ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์4

นางรตั นา สะสม
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา
อาเภอเมอื ง จงั หวดั กาแพงเพชร
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพื่อใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ค33202
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6 มุง่ หวงั ใหน้ กั เรียนไดศ้ ึกษาฝึกการเรียนรู้
พฒั นากระบวนการคิดแกป้ ัญหา โดยนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการ
ตดั สินใจแกป้ ัญหา ตลอดจนมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ โดยแบ่งออกเป็น 5 ชุด
ดงั น้ี

1. ชุดท่ี 1 เร่ืองลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
2. ชุดท่ี 2 เรื่องลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต
3. ชุดท่ี 3 เร่ืองลิมิตของลาดบั
4. ชุดที่ 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
5. ชุดท่ี 5 เรื่องสัญลกั ษณ์แทนการบวก

ชุดกิจกรรมน้ีเป็ นชุดท่ี 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ ประกอบดว้ ย คาช้ีแจง
สาระมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั ใบความรู้
ตวั อยา่ ง ใบกิจกรรม แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน กิจกรรม
ประลองปัญญา ทา้ ใหค้ ิด พิชิตปัญหา พร้อมเฉลย นกั เรียนสามารถทากิจกรรม
ประเมินความรู้และตรวจสอบเองได้

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์น้ี จะเป็นประโยชน์
ต่อนกั เรียนในการศึกษาหาความรู้ใหก้ บั ตนเอง ท้งั น้ีตอ้ งขอขอบคุณผทู้ ี่มีส่วนเก่ียวขอ้ ง
ทุกทา่ นที่ใหค้ าแนะนา สนบั สนุนในการจดั ทาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มา ณ โอกาสน้ี

รัตนา สะสม

สำรบญั

หนา้

คาช้ีแจงการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์........................................... 1
สาระ และมาตรฐานการเรียนรู้…………………............................................ 2
ผลการเรียนรู้………………………………………………………………… 3
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้...................................................................................... 3
แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนนั ต์……………… 4
สาระสาคญั ...................................................................................................... 7
ประลองปัญญา………………….................................................................... 8
ใบความรู้ 4.1 เรื่อง ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรมอนนั ต์……………… 9
ใบกิจกรรม 4.1……………………………………………………………… 13
ทา้ ใหค้ ิด…………………………………………………………………….. 14
ใบความรู้ 4.2 เรื่อง ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์……………………………… 15
ใบกิจกรรม 4.2……………………………………………………………… 21
ใบกิจกรรม 4.3…………………..………………………………………….. 22
ใบความรู้ 4.3 เร่ือง ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

ท่ีเป็นอนุกรมอนนั ต์………...................................................................25
ใบกิจกรรม 4.4…………………..………………………………………….. 27
พชิ ิตปัญหา...................................................................................................... 30
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนนั ต์………………31
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ชุดที่ 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนนั ต.์ ................................................. 34
แบบบนั ทึกคะแนน ชุดท่ี 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนนั ต…์ ………………35
บรรณานุกรม................................................................................................... 36

สำรบญั (ต่อ)

หนา้

ภาคผนวก
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน.......................................................... 38
- เฉลยกิจกรรมประลองปัญญา……………………………………. 39
- เฉลยกิจกรรม 4.1……….……………………………………….. 40
- เฉลยกิจกรรมทา้ ใหค้ ิด…………………………………………… 41
- เฉลยกิจกรรม 4.2 ... …………………………………………… 42
- เฉลยกิจกรรม 4.3 …. …………………………………………… 43
- เฉลยกิจกรรม 4.4 …. …………………………………………… 49
- เฉลยกิจกรรมพชิ ิตปัญหา............................................................... 51
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน…………………………………….. 52

1

คำชี้แจงกำรใช้ชุดกจิ กรรมกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชุดท่ี 4 เร่ือง ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6
ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิตามข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี (ใชเ้ วลาเรียน 4 ชว่ั โมง)
1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบก่อนเรียน
2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาในใบความรู้

และตวั อยา่ งก่อนทาใบกิจกรรมแตล่ ะชุด
3. ทาใบกิจกรรมและตรวจสอบคาตอบจากเฉลย
4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบหลงั เรียน
5. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกผลคะแนนท่ีไดจ้ ากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบกิจกรรม และ

แบบทดสอบหลงั เรียนไวใ้ นตารางบนั ทึกคะแนนทุกคร้ัง
6. นกั เรียนส่งกระดาษคาตอบ ใบกิจกรรม และตารางบนั ทึกคะแนน ใหค้ รูตรวจสอบ

ความถูกตอ้ งทุกคร้ัง

ใหน้ กั เรียนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ดว้ ยความต้งั ใจ และซ่ือสัตย์
ต่อตนเอง เพ่ือพฒั นาและส่งเสริมทกั ษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนาไปใช้
ในการศึกษาต่อในระดบั ที่สูงข้ึน และใชใ้ นชีวติ ประจาวนั

เรียนให้สนุกนะคะ…

2

สำระ และมำตรฐำนกำรเรียนรู้

สำระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์
(Mathematical model) อื่น ๆ แทนสถานการณ์ต่างๆตลอดจน
แปลความหมาย และนาไปใชแ้ กป้ ัญหา

สำระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเช่ือมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์
ม.4-6/1 ใชว้ ธิ ีการท่ีหลากหลายแกป้ ัญหา
ม.4-6/2 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ตา่ ง ๆ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/4 ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร การส่ือความหมาย
และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งและชดั เจน
ม.4-6/5 เช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเช่ือมโยงกบั ศาสตร์อ่ืน ๆ
ม.4-6/6 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

3

ผลกำรเรียนรู้

1. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ตไ์ ด้
2. นาความรู้เรื่องลาดบั และอนุกรมไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

จุดประสงค์กำรเรียนรู้
1. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมท่ีกาหนดใหไ้ ด้
2. บอกไดว้ า่ อนุกรมท่ีกาหนด เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series) หรือ
อนุกรมลู่ออก(Divergent series)
3. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ตไ์ ด้
4. แกโ้ จทยป์ ัญหาเกี่ยวกบั อนุกรมอนนั ตไ์ ด้

มีเพียงสิ่งเดียวในชีวติ ที่จะสามารถพชิ ิตได้
โดยไมต่ อ้ งใชค้ วามพยายามมากมาย คือ ความลม้ เหลว
"The only thing in life achieved without effort is failure."

- - Anonymous - -

ไม่มีคำว่ำ “ล้มเหลว”
สำหรับเรำ

4

แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนันต์

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกที่สุดแลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7+ … มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 225 ข. 215
ค. 209 ง. 119

2. ถา้ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 5 1 1  1  ... เทา่ กบั 6.25

5 25

จงหาจานวนพจน์ของอนุกรม

ก. 4 พจน์ ข. 6 พจน์

ค. 8 พจน์ ง. 10 พจน์

3. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 2 + 0.2 + 0.02 + 0.002 + … มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 20  1  1 ข. 21  1 
9  10n   10n 

ค. 20 1  1  ง. 2 1  1
9  10n   10n 

4. จงพิจารณาอนุกรม 16 + 8 + 4 + 2 + 1 +… มีคุณสมบตั ิตามขอ้ ใด
ก. เป็นอนุกรมลู่ออก
ข. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากบั 1
ค. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเทา่ กบั 16
ง. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเทา่ กบั 32

5

5. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึงมีพจน์ที่ n เทา่ กบั 33 ผลบวก n พจน์แรกเทา่ กบั 195
และผลตา่ งร่วมเท่ากบั 3 จงหาพจนแ์ รกและ n
ก. พจนแ์ รกเท่ากบั 6 และ n = 13
ข. พจนแ์ รกเท่ากบั 6 และ n = 10
ค. พจน์แรกเทา่ กบั -3 และ n = 10
ง. พจน์แรกเท่ากบั -1 และ n = 13

6. ลูกบอลลูกหน่ึงตกลงจากท่ีสูง 16 เมตร ในแนวด่ิง ถา้ ทุกคร้ังท่ีลูกบอลกระทบพ้ืน

จะกระดอนข้ึนไปไดเ้ ป็ นระยะ 3 ของระยะทางท่ีตกลงมา เช่นน้ีไปเร่ือย ๆ จงหา

4

ระยะทางท้งั หมดที่ลูกบอลเคล่ือนท่ีไดใ้ นแนวด่ิงก่อนลูกบอลจะหยดุ นิ่ง

ก. 16 เมตร ข. 32 เมตร

ค. 48 เมตร ง. 64 เมตร

7. ลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1  1  1  ... 1 ตรงกบั ขอ้ ใด
10 100 1000 10 n

ก. 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,...

10 100 1000 10n

ข. 1 , 11 , 111 ,..., 1 1  1 ,...
10 100 1000 9  10 n 

ค. 1 ,1 ,1 ,..., 1 1  1 ,...
10 100 1000 9  10 n 

ง. 1 , 11 , 111 ,..., n ,...

10 100 1000 10n

8. ขอ้ ใดคือผลบวกของอนุกรม 1  1  1  ...

8  9 9 10 10 11

ก. 1 ข. 1

89

ค. 1 ง. หาผลบวกไมไ่ ด้

72

6

9. จงหาค่า x ถา้ 1  x  x 2  x3  ...  2

3

ก. 2 ข. 1

2

ค.  1 ง. -2

2

10. ขอ้ ใดคือผลบวกของอนุกรม 1  1 5  5 1 7  ...  2n 1  1  ...
1 3 3 
 12n

ก. -2 ข.  1

2

ค. 1 ง. 2

2

สู้ สู้ ....

7

สำระสำคญั

อนุกรม (Series) คือ ผลบวกของพจน์ทุกพจนใ์ นลาดบั
ซ่ึงแบ่งได้ 2 ประเภท คือ
- อนุกรมจากดั (Finite series) คือ อนุกรมที่เกิดจากลาดบั จากดั

a1  a2  a3  a4  ...  an 
- อนุกรมอนนั ต์ (Infinite series) คือ อนุกรมท่ีเกิดจากลาดบั อนนั ต์

a1  a2  a3  a4  ...  an  ...

ผลบวกของอนุกรมอนันต์

มีค่ำเท่ำกบั lim Sn

n

Sn คืออะไร…? ???...

8

ประลองปัญญำ

ตัวเลขทอ่ี ยู่ในกระป๋ องเป็ นตัวเลขทมี่ คี วำมสัมพนั ธ์กัน

อ้ำว... แล้วตวั เลขในกระป๋ องท่ี
หำยไป เป็ นเลขอะไรล่ะ...???

9

ใบควำมรู้ 4.1
เรื่อง ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมอนันต์

(ใช้เวลำ 15 นำท)ี

กาหนด a1  a2  a3  a4  ... an  ... เป็ นอนุกรมอนนั ต์
ให้ S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3


Sn  a1  a2  a3  ...  an2  an1  an

เรียก Sn วา่ ผลบวกย่อย (Partial sum) n พจน์แรกของอนุกรม
เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก

เรียกลาดบั อนนั ต์ S1,S2,S3,...,Sn,... วา่ ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม

ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
ให้ a1,a2,a3,...,an เป็ นลาดบั เลขคณิต มี d เป็ นผลตา่ งร่วม
และ Sn  a1  a2  a3  a4  ...  an2  an1  an

Sn  n a1  an 
2

หรือ Sn  n 2a1  n  1d 
2

ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณติ
ให้ a1,a2,a3,...,an เป็ นลาดบั เรขาคณิต มี r เป็ นอตั ราส่วนร่วม
และ Sn  a1  a2  a3  a4  ...  an2  an1  an

 Sn
 a1 rn 1
r 1
 Sn
หรือ  a1 1  rn เม่ือ r  1
1 r

10

ตวั อย่ำงท่ี 1 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1 1  1  1  ...

10 100 1000

วธิ ีทำ จากอนุกรมท่ีกาหนด จะไดว้ า่

S1  1

S2 1 1  11
10 10

S3 1 1  1  111
10 100 100



Sn 1 1  1  ... 1
10 100 10 n 1

เนื่องจากเป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  1 และ r  1
10

11   1 n 
 10  
ดงั น้นั Sn 
1 1
10

จะไดว้ า่ Sn  10 1   1 n 
9  10  

นนั่ คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 1 1  1  1  ...

10 100 1000

คือ Sn  10 1   1 n 
9  10  

11

ตัวอย่ำงท่ี 2 จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 5  3 1 1  3 ...

วธิ ีทำ จากอนุกรมที่กาหนด จะไดว้ า่

S1  5

S2  5  3 8

S3  5  3  1 9

S4  5  3  1  1  8



Sn  5  3  1  1   3  ...  7  2n

เน่ืองจากเป็ นอนุกรมเลขคณิต มี a1  5 และ d  -2

ดงั น้นั Sn  n 25  n  1 2
2

Sn  n 12  2n
2

หรือ Sn  6n  n2

จะไดว้ า่ S10  610  102

 40

นน่ั คือ ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 5  3 1 1  3 ...
มีคา่ เท่ากบั -40

12

ตัวอย่ำงท่ี 3 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 1  1  1  ...

3  7 7 11 1115

วธิ ีทำ จากอนุกรมท่ีกาหนดไมเ่ ป็ นท้งั อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

จึงตอ้ งหา Sn ดว้ ยการจดั รูป ดงั น้ี

a1  1  1  1  1 
37 43 7

a2  1 1  1  1 
7 11 4  7 11 

a3  1 1  1  1 
11  15 4 11 15 



an  4n 1  3  1  1 1  1 3 
4  4n  4n  
 14n

Sn  1  1  1    1  1    1  1   ...  1  1 3 
4 3 7   7 11   11 15   4n 1 4n 

 1  1  1 3 
4  3 4n  

 n

34n  3

นนั่ คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 1  1  1  ...

3  7 7 11 1115

คือ Sn  n 3

34n 

13

ใบกจิ กรรม 4.1

ชื่อ…...................................................................ชั้น…………….เลขท่ี..........คะแนนที่ได.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมในแต่ละขอ้ แลว้ เติมในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 20 นาที (13 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ อนุกรม S1 S2 S3 Sn
1 1+3+5+7+9+…

2  5   2 1 4  ...

3 1 + 3 + 9 + 27 + …

4 3 1 1  1  ...

39

5 5   5  5   5  5  ...
6 3 + 15 + 75 + 375 + …

7 1  1  1  ...

18 6 2

8 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ …
9 9 + 90 + 900 + 9,000 + …

10 1  1  1  1  ...

2 4 8 16

11 1  1  1  1  ...

12 23 34 45

12 10  6  2   2  ...
13 2  2  2  2  ...

10 100 1000 10000

ตอบใหค้ รบทุกช่องนะครับ

14

ท้ำให้คดิ

มรดกเจา้ คุณป่ ู

พินยั กรรมของคุณป่ ู ผมู้ ีหลานถึง 10 คนดว้ ยกนั ระบุไวว้ า่ “หลานที่มีรายช่ือ
เป็นคนแรกจะไดเ้ งินมากท่ีสุด คนถดั ไปกไ็ ดน้ อ้ ยลงไป และคนสุดทา้ ยในรายชื่อ
กจ็ ะไดเ้ งินนอ้ ยท่ีสุด” โดยจานวนเงินท้งั หมดท่ีคุณป่ ูจะแบ่งใหค้ ือ 1,000,000 บาท
และแต่ละคนจะไดเ้ งินเป็นจานวนท่ีต่างกนั ในสัดส่วนที่เท่า ๆ กนั ทุกคน

ถา้ หลานคนที่ 8 ไดม้ รดกเป็นเงินจานวน 60,000 บาท ทราบไหมวา่ อีก 9 คน
จะไดร้ ับเงินคนละเท่าไหร่กนั บา้ งเอ่ย?????

คุณป่ ใู จดจี ังเลย
เรำจะได้รับเงนิ คนละเท่ำไหร่...

15

ใบควำมรู้ 4.2
เรื่อง ผลบวกของอนุกรมอนันต์

(ใช้เวลำ 25 นำท)ี

กาหนด a1  a2  a3  a4  ... an  ... เป็ นอนุกรมอนนั ต์
ให้ S1,S2,S3,...,Sn,... เป็ นลาดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมน้ี

ถา้ ลาดบั Sn เป็นลาดบั ลู่เขา้ โดย lim Sn  S เม่ือ S เป็ นจานวนจริ ง

n

จะไดว้ า่ อนุกรม a1  a2  a3  a4  ... an  ... เป็ น อนุกรมลู่เข้ำ

(Convergent series) และเรียก S วา่ ผลบวกของอนุกรม

ถา้ ลาดบั Sn เป็ นลาดบั ลู่ออก จะไดว้ า่ อนุกรม a1  a2  a3  a4  ... an  ...
เป็น อนุกรมลู่ออก (Divergent series)

สรุปว่ำ การตรวจสอบวา่ อนุกรมอนนั ตล์ ู่เขา้ หรือลู่ออก ตอ้ งทาดงั น้ี

1. หา Sn ของอนุกรมอนนั ตน์ ้นั

2. หา lim Sn ถา้ lim Sn  S เป็ นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

n n

มีผลบวกเทา่ กบั S

ถา้ lim Sn หาคา่ ไม่ได้ เป็ นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

n

16

ตวั อย่ำงท่ี 1 อนุกรม 2+ 7+ 12+ 17+ …+ (5n-3)+ … เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทำ อนุกรมที่กาหนด เป็ นอนุกรมเลขคณิต มี a1  2 และ an  5n  3

จากสูตร Sn  n a1  an 
จะไดว้ า่ 2

Sn  n 2  5n  3
2

 5n 2  n
22

นนั่ คือ nlim 5n 2 n 
2 2
lim Sn  

n

จากทฤษฎีบท 1 จะได้ nlim 5n 2 n  หาค่าไมไ่ ด้
2 2


ดงั น้นั อนุกรม 2+ 7+ 12+ 17+ …+ (5n-3)+ …
เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

17

ตัวอย่ำงท่ี 2 อนุกรม 5 1  1  1  ...  1  ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
5 25 5n2

ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทำ อนุกรมท่ีกาหนด เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  5 และ r  1

 Sn 5

จากสูตร  a1 1  rn
1 r

51   1 n 
 5  
จะไดว้ า่ Sn 
1 1
5

 25 1  1 
4  5n 

นน่ั คือ lim Sn  lim  25 1  1 
 4  5n
n n

 25 lim 1  1 
4 n  5n 

 25
4

ดงั น้นั อนุกรม 5 1 1  1  ...  1  ...
5 25 5n2

เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

มีผลบวกเท่ากบั 25

4

18

ตวั อย่ำงท่ี 3 อนุกรม 1  1  1  ...  2n  1  3  ...
35 57 79
12n

เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทำ อนุกรมท่ีกาหนด ไม่เป็ นอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
จดั รูปใหม่ดงั น้ี

a1  1  1  1  1 
35 23 5

a2  1  1  1  1 
57 25 7

a3  1  1  1  1 
79 27 9



a n 1  2n 1  1  1  1  1 1 
2  2n 1 2n  
 12n

an  2n 1  3  1  1  1 3 
2  2n  1 2n  
 12n

ผลบวก n พจน์ยอ่ ย a1  a2  a3  ... an  1  1  1 
23 2n  3

จะไดว้ า่ Sn  1  1  1 
23 2n  3

นนั่ คือ lim Sn  lim  1  1  1 3 
 2  3 2n 
n n

1
6

ดงั น้นั อนุกรม 1  1  1  ...  2n  1  3  ...
35 57 79
12n

เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

มีผลบวกเทา่ กบั 1

6

19

ตัวอย่ำงท่ี 4 อนุกรม 1 1  1  1  ...

1 2 1 23 1 23 4

เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทำ อนุกรมที่กาหนด เม่ือพจิ ารณาพจนท์ ี่ n จะพบวา่

an  1 2 1 n
 3  ...

 1

nn  1

2

 2 1

nn 

จะไดว้ า่

a1  2  21  1 
1 2  2

a2  2  2 1  1 
23 2 3

a3  2  2 1  1 
34 3 4



an  2  2 1  n 1 
 n  1
nn 1

ผลบวก n พจนย์ อ่ ย a1  a2  a3  ... an  21  n 1 
  1

จะไดว้ า่ Sn  21  n 1 
  1

นน่ั คือ lim Sn  lim 21  n 1 1  = 2

n n

ดงั น้นั อนุกรม 1 1  1  1  ...

1 2 1 23 1 23 4

เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

มีผลบวกเท่ากบั 2

20

ตัวอย่ำงที่ 5 รูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปหน่ึงมีดา้ นยาวดา้ นละ 10 นิ้ว รูปสามเหลี่ยม
วธิ ีทำ ดา้ นเทา่ รูปที่สองเกิดจากการตอ่ จุดก่ึงกลางของดา้ นท้งั สามของรูป
สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปแรก และรูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปที่สาม เกิดจาก
การต่อจุดก่ึงกลางดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปท่ีสอง
เร่ือย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม
ท้งั หมด ถา้ กระบวนการน้ีเกิดข้ึนต่อเน่ืองไปไม่มีที่สิ้นสุด

ผลบวกของความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหล่ียมท้งั หมด คือ

30 + 15 + 7.5 + … เป็ นอนุกรมเรขาคณิต a1  30, r 1
2

301  1  n 
 2  


ดงั น้นั Sn  1 1

2

 601   1  n 
 2  

601  1  n 
 2 
lim Sn  lim 

n n

= 60

น้นั คือผลบวกของความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหล่ียมท้งั หมดเทา่ กบั 60 นิ้ว

21

ใบกจิ กรรม 4.2

ชื่อ…...................................................................ชั้น…………….เลขที.่ .........คะแนนทีไ่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาลิมิตของ Sn และผลบวกของอนุกรมในแตล่ ะขอ้ และทาเครื่องหมาย 
ในช่องอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ใชเ้ วลา 15 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ Sn lim Sn ผลบวกของอนุกรม อนุกรมลู่เขา้ อนุกรมลู่ออก
1 3n  5
2 4n2 1 n
3 n5

23

4 1

nn 1n  2

5 n3

5n3  2

6 3n 2  2n  1

7n 2  1

7 2 1

n 1

8 2 1  n 2 1 
7 

9 4n2  3

n3

10 n5  1

n5 1

$@#...!

22

ใบกจิ กรรม 4.3

ช่อื …...................................................................ช้นั …………….เลขท่.ี .........คะแนนทไ่ี ด.้ ..................

คาช้ีแจง จงแสดงวธิ ีทาอยา่ งละเอียด ใชเ้ วลา 15 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. อนุกรม 1  1  2  ... 1  2 n1  ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
239 23

ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

23

2. อนุกรม  2   6  10  ... 2  4n ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
3. อนุกรม 25  5 1 ...  1 n3  ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก

5

ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

24

4. อนุกรม 1 1  1  ... 3n  1  4  ...
4  7 7 10 10 13
13n

เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

5. ลูกปิ งปองลูกหน่ึงตกจากตูส้ ูง 8 ฟุต ถา้ ทุกคร้ังที่ลูกปิ งปองตกกระทบพ้ืนจะกระดอน

ข้ึนเป็นระยะทาง 3 ของความสูงท่ีตกลงมา จงหาระยะทางที่ลูกปิ งปองเคล่ือนที่

4

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

25

ใบควำมรู้ 4.3
เรื่อง ผลบวกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขำคณติ

ทเ่ี ป็ นอนุกรมอนันต์

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

อนุกรมเลขคณติ

อนุกรมจำกดั Sn  n 2a1  n  1d
2

หรือ Sn  n a1  an
2

อนุกรมอนันต์ ถา้ a1  0 และ d  0 เป็ นอนุกรมลู่เข้า (Convergent series)

มีผลบวกเทา่ กบั 0

ถา้ a1  0 และ d  0 เป็ นอนกุ รมล่อู อก (Divergent series)

อนุกรมเรขำคณติ  Sn
อนุกรมจำกดั  a1 1  rn เมื่อ r  1
อนุกรมอนันต์ 1 r

ถา้ r  1 เป็ นอนุกรมล่เู ข้า (Convergent series)

มีผลบวกเท่ากบั a1

1 r

ถา้ r  1 เป็ นอนกุ รมลู่ออก (Divergent series)

ตรวจสอบก่อนวา่ เป็นอนุกรมเลขคณิต
หรือ อนุกรมเรขาคณิต

26

ตวั อย่ำงท่ี 1 จงตรวจสอบวา่ อนุกรมต่อไปน้ี เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม

1) 2 + 4 + 6 + 8 + …

2) 9  3 1  1  ...

3

3) 5 + 5 + 5 + 5+ …

4) 3  3  3  3  ...

248

5) 1  1 1  5  ...

25 5

วธิ ีทำ

1) 2 + 4 + 6 + 8 + … เป็ นอนุกรมเลขคณิต มี a1  2 และ d  2
ดงั น้นั อนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

2) 9  3 1 1  ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1 9 และ r  1
3 3

ดงั น้นั อนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

มีผลบวกเท่ากบั 9  27
1 1 2

3

3) 5 + 5 + 5 + 5 + … เป็ นอนุกรมเลขคณิต มี a1  5 และ d  0

ดงั น้นั อนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

4) 3  3  3  3  ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  3 และ r 1
248 2

ดงั น้นั อนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่เขา้ (Convergent series)

มีผลบวกเท่ากบั 3 6
1 1
2

5) 1  1 1 5  ... เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  1 และ r 5
25 5 25

ดงั น้นั อนุกรมน้ี เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

27

ใบกจิ กรรม 4.4

ช่อื …...................................................................ชน้ั …………….เลขท่.ี .........คะแนนทีไ่ ด.้ ..................

คาช้ีแจง จงตรวจสอบวา่ อนุกรมต่อไปน้ี เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ ลู่เขา้ ใหห้ าผลบวกของอนุกรม ใชเ้ วลา 10 นาที (7 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. 0 + 6 + 12 + 18 + 24 + …
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

2. 7  4  1   2   5  ...
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

28

3. 1  1  1  1  ...

4 16 64

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

4. 2   6  18   54  ...
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5. 4  4  4  4  ...

3 9 27

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

29

6. 2  5  4  1  ...

33

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

7. 243  81 27  9  ...
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

30

พชิ ิตปัญหำ

กาหนดใหร้ ูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปท่ี n+1 เกิดจากการลากเส้นตรง
ตอ่ จุดก่ึงกลางท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ รูปที่ n ถา้ กระบวนการสร้าง
รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าน้ี ไมส่ ิ้นสุด และผลบวกของเส้นรอบรูปของรูปสามเหล่ียม
ดา้ นเทา่ รูปท่ี 1 เทา่ กบั a หน่วย จงหาผลบวกของเส้นรอบรูป ของรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า
เหล่าน้ี

ความยาวรอบรูป รูปที่ 1 + รูปที่ 2 +รปู ที่ 3 +…
?.@#$%@@&...

31

แบบทดสอบหลงั เรียน
ชุดท่ี 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนันต์

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกท่ีสุดแลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรม 0 + 2 + 4 + 6+ … มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 119 ข. 201
ค. 209 ง. 210

2. ถา้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 16  8  4  2 ... เท่ากบั 31.75

จงหาจานวนพจน์ของอนุกรม

ก. 10 พจน์ ข. 8 พจน์

ค. 7 พจน์ ง. 5 พจน์

3. จงพิจารณาอนุกรม 81 + 27 + 9 + 3 + 1 +… มีคุณสมบตั ิตามขอ้ ใด
ก. เป็นอนุกรมลู่ออก
ข. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากบั 3.5
ค. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากบั 81.25
ง. เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากบั 121.5

4. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + … มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 30  1  1 ข. 31  1 
9  10n   10n 

ค. 10 1  1  ง. 3 1  1
3  10n   10n 

32

5. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึงมีพจน์ที่ n เทา่ กบั 28 ผลบวก n พจนแ์ รกเทา่ กบั 145
และผลตา่ งร่วมเท่ากบั 3 จงหาพจนแ์ รกและ n
ก. พจนแ์ รกเท่ากบั 3 และ n = 13
ข. พจน์แรกเท่ากบั 1 และ n = 10
ค. พจนแ์ รกเท่ากบั -3 และ n = 10
ง. พจนแ์ รกเท่ากบั -1 และ n = 13

6. ลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1 1 1  ...  1 1 ตรงกบั ขอ้ ใด
100 1000 10000 10n

ก. 1 , 1 , 1 , ..., 1 ,...
102 103 104 10 n 1

ข. 1 , 11 , 111 , ..., 1 1  1 , ...
102 103 104 90  10n 

ค. 1 , 11 , 111 , ..., 1 1  1 , ...
102 103 104 9  10n 

ง. 1 , 11 , 111 , ..., n , ...
102 103 104 10n

7. ขอ้ ใดคือผลบวกของอนุกรม 1  1  1  ...

7  9 9 11 1113

ก. 1 ข. 1

14 21

ค. 1 ง. หาผลบวกไม่ได้

72

8. ลูกปิ งปองลูกหน่ึงตกลงจากท่ีสูง 12 เมตร ในแนวด่ิง ถา้ ทุกคร้ังที่ลูกปิ งปองกระทบ

พ้นื จะกระดอนข้ึนไปไดเ้ ป็ นระยะ 2 ของระยะทางที่ตกลงมา เช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จงหา

3

ระยะทางท้งั หมดท่ีลูกปิ งปองเคล่ือนที่ไดใ้ นแนวด่ิงก่อนลูกปิ งปองจะหยดุ น่ิง

ก. 12 เมตร ข. 24 เมตร

ค. 32 เมตร ง. 36 เมตร

33

9. จงหาคา่ x ถา้ 1 x  x2  x3  ...  3

2

ก. 1 ข. 1

23

ค.  1 ง.  1

3 2

10. ขอ้ ใดคือผลบวกของอนุกรม 2 1 3  3 1 4  4 1 5  ...  n  1  2  ...
  
1n

ก. -2 ข.  1

2

ค. 1 ง. 2

2

34

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดที่ 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนันต์

ชื่อ.......................................................................................ช้นั ...................เลขที่...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย  ลงในช่องวา่ งที่ตรงกบั คาตอบท่ีถูกที่สุด

ทดสอบก่อนเรียน ทดสอบหลงั เรียน

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

11

22

33

44

55

66

77

88

99

10 10

คะแนนทไี่ ด้ คะแนนทไี่ ด้

$%%@*#@$%...

35

แบบบนั ทกึ คะแนน
ชุดท่ี 4 เร่ืองผลบวกของอนุกรมอนันต์

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนท่ีนกั เรียนทาไดต้ ามความเป็นจริง

กจิ กรรม คะแนนเตม็ คะแนนทไ่ี ด้ ผ่ำน 70 % สรุปผล
(ผ/มผ.)
ทดสอบก่อนเรียน
ทดสอบหลงั เรียน 10 7
ความกา้ วหนา้ 10 7
กิจกรรม 4.1 หลงั -ก่อน
กิจกรรม 4.2 13 9
กิจกรรม 4.3 10 7
กิจกรรม 4.4 10 7
รวมกิจกรรม 4.1-4.4 7 5
40 28

ลงชื่อ...............................................นกั เรียน
เลขท่ี.................ช้นั .................

เกดิ มำท้งั ที…
ต้องขยนั ศึกษำ ค้นคว้ำ

36

บรรณำนุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2555). แบบฝึ กหดั และประเมนิ ผล
กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์เพม่ิ เตมิ ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพเ์ ดอะบุคส์จากดั .

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้นั พืน้ ฐำน พุทธศักรำช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั .

ชนญั ชิดา. คณติ คิดสนุก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : http://sinceremath.blogspot.com.
(วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 11 พฤศจิกายน 2556).

นงนุช สุขวารี และคณะ. (2554). คู่มืออบรมครูคณติ ศำสตร์. โครงการพฒั นาครู
วทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพวิ เตอร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย.

บล็อกเนยสีฟ้า. ภำพสัตว์ป่ ำน่ำรัก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.bloggang.com. (วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 18 พฤศจิกายน 2556).

เลิศ สิทธิโกศล. (2555). Math Review คณติ ศำสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 (เพม่ิ เตมิ ).
กรุงเทพฯ : บริษทั ไฮเอด็ พบั ลิชชิ่ง จากดั .

สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน,
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตวั ชี้วดั และสำรแกนกลำงกล่มุ สำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทยจากดั .

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คู่มือวดั ผลประเมนิ ผล
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

_______. (2554). คู่มือครูรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6 ช้ันมธั ยมศึกษำปี ท่ี 4-6.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.

_______. (2554). หนังสือเรียนรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6
ช้ันมัธยมศึกษำปี ที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.

เสวตร โคตรนารา. ลำดบั และอนุกรม. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http : www.krusawed.wordpress.com. (วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).

37

38

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ คำตอบ
1ก
2ข
3ค
4ง
5ข
6ง
7ข
8ก
9ค
10 ค

สู้ สู้ สู้ …

39

เฉลยกจิ กรรมประลองปัญญำ

88

ตัวเลขทอี่ ย่ใู นกระป๋ องเป็ นตัวเลขทม่ี ีควำมสัมพนั ธ์กัน

2 4 7 12 20 33 54 88
+2 +3 +5 +8 +13 +21 +34

นาระยะห่าง 2 พจน์แรกบวกกนั จะไดร้ ะยะห่างของพจนถ์ ดั ไป
2+3 = 5 , 3+5 = 8 , 5+8 = 13 , 8+13 = 21
ดงั น้นั พจน์ที่ตอ้ งการหา ตอ้ งมีระยะห่างเทา่ กบั 13+21 = 34
นา 54+34 = 88 คือพจน์ที่ตอ้ งการหา

40

เฉลยกจิ กรรม 4.1

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมในแต่ละขอ้ แลว้ เติมในช่องวา่ งใหส้ มบูรณ์
ใชเ้ วลา 20 นาที (13 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ อนุกรม S1 S2 S3 Sn
1 1+3+5+7+9+… n2
2  5   2 1 4  ... 149
3 1 + 3 + 9 + 27 + …
-5 -7 -6 n 3n 13
4 3 1 1  1  ...
2
39
1 4 13 3n  1
5 5   5  5   5  5  ... 2
6 3 + 15 + 75 + 375 + …
3 4 13 9 1  1 
7 1  1  1  ... 2  3n 
3
18 6 2
5 0 5  5 1 1n
8 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ … 2
9 9 + 90 + 900 + 9,000 + … 3 5n 1
3 18 93
10 1  1  1  1  ... 4

2 4 8 16  1 2 13 1 3n 1

11 1  1  1  1  ... 18 9 18 36

12 23 34 45 136 nn  1

12 10  6  2   2  ... 2

9 99 999 10n 1

1 1 3 1 1    1 n 
2 4 8 3  2  

123 n
234 n 1

10 16 18 n12  2n

13 2  2  2  2  ... 1 11 111 2 1  1 
5 50 500 9  10n 
10 100 1000 10000

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไม่ครบ 4 ช่อง ได้ 0 คะแนน
ตอบถูกตอ้ งท้งั 4 ช่อง ได้ 1 คะแนน

41

เฉลยกจิ กรรมท้ำให้คดิ

มรดกเจา้ คุณป่ ู

พินยั กรรมของคุณป่ ู ผมู้ ีหลานถึง 10 คนดว้ ยกนั ระบุไวว้ า่ “หลานท่ีมีรายช่ือ
เป็นคนแรกจะไดเ้ งินมากที่สุด คนถดั ไปก็ไดน้ อ้ ยลงไป และคนสุดทา้ ยในรายชื่อ
กจ็ ะไดเ้ งินนอ้ ยที่สุด” โดยจานวนเงินท้งั หมดท่ีคุณป่ ูจะแบ่งใหค้ ือ 1,000,000 บาท
และแต่ละคนจะไดเ้ งินเป็นจานวนที่ตา่ งกนั ในสดั ส่วนที่เท่า ๆ กนั ทุกคน

ถา้ หลานคนท่ี 8 ไดม้ รดกเป็นเงินจานวน 60,000 บาท ทราบไหมวา่ อีก 9 คน
จะไดร้ ับเงินคนละเท่าไหร่กนั บา้ งเอย่ ?????

วธิ ีคดิ จากโจทยก์ าหนดวา่ หลานท้งั สิบ ไดเ้ งินตา่ งกนั ในสดั ส่วนท่ีเทา่ กนั
แสดงวา่ จานวนเงินของหลาน เรียงกนั เป็ นลาดบั เลขคณิต

จาก Sn  n 2a1  n  1d
2

1,000,000  10 2a1  10  1d
2

1,000,000  10a1  45d .......... .....1

และ an  a1  n 1d

60,000  a1  8 1d

60,000  a1  7d .......... ......2

210, 600,000  10a1  70d .................3

1  3, 400,000  -25d

d  -16,000

แทนคา่ d ใน (2) , 60,000  a1  716,000

a1  172,000

จะไดว้ า่ หลานท้งั 10 คนของเจา้ คุณป่ ู ไดเ้ งินตามลาดบั ดงั น้ี

172000, 156000, 140000, 124000, 108000, 92000, 76000, 60000, 44000, 28000

42

เฉลยกจิ กรรม 4.2

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหาลิมิตของ Sn และผลบวกของอนุกรมในแต่ละขอ้ และทาเคร่ืองหมาย 
ในช่องอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ใชเ้ วลา 15 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

ขอ้ Sn lim Sn ผลบวกของอนุกรม อนุกรมลู่เขา้ อนุกรมลู่ออก

n

1 3n  5 หาค่าไมไ่ ด้ หาค่าไมไ่ ด้ 

2 4n2 1 หาค่าไม่ได้ หาคา่ ไมไ่ ด้ 

3 n  5 หาค่าไมไ่ ด้ หาค่าไม่ได้ 

23

4 1 0 0 

nn 1n  2

5 n3 1 1 

5n3  2 5 5

6 3n 2  2n  1 3 3 

7n 2  1 7 7

7 2 1 2 2 
n 1

8 2 1  n 2 1  2 2 
7    7 7

9 4n2  3 0 0 
n3

10 n5  1 1 1 
n5 1

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบผดิ หรือตอบไมค่ รบ 3 ช่อง ได้ 0 คะแนน
ตอบถูกตอ้ งทุกช่อง ได้ 1 คะแนน

43

เฉลยกจิ กรรม 4.3

คาช้ีแจง จงแสดงวธิ ีทาอยา่ งละเอียด ใชเ้ วลา 15 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. อนุกรม 1  1  2  ... 1  2 n1  ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
239 23

ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทา จากอนุกรมท่ีกาหนด เป็นอนุกรมเรขาคณิต

มี a1  1 และ r  2
2 3
 Sn
จากสูตร  a1 1  rn
1 r

1 1   2 n 
2  3  
จะไดว้ า่ Sn 
1 2
3

Sn  3 1   2 n 
2  3  

นน่ั คือ lim Sn  3 nlim1   2 n  3
2  3  2
n

ดงั น้นั อนุกรม 1  1  2  ... 1  2 n1  ...
239 23

เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเท่ากบั 3

2

44

2. อนุกรม  2   6  10  ... 2  4n ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทา จากอนุกรมที่กาหนด เป็นอนุกรมเลขคณิต
มี a1  2 และ an  2  4n

จากสูตร Sn  n a1  an 
จะไดว้ า่ 2

Sn  n  2  2  4n 
2

Sn  2n2

นน่ั คือ  limSn  2 lim n2 หาคา่ ไมไ่ ด้

n n

ดงั น้นั อนุกรม  2   6  10  ... 2  4n  ...
เป็ นอนุกรมลู่ออก

45

3. อนุกรม 25  5 1 ...  1 n3  ... เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก

5

ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทา จากอนุกรมท่ีกาหนด เป็นอนุกรมเรขาคณิต

มี a1  25 และ r  1

5

 Sn
จากสูตร  a1 1  rn
จะไดว้ า่ 1 r

251   1 n 
 5  
Sn 
1 1
5

Sn  125 1   1 n 
4 5 

นน่ั คือ lim Sn  125 nlim1   1 n   125
4  5   4
n

ดงั น้นั อนุกรม 25  5 1 ...  1 n3  ...

5

เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเท่ากบั 125

4

46

4. อนุกรม 1  1 1  ... 3n 1  4  ...
47 7 10 10 13
 13n

เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก ถา้ ลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

วธิ ีทา จากอนุกรมท่ีกาหนด จดั รูปใหมด่ งั น้ี

1  1  1   1  1  1   1  1  1   ...  1  1  1 4 
3 4 7  3 7 10  3  10 13  3 3n 1 3n  

หรือ 1  1  1    1  1    1  1   ...   1  1 4 
3 4 7   7 10   10 13   3n  1 3n 

จะไดว้ า่ Sn  1  1  1 
3 4 3n  4

นน่ั คือ lim Sn  1 lim  1  1   1
3 n 4 3n  4 12
n

ดงั น้นั อนุกรม 1 1  1  ... 3n  1  4  ...
4  7 7 10 10 13
13n

เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเท่ากบั 1

12