โมเมนตัม

โมเมนตัม แรงและการเปลี่ยนโมเมนตัม การดล การอนุรักษ์โมเมนตัม 1. 2. 3. 4.

โมเมนตัม (Momentum) คือ ความพยายามในการเคลื่อนที่ ของวัตถุหรือความพยายามในการทำให้วัตถุที่เคลื่อนท่ีให้หยุดนิ่ง เขียนแทนด้วย p เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับผลคูณระหว่าง มวล (m) และ ความเร็ว (v) ของวัตถุ เขียนสมการได้เป็น p = mv โมเมนตัม มีหน่วยเป็น กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s)

ตอบ เมื่อปล่อยลูกเทนนิสและลูกบาสจากที่สูงเท่ากันให้ตกแบบเสรี วัตถุชนิดใดที่ใช้มือออกแรงรับเพื่อทำให้วัตถุหยุดนิ่งได้ยากกว่า 0.06 kg 0.6 kg ลูกบาส เนื่องจากมีมวลมีผลต่อการออกแรงรับ ดังนั้น เมื่อมวลมากจึงต้องออกแรงรับเพื่อทำให้หยุดนิ่งยากกว่า

วิธีทำ จาก p = mv จะได้ p = (2 kg)(10 m/s) p = 20 kg m/s ตอบ โมเมนตัมของวัตถุจะมีค่า 20 กิโลกรัม เมตรต่อวินาที ไปทางทิศเหนือ ตัวอย่างการคำนวณ 2 kg N v = 10 m/s วัตถุมวล 2 กิโลกรัม กำลังเคลื่อนที่ไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อ วินาที จะมีโมเมนตัมเท่าไร

รถยนต์มวล 1500 กิโลกรัม กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ไปทางทิศใต้ โมเมนตัมของรถยนต์มีค่าเท่าใด โจทย์กำหนด m = 1500 kg , v = 90 km/h = 90,000 m 3600 s = 25 m/s วิธีทำ จาก p = mv จะได้ p = (1500 kg)(25 m/s) p = 37500 kg m/s ตอบ โมเมนตัมของรถยนต์คันนี้มีค่า 37500 กิโลกรัม เมตรต่อวินาที ไปทางทิศใต้ ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างการคำนวณ ปล่อยวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ลงในแนวดิ่ง เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที โมเมนตัมของ วัตถุเปลี่ยนแปลงไปเท่าใด โจทย์กำหนด m = 1 kg , เมื่อ t ผ่านไป = 2 s วิธีทำ ที่ t=0 s จะได้ p1 = mv= 0 kg m/s ที่ t=2 s จะได้ p2 = (1 kg)(20 m/s) = 20 kg m/s หาโมเมนตัมที่เปลี่ยนไป ∆p = p2 - p1 = 20 - 0 = 20 kg m/s ตอบ โมเมนตัมของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงไป 20 กิโลกรัม เมตรต่อวินาที สามารถหา v ที่ t=2 s ได้จาก v = u + gt = 0 + (10)(2) = 20 m/s

ตัวอย่างการคำนวณ แตงโมมวล 5 กิโลกรัม กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3 เมตรต่อวินาทีไปทางซ้าย และทุเรียน มวล 10 กิโลกรัม กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 2 เมตรต่อวินาที ไปในทิศทางเดียวกัน จงหา ขนาดและทิศทางของ ก. โมเมนตัมของแตงโม ข. โมเมนตัมของทุเรียน ค. โมเมนตัมรวมของแตงโม และทุเรียน ก. จาก p = mv = (5)(3) = 15 kg m/s ไปทางซ้าย ข. จาก p = mv = (10)(2) = 20 kg m/s ไปทางซ้าย ค. โมเมนตัมแตงโม + โมเมนตัมทุเรียน 15 + 20 = 35 kg m/s มีทิศทางไปทางซ้าย ทิศทางเดียวกัน + ทิศทางต่างกัน -

ตัวอย่างการคำนวณ วัตถุชิ้นที่หนึ่งมวล 300 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที และวัตถุ ชิ้นที่สองมวล 120 กิโลกรัม จะต้องมีขนาดความเร็วเท่าใด โมเมนตัมของวัตถุทั้งสอง จึงจะเท่ากัน วิธีคิด ให้นำโมเมนตัมของทั้งสองวัตถุมาเขียนสมการเท่ากัน วิธีทำ ตอบ วัตถุชิ้นที่สองจะต้องมีความเร็ว 25 เมตรต่อวินาที จึงจะมีโมเมนตัมเท่ากัน จาก p1 = p2 จะได้ m1 v1 = m2 v2 (300)(10) = (120) v2 v2 = 3000/120 = 25 m/s

เมื่อมีแรงกระทำกับวัตถุ จะส่งผลให้โมเมนตัมของวัตถุเปลี่ยนแปลงไป โดยแรงลัพธ์ (F) เท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ในช่วงเวลา ∆t ซึ่งเป็นไปตามกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน Fav = maav u Fav v จะได้ Fav = mv2 −mv1 ∆t

ถ้าให้โมเมนตัมก่อนออกแรงตีลูกเทสนิสเป็น p1 และโมเมนตัมหลังออกแรง ตีเป็น p2 จะสามารถเขียนในรูปของการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ∆p = p2 - p1 ดังนี้ Fav = mv2 −mv1 ∆t = p 2 − p 1 ∆t จะได้ Fav = ∆p ∆t สามารถเขียนในรูปของแรงลัพธ์ ดังนี้ F = ∆p ∆t

รถยนต์มวล 1000 กิโลกรัม เคลื ่อนที ่จากหยุดนิ ่งตรงไปตามถนน จนมี ความเร็ว 5 เมตรต่อวินาที ภายในเวลา 2 วินาที แรงลัพธ์ที่กระทำต่อรถยนต์ มีค่าเท่าใด วิธีทำ จาก F = ∆p ∆t จะได้ F = mv2 −mv1 ∆t = 1000 5 − 1000 0 2 = 2500 N ตอบ แรงลัพธ์ที่กระทำต่อรถยนต์มีค่า 2500 นิวตัน ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างการคำนวณ นักกีฬาเตะลูกบอลมวล 0.5 กิโลกรัม เข้าหากำแพง ด้วยอัตราเร็ว 3 เมตรต่อวินาที ถ้าลูกบอลสะท้อนออกมาในทิศทางตรงข้ามด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม จงหา ก. โมเมนตัมที่เปลี่ยนไป ข. ถ้าเวลาที่ลูกบอลชนกำแพง 0.5 วินาที แรงลัพธ์ที่ลูกบอลกระทำต่อกำแพง มีค่าเท่าใด ก. หาโมเมนตัมที่เปลี่ยนไป ∆p = p2 - p1 = mv2 − mv1 = (0.5)(-3) - (0.5)(3) = -3 kg m/s เครื่องหมายติดลบแสดงทิศทางตรงข้าม กับการเตะ ข. หาแรงลัพธ์ F = ∆p ∆t F = 3 0.5 F = 6 N แรงลัพธ์ที่ลูกบอลกระทำต่อกำแพง มีค่า 6 นิวตัน

ตัวอย่างการคำนวณ ลูกฟุตซอลมวล 0.5 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ถ้าผู้รักษาประตู รับลูกฟุตซอลให้หยุดนิ่งภายในเวลา 1 วินาที แรงเฉลี่ยที่ลูกฟุตซอลกระทำต่อผู้รักษา ประตูมีขนาดเท่าใด วิธีทำ จาก Fav = ∆p ∆t จะได้ Fav = mv2 −mv1 ∆t = 0.5 0 − 0.5 20 1 = 10 N ตอบ แรงเฉลี่ยที่ลูกฟุตซอลกระทำต่อผู้รักษาประตูมีขนาด 10 นิวตัน

การดล คือ ผลคูณของแรงกระทำกับช่วงเวลาที่แรงนั้นกระทำ และมีผล ทำให้วัตถุมีโมเมนตัมเปลี่ยนไป เขียนแทนด้วย റI โดยมีสองปัจจัยที่เกี่ยวข้อง คือ แรงเฉลี่ย (Fav) และ ช่วงเวลา (∆t) มีหน่วยเป็น นิวตัน วินาที แรงดล คือ แรงลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุในช่วงเวลาสั้น ๆ ยกตัวอย่าง - การตีลูกเทนนิส การดลเกิดขึ้นเมื่อ ไม้เทนนิสกระทบกับลูกเทนนิส - เตะลูกบอลกระทบกำแพง การดลเกิดขึ้นตอนที่ลูกบอลกระทบกำแพง

റ I = F ∆t = Fav∆t = ∆p = mv2 − mv1 ปริมาณ F ∆t เรียกว่า การดล เขียนแทนด้วย റI เขียนเป็นสมการได้ว่า റI = F ∆t นอกจากนี้แรงเฉลี่ยกับเวลา Fav∆t ยังมีค่าเท่ากับ F ∆t ด้วย ดังนั้น สามารถเขียนสมการได้เป็น

ตัวอย่างการคำนวณ ปล่อยไข่ไก่ดิบให้ตกบนฟองน ้า ถ้าช่วงเวลาขณะที่ไข่กระทบฟองน ้าจนหยุด เคลื่อนที่มีค่า 2.5 วินาที และแรงเฉลี่ยที่ฟองน ้ากระทำต่อไข่มีค่า 0.1 นิวตัน การดลที่เกิดขึ้นมีค่าเท่าใด วิธีทำ จาก റI = Fav∆t จะได้ റI = (0.1)(2.5) = 0.25 N s ตอบ การดลที่เกิดขึ้นมีค่า 0.25 นิวตัน วินาที ในทิศชี้ขึ้น

ตัวอย่างการคำนวณ ลูกบอลมวล 1 กิโลกรัม ขณะที่มีความเร็ว 10 เมตรต่อวินาทีในทิศทางขวา นักกีฬา คนหนึ ่งใช้เท้าเตะลูกบอลให้มีความเร็วเปลี ่ยนไปเป็น 20 เมตรต ่อวินาทีใน ทิศทางตรงข้าม การดลเฉลี่ยที่เท้านักกีฬากระทำต่อลูกบอลเป็นเท่าใด วิธีคิด กำหนดทิศทางก่อน ทิศไปทางซ้ายเป็น - , ทิศไปทางขวาเป็น + วิธีทำ จะได้ റI = ∆p = mv2 − mv1 = (1 kg)(-20 m/s) – (1)(10 m/s) = (-20) – 10 = -30 N s ตอบ การดลเฉลี่ยที่เท้านักกีฬากระทำต่อลูกบอลมีค่า – 30 นิวตัน วินาที

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (Law of conservation of momentum) คือ การที่ ไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุที่อยู่ในระบบของโมเมนตัม ส่งผลให้ผลรวมของ โมเมนตัมก่อนและหลังกระทบจะมีค่าเท่ากัน จึงสามารถบอกได้ว่า โมเมนตัมของ ระบบมีค่าคงตัวหรือเกิดการอนุรักษ์นั่นเอง ก่อนชน ขณะชน หลังชน m2 F12 m1 F21 m1 m2

m2 F12 m1 F21 จากกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน F21 = - F12 จากสมการ റI = F ∆t จะได้ I 21 ∆t = −I 12 ∆t นั่นคือ റI21 = - റI 12

จากทฤษฎีบทการดล-โมเมนตัม റI = ∆p จะได้ว่า ซึ่งเป็นไปตาม กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เขียนแทนด้วยสมการ p1 = p2 m2 v2 - m2 u2 = - m1 v1 − m1 u1 m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2 โดย p1 เป็นโมเมนตัมของระบบก่อนชน p2 เป็นโมเมนตัมของระบบหลังชน

ตัวอย่างการคำนวณ วัตถุมวล 20 กิโลกรัม เคลื่อนที่บนพื้นลื่น ไปทางขวาด้วยความเร็ว 4 เมตรต่อวินาที ชนวัตถุ มวล 5 กิโลกรัม ที่อยู่นิ่ง หลังชน วัตถุทั้งสองติดกันไป วัตถุทั้งสองที่ติดกันไปจะเคลื่อนที่ด้วย ความเร็วเท่าใด และมีทิศทางใด วิธีทำ จาก p1 = p2 สังเกตได้ว่าเมื่อชนกันแล้ววัตถุติดกันไป แสดงว่าหลังชนจะเกิดมวลที่รวมกัน จะได้ m1 u1 = m1 +m2 v2 (20 kg)(4 m/s) = (20kg + 5 kg) v2 80 = 25v2 v2 = 80/25 = 3.2 m/s ตอบ วัตถุทั้งสองที่ติดกันไปจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3.2 เมตรต่อวินาที ทิศทางไปทางขวา

ตัวอย่างการคำนวณ เด็กคนหนึ่งมีมวล 30 กิโลกรัม วิ่งด้วยความเร็วคงตัว 2 เมตรต่อวินาที เข้าหารถเข็นสินค้า ที่มีมวลรวม 130 กิโลกรัม ซึ่งอยู่บนพื้นลื่น ทันทีที่เด็กขึ้นไปยืนบนรถเข็น รถเข็นจะเคลื่อนที่ ด้วยความเร็วเท่าใด วิธีทำ จาก p1 = p2 สังเกตได้ว่าก่อนกระทบมีแค่มวลและความเร็วของเด็ก แต่หลัง กระทบมีทั้งของเด็กและรถเข็น จะได้ m1 u1 = m1 +m2 v2 (30 kg)(2 m/s) = (30kg +130 kg) v2 60 = 160 v2 v2 = 60/160 = 0.375 m/s ตอบ รถเข็นจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 0.375 เมตรต่อวินาที ทิศทางเดียวกับความเร็ว ที่เด็กวิ่งเข้าหา

ตัวอย่างการคำนวณ เมล็ดพืชชนิดหนึ่งมวล 0.4 กิโลกรัม ขณะกำลังตกลงพื้นด้วยความเร็วในแนวดิ่ง 2 เมตรต่อ วินาทีเกิดการดีดตัวแยกออกจากกันเป็นสองส่วนเท่ากัน ส่วนหนึ่งของเมล็ดมีขนาดความเร็ว เท่าเดิมในทิศทางการเคลื่อนที่ขึ้น อีกส่วนหนึ่งจะมีความเร็วเท่าใด วิธีทำ สังเกตคำว่า เกิดการดีดตัวแยกออกจากกันเป็นสองส่วนเท่ากัน แสดงว่าเกิดการแบ่งมวล กำหนดทิศทางความเร็ว ขึ้นเป็น – , ลงเป็น + จาก p1 = p2 จะได้ m1 u1 = m1 v1 + m2 v2 (0.4 kg)(2 m/s) = (0.2 kg)(-2 m/s) + (0.2) v2 0.8 = (-0.4) + (0.2) v2 v2 = 1.2/0.1 = +6 m/s ตอบ อีกส่วนหนึ่งจะมีความเร็ว 6 เมตรต่อวินาที ในทิศทางการเคลื่อนที่ลง