เรื่องความน่าจะเป็น

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 5
ในการทอดลูกเต๋าสองลูก โดยลูกหน่ึงเป็นสีแดง อีกลูกหน่ึงเป็นสีน้าเงิน เมื่อทอดลกู เต๋า
แลว้ นาจานวนแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามารวมกนั กลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึน
สามารถแสดงโดยใชต้ ารางได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จะเห็นไดว้ า่ กลุม่ ของผลลพั ธ์ท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนมี 36 วิธี จะได้ n(S) = 36
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตอ่ ไปน้ี

1) เหตุการณ์ท่ีไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 2

2) เหตุการณ์ท่ีไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 6

3) เหตุการณ์ท่ีไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่ หรือเท่ากบั 9

4) เหตุการณ์ที่ไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่ 12

วธิ ีทา

1) จากตารางจะเห็นไดว้ า่ แตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าสีน้าเงินเป็น 1 และแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าสีแดง
เป็น 1 เหตุการณ์ที่ไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 2 มีเพยี งกรณีเดียว

จะได้ n(E1) = 1 = 1
ดงั น้นั P(E1) 36

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 2
1
เท่ากบั 36

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) จากตารางจะเห็นไดว้ า่ ผ5ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 6 จะได้ n(E2) = 5
ดงั น้นั P(E2) = 36
5
นน่ั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าเป็น 6 เท่ากบั 36

3) จากตารางจะเห็นไดว้ า่ ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกว่าหรือเท่ากบั 9

จะได้ n(E3) = 10 = 10 = 5
ดงั น้นั P(E3) 36 18

นน่ั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไดผ้ ลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่
5
หรือเท่ากบั 9 เท่ากบั 18

4) จากตารางจะเห็นไดว้ า่ ไม่มีเหตุการณ์ที่ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่ 12

จะได้ n(E4) = 0 = 0 =0
ดงั น้นั P(E4) 36

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่ 12 เท่ากบั 0

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 6
สุ่มหมุนแป้น ดงั รูป โดยแบ่งเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กนั คือ สีแดง สีเขียว และสีน้าเงิน

จากรูป หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตอ่ ไปน้ี
1) เหตุการณ์ที่เขม็ ช้ีท่ีบริเวณสีแดง
2) เหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่บริเวณสีขาว
3) เหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีท่ีบริเวณสีแดง หรือสีเขียว

หรือสีน้าเงิน
4) เหตุการณ์ท่ีเขม็ ไม่ช้ีท่ีบริเวณสีแดง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา

1) เน่ืองจากแป้นหมุนแบ่งออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กนั คือ สีแดง สีเขียว และสีน้าเงิน

จะได้ n(S) = 3

เหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่บริเวณสีแดง จะได้ n(E1) = 1
1
ดงั น้นั P(E1) = 3 1
นน่ั คือ 3
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เขม็ ช้ีท่ีบริเวณสีแดง เท่ากบั

2) เน่ืองจากแป้นหมุนแบ่งออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กนั คือ สีแดง สีเขียว และสีน้าเงิน
แต่ไม่มีส่วนท่ีเป็ นสีขาว

จะได้ n(E2) = 0 = 0 =0
ดงั น้นั P(E2) 3

นน่ั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เขม็ ช้ีที่บริเวณสีขาว เท่ากบั 0

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3) เน่ืองจากแป้นหมุนแบ่งเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กนั คือ สีแดง สีเขียว และสีน้าเงิน
ซ่ึงเขม็ จะช้ีที่สีใดสีหน่ึงในสามสีน้ีอยา่ งแน่นอน

จะได้ n(S) = n(E3) =3 3 =1
ดงั น้นั P(E3) = 3

นนั่ คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่บริเวณสีแดง หรือสีเขียวหรือสีน้าเงิน
เท่ากบั 1

4) เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเขม็ ไม่ช้ีที่สีแดง มีความหมายเช่นเดียวกบั

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่สีเขียวหรือสีน้าเงิน

จะไดเ้ หตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่สีเขียวหรือสีน้าเงิน ซ่ึงกค็ ือ n(E4) = 2
2
ดงั น้นั P(E4) = 3 2
3
นน่ั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เขม็ ไม่ช้ีท่ีสีแดง เท่ากบั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากตัวอย่างทแ่ี สดงข้างต้น จะได้ว่า

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ จะเป็นจานวนใดจานวนหน่ึงต้งั แต่ 0 ถึง 1
นนั่ คือ 0 ⩽ P(E) ⩽ 1
เมื่อ P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนแน่นอนจะมีผลลพั ธ์เท่ากบั 1
นน่ั คือ P(E) = 1
เมื่อ E เป็นเหตุการณ์ที่เกิดข้ึนแน่นอนหรือมีโอกาสเกิดข้ึน
หน่ึงร้อยเปอร์เซ็นต์

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีผลลพั ธ์เกิดข้ึนเลยหรือเหตุการณ์ท่ีไม่เกิดข้ึน
แน่นอนจะมีผลลพั ธ์เท่ากบั 0
นน่ั คือ P(E) = 0
เม่ือ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ไดห้ รือไม่มีโอกาสเกิดข้ึนเลย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ในกรณีทว่ั ไป ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อีกขอ้ หน่ึง คือ เมื่อ P(E) แทนความ
น่าจะเป็นที่จะเกิด เหตุการณ์ E ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ E เท่ากบั 1 – P(E)
1
จากตวั อยา่ งท่ี 6 ขอ้ 4) จะไดว้ า่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเขม็ ช้ีที่บริเวณสีแดง เท่ากบั 3
1
นนั่ คือ P(E) = 3

หากตอ้ งการหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีเขม็ ไม่ช้ีท่ีบริเวณสีแดง หาไดโ้ ดย 1 – P(E)
1 2
ดงั น้นั ความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ท่ีเขม็ ไม่ช้ีที่บริเวณสีแดง เท่ากบั 1 – 3 = 3

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. ความน่าจะเป็ นกบั การตดั สินใจ

จากท่ีนกั เรียนไดศ้ ึกษาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ท่ีอาจจะ
เกิดข้ึนในการ ทดลองสุ่มมีโอกาสเกิดข้ึนมากนอ้ ยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์จะใชค้ วามน่าจะ
เป็นของเหตุการณ์เพียง อยา่ งเดียว อาจไม่เพียงพอสาหรับการตดั สินใจ จึงจาเป็นตอ้ งหา
องคป์ ระกอบอื่นมาช่วยในการตดั สินใจ ดว้ ย องคป์ ระกอบที่สาคญั ที่กลา่ วน้ี คือ ผลตอบแทน
ของการเกิดเหตุการณ์น้นั มาพิจารณาประกอบใน การหาค่าคาดหมายของเหตุการณ์ และ
ผลตอบแทนของเหตุการณ์ อาจหมายถึง ผลตอบแทนท่ีไดห้ รือ ผลตอบแทนที่เสีย

เช่น ในการเลน่ โยนเหรียญหวั กอ้ ยจากเหรียญสิบบาท 1 เหรียญ โดยมีกติกาวา่
ถา้ เหรียญออกกอ้ ย นอ้ งนีจะไดร้ ับเงิน 5 บาท แต่ถา้ เหรียญออกหวั นอ้ งนีจะตอ้ งเสียเงิน
3 บาท นน่ั คือ เงิน 5 บาทท่ีนอ้ งนีไดร้ ับเป็นผลตอบแทนทไ่ี ด้ ซ่ึงแทนดว้ ย +5 และ
เงิน 3 บาทที่นอ้ งนีจะตอ้ งเสีย เป็นผลตอบแทนทเ่ี สีย ซ่ึงแทนดว้ ย – 3 การคานวณหา
คา่ คาดหมายของเหตุการณ์ใด ๆ ทาได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ × ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีอาจจะเกิดข้ึน
ตามท่ีกาหนด)

+ (ผลตอบแทนที่เสีย × ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีอาจจะเกิดข้ึน
นอกเหนือ จากที่กาหนด)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คจคาววกาาตมมวนนั อ่่าายจจา่ะะงเเปปก็็านนรขขโออยงงนเเหหเหตตรุุกกียาาญรรขณณอ์์ททง่ีี่โโนยยอ้ นนงเเนหหีรรสีียยาญญมแแารลลถวว้้ แออสออดกกงกหกอ้วั ายรห==าค่า2121คาดหมายได้ ดงั น้ี 1
ผลตอบแทนที่ได้ = +5 ผลตอบแทนท่ีเสีย = –3 2
1
ดงั น้นั คา่ คาดหมาย = (+5) × 2 + (–3) ×

= 5 + – 3
2 2
5 3
= 2 – 2

= 2 =1
2
นนั่ คือ คา่ คาดหมายที่นอ้ งนีจะไดเ้ งินเท่ากบั 1 บาท

แสดงวา่ ถา้ มีการโยนเหรียญสิบบาทแบบน้ีไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยนอ้ งนี
จะไดเ้ งินคร้ังละ 1 บาท หรือกล่าวไดว้ า่ นอ้ งนีจะไดร้ ับเงินมากกวา่ เสียเงิน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

นกั เรียนพจิ ารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี
ตวั อย่าง

นทีทา้ อารียใ์ นการเล่นทอดลูกเต๋า โดยมีกติกาวา่ ใหอ้ ารียท์ อดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง
ถา้ ลูกเต๋าหงายแตม้ 3 หรือ 6 อารียต์ อ้ งจ่ายเงินใหน้ ที 3 บาท แตถ่ า้ ลูกเต๋าหงายแตม้ อื่น
นทีตอ้ งจ่ายเงินใหอ้ ารีย์ 2 บาท ถา้ มีการทอดลูกเต๋าไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ คร้ัง ใครจะไดเ้ งิน
มากกวา่ กนั ใหน้ กั เรียนอธิบาย

แนวคดิ พิจารณาจานวนผลลพั ธ์ท้งั หมดที่อาจจะเกิดข้ึนจากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง
มี 6 แบบ

คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ดงั น้นั n(S) = 6

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าหงายแตม้ 3 หรือ 6 เท่ากบั 2 = 1
6 3
4 2
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าไม่หงายแตม้ 3 หรือ 6 เท่ากบั 6 = 3

เนื่องจากแตล่ ะคร้ังท่ีอารียท์ อดลูกเต๋า ถา้ ลูกเต๋าหงายแตม้ 3 หรือ 6 อารียต์ อ้ งจ่ายเงิน
ใหน้ ที 3 บาท

ผลตอบแทนท่ีได้ แทนดว้ ย +3

เน่ืองจากแตล่ ะคร้ังที่อารียท์ อดลูกเต๋า ถา้ ลูกเต๋าไม่หงายแตม้ 3 หรือ 6 นทีตอ้ งจ่ายเงิน
ใหอ้ ารีย์ 2 บาท

ผลตอบแทนท่ีเสีย แทนดว้ ย – 2
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ค่าคาดหมายท่ีนทีจะไดเ้ งิน เป็นดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ × ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายแตม้ 3

หรือ 6) + (ผลตอบแทนที่เสีย × ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋า

ไม่หงายแตม้ 3 หรือ 6) 2
1 3
= (+3) × 3 + (–2) ×

= 1+ – 4
3
4
= 1– 3

= – 1
3

≈ – 0.33

นนั่ คือ ค่าคาดหมายที่นทีจะไดเ้ งินประมาณ – 0.33

แสดงวา่ ถา้ มีการทอดลูกเต๋าแบบน้ีไปเร่ือย ๆ หลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยนทีจะเสียเงิน
คร้ังละประมาณ 0.33 บาท หรือกลา่ วไดว้ า่ อารียไ์ ดเ้ งินมากกวา่ นที

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]