้
แบบฝึกทกั ษะและปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาทกุ ขนั้ ตอน

4. จดั กิจกรรมการเรียนการสอนตามขนั้ ตอนที่กาหนดไว้ในแผนการจดั การเรียนรู้
5. สงั เกต ดแู ล และให้คาแนะนานกั เรียน เม่ือพบปัญหา เชน่ ไม่เข้าใจ ทาไม่ได้
โดยการอธิบายหรือยกตวั อยา่ งเพม่ิ เตมิ ให้กบั นกั เรียน
6. ควรใช้เวลา 15 – 20 นาที ในการทาแบบฝึกทกั ษะ
7. เม่ือนกั เรียนทากิจกรรมเสร็จสนิ ้ ทกุ ขนั้ ตอนแล้ว ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนน
จากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
ในเล่มของตนเอง เพือ่ ประเมินความก้าวหน้าของตนเอง
8. ครูควรจดั ซอ่ มเสริมนกั เรียนที่มีผลการทดสอบไม่ผ่านเกณฑ์ท่ีกาหนด
9. ครูควรให้กาลงั ใจ คาแนะนา หรือเทคนิควิธีท่ีเหมาะกบั ความแตกตา่ ง
ของนกั เรียนแตล่ ะคน

2

คาแนะนาสาหรบั นกั เรียน

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มท่ี 6 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่เี ป็ นกาลังสองสมบูรณ์
ใช้เพอื่ ฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หลงั จากเรียนเนือ้ หาในบทเรียน
เสร็จสนิ ้ แล้ว ซงึ่ นกั เรียนควรปฏิบตั ิตามคาแนะนาตอ่ ไปนี ้

1. ศกึ ษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทกั ษะ
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพอื่ วดั ความรู้พนื ้ ฐาน
3. ศกึ ษาเนือ้ หาในบทเรียนและตวั อย่างให้เข้าใจ หรือถามครูให้ชว่ ยอธิบาย
เพม่ิ เติมก่อนทาแบบฝึกทกั ษะแต่ละชดุ
4. ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะที่ 1 จานวน 16 ข้อ และแบบฝึกทกั ษะที่ 2
จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที และทาแบบฝึกทกั ษะท่ี 3 จานวน 8 ข้อ
และแบบฝึกทกั ษะที่ 4 จานวน 6 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที
5. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จสนิ ้ ตามเวลาท่ีกาหนด ให้นกั เรียนตรวจคาตอบ
ด้วยตนเองจากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
6. ให้ทาแบบทดสอบหลงั เรียน จานวน 10 ข้อ และตรวจคาตอบด้วยตนเอง
จากเฉลยในส่วนภาคผนวก
7. บนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแต่ละคน เพื่อประเมนิ
การพฒั นาและความก้าวหน้าของตนเอง
8. ในการปฏบิ ตั กิ ิจกรรมทกุ ครัง้ นกั เรียนควรซ่ือสตั ย์ตอ่ ตนเอง โดยไมเ่ ปิดเฉลย
แล้วตอบ หรือลอกคาตอบจากเพ่ือน

3

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 : พีชคณิต
มาตรฐาน ค 4.1: เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และ

ฟังก์ชนั

สาระท่ี 6: ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1: มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล การส่ือสาร

การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์

ผลการเรียนรู้

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีอยใู่ นรูปกาลงั สองสมบรู ณ์ได้

4

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ด้านความรู้

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1. การให้เหตผุ ล
2. การส่ือสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอ
3. การเชื่อมโยง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. มีวินยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มีความมงุ่ มน่ั ในการทางาน

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามต่อไปนี ้แล้วเขียนเคร่ืองหมาย X บนตวั เลือก
ที่ถกู ต้องที่สดุ เพยี งข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. จงหาคา่ k ท่ีทาให้ x2 + 10x + k เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 5 ข. 10

ค. 20 ง. 25

2. จงหาค่า k ที่ทาให้ 16x2 – 8x + k เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. 8

3. จงหาค่า k ที่ทาให้ 9y2 – k + 4 เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 3y ข. 3y2

ค. 12y ง. 12y2

4. จงหาค่า k ท่ีทาให้ k + 30x + 9 เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 25x2 ข. 36x2

ค. 125x2 ง. 225y2

5. ข้อใดผิด

ก. x2 – 6x + 9 = (3 – x)2 ข. x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

ค. 25x2 + 20xy + 4y2 = (5y + 2x)2 ง. 4x2 – 44xy + 121y2 = (11y – 2x)2

6

6. ถ้าแยกตวั ประกอบของ 9(x + 2)2 – 6(x + 2) + 1 = (ax + b)2 จงหาคา่ ของ

b2 – a2

ก. 9 ข. 16

ค. -9 ง. -16

7. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 81x2 + 360x + 400

ก. (9x – 20)2 ข. (9x + 20)2

ค. (3x – 40)2 ง. (3x – 40)2

8. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81

ก. (3x – 45)2 ข. (3x + 9)2

ค. (6x – 45)2 ง. (6x + 45)2

9. (3a + 2)2 เป็นตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 9a2 – 12a – 4 ข. 3a2 + 12a + 4

ค. 9a2 + 12a + 4 ง. 3a2 + 12a – 4

10. (7a – 2b)2 เป็นตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 49a2 – 4b2 ข. 49a2 – 28ab – 4b2

ค. 49a2 + 4b2 ง. 49a2 – 28ab + 4b2

ทาข้อสอบก่อนเรียน
กันแล้ว เราไปลุย
เนือ้ หากนั เลยครับ

7

เนือ้ หาบทเรยี น

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็ นกาลังสองสมบรู ณ์

พหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ เป็นพหนุ ามท่ีมีลกั ษณะพเิ ศษ คือ
“เม่ือแยกตวั ประกอบแล้วจะได้พหนุ ามดีกรีหนงึ่ ที่ ซา้ กัน ”

พหนุ ามดีกรีสองดงั กลา่ วนีจ้ ะมีลกั ษณะพเิ ศษที่สงั เกตได้ดงั นี ้
A2 + 2AB + B2 หรือ A2 – 2AB + B2

หรือเขียนได้ดงั รูป

(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2

และพหนุ ามที่อย่ใู นรูปกาลงั สองสมบรู ณ์สามารถแยกตวั ประกอบได้ดงั นี ้

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2 อ้อ!...น่ีคอื สตู รการแยก
A2 – 2AB + B2 = (A – B)(A – B) = (A – B)2 ตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง
ท่เี ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์นนั่ เอง..
หรือให้ง่ายต่อการจาเราจะใช้คาว่า
เข้าใจแล้วจ้า

(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
(หน้า)2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2

8

เม่ือเข้าใจสูตรและท่มี าของพหนุ ามดีกรีสอง
ท่เี ป็ นกาลังสองสมบรู ณ์กนั แล้ว กถ็ งึ เวลาท่เี ราจะต้อง

ศึกษาตวั อย่างการแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ในรูปแบบต่าง ๆ ดังต่อไปนี.้ . Let’s go!

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 24x + 144
วิธีทา x2 + 24x + 144 = x2 + 2(12)x + (12)2
ดงั นัน้ x2 + 24x + 144 = (x + 12)2

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 30x + 225
วิธีทา x2 + 30x + 225 = x2 + 2(15)x + (15)2
ดังนัน้ x2 + 30x + 225 = (x + 15)2

ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 26x + 169
วธิ ีทา x2 – 26x + 169 = x2 – 2(13)x + (13)2
ดงั นัน้ x2 – 26x + 169 = (x – 13)2

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 32x + 256
วธิ ีทา x2 – 32x + 256 = x2 – 2(16)x + (16)2
ดงั นัน้ x2 – 32x + 256 = (x – 16)2

9

ตัวอย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 25x2 + 20x + 4
วิธีทา 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22
ดังนัน้ 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2

ตวั อย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 – 12x + 9
วธิ ีทา 4x2 – 12x + 9 = (2x)2 – 2(2x)(3) + 32
ดงั นัน้ 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2

นอกจากนี ้เราสามารถใช้สตู ร

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)(A – B) = (A – B)2

ในกรณีที่ A และ B เป็นพหนุ าม ในการแยกตวั ประกอบ ดงั ตวั อย่างต่อไปนี ้

ตวั อย่างท่ี 7 จงแยกตวั ประกอบของ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49

วิธีทา (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 1)2 + 2(x + 1)(7) + 72

= [(x + 1) + 7]2 A คอื x + 1
B คอื 7

ดังนัน้ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)2

10

ตัวอย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2

วธิ ีทา 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (2x)2 – 4x(x – 3) + (x – 3)2
= (2x)2 – 2(2x)(x – 3) + (x – 3)2

= [2x – (x – 3)]2 A คือ 2x
= (2x – x + 3)2
B คอื x – 3
ดังนัน้ 4x2– 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (x + 3)2

จากตัวอย่างการแยกตวั ประอบของพหนุ ามข้างต้น มีข้อแนะนา ดงั นี้

1. การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ควรตรวจสอบ
ความถกู ต้องให้ครบทกุ พจน์ เช่น ตรวจสอบความสอดคล้องของพจน์หน้า
พจน์กลาง และพจน์หลงั เป็นต้น

2. ควรตรวจสอบความสมั พนั ธ์ของพจน์หน้าและหลงั จากการสงั เกตลกั ษณะ
ของพจน์กลาง คือ ต้องมี 2 เป็นตวั ประกอบ และตวั ประกอบของพจน์กลาง
ได้มาจากพจน์หน้าและพจน์ท้าย เช่น 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2 (2x) (3) + 32
เป็นต้น

3. ควรจดจาสตู รให้แม่นยา เพื่อนาไปประยกุ ต์ใช้กบั บทเรียนที่เกี่ยวข้องต่อไป

“อยา่ ลมื ตรวจสอบความ
สอดคลอ้ งของแต่ละพจนใ์ ห้
ถูกตอ้ งตามสูตรด้วยนะจะ๊ ”

11

แบบฝึกทักษะท่ี 1
1

คาชีแ้ จง 1) ให้นกั เรียนเตมิ ข้อความลงในช่องวา่ งให้สมบรู ณ์เพ่ือทาให้เป็นพหนุ าม
ท่ีอย่ใู นรูปกาลงั สองสมบรู ณ์

2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 16 คะแนน)

1) x2 + 10x + …….. 2) x2 – 16xy + ……..

3) x2 + 18x + …….. 4) 4x2 + 8x + …….

5) 36x2 – 60x + …….. 6) x2 + ……… + y2

7) a2 + ……… + 4y2 8) 4a2 + ..…… + 25

9) ………. + 4x + 1 10) ………. + 18xy + y2

11) ………. + 28a2 + 49 12) ………. + 8x + 1

13) ………. + 30x + 9 14) (x – y)2 – …….. + 4

15) ………. – 12(x + 1) + 9 16) x2+ …….. + 9

12

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2
1

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1) x2 – 6x + 9 = x2 – 2(…..)x + 32 = (x – ….)(x – ….) = (x – ….)2

2) x2 – 28x + 196 = ……………………………………………………

3) x2 + 48x + 576 = ……………………………………………………

4) x2 – 60x + 900 = ……………………………………………………

5) x2 + 50x + 625 = ……………………………………………………

6) x2 – 100x + 2,500 = ……………………………………………………

7) x2 + 64x + 1,024 = ……………………………………………………

8) 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(....)x + (…..)2 = (x + ….)2

9) 25x2 – 40x + 16 = ……………………………………………………

10)4x2 + 20x + 25 = ……………………………………………………

13

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3
1

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 8 คะแนน)

1) 4x2 – 12x + 9 = ……………………………………………………
2) 16x2 + 8x + 1 = ……………………………………………………
3) 100x2 + 20x + 1 = ……………………………………………………
4) 4x2 – 12x + 9 = ……………………………………………………
5) 36x2 + 108x + 81 = ……………………………………………………
6) (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169

= (4x – 5)2 – 2(......)(………..) + (……)2
= ……………………………………………………
7) 9(x – 1)2 – 30(x – 1) + 25
= […(……….)]2 – 2(.…)(….)(x – 1) + (…..)2
= ……………………………………………………
8) 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81
= ……………………………………………………
= ……………………………………………………

14

แบบฝึกทักษะท่ี 4
1

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 6 คะแนน)

ตัวอย่าง (แบบยาก) 4y2 – 12xy + 9x2
วธิ ีทา 4y2 – 12xy + 9x2 = (2y)2 – 2(2y)(3x) + (3x)2

= (2y – 3x)2

1) 100x2 – 60xy + 9y2 = (10x)2 – 2(…..)(…..) + (3y)2
2) 36x2 + 84xy + 49y2 = ……………………………………………
3) 49x2 – 28xy + 4y2 = (……)2 + 2(……)(……) + (……)2
4) 4x2 – 20xy + 25y2 = ……………………………………………
5) 25x2 – 10xy + y2 = ……………………………………………
6) 49x2 + 42xy + 9y2 = ……………………………………………
= ……………………………………………
= ……………………………………………
= ……………………………………………
= ……………………………………………
= ……………………………………………
= ……………………………………………

15

แบบทดสอบหลังเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามตอ่ ไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องที่สดุ เพยี งข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. (7a – 2b)2 เป็นตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 49a2 – 4b2 ข. 49a2 – 28ab – 4b2

ค. 49a2 + 4b2 ง. 49a2 – 28ab + 4b2

2. จงหาค่า k ที่ทาให้ x2 + 10x + k เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 5 ข. 10

ค. 20 ง. 25

3. จงหาค่า k ที่ทาให้ 16x2 – 8x + k เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 1 ข. 2

ค. 4 ง. 8

4. (3a + 2)2 เป็นตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 9a2 – 12a – 4 ข. 3a2 + 12a + 4

ค. 9a2 + 12a + 4 ง. 3a2 + 12a – 4

5. จงหาคา่ k ที่ทาให้ 9y2 – k + 4 เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 3y ข. 3y2

ค. 12y ง. 12y2

16

6. ข้อใดผดิ

ก. x2 – 6x + 9 = (3 – x)2 ข. x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

ค. 25x2 + 20xy + 4y2 = (5y + 2x)2 ง. 4x2 – 44xy + 121y2 = (11y – 2x)2

7. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81

ก. (3x – 45)2 ข. (3x + 9)2

ค. (6x – 45)2 ง. (6x + 45)2

8. ถ้าแยกตวั ประกอบของ 9(x + 2)2 – 6(x + 2) + 1 = (ax + b)2 จงหาคา่ ของ

b2 – a2

ก. 9 ข. 16

ค. -9 ง. -16

9. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 81x2 + 360x + 400

ก. (9x – 20)2 ข. (9x + 20)2

ค. (3x – 40)2 ง. (3x – 40)2

10. จงหาคา่ k ท่ีทาให้ k + 30x + 9 เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ก. 25x2 ข. 36x2

ค. 125x2 ง. 225y2

17

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ด้านความรู้

- แบบฝึกทกั ษะที่ 1: เติมข้อความลงในชอ่ งว่างได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 2– 4: เตมิ คาตอบในช่องว่างได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน: ตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ

การให้เหตผุ ล การสื่อสาร และการเช่ือมโยง แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

มีวินยั ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มนั่ ในการทางาน แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถงึ ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

18

การผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1– 4 นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

19

แบบบันทึกคะแนน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน

2. ให้ทาเครื่องหมาย ท่ีชอ่ งสรุปผลตามผลการประเมนิ จากแบบฝึกทกั ษะ
แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน สรุปผล
เตม็ ท่ไี ด้ ผ่าน ไม่ผ่าน
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 10
2 แบบฝึกทกั ษะ 1 16
3 แบบฝึกทกั ษะ 2 10
4 แบบฝึกทกั ษะ 3 8
5 แบบฝึกทกั ษะ 4 6
5 แบบทดสอบหลงั เรียน 10

วธิ ีคดิ คะแนนนะครับ
ให้นกั เรียนนาคะแนนของตนเองในแต่ละรายการคณู กบั 100 แล้วหารด้วย

คะแนนเตม็ ของแตล่ ะรายการ เทา่ นี ้นกั เรียนก็จะรู้ว่าตนเองผา่ นหรือไมผ่ า่ นการทดสอบ
แล้วล่ะครับ

ตัวอย่าง พราวได้คะแนนจากแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 13 คะแนน จากคะแนนเตม็ 15 คะแนน

คดิ เป็นร้อยละได้ดงั นี ้ 13100  86.67
15
ดงั นนั้ พราวมีคะแนน 86.67% และผ่านการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะ 1

คิดเป็นแลว้ ใชไ่ หมครบั .. ถา้ อย่างน้นั เราควรนาผลการประเมินมาพัฒนาตนเองด้วยนะ ^^

20

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
ภมู ิบณั ฑิต, 2550.

ชลธิศ พทิ ยงั กรู และคณะ. ส่ือเสริมสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.2
เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2550.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2553.
เทพฤทธ์ิ ยอดใส และอดุ มศกั ดิ์ ลกู เสือ. ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.2.

กรุงเทพฯ : เพมิ่ ทรัพย์การพมิ พ์, 2553.
พรรณี ศลิ ปะวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปี ท่ี 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซน็ เตอร์, 2554.
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2547.

ภาคผนวก

22

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1

1) x2 + 10x + …25….. 2) x2 – 16xy + …64y2…..

3) x2 + 18x + …81….. 4) 4x2 + 8x + …4….

5) 36x2 – 60x + …25….. 6) x2 + …2xy…… + y2

7) a2 + …4ay…… + 4y2 8) 4a2 + …20a…. + 25

9) …4x2... + 4x + 1 10) …81x2…. + 18xy + y2

11) …2a4…. + 28a2 + 49 12) …16x2…. + 8x + 1

13) …25x2…. + 30x + 9 14) (x – y)2 – …4(x – y)….. + 4

15) 4(x + 1)2 - 12(x + 1) + 9 16) x2+ …6x….. + 9

23

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2

1) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
2) x2 – 28x + 196 = (x – 14)2
3) x2 + 48x + 576 = (x + 24)2
4) x2 – 60x + 900 = (x – 30)2
5) x2 + 50x + 625 = (x + 25)2
6) x2 – 100x + 2,500= (x - 50)2
7) x2 + 64x + 1,024 = (x + 32)2
8) 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2
9) 25x2 – 40x + 16 = (5x – 4)2
10) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2

24

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3

1) 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2

2) 16x2 + 8x + 1 = (4x + 1)2

3) 100x2 + 20x + 1 = (10x + 1)2

4) 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2

5) 36x2 + 108x + 81 = (6x + 9)2

6) (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169 = [(4x – 5) – 13]2

= (4x – 18)2

7) 9(x – 1)2 – 30(x – 1) + 25 = [3(x – 1) – 5]2

= (3x – 3 – 5)2

= (3x – 8)2

8) 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 = [6(x + 6) + 9]2

= (6x + 36 + 9)2

= (6x + 45)2

25

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4

1) 100x2 – 60xy + 9y2 = (10x)2 – 2(10x)(3y) + (3y)2
= (10x – 3y)2

2) 36x2 + 84xy + 49y2 = (6x)2 + 2(6x)(7y) + (7y)2
= (6x + 7y)2

3) 49x2 – 28xy + 4y2 = (7x)2 – 2(7x)(2y) + (2y)2
= (7x – 2y)2

4) 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x)2 – 2(2x)(5y) + (5y)2
= (2x – 5y)2

5) 25x2 – 10xy + y2 = (5x)2 – 2(5x)(y) + (y)2
= (5x – y)2

6) 49x2 + 42xy + 9y2 = (7x)2 + 2(7x)(3y) + (3y)2
= (7x + 3y)2

26

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

1. ง. 6. ข.
2. ก. 7. ข.
3. ค. 8. ง.
4. ก. 9. ค.
5. ค. 10. ง.

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

1. ง. 6. ค.
2. ง. 7. ง.
3. ก. 8. ข.
4. ค. 9. ข.
5. ค. 10. ก.

27

คารบั รองของผบู้ งั คับบญั ชา

ขอรับรองวา่ แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ ท่ี 6 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็น
กาลงั สองสมบรู ณ์ เป็นผลงานของ นายชเู กียรติ สยุ ะลงั กา ตาแหนง่ ครูชานาญการ
โรงเรียนวชั รวิทยา ซงึ่ ได้พฒั นาขนึ ้ เพอ่ื ใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน
ของครูและสร้างองค์ความรู้ให้แก่นกั เรียน จงึ อนญุ าตให้ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยก
ตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 ในสถานศกึ ษาได้

(นายจานง อนิ ทพงษ์)
ผ้อู านวยการโรงเรียนวชั รวิทยา