GEOMETRI KOORDINAT TINGKATAN 4

MATEMATIK TAMBAHAN SPM www.tutorsah.com
TINGKATAN 4

Bab 6
Geometri Koordinat

1

1. Jarak di Antara Dua Titik www.tutorsah.com

B(x2 , y2 )

A(x1, y1)

Dalam suatu garis lurus seperti di atas, jarak antara dua titik A dan B
dicari menggunakan rumus

Jarak  (x1  x2 )2  ( y1  y2 )2

2

Contoh: B
Cari jarak di antara 3
titik A dan B di sebelah.

Penyelesaian: A
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)
www.tutorsah.com
Jarak AB  (x1  x2 )2  ( y1  y2 )2
 (1 5)2  (2 12)2
 (4)2  (10)2
 16 100
 116
 10.77 unit

2. Pembahagian Tembereng Garis

B(x2 , y2 )

A(x1, y1) www.tutorsah.com

Dalam suatu garis lurus seperti di atas, titik tengah antara dua titik A dan B
boleh dicari menggunakan rumus

Titik tengah   x1  x2 , y1  y2 
 2 2 

4

Contoh: B
Cari titik tengah di antara
titik A dan B di sebelah. Titik tengah

Penyelesaian: A
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)
www.tutorsah.com
Titik tengah   x1  x2 , y1  y2 
 2 2 

  1  5 , 2  12 
 2 2 

  6 , 14 
 2 2 

 3,7

5

B(x2 , y2 )

C
A(x1, y1)

Jika dalam garis lurus di atas, titik C dibahagikan dengan nisbah m:n www.tutorsah.com
maka koordinat titik C boleh dicari dari rumus

 nx1  mx2 , ny1  my2 
 mn mn 

6

Contoh: B(x2 , y2 )
Cari koordinat titik C jika nisbah 7
jarak titik A dan B ialah 1:3.

Penyelesaian: C
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12) A(x1, y1)
Nisbam m:n = 1:3
www.tutorsah.com
Koordinat C   nx1  mx2 , ny1  my2 
 mn mn 

  3(1)  1(5) , 3(2) 1(12) 
 1 3 1 3 

  8 , 18 
 4 4 

 2, 4.5

3. Luas Poligon B(x2 , y2 )

A(x1, y1)

C(x3, y3 ) www.tutorsah.com

Luas segitiga rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus

1 x1 x2 x3 x1
2 y1 y2 y3 y1

8

Contoh: B
Cari luas segitiga dalam rajah di A
sebelah.

Penyelesaian: C
Titik A (3, 6) , titik B (10, 10)
Dan titik C (6, 2)

Luas segitiga  1 x1 x2 x3 x1 www.tutorsah.com
2 y1 y2 y3 y1
Jika luas segitiga = 0,
 1 3 10 6 3 maka semua titik adalah
2 6 10 2 6
segaris!
 1 (310 10 2  6 6)  (610 10 6  2 3)
2

 1 62 126
2

 1 64
2

 1 (64)
2

 32 unit2

9

A(x1, y1) B(x2 , y2 )
C(x3, y3 )

D(x4 , y4 ) www.tutorsah.com

Luas segempat rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus

1 x1 x2 x3 x4 x1
2 y1 y2 y3 y4 y1

10

Contoh: A(x1, y1) B(x2 , y2 )
Cari luas segiempat dalam rajah di C(x3, y3 )
sebelah.

Penyelesaian: D(x4 , y4 )
Titik A (2, 5) , titik B (10, 11) ,
titik C (13, 7) dan titik D (5, 1)

Luas segiempat  1 x1 x2 x3 x4 x1 www.tutorsah.com
2 y1 y2 y3 y4 y1

 1 2 10 13 5 2
2 5 11 7 1 5

 1 (21110 7 131 5 5)  (510 1113  7  5 1 2)
2

 1 130  230
2

 1 100 Jika luas segiempat = 0,
2 maka semua titik adalah

 1 (100) segaris!
2

 50 unit2

11

4. Persamaan Garis Lurus

Pintasan-x = -4 Pintasan-y = 6 www.tutorsah.com

Pintasan-x ialah nilai koordinat x di mana garis lurus menyilang paksi-x (melintang).
Pintasan-y ialah nilai koordinat y di mana garis lurus menyilang paksi-y (menegak).

12

Kecerunan garis lurus

B(6,12)

Pintasan-x = -6 Pintasan-y = 6

A(10, 4) www.tutorsah.com

Kecerunan (m) boleh dicari dari:

2 koordinat yang dilalui garis Nilai pintasan-x dan pintasan-y
lurus menggunakan rumus menggunakan rumus

m  y2  y1 ATAU m   pintasan-y
x2  x1 pintasan-x

13

B(6,12)

Pintasan-x = -6 Pintasan-y = 6

A(10, 4) m   pintasan-y www.tutorsah.com
pintasan-x
Bagi garis lurus di atas, ATAU
kecerunan: m  y2  y1   (6)
(6)
x2  x1
 (12)  (4) 1

(6)  (10)
 16

16
1

14

Persamaan garis lurus
boleh dicari dari

1. Kecerunan dan 2. Dua titik 3. Pintasan-x dan www.tutorsah.com
satu titik pintasan-y
y  y1  y2  y1
y  y1  m x  x1 x2  x1 x  y 1
x  x1 ab

15

Mencari persamaan garis lurus dari kecerunan dan satu titik:

B(0, 6) Kecerunan:

A(4, 0) m  y2  y1
x2  x1
www.tutorsah.com
 (6)  (0)
(0)  (4)

6
4

 1.5

Katakan titik B (0,6), maka persamaan garis lurus adalah

y  y1  m
x  x1
y  6  1.5
x0
y  6  1.5(x  0)

y  1.5x  6

16

Mencari persamaan garis lurus dari dua titik: B(0, 6)

Bagi titik A (-4, 0) dan B (0,6), A(4, 0)
persamaan garis lurus adalah
www.tutorsah.com
y  y1  y2  y1
x  x1 x2  x1
y  (0)  (6)  (0)
x  (4) (0)  (4)

y 6
x4 4

y  1.5
x4

y  1.5(x  4)
y  1.5x  6

17

Mencari persamaan garis lurus dari pintasan-x dan pintasan-y:

Pintasan-y = 6
Pintasan-x = -4

Dari pintasan-x dan pintasan-y diatas,

persamaan garis lurus adalah x  y 1
ab
www.tutorsah.com
x  y 1
(4) (6)

 x  y   6  1  6
 (4) (6) 
 

6x  6y  6
4 6
1.5x  y  6

y  1.5x  6

18

Bentuk am persamaan garis lurus: ax  by  c  0

Jika diberi satu persamaan garis lurus 2x  4 y  6  0 , maka kecerunan

serta pintasan-x dan pintasan-y boleh dicari dengan menukarkan bentuk
am persamaan kepada

Bentuk kecerunan Bentuk pintasan www.tutorsah.com
dan x  y  1
y  mx  c ab

19

Contoh: Cari kecerunan, pintasan-x dan pintasan-y bagi persamaan garis lurus

4x  2 y  8  0.

Penyelesaian: 4x  2y 8  0

4x  2y 8  0 4x  2 y  6
2y  4x 8
y  4x 8 dan 4x  2 y  8 www.tutorsah.com
2 88
y  2x  4
x  y 1
y  mx  c 2 4

Maka, x  y 1
kecerunan = 2 ab
Pintasan-x = -2
Pintasan-y = 4

20

Sekiranya dua garis lurus bersilang, maka koordinat titik persilangan boleh www.tutorsah.com
ditentukan melalui kaedah penggantian.

A

Contoh: Kedua-dua persamaan garis lurus pada rajah di atas bersilang pada
koordinat A. Tentukan koordinat A.

21

Penyelesaian: A y  2x  4

y  x 1

y  2x  4 1 Gantikan x  1 ke dalam 1 : www.tutorsah.com
y  x 1 2
y  2x  4
Gantikan 1 ke dalam 2 : y  2(1)  4
y2
2x  4  x 1
3x  3 Oleh itu, koordinat A (-1, 2)
x  1

22

5. Garis Lurus Selari dan Garis
Lurus Serenjang

Kecerunan m1 Kecerunan m2

www.tutorsah.com

Kecerunan bagi dua garis lurus yang selari seperti rajah di atas adalah sama.

m1  m2

23

y  2x  7 y  2x  4

Kecerunan yang sama, m = 2 www.tutorsah.com

24

Membentuk persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan selari
dengan garis lurus yang diberi

Contoh: Cari persamaan garis lurus merah jika kedua garis lurus merah dan
biru adalah selari.

A(6, 34) y  3x  4

Kedua garis lurus www.tutorsah.com
merah dan biru adalah
selari, oleh itu
mempunyai kecerunan
yang sama = 3.

Maka, persamaan garis lurus merah:  y  3x 16

y  y1  m
x  x1
y  34  3
x6
y  34  3(x  6)

y  3x 18  34

25

Kecerunan m1 www.tutorsah.com
Kecerunan m2

Sekiranya kedua garis lurus serenjang, maka hubungan kecerunan adalah

m1m2  1

26

Mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan
berserenjang dengan garis lurus yang diberi

y  3x  4

A(30,14) Maka, persamaan garis lurus merah:

y  y1  m2 www.tutorsah.com
x  x1

Kecerunan garis lurus merah (m2): y 14   1
x  30 3

m1m2  1 y 14   1 (x  30)
(3)m2  1 3

m2   1 y   x  24
3 3

27

6. Persamaan Lokus yang www.tutorsah.com
Melibatkan Jarak Antara Dua
Titik

A(x, y)

r

B(x1, y1)

Persamaan lokus titik A dibentuk dari satu titik tetap B akan
membentuk sebuah bulatan berjejari r.

r   x  x1 2   y  y1 2

28

B(x1, y1)

A(x, y)

C(x2 , y2 )

Sekiranya titik A melalui garis lurus BC bernisbah m:n, persamaan lokus titik A www.tutorsah.com
adalah

m   x  x1 2   y  y1 2
n  x  x2 2   y  y2 2

29

B(x1, y1)

A(x, y)

C(x2 , y2 )

Sekiranya jarak m = n (nisbah m:n = 1), persamaan lokus titik A adalah www.tutorsah.com

m   x  x1 2   y  y1 2
n  x  x2 2   y  y2 2
1   x  x1 2   y  y1 2

 x  x2 2   y  y2 2

  x  x1 2   y  y1 2   x  x2 2   y  y2 2

30

Tamat www.tutorsah.com

Disediakan oleh:
www.tutorsah.com
[email protected]

31