klein gordon equation in (x,v)

Universidad de Guadalajara

Resolucio´n de la Ecuaci´on de
Klein-Gordon en el Espacio de

Fase (x, v) para el A´ tomo de
Hidro´geno y el caso de una

Barrera de Potencial

Tesis

que para obtener el t´ıtulo de
LICENCIATURA EN F´ISICA
presenta

Sandra Leticia Jua´rez Osorio

Asesor: Gustavo Lo´pez Vela´zquez

2

Me´xico, Jalisco. 2019

“Con fundamento en los art´ıculos 21 y 27 de la Ley Federal del Derecho de
Autor y como titular de los derechos moral y patrimonial de la obra titula-
da “Resolucio´n de la Ecuaci´on de Klein-Gordon en el Espacio de
Fase (x, v) para el A´ tomo de Hidr´ogeno y el caso de una Barrera
de Potencial”, otorgo de manera gratuita y permanente a la Universidad
de Guadalajara la autorizaci´on para que fijen la obra en cualquier medio,
incluido el electro´nico, y la divulguen entre sus usuarios, profesores, estu-
diantes o terceras personas, sin que pueda percibir por tal divulgaci´on una
contraprestacio´n”.

AUTOR

Fecha

Firma



Agradecimientos

Se agradece al Dr. Gustavo L´opez Vela´zquez por su paciente asesor´ıa du-
rante la realizaci´on de este trabajo

i



´Indice general

´Indice de figuras V
´Indice de cuadros VII

1. Introduccio´n 1
1.1. Constante de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Ecuaci´on de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. M´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Puntos Ordinarios y Puntos Singulares . . . . . . . . 6

2. Metodolog´ıa 9
2.1. Pozo de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Soluci´on en el espacio de fase (x, p) . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Solucio´n en el espacio de fase (x, v) . . . . . . . . . . 12
2.2. Pared de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Barrera de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Potencial Constante en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . 17
2.5. A´ tomo de Hidr´ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Resultados 25
3.1. Pozo de Potencial Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Pared de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Barrera de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. Potencial constante en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . 32
3.5. A´ tomo de Hidr´ogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

4. Conclusiones 39
Referencias 43

A. Caso para una Fuerza Constante 45

´Indice de figuras

3.1. Coeficientes de Transmisi´on para un escalo´n de potencial de 27
V0 = 8,17 × 10−19J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3. Coeficientes de Transmisi´on para un escal´on de potencial de
29
V0 = 8,17 × 10−20J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4. Coeficiente de Transmisi´on para el caso no relativista con un 34
escal´on de V0 = 8,17 × 10−35J . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
36
3.5. Coeficientes de Transmisio´n para barreras de 3 distintos va-

lores de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6. Cociente ak+1 para 10000 iteraciones .............
ak
3.7. 20000 iteraciones de la ecuacio´n 3.8 . . . . . . . . . . . . . .

3.8. Zoom realizado en el a´rea del valor esperado . . . . . . . . .

v



´Indice de cuadros

3.1. Comparacio´n de los resultados para el valor propio de la 26
energ´ıa en el caso no relativista y para la soluci´on de la 27
ecuacio´n de Klein-Gordon en el espacio (x, p) y (x, v) . . . .
30
3.2. Constantes k2 y q2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Constantes k2 y q2 para la barrera de potencial considerando
33
E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Primeras ra´ıces de la funcio´n esf´erica de Bessel . . . . . . . 33
3.5. Primeros valores propios de la energ´ıa para la ecuaci´on de 35

K-G en un pozo de potencial infinito con simetr´ıa esf´erica. .
3.6. Primeros valores propios de la energ´ıa para el caso no rela-

tivista en un pozo de potencial infinito con simetr´ıa esf´erica.
3.7. Valores de las constantes utilizadas en la ecuacio´n 3.8 . . .

vii



Cap´ıtulo 1

Introduccio´n

La formulaci´on Lagrangiana y Hamiltoniana presentan problemas para cier-
tos casos (L´opez and Lo´pez, 2006a), y existen sistemas en 2-D din´amicos
para los cuales el Lagrangiano, y consecuentemente el Hamiltoniano simple-
mente no existen (Douglas, 1941). Adicionalemnte, en sistemas 1-D pueden
existir dos Hamiltonianos completamente diferentes para un mismo siste-
ma describiendo la misma dina´mica cl´asica, pero que describen un siste-
ma cua´ntico y estad´ıstico completamente diferentes (Dodonov et al., 1981;
L´opez et al., 2018), es decir, hay la posibilidad de que las formulaciones
Lagrangiana y Hamiltoniana sean ambiguas. Finalmente existen sistemas
1-D que, a pesar de poder tener su Lagrangiano, no se pueden obtener un
Hamiltoniano expl´ıcito debido a que la relaci´on v = v(x, p) no puede ser
obtenida de la definicio´n p = p(x, v) en forma expl´ıcita, particularmente
para casos disipativos (Lo´pez and Lo´pez, 2006a), (Lo´pez, 2006), (L´opez
and L´opez, 2006b).

Por ello es relevante realizar el an´alisis de una cuantizacio´n sin el uso de la
formulacio´n Hamiltoniana, esto es cuantizar una constante de movimiento
K(x, v) asociando un operador Herm´ıtico a la velocidad (L´opez and L´opez,
2006a).

En este trabajo se analizar´a la problema´tica de encontrar una solucio´n
de la ecuacio´n del a´tomo de Hidr´ogeno mediante la cuantizaacio´n de una
constante de movimiento en el espacio (x, v), cuya soluci´on mediante la

1

2 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

ecuacio´n de Klein -Gordon es bien conocida usando el m´etodo de Frobe-
nius. Se intentara´ una resoluci´on siguiendo este mismo m´etodo empleando
la constante de movimiento que se obtendra´ para ese caso.

1.1. Constante de movimiento

La ecuacio´n de Newton para un sistema auto´nomo (aquel en que la fuerza
total no depende expl´ıcitmente del tiempo (Lo´pez, 2013)) puede ser escrita
como un sistema dina´mico (Lo´pez, 2006):

x˙ = v (1.1)
v˙ = F (x, v),

donde v es la velocidad, x es la posici´on y F (x, v) es una fuerza arbitraria
dividida por la masa.

Una constante de movimiento K es la primera integral de 1.1 y debe satis-
facer que dK/dt = 0, es decir, debe ser solucio´n para un sistema auto´nomo
de la siguiente ecuaci´on (L´opez, 2006):

∂K ∂K (1.2)
v + F (x, v) = 0,

∂x ∂v

la cua´l es una ecuaci´on diferencial parcial de primer orden lineal cuya solu-
cio´n general puede ser obtenida con el m´etodo de las curvas caracter´ısticas.
La curva caracter´ıstica C(x, v) resulta de resolver para los dos primeros
t´erminos de (1.2). Del u´ltimo t´ermino se observa que la constante de mo-
vimiento ser´a funcio´n arbitraria de esta constante (L´opez, 2012):

K(x, v) = G(C(x, v)). (1.3)

La funcionalidad puede elegirse de manera que la constante de movimiento
tenga unidades de energ´ıa y para que en casos relativistas al analizar el
caso l´ımite, se recupere el caso cla´sico (L´opez, 2006).

1.2. ECUACIO´N DE KLEIN-GORDON 3

1.2. Ecuaci´on de Klein-Gordon

En esta secci´on se reproducir´a la parte que es bien conocidad de la ecuaci´on
relativista para un campo escalar llamada ecuacio´n de Klein-Gordon. Como
se muestra en (Srednicki, 2006) para el caso de la mec´anica cua´ntica, la
relatividad especial indica que si un observador A en un punto x predice
una funcio´n de onda Φ(x) y otro observador B en un punto x predice una
funci´on de onda Φ (x ), entonces:

Φ(x) = Φ (x ), (1.4)

para lo cual es necesario que ambas funciones de onda sigan las mismas
ecuaciones de movimiento. La ecuacio´n de Schr¨odinger no cumple con esta
condicio´n (Bjorken, 1964).

Consid´erese el sistema f´ısico ma´s simple, aquel de una part´ıcula libre des-
crita por el hamiltoniano:

p2 (1.5)
H= ,

2m

donde se realiza la transcripcio´n a la mec´anica cu´antica utilizando los
siguientes operadores (Bjorken, 1964):

Hˆ −→ i ∂ pˆ −→ ∇,
,
∂t i

lo cual lleva a la ecuacio´n de Schro¨dinger no relativista:

∂Ψ − 2∇2 Ψ, (1.6)
i=
∂t 2m

que es no covariante, el lado derecho transforma distinto del izquierdo bajo
transformaciones de Lorentz (Bjorken, 1964). De acuerdo a la relatividad
especial, la energ´ıa total E y el momento transforman como componentes
de un cuadrivector:

pµ = E , px, py , pz ),
(

c

4 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

de longitud invariante. La transcripcio´n a operadores para el momento

antes mencionada es covariante debido a que es una correspondencia entre

2 cuadrivectores y por tanto es natural tomar el hamiltoniano relativista

de la part´ıcula libre:

H = p2c2 + m2c4 (1.7)

y escribir el ana´logo de la ecuaci´on (1.6) (Bjorken, 1964):

∂Ψ − 2c2∇2 + m2c4 Ψ (1.8)
i=
∂t

N´otese que en esta ecuaci´on la derivada espacial aparece en la ra´ız cuadrada

mientras que la derivada temporal no, presenta´ndose una asimetr´ıa entre el

tiempo y el espacio (Srednicki, 2006). Adem´as al expandir la ra´ız cuadrada,

se obtendr´ıa un nu´mero infinito de derivadas espaciales actuando sobre Ψ.

Entonces, por simplicidad matema´tica y tomando en cuenta que si [A, B] =
0, entonces AΨ = BΨ implica que A2Ψ = B2Ψ, es por tanto posible

escribir:

− 2 ∂2 Ψ = (− 2∇2c2 + m2c4) Ψ, (1.9)
∂t2 (1.10)

la cual se puede reescribir como:

+ mc 2 Ψ = 0,

donde = ∂ ∂ , (Bjorken, 1964) para la cual como se muestra en
∂xµ ∂xµ

(Srednicki, 2006) satisface la ecuacio´n 1.4.

En el contexto no relativista, la ecuaci´on de Schro¨dinger defin´ıa una co-
rriente conservada a partir de la conservaci´on de la probabilidad. All´ı se
llega a una ecuaci´on de continuidad para la densidad de probabilidad y
la corriente de probabilidad. En analog´ıa con la ecuacio´n de Schr¨odinger
(De la Pen˜a, 2006), (Bjorken, 1964), se toma el producto de Ψ∗(x) con la
ecuacio´n (1.10) menos Ψ multiplicado por el conjugado de dicha ecuacio´n:

Ψ∗ + mc 2 Ψ − Ψ + mc 2 Ψ∗ = ∂µ(Ψ∗∂µΨ − Ψ∂µΨ∗ = 0, ) (1.11)
o equivalentemente:

1.2. ECUACIO´N DE KLEIN-GORDON 5

∂ i Ψ∗ ∂Ψ − ∂Ψ∗ + ∇ · Ψ∗(∇Ψ) − Ψ(∇Ψ∗) (1.12)
∂t 2mc2 Ψ 2mi
∂t ∂t

La expresi´on en el primer par´entesis deber´ıa poder ser interpretada como
la probabilidad, pero no es positiva definida.

En teor´ıa cua´ntica de campos el objeto fundamental no es la funci´on de
onda sino el propio estado f´ısico del vac´ıo o espacio-tiempo. Los campos f´ısi-
cos y las part´ıculas materiales se conciben en este enfoque como operadores
autoadjuntos definidos sobre el conjunto de estados del espacio-tiempo. La
presencia de campo en una determinada regio´n del espacio-tiempo requiere
que en ´el existe un operador autoadjunto asociado al campo de esa regio´n.
En ese nuevo enfoque el operador cu´antico asociado a la variable φ es un
campo, que no necesita dar lugar a una densidad de probabilidad positiva.

En particular, para el ´atomo de Hidro´geno, la ecuacio´n de Klein-Gordon
en el espacio (x, p) toma la forma:

− c2∇2Ψ + m2c4 = ∂α 2 (1.13)
2Ψ i +c
∂t r Ψ,

donde α = e2 es la constante de estructura fina (Ducharme, 2012) Es
4π c 0
posible proponer una solucio´n del tipo Ψ = R(r)Yl,m(θφ)e−iEt/ , donde

e−iEt/ es el operador de evolucio´n temporal y Yl,m(θφ) es un arm´onico

esferico que es eigenfunci´on del operador de momento angular al cuadrado
(Lˆ2Yl,m = 2l(l + 1)Yl,m). Insertando esta soluci´on en (1.13) se obtiene la

siguiente ecuaci´on diferencial (Murayama, 2012):

1∂ r2 ∂ + E2 + 2E α − m2c2 + α2 − l(l + 1) R(r) = 0, (1.14)
r2 ∂r ∂r 2c2 c r r2 r2
2

la cual tomando en cuenta un comportamiento asinto´tico para valores gran-
des de r, se obtiene (considerando u´nicamente la parte de la soluci´on que
no diverge) una solucio´n de la forma e−ωrf (r), donde ω es una constante.
Al insertar en (1.14), es posible resolver la ecuacio´n diferencial resultante
mediante el m´etodo de Frobenius (Murayama, 2012) (el cual ser´a explicado
en la siguiente subsecci´on) proponiendo una solucio´n del tipo:

6 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

∞ (1.15)

R(r) = e−ωr akrk,

k=0

donde ak son coeficientes que se determinara´n mediante una relaci´on de
recurrencia sabiendo que cada potencia de r debe ser id´enticamente igual

a 0. Al analizar el comportamiento de estos coeficientes para k −→ ∞, se

observa que la serie toma la forma a0 ∞ 1 rk = a0er la cual no es de
k=0 k!

cuadrado integrable y por ello es necesario truncar la serie haciendo un

ak max = 0. De esta igualdad, es posible despejar la energ´ıa, obteni´endose
as´ı la expresi´on para sus valores propios (Murayama, 2012):

En,l = −mc2 1 + α2 −1/2 (1.16)

.

n − l − 1 + (l + 1 )2 − α2
2 2

1.3. M´etodo de Frobenius

1.3.1. Puntos Ordinarios y Puntos Singulares

Consid´erese al ecuacio´n diferencial homog´enea lineal de segundo orden:

A(x)y + B(x)y + C(x)y = 0, (1.17)

se dice que x = a es un punto ordinario si B(x) y C (x) son funciones
A(x) A(x)

anal´ıticas en x = a (Miloni, 2011). Esto u´ltimo significa que ambas fun-

ciones pueden ser expresadas como una serie de Taylor centrada en a. Un

punto singular es aquel que no es ordinario .

Dicho de otro modo:

Si l´ım B(x) = L y l´ım C (x) = M, el punto es ordinario.
A(x) A(x)
x→a x→a

Si l´ım B(x) = ∞ y/o l´ım C (x) = ∞, el punto es singular.
A(x) A(x)
x→a x→a

El siguiente teorema indica cu´ando es posible garantizar la existencia de
dos soluciones linealmente independientes:

1.3. ME´TODO DE FROBENIUS 7

Teorema 1. Si x = a es un punto ordinario de A(x)y +B(x)y +C(x)y =
0, entonces existen 2 soluciones linealmente independientes de la forma

∞ (1.18)

y(x) = Cn(x − a)n.

n=0

El radio de convergencia sera´ al menos tan grande como la distancia al
punto singular m´as cercano (real o complejo) (Miloni, 2011).

Ahora, los puntos singulares se pueden clasificar como puntos singulares
regulares y puntos singulares irregulares. Consid´erese la siguiente
ecuaci´on diferencial de segundo orden:

P (x)y (x) + Q(x)y (x) + R(x)y(x) = 0. (1.19)

Se dice que x0 es un punto singular regular si y s´olo si:

Q(x) y (x − x0)2 R(x) (1.20)
(x − x0) P (x) P (x)

son funciones anal´ıticas en x0. De no serlo, el punto x0 es singular irregular
(Miloni, 2011).

Como se menciona en (Miloni, 2011), la ecuacio´n (1.19) se divide entre la
funci´on P (x), se multiplica por x2 y se agrupa de la siguiente manera:

x2y Q(x) y (x) + x2 R(x) y(x) = 0. (1.21)
(x) + x x
P (x) P (x)

Si las expresiones en corchetes son anal´ıticas en x = 0, entonces este es
un punto singular regular y es posible escribirlas en una serie de Taylor en
torno a dicho punto:

Q(x) = α0 + α1x + α2x2 + .... (1.22a)
x

P (x)

x2 R(x) = β0 + β1x + β2x2 + .... (1.22b)
P (x)

8 CAP´ITULO 1. INTRODUCCIO´N

Con esto, la ecuaci´on (1.21) luego de acomodar t´erminos quedar´ıa escrita
como:

x2y (x)+α0xy (x)β0y(x)+ α1x+α2x2+.... y (x)+ β0+β1x+β2x2+.... y(x) = 0.

(1.23)
Los tres primeros t´erminos de la expresi´on (1.23) son la ecuaci´on diferencial
de Euler, la cual como se menciona en (Coddington, 1961), tiene solucio´n
del tipo xr. La siguiente parte de (1.23), al ser las funciones en los corchetes
anal´ıticas, tiene soluciones en series (como garantiza el Teorema 1). Por
tanto la soluci´on de (1.23) se buscar´a en la forma:

∞ (1.24)

y(x) = xr anxn.

n=0

Al introducir (1.24) en (1.23), realizar algunas manipulaciones para facto-
rizar xn en la sumatoria, iniciar todas las sumatorias en un mismo valor y
extraer el t´ermino con n = 0 se obtiene un polinomio indicial p(x) acom-
pan˜ando al t´ermino a0 y a la potencia menor de x. Considerando a0 no
nulo, las ra´ıces de dicho polinomio sera´n los u´nicos valores posibles para r
(para mayor claridad en la manera en que estos valores se obtienen, v´ease
el cap´ıtulo 4 de (Coddington, 1961) o (Miloni, 2011)).

Cap´ıtulo 2

Metodolog´ıa

Para un sistema relativista, se tiene:

d(γmv) (2.1)
= F (x),

dt

donde γ = (1 − v2/c2)−1/2 = (1 − β2)−1/2. La ecuacio´n anterior puede ser
escrita como sistema din´amico:

x˙ = v

v˙ = F (x) 1 − v2 3/2 (2.2)
m c2
.

Este representa un sistema aut´onomo, y de acuerdo con (1.2), la constante
de movimiento debe ser soluci´on de la siguiente ecuacio´n diferencil parcial
de primer orden lineal

∂K F (x) v2 3/2 ∂K
v+ 1 − c2 = 0,
∂x m ∂v

que es posible resolver mediante el m´etodo de las curvas caracter´ısticas,
como se muestra en (Lo´pez, 2012):

dx dv dK
= =,
v 3/2 0
F (x) − v2
m 1 c2

9

10 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

del u´ltimo lado de la igualdad, se deduce que K = G(C(x, v)), donde G es
una funcio´n arbitraria de la curva caracter´ıstica C(x, v), la cual surge de
resolver con la primera igualdad:

F (x)dx = m vdv ,

− v2 3/2
c2
1

de donde resulta C = γmc2 − V (r). Es posible elegir la funcionalidad de
manera que en el caso l´ımite, se recupere la energ´ıa de mec´anica cla´sica.

K = (γ − 1)mc2 + V (x). (2.3)

Este resultado es bien conocido y es de donde se parte para obtener el
Lagrangiano y el Hamiltoniano (1.7) del sistema conservativo. Este desa-
rrollo solo se hizo para mostrar la metodolog´ıa que se usa en general para
encontrar las constantes de movimiento. Ahora es necesario cuantizar la
constante de movimiento (2.3). Esto es posible asociando un operador Her-
mitiano a la velocidad (Lo´pez and L´opez, 2006a) de la forma:

vˆ = − i ∂ ∂ (2.4)
, K=i .
m ∂x
∂t

La expresio´n resultante en t´erminos de las variables (x, v) (despu´es de al-

gunos arreglos en (2.3)), esta´ dada por

1 − v2/c2 K + m2c2 − V (x) 2 = m2c4. (2.5)

El lado derecho de esta expresio´n es un invariante de Lorentz, y por lo
tanto tambi´en lo es el lado izquierdo, aunque no tenga una transformacio´n
covariante, es va´lida en forma relativista. La ecuacio´n asociada se escribe
entonces como:

2 i ∂ + m2c2 − V (x) 2 (2.6)
∂t
1 + c2m2 ∇2 Ψ = m2c4Ψ.

Esta ecuaci´on se puede reducir a un problema estacionario proponiendo
una solucio´n de la forma Ψ = ψe−iEt/ , dando como resultado:

2 2 (2.7)

1 + c2m2 ∇2 E + m2c2 − V (x) ψ = m2c4ψ.

2.1. POZO DE POTENCIAL 11

2.1. Pozo de Potencial

Consid´erese un potencial definido de la siguiente manera:
∞, si x < 0,

V (x) =
0, si 0 < x < L.

2.1.1. Soluci´on en el espacio de fase (x, p)

De manera general, la ecuacio´n de Klein-Gordon en el espacio de fase (x, p)

es: 1
c2
∇2Ψ + (E + mc2 − V )2 − m2c4 Ψ = 0, (2.8)

Fuera de la caja se tiene Ψ = 0. Dentro de la caja se tiene:

∇2Ψ + kΨ = 0, (2.9)

con k2 = 1 (E + mc2)2 − m2c4 . Es fa´cil comprobar que haciendo la
c2

aproximacio´n c −→ ∞, esta constante es ana´loga a la empleada en el caso

no relativista (De la Pen˜a, 2006). La soluci´on a la ecuaci´on (2.9) tiene la

forma:

Ψ = Aeikx + Be−ikx. (2.10)

Aplicando la condicio´n de frontera: Ψ(0) = Ψ(L) = 0 se obtiene que A =
−B, con lo que se obtiene que la solucio´n toma la forma:

Ψ = 2iA sin kx. (2.11)

Si se vuelve a aplicar la condicio´n de frontera, se obtiene la condicio´n

k = nπ , con n = 1, 2..., con lo cual es posible obtener el valor propio de la
L

energ´ıa:

En = n2π2c2 2 (2.12)
L2
+ m2c4 − mc2,

12 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

2.1.2. Solucio´n en el espacio de fase (x, v)

Siguiendo un procedimiento an´alogo al mostrado para el caso en el espacio
(x, p), se resuelve la ecuacio´n 2.7 pero ahora definiendo la constante:

k2 = c2m2 (E + mc2)2 − m2c4 ,
2(E + mc2)2

en donde es posible simplificar el denominador del t´ermino fuera del par´ente-
sis tomando en cuenta que E << mc2 (aproximacio´n obtenida al dar valo-

res a la expresio´n de eigenvalores del caso no relativista) y posteriormente
considerando el l´ımite no relativista c −→ ∞, se obtiene:

k2 = c2m2 (E + mc2)2 − m2c4 ⇒ l´ım 1 E2 2mE
2(mc2)2 c2 + 2mE =2
c→∞ 2

se obtiene el valor propio de la energ´ıa:

En = L2c2m2 2 mc2 − mc2, (2.13)
L2c2m2 − n2π2

2.2. Pared de Potencial

Analizando el caso en el que E > V0
Sea la ecuacio´n:

∇2Ψ + c2m2 (E + mc2 − V )2 − m2c4 Ψ = 0, (2.14)
2(E + mc2)2

en donde se considera un escalo´n de potencial repulsivo unidimensional:

0, si x < 0,
V (x) =

V0, si x > 0.

Las part´ıculas inciden sobre el escal´on por la izquierda.

Para x < 0:

Se tiene:

∇2Ψ + kΨ = 0, (2.15)

2.2. PARED DE POTENCIAL 13

con k2 = c2 m2 (E +mc2 )2 −m2 c4 , dando como resultado la solucio´n:
2(E+mc2)2

√√ (2.16)

Ψ = Aei kx + Be−i kx.

Para x > 0 Se tiene la soluci´on (tomando u´nicamente la parte que no

diverge): Ψ = Ce−i√qx,

(2.17)

con: c2m2
2(E + mc2 − V0)2
q2 = (E + mc2 − V )2 − m2c4 ,

en donde es posible multiplicar el denominador por el t´ermino m2 c4 y tomar
m2 c4
el l´ımite relativista c −→ ∞, :

q2 = l´ım c2m2 (E+mc2−V0)2−m2c4

c→∞ 2 m2 c4 ( E2 + 2Emc2 +1− 2V0E − 2V0mc2 + V02 )
m2 c4 m2 c4 m2 c4 m2 c4 m2 c4

⇒ 1 (E + mc2 − V0)2 − m2c4 .
2c2

De nuevo tomando el l´ımite c −→ ∞, se obtiene:

l´ım 1 − E2 − 2Em + V0E + mV0 − V0 = 2m − V0)
c2 c2 c2 2 (E
c→∞ 2

que es igual a la constante empleada en el caso no relativista. Tomando la

condici´on de la continuidad de la solucio´n y la continuidad de su derivada

en ambas regiones, se obtienen los siguientes valores para las constantes:

k+q (2.18a)
B = k−q (2.18b)

2ikA
C=

1 + iq

En analog´ıa con la ecuaci´on de Schrodinger, se toma Ψ∗ multiplicado por
la ecuacio´n (2.6) menos Ψ multiplicado por el complejo conjugado de la
ecuacio´n (2.6):

14 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

Ψ∗ 2 i ∂ +m2c2 2 2 i ∂ +m2c2 2
∂t ∂t
1 + c2m2 ∇2 −m2c4 Ψ−Ψ 1 + c2m2 ∇2

− m2c4 Ψ∗. (2.19)

Desarrollando esta expresi´on resulta en:

∂ 2 Ψ ∂ Ψ∗ −Ψ∗ ∂ Ψ −2i 4 Ψ∗∇2 ∂ Ψ−Ψ∇2 ∂ Ψ∗ −
∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
mc2ΨΨ∗ − c2m2

2i 3 Ψ∗∇2Ψ − Ψ∇2Ψ∗ + ∇ · 2c2 Ψ∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ = 0 (2.20)
m

Y comparando con la ecuacio´n de continuidad

∂ρ + ∇ · j = 0, (2.21)
∂t

es posible identificar como j a:

j= 2c2 dψ∗ − ψ∗ dψ , (2.22)
ψ
dx dx

y entonces el flujo a la izquierda y derecha de la barrera, respectivamente:

j< = 2c2k | A |2 − | B |2 (2.23a)

j> = 2c2q | C |2 (2.23b)

Ana´logamente al caso no relativista, debido a que las condiciones de
frontera impuestas garantizan que la densidad de flujo sea cont´ınua (De la
Pen˜a, 2006), entonces se tiene que:

k(| A |2 − | B |2 = q | C |2, (2.24)
la cual se puede reescribir de la siguiente manera:

2.3. BARRERA DE POTENCIAL 15

k | A |2= k | B |2 +q | C |2, (2.25)

donde k | A |2 es proporcional al flujo de part´ıculas incidentes. Del lado de-
recho de la igualdad, el primer t´ermino es proporcional al flujo de part´ıculas
reflejadas y el segundo t´ermino es proporcional al flujo de part´ıculas trans-
mitidas. Entonces, es posible introducir los coeficientes de reflexi´on R y de
transmisio´n T :

k | B |2 k + q (2.26a)
R ≡ k | A |2 = k − q

T ≡ q | C |2 = 4qk (2.26b)
k | A |2 (1 + q)2

2.3. Barrera de Potencial

Se resolver´a la ecuacio´n (2.14) considerando una barrera de potencial defi-
nida como:

 si x < 0,
0, si 0 < x < L,
 si L < x

V (x) = V0,

0

teni´endose as´ı 3 regiones:

La soluci´on en cada una, analizando el caso en que 0 < E < V0 esta´ dada

por:

Regio´n I:

ΨI = Aeikx + Be−ikx (2.27a)

Regi´on II:

ΨII = Ceqx + De−qx (2.27b)

Regi´on III:

ΨIII = F eikx (2.27c)

16 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

En la Regio´n III se tiene u´nicamente la parte de la soluci´on con el expo-
nencial positivo ya que se considera que todas las part´ıculas inciden por la
izquierda. Las constantes k y q esta`n dadas por las siguientes expresiones:

k2 = c2m2 (E + mc2)2 − m2c4 (2.28a)
2(E + mc2)2 (2.28b)

q2 = c2m2 m2c4 − (E + mc2 − V0)2 ,
2(E + mc2 − V0)2

Las cuales son equivalentes a las constantes obtenidas en el caso no relativis-
ta al analizar el l´ımite c −→ ∞. Ahora, tomando en cuenta la continuidad
de la soluci´on y la continuidad de su derivada en x = 0 y en x = L se
obtienen las siguientes ecuaciones:

A+B =C+D (2.29a)
ikA − ikB = qC − qD (2.29b)

CeqL + De−qL = F eikL (2.29c)

qCeqL − qDe−qL = ikF eikL (2.29d)

Al multiplicar (2.29a) por (ik) y sumar con (2.29b) es posible obtener:

ik + q ik − q (2.30)
A= C+ D

2ik 2ik

Multiplicando (2.29c) por q y sumando con (2.29d) se obtiene: (2.31)
C = q + ik e(ik−q)LF
2q

Similarmente, multiplicando (2.29c) por −q y sumando con (2.29d), se

obtiene: D = q − ik e(ik+q)LF
2q
(2.32)

2.4. POTENCIAL CONSTANTE EN COORDENADAS ESFE´RICAS 17

Entonces, es posible escribir el valor de A dado por la ecuacio´n 2.30 con la
ayuda de las ecuaciones (2.31) y (2.32):

A = (q + ik)2 e(ik−q)L + (q − ik)(q + ik) e(ik+q)L F (2.33)
4ikq 4ikq

Desarrollando y utilizando la definicio´n de seno y coseno hiperb´olicos, se
obtiene:

A = F eikL cosh qL + i q − k sinh qL (2.34)
2k 2q

Ahora, dada la definici´on del coeficiente de transmisio´n T = |F |2 , se obtiene:
|A|2

4k2/q2 (2.35)
T = 4k2/q2 + (1 + k2/q2)2 sinh2 ql

2.4. Potencial Constante en coordenadas esf´eri-
cas

Con simetr´ıa esf´erica, es necesario escribir ∇2 en dichas coordenadas. Esto
es:

∇2 = 1 ∂ (r2 ∂ ) − 1 Lˆ2, (2.36)
r2 ∂r ∂r 2r2

donde Lˆ es el operador de momento angular. Al insertar en (2.6), se obtie-

ne una ecuacio´n diferencial de variables separables, cuya solucio´n se puede

considerar como el producto de una funcio´n que dependa u´nicamente de

la parte radial y una que dependa de la parte angular. Debido a que el

operador de momento angular conmuta con el hamiltoniano, existen eige-

nestados simulta´neos para ambos, entonces es posible elegir como funci´on
angular a la eigenfuncio´n de Lˆ2:

ψ(r, t) = Ylm(θφ)R(r),

18 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

e insertando en (2.7), considerando la ecuacio´n de eigenvalores Lˆ2Ylm =

l(l + 1)Ylm, definiendo las constantes k = (E + mc2 − V0) y q = c2 m2 (k −
k2
m2c4) se obtiene:

∂2 2 ∂ R+ q − l1(l + 1) R=0 (2.37)
∂r2 + r ∂r r2

Ahora, dada la ecuacio´n diferencial de Bessel (Riley et al., 2006):

1 ν2 y = 0, (2.38)
y + y+ 1 + x2
x

fosremraeadlieza(r2´a.3n8)c.aAmlbcioosnsdide evraarrialablvearpiaarbaleezsc=rib√irqrla, ecuaci´on (2.37) √enq la

con lo que ∂ = ∂
∂r ∂z
∂2 ∂2
y ∂r2 = q ∂z2 la ecuaci´on (2.37) queda de la siguiente forma:

2 l(l + 1)
R + R + 1− =0 (2.39)
z z2

Ahora, definiendo R = √u se obtiene:
z

1 (l + 1/2)2
u + u + (1 − )u = 0, (2.40)
z z2

qu´e es la ecuaci´on de Bessel de orden l + 1/2 cuya solucio´n es la funci´on
esf´erica de Bessel y Neumann (Riley et al., 2006).

π (2.41a)
jl(z) = 2z Jl+1/2(z)

π (2.41b)
nl(z) = 2z Nl+1/2(z)

Debido a que las funciones de Neumann nl(z) son singulares en el origen,
no se tomar´an en cuenta (De la Pen˜a, 2006).
Para un ´ındice semientero, dichas funciones se reducen a la suma finita de
funciones circulares (De la Pen˜a, 2006):

Jl+1/2(z) = − 2z xl( d )l sin z (2.42)
π zdz z

2.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 19

Los primeros t´erminos son:

j0 = 1 sin z
z
1 1
j1 = z2 sin z − z cos z

j2 = ( 3 − 1 ) sen z − 3 cos z
z3 z z2

Para cada valor de l hay una sucesio´n de valores en los que jl = 0, n = 1 es
la primera ra´ız y as´ı sucesivamente. Estas ra´ıces se nombrara´n como snl.

Ahora, si se analiza el problema de un pozo infinito:

∞, si x < 0,
V (x) =

0, si 0 < x < L.

se debe cumplir la condici´on R(L) = 0, de la cual es posible encontrar una
expresio´n para los valores propios de la energ´ıa:

√ = snl −→ c2m2 q − (E m2c4 = snl 2
qL + mc2)2 L
2

de donde es posible despejar la energ´ıa:

E= L2c6m4 2 − mc2 (2.43)
L2c2m2 − sn2l

2.5. A´ tomo de Hidr´ogeno

Dado que en el problema del ´atomo de hidro´geno se tiene simetr´ıa esf´erica,
se utilizara´n las consideraciones realizadas en la secci´on 2.4, con ∇2 dado
por la ecuacio´n (2.36) e insertando en (2.7). Considerando la ecuacio´n de
eigenvalores Lˆ2Ylm = l(l + 1)Ylm, definiendo la constante a = (E + mc2)
y el potencial V = −k/r se obtiene:

1− 2l(l + 1) k 2 2 1∂ r2 ∂ a− k 2 = m2c4R(r).
c2m2r2 a+ + c2m2 r2 ∂r ∂r r
R(r)
r
(2.44)

20 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

Luego de manipular la ecuacio´n algebra´icamente, se realiz´o el cambio de

variable ξ = a r, que da como resultado ∂ = a∂ y ∂2 = a2 ∂2 :
k ∂r k ∂ξ ∂r2 k2 ∂ξ2

(ξ + 1)2R + 2ξ − 2 R+ C0 + C1ξ + C2ξ2 + d1 + d2 = 0, (2.45)
ξ ξ ξ2

donde se consideran las siguientes constantes:

C0 = −l(l + 1) + k2m2c2 2c2m2k2 k2 −m2c2 (m2c4 − a2)
a2 2 C1 = 2a2 C2 = a4
d2 = 2 − l(l + 1) 2

d1 = −2l(l + 1)

Ahora, realizando un nuevo cambio de variable: R = u , R = u − u ,
ξ ξ ξ2

R = u − 2u + 2u y realizando algunas simplificaciones queda:
ξ ξ2 ξ3

ξ +1 2u + −4− 4 u+ C0 − C1 ξ + C2ξ2 + (d1 − 4) 1 + (d2 + 4) 1 u = 0.
ξ ξ ξ2

(2.46)

Se propone una solucio´n de la forma u = e−αξf (ξ) para la ecuaci´on.
La primera y segunda derivada son u = −αe−αξf (ξ) + e−αξf (ξ), u =
e−αξf (ξ) − 2e−αξf (ξ) + α2e−αξf (ξ). Insertando en 2.46 y notando que es

posible factorizar y eliminar el exponencial, queda:

(ξ+1)2f + −2αξ2−4αξ−2α− 4 −4 f+ −(C1−2α2)ξ+(C0+4α+α2)+
ξ

11
(d1 + 4 + 4α) + (d2 + 4) ξ2 f = 0, (2.47)
ξ

En esta ecuaci´on se usar´a el m´etodo de Frobenius, pero al momento de
reordenar las series, los u´ltimos dos t´erminos de la ecuaci´on anterior con
potencias negativas de ξ representan un problema y por tanto es conve-
niente multiplicar por ξ2:

2.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 21

ξ4 + 2ξ3 + ξ2 f + − 2αξ4 − 4αξ3 − (4 + 2α)ξ2 − 4ξ f + − z3ξ3+
z2ξ2 + z1ξ + z0 f = 0, (2.48)

donde se redefinieron las siguientes constantes:

z3 = C1 − 2α2, z2 = C0 + 4α + α2, z1 = d1 + 4 + 4α, z0 = d2 + 4.

Ahora, como se menciona en (Coddington, 1961) para resolver una ecuaci´on
mediante el m´etodo de Frobenius se busca una soluci´on de la siguiente
forma:

+∞

φ(x) =| x |s Cnxn,

n=0

donde s es una constante y la serie converge para | x |< s0. Entonces, se
+∞
usar´a f (ξ) = n=0 anξn+s y se inserta en 2.48:

+∞

ξ4+2ξ3+ξ2 (n+s)(n+s−1)anξn+s−2+ −2αξ4−4αξ3−(4+2α)ξ2−4ξ

n=0

+∞ +∞

(n + s)anξn+s−1 + − z3ξ3 + z2ξ2 + z1ξ + z0 anξn+s = 0.

n=0 n=0

Desarrollando, eliminando el factor comu´n ξs y agrupando t´erminos, se
obtiene:

+∞ +∞

−z3−2α(n+s) anξn+3+ (n+s−1)(n+s)−4α(n+s)+z2 anξn+2+

n=0 n=0

+∞ +∞

z1 − (4 + 2α) + 2(n + s)(n + s − 1) anξn+1 + z0 − 4(n + s)+

n=0 n=0

(n + s)(n + s − 1) anξn = 0.

22 CAP´ITULO 2. METODOLOG´IA

Ahora, para poder tener la misma potencia para ξ, es necesario hacer los
siguientes cambios. Adema´s se iniciara´n las 4 series en k = 3 y al hacer
esto, faltara´n los primeros t´erminos segu´n sea el cambio:

Primera serie: k = n + 3, faltar´ıan t´erminos con n = 0.

Segunda serie: k = n + 2, faltar´ıan t´erminos con n = 0, 1.

Tercera serie: k = n + 1, faltar´ıan t´erminos con n = 0, 1, 2.

Cuarta serie: k = n, faltar´ıan t´erminos con n = 0, 1, 2, 3

Realizando estos cambios y calculando los t´erminos que faltar´ıan luego de
reiniciar la serie queda:

+∞

−z3−2α(k−3+s) ak−3+ z2−4α(k−2+s)+(k−2+s)(k−3+s) ak−2+

n=3

z1−(4+2α)+2(k−1+s)(k−2+s) ak−1+ z0−4(k+s)+(k+s)(k+s−1) ak ξk

+(z2−4s+s(s−1))a0ξ2+(2(s−1)s−(4+2α)+z1)a0ξ+(2s(1+s)−(4+2α)+z1)a1ξ2
+((s−1)s−4s+z0)a0+(s(1+s)−4(1+s)+z0)a1ξ+((1+s)(2+s)−4(2+s+z0)a2ξ2 = 0

El coeficiente de cada potencia de ξ debe ser igual a cero, y por tanto de
los t´erminos fuera de la sumatoria es posible obtener:

a1 = − (2(s − 1)s − (4 + 2α) + z1)a0 ,
z0 − 4(1 + s) + (1 + s)s

a2 = − ((s − 1)s − 4αs + z2)a0 + (z1 − (4 + 2α) + 2(1 + s)s)a1 ,
z0 − 4(2 + s) + (2 + s)(s + 1)

y la relaci´on de recurrencia, obtenida de igualar a cero el coeficiente de ξk:

ak = − (−2α(k+3−s)−z3)ak−3+((k+s−3)(k−2+s)−4α(k−2+s)+z2)ak−2+

(2(k+s−2)(k−1+s)−4+2α+z1)ak−1 / (k+s−1)(k+s)−4(k+s)+z0
(2.49)

2.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 23

Tambi´en, de la potencia ma´s pequen˜a de ξ surge el polinomio indicial:

z0 − 4s + s(s − 1) = 0,

de donde se obtienen los valores permitidos para s:

5± √ 25 − 4z0 .
s=
2

Posteriormente, se encontrara´ que el u´nico valor permitido para s es aquel

con la ra´ız positiva. An´alogamente a lo que se realiza en el caso del ´atomo

de hidr´ogeno en el caso cl´asico, se realizo´ el l´ımite del cociente

limk−→∞ak+1/ak (2.50)

La relacio´n de recurrencia 2.49 involucra 3 coeficientes, ak−3, ak−2, ak−1,
por lo que no es posible seguir el procedimiento est´andar para truncar la
serie. Por ello, se empleara´ un m´etodo similar al presentado en (Goswami
and Chakrabati, 2012), en donde se tiene una relaci´on de recurrencia que
involucra 2 coeficientes, entonces proceden a calcular el primer coeficiente
que dicha relaci´on permite hacer 0, as´ı como los t´erminos sucesivos a este.
De ellos, despejan la energ´ıa y las expresiones obtenidas fueron capaces
de deducir una forma general para ella. Para el presente caso, el primer
t´ermino que puede ser nulo, de acuerdo a la relacio´n de recurrencia 2.49,
es el coeficiente a3, el cual puede ser escrito en t´erminos de a0.

Para obtener de aqu´ı los valores propios de la energ´ıa, se procedi´o a calcular
el coeficiente a3 e igualarlo a 0. Para tener un t´ermino que manejable para
el programa Maxima (ya que debido a la longitud del t´ermino resultante no
es posible sustituir directamente), se definieron como constantes todos los
t´erminos de a3 que no involucraran a la energ´ıa directamente y en t´ermi-
nos de dichas constantes, despejar la energ´ıa. Debido a que en a3 la energ´ıa
aparece a la tercera potencia, se obtuvieron 3 valores para la energ´ıa, pero
la expresi´on no pod´ıa despejarse en t´erminos del resto de las variables, as´ı
que se busc´o una soluci´on gr´aficamente. Se realiz´o un programa en Fortran
para dicho prop´osito



Cap´ıtulo 3

Resultados

3.1. Pozo de Potencial Infinito

Como se menciono´ en el Cap´ıtulo 2, la soluci´on a la ecuacio´n de eigenvalores
al resolver la ecuacio´n de K-G para un pozo de potencial infinito en el
espacio de fase (x.p) es:

En = n2π2c2 2 (3.1)
L2
+ m2c4 − mc2,

mientras que al resolver el mismo problema en el espacio de fase (x, v) se
obtiene:

En = L2c2m2 2 mc2 − mc2, (3.2)
L2c2m2 − n2π2

que puede reescribirse como:

En + mc2 = Lcm 1 − 1 mc2,
Lcm
n2π2 2
L2 c2 m2

y utilizando el desarrollo en series de Taylor centradas en 0 para:

1 = 1+ x2 + 3 x2 + 5 x6 + ...
1 − x2 2 8 16

25

26 CAP´ITULO 3. RESULTADOS

se obtiene:

mc2 nπ 2 3mc2 nπ 4 , (3.3)
E= +
2 Lmc 8 Lmc

que es igual a la expresi´on de los valores propios para el problema del

pozo infinito en el caso no relativista (De la Pen˜a, 2006), m´as t´erminos de

correcci´on.

A continuaci´on, se muestra el resultado obtenido para el valor propio de

la energ´ıa para el caso no relativista, as´ı como para la ecuacio´n de Klein-

Gordon tanto en el espacio de fase (x, p) y (x, v) empleando las ecuaciones

(3.1) y (3.3) respectivamente para la ecuacio´n de Klein-Gordon. Para el

caso no relativista, se realizo´ el ca´lculo con la expresi´on En = (nπ )2 (De la
2mL2

Pen˜a, 2006)

n Caso no relativista K-G espacio K-G espacio
(x, p) (x, v)

1 6.024668432050×10−20 6.024666216562×10−20 6.024675083358×10−20

2 2.409867372820×10−19 2.409863826207×10−19 2.409878013081×10−19

3 5.422255455219×10−19 5.422183633788×10−19 5.422201588845×10−19

4 9.639639736848 ×10−19 9.639412744710 ×10−19 9.639639736848×10−19

Cuadro 3.1: Comparacio´n de los resultados para el valor propio de la energ´ıa
en el caso no relativista y para la solucio´n de la ecuacio´n de Klein-Gordon
en el espacio (x, p) y (x, v)

3.2. Pared de Potencial

El coeficiente de reflexio´n y transmisi´on obtenido en el cap´ıtulo 2 fue:

R ≡ k | B |2 = k+q (3.4a)
k | A |2 k−q

T ≡ q |C |2 = 4qk (3.4b)
k |A |2 (1 + q)2

3.2. PARED DE POTENCIAL 27

Estos coeficientes tienen la misma forma para el caso no relativista (De la

Pen˜a, 2006) as´ı como al resolver para la ecuaci´on de K-G en el espacio de
fase (x, p), pero en cada uno de los 3 casos con las siguientes constantes k2
y q2

Ecuaci´on de K-G Ecuaci´on de K-G

Caso no relativista espacio de fase espacio de fase

(x, p) (x, v)

k2 = 2mE k2 = 1 (E + mc2)2− k2 = c2 m2 (E + mc2−
2 c2 2(E+mc2)2
2 m2c4
m2c4

q2 = 2m(V0−E) q2 = 1 (E + mc2− q2 = c2 m2 (E + mc2−
2 c2 2(E+mc2−V0)2
2 V0)2m2c4
V0)2 − m2c4

Cuadro 3.2: Constantes k2 y q2

Tomando en consideracio´n las constantes del Cuadro 3.2, se calculo´ el co-

eficiente de transmisio´n para cada caso. Se mantuvo el potencial constan-
te en un valor de V0 = 8,17 × 10−19J, variando la energ´ıa a partir de
E = 8,175 × 10−19J aumentando 1eV en cada iteracio´n.

(a) Coeficiente de Trans- (b) Coeficiente de Trans- (c) Coeficiente de Trans-
misi´on para el caso no misi´on para la ecuacio´n misio´n para la ecuacio´n
relativista de K-G en el espacio de K-G en el espacio
(x, p) (x, v)

Figura 3.1: Coeficientes de Transmisi´on para un escal´on de potencial de
V0 = 8,17 × 10−19J

Para comparar el valor del coeficiente de transmisi´on mostrado en la Figura

28 CAP´ITULO 3. RESULTADOS
3.1a, se calcul´o su cociente con el valor obtenido en las Figuras 3.1b y 3.1c,
respectivamente:

(a) Cociente del coeficiente de transmi- (b) Cociente del coeficiente de transmi-
si´on para la ecuaci´on de K-G en el espa- si´on para la ecuaci´on de K-G en el espa-
cio (x, v) y el coeficiente para el caso no cio (x, v) y en el espacio (x, p)
relativista

Al realizar un mayor nu´mero de iteraciones, el cociente presentado en la
Figura 3.2a se aleja m´as de 1, mientras que en el cociente presentado en la
Figura 3.2b sucede lo contrario: su valor tiende a 1 al seguir aumentado el
valor de la energ´ıa.

Al disminuir el potencial y considerar ahora un escalo´n de V0 = 8,17 ×
10−20J , la diferencia entre el coeficiente de transmisi´on obtenido para el
caso no relativista var´ıa:

3.2. PARED DE POTENCIAL 29

(b) Coeficiente de Trans- (c) Coeficiente de Trans-
(a) Coeficiente de Trans- misi´on para la ecuacio´n misio´n para la ecuacio´n
misi´on para el caso no de K-G en el espacio de K-G en el espacio
relativista
(x, p) (x, v)

Figura 3.3: Coeficientes de Transmisi´on para un escal´on de potencial de
V0 = 8,17 × 10−20J

Al probar valores au´n ma´s bajos del potencial V0 se obtienen resultados
similares para la ecuaci´on de K-G en ambos espacios de fase, mientras que

el caso no relativista, el valor del coeficiente T sigue disminuyendo. Por
ejemplo, para un potencial de V0 = 8,17 × 10−35J:

Figura 3.4: Coeficiente de Transmisi´on para el caso no relativista con un
escalo´n de V0 = 8,17 × 10−35J

30 CAP´ITULO 3. RESULTADOS

3.3. Barrera de Potencial

Como se mencion´o en el cap´ıtulo 2, el coeficiente de transmisi´on al resolver
la ecuacio´n de Klein-Gordon en el espacio de fase (x, v) resulto´ ser:

4k2/q2 (3.5)
T = 4k2/q2 + (1 + k2/q2)2 sinh2 ql

La forma obtenida para el coeficiente de transmisi´on es la misma que la
obtenida en el caso no relativista (De la Pen˜a, 2006) as´ı como al resolver
la ecuaci´on de Klein-Gordon para el espacio de fase (x, p), la diferencia en
los tres casos es la manera en que se definen las constantes k y q.

Ecuaci´on de K-G Ecuaci´on de K-G

Caso no relativista espacio de fase espacio de fase

(x, p) (x, v)

k2 = 2mE k2 = 1 (E + mc2)2− k2 = c2 m2 (E + mc2)2−
2 c2 2(E+mc2)2
2 m2c4
m2c4

q2 = 2m(V0−E) q2 = 1 m2c4− q2 = c2 m2 m2c4−
2 c2 2(E+mc2−V0)2
2 (E + mc2 − V0)2
(E + mc2 − V0)2

Cuadro 3.3: Constantes k2 y q2 para la barrera de potencial considerando
E < V0

En el Cuadro 3.3 se muestra co´mo se define la constante k2 y q2 al resolver
para la barrera potencial en el caso en el que no se toman en cuenta los
efectos relativistas, as´ı como para la ecuacio´n de Klein-Gordon en el espacio
de fase (x, p) y (x, v). Tomando en cuenta esto, se calculo´ el coeficiente de
transmisi´on para un pozo de anchura L = 1 × 10−12m y considerando la
masa del electro´n:

3.3. BARRERA DE POTENCIAL 31

(a) Coeficiente de Transmisio´n con V0 = 8,19 × 10−14J

(b) Coeficiente de Transmisio´n con V0 = 8,17 × 10−15J

(c) Coeficiente de Transmisio´n con V0 = 8,17 × 10−17J
(Las tres soluciones se traslapan)
Figura 3.5: Coeficientes de Transmisi´on para barreras de 3 distintos valores
de potencial

32 CAP´ITULO 3. RESULTADOS

Para V0 < 8 × 10−13, la solucio´n a la ecuaci´on de K-G en ambos espacios
de fase se indetermina.

3.4. Potencial constante en coordenadas esf´ericas

Como se mencion´o en la seccio´n 2.4, la solucio´n a la ecuaci´on de eigenvalores
al resolver la ecuaci´on de K-G para un pozo de potencial infinito en el
espacio de fase (x, v) result´o ser:

E= L2c6m4 2 − mc2 (3.6)
L2c2m2 − sn2l

Similarmente a lo realizado en el caso para el pozo infinito en 1 dimensi´on,
es posible desarrollar (2.43) en series:

E = sn2 l 2 + 3 sn2 l 2 45 s2nl 2 6 (3.7)
2L2m 8 L2m + L2m
16 + ...

De donde se observa que el primer t´ermino corresponde a la expresi´on de
los valores propios de la energ´ıa para el caso no relativista (De la Pen˜a,
2006).

Algunos de los ceros snl de la funci´on esf´erica de Bessel se presentan a
continuacio´n:

snl n=1 n=2 n=3 n=4
l=0 π 2π 3π 4π
l=1 4.49341 7.72525 10.9041 14.0662
l=2 5.76346 9.09501 12.3229 15.5146

Cuadro 3.4: Primeras ra´ıces de la funci´on esf´erica de Bessel

Insertando los valores presentados en el Cuadro 3.4 en (2.43) se obtienen
los primeros valores propios de la energ´ıa:

3.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 33

Enl n=1 n=2 n=3 n=4
l=0 6.02467508335×10−20 2.4098780132 5.4222554552
l=1 3.6430186055 7.2580312149 9.6396397369
l=2 1.2324987311 5.0494466119 9.2697202827 1.2078043563×10−18
1.4693534010×10−18
2.0276901213

Cuadro 3.5: Primeros valores propios de la energ´ıa para la ecuaci´on de K-G
en un pozo de potencial infinito con simetr´ıa esf´erica.

Ahora, utilizando las ra´ıces del Cuadro 3.4 para resolver el mismo problema
para el caso no relativista se obtiene:

Enl n=1 n=2 n=3 n=4
l=0 6.0246684320×10−20 2.4098673728 5.4222015888
l=1 3.6429942900 7.2579347001 9.6394694912
l=2 1.2324959478 5.0493998980 9.2695628524 1.2077776296×10−18
1.4693138459×10−18
2.0276825882

Cuadro 3.6: Primeros valores propios de la energ´ıa para el caso no relativista
en un pozo de potencial infinito con simetr´ıa esf´erica.

En el Cuadro 3.5 y 3.6 se presentan los valores en unidades de Joules y en
las casillas donde no se indica, el valor esta´ multiplicado ×10−19.

3.5. A´ tomo de Hidr´ogeno

Debido a la complejidad de la relaci´on de recurrencia mostrada en la ecua-
ci´on (2.49), se procedi´o a calcular el cociente de la ecuacio´n (2.50) con un
programa en Fortran para un ciclo de 10 000 iteraciones. El resultado se
muestra en la Figura 3.6

34 CAP´ITULO 3. RESULTADOS

Figura 3.6: Cociente ak+1 para 10000 iteraciones
ak

Como se muestra en la Figura 3.6 el l´ımite de la ecuacio´n (2.50) tiende a 1.
Esto quiere decir que de existir una convergencia esta ser´ıa a una funci´on
que creciera m´as ra´pido que una exponencial. Por ello, es posible suponer
que diverge y es necesario cortar la serie ya que no ser´ıa una solucio´n acep-
table.

Al igualar a cero la expresi´on para el coeficiente a3 en la relacio´n de recu-
rrencia (2.49), se obtuvo:

(e p3 (m2c4 −(e+mc2)2)3/2q3+ (e p2 q2+p m2c4 − (e + mc2) ×
+ mc2)4 + mc2)2

(q1 − e + 2p2 ) + p2q4 + q0(e + mc2)2 = 0, (3.8)
mc2)2a1d

donde se definen las siguientes constantes:

3.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 35

e = 1,602176487 × 10−19C Constantes

l=0 Carga del electr´on
0 = 8,854187817 × 10−12F/m Nu´mero cu´antico de momento angular orbital

c = 299792458m/s Permitividad del vac´ıo
= 1,054571818 × 10−34J s Velocidad de la luz en el vac´ıo
Constante reducida de Plank

Cuadro 3.7: Valores de las constantes utilizadas en la ecuaci´on 3.8

En la ecuacio´n (3.8) se escriben como constantes todos los t´erminos que no

involucran a la energ´ıa, los cua´les son:

l1 = l(l + 1)
a10 = 2s(s − 1) − 2l1
k1 = −e2/(4π 0)
z0 = 6 − l1
p = mck1/
a20 = s(s − 1) − l1
a21 = 2s(1 + s) − 4 − 2l1 − 4
a31 = (1 + s)s − l1
a32 = 2(2 + s)(1 + s) − 2l1
a1d = (s + 1)s − 4(1 + s) + z0
a2d = (2 + s)(s + 1) − 4(2 + s) + z0
q0 = −a31a10/a1d − a32a20/a2d
q1 = −a32(−4s + 4)/a2d − 2a20/a2d + 2a32a10/(a1da2d) + 2a32a21/(a1da2d)+
2a21a10/(a1da2d) − 2s − 2a31/a1d + 4sa10/a1d
q2 = 8s/a1d − a10/a1d − a32/a2d − 2(−4s + 4)/a2d + 4a32/(a1da2d)+
4a10/(a1da2d) + 4a21/(a1da2d) + 2
q3 = −2/a1d − 2/a2d + 8/(a1da2d)

Como se menciono´ en la seccio´n anterior, la ecuacio´n (3.8) no puede ser
resuelta anal´ıticamente, por lo que se realizo´ un programa para obtenerla
gr´aficamente. Se dieron distintos valores para la energ´ıa en la expresi´on
(3.8), buscando el valor que hace que la curva pase por 0. A continuaci´on,
se muestra el resultado de 20000 iteraciones desde E = −15J, cada 0,1J:

36 CAP´ITULO 3. RESULTADOS

Figura 3.7: 20000 iteraciones de la ecuacio´n 3.8
La Figura 3.7 muestra el comportamiento de la expresio´n (3.8) para un
intervalo amplio de valores de la energ´ıa. Pero al revisar un comportamiento
ma´s localizado en la regio´n donde la funci´on parece tomar el valor 0, se
obtiene el siguiente resultado:

Figura 3.8: Zoom realizado en el ´area del valor esperado
De acuerdo a la ecuci´on (1.16) para los eigenvalores de la energ´ıa en el
espacio (x, p), para el nivel n = 3 es de 8,19 × 10−14J, y por tanto en la
Figura 3.8 se realizo´ un zoom en el a´rea que contiene este valor, donde
se observa que la funcio´n diverge precisamente para el valor de la energ´ıa
que deber´ıa hacerla 0. Distintos intervalos fueron calculados y graficados
obteniendo resultados similares: la ecuaci´on (3.8) nunca toma el valor

3.5. A´TOMO DE HIDRO´GENO 37

de 0.

Reescribiendo la ecuaci´on a resolver por el m´etodo de Frobenius (ecuaci´on
(2.48)) de la manera en que se muestra en la ecuacio´n (1.19) mencionada
en la subseccio´n 2:

ξ2f −2αξ2 − 4αξ − 4 − 4 − 2α ξ2 z2 − z3ξ + z1 1 + z0 1
ξ ξ ξ2
+ξ ξ f + f = 0,
(ξ + 1)2 (ξ + 1)2

es notorio que las expresiones en corchetes no son anal´ıticas para los puntos
singulares ξ = ±1 y por tanto ambos puntos no son singulares regulares,
condicio´n necesaria para garantizar la existencia de soluciones en series de
potencias, como se menciono´ en el cap´ıtulo 2