คู่มือครู คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

Y Y ขน้ั สอน

1 π2 πX π แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
-1 0
π2 4. ครอู ธบิ ายตวั อยา งท่ี 52 ในหนงั สอื เรยี น หนา 93
y = cos x, 0 ≤ x ≤ π -1 0 1 X บนกระดาน พรอมเปดโอกาสใหนักเรียนถาม
เม่อื เกดิ ขอสงั สัย
Y y = arccos x, -1 ≤ x ≤ 1
5. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา สําหรับโจทยที่เก่ียวกับ
ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติบางโจทย
นกั เรยี นอาจตอ งเปด ตารางคา ฟง กช นั ตรโี กณ-
มิติหรือใชความรูจากฟงกชันตรีโกณมิติของ
ผลบวกและผลตางของจาํ นวนจริงหรือมุม

1 Y
π2
- π2 0 π2 X X
-1 -1 0 1
- π2

y = tan x, - 2π < x < 2π y = arctan x, x∊R

ตัวอย่างที่ 52

ใหหาคาของ cos (arctan 3)

วิธีทํา ให arctan 3 = θ เม่อื θ∊ - θπ2∊, π2-
สาํ หรับทกุ
จะได tan θ = 3
π33 = 3 π2 π2
เนอ่ื งจาก tan = cπ3os ,
จะได arctan =
π3 = 12
ดังน้ัน cos (arctan 3)

ลองทําดู
ใหห าคาของ tan arcsin 23

ฟงกชันตรีโกณมิติ 93

กิจกรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคูแลวชวยกันหาคาของความสัมพันธระหวาง ครูควรใชการถาม-ตอบ ใหนักเรียนฝกทักษะการคิดวิเคราะหและสรุป
ฟง กช นั ตรีโกณมิตกิ บั ฟงกชันผกผนั ดังน้ี ความรูไดถูกตอง เปนการตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนในการหาคาของ
23 ฟงกชันตรีโกณมิติท่ีเขียนขนาดของมุมในรูปฟงกชันผกผันวา จะมีคําตอบ
• cos (arccos - ) เพยี ง 1 คา เทานนั้
• sin (arcsin 12 )

• arcsin (sin 43π)
• arccos (sin 54π)
หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรยี นเกงและนกั เรยี นออ นจบั คูก นั

T99

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

6. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 53-56 สาํ หรับโจทยท่เี กี่ยวกับตัวผกผนั ของฟง กชนั ตรีโกณมติ ิบางโจทย นักเรียนอาจตองเปดตาราง
ในหนังสือเรียน หนา 94-95 แลวใหนักเรียน คาฟงกชันตรีโกณมิติหรือใชความรูจากฟงกชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตางของจํานวนจริง
แลกเปลี่ยนความรูกับคูของตนเอง จนเปนท่ี หรอื มมุ ดงั ตวั อยา งตอ ไปน้ี
เขา ใจรว มกนั จากนนั้ ครสู มุ นกั เรยี น4คนออกมา
แสดงวธิ ที าํ อยา งละเอยี ด พรอ มกบั ถามคาํ ถาม ตวั อยา่ งท่ี 53
นักเรียนในหอง ใหนักเรียนรวมกันตรวจสอบ
พรอมกับแสดงแนวคิดที่ตางกันหรือวิธีการท่ี ใหหาคาของ arcsin 0.2079
หลากหลาย
7. ครูถามคําถามนกั เรยี น ดงั นี้ วธิ ีทํา ให arcsin 0.2079 = θ
• arcsin 0.2079 เทา กบั arccos 0.9781 หรอื ไม จะได sin θ = 0.2079 เม่อื θ∊[-90 ,ํ 90 ]ํ
(แนวตอบ เทา กนั เพราะ arccos 0.9781 = 12 )ํ จากการเปด ตารางคาฟงกช นั ตรีโกณมิติ
21 23 จะได sin 12 ํ = 0.2079 สาํ หรบั ทกุ θ∊[-90 ํ, 90 ]ํ
• การหาคา ของ cos arcsin + arccos ดังนน้ั θ = 12 ํ
ตอ งใชความรูเร่ืองใดบา ง นน่ั คือ arcsin 0.2079 = 12 ํ

(แนวตอบ ใชค วามรเู รอ่ื ง ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ลองทําดู
และฟงกชันตรีโกณมิติของผลบวกของ ใหหาคา ของ arctan 0.7813

จาํ นวนจริงหรือมุม) 2 arccos 12 ตัวอย่างที่ 54
การหาคาของ cos ใหห าคาของ sin arcsin 35 + arccos 45
• ความรูเรอื่ งใดบาง ตองใช

(แนวตอบ ใชค วามรูเ รอื่ ง ฟงกชันตรโี กณมติ ิ วิธีทาํ ให arcsin 35 =A เมือ่ A∊ - π2 , π2
ของสองเทา ของจาํ นวนจรงิ หรือมมุ ) sin A = 53 +
จะได 35

จาก sin A = สรา งรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากได ดังน้ี 5
จะได cos A= B45 4
arccos B54 45sin 3
sin
ให cos = เมอ่ื B∊[0, π] A
= cos B =
จะได B(A =+ 53B) cos

เนื่องจาก cos A จะได A = sin
ดงั นน้ั sin arcsin 35 + arccos 54 = sin
= sin A cos B A B
= 225345 45 + 45 53
=
arcsin 35 + arccos 45 = 2245
94 น่นั คอื sin

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครูควรทบทวนตารางคาฟงกชันตรีโกณมิติ การอานคาฟงกชันตรีโกณมิติ ครใู หน กั เรยี นจบั คแู ลว ชว ยกนั พจิ ารณาวา ตวั อยา งที่ 53 และ 54
ขจใหาออกงจาบนาํนนทลวางนงลดา 0างนแถขตงึ วถ าπ4ามคอื หาขฟรออื ง งกต0ช าํันรถาตงึงรโี4โกด5ณยํ อใมหาิตนอ ิขาจอนางกทจลาาํ งานดงวขาน้ึนนบπซ4านถยึงขอπ2งตหารรือา4ง5โํ ดถยงึ อ9า 0นํ ในหนังสือเรียน หนา 94 มีความเหมือนและแตกตางกันหรือไม
อยา งไร แลว จะตอ งใชค วามรเู รอ่ื งใดในการหาคาํ ตอบ และคาํ ตอบ
จะเปน คา คงตัวทม่ี หี ลายคา หรอื ไม เพราะเหตุใด

หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกง และนกั เรียนออนจบั คกู นั

T100

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ขนั้ สอน
ใหห าคา ของ tan arccos 153 - arcsin 1123
ใชท ฤษฎี หลักการ
ตัวอยา่ งที่ 55
ใหหาคาของ cos 2 arcsin 14 1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
41 หนา 93-96 และแบบฝกทกั ษะ 1.10 ขอ 2.-5.
วธิ ีทํา ให arcsin =θ ในหนังสือเรียน หนา 96 จากน้ันครูและ
จะได sin θ นกั เรียนในชนั้ เรยี นรว มกันเฉลยคาํ ตอบ
ดงั น้ัน
2. ครูใหนักเรยี นทาํ Exercise 1.10 ในแบบฝกหัด
นัน่ คอื เปน การบาน

2 arcsin 14 = c14os เมือ่ θ∊ - π2 , π2 ขน้ั สรปุ
=
cos 2θ ตรวจสอบและสรปุ
= 1 - 2 sin2 θ
= 1 - 2 41 2 ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
= 7878 นกั เรยี น ดังนี้
cos 2 arcsin 41 =
• ฟงกชนั arcsine มีนยิ ามวาอยางไร
ลองทําดู (แนวตอบ เซตของคูอนั ดับ (x, y)
ใหหาคา ของ tan 2 arccos 35 โดยท่ี x = sin y และ - π2 ≤ y ≤ π2 )

ตวั อยา่ งที่ 56 • โดเมนของฟง กช นั arcsine คอื อะไร
ใหแสดงวา 2 arctan 31 = arctan 43 (แนวตอบ โดเมนของฟงกชัน arcsine คือ
arctan 31 [-1, 1])
วิธที าํ ให tan θ =θ
จะได = 31 เมื่อ θ∊ - π2 , π2 • เรนจข องฟงกช นั arcsine คืออะไร
พจิ ารณา tan 2 arctan 31 = tan 2θ (แนวตอบ เรนจข องฟงกช นั arcsine คอื
= 1 2-tatannθ2 θ - π2, π2 )
1313
= 1 2 2 • ฟง กชัน arccosine มนี ิยามวาอยา งไร
3434 - (แนวตอบ เซตของคอู นั ดบั (x, y)
= โดยที่ x = cos y และ 0 ≤ y ≤ π)
จะได tan 2 arctan 13 =
• โดเมนของฟง กช นั arccosine คอื อะไร
ดงั นนั้ 2 arctan 31 = arctan 34 ฟงกชันตรีโกณมิติ 95 (แนวตอบ โดเมนของฟง กชัน arccosine
คือ [-1, 1])
กิจกรรม สรา งเสริม
• เรนจข องฟง กชัน arccosine คอื อะไร
ครูใหนักเรียนจับคูแลวชวยกันหาคาของตัวผกผันในแตละขอ (แนวตอบ เรนจข องฟง กช ัน arccosine คอื
ตอ ไปนี้ [0, π])

1. 3 arcsin 13 • ฟงกช ัน arctangent มีนิยามวาอยา งไร
2. 3 arccos 13 (แนวตอบ เซตของคูอ นั ดับ (x, y)
3. 3 arctan 31 โดยที่ x = tan y และ - π2 < y < π2 )
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรยี นเกง และนักเรยี นออ นจบั คูก ัน
เกร็ดแนะครู

ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติของสองเทา สามเทา
และครงึ่ เทาของจาํ นวนจริง และในตวั อยา งที่ 55 ในหนังสือเรยี น หนา 95 ครู
ควรอธิบายการเลือกใช cos 2θ เพราะ cos 2θ เทา กบั

2 cos2 θ - 1 = 1 - 2 sin2 θ = 1 2-tatannθ2 θ

T101

นาํ สอน สรุป ประเมิน

ขนั้ สรปุ ลองทําดู
ใหแ สดงวา 2 arctan 38 = arctan 4558
ตรวจสอบและสรปุ
แบบฝึกทักษะ 1.10
• โดเมนของฟง กช ัน arctangent คอื อะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงกชัน arctangent ระดบั พ้ืนฐาน
คือ (-∞, ∞))
1. ใหหาคา ของ 2) arccos 22 23 3) arctan 1
• เรนจของฟง กช นั arctangent คืออะไร 1) arcsin 1 5) arccos - 6) arctan (- 3)
(แนวตอบ เรนจของฟงกชัน arctangent 4) arcsin - 12
คอื - π2 , π2 )
2. ใหห าคาในแตล ะขอตอ ไปนี้โดยใชตารางคาฟง กชนั ตรโี กณมิติ
ฝก ปฏบิ ตั ิ 1) arcsin 0.4695 2) arcsin 0.5688 3) arccos 0.7451
4) arccos 0.8158 5) arctan 0.3839 6) arctan 1.1171
ครใู หน ักเรียนแบงกลุม กลุม ละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออน ปานกลาง ระดบั กลาง
และเกง ) ใหอ ยกู ลมุ เดยี วกนั แลว ทาํ กจิ กรรม ดงั นี้
3. ใหห าคาของ
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ ทาํ แบบฝก ทกั ษะ 1.10 1) sin arccos 41 2) cos (arctan (-3)) 3) tan arcsin - 32
ขอ 6. ในหนังสอื เรยี น หนา 96 4) cosec arcsin 21 5) sec arccos - 23 6) cot (arcsin 1)
8) cos (arctan 0.4348) 9) tan (arccos (-0.7771))
• ใหนักเรียนแตละกลุมแลกเปลี่ยนความรู 7) sin (arccos 0.5640)
ภายในกลมุ และทาํ ความเขาใจรว มกัน
4. 1ให) ห sาiคnา ข21อaงrccos 54 2) cos 221aarrccscinos-451132
• ครูสุมนักเรียนแตละกลุมออกมาเฉลย 3) sin 2 arccos - 4) tan
คําตอบอยางละเอียด โดยครูและนักเรียน 45
ในชัน้ เรยี นรวมกนั ตรวจสอบความถูกตอง 5. ใหห าคา ของ
1) sin aarrccssinin541132+ +aracrscinsi1n5354 2) tan aarrccstainn21--43ar+ccaorsc31sin
ขนั้ ประเมนิ 3) cos 4) cos 1123

1. ครูตรวจสอบแบบฝก ทักษะ 1.10 ระดับทา ทาย
2. ครตู รวจ Exercise 1.10
3. ครูประเมินการนําเสนอผลงาน
4. ครูสังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบุคคล
5. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานกลุม
6. ครูสังเกตความมีวินัย ใฝเ รียนรู

มงุ มั่นในการทาํ งาน

6. ใหแ สดงวา ฟง กชนั ตรีโกณมิตใิ นแตล ะขอตอไปน้ีเปนจรงิ
1) arcsin 1 + arcsin 2 = π2 2) cos (2 arcsin x) = 1 - 2x2
5 5
96

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคดิ
คาของ cos (2 arcsin 13) -1 มีคา เทา กับเทาใด
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทํา 1. 29 2. - 29 3. 21 4. - 12
แบบฝกทักษะ 1.10 ขอ 6. ในขั้นฝกปฏิบัติ โดยศึกษาเกณฑการวัด arcsin 13
และประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดการเรียนรูในหนวยการ (เฉลยคาํ ตอบ ให sin θ = θ
เรยี นรทู ี่ 1 จะได =
นนั่ คอื 2 arcsin 31 31
แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกล่มุ -1

คาชี้แจง : ให้ผูส้ อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ✓ลงในช่องที่ cos = cos 2θ - 1
ตรงกบั ระดับคะแนน

การทางาน การมี
ตามที่ไดร้ บั
ลาดบั ท่ี ชื่อ – สกุล การแสดง การยอมรับ มอบหมาย ความมีน้าใจ ส่วนรว่ มใน รวม
ของนักเรยี น ความคดิ เห็น ฟังคนอนื่ การปรบั ปรุง 15
คะแนน
ผลงานกลุม่ = 1 - 2 sin2 θ - 1

321321321321321

= 1- 2 31 2- 1
= - 29
เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงชื่อ...................................................ผู้ประเมิน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤติกรรมอย่างสมา่ เสมอ ............../.................../............... ดงั นั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครั้ง ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมบางครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

12 - 15 ดี

8 - 11 พอใช้

T102 ต่ากว่า 8 ปรบั ปรงุ

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

1.11 เอกลกั ษณต รโี กณมติ ิ และสมการตรโี กณมติ ิ ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching)
(Trigonometric Identities and Trigonometric Equations)
การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
ในหัวขอท่ีผานมา นักเรียนไดศึกษาความสัมพันธระหวางผลบวก ผลตาง และผลคูณของ
ฟง กช นั ตรโี กณมติ ิ สาํ หรบั หวั ขอ น้ี นกั เรยี นจะไดน าํ ความสมั พนั ธต า ง ๆ ทเ่ี กย่ี วกบั ฟง กช นั ตรโี กณมติ ิ ครกู ลา วกบั นกั เรยี นวา สาํ หรบั หวั ขอ น้ี นกั เรยี น
มาใชเ พื่อแสดงความเทากนั ทุกประการระหวางฟงกชันตรโี กณมิติทแ่ี ตกตางกันตั้งแต 2 ฟง กชนั จะไดนําความสัมพันธตางๆ ท่ีเก่ียวกับฟงกชัน
ขนึ้ ไป ซ่ึงเรยี กวา การพสิ ูจนเอกลกั ษณต รีโกณมติ ิ ตรโี กณมติ มิ าใชเ พอ่ื แสดงความเทา กนั ทกุ ประการ
ระหวางฟงกชันตรีโกณมิติที่แตกตางกันตั้งแต 2
ฟง กช นั ขน้ึ ไป ซงึ่ จะเรยี กวา “การพสิ จู นเ อกลกั ษณ
ตรีโกณมิติ”

1. เอกลกั ษณต รโี กณมติ ิ (Trigonometric Identities) ขนั้ สอน

พจิ ารณาสมการตอไปน้ี คณิตนา่ รู้ รู (Knowing)
cos θ + sin θ = 1
cos2 θ + sin2 θ = 1 สมการทม่ี ฟี ง กช นั 1. ครเู ขยี นสมการ cos2 θ + 2 sin2 θ = 1 .....(1) บน
ตรีโกณมติ ปิ รากฏอยู เรียกวา กระดาน แลว อธบิ ายวา สมการนเี้ ปน จรงิ สาํ หรบั
จะเห็นวา สมการ cos θ + sin θ = 1 เปนจริงสําหรับ สมการตรโี กณมติ ิ ทุก θ เรียกสมการตรโี กณมิตทิ เ่ี ปน จรงิ สาํ หรับ
บาง θ แตส มการ cos2 θ + sin2 θ = 1 เปนจรงิ สาํ หรับทุก θ ทกุ คา ของ θ วา เอกลักษณต รีโกณมติ ิ
2. ครถู ามคําถามนักเรียน ดงั น้ี
เรยี กสมการตรีโกณมติ ิ ที่เปน จริงสําหรบั ทุกคาของ θ วา เอกลกั ษณต รีโกณมติ ิ • ถานาํ cos2 θ หารสมการ (1) จะไดผ ลลพั ธ

การพสิ จู นเ อกลกั ษณเ ปน การแสดงใหเ หน็ วา คา ทง้ั สองขา งของสมการเทา กนั จรงิ โดยใชค วาม เปนอยางไร
สัมพันธระหวางฟงกชันตรีโกณมิติ ซ่ึงเอกลักษณที่พิสูจนแลวสามารถนําไปอางอิงในการพิสูจน
เอกลกั ษณอน่ื ๆ ได (แนวตอบ (1) ÷ cos2 θ
ccooss22 csions22θθ co1s2 θ
ตวั อย่างที่ 57 จะได θ + =
θ
ใหพ ิสูจนว า sec4x - sec2x = tan2x + tan4x
ดังนัน้ 1 + tan2 θ = sec2 θ)
• ถานํา sin2 θ หารสมการ (1) จะไดผ ลลพั ธ
วิธีทาํ sec4x - sec2x = (sec2x)2 - (1 + tan2x) เปนอยา งไร
= (1 + tan2x)2 - (1 + tan2x) (แนวตอบ (1) ÷ sin2 θ
csions22θθ + ssiinn22 sin12 θ
1 + tan2x = sec2x = 1 + 2 tan2 x + tan4 x - 1 - tan2 x จะได θ =
= tan2x + tan4x θ

ดงั น้นั sec4x - sec2x = tan2x + tan4x ดังนั้น cot2 θ + 1 = cosec2 θ)

ลองทําดู
ใหพิสูจนวา tan4 x + 2 tan2 x + 1 = co1s4x

ฟงกชันตรีโกณมิติ 97

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครใู หน ักเรียนปฏิบตั ติ ามขั้นตอนตอไปนี้ เน้ือหาในหัวขอนี้จะมีความซับซอน นักเรียนตองเลือกใชสูตรตางๆ ให
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง เหมาะสม และครคู วรใชก ารถาม-ตอบวา นักเรยี นตอ งนําความสมั พนั ธใดมาใช
ในแตละขั้นตอน เพ่ือใหนักเรียนไดคิดวิเคราะห ครูอาจใหนักเรียนรวมกัน
คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอยูกลุมเดยี วกัน อภิปรายในตัวอยา งท่ี 57 ในหนงั สือเรียน หนา 97 จะตองใชวธิ กี ารใดใหเกิด
• ใหนักเรียนแตละกลุมสรุปเอกลักษณตรีโกณมิติ พรอมท้ัง ความสัมพนั ธข องฟงกช นั tangent

ยกตัวอยา งและแสดงวิธีการพิสูจน
• จากนั้นใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน

โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออ่ืนๆ
ตามที่นกั เรยี นถนัด

T103

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตวั อยา่ งที่ 58

รู (Knowing) ใหพสิ ูจนวา 1 +sincoθs θ = 1 -sincoθs θ

3. ครใู หนกั เรียนจับคูศกึ ษาตวั อยางที่ 57-59 ใน วธิ ที ํา 1 +sincoθs θ = 1 +sincoθs θ × 11 -- ccooss θ
หนังสือเรียน หนา 97-98 แลวแลกเปล่ียน θ
ความรกู ับคูของตนเอง จนเปน ทเี่ ขา ใจรวมกัน = sin1θ(-1c-osc2oθs θ)
จากน้ันครูถามคําถามเพ่ือตรวจสอบความ sin θ(s1in-2 cos θ) á¹Ðá¹Ç¤Ô´
เขาใจของนักเรยี น ดงั น้ี =
• จากตัวอยางท่ี 57 เพราะเหตุใดจึงนําคา θ ¤Ù³·é§Ñ àÈÉáÅÐÊÇ‹ ¹´ŒÇÂ
1 + tan2 x แทนคา sec2 x = 1 -sincoθs θ 1 - cos θ
(แนวตอบ เพราะตอ งการจัดรูป sec x ใหอยู
ในรปู tan x) ดังนน้ั 1 +sincoθs θ = 1 -sincoθs θ

ลองทําดู
ใหพ สิ จู นว า 1 c-ossinθ θ = 1 c+ossiθn θ

ตัวอย่างท่ี 59

ใหพิสูจนวา cossin77xx+- csoins33xx -- scions55xx+-scinosxx = tan 2x
วธิ ที าํ cossin77xx+- csoins33xx -- scions55xx+-scinosxx = (c(ossin77xx+-csoins 33xx)) -- ((csions55xx-+scinoxs)x)

= 22ccooss55xxcsoins 22xx -- 22 ccooss 33xx csions22xx
= 22csoins22xx((ccooss55xx -- ccooss33xx))
= csoins22xx
= tan 2x
ดังนน้ั cossin77xx+- csoins33xx -- scions55xx+-scinosxx = tan 2x

ลองทําดู
ใหพ ิสจู นว า cossin(4-2xx-) -sinco(-s24xx) -- csions6(x-4+x)s+inc(-o4sx6)x = cot x

98

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครคู วรใชค าํ ถามนาํ ทางในการคดิ ของนกั เรยี นวา ฟง กช นั ตรโี กณมติ ทิ ง้ั สอง ครูใหนักเรียนจับคูพิจารณาตัวอยางท่ี 59 ในหนังสือเรียน
ขางของสมการสามารถจัดรูปไดหรือไม ถาไมมีจะตองทําอยางไร ครูอาจตอง หนา 98 ฟง กชันตรีโกณมิตดิ า นซายของสมการวา ขนาดของมมุ
แนะนําเทคนิคการนําฟงกชันตรีโกณมิติคูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เพื่อใหเกิด ที่ตัวเศษและตัวสวนสัมพันธกันอยางไร จะใชสูตรใดมาชวยใน
ความสมั พันธทส่ี ามารถจัดรปู ได การจัดรูปไดบา ง

หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกง และนักเรยี นออนจบั คูก ัน

T104

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ในการพิสูจนเอกลักษณท่ีเกี่ยวของกับรูปสามเหลี่ยม จะพบวาโจทยกําหนดเง่ือนไข เชน ขน้ั สอน
“ในรูปสามเหล่ียม ABC หรือ A + B + C = 180 ํ” หลักการพิสูจนจะใชความสัมพันธของ
มุมประกอบหนง่ึ มมุ ฉาก หรือมมุ ประกอบสองมมุ ฉาก ดงั ตัวอยางตอไปน้ี รู (Knowing)

ตัวอยา่ งท่ี 60 • จากตัวอยางท่ี 58 เพราะเหตุใดจึงนําคา
1 - cos2 θ แทนคา sin2 θ
กําหนด A + B + C = 180 ํ (แนวตอบ เพราะตองการจัดรปู cos x ใหอยู
ใหพสิ ูจนว า cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A2 sin B2 sin C2 ในรปู sin x)
วธิ ีทํา cos A + cos B + cos C = 2 cos A +2 B cos A 2- B + cos C • จากตัวอยางที่ 59 ใชความสัมพันธใดของ
ฟงกช ันตรโี กณมิติ
= 2 sin C2 cos A 2- B + 1 - 2 sin2 C2 (แนวตอบ ความสัมพันธระหวางผลบวก
= 2 sin C2 cos A 2- B - 2 sin2 C2 + 1 sขinองαฟ-งกsiชnันβต=รโี ก2ณcoมsิติทα่วี า2+ β sin α 2- β )
= 2 sin C2 cos A 2- B - sin C2 + 1 4. ครอู ธิบายวา การพิสจู นเอกลักษณทเ่ี กีย่ วของ
= 2 sin C2 cos A 2- B - cos A +2 B + 1 กับรูปสามเหล่ียมจะใชหลักการความสัมพันธ
= 2 sin C2 2 sin A2 sin B2 + 1 ของมมุ ประกอบหนึ่งมมุ ฉาก หรือมุมประกอบ
= 1 + 4 sin A2 sin B2 sin C2 สองมุมฉาก จากน้ันครูยกตัวอยางท่ี 60 ใน
ดังนั้น cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A2 sin B2 sin C2 หนงั สือเรยี น หนา 99 บนกระดาน แลว ถาม
ลองทําดู นกั เรยี นวา
กาํ หนด A + B + C = 180 ํ • จากตัวอยางท่ี 60 ใชความสัมพันธใดของ
ใหพ สิ ูจนว า sin A + sin B - sin C = 4 sin A2 sin B2 sin C2 ฟงกชันตรโี กณมิติ
(แนวตอบ ความสมั พนั ธร ะหวางผลบวกของ
2. สมการตรโี กณมติ ิ (Trigonometric Equations) ฟงกช นั ตรีโกณมิติที่วา
cos α + cos β = 2 cos α 2+ β cos α2- β )
นกั เรยี นทราบมาแลว วา ฟง กช นั ตรโี กณมติ โิ ดยทวั่ ไปไมเ ปน ฟง กช นั 1-1 ทาํ ใหค า ของฟง กช นั
ตครือีโก21ดณังมนติั้นิขอในงจกาํานรหวนาคจรํางิตหอรบือขมอุมงใสดมๆกาอรตาจรจีโกะณมีคมาิตซิ ํ้าถกาันโไจดท ยเไชมน ไดsกinําหπ6นแดลใหะ คsําinตอ56บπอยมูใีคนาชซว้ํางกในัด เขา ใจ (Understanding)
ชวงหนึง่ คําตอบจะอยูในรูปของคา ทัว่ ไป
ครใู หน กั เรยี นจบั คทู าํ “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สอื เรยี น
ฟงกชันตรีโกณมิติ 99 หนา 97-99 จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
คาํ ตอบ

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคูพิจารณาตัวอยางท่ี 60 ในหนังสือเรียน ครูควรเนนยํ้านักเรียนเกี่ยวกับโจทยการพิสูจนเอกลักษณที่เก่ียวของกับ
หนา 99 แลว ตอบคาํ ถามตอ ไปนี้ รแπ2ูปลสะ+า-θม1เห≤แลลsี่ยะinมตθทอ งี่ต≤รอะ1งมใัดตชราสะมูตวขรังนมคาาา ดกขขกออวงงาฟหงθนกแชึ่งลสันะูตตครรรโี กูคคณวือรมอใิตธชิทิบคเ่ีาวปยานเมพลสมิ่บัมเต-พ1มิ ันเ≤ธพ อ่ืcเoπ2ชsอ่ื θ-ม≤โθย1ง,
สูตรตา งๆ ทนี่ าํ มาใช
• A + B2 + C เทากบั เทาใด
• A 2+ B มคี วามสัมพันธก บั C2 อยางไร
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนกั เรียนออ นจับคกู ัน

T105

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

1. ครูอธิบายวา ฟงกชันตรีโกณมิติโดยท่ัวไป ตวั อยา่ งท่ี 61
ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ซ่ึงทําใหคาของ
ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิของจํานวนจริงหรือมมุ ใดๆ แกสมการ cos x = 23 เมอ่ื 0 < x < π2
อาจจะมีคา ซ้าํ กันได ดงั นัน้ ในการหาคําตอบ วิธที าํ เน่อื งจาก 0 < x < π2 จะไดวา คาของ x ในชวงนท้ี ี่ทําให cos x = 23 คือ π6
ของสมการตรโี กณมติ ิ ถา โจทยไ มไ ดก าํ หนดให
คาํ ตอบอยใู นชว งใดชวงหนึ่ง คาํ ตอบจะอยใู น ดังนนั้ เซตคําตอบ คือ π6
รูปของคาทวั่ ไป
ลองทําดู
2. ครใู หนกั เรยี นจบั คศู ึกษาตัวอยา งท่ี 61-64 ใน
หนงั สอื เรยี น หนา 100-101 แลวแลกเปลีย่ น แกสมการ tan x = - 3 เมื่อ - π2 < x < 0
ความรูก ับคูของตนเอง จนเปน ทีเ่ ขา ใจรวมกัน
ตัวอยา่ งที่ 62 1
3. ครูถามคําถามเพื่อตรวจสอบความเขาใจของ 3
นักเรยี น ดังน้ี แกส มการ tan θ =

• จากตัวอยางที่ 61 x ท่ีอยูในจตุภาคที่ 1 วิธที ํา Y จากวงกลมหนงึ่ หนว ย จะเห็นวาคา θ เมอื่ 0 ≤ θ ≤ 2π ท่ี
1 π6 76π
จะตอ งมคี า เทากบั เทาใด จงึ จะทําให cos x 0 P1 ทาํ ให tan θ = 3 คอื และ
P2 (1, 0X)
มีคาเทา กบั =23π6 และ tan 2nπ + π6 = tan π6 = 13 เมอ่ื n∊I
(แนวตอบ x ) tan 2nπ + 76π = tan 76π = 1
3 เม่อื n∊I

• จากตัวอยางที่ 62 θ ทอ่ี ยใู นชวง 0 ถงึ 2π เนื่องจากโจทยไ มไดกาํ หนดใหคําตอบอยใู นชว งใดชวงหนง่ึ
π6
จะตองมีคา เทา กบั เทาใด จงึ จะทําให tan θ ดงั นน้ั คา ทวั่ ไปของ θ ทที่ าํ ใหส มการเปน จรงิ คอื 2nπ +
1 และ 2nπ + 76π เมอื่ n∊I
เทา กับ 3
76π)
(แนวตอบ θ = π6 และ ลองทําดู
แกส มการ cos θ = 12

ตัวอย่างที่ 63

แกสมการ cos 2θ + 3 sin θ = 2

วิธีทํา cos 2θ + 3 sin θ = 2
(1 - 2 sin2 θ) + 3 sin θ = 2
100 2 sin2 θ - 3 sin θ + 1 = 0
(2 sin θ - 1)(sin θ - 1) = 0

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครคู วรอธบิ ายและเนน ยาํ้ นกั เรยี นวา การแกส มการตรโี กณมติ มิ คี วามยงุ ยาก ครใู หนกั เรียนจับคแู ลวพิจารณาสมการ 2 sin2 x - 3 cos x = 3
ซบั ซอนกวา การแกส มการพหนุ าม นักเรยี นตอ งใชความสมั พนั ธระหวา งฟงกชนั พรอ มท้งั ตอบคําถาม ดังน้ี
ตรโี กณมิตแิ ละความสัมพันธระหวา งมมุ ซึง่ ตอ งเลอื กใชสตู รใหเหมาะสม
• สมการนีม้ ีกี่ตวั แปร อะไรบา ง
• ตองทาํ อยางไรจงึ จะไดสมการท่ีมีตัวแปร 1 ตัว
• สมการทมี่ ี sin θ เปน ตวั แปร ทําอยา งไรจงึ จะหาคา sin θ ได
• ทําอยางไรจงึ จะหาคา θ ได และตองเขยี นคาํ ตอบอยางไร
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรยี นเกง และนกั เรยี นออ นจบั คูกัน

T106

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จะได sin θ = 12 หรือ sin θ=1 sin θ = 12 คอื π6 และ 56π ขนั้ สอน
เนอื่ งจาก คา θ เมอ่ื 0≤x≤ 2π ทที่ าํ ให
รู (Knowing)
นน่ั คือ คา θ เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π ทท่ี าํ ให sin θ 5=26πn1πแค+ลือะπ6π2π2, 2nπ + 56π
ดงั นน้ั คําตอบของสมการในชว ง [0, 2π] คอื π6 , • จากตัวอยางที่ 63 ในหนังสือเรียน หนา
คา ทว่ั ไปของ θ ทท่ี ําใหส มการเปนจรงิ คอื 100-101 นักเรียนจะมีวิธีการแกสมการ
และ 2nπ + π2 เม่ือ n∊I cos 2θ + 3 sin θ = 2 ไดอยางไร
(แนวตอบ เปลยี่ น cos 2θ เปน 1 - 2 sin2 θ
ลองทําดู จะได (1 - 2 sin2 θ) + 3 sin θ = 2 จากน้ัน
แกสมการ cos 2θ - 1 = 0 แกสมการ 2 sin2 θ - 3 sin θ + 1 = 0 โดย
การแยกตวั ประกอบ)
ตัวอยา่ งที่ 64
• จากตัวอยา งท่ี 64 ในหนงั สอื เรียน หนา 101
แกส มการ 2 cos2 x + 2 cos 2x = 1 นักเรียนจะมีวิธีการแกสมการ 2 cos2 x
+ 2 cos2x = 1 ไดอ ยา งไร
วธิ ที าํ 2 cos2 x + 2 cos 2x = 1 (แนวตอบ เปลย่ี น cos 2x เปน 2 cos2x - 1
2 cos2 x + 2(2 cos2 x - 1) = 1 จะได 2 cos2x + 2(2cos2x - 1) = 1 จากน้ัน
2 cos2 x + 4 cos2 x - 2 = 1 แกสมการ 6 cos2x = 3)
6 cos2 x = 3
cos x = 12 ลงมอื ทาํ (Doing)
cos x = - 12 ±
1. ครใู หนักเรียนปฏิบัตติ ามขั้นตอนตอ ไปน้ี
จะได cos x = 12 หรือ • ใหน ักเรยี นแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณิตศาสตร
เนอ่ื งจาก คา x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π ทที่ ําให cos x = 125124πคคอื แือลπ4ะ34πแ74ลπแะล7ะ4π54π • ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก
ทกั ษะ 1.11 ในหนงั สือเรียน หนา 102 แลว
คา x เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π ทท่ี ําให cos x = - แลกเปลยี่ นความรภู ายในกลุม
34π , • ครสู มุ นกั เรยี นแตล ะกลมุ ออกมาเฉลยคาํ ตอบ
นั่นคือ คําตอบของสมการในชวง [0, 2π] คือ π4 , อยา งละเอยี ด โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง
ดงั น้นั คา ทั่วไปของ x ท่ที ําใหส มการเปน จรงิ คือ 2nπ + π4 , 2nπ + 34π ,
2nπ + 54π และ 2nπ + 74π เมอ่ื n∊I 2. ครูใหน ักเรียนทาํ Exercise 1.11 ในแบบฝก หัด
เปนการบาน

ลองทําดู
แกสมการ 4 cos2 x - 4 cos 2x + 2 = 5

ฟงกชันตรีโกณมิติ 101

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครใู หนักเรยี นปฏิบตั ติ ามขนั้ ตอนตอ ไปนี้ จากตัวอยางท่ี 64 ครูควรใหนักเรียนชวยกันเสนอแนวคิดวาจะใชสูตรใด
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง เพราะเหตใุ ด ซง่ึ นักเรยี นอาจจะจัดรูป ดังนี้

คณิตศาสตร (ออ น ปานกลาง และเกง ) ใหอยกู ลมุ เดยี วกัน (2 cos2x - 1) + 2 cos 2x = 0
• ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนสมการตรีโกณมิติทางอินเทอรเน็ต
cos 2x + 2 cos 2x = 0
มากลมุ ละ 1 ขอ พรอมทั้งแสดงวิธีทําอยางละเอยี ด
• จากนั้นใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน 3 cos 2x = 0

โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออ่นื ๆ cos 2x = 0 3+4π32π
ตามท่ีนกั เรยี นถนดั
2x = 2nπ + π2, 2nπ
x = nπ + π4, nπ +

ครูควรใหน ักเรียนเลอื กแสดงวิธีทาํ ตามทเี่ สนอแนะ เพื่อเปรยี บเทียบวธิ กี าร
แกสมการ

T107

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ แบบฝกึ ทกั ษะ 1.11

ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ ระดบั พ้ืนฐาน
นกั เรียน ดงั น้ี
1. ใหพสิ ูจนเอกลกั ษณต รโี กณมิตใิ นแตละขอ ตอ ไปนี้
• สมการทมี่ ฟี ง กช นั ตรโี กณมติ อิ ยเู รยี กวา อะไร 1) cos θ (tan θ + cot θ) = cosec θ 2) sin 2θ cot θ - 1 = cos 2θ
(แนวตอบ สมการตรีโกณมติ ิ) sin4 cos4 θ 21 sin2 θ 4) sec2 θ + cosec2 θ = sec2 θ cosec2 θ
3) tan2 θ + sin2 θ =1- sin2 θ 6) cossi2nθ2θ+ +cossinθθ+ 1 = tan θ
• เพราะเหตใุ ดสมการ cos2 θ + sin2 θ = 1 5) θ - = tan2 θ
จึงเปนเอกลักษณตรีโกณมติ ิ
(แนวตอบ เพราะสมการนี้ เปนจริงสําหรับ ระดบั กลาง
ทุก θ)
2. ใหพิสจู นเอกลักษณต รีโกณมิติในแตละขอตอไปน้ี
ขนั้ ประเมนิ 1) cos 4x = 4 cos 2x + 8 sin4 x - 3
tan π4 - x = 1 c+ossi2nx2x
1. ครูตรวจสอบแบบฝกทักษะ 1.11 2) 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 4 cos x cos 32x cos x2
2. ครตู รวจ Exercise 1.11 3)
3. ครปู ระเมินการนาํ เสนอผลงาน
4. ครูสังเกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล 3. กําหนด A + B + C = 180 ํ ใหพิสูจนว า tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
5. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสงั เกตความมวี ินยั ใฝเ รียนรู 4. แกส มการในแตล ะขอตอไปน้ี เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π
1) cot x + 2 sin x = cosec x
มงุ มน่ั ในการทาํ งาน 2) 4 tan x sin2 x + 3 = 4 sin2 x + 3 tan x
3) cot x cos 2x + tan x sin 2x = cot x
4) cot x - 2 cos x = 2 cosec x - 4

5. แกส มการในแตล ะขอ ตอ ไปนี้
1) 2 cos2 θ + 2 cos 2θ = 1
2) 2 sin θ (cos θ + sin θ) = 2 sin θ
3) 2 sec θ = tan θ + cot θ
4) sin θ + 8 cos θ = 2 cos3θ + 6 cos θ

ระดับทาทาย
6. กาํ หนด a = sin 3x cos 2x - 2 sin x cos x cos 3x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2π

ใหห าคา x ที่ทําให 2 a2 - 3 3 a - 6 = 0

102

แนวทางการวัดและประเมินผล กจิ กรรม ทาทาย

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทํา ครูแบงกลมุ ใหนกั เรียน กลุม ละ 3-4 คน ชว ยกนั พิสูจนวา
แบบฝก ทกั ษะ 1.11 ในขนั้ ฝก ปฏบิ ตั ิ โดยศกึ ษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผล sin2 θ tan θ + cos2 θ cot θ + 2 sin θ cos θ = ta1n θ + csionsθθ
จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรยี นรูในหนว ยการเรยี นรทู ี่ 1 หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมโดยคละความสามารถทาง
คณติ ศาสตรของนักเรียน (ออ น ปานกลาง และเกง) ใหอ ยูก ลมุ
แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลุม่ เดียวกนั

คาช้ีแจง : ใหผ้ ูส้ อนสงั เกตพฤติกรรมของนกั เรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ✓ลงในชอ่ งท่ี
ตรงกับระดับคะแนน

การทางาน การมี
ตามท่ีได้รับ
ลาดับท่ี ชื่อ – สกลุ การแสดง การยอมรบั มอบหมาย ความมนี า้ ใจ สว่ นร่วมใน รวม
ของนกั เรยี น ความคดิ เห็น ฟังคนอ่ืน การปรับปรุง 15
คะแนน
ผลงานกลุ่ม

321321321321321

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชือ่ ...................................................ผปู้ ระเมนิ
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมอย่างสมา่ เสมอ ............../.................../...............

ปฏบิ ัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบ่อยคร้ัง ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ

12 - 15 ดี

8 - 11 พอใช้

ตา่ กว่า 8 ปรับปรงุ

T108

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

1.12 กฎของไซนแ ละโคไซน ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching)
(The Laws of Sines and Cosines)
การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
ในหวั ขอ นี้ จะเปน การศกึ ษากฎของไซนแ ละโคไซนซ งึ่ เปน ความสมั พนั ธร ะหวา งความยาวดา น
กับขนาดของมุมของรูปสามเหลยี่ มใด ๆ ท่ีไมเปน รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ครูเขยี นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ท่ีมมี ุม C
เปนมุมฉากบนกระดาน
1. กฎของไซน (The Laws of Sines)
A
กําหนดรูปสามเหล่ียม ABC ท่ีเปนรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมและมุมปาน จากนั้นลาก CD
ต้ังฉากกับดาน AB ทจี่ ุด D และลาก AE ต้ังฉากกบั ดาน BC ท่ีจุด E ดังรูป CB

C a C a จากน้นั ครถู ามคาํ ถามนกั เรียนวา
b E • อตั ราสว นตรโี กณมติ จิ ากรปู สามเหลย่ี ม ABC
E
b มอี ะไรบา ง
(แนวตอบ จากรปู สามเหลย่ี ม ABC ท่มี ีมมุ C
AD B 180 ํ-A B เปน มุมฉาก จะไดวา
DA 1. sin A = BACB
c c 2. cos A = AACB
รปู สามเหลยี่ มมมุ แหลม รปู สามเหล่ยี มมุมปา น 3. tan A = ABCC
4. cosec A = sin1A = BACB
พิจารณารปู สามเหลย่ี มมุมแหลม ABC sin A = CbD Thinking Time 5. sec A = co1s A = AACB
จากรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ADC จะได 6. cot A = tan1 A = ABCC )
ใหนกั เรยี นพสิ จู น
CD = b sin A กฎของไซน โดยใช

ดจจะางั ไกนดพัน้  ้ืนพท้ืนี่ขทอพ่ขีงน้ื รอทปู ง่ขีสรอูปามงสรเาูปหมสลเหาี่ยมมลเ่ียหเมทลาีย่AกมBบั CA21B=C×12เฐทbาาcนกsับ==i×n A112122สงู (b(cAc)B(sb)i(nsCAinDA) ) รูปสามเหลีย่ มมุมปา น ขน้ั สอน
.....(1)
รู (Knowing)

1. ครูเขยี นรปู สามเหลีย่ มเชนเดยี วกบั
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ในหนังสือเรียน
หนา 103 จากน้ันครูใหนักเรียนพิจารณารูป
ในทํานองเดียวกัน ถา ให BC และ CA เปน ฐาน จะไดว า ที่ครูเขียนบนกระดาน จากนั้นครูถามคําถาม

พื้นทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = 2121 ca sin B .....(2) นกั เรยี น ดังน้ี
พนื้ ทีข่ องรูปสามเหลยี่ ม ABC = ab sin C .....(3) • จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC จะได
อัตราสวน sin A คCือbDเท)าใด
ฟงกชันตรีโกณมิติ 103 (แนวตอบ sin A =

เฉลย Thinking Time

พิจารณารปู สามเหลยี่ มมมุ ปา น ABC = AAbEE คูณดว ย ab2c โดยตลอด จะไดวา sincC
จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก AEC จะได sin C = sinaB = sinbB =

b sin C เนอื่ งจาก คา ของฟง กช นั ไซนเ พม่ิ ขนึ้ 0.0019 คา ของมมุ เพม่ิ ขนึ้ 10′
12เทา×ก=ฐบั า21น21 คา ของฟง กช นั ไซนเ พมิ่ ขน้ึ 0.0011 คา ของมมุ เพม่ิ ขนึ้ 0.000.10101×910 ≈ 6′
จากพนื้ ท่ีของรปู สามเหลย่ี ม เทา กับ × สงู
จะได พ้นื ที่ของรูปสามเหลย่ี ม ABC (CB)(AE) จะไดวา sin (50 ํ 30′ + 6′) = sin 50 ํ 36′ ≈ 0.7727
ab sin C
.....(1) ดงั น้นั C∧ ≈ 50 ํ 36′

ในทํานองเดยี วกัน ถาให AB และ CA เปนฐาน จะไดว า แตเ นือ่ งจาก sin C > 0 จะไดว า 0 < C∧ < 180 ํ
1122
พื้นท่ีของรปู สามเหล่ียม ABC = 12 bc sin A .....(2) ดังนั้น C∧ ≈ 50 ํ 36′ หรอื C∧ ≈ 180 ํ - 50 ํ 36′ = 129 ํ 24′
พ้นื ท่ขี องรปู สามเหลี่ยม ABC = ca sin B .....(3)
จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา21 bc sin A 21
= ca sin B = ab sin C

T109

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู (Knowing)

• ความยาวของดา น CD เทา กับเทา ใด จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา
(แนวตอบ CD = b sin A) 21 bc sin A = 21 ca sin B = 12 ab sin C
• พื้นทขี่ องรปู สามเหล่ียม ABC ที่มี AB
เปนฐาน เทากบั เทา ใด คูณดวย a2bc โดยตลอด จะไดวา
(แนวตอบ sinaA = sinbB = sincC
=พนื้ 21ท่ีข×อAงรBูป×สาCมเDหลย่ี ม ABC
= 21 × c × (b sin A) เรยี กความสมั พันธดงั กลาววา กฎของไซน
= 12 bc sin A)
2. ครใู หน กั เรยี นพจิ ารณารปู ทค่ี รเู ขยี นบนกระดาน กฎของไซน ในรปู สามเหลย่ี ม ABC ใด ๆ
แลว ใหห าพน้ื ทข่ี องรปู สามเหลย่ี ม ABC ทม่ี ดี า น ถา a, b และ c เปนความยาวของดา นตรงขา มมมุ A, B และ C ตามลําดับ จะไดวา

sinaA = sinbB = sincC

BC และดา น CA เปน ฐาน ตวั อยา่ งที่ 65

(แนวตอบ กาํ หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC เปน รปู สามเหลย่ี มทมี่ คี วามยาวดา นตรงขา มมมุ A มมุ B
พนื้ ทข่ี องรปู สามเหลย่ี ม ABC ทม่ี ี BC เปน ฐาน และมมุ C เปน a, b และ c ตามลําดับ โดย B∧ = 75 ํ, C∧ = 60 ํ และ b = 4 หนวย
= 12 ca sin B ใหห าความยาวของ c

พน้ื ทขี่ องรปู สามเหลย่ี ม ABC ทมี่ ี CA เปน ฐาน วธิ ีทํา จากกฎของไซน จะได sinbB = sincC
= 21 ab sin C) sin475 ํ = sinc60 ํ
3. ครใู หน กั เรยี นนาํ สมการของพนื้ ทรี่ ปู สามเหลย่ี ม
ABC ท่ีมีดาน AB ดาน BC และดาน CA c = 4 ssiinn 7650 ํํ
= 4 322+321
คคทวเ่ีรปาูกนมลฐสาามั วนพวมนัาาธเท เsาร inกาaนจัAะแเ=รลียวsiกใnbหคBน วกั =าเมรsยีสinนcัมCสพงั ันเจกธาตกนเนหี้วนน้ั็า ( 3)(2 2)
“กฎของไซน” = 4 2( 3 + 1)

≈ 4 52.466

≈ 3.59
ดังนน้ั c มคี วามยาวประมาณ 3.59 หนวย

104

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูควรเช่ือมโยงความรูเรื่อง อัตราสวนหรือสัดสวนกับกฎของไซน โดยใช ครใู หน ักเรยี นปฏบิ ตั ติ ามขั้นตอนตอไปนี้
การถาม-ตอบ ประกอบคาํ อธบิ ายตวั อยา งท่ี 65-66 ในหนงั สอื เรยี น หนา 104-105 • ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
เชน ขนาดของมุมและความยาวดานท่ีกําหนดมีความสัมพันธกับกฎของไซน
หรือไม และตอ งใชก ฎใด คณติ ศาสตร (ออ น ปานกลาง และเกง) ใหอ ยูกลมุ เดียวกัน
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลุมพิสูจนก ฎของไซน ในรูปสามเหล่ียม ABC

ที่มี a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมมุ A, B และ C
• จากน้ันใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน

โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออนื่ ๆ
ตามทน่ี ักเรยี นถนดั

T110

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ขน้ั สอน
กําหนดรปู สามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มคี วามยาวดานตรงขามมมุ A มมุ B
และมมุ C เปน a, b และ c ตามลาํ ดับ โดย B∧ = 45 ํ, C∧ = 60 ํ และ b = 2 3 หนว ย เขา ใจ (Understanding)
ใหห าความยาวของ c
ครูใหนักเรยี นปฏบิ ตั ิตามขั้นตอนตอ ไปน้ี
ตัวอย่างที่ 66 • ใหนกั เรียนแบง กลุม กลุมละ 3-4 คน คละ

กาํ หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC เปน รปู สามเหลย่ี มทม่ี คี วามยาวดา นตรงขา มมมุ A มมุ B ความสามารถทางคณิตศาสตร (ออน
และมมุ C เปน a, b และ c ตามลาํ ดบั โดย C∧ = 60 ,ํ b = 6 หนว ย และ c = 10 หนว ย ปานกลาง และเกง ) ใหอยูก ลุมเดยี วกนั ทํา
ใหห าขนาดของมมุ B “Thinking Time” ในหนังสือเรยี น หนา 103
• ใหน ักเรียนในแตล ะกลมุ แลกเปลย่ี นความรู
วธิ ีทํา จากกฎของไซน จะได sinbB = sincC จนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั
sin6B = sin1060 ํ • ครูสุมนักเรียนแตละกลุมออกมาแสดงการ
พิสูจนอยางละเอียด โดยครูและนักเรียน
ในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบความสมเหตุ
สมผลของการพสิ จู น

sin B = 6 1230 รู (Knowing)

ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 65-66 ใน
หนงั สอื เรยี น หนา 104-105 จากนน้ั ครถู ามคาํ ถาม
= 3103 นกั เรียน ดังน้ี
• จากตัวอยา งที่ 65 ใชค วามสัมพนั ธค ูใ ดของ
≈ 0.5196 • ซก(จแา่ึงฎนจกขวะตตอไัวองดบอไวซยใา นาชงใคsทนiวnี่ก4า67มา65รสํหใมั =ชาพคคsนั ววinธาาcขมม6อ0สยงัมํา)วพsดinbันา ธBนค=ูใcดsiขncอCง

เน่ืองจาก sin B = 0.5196 มคี า อยูร ะหวาง sin 31 ํ 10′ กับ sin 31 ํ 20′

จากตารางคา ฟง กช ันตรโี กณมติ ิ จะได sin 31 ํ 10′ = 0.5175

sin 31 ํ 20′ = 0.5200

เน่ืองจาก คาของฟง กช นั ไซนเ พม่ิ ขนึ้ 0.0025 คา ของมุมเพม่ิ ขึน้ 10′ ซก(แึ่งฎนจขวะตอไองดบไวซใา นชใค นsวinก6ามาBรสห=มั าพsขiนัnน1ธ06าข 0ดอขํ )งองsiมnbมุ B B sincC
คา ของฟงกช ันไซนเ พ่มิ ข้นึ 0.0021 คา ของมุมเพม่ิ ขึ้น 0.000.20102×5 10 ≈ 8′ =

จะไดว า (sin 31 ํ 10′ + 8′) = sin 31 ํ 18′ ≈ 0.5196

ดงั น้ัน B ≈ 31 ํ 18′

แตเนอื่ งจาก sin B > 0 จะไดว า 0 < B < 180 ํ เขา ใจ (Understanding)

ดงั นั้น B ≈ 31 ํ 18′ หรอื B ≈ 180 ํ - 31 ํ 18′ = 148 ํ 42′ ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 105-106 เมื่อทําเสร็จแลวครูและนักเรียน
รวมกันเฉลยคําตอบ

ฟงกชันตรีโกณมิติ 105

ขอ สอบเนน การคิด
ขอ ใดเปน ความยาวของเสน รอบรปู ของรปู สามเหลย่ี มหนา จว่ั ABC ซงึ่ มดี า น BC เปน ฐานยาว 30 หนว ย และมขี นาดของมมุ ยอดเปน
30 องศา
1. 57.954 หนว ย 2. 115.908 หนว ย 3. 130.954 หนว ย 4. 145.908 หนว ย

(เฉลยคําตอบ ให ∆ABC เปนรปู สามเหลย่ี มหนาจว่ั ทมี่ ีดาน BC เปน ฐานยาว 30 หนว ย และ BA∧C = 30 ํ
A
30 ํ จากกฎของไซน sinBBCA∧C = sinAACB∧C
sin AB∧C • BC
B 30 C AC = sin BA∧C
จะไดว า AB∧C = 180 ํ2- 30 ํ = 1520 ํ = 75 ํ
= sinsi7n53ํ •03ํ 0
≈ 0.9659 × 30 × 2
= 57.954
นัน่ คือ ความยาวของเสนรอบรูป = 2(57.954) + 30 = 145.908 หนว ย
ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)
T111

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทําดู
กาํ หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC เปน รปู สามเหลย่ี มทม่ี คี วามยาวดา นตรงขา มมมุ A มมุ B และ
รู (Knowing) มุม C เปน a, b และ c ตามลําดบั โดย A∧ = 30 ํ, a = 11 หนว ย และ c = 17 หนว ย
ใหหาขนาดของมมุ C
1. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาบทพิสูจนกฎของ
โคไซน ในหนงั สอื เรยี น หนา 106 แลว แลกเปลย่ี น 2. กฎโคไซน (The Laws of Cosines)
ความรูกบั คูของตนเอง จนเปนที่เขา ใจรว มกนั
จากนั้นครถู ามนักเรยี นวา กาํ หนดรปู สามเหล่ียม ABC ท่เี ปนรูปสามเหล่ยี มมุมแหลมและมมุ ปา น จากน้ันลาก CD
• การพิสูจนก ฎของโคไซน ตองใชค วามรู ตั้งฉากกับดาน AB ทจ่ี ดุ D ดังนี้
เรอื่ งใดมาชวยในการพสิ จู น
(แนวตอบ ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ) C a C a
bh hb
2. ครอู ธบิ ายซา้ํ อกี ครงั้ เพอ่ื ใหน กั เรยี นเขา ใจมาก
ยงิ่ ขน้ึ ดังน้ี A x D c-x B D x180 ํ-A A c B
ในรปู สามเหลีย่ ม ABC ใดๆ ถา a, b และ c
c เปน ความยาวของดา นตรงขา มมมุ A, B และ รูปสามเหลีย่ มมุมปาน
C ตามลําดบั จะไดว า รูปสามเหล่ียมมมุ แหลม
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B พิจารณารปู สามเหลย่ี มมุมแหลม ABC = bxbcos A
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ADC จะได cos A =

เขา ใจ (Understanding) x
และโดยทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได b2 = h2 + x2
ครใู หนกั เรยี นปฏิบตั ิตามขนั้ ตอนตอ ไปนี้ พิจารณารปู สามเหล่ียมมุมฉาก BDC โดยทฤษฎีบทพที าโกรสั จะไดว า
• ใหนกั เรยี นแบง กลุม กลุมละ 3-4 คน คละ a2 = (c - x)2 + h2
= c2 - 2cx + x2 + h2
ความสามารถทางคณิตศาสตร (ออน = c2 - 2cx + (x2 + h2) Thinking Time
ปานกลาง และเกง) ใหอ ยกู ลุมเดยี วกัน ทาํ = c2 - 2cx + b2 ใหน ักเรียนพิสูจน
“Thinking Time” ในหนังสือเรยี น หนา 106 = c2 + b2 - 2cb cos A กฎของโคไซน โดยใช
โดยใหแ สดงการพสิ จู นก ฎของโคไซน โดยใช ดงั นั้น a2 = c2 + b2 - 2cb cos A รปู สามเหลีย่ มมมุ ปาน
รปู สามเหลี่ยมมมุ ปาน
• ใหนักเรียนในแตละกลุมแลกเปล่ียนความรู ในทํานองเดยี วกนั นักเรยี นสามารถพสิ จู นไดวา
จนเปนที่เขาใจรว มกนั b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
• ครูสุมนักเรียนแตละกลุมออกมาแสดงการ c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
พิสูจนอยางละเอียด โดยครูและนักเรียน เรยี กความสัมพนั ธดังกลาววา กฎของโคไซน
ในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบความสมเหตุ
สมผลของการพิสูจน 106

เฉลย Thinking Time

พจิ ารณารปู สามเหลีย่ มมุมปา น ABC = bbxx
จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ADC จะได cos (180 ํ - A) =

-cos A

-b cos A = x
และโดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได b2 = h2 + x2
พจิ ารณารูปสามเหลย่ี มมุมฉาก BDC โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะไดวา
a2 = h2 + (x + c)2
= h2 + x2 + 2xc + c2
= (h2 + x2) + 2xc + c2
= b2 + 2xc + c2
= b2 + c2 - 2bc cos A
ดงั น้ัน a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
ในทาํ นองเดยี วกัน สามารถพสิ จู นไ ดว า
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
T112 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

กฎของไซน ในรปู สามเหลยี่ ม ABC ใด ๆ ขน้ั สอน
ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขา มมุม A, B และ C ตามลําดบั จะไดวา
รู (Knowing)
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ครใู หนักเรียนจับคศู ึกษาตัวอยางที่ 67-68 ใน
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C หนงั สอื เรยี น หนา 107-108 จากนนั้ ครถู ามคาํ ถาม
เพือ่ ตรวจสอบความเขาใจของนกั เรียน ดังน้ี
ตวั อยา่ งที่ 67
• จากตัวอยางที่ 67 ใชความสัมพันธใดของ
กาํ หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC เปน รูปสามเหลี่ยมที่มคี วามยาวดานตรงขา มของมมุ A กฎของโคไซนใ นการหาความยาวดาน a
มมุ B และมมุ C เปน a, b และ c ตามลาํ ดบั โดย A∧ = 30,ํ b = 6 หนว ย และ c = 10 หนว ย (แนวตอบ ใชค วามสัมพนั ธข อง
ใหหาความยาวของ a a2 = b2 + c2 - 2bc cos A)

วธิ ีทาํ เนอ่ื งจาก a2 = b2 + c2 - 2bc cos A • จากตัวอยางท่ี 68 ใชความสัมพันธใดของ
กฎของโคไซนในการหาขนาดของมมุ A
(แนวตอบ ใชความสัมพันธข อง
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A)

= 62 + 102 - 2(6)(10) cos 30 ํ
23
= 36 + 100 - 120
32.08
≈

จะได a ≈ 5.66

ดังนั้น a มีคาความยาวประมาณ 5.66 หนว ย

ลองทําดู
กําหนดรูปสามเหล่ียม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวดานตรงขามของมุม A
มมุ B และมมุ C เปน a, b และ c ตามลาํ ดบั โดย B∧ = 45 ,ํ a = 4 หนว ย และ c = 9 หนว ย
ใหห าความยาวของ b

ตวั อยา่ งท่ี 68

กาํ หนดรูปสามเหลีย่ ม ABC เปน รปู สามเหล่ียมที่มีความยาวดานตรงขามของมมุ A
มมุ B และมุม C เปน a, b และ c ตามลาํ ดับ โดย a = 10 หนว ย, b = 2 หนวย
และ c = 2 หนวย ใหหาขนาดของมุม A

วิธที าํ จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
จะได ( 10)2 = 22 + ( 2)2 - 2(2)( 2) cos A
10 = 4 + 2 - 4 2 cos A

ฟงกชันตรีโกณมิติ 107

ขอ สอบเนน การคดิ

ขอ ใดคอื ขนาดของมมุ ทใ่ี หญท ส่ี ดุ ของรปู สามเหลย่ี มทม่ี ดี า นทง้ั สามยาว x, y และ
x2 + 3xy + y2 หนว ย
1. 90 องศา 2. 120 องศา 3. 150 องศา 4. 180 องศา

(เฉลยคาํ ตอบ เนอ่ื งจากดา นทย่ี าว x 2 + 3xy + y 2 หนว ย เปน ดา นทยี่ าวทส่ี ดุ ดงั นน้ั มมุ ตรงขา ม
ดา นท่ียาว x 2 + 3xy + y 2 หนวย จึงเปนมุมท่ใี หญที่สุด

xθ y

โดยกฎของโคไซน x 2 + 3xy + y 2

จะได ( x 2 + 3xy + y 2)2 = x2 + y2 - 2xy cos θ cos θ = - 23
x 2 + 3xy + y 2 = x2 + y2 - 2xy cos θ θ = 150 ํ
3xy = -2xy cos θ
cos θ = -23xxyy ดังนน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 3.) T113

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 4 2 cos A = 6 - 10
cos A = -4
เขา ใจ (Understanding) 42
cos A = - 12
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน ดงั นั้น A = 135 ํ
หนา 107-108 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมา
แสดงวิธที าํ อยา งละเอียด โดยครูและนกั เรียน ลองทําดู
ในชนั้ เรยี นรวมกันตรวจสอบความถกู ตอง กําหนดรูปสามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหล่ียมที่มีความยาวดานตรงขามของมุม A
มมุ B และมมุ C เปน a, b และ c ตามลาํ ดบั โดย a = 6 หนวย, b = 13 หนวย และ
2. ครใู หนกั เรียนจบั คทู าํ แบบฝกทกั ษะ 1.12 ขอ c = 14 หนวย ใหห าขนาดของมุม B
1.-7. ในหนงั สือเรียน หนา 108-109 จากนั้น
ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทํา โดยครู แบบฝกึ ทักษะ 1.12
ตรวจสอบความถกู ตอง
กําหนดรูปสามเหล่ียม ABC เปนรูปสามเหล่ียมท่ีมีความยาวดานตรงขามของมุม A มุม B
3. ครใู หน ักเรียนทาํ Exercise 1.12 ในแบบฝก หดั และมุม C เปน a, b และ c ตามลําดับ
เปน การบาน
ระดบั พื้นฐาน
ลงมอื ทาํ (Doing)
1. ใหใชก ฎของไซนเพ่ือหาคาในแตล ะขอตอ ไปนี้
ครูใหน ักเรยี นแบง กลุม กลมุ ละ 4-5 คน คละ 1) ใหห าความยาวของ a เม่อื A∧ = 30 ,ํ C∧ = 45 ํ และ c = 8 หนว ย
ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออน ปานกลาง 2) ใหห าความยาวของ b เมอ่ื A∧ = 45 ํ, B∧ = 60 ํ และ a = 7 หนว ย
และเกง ) ใหอ ยกู ลมุ เดยี วกนั แลว ทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี 3) ใหหาขนาดของมุม B เมื่อ A∧ = 60 ํ, a = 3 2 หนว ย และ b = 2 3 หนวย
4) ใหหาขนาดของมุม C เมอื่ B∧ = 45 ,ํ b = 2 2 หนวย และ c = 2 3 หนว ย
• ใหน กั เรยี นทําแบบฝกทกั ษะ 1.12 ขอ 8. ใน
หนังสือเรียน หนา 109 2. ใหใชกฎของโคไซนเพื่อหาคา ในแตล ะขอ ตอ ไปนี้
1) ใหห าความยาวของ b เม่อื B∧ = 60 ํ, a = 3 หนวย และ c = 3 3 หนว ย
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ ทาํ ความเขา ใจรว มกนั 2) ใหหาความยาวของ a เมื่อ A∧ = 60 ,ํ b = 20 หนว ย และ c = 30 หนว ย
หลังจากน้ันครูสุมนักเรียนในแตละกลุม 3) ใหห าขนาดของมมุ A เม่ือ a = 25 หนว ย, b = 31 หนว ย และ c = 7 2 หนวย
ออกมาเฉลยคําตอบอยางละเอียด โดย 4) ใหห าขนาดของมมุ C เม่อื a = 15 หนว ย, b = 7 หนวย และ c = 13 หนวย
ครูและเพื่อนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบ
ความถกู ตอง

108

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูควรประเมินความเขาใจของนักเรียนกอนทําแบบฝกทักษะ 1.12 ใน ครูใหนักเรยี นปฏิบัตติ ามข้นั ตอนตอไปนี้
หนังสือเรียน หนา 108-109 โดยใหนักเรียนบอกกฎท่ีนํามาใชในแตละขอ • ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
พรอ มบอกเหตุผล
คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยูกลมุ เดยี วกนั
• ใหนักเรียนแตละกลุมสรางโจทยท่ีใชกฎของไซนและกฎของ

โคไซนในการแกโ จทยป ญ หา พรอมทัง้ แสดงวธิ ที ําอยางละเอียด
• จากนั้นใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน

โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนาํ เสนออืน่ ๆ
ตามทน่ี ักเรียนถนัด

T114

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

ระดับกลาง ขนั้ สรปุ

3. ใหห าความยาวดา นหรอื มมุ ภายในทเี่ หลอื ของรปู สามเหลยี่ ม ABC จากสง่ิ ทกี่ าํ หนดในแตล ะขอ ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
ตอ ไปน้ี นักเรยี น ดงั นี้

1) a = 2, b = 2 3, c = 2 • ก(แฎนขวตอองบไซsนinaม Aีคว=ามsสinbัมBพนั=ธsวinาcอCย)า งไร
2) A∧ = 75 ํ, B∧ = 30 ํ, b = 8 • กฎของโคไซนมคี วามสมั พันธว า อยางไร
3) a = 4, B∧ = 135 ํ, b = 4
4) A∧ = 45 ํ, B∧ = 105 ,ํ c = 5 2 (แนวตอบ a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
4. กาํ หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC มี a = 4 หนวย b = 4 3 หนว ย และ c = 4 หนวย ใหห าขนาด c2 = a2 + b2 - 2ab cos C)

ของมุมทใ่ี หญท ี่สดุ ขน้ั ประเมนิ

5. กําหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC มีมุม A และมมุ B เปนมุมแหลม โดย cos A = 54 , sin B = 1132 1. ครตู รวจแบบฝกทกั ษะ 1.12
และ b = 30 หนวย ใหห าความยาวของ c 2. ครูตรวจ Exercise 1.12
3. ครปู ระเมินการนาํ เสนอผลงาน
6. กําหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC มี B∧ = 45 ํ, C∧ = 120 ํ และ a = 20 หนว ย ใหห าความสงู 4. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบุคคล
ของรปู สามเหลี่ยม ABC ที่วดั จากจดุ A 5. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวนิ ัย ใฝเ รียนรู
7. กําหนด ABCDEF เปนรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา โดยที่แตละดานยาว 6 นิ้ว ใหหา
ความยาวของเสน ทแยงมุม AD และ AC มงุ มนั่ ในการทาํ งาน

ระดบั ทา ทาย

8. กาํ หนดรปู สเ่ี หลย่ี มดา นขนานมมี มุ มมุ หนงึ่ มขี นาด 120 องศา และความยาวของดา นประกอบ
มมุ นยี้ าว 4 และ 8 เซนติเมตร ใหห าความยาวของเสนทแยงมมุ ทง้ั สองเสนของรปู น้ี

ฟงกชันตรีโกณมิติ 109

กจิ กรรม ทาทาย แนวทางการวัดและประเมินผล

ครแู บง กลมุ ใหน กั เรยี น กลมุ ละ 3-4 คน ชว ยกนั ทาํ โจทยป ญ หา ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทํา
ตอไปน้ี แบบฝก ทกั ษะ 1.12 ขอ 8. ในขนั้ ลงมอื ทาํ โดยศกึ ษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผล
จากแบบประเมนิ ของแผนการจัดการเรยี นรูในหนว ยการเรยี นรูท ่ี 1
สุณีมีท่ีดินแปลงหนึ่งเปนรูปประกอบท่ีมีมุมหน่ึงเปนมุมฉาก
และดานท่ีเปนดานประกอบมุมฉากนี้มีความยาวเทากัน โดยมุม แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่
ท่ีอยูตรงขามมุมฉากมีขนาด 45 องศา และดานท่ีประกอบมุมน้ี
ยาว 30 เมตร และ 50 เมตร อยากทราบวา ที่ดินแปลงนมี้ พี ืน้ ท่ี คาช้ีแจง : ใหผ้ สู้ อนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ✓ลงในช่องที่
ก่ตี ารางเมตร ตรงกบั ระดับคะแนน

หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมโดยคละความสามารถทาง การทางาน การมี
คณติ ศาสตรข องนักเรยี น (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยกู ลมุ ตามทีไ่ ดร้ ับ
เดยี วกนั ลาดับที่ ชื่อ – สกลุ การแสดง การยอมรับ มอบหมาย ความมนี ้าใจ สว่ นร่วมใน รวม
ของนกั เรยี น ความคดิ เหน็ ฟงั คนอ่ืน การปรบั ปรุง 15
คะแนน
ผลงานกล่มุ

321321321321321

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชือ่ ...................................................ผปู้ ระเมิน
ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤติกรรมอย่างสม่าเสมอ ............../.................../...............

ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครั้ง ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบางครั้ง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

12 - 15 ดี

8 - 11 พอใช้

ต่ากว่า 8 ปรับปรุง

T115

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Deductive Method) 1.13 การหาระยะทางและความสงู

กาํ หนดขอบเขตของปญ หา ในระดับชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 3 นกั เรียนไดศ กึ ษาการใชอตั ราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ 30 องศา
45 องศา และ 60 องศา ในการแกปญ หาเกยี่ วกับระยะทางและความสงู ซ่งึ ในหวั ขอน้ี นกั เรยี น
1. ครถู ามคาํ ถามเพอื่ ทบทวนความรนู กั เรยี น ดงั น้ี จะไดนําความรูเก่ยี วกบั ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ กฎของไซน กฎของโคไซน มุมกม และมมุ เงยมาชว ย
• ในการแกปญหาเกี่ยวกับระยะทางและ ในการแกปญ หาเก่ียวกบั ระยะทางและความสงู ดงั ตวั อยา งตอไปนี้
ความสูงใชค วามรเู รอ่ื งใดบา ง
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย ตัวอยา่ งท่ี 69
ขึ้นอยูกับพื้นฐานความรู เชน อัตราสวน
ตรโี กณมติ ิ มุมกม และมมุ เงย) เกงยืนอยูบนพ้ืนราบมองเห็นยอดตึกแหงหนึ่งเปนมุมเงย 15 องศา และเม่ือเดิน
เขาไปหาตึกอกี 100 เมตร เขามองเห็นยอดตึกเปนมุมเงย 75 องศา ถา เกงสงู 185
2. ครูกลา ววา ในการแกป ญ หาเกย่ี วกบั ระยะทาง เซนตเิ มตร แลว ตกึ มคี วามสูงเทาใด
และความสงู ใชค วามรเู กย่ี วกบั ฟง กช นั ตรโี กณมติ ิ วิธีทาํ D
กฎของไซน กฏของโคไซน มมุ กม และมมุ เงย
15 ํ 75 ํ
ขนั้ สอน
A 100 เมตร BC
แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
กาํ หนด CD เปนความสูงจากระดับสายตาถึงยอดตึก
1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งที่ 69 ในหนงั สอื เรยี น จดุ A เปน จุดทเ่ี กงยนื มองยอดตึกในคร้ังแรก
หนา 110-111 แลว ถามคาํ ถามนกั เรยี นวา จุด B เปนจุดที่เกงยืนมองยอดตกึ ในคร้ังหลงั
• จากตัวอยางท่ี 69 นักเรียนจะหาความสูง
แ(ขแลอนะงวตคตึกวอาบไมดใอสชยมั กาพฎงันไขธรอขงอไงซมนมุ  สsiอnBงD1เ5ทาํ )= sinA6B0 ํ จาก CB∧D = 75 ํ จะได AB∧D = 105 ํ
ดังนัน้ AD∧B = 180 ํ - (15 ํ + 105 ํ) = 60 ํ
2. จากน้ันครูอธิบายซ้ําอีกครั้ง เพื่อใหนักเรียน พิจารณา ∆ABD โดยกฎของไซน
เขา ใจมากยง่ิ ขนึ้ พรอ มทงั้ เปด โอกาสใหน กั เรยี น จะได siBnD15 ํ = sinAB60 ํ
ถามเม่อื เกดิ ขอสงสัย ดังนน้ั BD = AB ssiinn 1650 ํํ

= 100 ssiinn 1605 ํํ
พิจารณา ∆BCD
จะได sin 75 ํ = CBDD
ดงั น้ัน CD = BD sin 75 ํ

= 100 ssiinn 1605 ํํ cos 15 ํ

110

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสริม

ครูควรใชก ารถาม-ตอบ เพือ่ ทบทวนการหาระยะทางและความสงู ในระดบั ครใู หน กั เรียนจบั คแู ลวชวยกนั แสดงความคดิ เห็นและอภปิ ราย
ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 3 วา ตอ งใชอตั ราสวนตรีโกณมติ ิใด ตอ งนาํ ความรูเร่อื งใด รวมกันวา “นกั เรียนคิดวา อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ กฎของไซน และ
มาใชบ า ง และใชค าํ ถามกระตนุ ความคดิ เชน นกั เรยี นคดิ วา กฎของไซนแ ละกฎ กฎของโคไซนม คี วามแตกตา งกนั อยา งไร” และ “ถา รปู สามเหลย่ี ม
ของโคไซนจ ะใชห าระยะทางและความสงู ไดห รอื ไม เพราะเหตใุ ด ทกี่ าํ หนดใหไ มเ ปน รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก นกั เรยี นจะหาคา ของไซน
และโคไซนไดอยา งไร”

หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนกั เรยี นออ นจับคูกัน

T116

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

= 100 sin 15 2ํ c3os 15 ํ ขนั้ สอน
100
= 3 (2 sin 15 ํ cos 15 )ํ ใชท ฤษฎี หลักการ

= 1030 (sin 2 (15 )ํ ) ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
100 หนา 111 เพ่ือตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียน
= 3 (sin 30 )ํ จากนั้นครูขออาสาสมัครนักเรียนออกมาแสดง
วธิ ที ําบนกระดาน โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง
= 100 21
3 แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
≈ 29
เนอ่ื งจาก เกงสูง 185 เซนตเิ มตร เทากบั 1.85 เมตร 1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 70 ในหนงั สอื เรยี น
ดงั นั้น ยอดตกึ สงู ประมาณ 29 + 1.85 = 30.85 เมตร หนา 111-112 แลว ถามคาํ ถามนกั เรยี นวา
• จากตัวอยางท่ี 70 นกั เรยี นสามารถหา
ลองทําดู ระยะหางของเรือสองลําไดอยางไร
วทิ ยายืนอยบู นพ้นื ราบมองเหน็ ระเบยี งของอาคารแหง หน่ึงเปน มุมเงย 15 องศา และ (แนวตอบ ใชก ฎของไซน sinADDC∧A = sinCDDA∧C)
เมื่อเดินเขาไปหาอาคารแหงน้ัน 80 เมตร เขามองเห็นระเบียงเปนมุมเงย 60 องศา
ถาวิทยาสงู 170 เซนตเิ มตร แลว ระเบยี งของอาคารสงู เทาใด 2. จากน้ันครูอธิบายซํ้าอีกคร้ัง เพื่อใหนักเรียน
เขา ใจมากยง่ิ ขน้ึ พรอ มทง้ั เปด โอกาสใหน กั เรยี น
ตัวอยา่ งท่ี 70 ถามเมื่อเกิดขอสงสยั

เจา หนา ทบ่ี นหอคอยแหง หนง่ึ มองเหน็ เรอื สองลาํ ลอยอยกู ลางทะเลเปน มมุ กม 45 องศา ใชท ฤษฎี หลักการ
และ 75 องศา ตามลําดับ ถาหอคอยสูง 15 เมตร แลวเรือทั้งสองลําอยูหางกัน
เทา ใด ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 112 เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน
จากนนั้ ครขู ออาสาสมคั รนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ
บนกระดาน โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง

วิธที ํา กําหนด BC เปนความสูงของหอคอย E 45 ํ 75 ํ C
15 ม.
CE เปนเสน ระดบั สายตา
จุด A เปนตําแหนงของเรือลําแรก DB
จุด D เปน ตาํ แหนง ของเรือลาํ ทส่ี อง
จาก AC∧E = 45 ํ และ DC∧E = 75 ํ จะได DC∧A = 30 ํ A
และจาก AB // CE จะได BA∧C = 45 ํ และ BD∧C = 75 ํ
พิจารณา ∆DBC จะได sin 75 ํ = CBCD
ดงั นนั้ CD = sin1575 ํ

ฟงกชันตรีโกณมิติ 111

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครูใหนกั เรยี นปฏิบัตติ ามข้ันตอนตอไปน้ี จากตัวอยางท่ี 70 ในหนังสือเรียน หนา 111-112 ครูควรใชการถาม-ตอบ
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง เพื่อใหนักเรียนไดคิดวิเคราะห เชื่อมโยงความยาวของดานและขนาดของมุม
ทก่ี าํ หนดเพ่ือนาํ มาหาดาน AD ดังนี้
คณิตศาสตร (ออ น ปานกลาง และเกง) ใหอ ยกู ลมุ เดียวกัน
• ใหนักเรียนแตละกลุมสรางโจทยปญหาที่ตองใชกฎของไซนใน • นกั เรียนหาขนาดของ AC∧D ไดห รอื ไม เพราะเหตใุ ด
• ดา น AD และ AC∧D มีความสัมพนั ธก ันหรือไม อยา งไร
การแกป ญ หาเพื่อหาคาํ ตอบ และแสดงวธิ ีทําอยางละเอียด • จาก ∆ADC นักเรยี นใชกฎของไซนไ ดหรอื ไม และหาขนาดของมมุ หรอื
• จากนั้นใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน
ความยาวของดา น เพราะเหตุใด
โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออ่นื ๆ • นกั เรยี นจะตองทําอยา งไรจงึ จะหาดา น AD ได
ตามที่นักเรยี นถนดั

T117

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน = 1 15 3

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ +
22
1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 71 ในหนงั สอื เรยี น ≈ 15.53
หนา 112-113 แลว ถามคาํ ถามนกั เรยี นวา พิจารณา ∆ADC โดยกฎของไซน
• นกั เรยี นสามารถหาระยะทางทส่ี ชุ าตอิ ยหู า ง จะได sinADDC∧A = sinCDDA∧C
จากจดุ เร่มิ ตนไดอยา งไร (15.53) sin 30 ํ
(แนวตอบ ใชก ฎของโคไซน ดงั นน้ั AD = sin 45 ํ
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
ใชก ฎของไซน = (15.53) 21
sin BaA∧C = sin AbB∧C ) 22
≈ 10.98
2. จากนั้นครูอธิบายซ้ําอีกครั้ง เพ่ือใหนักเรียน นน่ั คอื เรอื ทั้งสองลําอยูห างกนั ประมาณ 10.98 เมตร
เขา ใจมากยง่ิ ขนึ้ พรอ มทงั้ เปด โอกาสใหน กั เรยี น
ถามเมื่อเกิดขอ สงสัย ลองทําดู
เจาหนาที่บนหอบังคับการบินมองเห็นเคร่ืองบินสองลําจอดอยูบนรันเวยเปนมุมกม
ใชท ฤษฎี หลักการ 30 องศา และ 70 องศา ตามลําดบั ถา หอบงั คบั การบนิ สูง 130 เมตร แลวเครื่องบนิ
ท้ังสองลําอยูหา งกนั เทาใด
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 113 เพ่ือตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียน ตวั อย่างท่ี 71 BN2
จากนนั้ ครขู ออาสาสมคั รนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ
บนกระดาน โดยครูตรวจสอบความถูกตอง สชุ าติขบั รถจากจุด A ไปในแนวเฉยี งไปทางทศิ ตะวันออก โดย

ทาํ มุม 30 องศา กับทิศเหนอื เปนระยะทาง 20 กิโลเมตร ไปยัง c= 20 30ํ a= 10
จดุ B จากนั้นเขาขบั รถตอไปในแนวเฉียงไปทางทศิ ตะวนั ออก N1
โดยทํามมุ 30 องศา กบั ทศิ ใตเ ปน ระยะทาง 10 กิโลเมตร ไปยงั C
30 ํ
จุด C ใหห าวา สุชาติอยหู างจากจุดเริม่ ตน เปนระยะทางเทาใด A b S2

และอยูในทศิ ใดของจดุ เร่ิมตน S1

วิธีทาํ จดาังกนร้นั ูปAAB∧NC1 ขนานกบั BS2 จะได AB∧ S2 = N1A∧ B = 30 ํ
= 30 ํ + 30 ํ = 60 ํ
จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
= 102 + 202 - 2(10)(20) cos 60 ํ
= 100 + 400 - 200
b2 = 300
112 b = 10 3

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูควรใหนักเรียนวาดรูปบนกระดานแลวใหนักเรียนบอกความแตกตาง ครูใหน กั เรยี นปฏิบัติตามขัน้ ตอนตอ ไปน้ี
ระหวางตัวอยางที่ 71 กับตัวอยา งที่ 69 และตัวอยา งที่ 70 ในหนังสือเรียน หนา • ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
110-113 หรือครูอาจสุมนักเรียนใหบอกแนวคิดการหาระยะทางจากจุดเริ่มตน
และแนวคดิ การหาทศิ ทาง เพ่ือตรวจสอบความเขาใจของนกั เรียน คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอยูในกลุมเดียวกัน
• ใหนักเรียนแตละกลุมสรางโจทยปญหาท่ีตองใชกฎของโคไซน

ในการแกปญ หาเพ่ือหาคําตอบ และแสดงวธิ ีทาํ อยา งละเอยี ด
• จากนั้นใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน

โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออ่นื ๆ
ตามที่นกั เรยี นถนัด

T118

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

จากกฎของไซน sin BaA∧C = sin AbB∧C ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมบนกระดาน พรอมทั้ง
sin1B0A∧C = s1in0630 ํ ถามคาํ ถามนักเรยี น ดงั นี้
sin BA∧C = 11003 × 23 สมชายและสมชาติยืนอยูจุดเดียวกันและว่ิง
= 12 ออกพรอมกันจากจุดท่ียืนอยู โดยสมชายว่ิงไป
ยงั จุด A เปนระยะทาง 4 กโิ ลเมตร และสมชาติ
จะได BA∧C = 30 ํ และ N1A∧C = 30 ํ + 30 ํ = 60 ํ ว่ิงไปยังจุด B เปนระยะทาง 2.5 กิโลเมตร ถา
ดงั นั้น สุชาตอิ ยูหางจากจุดเริม่ ตนเปน ระยะทาง 10 3 กิโลเมตร ไปในแนวเฉยี งไปทาง ท้ังสองคนวิ่งออกจากกันโดยทํามุม 45 องศา
จงหาระยะหางระหวา งจดุ A และจดุ B
ทิศตะวนั ออก โดยทาํ มมุ 60 องศา กับทิศเหนือ • โจทยต อ งการทราบอะไร

ลองทําดู (แนวตอบ หาระยะหางระหวางจุด A และ
จดุ B)
เอกขบั รถจากจดุ A ไปในแนวเฉยี งไปทางทศิ ตะวนั ตก โดยทาํ มมุ 70 องศา กบั ทศิ ตะวนั ตก • นักเรียนสามารถหาระยะหา งระหวางจดุ A
เปนระยะทาง 40 กิโลเมตร ไปยังจดุ B จากน้นั เขาขับรถตอ ไปในแนวเฉียงไปทางทศิ และจดุ B ไดอ ยางไร
ตะวนั ออกโดยทํามมุ 30 องศา กบั ทิศตะวนั ออกเปนระยะทาง 20 กิโลเมตร ไปยงั จดุ (แนวตอบ ใชก ฎของโคไซน
C ใหหาวา เอกอยูหา งจากจดุ เริ่มตน เปน ระยะทางเทา ใด และอยูในทศิ ใดของจดุ เร่มิ ตน กําหนดให ระยะหางระหวางจุด A และ

a = 20 C E2 จุด B เทากับ c
W2 B 30 ํ จะได c2 = a2 + b2 - 2ab cos C)

c = 40 • ระยะหางระหวางจดุ A และจดุ B เทา กบั
เทาใด
W1 70 ํ A E1 (แนวตอบ จากกฎของโคไซน
ให A แทนสมชาย
B แทนสมชาติ
แบบฝึกทกั ษะ 1.13 C แทนจุดเริม่ ตน
จะได c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
ระดับพ้นื ฐาน AB2 = BC2 + AC2 - 2(BC)(AC) cos BC∧A
1. ลูกเสือสองคนยืนอยูใ นแนวทิศใตข องเสาอากาศซึง่ สงู 95 เมตร ลกู เสือทั้งสองคนวัดมุมเงย = (2.5)2 + 42 - 2(2.5)(4) cos 45 ํ
2. ขนอกั งเรยียอนดคเสนาหไนดึ่ง 3ย0ืนอแยลบูะน4ส5นอามงศแาหงตหานมึ่งลาํ มดอบั งเลหกู น็ เสยืออทดั้งเสสาอธงงคเปนนนมีย้ ืนุมหเงา1ยงก1ัน5ปรอะงมศาาณแกต่เี มเมต่ือร 22
≈ = 6.25 + 16 - 20
เดินเขาไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60 องศา ถาเขาสูง ≈ 8.108 กิโลเมตร
160 เซนตเิ มตร เสาธงมีความสงู เทา ใด ดังนั้น ระยะหางระหวางจุด A และจุด B
ประมาณ 8.108 กิโลเมตร)
ฟงกชันตรีโกณมิติ 113

กจิ กรรม สรางเสริม นักเรียนควรรู

ครูใหนกั เรยี นจบั คูแลว พจิ ารณาขอ ความตอไปนี้ 1 มุมเงย (angle of elevation) หมายถึง มุมทมี่ แี ขนของมมุ แขนหน่งึ อยใู น
เสาไฟฟาสองตนมีความสูงเทากัน ซึ่งอยูหางกัน 100 ฟุต ระดบั สายตาและอกี แขนหนง่ึ เชอื่ มระหวา งตาของผสู งั เกต และวตั ถซุ ง่ึ อยสู งู กวา
ชายคนหน่ึงยืนอยูระหวางเสาไฟฟาทั้งสอง สังเกตเห็นยอด ระดบั สายตา
เสาไฟฟาทั้งสองเปนมุมเงย 30 องศา และ 60 องศา นักเรียน
สามารถหาความสูงของเสาไฟฟาทั้งสองโดยใชกฎของไซนได
หรือไม อยางไร
หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรยี นเกงและนักเรียนออนจบั คกู ัน

T119

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ระดับกลาง
3. นักสาํ รวจคนหน่ึงยนื อยูทิศตะวันออกเฉยี งใตของภเู ขาลกู หนง่ึ มองเหน็ ยอดเขาเปน มมุ เงย
ใชท ฤษฎี หลักการ
60 องศา เมอื่ เขาเดนิ ตรงไปทางทศิ ตะวนั ตกเฉยี งใตเ ปน ระยะทาง 400 เมตร จะมองเหน็ ยอด
1. ครใู หนกั เรยี นแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ เขาเปน มมุ เงย 45 องศา ภเู ขาลกู น้ีสูงเทาใด
ความสามารถทางคณติ ศาสตร แลว ชว ยกนั ทาํ 4. รถยนต 3 คนั จอดทจ่ี ดุ A, B และ C บนพน้ื ระดบั และอยใู นแนวเสน ตรงเดยี วกนั กบั อนสุ าวรยี 
แบบฝก ทกั ษะ 1.13 ในหนงั สอื เรยี น หนา 113- แหง หนง่ึ มุมยกขนึ้ ของยอดอนุสาวรยี  เมอื่ สงั เกตจากจดุ A, B และ C เปน 30, 45 และ
114 แลวแลกเปล่ียนความรูกับคูของตนเอง 60 องศา ตามลาํ ดับ ถา BC = 20 เมตร ใหหาความสูงของอนุสาวรยี  และระยะทางระหวา ง
จนเปนที่เขาใจรวมกัน จากน้ันครูสุมนักเรียน จุด A กบั อนุสาวรีย
ออกมาเฉลยอยางละเอียดบนกระดาน โดย 5. จากจดุ A ทีอ่ ยูท างทศิ ใตของเสาไฟฟา และทํามุมเงย 60 องศา กบั ยอดเสา จดุ B อยูทาง
ครูและนักเรียนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบ ทศิ ตะวันออกของจุด A มองยอดเสาไฟฟา เปน มมุ เงย 30 องศา ถาระยะหางจากจุด A และ
ความถกู ตอง จุด B เทากบั 60 เมตร เสาไฟฟา สงู กเี่ มตร

2. ครใู หน ักเรยี นทํา Exercise 1.13 ในแบบฝก หดั ระดับทาทาย
เปน การบาน 6. ธรี ะชยั อยบู นดาดฟา ของตกึ สงู 30 เมตร มองเหน็ บตุ รชายของเขาอยบู นพนื้ ดนิ ทางทศิ ใตข อง

ตึกเปนมมุ กม 30 องศา และเห็นบุตรสาวของเขาอยูบนพน้ื ดนิ ทางทิศตะวนั ออกของตึกเปน
มุมกม 60 องศา บุตรชายและบุตรสาวอยหู างกันกเ่ี มตร

ตรวจสอบตนเอง

หลังจากเรียนจบหนว ยน้ีแลว ใหน ักเรียนบอกสญั ลักษณท ่ตี รงกบั ระดับความสามารถของตนเอง

1. สามารถหาจุดปลายสว นโคง ของวงกลมหนงึ่ หนว ยท่ีวัดจาก ดี พอใช คปวรรบั ปรงุ

จดุ (1, 0) เปนระยะ ͉θ͉ หนวย ได

2. สามารถหาคา ฟงกช นั ตรโี กณมิติของจาํ นวนจรงิ หรือมุมได

3. สามารถหาคา ของฟงกชนั ตรโี กณมิตโิ ดยใชตารางคา ฟงกช ัน
ตรโี กณมติ ิได

4. เขาใจและเขียนกราฟของฟงกชนั ตรโี กณมติ ไิ ด

5. แกสมการตรีโกณมติ ิและนาํ ไปใชในการแกปญหาได

6. ใชก ฎของโคไซนและกฎของไซนใ นการแกป ญ หาได

114

เฉลย คณติ ศาสตรในชีวิตจริง

กาํ หนด CD เปนความสงู จากระดบั สายตาถึงยอดพระปรางค D
จดุ A เปน จดุ ทสี่ ธุ ยี ืนมองยอดพระปรางคในครง้ั แรก
จุด B เปน จดุ ทสี่ ธุ ยี ืนมองยอดพระปรางคในครั้งหลัง
ssiinn 4455 ํํ ccooss 3300 ํํ - ssiinn 3300 ํํ ccooss 4455 ํํ
1. จาก CA∧D = 75 ํ และ CD = 81.85 เมตร AC = 81.85 × -
ดังนน้ั AD∧C = 180 ํ - (90 ํ + 75 )ํ = 15 ํ
พจิ ารณา ∆ACD โดยกฎของไซน 22 23 - 21 22 81.85 เมตร
= 81.85 × 22 23 + 21 22
จะได siAnC15 ํ = siCn D75 ํ
ดังน้นั AC = CD ×
81.85 ×ssiinnssi17inn55((ํํ4455 = 81.85 × 6- 2
= ํํ +- 3300 )ํ ํ) ≈ 21.93 6+ 2 AB C

นน่ั คือ สุธอี ยหู างจากพระปรางคเ ปนระยะทางประมาณ 21.93 เมตร

T120

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

คณิตศาสตร์ในชีวิตจริง ขนั้ สอน

พระปรางคว ดั อรณุ ราชวรารามราชวรมหาวิหาร ใชท ฤษฎี หลักการ
พระปรางควัดอรุณราชวรารามราชวรมหาวิหาร หรอื เรยี กสั้น ๆ วา พระปรางควัดอรณุ ฯ เปน
หนึ่งในสถาปตยกรรมที่สวยงามที่สุดแหงหน่ึงของกรุงรัตนโกสินทร และมีความสูง 81.85 เมตร ซ่ึง 3. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค
เปนพระปรางคท่มี ีความสูงทีส่ ดุ ในโลก คูคดิ (Think Pair Share) ดงั นี้
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
จากคณติ ศาสตรใ นชวี ติ จรงิ ในหนงั สอื เรยี น
หนา 115
• ใหนักเรียนกับเพ่ือนแลกเปลี่ยนคําตอบกัน
สนทนาซกั ถามซง่ึ กนั และกนั จนเปน ทเี่ ขา ใจ
รวมกัน
• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
ชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน
รวมกนั ตรวจสอบความถกู ตอง

สถานการณ
สุธีเดินทางไปชมพระปรางคที่วัดอรุณ ฯ เม่ือไปถึงเขายืนอยูริมฝงแมน้ําเจาพระยาซึ่งอยูตรง
ขามกับพระปรางควดั อรณุ ฯ ซงึ่ มคี วามสงู 81.85 เมตร อยากทราบวา
1. สธุ อี ยหู างจากพระปรางคเ ปน ระยะทางเทาใด เมอื่ เขามองไปยงั ยอดพระปรางคเปน มมุ เงย

เทา กับ 75 ํ
2. ถา สุธเี ดินเขา ใกลพ ระปรางคไปอีก 5 เมตร แลวมองไปยังยอดพระปรางคอ ีกครง้ั นักเรยี น

คิดวา เขาจะมองเหน็ ยอดพระปรางคดวยมุมเงยมากกวาหรือนอยกวาเดิม ใหอ ธิบายโดยใช
หลักการของตรโี กณมิติ

ฟงกชันตรีโกณมิติ 115

2. ถา สุธีเดินเขาใกลพระปรางคอีก 5 เมตร สุธจี ะอยูหา งจากพระปรางค
ประมาณ 21.93 - 5 = 16.93 เมตร
พจิ ารณา ∆ ∆ACD
tan A = CACD

AC tan A = CD
พจิ ารณา ∆ ∆CBD
tan B = CBCD

จะได tan B = ACBtCan A
≈ 21.9136t.9a3n 75 ํ
≈ 1.3 tan 75 ํ
ดงั น้นั ถา สุธเี ดินเขาใกลพ ระปรางคอีก 5 เมตร สธุ จี ะมองดว ยมมุ เงย
มากกวา เดมิ
T121

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ สรปุ แนวคดิ หลกั

ตรวจสอบและสรปุ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

1. ครูใหนักเรียนศึกษา “สรุปแนวคิดหลัก” ใน การวดั ความยาวสว่ นโค้งและพิกดั ของจุดปลายส่วนโคง้
หนงั สอื เรยี น หนา 116-119 จากนน้ั ใหน กั เรยี น
นําความรูท่ีไดมาเขียนเปนผังมโนทัศนหนวย • วงกลมที่เปนกราฟของความสัมพันธ {(x, y)∊R × R͉ x2 + y2 = 1} เรยี กวา วงกลมหนึง่ หนวย
การเรียนรูที่ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ ลงใน (unit circle)
กระดาษ A4 ตกแตง ใหส วยงาม เมอื่ ทาํ เสรจ็ แลว • การวัดความยาวสวนโคง และพกิ ดั ของจดุ ปลายสวนโคงบนวงกลมหนง่ึ หนวย เปนดังน้ี
นําสง ครเู พ่อื ตรวจสอบความถูกตอง
Y θ > 0 จะวดั สว นโคง จากจุด (1, 0) ไปในทิศทาง
2. ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ p(θ) (0, 1) θ > 0 ทวนเข็มนาฬกาเปน ระยะ ͉θ͉ หนว ย
นักเรยี น ดังน้ี
• คาของฟงกชันไซนและฟงกชันโคไซนของ (-1, 0) O (1, 0X) θ = 0 จุดปลายสว นโคงคอื จุด (1, 0)
0(แ,นπ2วต, อπบ, π4ส,ามπ3า, รπ6ถหหาาไไดดโอดยยา กงาไรรใชวงกลม p(θ) θ<0 θ < 0 จะวัดสว นโคงจากจดุ (1, 0) ไปในทิศทาง
หนึ่งหนวย หรือการพิจารณากราฟของ
ฟง กชันไซนและฟงกชันโคไซน) (0, -1) ตามเข็มนาฬก าเปน ระยะ ͉θ͉ หนว ย
• ในจตภุ าคที่ 1 ฟง กช นั ตรโี กณมติ ใิ ดมคี า เปน
จํานวนบวก คา่ ของฟังก์ชันไซนแ์ ละฟังก์ชนั โคไซน์
(แนวตอบ ฟงกชันตรีโกณมิติทุกคามีคาเปน
จํานวนบวก) • ฟงกช นั ไซนและฟง กช นั โคไซน
• ในจตภุ าคที่ 2 ฟง กช นั ตรโี กณมติ ใิ ดมคี า เปน - ฟง กชันโคไซน คอื f = {(θ, x)∊R × R͉ x = cosθ}
จาํ นวนบวก - ฟง กช ันไซน คอื g = {(θ, y)∊R × R͉ y = sinθ}
(แนวตอบ ฟง กช นั ไซนแ ละฟง กช นั โคเซแคนต
เปนจํานวนบวก) • คา ของฟง กชนั ไซนแ ละฟง กช ันโคไซนของจํานวนจริงใด ๆ
• ในจตภุ าคท่ี 3 ฟง กช นั ตรโี กณมติ ใิ ดมคี า เปน
จาํ นวนบวก กําหนด θ เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ จะไดวา sin (π - α) = sin α sin (2nπ + α) = sin α
(แนวตอบ ฟงกชันแทนเจนตและฟงกชัน 1. cos (-θ) = cos θ cos (π - α) = -cos α cos (2nπ + α) = cos α
โคแทนเจนตเ ปนจํานวนบวก) 2. sin (-θ) = -sin θ sin (π + α) = -sin α
• ในจตภุ าคที่ 4 ฟง กช นั ตรโี กณมติ ใิ ดมคี า เปน cos (π + α) = -cos α sin (2π - α) = -sin α
จํานวนบวก cos (2π - α) = cos α
(แนวตอบ ฟง กช นั โคไซนแ ละฟง กช นั เซแคนต
เปน จํานวนบวก) ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติอื่น ๆ Y

• กําหนด θ เปน จาํ นวนจริงใด ๆ จะไดว า sin θ และ cosec θ ทุกฟงกช นั มีคา
1. tan θ = csoinsθθ เมอ่ื cos θ 0 มคี าเปน บวก เปน บวก
2. cot θ = csoinsθθ เมื่อ sin θ 0 Q2 Q1
3. sec θ = co1s θ เมอ่ื cos θ 0 x
4. cosec θ = sin1θ เม่อื sin θ 0 tan θ และ cot θ Q3 Q4
มีคาเปน บวก cos θ และ sec θ
มีคาเปนบวก

116

ขอสอบเนน การคิด
คา ของ csoetc6455ํ cํ soins 2459 ํํ csions2451ํ ํ เทา กบั ขอ ใด
1. 0 2. 12 3. 22 4. 2

(เฉลยคําตอบ จากโจทย จะสังเกตเหน็ วา มมุ 65 ํ + 25 ํ = 90 ํ และ 41 ํ + 49 ํ = 90 ํ จะไดวา
csoetc6545ํ cํ soins 4295 ํํ scinos2451ํ ํ = tsaenc2455ํ cํ soins4295ํํssiinn 2459 ํํ
= tsaenc2455ํ cํ soins2255ํํ
= sect4a5nํ 2ta5nํ 25 ํ
= sec145 ํ
= 22
ดงั นน้ั คําตอบคอื ขอ 3.)
T122