สถิติ

คณติ ศาสตร์
3ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 KawaiikKคษรูสษาlยษชษลสเรlียlงlสkนั jเทียะ [email protected]

แผนผงั สาระการเรียนรู้
สถิติ

1. ทบทวนการหามธั ยฐาน
2. การวดั ตาแหน่งที่ของขอ้ มูล
3. แผนภาพกลอ่ ง
4. การแปลความหมายผลลพั ธ์

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั ช้ีวดั

เขา้ ใจและใชค้ วามรู้ทางสถิติในการนาเสนอขอ้ มูลและวเิ คราะห์ขอ้ มูลจากแผนภาพกล่อง
และแปลความหมายผลลพั ธ์ รวมท้งั นาสถิติไปใชใ้ นชีวติ จริงโดยใชเ้ ทคโนโลยที ี่
เหมาะสม (ค 3.1 ม.3/1)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 3

สถติ ิ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

1. ทบทวนการหามัธยฐาน

มธั ยฐาน (median) เป็นค่ากลางของขอ้ มูล ซ่ึงเม่ือเรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก หรือ
จากมาก ไปนอ้ ยแลว้ จานวนของขอ้ มูลท่ีนอ้ ยกวา่ ค่าน้นั จะเท่ากบั จานวนของขอ้ มูลท่ีมากกวา่
คา่ น้นั หรือเรียกไดว้ า่ เป็นค่าก่ึงกลางของขอ้ มูลชุดน้นั หรือค่าท่ีอยใู่ นตาแหน่งกลางของ
ขอ้ มูลชุดน้นั

มธั ยฐานของขอ้ มูลชุดหน่ึง เมื่อขอ้ มูลชุดน้นั ถูกจดั เรียงจากนอ้ ยไปมากหรือจากมาก
ไปนอ้ ยแลว้ เป็นดงั น้ี

1) มธั ยฐาน คือ ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งตรงกลาง (จานวนของขอ้ มูลเป็นจานวนคี่)

2) มธั ยฐาน คือ ค่าเฉล่ียของขอ้ มูลสองค่าที่อยใู่ นตาแหน่งตรงกลาง
(จานวนขอ้ มูลเป็นจานวนคู)่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันตอนการหาค่ามธั ยฐาน

1. เรียงขอ้ มูลจากคา่ มากท่ีสุดไปหาคา่ นอ้ ยที่สุด หรือเรียงขอ้ มูลจากคา่ นอ้ ยท่ีสุด
2. ถไกปาร้ ขณหอ้ ีาทมคี่ ูล่ามNมาี 2N+กท1จ่ีสานุดไมวน่เป็คน่าจมาธนั ยวฐนาเนตจม็ ะเอชย่นตู่ 6าแ.5หแนส่งดทงี่ วNา่ 2+ 1

มธั ยฐาน = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 6 + ค่าของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 7
2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 1
หามธั ยฐานของขอ้ มูล 41, 50, 56, 52, 80

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากค่านอ้ ยที่สุดไปหาคา่ มากท่ีสุด

41, 50, 52, 56, 80

ตาแหน่งของมธั ยฐาน คือ N + 1 = 5+1 = 6 =3
2 2 2

ดงั น้นั มธั ยฐาน คือ คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 3 นนั่ คือ 52

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 2
หามธั ยฐานของขอ้ มูล 353, 361, 600, 574, 450, 399

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากคา่ นอ้ ยท่ีสุดไปหาคา่ มากที่สุด

353, 361, 399, 450, 574, 600

ตาแหน่งของมธั ยฐาน คือ N + 1 = 6+1 = 3.5
2 2

มธั ยฐาน = คา่ ของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งที่ 3 + คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 4
2
399 + 450 849
มธั ยฐาน = 2 = 2 = 424.5

ดงั น้นั มธั ยฐาน คือ 424.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 3 เงินที่นกั เรียนช้นั ม.3/2 ไดม้ าใชใ้ นโรงเรียนแตล่ ะวนั จานวน 18 คน มีดงั น้ี

หามธั ยฐานของเงินท่ีนกั เรียนไดม้ าใชใ้ นโรงเรียน

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากค่านอ้ ยที่สุดไปหาค่ามากท่ีสุด

50, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70

ตาแหน่งของมธั ยฐาน คือ N+1 = 18 + 1 = 9.5
2 2
ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 9 + ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 10
มธั ยฐาน = 2

มธั ยฐาน = 60 + 60 = 120 = 60
2 2

ดงั น้นั มธั ยฐาน คือ 60

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2. การวดั ตาแหน่งทขี่ องข้อมูล

ในการวิเคราะห์ขอ้ มูลแต่ละชุดขอ้ มูลน้นั ถา้ ในขอ้ มูลชุดน้นั มีจานวนนอ้ ย นกั เรียน
สามารถบอก ไดว้ า่ ขอ้ มูลใดมีค่ามากท่ีสุดหรือนอ้ ยท่ีสุด ขอ้ มูลใดอยตู่ รงกลาง ขอ้ มูลใดบา้ งที่
นอ้ ยกวา่ ค่ากลางหรือ มากกวา่ ค่ากลาง แต่ถา้ ขอ้ มูลชุดน้นั มีจานวนมากจะเป็นการยากท่ีจะบอก
รายละเอียดต่าง ๆ ไดค้ รบถว้ น เช่น คะแนนสอบของนกั เรียนจานวน 5 คน นกั เรียนสามารถบอก
ไดว้ า่ คนที่อยตู่ รงกลางคือคนท่ี 3 และ สามารถบอกไดว้ า่ รายละเอียดแต่ละค่าต่างกนั อยา่ งไร
เมื่อเรียงคะแนนสอบจากนอ้ ยไปมาก แต่หาก อยากทราบคะแนนสอบนกั เรียนท้งั ประเทศจะเป็น
การยาก การวดั ตาแหน่งที่ของขอ้ มูลจะทาใหท้ ราบ รายละเอียดในการนาเสนอขอ้ มูลไดง้ ่ายและ
ชดั เจนมากข้ึน ซ่ึงไม่ไดบ้ อกเฉพาะตาแหน่งท่ีของขอ้ มูล เพยี งอยา่ งเดียว โดยไม่มีขอ้ มูลอื่นมา
ประกอบ ผรู้ ับข่าวสารจะไม่สามารถทราบไดว้ า่ ตาแหน่งที่กล่าวถึงน้นั อยตู่ รงส่วนไหนของขอ้ มูล

สาหรับการวดั ตาแหน่งที่ของขอ้ มูลน้นั สามารถแปลงขอ้ มูลแต่ละชุดใหอ้ ยใู่ นลกั ษณะ
เดียวกนั เพ่ือประโยชนใ์ นการเปรียบเทียบขอ้ มูลระหวา่ งขอ้ มูลคนละชุดกนั การแปลงขอ้ มูลมี
ลกั ษณะเป็น การเรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมากและแบ่งชุดขอ้ มูลออกเป็น
ส่วนยอ่ ย ๆ มีท้งั แบ่งออกเป็น 4 ส่วน 10 ส่วน และ 100 ส่วน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

การวดั ตาแหน่งที่แบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วน คือ ควอไทล์ (quartile)

คา่ ที่แบ่งส่วนท้งั 4 ส่วน มี 3 คา่ คือ Q1, Q2, Q3
การวดั ตาแหน่งท่ีแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 10 ส่วน คือ เดไซล์ (decile)

ค่าท่ีแบ่งส่วนท้งั 10 ส่วน มี 9 คา่ คือ D1, D2, …, D9
การวดั ตาแหน่งที่แบ่งขอ้ มูลออกเป็น 100 ส่วน คือ เปอร์เซ็นไทล์ (percentile)

คา่ ที่แบ่งส่วน ท้งั 100 ส่วน มี 99 ค่า คือ P1, P2, …, P99
เขียนแสดงความสัมพนั ธ์ของควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทลไ์ ด้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2.1 การหาตาแหน่งและการหาค่าของข้อมูลท่ยี งั ไม่แจกแจงความถ่ี

สาหรับขอ้ มูลชุดหน่ึง ๆ ซ่ึงมีท้งั หมด N จานวน นกั เรียนสามารถหาคา่ ของ
ตาแหน่งที่ตอ้ งการไดต้ ามข้นั ตอน ดงั ตอ่ ไปน้ี

1. เรียงขอ้ มูลท้งั หมดจากนอ้ ยไปหามาก

2. หาตาแหน่งท่ีตอ้ งการตามสูตรการหาตาแหน่งของขอ้ มูล ดงั น้ี
141r0rr0(0N(N(N++1+)11))
ตาแหน่งของ Qr คือ เมื่อ r = 1, 2, 3
ตาแหน่งของ Dr คือ เมื่อ r = 1, 2, 3, ..., 9
ตาแหน่งของ Pr คือ เม่ือ r = 1, 2, 3, ..., 99

3. เม่ือทราบตาแหน่งแลว้ จึงหาค่าที่ตอ้ งการโดยเทียบกบั ตาแหน่งจริงของขอ้ มูล เช่น

กาหนดขอ้ มูลเป็นดงั น้ี
10, 22, 17, 19, 35, 15, 25, 29

ใหห้ า 1) Q2 2) D3 3) P50

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 8) ได้ ดงั น้ี
1) หา Q2 ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8
ข้อมูล 10 15 17 19 22 25 29 35

ข้ันท่ี 2 หาตาแหน่งของ Q2 จากสูตร
ตาแหน่งของ Qr r
= 4 (N + 1)

ตาแหน่งของ Q2 = 2 (8 + 1)
4

= 4.5

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8

ข้อมูล 10 15 17 19 22 25 29 35

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันที่ 3 ตาแหน่งของ Q2 ไดเ้ ท่ากบั 4.5 นนั่ คือ Q2 มีค่าอยรู่ ะหวา่ ง
ตาแหน่งที่ 4 กบั ตาแหน่งท่ี 5 ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 19 กบั 22

ตาแหน่งต่างกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 3 ไดม้ าจาก 22 – 19

ตาแหน่งตา่ งกนั 0.5 ตาแหน่ง ขอ้ มูลต่างกนั 0.5 × 3 = 1.5
1
จะไดว้ า่ Q2 = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 4 + ค่าท่ีเพ่ิมข้ึน

= 19 + 1.5

= 20.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2) หา D3 ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 8) ได้ ดงั น้ี
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8
ข้อมูล 10 15 17 19 22 25 29 35

ข้ันท่ี 2 หาตาแหน่งของ D3 จากสูตร
ตาแหน่งของ Dr r
= 10 (N + 1)

ตาแหน่งของ D3 = 3 (8 + 1)
10

= 2.7

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8

ขอ้ มูล 10 15 17 19 22 25 29 35

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันท่ี 3 ตาแหน่งของ D3 ไดเ้ ท่ากบั 2.7 นนั่ คือ D3 มีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง

ตาแหน่งต่างกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลต่างกนั 2 ไดม้ าจาก 17 – 15

ตาแหน่งต่างกนั 0.7 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 0.7 × 2 = 1.4
1
จะไดว้ า่ D3 = คา่ ของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 2 + คา่ ท่ีเพิ่มข้ึน

= 15 + 1.4

= 16.4

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3) หา P50 ข้ันท่ี 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 8) ได้ ดงั น้ี
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8

ข้อมูล 10 15 17 19 22 25 29 35

ข้ันท่ี 2 หตาาแตหาแนห่งนขอ่งขงองPPr50=จาก1ส0r0ูตร(N + 1)
50
ตาแหน่งของ P50 = 100 (8 + 1)

= 4.5

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8

ข้อมูล 10 15 17 19 22 25 29 35

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันที่ 3 ตาแหน่งของ P50 ไดเ้ ท่ากบั 4.5 นน่ั คือ P50 มีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง

ตาแหน่งที่ 4 กบั ตาแหน่งท่ี 5 ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 19 กบั 22

ตาแหน่งต่างกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 3 0.5 × 3 ไดม้ าจาก 22 – 19
1
ตาแหน่งต่างกนั 0.5 ตาแหน่ง ขอ้ มูลต่างกนั = 1.5

จะไดว้ า่ P50 = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 4 + ค่าที่เพ่มิ ข้ึน

= 19 + 1.5

= 20.5

จากการหาคา่ ของ Q2, D3 และ P50 พบวา่

Q2 = 20.5 D3 = 16.4 P50 = 20.5

ซ่ึงจะไดว้ า่ Q2 = D5 = P50 = มธั ยฐาน

จากท่ีทราบการวดั ตาแหน่งที่ของขอ้ มูลเป็นเบ้ืองตน้ ในที่น้ีจะกล่าวถึงรายละเอียด
เฉพาะ การหาตาแหน่งของควอไทลท์ ี่ใชใ้ นการสร้างแผนภาพกลอ่ ง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

2.2 ควอไทล์

ควอไทล์ (quartiles) เป็นการวดั ตาแหน่งของขอ้ มูลที่แบ่งขอ้ มูลท้งั หมดออกเป็น
4 ส่วน โดยแต่ละส่วนมีจานวนขอ้ มูลเท่า ๆ กนั เมื่อเรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก คา่ ท่ีแบ่ง

ขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั มี 3 คา่ คือ ควอไทลท์ ่ี 1 (Q1) ควอไทลท์ ่ี 2 (Q2)
ควอไทลท์ ี่ 3 (Q3) ตามลาดบั

Q1 เป็นคา่ ที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าหรือเท่ากบั ค่านี้ 1 ของจานวนข้อมูลท้งั หมด
4
นน่ั คือ ขอ้ มูลที่มีค่านอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั คา่ น้ีอยู่ 1 ส่วน และมีขอ้ มูลค่าอ่ืน ๆ
ท่ีมีค่ามากกวา่ ค่าน้ีอยู่ 3 ส่วน เมื่อแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั

Q2 เป็นคา่ ที่มจี านวนข้อมูลน้อยกว่าหรือเท่ากบั ค่านี้ 2 ของจานวนข้อมูลท้งั หมด
4
นน่ั คือ ขอ้ มูลท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั คา่ น้ีอยู่ 2 ส่วน และมีขอ้ มูลคา่ อ่ืน ๆ
ที่มีคา่ มากกวา่ คา่ น้ีอยู่ 2 ส่วน เม่ือแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

Q3 เป็นคา่ ที่มจี านวนข้อมูลน้อยกว่าหรือเท่ากบั ค่านี้ ส34่วนขแอลงะจมานีขวอ้ นมขูล้อคม่าอูล่ืนท้งัๆหมด
นนั่ คือ ขอ้ มูลท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั คา่ น้ีอยู่ 3
ที่มีค่ามากกวา่ คา่ น้ีอยู่ 1 ส่วน เม่ือแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั

การหาตาแหน่งท่ีของควอไทลใ์ ชส้ ญั ลกั ษณ์ Qr หาไดจ้ าก

Qr = r (N + 1)
4
โดยท่ี Qr แทน คา่ ควอไทลท์ ่ี r ซ่ึง r = 1, 2, 3

N แทน จานวนของขอ้ มูลท้งั หมด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

เรียงลาดบั ขอ้ มูลได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 1

จากการทดสอบก่อนเรียนคณิตศาสตร์ คะแนนเตม็ 30 คะแนน คะแนนการสอบของนกั เรียน 7 คน เป็นดงั น้ี
6, 18, 26, 20, 30, 21, 10

หา Q1, Q2 และ Q3

หา Q1 ข้นั ที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 7) ได้ ดงั น้ี

ตาแหน่งของข้อมูล 1 234567

ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้นั ที่ 2 หาตาแหน่งของ Q1 จากส==ูตร441r
ตาแหน่งของ Qr
(N + 1) =2
ตาแหน่งของ Q1 (7 + 1)

ตาแหน่งของข้อมูล 1 234567

ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้นั ที่ 3 ตาแหน่งของ Q1 ไดเ้ ท่ากบั 2
จะไดว้ า่ Q1 มีค่าตรงตาแหน่งท่ี 2 ดงั น้นั Q1 = 10

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หา Q2 ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 7) ได้ ดงั น้ี
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7
ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้นั ท่ี 2 หาตาแหน่งของ Q2 จากสูตร
2
ตาแหน่งของ Q2 = 4 (7 + 1)

=4

ตาแหน่งของข้อมูล 1 23 4 56 7
ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้ันที่ 3 ตาแหน่งของ Q2 มีค่าตรงตาแหน่งที่ 4 ดงั น้นั Q2 = 20

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หา Q3 ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 7) ได้ ดงั น้ี
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7
ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้นั ท่ี 2 หาตาแหน่งของ Q3 จากสูตร
3
ตาแหน่งของ Q3 = 4 (7 + 1)

=6

ตาแหน่งของข้อมูล 1 23 4 56 7
ข้อมูล 6 10 18 20 21 26 30

ข้ันที่ 3 ตาแหน่งของ Q3 มีค่าตรงตาแหน่งที่ 6 ดงั น้นั Q3 = 26

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 2

เดก็ ชายวรปรัชญส์ ารวจอายขุ องคนในครอบครัวท้งั หมด 10 คน เป็นดงั น้ี
45, 68, 80, 12, 25, 32, 38, 39, 54, 65
หา Q1, Q2 และ Q3

หา Q1 ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 10) ได้ ดงั น้ี
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ข้อมูล 12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

ข้นั ท่ี 2 หาตาแหน่งของ Q1 จากสูตร
ตาแหน่งของ Qr r
= 4 (N + 1)

ตาแหน่งของ Q1 = 1 (10 + 1)
4
= 2.75

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล Q1
ข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

ข้ันท่ี 3 ตาแหน่งของ Q1 ไดเ้ ท่ากบั 2.75
นน่ั คือ Q1 มีคา่ อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งท่ี 2 กบั ตาแหน่งที่ 3

ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 25 กบั 32

ตาแหน่งตา่ งกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลต่างกนั 7 ไดม้ าจาก 32 – 25
0.75 × 7
ตาแหน่งตา่ งกนั 0.75 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 1 = 5.25

จะไดว้ า่ Q1 = คา่ ของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 2 + คา่ ที่เพม่ิ ข้ึน

= 25 + 5.25

= 30.25

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หา Q2 ข้ันที่ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 10) ได้ ดงั น้ี

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ข้อมูล 12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

ข้ันที่ 2 หาตาแหน่งของ Q2 จากสูตร

ตาแหน่งของ Q2 = 2 (10 + 1)
4

= 5.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ข้อมูล 12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

Q2
ข้ันท่ี 3 ตาแหน่งของ Q2 ไดเ้ ท่ากบั 5.5 นนั่ คือ Q2 มีค่าอยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งท่ี 5

กบั ตาแหน่งที่ 6 ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 39 กบั 45

ตาแหน่งตา่ งกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลต่างกนั 6 ไดม้ าจาก 45 – 39

ตาแหน่งต่างกนั 0.5 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 0.5 × 6 = 3
1

จะไดว้ า่ Q2 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 5 + คา่ ท่ีเพิม่ ข้ึน

= 39 + 3

= 42

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

หา Q3 ข้ันท่ี 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 10) ได้ ดงั น้ี

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ข้อมูล 12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

ข้ันท่ี 2 หาตาแหน่งของ Q3 จากสูตร

ตาแหน่งของ Q3 = 3 (10 + 1)
4

= 8.25

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ข้อมูล 12 25 32 38 39 45 54 65 68 80

Q3
ข้ันท่ี 3 ตาแหน่งของ Q3 ไดเ้ ท่ากบั 8.25 นน่ั คือ Q3 มีคา่ อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งท่ี 8

กบั ตาแหน่งท่ี 9 ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 65 กบั 68

ตาแหน่งต่างกนั 1 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 3 ไดม้ าจาก 68 – 65

ตาแหน่งต่างกนั 0.25 ตาแหน่ง ขอ้ มูลตา่ งกนั 0.25 × 3 = 0.75
1

จะไดว้ า่ Q3 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 8 + คา่ ท่ีเพิม่ ข้ึน

= 65 + 0.75

= 65.75

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 3

คะแนนวทิ ยาศาสตร์และภาษาไทยของนกั เรียนจานวน 20 คน คะแนนเตม็ 100 คะแนน
เป็นดงั น้ี

คะแนนรวมของนกั เรียนจานวนสามในส่ีของนกั เรียนท้งั หมดในวิชาใดมีค่ามากกวา่
และมากกวา่ กนั เท่าไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา หาจานวนสามในสี่ของนกั เรียนท้งั หมด หมายถึง หา Q3
ข้ันท่ี 1 เนื่องจากแผนภาพตน้ -ใบ เป็นขอ้ มูลที่เรียงลาดบั จากนอ้ ยไปมากแลว้ (N = 20)

ได้ ดงั น้ี

ข้ันที่ 2 หาตาแหน่งของ Q3 ของวทิ ยาศาสตร์ ข้ันที่ 2 หาตาแหน่งของ Q3 ของภาษาไทย
ตาแหน่งของ Qr r ตาแหน่งของ Qr r
= 43 (N + 1) = 43 (N + 1)
ตาแหน่งของ Q3 = 4 (20 + 1) ตาแหน่งของ Q3 = 4 (20 + 1)

= 15.75 = 15.75

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

Q3

ข้ันที่ 3 ตาแหน่งของ Q3 ของวทิ ยาศาสตร์ไดเ้ ท่ากบั 15.75
นน่ั คือ มีค่าอยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งท่ี 15 กบั ตาแหน่งท่ี 16 ซ่ึงมีคา่ เท่ากบั 76 กบั 77
จะไดว้ า่
Q3 = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 15 + คา่ ท่ีเพิ่มข้ึน
= 76 + (0.75)(77 – 76)
= 76.75

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

Q3

ข้ันท่ี 3 ตาแหน่งของ Q3 ของภาษาไทยไดเ้ ท่ากบั 15.75
นน่ั คือ มีคา่ อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งที่ 15 กบั ตาแหน่งท่ี 16 ซ่ึงมีคา่ เท่ากบั 74 กบั 78
จะไดว้ า่
Q3 = คา่ ของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 15 + ค่าท่ีเพม่ิ ข้ึน
= 74 + (0.75)(78 – 74)

= 77

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จะไดว้ า่ คะแนนรวมของนกั เรียนจานวนสามในส่ีของวิชาวทิ ยาศาสตร์ไดเ้ ท่ากบั 76.75
คะแนนรวมของนกั เรียนจานวนสามในสี่ของวชิ าภาษาไทยไดเ้ ท่ากบั 77

ดงั น้นั คะแนนรวมของนกั เรียนจานวนสามในสี่ของนกั เรียนท้งั หมดวิชาท่ีมีค่ามากกวา่
คือ วชิ าภาษาไทย และมากกวา่ อยู่ 77 – 76.75 = 0.25

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3. แผนภาพกล่อง

แผนภาพกล่อง (box plot) เป็นแผนภาพท่ีใชส้ รุปลกั ษณะของขอ้ มูล โดยใชค้ ่าท่ี
คานวณไดใ้ น ขอ้ มูล เช่น ควอไทล์ มาสร้างแผนภาพ ดงั น้นั แผนภาพกลอ่ งจะแสดงลกั ษณะ
ที่สาคญั ของขอ้ มูลชุดน้นั ๆ เช่น ค่ากลาง ค่าการกระจาย ลกั ษณะการแจกแจงขอ้ มูล
และคา่ ผดิ ปกติของขอ้ มูล

ลกั ษณะของแผนภาพกล่อง ประกอบดว้ ย คา่ ควอไทล์ (Q1, Q2 และ Q3) เป็นกลอ่ งที่
มีคา่ Q1 และ Q3 เป็นค่าต่าและคา่ สูงของกลอ่ งท่ีวางตามแนวนอนหรือแนวต้งั
ส่วนประกอบของแผนภาพกล่อง ประกอบด้วย

1. ส่วนของกลอ่ ง ประกอบดว้ ย คา่ ควอไทลท์ ่ี 1 (Q1) คา่ ควอไทลท์ ่ี 2 (Q2) หรือคา่ มธั ยฐาน
และ ค่าควอไทลท์ ี่ 3 (Q3) และคา่ พิสัยควอไทล์ (interquartile range หรือ IQR) หาไดจ้ าก
Q3 - Q1 ซ่ึงกค็ ือ ความกวา้ งของตวั กล่อง

2. เสน้ หนวดแมว (whisker) โดยเสน้ น้ีจะมีความยาวเท่ากบั 1.5 เท่าของ IQR
เรียกวา่ ขอบร้ัว ช้นั ใน (inner fence)

3. ขอ้ มูลที่ผดิ ปกติ (outlier) ขอ้ มูลท่ีตกอยนู่ อกขอบ IQR เรียกวา่ ขอ้ มูลนอกกลุม่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันตอนการสร้างแผนภาพกล่อง
1. สร้างรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ โดยหา Q1 เพ่อื ใชเ้ ป็นขอบล่าง (ขอบซา้ ย) และ Q3 เป็นขอบบน
(ขอบขวา) ซ่ึงจะไดค้ วามยาวของสี่เหล่ียมผนื ผา้ เท่ากบั คา่ พสิ ัยของควอไทล์ (IQR)
2. ลากเส้นส่ีเหล่ียมผนื ผา้ ในตาแหน่งของมธั ยฐาน

3. กาหนดแนวช้นั ในทางดา้ นล่าง (lower inner fence) ที่ระยะห่างจาก Q1 มา 1.5 IQR
และแนวช้นั ในดา้ นบน (upper inner fence) ท่ีระยะห่างจาก Q3 มา 1.5 IQR

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. หาขอบเขตของคา่ ที่ยงั ไม่ผดิ ปกติ ซ่ึงเรียกวา่ ค่าประชิด

โดยหาไดจ้ าก กาหนดแนวช้นั ในดา้ นลา่ ง = Q1 – 1.5(IQR)
กาหนดแนวช้นั ในดา้ นบน = Q3 + 1.5(IQR)

5. สร้างกล่องโดยท่ีปลายท้งั สองขา้ งของกลอ่ งอยทู่ ี่ค่าควอไทลท์ ่ี 1 (Q1)
และคา่ ควอไทลท์ ี่ 3 (Q3) โดยที่ความยาวของกลอ่ งคลุมขอ้ มูล 50% ของท้งั หมด
คา่ ควอไทลท์ ี่ 2 (Q2) หรือมธั ยฐาน แบ่งกล่อง ออกเป็น 2 ส่วน

6. ลากเสน้ จากขอบลา่ งออกไปจนถึงคา่ นอ้ ยที่สุดของขอ้ มูลจริง แต่ไม่เกินแนวช้นั ใน
ดา้ นลา่ ง และ จากขอบบนไปถึงค่ามากท่ีสุดของขอ้ มูลจริง แตไ่ ม่เกินแนวช้นั ใน
ดา้ นบน เรียกเส้นน้ีวา่ เสน้ หนวดแมว (whisker line) และคา่ ท่ีมากท่ีสุดและนอ้ ยท่ีสุด

ของขอ้ มูลจริง เรียกวา่ คา่ ประชิด

7. ค่าขอ้ มูลผดิ ปกติ (outlier) หรือค่านอกกลุม่ คือ ขอ้ มูลท่ีมคี ่าต่าหรือสูงมากเกินกวา่
คา่ Q1 – 1.5 เท่าของความยาวกลอ่ ง หรือ Q3 + 1.5 เท่าของความยาวกลอ่ ง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันตอนการสร้างแผนภาพกล่องอย่างง่าย
ในกรณีที่ชุดของขอ้ มูลมีจานวนไม่มาก การสร้างแผนภาพกล่องตอ้ งทราบ 5

ค่าของขอ้ มูล นนั่ คือ ค่าสูงสุด (H) ค่าต่าสุด (L) ค่าควอไทลท์ ่ี 1 (Q1) ค่าควอไทลท์ ่ี 2 (Q2)
หรือคา่ มธั ยฐาน (median) และ ค่าควอไทลท์ ่ี 3 (Q3) นกั เรียนสามารถสร้างแผนภาพกล่อง
ได้ ดงั น้ี

1. เขียนเส้นจานวนท่ีมีการแบ่งสเกลท่ีเท่ากนั ของขอ้ มูลที่ครอบคลุม
ท้งั 5 คา่ ของขอ้ มูล

2. สร้างรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ เป็นรูปกล่องบนเสน้ จานวนท่ีระบุคา่
คา่ ควอไทลท์ ี่ 1 (Q1) คา่ ควอไทล์ ที่ 2 (Q2) หรือคา่ มธั ยฐาน (median)
และค่าควอไทลท์ ่ี 3 (Q3)

3. ลากเส้นตรงจากค่าควอไทลท์ ี่ 1 (Q1) ไปถึงคา่ ที่นอ้ ยท่ีสุด และลากเสน้ ตรง
จากค่าควอไทลท์ ี่ 3 (Q3) ไปถึงคา่ ท่ีมากท่ีสุด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 1
ขอ้ มูล 25, 7, 12, 18, 20, 22, 14
สร้างแผนภาพกลอ่ งจากขอ้ มูลขา้ งตน้
เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก (N = 7) ได้ ดงั น้ี
Q1
ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7

ข้อมูล 7 12 14 18 20 22 25

หาตาแหน่งของ Qr จากสูตร ตาแหน่งของ Qr = r (N + 1
1 4 = 2
4
หา Q1 จากสูตร ตาแหน่งของ Q1 = (7 + 1)

นนั่ คือ Q1 มีค่าตรงกบั ขอ้ มูลตาแหน่งที่ 2
Q1 = 12

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล Q1 Q2
ข้อมูล 1 234 56 7
7 12 14 18 20 22 25

มธั ยฐาน

หา Q2 หรือมธั ยฐานได้ คือ ตาแหน่งที่ 4 นนั่ คือ 18
2
หรือตาแหน่งของ Q2 = 4 (7 + 1) =4

นนั่ คือ Q2 มีค่าตรงกบั ขอ้ มูลตาแหน่งท่ี 4

Q2 = 18

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล Q1 Q2 Q3
1 234 56 7

ข้อมูล 7 12 14 18 20 22 25

มธั ยฐาน

หา Q3 จากสูตร ตาแหน่งของ Q3 = 3 (7 + 1) = 6
4
นน่ั คือ Q3 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ มูลตาแหน่งที่ 6

ดงั น้นั Q3 = 22

สรุป 5 ค่า ดงั น้ี Q1 = 12, Q2 = 18, Q3 = 22, คา่ นอ้ ยสุด คือ 7 คา่ มากสุด คือ 25
คา่ IQR = Q3 – Q1
= 22 – 12

= 10

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

เขียนเป็นแผนภาพกลอ่ งได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

การสร้างแผนภาพกล่องอยา่ งง่าย นกั เรียนสามารถทาเองไดโ้ ดยทาตามข้นั ตอนจากท่ี
กล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้ แต่ถา้ ขอ้ มูลที่มีจานวนมากหรือตอ้ งการไดค้ ่าสถิติต่าง ๆ ที่ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนสามารถ นาเทคโนโลยที ่ีเป็นโปรแกรมต่าง ๆ ในการจดั ทาแผนภาพกล่อง เช่น

โปรแกรม Microsoft Office Excel โปรแกรม SPSS โปรแกรม GeoGebra
ในที่น้ีการนาเทคโนโลยมี าใชใ้ นการนาเสนอขอ้ มูลทางดา้ นสถิติจะทาใหเ้ กิดความ

สะดวกและ เห็นภาพไดช้ ดั เจนมากข้ึน โดยนกั เรียนสามารถใชโ้ ปรแกรม GeoGebra*
ในการจดั ทาโดยกรอกขอ้ มูล แต่ละค่า แลว้ เลือกการนาเสนอขอ้ มูลในรูปของแผนภาพกล่อง

ซ่ึงนกั เรียนสามารถใชโ้ ปรแกรม GeoGebra หรือโปรแกรมอ่ืนใชใ้ นการนาเสนอขอ้ มูล
เพื่อความสะดวกในการจดั การขอ้ มูล (*โปรแกรม GeoGebra เป็นโปรแกรมช่วยงาน

ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะดา้ นเรขาคณิตท้งั 2 มิติ และ 3 มิติ ซ่ึงมีประสิทธิภาพสูง
เป็นโปรแกรมแบบ open source สามารถดาวนโ์ หลดเพื่อนามาใชง้ านไดฟ้ รี ครู นกั เรียน

หรือผทู้ ่ีสนใจ สามารถดาวนโ์ หลดโปรแกรม GeoGebra ไดท้ ี่เวบ็ ไซต์
www.geogebra.org/materials หรือ ดาวนโ์ หลดแอปพลิเคชนั ผา่ นแทบ็ เลต็ และสมาร์ตโฟน

ท่ีรองรับระบบปฏิบตั ิการแอนดรอยด์ (Android) หรือไอโอเอส (iOS))

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ข้ันตอนการสร้างแผนภาพกล่องจากโปรแกรม GeoGebra

1. เปิ ดโปรแกรม GeoGebra จากคอมพวิ เตอร์หรือจากสมาร์ตโฟน
2. เลือกเมนูสเปรดชีต

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

3. กรอกขอ้ มูลแต่ละคา่ ลงไปในสเปรดชีต

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. เลือกเคร่ืองมือ แลว้ เลือกการวเิ คราะห์แบบตวั แปรเดียว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

5. จะปรากฏหนา้ ตา่ งสถิติ แลว้ เลือกแผนภาพกล่อง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

6. หากตอ้ งการทราบค่าสถิติอื่น ๆ ของแผนภาพกลอ่ ง เลือก

จากการสร้างแผนภาพกลอ่ งจากโปรแกรม GeoGebra ไดค้ ่าสถิติตรงกบั ที่คานวณ
ซ่ึงนกั เรียนสามารถใชโ้ ปรแกรมน้ีเป็นการตรวจสอบคาตอบของค่าที่คานวณได้

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 2
แผนภาพตน้ -ใบแสดงขอ้ มูลคะแนนการสอบเขา้ ศึกษาตอ่ ของนกั เรียนช้นั ม.3/5 จานวน
45 คน ณ โรงเรียนแห่งหน่ึง ผลปรากฏ ดงั น้ี

สร้างแผนภาพกล่องจากขอ้ มูลขา้ งตน้