ส่วนกลับของอัตราส่วนตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ส่วนกลับ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ค่าตรีโกณมิติ ข้าม ฉาก SIMA = ฉาก < >cosec A :sinA = ข้าม < + =ฉาก 205 A ·- ผู้ที่ seCA = COSA ชิง tan A =บ้าม = sinA & =COLA = tanA = ชิว COSA ข้าม
ตัวอย่างข้อสอบตรีโกณมิติ
พาราโบลา ความรู้เบื้องต้นเรื่องพาราโบลา 1 พาราโบลา (parabola) คือ ส่วนโค้งที่ได้จากการตัดรูปทรงกรวยด้วย ระนาบ เมื่ออยู่บนกราฟจะเป็นกราฟเส้นโค้ง พบเจอพาราโบลาได้ในชีวิต ประจําวัน เช่น สะพานแขวน, นํ้าพุ, การโยนลูกบอลไปตามแนวราบ 2 สมการพาราโบลา : แบ่งเป็น 2 รูปแบบ ดังนี้ 1) สมการรูปทั่วไป หรือ สมการมาตรฐาน (standard form) : สมการรูปแบบนี้จะไม่สามารถทํานาย ลักษณะและรายละเอียดของกราฟพาราโบลาได้มีรูปแบบสมการคือ 2) สมการที่แสดงจุดยอด (vertex form) : สมการรูปแบบนี้จะสามารถบอกลักษณะและรายละเอียด ของกราฟพาราโบลาได้เช่น เป็นพาราโบลาควํ่าหรือหงาย, จุดยอดของพาราโบลา, แกนสมมาตร จ แกน สมมาตร จุด ยอด · -> a > 0 พาราโบลา หงาย a < 0 พาราโบลา ควRา
ตัวอย่างข้อสอบ
มุมในครึ่งวงกลม=90องศา
ตัวอย่างข้อสอบวงกลม
ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นเป็น (probability) คือ จํานวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง x มีโอกาสมากหรือน้อยเพียงใด มีประโยชน์ในการคาดการณ์เหตุการณ์ว่าจะมีโอกาสเกิดขึ้นมาก หรือน้อย การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองที่ไม่สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าผลลัพธ์ อย่างไร แต่สามารถบอกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้ แซมเปิลสเปซ (sample space / S) คือ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่ม โดย การหาผลการทดลองสุ่มสามารถทําได้โดยการเขียน "แผนภาพต้นไม้ (tree diagram)" เหตุการณ์ (event / E) คือ ผลลัพธ์ที่สนใจจากการทดลองสุ่ม ซึ่งอาจจะสนใจผลลัพธ์บางส่วนหรือ ผลลัพธ์ทั้งหมดของแซมเปิลสเปซก็ได้เช่น • โยนลูกเต๋ 1 ลูก จํานวน 1 ครั้ง เหตุการณ์ที่จะหงายหน้าเป็นแต้มคี่ มี 3 แบบ คือ 1, 3 หรือ 5 •โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน เหตุการณ์ที่จะหงายหน้าเหมือนกัน มี 2 แบบ คือ หัว,หัว หรือ ก้อย,ก้อย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จํานวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจจะมีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ P = Probability = ความน่าจะเป็น E = Event = เหตุการณ์ที่สนใจ S = Sample space = เหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ P(E) ไม่มีหน่วย เพราะหน่วยของเศษและส่วนตัดกันหมด PCE) = UCEL ncs)
ค่าคาดหมาย (Expected Value) ความน่าจะเป็นช่วยทําให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่จะเกิดมีโอกาสเกิดขึ้นมาก-น้อยเพียงใด แต่บ น่าจะเป็นเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอจะใช้ตัดสินใจได้ต้องมีส่วนอื่นที่ช่วยในการตัดสินใจ 1ค่าคาดหมาย (expected value) คื ความมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับ ของการเกิดเหตุการณ์นั้น 2ผลตอบแทน มี 2 แบบ คือ ผลตอบแทนที่ได้และ ผลตอบแทนที่เสีย สูตรของค่าคาดหมาย ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่จะได้ x ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะได้) + (ผลตอบแทนที่จะเสีย x ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะเสีย) ㆍ ถ้าค่าคาดหมายที่ได้เป็นค่า + มีโอกาสได้เปรียบ ㆍ ถ้าค่าคาดหมายที่ได้เป็นค่า - มีโอกาสเสียเปรียบ ㆍ ถ้าค่าคาดหมายที่ได้เป็นค่า 0 มีโอกาสได้หรือ เสียเปรียบเท่ากัน
ตัวอย่างข้อสอบ
สถิติ คือข้อความหรือตัวเลขแทนปริมาณจํานวนข้อมูลที่ใช้แสดงข้อเท็จจริงของสิ่งที่ต้องการศึกษา โดยการรวบรวมข้อเท็จจริงต่างๆ ข้อมูลที่จะแสดงจะมีความถูกต้องและแม่นยํา จําเป็นต้องมีการ เก็บข้อมูลจํานวนมากเพื่อหาความสัมพันธ์จากข้อมูลเหล่านั้นได้สถิติเป็นเรื่องที่สามารถนําไป ประยุกต์ใช้ในชีวิตประจําวันได้อย่างดีเยี่ยม เนื่องจากปัจจุบันการใช้ข้อมูลทางสถิติสามารถ พยากรณ์เหตุการ หรือความต้องการได้ สถิติ ความหมายของคําต่างๆในหัวข้อสถิติ 1. ข้อมูล (DATA) คือข้อเท็จจริงในสิ่งที่เราต้องการศึกษา โดยการแบ่งประเภทของข้อมูลมีอยู่ด้วยกันหลายแบบ ขึ้นอยู่ กับว่าเราพิจารณาสิ่งใด แบ่งตามลักษณะของข้อมูล ข้อมูลเชิงคุณภาพ ข้อมูลเชิงคุณภาพคือข้อมูลที่บ่งบอกถึงสมบัติหรือลักษณะ ซึ่งไม่สามารถวัดออกเป็นตัวเลขได้เช่น เพศ อาชีพ ความชอบ ข้อมูลเชิงปริมาณ ข้อมูลเชิงปริมาณคือข้อมูลที่แสดงถึงปริมาณ โดยสามารถวัดออกมาเป็นตัวเลขได้อย่างชัดเจน เช่น อายุนํ้าหนัก ส่วนสูง แบ่งตามแหล่งที่มาของข้อมูล ข้อมูลปฐมภูมิ คือ ข้อมูลที่เกิดจากการลงไปหาข้อมูลด้วยตัวเอง เช่น ข้อมูลจากการทําแบบทดสอบ หรือ การทดลอง ด้วยตัวเอง ข้อมูลทุติยภูมิ คือ ข้อมูลที่นํามาจากแหล่งข้อมูลไม่ได้ลงไปศึกษาด้วยตนเอง เช่น งานวิจัย รายงาน เป็นต้น
2. ประชากร คือข้อมูลทั้งหมดของกลุ่มข้อมูลที่ต้องสนใจ 3. ตัวอย่าง คือข้อมูลเพียงบางส่วนของประชากร ที่นํามาศึกษา และสรุปผล 4. ตัวแปร คือสิ่งที่เป็นลักษณะหรือสมบัติที่เราให้ความสําคัญ ซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามความ ต้องการที่จะศึกษา 5. พารามิเตอร์ ตัวเลขที่แสดงลักษณะหรือสมบัติของตัวอย่างที่เราสนใจ การแจกแจงความถี่ คือการนําข้อมูลมาแจกแจงเป็นช่วง ( อันตรภาคชั้น ) โดยมีการเรียงจากข้อมูลที่ น้อยไปหาข้อมูลที่มาก และนับจํานวนความถี่ของข้อมูลแต่ละกลุ่มข้อมูล เหมาะกับ ข้อมูลดิบที่มีจํานวนไม่มากนัก ส่วนประกอบของตารางแจกแจงความถี่ที่ควรทราบ อันตรภาคชั้น คือ ช่วงของข้อมูลที่แบ่งข้อมูล ความถี่ (f) คือ จํานวนของข้อมูลที่อยู่ในแต่ละอันตรภาคชั้น ความถี่สะสม (F) คือ ผลรวมของความถี่ในอันตรภาคชั้นรวมกับชั้นที่ตํากว่าทั้งหมด จํานวนข้อมูล ( N) คือ จํานวนข้อมูลทั้งหมด ขีดจํากัดบน คือ ข้อมูลที่มีค่าสูงสุดในแต่ละอันตรภาคชั้น ขีดจํากัดล่าง คือ ข้อมูลที่มีค่าตํ้าสุดในแต่ละอันตรภาคชั้น ขอบบน เป็นตัวเลขที่บอกถึงค่ากึ่งกลางของขีดจํากัดบนกับขีดจํากัดล่างของชั้นที่อยู่ สูงกว่า 1 ชั้น คํานวณได้จาก ขอบบน = (ค่ามากที่สุด + ค่าที่น้อยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกว่า 1 ชั้น) / 2
ขอบล่าง เป็นตัวเลขที่บอกถึงค่ากึ่งกลางของขีดจํากัดล่างกับขีดจํากัดบนของชั้นที่อยู่ตํ่ากว่า 1 ชั้น คํานวณได้จาก ขอบล่าง = (ค่าน้อยที่สุด + ค่าที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ตํ่ากว่า 1 ชั้น) / 2 ความกว้างของอันตรภาคชั้น คือ จํานวนข้อมูลที่อยู่ในอันตรภาคชั้นนั้น คํานวณได้จาก ความกว้างอันตรภาคชั้น = ขอบบน – ขอบล่าง จุดกึ่งกลางชั้น คือ ข้อมูลที่เป็นเหมือนตัวแทนของอันตรภาคชั้นนั้น หาได้จาก 2 วิธี คือ จุดกึ่งกลางชั้น = (ขอบบน + ขอบล่าง) /2 จุดกึ่งกลางชั้น = (ขีดจํากัดบน + ขีดจํากัดล่าง) /2 พิสัย คือ ค่าความแตกต่างระหว่าง ค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด คํานวณได้จาก พิสัย = ค่าที่มากที่สุด – ค่าที่น้อยที่สุด ค่ากลางของข้อมูล 1.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือตัวกลางเลขคณิต (Arithmetic mean) 2.มัธยฐาน (Median) 3.ฐานนิยม (Mode) 4.ตัวกลางเรขาคณิต (Geometric mean) 5.ตัวกลางฮาโมนิค (Harmonic mean) 6.ตัวกึ่งกลางพิสัย (Mid-Range) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ ตัวกลางเลขคณิต (ARITHMETIC MEAN) การหาค่ากลางรูปแบบหนึ่งที่ได้รับความนิยมมาก ซึ่งเรามักจะเรียกว่า “ค่าเฉลี่ย” หาได้จากสูตร ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑ x / N = ผลบวกของข้อมูลทั้งหมด / จํานวนข้อมูล ทั้งหมด
มัธยฐาน (MEDIAN) คือ การหาค่ากลางของข้อมูล โดยเริ่มจากการเรียงข้อมูลทั้งหมดจากน้อยไปหามาก และเลือกจํานวนที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ข้อมูล 1 , 3 , 4 , 7 , 9 มัธยฐาน ของข้อมูลชุดนี้คือ 4 ฐานนิยม (MODE) คือ การหาค่ากลางของข้อมูลโดยอาศัยการซํ้าของข้อมูลที่มีมากที่สุด ตัวอย่างเช่น ข้อมูล 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 ฐานนิยม ของข้อมูลชุดนี้คือ 4 ฮิสโตแกรม หรือ แท่งความถี่ การนําข้อมูลมานําเสนอในรูปแบบของกราฟแท่ง เพื่อให้เกิดความเป็นรูปธรรมของข้อมูลมากยิ่งขึ้น และ ง่ายต่อการวิเคราะห์ แกนนอน คือ ค่าของกลุ่มข้อมูล โดยที่ความกว้างของแท่ง เปรียบเสมือนความกว้างของอันตรภาคชั้น แกนตั้ง คือ ความถี่ของข้อมูล ซึ่งแสดงตามความสูงของแท่ง
ตัวอย่างข้อสอบ
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 1. การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ช่วยเสริมสร้างให้ผู้เรียนเป็นคนมีเหตุผล มีความคิด เป็นระบบ มีทักษะการแก้ปัญหา ทําให้สามารถคิดวิเคราะห์การแก้ปัญหาได้วย่างถีถ้วน ซึ่งเป็นประโยชน์ในชีวิตประจําวัน 2. ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมภายในของรูปสามเหลียมมุมฉาก 3. การแก้ปัญหาและการนําไปใช้ เส้นระดับ = เส้นตรงที่ขนานกับพื้นราบ มุมเงยที่แนวสายตา = มุมที่เบนจากเส้นระดับไปยังวัตถุที่สังเกตหรือมอง ซึ่งอยู่เหนือ เส้นระดับ มุมกัมที่แนวสายตา = มุมที่เบนจากเส้นระดับไปยังวัตถุที่สังเกตหรือมอง ซึ่งอยู่ตํ่ากว่า เส้นระดับ
ตัวอย่างข้อสอบ