klein gordon equation in (x,v)

Cap´ıtulo 4

Conclusiones

Se analizo´ el problema de un pozo de potencial infinito, resolviendo la
ecuacio´n de Klein-Gordon en el espacio de fase (x, p) para posteriormente
comparar con la soluci´on en el espacio (x, v). Como se mostro´ en el Cuadro
3.1, los valores propios de la energ´ıa obtenidos para cada caso son cercanoes
entre s´ı. Adema´s, como se muestra en la ecuaci´on (3.3), al desarrollar en
series la expresi´on obtenida para los valores propios de la energ´ıa al resolver
la ecuacio´n de K-G en el espacio (x, v), resulta en la expresio´n conocida
para el caso no relativista m´as t´erminos de correccio´n.

En el problema del escal´on de potencial, considerando el caso en que E > V0
se obtuvo la misma forma (ecuacio´n 3.4) en los 3 casos analizados (caso no
relativista y la ecuaci´on de K-G en el espacio de fase (x, p) y (x, v)) para
el coeficiente de reflexi´on R y el de transmisi´on T , pero cada caso con una
constante distinta. Dichas constantes se indican en el Cuadro 3.2, y como se
menciono´ en la secci´on 2.2, en el l´ımite c −→ ∞ las constantes correspon-
dientes a ambos casos de la ecuaci´on de K-G resultan en aquella del caso
no relativista. Para una pared de potencial con valor de V0 = 8,17 × 10−19J
se ovserva en las Figuras 3.1a 3.1b y 3.1c que al calcular el coeficiente T
para distintos valores de la energ´ıa, se obtiene una gr´afica similar. Sin em-
bargo, al analizar el cociente del resultado correspondiente a la ecuaci´on de
K-G en el espacio (x, v) con el coeficiente del caso no relativista, se observa
que se alejan de 1 al aumentear la energ´ıa. Por el contrario, al realizar el
cociente del coeficiente de transmisio´n obtenido al resolver la ecuaci´on de

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40 CAP´ITULO 4. CONCLUSIONES

K-G en ambos espacios de fase, se obtiene una tendencia a 1. Al disminuir
el valor del escalo´n de potencial a V0 = 8,17×10−20J el valor del coeficiente
de transmisio´n T disminuye conforme se aumenta la energ´ıa en el caso no
relativista (Figura 3.3a) mientras que para ambos casos de la ecuacio´n de
K-G, el valor T tiene una tendencia a 1. Disminuyendo au´n m´as el valor del
escalo´n hasta V0 = 8,17 × 10−35J se observa que el valor sigue disminuyen-
do para el caso no relativista (Figura 3.4). La solucio´n para el coeficiente T
en ambos espacios de fase para la ecuaci´on de K-G da resultados similares,
sin embargo ambos difieren con lo encontrado para el caso no relativista.

Para el problema de la barrera de potencial, se encontr´o una expresio´n
con la misma forma para el coeficiente de transmisio´n T (ecuacio´n (3.5))
pero con distinta constante, como se muestra en el Cuadro 3.3. Al consi-
derar el l´ımite c −→ ∞, las constantes para ambos casos de la ecuaci´on
de K-G son equivalentes a las del caso no relativista. Para un potencial
V0 = 8,19 × 10−19J en la Figura 3.5ase muestra que los 3 casos analizados
resultaron distintos, pero al aumentar el potencial, a partir de 8,17×10−17J
se obtiene el mismo valor para el coeficiente T en los tres casos (Figura 3.5c)

Se analizo´ el problema del potencial infinito, pero con una simetr´ıa esf´erica.
La resuluci´on del problema se llevo´ a cabo con una metodolog´ıa an´aloga al
caso no relativista empleando funciones esf´ericas de Bessel. Al expandir la
expresio´n encontrada para los valores propios de la energ´ıa resultante de
resolver la ecuaci´on de K-G en el espacio (x, v) en series de Taylor centra-
das en el origen, result´o ser la expresio´n conocida para el caso no relativista
ma´s t´erminos de correccio´n. En el Cuadro 3.5 se muestran los primeros va-
lores propios de la energ´ıa al resolver la ecuaci´on de K-G (Cuadro 3.5), y al
compararlos con los valores obtenidos al resolver para el caso no relativista
(Cuadro 3.6),se observa la similitud de ambos resultados.

En un intento por seguir el m´etodo esta´ndar para la resoluci´on del proble-
ma del ´atomo de Hidr´ogeno en el caso Hamiltoniano (Ducharme, 2012), se
empleo´ el m´etodo de Frobenius para resolver la ecuacio´n (2.48).

Como se encontro´ con la figura 3.6, la solucio´n obtenida diverge y por tan-
to es necesario cortar la serie, de donde deber´ıa ser posible encontrar una

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expresi´on para los valores propios de la energ´ıa. Debido a la complejidad
de la relacio´n de recurrencia obtenida (ecuacio´n (2.49)), se sigue un m´eto-
do similar al empleado en (Goswami and Chakrabati, 2012), en donde se
toman los primeros coeficientes que de acuerdo a la relacio´n de recurrencia
pueden ser nulos, de ellos se despeja la energ´ıa y se busca una expresio´n en
general para ella.

En el caso tratado en este trabajo, no fue posible obtener una relaci´on ge-
neral para la energ´ıa al calcular a3, a4... con (2.49) e igualarlos a 0, pues
una vez sustituidas las constantes involucradas en la expresio´n obtenida al
despejar E luego de hacer a3 = 0, se obtiene un resultado bastante com-
plejo y su dificultad aumenta para los coeficientes sucesivos a a3. Por ello,
con el objetivo de comparar con los resultados conocidos para el caso en el
espacio (x,p) y poder valorar la eficacia del m´etodo empleado, se procedio´
a hacer a3 = 0 y despejar la energ´ıa, obteni´endose una expresi´on en la que
la energ´ıa no aparec´ıa despejada. Entonces, se busco´ el valor gr´aficamente,
se insertaron los valores correctos para las constantes y se busc´o un valor
de energ´ıa que hiciera 0 la expresi´on para a3, y como se mencion´o en el
cap´ıtulo 3, no fue posible encontrar una solucio´n. Esto es debido a que los
puntos singulares de la ecuaci´on a resolver en este trabajo por el m´etodo
de Frobenius no son regulares y por tanto el m´etodo no puede dar una
soluci´on a este tipo de ecuaci´on.

En caso analizado para la fuerza constante (presentado en el ap´endice A),
en el cual los puntos singulares tambi´en resultaban ser irregulares, no fue
posible obtener un resultado satisfactorio. Obtener dos resultados no sa-
tisfactorios al emplear el m´etodo de Frobenius para un caso con puntos
singulares irregulares indica la necesidad de investigar un m´etodo distinto
para la resolucio´n de este tipo de ecuaciones diferenciales.



Referencias

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Ducharme, R. (2012). Exact solution o the klein-gordon equation for the
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Lo´pez, G. (2012). Partial Differential Equations. World Scientific, 2da
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44 REFERENCIAS

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Srednicki, M. (2006). Quantum Field Theory. Universidad de California,
2da edition.

Ap´endice A

Caso para una Fuerza
Constante

El caso de fuerza constante fue analizado siguiendo una metodolog´ıa simi-
lar. Se emple´o la siguiente constante de movimiento:

K = (γ − 1)mc2 − kx,
donde k es una constante. Se obtuvo la siguiente ecuaci´on:

(a+kx)2Ψ +(4ak +4k2x)Ψ +(2k2 +a2 +2akx+k2x−m2c4)Ψ = 0. (A.1)
Al analizar el comportamiento asinto´tico, se propone una soluci´on del tipo
Ψ = e−ixf (x), considerando u´nicamente la parte no divergente. Al insertar
en A.1, se obtiene la siguiente ecuacio´n diferencial:

a+kx 2f + 4ak+4k2x−2i(a+kx)2 f + 2k2+a2+2akx+k2x2−m2c4−
i(4ak + 4k2x) − (a + kx)2 f = 0, (A.2)

la cual a pesar de no tener puntos regulares singulares, se resolvio´ mediante
el m´etodo de Frobenius. Similarmente a como se realizo´ en el caso del a´tomo
de Hidro´geno, la serie se trunc´o y se igualo´ a cero el primer coeficiente que

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46 APE´NDICE A. CASO PARA UNA FUERZA CONSTANTE

la relaci´on de recurrencia permitio´. De ah´ı, fue despejada la energ´ıa y se
obtuvo:

E = −w1 + 2c2w2m + ( − 4w1w2mc2) + 4c2w1w2 − 4w0w2 + w12 ,
2w2
(A.3)

donde w0, w1, w2 son constantes complejas, que una vez sustituidos sus

valores en A.3 se obtiene un eigenvalor complejo para la energ´ıa y por tanto

inaceptable.