eEFUvCpeCXcp

- 52 - . Теорема 4.4. Для любого нулевого вектора и вектора , принадлежащих V3, выполняется: Доказательство. Пусть вектор , тогда . По правилу треугольника: Аксиомы умножения вектора на действительных число Произведением вектора на действительное число называется такой вектор , что: 1)| |=| || |; 2) вектор сонаправлен с вектором , если ≥ 0, и вектор противоположно направлен с вектором , если < 0. Произведение векторов обозначим так: = Теорема 4.5. Для любых векторов , из V3 и любого действительного числа , выполняется: . Доказательство. Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор равный вектору , — равный вектору . Тогда по правилу треугольника . Возьмем произвольную точку O, не лежащую на прямых AB, BC, AC, и рассмотрим пирамиду с вершиной точке O и продолжим прямые ОВ,ОА,ОС с коэффициентом . При этом точки A, B, C перейдут соответственно в точки A′, B′, C′ (рис. 4.6). Тогда = , = , = . По правилу треугольника , т.е. и , значит . рис. 4. 6

- 53 - Теорема 4.6. Для любого вектора из V3 и любых действительных чисел , выполняется: . Доказательство. Пусть и . Рассмотрим два случая: а) числа и одного знака, т. е. > 0. Возьмем произвольную точку A и отложим от нее вектор равный вектору , — равный вектору . Так как числа и одного знака, то векторы и сонаправлены. А значит, точка В лежит между точками А и С. Тогда по определению произведения вектора на число и свойству модуля суммы чисел одного знака получим: | . С другой стороны, так как точка B лежит между точками A и C, | |=| |=| |+| |=| |= |+ = .Таким образом, |= |. Рассмотрим сонаправленость и . Если > 0 и > 0, то ↑↑ и ↑↑ , т.е. . Если < 0 и < 0, то и , т.е. , значит ; б) числа и разных знаков, т. е. < 0. Если = 0, то и т. е. . Если ≠ 0, то либо числа – , + , либо числа - , + имеют одинаковые знаки, а значит, к ним можно применить п. а). Рассмотрим числа – , + , тогда имеем – ,аналогично для другого случая, т.е. . Теорема 4.7. Для любого вектора из V3 и любых действительных чисел , выполняется: . Доказательство. Обозначим = , , тогда докажем, что .По определению произведения вектора на число докажем, что их длины равны и они сонаправлены:

- 54 - 1.| |=| | | |=| | | | | | и | |=| | | |=| | | | | |, значит их длины равны. 2.Для того, чтобы доказать сонаправленость векторов необходимо рассмотреть 4 случая для : а) ; б) ; в) ; г) . Рассмотрим случай когда :если = ↑↑ ↑↓ , тогда ↑↓ , значит ↑↓ ,так как , ↑↓ , значит ↑↓ , из этого следует ↑↑ . Так как векторы и имеют равные длины и сонаправлены, а значит, равны, теоремы доказаны. Теорема 4.8. Для любого вектора из V3 выполняется: . Доказательств. Пусть = , тогда нам надо доказать, что = .Из определения произведения вектора на число имеем: | |=| | | |=| |.Так как 1>0, следует векторы и сонаправлены, значит = , следовательно . Аксиомы размерности Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведѐнными к общему началу, лежат в одной плоскости. Теорема 4.9. Система векторов линейно независима, если эти вектора некомпланарные. Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию векторов . Предположим, что мы можем представить вектор в виде линейной комбинации векторов пусть , тогда , аналогично можем представить и остальные вектора, следовательно вектора компланарны, что противоречит условию, тогда . Получаем, что если вектора некомплонарны, то система векторов линейно независима.

- 55 - Теорема 4.10. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных. Доказательство. Пусть некомпланарные векторы, докажем, что вектор можно разложить по векторам . Возьмем произвольную точку О и отложим от этой точки вектор Через точку P проведем прямую, параллельную прямой ОС, и обозначим через P1 точку пересечения этой прямой с плоскостью (АОВ), через эту точку проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через D2 точку пересечения этой прямой и прямой ОА (рис. 4.7). По правилу треугольника: . Векторы и , и , и коллинеарные, поэтому существуют числа такие, что = , = , = , тогда получаем: = . Аксиомы скалярного произведения векторов Пусть базис направляющего пространства, то {О, } - система координат. М ( , ) OM = . Определение 4.7. Скалярное произведение векторов вычисляется по следующей формуле: Определение 4.8. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Определение 4.9. Скалярное произведение равных векторов называется скалярным квадратом этого вектора, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. рис. 4. 7

- 56 - Теорема 4.9. Для любых векторов и из V3 выполняется: Доказательство. Рассмотрим вектор , тогда по определению скалярного произведения векторов: Теорема 4.10.Для любых векторов , и из V3 , и действительных чисел λ, μ выполняется равенство: . Доказательство. Обозначим координаты векторов , и следующим образом: По формуле скалярного произведения векторов получаем: , теорема доказана. Теорема 4.11. Для любого вектора из V3 будет верно: Доказательство. Рассмотрим вектор ,из формулы скалярного квадрата = , так как то Аксиомы откладывания векторов Введем необходимые формулы для доказательства аксиом. Формула нахождения координат вектора . Точка А и В имеют следующие координаты: А(А1;А2;А3) и В(В1;В2;В3), тогда координаты вектора находят следующим образом: Формула сложения векторов , зная их координаты. Пусть имеют координаты , тогда:

- 57 - Теорема 4.12. Для любой точки А из T , и для любых векторов , из V 3 , выполняется следующие условие: (A + ) + = A + ( + ). Доказательство. Возьмем произвольную точку А(А1;А2;А3) и векторы , по формуле суммы сложения векторов имеем: A + , ( A + )+ = ; + = , A + ( + )= . Следовательно, (A + ) + = A + ( + ). Теорема 4.13. Если к любой точке А прибавить нулевой вектор, то точка А останется не подвижной. Доказательство. Пусть точка А имеет координаты А(А1;А2;А3) и вектор .По формуле сложения векторов получаем: A + ={ }={ А1;А2;А3}= A. Теорема 4.14. Для любых двух точек A, B из T существует единственный вектор такой, что B = A + . Доказательство. От точки А(А1;А2;А3) отложим вектор по определению получим точку В=А+ В={ }. Докажем, что вектор единственный. Рассмотрим вектор , зная координаты начала и конца мы можем найти координаты вектора (по определению): ={ }-{А1;А2;А3}={ }= , значит , следовательно - единственный. 4.2. Система аксиом Гильберта в геометрии Вейля Пусть геометрия построена на базисе систем аксиом Вейля. Покажем, что все утверждения системы аксиом Гильберта являются теоремами.

- 58 - Определение 4.10. Пусть A и B — две точки пространства E3 . Прямой l= AB называется множество всех точек M ∈ E 3 таких, что =t , -∞<t<+∞, где параметр t ∈ R изменяется от −∞ до +∞. Определение 4.11. Вектор = является направляющим вектором прямой l; прямую можно задать точкой и направляющим вектором. Определение 4.12. Отрезком AB прямой l называется множество всех точек M ∈ E 3 таких, что =t , где 0≤t≤1, при t = 0 и t = 1 мы получаем концы отрезка — точки A и B, а при 0 < t < 1 — внутренние точки отрезка. Если параметр t будем изменять от 0 до +∞, то получим определение луча. Определение 4.13. Для определения плоскости нам необходимо взять два вектора и и точку M такую, что для всех точек M ∈ E 3 выполняется: = +v , -∞<u, v<+∞, где параметры u,v ∈ R изменяется от −∞ до +∞. Определение 4.14. Точка Р пространства E3 принадлежит прямой, если выполняется условие: =t . Определение 4.15. Точка Р пространства E3 принадлежит плоскости, если выполняется условие: = +v . Определение 4.16. Точка M лежит между точками A и B, если M является внутренней точкой отрезка. Определение 4.17. Расстояние между точками A и B называется длиной отрезка: |AB| = ρ(A, B) = . Определение 4.18. Различные прямые l и l называются параллельными, если их направляющие векторы коллинеарны.

- 59 - Определение 4.19. Движения плоскости — это преобразования плоскости, сохраняющие расстояния между точками. Далее обычным образом определяются углы, треугольники, четырехугольники и другие фигуры. Определение 4.20. Две фигуры называются конгруэнтными (равными), если существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Аксиомы принадлежности Теорема 4.15. Через любые две точки А и В проходит единственная прямая. Доказательство. Рассмотрим прямую l. Вектор будет направляющим вектором прямой, значит прямая проходит через точки А и В по определению =t (М любая точка на этой прямой). Возьмем еще одну прямую а , такую, что точки А и В лежат на прямой и существует еще одна точка М′ не принадлежащая прямой а, так как А и В принадлежат прямой, то , тогда и Теорема 4.16. Для любой прямой существуют хотя бы две точки, которые ей инцидентны, и существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Доказательство. Рассмотрим два не коллинеарных вектора и , прямая АВ=t , так как вектора не коллинеарные, то , значит точка С не лежит на этой прямой. Теорема 4.17. Через любые три точки А,В, и С, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Доказательство. Рассмотрим плоскость α, по определению = +v (М любая точка плоскости), значит точки А,В и С принадлежат плоскости, возьмем вектор который лежит в этой плоскости и = +v . Предположим, что существует еще одна плоскость α которая проходит через точки А,В,С и точку М′ не принадлежащая плоскости α, но так

- 60 - как плоскость α проходит через три точки А, В и С то = +v , следовательно α единственная. Теорема 4.18. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то прямая инцидентна плоскости. Доказательство. Пусть плоскость α рассмотрим прямую АВ= , возьмем любую точку М принадлежащую прямой АВ, тогда =t , из этого следует, что любая точка прямой АВ инцидентна плоскости α. Теорема 4.19. Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то плоскости α и β пересекаются по прямой, проходящей через точку А и имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В. Доказательство. Доказательство следует из Теоремы 1, следовательно если прямая имеет, по крайней мере, две точки А и В инцидентные ей, то плоскости α и β имеют , по крайней мере, еще одну общую точку В (рис.4.8). Теорема 4.20. В трехмерном пространстве существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости Доказательство. Возьмем три не комплонарных вектора , значит точка А и В принадлежат , точки В и С принадлежат , точки А и D принадлежат . Из определения комплонарных векторов следует, что вектор , не принадлежит плоскости построенной на векторах и , значит точки А,В и С принадлежат одной плоскости, а точка D не принадлежит. Аксиомы порядка Теорема 4.21. Если С лежит между А и В, то С лежит между В и А и А, В, С – различные точки одной прямой. Доказательство. Пусть точка С лежит между А и В (рис. 4.9) , тогда по определению существует t > 0 такое, что = t . рис. 4. 8 рис. 4. 9

- 61 - Следовательно, что = , значит (-1) = (-1) , тогда = и > 0, из это следует, что С лежит между точками В и А. Рассмотрим прямую а =t , тогда точки А и С принадлежат прямой а. По второй аксиоме Вейля = , но = , поэтому = и = . Из этого следует, что точка В также принадлежит прямой а. Теорема 4.22. Для любых двух различных точек А и С существует такая точка В, что точка С лежит между точками А и В. Доказательство. Рассмотрим две различные точки А и С. Тогда = λ ( из определения). Следовательно, существует точка В, такая, что точка С лежит между А и В. Теорема 4.23. Из трех различных точек одной прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими. Доказательство. Рассмотрим различные точки А, В, С принадлежащие прямой l, тогда по определению: = , 0<t<1. Докажем, что одна и только одна из точек А, В, С лежит между двумя другими. Для этого выразим через три числа х, у, z такие, что = х , = у , = z Из определения прямой и второй аксиомы Вейля следует, что = + ), поэтому (1 – λ) = и = , значит х = . Так же следует, что + = λ , поэтому ( -1) = , следовательно = , значит у = . Таким же образом найдем z. = , тогда = и z = . Так как ≠ 0, λ ≠ 1, то рассмотрим три промежутка изменения : 1. < 0, поэтому z > 0, х < 0, у < 0. Тогда следует, что точка А лежит между точками В и С, точка С не лежит между точками А и В, точка В не лежит между точками А и С;

- 62 - 2. 0 < < 1, тогда х > 0, z < 0, у < 0. Тогда следует, что точка С лежит между точками А и В, точка А не лежит между точками В и С, точка В не лежит между точками А и С. 3. > 1, тогда у > 0, z < 0, х < 0. Тогда следует, что точка В лежит между точками А и С, точка А не лежит между точками В и С, точка С не лежит между точками А и В. Теперь докажем аксиому Паша. Но для этого нам понадобятся координаты. Пусть базис направляющего пространства, то {О, } - система координат. М (х,у,z) OM = х у . Далее, рассмотрим плоскость, если А ( ) и В ( ), то = { ; }. Определение 4.21. т. М (х, у) лежит между двумя точками А ( ) и В ( ) тогда и только тогда, когда 0 так, что x = x x x 1 1 2 , y= y y y 1 1 2 Определение 4.22. Теперь отрезком будем называть множество, состоящее из двух точек А и В и всех точек, лежащих между ними, обозначается АВ или ВА. Теорема Паша. Пусть А, В и С- три точки, а l – прямая, лежащая с данными точками в одной плоскости и не проходящая через них. Если прямая l пересекает отрезок АВ, то она пересекает, в точности один из отрезков ВС или АС (рис. 4.10). Доказательство. Выберем систему координат {О, } так, чтобы О l и направляющий вектор l. Пусть в этой системе координат А ( ), В ( ), С ( ). Эти точки не лежат на l, 0, 0, 0. Пусть М (х, у) = l AB, тогда по рис. 4. 10

- 63 - определению следует, что: х = x x x 1 1 2 , у = y y y 1 1 2 , где >0, так как M l y=0 y1+ y2=0, понятно, что и имеют разные знаки, а значит либо 0, либо 0. Нетрудно доказать, что в первом случае d пересекает АС, а во втором - ВС, что согласуется с имеющимся у нас понятиями о знаках координат и четвертях. Аксиомы конгруэнтности Можно рассматривать также геометрические преобразования трехмерного пространства. Если f - движение трехмерного пространства E 3 , переводящее плоскость α E 3 в некоторую плоскость β, a p - центральное проектирование плоскости β на α из некоторой точки O (не принадлежащей плоскостям α и β), то композиция p◦f представляет собой проективное преобразование плоскости α (поскольку и f, и p переводят прямую снова в прямую). Оказывается, что в таком виде можно представить любое проективное преобразование плоскости α. Геометрическое преобразование плоскости – взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если f - движение плоскости, то для любых двух точек A,B этой плоскости расстояние между точками f(A) и f(B) равно |AB|. Движения связаны с понятием конгруэнтности фигур: две фигуры F и G плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как пример, напомним определение параллельного переноса. Пусть - некоторый вектор плоскости . Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку A в такую точку A' что , называется параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением: если

- 64 - точки A и B переходят в A' и B', т.е. , то , и потому |A'B'|=|AB|. Теорема 4.24. Если A B AB и A B AB , то A B A B . Доказательство. Доказательство очевидно, если существует такое движение f такое, что f:A'B'→AB и f:A f:A''B''→AB , следовательно f:A'B'→A''B''. Теорема 4.25. Пусть АВ - некоторый отрезок, а h'– произвольный луч, с началом А'. Тогда существует одна и только одна точка В' h' , что АВ=А'В' Доказательство. Пусть один из векторов, определяющих направление луча h', тогда M' h' существует x>0 такое, что =x , x>0. Нo =AB g( , ) =g( , )>0 = x 2 g( , )>0 следовательно, существует единственное x>0, значит точка В' единственная, что АВ=А'В'. Теорема 4.26. Если точка В лежит между точками А и С, точка В' лежит между А' и С', АВ=А'В' и В'С', то АС=А'С'. Доказательство. Доказывается, используя отношения «лежать между» и положительную определенность формы g G. Теорема 4.27. Пусть hk- неразвернутый угол, а (О',h', ')- некоторый флаг. Тогда в полуплоскости ' существует единственный луч k', исходящая из точки О', такой, что hk= h'k'. Доказательство. Пусть О - вершина угла hk, и (O,h, )-флаг в котором лежит луч k. Существует единственное движение f: (О, h, ) (О', h', ') и k'=f(k). k'- искомый. Пусть k'' такое, что hk= h'k'', следовательно существует движение f' такое, что f ' (h)=h' и f ' (k)=k'' , но тогда f':(O,h, ) (O',h', ') k'=k''. Теорема 4.28. Если существуют А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и А,'В',С'- тоже три точки, не лежащие на одной прямой, при этом AB A B AC A C , и BAC B A C , то АВС= рис. 4. 11

- 65 - А'В'С' и АСВ= А'С'В'. Доказательство. Пусть точки А,В и С образуют ∆АВС , а точки А', В' и С'-∆А'В'С'. Так как А= А', то существует движение такое , что :АВ→А'В' и :АС→А'С'. Предположим, что (В)=В'', (С)=С'', тогда получаем АВ= А'В'' и АС=А'С'', но по условию АВ= А'В' и АС=А'С', значит :∆АВС→∆А'В'С' и ∆АВС=∆А'В'С' (рис. 4.11), следовательно АВС= А'В'С' и АСВ= А'С'В'. Аксиомы непрерывности Ведем систему координат и вектор. Каждой точке P на прямой l соответствует ее координата , х- координата точки P (рис. 4.12). Так как V над R, то можно установить взаимно - однозначное соответствие между R и точками прямой. А значит будут выполнены аксиомы Архимеда и Кантора. Аксиома параллельности Теорема 4.29. Через данную точку С, не лежащую на данной прямой l, проходит одна и только одна прямая, параллельная прямой l . Доказательство. Возьмем два коллинеарных вектора такие, что направляющий вектор прямой l, и вектор коллинеарный и содержащий точку С, значит прямые АВ и СD параллельны (рис. 4.13). Предположим, что существует вектор коллинеарный и содержащий точку С, из определения коллиниарных векторов следует, что и коллинеарны, значит через точку С, не лежащую на данной прямой l, проходит одна и только одна прямая, параллельная прямой l. рис. 4. 12 рис. 4. 13

- 66 - 4.3. Эквивалентность систем аксиом Мы рассмотрели две системы аксиом и показали, что все утверждения системы аксиом Вейля, при построении геометрии на базисе системы аксиом Гильберта, выполняются и являются теоремами. Также, построив геометрию на базисе систем аксиом Вейля, все утверждения системы аксиом Гильберта выполняются. Опираясь на определение эквивалентности двух систем аксиом, получили, что теории, построенные на описанных выше системах аксиом равны. Показав равенство двух теорий можно сделать вывод об эквивалентности систем аксиом.

- 67 - Глава 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРОВЕДЕНИЮ ПЕРВОГО УРОКА СТЕРЕОМЕТРИИ В данном параграфе приведены разработанные нами методические рекомендации к проведению урока геометрии для 10 класса к учебнику Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразов. учреждений/ М.: Просвещение, 2015 по теме: «Аксиомы стереометрии». Технологическая карта урока Таблица 1 Предмет Геометрия Класс 10 Тип урока Комбинированный. Технология построения урока Системно-деятельностный подход Тема Аксиомы стереометрии Цель Ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве Основные термины, понятия Стереометрия, геометрические тела, куб, шар, цилиндр, грань, ребро, вершина Таблица 2 Планируемый результат Предметные умения Дать представление учащимся: - об основных Личностные УУД: формировать интерес (мотивацию) к учению, осознание личностного желания учиться; развитие навыков самостоятельной работы, пространственного мышления, логического мышления; воспитывать у

- 68 - понятиях и аксиомах стереометрии; - об их использовании при решении стандартных задач логического характера; - об изображении точек, прямых и плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном расположении в пространстве. учащихся аккуратность, точность при выполнении заданий с использованием требований орфографического режима. Регулятивные УУД: самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель; искать и выделять необходимую информацию Познавательные УУД: уметь ориентироваться в своей системе знаний, добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на урок Коммуникативные УУД: формулировать вопросы и искать ответы в учебной литературе; устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать выводы Таблица 3 Организация пространства Формы работы Ресурсы Фронтальная, работа в группах, индивидуальная. Книгопечатная продукция 1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразов. учреждений/ М.: Просвещение, 2015. – 256 с. 2. Яровенко В.А. Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2015. Технические средства обучения 1. Персональный компьютер, мультимедийный

- 69 - проектор 2. Приложения (раздаточный материал) 3. Презентация «Аксиомы стереометрии» Дидактические задачи этапов урока Таблица 4 Этапы урока Дидактические задачи Организационный (этап мотивации) включение учащихся в учебную деятельность на личностно значимом уровне. Актуализация опорных знаний и умений готовность мышления и осознание потребности к построению нового способа действия. Постановка учебной проблемы выявление и фиксация места и причины затруднения. Формулирование проблемы, планирование деятельности постановка цели учебной деятельности, выбор способа и средств ее реализации Открытие нового знания построение и фиксация нового знания Первичная проверка понимания применение нового знания в типовых заданиях. Применение новых знаний включение нового знания в систему знаний, повторение и закрепление ранее изученного Рефлексия учебной деятельности соотнесение цели урока и его результатов, самооценка работы на уроке, осознание метода построения нового знания. Ход урока: Таблица 5 Этапы урока и их содержание Деятельность учителя учащегося

- 70 - 1. Организаци онный момент и постановка цели урока Сегодня на уроке начинаем знакомиться со второй частью курса геометрии – стереометрией изучим аксиомы стереометрии научимся применять их при решении геометрическ их задач Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. Ребята, мы начинаем изучение систематического курса следующего раздела геометрии – стереометрии. На какие вопросы мы должны сегодня получить ответы: Что изучает стереометрия? Каковы основные фигуры стереометрии? Какими основными свойствами они обладают? Ребята, давайте запишем число в рабочих тетрадях. Тема сегодняшнего урока: «Аксиомы стереометрии». Как говорил Евклид: «Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой» (слайд 1). Приветствуют преподавателя, сообщают об отсутствующих, проверяют наличие учебного материала на столах, организует свое рабочее место. Записывают в тетрадях число, «Классная работа», тему урока и включаются в деловой ритм урока.

- 71 - Формируемые умения Метапредметные (УУД): познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний уметь добывать новые знания регулятивные: организация своей учебной деятельности. коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. 2. Актуализац ия опорных знаний и умений Ребята, ответьте на вопросы: 1)Что такое геометрия? 2)Что такое планиметрия? 3)Какие фигуры планиметрии являются основными? 4)Что такое аксиома? 5)Какие аксиомы планиметрии вы знаете? 6)Назовите фигуры, свойства которых вы изучили в курсе планиметрии? Отвечают на поставленные вопросы: 1) Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. 2) Планиметрия - раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные)фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости: треугольники, окружности, параллелограммы и т.д. 3) Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая.

- 72 - 4) Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, которое принимается истинным в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия (или - это утверждение, не требующее доказательств). 5) 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки1. 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну

- 73 - сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

- 74 - Формируемые умения Предметные: Повторить пройденный материал по основам геометрии и планиметрии Метапредметные (УУД): познавательные: структурирование собственных знаний регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем. 3. Изучение нового материала 3.1.Вступительное слово учителя о новом разделе геометрии – стереометрии геометрии пространства основные фигуры пространства их Геометрия подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию (слайд 2). Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии, которая изучает свойства фигур в пространстве. Стереометрия с греческого переводится следующим образом: «stereos» - телесный, твердый, объемный, пространственный, «metreo» - измерять (слайд 2). Именно стереометрия формирует необходимые пространственные представления, знакомит с Слушают объяснение учителя и записывают в тетрадь основные понятия

- 75 - обозначение 3.2.Геометрически е тела; примеры. 3.3Геометрически е понятия в стереометрии. разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире. В стереометрии изучаются математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве. Вопрос: вспомните простейшие фигуры на плоскости и как они обозначаются. Необходимо напомнить, что эти понятия не определяемы, они принимаются интуитивно. К простейшим фигурам на плоскости в пространстве присоединяется еще и плоскость, которая обозначается (первый способ) с помощью малых букв греческого алфавита и изображается в виде параллелограмма или замкнутой кривой линии (слайд 3). Итак, вспомним, как Отвечают на поставленные вопросы: точка, прямая. Учащиеся

- 76 - обозначаются основные фигуры в пространстве: точки: A, B, C, …; прямые: a, b, c, …, или AВ, BС, CD, …, а плоскости обозначаются буквами греческого алфавита: α, β, γ, … (слайд 4). Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии изучают и геометрические фигуры (или тела) (слайды 5, 6). При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

- 77 - 3.4.Понятие аксиомы Замечание: в любой плоскости лежат какиенибудь точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. Символьные обозначения этого факта – такие же, как и на плоскости. В стереометрии используют следующие геометрические понятия: • Плоскость – грань • Прямая – ребро • Точка – вершина (слайд 7). Итак, аксиома – это исходное положение, принимаемое без доказательства. • Как говорил Ф. Энгельс «Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта» (слайд 8). Далее разберем основные аксиомы стереометрии. Основные свойства точек, прямых и плоскостей,

- 78 - 3.5. Аксиома 1 3.6. Аксиома 2 касающиеся их взаимного расположения, выражены в следующих аксиомах. Аксиома А1: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна» (слайд 9). Заметим, что т к. согласно А1 через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, то отсюда вытекает еще один способ обозначения плоскости, принятый во всем мире – по именам любых трех точек, лежащих в данной плоскости и не лежащих на одной прямой. Значит, данную плоскость можно обозначить (МЕР), причем плоскость принято обозначать в скобках. Аксиома А2: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости» (слайд 10). Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

- 79 - 3.7. Аксиома 3 3.8. Взаимное расположение прямой и плоскости Замечание: «Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая и плоскость пересекаются». Аксиома А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей» (слайд 11). Итак, ребята, задам вам вопрос: что описывают аксиомы стереометрии? Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости: 1) Прямая лежит в плоскости 2) Прямая пересекает плоскость Прямая не пересекает плоскость (слайд 12). Отвечают на поставленные вопросы: А1: Способ задания плоскости А2: Взаимное расположение прямой и плоскости А3: Взаимное расположение плоскостей Формируемые Предметные: Уметь выделять неизвестное, неизученное Метапредметные (УУД): познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое

- 80 - умения высказывание в устной форме. регулятивные: самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса. 4. Физкультминутка Ребята вот мы и познакомились с вами, с новой темой. А прежде чем перейти к закреплению материала, предлагаю отдохнуть и провести физкультминутку: А теперь, ребята, встали. Быстро руки вверх подняли, В стороны, вперед, назад. Повернулись вправо, влево, Тихо сели, вновь за дело! Учащиеся поднимаются с мест и повторяют действия за учителем. Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу. Предлагается прочитать еще раз аксиомы и замечания к ним в своем конспекте. После обсуждения в паре с соседом по парте, предлагает ребятам ответить на следующие вопросы: Работают с конспектом. Обсуждают с соседом по парте.

- 81 - 5. Закрепление нового материла - Что изучает стереометрия? - Сформулируйте аксиомы стереометрии. - Какое минимальное число точек определяет прямую; плоскость? - Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку; только две общие точки? - Как расположены две плоскости, если в них содержится один и тот же треугольник? - Сколько плоскостей можно провести через две точки? - Сколько плоскостей проходит через одну прямую? Отвечают на вопросы. Формируемые умения Предметные: Первичное закрепление понятия стереометрии и аксиом стереометрии. Метапредметные (УУД): познавательные: формирование интереса к данной теме регулятивные: работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки самостоятельно коммуникативные:

- 82 - умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли 6. Исследовате льская работа Вызывает трех учеников, дает три карандаша и просит поставить их так, чтобы они не лежали на одной прямой, кладет сверху макет плоскости. Ученики выходят к доске, выполняют указания учителя Пытаются самостоятельно сформулировать А1 Формируемые умения Предметные: закрепление понятия стереометрии и аксиом стереометрии. Метапредметные (УУД): познавательные: умение применять и формулировать новые знания регулятивные: самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

- 83 - 7. Формирован ие умений и навыков учащихся 7.1. Вопросы для самоконтроля (проверка усвоения теоретического материала) Раздает приложения – раздаточный материал ученикам и задает вопросы по теоретическому материалу урока: из прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA1B1C1D1, назовите:(карточка №1) пары пересекающихся прямых тройки прямых, пересекающихся в одной точке пары пересекающихся плоскостей тройки плоскостей, пересекающихся в одной точке B1 C1 A1 C A D Предлагает учащимся выполнить задание – слайды 14–16. Предлагает Подписывают раздаточный материал. Отвечают на вопросы, предложенные учителем Читают чертежи Проверяют решение с помощью учителя Выполняют задание D1 B

- 84 - 7.2. Устная работа. Решение задач по готовым чертежам 7.3. Решение задач с комментариием учащимся выполнить 2 задание на выданных листах (карточка №2) Обсуждает решение с учащимися – слайд 17. записывают решение на выданных листах Обсуждают решение Формируемые умения Предметные: уметь ориентироваться в пространстве посредством применения аксиом стереометрии. Метапредметные (УУД): познавательные: умение ориентироваться в системе своих знаний; регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата; коммуникативные: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других

- 85 - 8. Подведение итогов урока Вместе с учащимися подводит итоги урока Предлагает учащимся следующие вопросы: какую цель мы поставили в начале урока? как вы считаете, удалось ли нам достичь этой цели? узнали ли Вы чтонибудь новое на уроке? что Вам запомнилось на уроке? А теперь, ребята, я хотела бы предложить вам небольшую анкету.(карточка №3) Отвечают на вопросы, предложенные учителем Отвечают на вопросы анкеты по очереди Метапредметные (УУД): познавательные: рефлексия. активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным не устал / устал стало лучше / стало хуже понятен / не понятен полезен / бесполезен интересен / скучен легким / трудным интересным / неинтересен 1. На уроке я работал 2. Своей работой на уроке я 3. Урок для меня показался 4. За урок я 5. Мое настроение 6. Материал урока мне был 7. Домашнее задание мне кажется

- 86 - Формируемые умения регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке коммуникативные: умение анализировать собственные успехи, неудачи, определять пути коррекции. 9. Домашнее задание с комментир ованием Озвучивает домашнее задание – слайд 18. Записывают домашнее задание слушают комментарий

- 87 - ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведя подробный анализ аксиоматики Гильберта и Вейля мы убедились в том, что будущим учителям необходимо знать аксиоматику Гильберта и Вейля, чтобы получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно определѐнной аксиоматической базе. В процессе данного исследования двух систем аксиом получены следующие основные результаты. 1. Рассмотрены системы аксиом Д.Гильберта и Г.Вейля евклидовой геометрии; сформулированы основные аксиомы данных систем аксиом. 2. Проведен сравнительный анализ систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии. 3. Проведено доказательство выполнимости утверждений систем аксиом Гильберта и Вейля евклидовой геометрии. Таким образом, доказана эквивалентность данных систем аксиом. 4. Разработана технологическая карта урока 10 класса «Аксиомы стереометрии».

- 88 - СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия 2. –М.: Изд-во КНОРУС, 2011. – 347 с. 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразов. учреждений.- М.: Просвещение, 2015. – 384 с. 3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразов. Учреждений. – М.: Просвещение, 2015. – 256 с. 4. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия./ учебн. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1975. – 367 с. 5. Горшкова Л.С., Сорокина М.В. Основания геометрии: учебное пособие для студентов педагогических вузов. –Пенза, 2009. – 144 с. 6. Денисова Н.С., Тесля О.Ю. / Построение евклидовой геометрии на основе систем аксиом Вейля. Учебное пособие. – Москва: Прометей, 2016-82 с 7. Егоров И.П. Лекции по аксиоматике Вейля. – Приволжск.изд., 1972. 8. Егоров И.П. Основания геометрии/ учебн. пособие для студентовзаочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1984. 9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978. 10. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы./ учебн.пособие для общеобр. организ. – М.: Просвещение, 2015. – 127 с. 11. Кирпиченко В.Ф., Гусева Н.И, Денисова Н.С. и др./ Геометрия: учеб. пособие для студ. учреждений высш. пед. проф. образования: в 2 т. Т. 1- М.: Издательский центр «Академия», 2012. — 400 с. 12. Паньженский В.И., Сорокина М.В., Тяпин Н.А. Различные варианты построения евклидовой геометрии: учеб.пособие. –Пенза: Изд-во ПГУ, 2015. – 60 с. 13. Погорелов А.В. Основания геометрии.–М.: Наука, 1979. – 153 с.

- 89 - 14. Яровенко В.А. Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс». - Москва, «ВАКО», 2015

- 90 - ПРИЛОЖЕНИЕ А Раздаточный материал к уроку: Карточка №1 Из прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA1B1C1D1, назовите: пары пересекающихся прямых тройки прямых, пересекающихся в одной точке пары пересекающихся плоскостей тройки плоскостей, пересекающихся в одной точке Решение:

- 91 - Карточка №2 Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF. Решение: б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC . Решение:

- 92 - Карточка № 3

- 93 - ПРИЛОЖЕНИЕ В 2 Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos - телесный, твердый, объемный, пространственный metreo - измерять

- 94 - 3 Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве Основные фигуры в пространстве: А Точка а Прямая Плоскость4 A, B, C, … a, b, c, … или AВ, BС, CD, … , , ,...

- 95 - 5 Геометрические тела: Куб Тетраэдр Параллелепипед Октаэдр 6 Геометрические тела: Цилиндр Конус Шар

- 96 - 7 Геометрические понятия: • Плоскость – грань • Прямая – ребро • Точка – вершина вершина ребро грань 8 Аксиома (от греч. axíõma – принятие положения) - исходное положение, принимаемое без доказательства "Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта" Ф. Энгельс

- 97 - 9 Аксиомы стереометрии А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А ВС 10 Аксиомы стереометрии А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А В

- 98 - 11 Аксиомы стереометрии А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей12 Аксиомы стереометрии описывают: А1 А2 А3 А В С Способ задания плоскости А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей

- 99 - 13 Взаимное расположение прямой и плоскости Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Прямая не пересекает плоскость Множество общих точек Единственная общая точка Нет общих точек а аМ а а а ∩ = М а ⊄ 14 Прочитайте чертеж A С AC

- 100 - 15 Прочитайте чертеж B c ab B b a c 16 Прочитайте чертеж c c

- 101 - 17 а) две плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF; б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC. А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите: 18 Домашнее задание: 1) Выучить аксиомы 2) Прочитать теоретический материал по теме 3) Решить задачи под №9,№12