ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดยงานแรก

ทำได้ n1 วิธี ขณะที่งานที่สองทำได้ n2 วิธี ซึ่งจะมีวิธี

ที่จะเลือกทำงานได้ทั้งหมด n1 + n2 วิธี
2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยแต่ละงาน

ทำได้ n1, n2, n3, …, nk วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะ

เลือกทำงานมีทั้งหมด n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

ตัวอย่างหลักการบวก

Ex.จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิง

หรือแจ๊ค จากไพ่สำรับหนึ่งที่มี 52 ใบ

วิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง หรือ แจ๊ค มีอย่างละ 4 ใบ การหยิบ

ไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค แบ่งเป็น 2 กรณี คือ
1) การเลือกหยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทั้งหมด 4 ใบ

ทำได้ 4 วิธี
2) การเลือกหยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้มแจ๊คทั้งหมด 4

ใบ ทำได้ 4 วิธี
ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค ทำได้ 4 + 4 = 8

วิธี

Ex.จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้ไพ่โพดำ

หรือข้ามหลามตัด จากไพ่ 1 สำรับ

วิธีทำ เนื่องจากไพ่ดอกโพดำ หรือข้ามหลามตัด มีอยู่อย่างละ

13 ใบ การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้ไพ่โพดำ หรือข้ามหลามตัด แบ่ง

เป็น 2 กรณี คือ
1) การเลือกหยิบไพ่โพดำ 1 ใบ จากไพ่โพดำ ทั้งหมด 13 ใบ

ทำได้ 13 วิธี
2) การเลือกหยิบไพ่ข้ามหลามตัด 1 ใบ จากไพ่ข้ามหลามตัด

ทั้งหมด 13 ใบ ทำได้ 13 วิธี
ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้ไพ่โพดำหรือข้ามหลามตัด ทำได้

13 + 13 = 26 วิธี

1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดยงานแรกทำได้

n1 วิธี ขณะที่งานแต่ละวิธีในการทำงานอย่างแรก จะมี



วิธีทำงานที่สองได้ n2 วิธี ดังนั้นจะมีวิธีที่จะเลือก


ทำงานทั้งสองอย่าง n1n2 วิธี

2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยมีวิธีทำงาน

อย่างแรกได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีของงานแรก สามารถ

ทำงานที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน

อย่างแรกและอย่างที่สอง สามารถเลือกทำงานที่สาม

ได้ n3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k

อย่าง เท่ากับ n1.n2.n3. … .nk วิธี

Ex.เดินทางไปบ้านนายเวียน โดยที่การเดินทางครั้งนี้มีเงื่อนไข

ว่า จะตอ้งไปทางรถยนต์ แล้วไปนั้ง เรือต่อเท่านั้น จึงจะถึง

บ้านนายเวียน ถ้าทางรถยนตท์จะไปนั้น มีรถยนต์ส่วนตัว รถ

แท็กซี่ และรถเมล์ ส่วนทางเรือนั้น มีเรือยนต์และเรือพาย



แล้วอยากทราบว่าจะเดินทางไปบ้านนายเวียนได้กี่วิธี

วิธีทำ จากโจทย์แบ่งออกเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 เดินทางโดยรถยนต์สามารถเลือกเดินทางได้ 3 วิธี (รถยนต์,

แท็กซี่, รถเมล์)
ขั้นตอนที่ 2 เดินทางโดยทางเรือ สามารถเลือกเดินทางได้2 วิธี
ดังนั้น จะได้ว่ามีวิธีเดินทางทั้งหมด 3 × 2 = 6 วิธี

Ex.ระหว่างทางจากบ้านถึงโรงเรียนมีรถรับจ้างอยู่ 4 คัน
นักเรียนคนหนึ่งจะโดยสาร รถรับจ้างทั้งไปและกลับจาก

โรงเรียนได้กี่วิธี ถ้า 1. เที่ยวไปและกลับ นั่งรถคันใดก็ได้
ขั้นตอนที่1 รถมี 4 คัน เลือกนั่งรถโดยสารขาไปได้ 4 วิธี

นั่งรถกลับได้ 4 วิธี

วิธีทำ จำนวนวิธีในการเดินทางได้ 4 × 4 = 16 วิธี
2. เที่ยวไปและกลับ ต้องไม่ใช่รถคันเดียวกัน แนวคิด รถมี 4 คัน
ขาไปเลือกนั่งได้ 4 วิธี ขากลับกลับรถคันเดิมไม่ได้ จึงเลือกนั่งรถที่

เหลือ 3 คันได้ 3 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการเดินทางได้ 4 × 3 = 12 วิธี

ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งเเต่ N ลงไปหรือ

ก็คือ ผลคูณต่อเนื่องตั้งเเต่ 1 ไปถึง N โดยที่ N แทน

เลขที่เเฟคทอเรียล ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งจะ


n!เขียนเป็นสัญลักษณ์

0! = 1
1! = 1
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

ตัวอย่างเเฟคทอเรียล

จงหาค่าของ 5!
วิธีทำ 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= 720

คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของ

เเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า "ถ้า n



เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n

โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!"

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด
กำหนดให้มีสิ่งของ n นั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหาก


จัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะ

ได้ Pn.r วิธี
โดย Pn,r = n!

(n - r)!

Ex.ถ้าต้องการสลับคำว่า "ALIVE" จะสลับได้กี่วิธีหากให้ AL อยู่ติดกัน จะทำได้

ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ

คำตอบ จะจัดได้ทั้งหมด 240 วิธี

2.วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหาก


จัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของในเเต่ละกลุ่มนั้น


ล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับ


เปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ

วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

Ex.จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำว่า "PROBABLY" ที่เเตกต่างกัน โดยไม่คำนึง

ถึงความหมาย

วิธีทำ

คำตอบ จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 40320 วิธี

คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นอาจจะเป็น

อะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่า

ในแต่ละครั้งที่ทำการทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจากการทดลอง

จะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น

Ex.จากการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง
วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก

พร้อมกัน 1 ครั้ง คือ

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการ

ทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง

นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า

ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่

จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

Ex.1. การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเรา

สนใจหน้าที่หงายขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คื หัว หรือ ก้อย
ดังนั้น แซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย}

Ex.2.ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงาย

ขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ

4 หรือ 5 หรือ 6
ดังนั้น แซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (probability) คือ

อัตราส่วนระหว่างจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)) กับจำ

นวนแซมเปิลสเปซ (n(S)) ที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้พร้อม ๆ

กัน ใช้สัญลักษณ์ “P(E)” แทนความน่าจะเป็นของการ

เกิดเหตุการณ์ที่สนใจ

โดยที่ n(E) แทน จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดของเหตุการณ์

ที่เราสนใจ

n(S) แทน จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นได้
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ดังนั้น P(E) = n(E)

n(S)

Ex.โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน จงหา

ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3

เหรียญ

วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญ

บาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน
จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 8

แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH หรือ

TTT
1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 3 แบบ คือ

HHT, HTH, และ THH
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ มีผลลัพธ์ 7

แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT และ TTH
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 4

แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3

เหรียญ มีผลลัพธ์ 2 แบบ คือ HHH และ TTT

เเบบฝึกหัด

1.ถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมา 4 สาย

ถ้าจะขับรถยนต์จาก กรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยขับผ่านจังหวัดลพบุรี จะใช้เส้น

ทางที่ต่างกันได้ทั้งหมดกี่เส้นทาง เขียนแผนภาพ แสดงการเดินทางเพื่อประกอบคำ

ตอบด้วย

2. เมื่อโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ เหรียญอาจขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้ ถ้าโยนเหรียญบาท 3

เหรียญจะได้ผลต่าง ๆ กันทั้งหมดกี่วิธี อะไรบ้าง เขียนแผนภาพต้นไม้แสดงคำตอบ

ด้วย

3. บริษัทผู้ผลิตเสื้อผ้าสำเร็จรูปบริษัทหนึ่งผลิตเสื้อ 4 แบบ แต่ละแบบมี 6 สี และ

แต่ละสีมีขนาดต่างกัน 3 ขนาด ถ้าจะจัดเข้าตู้โชว์หน้าร้านให้ครบทุกแบบ ทุกสีและ

ทุกขนาดจะต้องใช้เสื้อทั้งหมดกี่ตัว

4. ข้อสอบประเภทให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จชุดหนึ่งมี 10 ข้อ นักเรียนที่ท า

ข้อสอบนี้จะมีวิธีตอบข้อสอบ ชุดนี้ได้ต่าง ๆ กันกี่วิธี สมมุติว่าต้องตอบค าถามทุก

ข้อโดยไม่มีการเว้น

5. หมายเลขโทรศัพท์ซึ่งประกอบด้วยเลขโดด 9 ตัว และห้าตัวแรกเป็น 02392 มี

ได้ทั้งหมดกี่หมายเลข

แบบทดสอบ

1) ข้อใดผิด
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ทั้งนี้ผลที่จะเกิดแต่ละตัวต้องมีโอกาส

เกิดเท่าๆกัน
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับ จำนวนผลที่เกิดขึ้นในเหตุกา

รณ์นั้นๆ หารด้วยจำนวนผลทั้งหมดที่ได้จากการทดลองสุ่ม
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีค่าเป็น 0
4. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆมีค่าตั้งแต่ 0 แต่น้อยกว่า 1

2) ทอดลูกเต๋า 2 ลูก1 ครั้ง เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำนวนที่ไม่ถึง

9 และ 3 หารลงตัวคือ
1. ( 1,3),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3)
2. ( 1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
3. ( 1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(5,1) ,(3,6),(5,4),(6,3)
4. ( 1,3),(1,5),(2,1),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(5,1) ,(3,6),(5,4),(6,3) ,(4,5)

3) แป้นกลม 1 อัน มีตัวเลขและเข็มชี้ ดังรูป ถ้าหมุนแป้นกลมนี้ 2 ครั้ง
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนที่ประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว เหตุการณ์ที่จะได้
ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่มากกว่า 40มีกี่เหตุการณ์

1. 5 เหตุการณ์ 2.7 เหตุการณ์ 3. 9 เหตุการณ์ 4. 11 เหตุการณ์

4) โยนเหรียญบาท 3 อัน 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะหงายด้านหัวอย่าง

น้อย 2 อัน เป็นเท่าใด

1. 0.125 2. 0.25 3. 0.50 4. 0.75

5) ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 30 ครั้ง ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 6 กี่ครั้ง

1. 5 ครั้ง 2. 6 ครั้ง 3. 10 ครั้ง 4. 30 ครั้ง

6) นุดีและวีณา ทอดลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีกติกาว่า ถ้าลูกเต๋าขึ้นหน้า 3 ขึ้นไป นุดี

จะได้แต้มจากวีณา 10 คะแนน ถ้าขึ้นหน้าอื่น นุดีต้องจ่ายแต้มให้วีณา 21 คะแนน

ถ้าทั้งสองคนนี้ทอดลูกเต๋า 15 ครั้ง ใครน่าจะได้แต้มมากกว่ากันเท่าไร

1.นุดีจะได้แต้มมากกว่าวีณา5 แต้ม
2. วีณาจะได้แต้มมากกว่านุดี 5 แต้ม
3.นุดีจะได้แต้มน้อยกว่าวีณา10 แต้ม
4. วีณาจะได้แต้มน้อยกว่านุดี 10 แต้ม

-7) 7! มีคำตอบตรงกับข้อใด
5!

1. 42 2. 86 3. 47 4. 24
4. 35
8)4! + 3! มีคำตอตรงกับข้อใด 4.800
4. 4510
1. 24 2.6 3. 30

9)6! - 5! มีคำตอบตรงกับข้อใด

1. 500 2. 600 3. 700

10)6! * 0! * 3! มีค่าตรงกับข้อใด

1. 3610 2. 3910 3. 2160