MODUL MTK KLS.X BAB I

1

BAB I
EKSPONEN

Mengapa harus belajar Fungsi Eksponen dan Fungdi Logaritma ?
Fungsi Eksponen

Dan Fungsi Logaritma

Biologi

Pertumbuhan
Biologis

Fisika

Intensitas
Bunyi

Kimia

Perhitungan Waktu Paruh
Sebuah Unsur Radio Aktif

Ekonomi

Perhitungan Bunga Tunggal
Dan Bunga Majemuk

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

2

Pengetahuan
Prasyarat

Sifat – Sifat Sifat – Sifat Sistem Barisan Barisan Fungsi
Eksponen Logaritma Koordinat Aritmatika Geometri
Cartesius

1. a m. a n  a mn 1. alog a. 1  Menggambar Un = a + (n – 1)b Un = arn – 1  Domain (Df)
2. a m.: a n  a mn persamaan garis  Kodomain (Kf)
2. alog1.  0 x = a dan y = b  Range (Rf)

3. (ab)m  a mn p log b  Menentukan koordinat
p log a titik A(x , y)

4. a0 1, a  0 3. alog b.

5. 1 an 4. alog( bc).a log balog c..
an
5. alog( b ).a log ba log c
c

6. a n log bm  m.a log b
n

7. Jika alog b.  c, maka blog a  1 .
c

8. Jika alog b .  d, maka alog c  d
cb

9. alog b. . blog c.  alog c

10. a a log b. b

Topik bahasan yang akan dipelajari :
 Grafik Fungsi Eksponen

 Menggambar grafik fungsi eksponen jika diketahui persamaan fungsinya
 Menentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui grafiknya
 Menentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui karakterisik persamaannya
 Grafik Fungsi Logaritma
 Menggambar grafik fungsi logaritma jika diketahui persamaan fungsinya
 Menentukan persamaan fungsi logaritma jika diketahui grafiknya
 Menentukan persamaan fungsi logaritma jika diketahui karakterisik persamaannya
 Aplikasi Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
 Perhitungan Bunga Tunggal
 Perhtitungan Bunga Majemuk

 Pertumbuhan
 Peluruhan

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

3

1.1. Fungsi Eksponen

Definisi :
Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk
umum :

f : x → k . ax atau y = f(x) = k . ax, dengan syarat , k ≠ 0 , a > 0 dan a ≠ 1

disebut fungsi eksponen x pada ax merupakan pangkat dengan daerah asal bilangan real.

Bentuk umum fungsi eksponen y = f(x) = k . ax memiliki karakteristik ;
 Memotong sumbu y di titik (0 , k)
 Memiliki asimptot di garis y = 0
 Monoton naik jika a > 1
 Monoton turun jika 0 < a < 1

Ingat !!!

Garis asimptot adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh grafik fungsi.

Grafik dasar Fungsi Eksponen :

SMA Xaverius 1 Palembang Gbr.1 Untuk Kalangan Sendiri
Sahala S

4

Jika bentuk umum fungsi eksponen y = k . ax digeser pada sumbu Y arah positif sejauh b, maka
bentuk umum persamaannya menjadi y = k . ax + b, dan jika digeser pada sumbu Y arah negatif
sejauh b, maka bentuk umum persamaannya menjadi y = k . ax – b. Jadi bentuk lain dari persamaan
umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut :

f : x → k . ax + b atau y = f(x) = k . ax + b dengan syarat , k ≠ 0 , a > 0 dan a ≠ 1

Penting !!!

Bentuk umum fungsi eksponen y = f(x) = k . ax + b memiliki karakteristik sebagai berikut ;
 Memotong sumbu y di titik (0 , k + b)
 Memiliki asimptot di garis y = b
 Monoton naik jika a > 1
 Monoton turun jika 0 < a < 1

A. Menggambar grafik y = f(x) = k . ax dengan a > 1

Contoh :

Gambarlah grafik y = f(x) = 3x dan y = f(x) = 2 . 3x dengan domain (Df) = {x|-2 ≤ x ≤ 1, x € R}

Penyelesaian :

Untuk grafik y = f(x) = 3x

Domain x -2 -1 0 1

Range y = f(x) 1 1 1 3
9 3

Untuk grafik y = f(x) = 2 . 3x

Domain x -2 -1 0 1
6
Range y = f(x) 2 2 2
9 3

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

5

Grafik :

B. Menggambar grafik y = f(x) = k . ax dengan 0 < a < 1

Contoh :

 1  x  1  x
3 3
Gambarlah grafik y = f(x) = dan y = f(x) = 2 dengan domain (Df) = {x|-1 ≤ x ≤ 2, x € R}

Penyelesaian :

 1  x
3
Untuk grafik y =

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x) 3 1 1 1
9

Untuk grafik y = f(x) = 2  1  x
3

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x) 6 2 2 2
3 9

Grafik :

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

6

C. Menggambar grafik y = f(x) = k . ax + b dengan a > 1

Contoh :

Gambarlah grafik y = f(x) = 3x  2 dan y = f(x) = 2.3x 1 dengan domain (Df) = {x|-1 ≤ x ≤ 2, x € R}

Penyelesaian :

Untuk grafik y = f(x) = 3x  2

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x) 2 1 3 5 11
9

Untuk grafik y = f(x) = 2.3x 1

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x)  1 1 5 17
3

Grafik :

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

7

D. Menggambar grafik y = f(x) = k . ax + b dengan 0 < a < 1

Contoh :

 1  x 2. 1  x
3 3
Gambarlah grafik y = f(x) = 2 dan y = f(x) = 1dengan domain (Df) = {x|-1 ≤ x ≤ 2, x € R}

Penyelesaian :

Untuk grafik y = f(x) =  1  x
3
2

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x) 5 3 2 1 2 1
3 9

Untuk grafik y = f(x) = 2. 1  x 1
3

Domain x -1 0 1 2

Range y = f(x) 5 1  1  7
3 9

Grafik :

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

8

Latihan Uji Kompetensi 1

Tingkat I

1. Diketahui y = f(x) = k . abx  c
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya

2. Diketahui y = f(x) = 3 . 2x 1
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya
D. Gambarlah sketsa grafiknya

3. Jika y = f(x) = k . abx  c  d
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya

4. Jika y = f(x) = 3 . 25x  1  4
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya
D. Gambarlah sketsa grafiknya

5. Jika y = f(x) = 4  3. 25x  1
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya
D. Gambarlah sketsa grafiknya

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

9
6. Amatilah grafik fungsi eksponen berikut ini :

A. Lengkapilah tabel berikut ini :

Koordinat titik
ABCDE FG
(..... , .....) (..... , .....) (..... , .....) (..... , .....) (..... , .....) (..... , .....) (..... , .....)

B. Lengkapilah masing – masing pernyataan berikut ini :
1) Koordinat titik A merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
2) Koordinat titik B merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
3) Koordinat titik C merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
4) Koordinat titik D merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
5) Koordinat titik E merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
6) Koordinat titik F merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......
7) Koordinat titik G merupakan perpotongan garis ........ dan garis .......

C. Jika bentuk fungsi eksponen pada grafik di atas y = f(x) = k . ax , tentukanlah nilai k
dari masing – masing fungsi.

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

10

7. A. Lengkapilah tabel berikut ini :

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = f(x) = 3x.3x + 1

B. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut
8. A. Lengkapilah tabel berikut ini :

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f(x) =  1  x  1  x 1
3 3
.

B. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut
9. Gambarlah sketsa grafik fungsi berikut ini :

A. y  3x1
B. y  3x1  1
10. Tentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui grafik melalui titik A(-1 , 2) dan B(-2 , 4)
dan memiliki asimptot sumbu X

Tingkat II

1. Perhatikan sketsa grafik berikut ini :

A. Tentukan persamaan asimptot fungsi y = f(x)

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

11

B. Jika persamaan fungsi y = f(x) melalui titik – titik A(1 , 3) dan B(3 , 7) tunjukkan bahwa
persamaan fungsi tersebut adalah y = f(x) = 2x – 1

C. Tentukan persamaan asimptot fungsi y = g(x)
D. Jika persamaan fungsi y = g(x) melalui titik – titik C(0 , 3) dan B(2 , 5) tunjukkan bahwa

persamaan fungsi tersebut adalah y = g(x) = 2x + 1
2. Amatilah sketsa grafik fungsi eksponen berikut :

A. Tentukanlah persamaan masing –
masing fungsi.

B. Jika persamaan masing – masing fungsi
dinyatakan dalam bentuk y = f(x) = abx,
jelaskanlah pengaruh nilai b terhadap
fungsi.

C. Mungkinkah grafik berimpit dengan
sumbu X atau sumbu Y? Jelaskan.

3. Perhatikan sketsa grafik pada gambar di bawah ini.

A. Tentukan persamaan masing – masing fungsi
B. Dengan menggunakan persamaan fungsi y = f(x), jelaskan bagaimana memperoleh

grafik fungsi y = h(x)
C. Dengan menggunakan persamaan fungsi y = g(x), jelaskan bagaimana memperoleh

grafik fungsi y = w(x)
D. Jika diberikan domain masing – masing fungsi y = f(x) dan fungsi y = h(x) sama dengan

(-∞ , ∞), apakah kedua fungsi akan berpotongan? Jelaskan.

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

12

Tingkat III

1. Gambarlah dalam sebuah sistem koordinat cartesius grafik fungsi dengan persamaan ;
y  f (x)  2x1  22x dan y  g(x)   (2x1  22x ) untuk domain {x| -4 ≤ x ≤ 2,x € B}.

2. Gambarlah dalam sebuah sistem koordinat cartesius grafik fungsi dengan persamaan ;

y  f (x)  5 . 2x1  1  x 1
2
dan y  g(x)  y  f (x)  5 . untuk domain {x| -4 ≤ x ≤ 4,x € B}.

y  f (x) 212x  1  1 x  2
2 2
3. Diketahui persamaan fungsi dan y  g(x) 

A. Gambarlah grafik kedua fungsi tersebut dalam sebuah sistem koordinat cartesius

B. Tentukan koordinat titik potong kedua kurva

 1  1 x 2
2 2
C. Jika titik P(m , 1) dan Q(0 , n) terletak pada grafik fungsi y  g(x)  , tentukan

persamaan garis yang melalui titik P dan Q.

D. Jika garis y = ax + 1 memotong kurva dengan persamaan y  f (x) 212x di titik (m , 4),

tentukan nilai a.

4. Jika y = f(x) = 4  2x dan y = g(x) = 4  2x .
2x

A. Gambarlah kedua persamaan fungsi tersebut dalam sebuah sistem koordinat cartesius.

B. Tunjukkan bahwa kedua kurva berpotongan di titik (2 , 0) dan (3 , 0).

Tingkat IV

1 x 1 2x 1

1. Diketahui dua buah kurva dengan persamaan y = f(x) = 2 2  1 dan y = g(x) = 1

A. Gambarlah sketsa grafik kedua fungsi tersebut dalam sebuah sistem koordinat cartesius

B. Tentukan persamaan garis melalui titik potong kedua kurva yang tegak lurus dengan

garis y + 2x + 6 = 0.

2. Diketahui persamaan fungsi y = f(x) = 40.25x 1 20.50x 1  2x
.

A. Tentukanlah range fungsi tersebut untuk domain {x |-1 ≤ x ≤ 2, x € B}
B. Gambarkanlah sketsa grafiknya
3. Jika y = f(x) = 22x  2x 1 3 dan y = g(x) = 2x  3

A. Tentukan f (x)
g(x)

B. Gambarlah sketsa grafik f (x)
g(x)

4. Jika y  f (x)  62x  32x  22x 1
18x  32x  2x 1

A. Tentukan nilai f( -1 ), f( 0 ), f( 2 ), f( 3 ), f( 4 ), dan f( 5 )

B. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

13

1.2. Fungsi Logaritma

Definisi :

Fungsi logaritma merupakan invers (kebalikan) dari fungsi eksponen.

Misalkan fungsi eksponen y = 2 x, maka invers dari fungsi tersebut merupakan fungsi logaritma

yaitu 2log x  y . Bentuk tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

 y = 2x  Nyatakan kedua ruas dalam bentuk logaritma

 log y = log 2x  Gunakan sifat logaritma an log bm  m a log b
n

 log y = x . log 2  Kedua ruas dibagi dengan log 2

 log y = x  Gunakan sifat logaritma a log b  log b
log 2 log a

 2log y = x  Rubah x menjadi y dan y menjadi x sebagi bentuk inversnya

 Jadi f-1(x) = y = 2log x

Perhatikan grafik berikut ;

Pada grafik tampak bahwa bentuk fungsi logaritma y = f(x) = 2log x merupakan hasil pencerminan
grafik fungsi y = 2x terhadap garis y = x, sehingga x menjadi y dan y menjadi x;

 A(0 , 1) menjadi A’(1 , 0)
 B(1 , 2) menjadi B’(2 , 1)
 C(2 , 4) menjadi C’(4 , 2)

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

14
Bentuk dasar grafik fungsi logaritma :

Gbr.2
Jadi bentuk umum fungsi logaritma adalah :

y = f(x) = alog x , syarat a > 0, a ≠ 1

Penting !!!
 a adalah bilangan pokok (basis)
 Untuk bilangan pokok 10 tidak harus ditulis
 x adalah bilangan numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya)
 Bilangan numerus tidak boleh negatif atau dengan kata lain nilai x > 0

Ingat !!!

Jika asimptotnya garis x = b, maka grafik fungsi adalah grafik fungsi logaritma.

Jika bentuk umum fungsi logaritma y = f(x) = a log x digeser pada sumbu X arah positif sejauh b,
maka bentuk umum persamaannya menjadi y = alog(x + b) , dan jika digeser pada sumbu X arah
negatif sejauh b, maka bentuk umum persamaannya menjadi y = alog (x – b). Jadi bentuk lain dari
persamaan umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut :

f : x → a log (cx + b) atau y = f(x) = a log (cx + b) dengan syarat , a > 0 dan a ≠ 1

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

15

Penting !!!

Bentuk umum fungsi logaritma y = f(x) = alog (bx + c) memiliki karakteristik sebagai berikut ;
 Memotong sumbu y di titik (1 , 0)
 Memiliki asimptot di garis x = – b
 Monoton naik jika a > 1
 Monoton turun jika 0 < a < 1
 Semakin besar nilai a, maka grafik semakin mendekati sumbu X dan sebaliknya

A. Menggambar grafik y = f(x) = alog x, dengan a > 1

Contoh 1.
Gambarlah sketsa grafik fungsi logaritma y = f(x) = 2log x
Pembahasan :

Domain 1 1 1 2 4
Range 4 2

y = 2log x -1 - 1 0 1 1
2 2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

16

Contoh 2.
Diberikan sketsa grafik fungsi logaritma sebagai berikut :

A. Tentukan koordinat masing – masing titik sesuai dengan fungsi logaritmanya

B. Tentukan simptot dari masing – masing fungsi

Pembahasan :

A. Koordinat titik masing – masing fungsi adalah ;

 Untuk grafik fungsi y = 2log x :

 x = 1  2log 1 = 0, Jadi koordinat titik D (1 , 0)
 x = 2  2log 2 = 1, Jadi koordinat titik E (2 , 1)
 Untuk grafik fungsi y = 2log (x + 1) :
 x = 0  2log 1 = 0, Jadi koordinat titik G (0 , 0)
 x = 1  2log 2 = 1, Jadi koordinat titik E (1 , 1)
 x = 3  2log 4 = 2, Jadi koordinat titik I (3 , 2)
 Untuk grafik fungsi y = 2log (x – 1) :
 x = 2  2log 1 = 0, Jadi koordinat titik A (2 , 0)
 x = 3  2log 2 = 1, Jadi koordinat titik B (3 , 1)
 x = 5  2log 4 = 2, Jadi koordinat titik C (5 , 2)
B. Persamaan asimptot masing – masing fungsi
 Asimptot fungsi y = 2log (x) adalah garis x = 0
 Asimptot fungsi y = 2log (x + 1) adalah garis x = -1
 Asimptot fungsi y = 2log (x – 1) adalah garis x = 1

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

17

B. Menggambar grafik y = f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1

Contoh 1.

1

Gambarlah sketsa grafik fungsi logaritma y = 2 log (x 1)

Pembahasan : Domain 3
Range 2
2 3 5 9

1 0 -1 -2 -3

y = 2 log (x 1) 1

Contoh 2.
Tentukan persamaangrafik fungsi logaritma berikut ini.

Pembahasan :

 Grafik fungsi y = f(x) = a log( bx  c)

 Memiliki asimptot di garis x = 2, berarti c = -1.

y = a log(bx 1)

 Melalui titik (4 , 0) berarti x = 4 dan y = 0

0= a log( 4b 1) , diperoleh b = 1
2

y = a log( 1 x 1)
2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

18

 Melalui titik (3 , 1) berarti x = 3 dan y = 1

1 = a log( 1) , diperoleh a = 1
22

1

Jadi persamaan fungsinya adalah y = f(x) = 2 log( 1 x 1)

2

 Grafik fungsi y = h(x) = a log( bx  c)

 Memiliki asimptot di garis x = 0, berarti c = 0.
y = a log( bx)

 Melalui titik (2 , 0) berarti x = 2 dan y = 0

0= a log( 2b) , diperoleh b = 1
2

y = a log( 1 x)
2

 Melalui titik (1 , 1) berarti x = 1 dan y = 1

1 = a log( 1) , diperoleh a = 1
22

1

Jadi persamaan fungsinya adalah y = h(x) = 2 log( 1 x)

2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

19

Latihan Uji Kompetensi 1

Tingkat I

1. A. Lengkapilah tabel berikut ini.

x 1 1 1 3 9
9 3

y  3log (x)

B. Gambarlah sketsa grafik fungsi pada tabel di atas.
2. A. Lengkapilah tabel berikut ini.

x 1 1 1 3 9
9 3

1

y  3 log (x)

C. Gambarlah sketsa grafik fungsi pada tabel di atas.
3. Lukislah setiap grafik fungsi logaritma di bawah ini:

1

A. y  2 log (x)

1

B. y  2 log (2x)

C. y  2log (1 x)
2

D. y  2log ( 1 )
x

4. Lukislah grafik setiap fungsi di bawah ini dan tuliskan domain dan range dari fungsi tersebut.

A. y  3log (x 1)

B. y  3log (3x 1)

C. y  1 (1 x 1)
3
3 log

D. y  1 (1 1 x)
3
3 log

5. Lukislah grafik setiap fungsi di bawah ini dan tuliskan domain dan range dari fungsi tersebut.

A. y  3log (x 1)

B. y  3log (3x 1)

C. y  1 (1 x 1)
3
3 log

D. y  1 (1 1 x)
3
3 log

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

20

Tingkat II

1. Jika y = f(x) = a log( x  k)
A. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X.
B. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sum Y
C. Tentukan persamaan asimptotnya
1

2. Diberikan fungsi f (x)  2 log (1 x 1)
2

A. Carilah f-1 (x)
B. Tentukan nilai dari f-1(-1) + f(-1)
3. Diberikan fungsi f (x)  2log (2x 1)  1
A. Carilah f-1 (x)
B. Tentukan nilai dari f-1(1) + f(1)

4. Tentukanlah persamaan fungsi logaritma yang memiliki karakteristik sebagai berikut.
A. asimptot x = -2
B. intercept x = 1

C. melalui titik – titik (0 , 1), (2 , 2), dan (6 , 3)
5. Tentukanlah persamaan fungsi logaritma yang memiliki karakteristik sebagai berikut.

A. asimptot x = 1
B. intercept x = 2
C. melalui titik – titik (6 , -1), (12 , -1,5)

6. Tentukan persamaan masing – masing fungsi pada gambar berikut ini:

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

21

Tingkat III

1. Diketahui persamaan fungsi f (x)  2log( 2x) dan g(x)  0,5log (0,5x)

A. Jika kedua fungsi saling berpotongan, tentukanlah koordinat titik potong tersebut.

B. Gambarlah sketsa kedua fungsi dalam sebuah sistem koordinat cartesius

C. Tentukan domain dan range masing – masing fungsi

2. Diketahui fungsi y  f (x)   12x  1

2

A. Misalkan fungsi y = g(x) merupakan invers fungsi y = f(x) , tentukan persamaan fungsi
y = g(x)

B. Gambarlah sketsa grafik fungsi y = f(x) dan y = g(x) dalam sebuah sistem koordinat
cartesius.

0 , 25x

3. Diketahui fungsi y  f (x)   1  1
9

A. Gambarlah grafik fungsi y = f(x)

B. Cerminkanlah grafik fungsi y = f(x) terhadap garis y = x

C. Tentukanlah persamaan fungsi hasil pencerminannya.
4. Diketahui fungsi y = f(x) = 22x – 3

A. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut
B. Misalkan y = g(x) merupakan invers fungsi y = f(x) = 22x – 3, tentukan persamaan y = g(x)

C. Misalkan kedua kurva berpotongan di titik P dan Q, tentukanlah persamaan garis yang

tegak lurus dengan PQ.

 1  x  2
2
5. Diketahui fungsi y = f(x) =  3 .  1

A. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut

B. Cerminkanlah grafik fungsi tersebut terhadap garis y = x untuk mendapatkan grafik
fungsi inversnya.

C. Misalkan y = g(x) merupakan invers fungsinya, tentukan persamaan y = g(x)

D. Tentukan persamaan asimptot dan intercept fungsi y = g(x)

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

22

Tingkat IV

1. Tentukan persamaan masing – masing fungsi pada grafik di bawah ini.

2. Lukislah setiap fungsi di bawah ini dan tuliskan domain, range, intercept, dan asimptotnya.
A. y  3log (3x)
B. y  3log (x 1)  1
C. y  2 log 2x

3. Diketahui sketsa grafik fungsi sebagai berikut :

A. Tentukan persamaan fungsi y = f(x)
B. Tentukan persamaan fungsi y = g(x)
C. Tentukan persamaan fungsi y = h(x)
D. Jelaskan bagaimana memperoleh grafik fungsi y = h(x) dengan menggunakan grafik

fungsi y = f(x).
E. Tentukan invers fungsi y = f(x)
F. Apakah hubungan invers fungsi y = f(x) dengan fungsi y = h(x)?

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

23

1.3 Fungsi Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika X menyimpan uang di bank kemudian setiap akhir periode, bunga yang diperoleh tersebut
tidak diambil, maka bunga itu akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan
berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari
bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga
Majemuk.

Perhitungan bunga majemuk merupakan salah satu bentuk penerapan fungsi eksponen dan
fungsi logaritma.
Perhatikan contoh berikut ini.
Misalkan si X menyimpan uang di bank sebesar Rp 10.000.000,00 akan dibungakan dengan
perhitungan bunga majemuk 2% / per tahun selama 2 tahun. Hitunglah besar tabungan si X.
Pembahasan :
Misalkan Mo = Modal awal, p% = suku bunga / tahun , dan n = periode simpanan
Perhatikan tabel berikut ini :

Tahun Bunga Modal Akhir
(n) (B) (Mn)
0 0
1 Rp 10.000.000,00
2 Rp 200.000,00 Rp 10.200.000,00
Rp 204.000,00 Rp 10.404.000,00

Perhitungan bunga pada tahun pertama sebesar Rp 200.000,00 merupakan hasil perkalian dari
suku bunga 2% dengan modal Rp 10.000.000,00 dan periode simpanan 1 tahun.
B1 = p% . Mo . n

= 2% . Rp 10.000.000,00 . 1
= Rp 200.000,00
Jadi modal akhir tahun pertama (M1) dapat ditentukan sebagai berikut :
M1 = Rp 10.000.000,00 + Rp 200.000,00
= Rp 10.200.000,00
Perhitungan bunga pada tahun kedua sebesar Rp 204.000,00 merupakan hasil perkalian dari
suku bunga 2% dengan modal akhir tahun pertama Rp 10.200.000,00 dan periode simpanan 1
tahun.
B2 = p% . Mo . n
= 2% . Rp 10.200.000,00 . 1
= Rp 204.000,00
Jadi modal akhir tahun pertama (M2) dapat ditentukan sebagai berikut :
M2 = M1 + B2
= Rp 10.200.000,00 + Rp 204.000,00
= Rp 10.404.000,00

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

24

Nilai Akhir Bunga Majemuk

Jika perhitungan dilakukan hingga n tahun, maka besar nilai akhir bunga majemuk dapat
ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut.
1 tahun modal menjadi M1 = M0 + B

= Mo + p% Mo
= Mo (1 + p%)
2 tahun modal menjadi M2 = M1 + B
= M1 + p%M1  substitusikan M1 = Mo ( 1 + p%)
= Mo ( 1 + p%).(1 + p%)
= Mo ( 1 + p%)2
3 tahun modal menjadi M3 = M2 + B
= M2 + p%M2  substitusikan M2 = Mo ( 1 + p%)2
= M2 (1 + p%)2 . (1 + p%)
= Mo ( 1 + p%)3
Jika dilanjutkan hingga n tahun, maka besar modal akhir tahun ke – n dapat dihitung sebagai
berikut :

Mn  Mo(1p%)n

Perhatikan bentuk umum bunga majemuk di atas, mengikuti perhitungan barisan geometri

dengan rasio r = 1 + p%.

Bentuk perhitungan bunga majemuk merupakan bentuk lain dalam perhitungan pertumbuhan

dan peluruhan.
 Jika p > 0, maka akan terjadi pertumbuhan
 Jika p < 0, maka akan terjadi penyusutan (peluruhan)

Dari bentuk persamaan di atas dapat juga ditentukan nilai – nilai lainnya.
Misalkan diketahui nilai akhir modal Mn, suku bunga p%, dan periode simpanan n tahun, maka
nilai Mo dapat ditentukan sebagai berikut :

Mo  Mn
(1 p%)n

Misalkan diketahui nilai akhir modal Mn, modal awal Mo, dan periode simpanan n tahun, maka
nilai suku bunga p% dapat ditentukan sebagai berikut :

p%  n Mn  1
Mo

Misalkan diketahui nilai akhir modal Mn, modal awal Mo, dan suku bunga p%, maka periode
simpanan n dapat ditentukan sebagai berikut :

log  Mn 
 
 
n  Mo 

log (1 p%)

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

25

Perhatikan kembali soal di atas.

Diketahui Mo = Rp 10.404.000,00, suku bunga 2%, dan periode simpanan 2 tahun. Akan

dibuktikan nilai akhir tabungan adalah Rp 10.00.000,00.

Mo  Mn
(1 p%)n

Mo  Rp 10.404.000,00
(1 2%)2

 Rp 10.404.000,00
(1,02)2

 Rp 10.404.000,00
1,0404

 Rp 10.000.000,00

Diketahui Mo = Rp 10.00.000,00, Mn = Rp 10.404.000,00, periode simpanan 2 tahun. Akan
dibuktikan suku bunga sebesar 2%.

p%  n Mn  1
Mo

p%  10.404.000,00  1
10.000.000,00

p%  51  1
50

p%  2%

Diketahui Mo = Rp 10.00.000,00, Mn = Rp 10.404.000,00, suku bunga sebesar 2%, maka akan
dibuktikan periode simpanan adalah 2 tahun.

log  Mn 
 
 
n   Mo 

log (1 p%)

log  Rp 10.404.000,00 
 Rp 10.000.000,00 
n   

log (1 2%)

n  log 1,0404
log (1,02)

n  0,0172003435238
0,0086001717619

n 2

Jika suatu modal M dibungakan dengan suku bunga majemuk sebesar p% / per tahun, maka

nilai bunganya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.

Periode Bunga Niali Akhir Modal
t – tahun M.p.t
t – bulan Mn  Mo(1p%)n
100
t – hari M.p.t Mn  Mo(1 p.t )t.n
1.200 1200
1 tahun 12 bulan

M.p.t Mn  Mo (1 p.t )t.n
3.600 3.600

1 tahun 360 hari

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

26

Contoh 1.

Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama

5 tahun. Tentukan modal akhir!

Pembahasan :

Mo = Rp 2.000.000,00

p% = 5% / semester = 0,05 / semester

n = 5 tahun = 10 semester (1 tahun 2 semester)

M5  Rp 2.000.00,00(1 5.2 )5.2
200 M5  Rp 2.000.00,00(1 0,05)10
M5  Rp 2.000.00,00(1 10 )10 atau dengan cara langsung
M5  Rp M5  Rp 2.000.00,00(1,05)10
200 M5  Rp 3.257.789,25
2.000.00,00(1,05)10

M5  Rp 3.257.789,25

Contoh 2.

Modal sebesar Rp 1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan selama 3

tahun 9 bulan. Tentukan modal akhir!

Pembahasan :

Mo = Rp 1.500.000,00

p% = 4% / triwulan = 0,04 / triwulan

n = 3 tahun 9 bulan = 45 bulan

= 15 triwulan (1 triwulan = 3 bulan)

M15  Rp 1.500.00,00(1 4.15 )15
1500

M15  Rp 2.000.00,00(1 60 )15
1.500

M15  Rp 2.000.00,00(1,04)15

M15  Rp 2.701.415,26

Contoh 3.

Tuan X ingin menabung uangnya Rp 1.500.000,00 di bank dengan tingkat suku bunga yang

berlaku 15% / per tahun. Berapakah nilai uangnya dimasa datang setelah 10 tahun kemudian,

jika dibunga-majemukkan secara :

A. Semesteran

B. Kuartal

C. Bulanan

D. Harian

Pembahasan :

Diketahui ; Mo = Rp 1.500.000,00

p% = 15% / per tahun

n = 10 tahun

Ditanya Mn

A. Pembayaran bunga majemuk per semester (1 tahun = 2 semester)

Mn  Mo (1 p )m.n
m

M10  Rp 1.500.000,00(1 0,15)2.10

2

M10  Rp 1.500.000,00(1,075)20

M10  Rp 6.371.776,65

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

27

B. Pembayaran bunga majemuk per kuartalan (1 tahun = 4 kuartal)

Mn  Mo (1 p )m.n
m

M10  Rp 1.500.000,00(1 0,15)4.10

4

M10  Rp 1.500.000,00(1,0375)40

M10  Rp 6.540.658,14

C. Pembayaran bunga majemuk bulanan (1 tahun = 12 bulanan)

Mn  Mo(1 mp )m.n

M10  Rp 1.500.000,00(1 0,15)12.10

12

M10  Rp 1.500.000,00(1,0125)120

M10  Rp 6.660.319,85

D. Pembayaran bunga majemuk harian (1 tahun = 364 hari)

Mn  Mo (1 p )m.n
m

M10  Rp 1.500.000,00(1 03,6145)364.10

M10  Rp 1.500.000,00(1,0004)3640
M10  Rp 6.720.458,94

Pertumbuhan Penduduk

Pertumbuhan penduduk pada dasarnya mengikuti perhitungan barisan geometri.
Misalkan jumlah penduduk mula – mula ( Po ), persentase kenaikan penduduk ( p% ) / tahun,
periode kenaikan ( t ) tahun, maka jumlah penduduk setelah t tahun (Pt) dapat ditentukan
sebagai berikut.

Pt  Po(1 p%)t

Contoh.

Jika jumlah penduduk kota X pada tahun 2010 sebesar 10.000 jiwa dan persentase

pertumbuhannya 2% / per tahun, maka jumlah penduduk pada tahun 2014 dapat ditentukan

sebagai berikut.

Po = 10.000 jiwa

p% = 2% / per tahun = 0,02 / per tahun

t = 2014 – 2010 = 6 tahun
Pt  Po(1 p%)t
P6 10.000(1 0,02)6
P6 10.000(1,02)6
P6 11.261 jiwa

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

28

Peluruhan (Penyusutan)

Misalkan harga mula – mula sebuah barang X adalah No, setelah t tahun barang tersebut
menyusut sebesar p%, maka nilai barang setelah t (Nt) merupakan perkalian tingkat
penyusutan p dengan nilai mula – mula. Jadi nilai barang tiap tahunnya dapat ditentukan
dengan perhitungan sebagai berikut.

N1 = No – p%No

= No(1 – p%)

N2 = N1 – p%N1  substitusi N1 = No(1 – p%)
= N1(1 – p%)

= No(1 – p%) . (1 – p%)

= No(1 – p%)2

N3 = N2 – p%N2

= N2(1 – p%)  substitusi N2 = No(1 – p%)2

= No(1 – p%)2 . (1 – p%)

= No(1 – p%)3

Maka pada akhir t tahun, nilai barang tersebut menjadi :

Nt  No(1 p%)t

Contoh .
Misalkan sebuah kendaraan X dibeli dengan harga Rp 30.000.000,00. Jika dalam 5 tahun
diperhitungkan nilai jualnya akan berkurang sebesar 5%, tentukanlah nilai jual kendaraan
tersebut pada tahun ke – 5.
Pembahasan :

Dengan menggunakan tabel:

Periode Penyusutan Sisa Pinjaman
/ t tahun 5% Nt
0
0 Rp 30.000.000,00
1 Rp 1.500.000,00 Rp 28.500.000,00
3 Rp 1.425.000,00 Rp 27.075.000,00
4 Rp 1.353.750,00 Rp 25.721.250,00
5 Rp 1.286.062,50 Rp 24.435.187,50
6 Rp 1.221.759,38 Rp 23.213.428,13

Jadi nilai kendaraan tersebut setelah 5 tahun adalah Rp 23.213.428,13.

Dengan menggunakan persamaan Nt = No ( 1 – p%)t

Diketahui No = Rp 30.000.000,00

p%/ per tahun = 5% = 0,05 / per tahun

t = 5 tahun

N5 = Rp 30.000.000,00 ( 1 – 5%)5

N5 = Rp 30.000.000,00(1 – 0,05)5

N5 = Rp 30.000.000,00(0,7737809375)

N5 = Rp 23.213.428,13

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

29

Penggunaan peluruhan sering juga digunakan dalam perhitungan peluruhan sebuah zat

radioaktif.

Misalkan massa sebuah zat radioaktif X mula – mula seberat So, dalam selang waktu t akan

meluruh sebesar 1 bagian, selang waktu ini sering disebut sebagai waktu paruh (T1/2). Jadi
2

sisa zat tersebut setelah selang waktu t (St) dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai

berikut.

 Pada watu t = 0, maka sisa zat sama dengan massa semula ( So )

 Pada watu t = 1 . T1/2, maka sisa zat sama dengan S1 = So – 1/2So

= 1 So
2

 Pada watu t = 2 . T1/2, maka sisa zat sama dengan S2 = S1 – 1 S1
2

= 1 S1
2

= 1 . 1 So
2 2

= So ( 1 )2
2

 Pada waktu t = 3 . T1/2 maka sisa zat sama dengan S3 = S2 – ½ S2

= 1 S2
2

= 1 . So ( 1 )2
2 2

= So ( 1 )3
2

 Setelah waktu t = n . T1/2 maka zat X akan tersisa sebesar :

Sn  So(1)n atau St  So(2)n
2

dengan n  t
T1

2

Jika n disubstitusikan, maka sisa zat X setelah t adalah :

t  t
T1
So(1) T1
St  2 atau St  So(2) 2

2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

30

Contoh 1.

Dalam paruh waktu ( T1 ) suatu bahan radioaktif 1.600 tahun. Diketahui suatu bahan radioaktif
2

dengan massa awal (mo) 15g. Sekarang hanya 3 mg bahan radioaktif diketahui tersisa (m).
Hitunglah berapa lama radioaktif itu telah ada.

Pembahasan :

 T1 = 1.600 tahun
2

 So = 15 gram

 Sn = 3 mg atau 0.003 gram

n = t = t
T1 1.600

2

Sn = So ( 1 )n
2

log Sn
So
n =
 1 
log 2

t log 0,003
1.600 = 15
 1 
log 2

t = 3,699
1.600  0,301

t = 12.189
1.600

t = 19.502,4 tahun

Contoh 2.

Seorang peneliti fosil menemukan kandungan karbon radioaktif pada fosil kayu yang

ditelitinya. Unsur radioaktif tersebut tersisa kira-kira 1 dari asalnya. Bila waktu paruh karbon
16

radioaktif adalah 5.600 tahun, maka umur fosil tersebut adalah .... tahun.

Pembahasan :

Diketahui St = 1 So
16

T1/2 = 5.600 tahun

Ditanya t = .....

t  t
T1
1 T1
St  So ( ) 2 atau St  So(2) 2

2

1 S0 t
16
2 4  So (2) 5.600
4
t
t
 (2) 5.600
t

5.600

 22.400 tahun

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

31

Latihan Uji Kompetensi 1

Tingkat I

Soal – Soal Bunga Majemuk

1. Jika seorang nasabah menginginkan uang yang didepositokannya selama lima tahun menjadi

berjumlah Rp. 20 Jt, dengan tingkat suku bunga majemuk 11 % pertahun dan dibungakan setiap

tahun, berapa uang yang harus didepositokannya sekarang ?

2. Suatu jenis sepeda motor mengalami penurunan harga jual sebesar 4 % pada setiap akhir 1

tahun. Jika harga sepeda motor baru Rp 16.000.000,00 maka tentukan harga jual sepeda motor

tersebut pada akhir tahun ke empat ?

3. Suatu rumah mengalami kenaikan harga jual sebesar 10% pada setiap akhir 1 tahun. Jika harga

rumah Rp 150 juta maka tentukan harga jual rumah tersebut pada akhir tahun ke lima ?

4. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3 dari
4

harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

5. Berapa nilai dalam 8 tahun dari Rp 2.000.000,- yang diinvestasikan sekarang dengan bunga 10%

per tahun ?

6. Berapa jumlah yang harus diinvestasikan sekarang untuk menghasilkan Rp 2.488.300,- dalam

waktu 5 tahun, jika suku bunga per tahun 20% ?

7. Biaya operasi dan pemeliharaan (O&P) sebuah peralatan adalah Rp 750.000,- per tahun. Jika

bunga 15% per tahun, berapa nilai sekarang dari biaya O & P peralatan selama 7 tahun ?

8. Berapa biaya pengembalian modal tahunan uniform ekivalen dari sebuah peralatan yang

berharga Rp 5.000.000,- dengan perkiraan umur ekonomi 5 tahun dan tidak ada nilai jual

kembali, jika suku bunga 15% ?

9. Hanif menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga

10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya administrasi bank.

Tentukan jumlah bunga yang diperoleh Hanif setelah modal mengendap selama 3 tahun.

10. Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan

modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

32

Tingkat II

Soal – Soal Pertambahan Penduduk

1. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun
1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan
penduduk pada tahun 2001 adalah …. Orang

2. Penduduk kota X pada tahun 1990 berjumlah 1.000.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhannya 2%
pertahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut tahun 1995.

3. Tentukan jumlah penduduk mula – mula jika setelah diperkirakan pertumbuhan penduduk
selama 12 tahun sebesar 15 % menjadi 13.375.625,26 orang.

4. Jumlah penduduk setelah 4 tahun 9 bulan menjadi 6.500.00,00 orang. Kenaikan tersebut
diperkirakan 10 % dari sebelumnya. Tentukan jumlah penduduk sebelum kenaikan.

5. Sebuah kota X mengalami pertumbuhan penduduk secara rutin setiap bulan dengan jumlah
yang sama. Bila jumlah penduduk kota tersebut sampai bulan ke lima sebesar 13 juta dan
sampai bulan kesembilan 21,4 juta, maka tentukanlah jumlah penduduk kota X selama 2 tahun
pertama.

6. Penduduk suatu kota pada tahun 2000 berjumlah 1.000.000 jiwa. Dengan tingkat pertumbuhan
penduduk yang konstan setiap tahun setelah 5 tahun kemudian jumlah penduduk kota tersebut
menjadi 1.104.080 jiwa. Hitunglah berapa tingkat pertumbuhan penduduk tersebut pertahun.

7. Penduduk sebuah kota Metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 1998 , diperkirakan
menjadi 4,5 juta jiwa tahun 2003. Jika pada tahun 1998 dianggap tahun dasar, berapa persen
pertumbuhan penduduk pertahunnya. Dan berapa jumlah penduduk tahun 2005?

8. Penduduk kota A pada tahun 1990 berjumlah 1.000.000 jiwa

Tingkat III

Soal – Soal Peluruhan

1. Jika suatu unsur radioaktif yang memiliki waktu paruh 9 hari meluruh selama 36 hari sehingga

unsur yang tersisa memiliki massa 4 gram, maka massa awal unsur tersebut adalah ....

2. Jika dalam kurun waktu 24 jam suatu unsur radioaktif telah meluruh sebanyak 63 bagian, maka
64

waktu paruh unsur radioaktif tersebut adalah ....

3. Jika suatu populasi bakteri ganas pada awalnya 100 bakteri dan melipat ganda setiap 3 jam,

t

maka banyaknya bakteri setelah t jam adalah 100,23 . Tentukan waktu yang diperlukan bakteri

tersebut hingga mencapai 50.000 bakteri.

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

33

4. Kecepatan partikel yang bergerak pada suatu garis lurus di bawah pengaruh gaya tertentu

dirumuskan dengan c . 3kt dengan c dan k adalah konstanta positif. Kapan kecepatan partikel

tersebut sama dengan setengah kecepatan awalnya?

5. Jika waktu yang dibutuhkan suatu unsur radioaktif untuk meluruh hingga tersisa 1 bagian
2

adalah 12 hari, maka waktu yang dibutuhkan unsur agar meluruh sebanyak 255 bagian
256

adalah ....

6. Massa suatu unsur radioaktif mula-mula M gram. Setelah meluruh selama 48 hari ternyata

massanya menjadi m gram. Jika waktu paruh unsur tersebut adalah 12 hari, maka

perbandingan M : m adalah ....
7. Waktu paruh suatu unsur radiokatif diketahui sebesar 30 menit. Dalam waktu dua jam

tentukan berapa bagian dari unsur radioaktif tersebut:

A. yang masih tersisa

B. yang sudah meluruh

8. Zat radioaktif uranium – 235 mengalami peluruhan sehingga massanya menjadi separuh setiap
3.500 tahun. Jika sebuah batuan diperkirakan berasal dari uranium – 235 yang meluruh dan
mengandung 10% uranium -235, maka umur batuan itu adalah ....

9. Suatu zat radioaktif meluruh dengan waktu paro 20 hari. Agar zat radioaktif hanya tinggal 1
8

saja dari jumlah asalnya, maka diperlukan waktu....

10. Perhatikan diagram di bawah ini ;

N = kuat radiasi mula-mula
T = waktu selama peluruhan (dalam tahun)
Dari diagram dapat disimpulkan bahwa waktu paruh zat radioaktif itu adalah....

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

34

1.4 Persamaan Eksponen

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (“ = “ ). Disebut
kalimat terbuka sebab belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Persamaan
eksponen berarti suatu kalimat terbuka yang berbentuk eksponen atau pangkat. Menyelesaikan
suatu persamaan berarti mencari penyelesaian (pengganti variabel / peubah) sehingga menjadi
pernyataan yang bernilai benar.

Untuk memudahkan pemahaman materi persamaan eksponen sebaiknya sudah dipahami tentang
materi ;

 sifat – sifat ekponen
 sifat – sifat bentuk akar (radikal), dan
 sifat – sifat operasi aljabar.

Di dalam materi ini akan dibahas setidaknya ada delapan bentuk – bentuk persamaan eksponen.
Yaitu ;

No Bentuk Persamaan Penyelesaian Syarat
Eksponen

1 af (x)  1  f(x) = 0

2 af (x)  ap  f(x) = p

3 af (x)  ag(x)  f(x) = g(x)

4 af (x)  bf (x)  f(x) = 0 Lakukan pengujian

5 af (x)  bg(x)  f(x) = 0 dan g(x)= 0 Lakukan pengujian, bila ada x
 log [af (x)]  log [bg(x)] yang memenuhi, tidak perlu
dilakukan langkah yang
lainnya.

6 f (x)h(x)  g(x)h(x)  h(x) = 0 f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
7 h(x)f (x)  h(x)g(x) Jika ( -1 )f(x) = ( -1 )g(x)
 f(x) = g(x)
 f(x) = g(x)
 h(x) = 1

 h(x) = -1

 h(x) = 0 Jika f(x) dan g(x) sama – sama
bernilai positif

Rubah kedalam bentuk

persamaan kuadrat
8 A [af (x)]2  B[af (x)]  C  0 dengan terlebih dahulu

melakukan pemisalan

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

35

A. Bentuk af (x)  1

Contoh.

1. 3x =1

x =0

2. 2x + 3 = 1

x+3 =0

3. 3 2  x 1 1 

 

x =1

B. Bentuk af (x)  ap

Contoh.

1. 4x = 8

22x = 23

x = 3
2

2. 4x  32
0,5x2

5

23x  2  2 8

24x – 16 = 5

24x = 21

x = 21
24

3. 3 8x  2 1 2
4
2x  2 3

2 2

2x – 4 = -3
2x
=1
x
= 1
2

C. Bentuk af (x)  ag(x)

Contoh.

1. 9x – 1 = 272x + 1

32x – 2 = 36x + 3

2x – 2 = 6x + 3

x =  5
4

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

36

2. 3 (0,25)x1  4x 1
(0.125)2x

x 1 22x  2

 1  3  2x
4
 1
8

 2x  2  22x 2
3 6x
2 2

2 2x  2  22x 26x
3

 2x  2  8x  2

3

 2x  2  24x  6

 26x  8

x  4
13

3. 3 0,00872x 1
0,24x 5

57  2x  50
5 4x 5

57  2x  4x  5  50

 2x  2 0

x  1

D. Bentuk af (x)  bf (x)

Contoh.

1. 3x + 1 = 2x + 1

x+1 =0

x = -1
2. 62x + 1 = 52x + 1

2x + 1 = 0

x =  1
2

3. 5x2 2x3  7x2  2x 3

x2  2x  3  0
(x  3)(x 1)  0
x  3 atau x  1

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

37

E. Bentuk af (x)  bg(x)

Contoh.

1. 2x + 1 = 3x – 1

x+1 =0

x = -1 . Uji x = -1  -1 + 1 ≠ -1 – 1

x–1 =0

x = 1 . Uji x = 1  1 + 1 ≠ 1 – 1

(x + 1) log 2 = (x – 1) log 3

x log 2 + log 2 = x log 3 – log 3

x log 2 – x log 3 = – log 3 – log 2

x(log 2 – log 3) = – (log 3 + log 2)

x (log 2 ) = – log 6
3

2

x = – 3 log 6

2

Hp = { – 3 log 6 }

2. 6x 2  5x2  x  2

x–2 =0
x = 2 . Uji  2 – 2 = 4 – 2 – 2

x2 – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1 . Uji x = -1  -1 – 2 ≠ 0

Jadi Hp = { 2 }

3. Tentukan penyelesaian dari  5x2y1  25x2y


xy2  32x2y1
4

Pers 1 : x – 2y + 1 = 2x – 4y atau x – 2y = 1  x = 2y + 1

Pers 2 : 2x – 2y + 4 = 5x – 10y + 5 atau 3x – 8y = -1

Sederhanakan kedua persamaan dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh.

3(2y + 1) – 8y = -1

6y + 3 – 8 y = - 1

-2y = -4
y=2x=5

Hp = {5 , 2}

F. Bentuk f (x)h(x)  g(x)h(x)

Contoh.

1. (2x – 1)x – 2 = (x – 3)x – 2

x–2 =0

x = 2 . Uji x = 2  2(2) – 1 ≠ 0 dan (2 – 3) ≠ 0.

2x – 1 = x – 3

x = -2 .

Jadi Hp = {-2 , 2}

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

38

2. x 1x27x10  2x 3x27x10

x2 + 7x + 10 = 0
(x + 2)(x + 5) = 0
x = -2 atau x = -5 . Uji x = -2  (-2 + 1) ≠ 0 dan (-4 + 1) ≠ 0

Uji x = -5  (-5 + 1) ≠ 0 dan (-10 + 1) ≠ 0

x + 1 = 2x + 3
x = -2
Jadi Hp = {-5 , -2}

G. Bentuk h(x)f (x)  h(x)g(x)

Contoh.  (-1)2 = (-1)2 memenuhi.
1. (x – 2)x + 1 = (x – 2)2x  2 + 1 dan 2(2) keduanya positif.

Syarat 1 : x + 1 = 2x
x =1

Syarat 2 : x – 2 = 1
x =3

Syarat 3 : x – 2 = -1
x = 1 . Uji x = 1

Syarat 4 : x – 2 = 0
x = 2 . Ujia x = 2

Jadi Hp = {-1 , 1 , 2 , 3}

2. (x2 – 9x + 19)3x + 4 = (x2 – 9x + 19)4x + 3
Syarat 1 : 3x + 4 = 4x + 3
x =1
Syarat 2 : x2 – 9x + 19 = 1
x2 – 9x + 18 = 0
(x – 6)(x – 3) = 0
x = 6 atau x = 3

Sayarat 3 : x2 – 9x + 19 = -1
X2 – 9x + 20 = 0

(x – 4)(x – 5) = 0 Uji x = 4  (-1)16 ≠ (-1)19
x = 4 atau x = 5 . Uji x = 5  (-1)19 = (-1)23

Syarat 4 : x2 – 9x + 19 = 0

Dengan rumus ABC, diperoleh x  9  5 atau x  9  5
2 2

f( f (9  5 ) bernilai positif dan g(9  5 ) juga bernilai positif
2 2

Jadi Hp = {1 , 3 ,5,6, 9 5 , 9  5 }
2 2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

39

H. Bentuk A [af (x)]2  B[af (x)]  C  0

Contoh.

1. 9x 2 3x 1  9x 2 3x  20 10 (3x 2 3x )

Misalkan a = 3x23x

9. [(3)x 2  x ]2  [(3)x 2  x ]2  20 10 (3x 2 3x )

10a2 + 10a – 20 = 0

a2 + a – 2 = 0

(a + 2)(a – 1) = 0

a = -2 (tidak memenuhi) atau a = 1

Untuk a = 1  1 = 3x23x

x2 – 3x = 0  x(x – 3) = 0. Hp = {0 , 3}

2. 43x 3  9 (23x 3)  8 0

Misalkan a = 23x3
a2 – 9a + 8 = 0
(a – 1)(a – 8) = 0
a = 1  1 = 23x3 , diperoleh x = 1
a = 8  8 = 23x3 , diperoleh x = 2

Jadi Hp = {1 , 2}

3. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan eksponen 1  12  27  0 , maka nilai x12 + x22 = .....
32x 3x

Misalkan a = 1
3x

1  12  27  0
(3x )2 3x

a2 – 12a + 27 = 0

(a – 9)(a – 3) = 0

a=9 9= 1 , diperoleh x = -2
3x

a=3 3= 1 , diperoleh x = -1
3x

Jadi x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

=9–4

=5

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

40

Latihan Uji Kompetensi 1

Tingkat I

1. Tentukan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut ;
A. 4x + 3 = 32

B. 91 – x = 1
27

C.  3  2  3 1
 3x2 9
 


D. 23x1  32

E. 35x1  27x 3

F. 322x3  1
2

G. 2x2 8x  16

H. 5x1  25 5

2. Jika 3x2y  1 dan 2xy 16 , maka x + 2y = ....
81

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 5xy  49 dan x – y = 9 adalah …

4. Himpunan penyelesaian dari persamaan 24x  2   1 2x  6 adalah …
 
 2 

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x22x7  1 adalah ...

81

6. Jika 3x2y  1 dan 2xy 16 maka nilai x + y = ...
81

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 32x3  5 27x 5 adalah …

8. Nilai x yang memenuhi persamaan 27  81 0,125 adalah …
32x 1

9. Nilai 2x yang memenuhi 4x2  316x 5 adalah ...

38x 2  1  2  x – adalah …
32
10. Jika  , maka nilai 8x x2

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

41

Tingkat II

1. Diketahui 2x  2x  5 . Nilai 22x  22x  ...

2. Jika f ( n ) = 2n 2 . 6n 4 dan g ( n ) = 12 n1, n bilangan asli maka f (n)  ...
g(n)

3. Nilai x yang memenuhi 3 3(x  2)  1 adalah …
27(1 x)

4. Solusi persamaan  5 3  2  3 1 adalah
 5x  125


5. Diketahui 22x  22x  23 . Nilai 2x  2x  ...

6. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan eksponen 3x23x4  9x1 dengan x1 > x2, maka

nilai dari x2 1 x1 adalah ...


7. Carilah semua bilangan real x yang memenuhi persamaan eksponen 8x  27x  7
12x 18x 6

8. Carilah semua bilangan real x yang memenuhi persamaan eksponen :
2x 3x 4x 6x 9x 1

9. Carilah semua nilai x positif yang memenuhi persamaan eksponen :

x2  x 5x21 1



10. Tentukan penyelesaian dari persamaan  x 2  7x 123x327x  6  x 2 3x3  27x

 

Tingkat III

1. Akar-akar persamaan 2. 34x − 20. 32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 adalah ...

2. Akar- akar pesamaan 32x+1 − 28. 3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 - x2

adalah ...

3. Bila x1 dan x2 adalah penyelesaian dari persamaan 22x − 6. 2x+1 + 32 = 0 dengan x1 > x2, maka

nilai dai 2x1 + x2 adalah ...
4. Akar-akar persamaan 5x + 1 + 52 - x = 30 adalah α dan β, maka α + β adalah ...

5. Jika a dan b merupakan akar-akar persamaan 3x + 3x - 1 = 2, maka nilai a + b adalah ......

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x2  40  27  0 adalah .....
2x

7. Tentukan penyelesaian persamaan eksponen 4  23x2   8x 1
5 20
 

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

42

8. Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …
9. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….

10. Nilai x yang memenuhi persamaan 32x  5(3x )  36  0

 1  x2 4x7 27  3x2 4x4
9
11. x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan  . Nilai x1  x2  ....

12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x1 9283x  0, xR adalah ....

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 92x 109x 9  0, xR adalah ....

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x 65x1 125 0, xR adalah ....

15. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 22x1 52x1 8  0, xR adalah ....

Tingkat IV

1. Himpunan penyelesaian dari x2  x 12x2x6  x2  x 1x22x2 adalah ...
 

2. Jika (3x – 1)3 + (3x + 1)3 = 2 . 33x + 3x, maka nilai x yang memenuhi adalah ...

3. Jika 32x + 33x + 34x = y dan 1 + 3x + 32x = 3, tentukan nilai dari y = ...
32x

4. Nilai x yang memenuhi persamaan eksponen 32x3  5 21x5 adalah ...

5. Nilai x yang memenuhi persamaan eksponen 3 2 x  2x2 3 2 10 adalah ...
 

6. Jarak kedua titik potong kurva y = 22x + 1 – 5 . 2x + 2 dengan sumbu x adalah ...

3x + 1 –  1  x 3x
9
7. Kurva y = berada di bawah kurva y = +1 maka interval x adalah ...

8. Selesaikan persamaan berikut  2 3  x   2 3  x  4
 
 

 2 x2x2  4y

9. Selesaikan persamaan berikut ini : 

log (1 y)  2.log y  log 2

10. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan a2x (a2 + 1) = a(a3x + ax)

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

43

1.5 Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tanda ;

 “>“ : Lebih dari
 “<“ : Kurang dari
 “≥“ : Lebih atau sama dengan
 “≤“ : Kurang atau sama dengan

Pertidaksamaan eksponen adalah kalimat terbuka yang didalamnya mengandung bentuk ekspoen
atau pangkat yang dihubungkan dengan tanda “ > “, “ < “ , “ ≥ “, dan “ ≤ “.

Untuk mempermudah dalam memahami pertidaksamaan eksponen sebaiknya sudah dipahami
tentang ;

 Sifat – sifat pertidaksamaan Eksponen, yaitu :

1. Jika a > 1, dan af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)
2. Jika a > 1, dan af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
3. Jika 0 < a < 1, dan af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
4. Jika 0 < a < 1, dan af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)

 Garis bilangan

Jika x > a Jika x < a Jika x < a atau x ≥ b Jika a ≤ x ≤ b

aa ab ab

Contoh – contoh soal .

1. 2x + 1 > 8 2
x+1>3
x>2 Penting !!!
Jika pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaannya
2. 3x + 3 ≥ 1 3 – 2x dirubah.
9
3
x + 2 ≥ -6 + 4x
-3x ≥ -9

x≤3

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

44

 1  2x 1  1  x2
5 25
3. 

2x1

5 2  5 2x4

-2x – 1 < -4x + 8

2x < 9

x< 9 9
2 2

4x23x2 3  1 3  6x
2
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 

Penyelesaian :

2x 2  3x  3  22x  1

x2 – 5x + 4 < 0
Pembuat nol
(x – 1)(x – 4) = 0

x = 1 atau x = 4 14

Jadi Hp = { x | 1 < x < 4, x € R}

5. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 52x  6.5x 1 125  0

Penyelesaian : Untuk x = 5  5 = 5x
Misalkan a = 5x
a2 – 30a + 125 ≥ 0
Pembuat nol
(a – 25)(a – 5) = 0
a = 25 atau a = 5
Untuk a = 25  25 = 5x

2=x 1=x
Garis bilangan
2
1
Hp = { x | x ≤ 1 atau x ≥ 2, x€ R}

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

45

Latihan Uji Kompetensi 1

Tingkat I

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut .

A. 32x > 27x – 1

B. 2x2 1
2x  6

C. 3 . 2x + 2 < 12

D. 42x + 1 ≤ 32x

E. 3x2  x  81

3 1 3x
 243 
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x 4 1 adalah ...

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x2  1 adalah ...
3 32


4. Penyelesaian pertidaksamaan  3  2  3 1
 3x2 9
 


Tingkat II

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 3x  81 33x . 273x adalah ...
27x  2

2. Nilai x yang memenuhi 2x . 2x 1x . 2x 1 x  8 adalah ...



3. Jika 6 .33x 1  27x  1 , maka nilai x yang memenuhi adalah ...
7 21

4. Supaya pertidaksamaan eksponen 1  3 1 maka nilai x haruslah ...
4x 1 212  3x

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

46

Tingkat III

1. Pertidaksamaan eksponen 25. 53x . 1253x  125x  2 dipenuhi untuk x = ...
52x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x 1  32x  2  4.3 9x 2 adalah ...

3. Jika penyelesaian 2x22x  4x  p adalah 1 < x < 2, maka nilai p = ...

4. Batas – batas nilai x yang memenuhi (5x – 1 – 2)(5x – 1 – 4) < 3 adalah ...
5. Penyelesaian 22x – 2 . 2x – 8 > 0 adalah ...

Tingkat IV

1. Tentukan interval dimana grafik fungsi y = 2 4x  2 berada di bawah grafik fungsi y = 1
23x 1

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 (2x ) (4x 13) 3 (16x  2)  1 adalah ...
(16x ) 3 4

 1  x  4
27
3. Tentukan batas – batas nilai x agar grafik fungsi f (x)  berada di bawah grafik fungsi

g(x) = 92x.

4. Misalkan sebuah komputer saat kondisi baru bernilai No rupiah. Andaikan komputer tersebut

setelah t tahun mengalami penyusutan sebesar No.  2  t . Harga komputer tersebut akan bernilai
3

tidak lebih dari  No  setelah .....tahun
9

5. Massa suatu zat radioaktif yang meluruh dapat dinyatakan dengan rumus sebagai
St  S0 . e .t . Jika massa zat radioaktif tersebut setelah t tahun menjadi 7, 1 gram dari

sebelumnya 10, 5 gram. Tentukanlah batas waktu yang dibutuhkan zat tersebut jika diketahui
λ = 1,3 . 103

6. Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan
membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap
24 jam. Jika setiap 3 hari, lebih dari seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus
setelah satu minggu pertama adalah …

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

47

1.6 Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu suatu kalimat terbuka yang berbentuk logaritma atau kalimat
terbuka yang mengandung logaritma. Menyelesaikan suatu persamaan logaritma berarti mencari
penyelesaian (pengganti variabel / peubah) bilangan pokok atau numerus dari logaritma tersebut
sehingga menjadi pernyataan yang bernilai benar.

Untuk memudahkan pemahaman materi persamaan logaritma sebaiknya sudah dipahami tentang
materi ;

 sifat – sifat logaritma
 sifat – sifat bentuk akar (radikal), dan
 sifat – sifat operasi aljabar.

Bentuk Umum Persamaan logaritma adalah a log f (x)  x dimana a disebut bilangan pokok dengan
0 < a < 1, f(x) disebut sebagai numerus (nilai yang dicari logaritmanya), dan x disebut sebagai nilai
atau hasil logaritma. Perlu diingat bahwa numerus tidak boleh bernilai negatif.

Di dalam materi ini akan dibahas setidaknya ada lima bentuk – bentuk persamaan logaritma.
Yaitu ;

No Bentuk Persamaan Logaritma Penyelesaian Syarat

1 a log f (x)  alog ap  f(x) = ap Lakukan pengujian untuk
memenuhi f(x) ≠ 1 , f(x) > 0,
2 a log f (x)  a log g(x)  f(x) = g(x) g(x) > 0, dan h(x) > 0

3 a log f (x)  blog f (x)  f(x) = 1

 g(x) = h(x)

4 f (x)log g(x)  f (x)log h(x)

Rubah kedalam bentuk

persamaan kuadrat

5 A [af (x)]2  B[af (x)]  C  0 dengan terlebih dahulu

melakukan pemisalan

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

48

A. Bentuk a log f (x)  alog ap

Contoh .
1. 2log 2log 2log( x 1)  0

2log 2log( x 1)  20 1

2log( x 1)  21  2

(x 1)  22  4

x3

2. log (x2 – 1) – log (x – 1) = 1 + log (x – 8)

log x2 1  log 10 log (x 8)
x 1

log (x 1)(x 1)  log 10(x 8)
x 1

x + 1 = 10x – 80

x=9

3. 2log (x2 5x 8) 1

x2 – 5x + 8 = 2

x2 – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x = 2 atau x = 3

B. Bentuk a log f (x)  a log g(x)

Contoh .
1. 3log (x  2)  9log (4x 8)  0

3log (x  2)  9log (4x 8)
3log (x  2)  3log 4x 8

x  2  4x 8
x2  4x  4  4x 8
x2 8x 12  0
(x  2)(x  6)  0
x  2 atau x  6
Untuk x  2, tidak memenuhi karena 3log( 2  2)  3log( 0) tidak terdefinis i.
Jadi Hp { 6 }

2. Jika 2log x  3log (x  y)  5 dan 2log x  3log (x  y)  1 , maka x + y = ...

Eliminasi kedua persamaan sebagai berikut.
2log x  3log (x  y)  5
2log x  3log (x  y)  1
____________________
3log (x  y)3log (x  y)  4
3log (x  y)  2
xy9

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri

49

C. Bentuk a log f (x)  blog f (x)

Contoh.

1. 3log (x  2)  5log (x  2)
Ingat penyelesaian a log f (x)  blog f (x) adalah f(x) = 1, sebab 3log (1)  5log (1)  0
x–2=1
x=3

2. 2 log (x2  2x  2)  7log (x2  2x  2)
Ingat penyelesaian a log f (x)  blog f (x) adalah f(x) = 1, sebab 2 log (1)  7log (1)  0
x2 – 2x – 2 = 1
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
X = 3 atau x = -1

D. Bentuk f (x)log g(x)  f (x)log h(x)

Contoh.
1. Tentukan penyelesaian persamaan (x1) log (x2 3)  (x1)log (x  3) .

Ingat penyelesaian f (x)log g(x)  f (x)log h(x) adalah g(x) = h(x) dengan syarat f(x) ≠ 1, f(x) > 0,
g(x) > 0, dan h(x) > 0.
x2 – 3 = x + 3
x2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2
Uji x = 3  f(3) > 0 memenuhi
Uji x = -2  f(-2) < 0 tidak memenuhi
Jadi Hp = { 3 }
2. Tentukan penyelesaian persamaan (x3) log (x  2)  (x3)log (3x  2) .
x + 2 = 3x – 2
x=2
Uji x = 2  f(2) > 0 memenuhi

SMA Xaverius 1 Palembang Sahala S Untuk Kalangan Sendiri