เรื่องความน่าจะเป็น

คณติ ศาสตร์

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 3

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หน่วยการเรียนรู้เรื่อง

ความน่าจะเป็ น

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แผนผงั สาระการเรียนรู้
ความน่าจะเป็ น

1. ความน่าจะเป็นเบ้ืองตน้
2. การทดลองสุ่มและเหตุการณ์
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
4. ความน่าจะเป็นกบั การตดั สินใจ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั ช้ีวดั

เขา้ ใจเก่ียวกบั การทดลองสุ่มและนาผลที่ไดไ้ ปหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
(ค 3.2 ม.3/1)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

1. ความน่าจะเป็ นเบื้องต้น

ในชีวติ ประจาวนั ของเรามกั จะไดย้ นิ ประโยคเหล่าน้ี

“พรุ่งน้ีจะมีฝนตก 60% ของพ้ืนท่ี”
“ส่งซองบะหม่ีก่ึงสาเร็จรูปไปชิงโชคทุกคร้ัง แตไ่ ม่เคยไดร้ ับรางวลั เลย”
“คาดวา่ นกั เรียนที่จบระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน้ จะออกไปทางานลดลง 10%”

ประโยคดงั กล่าวขา้ งตน้ เป็นการคาดคะเน การทานาย โอกาสหรือความ

เป็นไปไดท้ ี่จะเกิด เหตุการณ์ที่กล่าวถึง เราไม่สามารถบอกไดว้ า่ เหตุการณ์จะเกิดข้ึน
หรือไม่ จนกวา่ จะถึงเวลาที่กาหนด

ในทางคณิตศาสตร์อาจหาจานวนหน่ึงที่บ่งบอกถึงโอกาสที่เหตุการณ์หน่ึง

ๆ จะเกิดข้ึน เรียกจานวนน้ีวา่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และถา้ ไดท้ ราบความ
น่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด เหตุการณ์หน่ึง เหตุการณ์น้นั มีโอกาสเกิดข้ึนมากหรือนอ้ ย
เพยี งใด จะมีประโยชน์ในการตดั สินใจ ดาเนินกิจกรรมอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงไดอ้ ยา่ งมี

ประสิทธิภาพ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

พิจารณาตวั อยา่ งเหตุการณ์ต่อไปน้ี

จากรูปและขอ้ ความขา้ งตน้ บอกไดว้ า่ โอกาสของท้งั สองคนที่จะไปชมการแสดง
ดนตรีหรือ เลน่ กีฬามีโอกาสเกิดข้ึนเท่า ๆ กนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

เพือ่ ใหเ้ กิดความเขา้ ใจเหตุการณ์ไดด้ ียงิ่ ข้ึน ใหพ้ ิจารณาผลท่ีเกิดข้ึนของเหตุการณ์ตอ่ ไปน้ี

ในกลอ่ งใบหน่ึงมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีเขียว 3 ลูก
สุ่มหยบิ ลูกบอล 1 ลูก โอกาสที่จะหยบิ ไดล้ ูกบอล
สีใดมีมากกวา่ กนั

นกั เรียนจะเห็นวา่ โอกาสท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดงมีมากกวา่ เพราะในจานวนลูก
บอลท้งั หมด 8 ลูก มีลูกบอลสีแดง 5 ลูก มากกวา่ ลูกบอลสีเขียวซ่ึงมีเพยี ง 3 ลูก

เรากล่าวไดว้ า่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สุ่มหยบิ ลูกบอลสีแดงเป็น 5 ใน 8
และความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ท่ีสุ่มหยบิ ลูกบอลสีเขียวเป็น 3 ใน 8

ในวชิ าคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็น คือ จานวนท่ีแสดงใหท้ ราบวา่ เหตุการณ์ใด
เหตุการณ์หน่ึง มีโอกาสเกิดข้ึนมากหรือนอ้ ยเพียงใด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

นกั เรียนพิจารณากิจกรรมต่อไปน้ี

1. การโยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 1 คร้ังบนพ้ืนเรียบ เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่
ถา้ เป็น การทดลองสุ่ม ผลที่เกิดข้ึนท้งั หมดมีอะไรบา้ ง

2. การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ผลท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึน คือ การข้ึนแตม้ ของหนา้ ใด
หนา้ หน่ึงของลูกเต๋า เป็นแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

3. การหยบิ ลูกบอลสองลูกพร้อมกนั จากถุงที่มีลูกบอลสีแดง สีเขียว
สีม่วง และสีฟ้า อยา่ งละหน่ึงลูก เราไม่สามารถบอกไดว้ า่ ในการหยบิ
ลูกบอลแตล่ ะคร้ังจะหยบิ ได้ ลูกบอลสีอะไร แต่สามารถบอกไดว้ า่
ผลท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึน คือ หยบิ ลูกบอลได้ สีแดง สีเขียว, สีแดง
สีม่วง, สีแดง สีฟ้า, สีเขียว สีม่วง, สีเขียว สีฟ้า และสีม่วง สีฟ้า

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2. การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

2.1 การทดลองสุ่ม (random trial)
นกั เรียนพิจารณากิจกรรมต่อไปน้ี

1. การโยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 1 คร้ังบนพ้ืนเรียบ เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่
ถา้ เป็น การทดลองสุ่ม ผลท่ีเกิดข้ึนท้งั หมดมีอะไรบา้ ง

การโยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 1 คร้ัง ถือเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเป็นการกระทา
ท่ีไม่ทราบผลท่ีแน่นอนวา่ เหรียญจะหงายดา้ นใด แตท่ ราบผลท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึน
คือ หงายดา้ นหวั หรือหงายดา้ นกอ้ ยเท่าน้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2. การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ผลท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึน คือ การข้ึนแตม้ ของหนา้ ใด
หนา้ หน่ึงของลูกเต๋า เป็นแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3. การหยบิ ลูกบอลสองลูกพร้อมกนั จากถุงที่มีลูกบอลสีแดง สีเขียว สีม่วง และสีฟ้า
อยา่ งละหน่ึงลูก เราไม่สามารถบอกไดว้ า่ ในการหยบิ ลูกบอลแตล่ ะคร้ังจะหยบิ ได้
ลูกบอลสีอะไร แตส่ ามารถบอกไดว้ า่ ผลท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึน คือ หยบิ ลูกบอลได้
สีแดง สีเขียว, สีแดง สีม่วง, สีแดง สีฟ้า, สีเขียว สีม่วง, สีเขียว สีฟ้า และสีม่วง สีฟ้า

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากกิจกรรมขา้ งตน้ เราสามารถบอกไดว้ า่ ผลท้งั หมดที่เกิดข้ึนมีอะไรบา้ ง แต่ไม่
สามารถ บอกไดอ้ ยา่ งแน่นอนวา่ จะเกิดอะไรจากผลท้งั หมดที่เป็นไปไดเ้ หล่าน้นั
เรียกการกระทาเหล่าน้ีวา่ การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม หมายถึง การกระทาที่ไม่สามารถบอกล่วงหนา้ ไดว้ า่

ผลลพั ธ์ท่ีเกิดข้ึน ของแต่ละการกระทาจะเป็นอะไร แต่สามารถ
บอกไดว้ า่ มีผลลพั ธ์อะไรบา้ งท่ีจะ เกิดข้ึนได

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

นกั เรียนหาผลลพั ธ์ต่อไปน้ี(เขียนแผนภาพตน้ ไม)้

1. โยนเหรียญหา้ บาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง จงหากลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มน้ี

2.เขียนกลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสารวจเพศของบตุ รในครอบครัวท่ีมีบตุ รสองคน

3.กลอ่ งใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีฟ้า (ฟ) สีเขียว (ข) สีเหลือง (ล) และสีแดง (ด) อยา่ งละ 1 ลูก
เขียนกลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิ ทีละลูก
และไม่ใส่ ลูกบอลลูกแรกคืนลงในกลอ่ งก่อนจะหยบิ ลูกบอลลูกท่ีสอง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 1

โยนเหรียญหา้ บาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง จงหากลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มน้ี

วธิ ีทา ในการหาผลลพั ธท์ ้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการโยนเหรียญหา้ บาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง
ถา้ ให้ H แทน หงายดา้ นหวั และ T แทน หงายดา้ นกอ้ ย อาจใช้ แผนภาพต้นไม้ ดงั น้ี

ผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ จากการ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ จากการ กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะ

โยนเหรียญห้าบาทคร้ังท่ี 1 โยนเหรียญห้าบาทคร้ังท่ี 2 เกดิ ขนึ้ จากการโยนเหรียญห้าบาท

H H, H
HT H, T

T H T, H
T T, T

ดงั น้นั กลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มมี 4 แบบ คือ (H, H), (H, T), (T, H)
และ (T, T)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 2 เขียนกลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสารวจเพศของบตุ ร
ในครอบครัวที่มีบุตรสองคน

วธิ ีทา ในการหาผลลพั ธท์ ้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการสารวจเพศของบุตรในครอบครัว
ที่มีบุตรสองคน ถา้ ให้ ช แทน เพศชาย และ ญ แทน เพศหญิง โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

เพศของบุตรคนแรก เพศของบุตรคนทส่ี อง กลุ่มของผลลัพธ์ท้งั หมดทอี่ าจจะ
ช ช เกดิ ขนึ้ จากการสารวจเพศของบุตร
ญ
ช, ช

ช, ญ

ญช ช, ญ
ญ ญ, ญ

เขียนแทนกลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนโดยใชค้ ู่อนั ดบั ดงั น้ี
(ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช) และ (ญ, ญ)

ดงั น้นั กลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มมี 4 แบบ คือ
(ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช) และ (ญ, ญ)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 3

กลอ่ งใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีฟ้า (ฟ) สีเขียว (ข) สีเหลือง (ล) และสีแดง (ด) อยา่ งละ 1 ลูก
เขียนกลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิ ทีละลูก
และไม่ใส่ ลูกบอลลูกแรกคืนลงในกลอ่ งก่อนจะหยบิ ลูกบอลลูกท่ีสอง

วธิ ีทา

ในการหาผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิ
ทีละลูกและไม่ใส่ลูกบอลลูกแรกคืนลงในกล่องก่อนจะหยบิ ลูกบอลลูกท่ีสอง โดยใช้
แผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

ผลลพั ธ์ทีอ่ าจจะเกดิ ขึน้ ผลลพั ธ์ที่อาจจะเกดิ ขึน้ กล่มุ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะ
จากการหยบิ ลูกบอลลูกท่ี 1 จากการหยบิ ลูกบอลลูกที่ 2 เกดิ ขึน้ จากการหยบิ ลูกบอลจากกล่อง

ข ฟ, ข

ฟล ฟ, ล
ด ฟ, ด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ที่อาจจะเกดิ ขนึ้ กล่มุ ของผลลพั ธ์ท้ังหมดทีอ่ าจจะ
จากการหยบิ ลูกบอลลูกที่ 1 จากการหยบิ ลูกบอลลูกที่ 2 เกดิ ขึน้ จากการหยบิ ลูกบอลจากกล่อง

ล ข, ล
ขด
ข, ด
ฟ ข, ฟ

ด ล, ด
ลฟ
ล, ฟ
ข ล, ข

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขึน้ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขึน้ กล่มุ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดทอ่ี าจจะ
จากการหยบิ ลูกบอลลูกที่ 1 จากการหยบิ ลูกบอลลูกท่ี 2 เกดิ ขึน้ จากการหยบิ ลูกบอลจากกล่อง

ฟ ด, ฟ
ดข
ด, ข
ล ด, ล

เขียนแทนกลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึน โดยใชค้ ู่อนั ดบั ดงั น้ี
(ฟ, ข), (ฟ, ล), (ฟ, ด), (ข, ล), (ข, ด), (ข, ฟ), (ล, ด), (ล, ฟ), (ล, ข), (ด, ฟ), (ด, ข)
และ (ด, ล)

ดงั น้นั กลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มมี 12 แบบ คือ
(ฟ, ข), (ฟ, ล), (ฟ, ด), (ข, ล), (ข, ด), (ข, ฟ), (ล, ด), (ล, ฟ), (ล, ข), (ด, ฟ), (ด, ข)
และ (ด, ล)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. โยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 3 คร้ัง จงหากลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจาก
การทดลองสุ่มน้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 4

โยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 3 คร้ัง จงหากลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจาก
การทดลองสุ่มน้ี

วธิ ีทา
ในการหาผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการโยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 3 คร้ัง
ถา้ ให้ H แทน หงายดา้ นหวั และ T แทน หงายดา้ นกอ้ ย โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

ผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ กลุ่มของผลลพั ธ์ท้ังหมด
จากการโยน จากการโยน จากการโยน ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ จากการ
โยนเหรียญท้งั สามคร้ัง
เหรียญหนึ่งบาทคร้ังที่ 1 เหรียญหนึ่งบาทคร้ังที่ 2 เหรียญหน่ึงบาทคร้ังท่ี 3
H, H, H
H H H
H, H, T
T T
H, T, H
H
H, T, T
T

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ที่อาจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมด

จากการโยน จากการโยน จากการโยน ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ จากการ

เหรียญหนึ่งบาทคร้ังที่ 1 เหรียญหนึ่งบาทคร้ังท่ี 2 เหรียญหนึ่งบาทคร้ังท่ี 3 โยนเหรียญท้งั สามคร้ัง

T H H T, H, H
T T, H, T

T H T, T, H
T T, T, T

เขียนแทนกลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึน ดงั น้ี
(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H) และ (T, T, T)
ดงั น้นั กลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มมี 8 แบบ คือ
(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H) และ (T, T, T)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

นกั เรียนพจิ ารณากิจกรรมต่อไปน้ี
ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกนั 1 คร้ัง
1. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ คู่ มี 9 แบบ คือ
2. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ คี่ มี 9 แบบ คือ

3. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกหงายแตม้ นอ้ ยกวา่ ลูกที่สอง มี 15 แบบ คือ

4. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ รวมกนั มากกวา่ 10 มี 3 แบบ คือ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2.2 เหตุการณ์ (event)

นกั เรียนพจิ ารณากิจกรรมตอ่ ไปน้ี
ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกนั 1 คร้ัง
กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกนั 1 คร้ัง
โดยใช้ คู่อนั ดบั ได้ ดงั น้ี

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) และ (6, 6)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากกลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มทอดลูกเต๋า
สองลูกพร้อมกนั 1 คร้ัง เราจะสนใจบางผลลพั ธ์ที่มีเง่ือนไขเพิ่มข้ึนที่เกิดจากการทดลองสุ่ม เช่น

1. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ คู่ มี 9 แบบ คือ
(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4) และ (6, 6)

2. ผลลพั ธ์ท่ีลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ ค่ี มี 9 แบบ คือ
(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3) และ (5, 5)

3. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกหงายแตม้ นอ้ ยกวา่ ลูกที่สอง มี 15 แบบ คือ
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 5), (4, 6) และ (5, 6)

4. ผลลพั ธ์ที่ลูกเต๋าท้งั สองลูกจะหงายแตม้ รวมกนั มากกวา่ 10 มี 3 แบบ คือ
(5, 6), (6, 5) และ (6, 6)

นกั เรียนจะเห็นวา่ ในการทดลองสุ่มน้ี ถา้ เราสนใจผลลพั ธ์ที่ตา่ งกนั จะเกิดผลลพั ธ์
ท่ีตา่ งกนั ดว้ ย เรียกกลุ่มของผลลพั ธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่มน้ีวา่ เหตุการณ์

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 5

นกั กีฬาบาสเกตบอล 3 คน แข่งขนั ชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วง ถา้ ผลลพั ธ์ของการชูต้
คือ ลงห่วงกบั ไม่ลงห่วง อยากทราบวา่
1) กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการแข่งขนั ชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วง

ของนกั กีฬาท้งั สามคน
2) เหตุการณ์ท่ีนกั กีฬาชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วงท้งั สามคน
3) เหตุการณ์ท่ีนกั กีฬาชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วงนอ้ ยกวา่ 2 คร้ัง

วธิ ีทา
ในการหาผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการแข่งขนั ชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วง
ของนกั กีฬาท้งั สามคน ถา้ ให้ ล แทน การชูต้ ลงห่วง และ ม แทน การชูต้ ไม่ลงห่วง
โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ ผลลพั ธ์ทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้
จากการชู้ตของคนท่ี 1 จากการชู้ตของคนท่ี 2 จากการชู้ตของคนท่ี 3

ล ล
ล ม
ล
ม ม

ล ล
ม ม
ล
ม ม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ดงั น้นั 1) กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการแข่งขนั ชูต้ ลูกบาสเกตบอล
ลงห่วงของนกั กีฬาท้งั สามคน มี 8 แบบ
คือ ลลล, ลลม, ลมล, ลมม, มลล, มลม, มมล และ มมม

2) เมื่อพิจารณากลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการแขง่ ขนั ชูต้
ลูกบาสเกตบอลลงห่วงของนกั กีฬาท้งั สามคนจากขอ้ 1) ดงั น้นั เหตุการณ์ที่
นกั กีฬาชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วงท้งั สามคน มี 1 แบบ
คือ ลลล

3) เหตุการณ์ท่ีนกั กีฬาชูต้ ลูกบาสเกตบอลลงห่วงนอ้ ยกวา่ 2 คร้ัง มี 4 แบบ
คือ ลมม, มลม, มมล และ มมม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 6

มีลูกบอล 4 ลูก เขียนหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 กากบั ไวท้ ่ีลูกบอล สุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก
โดยหยบิ ทีละลูกและใส่คืนลงในกลอ่ งก่อนหยบิ ลูกท่ีสอง หา

1) เหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ไดผ้ ลรวมเท่ากบั 5
2) เหตุการณ์ที่จะหยบิ ลูกบอลคร้ังท่ี 1 ไดห้ มายเลข 1
3) เหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ลูกบอลคร้ังที่ 2 ไดห้ มายเลข 4

วธิ ีทา
ในการหาผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิ
ทีละลูก แลว้ ใส่คืนลงในกลอ่ ง อาจหยบิ ไดล้ ูกเดิมอีกคร้ัง โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขึน้ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดทอี่ าจจะ
จากการหยบิ คร้ังที่ 1 จากการหยบิ คร้ังท่ี 2 เกดิ ขึน้ จากการหยบิ ท้งั สองคร้ัง

1 1 1,1

2 2 1,2

3 1,3
4 1,4
1 2,1

2 2,2

3 2,3
4 2,4

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขึน้ ผลลพั ธ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดทอี่ าจจะ
จากการหยบิ คร้ังที่ 1 จากการหยบิ คร้ังท่ี 2 เกดิ ขึน้ จากการหยบิ ท้งั สองคร้ัง

3 1 3,1

4 2 3,2

3 3,3
4 3,4
1 4,1

2 4,2

3 4,3
4 4,4

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก โดยหยบิ ทีละลูก
แลว้ ใส่คืนลงในกล่องโดยใชค้ ูอ่ นั ดบั ได้ ดงั น้ี
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3) และ (4, 4)
เม่ือพจิ ารณากลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก
โดยหยบิ ทีละลูกแลว้ ใส่คืนลงในกลอ่ ง

ดงั น้นั 1) เหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ไดผ้ ลรวมเท่ากบั 5 มี 4 แบบ คือ
(1, 4), (2, 3), (3, 2) และ (4, 1)

2) เหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ลูกบอลคร้ังท่ี 1 ไดห้ มายเลข 1 มี 4 แบบ
(1, 1), (1, 2), (1, 3) และ (1, 4)

3) เหตุการณ์ที่จะหยบิ ลูกบอลคร้ังท่ี 2 ไดห้ มายเลข 4 มี 4 แบบ คือ
(1, 4), (2, 4), (3, 4) และ (4, 4)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ในการทดลองสุ่มตอ้ งระมดั ระวงั วา่ เป็นการสุ่มหยบิ แบบใด โดยทวั่ ๆ ไปมี 3 แบบ คือ

แบบที่ 1 หยบิ ออกมาพร้อม ๆ กนั หลาย ๆ ชิ้น ตามจานวนท่ีตอ้ งการ

แบบที่ 2 หยบิ ออกมาทีละชิ้นจนไดค้ รบตามจานวนที่ตอ้ งการ

แบบท่ี 3 หยบิ ออกมาดูวา่ ไดอ้ ะไรแลว้ ใส่คืน แลว้ ทาซ้าจนไดค้ รบตามจานวนท่ีตอ้ งการ
เช่น การหยบิ ลูกอม 2 เมด็ จากขวดโหลท่ีบรรจุลูกอม 3 เมด็ ซ่ึงมีลูกอมรสส้ม
รสระกา และ รสสละ จะได้

แบบที่ 1 หยบิ ลูกอม 2 เมด็ พร้อมกนั จะไดผ้ ลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนมี 3 แบบ
คือ (รสส้ม, รสระกา), (รสส้ม, รสสละ) และ (รสระกา, รสสละ)

แบบท่ี 2 หยบิ ลูกอมทีละเมด็ โดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยบิ เมด็ ท่ีสอง จะไดผ้ ลลพั ธท์ ้งั หมด
ที่อาจจะเกิดข้ึนมี 6 แบบ คือ (รสสม้ , รสระกา), (รสสม้ , รสสละ), (รสระกา, รสสม้ ),
(รสระกา, รสสละ), (รสสละ, รสส้ม) และ(รสสละ, รสระกา)

แบบที่ 3 หยบิ ลูกอมทีละเมด็ แลว้ ใส่คืนก่อนท่ีจะหยบิ เมด็ ที่สอง จะไดผ้ ลลพั ธ์ ท้งั หมด
ท่ีอาจจะเกิดข้ึนมี 9 แบบ คือ (รสส้ม, รสสม้ ), (รสสม้ , รสระกา), (รสส้ม, รสสละ),
(รสระกา, รสสม้ ), (รสระกา, รสระกา), (รสระกา, รสสละ), (รสสละ, รสส้ม),
(รสสละ, รสระกา) และ (รสสละ, รสสละ)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ จากกระป๋ องที่มีสลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 หาผลลพั ธข์ องเหตุการณ์
ที่จะไดผ้ ลบวกของหมายเลขบนสลากท้งั สองใบเท่ากบั 4 เมื่อกาหนดการทดลองสุ่ม ดงั น้ี

1) สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ พร้อมกนั
2) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยไม่ใส่คืนก่อนที่จะหยบิ สลากใบท่ีสอง

3) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยใส่คืนก่อนที่จะหยบิ สลากใบท่ีสอง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 7

สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ จากกระป๋ องที่มีสลากหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 หาผลลพั ธ์ของเหตุการณ์
ท่ีจะไดผ้ ลบวกของหมายเลขบนสลากท้งั สองใบเท่ากบั 4 เมื่อกาหนดการทดลองสุ่ม ดงั น้ี

1) สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ พร้อมกนั
2) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยไม่ใส่คืนก่อนท่ีจะหยบิ สลากใบที่สอง
3) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยใส่คืนก่อนที่จะหยบิ สลากใบท่ีสอง

วธิ ีทา

1) สุ่มหยบิ สลาก 2 ใบ พร้อมกนั จะไดก้ ลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึน
มี 6 แบบ เขียนโดยใชค้ ู่อนั ดบั ได้ ดงั น้ี (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) และ (3, 4)
ดงั น้นั ผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีจะไดผ้ ลบวกของสลากท้งั สองใบเท่ากบั 4
มี 1 แบบ คือ (1, 3)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยไม่ใส่คืนก่อนท่ีจะหยบิ สลากใบที่สอง จะไดก้ ลุ่มของ
ผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนมี 12 แบบ

คือ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2)
และ (4, 3)

ดงั น้นั ผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีจะไดผ้ ลบวกของสลากท้งั สองใบเท่ากบั 4 มี 2 แบบ
คือ (1, 3) และ (3, 1)

3) สุ่มหยบิ สลากทีละใบ โดยใส่คืนก่อนที่จะหยบิ สลากใบท่ีสอง จะไดก้ ลุ่มของผลลพั ธ์
ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนมี 16 แบบ
คือ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3),
(3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3) และ (4, 4)

ดงั น้นั ผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ที่จะไดผ้ ลบวกของสลากท้งั สองใบเท่ากบั 4 มี 3 แบบ
คือ (1, 3), (2, 2) และ (3, 1)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3. ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์

ต่อไปน้ีจะกล่าวถึงการทดลองสุ่มท่ีกาหนดวา่ แตล่ ะผลลพั ธ์ท่ีอาจจะเกิดข้ึน
ในการทดลอง สุ่มมีโอกาสเกิดข้ึนไดเ้ ท่า ๆ กนั ซ่ึงเป็นผลจากการทดลองสุ่มดว้ ยอุปกรณ์ท่ีมี

ความเที่ยงตรง หรือมีความยตุ ิธรรม

พิจารณาจากการทดลองสุ่มต่อไปน้ี

หยบิ ลูกบอล 1 ลูก จากถุงใบหน่ึงท่ีมีลูกบอลอยภู่ ายใน 2 ลูก
เป็นสีขาว 1 ลูก และสีดา 1 ลูก ผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะ
เกิดข้ึนได้ คือ ไดล้ ูกบอลสีขาว และไดล้ ูกบอลสีดา

โอกาสที่จะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีขาว หรือหยบิ ไดล้ ูกบอลสีดาจะมีเท่า ๆ กนั กลา่ วคือ
หยบิ ลูกบอลสีขาวเป็นผลลพั ธ์แบบหน่ึงในผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได้ 2 แบบ
และหยบิ ลูกบอลสีดาเป็นผลลพั ธ์แบบหน่ึงในผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได้ 2 แบบ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จึงกล่าวไดว้ า่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยบิ ไดล้ ูกบอลสีขาว เท่ากบั 1
1 2
และ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยบิ ไดล้ ูกบอลสีดาเท่ากบั 2

ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ใด ๆ ทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการทดลองสุ่ม

หาไดจ้ ากสูตรต่อไปน้ี = จานวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ จานวนผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได

เม่ือแต่ละผลลพั ธ์ท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มมีโอกาสเกิดข้ึนไดเ้ ท่า ๆ กนั

กาหนดให้ E แทนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีเกิดจากการทดลองสุ่ม

S แทนกลุ่มของผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่ม
P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E

n(E) แทนจานวนผลลพั ธท์ ี่จะเกิดในเหตุการณ์ E

n(S) แทนจานวนผลลพั ธท์ ้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนได้

น่ันคือ P(E) = n(E)
n(S)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 1

ทอดลูกเต๋าหน่ึงลูกหน่ึงคร้ัง หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปน้ี
1) เหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ 3
2) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ เป็นจานวนคู่

วธิ ีทา

กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการทอดลูกเต๋าหน่ึงลูกหน่ึงคร้ัง คือ
หงายข้ึนแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ดงั น้นั จานวนผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนได้ แทนดว้ ย n(S) = 6

1) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ 3 จะได้ n(E1) = 1
P(E1) = nn((ES1)) 1
ดงั น้นั = 6
นน่ั คือ
ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋ าจะหงายข้ึนแตม้ 3 เท่ากบั 1
6

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) ให้ E2 แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ เป็นจานวนคู่ คือ ลูกเต๋าอาจจะ
หงายข้ึนแตม้ 2, 4 และ 6 จะได้ n(E2) = 3

ดงั น้นั P(E2) = nn((ES2)) = 3 = 1
6 2

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ เป็นจานวนคู่
1
เท่ากบั 2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 2

โยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง หาความน่าจะเป็นที่เหรียญหน่ึงบาทจะหงายดา้ นหวั
อยา่ งนอ้ ยหน่ึงคร้ัง

วธิ ีทา

กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการโยนเหรียญหน่ึงบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง
คือ HH, HT, TH และ TT ดงั น้นั จานวนผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได้
แทนดว้ ย n(S) = 4

ให้ E แทนเหตุการณ์ที่เหรียญหน่ึงบาทจะหงายดา้ นหวั อยา่ งนอ้ ยหน่ึงคร้ัง คือ
HH, HT และ TH จะได้ n(E) = 3
n(E) 3
ดงั น้นั P(E) = n(S) = 4

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเหรียญหน่ึงบาทจะหงายดา้ นหวั อยา่ งนอ้ ย
3
หน่ึงคร้ัง เท่ากบั 4

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 3

สุ่มหยบิ ไพห่ น่ึงใบออกจากไพส่ ารับหน่ึง ซ่ึงมีไพโ่ พดา โพแดง ดอกจิก และขา้ วหลามตดั
ชุดละ 13 ใบ หาความน่าจะเป็นท่ีจะไดไ้ พโ่ พแดง

วธิ ีทา

จานวนไพท่ ้งั หมดมี 52 ใบ แต่ละใบมีโอกาสถูกหยบิ ไดเ้ ท่า ๆ กนั จะได้ n(S) = 52
และจานวนไพโ่ พแดง โพดา ดอกจิก ขา้ วหลามตดั มีชุดละ 13 ใบ

แต่ละใบในแต่ละชุดมีโอกาสถูกหยบิ ไดเ้ ท่า ๆ กนั

ให้ E แทนเหตุการณ์ท่ีหยบิ ไดไ้ พโ่ พแดง จะได้ n(E) = 13

ดงั น้นั P(E) = n(E) = 13 = 1
n(S) 52 4
1
นน่ั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีจะไดไ้ พโ่ พแดง เท่ากบั 4

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 4

สุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก จากกลอ่ งที่มีลูกบอล 3 ลูก แต่ละลูกมีหมายเลข 1 หมายเลข 3 และ
หมายเลข 5 อยบู่ นลูกบอลลูกละหน่ึงหมายเลข โดยหยบิ ทีละลูกแต่ไม่ใส่คืน
หาความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ต่อไปน้ี
1) เหตุการณ์ท่ีหยบิ ไดล้ ูกบอลหมายเลขเดียวกนั ท้งั สองลูก
2) เหตุการณ์ที่หยบิ ไดล้ ูกบอลที่มีผลบวกเป็นจานวนคู่

วธิ ีทา

กลุ่มของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนจากการสุ่มหยบิ ลูกบอล 2 ลูก เขียนโดยใชค้ ู่
อนั ดบั ได้ ดงั น้ี โดยใหจ้ านวนแรกของคูอ่ นั ดบั แทนการหยบิ ลูกบอลคร้ังท่ี 1 และ
จานวนหลงั ของคู่อนั ดบั แทนการหยบิ ลูกบอลคร้ังท่ี 2 ได้ ดงั น้ี (1, 3), (1, 5), (3, 1),
(3, 5), (5, 1) และ (5, 3)
ดงั น้นั จานวนผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนได้ แทนดว้ ย n(S) = 6

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

1) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลหมายเลขเดียวกนั ท้งั สองลูก
จะเห็นวา่ ไม่มีผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีหยบิ ไดล้ ูกบอลหมายเลขเดียวกนั ท้งั สองลูก

จะได้ จานวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์เป็ น 0

ดงั น้นั P(E1) = nn((ES1)) = 0 =0
6

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P(E1) = 0 แสดงวา่ เหตุการณ์น้ี
เป็ นเหตุการณ์ท่ีเป็ นไปไม่ได้

ดงั น้นั ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หยบิ ไดล้ ูกบอลหมายเลขเดียวกนั
ท้งั สองลูกเท่ากบั 0

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) ให้ E2 แทนเหตุการณ์ท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลท่ีมีผลบวกเป็นจานวนคู่ เขียนโดยใช้
คูอ่ นั ดบั ได้ ดงั น้ี (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1) และ (5, 3) จะได้ n(E2) = 6

ดงั น้นั P(E2) = nn((ES2))

= 6
6

=1

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีหยบิ ไดล้ ูกบอลท่ีมีผลบวกเป็นจานวนคู่
เท่ากบั 1

แสดงวา่ เหตุการณ์น้ีเป็นเหตุการณ์ที่เกิดข้ึนแน่นอน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]