สถิติ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

วธิ ีทา ขอ้ มูลเป็นขอ้ มูลที่เรียงจากนอ้ ยไปหามากแลว้ (N = 45)

(มธั ยฐาน)

เน่ืองจากขอ้ มูลเป็นจานวนคี่ หามธั ยฐานจาก

ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N+1 = 45+ 1 = 23
2 2

ดงั น้นั มธั ยฐานคือ 55

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

Q1
มธั ยฐาน

หาตาแหน่งของ Q1 จากสูตร ตาแหน่งของ Q1 = 1 (45 + 1) = 11.5
4
นน่ั คือ Q1 = ค่าของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 11 + คา่ ท่ีเพ่มิ ข้ึน

= 46 + (0.5)(คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 12 – คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 11)

= 46 + (0.5)(46 – 46)

= 46

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

Q1
Q3 มธั ยฐาน

หาตาแหน่งของ Q3 จากสูตร ตาแหน่งของ Q3 = 3 (45 + 1) = 34.5
4

นน่ั คือ Q3 = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 34 + คา่ ที่เพม่ิ ข้ึน

= 71 + (0.5)(ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 35 – ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 34)

= 71 + (0.5)(74 – 71)

= 72.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

คา่ IQR = Q3 – Q1
= 72.5 – 46
= 26.5

สรุป 5 คา่ ดงั น้ี Q1 = 46, มธั ยฐาน = 55, Q3 = 72.5 ค่านอ้ ยสุด คือ 21 ค่ามากสุด คือ 92

เขียนเป็นแผนภาพกล่องได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากการทาแผนภาพกลอ่ งในโปรแกรม GeoGebra กรอกขอ้ มูลลงในสเปรดชีต
แลว้ ได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างท่ี 3
พจิ ารณาขอ้ มูลต่อไปน้ี แลว้ สร้างแผนภาพกลอ่ ง พร้อมท้งั หาคา่ นอกกลุ่ม (outlier)

ขอ้ มูลเงินที่เหลือเกบ็ ของนกั เรียนสองกลุ่ม มีดงั น้ี

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมากของขอ้ มูลท้งั สองกลุม่

ตาแหน่งของข้อมูล 1 234 56 78
กลุ่มท่ี 1 6 8 16 18 19 21 22 40
กล่มุ ที่ 2 12 28 28 29 34 37 50 50

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล (มธั ยฐาน)
กล่มุ ที่ 1
กลุ่มที่ 2 1 234 56 78
6 8 16 18 19 21 22 40
12 28 28 29 34 37 50 50

กลุ่มท่ี 1 หามธั ยฐานจาก N+1 8+1
182+ 19 2
ตาแหน่งของมธั ยฐาน = = = 4.5
ดงั น้นั มธั ยฐาน = 2 = 4.5
= 18.5

กลุ่มที่ 2 หามธั ยฐานจาก = N+1 = 8+1
ตาแหน่งของมธั ยฐาน 2 2
ดงั น้นั มธั ยฐาน 29 + 34
= 2 = 31.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล 1 2 Q31 (มธั ยฐาน) 7 8
กลุ่มที่ 1
กลุ่มที่ 2 4 56

6 8 16 18 19 21 22 40

12 28 28 29 34 37 50 50

กล่มุ ที่ 1 1 กลุ่มที่ 2 1
4 4
หา Q1 จากตาแหน่งของ Q1 = (8 + 1) หา Q1 จากตาแหน่งของ Q1 = (8 + 1)

= 2.25 = 2.25

นน่ั คือ Q1 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 2 นน่ั คือ Q1 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 2
+ ค่าท่ีเพ่ิมข้ึน + ค่าที่เพ่มิ ข้ึน

= 8 + (0.25)(16 – 8) = 28 + (0.25)(28 – 28)

= 10 = 28

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่งของข้อมูล Q1 (มธั ยฐาน) Q3
กลุ่มที่ 1
กลุ่มที่ 2 1 2 3 4 56 7 8

6 8 16 18 19 21 22 40

12 28 28 29 34 37 50 50

กลุ่มท่ี 1 Q3 = 3 (8 + 1) กลุ่มที่ 2 Q3 = 3 (8 + 1)
หา Q3 จากตาแหน่งของ 4 หา Q3 จากตาแหน่งของ 4

= 6.75 = 6.75

นน่ั คือ Q3 = ค่าของขอ้ มูลท่ีอยตู่ าแหน่งท่ี 6 + ค่าท่ีเพิ่มข้ึน นน่ั คือ Q3 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ 6 + ค่าที่เพ่มิ ข้ึน

= 21 + (0.75)(22 – 21) = 37 + (0.75)(50 – 37)

= 21.75 = 46.75

ค่า IQR = Q3 – Q1 ค่า IQR = Q3 – Q1
= 21.75 – 10 = 46.75 – 28

= 11.75 = 18.75

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

กลุ่มท่ี 1 กลุ่มท่ี 2

จากการสังเกตค่าของขอ้ มูล มีบางค่าท่ีสูง จากการสงั เกตค่าของขอ้ มูล มีบางคา่ ที่ต่า

ผดิ ปกติ จึงตอ้ งหาคา่ ประชิดกาหนด และสูงผิดปกติ จึงตอ้ งหาคา่ ประชิดกาหนด

แนวช้นั ในดา้ นบนเพ่ือตรวจสอบหา แนวช้นั ในดา้ นลา่ งและดา้ นบน
ค่านอกกลุม่ (outlier)
เพื่อตรวจสอบหาค่านอกกลุ่ม (outlier)

จาก Q3 + 1.5(IQR) = 21.75 + (1.5)(11.75) จาก Q1 – 1.5(IQR) = 28 – (1.5)(18.75)
= – 0.125
= 39.375
คา่ ต่าสุดคือ 12 นน่ั หมายถึงวา่ 12
นน่ั หมายถึงวา่ 40 เป็นคา่ นอกกลุม่ ไม่ใช่ค่านอกกลุ่ม

และจาก Q 3+ 1.5(IQR) = 46.75 + (1.5)(18.75)
= 74.875
คา่ สูงสุด คือ 50 นน่ั หมายถึงวา่ 50

ไม่ใช่คา่ นอกกลุม่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากการทาแผนภาพกล่องในโปรแกรม GeoGebra กรอกขอ้ มูลลงในสเปรดชีต แลว้ ได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างที่ 4

สารวจรายไดต้ ่อสปั ดาห์จากการขายออนไลน์ของกลุม่ คน 10 คน มีดงั น้ี
1,550, 1,820, 2,300, 1,900, 4,100,
3,500, 2,800, 3,000, 4,500, 6,000

อยากทราบวา่ หน่ึงในส่ีของกลุม่ คนท้งั หมดที่มีรายไดจ้ ากการขายออนไลน์ต่อสัปดาห์มาก
ท่ีสุดมีกี่คน และมีรายไดเ้ ท่าไรบา้ ง

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมากของขอ้ มูลท้งั สองกลุ่ม

ตาแหน่ง
ของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

กลุ่มที่ 1 1,550 1,820 1,900 2,300 2,800 3,000 3,500 4,100 4,500 6,000

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่ง Q1 (มธั ยฐาน)
ของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

กลุ่มที่ 1 1,550 1,820 1,900 2,300 2,800 3,000 3,500 4,100 4,500 6,000

หามธั ยฐานจากตาแหน่งของมธั ยฐาน = N+ 1 = 10 + 1 = 5.5
2 2
2,800 + 3,000
ดงั น้นั มธั ยฐาน = 2 = 2,900
1
หาตาแหน่งของ Q1 จากสูตร ตาแหน่งของ Q1 = 4 (10 + 1) = 2.75

นนั่ คือ Q1 = ค่าของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งท่ี 2 + คา่ ที่เพม่ิ ข้ึน
= 1,820 + (0.75)(1,900 – 1,820)

= 1,880

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตาแหน่ง Q1 (มธั ยฐาน) Q3
ของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

กล่มุ ที่ 1 1,550 1,820 1,900 2,300 2,800 3,000 3,500 4,100 4,500 6,000

หาตาแหน่งของ Q3 จากสูตร ตาแหน่งของ Q3 = 3 (10 + 1) = 8.25
4

นนั่ คือ Q3 = คา่ ของขอ้ มูลที่อยตู่ าแหน่งที่ ค + ค่าที่เพม่ิ ข้ึน

= 4,100 + (0.25)(4,500 – 4,100)

= 4,200

ค่า IQR = Q3 – Q1 ตรวจสอบหาคา่ นอกกลุม่ (outlier)
= 4,200 – 1,880 จาก Q3 + 1.5(IQR)
= 2,320
= 4,200 + (1.5)(2,320)

= 7,680

ค่าสูงสุด คือ 6,000 นน่ั หมายถึงวา่ 6,000 ไม่ใช่คา่ นอกกลุ่ม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

จากการทาแผนภาพกลอ่ งในโปรแกรม GeoGebra กรอกขอ้ มูลลงในสเปรดชีต
แลว้ ไดแ้ ผนภาพกลอ่ ง ดงั รูป

จากค่าที่คานวณไดแ้ ละจากการทาแผนภาพกล่อง หน่ึงในสี่ของกลุ่มคนท้งั หมด
ที่มีรายไดจ้ าก การขายออนไลน์ตอ่ สัปดาห์มากที่สุดมี 2 คน และไดร้ ายได้ 4,500 และ
6,000 บาท จากแผนภาพกลอ่ งทาใหท้ ราบวา่ ร้อยละ 50 ของกลุ่มคนขายออนไลน์
คือ มีรายไดร้ ะหวา่ ง 1,880 – 4,200 บาท

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

4. การแปลความหมายผลลพั ธ์

จากท่ีนกั เรียนไดเ้ รียนรู้เก่ียวกบั การแปลความหมายผลลพั ธ์ของขอ้ มูลในช้นั
มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2 ในหนงั สือคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2 มาแลว้ น้นั
ในท่ีน้ีจะขอกล่าวในส่วนของการแปล ความหมายผลลพั ธ์จากแผนภาพกล่องเป็นหลกั
โดยจะกลา่ วถึงการแปลความหมายของผลลพั ธ์โดยสังเขป คือ การแปลความหมายผลลพั ธ์

น้นั ข้ึนอยกู่ บั ข้นั ตอนกระบวนการการดาเนินการทางสถิติ เริ่มต้งั แต่ การสร้างคาถามทางสถิติ
การเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล การนาเสนอขอ้ มูล การวเิ คราะห์ขอ้ มูล ซ่ึงกระบวนการ ที่ไดม้ าน้นั
อาจมีความคลาดเคล่ือนทางสถิติ ดงั น้นั การแปลความหมายของผลลพั ธ์อาจมีการอ่านขอ้ มูล
ที่นาเสนอผดิ ความจริงหรือมีการตีความเกินจริง ผแู้ ปลความหมายควรพจิ ารณาใหร้ อบดา้ น

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

การแปลความหมายขอ้ มูล (interpreting data) เป็นการแปลความหมายผลการ
วเิ คราะห์ท่ีได้ และเชื่อมโยงผลการวเิ คราะห์น้นั กบั คาถามท่ีสร้างไวใ้ นตอนตน้ โดยคาถาม
ที่ใชใ้ นทางสถิติที่เป็นการ กระตุน้ ใหผ้ เู้ รียนเกิดการคิดวเิ คราะห์ที่แตกตา่ งกนั มี 4 แบบ ดงั น้ี

1) คาถามท่ีประเมินสมรรถนะในเชิงการทางานตามข้นั ตอน
2) คาถามท่ีประเมินความเขา้ ใจเชิงมโนทศั น์

3) คาถามที่ประเมินความคิดเชิงสถิติ

4) คาถามท่ีประเมินกระบวนการแกป้ ัญหาทางสถิติ

การแปลความหมายของผลลพั ธ์ ข้ึนอยกู่ บั คาถามท่ีต้งั ไว้ การนาเสนอขอ้ มูลใน
รูปแบบใด แลว้ ใช้ สถิติใดในการวิเคราะห์ขอ้ มูล ในที่น้ีนกั เรียนไดศ้ ึกษาเกี่ยวกบั การ
หามธั ยฐาน การวดั ตาแหน่งท่ีของ ขอ้ มูลโดยใชค้ วอไทล์ การสร้างแผนภาพกลอ่ ง

โดยเฉพาะแผนภาพกล่องมีประโยชนใ์ นการเปรียบเทียบ ขอ้ มูลหลายชุดได้ เพราะเห็นภาพ

ไดช้ ดั เจน สะดวก และเขา้ ใจง่าย เช่น

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตัวอย่างท่ี 1

ณเดชนต์ อ้ งการข้ึนเงินเดือนลูกจา้ งจานวน 15 คน ดงั น้ี
8,500, 9,600, 12,000, 19,500, 9,400,
10,500, 9,600, 9,800, 9,500, 11,000,
12,500, 8,600, 12,800, 15,500, 10,200

จากการทางาน ลูกจา้ งทุกคนมีผลการทางานดี ขยนั ขนั แขง็ ณเดชนค์ วรทาอยา่ งไร
ในการข้ึนเงินเดือนของลูกจา้ ง และควรใชค้ ่ากลางใดท่ีเหมาะสม

แนวคิด จากขอ้ มูลขา้ งตน้ ณเดชนค์ วรนาเงินเดือนของลูกจา้ งมาเรียงใหม่จากนอ้ ยไปมาก
8,500, 8,600, 9,400, 9,500, 9,600,
9,600, 9,800, 10,200, 10,500, 11,000,
12,000, 12,500, 12,800, 15,500, 19,500

พบวา่ เงินเดือนของพนกั งานคนหน่ึงสูงผดิ ปกติ นน่ั คือ 19,500 บาท การเลือกใช้
ค่าเฉล่ียเลขคณิตจึงไม่เหมาะ และเป็นขอ้ มูลเชิงปริมาณไม่ควรใชฐ้ านนิยม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ดงั น้นั ควรใชม้ ธั ยฐานของเงินเดือน N + 1 15 + 1 16
2 2 2
ตาแหน่งของมธั ยฐาน คือ ฐาน = = = =8

ดงั น้นั มธั ยฐาน คือ ค่าที่อยตู่ าแหน่งที่ 8 นน่ั คือ 10,200 บาท
สร้างแผนภาพกลอ่ งจากขอ้ มูลเงินเดือนลูกจา้ งได้ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

พบวา่ มีคา่ นอกกลุ่ม (outlier) นนั่ คือ เงินเดือน 19,500 บาท และเงินเดือนลูกจา้ งส่วนใหญ่
อยรู่ ะหวา่ ง 9,500 – 12,500 บาท
ณเดชนต์ ดั สินใจใชค้ ่ากลางของขอ้ มูลเพอื่ เป็นฐานเงินเดือนของพนกั งานในการพฒั นา
คือ 10,200 บาท และแนวโนม้ การพฒั นาควรปรับฐานเงินเดือนทุกคนใหส้ ูงข้ึนในข้นั ต่า
ของมธั ยฐาน โดยใหแ้ รงจูงใจพนกั งานท่ีมีเงินเดือนต่ากวา่ มธั ยฐานในการปฏิบตั ิงาน
เพิม่ ศกั ยภาพของตนเอง พนกั งานที่ปฏิบตั ิงานดีต่อเนื่องใหม้ ีฐานเงินเดือนข้นั ต่า
ตามมธั ยฐานในการคานวณเปอร์เซ็นตก์ ารข้ึนเงินเดือน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

ตวั อย่างที่ 2

จากการสารวจเวลาที่ใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผชู้ ายและผหู้ ญิงในอาเภอ
แห่งหน่ึงจานวน 100 คน ปรากฏผลดงั แผนภาพกล่อง ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ครูสายชล เรียงสนั เทียะ [email protected]

แนวคิด

1. จากแผนภาพกลอ่ ง ทาใหท้ ราบวา่ ผชู้ ายใชร้ ะยะเวลาในการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั
มากกวา่ ผหู้ ญิง

2. มธั ยฐานของระยะเวลาในการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผชู้ ายมีค่าประมาณ 65 นาที
ส่วนมธั ยฐานของระยะเวลาในการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผหู้ ญิงมีค่าประมาณ
50 นาที ซ่ึงตา่ งกนั ประมาณ 15 นาที

3. เวลาที่ใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผชู้ ายมากท่ีสุดประมาณ 90 นาที
ส่วนเวลาท่ีใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผหู้ ญิงมากท่ีสุดประมาณ 80 นาที
และเวลาท่ีใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผชู้ ายนอ้ ยที่สุดประมาณ 45 นาที
ส่วนเวลาที่ใชใ้ น การออกกาลงั กายในหน่ึงวนั ของผหู้ ญิงนอ้ ยท่ีสุดประมาณ 25 นาที

4. ร้อยละ 50 ของระยะเวลาท่ีผชู้ ายใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั อยรู่ ะหวา่ งประมาณ
58 – 75 นาที ส่วนร้อยละ 50 ของระยะเวลาที่ผหู้ ญิงใชใ้ นการออกกาลงั กายในหน่ึงวนั
อยรู่ ะหวา่ งประมาณ 40 – 62 นาที