เล่มที่ ๓ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 นางสาวรัชชดา มะโนวงศ์ ต าแหน่งครู วิทยฐานะ ครูช านาญการ โรงเรียนส่วนบุญโญปถัมภ์ ล าพูน ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาล าปาง ล าพูน ส านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ
คำนำ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฏีบทพีทาโกรัส รายวิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน (ค22101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 นี้ จัดทำขึ้นทั้งหมดจำนวน 4 เล่ม ดังนี้ เล่ม 1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา เล่ม 4 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นเล่ม 3เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่จัดทำ ขึ้นจากการศึกษาค้นคว้าเอกสาร และตำราต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องเพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจ ที่ชัดเจน และใช้เป็นสื่อในการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เพื่อพัฒนาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้สูงขึ้น ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรม การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ต่อไป นางสาวรัชชดา มะโนวงศ์ ก
สารบัญ หน้า คำนำ ก สารบัญ ข คำชี้แจงในการใช้แบบฝึกทักษะ ค คำแนะนำสำหรับครูผู้สอน ง คำแนะนำสำหรับนักเรียน จ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด ฉ จุดประสงค์การเรียนรู้ ช ใบความรู้ที่ 3.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิต 1 - แบบฝึกทักษะที่ 3.1 5 ใบความรู้ที่ 3.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับทิศและแผนผัง 10 - แบบฝึกทักษะที่ 3.2 14 ใบความรู้ที่ 3.3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา 19 - แบบฝึกทักษะที่ 3.3 22 เกณฑ์การประเมิน 27 เฉลยแบบฝึกทักษะ 31 แบบทดสอบหลังเรียนเล่ม 3 46 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนเล่ม 3 51 เอกสารอ้างอิง 52 ข
คำชี้แจงในการใช้แบบฝึกทักษะ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กับการแก้ปัญหา ใช้เวลาในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ 5 ชั่วโมง 2. นักเรียนต้องศึกษาคำชี้แจงและคำแนะนำในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้ เข้าใจเพื่อให้ปฏิบัติกิจกรรมแต่ละเล่มได้ถูกต้องจนครบทุกกิจกรรม 3. ขั้นตอนในการใช้แบบฝึกทักษะ ค ศึกษาความรู้ทั้งเนื้อหาและตัวอย่างให้เข้าใจ ร่วมทำกิจกรรมการเรียนการสอนและ ทำแบบฝึกทักษะด้วยตนเองอย่างซื่อสัตย์ ทำแบบทดสอบหลังเรียน ผ่าน คะแนนตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไป เรียนรู้แบบฝึกทักษะเล่มต่อไป ต่ำกว่าร้อยละ 70 ไม่ผ่าน
คำแนะนำสำหรับครูผู้สอน เมื่อครูผู้สอนนำแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฏีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา ไปใช้ควรปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้ 1. ศึกษาทำความเข้าใจเกี่ยวกับเนื้อหาและแบบฝึกทักษะ แผนการจัดการเรียนรู้ และเกณฑ์การวัดและประเมินผลให้เข้าใจ 2. ชี้แจงขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้นักเรียนเข้าใจ และแจ้งนักเรียนว่าเมื่อเรียนจบและทำแบบฝึกทักษะในเล่มจบแล้ว นักเรียนจะต้องทำ แบบทดสอบหลังเรียนเพื่อวัดและประเมินผลการเรียน 3. ชี้แจงเกณฑ์จุดประสงค์และเกณฑ์การประเมินผลด้านความรู้ ด้าน ทักษะกระบวนการ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ให้นักเรียนเข้าใจ เพื่อให้ นักเรียนได้วางแผนการเรียนล่วงหน้า 4. จัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการจัดการเรียนรู้ โดยใช้แบบฝึก ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา จำนวน 5 ชั่วโมง ตามลำดับขั้นตอน โดยมีครูคอยชี้แนะและให้ความช่วยเหลือในการทำแบบฝึกทักษะ อย่างใกล้ชิด 5. แจ้งผลคะแนนให้นักเรียนทราบทุกครั้ง เพื่อให้นักเรียนนำไปปรับปรุง แก้ไข และให้แรงเสริมในการร่วมกิจกรรมของนักเรียน ง
คำแนะนำสำหรับนักเรียน เมื่อนักเรียนรับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฏีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา จากครูผู้สอนแล้ว ให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์ การเรียนให้พร้อม จากนั้นปฏิบัติดังนี้ 1. ศึกษาสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และจุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ ด้านทักษะกระบวนการ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ 2. นักเรียนศึกษาใบความรู้และทำกิจกรรมตามลำดับตามที่ครูกำหนด ร่วม กิจกรรมด้วยความตั้งใจ ไม่ควรทำข้าม มีความซื่อสัตย์ หากพบข้อสงสัย ให้ถามครูทันที 3. เมื่อนักเรียนศึกษาเนื้อหาโดยละเอียดและทำแบบฝึกทักษะในแบบฝึกทักษะ เรื่องทฤษฏีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา เรียบร้อยแล้ว และไม่มีข้อสงสัยเพิ่มเติม จะทำการทดสอบหลังเรียน นักเรียนจะต้องทำแบบฝึกทักษะให้ผ่านทุกแบบฝึกทักษะและมีคะแนน ทดสอบหลังเรียนเล่ม 3 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปจึงจะถือว่า “ผ่าน” จ
มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด มาตรฐานการเรียนรู้ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ม.2/5 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ฉ
จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ (K) 1. นักเรียนสามารถแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับเรขาคณิตที่กำหนดให้ โดยใช้ ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้อง 2. นักเรียนสามารถแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับทิศและแผนผังที่กำหนดให้ โดยใช้ ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้อง 3. นักเรียนสามารถนำความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหา ที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้อง ด้านทักษะกระบวนการ (P) 1. นักเรียนสามารถให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลเกี่ยวกับ การวิเคราะห์และวางแผนแก้โจทย์ปัญหาที่กำหนดให้โดยใช้ความรู้เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้องเหมาะสม 2. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และนำเสนอการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ กำหนดให้โดยใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้องชัดเจน 3. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และนำเสนอการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับทิศและแผนผัง ที่กำหนดให้โดยใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้องชัดเจน 4. นักเรียนสามารถให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลเกี่ยวกับ การแก้โจทย์ที่กำหนดให้ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม 5. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมาย เกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนำเสนอได้อย่างถูกต้องชัดเจน ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1. นักเรียนมีวินัยในการเรียน 2. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ 3. นักเรียนมีความมุ่งมั่นในการทำงาน ช
ใบความรู้ที่ 3.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิต การนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตนั้น ลักษณะโจทย์ อาจกำหนดรูปมาให้ ซึ่งจะมีความซับซ้อนมากขึ้น ทั้งนี้โจทย์อาจเป็นประโยคภาษา ซึ่งการหา คำตอบนั้น จะต้องอาศัยการวิเคราะห์โจทย์ และวาดรูปเพื่อช่วยให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น ทำให้ ง่ายต่อการวางแผนแก้ปัญหา ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1) จากรูป จงหาความยาวด้าน AD พิจารณารูป ∆ มุมฉาก ABC จะได้ AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 12 + 12 AC2 = 2 AC = √2 พิจารณารูป ∆ มุมฉาก ACD จะได้ AD2 = AC2 + CD2 AD2 = (√2) 2 + 22 AD2 = 2 + 4 AD = √6 ดังนั้น AD ยาวเท่ากับ √6 หน่วย C D A B 1 1 2 1 จะหาความยาวด้าน AD ได้จากความสัมพันธ์ ระหว่างด้านของ ACD ซึ่งจะต้องทราบความ ยาวของ AC ดังนั้น หาความยาวของด้าน AC จาก ความสัมพันธ์ระหว่างด้านของ ABC ก่อน
2) จากรูป พื้นที่รูปสามเหลี่ยม EDG เท่ากับเท่าใด พิจารณารูป ∆ มุมฉาก EFG จะได้ EF2 = EG2 + GF2 392 = EG2 + 362 EG2 = 392 - 362 = 1,521 - 1,296 = 225 EG = 15 พิจารณารูป ∆ มุมฉาก EDG จะได้ EG2 = DE2 + DG2 152 = 122 + DG2 DG2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 DG = 9 สูตร การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1 2 ฐาน สูง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม EDG = 1 2 DG DE = 1 2 9 12 = 54 ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม EDG = 54 ตารางหน่วย 2 D E G F 39 36 12 พื้นที่สามเหลี่ยม จะต้องทราบ ความยาวของฐาน และส่วนสูง พิจารณา EDG ถ้า DG คือ ฐาน DE คือ ส่วนสูง ซึ่งจะหาความยาว ของ DG ได้ จะต้องหาความยาว ด้าน EG ซึ่งเป็นด้านประกอบมุมฉาก ของ EDG ก่อน
3) จากรูป QS ยาวกว่า SR กี่หน่วย ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก PSR จะได้ (3√5 ) 2 = 62 + SR2 SR2 = (3√5 ) 2 - 6 2 = 45 - 36 = 9 = 32 SR = 3 จะได้ SR ยาว 3 หน่วย ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก PQR จะได้ (6√5 ) 2 = 62 + QR2 QR2 = (6√5 ) 2 - 6 2 = 180 - 36 = 144 = 122 QR = 12 จะได้ QR ยาว 12 หน่วย จะได้ QS = QR - SR = 12 - 3 = 9 หน่วย ดังนั้น QS ยาวกว่า SR = 9 - 3 = 6 หน่วย 3√5 P 6 Q S R 6√5 3 จะต้องรู้ความยาวของ QS และ SR ซึ่งสามารถ หาความยาวของ SR ได้จาก ความสัมพันธ์ ระหว่างด้านของ PSR หาความยาวของ QS ได้จาก การนำ QR - SR ซึ่ง หา QR ได้จากความสัมพันธ์ระหว่างด้านของ PQR
4) สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปหนึ่ง เส้นทแยงมุมทั้งสองมีความยาว 10 และ 24 นิ้ว ความยาวเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้คือเท่าใด เขียนแผนภาพ จะได้ ชวนคิด จากรูป m มีความยาวเท่าใด ลองคิดดู 4 1 2 √5 6 m 4 W R U T Y 5 12 5 สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือ 1. ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน 2. เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก 3. เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ดังนั้น หาความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมดังกล่าว จากความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยม มุมฉากตามทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้ พิจารณา UYT จะได้ UT2 = UY2 + TY2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 จะได้ UT = 13 นิ้ว ดังนั้นเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เท่ากับ 13 + 13 + 13 + 13 = 52 นิ้ว
แบบฝึกทักษะที่ 3.1 จงแสดงวิธีทำเพื่อหาคำตอบ (ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) จากรูป จงหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม BCDE พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก EBD จะได้ ED2 = …………………………………………………………….. แทนค่า 262 = …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได้ BD2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ดังนั้น ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม BCDE =...................................หน่วย 24 26 6 C B E D 5
2) จากรูป จงหาความยาวของ CD พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได้ BD2 = …………………………………………………………….. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. จากรูป BD = BC ดังนั้น BC ยาว............................................................... พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได้ CD 2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ดังนั้น CD ยาว.................................................หน่วย A B C D 7 24 6
3) จากรูป จงหาความยาวของ GF พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEG จะได้ DG2 = …………………………………………………………….. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF จะได้ DF2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ความยาวของด้าน GF = EF - EG =……………………………………………………… ดังนั้น GF ยาว.................................................หน่วย F E G D 12 13 20 7
4) จากรูป จงหาความยาวของ AB .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 10 √29 5 B C D A 8
5) จากรูป จงหาความยาวของ AG .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... B A 1 C D E F G 1 1 1 1 9
ใบความรู้ที่ 3.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับทิศและแผนผัง ทบทวนความรู้เรื่อง ทิศและแผนผังกันหน่อยนะคะ ยังจำได้ไหมเอ่ย ทิศเหนือ (N) ทิศตะวันตก (W) ทิศตะวันออก (E) ทิศใต้ (S) 10 ทิศตะวันตกเฉียงเหนือ ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ ทิศตะวันตกเฉียงใต้ ทิศตะวันออกเฉียงใต้ เวลาเขียนแผนที่หรือแผนผัง มักจะเขียนทิศเหนือกำกับไว้ ด้วยเพื่อความเข้าใจที่ตรงกันค่ะ ต่อไปลองศึกษาตัวอย่าง โจทย์ที่เกี่ยวกับทิศและแผนผัง ซึ่งใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีบท พีทาโกรัสมาช่วยแก้ปัญหากันนะคะ
ตัวอย่างที่ 1 ชายคนหนึ่งเดินไปทางทิศใต้ 27 กิโลเมตร แล้วเดินไปทางทิศตะวันตก 24 กิโลเมตร จากนั้นจึงเดินไปทางทิศเหนืออีก 20 กิโลเมตร จงหาว่าเขาอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น กี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ วิธีคิด 7 20 24 D C B A E 27 27 กิโลเมตร 24 กิโลเมตร 20 กิโลเมตร จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด ให้ A เป็นจุดเริ่มต้น AB : แทนระยะที่เขาเดินไปทางทิศใต้ 27 กิโลเมตร BC : แทนระยะที่เขาเดินไปทางทิศตะวันตก 24 กิโลเมตร CD : แทนระยะที่เขาเดินทางไปทางทิศเหนือ 20 กิโลเมตร AD : แทนระยะห่างจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด ลาก AD และลาก DE ตั้งฉากกับ AB จะได้ว่า BCDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น DE ยาว 24 กิโลเมตร BE ยาว 20 กิโลเมตร จะได้ AE = 27 - 20 = 7 กิโลเมตร 11 N
จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADE จะได้ว่า AD2 = AE2 + DE2 แทนค่า AD2 = 7 2 + 242 = 49 + 576 = 625 AD = 25 ดังนั้น ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 25 กิโลเมตร ตัวอย่างที่ 2 เรือลำหนึ่งแล่นไปทางทิศเหนือ 65 กิโลเมตร แล้วแล่นต่อไปทางทิศ ตะวันตก 18 กิโลเมตร แล้วกลับลำแล่นขึ้นไปทางทิศเหนืออีก 15 กิโลเมตร เรือลำนี้อยู่ห่าง จากจุดเริ่มต้นกี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด 65 กิโลเมตร 18 กิโลเมตร 15 กิโลเมตร 12 N
วิธีคิด J G F H K 65 18 15 15 18 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก FHJ จะได้ FJ2 = FH2 + HJ2 FJ2 = 182 + (65 + 15)2 = 182 + 802 = 324 + 6,400 = 6,724 FJ = 72 ดังนั้น เรือลำนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 72 กิโลเมตร ขจรเดินทางไปทางทิศ ตะวันออก 10 กิโลเมตร แล้วไปทางทิศเหนืออีก 8 กิโลเมตร แล้วเดินทางไป ทางทิศตะวันออกอีก 5 กิโลเมตร ขจรจะอยู่ห่าง จากจุดเริ่มต้นกี่กิโลเมตร ลองทำดู 13
แบบฝึกทักษะที่ 3.2 ให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำอย่างละเอียด (ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) ชายคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันตก 21 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศใต้ อีก 15 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศตะวันตกอีก 15 กิโลเมตร อยากทราบว่า ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดตั้งต้นเท่าไร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 14
2) นเรศเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนโดยเดินทางไปทางทิศเหนือ 2 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทาง ไปทางทิศตะวันออกอีก 4 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศเหนืออีก 4 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศตะวันออกอีก 4 กิโลเมตร ถึงโรงเรียนพอดี อยากทราบว่าบ้าน ของเขาอยู่ห่างจากโรงเรียนกี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 15
3) สมศักดิ์เดินไปทางทิศเหนือ 9 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวทางทิศตะวันตก 2 กิโลเมตร แล้วขึ้นไปทาง ทิศเหนือ 3 กิโลเมตร แล้วไปทางทิศตะวันตก 14 กิโลเมตร สมศักดิ์จะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้นกี่ กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 16
4) กิ่งแก้วขับรถไปทางทิศเหนือ 18 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันออก 4 กิโลเมตร แล้วขึ้น ไปทางทิศเหนืออีก 6 กิโลเมตร แล้วไปทางทิศตะวันออกอีก 28 กิโลเมตร กิ่งแก้วอยู่ห่างจาก จุดตั้งต้นกี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 17
5) เรือลำหนึ่งแล่นไปทางทิศตะวันตกเป็นระยะทาง 17 กิโลเมตร แล้วแล่นไปทางทิศเหนือ อีก 16 กิโลเมตร แล้วแล่นไปทางทิศตะวันออก 47 กิโลเมตร เรือลำนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น เท่าใด จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 18
ใบความรู้ที่3.3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา ในการแก้โจทย์ปัญหา สามารถทำได้ง่าย ๆ โดยใช้ 4 ขั้นตอน ดังนี้ ขั้นที่ 1 เข้าใจโจทย์ปัญหา - อ่านโจทย์ให้ละเอียด - เขียนข้อมูลทุกอย่างที่ โจทย์ให้มา - เขียนว่าโจทย์ต้องการ ให้หาอะไร ขั้นที่ 2 สร้างแผนหรือวิธีการใน การแก้ปัญหา - เลือกวิธีการให้เหมาะสมใน การแก้ปัญหา - มองหาความสัมพันธ์ - คิดแบบย้อนกลับ - ใช้การวาดรูป หรือ แผนผัง - สร้างตาราง หรือ แทนค่าในสูตร - แทนค่าตัวเลขและทำ การทดสอบ ขั้นที่ 3 ลงมือทำตามแผนหรือ วิธีการที่วางไว้ - ลงมือแก้โจทย์ตามวิธีการที่ เลือกไว้ - มีข้อมูลเพียงพอหรือไม่ใน การแก้โจทย์ปัญหา - สามารถหารูปแบบหรือ ความสัมพันธ์ได้หรือไม่ ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบ 19
ตัวอย่าง ต้นไม้ต้นหนึ่งใช้ลวดผูกที่จุดซึ่งห่างจากยอด 2 ฟุต แล้วดึงมาผูกที่หลักซึ่งอยู่ห่าง จากโคนต้นไม้ 15 ฟุต ถ้าลวดยาว 25 ฟุต ต้นไม้นี้สูงกี่ฟุต ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : 1) ต้นไม้ต้นหนึ่งใช้ลวดผูกที่จุดซึ่งห่างจากยอด 2 ฟุต 2) ดึงมาผูกที่หลักซึ่งอยู่ห่างจากโคนต้นไม้ 15 ฟุต โจทย์ต้องการให้หา : ถ้าลวดยาว 25 ฟุต ต้นไม้นี้สูงกี่ฟุต วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : วิธีทำ จากแผนภาพแนวคิด จะได้ 252 = a2 + 152 625 = a2 + 225 a 2 = 625 - 225 = 400 a = 20 ตรวจคำตอบ : 252 = 202 + 152 เป็นจริง ดังนั้น ต้นไม้สูง 20 + 2 = 22 ฟุต 25 ฟุต 15 ฟุต 2 ฟุต 25 ฟุต 15 ฟุต a 20
ตัวอย่าง กล่องบรรจุนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 3.5 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร และ สูง 12 เซนติเมตร ผู้ผลิตต้องการติดหลอดดูดชนิดตรงแนบกับกล่องโดยไม่ให้หลอดดูด ยาวพ้นกล่อง เขาจะใช้หลอดดูดได้ยาวที่สุดกี่เซนติเมตร ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : 1) กล่องบรรจุนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 3.5 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร และ สูง 12 เซนติเมตร 2) ผู้ผลิตต้องการติดหลอดดูดชนิดตรงแนบกับกล่องโดยไม่ให้ หลอดดูดยาวพ้นกล่อง โจทย์ต้องการให้หา : จะใช้หลอดดูดได้ยาวที่สุดกี่เซนติเมตร วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : วิธีทำ จากแผนภาพแนวคิด จะได้ n 2 = 122 + 5 2 = 144 + 25 = 169 n = 13 ตรวจคำตอบ : 132 = 122 + 52 เป็นจริง ดังนั้น จะใช้หลอดดูดได้ยาวที่สุด 13 เซนติเมตร 3.5 5 12 5 12 n วางหลอดดูดได้ยาวที่สุดโดยไม่ให้หลอดดูดยาว พ้นกล่อง ดังนั้นควรวางหลอดดูดในแนวทแยงมุม ใช่ไหมคะ 21
แบบฝึกทักษะที่ 3.3 จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด (ข้อละ 5 คะแนน คะแนนเต็ม 25 คะแนน) 1) บันไดยาว 20 ฟุต วางพิงผนังตึก ปลายบันไดสูงจากพื้นดิน 16 ฟุต โคนบันไดอยู่ห่าง จากผนังตึกเท่าใด ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ โจทย์ต้องการให้หา : ................................................................................................ วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 22
2) ชายคนหนึ่งสูง 6 ฟุต ยืนอยู่ห่างจากจุดปล่อยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยขึ้นไปจาก จุดปล่อย 306 ฟุต จงหาว่าศีรษะชายคนนั้นอยู่ห่างจากบอลลูนกี่ฟุต ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ โจทย์ต้องการให้หา : ................................................................................................ วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 23
3) นักเรียนยืนห่างจากเสาธง 12 ฟุต เชิญธงชาติขึ้นสู่ยอดเสาซึ่งต้องใช้เชือก 2 ทบ เมื่อดึง เชือกให้ตึง วัดจากปลายเท้าถึงยอดเสาพบว่าเชือกยาวทั้งหมด 40 ฟุต เสาธงสูงกี่ฟุต ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ โจทย์ต้องการให้หา : ................................................................................................ วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 24
4) ไม้ไผ่ยาว 15 ฟุต ต้องการวางพาดริมกำแพงให้โคนไม้ไผ่อยู่ห่างจากกำแพง 5 ฟุต ควรวางไม้ไผ่สูงจากพื้นดินเท่าไร ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ โจทย์ต้องการให้หา : ................................................................................................ วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 25
5) สุดธิดาจะนำร่มยาว 25 เซนติเมตร ใส่กล่องดังรูปนี้ได้หรือไม่ ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ................................................................................................ ................................................................................................ โจทย์ต้องการให้หา : ................................................................................................ วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 26
เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกทักษะที่ 3.1 (คะแนนเต็ม 20 คะแนน) แบบฝึกทักษะข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 1) จำนวน 5 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน 4 คะแนน : เขียนความสัมพันธ์ของความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่า ถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ คำตอบย่อยถูกต้องทั้งหมด สรุปคำตอบสุดท้าย ได้ถูกต้อง 3 คะแนน : เขียนความสัมพันธ์ของความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่า ถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ คำตอบย่อยถูกต้อง แต่คำตอบสุดท้ายไม่ถูกต้อง 2 คะแนน : เขียนความสัมพันธ์ของความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่า ถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง แต่ คำตอบย่อยไม่ถูกต้อง และคำตอบสุดท้ายไม่ ถูกต้อง 1 คะแนน : เขียนความสัมพันธ์ของความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง เขียนแสดง วิธีทำไม่ถูกต้อง คำตอบไม่ถูกต้อง 0 คะแนน : เขียนความสัมพันธ์ของความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ถูกต้อง เขียนแสดง วิธีทำไม่ถูกต้อง คำตอบไม่ถูกต้อง หรือไม่ทำ 27
แบบฝึกทักษะที่ 3.2 (คะแนนเต็ม 20 คะแนน) แบบฝึกทักษะข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 1) จำนวน 5 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน 4 คะแนน : เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนความสัมพันธ์ของความยาวด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่าถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ คำตอบถูกต้อง 3 คะแนน : เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนความสัมพันธ์ของความยาวด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่าถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ คำตอบไม่ถูกต้อง 2 คะแนน : เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนความสัมพันธ์ของความยาวด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉากไม่ถูกต้อง คำตอบไม่ถูกต้อง 1 คะแนน : เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดไม่ถูกต้อง 0 คะแนน : เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดไม่ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดไม่ถูกต้อง 28
แบบฝึกทักษะที่ 3.3 (คะแนนเต็ม 25 คะแนน) แบบฝึกทักษะข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 1) จำนวน 5 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน คะแนนเต็ม 25 คะแนน 5 คะแนน : เขียนสิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ ต้องการให้หาถูกต้อง เขียนแสดงภาพจากโจทย์ ที่กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนความสัมพันธ์ของความยาวด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่าถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สมบูรณ์ สรุป คำตอบถูกต้อง 4 คะแนน : เขียนสิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ ต้องการให้หาถูกต้อง เขียนแสดงภาพจากโจทย์ ที่กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนความสัมพันธ์ของความยาวด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉากได้ถูกต้อง แทนค่าถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำได้อย่างถูกต้อง สรุปคำตอบไม่ ถูกต้อง 3 คะแนน : เขียนสิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ ต้องการให้หาถูกต้อง เขียนแสดงภาพจากโจทย์ ที่กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง เขียนแสดงวิธีทำไม่ถูกต้อง คำตอบไม่ถูกต้อง 2 คะแนน : เขียนสิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ ต้องการให้หาถูกต้อง เขียนแสดงภาพจากโจทย์ ที่กำหนดได้ถูกต้อง เขียนภาพแนวคิดได้ถูกต้อง แสดงวิธีทำไม่ถูกต้อง 29
แบบฝึกทักษะข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 1 คะแนน : สิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ ต้องการให้หาถูกต้อง เขียนแสดงภาพจากโจทย์ ที่กำหนดได้ถูกต้อง แต่เขียนภาพแนวคิดไม่ ถูกต้อง 0 คะแนน : สิ่งที่โจทย์ให้มา สิ่งที่โจทย์ต้องการ ให้หาถูกต้อง แต่เขียนแสดงภาพจากโจทย์ที่ กำหนดไม่ถูกต้อง แบบทดสอบหลังเรียน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน) แบบทดสอบหลังเรียน เกณฑ์การให้คะแนน จำนวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1 คะแนน : คำตอบถูกต้อง 0 คะแนน : คำตอบไม่ถูกต้อง คะแนนรวมทั้งหมด 75 คะแนน 30
แบบฝึกทักษะที่ 3.1 จงแสดงวิธีทำเพื่อหาคำตอบ (ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) จากรูป จงหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม BCDE พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก EBD จะได้ ED2 = …………………………………………………………….. แทนค่า 262 = …………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได้ BD2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ดังนั้น ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยม BCDE = 26 + 24 + 6 + 8 = 64 หน่วย 24 26 6 C B E D EB2 + BD2 242 + BD2 676 = 576 + BD2 BD2 = 676 - 576 = 100 BD = 10 BC 2 + CD2 102 = 62 + CD2 100 = 36 + CD2 CD2 = 100 - 36 = 64 31 CD = 8 เฉลย
2) จากรูป จงหาความยาวของ CD พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได้ BD2 = …………………………………………………………….. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. จากรูป BD = BC ดังนั้น BC ยาว............................................................... พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD จะได้ CD 2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ดังนั้น CD ยาว.................................................หน่วย D 7 A B C 24 AB 2 + AD2 BD2 = 242 + 72 BD2 = 576 + 49 BD2 = 625 BD = 25 25 หน่วย BD 2 + BC2 CD2 = 252 + 252 = 625 + 625 = 1,250 CD = 25√2 25√2 32
3) จากรูป จงหาความยาวของ GF พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEG จะได้ DG 2 = …………………………………………………………….. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก DEF จะได้ DF 2 = …………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ความยาวของด้าน GF = EF - EG =……………………………………………………… ดังนั้น GF ยาว.................................................หน่วย F G E D 12 13 20 ED2 + EG2 132 = 122 + EG2 169 = 144 + EG2 EG2 = 169 - 144 = 25 EG = 5 ED2 + EF2 202 = 122 + EF2 400 = 144 + EF2 EF2 = 400 - 144 = 256 EF = 16 16 - 5 = 11 11 33
4) จากรูป จงหาความยาวของ AB พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACD จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. BD ยาวเท่ากับ BC + CD จะได้ 10 + 2 = 12 พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได้ ………………………………………………………………………………….. แทนค่า ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………… ดังนั้น AB ยาว.................................................หน่วย 10 √29 5 B C D A √292 = CD2 + 52 CD2 = √292 - 5 2 CD2 = 29 - 25 = 4 CD = 2 AB2 = BD2 + AD2 AB2 = 122 + 52 AB2 = 144 + 25 AB2 = 169 AB = 13 13 AC2 = CD2 + AD2 34
5) จากรูป จงหาความยาวของ AG พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACD จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ADE จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AEF จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AFG จะได้ …………………………………………………………………………………. แทนค่า …………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………… B A 1 C D E F G 1 1 1 1 AC2 = 12 + 12 = 2 AC = √2 AC2 = AB2 + BC2 1 AD 2 = √2 2 + 12 = 2 + 1 2 AD2 = 3 AD2 = AC2 + CD2 AD = √3 AE2 = √3 2 + 12 = 3 + 1 2AE2 = 4 AE2 = AD2 + DE2 AE = 2 AF 2 = 2 2 + 12 = 4 + 1 = 5 AF = √5 AF2 = AE2 + EF 2 AG2 = √5 2 + 12 = 5 + 1 = 6 AG = √6 AG2 = AF2 + FG2 35
แบบฝึกทักษะที่ 3.2 ให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำอย่างละเอียด (ข้อละ 4 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) ชายคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันตก 21 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศใต้ อีก 15 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศตะวันตกอีก 15 กิโลเมตร อยากทราบว่า ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดตั้งต้นเท่าไร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. จุดตั้งต้น A C B 21 กม. 15 กม. 15 กม. 15 D 21 15 E 21 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 152 + 362 AC2 = 225 + 1,296 AC2 = 1,521 AC = 39 36 N เฉลย ดังนั้น ชายคนนี้อยู่ห่างจากจุดตั้งต้น 39 กิโลเมตร
2) นเรศเดินทางจากบ้านไปโรงเรียนโดยเดินทางไปทางทิศเหนือ 2 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยน ทิศทางไปทางทิศตะวันออกอีก 4 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศเหนืออีก 4 กิโลเมตร แล้วเปลี่ยนทิศทางไปทางทิศตะวันออกอีก 4 กิโลเมตร ถึงโรงเรียนพอดี อยากทราบว่าบ้าน ของเขาอยู่ห่างจากโรงเรียนกี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 2 กม. 4 กม. 4 กม. 4 กม. A B C D E F 8 6 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 62 + 82 AC2 = 36 + 64 AC2 = 100 AC = 10 ดังนั้น บ้านอยู่ห่างจากโรงเรียน 10 กิโลเมตร 37 N
3) สมศักดิ์เดินไปทางทิศเหนือ 9 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวทางทิศตะวันตก 2 กิโลเมตร แล้วขึ้นไป ทางทิศเหนือ 3 กิโลเมตร แล้วไปทางทิศตะวันตก 14 กิโลเมตร สมศักดิ์จะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น กี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. จุดตั้งต้น A B C 9 กม. 2 กม. 3 กม. 14 กม. 16 12 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 162 + 122 AC2 = 256 + 144 AC2 = 400 AC = 20 ดังนั้น สมศักดิ์จะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น 20 กิโลเมตร 38 N
4) กิ่งแก้วขับรถไปทางทิศเหนือ 18 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวไปทางทิศตะวันออก 4 กิโลเมตร แล้วขึ้นไปทางทิศเหนืออีก 6 กิโลเมตร แล้วไปทางทิศตะวันออกอีก 28 กิโลเมตร กิ่งแก้ว อยู่ห่างจากจุดตั้งต้นกี่กิโลเมตร จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. จุดตั้งต้น 18 กม. 4 กม. 6 กม. 28 กม. 18 4 6 28 6 4 A B C พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 242 + 322 AC2 = 576 + 1,024 AC2 = 1,600 AC = 40 ดังนั้น กิ่งแก้วจะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น 40 กิโลเมตร 39 N
5) เรือลำหนึ่งแล่นไปทางทิศตะวันตกเป็นระยะทาง 17 กิโลเมตร แล้วแล่นไปทางทิศเหนือ อีก 16 กิโลเมตร แล้วแล่นไปทางทิศตะวันออก 47 กิโลเมตร เรือลำนี้อยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น เท่าใด จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ ดังนี้ แผนภาพแนวคิด แสดงวิธีทำ....……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 17 กม. 16 กม. 47 กม. จุดเริ่มต้น A A B C 16 17 17 30 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 162 + 302 AC2 = 256 + 900 AC2 = 1,156 AC = 34 ดังนั้น เรืออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น 34 กิโลเมตร 40 N
แบบฝึกทักษะที่ 3.3 จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด (ข้อละ 5 คะแนน คะแนนเต็ม 25 คะแนน) 1) บันไดยาว 20 ฟุต วางพิงผนังตึก ปลายบันไดสูงจากพื้นดิน 16 ฟุต โคนบันไดอยู่ห่าง จากผนังตึกเท่าใด ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : บันไดยาว 20 ฟุต วางพิงผนังตึก ปลายบันไดสูงจากพื้นดิน 16 ฟุต โจทย์ต้องการให้หา : โคนบันไดอยู่ห่างจากผนังตึกเท่าใด วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 16 ฟุต 20 ฟุต 20 ฟุต 16 ฟุต a ให้ โคนบันไดอยู่ห่างจากผนังตึก a ฟุต 202 = 162 + a2 a 2 = 202 - 162 a 2 = 400 - 256 a = 12 a 2 = 144 202 = 162 + 122 เป็นจริง โคนบันไดอยู่ห่างจากผนังตึก 12 ฟุต 41
2) ชายคนหนึ่งสูง 6 ฟุต ยืนอยู่ห่างจากจุดปล่อยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยขึ้นไปจาก จุดปล่อย 306 ฟุต จงหาว่าศีรษะชายคนนั้นอยู่ห่างจากบอลลูนกี่ฟุต ข้อมูลที่โจทย์ให้มา : ชายคนหนึ่งสูง 6 ฟุต ยืนอยู่ห่างจากจุดปล่อยบอลลูน 400 ฟุต บอลลูนลอยขึ้นไปจากจุดปล่อย 306 ฟุต โจทย์ต้องการให้หา : ศีรษะชายคนนั้นอยู่ห่างจากบอลลูนกี่ฟุต วางแผนแก้ปัญหา : โดยวาดรูป จากโจทย์สามารถเขียนแสดงเป็นภาพได้ดังนี้ แผนภาพแนวคิด ลงมือทำตามแผน : ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตรวจคำตอบ : ..................................................................................................... ดังนั้น .................................................................................................................. 306 ฟุต 6 ฟุต 400 ฟุต 6 300 400 m ให้ ศีรษะชายคนนั้นอยู่ห่างจากบอลลูน m ฟุต m 2 = 3002 + 4002 m 2 = 90,000 + 160,000 m 2 = 250,000 m = 500 5002 = 3002 + 4002 เป็นจริง ศีรษะชายคนนั้นอยู่ห่างจากบอลลูน 500 ฟุต 42