S T A T I S T I K A P E N D I D I K A N Ukuran Penyebaran Data PASCASARJANA UNIVERSITAS RIAU
MAKALAH “UKURAN PENYEBARAN DATA” Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Pendidikan DISUSUN OLEH : DESMIRA MAHARANI (2310246262) ESSY PUSPITA RAHIM (2310246260) FITRI NOVRIYENI (2310246271) NURINA PUSPA DEWI (2310246266) PUTRI AISYAH (2310246270) WIDYA SWASTO (2310246274) DOSEN PENGAMPU MATA KULIAH : Dr. PUTRI YUANITA, M.Ed Dr. ELFIS SUANTO, M.Si PROGRAM STUDI PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS RIAU 2023
i KATA PENGANTAR Alhamdulillahhirabbil’alamin, segala puji dan syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul ”UKURAN PENYEBARAN DATA”. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Pendidikan. Penyusunan makalah ini tidak lepas dari peran berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan maksimal. Karenanya dengan penuh rasa hormat kami mengucapkan terimakasih kepada: 1. Dosen pengampu mata Statistika Pendidikan Ibu Dr. Putri Yuanita, M.Ed dan Bapak Dr. Elfis Suanto, M.Si yang telah membimbing dan mengarahkan kami sehingga makalah ini bisa terselesaikan. 2. Teman-teman yang telah memberikan dukungan, saran, dan semangat untuk kami. Semoga tuhan membalas semua kebaikan yang telah diberikan dengan balasan yag lebih baik. Aamiin. Kami menyadari banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik, saran ataupun masukkan yang membangun sehingga bisa mengisi kekurangan dari makalah ini. Terlepas dari kekurangan itu kami berharap penyususnan makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Demikianlah kata pengantar makalah ini dan kami berharap semoga karya ilmiah ini dapat digunakan sebagaimana mestinya.Amin. Pekanbaru, Agustus 2023 Penulis
ii DAFTAR PUSTAKA KATA PENGANTAR ................................................................................................. i DAFTAR ISI ................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................1 A. Latar Belakang...................................................................................................1 B. Rumusan Masalah..............................................................................................1 C. Tujuan Makalah .................................................................................................2 BAB II LANDASAN TEORI......................................................................................3 A. Pengertian Ukuran Penyebaran Data .................................................................3 B. Macam – macam Ukuran Penyebaran Data.......................................................4 1. Jangkauan (Range) ........................................................................................4 2. Jangkauan Antar Kuartil................................................................................6 3. Simpangan Kuartil........................................................................................10 4. Simpangan Rata – Rata ................................................................................13 5. Varians .........................................................................................................17 6. Standar Deviasi ............................................................................................20 BAB III PENUTUP.....................................................................................................25 A. Kesimpulan .......................................................................................................25 B. Saran .................................................................................................................25 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................26
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistik berasal dari bahasa Latin yang artinya adalah “status” atau negara. Pada mulanya statistika berhubungan dengan fakta dan angka yang dikumpulkan oleh pemerintah untuk bermacam-macam tujuan. Statistik juga diturunkan dari kata bahasaInggris yaitu state atau pemerintah. Pengertian yang sangat sederhana tentang statistic adalah sebagai suatu kumpulan data yang berbentuk angka dan tersusun rapi dalam suatu tabel, grafik, gambar, dan lain-lain. Misalnya tabel mengenai keadaan pegawai di kantor-kantor, grafik perkembangan jumlah penduduk dari waktu ke waktu, danlain sebagainya. Sedangkan pengertian yang lebih luas mengenai statistik adalah merupakan kumpulan dari teknik mengumpulkan, analisis, dan interpretasi data dalambentuk angka. Dan statistik juga merupakan bilangan yang menunjukkan sifat-sifat (karakteristik) data yang dikumpulkan tersebut. Statistika dapat didefinisikan sebagai suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan fakta/data, pengolahan data, kemudian menganalisis data tersebut sehingga dapat diperoleh suatu kesimpulan/keputusan. Penggunaan istilah statitika berakar dari istilah - istilah dalam bahasa latin “modern statisticum collegiums (“dewan negara”) dan bahasa Italian statista (“negarawan” atau “politikus”). Pada abad ke 19 dan awal abad ke 20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang.penggunaan statistika pada masa sekarang dapat di katakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika tetapi sebagian pihak lainya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. B. Rumusan Masalah 1. Apa pengertian dari ukuran penyebaran data? 2. Apa saja macam-macam ukuran penyebaran data?
2 C. Tujuan Makalah 1. Untuk mengetahui pengertian ukuran penyebaran data. 2. Untuk mengetahui macam-macam ukuran penyebaran data.
3 BAB II LANDASAN TEORI A. Pengertian Ukuran Penyebaran Data Melansir Encyclopaedia Britannica, ukuran penyebaran data digunakan sebagai ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data tersebar dari rata-rata. www.statisticalaid.com Ukuran penyebaran (Measures of Dispersion) atau ukuran keragaman pengamatan dari nilai rata-ratanya disebut simpangan (deviation/dispersi). Terdapat beberapa ukuran untuk menentukan dispersi data pengamatan, seperti jangkauan/rentang (range), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan ratarata(mean deviation), dan simpangan baku (standard deviation). Ukuran tendensi sentral (mean, median, mode) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi frekuensi, tetapi ukuran tersebut tidak memberikan gambaran informasi yang lengkap mengenai bagaimana penyebaran data pengamatan terhadap nilai sentralnya. Ukuran tendensi sentral saja tidak cukup untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Selain itu kita harus memiliki ukuran persebaran data pengamatan. Berdasarkan besar kecilnya penyebaran kelompok data dibagi menjadi dua, yaitu : a. Kelompok data homogeny : Penyebaran relatif kecil jika seluruh data sama, maka disebut kelompok data homogen 100% b. Kelompok data heterogen : Penyebarannya relatif besar.
4 Kegunaan ukuran penyebaran antara lain sebagai berikut: a. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata ratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif. b. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data. c. Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika. misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak. B. Macam - macam Ukuran Penyebaran Data 1. Range (Jangkauan) Ukuran Penyebaran Data yang pertama-tama diperkenalkan disini adalah Range, yang didalam dunia statistik dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling sederhana, yang karena itu juga sering disebut sebagai ukuran penyebaran data yang paling kasar. Range yang biasa diberi lambang “R” adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang teredah (lowest score) samapi skor (nilai) yang tertinggi (higbest score). a. Jangkauan Data Tunggal Bila ada sekumpulan data tunggal 1 ,2 . . . , , maka jangkauannya adalah: = – Keterangan : R = Jangkauan atau Range 1 = Nilai atau data terkecil = Nilai atau data terbesar Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
5 Tentukan rentang dari data tersebut. Penyelesaian: Nilai dari data tersebut setelah diurutkan adalah 160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180. Dari data tersebut diketahui nilai terbesar adalah 180 dan nilai terkecil adalah 160. Rentang = – 1 Q = 180 – 160 Q = 20 Jadi, rentang dari data tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah adalah 20. b. Jangkauan Data Kelompok Jangkauan pada data berkelompok adalah selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah Bila ada sekumpulan data kelompok, maka jangkauannya adalah: = – Keterangan : R = Jangkauan atau Range = tepi kelas atas kelas yang terakhir = tepi bawah atas kelas yang pertama Contoh soal : Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151 − 155 2 156 − 160 4 161 − 165 4 166 − 170 5 171 − 175 3 176 − 180 2 Hitunglah jangkauan dari data tinggi badan tersebut! Penyelesaian: Range tinggi badan 20 orang mahasiswa dapat ditentukan dengan menggunakan Rumus, sehingga didapat : = 180,5 – 150,5 = 30
6 Jadi, rentang dari tinggi badan 20 orang mahasiswa adalah 30. Kelebihan dan Kekurangan Range. a. Kelebihan: Dapat digunakan dalam waktu singkat untuk menggambarkan penyebaran data. b. Kekurangan: Sifatnya labil dan kurang teliti karena tergantung nilai ekstrimnya. Tidak memperhatikan distribusi yang terdapat dlm range itu sendiri. 2. Jangkauan Antar Kuartil Jangkauan antar kuartil merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Ukuran ini dihitung dengan cara menentukan beda antara kuartil ketiga dan kuartil pertama. Adapun rumus dari jangkauan antar kuartil adalah : = − Keterangan : QR= jangkauan antar kuartil 3 = Quartil Atas 3 = Quartil Bawah a. Jangkauan Antar Kuartil Data Tunggal Contoh : Hitunglah jangkauan antar kuartil dari data-data berikut. 172,167,180,170,169,160,175,165,173,170 Penyelesaian : Langkah-langkah perhitungan : Urutkan terlebih dahulu datanya 160,165,167,169,170,170,172,173,175,180 → banyak data (n) = 10 Q2 Q1 Q3
7 Q1 = 165+167 2 = 166 Q3 =173+175 2 = 174 Jangkauan antar Kuartil = 3−1 = 174 - 166 = 8 b. Jangkauan Antar Kuartil Data kelompok Contoh : Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa Tinggi Badan Frekuensi 151 – 155 2 156 – 160 4 161 – 165 4 166 – 170 5 171 – 175 3 176 – 180 2 Hitunglah jangkauan antar kuartil dari data tersebut ! Penyelesaian : Langkah-langkah perhitungan : Ketahuilah terlebih dahulu rumus letak kuartil dan rumus Quartil pada data berkelompok, sebagai berikut: Letak 1 = 1 4 Letak 2 = 2 4 Letak 3 = 3 4 Rumus Quartil = = 0 + ( 4 − ) , I = 1,2,3
8 Keterangan : 0 = Batas bawah kelas quartil 4 = Letak Quartil = Jumlah frekuensi sebelum kelas = Frekuensi kelas = Interval Tentukan jangkauan kuartil dari data berikut Tinggi BadanFrekuensi 151 – 155 2 156 – 160 4 161 – 165 4 166 – 170 5 171 – 175 3 176 – 180 2 Jumlah 20 Cari letak quartil 1 dan quartil 3 Letak 1 = 1 4 = 1(20) 4 = 5 Letak 3 = 3 4 = 3(20) 4 = 15 Untuk mengetahui secara mudah dimana letak Q1 dan Q3 berada maka kita tambahkan kolom Tinggi Badan Frekuensi 151 – 155 2 2 156 – 160 4 6 161 – 165 4 10 166 – 170 5 15 171 – 175 3 18 176 – 180 2 20 Jumlah 20 maka Q1 berada pada tinggi badan 156-160 Q3 berada pada tinggi badan 166- 170
9 Nilai 1= 0 + ( 4 − ) Batas bawah kelas quartil = 156-0,5 = 155,5 C = interval = 156- 160 = 156,157,158,159,160 = 5 1 4 = 10 = 2 = 4 , sehingga 1= 155,5 + 5 ( 10 −2 4 ) 1= 155,5 + 5 (2) 1= 155,5 + 10 1= 165,5 Nilai 3 = 0 + ( 4 − ) Batas bawah kelas quartil = 166-0,5 = 165,5 C = interval = 166- 170 = 166,167,168,169,170 = 5 3 4 = 15 = 10 = 5 , sehingga 3 = 165,5 + 5 ( 15 −10 5 ) 3 = 165,5 + 5 (1) 3 = 165,5 + 5 3 = 170,5 Tentukan jangkauan antar kuartilnya = 3 − 1 = 170,5 – 165,5 = 5 Jadi, jangkauan antar kuartilnya adalah 5
10 3. Simpangan Kuartil a. Simpangan Kuartil Data Tunggal Rumus deviasi kuartil pada data tunggal dan data kelompok memiliki perbedaan dalam cara menghitung nilai kuartil bawah (₁) dan kuartil atas (₃). Berikut adalah perbedaan rumus deviasi kuartil pada data tunggal dan data kelompok. Pertama, data diurutkan secara berurutan. Nilai kuartil bawah (Q₁) didapatkan dari nilai data pada posisi ke- 4 , dan nilai kuartil atas (Q₃) didapatkan dari nilai data pada posisi ke-3n/4, di mana n adalah jumlah data. Setelah itu, deviasi kuartil dapat dihitung menggunakan rumus Simpangan Kuartil () = ½ ( – ) Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah simpangan rata-rata data tinggi badan tersebut ! Penyelesaian : Pertama, urutkan data terlebih dahulu 160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180 Banyak data, = 10 Kemudian tentukan nilai kuartil atas (3 ) dan kuartil bawah (1 ) = (. + ) Letak 1 = (1 .10 + 2) 4 = 12 4 = 3, maka diperoleh nilai 1 = 167 Letak 3 = (3.10+2) 4 = 32 4 = 8, maka diperoleh nilai 3 = 173 Setelah memperoleh nilai 1 dan 3 , maka dapat ditentukan nilai simpangan kuartilnya, yaitu () = 1 2 (₃ – ₁) () = 1 2 (173− 167)
11 () = 1 2 (6) () = 3 Maka diperoleh simpangan kuartil dari data tersebut adalah 3. b. Simpangan Kuartil Data Kelompok Langkah awal adalah menentukan kelas frekuensi untuk data kelompok. Nilai kuartil bawah (Q₁) diperoleh dari nilai data pada batas kelas bawah dari kelas tempat median berada, dan nilai kuartil atas (Q₃) diperoleh dari nilai data pada batas kelas atas dari kelas tempat median berada. Selanjutnya, deviasi kuartil dapat dihitung menggunakan rumus : = ½ (₃ – ₁) Jadi, perbedaan rumus deviasi kuartil pada data tunggal dan data kelompok terletak pada cara mendapatkan nilai kuartil bawah (Q₁) dan kuartil atas (Q₃). Meskipun rumusnya sama, cara menghitung nilai kuartil bawah dan kuartil atas berbeda, tergantung pada tipe data yang dimiliki. Contoh : Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151 − 155 2 156 − 160 4 161 − 165 4 166 − 170 5 171 − 175 3 176 − 180 2 Hitunglah simpangan kuartil dari data tinggi badan tersebut! Penyelesaian : Mula-mula, tentukan dahulu frekuensi kumulatif pada tabel. Tinggi Badan Frekuensi Frekuensi Kumulatif 151 − 155 2 2 156 − 160 4 6 161 − 165 4 10 166 − 170 5 15 171 − 175 3 18 176 − 180 2 20 Jumlah 20
12 Selanjutnya, letak kuartil ke-1. = 4 () ↔ 1 = 1 4 (20) ↔ 1 = 5 Oleh karena letak kuartil pertama adalah 5, maka kuartil tersebut berada di rentang berat badan 156-160 Lalu, tentukan tepi bawah kuartil ke-1 dan panjang data (interval). 1 = 156 – 0,5 1 = 155,5 Terakhir, substitusikan nilai elemen-elemen yang diketahui pada persamaan berikut. 1 = 1 + ( 4 − 1 ) 1 = 155,5 + 5 ( 1 4 (20) − 2 4 ) 1 = 155,5 + 5 ( 3 4 ) 1 = 155,5 + 3,75 1 = 155,5 + 5 ( 3 4 ) 1 = 159,25 Jadi, kuartil ke-1 dari data tinggi badan tersebut adalah 159,25. Selanjutnya, letak kuartil ke-3. = 4 () ↔ 3 = 3 4 (20) ↔ 3 = 15 Oleh karena letak kuartil ketiga adalah 15, maka kuartil tersebut berada di rentang berat badan 166-170
13 Lalu, tentukan tepi bawah kuartil ke-3 dan panjang data (interval). 3 = 166 – 0,5 3 = 165,5 Terakhir, substitusikan nilai elemen-elemen yang diketahui pada persamaan berikut. 3 = 3 + ( 4 − 1 ) 3 = 165,5 + 5 ( 3 4 (20) − 10 5 ) 3 = 155,5 + 5 ( 5 5 ) 3 = 155,5 + 5 3 = 160,5 Jadi, kuartil ke-3 dari data tinggi badan tersebut adalah 160,5 Sehingga kita peroleh simpangan kuartil dari data tersebut adalah = ½ (3– 1) = 1 2 (160,5 − 159,25) = 0,625 4. Simpangan Rata – Rata Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah rata-rata jarak antara nilainilai data menuju rata-ratanya atau rata-rata penyimpangan absolut data dari rataratanya. Simpangan rata-rata termasuk ke dalam ukuran penyebaran data seperti halnya Varian dan Standar Deviasi. Kegunaannya adalah untuk mengetahui seberapa jauh nilai data menyimpang dari rata-ratanya. 1. Simpangan Rata-rata Data Tunggal Simpangan rata-rata (SR) didefinisikan oleh = ∑ |− ̅| = dimana adalah banyaknya data, tanda ∣ ⋯ ∣ menyatakan nilai mutlak (misal
14 ∣ −1 ∣ = 1), adalahnilai data ke- dan ̅ adalah rata-rata. Rata-rata (̅) diperoleh dari ̅ = ∑ = Contoh Soal: Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Hitunglah simpangan rata-rata data tinggi badan tersebut! Penyelesaian: Pertama, hitung terlebih dahulu rata-ratanya. ̅= 1 ∑ =1 ̅= 1 ∑ =1 ̅= 1 10 (172 + 167 + 180 + 170 + 169 + 160 + 175 + 165 + 173 + 170) ̅= 1701 10 ̅= 170,1 Selanjutnya hitung |− ̅| − ̅ ∣ − ̅ ∣ 172 1,9 1,9 167 −3,1 3,1 180 9,9 9,9 170 −0,1 0,1 169 −1,1 1,1 160 −10,1 10,1 175 4,9 4,9 165 −5,1 5,1 173 2,9 2,9 170 −0,1 0,1 ∑ ∣ −̅ ∣ ,
15 Selanjutnya dapat dihitung simpangan rata-ratanya, yaitu = 1 ∑ |− ̅| =1 = 1 10 (39,2) = 3,92 Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 10 orang siswa adalah 3,92. 2. Simpangan Rata – Rata Data Berkelompok = ∑ |− ̅| = ∑ = dimana SR adalah simpangan rata-rata, adalah banyaknya kelas interval, adalah frekuensi kelas interval ke-, adalah nilai titik tengah kelas interval ke-,̅adalah rata-rata data berkelompok yang dirumuskan oleh ̅ = ∑ = ∑ = dan tanda | . . . | adalah tanda absolut yang menandakan bahwa semua nilai diubah menjadi nilai positif, jika nanti di dalamnya diperoleh nilai negatif, maka nilai tersebut harus dipositifkan. Contoh : Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151 − 155 2 156 − 160 4 161 − 165 4 166 − 170 5 171 − 175 3 176 − 180 2 Hitunglah simpangan rata-rata dari data tinggi badan tersebut! Penyelesaian : Langkah-langkah penghitungan:
16 1. Tentukan Nilai Tengah ( ) dan Hitung Rata-rata (̅) Dilihat dari rumusnya, penghitungan simpangan rata-rata membutuhkan nilai rata-rata (̅), sedangkan penghitunggan nilai rata-rata membutuhkan nilai titik tengah kelas interval ( ). Oleh karena itu, tentukan terlebih dahulu nilai titik tengah kelas interval selanjutnya hitung nilai rata- ratanya. Proses pengerjaannya adalah seperti tabel di bawah ini. Kelas Interval Frekuensi ( ) Nilai Tengah ( ) ( ) 151 − 155 2 153 306 156 – 160 4 158 632 161 − 165 4 163 652 166 − 170 4 168 840 171 – 175 5 173 519 176 − 180 3 178 356 Jumlah 2 3305 Dari tabel di atas diperoleh komponen ∑ = 20 =1 Dan ∑ = 3305 =1 Selanjutnya rata-rata dapat dihitung menggunakan rumus berikut. ̅= ∑ =1 ∑ =1 ̅= 3305 20 ̅= 165,25 Dengan demikian rata-ratanya adalah 165,25. 2. Hitung Simpangan Rata – Rata Proses penghitungan simpangan rata-rata menggunakan tabel sebagai berikut.
17 |− ̅| |−̅| 153 12,25 24,5 158 7,25 29 163 2,25 9 168 2,75 13,75 173 7,75 23,25 178 12,75 25,5 Jumlah 125 Komponen yang diperoleh dari penghitungan tersebut adalah ∑ |− ̅| = = Dengan demikian simpangan rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus berikut. = ∑ |− ̅| = ∑ = = = , Jadi simpangan rata-rata tinggi badan 20 mahasiswa tersebut adalah 6,25. 5. Varians Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya, sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar disekitar rerata dan dari satu sama lainnya. Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai non-negatif:
18 varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya, sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar disekitar rerata dan dari satu sama lainnya. Varians adalah rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians adalah alat ukut variabilitas serangkaian data yang dihitung dengan mencari rata-rata selisih/beda kuadrat antara data observasi dengan pusat datanya. Varians untuk data populasi disimbolkan 2 dan untuk data sampel disimbolkan dengan 2 . a. Varians Data Tunggal Rumus untuk varians data tunggal adalah: 1) Untuk populasi (n > 30) = ∑ (− ) = 2) Untuk sampel (n ≤ 30) = ∑ (− ) = − Keterangan: 2 = 2 : varians : data ke-i : rata-rata : banyak data Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut. 172,167,180,170,169,160,175,165,173,170 Hitunglah varians dari data tersebut! Penyelesaian: = 160 + 165 + 167 + 169 + 170 + 170 + 172 + 173 + 175 + 180 10 = 170,1
19 − ̅ (− ̅) 160 25600 −10,1 102,01 165 27225 −5,1 26,01 167 27889 −3,1 9,61 169 28561 −1,1 1,21 170 28900 −0,1 0,01 170 28900 −0,1 0,01 172 29584 1,9 3,61 173 29929 2,9 8,41 175 30625 4,9 24,01 180 32400 9,9 98,01 1701 272,9 2 = ∑ (− ) 2 =1 − 1 2 = 272,9 10 − 1 2 = 30,32 Jadi, varians dari data tersebut adalah 30,32. b. Varians Data Kelompok Rumus untuk varians data berkelompok adalah: 1) Untuk populasi (n > 30) = ∑ · (− ) = ∑ = 2) Untuk sampel (n ≤ 30) = ∑ · (− ) = (∑ = ) − Keterangan: 2 = 2 : varians : data ke-i : rata-rata fi : banyak data
20 Contoh : Berikut ini adalah data tinggi badan 20 orang mahasiswa. Tinggi Badan Frekuensi 151 − 155 2 156 − 160 4 161 − 165 4 166 − 170 5 171 − 175 3 176 − 180 2 Hitunglah varians dari data tinggi badan tersebut! Penyelesaian : = . = 3305 20 = 165,25 2 = ∑ · (− ) 2 =1 ∑ =1 = 1073,75 20 = 53,6875 Dengan demikian variansnya adalah 53,6875. 6. Standar Deviasi a. Pengertian Standar deviasi atau simpangan baku adalah persebaran data pada suatu sampel untuk melihat seberapa jauh atau seberapa dekat nilai data dengan rata-ratanya. Kelas Interval fi Xi Fi.Xi − (− ) (− ) 151 − 155 2 153 306 −12,25 150,0625 300,125 156 − 160 4 158 632 −7,25 52,5625 210,25 161 − 165 4 163 652 −2,25 5,0625 20,25 166 − 170 5 168 840 2,75 7,5625 37,8125 171 − 175 3 173 519 7,75 60,0625 180,1875 176 − 180 2 178 356 12,75 162,5625 325,125 Jumlah ,
21 Standar deviasi pertama kali ditemukan oleh karl pearson pada tahun 1894 dan tercatat dalam bukunya yang berjul “on the dissection of asymmetrical frequency curves”. b. Fungsi Standar Deviasi Standar deviasi digunakan untuk melihat jauh dekatnya sebaran data tersebut dari rata-rata atau mean. Salah satu fungsi rumus standar deviasi adalah memberikan gambaran tentang persebaran data terhadap rata-rata. c. Standar Deviasi Data Tunggal Jenis data Tunggal adalah data sederhana yang belum dikelompokkan ke dalam kelas interval. Rumus standar deviasi data Tunggal adalah sebagai berikut : = √ ∑ ( − ̅) = − Keterangan : S = standar deviasi Xi = nilai Tengah X = nilai rata-rata n = jumlah data Contoh : Misalkan tinggi badan 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut : 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Penyelesaian : Menghitung rata-rata terlebih daulu : ̅= 172 + 167 + 180 + 170 + 169 + 160 + 175 + 165 + 173 + 170 10 ̅= 1701 10 ̅= 170,1
22 Σ(− ̅) 2 = (172 − 170,1) 2 + (167 − 170,1) 2 + (180− 170,1) 2 + (170− 170,1) 2 + (169− 170,1) 2 + (160− 170,1) 2 + (175− 170,1) 2 + (165− 170,1) 2 + (173− 170,1) 2 + (170− 170,1) 2 Σ(− ̅) 2 = (1,9) 2 + (−3,1) 2 + (9,9) 2 + (−0,1) 2 + (−1,1) 2 + (−10,1) 2 + (4,9) 2 + (−5,1) 2 + (2,9) 2 + (−0,1) 2 Σ(− ̅) 2 = 3,61 + 9,61 + 98,01 + 0,01 + 1,21 + 102,1 + 24,01 + 26,01 + 8,41 + 0,01 Σ(− ̅) 2 = 272,9 Maka Standar deviasi : = √ ∑ ( − ̅) 2 =1 − 1 = √ 272,9 10 − 1 = √30,33 = 5,507 d. Standar Deviasi Data Kelompok Jenis data kelompok adalah data yang biasa ditampilkan dalam tabel frekuensi yang sudah dikelompokkan dalam kelas interval. Rumus standar deviasi data kelompok adalah sebagai berikut : = √ ∑ (− ̅̅)̅ ∑ Keterangan : S = standar deviasi Xi = nilai Tengah X = nilai rata-rata fi = frekuensi
23 Contoh : Hitunglah standar deviasi dari data tinggi badan 20 orang mahasiswa yang disajikan dalam tabel dibawah ini : Berat Badan (Kg) Frekuensi 151 − 155 2 156 − 160 4 161 − 165 4 166 − 170 5 171 − 175 3 176 − 180 2 Penyelesaian : Menghitung jumlah frekuensi : ∑ = 2 + 4 + 4 + 5 + 3 + 2 = 20 Menghitung jumlah nilai rata-rata : Berat badan (Kg) . 151 – 155 153 2 153 .2 = 306 156 – 160 158 4 158 .4 = 632 161 – 165 163 4 163 .4 = 652 166 – 170 168 5 168 .5 = 840 171 – 175 173 3 173 .3 = 519 176 – 180 178 2 178 .2 = 356 Jumlah 20 3305 Berdasarkan perhitungan diatas diperoleh ∑ = 3305 Jadi, nilai rata-rata sebagai berikut : ̅= ∑ ∑ ̅= 3305 20 = 165,25 Menghitung nilai ( − ̅), ( − ̅) 2 ( − ̅) ̅ (− ̅) (− ̅) (− ̅) 153 2 165,25 (−12,25) 150,0625 300,125 158 4 165,25 (−7,25) 52,5625 210,25 163 4 165,25 (−2,25) 5,0625 20,25 168 5 165,25 (2,75) 7,5625 37,8125 173 3 165,25 (7,75) 60,0625 180,1875 178 2 165,25 (12,75) 162,5625 325,125 ,
24 Dari perhitungan diatas diperoleh ∑ (− ̅)^2 = 1073,75 Menghitung standar deviasi : = √ ∑ (− ̅̅)̅2 ∑ = √ 1.073,75 20 = √53,6875 = 7.3271
25 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari uraian materi Ukuran Penyebaran Data adalah : 1. Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data menyebar dari rata-rata. 2. Ukuran penyebaran data berguna untuk melihat keheterogenan suatu data. Semakin besar tingkat penyebaran data, maka data semakin heterogen. Semakin kecil tingkat penyebaran data, maka data semakin homogen. 3. Besaran statistika yang digunakan untuk menghitung tingkat penyebaran data diantaranya: a. Jangkauan (Range) b. Jangkauan Antar Kuartil c. Simpangan Kuartil d. Simpangan Rata - Rata e. Variansi f. Standar Deviasi B. Saran Dengan membaca makalah ini, pembaca disarankan agarlebih rinci dalam mempelajari masing masing materi sehingga, pembaca dapat dengan mudah mengaplikasikan materi ini untuk menyelesaikan persoalan yang ditemukan.
26 DAFTAR PUSTAKA Anas, S.2008. Pengantar statistik pendidikan. Jakarta: Raja Grafindo Persada Arikunto, S. 2021. Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan Edisi 3. Jakarta: Bumi Aksara Groeneveld, R. A., & Meeden, G. (1984). Measuring skewness and kurtosis. Journal ofthe Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 33(4), 391-399 Subana, M., & Sudrajat, M. (2000). Statistik pendidikan. Bandung: Pustaka Setia Sudjana, N. 2005. Metode Statistika Edisi keenam. Bandung: PT. Tarsito Syofian, S. 2013. Metode Penelitian Kuantitatif dilengkapi dengan perbandinganperhitungan manual & SPSS. Jakarta: Prenadamedia Group.