เล่มที่ ๒ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 นางสาวรัชชดา มะโนวงศ์ ต าแหน่งครู วิทยฐานะ ครูช านาญการ โรงเรียนส่วนบุญโญปถัมภ์ ล าพูน ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาล าปาง ล าพูน ส านักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ
คำนำ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส รายวิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน (ค22101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 นี้ จัดทำขึ้นทั้งหมดจำนวน 4 เล่ม ดังนี้ เล่ม 1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เล่ม 3 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับการแก้ปัญหา เล่ม 4 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นเล่ม 2เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่จัดทำ ขึ้นจากการศึกษาค้นคว้าเอกสาร และตำราต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องเพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจ ที่ชัดเจน และใช้เป็นสื่อในการจัดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เพื่อพัฒนาผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้สูงขึ้น ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ในการจัดกิจกรรม การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ต่อไป นางสาวรัชชดา มะโนวงศ์ ก
สารบัญ หน้า คำนำ ก สารบัญ ข คำชี้แจงในการใช้แบบฝึกทักษะ ค คำแนะนำสำหรับครูผู้สอน ง คำแนะนำสำหรับนักเรียน จ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด ฉ จุดประสงค์การเรียนรู้ ช ใบความรู้ที่ 2.1 พีทาโกรัสคือใคร 1 - กิจกรรมที่ 2.1 3 ใบความรู้ที่ 2.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 5 - กิจกรรมที่ 2.2 6 ใบความรู้ที่ 2.3 การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 1 7 - แบบฝึกทักษะที่ 2.3 9 ใบความรู้ที่ 2.4 การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 14 - แบบฝึกทักษะที่ 2.4 16 ใบความรู้ที่ 2.4 การหาความยาวของด้านที่เหลือ 12 - แบบฝึกทักษะที่ 2.4 14 ใบความรู้ที่ 2.5 การหารความยาวของด้านที่เหลือ 1 22 - แบบฝึกทักษะที่ 2.5 25 ใบความรู้ที่ 2.6 การหารความยาวของด้านที่เหลือ 2 32 - แบบฝึกทักษะที่ 2.6 36 เกณฑ์การประเมิน 43 เฉลยแบบฝึกทักษะ 47 แบบทดสอบหลังเรียนเล่ม 2 75 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนเล่ม 2 81 เอกสารอ้างอิง 82 ข
คำชี้แจงในการใช้แบบฝึกทักษะ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ใช้เวลาในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ 5 ชั่วโมง 2. นักเรียนต้องศึกษาคำชี้แจงและคำแนะนำในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้ เข้าใจเพื่อให้ปฏิบัติกิจกรรมแต่ละเล่มได้ถูกต้องจนครบทุกกิจกรรม 3. ขั้นตอนในการใช้แบบฝึกทักษะ ศึกษาความรู้ทั้งเนื้อหาและตัวอย่างให้เข้าใจ ร่วมทำกิจกรรมการเรียนการสอนและ ทำแบบฝึกทักษะด้วยตนเองอย่างซื่อสัตย์ ทำแบบทดสอบหลังเรียน ผ่าน คะแนนตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไป เรียนรู้แบบฝึกทักษะเล่มต่อไป ต่ำกว่าร้อยละ 70 ไม่ผ่าน ค
คำแนะนำสำหรับครูผู้สอน เมื่อครูผู้สอนนำแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ไปใช้ ควรปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้ 1. ศึกษาทำความเข้าใจเกี่ยวกับเนื้อหาและแบบฝึกทักษะ แผนการจัดการเรียนรู้ และเกณฑ์การวัดและประเมินผลให้เข้าใจ 2. ชี้แจงขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้นักเรียนเข้าใจ และแจ้งนักเรียนว่าเมื่อเรียนจบและทำแบบฝึกทักษะในเล่มจบแล้ว นักเรียนจะต้องทำ แบบทดสอบหลังเรียนเพื่อวัดและประเมินผลการเรียน 3. ชี้แจงเกณฑ์จุดประสงค์และเกณฑ์การประเมินผลด้านความรู้ ด้าน ทักษะกระบวนการ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ให้นักเรียนเข้าใจ เพื่อให้ นักเรียนได้วางแผนการเรียนล่วงหน้า 4. จัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแผนการจัดการเรียนรู้ โดยใช้แบบฝึก ทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จำนวน 5 ชั่วโมง ตามลำดับขั้นตอน โดยมีครูคอยชี้แนะและให้ความช่วยเหลือในการทำแบบฝึกทักษะอย่างใกล้ชิด 5. แจ้งผลคะแนนให้นักเรียนทราบทุกครั้ง เพื่อให้นักเรียนนำไปปรับปรุง แก้ไข และให้แรงเสริมในการร่วมกิจกรรมของนักเรียน ง
คำแนะนำสำหรับนักเรียน เมื่อนักเรียนรับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จาก ครูผู้สอนแล้ว ให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์การเรียนให้พร้อม จากนั้นปฏิบัติดังนี้ 1. ศึกษาสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และจุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ ด้านทักษะกระบวนการ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ 2. นักเรียนศึกษาใบความรู้และทำกิจกรรมตามลำดับตามที่ครูกำหนด ร่วมกิจกรรมด้วยความตั้งใจ ไม่ควรทำข้าม มีความซื่อสัตย์ หากพบข้อ สงสัยให้ถามครูทันที 3. เมื่อนักเรียนศึกษาเนื้อหาโดยละเอียดและทำแบบฝึกทักษะในแบบฝึกทักษะ เล่ม 2 เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรียบร้อยแล้ว และไม่มีข้อสงสัยเพิ่มเติม จะทำการทดสอบหลังเรียน นักเรียนจะต้องทำแบบฝึกทักษะให้ผ่านทุกแบบฝึกทักษะและมีคะแนน ทดสอบหลังเรียนเล่ม 2 ตั้งแต่ร้อยละ 70 ขึ้นไปจึงจะถือว่า “ผ่าน” จ
มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด มาตรฐานการเรียนรู้ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้ ตัวชี้วัด ม.2/5 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ฉ
จุดประสงค์การเรียนรู้ ด้านความรู้ (K) 1. นักเรียนสามารถศึกษา ค้นคว้าและแลกเปลี่ยนเรียนรู้เกี่ยวกับประวัติ ของพีทาโกรัสได้ 2. นักเรียนมีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างถูกต้อง 3. นักเรียนสามารถหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ความรู้เรื่องทฤษฎี บทพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้อง 4. เมื่อกำหนดความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจำนวน 2 ด้านให้ นักเรียนสามารถใช้ความรู้เรื่องทฤษฏีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้าน ที่เหลือได้ถูกต้อง ด้านทักษะกระบวนการ (P) 1. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และนำเสนอประวัติของพีทาโกรัสได้อย่างถูกต้องชัดเจน 2. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และนำเสนอความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างถูกต้องชัดเจน 3. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมายในการหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยใช้ความรู้เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนำเสนอได้อย่างถูกต้องชัดเจน 4. นักเรียนสามารถใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สื่อความหมายในการหาความยาวด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ ความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนำเสนอได้อย่างถูกต้องชัดเจน ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1. นักเรียนมีวินัยในการเรียน 2. นักเรียนมีความใฝ่เรียนรู้ 3. นักเรียนมีความมุ่งมั่นในการทำงาน ช
ใบความรู้ที่ 2.1 เรื่องพีทาโกรัสคือใคร พีทาโกรัส นับเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่โลกจดจำอีกท่านหนึ่ง พีทาโกรัสนับ เป็นนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณที่มีชีวิตอยู่ในช่วง 500 ปี ก่อนคริสต์ศักราช เป็นชาวเมือง ซามอสซึ่งอยู่ในประเทศกรีซในปัจจุบัน ด้านการศึกษาของพีทาโกรัส ด้วยความฉลาดและใฝ่ความรู้ พีทาโกรัสได้ออก เดินทางเพื่อศึกษาเล่าเรียนวิชาต่าง ๆ มากมายจากบุคคลสำคัญของโลกในสมัยนั้นและ เป็นบุคคลที่ได้ชื่อว่าเป็นนักเดินทางไปยังสถานที่ต่าง ๆ มากมายเช่นกัน อาธิอาระเบีย เปอร์เซีย อินเดีย และอียิปต์ และในช่วงชีวิตเริ่มต้นหนึ่ง เขาถูกกษัตริย์คัมไบเซสที่สอง แห่งเปอร์เซียจับกุมไปยังบาบิโลนในฐานะนักโทษ แต่ที่แห่งนั้นก็ทําให้เขาได้เรียนรู้วิชา คณิตศาสตร์และดนตรีของชาวบาบิโลเนียน ภายหลังจากการเดินทางไปยังสถานที่ต่าง ๆ มากมายแล้ว พีทาโกรัสได้กลับไป ยังบ้านเกิดของตน แต่ก็ต้องมีเหตุให้ต้องย้ายถิ่นฐานไปยังเมืองโครโทน อันเหตุจากเกาะ ซามอสได้ตกไปอยู่ภายใต้รัฐบาลทรราชของโพลีเครติส ณ เมืองโครโทนที่เขาย้ายมานั้นเอง เขาได้ก่อตั้งสมาคมศาสนาอย่างลับ ๆ และมี การปฏิรูปวัฒนธรรมของชาวโครโทนให้เป็นไปตามรูปแบบที่เขาต้องการ โดยปฏิบัติตน ตามจริยธรรมและมีการสร้างกลุ่มสาวกเป็นของตนเองที่ชื่อว่า “พีทาโกเรียน” และเรียก ตัวเองว่ามาเททาทิคอย(Mathematikoi) และที่แห่งนี้เองพีทาโกรัสก็ได้สร้างโรงเรียน ขึ้น โดยผู้ที่จะเข้าศึกษาที่นี่จะต้องสละทรัพย์สินของตนและกินนอนอยู่ที่โรงเรียน โรงเรียนของพีทาโกรัสจะมีการเรียนการสอนที่เน้นวิชาทางด้านต่าง ๆ คือ ปรัชญา คณิตศาสตร์ และดาราศาสตร์ 1
ผลงานสำคัญ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ท่านนี้ เป็นที่ทราบและรู้จักกันดีว่า เป็นผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือตารางพีทาโกเรียน (Pythagorean Table) ทฤษฎีบทเรขาคณิตหรือทฤษฎีบท พีทาโกรัส คุณสมบัติของแสงและเสียง และเป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรกที่คิดค้นทฤษฎี เกี่ยวกับโลกกลม และการหมุนรอบตัวเองของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ โลกและดาว เคราะห์ พีทาโกรัสเคยกล่าวเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ไว้ว่า "คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของ ทุกสิ่งทุกอย่าง ถ้าไม่มีคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างก็จะไม่เกิดขึ้น" ซึ่งก็จริงแท้แน่นอนเพราะ จะเห็นได้ว่า สิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นมาบนโลกใบนี้ ก็ล้วนแล้วแต่ต้องอาศัยการคำนวณ การวัด การชั่ง ซึ่งล้วนแล้วแต่เป็นหลักการพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ที่มา ดัดแปลงจาก http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Kapitolinischer_Pythagoras.jpg , Galilea at German Wikipedia. 2 ลองค้นคว้าเพิ่มเติม แล้วนำมาแลกเปลี่ยน เรียนรู้ร่วมกันกับเพื่อนนะคะ
กิจกรรมที่ 2.1 เกมตอบได้ให้แต้ม นักเรียนแต่ละกลุ่มฟังคำถามและช่วยกันตอบ โดยเขียนข้อ A หรือ B ลงใน กระดาษที่ครูแจกให้ ชูขึ้นพร้อมกันทุกกลุ่ม กลุ่มไหนตอบถูกจะได้คะแนน สะสมคะแนน จนครบ 10 ข้อ กลุ่มไหนได้คะแนนสูงสุดกลุ่มนั้นชนะ หมายเหตุ 1. แต่ละข้อนักเรียนมีเวลาคิดข้อละ 1 นาที 2. คะแนนเต็ม 18 คะแนน โดยกำหนดน้ำหนักคะแนนของคำถามแต่ละ ข้อเป็นดังนี้ ข้อ 1 (1 คะแนน) ข้อ 2 (1 คะแนน) ข้อ 3 (1 คะแนน) ข้อ 4 (1 คะแนน) ข้อ 5 (2 คะแนน) ข้อ 6 (2 คะแนน) ข้อ 7 (3 คะแนน) ข้อ 8 (3 คะแนน) ข้อ 9 (2 คะแนน) ข้อ 10 (2 คะแนน) คำถาม คำตอบ A B 1) พีทาโกรัสเป็นชาวเมืองใด เกาะซามอส เกาะซามีล 2) ใครเป็นผู้แนะนำให้พีทาโกรัสไป ศึกษาต่อทางคณิตศาสตร์ ทาเลส เทลาส 3) พีทาโกรัสตั้งสำนักขึ้นมีชื่อว่า อย่างไร โครโตนา พีทาโกเรียน 4) ตราประจำสำนักที่พีทาโกรัสตั้งขึ้น คืออะไร ดาวห้าแฉก ดาวสี่แฉก 5) ปรัชญาของสำนักที่พีทาโกรัสตั้งขึ้น คืออะไร จักรวาล ครอบครองจำนวน จำนวนครอบครอง จักรวาล 6) โรงเรียนของพีทาโกรัสจะมีการ เรียนการสอนที่เน้นวิชาใด ดาราศาสตร์ วิทยาศาสตร์ 3
คำถาม คำตอบ A B 7) ข้อใดไม่ใช่ผลงานของพีทาโกรัส ทฤษฎีเกี่ยวกับ โลกกลม ตารางพีชคณิต 8) ในสมัยของพีทาโกรัสจำนวน หมายถึงอะไร จำนวนตรรกยะ บวกและศูนย์ จำนวนจริง 9) ศิษย์คนหนึ่งนำความลับของสำนัก ที่พีทาโกรัสตั้งขึ้นไปเปิดเผยชื่อว่า .... ฮิปปาซุส ฮิบปาปา 10)อนุสาวรีย์พีทาโกรัสตั้งอยู่ที่ใด บาบิโลเนีย เกาะซามอส ได้กี่คะแนนคะ 4
ใบความรู้ที่ 2.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า “ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก” จากรูป พิจารณา c 2 คือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ 52 = 25 ตารางหน่วย a 2 คือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก เท่ากับ 3 2 = 9 ตารางหน่วย b 2 คือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก เท่ากับ 4 2 = 16 ตารางหน่วย ซึ่ง 25 = 9 + 16 ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก 5 A b a b a c c B C
กิจกรรมที่ 2.2 จริงหรือไม่ นักเรียนรับแผ่นภาพและใบกิจกรรมคนละ 1 แผ่น จากนั้นตัดแผ่นภาพดาษออกเป็น รูปเรขาคณิตชิ้นที่ 1 – 7 จากนั้นนำมาประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีด้านยาว เท่ากับ AC นำรูปที่ประกอบได้จัดเรียงบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ABC ในใบกิจกรรมนี้ เพื่อพิสูจน์ว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จริงหรือไม่ 6 1 2 3 4 7 6 5 A B C
ใบความรู้ที่ 2.3 การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก1 เราสามารถหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาวของด้านประกอบมุมฉากให้ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่กล่าวว่า สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้าม มุมฉากเท่ากับผลบวกกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ถ้า a, b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c เป็นความยาวของด้านตรงข้าม มุมฉาก แล้ว c 2 = a2 + b2 ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อกำหนด ความยาวของด้านประกอบมุมฉากให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 32 + 42 AC2 = 9 + 16 AC2 = 25 AC2 = 52 หรือ (-5)2 AC = 5, -5 AC = 5 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉาก ( AC ) ยาว 5 นิ้ว A B C 3 นิ้ว 4 นิ้ว 7 (แต่ AC เป็นความยาวของด้านรูป สามเหลี่ยม จึงใช้ค่าที่เป็นจำนวนบวก)
ตัวอย่างที่ 2 จากรูป จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาว ของด้านประกอบมุมฉากให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ c 2 = 5 2 + 122 c 2 = 25 + 144 c 2 = 169 c 2 = 132 หรือ (-13)2 c = 13, -13 c = 13 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 หน่วย ตัวอย่างที่ 3 สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 20 และ 21 ซม. จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก วาดภาพประกอบจะได้ วิธีทำ ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a เซนติเมตร จะได้ a 2 = 212 + 202 a 2 = 441 + 400 a 2 = 841 a 2 = 292 a = 29 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 29 เซนติเมตร c 5 12 8 (แต่ c เป็นความยาวของด้านรูป สามเหลี่ยม จึงใช้ค่าที่เป็น จำนวนบวก) 20 21 ต่อจากนี้จะเขียนแต่ค่าที่ เป็นจำนวนบวกนะคะ
แบบฝึกทักษะที่ 2.3 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) 2) 8 6 b y 24 7 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 9
3) 4) p 15 8 20 15 m …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 10
5) 6) 24 10 r 16 e 30 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 11
7) 8) p 24 18 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 12 25 e 60 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..
9) สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 60 และ 45 เซนติเมตร 10) สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 9 และ 12 เซนติเมตร ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 13
ใบความรู้ที่ 2.4 การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก2 ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาว ของด้านประกอบมุมฉากให้ จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ a 2 = (1.2) 2 + (0.9) 2 a 2 = 1.44 + 0.81 a 2 = 2.25 a 2 = (1.5) 2 หรือ (-1.5)2 a = 1.5 หน่วย ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 1.5 หน่วย 1.2 0.9 a ถ้าโจทย์กำหนดความยาวเป็นทศนิยมไม่ต้องตกใจนะคะ วิธีคิด เดียวกันเลยค่ะ แต่ระวังเรื่องจุดทศนิยมด้วยนะคะ เช่น (2.5)2 = 2.5 2.5 = 6.25 (ทศนิยม 2 ตำแหน่งนะคะ) เช่นเดียวกันนะคะ a เป็นความยาว ของด้านรูปสามเหลี่ยม จึงใช้ค่าที่เป็น จำนวนบวก 14
ตัวอย่างที่ 2 สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 0.3 และ 0.4 นิ้ว จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก วาดภาพประกอบจะได้ วิธีทำ ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a เซนติเมตร จะได้ a 2 = (0.4)2 + (0.3)2 a 2 = 0.16 + 0.09 a 2 = 0.25 a 2 = (0.5)2 a = 0.5 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 0.5 นิ้ว 0.3 0.4 ย้ำอีกครั้งนะคะ ในการคำนวณจะได้ค่าที่เป็นจำนวนบวกและ จำนวนลบ แต่เนื่องจากเป็นความยาวของด้าน จึงใช้ค่าที่เป็น จำนวนบวกในการสรุปคำตอบ ซึ่งต่อไปจะไม่เขียนค่าที่เป็น จำนวนลบแล้ว นักเรียนเข้าใจตรงกันนะคะ 15
แบบฝึกทักษะที่ 2.4 1. พิจารณาแต่ละข้อต่อไปนี้ ข้อใดถูก ข้อใดผิด ถ้าผิดจงให้เหตุผลประกอบ (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน) 1) ถูก ผิด เนื่องจาก............................................................................................................ .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 16 2.1 2.8 m 2 = (2.1)2 + (2.8)2 m 2 = 44.1 + 78.4 m 2 = 122.5 = (3.5)2 m = 3.5 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 3.5 หน่วย m
2) ถูก ผิด เนื่องจาก............................................................................................................ .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 3) ถูก ผิด เนื่องจาก............................................................................................................ .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... m 2 = (7.0)2 - (2.4)2 m 2 = 49 - 5.76 m 2 = 54.76 = (27.38)2 m = 27.38 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 27.38 หน่วย m 2.4 7.0 3.2 6.0 m 2 = (6.0)2 - (3.2)2 m 2 = 36 - 10.24 m 2 = 24.01 = (4.9)2 m = 4.9 ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 4.9 หน่วย m 17
2. จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 14 คะแนน) 1) 2) 4.8 1.4 b y 2.4 1.8 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 18
3) 4) p 1.6 1.2 6.0 1.1 m …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 19
5) 6) สามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากยาว 0.5 และ 1.2 นิ้ว จงหาความยาว ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2.1 2.0 r …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 20 ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………
7) สามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากยาว 2.4 และ 0.7 เซนติเมตร จงหา ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 21
ใบความรู้ที่ 2.5 การหาความยาวของด้านที่เหลือ 1 สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป ถ้าทราบความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมแล้ว สามารถหาความยาวของด้านที่สามได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนี้ ถ้า a, b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว c 2 = a2 + b2 a 2 = c2 - b 2 b 2 = c2 - a 2 จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถ้าเราทราบความยาวของด้านสองด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะหาความยาวของด้านที่สามได้โดยนำความรู้เรื่องสมการมา ช่วยในการหาคำตอบ ยังจำได้อยู่ไหมเอ่ย ลองศึกษาตัวอย่างให้เข้าใจนะคะ c a b 22
ตัวอย่าง จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหา ความยาวของด้านที่เหลือ 1) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 152 = AB2 + 92 AB2 = 152 - 9 2 AB2 = 225 - 81 AB2 = 144 AB = 12 ดังนั้น AB ยาว 12 หน่วย 2) ให้ด้านที่เหลือยาว p หน่วย จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 132 = 122 + DE2 p 2 = 132 - 122 p 2 = 169 - 144 p 2 = 25 p = 5 ดังนั้น ด้านที่เหลือยาว 9 หน่วย 15 9 A B C 144 = 12 12 144 = 12 2 23 13 12 25 = 5 5 25 = 52
3) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ (2.5) 2 = (1.5) 2 + DE2 DE2 = (2.5) 2 - (1.5) 2 DE2 = 6.25 - 2.25 DE2 = 4 DE = 2 ดังนั้น DE ยาว 2 เซนติเมตร 1.5 ซม. 2.5 ซม. D F E 4 = 2 2 4 = 2 2 อย่าลืม! ระวังเรื่องการคูณทศนิยมนะคะ 24
แบบฝึกทักษะที่ 2.5 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาความยาวของ ด้านที่เหลือ (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) B C D 25 7 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 25
2) 3) C D E 50 ซม. 48 ซม. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. P Q R 35 37 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 26
4) 5) B C D 39 36 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. W H D 45 51 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 27
6) 7) 1 D Q E 1.2 นิ้ว 2.0 นิ้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. G J K 3.5 ซม. 12.5 ซม. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 28
8) 9) W H D 2.5 6.5 ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 2.7 ซม. 4.5 ซม. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. y 29
10) 6.0 นิ้ว 3.6 นิ้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………. u 30
2. จงจับคู่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดกับความยาวของด้านที่เหลือ (ข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน) 1) 2) 3) 4) 5) 9 15 41 40 39 36 7.8 7.2 4.5 20.5 9 3 12 4.8 15 20 31
ใบความรู้ที่ 2.6 การหาความยาวของด้านที่เหลือ 2 ทบทวนความรู้เดิม เรื่องรากที่สอง รากที่สองที่เป็นบวกของ 2 คือ √2 รากที่สองที่เป็นบวกของ 5 คือ √5 รากที่สองที่เป็นบวกของ 15 คือ √15 รากที่สองที่เป็นบวกของ 18 คือ √2 3 3 = 3√2 รากที่สองที่เป็นบวกของ 27 คือ √3 3 3 = 3√3 รากที่สองที่เป็นบวกของ 72 คือ √2 2 2 3 3 = 2 3 √2 = 6√2 รากที่สองที่เป็นบวกของ 140 คือ √2 2 5 7 = 2√5 7 = 2√35 การยกกำลังสองของรากที่สอง เช่น (√2) 2 = √2 √2 = 2 (√3) 2 = √3 √3 = 3 (√6) 2 = √6 √6 = 6 (2√2) 2 = 2√2 2√2 = 2 2 √2 √2 = 4 2 = 8 32
ตัวอย่าง จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ตัวเลขที่ กำกับด้านแสดงความยาวของด้าน จงหาความยาวของด้านที่เหลือ 1) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ CP2 = 72 + 102 CP2 = 49 + 100 CP2 = 149 CP = √149 ดังนั้น CP ยาว √149 หน่วย 2) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ YO2 = YU2 + UO2 YO2 = (√5) 2 + (√10) 2 YO2 = 5 + 10 YO2 = 15 YO = √15 ดังนั้น YO ยาว √15 หน่วย C M P 7 10 Y U O √5 √10 33
3) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ TH2 = HM 2 + TM2 (4√3) 2 = HM2 + (2√2) 2 48 = HM 2 + 8 HM 2 = 48 - 8 HM 2 = √40 HM = 2√10 ดังนั้น HM ยาว 2√10 หน่วย 4) จากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ BR2 = BQ2 + QR2 BR2 = (2√6) 2 + (3√2) 2 BR2 = 24 + 18 BR2 = 42 BR = √42 ดังนั้น BR ยาว √42 หน่วย T H M B Q R 34 3√2 (4√3) 2= 4√3 4√3 = 16 (√3) 2 = 16 3 = 48 √40 = √2 × 2 × 2 × 5 = 2√10 (2√2) 2= 2√2 2√2 = 4 (√2) 2 = 4 2 = 8
จากรูปกำหนดให้ BD และ CD ยาวเท่ากัน จงหาความยาวของ BD และ DC คำถามชวนคิด 10√2 B D C จะมีวิธีคิดอย่างไรคะ ลองคิดดูนะคะ 35
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะที่ 2.6 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาความยาวของด้าน ที่เหลือ (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1) R U M 1 3 36
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) 3) T N J 1 1 2 3 E X Y 37
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4) 5) √5 2 G F V K L 4 M 3 38
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 6) 7) 7√3 14 P E W A C B 4√10 12 39
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 8) 9) 4√2 √7 P E W A C B 4√6 2√15 40
…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 10) 2. จงหาความยาวของด้านที่เหลือ (ข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน) 1) 2) N C L 5√6 2√6 41 2√3 2 5 10 ความยาวด้านที่เหลือ เท่ากับ...................... ความยาวด้านที่เหลือ เท่ากับ......................
3) 4) 5) 4√2 √7 2√15 9√2 3√2 ความยาวด้านที่เหลือ เท่ากับ...................... ความยาวด้านที่เหลือ เท่ากับ...................... ความยาวด้านที่เหลือ เท่ากับ...................... พร้อมทำแบบทดสอบกันหรือยังคะ 42 4√6