ระบบจํานวนเต็ม >จํานวนเต็ม จํานวนที่ประกอบไปด้วยจํานวนเต็มบวก ศูนย์เเละ จํานวนเต็มลบ •จํานวนเต็มลบ ได้เเก่ 0 •จํานวนเต็มลบ คืิอจํานวนที่น้อยกว่า 0 ทางซ้ายบนเส้นจํานวน •จํานวนเต็มลบ คือจํานวนที่มากกว่า 0 ทางขวาบนเส้นจํานวน >การบวก ลบ คูณ เเละ หารจํานวนเต็ม >ค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็ม(เขียนเเทนได้ด้วยสัญลักษณ์ |…|)หาได้จากระยะที่จํานวนนั้นอยู่ห่าง จากศูนย์บนเส้นจํานวน ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็ม(ไม่ว่าจะ+หรือ- จะเป็นบวกเสมอ **ยกเว้นค่าสัมบรูณ์ของศูนย์=ศูนย์ 1. การบวกํานวนเต็มบวก(ด้วยจํานวนเต็มบวก) •ค่าสัมบูรณ์บวกกัน •คําตอบเป็นจํานวนเต็มบวก •สลับที่กันได้ 2. บวกจํานวนเต็มลบด้วยจํานวนเต็มลบ •นําค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน •ตอบเป็นตัวเลขลบ 3. บวกจํานวนเต็มบวกด้วยจํานวนเต็มลบ •นําค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า •คําตอบเป็นได้ทั้ง จํานวนเต็มบวก&จํานวนเต็มลบ (ตามจํานวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า) Ex (-7)+ (-8)=-15 Trick บวกตามปกติแล้วเติม - จบ จงหาผลบวก (-8)+7 Ex (-8)+7 =-1 แต่ถ้า จงหา (-7)+8 Ex (-7)+8=1 จํานวรเต็มลบค่ามากกว่าจะออกมาเป็นจํานวนเต็มลบ จํานวนเต็มบวกมีค่ามากกว่าคําตอบก็จะเป็นจํานวนเต็มบวก 1 การลบจํานวนตรงข้าม (เลขเท่ากันเลย) 0 ถ้า a เป็นจํานวนเต็มใดๆ จน.ตรงข้ามของ a คือ-a แน่นอนอยู่แล้ว a + (-a)= (-a)+a=0 ถ้า a เป็นจํานวนเต็มใดๆจํานวนตรงข้ามของ -a คือ a เขียนแทนด้วย -(-a)=a 2. การลบจํานวนต็ม & จํานวนเต็ม เมือ a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ a - b = a + จํานวนตรงข้าม b หรือ.. a - b = a + (-b) Ex (-6) + 6 = 0 6 + (- 6) = 0
1. การคูณจํานวนเต็มบวกด้วยจํานวนเต็มบวก คือ การคูณจํานวนนับด้วยจํานวนนับ ซึ่งได้ผลคูณเป็นจํานวนเต็มบวก 2. การคูณกันของจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ได้ผลคูณเป็นจํานวนเต็มลบ ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ ของสองจํานวนนั้น 3. การคูณจํานวนเต็มลบด้วยจํานวนเต็มลบ ได้ผลคูณเป็นจํานวนเต็มบวก ที่มีค่าเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ ของสองจํานวนนั้น (+) x (+) = + (-) x (-) = + (+) x (-) = - (-) x (+) = - วิธีทํา 99x(-18)=(100-1)x(-18) =[100+(-1)]x(-18) =[100x(-18)]+[(-1)x(-18)] = (-1,800) + 18 = -1,782 ตอบ -1,782 จงหาผลคูณ 99 x (-18) จงหาผลลัพธ์ [(-3) x 5] + [(-3) x (-7)] วิธีทํา [(-3)x5]+[(-3)x(-7)=(-3)x[5+(-7) =(-3)x(-2) = 6 ตอบ 6 ↓ ·
1. ตัวตั้งและตัวหารเป็นจํานวนเต็มบวกทั้งคู่ ใช้วิธีดียวกับการหารจํานวนนับด้วยจํานวนนับ ซึ่งได้ผลหารเป็นจํานวนเต็มบวก 2. ถ้าตัวตั้งและตัวหารเป็นจํานวนเต็ม ลบทั้งคู่ ให้นําคําสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยคําสัมบูรณ์ของตัวหาร แล้วตอบเป็นจํานวนเต็มบวก 3. ถ้าตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจํานวนเต็มลบ โดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นจํานวนเต็มบวก ให้นําค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร แล้วตอบเป็นจํานวนเต็มลบ 4. ในการหาร ตัวหารต้องไม่เป็น 0 15 / 5 มีค่าเท่าไร Sol 15/ 5= 15 = 3 (-15) - 5 มีค่าเท่าไร Sol (-15)/5 =15/5 = -3
1. สมบัติการสลับที่ a+b =b+a axb = bxa 2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (a+b)+c = a+(b+ c) (axb) xc = ax(bxc) 3. สมบัติการแจกแจง ax(b+c)=(a xb)+(a xc) 4.สมบัติของหนึ่งและศูนย์ a x 1 = a = 1 x a a + 0 = a = 0 + a a x 0 = 0 = 0 x a 0 + a = 0 เมื่อaไม่เท่ากับ0 ถ้า a x b = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ จํานวนเต็ม จํานวนเต็มบวก 0 จํานวนเต็มลบ จํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะหมายถึง จํานวนที่สามารถเขียนในรูป เมื่อa,bเป็นจํานวนเต็ม เเละb≠0 Ex 6,-6 ,0,1/2,0.7 เป็นจํานวนตรรกยะ **จํานวนเต็มทุกจํานวนเป็นจํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะหมายถึง จํานวนที่ไม่สามารถเขียนในรูป a/bได้ Ex 2 , 3 , ,2.324512.. จํานวนจริง
รากที่สอง -ให้a เป็นจํานวนเต็มบวกใดๆหรือ0 -รากที่สองของa เป็นจํานวนที่ยกกําลัง2เเล้วได้a รากที่สาม -ให้aเป็นจํานวนจริงใดๆ -รากที่สามของa เป็นจํานวนจริงที่ยกกําลัง3เเล้วได้a สมบัติของจํานวนจริงในรูปรากที่สอง มีลักษณะดังนี้ สมบัติ การสลับที่ การเปลี่ยนหมู่ การเเจกเเจง การบวก การคูณ & b A a a + - b = b = Ca b) c a ( 6 a) (Satberc=fax (berei Fax ( ubtic) =) a = b) + ( a = G 6 + c = a =b" (a) + ( cx fal
ตัวอย่างข้อสอบ Cr. We by the drama
เลขยกกําลัง กําหนดให้ a เป็นจํานวนใดๆ และ n เป็นจํานวนเต็มบวก สัญลักษณ์ a ยกกําลัง n เขียนแทนด้วย a a = a x a x a x…x a สมบัติของเลขยกกําลัง กําหนดให้ a, b ≠ 0 และ m, n เป็นจํานวนตรรกยะ จะได้ว่าเลขยกกําลังมีสมบัติ ดังนี้ สมบัติ คําอธิบาย ตัวอย่าง เลขยกกําลังฐานเดียวกันคูณกัน นําเลขชี้กําลังมาบวกกัน เลขยกกําลังฐานเดียวกันหารกัน นําเลขชี้กําลังมาลบกัน เลขยกกําลังมีเลขชี้กําลังเป็นศูนย์มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ เลขยกกําลังที่มีเลขฐานหารกันอยู่นําเลขชี้กําลัง คูณกระจายไปที่เศษและส่วน เลขยกกําลังซ้อน นําเลขชี้กําลังมาคูณกัน เลขยกกําลังที่มีเลขฐานคูณกันอยู่นําเลขชี้กําลังคูณ กระจายไปที่เลขฐานแต่ละตัว โดยที่ M เลขชี้กําลัง - - M &<- เลขฐาน ~ จํานวนทตัว เลขยกกําลัง am, a = am th 2 x 2 = et = 36 ame are one min ↳35-4 = 3 =1 ↓ ↓ 3 350 = 1 =In เอ๊ะปู- 8": Cam)" = a MAH (8) : 833 8 =- Yes')". ( Carb)": a "_b" 2 " x 3
ตัวอย่างข้อสอบ
การประมาณค่า นิยามคําศัพท์ 1)การประมาณ : การบอกค่าแบบคร่าวๆ ไม่ใช่ค่าที่แห้จริง มีความละเอียดไม่มา 2) การประมาณค่า : การบอกค่าที่ได้จากการคํานวณหรือการวัด โดยใกล้เคียงกับ "ค่าที่แท้จริง" เพื่อความรวดเร็วในการนําไปใช้คํานวณต่อ 3) คําประมาณ : ค่าที่ได้จากการประมาณหรือจากการประมาณคําา โดยใช้สัญลักษณ์ '≈ แทนคําว่า "มีค่าประมาณ" การปัดเศษ คือ การเปลี่ยนคําาตัวเลขให้มากขึ้นหรือน้อยลง ให้กลายเป็นจํานวนเต็มในหลักที่ต้องการ มีหลักการ ดังนี้ 1) เลือกหลักที่ต้องการประมาณ เช่น ปัดเศษให้เป็นจํานวนเต็มหลักสิบ, หลักร้อย หรือหลักพัน 2)พิจารณาเลขหลักถัดไปทางขวาของหลักที่ต้องการประมาณค่า ว่ามีค่าตั้งแต่ 5 หรือ ตํ่ากว่า 5 ㆍ ถ้ามีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไป , ให้ปัดเศษขึ้น ) หลักที่ประมาณมีค่าเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งค่า ㆍ ถ้ามีค่าตํ่ากว่า 5 ให้ปัดเศษลง ) หลักที่ประมาณเท่าเดิม การประมาณค่าของจํานวนต่างๆ 1)การประมาณค่าจํานวนเต็ม :เป็นการประมาณค่าตัวเลขตั้งแต่หลักสิบขึ้นไป โดยมีหลักการเหมือนการ ปัดเศษข้างต้น สามารถประมาณค่าได้ทั้งจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบ จงประมาณค่าตัวเลข 254,826 ในหลักต่างๆ 1) ประมาณค่าหลักสิบ หลักหน่วย คือ 6 : มากกว่า 5 ปัดขึ้น = 254,830 2) ประมาณค่าหลักร้อย หลักสิบ คือ 2 : น้อยกว่า 5 ปัดลง 3) ประมาณค่าหลักพัน หลักร้อย คือ 8 : มากกว่า 5 ปัดขึ้น 4) ประมาณค่าหลักหมื่น หลักพัน คือ 4 ; น้อยกว่า 5 ปัดลง 5) ประมาณค่าหลักแสน " หลักหมื่น คือ 5 : เท่ากับ 5 ปัดขึ้น
2)การประมาณค่าทศนิยม : หลักการเหมือนการประมาณค่าจํานวนเต็ม ถ้าประมาณค่าเป็น จํานวนเต็มให้พิจารณาที่ทศนิยมตําแหน่งที่ 1 และถ้าประมาณค่าทศนิยมตําแหน่งใด ให้ พิจารณาทศนิยมใน ตําแหน่งถัดไป จงประมาณค่าตัวเลข 347.5264 ให้เป็นจํานวนเต็ม และทศนิยมในหลักต่างๆ 1) ประมาณค่าจํานวนเต็ม ทศนิยมตําแหน่งที่ 1 คือ 5 ; ปัดขึ้น = 348 2) ประมาณค่าทศนิยม 1 ตําแหน่ง ทศนิยมตําแหน่งที่ 2 คือ 2 ; ปัดลง = 347.5 3) ประมาณค่าทศนิยม 2 ตําแหน่ง ทศนิยมตําแหน่งที่ 3 คือ 6 : ปัดขึ้น = 347.53 4) ประมาณค่าทศนิยม 3 ตําแหน่ง ทศนิยมตําแหน่งที่ 4 คือ 4 ; ปัดลง = 347.526 3)การประมาณค่าเศษส่วน มีหลักการดังนี้ 1) ถ้า'เศษ' มีคําาใกล้เคียง 'ส่วน' มากๆ ให้ประมาณค่าเป็น 1 เช่น 19/20มีค่าประมาณ 1 2) ถ้า"'เศษ มีค่าใกล้เคียงกับ 'ครึ่งหนึ่งของสวน ให้ประมาณค่าเป็น 1/2เช่น 5/11มีค่าประมาณ1/2 3) ถ้า'เศษ' มีค่าน้อยกว่า 'ส่วน' มากๆ ให้ประมาณค่าเป็น 0 เช่น 1/99มีค่ประมาณ 0 4) ถ้า'เศษ มีคํามากกว่าครึ่งแต่น้อยกว่า ‘ส่วน'ให้ประมาณค่าเป็น3/4เช่น 20/30มีคําประมาณ3/4 5) การปัดเศษจํานวนคละให้เป็นจํานวนเต็ม ให้พิจารณาที่เศษสวน ㆍ ถ้าเศษส่วนมีค่มากกว่า หรือเท่ากับ 1/2ให้ปัดขึ้น เช่น 4 มีค่าประมาณ 5 ㆍ ถ้าเศษส่วนมีค่าน้อยกว่า 1 /2ให้ปัดลง เช่น มีคําประมาณ 7 5 8 739
ตัวอย่างข้อสอบ
พหุนามเเละเศษส่วนพหุนาม เอกนาม (Monomial) ㆍนิพจน์คือ ข้อความที่อยู่ในรูปสัญลักษณ์คณิตศาสตร์เช่น 4, 8a, 2x+y, a+b-5 ㆍ เอกนาม คือ นิพจน์ที่เกิดจากผลคูณของตัวเลขใดๆ กับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป โดยที่ตัวแปรต้องมีเลขชี้กําลังเป็น 0 หรือจํานวนเต็มบวกเท่านั้น เช่น ㆍ 3a: ค่าคงตัวคูณกับตัวแปรมีเลขชี้กําลังเป็น 1 >>เป็นเอกนาม ㆍ 8 : เขียน 8 ในรูปคูณกับตัวแปรได้เช่น 8x° >>เป็นเอกนาม . 4ab : ค่คงตัวคูณกับตัวแปรที่มีเลขชี้กําลังเป็นจํานวนเต็มบวก>>เป็นเอกนาม . 2xy : เลขชี้กําลังของตัวแปร (-2) ไม่ใช่จํานวนเต็มบวก>>ไม่เป็นเอกนาม 1. ส่วนประกอบของเอกนาม 1) สัมประสิทธิ์หรือ ส.ป.ส. คือ ส่วนที่เป็นค่าคงตัวที่อยู่หน้าตัวแปร 2) ตัวแปรหรือชุดตัวแปร ต้องมีเลขชี้กําลังเป็น 0 หรือ จํานวนเต็มบวกเท่านั้น โดยผลบวกของ เลขชี้กําลังของตัวแปรทั้งหมดในเอกนาม เรียกว่า 'ดีกรีของเอกนาม' เลขชี้กําลัง 2 ค่าคงตัว 3x Y ตัวแปรหรี่ชุดตัวแปร หรือ สัมประสิทธิ์
2 เอกนามที่คล้ายกัน คือเอกนามที่มีชุดตัวมีชุดตัวแปรเดียวกันเเละตัวเเปรเเต่ละตัวมีเลขชี้กําลังเหมือนกัน 3 กรบวก-ลบ เอกนามที่คล้ายกัน นําส้มประสิทธิ์ของเอกนามที่คล้ายกันบวกหรือลบกันได้เลย 4 การคูณ-หาร เอกนาม (ไม่จําเป็นต้องเป็นเอกนามคล้ายกัน) นําส้มประสิทธิ์หน้าตัวแปรมาคูณหรือหารกัน แล้วนําตัวแปรของแต่ละเอกนามมาคูณหรือหารกันโดย ใช้สมบัติของเลขยกกําลัง พหุนาม (Polynomial) พหนาม คือ นิพจนที่อยู่ในรูปเอกนาม หรืออยู่ในรูปการบวก-ลบของตั้งแต่สองเอกนาม ㆍ 16 : เป็นนิพจนในรูปเอกนาม เขียนในรูปคูณกับตัวแปรได้คือ 16X > เป็นพหุนาม ㆍ 3x + 2 : อยู่ในรูปการบวกของ 2 เอกนาม>เป็นพหุนาม ㆍ 7xy + (-4x) +3x : อยู่ในรูปการบวกของ 3 เอกนาม>เป็นพหุนาม . 2x - 2y : เท่ากับ 2x+(-21) ใด้ซึ่งอยู่ในรูปการบวกของ 2 เอกนาม >เป็นพหุนาม 1. พจน์และดีกรีของพหุนาม พหุนาม = เอกนาม (พจน์ 1) + เอกนาม (พจน์ 2) + เอกนาม (พจน์3) + ... 1) พจน์ของพหุนาม คือ เอกนามแต่ละตัวที่อยู่ในพหุนาม 2)ดีกรีของพหุนาม เท่ากับดีกรี (ผลบวกเลขยกกําลังตัวแปร) ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดของเอกนาม 3) หลักการหาดีกรีของพหุนาม : เรียงจากพจน์ที่มีดีกรีมากไปยังพจน์ที่มีดีกรีน้อย แล้วนําเลขชี้กําลัง ของตัวแปรในพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดมาบวกกัน
2 พหุนามที่คล้ายกัน พหุนามที่มีเอกนามที่คล้ายกัน เรียกว่า "พจน์ที่คล้ายกัน" พหุนามที่มีพจน์ที่คล้ายกันเมื่อรวมพจน์ที่ คล้ายกัน จะได้พหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกว่า "พหุนามในรูปผลสําเร็จ 3 การบวก-ลบของพหุนกาม : ทําได้ 2 วิธี ดังนี้ 1) วิธีแนวนอน : ให้นําสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรของพจน์ที่คล้ายกันมาบวกหรือลบกัน 2) วิธีแนวตั้ง : ให้จัดพจน์ที่คล้ายกันอยู่ตําแหน่งตรงกัน แล้วบวกลบสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรตาม ปกติ การบวก-ลบของพหุนามแบบแนวนอน เมื่อ ถอดวงเล็บพหุนามแล้ว เป็นดังนี้ 1) กรณีหน้าวงเล็บเป็นเครื่องหมายบวก : พจน์ที่อยู่ภายในวงเล็บมีเครื่องหมายคงเดิม 2) กรณีหน้าวงเล็บเป็นเครื่องหมายลบ : พจน์ที่อยู่ภายในวงเจ็บเปลี่ยนเป็น เครื่องหมายตรงข้าม 4 การคูณของพหุนาม 1) กรคูณเอกนามกับพหุนาม : ใช้สมบัติการแจกแจง จากนั้นใช้ หลักการคูณของเอกนาม คือให้นําค่าคงที่มาคูณกัน แล้วตัวแปร คูณกันโดยใช้สมบัติของเลขยกกําลัง 2) การคูณพหุนามกับพหุนาม : ทําได้ 2 วิธี ดังนี้ -แนวนอน : นําแต่ละพจน์ของพทุนามคูณกับทุกพจน์ของอีกพหนาม แล้วนําผลคูณทั้งหมดบวกกัน - แนวตั้ง : จัดเรียงพจน์ของทั้งสองพหนามจากดีกรีมากไปน้อย ให้พหนามที่มีดีกรีสูงกว่าเป็นตัวตั้ง นําแต่ละพจน์ของตัวคุณมาคูณกับทุกพจน์ของตัวตั้ง แล้วนําผลคูณมาบวกกัน 5 การหารของพหุนาม 1) การหารพหุนามด้วยเอกนาม (โดยที่เอกนาม ≠0): ใช้หลักการของการบวกและลบเศษส่วน 2) การหารพหุนามด้วยพหุนามโดยวิธีตั้งหาร (โดยที่เอกนาม≠0) : เรียงดีกรีของพจน์ทั้งพหุนาม ตัวตั้งและตัวหารจากมากไปน้อย ถ้าดีกรีไหนไม่มี ให้เขียน 0 เป็นสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรนั้น แล้ว หารด้วยการตั้งหารยาว
3) การหารพหนามด้วยพหนามโดยวิธีหารสังเคราะห์ : มีขั้นตอน ดังนี้ **ข้อจํากัด : ใช้ได้กับตัวหารที่มีดีกรีเท่ากับ 1 หรืออยู่ในรูป x - c เท่านั้น 1. เขียนสัมประสิทธิ์ทุกพจน์ของตัวตั้ง โดยเรียงดีกรีของพจน์ของตัวตั้งจากมากไปน้อย ถ้าดีกรีไหน ไม่มี ให้เขียนสัมประสิทธิ์เป็น 0 2. ถ้าตัวหารอยู่ในรูป x - c ให้นํา c มาเป็นตัวหาร ( x -c = 0, x = ๓ ) ถ้าตัวหารอยู่ในรูป x + c ให้นํา -c มาเป็นตัวหาร ( x + c = 0,x = -c ) 3. จํานวนแรกของแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาที่แถวที่ 3 4. นํา c ไปคูณกับตัวแรกของแถวที่ 3 แล้วนําผลลัพธ์ไปวางตรงกับตําแหน่งที่ 2 ในแถวที่ 2 5. นําจํานวนในแถวที่ 1 บวกกับแถวที่ 2 เขียนผลลัพธ์ตรงตําแหน่งเดียวกันในแถวที่ 3 นํา cคูณกับตําแหน่งที่ 2 ของแถวที่ 3 แล้วนําผลลัพธ์ไปวางตรงกับตําแหน่งที่ 3 ใน 7. ทําแบบนี้ไปเรื่อยๆ ตัวสุดท้ายของแถวที่ 3 จะเป็นเศษที่เหลือจากการหาร ถ้าไม่มีเศษ จะเท่ากับ 0 8. ผลลัพธ์ที่ได้จะมีดีกรีสูงสุดน้อยกว่าตัวตั้งอยู่ 1 ดีกรี เศษส่วนพหุนาม (Fractional Polynomials) 1)ความหมายของเศษส่วนพหุนาม คือ เศษส่วนที่มีเศษหรือส่วนเป็นพหุนาม หรือทั้งเศษและส่วนเป็น พหุนาม โดยที่ส่วนต้องไม่เท่ากับ 0 เช่น พหุนามใดๆ จัดเป็นเศษส่วนพหุนาม เช่น 3x-2, 2x2 และ 4(4x) เพราะมีตัวส่วน เท่ากับ 1 2)การทําเศษส่วนพหนามให้อยู่ในรูปผลสําเร็จ : โดยทําให้ เป็นเศษสวนอย่างตํ่า หรือ การดึงตัวร่วม 3)การบวกและลบเศษส่วนพหนาม : เหมือนกับการบวกและลบเศษส่วน แบ่งเป็น 2 กรณี 1) กรณีส่วนเท่ากัน : ให้นําเศษมาบวกหรือลบกัน 2) กรณีส่วนไม่เท่ากัน : ให้ทําส่วนให้เท่ากันก่อน โดยหา ค.ร.น. หรือใช้วิธีคูณไขว้ดังนี้
4)การคูณเศษส่วนพหุนาม : เหมือนการคูณเศษสสวน คือ นําเศษคูณกับเศษ และส่วนคูณกับส่วน หากสามารถตัดทอนได้หรือดึงตัวร่วมได้ให้ทําก่อน แล้วค่อยนํามาคูณกัน (โดยที่ตัวส่วน ≠0) 5)หารเศษส่วนพหุนาม : เหมือนการหารเศษส่วน คือ เปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นคูณ แล้วนําตัวหาร มากลับเศษเป็นส่วน แล้วนํามาคูณกันตามปกติ (โดยที่ตัวส่วนของตัวหารและตัวคูณ ≠0) ตัวอย่างข้อสอบ
การเเยกตัวประกอบพหุนาม สูตรการเเยกตัวประกอบพหุนาม สูตรที่สําคัญ สูตรเพิ่มเติม # *
1 การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหนามที่มีดีกรีตํ่ากว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติสมบัติแจกแจง สมบัติเเจกเเจง ㆍ a(b+c)= ab+ac ㆍ (a+b)c= ac+ bc การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง •(ac+bc)= (a + b)c •(ab+ac)= a(b+c) หลักการแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง: ให้ดึงตัวประกอบร่วมออกมานอกวงเล็บ บางกรณีในการแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติแจกแจง หลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ หรือสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ของการบวกและการคูณร่วมด้วย แล้วจึงใช้สมบัติการแจกแจง 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ตัวแปรเดียว : แบ่งเป็น 3 กรณี นิยาม : พหุนามดีกรีสอง ตัวแปรเดียว คือ พหนามที่เขียนอยู่ในรูป ax+ bx+ cโดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่, a ≠0 และ x เป็นตัวแปร เช่น x + 5x + 6 , 2y + 3y -2 , z - 4z (มี c = 0), 3a+3 (มี b= 0) 1)พหุนามดีกรีสอง ตัวเเปรเดียวเมื่อc=0 :ใช้สมบัติแจกแจงในการเเยกตัวประกอบ Ex 3x + 6x =3x(x-2) 2)พหุนามดีกรีสอง ตัวเเปรเดียวเมื่อa=1 :ใช้การหาผลคูณของพหุนาม 3)พหุนามดีกรีสองตัวเเปรเดียวเมื่อa>1 2 2 2 2 2
3 การแยกตัวประกอบของพหนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกําลังสอง นิยาม : พนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกําลังสอง คือ พหุนามสองพหุนามที่คูณกัน โดยมีพจน์หน้าและพจน์หลังเหมือนกัน แต่ต่างกันตรงเครื่องหมายระหว่างพจน์ เช่น (x + 3)x - 3), (x- 7)x + 7), (2x - 4)(2x + 4), (4x + 2y)(4x-2y) ใช้สูตร น - ล= (น+ล)(น-ล) 4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกําลังสองสมบูรณ์ นิยาม : พหุนามดีกรีสองที่เป็นกําลังสองสมบูรณ์คือ พนามที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป กําลังสองของดีกรีหนึ่งได้เช่น 5 การแยกตัวประกอบของพหนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็ม นิยาม : พหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็ม คือ พหามที่มีดีกรีสูงสุด มากกว่า 2 ขึ้นไป และมีสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรเป็นจํานวนเต็ม ใช้สูตร 2 2 · X + 6X + 9 = 1 "+e(X) (3) + 13)" = ( x+3)( X+3) = (At 3) ใช้สูตรน้ +2นล +ลี=(น+ ลา น้- 2 น+ล่ะวน-ลง นJา ละนะลา(น้- นล+ ล้) น้- ละ( น- ลา( น้+นล+ล้)
6 การแยกตัวประกอบของพหนามที่มีสัมประสิทธิ์ป็นจํานวนเต็ม โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ 1) นิยามทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหาเศษจากกรหารพหุนามด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ กําหนดให้P(x) แทนพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็ม การหารพหุนาม เมื่อหารพหุนาม P(x) ด้วย x - a โดย a เป็นค่าคงตัวแล้ว จะได้เศษเหลือ P(a) เขียนสมการว่า P(x) + (x - a) = ผลหาร และ P(a) โดยที่ P(a) = เศษเหลือ 2) หลักการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ : จากตัวอย่างข้างต้น เมื่อแทนค่า -2 ลงใน P(x) = 3x + 7x - 2X - 8 เหลือเศษ 0 แสดงว่า 3 + 7x - 2x - 8 หารด้วย x + 2 ลงตัว และ X + 2 เป็นตัวประกอบของ 3x + 7x - 2x - 8 ดังนั้น การแยกตัวประกอบพหนาม P(x) ด้วย ทฤษฎีบทเศษเหลือ ต้องหาจํานวนเต็ม a ที่ทําให้ P(a) = 0 ก่อน สรุปหลักการได้ดังนี้ 1. หาจํานวนเต็ม (ทั้งค่าบวกและลบ) ที่สามารถหารพจน์ที่เป็นค่าคงที่ของพหุนาม P(X) ได้ลงตัว 2. หาจํานวนเต็มจากในข้อ 1 ที่ทําให้ P(a) = 0 จะได้ว่า x - a เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(X) 3. นํา x - a ไปหาร P(X) โดยการตั้งหาร จะได้คําตอบเป็นพหุนามใหม่ Q(X) 4. ดังนั้น P(x) = (x - a)Q(x) โดยที่ Q(X) มีดีกรีสูงสุดน้อยกว่า P(x) อยู่ 1 ดีกรี 5.ถ้า Q(x) ที่ได้ยังสามารถแยกตัวประกอบได้อีก ให้แยกตัวประกอบต่อไปเรื่อยๆ ตามหลักข้อ 1 - 3 หรือใช้ความรู้ในการแยกตัวประกอบอื่นๆ มาใช้จนแยกตัวประกอบต่อไปไม่ได้อีก 32 3 2 3 2
ตัวอย่างข้อสอบ
คู่อันดับเเละกราฟ คู่อันดับ (Ordered Pair) คือ การแสดงแความสัมพันข์ของการจับคู่ระหว่างสมาชิกสองกลุ่ม 1 )วิธีการเขียนคู่อันดับ นิยาม : คู่อันดับ a และ b เขียนแทนด้วย (a, b) โดยที่ : aเรียกว่า สมาชิกตัวหน้า , bเรียกว่า สมาชิกตัวหลัง 2 ตัวอย่างคู่อันดับ (x, y) อ่านว่า คู่อันดับเอ็กซ์วาย (1, 2) อ่านว่า คู่อันดับหนึ่งสอง (3, 5) อ่านว่า คู่อันดับสามห้า กราฟของคู่อันดับ 1)กราฟ คือ โครงสร้างที่มีจุด และมีเส้นลากระหว่างจุด จุดที่เกิดขึ้นมาจากการแสดงความ สัมพันธ์ของ จํานวนสองจํานวนในระบบพิกัดฉาก โดยจํานวนหนึ่งอยู่ในแนวตั้ง อีกจํานวนหนึ่งอยู่ใน 2)กราฟของคู่อันดับ คือ กราฟที่จุดบนกราฟมาจากการแทนที่คู่อันดับ 3)ส่วนประกอบของกราฟ 1) แกนนอน หรือ แกน x คือ เส้นจํานวนในแนวนอน 2) แกนตั้ง หรือ แกน y คือ เส้นจํานวนในแนวตั้ง 3)จุดกําเนิด หรือ จุด (0, 0) คือ จุดที่แกน x และแกน y ตัดกันเป็นมุมฉาก 4) จตุภาค คือ ระนาบที่เกิดจากการตัดกันของแกน x และแกน y ทําให้ถูกแบ่งออก เป็น 4 ส่วน ดังนี้
4 การเขียนกราฟของคู่อันดับ 1) คู่อันดับใดๆ ในรูป (a, b) สามารถพล็อตกราฟได้โดย ㆍ จํานวน ล = ระยะจากจุดกําเนิดบนแกน x ㆍ จํานวน b = ระยะจากจุดกําเนิดบนแกน y 2) เมื่อ P เป็นจุดบนระนาบที่เป็นกราฟของ (2, b) กล่าวได้ว่า P มีพิกัดเป็น (a, b) หรือ P(a, b) กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการที่เขียนอยู่ในรูปทั่วไป เป็น Ax + By + C = 0 โดยที่ A. B. C เป็นค่าคงที่ A และ B ไม่เป็น 0 พร้อมกัน 2 สมบัติของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 1) สมการมีสองตัวแปร โดยจะนิยมใช้ตัวแปร x และy 2) เลขชี้กําลังของแต่ละตัวแปรเป็น 1 3) ตัวแปรทั้งสองจะไม่คูณกัน หรือไม่อยู่ในรูป xy 4) สัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร A และ B ต้องไม่เป็น 0 พร้อมกัน แต่ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0ได้จะอยู่ในรูป ดังนี้ ㆍBx+C=0 ㆍAx+C =0
3)การตรวจสอบคู่อันดับ คือ การตรวจว่าคู่อันดับ (x, y) สอดคล้องกับสมการเชิงเส้นสอ. โดยแทนค่าคู่อันดับนั้นแทนตัวแปร x และ Y ของสมการ หาก สมการเป็นจริง แสดง สอดคล้องกับสมการ 6 กรเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1) หลักการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1) หาคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการอย่างน้อย 3 คู่จันดับ เพื่อป้องกันความผิดพลาด โดยการแทน ค่า x ด้วยจํานวน 3 จํานวนในสมการ แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า y 2)นําคู่อันดับ ที่สอดคล้องกับสมการไปพล็อตกราฟ 3)ลากผ่านจุดทั้งหมดเป็นเส้นตรง
ตัวอย่างข้อสอบ
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีลักษณะต่อ -มีตัวแปร 1 ตัว โดยตัวแปรมีเลขชี้กําลังเป็น 1 -ตัวแปรจะอยู่ฝั่งใดส่งหนึ่ง หรือทั้งสองฝั่งของเครื่องหมาย " = " ก็ได้ -เมื่อจัดอยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว จะได้เป็น ax +b= 0 โดย a, b เป็นค่าคงตัว และ a≠0 แบบรูปและความสัมพันธ์ คือ รูปร่าง, ลักษณะ หรือชุดตัวเลขที่เปลี่ยนแปลงไปตามลําดับของความสัมพันธ์ระหว่างนั้น การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1การเเก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปในสมการที่ทําให้สมการเป็นจริง โดยแตกต่างจากก แบบสุมมาแทนคําตัวแปร การแก้สมการเหมาะที่จะใช้กับโจทย์สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น 2 สมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเขิงเส้นตัวแปรเดียว ใช้ "สมบัติของการเท่ากัน" แบ่งเป็น 5 ข้อ โดยเมื่อ a, b และ c เป็นจํานวนจริง 3 กรแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว : มีหลักการ ดังนี้ 1) จัดให้ตัวแปรกับค่าคงที่อยู่คนละฝั่งของเครื่องหมาย " = " 2) การย้ายข้างตัวแปรและค่าคงที่ไปฝั่งตรงข้าม ㆍถ้าบวกกัน และมีเครื่องหมายข้างหน้าเป็น + ย้ายไปอีกฝั่ง ให้เปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย - ㆍถ้าลบกัน และมีเครื่องหมายข้างหน้าเป็น - ย้ายไปอีกฝั่ง ให้เปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย + ㆍถ้าคูณกัน ย้ายไปอีกฝั่งให้เปลี่ยนเป็นหาร แต่ระวัง! จํานวนนั้นต้องไม่เป็น 0 ㆍถ้าหารกัน ย้ายไปอีกฝั่งให้เปลี่ยนเป็นคูณ แต่ระวัง! จํานวนนั้นต้องไม่เป็น 0 3) + , - x หรือ + ด้วยจํานวนเดียวกันทั้งสองฝั่งของเครื่องหมาย " = " เพื่อช่วยในการแก้สมการ 4) ถ้ามีวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บทิ้งไป แต่ต้องะวังเครื่องหมายหน้าวงเล็บ หากเน - เมื่อถอดวงเล็บให้ เปลี่ยนเครื่องหมายของทุกจํานวนในวงเล็บให้เป็นเครื่องหมายตรงกั 5) นําสมบัติของการเท่ากันที่กล่าวไปข้างต้น มาใช้ในการแก้สมการหารที่อยู่ในรูปเศษสวน ให้จํากัดส่วนทิ้งออกไป โดยการนํา ค.ร.น ของส่วนทั้งหมด มาทั้งสมการ (คูณทั้งสองฝั่ง)
ตัวอย่างข้อสอบ
สมการกําลังสอง สมการกพลังสองตัวเเปรเดียว คือสมการที่มี1ตัวเเปรมีดีกรีสูงสุดเป็น2มีรูปทั่วไปเป็นax +bx +c=โดย a b c เป็นค่าคงที่เเละ a ≠0 1 รูปของสมการกําลังสองตัวเเปรเดียว 1)รูปทั่วไป: คือสมการกําลังสองที่อยู่ในรูป ax +bx+c=0เหมาะกับการใช้สูตรหาคําตอบ 2) รูปแบบอื่น ๆ : คือสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่ไม่ได้อยู่ในรูปทั่วไป แต่สามารถใช้ สมบัติการเท่ากันเปลี่ยนสมการให้อยู่ในรูปทั่วไปได้โดยการย้ายข้างตัวแปรและค่คงที่ให้มาอยู่ฝั่ง เดียวกัน เรียงดีกรี จากมากไปน้อย ส่วนอีกฝั่งให้เท่ากับ 0 2 คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว : คือ จํานวนจริงที่เมื่อแทนค่าในสมการกําลังสองตัวแปร เดียว แล้วทําให้สมการเป็นจริง โดยอาจจะมี 2 คําตอบ, 1 คําตอบ หรือ ไม่มีคําตอบเลยก็ได้แต่จะมีได้ ไม่เกิน 2 คําตอบ 3 ตรวจคําตอบของสมกากําลังสองตัวแปรเดียว :ให้นําจํานวนที่ต้องการตรวจคําตอบไปแ ตัวแปรในสมการ แล้วตรวจสอบว่าทําให้เป็นสมการเป็นจริงหรือไม่ การแก้สมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ 1)เขียนสมการให้อยู่ในรูปทั่วไป 2)เเยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้การเเก้สมการพหุนามที่มีลักษณะ ดังนี้ ax" + bx-C = 0 ( a to · แยก เป็นวงเล็บ ·นี- ล้: วน-ลาเนะลา · (นะลา":น้+วน+ลีและ (น-ลา' =น้- 2นล +ล้
หลักการแก้วสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีการทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์ สําหรับโจทก์บางข้อการแยกตัวประกอบของพหุนามทําได้ยากจึงต้องใช้วิธีทําเผ่า งามเป็นกําลังสองสมบูรณ์หรือผลต่างกําลังสองและง่ายต่อการแยกตัวประกอบและการ แก้สมการต่อไป 1) จัดให้อยู่ในรูป แล้วทําสัมประสิทธิ์หน้าx ให้เป็น1 โดยหารด้วย เลขสัมประสิทธิ์ 2)จัดพหุนามให้อยู่ในรูปกําลังสองสมบูรณ์โดยการเติมจํานวนเต็ม + และ - เข้าไปในสมการ 3)จัดให้อยู่ในรูปผลต่างกําลังสอง artbx+c = 0
โจทย์ปัญหาเที่ยวกับสมการกําลังสอง โทย์ปัญหามีหลายรูปแบบ และมีความซับซ้อนแตกต่างกัน แต่ยังคงมีหลักการแก้โจทย์ปัญหาสมการกําลัง สอง ซึ่งพอจะสรุปคร่าวๆ ได้โดยมีขั้นตอน ดังนี้ 1)อ่าน ทําความเข้าใจ และวิเคราะห์โจทย์ว่าโจทย์ถาม 2)กําหนดตัวแปรในสิ่งที่ไม่ทราบค่า 3)เขียนสมการตามเงื่อนไขในโจทย์ 4)แก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปร และตอบในสิ่งที่โจทย์ต้องการ 5) ตรวจคําตอบสมการ เพื่อให้แน่ใจว่าคําตอบที่ได้เป็นคําตอบที่ถูกต้อง
ตัวอย่างข้อสอบ
ระบบสมการ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือชุดของสมการที่มีสองตัวแปร เลขชี้กําลัง แปรทั้งสองเป็น 1 อยู่ในรูป Ax + By = C หรือ อยู่ในรูปทั่วไป Ax + By + C = 0 โดยที่ 4 ค่าคงที่ และ A. B ไม่เป็น 0 พร้อมกัน จํานวนสมการในระบบสมการมีตั้งแต่ 1 สมการขึ้นไป เช่น 1) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1 สมการ เช่น2x+3y+1=0 มีA=2 B=3 C=1 2) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการ เช่น ㆍx-5=0 มีA=1 B=0 C=-5 ㆍ2x-y+3=0 มี A=2 B=-1 C=3 3) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 3 สมการ เช่น ㆍ 3x+4y-2=0 มี A=3 B=4 C=-2 ㆍ-2x+y-6=0 มี A=-2 B=1 C=-6 ㆍ -3y+1 =0 มีA=0 B=-3 C=1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการ จึงสามารถหาคําตอบได้ จาก ax+by = e cx+ dy = f ระบบสมการแบบนี้เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นจํานวนจริง a, b และ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
2 คําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 1) คําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ทําให้สมการทั้งสองของระบบ สมการเป็นจริง หรือ คู่อันดับ (x, V) ที่เป็นจุดร่วม หรือ จุดตัด อยู่บนเส้นตรงของสมการทั้งสอง 2) การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปโดยวิธีการวาดกราฟ : เหมาะสําหรับระบบ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรบางระบบที่เกิดจุดตัดชัดเจน มีระบบสมการไม่ซับซ้อน มีหลักการวาด ดังนี้ 1.หาคู่อันดับของแต่ละสมการ โดยการหาค่าแทนตัวแปร x หรือตัวแปร Y ในสมการทั้งสองของ ระบบสมการ โดยจะนิยมแทนค่า x = 0 เพื่อหาค่า y และ แทนค่า Y = 0 เพื่อหาค่า x เพราะจะ ทําให้สะดวกในการพล็อตกราฟ 2.แต่ละสมการจะหาคู่อันดับอย่างน้อย 2 จุด 3.นําคู่อันดับของแต่ละสมการไปพล็อตกราฟ ลากเส้นผ่านจุด และเขียนกํากับสมการไว้ใกล้เส้น 4.จุดที่ตัดกัน หรือจุดที่ร่วมกัน จะเป็นคําตอบของสมการ 3) การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปโดยการแก้สมการ : ใช้หาคําตอบในระบบ สมการที่ยุ่งยากได้โดยไม่ต้องวาดกราฟ คําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มีได้ 3 แบบ 1) มีคําตอบเดียวของระบบสมการ 2) มีหลายคําตอบของระบบสมการ 3) ไม่มีคําตอบของระบบสมการ
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการแทน มีหลักการแก้ระบบสมการ ดังนี้ 1) จัดสมการใดสมการหนึ่งอยู่ในรูป x = by + c เรียกว่า "เขียน x ในรูปของ y" หรือในรูป y = ax + c เรียกว่า "เขียน y ในรูปของ x" 2)นําสมการที่จัดแล้ว (ในข้อ 1) ไปแทนคําาตัวแปรในอีกสมการของระบบสมการ 3)แก้สมการเพื่อค่าตัวแปร 4)แล้วนําคําตัวแปรที่ใด้จากข้อ 3 ไปแทนค่าในสมการทั้งสองของระบบสมการเพื่อหาค่าของ ตัวแปรอีกตัว ㆍถ้าคําาของตัวแปรอีกตัวเท่ากันทั้งสองสมการ ระบบสมการนี้มีคําตอบ ㆍ ถ้าค่าของตัวแปรอีกตัวไม่เท่ากันทั้งสองสมการ ระบบสมการนี้ไม่มีคําตอบ ㆍถ้าแทนคําาในสมการแล้วทําให้สมการไม่เป็นจริง ระบบสมการนี้ไม่มีคําตอบ 5) ตรวจคําตอบสมการ โดยนําค่า x และ y ไปแทนค่าในสมการทั้งสองของระบบสมการ แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการจํากัดตัวเเปร 1)ทําประสิทธิ์ของตัวแปรตัวหนึ่งให้เท่ากันหรือเป็นจํานวนตรงข้าม โดยคูณ / หาร ด้วยตัวเลขทั้งสม 2 )นําสมการที่มีสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเท่ากันหรือเป็นจํานวนตรงข้ามกัน มาบวก / ลบกัน เพื่อจํากัด ตัวแปร 3)เหลือตัวแปรเดียวในสมการ แล้วแก้สมการเพื่อค่าตัวแปรนั้น 4)นําค่าตัวแปรที่ได้จากข้อ 3 ไปแทนค่าในสมการใดสมการหนึ่ง เพื่อหาค่าของตัวแปรอีกตัว 5)ตรวจคําตอบสมการ โดยนําค่า x และ y ไปแทนคําในสมการทั้งสองของระบบสมการ
ตัวอย่างข้อสอบ มี2ข้อหน้าต่ไปอ ->
ตัวอย่างข้อสอบ
อสมการ คําตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1) ความหมายของคําตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ จํานวนที่เมื่อนําไปแทนค่าตัวแปร ในอสมการ แล้วทําให้อสมการเป็นจริง 2)คําตอบของอสมการโดยการแทนค่า : ทําได้โดยนําจํานวนไปแทนค่าตัวแป แล้วตรวจดูว่าอสมการเป็นจริงหรือไม่ 3) กา^รแสดงคําตอบของอสมการโดยใช้กราฟบนเส้นจํานวน : ทําได้โดยนําคําตอบของอสมการ มา วาดกราฟบนเส้นจํานวนโดยใช้สัญลักษณ์ "จุดโปร่ง" หรือ "จุดทึบ" แทนจํานวนในอสมการ และขีด เส้นไปตามจํานวนของคําตอบอสมการ โดยที่ ㆍ จุดโปร่ง "0" หมายความว่า ไม่รวมจํานวนที่จุดนั้นบนเส้นจํานวน ใช้กับสัญลักษณ์ >, < และ≠ ㆍ จุดทึบ”•”หมายความว่า รวมจํานวนที่จุดนั้นบนเส้นจํานวน ใช้กับสัญลักษณ์ และ หลักการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (หลักการย้ายข้าง) 1) จัดให้ตัวแปรกับค่าคงที่อยู่คนละฝั่งของเครื่องหมายอสมการ <, >, S, 2 หรือ+ 2) การย้ายข้างค่าคงที่ หรือ ตั๋วแปร มีเกณฑ์ดังนี้ เมื่อย้ายข้างตัวแปหรือคําคงที่ที่ กําลังบวกหรือลบกันอยู่ เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อย้ายข้างตัวแปรหรือคําคงที่ค่บวกที่ กําลังคูณหรือหารกันอยู่ เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อย้ายข้างตัวแปรหรือคําคงที่คําลบที่ กําลังคูณหรือหารกันอยู่ เครื่องหมายอสมการเปลี่ยน ดังนี้ ㆍ จากเดิมมีเครื่องหมาย " > " ให้เปลี่ยนเป็น " < " ㆍ จากเดิมมีเครื่องหมาย " > " ให้เปลี่ยนเป็น "<" ㆍ จากเดิมมีเครื่องหมาย " < " ให้เปลี่ยนเป็น ">" ㆍ จากเดิมมีเครื่องหมาย " < " ให้เปลี่ยนเป็น ">" ㆍ จากเดิมมีเครื่องหมาย " ≠" ไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย 3) สามารถ บวก ลบ คูณ หาร ด้วยจํานวนหนึ่งทั้งสองฝั่งของอสมการ โดยให้เป็นไปตามสมบัติ ของอสมการ /
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1หลักการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่ไม่ทราบค่า 2 สิ่งที่โจทย์บอกแล้วมีความสัมพันธ์กับตัวแปร ให้เขียนออกมาในรูปที่ เกี่ยวข้องกับ x 3) สร้างอสมการขึ้นมา ให้เป็นไปตามเงื่อนไขในโจทย์ 4) แก้อสมการเพื่อหาค่าตัวแปร และตอบคําถามตามที่โจทย์ต้องการ 5) ตรวจสอบคําตอบของอสมการ ตัวอย่างข้อสอบ
เรขาค&ต และ+น - .จป, 1มาตา ร "3ตร" 3ตรหาป1มาตร และ +น5ว ของ9ปเลขา ค&ต หา พท. 9ปเรขาค&ต3 <= ป1มาตร ป1มาตร >อป1มาณ-แสดงความB สามเหCยม ของ 9ป เรขาค&ต3 <=โดย สามเหCยมใดๆ 3ง I : ฐานะ3ง ป1มาตร :+น - งาน -ความ3งฐาน +น - 5ว < สามเหCยมIานเJา a a * "Iาน" +น - 5ว>อ+น -ของ 5วIานนอก 9 ของ9ปทรงเรขาค&ตเ< =โดยหาไI จาก สามเหCยมIานไMเJา a ม 5) ( S- alls-b)( S-C) 3ตร การหา พท. ของ 9ปเรขาค&ต2 <= โดย -3 : a tb + C ↓ 2 -เNน 9ปประกอบ ของเรขาค&ต 3<= PเหCยม วงกลม PเหCยมQRSสa " a Iาน Iาน TเหCยมUางหV 3ง " มาท I = ผลบวก IานX ขนาน-3ง วงกลม Myt PเหCยมน YนZาก[าง ก[าง ยาว 9 PเหCยม9ป \า ไ · "ผล]ณเ^นทแยง_ม PเหCยมIานขนานaa ฐาน- 3ง วงแหวน #CRE- rYl PเหCยมขนมเ`ยกaน " aฐานะ 3ง PเหCยมIานไMเJา เ^นทแยง_ม2 se,bน cง 2 เ^นcง b "สตาร I " ผลบวก ของ เ^นcง : เ^นทแยง_ม dาป1มาตร และ +นeว รป ป1fม 9ป ทรงกระบอกgน 5 ป1 hต ~ป1มาตร ก[าง- ขาว-3งป1มาตร Mirih +น - 5ว iางความยาวรอบ ฐานะ3ง · · "ม +น - 5ว jาง2Nrh +น - 5ว kงหมด2 ( +น-งาน ) ++น - eวiาง n " +น - 5วkงหมด2412 + 2Trh ·9ปlกนา ศก 9ป ทรงกระบอกกลา G lกบาศn ป1 มา การIาน Iา นะIานป1มาตรMr ( REril +น -5ว kงหมด IานIาน -เ +น - 5ว iาง2Trk +น -5ว kงหมด 24( RErY+24Th (R+ r) 9ปกรวย 9ป ทรงกลม act oninitionin 12: hity ป1มาตร I Wi ป1มาตรby YIr Th +น - 5ว4TIrT +น - 5ว iางMrI +น -5ว kงหมด HIr" + TIrI 9ปoระ<ด Admissing t othedoorarea an ป1มาตร5 =wn. งาน -3งตรง +น - eว iางแpละหqา + -ฐาน - 3ง เrยง +น - 5วiางkงหมด :ฐาน - 3ง เrยงsนวน หqา +น - 5วkงหมด+น - ฐาน ++-น5ว iาง kงหมด 2 ฐาน
ตัวอย่างข้อสอบ
การเเปรผัน การแปรผันเตรง นิยาม กรแปรผันตรง คือ ความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนไปอีกปริมาณ จะเปลี่ยนตาม อย่างเป็นสัดส่นกัน ใช้สัญลักษณ์ " " แทนคําว่า"เเปรผัน” การแปรผันตรง (Direct Variation) ความสัมพันของปริมาณสองปริมาณในทิศทางเดียวกัน ถ้าปริมาณหนึ่งมีค่ามากขึ้น อีกปริมาณก็ จะค่ามากขึ้นตาม ถ้าอีกปริมาณมีค่าลดลง อีกปริมาณก็จะมีค่าลดลงตามด้วยอัตราส่วนที่เท่ากัน นิยาม กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนใดๆ จะได้ว่า y แปรผันตรงกับ x เขียนแทนด้วย " y x" จะได้ y=kx หรือ k= y/x โดยที่ k คือค่าคงตัวที่เป็นจํานวนจริง และ k ≠0 เรียก k ว่า "ค่าคงตัวการแปรผัน" การแปรผกผัน (Inverse Variation) คือ ความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณในทิศทางตรงข้ามกัน ถ้าปริมาณหนึ่งมีค่มากขึ้น อีก ปริมาณก็จะ มีค่าลดลง ด้วยอัตราส่วนที่คงที่ นิยาม กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 จะได้ว่า y แปรผกผันกับxเขียนแทนด้วย" y๙ " จะได้ y = 4 หรือ k=xY โดยที่ k คือค่าคงตัวที่เป็นจํานวนจริง และ k ≠0 เรียก k ว่า "ค่าคงตัวการแปรผัน" & ·
การแปรผันเที่ยวเนื่อง (Joint Variation) คือ การแปรผันสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่ส่งผลเกี่ยวเนื่องกับสิ่งอื่นๆ หลายสิ่ง ปรากฎอยู่ในรูป ผลคูณ ทําให้เมื่อมีการ เปลี่ยนแปลงปริมาณหนึ่ง อีกหลายปริมาณจะเปลี่ยนแปลงไปด้วย เช่น ระยะทางขึ้น กับอัตราเร็วและเวลา บทนิยามของการแปรผันเกี่ยวเนื่อง นิยาม กําหนดให้ y, X1, Xe .... แทนปริมาณใดๆ จะได้ว่า y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x , x , x ,เมื่อ y ผลคูณของ X , x .... x เขียนแทน. จะได้ โดยที่k คือค่าคงตัวที่เป็นจํานวนจริง และ k ≠ 0 เรียก k ว่า "ค่าคงตัวการแปรผัน" ·· ax 1 2 ท 1 2 U YOCKX,)(X,31 ... x( Xn) y = kCX1SCX) x . . . x xn)
ตัวอย่างข้อสอบ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมุมฉากคือ สามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก หรือ 90 องศา 1) ด้านประกอบมุมฉาก : เป็นด้านที่อยู่ติดกับมุมฉาก ได้แก่ AB และ BC 2) ด้านตรงข้ามมุมฉาก : เป็นด้านที่มีความยาวมากที่สุด ได้แก่ AC นิยาม รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส บนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับ ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากสองด้าน จากรูปตามนิยามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่าcxc =axa+bxb ใช้สูตร โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก a,b คือ ด้านประกอบมุมฉาก เมื่อทราบความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม ทั้ง 3 ด้าน 1) ถ้าc = a + b จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็น สามเหลี่ยม มุมฉาก 2) ถ้า c> 2+ b จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็น สามเหลี่ยม มุมป้าน 3) ถ้าc< 2+ b จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส มีหลักการทําโจทย์ปัญหา ดังนี้ 1) อ่านโจทย์แล้วนําข้อมูลจากโจทย์มาวาดเป็นรูปสามเหลี่ยม 2) พิจารณาว่าความยาวด้านที่โจทย์ให้มาเป็นด้านประกอบมุมฉาก หรือด้านตรงข้ามมุมฉาก 3)ใช้สูตรพีทาโกรัส เพื่อหาความยาวด้านที่เหลือ / < -a -> % =a + b2 - & a 2 - & i +- b -> 2 2 2 22 2 2 2 2
ตัวอย่างข้อสอบ
ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติ (trigonometry) คือ การศึกษาความสัมพันธ์ของความยาวด้านและมุมของ สามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อทราบความยาวด้านหนึ่งด้าน และขนาด มุมหนึ่งมุม จะสามารถหาความยาวด้านอีกสองด้านที่เหลือได้ (พีทาโกรัสต้องทราบความยาวด้าน สองด้าน จึงหาอีกด้านได้) การเรียกชื่อด้านของสามเหลี่ยมมุมฉกิาก 1. เมื่อพิจารณาที่มุม A ของ <มุมฉาก ABC ㆍ ด้าน a เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ㆍ ด้าน 6 เรียกว่า ด้านประชิดมุม A ㆍ ด้าน c เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2. เมื่อพิจารณาที่มุม B ของ >มุมฉาก ABC ㆍ ด้าน a เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ㆍ ด้าน 6 เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ㆍ ด้าน c เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 บทนิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติ เมื่อพิจารณาที่มุม A จะได้ว่า ㆍไซน์ (sine) ของมุมA = ㆍ โคไชน์ (cosine) ของมุมA = ㆍ แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A = วิธีจํา (แบบย่อ) -sin A= -cos A = -tan A= B (ข้าม) (ฉิดา (ฉาก) a 2 ชิด) / A C ↓ ข้าม) (ฉาก B ข้าม C ฉาก aชิด # ฉาก % ข้าม C b A · นิ ต #