คู่มือครู คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน เมทรกิ ซแ ตง เตมิ และการดาํ เนนิ การตามแถว นอกจากจะชว ยในการแกร ะบบสมการเชงิ เสน แลว
ยังสามารถใชห าเมทริกซผกผันได ซึ่งนักเรียนจะไดศึกษาจากรายละเอียดตอไปนี้
แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ 1 2
กาํ หนด A= 3 4
2. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษารายละเอียดเพ่ิมเติม
เก่ียวกับเมทริกซแตงเติมและการดําเนินการ เนอื่ งจาก det(A) = 4 - 6 = -2 0 ดังน้ัน A-1 หาคาได
ตามแถวอยางละเอียด ในหนังสือเรียน หนา w x
196-197 แลวแลกเปลี่ยนความรูกับคูของ ให A-1 = y z จะไดวา
ตนเอง สนทนา ซกั ถาม จนเปน ทเี่ ขา ใจรว มกนั
จากน้ันครอู ธิบายใหน กั เรยี นฟง อีกครงั้ พรอ ม 1 2 w x = 1 0
เปดโอกาสใหนักเรียนซักถามในประเด็นที่ไม 3 4 y z 0 1
เขาใจ

w + 2y x + 2z = 1 0
3w + 4y 3x + 4z 0 1

จากสมการเมทริกซข า งตน เขยี นใหอยใู นรูประบบสมการเชิงเสน ได ดงั น้ี
w + 2y = 1 .....(1)
x + 2z = 0 .....(2)
3w + 4y = 0 .....(3)
3x + 4z = 1 .....(4)
นกั เรียนสามารถหาคา w และ y ซ่งึ เปน สมาชิกของ A-1 ไดจากการเขียนเมทรกิ ซแ ตง เติม
ของระบบสมการที่ประกอบไปดว ยสมการ (1) และ (3) จากน้ันใชการดําเนนิ การตามแถวเพือ่ ให
ไดเ มทรกิ ซท ม่ี ีรปู แบบขัน้ บันไดแบบแถวซง่ึ มขี นั้ ตอน ดงั น้ี
1 2 1
จากระบบสมการ (1) และ (3) เขยี นเมทริกซแตงเตมิ ไดเ ปน 3 4 0

ใชก ารดาํ เนนิ การตามแถวเพอื่ ใหไดเมทริกซท ม่ี รี ปู แบบข้ันบนั ไดแบบแถวไดเปน
10 -2
12 1 ∼ 01 23
34 0
จะไดว า (w, y) = -2, 23
ในทาํ นองเดียวกัน นกั เรยี นสามารถหาคา x และ z ซ่งึ เปนสมาชิกของ A-1 ไดจากการเขยี น
เมทรกิ ซแ ตงเติมของระบบสมการท่ีประกอบไปดวยสมการ (2) และ (4) จากน้นั ใชการดําเนินการ
ตามแถวเพือ่ ใหไ ดเ มทริกซท มี่ ีรูปแบบข้ันบนั ไดแบบแถว
10 1
120 ∼ 0 1 - 12
341

196

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครคู วรอธบิ ายและเนน ยา้ํ วธิ กี ารหาเมทรกิ ซผ กผนั โดยการใชก ารดาํ เนนิ การ ครูใหนักเรียนจับคูแลวเขียนโจทยเมทริกซ A ในหนังสือเรียน
ตามแถวอยางละเอียดวามีความสอดคลองกันอยางไร หนา 196 ลงในกระดาษ A4 พรอมแสดงวิธีการหาเมทริกซ
ผกผนั ของเมทริกซ A ตามขัน้ ตอนในหนงั สือเรยี น หนา 196-197
เมื่อทําเสร็จแลวใหน าํ มาสงครู โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง

หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงและนกั เรยี นออนจับคูกนั

T204

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จะไดวา (x, z) = 1, - 12 ขน้ั สอน
-2 1
ดงั นั้น A-1 = 32 - 12 แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

คณติ นา่ รู้ 3. ครูอธิบายกรอบ “คณิตนารู” ในหนังสือเรียน
หนา 197 ใหน กั เรยี นฟง
กําหนด A เปน n × n เมทริกซ โดยท่ี det(A) 0 กําหนด A = a b
A-1 หาไดจากเขียนเมทริกซแตงเติม A ͉ In แลว c d 4. ครูใหนักเรียนแตละคนศึกษาตัวอยางท่ี 39
จะไดวา ในหนังสือเรียน หนา 197 ดวยตนเองอยาง
ใชก ารดาํ เนนิ การตามแถวจนไดเ มทรกิ ซแ ตง เตมิ In ͉ B a b 1 0 ละเอียด
จะไดว า B = A-1 A ͉ I2 = c d 0 1
ใชท้ ฤษฎี หลักการ

1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 197 จากนนั้ ครูและนักเรียนรว มกนั เฉลย
คําตอบ “ลองทาํ ด”ู

ตัวอย่างที่ 39 4 5
-3 -5
กาํ หนด A =

ใหห าเมทริกซผกผันของ A โดยใชการดําเนนิ การตามแถว (ถา มี)

วิธีทาํ เน่อื งจาก det(A) = -20 + 15 = -5 0 จะไดว า A-1 หาคาได
45 1 0
A ͉ I2 = -3 -5 0 1

∼ 10 1 1
-3 -5 0 1
10 11
∼ 0 -5 34

10 1 1
∼ 0 1 - 35 - 45
1 1
ดงั นน้ั A-1 = - 35 - 54

ลองทําดู 5 7
-4 3
กําหนด A =

ใหหาเมทรกิ ซผกผันของ A โดยใชการดาํ เนินการตามแถว (ถามี)

เมทริกซ 197

ขอ สอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู
กําหนด A = -15 -37 ใหหาเมทริกซผกผนั ของ A โดยใช
การดําเนนิ การตามแถว (ถาม)ี หลงั จากทีน่ กั เรยี นไดศึกษาตัวอยางที่ 39 ในหนังสอื เรยี น หนา 197 ครคู วร
อธิบายแตล ะขัน้ ตอนอีกคร้งั เพอื่ ตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียน
(เฉลยคําตอบ เน่อื งจาก det(A) = -7 - (-15) = 8 0
จะไดวา A-1 หาคา ได T205
A͉In = -15 -37 01 10 ∼ 10 38 15 01 R2 + 5R1

13 518 180 81 R2
∼01

ดงั น้นั A-1 = -5887 10 -5878 -8183 R1 - 3R2
∼01
-8183 )

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน แบบฝึกทกั ษะ 2.5

ใชท ฤษฎี หลักการ ระดับพน้ื ฐาน

2. ครใู หน กั เรยี นจบั คทู าํ แบบฝก ทกั ษะ 2.5 ขอ 1.-4. 1. แกระบบสมการในแตล ะขอ ตอ ไปนโ้ี ดยใชเมทริกซผกผนั
ในหนงั สอื เรยี น หนา 198 แลว แลกเปลยี่ นคาํ ตอบ 1) 5x + 3y = 24 2) 7x + y = 10
กบั คขู องตนเอง สนทนา ซกั ถาม จนเปน ทเ่ี ขา ใจ 3y - 5x = 5 -5x - 5y = -20
รวมกัน จากน้ันครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
คําตอบ 2. แกร ะบบสมการในแตล ะขอตอไปนโ้ี ดยใชก ฎของคราเมอร

3. ครใู หนักเรยี นทํา Exercise 2.5 ในแบบฝก หดั
เปน การบา น

1) x + 2y + z = 0 2) 2x + 4y + z = 1
3x + y - 2z = 5 x + 2y = -2
2x - 3y - 3z = 9 -x - 3y + 2z = 3

3) x + 2y - 2z = 1 4) y + z = x
2x + 2y - z = 4 3x = 2y
3x + 4y = 6 2x + 3z = 2 + y

3. แกระบบสมการในแตละขอตอ ไปน้ีโดยใชก ารดาํ เนนิ การตามแถว
1) y = 3x + 5 2) x - 2y = 10
4y + 12x = 20 -2x + 4y = -20

3) -3x + y - z = 4 4) x + y + z = 0
6x - 2y + 2z = 1 2y - z + t - 4 = 0
x + 2y + 3z = 7 y - 2z - 2t - 3 = 0
2y - z - 2t + 2 = 0

4. ใหหาเมทรกิ ซผ กผันของเมทริกซใ นแตล ะขอ ตอ ไปน้ีโดยใชการดําเนนิ การตามแถว (ถา ม)ี
1 -1 1
1) 1 3 2) 0 -2 1
2 -5
-2 -3 0

ระดบั กลาง

5. แกร ะบบสมการในแตล ะขอ ตอ ไปนโ้ี ดยใชก ารดาํ เนนิ การตามแถว
1) -0x3.5x+x+0-.251yyy+++32zzz = 12.1 2) 2x + y - z - 3t = 10
= 5 x - 3y - z - 2t = -2
= 9.6 3x - 2y + 3z + 4t = 4
2x + y + z + 3t = 6
198

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสรมิ

กอนที่จะใหน กั เรียนทาํ แบบฝก ทักษะ 2.5 ในหนังสอื เรยี น หนา 198-199 ครูแบงกลุมใหนักเรียน กลุมละ 4-5 คน แลวสงตัวแทนมา
ครูควรใชก ารถาม-ตอบ เพื่อทบทวนความรูท่เี รียนมาในหัวขอ นี้ จบั สลาก ถา นักเรียนกลุมใดจับไดห มายเลข 1 ใหแ สดงวิธีการหา
เมทริกซผ กผันของสมการในแบบฝกทกั ษะ 2.5 ขอ 5 ขอ ยอ ย 3)
แตถานักเรียนกลุมใดจับไดหมายเลข 2 ใหแสดงวิธีการหา
เมทรกิ ซผกผันของสมการในแบบฝก ทกั ษะ 2.5 ขอ 5 ขอยอย 4)
โดยแตละกลุมทําลงกระดาษ A4 เมื่อทําเสร็จแลวใหนํามาสงครู
โดยครตู รวจสอบความถูกตอง

หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมโดยคละความสามารถทาง
คณติ ศาสตรของนกั เรียน (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอยูกลมุ
เดยี วกนั

T206

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

3) 2x + y - 2z = -1 4) 2x - y - z + 2t = -4 ขน้ั สอน
x + 3z - t = 2 y - 2z + 3t = -13
-2x + y + 2z + t = 0 x - 2y + 3z - t = 14 แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
x - y + 3z + t = 1 y + 2z + t = 3
ครูอธบิ ายกรอบ “แนะแนวคดิ ” ใหนักเรียนฟง
6. ใหหาเมทรกิ ซผ กผนั ของเมทรกิ ซในแตละขอ ตอ ไปนี้ พรอมกับเปดโอกาสใหนักเรียนไดซักถามหากมี
ขอ สงสัย
1020 á¹Ðá¹Ç¤Ô´
-1 -1 1 -1 ใชท้ ฤษฎี หลักการ
1) 21 03 ãªÊŒ ÁºµÑ ¢Ô ͧ´àÕ ·ÍÃÁ áÔ ¹¹µ
à¾Íè× µÃǨÊͺÇÒ‹ àÁ·ÃÔ¡« 1. ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลมุ ละ 4-5 คน คละ
1 2 -3 2 㹢͌ 1) áÅÐ 2) ໹š ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออ น ปานกลาง
àÁ·ÃÔ¡«àÍ¡°Ò¹ËÃ×ÍäÁ‹ และเกง ) ใหอ ยกู ลมุ เดยี วกนั แลว ใหแ ตล ะกลมุ
1 0 0 -1 ชวยกันทําแบบฝกทักษะ 2.5 ขอ 5.-6. ใน
1101 หนงั สอื เรยี น หนา 198-199 จากนน้ั ใหน กั เรยี น
2) 2200 แลกเปลี่ยนคําตอบกันภายในกลุม สนทนา
ซกั ถาม จนเปนทีเ่ ขา ใจรว มกนั
-1 -2 2 4
2. ครใู หแ ตล ะกลมุ สง ตวั แทนออกมาแสดงวธิ กี าร
หาคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบความ
ถกู ตอง

ตรวจสอบตนเอง

หลงั จากเรยี นจบหนวยแลว ใหนักเรยี นบอกสญั ลักษณทตี่ รงกับระดับความสามารถของตนเอง

ดี พอใช ปควรบรั ปรงุ

1. เขาใจความหมายของเมทริกซ

2. สามารถหาผลลพั ธข องการบวกเมทริกซ การคณู เมทริกซ
กบั จาํ นวนจริง การคณู ระหวางเมทริกซได

3. สามารถหาเมทริกซส ลับเปล่ียนได

4. สามารถหาดีเทอรมิแนนตของ n × n เมทริกซ เม่ือ n เปน
จํานวนนบั ทีไ่ มเกินสามได

5. สามารถหาเมทริกซผ กผันของเมทรกิ ซ 2 × 2 ได

6. สามารถแกระบบสมการเชงิ เสนโดยใชก ารกําจดั ตวั แปร
เมทริกซผ กผัน กฎของคราเมอร และการดําเนินการตามแถวได

เมทริกซ 199

กิจกรรม ทาทาย เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคูแลวชวยกันหาเมทริกซผกผันของเมทริกซ ครูควรยกตวั อยางประกอบคาํ อธบิ ายกรอบ “แนะแนวคิด” เพ่ือใหน กั เรยี น
ตอไปนี้ เขาใจงายย่งิ ขึ้น

1. 15 -31
2. -241 -105 854
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนกั เรียนออ นจบั คูก นั

T207

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน คณิตศาสตร์ในชีวิตจริง

ใชท ฤษฎี หลักการ การวิเคราะหว งจรไฟฟากระแสตรงโดยใชกฎของเคอรชอฟฟ
กฎของเคอรชอฟฟเ ปน กฎทชี่ วยในการวเิ คราะหวงจรไฟฟา กระแสตรง ซง่ึ มีหลกั การ ดังน้ี
3. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค 1) กฎกระแสไฟฟา ของเคอรชอฟฟ กลาววา “กระแสไฟฟาทไ่ี หลเขาจดุ ใดจุดหนึ่งในวงจรไฟฟา
“คคู ดิ (Think Pair Share)” ดังน้ี จะเทา กบั กระแสไฟฟา ท่ีไหลออกจากจุดนน้ั ” ซง่ึ สามารถเขยี นในรูปทวั่ ไปได ดงั นี้
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
จากคณติ ศาสตรใ นชวี ติ จรงิ ในหนงั สอื เรยี น Σ Iกระแสไหลเขา - Σ Iกระแสไหลออก = Σ I = 0
หนา 200
• ใหนักเรียนแลกเปลี่ยนคําตอบกับคูของ 2) กฎแรงดนั ไฟฟา ของเคอรช อฟฟ กลา ววา “ผลบวกของแรงดนั ไฟฟา ทจี่ า ยใหใ นวงจรไฟฟา ปด
ตนเอง สนทนา ซักถาม จนเปนท่ีเขาใจ จะมคี า เทา กบั ผลบวกของแรงดนั ไฟฟา ตกครอ มความตา นทานในวงใจไฟฟา ปด นน้ั ” ซงึ่ สามารถเขยี นใน
รว มกัน รูปทว่ั ไปได ดงั น้ี
• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน ΣE = 0
รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอง

สถานการณ วงจรไฟฟาวงจรหน่ึงวงจรหน่ึงประกอบดวยแรงดันไฟฟาขนาด 5 โวลต

และ 10 โวลต ตัวตานทานขนาด 2 โอหม 3 โอหม และ 4 โอหม และมีทิศทางการไหลของ

กระแสไฟฟาในวงจร ดงั น้ี 3Ω
2Ω

5 V I1 4 Ω I2 10 V

โดยกฎแรงดันไฟฟา ของเคอรช อฟฟ จะเขยี นสมการได ดังนี้

Loop 1 Loop 2

2I1 + 4I1 + 4I2 = 5 .....(1) 3I2 + 4I2 + 4I1 = 10 .....(2)
6I1 + 4I2 = 5 4I1 + 7I2 = 5

ใหน กั เรียนแกระบบสมการขา งตนโดยการกาํ จัดตวั แปรและใชกฎของคราเมอร เพื่อหากระแส

ไฟฟา ที่ไหลผา นตัวตานทานแตล ะตัว

200

เฉลย คณิตศาสตรในชีวติ จริง กิจกรรม 21st Century Skills

เขยี นสมการเมทรกิ ซไดเปน AX = B เมอื่ 1. ครใู หน กั เรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยกู ลุมเดียวกัน
A = 46 74 , X = I1 และ B = 55
I2 2. ใหแตละกลุมรวมกันสืบคนโจทยวาเมทริกซสามารถนําไป
ประยุกตใชในเร่ืองใดไดบาง จากนั้นสรางระบบสมการเชิงเสน
จาก A = 46 74 จะได det(A) = 6(7) - 4(4) = 26 0 ท่สี อดคลอ งกบั เรอื่ งน้ัน แลวหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน
ลงในกระดาษ A4
โดยกฎของคราเมอร จะไดวา x = ∣d55et(A47)∣ = 352-620 = 1256
3. ใหแ ตล ะกลุมสงตวั แทนออกมานําเสนอหนา ชั้นเรยี น

y = ∣d46et(A55)∣ = 302-620 = 1260 = 153
ดังน้ัน คําตอบของระบบสมการที่กาํ หนด คือ 2156, 153

T208

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

สรปุ แนวคดิ หลกั ขน้ั สรปุ

เมทรกิ ซ์ ตรวจสอบและสรปุ

ระบบสมการเชิงเสน้ 1. ครูใหนักเรียนศึกษา “สรุปแนวคิดหลัก” ใน
รใสหะมบ กaบา1สร, มaaก21,าxร.1.เ.ช,+ิงaaเnส2xนแ2ลปะ+ระbก...อเ,ปบaนดnxจวnํยานสววมานกสจามรริงเกชใาดิงรเๆเสชนิงโดตเสั้ยงนแทตี่ naส1อต,งัวaสแ2มป, กร..า.,เรมขa่ือึ้นn ไไxปม1,เปxน2,ศูน...ย,พxรnอเมปกนันตัวเแรียปกร หนงั สอื เรยี น หนา 201-204 จากนนั้ ใหน กั เรยี น
• นําความรูที่ไดมาเขียนเปนผังมโนทัศนหนวย
• การเรียนรูที่ 2 เมทริกซ ลงในกระดาษ A4
• คําตอบของระบบสมการเชิงเสนมี 3 ลักษณะ คือ ระบบสมการเชิงเสนที่มีคําตอบเดียว ระบบสมการ ตกแตงใหสวยงาม เม่ือทําเสร็จแลวนําสงครู
เชิงเสนท่ีมีหลายคําตอบ หรือเรียกวา มีคําตอบเปนอนันต และระบบสมการเชิงเสนท่ีไมมีคําตอบ เพอ่ื ตรวจสอบความถกู ตอง

เมทริกซ์ 2. ครูถามคาํ ถามเพอ่ื สรปุ ความรูรวบยอดของ
นักเรยี น ดังน้ี
• เมทริกซ คือ ชุดของจํานวนท่ีเขียนเรียงกัน m แถว (Row) n หลัก (Column) เม่ือ m และ n • การแกร ะบบสมการเชิงเสน ทําไดอ ยางไร
เปนจํานวนเต็มบวกภายในเคร่ืองหมายวงเล็บ ดังนี้ (แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย
ขึ้นอยูกับพ้ืนฐานความรูของนักเรียนแตละ
สมาชิกของเมทรกิ ซ คน เชน การกาํ จัดตัวแปรใดตวั แปรหน่ึง)
หลกั แถว • เมทริกซท เ่ี ทา กันเปนอยา งไร
aa1211 aa1222 ...... aa21nn (แนวตอบ มีสมาชิกในตาํ แหนงเดยี วกนั
A= แถวท่ี 1 (R1) เหมือนกัน และมมี ิตเิ ดียวกนั )
แถวที่ 2 (R2) • เมทรกิ ซสลบั เปล่ยี นของเมทริกซ A
เปนอยางไร
am1 am2 ... amn แถวที่ m (Rm) (แนวตอบ เมทรกิ ซท ม่ี กี ารสลบั แถวและหลกั
ของเมทรกิ ซ A)
หลกั ท่ี 1 หลกั ที่ 2 หลักท่ี n
(C1) (C2) (Cn)

A เปนเมทริกซท่ีมี m แถว n หลัก มีมิติเปน m × n เรียกเมทริกซ A วา m × n เมทริกซ
และเขียนแทน A ดวย aij m×n เมื่อ i∊{ 1, 2, ..., m } และ j∊{ 1, 2, ..., n }

การเทา กนั ของเมทริกซ
• กําหนด A = aij m×n และ B = bij m×n เม่ือ i∊{ 1, 2, ..., m } และ j∊{ 1, 2, ..., n }
A และ B เปน เมทริกซท ่เี ทา กนั ก็ตอ เม่ือ
1) A และ B มมี ิตเิ ดียวกนั 2) สมาชิกของ A และ B ในตําแหนง เดยี วกันตองเทากัน

เมทรกิ ซส ลับเปลี่ยน 1, 2, ..., m } และ j∊{ ...,
• ถา A= เขaiยีj นmแ×nทนเมด่อื วยi∊At{ อา นวา “เอทรานสโพส” 1, 2, n } แลวเมทรกิ ซสลบั เปล่ยี นของ A คือ
aij เชน
n×m
A = aaa132111 aaa132222 จะไดว า At = aa1112 aa2212 aa3321

เมทริกซ 201

ขอ สอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู

คาของ x, y และ z จาก x +5 y x 5- z = y +2 8 2z 4- y ครูควรทบทวนสัญลักษณเบ้ืองตนของเมทริกซใน “สรุปแนวคิดหลัก” ใน
เทากบั ขอ ใด หนงั สือเรยี น หนา 201 ใหกับนักเรียน

1. x = 5, y = -3 และ z = -1 T209
2. x = 5, y = -3 และ z = 1
3. x = -5, y = -3 และ z = 1
4. x = 5, y = 3 และ z = 1
(เฉลยคาํ ตอบ จาก x +5 y x 5- z = y +2 8 2z 4- y
จะไดว า x + y = 2

2z - y = 5
y+8=5
และ x - z = 4
เมอื่ แกสมการ จะไดว า x = 5, y = -3 และ z = 1
ดงั นั้น คําตอบ คอื ขอ 2.)