6 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

CAPITULO 6

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Existen integrales que contienen expresiones de las formas: a2 − x2, a2 + x2
x2 − a2 , las que tienen fácil solución si se hace la sustitución trigonométrica
adecuada. A saber, si la expresión es: a2 − x2 , la sustitución adecuada es:
x = a s e nθ ó x = a cosθ . Si la expresión es: a2 + x2 , entonces: x = a secθ

EJERCICIOS DESARROLLADOS

∫1. Encontrar: dx

(4 − x2 )3

Solución.- Dada le expresión: 4 − x2 , la forma es: a2 − x2 , la sustitución adecuada
es: x = a s e nθ o sea: x = 2s e nθ ∴dx = 2 cosθ dθ . Además: s e nθ = x . Una figura

a
auxiliar adecuada para ésta situación, es:

2
x

θ

22 − x2

2 cosθ dθ = 2 cosθ dθ
(22 − 22 s e n2 θ )3 ⎣⎡(22 (1− s e n2 θ )⎤⎦3
∫ ∫ ∫ ∫dx =
(4 − x2 )3
dx =
(22 − x2 )3

2 cosθ dθ = 2 cosθ dθ = 2 cosθ dθ = 1 dθ = 1 sec2 θ dθ
(22 cos2 θ )3 (2 cosθ )3 23 cos3 θ 22 cos2 θ 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫=

= 1 ∫ sec2 θ dθ = 1τ gθ + c . A partir de la figura triangular se tiene:
4 4

τ gθ = x , Luego: 1 τ gθ + c = 1 x + c
4 − x2 4 4 4 − x2

∫Respuesta: dx = 1 x + c
(4 − x2 )3 4 4 − x2

6.2.-Encontrar: ∫ 25 − x2
dx

x

Solución.-

126

∫ ∫25 − x2 dx = 52 − x2 dx , la forma es: a2 − x2 , luego:
xx

Sea: x = 5s e nθ ∴ dx = 5 cosθ dθ , 52 − x2 = 5cosθ

Además: s e nθ = x
5

∫ 52 − x2 =∫ 5 cosθ 5cosθ dθ = 5∫ cos2 θ dθ = 5∫ (1 − s e n2 θ )dθ
dx 5 senθ se nθ senθ

x

= 5∫ dθ − 5∫ s e nθ dθ = 5∫ cos ecθ − 5∫ s e nθ dθ 5
senθ
x
= 5 η cos ecθ − coτ gθ + 5cosθ + c .

De la figura se tiene: θ

cos ecθ = 5 , coτ gθ = 25 − x2 , luego: 52 − x2
xx

= 5 η 5 − 25 − x2 + 5 25 − x2 + c = 5 η 5 − 25 − x2 + 25 − x2 + c
xx 5 x

∫Respuesta: 25 − x2 dx = 5 η 5 − 25 − x2 + 25 − x2 + c
xx

∫6.3.-Encontrar: dx

(4x − x2 )3

Solución.- 4x − x2 = −(x2 − 4x) = −(x2 − 4x + 4 − 4) = 4 − (x2 − 4x + 4) = 22 − (x − 2)2

∫ ∫dx = dx , la forma es: a2 − u2 ,
(4x − x2 )3 ( 22 − (x − 2)2 )3

Luego: x − 2 = 2s e nθ ∴dx = 2 cosθ dθ , 22 − (x − 2)2 = 2 cosθ

Además: s e nθ = x − 2
2

∫ ∫ ∫ ∫dx = 2 cosθ dθ = 1 dθ = 1 sec2 θ dθ = 1τ gθ + c
( 22 − (x − 2)2 )3 23 cos3 θ 4 cos2 θ 4 4

2
x-2

De la figura se tiene: θ

Pero:τ gθ = x − 2 , luego: 1 τ gθ + c = x − 2 + c 4 − (x − 2)2 = 4x − x2
4x − x2 4 4 4x − x2

∫Respuesta: dx = x − 2 + c
(4x − x2 )3 4 4x − x2

127

∫6.4.-Encontrar: x2dx

(a2 − x2 )3
2

Solución.-

∫ ∫x2dx = x2dx , la forma es: a2 − x2
(a2 − x2 )3 ( a2 − x2 )3
2

Luego: x = a s e nθ , dx = a cosθ , a2 − x2 = a cosθ , además: s e nθ = x
a

x2dx = a2 s e n2 θ a cosθ dθ = a3 s e n2 θ cosθ dθ = s e n2 θ dθ
∫ ∫ ∫ ∫( a2 − x2 )3 cos2 θ
(a cosθ )3 a3 cosθ cos2 θ

= ∫ (1− cos2 θ )dθ = ∫ dθ θ − ∫ dθ =∫ s ec2θ dθ − ∫ dθ = τ gθ −θ +c
cos2 θ cos2

a x

De la figura se tiene: θ

a2 − x2

Pero:τ gθ = x , además: s e nθ = x y θ = arcs e n x
a2 − x2 aa

Luego:τ gθ −θ + c = x − arcs e n x + c
a2 − x2 a

∫Respuesta: x2dx = x − arcs e n x + c
(a2 − x2 )3 a2 − x2 a

∫6.5.-Encontrar: dx

x2 9 − x2

Solución.-

∫ ∫dx = dx , la forma es: a2 − x2
x2 9 − x2 x2 32 − x2

Luego: x = 3s e nθ , dx = 3cosθ dθ , 32 − x2 = 3cosθ , además: s e nθ = x
3

dx = 3cosθ dθ = 1 dθ = 1 cos ec2θ dθ = − 1 coτ gθ + c
32 − x2 32 s e n2 θ 3cosθ 9 sen2θ 9 9
∫ ∫ ∫ ∫x2

3 x

De la figura se tiene: θ

9 − x2

128

Pero: coτ gθ = 9 − x2 , luego: 1 coτ gθ + c = − 9 − x2 + c
x9 9x

∫Respuesta: dx = − 9 − x2 + c
x2 9 − x2 9x

∫6.6.-Encontrar: x2dx
9 − x2

Solución.-

∫ ∫x2dx = x2dx , la forma es: a2 − x2
9 − x2 32 − x2

Luego: x = 3s e nθ , dx = 3cosθ dθ , 32 − x2 = 3cosθ , además: s e nθ = x
3

Usaremos la misma figura anterior, luego:

∫ ∫ ∫ ∫x2dx = 32 s e n2 θ 3cosθ dθ = 9 s e n2 θ dθ = 9 (1− cos 2θ )dθ
32 − x2 3 cos θ 2

9 ∫θ − 9 ∫ cos 2θ dθ = 9 θ − 9 s en 2θ + c = 9θ − 9 2s e nθ cosθ + c
2 2 2 4 2 4

= 9 θ − 9 s e nθ cosθ + c , de la figura se tiene que: s e nθ = x , cosθ = 9 − x2 y
22 33

θ = arcs e n x , luego es equivalente:
3

= 9 arcs e n x − 9 x 9− x2 +c = 9 ⎛ arcs e n x − 9− x2 ⎞
2 3 43 3 2 ⎜⎝⎜ 3 9 ⎠⎟⎟ + c

∫Respuesta: x2dx = 9 ⎛ en x − 9− x2 ⎞
9 − x2 2 ⎜⎝⎜ arcs 3 9 ⎟⎠⎟ + c

6.7.-Encontrar: ∫ x2 − 4dx

Solución.-

∫ ∫x2 − 4dx = x2 − 22 dx , la forma es: x2 − a2

Luego: x = 2secθ , dx = 2secθτ gθ dθ , x2 − 22 = 2τ gθ , además: secθ = x
2

∫ x2 − 22 dx = ∫ 2τ gθ 2secθτ gθ dθ = 4∫ secθτ g 2θ dθ = 4∫ secθ (sec2 θ −1)dθ

= 4∫ sec3 θdθ − 4∫ secθdθ

Se sabe que: ∫ sec3 θdθ = secθτ gθ + 1 η secθ +τ gθ +c, luego lo anterior es
2 2

equivalente a:

129

= 4 ⎛ 1 secθτ gθ + 1 η secθ +τ gθ ⎞ − 4 η secθ +τ gθ +c
⎜⎝ 2 2 ⎠⎟

= 2secθτ gθ + 2 η secθ +τ gθ − 4 η secθ +τ gθ + c

= 2secθτ gθ − 2 η secθ +τ gθ + c x

x2 − 22

De la figura se tiene: θ
secθ = x ,τ gθ = x2 − 4 , luego:
2
22

= 2 x x2 − 4 − 2 η x + x2 − 4 + c = x x2 − 4 − 2 η x + x2 − 4 + c
22 22 2 2

= x x2 − 4 − 2 η x + x2 − 4 − 2 η2 + c
2

∫Respuesta: x2 − 4dx = x x2 − 4 − 2 η x + x2 − 4 + c
2

∫6.8.-Encontrar: x2dx
x2 −16

Solución.-

∫ ∫x2dx = x2dx , la forma es: x2 − a2
x2 −16 x2 − 42

Luego: x = 4sec t, dx = 4sec tτ gtdt, x2 − 42 = 4τ gt , además: sec t = x
4

42 sec2 t( 4 sec t τ gt dt)
= 16
∫ ∫ ∫x2dx = sec3 tdt
x2 − 42 4 τ gt

= 16 ⎛ 1 sec tτ gt + 1 η sec t +τ gt + c ⎞ = 8sec tτ gt +8 η sec t +τ gt +c
⎝⎜ 2 2 ⎟⎠

x x2 −16

De la figura se tiene: 130

θ

sec t = x ,τ gt = x2 −16 , luego equivale a: 4
44

= 8 x x2 −16 + 8 η x + x2 −16 + c = x x2 −16 + 8 η x x2 −16 + c
44 44 2 4

= x x2 −16 + 8 η x x2 −16 − 8 η4 + c = x x2 −16 + 8 η x x2 −16 + c
22

∫Respuesta: x2dx = x x2 −16 + 8 η x x2 −16 + c
x2 −16 2

6.9.-Encontrar: ∫ dx
x x2 −1

Solución.-

∫ ∫dx = dx , la forma es: x2 − a2
x x2 −1 x x2 −12

Luego: x = sec t, dx = sec tτ gtdt, x2 −12 = τ gt , además:

∫ dx = ∫ sec tτ gt dt = ∫ dt = t + c,
x x2 −1 sec tτ gt

x x2 −1

θ

1

De la figura se tiene:

Dado que: sec t = x ⇒ t = arc sec x , luego:

t + c = arc sec x + c

∫Respuesta: dx = arc sec x + c
x x2 −1

∫6.10.-Encontrar: dx

( 4x2 − 24x + 27 )3

Solución.-

dx =

( )∫ ∫ ∫( 4x2 − 24x + 27)3
dx = 43 dx
4(x2 − 6x + 27 4)3
3

x2 − 6x + 27 4

∫= 1 dx , Se tiene:
8 (x2 − 6x + 27 4)3

x2 − 6x + 27 = (x2 − 6x + __) + 27 − __ = (x2 − 6x + 9) + 27 − 9
44 4

= (x2 − 6x + 9) − 9 = (x2 − 6x + 27 4) = (x − 3)2 − (32)2 , la expresión anterior equivale a:
4

dx = 1 dx
x2 − 6x + 27 4 )3 8 3)2 −
∫ ∫1 ⎤3 , siendo la forma: u2 − a2 , luego:
⎥⎦
8 ( ⎡ (x − (32)2
⎢⎣

x−3 = 3 2 sec t, dx = 3 2 sec tτ gtdt , además: sec t = x−3
3
2
x-3 x2 − 6 + 27 4

θ 131

3
2

De la figura se tiene:

sec t = x ,τ gt = x2 −16 , luego equivale a:
44

32 sec tτ gtdt 1
(32)2τ g3t
dx 1 sec tdt = 1
(x − 3)2 − (32)2 8 τ g 2t 18
1 ⎤3 = 1 = 1 cos t
⎦⎥ 8 32 sen2 t
∫ ∫ ∫ ∫8⎡ 22
⎢⎣ cos2 t

cos tdt = 1 (s e n t)−2 cos tdt = 1 (s e n t)−1 + c = − 1 1 + c
(s e n t)2 18
∫ ∫= 1 18 −1 18 (s e n t)
18

= − 1 cos ect + c , como: cos ect = x − 3 , entonces:
18 x2 − 6x + 27 4

=− 1 x−3 +c=− 1 x−3 +c=− 1 x−3 +c
18 x2 − 6x + 27 4 18 4x2 − 24x + 27 18 4x2 − 24x + 27

4 2

=−1 x−3 +c
9 4x2 − 24x + 27

∫Respuesta: dx = − 1 x − 3 + c
( 4x2 − 24x + 27 )3 9 4x2 − 24x + 27

∫6.11.-Encontrar: dx

(16 + x2 )4

Solución.-

∫ ∫dx = dx
(16 + x2 )4 (42 + x2 )4

Luego: x = 4τ gt, dx = 4sec2 tdt, 42 + x2 = 4sec t , además:τ gt = x
4

4sec2 tdt = 1 dt = 1 (1+ cos 2t)dt
44 sec4 t 64 sec2 t 64 2
dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫(42 + x2 )4
cos2 tdt = 1
64

= 1 ∫ dt + 1 ∫ cos 2tdt = 1 t + 1 s e n 2t + c
128 128 128 256

Como:τ gt = x ⇒ t = arcτ g x4, sen 2t = 2sent cos t ; luego:
4

1 t + 1 s e n 2t + c = 2 x 4 = 8x , Se tiene:
128 256 16 + x2 16 + x2 16 + x2

1 arcτ g x 4 + 1 8x + c = 1 arcτ g x 4 + x x2 ) + c
128 256 16 + x2 128 32(16 +

132

∫Respuesta: dx = 1 arcτ g x + x + c
(16 + x2 )4 128 4 32(16 + x2 )

∫6.12.-Encontrar: x2dx
(x2 +100)32

Solución.-

∫ ∫x2dx = x2dx ,
(x2 +100)32 x2 +102 )3
(

se tiene: x = 10τ gt, dt = 10sec2 tdt , x2 +102 = 10sec t ;además:τ gt = x , luego:
10

sen2 t

x2dx = 102 τ g 2t(10 sec2 t )dt = τ g 2tdt = cos 2 t dt = s e n2 t dt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫( x2 +102 )3
(103 sec 3 t) sec t 1 cos t

cos t

= ∫ (1 − cos2 t ) dt =∫ dt −∫ cos tdt = ∫ sec tdt −∫ cos tdt = η sec t +τ gt − s e n t + c
cos t cos
t

Como: sec t = 100 + x2 ,τ gt = x , además: s e n t = x
10 10 100 + x2

= η 100 + x2 + x − x + c = η 100 + x2 + x − x + c
10 10 x2 +100 10 x2 +100

= η 100 + x2 + x − x − η10 + c = η 100 + x2 + x − x +c
x2 +100 x2 +100

∫Respuesta: x2dx = η 100 + x2 + x − x +c
(x2 +100)32 x2 +100

Nota: En los ejercicios 6.11 y 6.12 se ha omitido la figura (triángulo rectángulo).
Conviene hacerla y ubicar los datos pertinentes. En adelante se entenderá que el
estudiante agregará este complemento tan importante.

∫6.13.-Encontrar: x2dx
(x2 + 82 )32

Solución.-

∫ ∫x2dx = x2dx ,
(x2 + 82 )3 x2 + 82 )3
2 (

se tiene: x = 8τ gt, dt = 8sec2 tdt , x2 + 82 = 8sec t además:τ gt = x , luego:
8

x2dx 82 τ g 2t( 8 sec2 t )dt = τ g 2t
dt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫( x2 + 82 )3
= 83 sec 3 t sec t = sec tdt − cos tdt

133

= η sec t +τ gt − s e n t + c , como: sec t = x2 + 64 ,τ gt = x ,s e n t = x
8 8 x2 + 64

Se tiene como expresión equivalente:

= η x2 + 64 + x − x + c = η x2 + 64 + x − x + c
8 8 x2 + 64 8 x2 + 64

= η x2 + 64 + x − x + c
x2 + 64

∫Respuesta: x2dx = η x2 + 64 + x − x +c
(x2 + 82 )32 x2 + 64

∫6.14.-Encontrar: dx

( 32 + x2 )4

Solución.- se tiene: x = 3τ gt, dx = 3sec2 tdt , 32 + x2 = 3sec t , además:

τ gt = x
3

3 sec2 t dt = 1 dt = 1 cos2 tdt = 1 t + 1
3 4 + sec 4 t 33 sec2 t 27 54 54
dx = cos 2tdt

∫ ∫ ∫ ∫ ∫( 32 + x2 )4

= 1 t + 1 s e n 2t + c1 = 1 t + 1 2s e n t cos t + c = 1 t + 1 s e n t cos t + c
54 108 54 108 54 54

Como:τ gt = x ⇒ t = arcτ g x , además: s e n t = x , cos t = 3
33 9 + x2 9 + x2

= 1 arcτ g x + 1 x 3 x2 +c = 1 arcτ g x +x x2 ) +c
54 3 54 9 + x2 9+ 54 3 18(9 +

∫Respuesta: dx = 1 arcτ g x +x x2 ) +c
32 + x2 )4 54 3 18(9 +
(

6.15.-Encontrar: ∫ dx
x2 − 4x +13

Solución.- Completando cuadrados se tiene:

x2 − 4x +13 = (x2 − 4x + __) +13 − __ = (x2 − 4x + 4) +13 − 4 = (x − 2)2 + 32

Se tiene: x − 2 = 3τ gt, dx = 3sec2 tdt , 32 + x2 = 3sec t

(x − 2)2 + 32 = x2 − 4x +13 = 3sec t ,

Sea: x − 2 = 3τ gt, dx = 3sec2 tdt ;además:τ gt = x − 2 , luego:
3

∫ ∫ ∫dx = 3 sec 2 tdt = sectdt = η sect +τ gt + c
(x − 2)2 + 32 3sec t

134

x2 − 4 x + 13 x−2
2x
De la figura se tiene: θ
sec t = x2 − 4x +13 ,τ gt = x − 2 , luego:
3
33

= η x2 − 4x +13 + x − 2 + c = η x2 − 4x +13 + (x − 2) + c
33 3

= η x2 − 4x +13 + (x − 2) + c

∫Respuesta: dx = η x2 − 4x +13 + (x − 2) + c
x2 − 4x +13

6.16.-Encontrar: ∫ 1+ 4x2 dx

Solución.-

∫ ∫1+ 4x2 dx = 12 + (2x)2 dx

Se tiene: 2x = τ gt, 2dx = sec2 tdt ⇒ dx = 1 sec2 tdt , Además:τ gt = 2x
21

12 + (2x)2 dx = 12 +τ g 2t 1 sec2 dt = 1 sec t sec2 tdt = 1 sec3 tdt
∫ ∫ ∫ ∫2 2 2

= 1 sec tτ gt + 1 η sec tτ gt + c ,
44

De la figura se tiene: 1+ 4x2

sec t = 1+ 4x2 , τ gt = 2x θ
1
1
= 1 1+ 4x2 2x + 1 η 1+ 4x2 + 2x + c
44 1+ 4x2 + 2x + c

∫Respuesta: 1+ 4x2 dx = 1 1+ 4x2 2x + 1 η
44

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Utilizando esencialmente la técnica de sustitución por variables trigonométricas,
encontrar las integrales siguientes:

6.17.- ∫ 4 − x2 ∫6.18.- dx ∫6.19.- dx
a2 − x2 x2 + a2

135

∫6.20.- dx ∫6.21.- dx ∫6.22.- dx
x2 + a2 x2 − a2
x2 − a2

6.23.- ∫ dx 6.24.- ∫ dx 6.25.- ∫ dx
x x2 − 9 x x2 − 2 x 1+ x2

∫6.26.- x2dx ∫6.27.- x3dx 6.28.- ∫ x2 − 9
1− x2 2 − x2 dx

x

6.29.- ∫ dx 6.30.- ∫ x2 +1dx ∫6.31.- dx
x 4x2 −16 x
x2 4 − x2

6.32.- ∫ a − x2 dx ∫6.33.- a2 − x2 dx ∫6.34.- x2dx
x2 + a2

∫6.35.- dx 6.36.- ∫ dx ∫6.37.- x2dx
5 − 4x2
x2 x2 + 9 (4 − x2 )3
2

∫6.38.- x2 5 − x2 dx ∫6.39.- dx ∫6.40.- x3 a2 x2 + b2 dx

x4 x2 + 3

6.41.- ∫ x2 dx ∫6.42.- dx ∫6.43.- x3 a2 x2 − b2 dx
6.44.- ∫ x2 x2 + a2
dx (x2 + a2)2
a2 − x2
6.45.- ∫ 2x2 − 5 ∫6.46.- x3dx
dx 3x2 − 5

x

6.47.- ∫ x2 −100 dx ∫6.48.- dx 6.49.- ∫ dx
x x 9 − x2
x2 x2 − 2

∫6.50.- x2 + a2 dx ∫6.51.- xdx 6.52.- ∫ dx
x a2 − x2 1− 4x2

6.53.- ∫ dx 6.54.- ∫ xdx ∫6.55.- dx
4 + x2 4 + x2
x a2 + x2

6.56.- ∫ ( x +1)dx 6.57.- ∫ dx ∫6.58.- dx
4 − x2 2 − 5x2 (a2 − x2 )32

6.59.- ∫ dx ∫6.60.- x2dx ∫6.61.- x2dx
4 − (x −1)2 2x − x2 17 − x2

∫6.62.- x2dx ∫6.63.- dx ∫6.64.- (2x +1)dx
(x2 − 2x + 5)32 (4x2 − 2x +1)3
21+ 4x − x2

6.65.- ∫ (x −1) dx 6.66.- ∫ xdx 6.67.- ∫ (x +1)dx
x2 − 3x + 2 6.69.- ∫ x2 − 2x + 5 2x − x2

6.68.- ∫ (x −1)dx dx 6.70.- ∫ xdx
x2 − 4x + 3 x2 − 2x −8 x2 + 4x + 5

136

RESPUESTAS

6.17.- ∫ 4 − x2 2

Solución.- x

θ

Se tiene: x = 2s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 4 + x2 = 2 cosθ 4 − x2

∫ 4 − x2 = ∫ 2 cosθ 2 cosθ dθ = 4∫ cos2 θdθ = 2θ + s e n 2θ + c = 2θ + 2s e nθ cosθ + c

= 2 arcs e n x + x 4 − x2 + c
22

∫6.18.- dx
a2 − x2

Solución.- se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a2 − x2 = a cosθ

∫ dx =∫ a cosθ dθ = ∫ dθ = θ + c = arcs e n x + c
a2 − x2 a cosθ a

∫6.19.- dx
x2 + a2

Solución.- se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

a sec2 θ dθ = 1 dθ = 1 θ + c = 1 arcτ g x + c
a 2 sec2 θ a a a a
∫ ∫ ∫ ∫dx =
dx =
x2 + a2 ( x2 + a2 )2

∫6.20.- dx x
x2 − a2
θ x2 − a2
Solución.-

a

Se tiene: x = a secθ , dx = a secθτ gθ dθ , x2 − a2 = aτ gθ

∫ dx = ∫ ∫ ∫ ∫dx = a secθ τ gθ dθ = 1 secθ dθ = 1 cos ecθ dθ
x2 − a2 x2 − a2 )2 a 2τ g 2θ a τ gθ a
(

= 1 η cos ecθ − coτ gθ = 1 η x − a + c
a a x2 − a2 x2 − a2

=1 η x−a +c= 1 η (x − a)2 +c= 1 η x−a +c
a x2 − a2 a x2 − a2 2a x+a

∫6.21.- dx x2 + a2 x
x2 + a2
Solución.-

θ

a

137

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

∫ dx = ∫ a sec 2 θ dθ = ∫ secθ dθ = η secθ +τ gθ + c
x2 + a2 a secθ

= η x2 + a2 + x + c = η x2 + a2 + x + c = η x + x2 + a2 − ηa + c
aa a

= η x + x2 + a2 + c

∫6.22.- dx x x2 − a2
x2 − a2
Solución.-

θ

a

Se tiene: x = a secθ , dx = a secθτ gθ dθ , x2 + a2 = aτ gθ

∫ dx a secθ τ gθ dθ = ∫ secθ dθ = η secθ +τ gθ +c
x2 − a2
= ∫ aτ gθ

= η x + x2 − a2 + c = η x + x2 − a2 + c = η x + x2 − a2 + c
aa a

6.23.- ∫ dx
x x2 − 9

Solución.-

Se tiene: x = 3secθ , dx = 3secθτ gθ dθ , x2 − 9 = 3τ gθ

∫ dx = ∫ 3secθ τ gθ dθ = 1 ∫ dθ = 1θ +c = arc sec x +c
x x2 − 9 3secθ 3τ gθ 3 3 3 3

6.24.- ∫ dx
x x2 − 2

Solución.-

Se tiene: x = 2 secθ , dx = 2 secθτ gθ dθ , x2 − 2 = 2τ gθ

∫ dx = ∫ 2 secθ τ gθ dθ = 2 ∫ dθ = 2θ +c= 2 arc sec 2 x+c
x x2 − 2 2 secθ 2 τ gθ 2 2 2 2

6.25.- ∫ dx
x 1+ x2

Solución.- 1+ x2 x

θ 138

1

Se tiene: x = τ gθ , dx = sec2 θ dθ , 1+ x2 = secθ

∫ dx = ∫ sec 2 θ dθ = ∫ dθ = ∫ cos ecθ dθ = η cos ecθ − coτ gθ +c
x 1+ x2 τ gθ secθ senθ

= η 1+ x2 − 1 + c = η 1+ x2 −1 + c
xx x

∫6.26.- x2dx 1 x
1− x2
Solución.-

θ

Se tiene: x = s e nθ , dx = cosθ dθ , 1− x2 = cosθ 1− x2

∫ ∫ ∫x2dx = s e n2 θ cosθ dθ = s e n2 θ dθ = 1 θ − 1 s e n 2θ + c 2x
1− x2 cosθ 24
θ
= 1 θ − 1 s e nθ cosθ + c = arcs e n x − x 1− x2 + c
22 22 2 − x2

∫6.27.- x3dx
2 − x2

Solución.-

Se tiene: x = 2 s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 2 − x2 = 2 cosθ

∫ ∫ ∫x3dx = 2 2 s e n3 θ 2 cosθ dθ = 2 2 s e n3 θ dθ = 2 2(− cosθ + cos3 θ ) + c 3
2 − x2 2 cosθ

= 2 2(− 2 − x2 + ( 2 − x2 )3 ) + c = − 2(2 − x2 ) + (2 − x2 ) 2 − x2 + c
2 3( 2)3 3

6.28.- ∫ x2 − 9
dx

x

Solución.-

Se tiene: x = 3secθ , dx = 3secθτ gθ dθ , x2 − 9 = 3τ gθ

∫ x2 − 9 = ∫ 3τ gθ 3secθ τ gθ dθ = 3∫τ g2θ dθ = 3∫ (sec2 θ −1)dθ
dx 3secθ

x

= 3∫ sec2 θdθ − 3∫ dθ = 3τ gθ − 3θ + c = x2 − 9 − 3arc sec x + c
3

139

6.29.- ∫ dx
x 4x2 −16

Solución.-

Se tiene: x = secθ , dx = 2secθτ gθ dθ , x2 −1 = τ gθ
24

∫ dx = 1 ∫ dx = 1 ∫ 2secθτ gθ dθ = 1 ∫ dθ = 1θ +c
x 4x2 −16 4 (x 2)2 4 2secθτ gθ 4 4
x −1

= 1 arc sec x + c
42

6.30.- ∫ x2 +1
dx

x

Solución.- x2 + 1 x

θ

Se tiene: x = τ gθ , dx = sec2 θ dθ , x2 +1 = secθ 1

∫ x2 +1 = ∫ secθ sec2 θ dθ = ∫ dθ = η τgθ + 1 +c, o bien:
dx τ gθ θs 2 cosθ
cos2 e n θ
x

= η cos ecθ − coτ gθ + 1 + c = η x2 +1 − 1 + 1 + c
cosθ x x 1
x2 +1

= η x2 +1 −1 + x2 +1 + c
x

∫6.31.- dx

x2 4 − x2

Solución.- 2x

θ

Se tiene: x = 2s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 4 − x2 = 2 cosθ 4 − x2
ax
∫ x2 ∫dx = 2 cosθ dθ = 1 ∫ cos ec2θ dθ = − 1 coτ gθ + c
4 4
4 − x2 4 s e n2 θ 2 cosθ

= − 4 − x2 + c
4x

6.32.- ∫ a − x2 dx

Solución.-

θ

a − x2

140

Se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a − x2 = a cosθ

∫ a − x2 dx = ∫ a cosθ a cosθ dθ = a∫ cos2 θ dθ

a θ + a s e nθ cosθ + c = a arcs e n x + x a2 − x2 + c
22 2 a2

∫6.33.- a2 − x2 dx

Solución.-

Se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a2 − x2 = a cosθ

∫ ∫ ∫a2 − x2 dx = a cosθ a cosθ dθ = a2 cos2 θ dθ

a2 θ + a2 s e nθ cosθ + c = a2 arcs e n x + x a2 − x2 + c
22 2 a2

∫6.34.- x2dx
x2 + a2

Solución.-

x2 + a2 x
x
θ

a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

x2dx = a2τ g 2θ a sec 2 θ dθ = a2 τ g 2θ secθ dθ = a2 s e n2 θ dθ
∫ ∫ ∫ ∫x2 + a2 cos3 θ
a secθ

(1− cos2 θ )
cos3 θ
∫ ∫ ∫= a2
dθ = a2 sec3 θ dθ − a2 secθ dθ

= a2 ⎛ secθτ gθ + 1 η secθ +τ gθ ⎞ − a 2 η secθ +τ gθ + c
⎜⎝ 2 2 ⎟⎠

= a2 secθτ gθ + a2 η secθ +τ gθ − a2 η secθ +τ gθ + c
22

= a2 secθτ gθ − a2 η secθ +τ gθ + c
22

= a 2 x2 + a2 x − a2 η x2 + a2 + x + c = x x2 + a2 − a2 η x2 + a2 + x + c
2 a a2 aa 22

∫6.35.- dx

x2 x2 + 9

Solución.- x2 + 9

θ

3

141

Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3sec2 θ dθ , x2 + 9 = 3secθ

∫ x2 ∫dx = 3 sec 2 θ dθ = 1 ∫ secθ dθ = 1 ∫ cosθ dθ = −1 +c
9 τ g 2θ 9 s e n2 θ 9senθ
x2 + 9 9τ g 2θ 3secθ

= − x2 + 9 + c
9x

6.36.- ∫ dx
5 − 4x2

Solución.-

Se tiene: x = 5 4 s e nθ , dx = 5 4 cosθ dθ , (5 4)2 − x2 = 5 4 cosθ

∫ dx = 1 ∫ dx = 1 ∫ 54 cosθ dθ = 1 ∫ dθ = 1θ +c
5 − 4x2 2 54 − x2 2 54 cosθ 2 2

= 1 arcs e n x + c = 1 arcs e n 2x + c
2 52 5
4

∫6.37.- x2dx )3
(4 − x2 2

Solución.- 2

x

θ

4 − x2

Se tiene: x = 2s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 4 − x2 = 2 cosθ

x2dx = x2dx = 4 s e n 2 θ 2 cosθ dθ = τ g 2θ dθ = (sec2 θ −1)dθ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫(4 2 3
− x ) 2 (4 − x2 )3 8 cos 3 θ

= τ gθ −θ + c = x − arcs e n x + c
4 − x2 2

∫6.38.- x2 5 − x2 dx

Solución.-

Se tiene: x = 5 s e nθ , dx = 5 cosθ dθ , 5 − x2 = 5 cosθ

∫ x2 ∫5 − x2 dx = 5s e n2 θ 5 cosθ 5 cosθdθ = 25∫ s e n2 θ cos2 θdθ = 25 ∫sen2 2θ dθ
4

= 25 ∫ (1 − cos 4θ )dθ = 25 θ − 25 s en 4θ + c = 25 θ − 25 (2s en 2θ cos 2θ ) + c
8 8 32 8 32

= 25 θ − 25 ⎣⎡2s e nθ cos 2θ (cos2 θ − s e n2 θ )⎤⎦ + c
8 32

142

= 25 θ − 25 ⎣⎡s e nθ cos3 θ − se n3 θ cosθ )⎤⎦ + c
8 16

= 25 ⎡ e n x − x( 5 − x2 )3 + x3 5 − x2 ⎤ + c
⎢arcs ⎥
2 ⎣⎢ 5 25 25 ⎥⎦

∫6.39.- dx

x4 x2 + 3

Solución.- x2 + 3

θ x

3

Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3 sec2 θ dθ , x2 + 3 = 3 secθ

dx = 3 sec 2 θ dθ = 1 secθ dθ = 1 cos3 θ dθ = 1 (1− s e n2 θ ) cosθ dθ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫x4 x2 + 3 9τ g 4θ 3 secθ 9 τ g 4θ 9 s e n4 θ 9 s e n4 θ

cosθ dθ − 1 cosθ dθ x2 + 3 ⎛ x2 + ⎞3
sen4θ 9 s e n2 θ 9x ⎝⎜⎜ 3x ⎠⎟⎟
∫ ∫= 1 = − 1 cos ec3θ + 1 cos ecθ +c= − 3 + c
9 27 9

∫6.40.- x3 a2 x2 + b2 dx

Solución.-

Se tiene: ax = bτ gθ , adx = b sec2 θ dθ , a2x2 + b2 = b secθ

a2 x2 + b2 dx = b3τ b sec2 θ dθ b5 τ g3θ sec3 θ dθ
∫ ∫ ∫x3 a3 a a4
g3θb secθ =

∫ ∫= b5 b5 (sec2 θ −1) sec2 θτ gθ secθ dθ
a4 a4
τ g 2θ sec2 θτ gθ secθ dθ =

∫ ∫= b5 sec4 gθ b5 sec2 θτ b5 sec5 θ b5 sec3 θ
a4 a4 a4 5 a4 3
θτ secθ dθ − gθ secθ dθ = + +c

= b5 ⎡ ( a2x2 + b2 )5 + ( a2x2 + b2 )3 ⎤ = (a2x2 + b2 )52 − (a2 x2 + b2 )3 b2 +c
a4 ⎢ 5b5 3b3 ⎥+c 5a4 2
⎦⎥
⎣⎢ 3a4

∫6.41.- dx

x2 x2 + a2

Solución.- x2 + a2

x

θ

a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

143

dx = a sec 2 θ dθ = 1 secθ dθ = 1 cosθ dθ dθ
x2 + a2 a2τ g 2θ a secθ a2 τ g 2θ a2 s e n2 θ
∫ ∫ ∫ ∫x2

∫= 1 coτ gθ cos ecθ dθ = − cos ecθ +c = − 1 x2 + a2 + c
a2 a2 a2x

∫6.42.- dx
(x2 + a2)2

Solución.- x2 + a2

x

θ

a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

dx = a sec2 θ dθ = 1 1 1 s e n 2θ
( x2 + a2 )4 a 4 sec 4 θ a3 2a3 2a3 2
∫ ∫ ∫ ∫dx = cos2 θ dθ = θ + + c
(x2 + a2)2

= 1 θ+ 1 2 s e nθ cosθ + c = 1 arcτ g x + 1 ⎛ x a ⎞
2a3 2a3 2 2a3 a 2a3 ⎜ x2 + a2 ⎟+c
⎝ x2 + a2 ⎠

= 1 arcτ g x + 1 ⎛ ax ⎞
2a3 a 2a3 ⎜ ⎟+c
⎝ x2 + a2 ⎠

∫6.43.- x3 a2 x2 − b2 dx

Solución.-

Se tiene: ax = b secθ , adx = b secθτ gθ dθ , a2x2 − b2 = bτ gθ

a2 x2 − b2 dx = b3 sec3 θbτ b b5
∫ ∫ ∫x3 a3 a a4 sec4 θτ g 2θdθ
gθ secθτ gθ dθ =

= b5 b5 b5
a4 a4
∫ ∫ ∫a4
sec4 θ (sec2 θ −1)dθ = sec4 θ sec2 θ dθ − sec2 θ sec2 θ dθ

∫ ∫= b5 b5
a4 a4
(1 + τ g 2θ )2 sec2 θ dθ − (1+τ g 2θ ) sec2 θ dθ

∫ ∫= b5 g 2θ g 4θ b5 (1+τ g 2θ ) sec2 θ dθ
a4 a4
(1 + 2τ +τ ) sec2 θ dθ −

b5 ⎡⎣ τ g 2θ sec2 θ dθ + τ g 4θ sec2 θ dθ ⎤⎦ b5 ⎡τ g3θ τ g 5θ ⎤
∫ ∫=a4 = a4 ⎢ + 5 ⎥ + c
⎣ 3 ⎦

b5 ⎡ 1 ⎛ a2x2 − b2 ⎞3 1 ⎛ a2x2 − b2 ⎞5 ⎤
= a4 ⎢ ⎝⎜⎜ b ⎠⎟⎟ + 5 ⎝⎜⎜ b ⎟⎟⎠ ⎥ +c
⎢3 ⎥
⎣ ⎦

∫6.44.- dx

x2 a2 − x2

Solución.-

144

Se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a2 − x2 = a cosθ

dx = a cosθ dθ = 1 cos ec2θ dθ 1 coτ gθ
a2 − x2 a2 s e n2 θ a cosθ a2 a2
∫ ∫ ∫x2 = − +c

= − 1 cosθ +c = − 1 ⎛ a2 − x2 ⎞
a2 senθ a2 ⎜⎜⎝ x ⎟⎠⎟ + c

6.45.- ∫ 2x2 − 5
dx

x

Solución.-

Se tiene: 2x = 5 secθ , 2dx = 5 secθτ gθ dθ , 2x2 − 5 = 5τ gθ

2x2 − 5 5τ gθ 5 secθ τ gθ dθ
x 2
∫ dx = ∫ 5 secθ = 5∫τ g2θ dθ = 5∫ sec2 θ dθ − 5∫ dθ

2

= 5τ gθ − 5θ + c = 2x2 − 5 − 5 arc sec 2 3 x + c 5τ gθ

∫6.46.- x3dx

3x2 − 5
Solución.-

Se tiene: 3x = 5 secθ , 3dx = 5 secθτ gθ dθ , 3x2 − 5 =

∫ ∫x3dx ( 53 secθ )3 5 secθ τ gθ dθ 55 ∫ sec4 θ dθ
= 3 9
=
3x2 − 5 5
3 τ gθ

∫ ∫= 5 5 sec2 θ sec2 θ dθ = 5 5 sec2 θ (1+τ g 2θ )dθ
99

5 5 ⎣⎡ sec2 θ dθ + sec2 θτ g 2θ dθ ⎦⎤ 55 ⎢⎡τ gθ τ g 3θ ⎤
∫ ∫= 9 = 9 ⎣ + 3 ⎥ + c
⎦

= 5 ⎡ 3x2 − 5 + ( 3x2 − 5)3 ⎤ + c
⎢ ⎥
9 ⎢⎣ 15 ⎦⎥

6.47.- ∫ x2 −100 dx
x

Solución.-

Se tiene: x = 10secθ , dx = 10secθτ gθ dθ , x2 −100 = 10τ gθ

∫ x2 −100 dx = ∫ 10τ gθ 10secθ τ gθ dθ = 10∫τ g2θ dθ = 10∫ sec2 θ −10∫ dθ
x 10 secθ

= 10(τ gθ −θ ) + c = x2 −100 −10 arcs e n x + c
10

145

∫6.48.- dx

x2 x2 − 2

Solución.- x x2 − 2

θ

2

Se tiene: x = 2 secθ , dx = 2 secθτ gθ dθ , x2 − 2 = 2τ gθ

∫ x2 dx = ∫ 2 secθ τ gθ dθ = 1 ∫ cos θ dθ = 1 senθ +c = 1 x2 − 2 + c
x2 2sec 2 θ 2τ gθ 2 2 2 x
− 2

= x2 − 2 + c
2x

6.49.- ∫ dx
x 9 − x2

Solución.- 3
x

θ

Se tiene: x = 3s e nθ , dx = 3cosθ dθ , 9 − x2 = 3cosθ 9 − x2

∫ dx = ∫ 3s 3cosθ dθ = 1 ∫ cos ecθ dθ = 1 η cos ecθ − coτ gθ + c
x 9 − x2 e nθ 3cosθ 3 3

= 1 η 3− 9 − x2 + c
3x

∫6.50.- x2 + a2
dx
x
x2 + a2
Solución.- x
θ

a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , x2 + a2 = a secθ

∫ x2 + a2 dx = ∫ a secθ a sec2 θ dθ = a ∫ sec3 θ dθ = a ∫ sec2 θ sec θ dθ
x aτ gθ τ gθ τ gθ

= a∫ (1 + τ g 2θ ) secθ dθ = a∫ secθ dθ + a∫ secθτ gθ dθ
τ gθ τ gθ

a η cos ecθ − coτ gθ + a secθ + c = a η x2 + a2 − a + x2 + a2 + c
x

146

∫6.51.- xdx
a2 − x2
Solución.-

Se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a2 − x2 = a cosθ

∫ xdx = ∫ a s e nθ a cosθ dθ = a∫ s e nθdθ = −a cosθ + c = − a2 − x2 + c
a2 − x2 a cosθ

6.52.- ∫ dx
1− 4x2

Solución.-

Se tiene: 2x = s e nθ , 2dx = cosθ dθ , 1− 4x2 = cosθ

∫ dx = 1 ∫ cosθ dθ = 1 ∫ dθ = 1θ +c= 1 arcs e n 2x + c
1− 4x2 2 cosθ 2 2 2

6.53.- ∫ dx
4 + x2

Solución.-

Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , 4 + x2 = 2 secθ

∫ dx = ∫ 2 sec 2 θ dθ = ∫ secθ dθ = η secθ +τ gθ + c = η 4 + x2 + x + c
4 + x2 2 secθ

6.54.- ∫ xdx
4 + x2

Solución.-

Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , 4 + x2 = 2secθ

∫ xdx = ∫ 2τ gθ 2 sec 2 θ dθ = 2∫τ gθ secθ dθ = 2secθ +c = 4 + x2 + c
4 + x2 2 secθ a2 + x2

∫6.55.- dx

x a2 + x2

Solución.- x

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec2 θ dθ , a2 + x2 = a secθ θ

a

∫ ∫dx = a sec 2 θ dθ = 1 ∫ secθ dθ = 1 ∫ cosecθ dθ
x a τ gθ a
a2 + x2 aτ gθ a secθ

= 1 η cos ecθ − coτ gθ + c = 1 η a2 + x2 − a + c = 1 η a2 + x2 − a + c
a a xxa x

6.56.- ∫ ( x +1)dx
4 − x2

Solución.-

147

Se tiene: x = 2s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 4 − x2 = 2 cosθ

∫ (x +1)dx = ∫ xdx +∫ dx = ∫ 2s e n 2 cosθ dθ +∫ 2 cosθ dθ
4 − x2 4 − x2 4 − x2 2 cosθ 2 cosθ

2∫ s e nθ dθ + ∫ dθ = −2 cosθ +θ + c = − 4 − x2 + arcs e n x + c
2

6.57.- ∫ dx
2 − 5x2

Solución.-

Se tiene: 5x = 2 s e nθ , 5dx = 2 cosθ dθ , 2 − 5x2 = 2 cosθ

dx 2 cosθ dθ 5 5θ +c= 5 arcs e n
2 − 5x2 5 5 5 5
∫ =∫ 2 cosθ = ∫ dθ = 52x+c

∫6.58.- dx a
(a2 − x2 )32 x

Solución.- θ

Se tiene: x = a s e nθ , dx = a cosθ dθ , a2 − x2 = a cosθ a2 − x2

dx = a cosθ dθ = 1 1
a2 − x2 )3 a 3 cos 3 θ a2 a2
∫ ∫ ∫ ∫dx = sec2 θ dθ = τ gθ + c
(a2 − x2 )3
2 (

= x +c
a2 a2 − x2

6.59.- ∫ dx
4 − (x −1)2

Solución.-

Se tiene: x −1 = 2s e nθ , dx = 2 cosθ dθ , 4 − (x −1)2 = 2 cosθ

∫ dx =∫ 2 cosθ dθ = ∫ dθ =θ + c = arcs e n x −1+ c
4 − (x −1)2 2 cosθ 2

∫6.60.- x2dx

2x − x2
Solución.-

Se tiene: x −1 = s e nθ ⇒ x = s e nθ +1, dx = cosθ dθ , 1− (x −1)2 = cosθ

Completando cuadrados se tiene:
2x − x2 = −(x2 − 2x) = −(x2 − 2x +1) +1 = 1− (x −1)2 , luego:

x2dx = (s e nθ +1)2 cosθ dθ = (s e nθ +1)2 dθ
∫ ∫ ∫ ∫x2dx =
2x − x2 1− (x −1)2 cosθ

148

= ∫ s e n2 θ dθ + 2∫ s e nθdθ + ∫ dθ = 1 ∫ dθ − 1 ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e nθdθ + ∫ dθ
2 2

= 3 ∫ dθ − 1 ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e nθdθ = 3θ − 1 s en 2θ − 2 cosθ + c
2 2 2 4

= 3 θ − 1 s e nθ cosθ − 2 cosθ + c = 3 arcs e n(x −1) − 1 (x −1) 2x − x2 − 2 2x − x2 + c
22 22

∫6.61.- x2dx
17 − x2

Solución.-

Se tiene: x = 17 s e nθ , dx = 17 cosθ dθ , 17 − x2 = 17 cosθ

∫ x2dx = ∫ 17 s e n2 θ 17 cosθ dθ = 17∫ s e n2 θ dθ = 17 ∫ dθ − 17 ∫ cos 2θ dθ
17 − x2 2 2
17 cosθ

= 17 θ − 17 s e n 2θ + c = 17 θ − 17 s e nθ cosθ + c
24 22

= 17 arcs e n x − 17 x 17 − x2 + c = 17 arcs e n x − 1 x 17 − x2 + c
2 17 2 17 17 2 17 2

∫6.62.- x2dx

21+ 4x − x2

Solución.-

Se tiene: x − 2 = 5s e nθ ⇒ x = 5s e nθ + 2, dx = 5cosθ dθ , 52 − (x − 2)2 = 5cosθ

Completando cuadrados se tiene:
21+ 4x − x2 = −(x2 − 4x + 4 − 4) + 21 = −(x2 − 4x + 4) + 25 = 52 − (x − 2)2 , luego:

x2dx = x2dx = (5s e nθ + 2)2 5cosθ dθ = (5s e nθ + 2)2 dθ
∫ ∫ ∫ ∫21+ 4x − x2
52 − (x − 2)2 5 cosθ

= ∫ (25s e n2 θ + 20s e nθ + 4)dθ = 25∫ 1− cos 2θ dθ + 20∫ s e n θ dθ + 4∫ dθ
2

= 25 ∫ dθ − 25 ∫ cos 2θ dθ + 20∫ se n θ dθ = 25 θ − 25 s en 2θ − 20 cosθ + 4θ + c
2 2 2 4

= 33θ − 25 s e nθ cosθ − 20 cosθ + c
22

= 33 arcs e n x − 2 − 25 x − 2 ⎛ 21+ 4x − x2 ⎞ − ⎛ 21+ 4x − x2 ⎞
2 5 2 5 ⎜⎝⎜ 5 ⎟⎟⎠ 20 ⎜⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠ + c

= 33 arcs e n x − 2 − 21+ 4x − x2 ( x − 2 + 4) + c
25 2

= 33 arcs e n x − 2 − 21+ 4x − x2 ( x + 6) + c
25 2

149

∫6.63.- dx
(x2 − 2x + 5)32

Solución.- x2 − 2x + 5

θ x −1

Se tiene: x −1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , (x −1)2 + 22 = 2secθ 2

Completando cuadrados se tiene:
x2 − 2x + 5 = (x2 − 2x +1) + 5 −1 = (x2 − 2x +1) + 4 = (x −1)2 + 22 , luego:

dx dx = 2sec2 θ dθ = 1 cosθdθ = 1 s e nθ + c
− 2x + 5)32 ⎡⎣(x −1)2 + 22 ⎦⎤3 23 sec3 θ 4 4
∫ ∫ ∫ ∫(x2 =

= 1 x −1 + c x2 − 1 x + 1 x−1
4 x2 − 2x + 5 24 4

∫6.64.- (2x +1)dx θ
(4x2 − 2x +1)3

Solución.-
Sea: u = 4x2 − 2x +1, du = (8x − 2)dx

3
4

Se tiene: x − 1 = 3 τ gθ , dx = 3 sec2 θ dθ , (x − 14)2 + ( 3 )2 = 3 4 secθ
44 4 4

Completando cuadrados se tiene:

x2 − 1 x + 1 = (x2 − 1 x + 1 ) + 1 − 1 = (x − 1 )2 + 3 = (x − 1)2 + ( 3 )2 , luego:
24 2 16 4 16 4 16 44

∫ ∫ ∫(2x +1)dx = 1 (8x + 4)dx = 1 (8x − 2 + 6)dx
(4x2 − 2x +1)3 4 (4x2 − 2x +1)3 4 (4x2 − 2x +1)3

∫ ∫= 1 (8x − 2)dx + 3 dx

4 (4x2 − 2x +1)3 2 (4x2 − 2x +1)3

=1

∫ ∫ ∫ ∫4
du + 3 dx = 1 (u)−32 du + 3 1 dx
(u ) 3 2 2
4( x 2 − 1 x + 14)3 4 28 (x2 − 1 x + 14)3
2 2

(u∫ ∫= 1 )−3 du + 3 ∫ ∫dx =1 (u )−3 du + 3 3 sec2 θ dθ
2 2 4
4 16 ⎣⎡⎢(x − 14)2 + ( ⎤3 4 16 ( 3 secθ )3
3 )2 ⎦⎥
4 4

150

∫ ∫= 1 dθ 1 u −1 =− 1
secθ 4 2 2u 12
4
(u)−32 du + = (− 12) + s e nθ +c + s e nθ +c

= −1 + x − 1 +c= 4x − 2 +c
4

2 4x2 − 2x +1 x2 − 1 x + 1 4 x2 − 1 x + 1
2 4 2 4

6.65.- ∫ (x −1) dx
x2 − 3x + 2

Solución.-

x − 3 x2 − 3x + 2
2

θ

1
2

Se tiene: x − 3 = 1 secθ ⇒ x −1 = 1 (secθ +1), dx = 1 secθτ gθ dθ ,
22 2 2

(x − 3 2)2 + ( 12)2 = 12τ gθ

Completando cuadrados se tiene:

x2 − 3x + 2 = (x2 − 3x + 9) − 1 = (x − 3)2 − (1)2 , luego:
44 22

dx dx 1 secθ τ gθ dθ
x2 − 3x + (x − 3)2 − (1)2 2
∫ (x −1) = ∫ =∫
1 12τ
2 (x −1) 2 (secθ + 1) gθ

22

= ∫ secθ dθ = 2∫ secθ dθ = 2∫ secθ (secθ −1)dθ = ∫ sec2 θ dθ − 2∫ secθ dθ
(secθ +1) sec2 θ −1 τ g 2θ
1 (secθ + 1) 2 τ g 2θ
2

= 2∫ cos ec2θ dθ − 2∫ cosecθ dθ = −2 coτ gθ + 2 cosecθ +c
s e n2 θ

−2 1 + 2 x − 32 + c = 2x − 4 + c
2

x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2

6.66.- ∫ xdx
x2 − 2x + 5

Solución.-

Se tiene: x −1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , (x −1)2 + (2)2 = 2secθ

Completando cuadrados se tiene:
x2 − 2x + 5 = (x2 − 2x +1) + 4 = (x −1)2 − 22 , luego:

151

∫ xdx = ∫ ∫xdx = (2τ gθ +1) 2 sec 2 θ dθ
x2 − 2x (x −1)2 − 22 2 secθ
+ 5

= 2∫τ gθ secθ dθ + ∫ secθ dθ = 2secθ + η secθ +τ gθ + c

= x2 − 2x + 5 + η x2 − 2x + 5 + x −1 + c
2

6.67.- ∫ (x +1)dx
2x − x2

Solución.-

Se tiene: x −1 = s e nθ ⇒ x +1 = s e nθ + 2, dx = cosθ dθ , 1− (x −1)2 = cosθ

Completando cuadrados se tiene:
2x − x2 = −(x2 − 2x) = −(x2 − 2x +1−1) = −(x2 − 2x +1) +1 = 1− (x −1)2 , luego:

∫ (x +1)dx = ∫ (x +1)dx = ∫ (s e nθ + 2) cosθ dθ = ∫ s e nθdθ + 2∫ dθ
2x − x2 1− (x −1)2 cosθ

= − cosθ + 2θ + c = − 2x − x2 + 2 arcs e n(x −1) + c

6.68.- ∫ (x −1)dx
x2 − 4x + 3

Solución.-

Se tiene: x − 2 = secθ ⇒ x −1 = secθ +1, dx = secθτ gθ dθ , (x − 2)2 −1 = τ gθ

Completando cuadrados se tiene:
x2 − 4x + 3 = x2 − 4x + 4 −1 = (x − 2)2 −1, luego:

∫ (x −1)dx = ∫ (x −1)dx = ∫ (secθ + 1) secθ τ gθ dθ
x2 − 4x + (x − 2)2 −1 τ gθ
3

= ∫ sec2 θ dθ +∫ secθ dθ = τ gθ + η secθ +τ gθ + c

= x2 − 4x + 3 + η x − 2 + x2 − 4x + 3 + c

6.69.- ∫ dx
x2 − 2x −8

Solución.-

Se tiene: x −1 = 3secθ , dx = 3secθτ gθ dθ , (x −1)2 − 32 = 3τ gθ

Completando cuadrados se tiene:
x2 − 2x − 8 = x2 − 2x +1− 9 = (x −1)2 − 32 , luego:

∫ dx = ∫ dx = ∫ 3 secθ τ gθ dθ = ∫ secθ dθ = η secθ +τ gθ +c
− 2x (x −1)2 − 32 3τ gθ
x2 −8

= η x −1 + x2 − 2x −8 + c = η x −1+ x2 − 2x −8 + c
33

152

6.70.- ∫ xdx
x2 + 4x + 5

Solución.-

Se tiene: x + 2 = τ gθ , dx = sec2 θ dθ , (x + 2)2 +12 = s ecθ

Completando cuadrados se tiene:
x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) +1 = (x + 2)2 +12 , luego:

∫ x2 xdx = ∫ xdx = ∫ (τ gθ − 2) sec 2 θ dθ = ∫τ gθ secθ dθ − 2∫ secθ dθ
+ 4x +5 (x + 2)2 +12 secθ

= secθ − 2 η secθ +τ gθ + c = x2 + 4x + 5 − 2 η x2 + 4x + 5 + x + 2 + c

153