2 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

CAPITULO 2

INTEGRACION POR SUSTITUCION

A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral
dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de
método de sustitución.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

∫2.1.-Encontrar: e ηxdx
x2 + 7

e ηxdx = xdx
x2 + 7 x2 + 7
∫ ∫Solución.- Como: e ηx = x, se tiene:

xdx = 1 2xdx ,
x2 + 7 2 x2 + 7
∫ ∫Sea la sustitución: u = x2 + 7 , donde: du = 2xdx , Dado que:

Se tiene: 1 ∫ 2xdx = 1 ∫ du , integral que es inmediata.
2 x2 + 7 2 u

Luego: = 1 ∫ du 1 η u +c= 1 η x2 + 7 + c
2 u 2 2

∫Respuesta: e ηxdx = 1 η x2 + 7 + c
x2 + 7 2

∫2.2.-Encontrar: e ηx2 dx
x3 + 8

e ηx2 dx = x2dx
x3 + 8 x3 + 8
∫ ∫Solución.- Como: e ηx2 = x2 , se tiene:

Sea la sustitución: w = x3 + 8 , donde: dw = 3x2dx , Dado que: x2dx = 1 3x2dx
,
∫ ∫x3 + 8 3 x3 + 8

Se tiene: 1 ∫ 3x2dx = 1 ∫ dw integral que es inmediata.
3 x3 + 8 3 w

Luego: 1 ∫ dw = 1 η w +c=1 η x3 + 8 + c
3 w 3 3

∫Respuesta: e ηx2 dx = 1 η x3 + 8 + c
x3 + 8 3

2.3.-Encontrar: ∫ (x + 2) s e n(x2 + 4x − 6)dx

Solución.- Sea la sustitución: u = x2 + 4x − 6 , donde: du = (2x + 4)dx

Dado que: ∫ (x + 2) s e n( x 2 + 4x − 6)dx = 1 ∫ (2x + 4) s e n(x2 + 4x − 6)dx , se tiene:
2

29

= 1 ∫ (2x + 4) s e n(x2 + 4x − 6)dx = 1 ∫ s e n udu , integral que es inmediata.
2 2

∫Luego: = 1 s e n udu = 1 (− cos u) + c = − 1 cos u + c = − 1 cos(x2 + 4x − 6) + c
22 22

∫Respuesta: (x + 2) s e n(x2 + 4x − 6)dx = − 1 cos(x2 + 4x − 6) + c
2

2.4.-Encontrar: ∫ x s e n(1− x2 )dx

Solución.-Sea la sustitución: w = 1− x2 , donde: dw = −2xdx

Dado que: ∫ x s e n (1 − x2 )dx = − 1 ∫ (−2x) s e n(1 − x2 )dx
2

Se tiene que: − 1 ∫ (−2x) s e n(1 − x2 )dx = − 1 s e n wdw , integral que es inmediata.
2 2

Luego: − 1 ∫ s e n wdw = − 1 (− cos w)dw + c = 1 cos w + c = 1 cos(1 − x2 ) + c
2 2 2 2

∫Respuesta: x s e n(1− x2 )dx = 1 cos(1− x2 ) + c
2

2.5.-Encontrar: ∫ x coτ g(x2 +1)dx

Solución.-Sea la sustitución: u = x2 +1 , donde: du = 2xdx

Dado que: ∫ x coτ g(x2 + 1)dx = 1 ∫ 2x coτ g(x2 + 1)dx
2

Se tiene que: 1 ∫ 2x coτ g ( x2 + 1)dx = 1 ∫ coτ gudu , integral que es inmediata.
2 2

Luego: 1 ∫ coτ gudu = 1 η senu +c = 1 η s e n(x2 +1) + c
2 2 2

∫Respuesta: x coτ g(x2 +1)dx = 1 η s e n(x2 +1) + c
2

∫2.6.-Encontrar: 1+ y4 y3dy

Solución.-Sea la sustitución: w = 1+ y4 , donde: dw = 4 y3dy

∫ ∫Dado que: 1+ y4 y3dy = 1 (1+ y4 )12 4 y3dy

4

∫ ∫Se tiene que: 1 4 1 1 w1
(1 + y ) 2 4 y3dy = 2 dw , integral que es inmediata.

44

∫Luego: 1 w 1 dw = 1 w3 +c = 1 w3 +c = 1 (1+ y4 )32 +c
2 2 2

4 4 3 6 6
2

∫Respuesta: 1+ y4 y3dy = 1 (1 + y4 )3 + c
2
6

∫2.7.-Encontrar: 3tdt
3 t2 +3

Solución.-Sea la sustitución: u = t2 + 3 , donde: du = 2tdt

30

3tdt = 3 2tdt
3 t2 +3 2
∫ ∫Dado que: (t 2 + 3) 1
3

2tdt du
∫ ∫Se tiene que: 3 = 3 u1 , integral que es inmediata
2 (t 2 + 3) 1 2
3 3

∫ ∫Luego: 3 du = 3 u − 1 du = 3 u2 +c = 9 u23 +c = 9 (t 2 + 3)23 +c
2 u1 2 3 3

3 2 2 4 4
3

∫Respuesta: 3tdt = 9 (t2 + 3)23 + c
3 t2 +3 4

∫2.8.-Encontrar: dx , a y b constantes.

(a + bx) 1
3

Solución.- Sea: w = a + bx , donde: dw = bdx

2
dx = 1 bdx = 1 dw = 1 −1 = 1 w 3 +c= 3 2
∫ ∫ ∫ ∫Luego:
(a + bx) 1 b ( a + bx) 1 b w1 b w3 b 2 2b w 3 +c
3 3 3 3

= 3 2

2b (a + bx) 3 + c

∫Respuesta: dx = 3 2 +c

(a + bx) 1 2b (a + bx) 3
3

2.9.-Encontrar: ∫ arcs e n x dx
1− x2

Solución.- ∫ arcs e n x dx = ∫ arcs e n x dx ,
1− x2 1− x2

Sea: u = arcs e n x , donde: du = dx
1− x2

dx 1 2 u3 2 (arcs e n x)3 + c
∫ ∫Luego: = 2 = 2 + =
arcs e n x u du c
1− x2 33

∫Respuesta: arcs e n x dx = 2 (arcs e n x)3 + c
1− x2 3

arcτ g x
2
2.10.-Encontrar: ∫ 4 + x2 dx

Solución.- Sea: w = arcτ g x , donde: dw = 1 ( 1 )dx = 2dx
2 2 4 + x2
1 + ( x )2
2

arcτ gx 1 arcτ ⎛ x ⎞ 2dx 1 1 w2 1 ⎛ arcτ x ⎞2
4+ 2 2 ⎝⎜ 2 ⎟⎠ 4 + x2 2 4 4 ⎜⎝ 2 ⎠⎟
∫ ∫ ∫Luego: dx = g = wdw = + c = g + c
x2

∫Respuesta: arcτ gx = 1 ⎛ arcτ g x ⎞2 + c
4+ 2 dx 4 ⎝⎜ 2 ⎠⎟

x2

31

2.11.-Encontrar: ∫ x − arcτ g2x
1+ 4x2 dx

Solución.- ∫ x − arcτ g2x = ∫ xdx − ∫ arcτ g2x
1+ 4x2 dx 1+ 4x2 1+ 4x2

Sea: u = 1+ 4x2 , donde: du = 8xdx ; w = arcτ g2x , donde: dw = 2dx
1+ 4x2

Luego: ∫ 1 xdx 2 −∫ arcτ g2x = 1 ∫ 8xdx − 1 ∫ arcτ g 2 x 1 2dx 2
+ 4x 1+ 4x2 8 1+ 4x2 2 + 4x

du − 1 w12dw = 1 1
∫ ∫= 1 η u − 1 w3 +c = η 1+ 4x2 − 1 (arcτ g 2x)32 + c
2
8u 2 83 8 3

∫Respuesta: x − arcτ g2xdx = 1 η 1+ 4x2 − 1 (arcτ g2x)32 + c
1+ 4x2 8 3

2.12.-Encontrar: ∫ dx

(1+ x2 ) η x + 1+ x2

Solución.- ∫ dx = ∫ dx
(1+ x2 ) η x + 1+ x2 1+ x2 η x + 1+ x2

Sea: u = η x + 1+ x2 , donde: du = 1 (1+ 2x ) ⇒ du = dx
x + 1+ x2 2 1+ x2 1+ x2

dx du = −1 2u 12 η x + 1+ x2 + c
∫ ∫ ∫Luego: = u 2 du = + c = 2

1+ x2 η x + 1+ x2 u

Respuesta: ∫ dx = 2 η x + 1+ x2 + c

(1+ x2 ) η x + 1+ x2

2.13.-Encontrar: ∫ coτ g( η x)dx
x

Solución.- Sea: w = η x , donde: dw = dx
x

Luego: ∫ coτ g( η x)dx = ∫ coτ gwdw = η s e n w + c = η s e n( ηx) + c
x

Respuesta: ∫ coτ g( η x)dx = η s e n( ηx) + c
x

2.14.-Encontrar: ∫ x( dx
η x)3

Solución.- Sea: u = η x , donde: du = dx
x

dx = du = u −3du u −2 1 1
x( η x)3 u3 2 2u 2 η x)2
∫ ∫ ∫Luego: = +c= +c= 2( +c

32

∫Respuesta: dx = 1 + c

x( η x)3 2( η x)2

1
e x2
∫2.15.-Encontrar: dx
x3

Solución.- Sea: w= 1 , donde: dw = − 2 dx
x2 x3

1
e x2 dx = − 1 −2dx 1
1 1 ewdw 1 ew 1 x2
x2
∫ ∫ ∫Luego: e = − =− +c = − e + c
x3 2 x3 2 22

1 x2 1
x2
∫Respuesta: e dx = − 1 e +c

x3 2

∫2.16.-Encontrar: e−x2+2 xdx

Solución.- Sea: u = −x2 + 2 , donde: du = −2xdx

∫ ∫ ∫Luego: e−x2 +2 xdx = − 1 e−x2 +2 (−2xdx) = − 1 eudu = − 1 eu + c = − 1 e−x2 +2 + c
2 2 22

∫Respuesta: e−x2 +2 xdx = − 1 e−x2 +2 + c
2

∫2.17.-Encontrar: x2ex3 dx

Solución.- Sea: w = x3 , donde: dw = 3x2dx

∫ ∫ ∫Luego: x2ex3 dx = 1 3x2ex3 dx = 1 ewdw = 1 ex3 + c

3 33

∫Respuesta: x2ex3 dx = 1 ex3 + c
3

∫2.18.-Encontrar: (ex +1)2exdx

Solución.- Sea: u = ex +1 , donde: du = exdx

∫ ∫Luego: (ex +1)2exdx = u2du = u3 + c = (ex +1)3 + c

33

∫Respuesta: (ex +1)2exdx = (ex +1)3 + c

3

∫2.19.-Encontrar: ex −1dx

ex +1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫Solución.-ex − 1dx = ex − 1 = ex − exe−x
ex + 1 x+ dx x+ dx x+ dx dx
e 1 e 1 e 1 ex + 1

∫ ∫ ∫ ∫=ex − e−x = ex − e−x
e x+ dx e−x (ex dx e x+ dx 1+ e x dx
1 + 1) 1

Sea: u = ex +1 , donde: du = exdx ; w = 1+ e−x ,donde: dw = −e−xdx

ex e−x ex −e− x du + dw
x+ 1+ ex x+ 1+ e−x u w
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Luego: − = − dx =
e dx dx e dx
1 1

33

= η u + c1 + η w + c2 = η ex +1 + η 1+ e−x + C = η ⎣⎡ ex +1 1+ e−x ⎤⎦ + c

∫Respuesta: ex −1dx = η ⎣⎡ (ex +1)(1+ e−x ) ⎤⎦ + c , otra respuesta seria:
ex +1

∫ ex −1dx = η ex +12 − x + c

ex +1

∫2.20.-Encontrar: e2x −1
dx
e2x + 3

∫ ∫ ∫Solución.- e2x −1dx = e2x dx − e0 dx
e2x + 3 e2x + 3 e2x + 3

e2x ee22xxe+−23x dx = e 2x e−2 x e2x e−2 x
e2x + e2x (e2x e2x + + 3e−2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫= − + − = −
dx dx e−2 x + dx dx 1 x dx
3 3 3) 3

Sea: u = e2x + 3 , donde: du = 2e2xdx ; w = 1+ 3e−2x ,donde: dw = −6e−2xdx

e2x e−2 x 1 2e 2 x 1 −6e −2 x 1 du + 1 dw
e2x + 1+ 3e−2x dx 2 e2x + 6 1+ 3e−2x dx 2 u6 w
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Luego: − = + =
dx dx
3 3

1 η u + 1 η w + c = 1 η e2x + 3 + 1 η 1+ 3e−2x + c = 1 η e2x + 3 + 1 η 1+ 3 + c
26 2 6 2 6 e2x

=1 η e2x + 3 + 1 η e2x + 3 +c = 1 η e2x + 3 + 1 η e2x + 3 − 1 ηe2x + c
2 6 e2x 2 6 6

e2x + 3 1/2 + e2x + 3 1/6 − 1 2x + c = ⎡ 1/ 2 1/ 6 ⎤ x
6 ⎣⎢ ⎥⎦ 3
( ) ( ) ( ) ( )=η η η e2x +3 e2x + 3 − + c

( )= η e2x + 3 2/3 − x + c
3

e2x − 1dx η e2x + 3 2/3 − x + c
e2x + 3 3
∫ ( )Respuesta: =

2.22.-Encontrar: ∫ x2 +1
dx

x −1

Solución.- Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el

grado del polinomio divisor, es necesario efectuar previamente la división de

polinomios. El resultado de la división dada es:

x2 +1 = (x +1) + 2, Luego: ∫ x2 + 1dx = ∫ ⎛ x + 1 + x 2 ⎞ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ dx
x −1 x −1 x −1 ⎝⎜ −1 ⎠⎟ x −1

Sea u = x −1, donde du = dx

Luego: ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ du = x2 + x + η x −1 + c
x −1 u 2

∫Respuesta: x2 +1dx = x2 + x + η x −1 + c

x −1 2

2.23.-Encontrar: ∫ x+ 2dx
x+ 1

34

Solución.- x + 2 =1+ 1 , Luego: ∫ x + 2dx = ∫ ⎛⎜⎝1 + x 1 ⎞ dx = ∫ dx + ∫ dx
x+1 x+1 x +1 +1 ⎟⎠ x +1

Sea u = x +1 , donde du = dx

∫ dx + ∫ du = x + ηu + c =x + η x+1 +c
u

Respuesta: ∫ x + 2dx = x + η x +1 +c
x +1

∫2.24.-Encontrar: τ g5x sec2 xdx

Solución.- Sea: w = τ gx , donde: dw = sec2 x

∫ ∫ ∫Luego: τ g5x sec2 xdx = (τ gx)5 sec2 xdx = w5dw = w6 + c = (τ gx) 6 + c = τ g6 x + c 6
66

∫Respuesta: τ g5x sec2 xdx = τ g6x + c

6

2.25.-Encontrar: ∫ s e n x sec2 xdx

Solución.- ∫ s e n x sec2 xdx = ∫ s e n x 1 x dx =∫ sen x dx
cos2 cos2 x

Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x

sen x − s e n xdx = − du = − u−2du = − u−1 + c = 1 + c = 1 + c
cos2 x cos2 x u −1 u cos x
∫ ∫ ∫ ∫Luego: dx = −

Respuesta: ∫ s e n x sec2 xdx = sec x + c

2.26.-Encontrar: ∫ sec2 3xdx
1+τ g3x

Solución.- Sea: u = 1+τ g3xdx , donde: du = 3sec2 3xdx

Luego: ∫ sec2 3xdx = 1 ∫ 3sec2 3xdx = 1 ∫ du = 1 η u +c=1 η 1+τ g3x + c
1+τ g3x 3 1+τ g3x 3 u 3 3

Respuesta: ∫ sec2 3xdx = 1 η 1+τ g3x + c
1+τ g3x 3

2.27.-Encontrar: ∫ s e n3 x cos xdx

Solución.- Sea: w = s e n x , donde: dw = cos xdx

Luego: ∫ s e n3 x cos xdx = ∫ (s e n x)3 cos xdx = ∫ w3dw = ∫ w4 + c =∫ s e n4 x + c
4 4

Respuesta: ∫ s e n3 x cos xdx = ∫ s e n4 x + c
4

2.28.-Encontrar: ∫ cos4 x s e n xdx

Solución.- Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x

Luego: ∫ cos4 x s e n xdx = ∫ (cos x)4 s e n xdx = −∫ (cos x)4 (− s e n x)dx = −∫ u4du

35

= − u5 + c = − cos x5 + c = − cos5 x + c
55 5

∫Respuesta: cos4 x s e n xdx = − cos5 x + c

5

2.29.-Encontrar: ∫ sec5 dx
cos ecx

1

Solución.- ∫ sec5 dx = ∫ cos5 x dx = ∫ sen x dx
cos ecx 1 (cos x)5

sen x

Sea: w = cos x , donde: dw = − s e n xdx

∫ ∫ ∫Luego: s e n x dx = − dw = − w−5dw = − w−4 + c = 1 1 + c = 1 + c
(cos x)5 w5 −4 4 w4 4 cos4 x

= sec4 x + c
4

∫Respuesta: sec5 dx = sec4 x + c
cos ecx 4

∫2.30.-Encontrar: eτ g2x sec2 2xdx

Solución.- Sea: u = τ g2x , donde: du = 2sec2 2xdx

∫ ∫ ∫Luego: eτ g2x sec2 2xdx = 1 eτ g2x (2sec2 2xdx) = 1 eudu = 1 eu + c = 1 eτ g2x + c
2 2 22

∫Respuesta: eτ g2x sec2 2xdx = 1 eτ g2x + c

2

2.31.-Encontrar: ∫ 2x − 5 dx
3x2 −2

Solución.- Sea: w = 3x2 − 2 , donde: dw = 6xdx

Luego: ∫ 2x − 5 dx = 1 ∫ 3(2x − 5)dx = 1 ∫ 6x −15 = 1 ∫ 6xdx − 15 ∫ dx 2
3x2 −2 3 3x2 − 2 3 dx 3 3x2 − 2 3 3x2 −

3x2 − 2

dx = 1 6xdx − 5
3x2 − 2 3
=1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫3
6xdx − 5 6xdx − 5 dx = 1 dx
3x2 − 2 3x2 − 2 3
3( x 2 − 2 ) 3 (x2 − 2 ) 3 x2 − ( 2 )2
3 3 3

dx = 1 5
∫ ∫ ∫1 3

3
dw − 5 x2 − ( η w + c1 − dx ; Sea: v = x , donde: dv = dx
w3 2 )2 3 x2 − ( 2 )2
3 3

∫Además: a = 1 η + c1 − 5 dv
2 ; se tiene: 3 w 3 v2 − a2
3

=1 η 3x2 − 2 + c1 − 5 1 η v−a + c2 = 1 η 3x2 − 2 − 5 ⎡ 1 η x− 2⎤
3 3 2a v+a 3 ⎢ x+ 3 ⎥+C
3 ⎣⎢ 2 2 2 ⎦⎥
3 3

= 1 η 3x2 − 2 − 5 η 3x − 2 + C = 1 η 3x2 − 2 − 5 η 3x − 2 + C
3 32 2 3x + 2 3 2 6 3x + 2

36

∫Respuesta: 2x − 5 dx = 1 η 3x2 − 2 − 5 η 3x − 2 + C
3x2 −2 3 26 3x + 2

2.32.-Encontrar: ∫ dx
x 4−9 η2x

dx = dx
∫ ∫Solución.-
x 4 − 9 η 2 x x 22 − (3 η x)2

Sea: u = 3 η x , donde: du = 3dx
x

dx = 1 3dx = 1 du = 1 arcs e n u + c
Luego: ∫ ∫ ∫x 22 − (3 η x)2 3 x 22 − (3 η x)2 3 22 − (u)2 3 2

= 1 arcs e n 3 η x + c = 1 arcs e n η 3
3 23
x 2 +c

∫Respuesta: dx = 1 arcs e n η 3

x 4−9 η2x 3 x 2 +c

2.33.-Encontrar: ∫ dx
ex −1

Solución.- Sea: u = ex −1 , donde: du = exdx ; Tal que: ex = u2 +1
2 ex −1

dx = 2du du arcτ arcτ ex +1+ c
ex −1 u2 +1 2+
∫ ∫ ∫Luego: = 2 u 1 = 2 gu + c = 2 g

∫Respuesta: dx = 2 arcτ g ex +1 + c
ex −1

2.34.-Encontrar: ∫ x2 + 2x + 2dx
x +1

Solución.- ∫ x2 + 2x + 2dx = ∫ (x2 + 2x +1) + 1dx = ∫ (x +1)2 +1 = ∫ (x +1)2 +1
x +1 x +1 dx dx

x +1 x +1

= ∫(x +1+ x 1 )dx =∫ xdx + ∫ dx +∫ dx , Sea: w= x +1, donde: dw = dx
+1 x +1

Luego: ∫ xdx + ∫ dx +∫ dx = ∫ xdx + ∫ dx +∫ dw = x2 + x + η w +c
x +1 w 2

= x2 + x + η x +1 + c
2

∫Respuesta: x2 + 2x + 2dx = x2 + x + η x +1 + c

x+1 2

∫2.35.-Encontrar: e2x
dx
ex +1

Solución.- Sea: u = ex +1 , donde: du = exdx

37

e2x dx = u −1 1 u −1 1 −1 u3 −1
ex +1 2 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫Luego: du = (u − )du = u du − u du = −u 2 +c
u1 31
2 22

= u3 −1 +c = u2 3 − u1 1 +c = 2 (ex +1)3 − 2 (ex +1) + c
2 2 2 3
3 −u 2
1 3 2

22

∫Respuesta: e2x = 2 (ex +1)3 − 2 (ex +1) + c
dx 3

ex +1

2.36.-Encontrar: ∫ η2x dx
η4x x

Solución.- Sea: u = η4x , donde: du = dx ; además: η4x = (2× 2x) = η2 + η2x
x

⇒ u = η2+ η2x ⇒ η2x = u − η2

Luego: ∫ η2 x dx = ∫ u − η 2du = ∫ du − ∫ η 2du = ∫ du − η2∫ du = u − η2 u +c
η4 x x u u u

= η4x − η2[ η( η4x)]+ c

Respuesta: ∫ η2x dx = η4x − η2[ η( η4x)]+ c
η4x x

2.37.-Encontrar: ∫ x(3x +1)7 dx

Solución.- Sea: w = 3x +1, donde: dw = 3dx ; además: w −1 = 3x ⇒ x = w −1
3

Luego: x(3x +1)7 dx = w −1 w7 dw = 1 (w −1)w7dw = 1 (w8 − w7 )dw
∫ ∫ ∫ ∫3 3 9 9

∫ ∫= 1 w8dw − 1 w7dw = 1 w9 − 1 w8 + c = 1 w9 − 1 w8 + c
9 9 99 98 81 72

= 1 (3x +1)9 − 1 (3x +1)8 + c
81 72

∫Respuesta: x(3x +1)7 dx = (3x +1)9 − (3x +1)8 + c

81 72

∫2.38.-Encontrar: x2 − 5x + 6dx

x2 + 4

Solución.- x2 −5x + 6 dx = 1+ 2 −5x
x2 + 4 x2 + 4

Luego: ∫ x2 −5x + 6dx = ∫ (1 + 2 −5x = ∫ dx + 2∫ dx − 5∫ xdx
x2 + 4 )dx x2 + x2 + 4
4
x2 + 4

Sea: u = x2 + 4 , donde: du = 2xdx ; Entonces:

= x + arcτ g x − 5 ∫ du =x + arcτ g x − 5 η u + c = x + arcτ g x − 5 η x2 + 4 + c
2 2 u 2 2 22

∫Respuesta: x2 − 5x + 6dx = x + arcτ g x − 5 η x2 + 4 + c
x2 + 4 22

38

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las

siguientes integrales:

∫2.39.- 3x exdx 2.40.- ∫ adx 2.41.- ∫ 4t + 6 dt
a−x 2t + 1

2.42.- ∫ 1− 3x dx 2.43.- ∫ xdx 2.44.- ∫ ax − b dx
3+ 2x a + bx αx + β

2.45.- ∫ 3t 2 +3 dt 2.46.- ∫ x2 + 5x + 7 dx ∫2.47.- x4 + x2 +1 dx
t −1 x +3
x −1

2.48.- ∫ ⎛ a + b ⎞2 dx 2.49.- ∫ ( x x dx 2.50.- ∫ bdy
⎜⎝ − ⎠⎟ + 1)2 1− y
x a

2.51.- ∫ a − bxdx 2.52.- ∫ xdx 2.53.- ∫ x + η xdx
x2 +1 x

2.54.- ∫ dx 5 ∫2.55.- x3dx ∫2.56.- y2 −5y + 6
3x2 + dy
a2 − x2 y2 + 4

2.57.- ∫ 6t 2−−125dt 2.58.- ∫ 3− 2x dx 2.59.- ∫ 3x +1 dx
3t 5x2 +7 5x2 +1

2.60.- ∫ xdx 2.61.- ∫ xdx 3 ∫2.62.- ax + b
x2 − 5 2x2 + a2 x2 + b2 dx

∫2.63.- xdx ∫2.64.- x2dx ∫2.65.- x2dx
a4 − x4 1+ x6
x6 −1

2.66.- ∫ x − arcτ g3x dx 2.67.- ∫ arcs e n t ∫2.68.- arcτ g ( x )
1+ 9x2 4 − 4t2 dt 3 dx

9 + x2

2.69.- ∫ dt ∫2.70.- ae−mxdx ∫2.71.- 42−3x dx

(9 + 9t2 ) η t + 1+ t2

∫2.72.- (et − e−t )dt ∫2.73.- e−(x2 +1) xdx ∫2.74.- (exa − e−xa )2 dx

∫2.75.- a2x −1 ∫2.76.- e1 2.77.- ∫ 5 x dx
dx x x
ax
x2 dx

∫2.78.- x7x2 dx ∫2.79.- etdt ∫2.80.- ex a − bex dx
et −1

∫2.81.- (e x a + 1) 1 e x a dx dx a x dx
3 2x + 1+ a2x
2.82.- ∫
3 ∫2.83.- ;a > 0

∫2.84.- e−bx ∫2.85.- etdt 2.86.- ∫ cos x dx
1− e−2bx dx 1− e2t 2

2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx 2.88.- ∫ cos x dx 2.89.- ∫ s e n( η x) dx
x x

2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax)2 dx 2.91.- ∫ s e n2 xdx 2.92.- ∫ cos2 xdx

39

2.93.- ∫ sec2 (ax + b)dx 2.94.- ∫ cosτ g2axdx ∫2.95.- dxs e n x
a

∫2.96.- dx 2.97.- ∫ dx ∫2.98.- xdx
n(ax cos2 x2
3 cos(5x − π ) s e + b)
4

2.99.- ∫ coτ g a x b dx 2.100.- ∫τ g x dx ∫2.101.- dx τ g x
− x 5

⎛ 1 2 −1⎞⎠⎟2dx 2.103.- ∫ dx 2.104.- ∫ cos ax
∫ ⎝⎜ nx x cos dx
2.102.- s e s e n x s e n5 ax

2.105.- ∫ t s e n(1− 2t2 )dt 2.106.- ∫ s e n 3x dx ∫2.107.- τ g3 x sec2 3xdx
3 + cos 3x 3

∫2.108.- s e n x cos x dx 2.109.- ∫ τ gx dx ∫2.110.- cos x s e n x dx
cos2 x − s e n2 x cos2 x a a

2.111.- ∫ t coτ g(2t2 − 3)dt ∫2.112.- x3dx 2.113.- ∫ s e n3 6x cos 6xdx
x8 + 5

2.114.- ∫ 1+ 3cos2 x s e n 2xdx ∫2.115.- x 5 5 − x2 dx 2.116.- ∫ 1 +se n 3xdx
cos2 3x

2.117.- ∫ (cos ax + s e n ax)2 dx 2.118.- ∫ x3 −1 dx 2.119.- ∫ cos ec2 3xdx
s e n ax x +1 b − a coτ g3x

∫2.120.- x3 −1 dx ∫2.121.- xe−x2 dx ∫2.122.- 3 − 2 + 3x2 dx
x4 − 4x +1 2 + 3x2

2.123.- ∫ τ g3x − coτ g3xdx 2.124.- ∫ dx 2.125.- ∫ 1+ s e n xdx
s e n 3x ex x + cos x

∫2.126.- sec2 xdx 2.127.- ∫ x dx ∫2.128.- asen x cos xdx
η2x
τ g2x − 2

∫2.129.- x2 2.130.- ∫ xdx 2.131.- ∫τ g 2axdx
dx 1− x4

x3 +1

∫2.132.- sec2 xdx ∫2.133.- dx 3 1+ η x dx
cos x a x
4 −τ g2x 2.134.- ∫

2.135.- ∫τ g x −1 dx 2.136.- ∫ s xdx 2.137.- ∫ s e n x − cos xdx
x −1 en x2 s e n x + cos x

∫2.138.- earcτ gx + x η(1+ x2 ) +1 ∫2.139.- x2dx ∫2.140.- esen2 x s e n 2xdx
1+ x2 x2 − 2

(1− s e n x )2 2.142.- ∫ 5 − 3x 2.143.- ∫ ds
∫2.141.- 2 dx dx es +
sen x 1
4 − 3x2
2

2.144.- ∫ dθ es ∫2.146.- s e n( 2π t + ϕ0 )dt
aθ cos ds T
aθ ∫2.145.-
s e n e2s − 2

40

∫2.147.- arc cos x2dx 2.148.- ∫ x(4 dx 2 x) ∫2.149.- e−τ gx sec2xdx
4 − x2 −η

2.150.- ∫ s e n x cos x 2.151.- ∫2.152.- dt
dx
∫ s ecxτ gx s e n2 t cos2 t
2−sen4 x dx

s ec2 x +1

2.153.- ∫ arc sen x+ xdx 2.154.- ∫ xdx ∫2.155.- x(5x2 − 3)7 dx
1− x2 x +1

η(x + x2 +1) 2.157.- ∫ s e n3 x dx 2.158.- ∫ cos xdx
cos x 1+sen2 x
∫2.156.- x2 +1 dx

∫2.159.- (arcs e n x)2 ∫2.150.- ex+ex dx 2.161.- ∫ t(4t +1)7 dt
dx
1− x2

2t 2 −10t + 12dt et − e−t
t2 + 4 et + e−t dt
∫2.162.- ∫2.163.-

RESPUESTAS

∫2.39.- 3x exdx , Sea: u = x, du = dx, a = 3e

∫ ∫(3e)xdx = (a)udu = au + c = (3e)x + c = (3e)x + c = 3x ex + c = 3x ex + c

ηa η(3e) η3 ηe η3 + ηe η3 +1

2.40.- ∫ adx , Sea: u = a − x, du = −dx
a−x

∫ adx = −a∫ du = −a η u +c = −a η a−x +c
a−x u

2.41.- ∫ 4t + 6 dt , Sea: u = 2t +1, du = 2dt; 2t + 3 = 1+ 2
2t + 1 2t +1 2t +1

∫ 4t + 6 dt = 2∫ ⎜⎝⎛1+ 2 ⎠⎟⎞dt = 2∫ dt + 2∫ 2 dt =2∫ dt + 2∫ du =2t + 2 η u +c
2t +1 2t +1 2t +1 u

= 2t + 2 η 2t +1 + c

2.42.- ∫ 1− 3x dx , Sea: u = 3 + 2x, du = 2dx ; 1− 3x =−3+ 11
3+ 2x 2

3+ 2x 2 2x +3

∫ 1 − 3x dx = ∫ ⎛ − 3 + 2 11 3 ⎞ dx = − 3 ∫ dx + 141∫ 2 dx 3 = − 3 ∫ dx + 141∫ du
3 + 2x ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 x+ 2 u

x+

− 3 x + 11 η 2x + 3 + c
24

2.43.- ∫ xdx , Sea: u = a + bx, du = bdx ; x =1− a
a + bx b

a + bx b a + bx

∫ xdx = 1 ∫ dx − a ∫ a dx = 1 ∫ dx − a ∫ du = 1 x − a η u +c= x− a η a + bx + c
a + bx b b + bx b b2 u b b2 b b2

41

ax − b ax − b a αβ +b
αx + β α
2.44.- ∫ dx , Sea: u = α x + β , du = α dx ; = −
ax + b α α x

ax −b ⎛ a αβ + b ⎞ a aβ +αb a aβ + αb dx
αx +β ⎜ α x ⎟ α α dx α α aβ +αb
∫ dx = ∫ ⎜ − α ⎟ dx = ∫ dx − ∫ = ∫ dx − ∫
⎜ α ⎟ αx+β

⎝⎠

= a ∫ dx − aβ +αb ∫ du = a x − aβ +αb η u + c = a x− aβ +αb η x+β +c
α α2 u α α2 α α2

2.45.- ∫ 3t2 + 3 dt , Sea: u = t −1, du = dt ; t2 +1 = t +1+ 2
t −1 t −1 t −1

∫ 3t2 + 3 dt = 3∫ ⎛ t +1+ t 2 ⎟⎠⎞dt = 3∫ tdt + 3∫ dt + 3∫ t 2 dt = 3 t2 + 3t + 6 η u +c
t −1 ⎝⎜ −1 −1 2

= 3 t2 + 3t + 6 η t −1 + c
2

2.46.- ∫ x2 + 5x + 7 dx , Sea: u = t −1, du = t +1; x2 + 5x + 7 = x + 2 + 1
x +3 x+3 x+3

∫ x2 + 5x + 7 dx = ∫ ⎛ x + 2+ 1 ⎞ dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ 1 dx = x2 + 2x + η u +c
x+3 ⎜⎝ + ⎟⎠ +3 2
x 3 x

= x2 + 2x + η u + c = x2 + 2x + η x + 3 + c
22

∫2.47.- x4 + x2 +1 dx , Sea: u = x −1, du = dx ;

x −1

∫ x4 + x2 +1 dx = ∫ ⎛ x3 + x2 + 2x + 2 + 3⎞ dx = ∫ x3dx + ∫ x2dx + 2∫ dx + 3∫ dx
x −1 ⎜⎝ x −1 ⎠⎟ x −1

= x4 + x3 + x2 + 2 + 3 η u + c = x4 + x3 + x2 + 2x + 3 η x −1 + c
43 43

2.48.- ∫ ⎛ a + x b a ⎞2 dx , Sea: u = x − a, du = dx
⎜⎝ − ⎠⎟

b ⎞2 ⎛ 2ab b2 ⎞ dx + b2 dx
− ⎟⎠ ⎜ x−a − a)2 ⎟dx x−a (x − a)2
⎛ + = 2 + + ⎠ = a2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫⎝⎜
a x a dx a (x dx + 2ab

⎝

∫ ∫ ∫= a2 dx + 2ab du + b2 du = a2x + 2ab η u + b2 u−1 + c = a2x + 2ab η x − a − b2 + c 2.
u u2 −1 x−a

49.- ∫ ( x x 2 dx , Sea: u = x +1, du = dx
+ 1)

∫ x dx = ∫ (x +1) −1 dx =∫ ( x +1 2 dx − ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = η u − u−1 + c
(x +1)2 (x +1)2 x +1) (x +1)2 u u2 −1

42

= η x+1 + 1 +c
x +1

2.50.- ∫ bdy , Sea: u = 1− y, du = −dy
1− y

du
∫ ∫ ∫bdy −1 = −2bu 1 + = − 2b(1 − 1
= −b = −b u 2 du 2 c y ) 2 + c

1− y u

2.51.- ∫ a − bxdx , Sea: u = a − bx, du = −bdx

∫ ∫a − bxdx = − 1 u 1 du = − 1 u3 +c=− 2 u3 + c = − 3 (a − bx)32 +c
2 2 2

b b 3 3b 2b
2

2.52.- ∫ xdx , Sea: u = x2 +1, du = 2xdx
x2 +1

∫ ∫ ∫xdx =1 1 u1
du = 1 u−12du = 2 + c =(x2 + 1) 1 + c
2

x2 +1 2 u 2 2 1
2

2.53.- ∫ x + η xdx , Sea: u = η x, du = dx
x x

∫ ∫ ∫ ∫ ∫x + η xdx = x−1/2dx + η x dx = x−1/2dx + udu = x1/2 + u2 + c
xx 1/ 2 2

= 2 x + η2x +c
2

2.54.- ∫ dx 5 , Sea: u2 = 3x2,u = 3x, du = 3dx ; a2 = 5; a = 5
3x2 +

∫ ∫dx = 1 du = 1 1 arctg u + c = 1 1 arctg 3x + c = 15 arctg 3x + c
3x2 + 5 3 u2 + a2 3 a a 35 5 15 5

∫2.55.- x3dx , Sea: u = x2 − a2, du = 2xdx

a2 − x2

a2 xdx = −
x2 − a2
x3dx = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫a2 − x2
xdx − xdx −a2 xdx = − xdx − a2 du
x2 − a2 2 u

= − x2 − a2 η u + c = − x2 − a2 η x2 − a2 + c
22 22

y 2 −5y + 6dy
y2 + 4
∫2.56.- , Sea: u = y2 + 4, du = 2 ydy

∫ y2 −5y + 6dy = ∫ (1+ −5y + 2 = ∫ dy + ∫ −5y + 2 dy =∫ dy − 5∫ ydy + 2∫ dy
y2 + 4 y2 + 4 )dy y2 + 4 y2 + 4 y2 + 22

= y − 5 ηu+2 1 arcτ g y + c = y − 5 2 η y2 + 4 + arcτ g y + c
2 2 2
2

2.57.- ∫ 6t 2−−125dt , Sea: u = 3t2 − 2, du = 6tdt; w = 3t, dw = 3dt
3t

43

∫ ∫ ∫ ∫ ∫36tt2−−125dt = 6 tdt 2 − 15 dt 2 = 6 tdt 2 − 15 ( dt 2)2
3t 2 − 3t2 − 3t2 − 3t )2 − (

= ∫ du − 15 ∫ w2 dw 2)2 = η u − 15 3 1 η w− 2 +c
u 3 −( 3 22 w+ 2

= η 3t2 − 2 − 5 6 η t 3 − 2 + c
4 t 3+ 2

2.58.- ∫ 3− 2x dx , Sea: u = 5x2 + 7, du = 10xdx; w = 5x, dw = 5dx
5x2 +7

∫ 3− 2x dx = 3∫ dx 7 − 2∫ dx 7 = 3∫ ( dx 7 )2 −2 ∫ du
5x2 +7 5x2 + 5x2 + 5x)2 + ( 10 u

= 3 ∫ w2 dw 7)2 − 1 ∫ du = 3 1 arcτ g x 5 − 1 η u +c
5 +( 5 u 5 7 75

= 3 35 arcτ gx 5 − 1 η 5x2 + 7 + c
35 7 5

2.59.- ∫ 3x +1 dx , Sea: u = 5x2 +1, du = 10xdx; w = x 5, dw = 5dx
5x2 +1

3x +1 dx = 3 xdx + dx = 3 xdx + dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫5x2 +1
5x2 +1 (x 5)2 +12 5x2 +1 (x 5)2 +12

= 3 ∫ du + 1 ∫ dw = 3 u1 + 1 η w+ w2 +1 + c
10 u 5 2

w2 +12 10 1 5
2

= 3 5x2 +1 + 1 η x 5 + 5x2 +1 + c
55

2.60.- ∫ xdx , Sea: u = x2 + 5, du = 2xdx
x2 − 5

∫ xdx = 1 ∫ du = 1 η u +c= 1 η x2 − 5 + c
x2 − 5 2 u 2 2

2.61.- ∫ xdx 3 , Sea: u = 2x2 + 3, du = 4xdx
2x2 +

∫ xdx 3 = 1 ∫ du = 1 η u +c= 1 η 2x2 + 3 + c
2x2 + 4 u 4 4

∫2.62.- ax + b dx , Sea: u = a2 x2 + b2 , du = 2a2 xdx; w = ax, dw = adx
a2x2 + b2

ax + b

∫ ∫ ∫ ∫ ∫a2x2 + b2
dx = a xdx + b dx = a du + b dw
a2x2 + b2 a2 x2 + b2 2a2 ua w2 + b2

= 1 η u + b 1 arcτ g w + c = 1 η a2x2 + b2 + 1 arcτ g ax + c
2 ab b 2 ab

44

∫2.63.- xdx , Sea: u = x2 , du = 2xdx
a4 − x4

xdx = 1 du 1
( a2 )2 − ( x2 )2 2 a2 )2 − u2 2
∫ ∫ ∫xdx = = arcs e n u +c
a4 − x4 a2
(

= 1 arcs e n x2 + c Sea: u = x3, du = 3x2dx
2 a2

∫2.64.- x2dx ,

1+ x6

∫ ∫ ∫x2dx = x2dx = 1 du = 1 arcτ g u + c = 1 arcτ gx3 + c
1+ x6 1+ (x3)2 3 1+ u2 3 3

∫2.65.- x2dx , Sea: u = x3, du = 3x2dx
x6 −1

∫ ∫ ∫x2dx =

x6 −1
x2dx = 1 du = 1 η u + u2 −1 + c = 1 η x3 + x6 −1 + c
(x3)2 −1 3 u2 −1 3 3

2.66.- ∫ x − arcτ g3x dx , Sea: u = 1+ 9x2, du = 18xdx; w = arcτ g3x, dw = 3dx
1+ 9x2 1+ 9x2

x − arcτ g3x ∫ ∫arcτ g3x
1+ 9x2 dx dx
∫ = ∫ xdx − ∫ = 1 du − 1 w12dw
1+ 9x2
1+ 9x2 18 u 3

=1 η u − 1 w3 +c= 1 η 1+ 9x2 − 2(arcτ g3x)32 + c
2

18 3 3 18 9
2

2.67.- ∫ arcs en t dt , Sea: u = arcs e n t, du = dt
4− 4t 2 1−t2

∫ ∫ ∫ ∫arcs udu = 1 u3
2
4−
ent dt = 1 arcs e n t dt = 1 arcs e n t dt = 1 + c = 1 u3 + c
4t 2 2 1−t2 2 2
1− t2 2 23 3
2

= 1 (arcs e n t)3 + c
3

∫2.68.- arcτ g ( x ) , Sea: u = arcτ g x , du = 3dx
3 dx 3 9 + x2

9 + x2

∫ ∫arcτ g ( x )dx = 1 udu = 1 u2 + c = 1 u2 + c = arcτ g ( x )2 + c
3 3 3

9 + x2 32 6 6

∫2.69.- dt , Sea: u = η t + 1+ t2 , du = dt
1+ t2
(9 + 9t2 ) η t + 1+ t2

∫ ∫= 1 dt =1 du = 1 u1 +c= 2 u +c= 2 η t + 1+t2 + c
2

3 (1+ t2 ) η t + 1+ t2 3 u 3 1 3 3
2

45

∫2.70.- ae−mxdx , Sea: u = −mx, du = −mdx

∫ ∫ ∫ae−mxdx = a e−mxdx = − a eudu = − a eu + c = − a e−mx + c
m mm

∫2.71.- 42−3x dx , Sea: u = 2 − 3x, du = −3dx; a = 4

∫ ∫42−3x dx = − 1 audu = − 1 au + c = − 42−3x + c
3 3 ηa 3 η4

∫2.72.- (et − e−t )dt , Sea: u = −t, du = −dt

∫ ∫ ∫ ∫ ∫(et − e−t )dt = etdt − e−tdt = etdt − eudt = et + eu + c = et + e−t + c

∫2.73.- e−(x2 +1) xdx , Sea: u = −x2 −1, du = −2xdx

e−x2 −1xdx = − 1 1 1 1
2 2 2 2ex2 +1
∫ ∫ ∫e−(x2 +1) xdx = eu du = − eu + c = − e−( x2 +1) + c = − + c

∫2.74.- (exa − e−xa )2 dx , Sea: u = 2x , du = 2dx ; w = − 2x , dw = − 2dx
aa a a

2e ex e−2 xa )dx e2xadx + 2 dx + e−2xadx
a
∫ ∫ ∫ ∫ ∫(exa − e−xa )2 dx =(e2 x + −xa + =
a

eudu + 2 dx − a a a
∫ ∫ ∫= a ewdw = eu + 2x − a ew + c = 2x + 2x − a e− 2x + c
a
ea
2 2 2 22 2

∫2.75.- a2x −1dx , Sea: u = − x , du = − dx ;w = 3x , dw = 3dx
2 2 2 2
ax

a2x −1dx = a2xdx −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ax ax
dx = a2x−x2 dx − a−x2dx = a3x2dx − a−x2dx
ax

∫ ∫= 2 audu = 2 aw au +c= 2 a3x a−x 2 a3x + a−x2 ) + c
awdw + 2 +2 2 + 2 2 +c= 2

3 ηa ηa 3 ηa ηa (
3 ηa 3

e 1 1 dx
x x x2

∫2.76.- x2 dx , Sea: u = , du = −

∫ ∫e1dx= − eudu = −eu + c = −e1x + c = − x e + c
x
x2

2.77.- ∫ 5 x dx , Sea: u = x, du = dx
x 2x

∫ ∫5 x dx = 2 5u du = 2× 5u + c = 2× 5 x + c

x η5 η5

∫2.78.- x7x2 dx , Sea: u = x2 , du = 2xdx

∫ ∫x7x2 dx = 1 7udu = 1 7u + c = 1 7x2 + c

2 2 η7 2 η7

∫2.79.- etdt , Sea: u = et −1, du = etdt

et −1

46

∫ ∫etdt = du = η u + c = η et −1 + c

et −1 u

∫2.80.- ex a − bex dx , Sea: u = a − bex , du = −bexdx

∫ ∫ex a − bex dx = − 1 1 u 3 2 u3 2 (a − bex )32
2 2
b
udu = − b 3 +c=− 3b +c=− 3b +c
2

∫2.81.- (e x a + 1) 1 e x a dx , Sea: u = exa+1, du = ex dx
3 a

a

∫ ∫ ∫(exa ex au 43 3a(e x a + 1) 4 3
+ 1) 1 e x a dx = 3 a + 1e x a dx = a u 1 du = +c = +c
3 3

44
3

2.82.- ∫ dx 3 , Sea: u = 2x + 3, du = 2x η 2dx
2x +

3dx = 1 2x + 3− 2x 1 2x + 3dx 1 2x 1 dx − 1
2x + 3 3 2x + 3 3 2x + 3 3 2x + 3 3
dx = 1 dx = − dx = du
3 u
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2x + 3 3

=1x−1 η u +c=1x− 1 η u +c=1x− η 2x + 3
3 3 η2 +c
33 3 3 η2

∫2.83.- axdx , Sea: u = ax , du = ax ηadx; a > 0

1+ a2x

axdx =
1+ (ax )2
∫ ∫ ∫axdx = 1 du = 1 arcτ gu + c = 1 arcτ gax + c
ηa 1+ u2 ηa ηa
1+ a2x

∫2.84.- e−bx dx , Sea: u = e−bx , du = −be−bxdx
1 − e−2bx

e−bx
1− (e−bx )2
∫ ∫ ∫ ∫e−bx 1 du = 1 η u −1 + c
b (−1)(u2 −1) 2b u +1
1 − e−2bx
dx = dx = − du = − 1
1−u2 b

=1 η e−bx −1 +c.
2b e−bx + 1

∫2.85.- etdt , Sea: u = et , du = etdt
du = arcs e n u + c = arcs e n et + c
1− e2t 1− u2

et dt =
1− (et )2
∫ ∫ ∫etdt =

1− e2t

2.86.- ∫ cos x dx , Sea: u = x , du = dx
2 22

∫ cos x dx = 2∫ cos udu = 2senu+c = 2sen x +c
2 2

2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx , Sea: u = a + bx, du = bdx

∫ s e n(a + bx)dx = 1 ∫ s e n udu = − 1 cos u + c = − 1 cos(a + bx) + c
b b b

47

2.88.- ∫ cos x dx , Sea: u = x, du = dx
x 2x

∫ cos x dx = 2∫ cos udu = 2senu +c =2se n x +c
x

2.89.- ∫ s e n( η x) dx , Sea: u = η x, du = dx
x x

∫ s e n( η x) dx = ∫ s e n udu = − cos u + c = − cos ηx+c
x

2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax)2 dx , Sea: u = 2ax, du = 2adx

∫ ∫(cos ax + s e n ax)2 dx = (cos2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n2 ax)dx

= ∫ (1+ 2 cos ax s e n ax)dx = ∫ dx + 2∫ cos ax s e n axdx =∫ dx + ∫ s e n 2axdx

= x − 1 cos 2ax + c Sea: u = 2x, du = 2dx
2a

2.91.- ∫ s e n2 xdx ,

∫ s e n2 xdx = ∫ 1 − cos 2 xdx = 1 ∫ dx − 1 ∫ cos 2 xdx = 1 ∫ dx − 1 ∫ cos udu = 1 x − 1 s e n u + c
2 2 2 2 4 2 4

= 1 x − 1 sen 2x + c
24

2.92.- ∫ cos2 xdx , Sea: u = 2x, du = 2dx

∫ cos2 xdx = ∫ 1+ cos 2xdx = 1 ∫ dx + 1 ∫ cos 2xdx = 1 ∫ dx + 1 ∫ cos udu = 1 x + 1 s e n u + c
2 2 2 2 4 2 4

= 1 x + 1 sen 2x + c
24

2.93.- ∫ sec2 (ax + b)dx , Sea: u = ax + b, du = adx

∫ sec2 (ax + b)dx = 1 ∫ sec2 udu = 1τ gu + c = 1τ g (ax + b) = +c
a a a

2.94.- ∫ coτ g 2axdx , Sea: u = ax, du = adx

∫ coτ g 2axdx = 1 ∫ coτ g 2udu = 1 ∫ (cos ec2u −1)du = 1 ∫ cos ec2udu − 1 ∫ du
a a a a

= − coτ gu − u + c = − coτ gax − a x + c = − coτ gax − x + c
aa aa a

∫2.95.- dx , s e n x Sea: u = x a , du = dx
a a

∫ ∫ ∫dx =senx cos ec x dx = a cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c
a a

=a η cos ec x a − coτ g x +c
a

48

∫2.96.- dx , Sea: u = 5x − π 4 , du = 5dx
3 cos(5 x − π )
4

∫ ∫ ∫dx = 1 − π = 1 sec udu = 1 η sec u +τ gu + c
3 cos(5x − π ) 3 sec(5 x 4 )dx 15 15
4

=1 η sec(5x − π ) +τ g (5 x − π ) + c
15 4 4

2.97.- ∫ s e dx + b) , Sea: u = ax + b, du = adx
n(ax

∫ s e dx + b) = ∫ cos ec(ax + b)dx = 1 ∫ cos ecudu = 1 η cos ecu − coτ gu + c
n(ax a a

= 1 η cos ec(ax + b) − coτ g(ax + b) + c
a

∫2.98.- xdx , Sea: u = x2 , du = 2xdx
cos2 x2

x sec2 x2dx = 1 sec2 udu = 1 τ gu + c = 1 τ gx2 + c
2 22
∫ ∫ ∫xdx =
cos2 x2

2.99.- ∫ coτ g a x b dx , Sea: u = x , du = dx
− a−b a−b

∫ coτ g x dx = (a − b)∫ coτ gudu = (a − b) η senu +c = (a − b) η sen x +c
a−b a−b

2.100.- ∫τ g x dx , Sea: u = x, du = dx
x 2x

∫τ g x dx = 2∫τ gudu = 2 η sec u +c = 2 η sec x +c
x

∫2.101.- dx , τ g x Sea: u = x 5 , du = dx 5
5

∫ dxτ g x = ∫ coτ g ∫x dx = 5 coτ gudu =5 η senu +c = 5 η sen x +c
5 5
5

2.102.- ∫ ⎛ s e 1 2 −1⎟⎞⎠2dx , Sea: u = x 2, du = 2dx
⎜⎝ nx

∫ ⎛ s e 1 2 − ⎞2 dx = ∫ (cos ecx ∫2 −1)2 dx = (cos ec2 x 2 − 2 cos ecx 2 +1)dx
⎝⎜ nx 1⎟⎠

= ∫ cos ec2x 2dx − 2∫ cos ecx 2dx + ∫ dx = 1 ∫ cos ec2udu − 2 ∫ cos ecudu + ∫ dx
2 2

= − 1 coτ gu − 2 η cos ecu − coτ gu + x + c
2

= − 1 coτ gx 2 − 2 η cos ecx 2 − coτ gx 2 + x + c
2

49

2.103.- ∫ s e n dx x , Sea: u = 2x, du = 2dx
x cos

∫ dx = ∫ dx = 2∫ cos ec2xdx =∫ cos ecudu = η cos ecu − coτ gu + c
s e n x cos
x 1 s e n 2 x
2

= η cos ec2x − coτ g2x + c

2.104.- ∫ cos ax , Sea: u = s e n ax, du = a cos axdx
dx
s e n 5 ax

∫ ∫cos ax dx = 1 du = 1 u−4 + c = − u−4 + c = − s e n−4 ax + c = − 1 + c
s e n5 ax a u5 a −4 4a 4a 4a s e n4 ax

2.105.- ∫ t s e n(1− 2t2 )dt , Sea: u = 1− 2t2, du = −4tdt

∫t s e n(1− 2t2 )dt = − 1 ∫ sen udu = 1 cos u + c = 1 cos(1 − 2t 2 ) + c
4 4 4

2.106.- ∫ s e n 3x dx , Sea: u = 3 + cos 3x, du = −3s e n 3xdx
3 + cos 3x

∫ s e n 3x dx = − 1 ∫ du = − 1 η u +c=−1 η 3 + cos 3x + c
3 + cos 3x 3 u 3 3

∫2.107.- τ g3 x sec2 x dx , Sea: u =τ g(x 3), du = 1 sec2 (x 3)dx
3 3 3

g3 sec2 u3du = 3u4 + c = 3τ g 4 (x3) + c
∫ ∫τ x x dx = 3 44
3 3

∫2.108.- s e n x cos x dx , Sea: u = cos 2x, du = 2s e n 2xdx

cos2 x − s e n2 x

dx = s e n x cos xdx = 1 sen 2x = 1 u1 u1
∫ ∫ ∫ ∫s e n x cos x du = 1 2 +c= 2 +c

cos2 x − s e n2 x cos 2x 4 cos 2x 4 u 4 1 2
2

= cos 2x + c
2

2.109.- ∫ τ gx dx , Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx
cos2 x

∫ ∫ ∫τ gx dx = u 12du u3 2 u32 2τ g 32x + c
τ gx sec2 xdx = = 2 +c = +c =

cos2 x 33 3
2

∫2.110.- cos x s e n x dx , Sea: u = 2x a , du = 2dx
a a

∫ ∫ ∫cos x s e n x dx = 1 s e n 2x dx = a s e n udu = − a cos u + c = − a cos 2x + c
a a 2 a 4 4 4 a

2.111.- ∫ t coτ g(2t2 − 3)dt , Sea: u = 2t3 − 3, du = 4tdt

∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt = 1 ∫ coτ gudu = 1 η senu +c = 1 η s e n(2t2 − 3) + c
4 4 4

50

∫2.112.- x3dx , Sea: u = x4 , du = 4x3dx

x8 + 5

x3dx = 1
(x4)2 + ( 5)2 4
∫ ∫ ∫x3dx = du = 1 1 arcτ g u + c = 5 arcτ g x4 + c
x8 + 5 u2 + ( 5)2 4 5 5 20 5

2.113.- ∫ s e n3 6x cos 6xdx , Sea: u = s e n 6x, du = 6 cos 6xdx

∫ ∫s e n3 6x cos 6xdx = 1 u3du = 1 u4 + c = u4 + c = s e n4 6x + c

6 6 4 24 24

2.114.- ∫ 1+ 3cos2 x s e n 2xdx , Sea: u = 5 + 3cos 2x , du = −3s e n 2xdx
2

∫ 1+ 3cos2 x s e n 2xdx = ∫ 1 + 3(1 + cos 2x ) s e n 2xdx = ∫ 1+ 3 + 3cos 2x s e n 2xdx
2 2

5 + 3cos 2x s e n 2xdx = − 1 1 =−1 u3 2 3
∫ ∫= u 2 du 2 +c = − u 2 +c

2 3 33 9
2

2 ⎛ 5 + 3 cos 2x ⎞ 3 2
9 ⎝⎜ 2 ⎠⎟
= − + c

∫2.115.- x 5 5 − x2 dx , Sea: u = 5 − x2, du = −2xdx

∫ ∫x 5 5 − x2 dx = − 1 u 1 du = −1 u6 +c = − 5 u6 +c = − 5(5 − x2 )65 +c
5 5 5

2 2 6 12 12
5

2.116.- ∫ 1 +se n 3xdx , Sea: u = s e n 3x, du = 3dx; w = cos u, dw = − s e n udu
cos2 3x

∫ 1+ s e n 3xdx = ∫ dx + ∫ sen 3x dx = 1 ∫ s ec2udu + 1 ∫ sen u du
cos2 3x cos2 3x cos2 3x 3 3 cos2 u

= 1 ∫ s ec2udu − 1 ∫ dw = 1τ gu + 1 + c = 1τ gu + 1 u + c = 1τ g3x + 1 3x + c
3 3 w2 3 3w 3 3 cos 3 3 cos

2.117.- ∫ (cos ax + s e n ax)2 dx , Sea: u = ax, du = adx
s e n ax

∫ ∫(cos ax + s e n ax)2 dx = cos2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n2 ax dx
s e n ax s e n ax

= ∫ cos2 ax dx + 2∫ cos ax s e n ax dx + ∫ s e n2 ax dx
s e n ax s e n ax s e n ax

= ∫ 1 − s e n2 ax + 2∫ cos axdx + ∫ s e n axdx
dx

s e n ax

= ∫ s dx + 2∫ cos axdx
e n ax

= ∫ cos ecaxdx + 2∫ cos axdx = 1 ∫ cos ecudu + 2 ∫ cos udu
a a

51

= 1 η cos ecu − coτ gu + 2 s e n u + c = 1 η cos ecax − coτ gax + 2 s e n ax + c
a aa a

2.118.- ∫ x3 −1 dx , Sea: u = x +1, du = dx
x +1

∫ x3 −1 dx = ∫ (x2 − x +1− x 2 )dx = ∫ x2dx − ∫ xdx + ∫ dx − ∫ x 2 dx
x +1 +1 +1

= ∫ x2dx − ∫ xdx + ∫ dx − 2∫ du = x3 − x2 + x−2 η x +1 +c
u 3 2

2.119.- ∫ cos ec2 3xdx , Sea: u = b − a coτ g3x, du = 3a cos ec23xdx
b − a coτ g3x

∫ cos ec2 3xdx = 1 ∫ du = 1 η u +c= 1 η b − a coτ g3x + c
b − a coτ g3x 3a u 3a 3a

∫2.120.- x 4 x3 −1 1 dx , Sea: u = x4 − 4x +1, du = (4x3 − 4)dx
− 4x +

x3 −1 1 (4x3 − 4)dx = 1 du = 1 η u + c = 1 η x4 − 4x +1 + c
− 4x +1 4 x4 − 4x +1 4
∫ ∫ ∫x4 dx = u4 4

∫2.121.- xe−x2 dx , Sea: u = −x2, du = −2xdx

∫ ∫xe−x2 dx = − 1 eudu = − 1 eu + c = − 1 e−x2 + c
2 22

3 − 2 + 3x 2
2 + 3x2
∫2.122.- dx , Sea: u = x 3, du = 3dx; a = 2

∫ ∫ ∫3 − 2 + 3x2 dx = 3 dx − (2 + 3x2 )12
dx
2 + 3x2 ( 2)2 + ( 3x)2 2 + 3x2

1 2

3 3dx (2 + 3x2) dx = 3 3dx 2 −1
∫ ∫ ∫ ∫3 ( 2)2 + ( 3x)2 − − (2 + 3 x ) 2 dx

2 + 3x2 3 ( 2)2 + ( 3x)2

=3 du 3x2 )−1 du − dx
2 ( 2)2 + (x 3)2
∫ ∫ ∫ ∫3 (a)2 + (u)2 − (2 + dx = 3
(a)2 + (u)2

du − 1 du = 3 arcτ g u − 1 η u + a2 + u2 + c
(a)2 + (u)2 3
∫ ∫= 3 a2 + u2 a a3

= 3 arcτ g x 3 − 3 η x 3 + 2 + 3 + x2 + c
2 23

2.123.- ∫ τ g3x − coτ g3xdx , Sea: u = 3x, du = 3dx; w = s e n u, dw = cos udu
s e n 3x

∫ τ g3x − coτ g3xdx = ∫ se n 3x − cos 3x dx = ∫ dx − ∫ sceons233xxdx
s e n 3x n cos 3x
cos 3x s e n 3x
se 3x

52

= ∫ sec 3xdx − ∫ cos 3x dx = 1 ∫ sec udu − 1 ∫ cos u du = 1 ∫ sec udu − 1 ∫ dw
s e n2 3x 3 3 sen2 u 3 3 w2

= 1 η sec u +τ gu − 1 w−1 + c = 1 η sec 3x +τ g3x + 1 + c
3 3 −1 3 3se n 3x

2.124.- ∫ dx , Sea: u = − x , du = − dx
ex 22

dx −2 −2 + c
∫ ∫ ∫ ∫dx = −2e− x2 ex ex

ex 2
(e x ) 1 = e−x2dx = −2 eu du = −2eu + c = + c = + c =
2

2.125.- ∫ 1+ s e n xdx , Sea: u = x + cos x, du = (1− s e n x)dx
x + cos x

∫ 1+ s e n xdx = ∫ du = η u +c= η x + cos x + c
x + cos x u

∫2.126.- sec2 xdx , Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx

τ g2x − 2

∫ ∫sec2 xdx = du = η u + u2 − 2 + c = η τ gx + τ gx2 − 2 + c
τ g2x − 2 u2 − 2

2.127.- ∫ x dx x , Sea: u = η x, du = dx
η2 2

∫ ∫ ∫dx = du u −1 1 1 +c
u2 −1 u ηx
x η2x
dx = = + c = − + c = −
x( η x)2

∫2.128.- asen x cos xdx , Sea: u = s e n x, du = cos xdx

∫ ∫asen x cos xdx = audu = au + c = asen x + c

ηa ηa

∫2.129.- x2 dx , Sea: u = x3 +1, du = 3x2dx
x3 +1

∫ ∫ ∫x2dx = u2 u2 (x2 +1)23 (x2 + 1)2
3 3
x3 +1
x2dx = 1 du = 1 2 3

(x3 + 1 u1 +c= +c = +c= 2 +c
1) 3 3 3 3 22

3

2.130.- ∫ xdx , Sea: u = x2 , du = 2xdx
1− x4

∫ ∫ ∫ ∫xdx = xdx = 1 2xdx = 1 2xdx = 1 arcs e n u + c
1− x4 1− (x2 )2 2 1− (x2 )2 2 1− (u)2 2

= 1 arcs e n x2 + c Sea: u = ax, du = adx
2

2.131.- ∫τ g2axdx ,

53

∫τ g 2axdx = ∫ (sec2 ax −1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx = 1 ∫ sec2 udu − ∫ dx = 1 τ gu − x + c
a a

= 1 τ gax − x + c
a

∫2.132.- sec2 xdx , Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx

4 −τ g2x

∫ ∫sec2 xdx = du = arcs e n u + c = arcs e n τ gx + c 2 2
4 −τ g2x 22 − u2

∫2.133.- dx , Sea: u = x a , du = dx a

cos x a

∫ ∫ ∫dx = secudu = a η sec u +τ gu + c = a η +τ +

cos x a
sec x a dx = a sec x g x c
a a

3 1+ η x dx Sea: u = 1+ η x, du = dx
x x
2.134.- ∫ ,

η x dx = u4 3u 43 η x)43 + c
∫ ∫3 1+ u 1 du = 3 +c = +c = 3(1 +
3

x 4 4 4
3

2.135.- ∫τ g x −1 dx , Sea: u = x −1, du = dx
x −1 2 x −1

∫τ g x −1 dx = 2∫τ gu du = 2 η sec x −1 + c = −2 η cos x −1 + c
x −1 u

2.136.- ∫ xdx , Sea: u = x2 , du = 2xdx
sen x2

∫ xdx = 1 ∫ du = 1 ∫ cos ecudu = 1 η cos ecu − coτ gu + c
sen x2 2 senu 2 2

= 1 η cos ecx2 − coτ gx2 + c
2

2.137.- ∫ s e n x − cos xdx , Sea: u = s e n x + cos x, du = (cos x − s e n x)dx
s e n x + cos x

∫ s e n x − cos xdx = −∫ du = − η s e n x + cos x +c
s e n x + cos x u

earcτ gx + x η(1+ x2 ) +1 dx η(1+ x2 )d, dw = 2xdx
1+ x2 1+ x2 1+ x2
∫2.138.- , Sea: u = arcτ gx, du = ; w =

earcτ gx + x η (1+ x2 ) +1 = earcτ gxdx + x η (1+ x2 )dx + dx
∫ ∫ ∫ ∫1+ x2
1+ x2 1+ x2 1+ x2

eudu + 1 dx = eu 1 w2 + arcτ gx + c eu η 2 (1+ x2 ) + arcτ gx + c
2 1+ x2 2 2 4
∫ ∫ ∫= + +
wdw + =

∫2.139.- x2dx ,

x2 − 2

54

∫ x2dx = ∫ (1 + 2 )dx = ∫ dx + 2∫ dx = x + 2 1 η x− 2 +c
x2 − 2 − x2 − x+ 2
x2 2 2 2 2

= x+ 2 η x− 2 +c
2 x+ 2

∫2.140.- esen2 x s e n 2xdx , Sea: u = 1− cos 2x , du = s e n 2xdx
2

1−cos 2 x

∫ ∫ ∫esen2 x s e n 2xdx = e 2 s e n 2xdx = eudu = eu + c = esen2 x + c

(1− s e n x )2 Sea: u = x , du = dx
∫2.141.- 2 dx , 22
sen x
2

(1− s e n x )2 ⎛1− 2sen x +sen2 x ⎞
∫ ∫2 2 ∫ ∫ ∫2 ⎟⎟⎠ dx =
dx = ⎝⎜⎜ cos ec x dx − 2 dx + s e n x dx
sen x sen x 2 2
2 2

= 2 ∫ cos ecudu − 2∫ dx + 2∫ s e n udu = 2 η cos ecu − coτ gu − 2x − 2 cos u + c

= 2 η cos ec x − coτ g x − 2x − 2 cos x + c
22 2

2.142.- ∫ 5 − 3x dx , Sea: u = x 3, du = 3dx; w = 4 − 3x2, dw = −6xdx
4 − 3x2

∫ 5 − 3x dx = 5∫ dx − 3∫ xdx = 5∫ dx − 3∫ xdx
4 − 3x2 4 − 3x2 4 − 3x2 4 − 3x2
4 − (x 3)2

∫ ∫= 5 du +3 dw = 5 arcs e n u + 1 w1 +c = 5 3 arcs e n x 3+ 4 − 3x2 + c
2
3
22 − u2 6 w 3 2 2 1 3 2
2

2.143.- ∫ ds 1 , Sea: u = 1+ e−s , du = −e−sds
es +

e − s ds
e−s +1
∫ ∫ ∫ds = = − du = − η u + c = − η e−s +1 + c
u
es +1

2.144.- ∫ s en dθ aθ , Sea: u = 2aθ , du = 2adθ
aθ cos

∫ dθ = ∫ dθ = 2∫ cos ec2aθ dθ = 2 ∫ cos ecudu
aθ cos 2a
s e n aθ 1 s e n 2aθ
2

= 1 η cos ecu − coτ gu + c = 1 η cos ec2aθ − coτ g2aθ + c
aa

∫2.145.- es ds , Sea: u = es , du = esds

e2s − 2

∫ ∫ ∫es ds =

e2s − 2
es ds = − du = η u + u2 − 2 + c
(es )2 − 2 u2 − 2

= η es + (es )2 − 2 + c = η es + e2s − 2 + c

55

∫2.146.- s e n( 2π t + ϕ0 )dt , Sea: u = 2π t + ϕ0 , du = 2π t dt
T T T

2π + ϕ0 )dt T T T cos( 2π t + ϕ0 )
∫ ∫se n( T t = 2π s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π T + c

∫2.147.- arc cos x2dx , Sea: u = arc cos x , du = − dx
2 4 − x2
4 − x2

∫ ∫arc cos x2dx = − udu = − u2 + c = − (arc cos x2)2 + c
4 − x2 22

2.148.- ∫ x(4 dx x) , Sea: u = η x, du = dx
− η2 x

∫ ∫ ∫dx = du = 1 η 2+u +c= 1 η 2+ ηx +c
22 − u2 4 2−u 4 2− ηx
x(4 − η2x)
dx =
x ⎣⎡22 − ( η x)2 ⎤⎦

∫2.149.- e−τ gx sec2xdx , Sea: u = −τ gx, du = − sec2 xdx

∫ ∫e−τ gx sec2 xdx = − eudu = −eu + c = −e−τ gx + c

2.150.- ∫ s e n x cos x dx , Sea: u = s e n2 x, du = 2s e n x cos xdx
2−sen4 x

∫ ∫ ∫s e n x cos x dx = s e n x cos x dx = 1 du = 1 arcs e n u + c
2−sen4 x 2 − (s e n2 x)2 2 2−u2 2 2

= 1 arcs e n (s e n2 x) + c
22

2.151.- ∫ s ecxτ gx dx , Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx
s ec2 x +1

∫ ∫s ecxτ gx dx = du = η u + u2 +1 + c = η s ecx + s ec2x +1 + c
s ec2 x +1 u2 +1

∫2.152.- dt , Sea: u = 2t, du = 2dt
s e n2 t cos2 t

∫ dt = ∫ dt =∫ dt = 4∫ s e dt 2t = 4∫ cos ec2 2tdt
(s e n t cos t)2 ( 12 s e n 2t)2 n2
s e n2 t cos2 t

= 2∫ cos ec2udu = −2 coτ gu + c = −2 coτ g2t + c

2.153.- ∫ arc sen x+ x dx ,
1− x2

Sea: u = arcs e n x, du = dx ; w = 1− x2, dw = −2xdx
1− x2

arc sen x+ arc s e n x udu − 1 udu − 1
1− x2 x 1− x2 ∫ ∫ ∫ ∫x
∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = dw = w−1 dw
1− x2 2w 2 2

56

= u2 − 1 w1 +c = (arcs e n x)2 − 1− x2 + c
2

2 2 1 2
2

2.154.- ∫ xdx , Sea: t = x +1 ⇒ x = t2 −1; dx = 2tdt
x +1

(t2 −1)2tdt = 2 t3 2 (x +1)3 − 2
∫ ∫ ∫xdx = (t 2 −1)dt = 2( − t) + c = x +1 + c
x +1 t 33

∫2.155.- x(5x2 − 3)7 dx , Sea: u = 5x2 − 3, du = 10xdx

∫ ∫x(5x2 − 3)7 dx = 1 u7du = 1 u8 + c = u8 + c = (5x2 − 3)8 + c

10 10 8 80 80

∫2.156.- η(x + x2 +1) dx , Sea: u = η(x + x2 +1), du = dx
x2 +1 x2 +1

η(x + x2 +1) dx = u3
x2 +1 2
∫ ∫ ∫η(x + x2 +1)dx = udu = +c
x2 +1 3
2

⎡ x2 ⎤ 3
⎣ ⎦
2 η(x + + 1)
=
3 +c

2.157.- ∫ s e n3 x dx , Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
cos x

∫ s e n3 x dx = ∫ s e n2 xsen xdx = ∫ (1 − cos2 x) s e n xdx = ∫ s e n xdx − ∫ cos2 xsen xdx
cos x cos x cos x cos x cos x

−1 cos32 x s e n xdx = − 1 u 32du u 3 u5
2 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫=cos − + = − + +c
xsen xdx u du 35

22

= − 2u 32 + 2u 52 + c = − 2 cos x32 + 2 cos x52 + c = − 2 cos3 x + 2 cos5 x + c
35 35 35

2.158.- ∫ cos xdx ,
1+sen2 x

Sea: t = 1+ s e n2 x ⇒ s e n2 x = t2 −1; 2s e n x cos xdx = 2tdt
t

∫ ∫ ∫cos xdx = t2 −1 = dt = η 1+ s e n2 x + s e n x + ct
1+sen2 x t2 −1

∫2.159.- (arcs e n x)2 dx , Sea: u = arcs e n x, du = dx
1− x2 1− x2

∫ ∫(arcs e n x)2 dx = u2du = u3 + c = (arcs e n x)3 + c
1− x2 33

∫2.150.- ex+ex dx , Sea: u = eex , du = eex exdx

57

∫ ∫ ∫ex+ex dx = exeex dx = du = u + c = eex + c

2.161.- ∫ t(4t +1)7 dt , Sea: u = 4t +1 ⇒ t = u −1, du = 4dt
4

∫ ∫ ∫ ∫t(4t +1)7 dt = u −1u7 du = 1 (u −1)u7du = 1 (u8 − u7 )du = 1 u9 − 1 u8 + c

4 4 16 16 16 9 16 8

= (4t +1)9 − (4t +1)8 + c
144 128

2t 2 −10t + 12dt
t2 + 4
∫2.162.- , Sea: u = t2 + 4, du = du = 2tdt

∫ 2t 2 −10t +12 = 2∫ t2 − 5t + 6dt = 2∫ ⎝⎜⎛1 + 2 − 5t ⎞ dt = 2∫ dt + 4∫ dt −10∫ dt
t2 + 4 dt t2 + 4 t2 + 4 ⎟⎠ 2+ t2 +
t 4 4

∫ ∫ ∫= 2 dt −5 du = 2t + 2 arcτ g − η + c = 2t + 2 arcτ g − η t2 +4 +c
dt + 4 t 2+ 4 u t 5 u t 5
2 2

∫2.163.- et − e−t dt ,
et + e−t

Sea: u = e2t +1, du = 2e2tdt; w = 1+ e−2t , dw = −2e−2t dt

e−t et dt e−t dt e2t dt − e−2t dt
e−t et + e−t et + e−t e2t +1 1+ e−2t
et−
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫et
dt = − = =1 du + 1 dw
2 u2 w

= 1 ( η u + η w ) + c = 1 η uw + c = 1 η(e2t +1)(1+ e−2t ) + c
2 22

58