eEFUvCpeCXcp

- 2 - МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет физико-математических и естественных наук Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике» Направление подготовки Магистерская программа 44.04.01«Педагогическое образование» «Математическое образование» МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ на тему: «Эквивалентность систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии» Студент _________________________ (подпись, дата) Павлова А.С. Научный руководитель _________________________ (подпись, дата) Паньженский В.И. Нормоконтролѐр _________________________ (подпись, дата) Шарапова Н.Н. Рецензент профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Математика и математическое моделирование» ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства» _________________________ (подпись, дата) Данилов А.М. Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от __________________ № __) Заведующий кафедрой _________________________ (подпись) Родионов М.А. Работа защищена с отметкой _________ (протокол заседания ГЭК от __________ № ___) Секретарь ГЭК _________________________ (подпись) Шарапова Н.Н. Пенза 2017 г.

- 3 - СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………. 4 Глава1. СУЩНОСТЬ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА……………….. 7 1.1. Аксиоматический метод………………………………………….. 7 1.2. Математическая структура……………………………………… 9 1.3. Требования к системе аксиом…………………………………… 13 Глава 2. СИСТЕМА АКСИОМ Д.ГИЛЬБЕРТА ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ………………………………………………………………….. 17 2.1. Аксиомы принадлежности……………………………………….. 18 2.2. Аксиомы порядка…………………………………………………. 20 2.3. Аксиомы конгруэнтности………………………………………... 25 2.4. Аксиомы непрерывности………………………………………… 32 2.5. Аксиома параллельности………………………………………… 36 Глава 3. СИСТЕМА АКСИОМ Г.ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИ 38 3.1. Аксиомы сложения векторов…………………………………….. 39 3.2. Аксиомы умножения вектора на действительное число……….. 40 3.3. Аксиомы размерности……………………………………………. 42 3.4. Аксиомы скалярного произведения векторов………………....... 43 3.5. Аксиомы откладывания векторов от точки……………………... 45 3.6. Непротиворечивость системы аксиом Вейля…………………… 46 Глава 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМ АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА И ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ…………………………………….. 48 4.1. Система аксиом Вейля в геометрии Гильберта………………… 48 4.2. Система аксиом Гильберта в геометрии Вейля………………… 56 4.3. Эквивалентность систем аксиом……………………………….... 65 Глава 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРОВЕДЕНИЮ ПЕРВОГО УРОКА СТЕРЕОМЕТРИИ……………………………………… 66 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….. 86 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………. 87

- 4 - ПРИЛОЖЕНИЕ А…………………………………………………………….. 89 ПРИЛОЖЕНИЕ В…………………………………………………………….. 92

- 5 - ВВЕДЕНИЕ Вся школьная геометрия построена на аксиоматическом методе. Впервые этот метод был введѐн Евклидом в его знаменитом трактате «Начала». В течение 2000 лет его аксиомы исследовались и дополнялись. Изначально было доказано, что система аксиом Евклида является спорной, неточной. Одним из таких знаменитых математиков был Давид Гильберт. Он внѐс значительные перемены как в аксиоматику Евклида, так и математику вообще. Затем ее продолжил достойный преемник своего учителя Давида Гильберта и яркий продолжатель традиций немецкой математической школы. Как ученый он сформировался под сильным влиянием Д. Гильберта особый интерес к математическим структурам фундаментальной физики, проблемам аксиоматики физических теорий, к построению единой теории поля. В 1918 в соч. «Пространство, время, материя» Вейль разработал свой вариант «единой теории поля» - фактически первую подлинно геометризованную концепцию, основанную на расширении Римановой геометрии и истолковании электромагнитного поля как геометрического феномена. Всякая аксиоматическая теория строится по следующей схеме: 1. Перечисляются основные понятия: основные объекты и основные отношения. 2. Затем перечисляются аксиомы — исходные предложения теории, принимаемые без доказательства, в которых выражены некоторые простейшие свойства основных понятий. 3. Все другие понятия теории определяются через основные и ранее введенные понятия. 4. Все другие утверждения теории доказываются с помощью аксиом и ранее доказанных утверждений. Существуют различные системы аксиом, наиболее известные из них - аксиоматика А.Д. Александрова, аксиоматика Д. Гильберта, аксиоматика Г.Вейля, аксиоматика А.В. Погорелова, аксиоматика Л.С. Атанасян.

- 6 - В своей работе мы подробно разберем аксиоматическую теорию Д.Гильберта и Г.Вейля. Гильберт излагает полную систему аксиом евклидовой геометрии, разбив ее естественным образом на пять групп аксиом, что дало возможность развивать геометрию отдельных групп аксиом. Основными объектами данной теории являются: точки, прямые и плоскости. В аксиоматической теории Вейля основными понятиями является: точка и вектор. Аксиоматика Вейля более простая, чем аксиоматика Гильберта, но она не является замкнутой. В ней предполагается известным понятие вещественного числа, т. е. при изложении аксиом поле действительных чисел R считается данным[7]. Аксиоматические теории являются эквивалентными, если теории двух таких систем аксиом совпадают. Цель исследования: доказательство эквивалентности систем аксиом Д.Гильберта и Г.Вейля евклидовой геометрии. Актуальность данного исследования состоит в том, что современному учителю математике необходимо точно понимать логическое построение геометрии. Изучая построение евклидовой геометрии на основе аксиоматики Гильберта, весьма полезным является изучение евклидовой геометрии, построенной на системе аксиом Вейля, и доказательство эквивалентности этих систем аксиом. Сформулированная проблема и цель исследования требуют решения следующих задач: 1. Рассмотреть систему аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии. 2. Провести сравнительный анализ систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии. 3. Доказать эквивалентность систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии.

- 7 - 4. Разработать технологическую карту урока 10 класса «Аксиомы стереометрии». Данное исследование состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.

- 8 - Глава 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ НАУЧНОЙ ТЕОРИИ 1.1. Аксиоматический метод Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: 1. Перечисляются основные понятия: основные объекты и основные отношения. Основные понятия выделяются следующим образом: известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными. 2. Затем перечисляются аксиомы — исходные предложения теории, принимаемые без доказательства, в которых выражены некоторые простейшие свойства основных понятий. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к не доказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения 3. Все другие понятия теории определяются через основные и ранее введенные понятия. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии 4. Все другие утверждения теории доказываются с помощью аксиом и ранее доказанных утверждений. Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии.

- 9 - Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы". Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошѐл термин "элементарная геометрия". К сожалению сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, но мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида. "Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии. Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые необходимы в этой книге. Затем перечисляются постулаты и аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства. Далее идут теоремы, расположенные в порядке их логической зависимости так, чтобы каждое утверждение можно было доказать на основании предыдущих

- 10 - утверждений, постулатов и аксиом. «Начала» Евклида на протяжении многих веков служили образцом аксиоматического изложения научной теории. 1.2. Математическая структура Для изложения вопросов обоснования некоторых теорий используют понятие математической структуры. Определение 1.1. Математическая структура – это аксиоматическая теория, аксиомы которой выражены в терминах теории множеств. Математическая структура определяется заданием одного или нескольких множеств M1, M2, . . ., Mk, элементы этих множеств связаны отношениями p1, p2, . . ., pl и системы Σ аксиом α1, α2, . . ., αr , в которых перечисляются некоторые простейшие свойства этих отношений [5]. Математические структуры обозначают так: S = (M1, M2, . . ., Mk, p1, p2, . . ., pl) + Σ{α1, α2, . . ., αr}. Замечание. Часто основные отношения заменяются соответствующими основными операциями, например тернарное отношение p: «a, b, c находятся в отношении p, если a + b = c» заменяется бинарной операцией «+». Пример 1. Пусть S – векторное пространство. Базисными множествами являются V – множество векторов и R – множество действительных чисел. V – основное множество, R – вспомогательное. Вспомогательные множества обычно не включают в скобки при записи математической структуры в виде S = (M1, M2, . . ., Mk, p1, p2, . . ., pl) + Σ{α1, α2, . . ., αr}. В роли основных отношений для рассматриваемой математической структуры выступают операции: φ1 –сложение векторов, φ2 – умножение вектора на число. Система аксиом ∑ векторного пространства состоит из 4 аксиомы описывают свойства операции φ1 и 4 – свойства операции φ2. Аксиомы сложения векторов: α1: a,b V / a+b=b+a a b; α2: a,b,c V / (a+b)+c=a+(b+c) ; α3: V / a V a =a, - нулевой вектор;

- 11 - α4: a V a V / a+a = ,a - противоположный вектор для а и обозначается: -а. Аксиомы умножения вектора на число: α5: a V, , R ( a )= (a); α6: a V, , R ( + )a= a+ a ; α7: a,b V, R (a+b)= a+ b ; α8: a V 1∙а = а, 1 R. Следовательно, векторное пространство есть математическая структура S следующего вида: S=(V, φ1 ,φ2 )+ Σ{ α1, α2,…, α8 }. Определение 1.2. Совокупность всех математических структур, определяемых системой аксиом , называется родом структур. Определение 1.3. Пусть – система аксиом математической структуры S. Обозначим через Т ( ) теорию структур данного рода – это совокупность всех предложений, которые можно доказать на основе системы аксиом [12]. Другими словами, Т( ) – это аксиоматическая теория, построенная на основе системы аксиом . Пример 2. Структура рода структур группы. Род структур группы определяется заданием одного базисного множества G и одного основного отношения, в роли которого выступает бинарная операция, обозначаемая точкой ( ), система аксиом состоит из четырех аксиом: S=(G ,∙)+∑ (α1, α2, α3, α4). α1: (a,b G) c G / c=ab ; α2: a,b,c G (a b)c a(b c); α3: e G, a G ae=a; α4: a G, a -1 G,aa-1 =e. Добавим к аксиомам α1- α4 аксиому коммутативности α5: 5 : a,b G ab=ba , получим математическую структуру S1:

- 12 - S=(G,φ)+∑ (α1, α2, α3, α4, α5). 1 – система аксиом рода структур абелевых групп. Т( ) – теория групп, Т( 1) – теория абелевых или коммутативных групп. Ясно, что Т ( )≠Т ( 1). Определение 1.4. Две системы аксиом и называются эквивалентными, если теории, построенные на основе этих систем аксиом, совпадают, т.е. Т ( )=Т( ) [12]. В примере 2 система аксиом групп и система аксиом абелевых групп 1- не эквивалентны, так как Т( ) ≠ Т( 1). Примером эквивалентных систем аксиом являются система аксиом Атанасяна и система аксиом Погорелова школьного курса геометрии, так как они определяют одну аксиоматическую теорию – евклидову геометрию. Классификация математических структур: алгебраические, топологические, структуры порядка. Приведем примеры каждой из них: Пример 3. Структура группы S = (G, ∙) + Σ1−3 определяется заданием одного базисного множества G, одной бинарной операции «∙» и системы аксиом Σ1−3: 1. Для ∀ a, b, c ∈ G : (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) (ассоциативность). 2. Для ∀ a ∈ G, ∃e ∈ G : a ∙ e = a (существование единичного элемента). 3. Для ∀ a ∈ G, ∃a −1 ∈ G : a∙a −1 = e (существование обратного элемента). Если к аксиомам 1–3 добавить аксиому коммутативности 4. Для ∀ a, b ∈ G : a ∙ b = b ∙ a, то получим структуру абелевой (коммутативной) группы, а если вместо аксиомы 4 взять ее отрицание 4 ∗ . ∃ a, b ∈ G : a ∙ b ≠ b ∙ a, то получим структуру неабелевой (некоммутативной) группы.

- 13 - Если на множестве G можно ввести бинарную операцию так, что она будет обладать свойствами 1–3, то говорят, что G допускает структуру группы или просто, что G является группой. Например, множество действительных чисел R относительно операции сложения является абелевой группой, множество положительных действительных чисел R+ относительно операции умножения также является абелевой группой, множество невырожденных квадратных матриц относительно операции умножения является неабелевой (некоммутативной) группой. Пример 4. Топологическая структура S = (X, τ ) определяется за- данием одного базисного множества X — топологического пространства, топологии τ — семейства подмножеств пространства X, которые называются открытыми множествами в X, и системы аксиом Σ1−3: 1. ∅, X ∈ τ — пустое множество и все X открыты. 2. Если Gα ∈ τ , то ∪αGα ∈ τ — объединение любого числа открытых множеств открыто. 3. Если Gi ∈ τ , то ∩iGi ∈ τ — пересечение конечного числа от- крытых множеств открыто. Если на множестве X можно выделить семейство подмножеств τ , обладающее свойствами 1–3, то говорят, что X допускает топологическую структуру. Например, множество действительных чисел R допускает естественную топологическую структуру, если открытыми множествами объявить ∅, R, интервалы (a, b) = {x|a < x < b} и всевозможные их объединения. Пример 5. Структура порядка S = (M, ≤) определяется заданием одного базисного множества M и одного бинарного отношения «≤» — отношения предшествования (меньше или равно) и системы аксиом Σ1−3: 1. Для ∀a ∈ M : a≤a. 2. Если a ≤b и b ≤ a, то a = b, ∀a, b ∈ M. 3. Если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c, ∀a, b, c ∈ M.

- 14 - Если на множестве M определено отношение «≤», удовлетворяющее аксиомам 1 − 3, то множество M называют упорядоченным. Если это отношение определено для любых двух элементов из M, то M называется вполне упорядоченным множеством, а если не для всех пар элементов, то M называется частично упорядоченным. Множество неотрицательных действительных чисел с обычным отношением «≤»: a ≤ b, если b = a+c является вполне упорядоченным множеством, а множество всех подмножеств некоторого множества, упорядоченных по включению, является частично упорядоченным. 1.3. Требования к системе аксиом Существует несколько требований к системе аксиом для построения аксиоматической теории: непротиворечивость независимость полнота Рассмотрим подробно эти требования: Непротиворечивость системы аксиом. Определение 1.5. Система аксиом называется непротиворечивой, если в теории, определяемой системой аксиом не содержится противоречия, т.е. не содержится предложение А и его отрицание . В 20 годы XX века немецкий математик Гѐдель доказал, что можно доказать только относительную непротиворечивость, а доказать непротиворечивость аксиоматической теории средствами самой теории невозможно. Вопрос о непротиворечивости системы аксиом решается с помощью построения модели системы аксиом на базе аксиоматической теории Т , про которую известно, что она непротиворечива. Тогда каждое утверждение теории Т, определяемой системой аксиом , будет некоторым истинным предложением в теории T , но поскольку мы

- 15 - предположили, что T – непротиворечива, то в теории T не должно быть двух предложений отрицающих друг друга, но тогда их нет и в теории Т. Таким образом, для доказательства непротиворечивости системы аксиом нужно построить ее модель. Замечание. В примерах 1 и 2 были построены модели системы аксиом группы и системы аксиом векторного пространства. Значит, указанные системы аксиом – непротиворечивы. Независимость системы аксиом. Определение 1.6. Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не зависит от остальных аксиом, т.е. не может быть доказана как теорема с помощью других аксиом данной системы аксиом. Пусть дана непротиворечивая система аксиом ={α1, α2,…, αr ,α}, и пусть аксиома α зависима от остальных аксиом системы. Рассмотрим систему аксиом = \{α} и теории Т( ) и Т( ), определяемые системами аксиом и соответственно. Эти теории совпадают. Действительно, и отличаются только аксиомой α, но утверждение α входит в Т( ) как аксиома, а в теорию Т( ) как теорема (по предположению α зависит от остальных аксиом ). Итак, Т( )=Т( ) Рассмотрим теперь систему аксиом * = \{α} { } или * = { }. Теория Т( * ) – противоречива, так как утверждение α є Т( * ) как теорема, а утверждение (отрицание α) входит в Т( * ) как аксиома, тогда система аксиом * – противоречивая система аксиом, и у нее нет модели. Следовательно, чтобы доказать, что аксиома α системы аксиом не зависит от остальных аксиом этой системы, достаточно построить модель, в которой выполняются все аксиомы системы кроме аксиомы α, а вместо α выполняется ее отрицание . Пример 6. Рассмотрим систему аксиом абелевой группы:

- 16 - ={ , , , , } Нетрудно убедиться, что аксиома коммутативности α5 не зависит от остальных аксиом системы аксиом . Действительно, система аксиом *={ , , , , }– непротиворечива. : a,b G, ab ba. S* (G, ) * определяет структуру некоммутативной (неабелевой) группы. В качестве модели системы аксиом * можно взять, например, множество невырожденных квадратных матриц второго порядка, по операции умножения матриц это множество является группой, причем некоммутативной. Полнота системы аксиом. Пусть нам дана непротиворечивая система аксиом ∑= { 1,..., r }, описывающая свойства отношений р1, р2, …, рl . Допустим, что существует аксиома α, которая удовлетворяет условию: а) аксиома α не вводит новых отношений; б) она независима от аксиом системы ; в) система аксиом + α – непротиворечива. Такая система аксиом называется неполной. Если же такой аксиомы α не существует, то система аксиом называется полной. Пусть система аксиом – неполная и существует аксиома α, удовлетворяющая указанным выше условиям а), б), в). По условию система аксиом – непротиворечива, а так как α не зависит от остальных аксиом , то непротиворечива и система аксиом . Путь M - интерпретация , M – интерпретация , так как и , то M и M являются также интерпретациями системы аксиом . Но в

- 17 - интерпретации M выполняется α, а в интерпретации M выполняется , следовательно, интерпретации M и M системы аксиом ∑ неизоморфны. Таким образом, если система аксиом – неполная, то для нее существует неизоморфные интерпретации. Следовательно, чтобы доказать полноту данной системы аксиом, достаточно доказать, что все ее интерпретации изоморфны. Пример 7. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства над полем R – полная, так как любые два n-мерных аффинных пространства – изоморфны. Пример 8. Система аксиом ∑= { 1- 4 },, определяющая структуру группы – неполная, так как позволяет добавить аксиому 5 (аксиому коммутативности), удовлетворяющую всем условиям а), б), в). а) 5 не вводит новых отношений; б) 5 не зависит от 1- 4 (см. Пример 6); в) система аксиом 1- 5 - непротиворечива, так как определяет структуру абелевой группы. Если система аксиом , определяющая структуру рода Т – полная, то теория Г(Т) – называется однозначной (геометрия пространств An, En – однозначные теории). Если – неполная система аксиом, то теория, ею определяемая, – многозначная, например, теория групп [12]. В выпускной квалификационной работе мы исследуем проблему двух классических систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии.

- 18 - Глава 2. СИСТЕМА АКСИОМ Д.ГИЛЬБЕРТА ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ Работы по аксиоматическому построению геометрии были опубликованы в конце XIX в.. В 1882 году произвелось первое крупное достижением в этой области – это исследования Паша «Лекции по новой геометрии». Однако классической работой в этой области является сочинение Давида Гильберта «Основание геометрии», вышедшей в 1899 г. В своей работе Гильберт излагает полную систему аксиом евклидовой геометрии, разбив ее естественным образом на пять групп аксиом, что дало возможность развивать геометрию отдельных групп аксиом. В системе аксиом Гильберта основными объектами являются: точки; прямые; плоскости. Данные объекты могут находиться друг к другу в известных отношениях, которые выражаются словами: принадлежит, между, конгруентность. Эти отношения должны удовлетворять требованиям, перечисленным в аксиомах. Основными отношениями аксиоматики Гильберта являются: p1 — отношение принадлежности точки прямой; p2 — отношение принадлежности точки плоскости; p3 — отношение «лежать между» для трех точек; p4 — отношение конгруэнтности отрезка отрезку; p5 — отношение конгруэнтности угла углу. Природа основных объектов и основных отношений между ними может быть какой угодно. Все остальные понятия вводятся посредством прямых определений, теоремы доказываются на основе аксиом. Множество всех точек, прямых и плоскостей образуют пространство, в котором находятся и другие геометрические объекты. Все аксиомы разбиты на пять групп. Первая группа содержит восемь аксиом соединения (принадлежности). Вторая группа

- 19 - содержит четыре аксиомы порядка. Третья группа содержит пять аксиом конгруентности (равенства). Четвертая группа содержит две аксиомы непрерывности. Пятая группа содержит одну аксиому параллельности. Таким образом, двадцать аксиом указанных пяти групп образуют систему аксиом Гильберта ΣГ . Эта система аксиом определяет математическую структуру S = (M1, M2, M3, p1, p2, p3, p4, p5) + ΣГ, где M1 — множество точек, M2 — множество прямых, M3 — множество плоскостей. 2.1. Аксиомы принадлежности Аксиомы этой группы характеризует бинарные отношения р1, р2 инцидентности (синонимы – принадлежности, лежать на, проходить через) соответственно точек и прямых, а также точек и плоскостей. I1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, инцидентная этим точкам (рис. 2.1). I2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, инцидентная им. I3. На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки, инцидентные прямой. Существует, по крайней мере, три точки А, В и С, не инцидентные прямой (рис. 2.2). I4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не инцидентные одной прямой, существует плоскость , им инцидентную (рис. 2.3). На каждой плоскости хотя бы одна точка инцидентна ей (рис. 2.4). рис. 2. 3 рис. 2. 4 рис. 2. 1 рис. 2. 2

- 20 - I5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не инцидентные прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этой плоскости. I6. Если две точки А и В прямой а инцидентны плоскости , то каждая точка прямой а инцидентна плоскости (рис. 2.5). I7. Если две плоскости и имеют общую точку А , то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку В (рис. 2.6). I8. Существуют, по крайней мере, четыре точки не инцидентные одной плоскости (рис. 2.7). Рассмотрев эти аксиомы можем вывести ряд утверждений, которые будут составлять геометрию первой группы аксиом. Приведем некоторые из них. Утверждение 1. Две различные точки определяют одну и только одну прямую, им инцидентную в «смысле» правила р1. Утверждение 2. Три точки, не инцидентные в «смысле» правила р1 одной прямой, определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную по правилу р2. Утверждение 3. Прямая а и не инцидентная ей точка А определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную. Утверждение 4. Для каждой плоскости можно найти по крайней мере три точки, не инцидентные прямой. Теорема 2.1. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. Доказательство. Пусть дана плоскость α. По аксиоме I4 плоскость α содержит некоторую точку A. По аксиоме I8 существует точка B, не лежащая в плоскости. По аксиоме I3 имеется точка C, не лежащая на прямой AB. Плоскость ABC и плоскость α имеют общую точку A. Из аксиомы I7 следует, что эти плоскости имеют еще общую точку D. По аксиоме I8 существует точка рис. 2. 6 рис. 2. 5 рис. 2. 7

- 21 - E, не лежащая в плоскости ABCD. Снова по аксиоме I7 плоскость α и ABE кроме общей точки A имеют еще общую точку F, и F не принадлежит AD, иначе плоскости ABF и ABD совпадают. Итак A, D, F принадлежат α (рис. 2.8). рис. 2. 8 2.2. Аксиомы порядка Вторая труппа аксиом описывает основные свойства неопределяемого отношения «лежать между», относящееся к любым трем различным точкам, инцидентным прямой. Эта группа состоит из четырех аксиом. II1. Если точка В лежит между точками А и С, то: а)А, В, С - различные точки одной прямой; б)В лежит также между С и А. II2. Для любых двух точек А и С инцидентных прямой существует, по крайней мере, одна точка В такая, что точка С лежит между точками А и В. (аксиома неограниченного продолжения прямой) II3. Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими. Приведенные аксиомы называются линейными аксиомами порядка. Совокупность двух точек А и В и вcex точек, которые обладают свойством р3 быть между точками А и В, называется отрезком. Точки, лежащие между А и В, называются точками отрезка. Совокупность трех точек А, В, С, не принадлежащих прямой, и трех отрезков, образованных парами этих точек, называется треугольником; точки А, В, С называются вершинами этого треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС – сторонами треугольника. Прямая а называется пересекающейся с отрезком АС, если существует точка О отрезка АС, инцидентная прямой а. Отношение

- 22 - «лежать между» мы будем в дальнейшем обозначать звездочкой, поставленной над буквой, обозначающей точку, которая лежит между двумя другими. II4. Аксиома Паша. Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В. С. Тогда если прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точек отрезка АС или через точку отрезка ВС (рис. 2.9). В геометрии первых двух групп аксиом будут справедливы следующие утверждения: Утверждение 5. Каждый отрезок имеет по крайней мере одну точку. Утверждение 6. За каждой точкой на прямой нет непосредственно следующей. Утверждение 7. Из трех различных точек, инцидентных, прямой одна и только одна обладает свойством лежать между оставшимся двумя другими. Теорема 2.2. Между любыми двумя точками существует по крайней мере одна точка. Доказательство. Пусть A и B — две точки прямой AB. Согласно аксиоме I3 вне прямой AB существует некоторая точка C, а в силу аксиомы II3 на прямой AC существует точка D такая, что C лежит между A и D (рис 10). В силу той же аксиомы на прямой DB су- ществует точка E такая, что B лежит между D и E. Прямая CE в силу аксиомы Паша пересечет AB в некоторой точке F. Точка F — искомая точка (рис. 2.10). Таким образом, из аксимы II2 и теоремы 2 следует, что существуют как внешние точки отрезка, так и внутренние точки. Согласно аксиоме II3 из трех рис. 2. 9 рис. 2. 10

- 23 - точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. Теорема 2.3. Среди любых трех точек прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими. Имеет место также следующая теорема. Теорема 2.4. Пусть A, B, C, D — четыре точки прямой. Если B лежит на отрезке AC и C лежат на отрезке BD, то точки B и C лежат на отрезке AD. Аналогично, если C лежит на отрезке AD, и B — на отрезке AC, то B лежит на отрезке AD, а C — на отрезке BD. Применяя теорему 2 и теорему 4, будет иметь место следующей теоремы. Теорема 2.5. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других точек. Если точки C и D лежат между точками A и B, то все точки отрезка CD принадлежат отрезку AB. В этом случае говорят, что отрезок CD принадлежит отрезку AB. Если точка C лежит между точками A и B, то отрезки AC и CB принадлежат AB. Пусть O - некоторая точка прямой a, A и B - две другие точки этой прямой. Если точка O лежит между точками A и B, то говорят, что точки A и B расположены по разные стороны от точки O; если O не лежит между точками A и B, то говорят, что точки A и B лежат по одну сторону от точки O. Теорема 2.6. Любая точка O прямой a разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от точки O, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от точки O. Чтобы установить справедливость этого утверждения, надо взять на прямой a произвольную точку A, отличную от O, и отнести в один класс все точки, которые будут лежать с точкой A по одну сторону от точки O, а во второй класс - все точки, лежащие с точкой A по разные стороны от точки O.

- 24 - Говорят, что точка O прямой вместе с некоторой другой точкой A этой прямой определяет на ней полупрямую или луч OA; точки, лежащие с той же стороны от O, что и точка A, называются точками полупрямой OA, а точка O — началом этой полупрямой, точка B прямой a, лежащая с другой стороны от точки O, определяет вторую полупрямую (луч). Полупрямые OA и OB называются дополнительными. Таким образом, точка O на прямой a определяет на этой пря- мой две полупрямые с общим началом O. Теперь можно установить линейный порядок точек на прямой, введя понятие «предшествовать» для любых двух точек прямой, следующим образом (рис. 2.11). Пусть a — произвольная прямая и O — любая точка на этой прямой. Рассмотрим одну из двух полупрямых с общим началом O. Пусть A1 и B1 — точки на этой (первой) полупрямой. Будем говорить, что точка A1 предшествует точке B1 на прямой a, если B1 лежит между O и A1. Пусть точки A2 и B2 лежат на второй полупрямой, тогда точка A2 предшествует точке B2 на прямой a, если A2 лежит между O и B2. Все точки первой полупрямой предшествуют всем точкам второй полупрямой. Точка O предшествует всем точкам второй полупрямой. Если мы поменяем местами первую и вторую полупрямые, то получим новый порядок, обратный первоначальному. Выбирая один из этих порядков, мы определяем на прямой направление (иногда на рисунке ставится стрелочка, и говорят о направленной прямой). рис. 2. 11

- 25 - Аксиома Паша вместе с другими аксиомами и уже доказанными утверждениями позволяет указать некоторые особенности расположения точек на плоскости и в пространстве. А именно справедлива следующая теорема. Теорема 7. Каждая прямая a, расположенная в плоскости α, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два непустые класса так, что любые две точки A и B из разных классов определяют отрезок AB, содержащий точку прямой a, а любые две точки A и A' из одного класса определяют отрезок AA', внутри которого нет точек прямой a. Действительно, возьмем точку P, не лежащую на прямой a, и отнесем в первый класс точку P и все точки A такие, что отрезок AP не содержит точки прямой a. Во второй класс отнесем все точки B, не лежащие на прямой a, такие, что отрезок P B содержит точку прямой a (пересекает прямую a). Нетрудно теперь доказать, что определенные так два класса точек удовлетворяют требованиям теоремы. Говорят что точки A и A' лежат по одну сторону от прямой a, а точки A и B лежат по разные стороны от прямой a (рис. 2.12). Точки одного класса вместе с прямой a определяют полуплоскость. Прямая a является общей границей обеих полуплоскостей. Аналогичная теорема имеет место и для точек пространства. Теорема 2.8. Каждая плоскость α разделяет не лежащие на ней точки пространства на два непустых класса так, что любые две точки A и B из разных классов определяют отрезок AB, внутри которого лежат точки плоскости α, а любые две точки A и А' определяют отрезок AА', внутри которого нет точек плоскости α. Говорят, что точки A и А' лежат в пространстве по одну сторону от плоскости α, а точки A и B — по разные стороны от плоскости α. рис. 2. 12

- 26 - 2.3. Аксиомы конгруэнтности Основное назначение аксиом этой группы состоит в том, чтобы описать бинарные отношения конгруэнтности р4 отрезка отрезку и конгруэнтности р5 угла углу. III1. Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой a , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку B , что АВ = A B . Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА'(рис. 2.13). III2. Если A B AB и A B AB, то A B A B . III3. Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть AB и BC - два отрезка на той же или другой прямой a , тоже не имеющие общих точек. Если AB A B и BC B C , то AC A C . Следующая аксиома обеспечивает возможность откладывания угла, равного данному. При этом углом называется совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на двух разных прямых. Общее начало лучей называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла. Говорят, что угол отложен от данного луча в заданную от него полуплоскость, если второй его луч имеет то же начало и лежит в заданной полуплоскости. Угол, определяемый вершиной O и сторонами h и k, обозначается так: ∠hOk или ∠AOB. Пусть h'— полупрямая, дополняющая h до прямой a, а k'— полупрямая, дополняющая k до прямой b. Плоскость, содержащая прямые a и b, разбивается прямой a на две полуплоскости α1 и α2. Прямая b ту же плоскость разбивает также на две полуплоскости β1 и β2. Пусть α1 — та полуплоскость, которая содержит сторону k угла hOk, а β1 — полуплоскость, содержащая сторону h. Пересечение этих полуплоскостей называют также углом (плоским углом). При таком определении угол является «частью плоскости». Точки рис. 2. 13

- 27 - плоского угла, не принадлежащие сторонам угла, определяют внутреннюю область угла. Все остальные точки, не принадлежащие углу, определяют внешнюю область угла (рис. 2.14). рис. 2. 14 III4. От каждого луча в заданную от него полуплоскость можно отложить угол, равный данному, и притом только один. Каждый угол равен самому себе. III5. Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и A B C , , - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом AB A B AC A C , и BAC B A C , то ABC A B C и ACB A C B (рис. 2.15). рис. 2. 15 Определение 2.1. Два треугольника считаются равными, если между их вершинами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что соответствующие стороны и соответствующие углы равны. Запись ∆ABC =∆ A'B'C' означает, что вершины A и A' , B и B' , C и C 'соответствуют друг другу и справедливы равенства AB = A'B' , BC = B'C', AC = A'C', ∠A = ∠A' , ∠B = ∠B' , ∠C = ∠C'.

- 28 - Теорема 2.9 (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2.16). Дано: ∆ABC и ∆ A'B'C', AB = AB', AC = A'C', ∠A = ∠A' . Доказать: ∆ABC =∆ A'B'C'. Доказательство. ∠B = ∠B' и ∠C = ∠C'(по аксиоме III5 ). Таким образом, необходимо доказать, что BC = B'C'. Докажем методом от противного. Предположим, что BC ≠B'C'. На луче B'C' от точки B' отложим отрезок B'C'', равный BC. Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆A'B'C''. Так как AB = A'B' , BC = B'C'' и ∠B = ∠B' , то ∠B'A'C''= ∠BAC(по аксиоме III5 ), по условию ∠B'A'C''= ∠BAC, а это противоречит требованию единственности откладывания угла, равного данному (аксиома III4), следовательно BC=B'C' . Теорема 2.10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Дано: ∆ABC , AC = BC. Доказать: ∠A = ∠B. Доказательство. Построим отрезок CD - биссектрису угла ∠C, очевидно, ∆ADC = ∆BDC (первый признак равенства треугольников). Следовательно ∠A = ∠B. Следствие. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 2.11 (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2.17). Дано: ∆ABC и ∆A'B'C', AB = рис. 2. 16 рис. 2. 17

- 29 - A'B' , ∠A = ∠A' , ∠B = ∠B' . Доказать: ∆ABC = ∆A'B'C'. Доказательство. Докажем, что AC = A'C', методом от противного, пусть AC ≠A'C'. На луче A'C' от точки A' отложим отрезок A'C''= AC; ∆A'B'C''= ∆ABC (первый признак равенства треугольников). Поэтому ∠A'B'C''= ∠ABC. Но по условию ∠A'B'C'= ∠ABC — получается противоречие с единственностью откладывания угла, равного данному (аксиома III4). Теорема 2.12 (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2.18). Дано: ∆ABC и ∆A'B'C', BC = B'C', AB = A'B', AC = A'C'. Доказать: ∆ABC = ∆A'B'C'. Доказательство. От луча AB в ту полуплоскость от него, где не лежит точка C, отложим угол, равный ∠B'A'C', и на полученной стороне отложим отрезок AC'' = A'C', значит ∆ABC'' = ∆A'B'C' (первый признак равенства треугольников). Затем докажем, что ∆ABC = ∆ABC'', из этого следует наше утверждение (∆ABC = ∆A'B'C'). Действительно, AC = A'C', поэтому треугольник ∆ACC'' — равнобедренный и следовательно ∠1 = ∠2. Аналогично ∠3 = ∠4. Следовательно, ∠C = ∠C'' и ∆ABC = ∆ABC'' (первый признак равенства треугольников) Определение 2.2. Смежные углы — два угла имеющие общую Вершину и одну общую сторону. Две другие стороны составляют продолжение одна другой и образуют прямую линию (рис. 2.19). рис. 2. 18

- 30 - рис. 2. 19 Определение 2.3. Вертикальные углы - два угла, имеющие общую вершину, а стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла. Определение 2.4. Прямыми углами называются смежные углы, которые равны между собой. Утверждение 8. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. Утверждение 9. Вертикальные углы равны. Утверждение 10. Все прямые углы равны между собой. Определение 2.5. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла (рис. 2.20). Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: a ⊥ b. Утверждение 11. Из любой точки можно опустить на данную прямую один и только один перпендикуляр. Утверждение 12. Из каждой точки на прямой можно восстано- вить к этой прямой единственный перпендикуляр. Утверждение 13. Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются. Определим сравнение отрезков и углов на основе аксиом первых трех групп: «больше», «меньше». Говорят, что отрезок AB больше отрезка A'B' (AB > A'B' ) или отрезок A'B' меньше отрезка AB (A'B' < AB), если на отрезке AB рис. 2. 20 рис. 2. 21

- 31 - существует точка C такая, что AC равен отрезку A'B' (рис. 2.21). Говорят, что угол ∠AOB больше угла ∠A'O'B' (в стандартных обозначениях ∠AOB > ∠A'O'B' ) или угол ∠A'O'B' меньше угла ∠AOB (в стандартных обозначениях ∠AOB < ∠A'O'0B'), если существует луч OC, лежащий внутри угла ∠AOB (принадлежащий его внутренней области) такой, что угол ∠AOC равен углу ∠A'O'0B' (рис. 2.22). Утверждение 14. Угол, меньше прямого угла, называется острым, а больше прямого - тупым. Утверждение 15. Для двух произвольных отрезков AB и CD всегда выполняется только одно из следующих соотношений: AB = CD, AB > CD, AB < CD. Утверждение 16. Если AB < A'B' , A'B' < A''B'', то AB < A''B'' . Утверждение 17. Если отрезок CD является частью отрезка AB, то CD < AB. Аналогичные утверждения имеют место и для углов. Утверждение 18. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Утверждение 19. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. Утверждение 20. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и обратно. Утверждение 22. Перпендикуляр короче наклонной. На основе аксиом первых трех групп, можно ввести понятие движения (наложения), как преобразование точек плоскости, переводящее любой отрезок в отрезок, равный данному. Однако можно исключить из основных понятий равенство отрезков и углов, приняв за основное понятие наложения, а вместо рис. 2. 22

- 32 - аксиом третьей группы потребовать выполнение следующих аксиом наложения: 1. Наложение сопоставляет каждой точке точку, переводя прямую в прямую, сохраняя при этом отношение «лежать между» для трех точек прямой. 2. Два последовательных наложения дают в результате наложение и для всякого наложения найдется обратное ему наложение. Совокупность Φ = (A, h, α) точки A, луча h с началом в этой точке и полуплоскости α, ограниченной прямой, содержащей луч h, называется флагом. 3. Для любых двух флагов Φ = (A, h, α) и Φ'= (A' , h' , α' ) существует единственное наложение, переводящее флаг Φ в флаг Φ'. Наложение флагов Аксиомы 1 и 2 по существу утверждают, что наложения — это преобразования плоскости, переводящие прямые в прямые, отрезки в отрезки и образующие группу (рис. 2.23). рис. 2. 23 Два отрезка называются равными, если существует наложение, переводящее один отрезок в другой (если их можно совместить наложением). Аналогично определяется равенство углов и других фигур. Используя аксиомы наложения, нетрудно убедиться в справедливости утверждений, перечисленных в третьей группе аксиом. Замечание. У Евклида наложение фигур принято в качестве наглядно ясного понятия, которое не обосновано никакими аксиомами. Совмещающиеся при наложении фигуры считаются равными. Следуя Евклиду, в некоторых школьных учебниках равенство фигур также определяют с помощью наложения, а признаки равенства тре- угольников доказывают, накладывая один треугольник на другой.

- 33 - 2.4. Аксиомы непрерывности В «Основаниях геометрии» Гильберта четвертая группа аксиом состоит из одной известной аксиомы параллельных Евклида, а пятая содержит две аксиомы непрерывности: аксиому Архимеда и аксиому линейной полноты. В большинстве учебников по основаниям геометрии четвертая и пятая группы аксиом меняются местами. Такой порядок перечисления аксиом удобен при изложении проблемы V постулата Евклида и геометрии Лобачевского (геометрия первых четырех групп аксиом — абсолютная геометрия, является общей частью евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского). Кроме того, аксиома линейной полноты заменяется более естественной аксиомой Кантора о вложенных отрезках, явно утверждающей, что пря- мая непрерывна. Таким образом, четвертая группа аксиом содержит следующие две аксиомы. IV1. (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечное число точек 1 2 , ,..., A A A n , расположенных так, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между А1, и А3 и т.д., отрезки 1 1 2 1 , ,..., AA A A A A n n равны отрезку СD и точка В лежит между А и Ап (рис. 2.24) IV2. (аксиома Кантора) Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательность отрезков 1 1 2 2 A B A B , ,..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого AB n n меньше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка Х, лежащая внутри всех отрезков 1 1 2 2 A B A B , ,... (рис. 2.25) рис. 2. 25 рис. 2. 24

- 34 - Из этой аксиомы сразу следует, что точка X — единственная. Действительно, если на прямой a существует еще одна точка Y , принадлежащая всем отрезкам последовательности, то отрезок AnBn при любом n больше отрезка XY , что исключается условием аксиомы. Аксиома Кантора утверждает тот факт, что прямая является непрерывной (связной), так как если бы такой точки X не существовало, то в этом месте был бы «разрыв» прямой, она не была бы «сплошной». Замечание. Аксиома Кантора о вложенных отрезках IV2 эквивалентна аксиоме линейной полноты, которую можно сформулировать следующим образом. IV' 2 (аксиома линейной полноты). Точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы конгруэнтности и аксиомы Архимеда (I1−2, II1−3, III1, IV1) не допускает никакого расширения, т. е. к этой системе точек невозможно прибавить еще точки так, чтобы в системе, образованной первоначальными и добавленными точками, выполнялись все приведенные выше аксиомы. С помощью этой аксиомы доказывается «теорема полноты»: точки, прямые и плоскости образуют систему, которая при выполнении аксиом соединения и порядка, первой аксиомы конгруэнтности и аксиомы Архимеда не допускает никакого расширения за счет новых точек, прямых и плоскостей. Пусть каждому отрезку соответствует некоторое положительное число так, что выполняются следующие условия: 1. Равным отрезкам соответствуют равные числа. 2. Если точка B лежит между точками A и C и отрезкам AB и BC соответствуют числа a и b, то отрезку AC соответствует число a + b. 3. Некоторому отрезку P Q соответствует число 1. Тогда число, соответствующее отрезку, называется длиной этого отрезка, а отрезок PQ называется единицей измерения. Привлекая аксиому Архимеда, используя процесс измерения одного отрезка другим, можно доказать, что длина отрезка существует и единственна, т. е. при фиксированном единичном отрезке PQ каждому отрезку AB можно сопоставить положительное число a

- 35 - так, что условия 1–3 выполняются и что иного сопоставления чисел отрезкам с соблюдением условий 1–3 нет. Однако из аксиом I − III и IV1 не следует, что длины отрезков исчерпывают все вещественные числа, и, только привлекая аксиому Кантора IV2, можно доказать, что каково бы ни было вещественное число a > 0, существует отрезок AB, длина которого равна a. Теперь можно ввести систему координат на прямой следующим образом. Пусть a - произвольная прямая. Выберем на ней какую-нибудь точку O. Точка O разбивает прямую a на две полупрямые. Одну из этих полупрямых назовем положительной, а вторую отрицательной. На положительной полупрямой возьмем точку E. Точки O и E задают систему координат на прямой a. Точку O называют началом координат, а E -единичной точкой. Действительно, каждой точке M на этой прямой поставим в соответствие число x следующим образом: точке O поставим в соответствие число x = 0, точке E - число x = 1, т. е. отрезок OE считаем единичным отрезком; если M лежит на положительной полупрямой, то полагаем x равным длине отрезка OM: x = |OM|; если M лежит на отрицательной полупрямой, то полагаем x = -|OM|. Таким образом, каждой точке M прямой a поставлено в соответствие число x - ее координата. Обратно, если дано число x, то ему соответствует определенная точка M на прямой a с координатой x. Если x = 0, то это точка O, если x > 0, то на положительной полупрямой от точки O откладываем отрезок OM такой, что |OM| = x, если x < 0, то M берем на отрицательной полупрямой такую, что x = −|OM|. Таким образом, между точками прямой и вещественными чис- лами устанавливается взаимно-однозначное соответствие, при этом порядок чисел соответствует порядку точек, т. е. если B лежит между A и C, то ее координата b заключена между координатами a и c точек A и C. Если, например, a < c, то сказанное означает, что a < b < c (рис. 2.26). рис. 2. 26

- 36 - Имея координаты на прямой, можно ввести хорошо известным естественным способом прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. В анализе хорошо известно предложение, выражающее принцип Дедекинда во множестве вещественных чисел R. Если все вещественные числа разбиты на два класса так, что каждое число относится только к одному классу и каждый класс не пуст, кроме того, каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса, то либо в первом классе существует наибольшее число, либо во втором - наименьшее. Так как система координат на прямой устанавливает взаимнооднозначное соответствие между упорядоченным множеством точек прямой и упорядоченным множеством вещественных чисел, при этом сответсвующие элементы находятся в одинаковых отношениях порядка, то из принципа Дедекинда для вещественных чисел следует принцип Дедекинда для точек прямой. Если все точки прямой разбиты на два класса так, что каждая точка пинадлежит только одному классу и каждый класс не пуст, каждая точка первого класса предшествует каждой точке второго класса, то либо в первом классе существует точка, которой предшествуют все остальные точки первого класса (последняя точка первого класса), либо во втором классе существует точка, которая предшествует всем остальным точкам второго класса (первая точка второго класса). Говорят, что эта точка определяет дедекиндово сечение прямой. Оказывается, что если к аксиомам групп I–III присоеденить принцип Дедекинда, то предложения Архимеда IV1 и Кантора IV2 можно доказать. Таким образом, эти две аксиомы эквивалентны принципу Дедекинда для прямой.

- 37 - 2.5. Аксиома параллельности Пятая группа системы аксиом Гильберта содержит одну аксиому, эквивалентная пятому постулату Евклида. Параллельными прямыми будем называть прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Пусть α — некоторая плоскость, a — некоторая прямая в плоскости α, а A — точка в этой же плоскости, не принадлежащая прямой a. Проведем в плоскости α через точку A сначала прямую c, перпендикулярную прямой a, а затем прямую b, перпендикулярную прямой c. Прямые a и b параллельны (a || b), так как два перпендикуляра, проведенные к одной прямой, не пересекаются в силу теоремы о единственности перпендикуляра. Поэтому через точку A, лежащую вне прямой a, всегда можно провести прямую b, параллельную прямой a. Аксиома о параллельных прямых формулируется следующим образом (рис. 2.27). рис. 2. 27 V. Пусть даны прямая а и точка A, вне данной прямой. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а. Таким образом, через точку проходит единственная прямая, параллельная данной. Сформулируем некоторые утверждения: Утверждение 23. Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то полученные при этом внутренние накрест лежащие углы равны. Утверждение 24. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Располагая аксиомой параллельных, теорией площадей, подобия фигур и, в частности, теоремой Пифагора, нетрудно доказать, что расстояние между

- 38 - двумя точками M1( ) и M2( ) евклидова пространства в любой прямоугольной декартовой системе координат определяется известной формулой ρ(M1, M2) = p − ) 2 + ( − ) 2 + ( ) − ) 2 , плоскость — уравнением первой степени Ax + By + Cz + D = 0 После изложения аксиом Гильберта проблема V постулата Евклида формулируется следующим образом. Аксиому параллельности нельзя вывести из численных в группах I–IV системы аксиом Гильберта, она является независимым предположением, что привело к открытию другой, неевклидовой геометрии — геометрии Лобачевского.Система аксиом геометрии Лобачевского состоит из аксиом I–IV групп системы аксиом Гильберта и предложения V∗ , отрицающего аксиому V. Предложение V∗ в этой геометрии называют аксиомой параллельных Лобачевского, утверждающей, что через точку вне данной прямой в плоскости этой прямой проходит по меньшей мере две прямые, не пересекающие данную прямую. Совокупность следствий, вытекающих только лишь из аксиом групп I–IV, называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью и геометрии Евклида, и геометрии Лобачевского. Не используя аксиомы V и V∗ , можно сформулировать следующие утверждение. Утверждение 25. Сумма углов в треугольнике не может быть больше двух прямых углов.

- 39 - Глава 3. СИСТЕМА АКСИОМ Г.ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ Вслед за системой аксиом Гильберта евклидовой геометрии, немецкий математик Г.Вейля в 1918г предложил точечно-векторную аксиоматику евклидовой геометрии. Основными объектами этой аксиоматики являются: точки; векторы. Аксиоматика Вейля более простая, чем аксиоматика Гильберта, но в отличие от последней не является замкнутой. В ней предпологается известным понятие вещественного числа, т. е. при изложении аксиом поле действительных чисел R считается данным. Основые отношения p1, p2, p3, p4 в системе аксиом Вейля определяются основными операциями: р1- «сложение векторов», р2-«умножение вектора на число», р3-«скалярное умножение векторов», р4- «откладывание вектора от точки». Все аксимы Вейля разделяются на пять групп. Первая группа содержит четыре аксиомы, в которых перечисляются основные свойства операции сложения векторов. Вторая группа содержит четыре аксиомы, описывающие основные свойства операции умножения вектора на число. Третья группа состоит из двух аксиом размерности. В четвертой группе (4 аксиомы) перечисляются основные свойства скалярного произведения вектров. В трех последних аксиомах постулируются основные свойства операции откладывания вектора от точки. Таким образом, система аксиом Вейля ΣB определяет математическую структуру S = (Т, V, p1, p2, p3, p4) + ΣB, где Т — множество точек; V — множество векторов.

- 40 - 3.1. Аксиомы сложения векторов Первая группа аксиом описывает отображение которое называется операцией сложения векторов, оно позволяет поставить в соответствие любым двум векторам и третий вектор называемый суммой векторов и , и обозначаемый символом . Операция сложения векторов удовлетворяет следующим aкcиoмaм: I1. Сложение векторов коммутативно: для любых двух векторов и справедливо равенство т.е. I2. Сложение векторов ассоциативно: для любых трех векторов справедливо равенство I3. Существует такой вектор , что для любого вектора т.е. I4. Для любого вектора существует такой вектор , что т.е. . Вектор называется нулевым, а – вектором, противоположным вектору и обозначается

- 41 - 3.2. Аксиомы умножения вектора на действительных число Вторая группа аксиом описывает отображение называемое операцией умножения вектора на действительное число. Каждому вектору и числу однозначно сопоставляется вектор ), называемый произведением вектора на число и обозначаемый символом . Операция умножения вектора на действительное число удовлетвoряeт следующим аксиомам: II1. Операция дистрибутивна относительно сложения векторов: для любых векторов , и любого действительного числа справедливо равенство т.е. II2. Операция дистрибутивна относительно сложения чисел: для любого вектора и любых действительных чисел , справедливо равенство т.е. II3. Операция ассоциативна: для любого вектора и любых действительных чисел выполняется равенство т.е. II4. Операция умножения вектора на единицу не изменяет вектора т.е. Аксиомы I—II позволяют определить понятие векторного пространства. Определение: Векторным пространством над полем действительных чисел R называется множество V, для элементов (векторов) которого определены

- 42 - операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число так, что выполняется требования аксиом I-II. Векторное пространство является математической структурой: c базисным множеством V и операциями Напомним понятие изоморфизма векторных пространств V и V'. Определение: Взаимно однозначное отображение векторного пространства V на векторное пространство называется изоморфизмом, если онo переводит сумму любых двух векторов , и произведение вектора на число λ соответственно в сумму и произведение т.e. если для любых векторов , и любого числа Определение: Векторные пространства V и V' называются изоморфными, если существует по крайней мере один изоморфизм V на V'. Из определения изоморфизма следует, что 1) тождественное отображение является изоморфизмом; 2) отображение, обратное изомоpфизмy, является изоморфизмом; 3) если — изоморфизмы, то отображение ◦ пространства V на пространство V" также является изоморфизмом. Следовательно, отношение изоморфизма является отношением эквивалентности (т, е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Для того, что бы перейти к формулировке аксиом размерности, вспомним некоторые понятия из курса алгебры. Система векторов 1, 2,…, к называется линейно независимой, если равенство

- 43 - 1 1+ 2 2+…+ к к= где 1, 2,…, к R , возможно лишь в том случае, когда все 1, 2,…, к равны нулю; в противном случае система 1, 2,…, к линейно зависима. Вектор 1 1+ 2 2+…+ к где 1, 2,…, к R , называется линейной комбинацией векторов 1, 2,…, к Линейная комбинация вида 1+ 2+…+ к (равная нулевому вектору) называется тривиальной; линейная комбинация 1 1+ 2 2+…+ к называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов 1, 2,…, к не равен нулю. B случае линейной зависимости системы векторов система 1, 2,…, нулевой вектор может быть представлен в виде нетривиальной комбинации векторов, в случае же линейной независимости – только в виде тривиальной. 3.3. Аксиомы размерности III1. Существуют три линейно независимых вектора : III2. Любые четыре вектора , линейно зависимы: Аксиомы I—III позволяют ввести понятие трехмерного векторного пространства. Определение: Векторное пространство V называется трехмерным векторным пространством Vз над полем R, если выполняются аксиомы 1-2 размерности. Чтобы получить аксиоматику n-мерногo векторного пространства над полем R, аксиомы 1-2 заменяют на следующие: III1 . Существует n линейно независимых векторов: III2 . Всякая система, содержащая n + 1 вектор, линейно зависима.

- 44 - Множество V, для элементов которого определены операции сложения и умножения их на действительные числа c соблюдением перечисленных выше свойств (аксиом I—III), называется n-мерным вектоpным пространством и обозначается символом Vn. (Элементы пространства Vn называются векторами). Любая система n линейно независимых векторов пространства Vn называется базисом(например, система ). При n = 3 аксиомы 1', 2' cовпадaют c аксиомами III1-2. 3.4. Аксиомы скалярного произведения векторов Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов. Эта операция позволяет любым двум векторам и однозначно отнести действительное число . B дальнейшем скалярное произведение векторов обозначается таким образом: . Перечислим аксиомы скалярного произведения векторов. IV1. Скалярное произведение коммутативно, т.е. для любых двух векторов , выполняется равенство: т.е. IV2. Скалярное произведение векторов линейно: для любых трех вeктopoв и действительных чисел λ, μ выполняется равенство т.е. IV3. если если Аксиомы групп I—IV позволяют ввести понятия евклидова векторного пространства и изоморфизма таких пpocтpaнcтв.

- 45 - Определение 1. Векторное пространство V3 , в котором определена операция скалярного умножения векторов так, что выполняются требования аксиом IV, 1-3, называется евклидовым векторным пространством Vз . Определение 2. Два евклидовых векторных пространства V и V называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение f пространства V на V', сохраняющее операцию скалярнoгo умножения векторов. Определение 3. Если V=V', то отображение f (изоморфизм) называется автоморфизмом пространства V. Отметим, что евклидово векторное пространство является математической структурой: c базисным множеством V и операциями . Определение 4. Длиной вектора называется неотрицательная | |= 2 Определение 5. Углом мeждy векторами называется число (0 ), определяемое из условия cos = Из курса алгебры известно, что для ( V)выполняется неравенство Коши – Буняковского , т.е. 1, а, значит, определение угла между двумя векторами – корректное. В пространстве V3 можно построить ортонормированный базис, т.е. базис , состоящий из попарно ортогональных и единичных векторов: 2 = 2 = 2 =1, =0 Скалярное произведение двух векторов , скалярный квадрат вектора и косинус угла между двумя векторами в ортонормированнoм базисе выражаются соответственно формулами:

- 46 - 1b1+ 2b2+ 3b3, 2 = + , cos = , где 1, 2, 3 — координаты вектора ; b1,b2,b3 — координаты вектора ; в данном базисе. 3.5. Аксиомы откладывания векторов В пятой группе аксиом перечисляются основные свойства отображения : T × V → T, называемого откладыванием вектора от точки, или внешней суммой. Эта операция каждой точке A и вектору ставит в соответствие точку B = A + . Эта операция должна обладать следующими свойствами: V1. (A + ) + = A + ( + ) для ∀A ∈ T и ∀ , ∈ V . V2. A + = A для ∀A ∈ T. V3. Для любых двух точек A, B ∈ T существует единственный вектор такой, что B = A + . О некоторых следствиях из аксиом I—V. Аксиомами групп I—V исчерпывается аксиоматика Вейля. Определяемая этими аксиомами теория теперь может быть построена посредством строгих логических выводов. Докажем некоторые теоремы, непосредственно вытекающие из аксиом I— V. Теорема 1. Любой из векторов (A T) является нулевым вектором пространства V. Действительно, для любых точек A, X T справедливо равенство . Так как может быть любым вектором пространства V, то вектор Теорема 2. . B самом деле, полагая в аксиоме треугольника (V2) C = А, получим:

- 47 - . , т.е. векторы – противоположные. Теорема 3. Если , то точки А и В совпадают. 3.6. Непротиворечивость системы аксиом Вейля Теперь мы можем доказать непротиворечивость системы аксиом Вейля евклидовой геометрии, предположим непротиворечивость теории действительных чисел. Для этого необходимо построить «арифметическую» модель, т. е. интерпретировать основные объекты и основные отношения (операции) системы аксиом Вейля в терминах теории действительных чисел так, чтобы все аксиомы Вейля групп I–V были истинными предложениями теории действительных чисел. Точками евклидова пространства En назовем упорядоченные наборы (кортежи) из n действительных чисел, т. е. в качестве базисного множества T возьмем Rn . Второе базисное множество векторов V отождествим также с Rn , т. е. вектор — это также упорядоченный набор из n действительных чисел. Таким образом, точки и векторы имеют вид A = ( , , . . . , ), B = ( , , . . . , ), C = ( , , . . . , ), . . . , = { , , . . . , }, = { , , . . . , }, = { , , . . . , }, . . . На множестве V = R n естественным образом определяется сложение векторов: { } + { } { + }, (i = 1, . . . , n). Требования, содержащиеся в аксиомах первой группы, являются известными утверждениями арифметики. Умножение вектора на число определим следующим образом: λ{ } {λ }. Требования аксиом первых двух групп I–II также являются известными утверждениями арифметики. Векторы {1, 0, . . . , 0}, {0, 1, . . . , 0}, . . . , {0, 0, . . . , 1} являются естественным базисом векторного пространства Rn , поэтому аксиомы размерности являются истинными утверждениями.

- 48 - Скалярное произведение векторов определяется следующей формулой: { , , . . . , } ∙ { , , . . . , }, } + + . . . + . Определенная таким образом операция скалярного произведения векторов удовлетворяет требованиям четвертой группы аксиом. Далее определяется операция откладывания вектора от точки (внешняя сумма): ( , , . . . , ) + { , , . . . , } ( + , , . . . , ) которая, очевидно, удовлетворяет пятой группе аксиом. Таким образом, система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел (геометрия непроти- воречива, если непротиворечива арифметика). Полнота. Для того чтобы доказать полноту системы аксиом Вейля, необходимо убедиться, что любые ее две модели изоморфны. Пусть мы имеем модели S = (E, V, , , , ) и S'= (E' , V ', , , , ). Выберем в n-мерных пространствах E и E' ортонормированные реперы {O, } и {O' , }. Каждой точке M ∈ E с координатами ( ) в репере { O, } } поставим в соответствие точку M' ∈ E' с теми же координатами ( )), что и у точки M, в репере { O' , }. Очевидно, что построенное отображение f : E → E' является взаимнооднозначным (биекция). Это отображение индуцирует отображение f∗ векторных пространств V и V' следующим образом. Если A A' и B B' , то AB f∗ A'B'. Нетрудно убедиться, что f∗ — изоморфизм евклидовых векторных пространств V и V' (т. е. f∗ сохраняет операции сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения двух векторов и размерность векторного пространства). Таким образом, отображение f порождает изоморфизм любых двух моделей S и S' системы аксиом Вейля ΣB и, следовательно, система аксиом Вейля является полной.

- 49 - Глава 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМ АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА И ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 4.1. Система аксиом Вейля в геометрии Гильберта Покажем эквивалентность систем аксиом Гильберта и Вейля евклидова пространства. Основными объектами в аксиоматике Гильберта являются: точка, прямая и плоскость, а в аксиоматике Вейля: точка и вектор. Пусть геометрия построена на базисе систем аксиом Гильберта. Покажем, что все утверждения системы аксиом Вейля являются теоремами. Определение 4.1. Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются также граничными точками отрезка. На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки к другой и наоборот. Для выбора одного из направлений, одну граничную точку отрезка назовем началом отрезка, а другую – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Таким образом, отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором. Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается (рис. 4.1) или одной маленькой буквой, например . рис. 4. 1 Определение 4.2. Если начало и конец лежат в одной точке, то такой вектор называется нулевым. Определение 4.3. Коллинеарными векторами, называются вектора, лежащие на параллельных одной прямой или лежащие на одной прямой (рис. 4.2). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору[2].

- 50 - рис. 4. 2 Определение 4.4. Длиной вектора называется длина отрезка AB, длина нулевого вектора равно нулю. Определение 4.5. Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и одинаково направлены[2]. Определение 4.6. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны[2]. Аксиомы сложения векторов Пусть даны векторы и . Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор , равный .От точки B отложим вектор равный . Вектор , равный , будем считать суммой векторов (правило треугольника) Теорема 4.1. Для любых векторов , и , принадлежащих V3, выполняется : Доказательство. Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор , равный вектору . От точки В отложим вектор , равный вектору . От точки С отложим вектор , равный вектору (рис. 4.3). Тогда, по правилу треугольника, эти три вектора мы можем сложить двумя разными способами: или , Следовательно выполняется. рис. 4. 3

- 51 - Теорема 4.2. Для любых векторов и , принадлежащих V3, выполняется: . Доказательство. 1. Пусть векторы и не коллинеарны. Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор , равный вектору , и от точек В и A отложим вектора и равные . Тогда ABCD является параллелограммом (по признаку), из это следует, что DC равен отрезку АВ, значит равен (рис. 4.4). По правилу треугольника, с одной стороны, , а, с другой стороны, . Следовательно выполняется. 2. Пусть и — ненулевые коллинеарные векторы. Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор , равный вектору , и от точек В отложим вектора . Возьмем произвольную точку D, не принадлежащую прямой AB (рис. 4.5). Тогда, используя доказанный п. 1, правило треугольника и теорему 1, мы получим равенство: Теорема 4.3. Если к любому вектору прибавить противоположный ему вектор , принадлежащих V3, выполняется: Доказательство. Пусть вектор , тогда . По правилу треугольника: рис. 4. 4 рис. 4. 5