แผนการจัดการเรียนรู้ ค32101 คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

 1    1   1   1    1
ตัวอย่ำงที่ 4 ก าหนด f = 1, , 2, , 3, , 4, , 5,  
 2    4   8  16   32  

โดเมนของฟังก์ชัน คือ {1, 2, 3, 4, 5}

1
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ  1 , 1 , 1 ,  1 
,

 4 8 16 32 
2
7.2 ขั้นสอน
็
1. ครูแนะน าให้นักเรียนสังเกตฟังก์ชันทั้ง 4 ตัวอย่างในขั้นน า จะมีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเตม
บวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เสมอ เรียกฟังก์ชันดังกล่าวว่า ล ำดับ โดยอธิบายความหมาย

ของล าดับดังนี้



ล ำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตมบวก n ตัวแรกหรือโดเมนเป็นเซตของจานวน
็
เต็มบวก
้
ั
ี่
ั้

ั
้
ั
ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปว่า ฟังก์ชนทงสข้างตนจดเป็นลาดบ เนื่องจากสองคลองกับ
ความหมายของล าดับ
2. ครูยกตัวอย่างฟังก์ชันเพิ่มเติม ดังนี้
(1) f = {(–1, 1), (–2, 2), (–3, 3), (–4, 4), (–5, 5)}
(2) f = {(1, –1), (2, –3), (3, –5), (4, –7)}

(3) f = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), (8, 10), (10, 12)}

1  1  1  1  1  
(4) f =  2, ,  , 3 ,  , 4 ,  , 5 ,    6 ,
 2   3   4   5   6  
ี
ี่

ิ
แลวถามนักเรียนว่า ฟังก์ชนใดเป็นลาดบ เพราะอะไร ครูให้คาแนะน าเพิ่มเตมกรณทพบว่า
ั
้
ั

นักเรียนยังไม่เข้าใจจนนักเรียนตอบได้ดังนี้
ฟังก์ชันในข้อ (2) เพียงข้อเดียวที่เป็นล าดับ เนื่องจากมีโดเมน คือ {1, 2, 3, 4} ซึ่งเป็นเซตของ
จ านวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เสมอ ส่วนฟังก์ชันในข้ออื่นๆ ที่เหลือไม่เป็นลาดบ

ั
เนื่องจาก
โดเมนของฟังก์ชันในข้อ (1) คือ {(–1, –2, –3, –4, –5}
โดเมนของฟังก์ชันในข้อ (3) คือ {2, 4, 6, 8, 10}


 11 1 1  1
โดเมนของฟังก์ชันในข้อ (4) คือ  , , , , 
 32 4 5  6
ซึ่งไม่เป็นเซตของจ านวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เสมอ

3. ครูกล่าวว่าในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นล าดับที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …, n} จะเรียกล าดับดังกล่าวว่า

์
ล ำดับจ ำกัด และกรณีที่ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …} จะเรียกล าดับดังกล่าวว่า ล ำดับอนันต
4. ครูแนะน าการเขียนล าดับ ดังนี้


การเขียนล าดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป นั่นคือ
ล าดับจ ากัด f(1), f(2), f(3), …, f(n) จะเขียนแทนด้วย a , a , a , …, a
n
2
3
1
ล าดับอนันต์ f(1), f(2), f(3), …, f(n), … จะเขียนแทนด้วย a , a , a , …, a , …
1
n
3
2
เรียก a ว่า พจน์ที่หนึ่งของล าดับ
1
เรียก a ว่า พจน์ที่สองของล าดับ
2
เรียก a ว่า พจน์ที่สามของล าดับ
3

เรียก a ว่า พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปของล าดับ
n

่

ั
้
5. ครูอธิบายตอไปว่า นอกจากจะเขียนลาดบโดยการแจงพจน์แลว เราอาจเขียนเฉพาะพจน์
ทั่วไปของล าดับ พร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน เช่น
ล าดับ 3, 7, 11, 15, 19 อาจเขียนแทนด้วย a = 4n – 1 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}
n
ล าดับ 2, 5, 10, 17, 26 อาจเขียนแทนด้วย a = n + 1 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}
2
n
ั

ี่
้
ั่
ั
และให้ข้อสงเกตกับนักเรียนว่า “ในกรณทก าหนดลาดบในรูปพจน์ทวไป ถ้าไม่ไดระบุสมาชิก
ี
์
ในโดเมน ให้ถือว่าล าดับนั้นเป็นล าดับอนันต”
6. ครูก าหนดฟังก์ชันและโดเมนของฟังก์ชันคือ {1, 2, 3, 4} แล้วให้นักเรียนช่วยกันหาเรนจ์ 2-3 ข้อ
ดังนี้
(1) f(x) = 5x – 1

เฉลย f(1) = 5(1) – 1 = 4

f(2) = 5(2) – 1 = 9

f(3) = 5(3) – 1 = 14

f(4) = 5(4) – 1 = 19

(2) f(x) = 3x + 5

เฉลย f(1) = 3(1) + 5 = 8

f(2) = 3(2) + 5 = 11


f(3) = 3(3) + 5 = 14
f(4) = 3(4) + 5 = 17


n
(3) f(x) = 2 + 2
1
เฉลย f(1) = 2 + 2 = 4

2
f(2) = 2 + 2 = 6

f(3) = 2 + 2 = 10
3
4
f(4) = 2 + 2 = 18


7. ครูให้นักเรียนแบ่งกลมศกษารายละเอียดเพิ่มเตมและตวอย่างจากหัวข้อท 1.1 ลาดบ ใน
ุ่
ึ
ั
ี่
ิ
ั
ื
ั
หนังสอเรียน จากนั้นครูเขียนโจทย์ตวอย่างท 1-4 ในหนังสอเรียนบนกระดาน แลวสมเรียกนักเรียน
ี่
้
ุ่
ื
ออกมาแสดงวิธีหาค าตอบ
8. ครูแจกใบงานที่ 1 “พจน์ทั่วไปของล าดับ” ให้นักเรียนแต่ละกลุ่ม เมื่อทุกกลุ่มท าเสร็จแล้ว ครู
และนักเรียนร่วมกันเฉลยค าตอบ
9. ครูให้นักเรียนแต่ละกลมทาแบบฝกหัดท 1 โดยให้ตวแทนกลมออกมาน าเสนอแนวคดในการ
ั

ี่
ิ
ึ
ุ่
ุ่
หาค าตอบ เวียนไปจนครบทุกข้อ
7.3 ขั้นสรุป
ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปวิธีในการหาพจน์ทั่วไปของล าดับอีกครั้ง ดังนี้
ี่
ั่
(1) เมื่อก าหนดลาดบให้ การหาพจน์ทวไปหรือพจน์ท n ของลาดบ คอการเขียนลาดบโดย
ั
ื

ั


ั
ั
้
่
ั่
้
ี่
แสดงพจน์ทวไปทมี n ตวแปร และเมื่อแทน n ดวยจ านวนเตมบวก 1, 2, 3, … แลวจะไดพจน์ตางๆ ตรง
็
้
กับพจน์ของล าดับที่ก าหนดให้

ี่
ั

ั
(2) การหาพจน์ทวไปของลาดบ ทาไดโดยหาความสมพันธ์ของพจน์กับตาแหน่งทหรือลาดบท ี่
ั่
ั


้
ของพจน์นั้นๆ

8. สื่อกำรเรียนรู้และแหล่งกำรเรียนร ู้


8.1 สื่อกำรเรียนร ู้

1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

2. แบบทดสอบก่อนเรียน

3. แบบฝึกหัดที่ 1

4. ใบงานที่ 1 “พจน์ทั่วไปของล าดับ”

8.2 แหล่งกำรเรียนร ู้

1. ห้องสมุดของโรงเรียน

2. ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

3. อินเทอร์เน็ตจากเว็บไซต์ต่างๆ


9. กำรวัดและประเมินผลกำรเรียนร ู้

9.1 แบบทดสอบก่อนเรียนแบบเลือกตอบ (4 ตัวเลือก) จ านวน 15 ข้อ

9.2 ตรวจผลงานจากการท าแบบฝึกหัดที่ 1

9.3 ตรวจผลงานจากการท าใบงานที่ 1 “พจน์ทั่วไปของล าดับ”

9.4 ตรวจผลงานจากสมุดบันทึกความรู้


9.5 การสังเกตพฤติกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
9.6 การสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการท างานกลุ่ม


9.7 การประเมินการน าเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน

10. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร ์


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางพรพิรุณ แจ้งใจ)



11. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มบริหำรวิชำกำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางไพรจิตร บ้านเหลา)
่



12. ควำมคิดเห็นของผู้บริหำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ .........................................................

(นางสาวสุภัสตรา ฝ่ายสงค์)

รองผู้อ านวยการโรงเรียนโคกโพธิ์ไชยศึกษา

13. บันทึกกำรเรียนรู้ส ำหรับนักเรียน (Student’s Reflection)


13.1 ได้รับความรู้อะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

น าไปปฏิบัติดังนี้

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.2 ชอบอะไรมากที่สุดในการเรียน

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.3 ไม่ชอบอะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.4 จะดีกว่านี้ถ้าครูควรท า

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

หรือนักเรียนควร

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ..................................................ผู้เรียน

14. บันทึกกำรจัดกำรเรียนรู้ส ำหรับครู (Teacher’s Reflection)


14.1 ความส าเร็จในการจัดการเรียนรู้

ด้านผู้เรียน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

ด้านวิธีสอนการวัดผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.2 ปัญหา/อุปสรรคในการจัดการเรียนรู้

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.3 สิ่งที่ไม่ได้ปฏิบัติตามแผน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

เหตุผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.4 แนวทางการปรับปรุง/พัฒนาตนเองครั้งต่อไป

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ................................................... ผู้สอน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

บงำนที่ 1
ใบงำนที่ 1
เฉลยใ

เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก
เรื่อง พจน์ทั่วไปของล ำดับ
และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน


ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........
รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................
ิ
์

1. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 3, 7, 11, 15, 19



วิธีท ำ













1 1 1 1
2. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 1, , , ,
4 9 16 25



วิธีท ำ

3 3 3 3
3. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 3, , , ,
2 4 8 16



วิธีท ำ

บงำนที่ 1
เฉลยใ
เฉลยใบงำนที่ 1


เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก
เรื่อง พจน์ทั่วไปของล ำดับ
และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน

ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........

์
ิ
รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................

1. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 3, 7, 11, 15, 19



วิธีท ำ a = 3 = 4(1) – 1
1
a = 7 = 4(2) – 1
2
a = 11 = 4(3) – 1
3
a = 15 = 4(4) – 1
4
a = 19 = 4(5) – 1
5
ดังนั้น a = 4n – 1
n


1 1 1 1
2. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 1, , , ,
4 9 16 25



1
วิธีท ำ a = 1 =
1
1 2
1 1
a = = 2
2
4 2
1 1
a = =
3
9 3 2
1 1
a = =
4
16 4 2
1 1
a = =
5
25 5 2
1
ดังนั้น a =
n
n 2

3 3 3 3
3. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 3, , , ,
2 4 8 16



 1  1− 1
วิธีท ำ a = 3 = 3 
1
 2 
3  1  2− 1
a = = 3 
2
2  2 


a = 3 = 3  1  3− 1
3
4  2 
3  1  4− 1
a 4 = = 3 
8  2 

3  1  5− 1
a = = 3 
5
16  2 
 1  n− 1
ดังนั้น a = 3 
n
 2 

เกณฑ์กำรประเมินสมุดบันทึกควำมรู้



กำรให้คะแนน/ระดับคะแนน

ปรับปรุง (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมำก (4)

บันทึกข้อมูลไม่ถูกต้อง บันทึกมีข้อมูลแต่ยังไม่ บันทึกมีความถูกต้อง บันทึกมีความถูกต้อง

ครบถ้วนสมบูรณ ์ สมบูรณ์พอสมควร ชัดเจนครบถ้วน

สมบูรณ ์



เกณฑ์คุณภำพกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม


ระดับคุณภำพ
ที่ รำยกำรประเมิน
1 2 3

1 การท างานร่วมกัน ยอมรับมติการท างาน ยอมรับมติของกลุ่ม - ยอมรับมติของกลุ่ม

ของกลุ่ม แต่ปฏิบัต ิ - รับผิดชอบงานที่รับ

ตามน้อยครั้ง มอบหมายจากกลุ่ม

2 ความกระตือรือร้น ช่วยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลืองานในกลุ่ม - ช่วยเหลืองานภายใน

กลุ่มเมื่อมีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ กลุ่ม

คิดเห็น - ร่วมแสดงความ

คิดเห็น

- ใฝ่รู้ใฝ่เรียน

- ศึกษาค้นคว้า

3 การตอบค าถาม มีส่วนร่วมในการตอบ มีส่วนร่วมในการตอบ ให้ความร่วมมือใน

ค าถามน้อยมาก ค าถามบางครั้ง การตอบค าถามเป็น

อย่างด ี

4 ความคิดริเริ่ม ร่วมกิจกรรมตามท ี่ รับฟังแต่แสดงความ ร่วมรับฟังและแสดง

สร้างสรรค ์ กลุ่มขอร้อง คิดเห็นทคล้อยตาม ความคิดเห็นท ี่
ี่
เพื่อนๆ แตกต่าง แต่มี

ประโยชน์

แบบประเมินพฤติกรรมกำรเรียนรู้



รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........
ิ
์

ควำมตั้งใจ กำรตั้ง กำรท ำ ส่งงำน มำเรียน รวม ปรับ

ล ำดับ มุ่งมั่น ค ำถำม กิจกรรม ในเวลำ สม่ ำเสมอ คะแนน คะแนน
ชื่อ-นำมสกุล
ที่ ตอบค ำถำม กลุ่ม ที่ก ำหนด

(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2
3

4

5

6

7

8

9

10

11
12

13

14

15

....



หมำยเหต 1. แบบประเมินนี้ใช้ได้ตลอดภาคเรียน
ุ
2. เกณฑ์การประเมิน


ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน
(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

............./.................../................

แบบกำรประเมินกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม



รำยกำรประเมิน สรุปผล

กำร ควำม กำร ควำมคิด
รวม
ที่ ชื่อ-สกุล ท ำงำน กระตือ ตอบ ริเริ่ม ไม่
(12) ผ่ำน
ร่วมกัน รือร้น ค ำถำม สร้ำงสรรค์ ผ่ำน
(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9


เกณฑ์กำรประเมน
ิ
9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี

5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช ้

ต่ ากว่า 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรุง

สรุปผลกำรประเมิน

 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

ั
เกณฑ์กำรตดสินใจ
่
 ผ่าน  ไม่ผาน
หมำยเหตุ : เกณฑ์เป็นไปตามที่โรงเรียนก าหนด

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)
............./.................../................

แบบประเมินกำรน ำเสนอผลงำนหน้ำชั้นเรียน


กลุ่มที่ ......... เรื่อง ..................................................... ชั้น ....... /........


ค ำชี้แจง : ให้ผู้สอนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ✓ ลงใน

ช่องว่างที่ตรงกับระดับคะแนน


ระดับคะแนน
ล ำดับที่ รำยกำรประเมิน
4 3 2 1

1 ความถูกต้องของเนื้อหา

2 ความคิดสร้างสรรค ์


3 วิธีการน าเสนอผลงาน


4 การน าไปใช้ประโยชน์


5 การตรงต่อเวลา

รวม





ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)
............./.................../................



เกณฑ์กำรให้คะแนน

์
ปฏิบัติหรือแสดงผลงานสมบูรณชัดเจน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางส่วน ให้ 3 คะแนน

ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องเป็นส่วนใหญ่ ให้ 2 คะแนน

ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก ให้ 1 คะแนน

แผนกำรจัดกำรเรียนรู้

ิ
กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณตศำสตร์ รำยวชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5
์
ิ
ิ
หน่วยกำรเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล ำดับและอนุกรม เวลำ 20 ชั่วโมง
แผนกำรจัดกำรเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง ล ำดับเลขคณิต เวลำ 4 ชั่วโมง
ครูผู้สอน นำงสำวอัสรำพร ทองเจริญ ภำคเรียนที่ 1 ปีกำรศึกษำ 2564

วันที่สอน.......................เดือน......................................................พ.ศ................
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1. มำตรฐำนกำรเรียนรู้/ตัวชี้วัด

ั
มำตรฐำน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมพันธ์ ฟังก์ชน ลาดบและอนุกรม และ
ั
ั

น าไปใช ้
ตัวชี้วัดข้อ 2 เข้าใจและน าความรู้เกี่ยวกับล าดับและอนุกรมไปใช ้


2. แนวคิดส ำคัญ

ั
็
ฟังก์ชนทมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตมบวกทเรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตงแต 1 เรียกว่า
ี่

่
ั้
ี่
ี่
่
่
ี่
ิ
ั
ั
่
้
ั

ิ
ั


ั
ลาดบ ซึ่งลาดบเลขคณตเป็นลาดบทมีผลตางของพจน์หลงลบดวยพจน์หน้าทอยู่ตดกันมีคาคงตวเทากัน
ั
่
ิ
ี่
้
เสมอ สวนลาดบเรขาคณตเป็นลาดบทมีผลหารของพจน์หลงหารดวยพจน์หน้าทอยู่ตดกันมีคาคงตว
ิ
ี่

ั
ั
่
ั

เท่ากันเสมอ
3. จุดประสงค์กำรเรียนร ู้
3.1 สามารถบอกได้ว่าล าดับที่ก าหนดให้เป็นล าดับเลขคณิต
3.2 สามารถหาพจน์ต่างๆ ของล าดับเลขคณิตและน าไปใช้ได ้
4. สำระกำรเรียนร ู้
ล าดับเลขคณิต
5. ชิ้นงำน/ภำระงำน
5.1 ผลการปฏิบัติงานตามแบบฝึกหัดที่ 2
5.2 ผลการปฏิบัติงานตามใบงานที่ 2 “ล าดับเลขคณิต”
5.3 ผลการเขียน Mind Mapping

6. ค ำถำมส ำคัญ



ั
6.1 การตรวจสอบว่าลาดับที่ก าหนดให้เป็นล าดบเลขคณิตหรือไม่มีวิธีการอย่างไร
6.2 การหาพจน์ต่างๆ ของล าดับเลขคณตมีวิธีการอย่างไร
ิ

7. กิจกรรมกำรจัดกำรเรียนร ู้

7.1 ขั้นน ำ

ี่
ั
ี่
ั่
่
ครูทบทวนเรื่องลาดบทเรียนในชวโมงทผานมา โดยสมถามนักเรียนเพื่อตรวจสอบความเข้าใจ
ุ่

แล้วให้นักเรียนพิจารณาล าดับต่อไปนี้
3, 5, 7, 9, 11
ให้นักเรียนหาผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะได้ว่า
5 – 3 = 2

7 – 5 = 2

9 – 7 = 2

11 – 9 = 2

ครูให้นักเรียนสังเกตว่า ผลต่างที่ได้มีค่าคงตัว

7.2 ขั้นสอน


ี

ั

่
ั
้
1. ครูยกตวอย่างลาดบในทานองเดยวกับขั้นน า ให้นักเรียนหาผลตางของพจน์หลงลบดวยพจน์
ั
หน้าที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะได้ผลต่างมีค่าคงตัว ครูกล่าวว่าล าดับที่มีลักษณะดังกล่าวเรียกว่า ล ำดับเลขคณิต
2. ครูอธิบายความหมายของล าดับเลขคณิต ดังนี้
่
ั
้
ี่
ี่
้
่

ั
ื
ั
ล ำดบเลขคณิต คอลาดบทผลตางซึ่งไดจากพจน์ท n + 1 ลบดวยพจน์ท n มีคาคงตว คาคง
่
ี่
ตัวนี้ เรียกว่า ผลต่างร่วม
ั
ิ

ั

ิ
้
เมื่อครูอธิบายความหมายของลาดบเลขคณตแลว ให้นักเรียนลองสร้างลาดบเลขคณตและหา
ผลต่างร่วม ครูอาจใช้วิธีสุ่มถามเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง
้
3. ครูอธิบายการหาพจน์ทวไปหรือพจน์ท n (a ของลาดบเลขคณต สามารถทาไดโดยการบวก


ั
ี่
ั่
ิ
n
พจน์ที่หนึ่งด้วยผลต่างร่วมในแต่ละครั้ง เช่น

จงหาพจน์ที่ n ของลาดับ 2, 7, 12, 17, 22, …
วิธีท ำ ให้ a 1 = 2

a = 7 = 2 + 5
2

a = 12 = 2 + 5(2)
3
a = 17 = 2 + 5(3)
4

a = 22 = 2 + 5(4)
5


จะได้ a = 2 + 5(n – 1)
n
4. จากตัวอย่างข้างต้นครูสรุปเป็นกรณีทั่วไป ดังนี้


ั
ให้ a เป็นพจน์แรก d เป็นผลตางร่วม เราสามารถเขียนพจน์อื่นๆ ของลาดบเลขคณิตในรูป
่

1
a และ d ได้เป็น
1
a = a + d
1
2
a = a + d = (a + d) + d = a + 2d
2
1
1
3
a = a + d = (a + 2d) + d = a + 3d
3
1
1
4

a = a + d = (a + (n – 2)d) + d = a + (n – 1)d
1
n
n–1
1
ดังนั้น พจน์ท n ของล าดับเลขคณิต คือ a + (n – 1)d
ี่
1
5. ครูอธิบายว่า เมื่อโจทย์ก าหนดพจน์แรกของลาดบเลขคณตคอ a และผลตางร่วมคอ d เรา
ื
่
ื
ั

ิ
1
้
สามารถหาพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปได เช่น
ั
ี่
ก าหนดลาดบเลขคณต –3, 2, 7, … ให้นักเรียนหาพจน์ท 13 พจน์ท 30 และพจน์ท n ของ

ี่
ี่
ิ
ล าดบ
ั
วิธีท ำ จากสูตรพจน์ที่ n ของล าดับเลขคณิต คือ a + (n – 1)d
1
จะได้พจน์ที่ 13 คือ a = a + (13 – 1)d
1
13
a = a + 12d
13
1
จากล าดับ –3 , 2 , 7 , …
แสดงว่า a = –3 และ d = 2 – (–3) = 5
1
ดังนั้น a = –3 + 12(5) = –3 + 60 = 57
13

a = –3 + 29(5) = –3 + 145 = 142
30
a n = –3 + (n – 1)(5) = –3 + 5n – 5 = 5n – 8

6. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมและตัวอย่างจากหัวข้อที่ 1.2 ล าดับเลขคณต
ิ

ื
ี่
้
ุ่
ในหนังสอเรียน จากนั้นครูเขียนโจทย์ตวอย่างท 5-8 ในหนังสอเรียนบนกระดาน แลวสมเรียกนักเรียน
ั
ื
ออกมาแสดงวิธีหาค าตอบ
่

ั
ิ
ี่
ุ่

้
7. ครูแจกใบงานท 2 “ลาดบเลขคณต” ให้นักเรียนแตละกลม เมื่อทกกลมทาเสร็จแลว ครูและ
ุ่
ุ
นักเรียนร่วมกันเฉลยค าตอบ
่
8. ครูแจกใบความรู้ “ล าดับฮาร์มอนิก” ซึ่งเป็นเนื้อหาเพิ่มเติมจากหนังสือเรียนให้นักเรียนแตละ
กลุ่ม จากนั้นครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายตัวอย่างในใบความรู้จนนักเรียนเข้าใจ
ี่
ุ่

ิ
ั
ึ
9. ครูให้นักเรียนแต่ละกลมทาแบบฝกหัดท 2 โดยให้ตวแทนกลมออกมาน าเสนอแนวคดในการ
ุ่
หาค าตอบ เวียนไปจนครบทุกข้อ
7.3 ขั้นสรุป
ครูให้นักเรียนสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับล าดบเลขคณต โดยเขียนเป็นแผนผังความคิด (Mind
ั
ิ
Mapping) เช่น

ล ำดับเลขคณิต คือ ล าดับที่ผลต่างซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วย
พจน์ที่ n มีคาคงตัว คาคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม เขียนแทนด้วย d
่
่

d = a – a
n
n+1


ล ำดับเลขคณิต




ิ
การหาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณต หาได้จากสูตร

a = a + (n – 1)d
n
1

8. สื่อกำรเรียนรู้และแหล่งกำรเรียนร ู้


8.1 สื่อกำรเรียนร ู้

1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

2. แบบฝึกหัดที่ 2

3. ใบงานที่ 2 “ล าดับเลขคณิต”


4. ใบความรู้ “ลาดับฮาร์มอนิก”
8.2 แหล่งกำรเรียนร ู้

1. ห้องสมุดของโรงเรียน

ิ
2. ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณตศาสตร์
3. อินเทอร์เน็ตจากเว็บไซต์ต่างๆ


9. กำรวัดและประเมินผลกำรเรียนร ู้

9.1 ตรวจผลงานจากการท าแบบฝึกหัดที่ 2

9.2 ตรวจผลงานจากการท าใบงานที่ 2 “ล าดับเลขคณิต”

9.3 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping

9.4 ตรวจผลงานจากสมุดบันทึกความรู้


ิ
9.5 การสังเกตพฤตกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
9.6 การสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการท างานกลุ่ม


9.7 การประเมินการน าเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน

10. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร ์


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางพรพิรุณ แจ้งใจ)



11. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มบริหำรวิชำกำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางไพรจิตร บ้านเหลา)
่



12. ควำมคิดเห็นของผู้บริหำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ .........................................................

(นางสาวสุภัสตรา ฝ่ายสงค์)

รองผู้อ านวยการโรงเรียนโคกโพธิ์ไชยศึกษา

13. บันทึกกำรเรียนรู้ส ำหรับนักเรียน (Student’s Reflection)


13.1 ได้รับความรู้อะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

น าไปปฏิบัติดังนี้

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.2 ชอบอะไรมากที่สุดในการเรียน

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.3 ไม่ชอบอะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.4 จะดีกว่านี้ถ้าครูควรท า

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

หรือนักเรียนควร

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ..................................................ผู้เรียน

14. บันทึกกำรจัดกำรเรียนรู้ส ำหรับครู (Teacher’s Reflection)


14.1 ความส าเร็จในการจัดการเรียนรู้

ด้านผู้เรียน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

ด้านวิธีสอนการวัดผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.2 ปัญหา/อุปสรรคในการจัดการเรียนรู้

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.3 สิ่งที่ไม่ได้ปฏิบัติตามแผน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

เหตุผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.4 แนวทางการปรับปรุง/พัฒนาตนเองครั้งต่อไป

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ................................................... ผู้สอน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

บงำนที่ 1
ใบงำนที่ 2
เฉลยใ

เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก
เรื่อง ล ำดับเลขคณิต
และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน
ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........

ิ
์
รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................

ั
1. จงหาค่าของ x จากล าดบเลขคณต x + 2, 3x + 1, 4x – 5, …
ิ


วิธีท ำ











2. ถ้า 7, A, B, C, 19 เป็นพจน์ 5 พจน์เรียงติดกันในล าดับเลขคณิต จงหาคาของ A, B และ C
่


วิธีท ำ

ั
3. ล าดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วมเป็น 5 และมีพจน์ที่ 2 เป็น 12 แล้วพจน์ที่ 20 ของล าดบนี้มีค่า
เท่าไร




วิธีท ำ

บงำนที่ 1
เฉลยใ
เฉลยใบงำนที่ 2
เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก

เรื่อง ล ำดับเลขคณิต

และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน

ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........

รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................
ิ
์

ั
1. จงหาค่าของ x จากล าดบเลขคณต x + 2, 3x + 1, 4x – 5, …
ิ


วิธีท ำ เนื่องจากเป็นล าดับเลขคณิต ผลต่างร่วมจึงมีค่าคงตัว จะได้ว่า

(3x + 1) – (x + 2) = (4x – 5) – (3x + 1)

2x – 1 = x – 6

2x – x = –6 + 1

x = –5




่
2. ถ้า 7, A, B, C, 19 เป็นพจน์ 5 พจน์เรียงติดกันในล าดับเลขคณิต จงหาคาของ A, B และ C



วิธีท ำ เนื่องจาก a = 7, a = 19
5
1
จาก a = a + (n – 1)d
n
1
จะได้ a 5 = a 1 + (5 – 1)d

19 = 7 + 4d


d = 19 − 7 = 3
4

ดังนั้น A = 7 + d = 7 + 3 = 10

B = A + 3 = 10 + 3 = 13

C = B + 3 = 13 + 3 = 16

ั
3. ล าดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วมเป็น 5 และมีพจน์ที่ 2 เป็น 12 แล้วพจน์ที่ 20 ของล าดบนี้มีค่า
เท่าไร




วิธีท ำ จาก a = a + (n – 1)d
n
1
จะได้ a = a + (2 – 1)5
1
2
12 = a + 5
1
a = 7
1

แทนค่า a = 7, d = 5
1
a = 7 + (n – 1)5
n

= 5n + 2
ล าดับเลขคณิตนี้คือ 7, 12, 17, 22, 27, …, 5n + 2, …


จาก a = 5n + 2
n
ถ้า n = 20 ; a = 5(20) + 2
20
= 100 + 2

= 102

ใบควำมรู้



เรื่อง “ล ำดับฮำร์มอนิก”


ล าดับซึ่งพจน์แต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของล าดับเลขคณิต เรียกว่า ล ำดับฮำร์มอนิก สรุปเป็นกรณ ี

ทั่วไปได้ดังนี้


จาก a , a , a , …, a , … เป็นลาดับเลขคณิต
3
2
1
n
1 1 1 1
จะได้ , , , ..., ... , เป็นล าดับฮาร์มอนิก
a 1 a 2 a 3 a n
ิ
ถ้าพจน์ที่ n ของล าดับเลขคณต คือ a n = a 1 + (n – 1)d
1
แล้วพจน์ท n ของล าดับฮาร์มอนิก คือ a =
ี่
n
a + (n− 1)d
1
1 1 1
ตัวอย่ำงที่ 1 ก าหนดล าดับฮาร์มอนิก , , ... , จงหาพจน์ที่ 50 ของล าดับนี้
3 7 11


้
ั
(แนวคิด ทำไดโดยเปลยนลำดบฮำร์มอนิกทโจทย์ก ำหนดให้เป็นลำดบเลขคณตก่อน
ั
ี่
ี่

ิ
่
ั
้
้
้
ี่
ิ
ี
ั

ิ
ั
แลวหำพจน์ท 50 ของลำดบเลขคณตทได จำกนั้นเขยนสวนกลบของพจน์ในลำดบเลขคณต จะไดพจน์ท ี่

ี่
50 ของล ำดับฮำร์มอนิก ตำมต้องกำร)
1 1 1
วิธีท ำ จากโจทย์ , , ... , เป็นล าดับฮาร์มอนิก
3 7 11
ิ
จะได้ 3, 7, 11, … เป็นล าดบเลขคณต
ั
พจน์ที่ n ของล าดับเลขคณิต คือ a = a + (n – 1)d
n
1
a = a + (50 – 1)d
50
1
a = a + 49d
1
50
แทนค่าจะได a = 3 + (49  4)
้
50
= 3 + 196
= 199
1 1 1 1
ดังนั้น พจน์ที่ 50 ของล าดับ , , ... , คือ
3 7 11 199

วิธีกำรหำพจน์กลำงระหว่ำงพจน์สองพจน์ของล ำดับฮำร์มอนิก


ถ้า a, H, b เป็นล าดับฮาร์มอนิก

1 1 1
จะได้ว่า , , เป็นล าดับเลขคณิต
a H b
1 1 1 1
หาผลต่างร่วม; d = − = −
H a b H
1 1 1 1
+ = +
H H b a
2 a + b
=
H ab

2ab
จะได้ H =
a + b
2ab
นั่นคือ H = เป็นสูตรการหาพจน์กลางของล าดับฮาร์มอนิก a, H, b
a + b

p q
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาพจน์กลางระหว่าง และ ซึ่งเป็นล าดับฮาร์มอนิก
q p

วิธีท ำ จาก a, H, b เป็นล าดับฮาร์มอนิก
2ab
สูตร พจน์กลางของล าดับฮาร์มอนิก คือ H =
a + b
p q
2 
p q q p 2 2pq
ดังนั้น พจน์กลางระหว่าง และ คือ = =
q p p + q p + q 2 p + q 2
2
2
q p pq

เกณฑ์กำรประเมินกำรเขียน Mind Mapping





ระดับคุณภำพ
ประเด็น
4 3 2 1
กำรประเมิน
(ดีมำก) (ดี) (พอใช้) (ปรับปรุง)

พื้นฐานเบื้องต้น การน าเสนอมีการ การน าเสนอมีการ การน าเสนอมีการ การน าเสนอมี

ของเซต เรียงล าดับเนื้อหา เรียงล าดับเนื้อหา เรียงล าดับเนื้อหา การเรียงล าดับ

ไดดีมาก มีความ ได้ดี มีความ ได้พอใช้ มีความ เนื้อหาที่ควร
้
ต่อเนื่องมีประโยชน์ ต่อเนื่อง มี ต่อเนื่องมี ปรับปรุง ไม่มี

ให้แง่คิดทด ี ประโยชน์ ให้ ประโยชน์น้อย ให้ ความต่อเนื่องมี
ี่
แง่คิด แง่คิดน้อย ประโยชน์ น้อย

ให้แง่คิดน้อย


เกณฑ์กำรประเมิน

ระดับคะแนน 10 คะแนน คุณภาพดีมาก

ระดับคะแนน 9 คะแนน คุณภาพด ี

ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คุณภาพพอใช ้


ระดับคะแนน 5-6 คะแนน คุณภาพควรปรับปรุง

เกณฑ์กำรประเมินสมุดบันทึกควำมรู้



กำรให้คะแนน/ระดับคะแนน

ปรับปรุง (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมำก (4)


บันทึกข้อมูลไม่ถูกต้อง บันทึกมีข้อมูลแต่ยังไม่ บันทึกมีความถูกต้อง บันทึกมีความถูกต้อง
ครบถ้วนสมบูรณ ์ สมบูรณ์พอสมควร ชัดเจนครบถ้วน


สมบูรณ ์



เกณฑ์คุณภำพกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม


รำยกำร ระดับคุณภำพ
ที่
ประเมิน 1 2 3

1 การท างาน ยอมรับมติการท างาน ยอมรับมติของกลุ่ม - ยอมรับมติของกลุ่ม

ร่วมกัน ของกลุ่ม แต่ปฏิบัติตาม - รับผิดชอบงานที่รับ

น้อยครั้ง มอบหมายจากกลุ่ม

2 ความ ช่วยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลืองานในกลุ่ม - ช่วยเหลืองานภายใน

กระตือรือร้น กลุ่มเมื่อมีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ กลุ่ม

คิดเห็น - ร่วมแสดงความ

คิดเห็น

- ใฝ่รู้ใฝ่เรียน

- ศึกษาค้นคว้า

3 การตอบค าถาม มีส่วนร่วมในการตอบ มีส่วนร่วมในการตอบ ให้ความร่วมมือในการ

ค าถามน้อยมาก ค าถามบางครั้ง ตอบค าถามเป็นอย่างด ี

4 ความคิดริเริ่ม ร่วมกิจกรรมตามที่กลุ่ม รับฟังแต่แสดงความ ร่วมรับฟังและแสดง

ี่
สร้างสรรค ์ ขอร้อง คิดเห็นทคล้อยตาม ความคิดเห็นที่แตกต่าง
เพื่อนๆ แต่มีประโยชน์

แบบประเมินพฤติกรรมกำรเรียนรู้



รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/.....
ิ
์
เรื่อง ...............................................................................................................


ควำมตั้งใจ กำรตั้ง กำรท ำ ส่งงำน มำเรียน รวม ปรับ
ล ำดับ มุ่งมั่น ค ำถำม กิจกรรม ในเวลำ สม่ ำเสมอ คะแนน คะแนน
ชื่อ-นำมสกุล
ที่ ตอบค ำถำม กลุ่ม ที่ก ำหนด
(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8
9

10

11

12

13

14


หมำยเหต 1. แบบประเมินนี้ใช้ได้ตลอดภาคเรียน
ุ
2. เกณฑ์การประเมิน

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

............./.................../................

แบบกำรประเมินกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม



รำยกำรประเมิน สรุปผล

กำร ควำม กำร ควำมคิด
รวม
ที่ ชื่อ-สกุล ท ำงำน กระตือ ตอบ ริเริ่ม ไม่
(12) ผ่ำน
ร่วมกัน รือร้น ค ำถำม สร้ำงสรรค์ ผ่ำน
(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9


เกณฑ์กำรประเมิน

9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี

5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช ้

ต่ ากว่า 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรุง

สรุปผลกำรประเมิน

 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

ั
เกณฑ์กำรตดสินใจ
่
 ผ่าน  ไม่ผาน
หมำยเหตุ : เกณฑ์เป็นไปตามที่โรงเรียนก าหนด

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)
............./.................../................

แบบประเมินกำรน ำเสนอผลงำนหน้ำชั้นเรียน


กลุ่มที่ ......... เรื่อง ..................................................... ชั้น ....... /........


ค ำชี้แจง : ให้ผู้สอนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ✓ ลงใน

ช่องว่างที่ตรงกับระดับคะแนน


ระดับคะแนน
ล ำดับที่ รำยกำรประเมิน
4 3 2 1

1 ความถูกต้องของเนื้อหา

2 ความคิดสร้างสรรค ์


3 วิธีการน าเสนอผลงาน


4 การน าไปใช้ประโยชน์


5 การตรงต่อเวลา

รวม





ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)
............./.................../................



เกณฑ์กำรให้คะแนน

์
ปฏิบัติหรือแสดงผลงานสมบูรณชัดเจน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องบางส่วน ให้ 3 คะแนน

ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องเป็นส่วนใหญ่ ให้ 2 คะแนน

ปฏิบัติหรือแสดงผลงานมีข้อบกพร่องมาก ให้ 1 คะแนน

แผนกำรจัดกำรเรียนรู้

์
ิ
ิ
กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณตศำสตร์ รำยวชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5
ิ
หน่วยกำรเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง ล ำดับและอนุกรม เวลำ 20 ชั่วโมง
แผนกำรจัดกำรเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง ล ำดับเรขำคณิต เวลำ 4 ชั่วโมง
ครูผู้สอน นำงสำวอัสรำพร ทองเจริญ ภำคเรียนที่ 1 ปีกำรศึกษำ 2564

วันที่สอน.......................เดือน......................................................พ.ศ................
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1. มำตรฐำนกำรเรียนรู้/ตัวชี้วัด

มำตรฐำน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสมพันธ์ ฟังก์ชน ลาดบและอนุกรม และ
ั
ั

ั
น าไปใช ้
ตัวชี้วัดข้อ 2 เข้าใจและน าความรู้เกี่ยวกับล าดับและอนุกรมไปใช ้


2. แนวคิดส ำคัญ


่
ี่
ั

็
ั้
ี่
ฟังก์ชนทมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตมบวกทเรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตงแต 1 เรียกว่า
ั
ล าดับ ซึ่งล าดับเลขคณิตเป็นล าดบที่มีผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ตดกันมีค่าคงตัวเทากัน
่
ิ
ี่
่
ิ
เสมอ สวนลาดบเรขาคณตเป็นลาดบทมีผลหารของพจน์หลงหารดวยพจน์หน้าทอยู่ตดกันมีคาคงตว
ั
้

ั
ั
่
ิ
ี่
ั

เท่ากันเสมอ

3. จุดประสงค์กำรเรียนร ู้
3.1 สามารถบอกได้ว่าล าดับที่ก าหนดให้เป็นล าดับเรขาคณิต
3.2 สามารถหาพจน์ต่างๆ ของล าดับเรขาคณิตและน าไปใช้ได ้

4. สำระกำรเรียนร ู้
ล าดับเรขาคณิต

5. ชิ้นงำน/ภำระงำน


5.1 ผลการปฏิบัติงานตามแบบฝึกหัดที่ 3

5.2 ผลการปฏิบัติงานตามกิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ที่ 1

5.3 ผลการปฏิบัติงานตามใบงานที่ 3 “ล าดับเรขาคณิต”

5.4 ผลการเขียน Mind Mapping


6. ค ำถำมส ำคัญ

ั
6.1 การตรวจสอบว่าลาดับที่ก าหนดให้เป็นล าดบเรขาคณิตหรือไม่มีวิธีการอย่างไร

6.2 การหาพจน์ต่างๆ ของล าดับเรขาคณิตมีวิธีการอย่างไร



7. กิจกรรมกำรจัดกำรเรียนร ู้

7.1 ขั้นน ำ

ครูเขียนล าดับ 3 ล าดับต่อไปนี้บนกระดาน

(1) 3, 9, 27, 81, 243

(2) 32, 16, 8, 4, 2

(3) 4, –16, 64, –256

แล้วให้นักเรียนหาค่าของพจน์ที่ n + 1 หารด้วยพจน์ที่ n ของล าดับทั้งสาม ซึ่งจะได้ดังนี้

9
(1) = 27 = 81 = 243 = 3
3 9 27 81
16 8 4 2 1
(2) = = = =
32 16 8 4 2

(3) − 16 = 64 = − 256 = –4
4 − 16 64

ี่
้
้
ี่
ี่
ั

ครูถามนักเรียนว่า คาของพจน์ท n + 1 หารดวยพจน์ท n ทหาไดจากลาดบทงสาม มีลกษณะ
่
ั้
ั
อย่างไร
(เป็นค่ำคงที่)

7.2 ขั้นสอน

a

ื
ั
ั
ี่
ั
1. ครูอธิบายว่า ให้ลาดบ a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 คอแตละพจน์ของลาดบ เราเรียกลาดบทมี n+ 1

่

a n
่
ุ
่
ี่
ั
่
่

ี่
เป็นคาคงท ทกคาของจานวนนับ n ว่า ล ำดบเรขำคณิต และเรียกคาคงทนี้ว่า อัตรำส่วนรวม โดยครู
อธิบายความหมายของล าดับเรขาคณิต ดังนี้
ล ำดับเรขำคณิต คือ ล าดับที่มีอัตราส่วนร่วมของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคง
ตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม
2. ครูกลาวตอว่า ในกรณทวไป ถ้าให้ a , a , a , a , …, a , ... เป็นลาดบเรขาคณต โดยท a
่
่
ั่
ิ
ี
ี่
ั

4
2
3
1
n
1
เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม เราเขยนพจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 พจน์ที่ 4 ไปจนถึงพจน์ที่ n ได้ดังนี้
ี
a = a r
1
2
a = a r = (a r)r = a r
2
2
1
3
1
a = a r = (a r )r = a r
3
2
1
1
3
4

n–1
a = a r
n
1
สรุปได้ว่า เมื่อก าหนดพจน์แรกของล าดับเรขาคณิตคือ a และอัตราส่วนร่วมคือ r เราสามารถ
1
หาพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปได้จากสูตร
a = ra 1 n− 1
n

ั
ั
ิ

ี่
ึ
ุ่
3. ครูให้นักเรียนแบ่งกลมศกษารายละเอียดเพิ่มเตมและตวอย่างจากหัวข้อท 1.3 ลาดบ
ื
้
ิ
ุ่
เรขาคณต ในหนังสอเรียน จากนั้นครูเขียนโจทย์ตวอย่างท 9-13 ในหนังสอเรียนบนกระดาน แลวสม
ั
ื
ี่
เรียกนักเรียนออกมาแสดงวิธีหาค าตอบ
ิ
ั
4. ครูแจกใบงานที่ 3 “ล าดบเรขาคณต” ให้นักเรียนแต่ละกลุ่ม เมื่อทุกกลุ่มท าเสร็จแล้ว ครูและ
นักเรียนร่วมกันเฉลยค าตอบ
5. ครูให้นักเรียนท ากิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ที่ 1 พร้อมทั้งตรวจสอบความถูกตองในการทา

้
กิจกรรมของนักเรียน
6. ครูให้นักเรียนแต่ละกลมทาแบบฝกหัดท 3 โดยให้ตวแทนกลมออกมาน าเสนอแนวคดในการ
ุ่
ี่
ึ
ุ่
ั
ิ

หาค าตอบ เวียนไปจนครบทุกข้อ

7.3 ขั้นสรุป

ั
ิ

ิ
ั
ิ
ครูให้นักเรียนสรุปความคดรวบยอดเกี่ยวกับลาดบเรขาคณต โดยเขียนเป็นแผนผงความคด
(Mind Mapping) เช่น

ล ำดับเรขำคณิต คือ ล าดบทผลหารซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n + 1
ี่
ั

หารด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม

เขียนแทนด้วย r โดย


r =




ล ำดับเรขำคณิต





ั
ู
การหาพจน์ที่ n ของลาดบเรขาคณิต หาได้จากสตร

n–1
a = a r
n
1

8. สื่อกำรเรียนรู้และแหล่งกำรเรียนร ู้


8.1 สื่อกำรเรียนร ู้

1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์

2. แบบฝึกหัดที่ 3

3. กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ที่ 1

4. ใบงานที่ 3 “ล าดับเรขาคณิต”

8.2 แหล่งกำรเรียนร ู้

1. ห้องสมุดของโรงเรียน

2. ห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้คณตศาสตร์
ิ
3. อินเทอร์เน็ตจากเว็บไซต์ต่างๆ

9. กำรวัดและประเมินผลกำรเรียนร ู้



9.1 ตรวจผลงานจากการทาแบบฝึกหัดท 3
ี่
9.2 ตรวจผลงานจากการท ากิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้ที่ 1

9.3 ตรวจผลงานจากการท าใบงานที่ 3 “ล าดับเรขาคณิต”

9.4 ตรวจผลงานจาก Mind Mapping

9.5 ตรวจผลงานจากสมุดบันทึกความรู้

9.6 การสังเกตพฤติกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

9.7 การสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้านการท างานกลุ่ม

9.8 การประเมินการน าเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน

10. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร ์


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางพรพิรุณ แจ้งใจ)



11. ควำมคิดเห็นของหัวหน้ำกลุ่มบริหำรวิชำกำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ ...................................................

(นางไพรจิตร บ้านเหลา)
่



12. ควำมคิดเห็นของผู้บริหำร


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ลงชื่อ .........................................................

(นางสาวสุภัสตรา ฝ่ายสงค์)

รองผู้อ านวยการโรงเรียนโคกโพธิ์ไชยศึกษา

13. บันทึกกำรเรียนรู้ส ำหรับนักเรียน (Student’s Reflection)


13.1 ได้รับความรู้อะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

น าไปปฏิบัติดังนี้

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.2 ชอบอะไรมากที่สุดในการเรียน

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.3 ไม่ชอบอะไรบ้าง

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

13.4 จะดีกว่านี้ถ้าครูควรท า

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

หรือนักเรียนควร

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ..................................................ผู้เรียน

14. บันทึกกำรจัดกำรเรียนรู้ส ำหรับครู (Teacher’s Reflection)


14.1 ความส าเร็จในการจัดการเรียนรู้

ด้านผู้เรียน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

ด้านวิธีสอนการวัดผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.2 ปัญหา/อุปสรรคในการจัดการเรียนรู้

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.3 สิ่งที่ไม่ได้ปฏิบัติตามแผน

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

เหตุผล

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................

14.4 แนวทางการปรับปรุง/พัฒนาตนเองครั้งต่อไป

...............................................................................................................................................

................................................................................................................................................







ลงชื่อ ................................................... ผู้สอน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

บงำนที่ 1
เฉลยใ
ใบงำนที่ 3


เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก
เรื่อง ล ำดับเรขำคณิต
และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน
ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........

์
รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................
ิ

ี่
ี่
่
ิ
–4

ั
ั
t
1. ก าหนดพจน์ท 1 และพจน์ท 2 ในลาดบเรขาคณตเทากับ x และ x ตามลาดบ ถ้าพจน์ท 8

ี่
เท่ากับ x จงหาค่า t
52

วิธีท ำ

2. จงหาจ านวน 3 จ านวนในล าดับเรขาคณิตที่บวกกันได้ 26 และคูณกันได้ 216





วิธีท ำ

เฉลยใบงำนที่ 1

เฉลยใบงำนที่ 3

เรื่อง กำรบอกจ ำนวน กำรอ่ำนและกำรเขียนตัวเลขฮินดูอำรบิก
เรื่อง ล ำดับเรขำคณิต

และตัวเลขไทยแสดงจ ำนวน

ชื่อ ..................................................................................... เลขที่ ............. ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/ ........

์
รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน วัน/เดือน/ปี ...........................................
ิ

ี่
ิ
่
ั
ี่
1. ก าหนดพจน์ท 1 และพจน์ท 2 ในลาดบเรขาคณตเทากับ x และ x ตามลาดบ ถ้าพจน์ท 8

ี่
t
–4
ั

เท่ากับ x จงหาค่า t
52

วิธีท ำ จากสูตร a = a r
n–1
1
n
t
a = x , a = x
–4
1
2
 x = x r
t
–4 2–1
t+4
x = r
7
a = a r
8
1
x = x (x )
52
–4 t+4 7
x = x 7t+28–4
52

52 = 7t + 24

7t = 28


t = 4

2. จงหาจ านวน 3 จ านวนในล าดับเรขาคณิตที่บวกกันได้ 26 และคูณกันได้ 216




a

วิธีท ำ ให้จ านวน 3 จ านวนในล าดับเรขาคณิตเป็น , a, ar โดยมีผลคูณเท่ากับ 216
r
a  a  ar = 216
r

3
a = 216

 a = 6


ผลบวกเท่ากับ 26; a + a + ar = 26
r

6 + 6 + 6r = 26
r

6 + 6r = 20
r

คูณ r; 6 + 6r = 20r
2

2
3r − 10r + 3 = 0

(3r − 1)(r − 3) = 0

1
r = 3,
3

เมื่อ a = 6, r = 3 จ านวน 3 จ านวนนั้นคือ 2, 6, 18

1
เมื่อ a = 6, r = จ านวน 3 จ านวนนั้นคือ 18, 6, 2
3

เกณฑ์กำรประเมินกำรเขียน Mind Mapping





ระดับคุณภำพ
ประเด็น
4 3 2 1
กำรประเมิน
(ดีมำก) (ดี) (พอใช้) (ปรับปรุง)

พื้นฐานเบื้องต้น การน าเสนอมีการ การน าเสนอมีการ การน าเสนอมีการ การน าเสนอมี

ของล าดับ เรียงล าดับเนื้อหา เรียงล าดับเนื้อหา เรียงล าดับเนื้อหา การเรียงล าดับ

เรขาคณต ได้ดีมาก มีความ ได้ดี มีความ ได้พอใช้ มีความ เนื้อหาที่ควร
ิ
ต่อเนื่องมี ต่อเนื่อง มี ต่อเนื่องมี ปรับปรุง ไม่มี

ประโยชน์ ให้แง่คิด ประโยชน์ ให้ ประโยชน์น้อย ให้ ความต่อเนื่องมี

ที่ด ี แง่คิด แง่คิดน้อย ประโยชน์ น้อย

ให้แง่คิดน้อย


เกณฑ์กำรประเมิน

ระดับคะแนน 10 คะแนน คุณภาพดีมาก

ระดับคะแนน 9 คะแนน คุณภาพด ี

ระดับคะแนน 7-8 คะแนน คุณภาพพอใช ้


ระดับคะแนน 5-6 คะแนน คุณภาพควรปรับปรุง

เกณฑ์กำรประเมินสมุดบันทึกควำมรู้



กำรให้คะแนน/ระดับคะแนน

ปรับปรุง (1) พอใช้ (2) ดี (3) ดีมำก (4)


บันทึกข้อมูลไม่ถูกต้อง บันทึกมีข้อมูลแต่ยังไม่ บันทึกมีความถูกต้อง บันทึกมีความถูกต้อง
ครบถ้วนสมบูรณ ์ สมบูรณ์พอสมควร ชัดเจนครบถ้วน


สมบูรณ ์



เกณฑ์คุณภำพกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม


รำยกำร ระดับคุณภำพ
ที่
ประเมิน 1 2 3

1 การท างาน ยอมรับมติการท างาน ยอมรับมติของกลุ่ม - ยอมรับมติของกลุ่ม

ิ
ร่วมกัน ของกลุ่ม แต่ปฏบัติตาม - รับผิดชอบงานที่รับ
น้อยครั้ง มอบหมายจากกลุ่ม

2 ความ ช่วยเหลืองานภายใน - ช่วยเหลืองานในกลุ่ม - ช่วยเหลืองานภายใน

กระตือรือร้น กลุ่มเมื่อมีการร้องขอ - ร่วมแสดงความ กลุ่ม

คิดเห็น - ร่วมแสดงความ

คิดเห็น

- ใฝ่รู้ใฝ่เรียน

- ศึกษาค้นคว้า

3 การตอบค าถาม มีส่วนร่วมในการตอบ มีส่วนร่วมในการตอบ ให้ความร่วมมือในการ

ค าถามน้อยมาก ค าถามบางครั้ง ตอบค าถามเป็นอย่างด ี

4 ความคิดริเริ่ม ร่วมกิจกรรมตามที่กลุ่ม รับฟังแต่แสดงความ ร่วมรับฟังและแสดง

ี่
สร้างสรรค ์ ขอร้อง คิดเห็นทคล้อยตาม ความคิดเห็นที่แตกต่าง
เพื่อนๆ แต่มีประโยชน์

แบบประเมินพฤติกรรมกำรเรียนรู้



รำยวิชำ ค32101 คณตศำสตรพื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 5/.....
ิ
์
เรื่อง ...............................................................................................................


ควำมตั้งใจ กำรตั้ง กำรท ำ ส่งงำน มำเรียน รวม ปรับ
ั
ล ำดบ มุ่งมั่น ค ำถำม กิจกรรม ในเวลำ สม่ ำเสมอ คะแนน คะแนน
ชื่อ-นำมสกุล
ที่ ตอบค ำถำม กลุ่ม ที่ก ำหนด
(4) (4) (4) (4) (4) (20) (10)

1

2

3

4

5

6

7

8
9

10

11

12

13

14


หมำยเหต 1. แบบประเมินนี้ใช้ได้ตลอดภาคเรียน
ุ
2. เกณฑ์การประเมิน

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)

............./.................../................

แบบกำรประเมินกำรสังเกตพฤติกรรมนักเรียนด้ำนกำรท ำงำนกลุ่ม



รำยกำรประเมิน สรุปผล

กำร ควำม กำร ควำมคิด
รวม
ที่ ชื่อ-สกุล ท ำงำน กระตือ ตอบ ริเริ่ม ไม่
(12) ผ่ำน
ร่วมกัน รือร้น ค ำถำม สร้ำงสรรค์ ผ่ำน
(3) (3) (3) (3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9


เกณฑ์กำรประเมิน

9-12 คะแนน ระดับ 3 = ดี

5-8 คะแนน ระดับ 2 = พอใช ้

ต่ ากว่า 5 คะแนน ระดับ 1 = ควรปรับปรุง

สรุปผลกำรประเมิน

 ดี  พอใช้  ปรับปรุง

ั
เกณฑ์กำรตดสินใจ
่
 ผ่าน  ไม่ผาน
หมำยเหตุ : เกณฑ์เป็นไปตามที่โรงเรียนก าหนด

ลงชื่อ .................................................... ผู้ประเมิน

(นางสาวอัสราพร ทองเจริญ)
............./.................../................