132FD02A-5DEE-4A04-9292-D484CB02AFD6

E-BOOK

ความเท่ากัน
ทุกประการ

เสนอ
อาจารย์ฐิติพร นุ่นลอย

จัดทำโดย
ด.ญ.อรนิชาภา สกุลภู่ธนาภูมิ ม.2/2 เลขที่ 33

ความเท่ากันทุกประการ

ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต
ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-มุม-ด้าน
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน
การนำไปใช้




จุดประสงค์ของบทเรียน

เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว เราสามารถ
บอกสมมาตรของความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต
บอกได้ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน,
มุม-ด้าน-มุม, ด้าน-ด้าน-ด้าน, มุม-มุม-ด้าน และ ฉาก-ด้าน-ด้าน
เท่ากันทุกประการ
นำสมบัติของความเท่ากันกันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสอง
รูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใช้อ้างอิงในการให้เหตุผลและการ
แก้ปัญหา

บทนิยามของความเท่ากันทุกประการ

รูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่ง
ไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี

บทกลับของบทนิยาม ก็จะได้ว่า

“ถ้าเคลื่ อนที่รูปเรขาคณิตรูปหนึ่งไปทับอีกรูป
หนึ่งได้สนิท แล้วรูปเรขาคณิตสองรูปนั้นจะเท่า

กันทุกประการ”

≅เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เท่ากันทุกประการ จะเขียนว่า รูป A รูป B

อ่านว่า รูป A เท่ากันทุกประการกับรูป B หรือ รูป A และ รูป B เท่ากันทุกประการ

รูป A รูป B

ความเท่ากันทุกประการของ

ส่วนของเส้นตรง

โดยทิั่วไปความเท่ากันทุกประการของส่วนของ
เส้นตรง เป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

ส่วนขอเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุก
ประการ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้น
ตรงทั้งสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน

ความเท่ากันทุกประการของมุม

โดยทั่วไปความเท่ากันทุกประการของมุม เป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ
ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองมุมนั้นมี

ขนาดเท่ากัน

ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตที่กล่าวมาข้างต้น เป็นไปตามสมบัติ
ของความเท่ากันทุกประการที่กล่าวว่า

ถ้ารูปเราขาคณิตสองรูปเท่ากัน
ทุกประการ แล้วรูปเรขาคณิตทั้ง

สองรูปนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน
และมีขนาดเท่ากัน

ในทางกลับกัน

ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปมีรูปร่าง
เหมือนกันและมีขนาดเท่ากัน

แล้วรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น
เท่ากันทุกประการ

นอกจากสมบัติของความเท่ากันทุกประการที่กล่าวมาแล้ว ยังมีสมบัติอื่นๆ
ของความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตอีกดังนี้

สมบัติของความเท่ากันทุกประการ

ให้ รูป A รูป B และรูป C เป็นรูปเรขาคณิตใดๆ

01 สมบัติสะท้อน

สมบัติสะท้อน : รูปเรขาคณิตใด ๆ รูปหนึ่ง
จะเท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิตรูปนั้น

≅สมบัติสะท้อน : รูป A รูป A

02 สมบัติสมมาตร

สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปเรขาคณิต Aเท่ากันทุก
ประการกับรูปเรขาคณิต B แล้วรูปเรขาคณิต B จะเท่า
กันทุกประการกับรูปเรขาคณิต A

≅สมบัติสมมาตร : ถ้ารูป A
≅รูป B แล้วรูป B รูป A

03 สมบัติถ่ายทอด

สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปเรขาคณิต A เท่ากันทุกประการกับรูป
เรขาคณิต B และรูปเรขาคณิต B เท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิต
C แล้วรูปเรขาคณิต Aจะเท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิต C

≅สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูป A
≅รูป B และรูป B รูป C แล้ว

≅รูป A รูป C

ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ
ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่
สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูป
นั้น มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

ในการเขียนสัญลักษณ์แสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ นิยม
เขียนตัวอักษรเรียงตามลำดับของมุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกัน เช่น เมื่อ
รูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม DEF ดังรูป

เพิ่มเติม

ความเท่ากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม มีสมบัติ
เช่นเดียวกับสมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูป
สามเหลี่ยม กล่าวคือ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุก
ประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัย
กันของรูปหลายเหลี่ยมทั้งสองนั้น มีขนาดเท่ากันเป็น
คู่ๆ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน

จากที่กล่าวมาแล้วว่า การตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูป
สามเหลี่ยมสองรูป โดยทั่วไปจะต้องตรวจสอบการเท่ากันของความ
ยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน 3 คู่ และการเท่ากันของขนาดของมุมคู่ที่
สมนัยกันอีก 3 คู่ ต่อไปเราจะได้เห็นว่า เราสามารถตรวจสอบการเท่า
กันของความยาวของด้านหรือขนาดของมุมเพียง 3 คู่ ตามเงื่อนไขที่
กำหนด ก็เป็นการเพียงพอที่จะสรุปได้ว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่า

กันทุกประการ

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้ในแต่ละข้อเท่ากันทุกประการ
และเมื่อพิจารณาจากรูปที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ จะเห็นว่าเป็นการกำหนด
ด้านที่ยาวเท่ากันสองคู่ และมุมที่มีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่ โดยมุมคู่นั้นเป็น
มุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน ซึ่งกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น
มีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน หรือเขียนย่อ ๆ ว่า ด.ม.ด.
และผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่เหลืออีกหนึ่งคู่ จะยาวเท่ากัน และมุมที่เหลือ
อีกสองคู่จะมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด.ม.ด. จะเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความ
สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน
(ด.ม.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากัน
สองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่า
กันมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยม
สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้เท่ากันทุกประการ และเมื่อ
พิจารณารูปที่กำหนดให้ จะเห็นว่าเป็นการกำหนดมุมที่มีขนาดเท่ากัน
สองคู่ และด้านที่เป็นแขนร่วมของมุมยาวเท่ากัน ซึ่งกล่าวว่า รูป
สามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม หรือ
เขียนย่อ ๆ ว่า ม.ด.ม. และผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่เหลืออีกสองคู่ จะ
ยาวเท่ากันเป็นคู่ ๆ และมุมที่เหลืออีกหนึ่งคู่ จะมีขนาดเท่ากัน

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ม.ด.ม. จะเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ
มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาด
เท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุม
ทั้งสองยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น

เท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้เท่ากันทุกประการ และ
เมื่อพิจารณาจากรูปที่กำหนดให้ จะเห็นว่าเป็นการกำหนดด้านที่
ยาวเท่ากันสามคู่ ซึ่งกล่าวว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีความ
สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน หรือเขียนย่อ ๆ ว่า ด.ด.ด.
และผลที่ได้ตามมาคือมุมทั้งสามคู่ จะมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ด.ด.ด. จะเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กัน
แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้าน
ยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น

เท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-มุม-ด้าน

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้เท่ากันทุกประการ และ
เมื่อพิจารณารูปที่กำหนดให้ จะเห็นว่าเป็นการกำหนดมุมที่มีขนาด
เท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ ซึ่งกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีความ
สัมพันธ์กันแบบ มุม-มุม-ด้าน หรือเขียนย่อ ๆ ว่า ม.ม.ด. และ
ผลที่ได้ตามมาคือ มุมที่เหลืออีกหนึ่งคู่ จะมีขนาดเท่ากัน และด้าน
ที่เหลืออีกสองคู่ จะยาวเท่ากันเป็นคู่ๆ

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ม.ม.ด. จะเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กัน
แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มี
ขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับ
มุมที่มีขนาดเท่ากันยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูป

สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่กำหนดให้เท่ากันทุก
ประการ และเมื่อพิจารณาจากรูปที่กำหนดให้ จะเห็นว่าเป็นการ
กำหนดให้มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีกหนึ่ง
คู่ยาวเท่ากัน ซึ่งกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีความ
สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน หรือเขียนย่อ ๆ ว่า ฉ.ด.ด.
และผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่เหลืออีกหนึ่งคู่ จะยาวเท่ากัน แบะมุม
ที่เหลืออีกสองคู่ จะขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ฉ.ด.ด. จะเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัติต่อไปนี้

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่กำหนดให้เท่ากันทุก
ประการ และเมื่อพิจารณาจากรูปที่กำหนดให้ จะเห็นว่าเป็นการ
กำหนดให้มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีก
หนึ่งคู่ยาวเท่ากัน ซึ่งกล่าวว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีความ
สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน หรือเขียนย่อ ๆ ว่า ฉ.ด.ด. และ
ผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่เหลืออีกหนึ่งคู่ จะยาวเท่ากัน แบะมุมที่

เหลืออีกสองคู่ จะขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

การนำไปใช้

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ในสิ่งแวดล้อมรอบตัว มีสิ่งก่อสร้างที่มีลักษณะเป็น
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เช่น หน้าจั่วบ้าน และโครงหลังคา
ของศาลานั่งเล่น ดังรูป

บทนิยามของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มี
ด้านสองด้านยาวเท่ากัน

Thank you!

FOR
WATCHING

ข อ จ บ ก า ร นำ เ ส น อ เ พี ย ง เ ท่ า นี้
ข อ บ คุ ณ ค่ ะ