garis lurus

MODUL 9 GARIS LURUS

O
L
E
H
ROntAULI SIHOtAnG

PEnDIDIkAn MAtEMAtIkA

UnIvERSItAS kRIStEn InDOnESIA

MODUL 9 GARIS LURUS

A. Capaian Pembelajaran
Mampu memahami konsep garis serta menggunakannya dalam memecahkan
masalah yang berkaitan.

B. Bahan Kajian
1. Menentukan persamaan garis yang sejajar sumbu-sumbu koordinat,
yang melalui dua titik tertentu serta garis yang melalui sebuah titik
dengan gradien tertentu.
2. Menentukan persamaan normal dari suatu garis.
3. Menentukan sudut antara dua garis.
4. Menentukan jarak antara suatu titik dengan garis.
5. Menentukan persamaan berkas dari dua garis yang berpotongan.

C. Uraian Materi
1. Persamaan Garis Lurus
2. Persamaan Normal Suatu Garis Lurus
3. Kedudukan Antara Dua Garis Lurus
4. Kedudukan Titik Dan Garis Lurus
5. Persamaan Berkas Garis

MODUL 9 GARIS LURUS
9.1. Kegiatan Pembelajaran 1 Persamaan Garis Lurus

a. Garis Sejajar Sumbu-sumbu Koordinat
Pada gambar 2.1, garis I melalui titik p(a,0) dan sejajar sumbu y . Titik-titik
Q dan R terletak pada garis I, karena garis I sejajar dengan sumbu x, maka
absis titik Q adalah a, dan absis titik R adalah a pula. Bahan semua titik pada
garis I selalu mempunyai absis yang sama dengan a. Sehingga dapat dikatakan
bahwa garis I adalah himpunan semua titik yang berabsis a, ditulis
x, y x = a . Selanjutnya dikatakan bahwa x = a, merupakan persamaan
garis I, yaitu garis yang sejajar sumbu y dan melalui titik (a,0). Dengan
penjelasan itu dapat dipahami bahwa persamaan sumbu y adalah x = 0 .

v
i

q x
I
r p

gambar 9.1.1

Perhatikan gambar 9.1.2 di bawah ini
y

t 0 p(q,0) D
x

Garis 1 sejajar dengan sumbu dan melalui titik p(o,b). Titik T dan D terletak
pada garis 1, maka ordinat-ordinat titik-titik T dan D adalah b. Lebih dari itu,
semua titik yang terletak pada garis 1 selalu mempunyai ordinat b . Sehingga
dapat dinyatakan bahwa garis 1 merupakan himpunan semua titik yang
mempunyai ordinat b atau di tuliskan sebagai ( , ) = . Selanjutnya
dikatakan bahwa y = b merupakan persamaan garis S , yaitu persamaan garis
lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melalui titik (o,b). Dengan demikian,
kita dapat memahami bahwa persamaan untuk sumbu x adalah y = 0.

Contoh 1
Jika diketahui titik M (6,8). Tentukan persamaan garis lurus
yang sejajar dengan sumbu x dan melalui titik M serta
tentukan persamaan garis lurus yang sejajar sumbu y dan
melalui titik M .
Penyelesaian :
Titik-titik pada garis lurus yg sejajar dengan sumbu x dan
melalui titik selalu berordinat 8, maka persamaan garis lurus
yang sejajar x dan melalui titik M adalah y = 8.
Titik-titik pada garis lurus yg sejajar dengan sumbu y dan
melalui titik selalu bebasis 2, maka persamaan garis lurus
yang sejajar sumbu y dan melalui titik M adalah x = 2.

b. Garis Melalui Titik Asal dan Sebuah Titik Tertentu
Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan sebuah titik
tertentu, kita perlu menentukan atau mencari sifat-sifat yang sama yang
dimiliki oleh semua titik pada garis anggaplah garis 1. perhatikan gambar 2.3
dibawah ini.

y

g

p

∝ A(x1,y1) B(x2,y2)
∝ c

∝

0x

Gambar 9.1.3.

Ambillah sebarang titik pada garis 1 dan titik R adalah proyeksi titik T pada
sumbu x. Misalkan T(x2, y2) maka R(x2 .0).

Perhatikan ∆ dengan TR∥PQ maka:

: = :

y2 : x2 = y1, x1 atau dapat ditulis deng a22n= 1
1

Apabila a adalah sudut yang dibentuk garis 1 dengan sumbu x arah positif,

maka

2 = 1 =
2 1

terlihat bahwa perbandingan ordinat dan absis setiap titik garis 1 adalah tga .
jika titik (xy) terletak pada garis 1, maka diperoleh:
a= d=a l11a . hM ya=.kKa 11ap ree.rnsDaaemtniatgiaaknnpag(xaar1di,sayl1al)uhrdusiuskde1utatyhyauanin,ggmmdaiekblaeanlhutauirkgtiaotilkteghaasgataelrrit0senAdtaudnadnPip(sexur1mo, lybe1hu)

x arah positif dan besarnya dihitung dari sumbu x arah positif ke arah
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam ke garis A .

Contoh 2

Persamaan garis lurus yang melalui O(0,0) dan P(-4,8)
adalah…..

Penyelesaian:

Melalui P(-4,8) dan titik asal O(0,0) maka:

= 1
1

= 8
−4

= 2
−1

Jadi gradien dari persamaan tersebut dapat ditentukan yaitu :
2
= −1

c. Garis Melalui Dua Titik yang Diketahui

Pada gambar 2.4 garis lurus g melalui titik-titik A(x1,y1) dan B(x2, y2) yang
diketahui. Perhatikan ∆ABC, ∠BCA = karena AC sejajar dengan sumbu
X = 2 − 12, = 2 − 1.
= = − 1 Sehingga,

2 − 1
Perhatikan bahwa gradien garis g sama saja dengan gradien ruas garis AB .

y
g

p
B( 1, 1)

A( 1, 1)
∝c

∝
x

0

Kita ambil titik sebarang P(x,y) pada garis lurus g , maka gradien garis lurus g

sama juga dengan gradien ruas garis AP.

Dengan cara seperti mencari gradien ruas garis AB, maka gradien ruas garis

A P a=da lah−− 1
1
Karena gradien ruas garis AP sama dengan gradien ruas garis AB maka

d i−−per o11le=h p e2r−sam 1aan
2 − 1
Atau dapat ditulis

− 1 = − 1
2 − 1 2 − 1
Karena P(x,y) adalah sebarang titik pada garis lurus g, maka persamaan
terakhir merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik A( 1 , 1) dan
B( 2, 2).

Contoh 3

Jika ada dua titik yaitu titik P(4,8) dan Q(6,-2) .
Tentukan gradien dan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik P dan Q.
Penyelesaian :
Gradien garis lurus yang melalui titik-titik P dan Q sama dengan gradien ruas
garis PQ, yaitu:

= −2 − 8 = −10 =− 5
6−4 2
dengan menggunakan persamaan yang ada, maka persamaan garis lurus yang

melalui titik-titik P(4,8) dan Q(6,-2) adalah :
−8 − 4
−2 − 8 = 6 − 4

−8 = − 4
−10 2

2(y-8) = -10(x-4)
2y-16 =-10x +40
2y+10x-16-40=0
2y+10x-56=0
y+5x-28=0
jadi, persamaan garis lurus yang dicari adalah y+5x-28=0

d. Garis Melalui Suatu Titik Tertentu dengan Gradien yang
Diketahui
y
g

P(x,y)
A(x1,y1)

x
0

Gambar 9.1.5

Pada gambar diatas, diketahui garis lurus yang melalui titik A(x1,y1) dan
diketahui pula gradien garis g, yaitu m. kemudian tentukan persamaan garis

lurus g. ambil sebarang titik p(x,y) pada garis g, maka gradien ruas garis AP

a d−ala h1
− 1

Gradien ruas garis AP sama dengan gradien garis g, karena gradien garis g

diketahui sama dengan m, maka diperoleh persamaan

− 1 =
− 1

Karena P(x,y) adalah sebarang titik pada garis lurus g, maka persamaan garis
lurus yang melalui titik ( 1, 1)dengan gradien m adalah

− 1 = ( − 1)

e. Garis dengan Perpotongan Kedua Sumbu Diketahui Diketahui

suatu garis yang melalui titik A(a,0) dan B(0,b) seperti gambar 2.7 maka

persamaan garisnya : − 1 − 1
2 − 1 − 1
=

− 0 = −
− 0 0 −

= −
−

=+− =+11
+ =
Sehingga persamaan garis yang melalui titik A(a,0) dan B(0,b) adalah ay+bx

= ab

y
B(0,b)

0 A(a,0) x

Gambar 9.1.6

Contoh 5

Tentukan persamaan garis yang melalui titik M(-8,0) dan N (0,6).

Penyelesaian:

− 0 = − ( − 8)
6 − 0 0 − ( − 8)

= + 8
6 8

8 = 6 + 48

8 − 6 = 48

= 6 + 6
8

Sehingga persamaan garis yang melalui titik M(-8,0) dan N(0,6) adalah
6
= 6 + 8 .

9.2. Kegiatan Pembelajaran 2
Persamaan Normal Suatu Garis Lurus
Garis normal adalah sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y
akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0,0).

Garis OA merupakan garis normal terhadap garis l. Apabila sebuah garis m
sejajar dengan sumbu x atau sumbu y, maka tidak terdapat garis normalnya.
Sudut merupakan sudut apit normal. Untuk menentukan besar sudut apit
normal, kita dapat menggunakan sudut inklinasi, yaitu : = α – 90°. Untuk
menghitung panjang garis normal, kita dapat menggunakan rumus :
Ruas garis AB adalah bagian dari garis l dan termasuk dalam kemiringan
suatu garis, dimana untuk menentukan kemiringan garis (gradient) kita
dapat menggunakan rumus :
m = tan α
m = tan ( + 90°)
α = arc tan m
Persamaan normal dari garis adalah x cos β + y sin β - p = 0

Persamaan normal dari Ax + By + C = 0

Dari persamaan normal diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak titik
asal 0 ke garis lurus dengan persamaan Ax + By + C = 0 adalah

Sudut antara Dua Garis Berpotongan

Contoh 1 :
Persamaan kurva berderajat satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah
menjadi persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.
1) Menentukan sudut normal
Gradien garis yaitu = -1/2 maka sudut inklinasi = arc tan m = arc tan (-1/2)
= 153,43.
Hubungan sudut inklinasi dan : = 90° + . Telah diketahui sudut inklinasi =
153,43° maka sudut = 63,43°
2) Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p
Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y = 0
sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka dibagi cos = 5 => p = 5 cos = 5
cos 63,43° = 5 . 0,447 = 2, 24
Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43° + y sin
63,43° -2,24 = 0

Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan garis
sebagai kurva berderajat atau pun persamaan garis bergradien sebagai
berikut :
x cos 63,43° + y sin 63,43° - 2,24 = 0 => 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0 => x + 2y –
5=0